Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w

Transkript

1 Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u, v, w Aproximační funkce se volí zásadně ve tvaru polynomů. 1

2 Odvození konečného prvku pro rovinný problém (1) y 3 v 3 u 3 Neznámé parametry deformace: u, v v každém uzlu. v 1 1 u 1 2 v 2 u 2 x Tj. celkem šest neznámých uzlových parametrů: {u 1, v 1, u 2, v 2, u 3, v 3 } T. 2

3 Odvození konečného prvku pro rovinný problém (2) Geometrické rovnice: ε x = u x, ε y = v y, τ xy = u y + v x. (1) Maticově (ε = T u): ε x ε y γ xy = x y y x u v (2) 3

4 Odvození konečného prvku pro rovinný problém (3) Podmínky rovnováhy: σ x x + τ xy y + X =, τ xy x + σ y y + Y =. (3) Maticově ( σ + X = ): x y y x σ x σ y τ xy + X Y = (4) 4

5 Odvození konečného prvku pro rovinný problém (4a) Fyzikální rovnice (rovinná napjatost): Maticově (σ = D ε): σ x σ y τ xy σ x = σ y = τ x = = E 1 µ 2 E 1 µ 2 (ε x + µ ε y ) (5) E 1 µ 2 (ε y + µ ε x ) (6) E 2(1 µ) γ xy (7) 1 µ µ (1 µ) ε x ε y γ xy (8) 5

6 Odvození konečného prvku pro rovinný problém (4b) Fyzikální rovnice (rovinná deformace): σ x = σ y = τ x = E (1 + µ)(1 2µ) [(1 µ) ε x + µ ε y ] E (1 + µ)(1 2µ) [µ ε x + (1 µ) ε y ] (9) E (1 + µ)(1 2µ) γ 1 xy (1 µ) 2 Maticově (σ = D ε): σ x σ y τ xy = E (1 + µ)(1 2µ) 1 µ µ µ 1 µ 1 2 (1 µ) ε x ε y γ xy 6

7 Odvození konečného prvku pro rovinný problém (5) Aproximace neznámých uzlových posunutí: u(x, y) = a 1 x + a 2 y + a 3 (1) v(x, y) = a 4 x + a 5 y + a 6 (11) Maticově (u = U a): u v = x y 1 x y 1 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 (12) 7

8 Odvození konečného prvku pro rovinný problém (6) Aproximace neznámých uzlových posunutí v uzlech 1, 2, 3 (r = S a): u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 = x 1 y 1 1 x 1 y 1 1 x 2 y 2 1 x 2 y 2 1 x 3 y 3 1 x 3 y 3 1 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 (13) 8

9 Odvození konečného prvku pro rovinný problém (7) Kombinací vztahů ε = T u a u = U a vznikne ε = B a, kde B = T U: ε x ε y γ xy = x y y x x y 1 x y 1 a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 (14) 9

10 Odvození konečného prvku pro rovinný problém (8) Kombinací vztahů ε = T u a u = U a vznikne ε = B a, kde B = T U: ε x ε y γ xy = a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 (15) 1

11 Odvození konečného prvku pro rovinný problém (9) Z r = S a plyne: a = S 1 r. Pak: ε = B S 1 r. Potenciální energie vnitřních sil: Π i = 1 2 V εt σ d V = 1 2 V εt D ε d V (16) Potenciální energie vnějších sil: Π e = V XT r d V S pt r d S. (17) 11

12 Odvození konečného prvku pro rovinný problém (1) Potenciální energie soustavy: Π = 1 2 V εt D ε d V V XT r d V S pt r d S. (18) Po dosazení za ε a vytknutí r: Π = 1 2 rt V S 1T B T DB S 1 d V r T V XT d V r S pt d S r. (19) Stručně: Π = 1 2 rt K r F T r. (2) 12

13 Odvození konečného prvku pro rovinný problém (11) Aplikací Lagrangeova variačního principu ( Π = min.) na (2): kde K... matice tuhosti konečného prvku: K r = F, (21) K = V S 1T B T D B S 1 d V, (22) F... zatěžovací vektor konečného prvku: F = V XT d V S pt d S. (23) 13

14 Odvození konečného prvku pro rovinný problém (12) Pro studovaný konečný prvek: K = t A S 1T B T D B S 1, (24) kde t... tloušt ka konečného prvku. F = X + p. (25) 14

15 Analýza konstrukce Z K e a r e a F e jednotlivých prvků (e je číslo prvku) sestavíme K a r a F celé konstrukce a neznámé určíme řešením soustavy rovnic: K r = F. (26) 15

16 Výpočet výsledků (napětí a deformací) na konečných prvcích 1. z vektoru r celé konstrukce sestavíme vektory r e jednotliných konečných prvků 2. pro každý prvek stanovíme poměrné deformace: ε e = B S 1 r e 3. pro každý prvek stanovíme napětí: σ e = D ε e nebo σ e = D B S 1 r e 16

17 Příklad: Analýza stěny metodou konečných prvků (1) Stanovte průbehy posunutí, napětí a poměrných deformací na stěně. Úlohu řešte metodou konečných prvků, použijte trojúhelníkový konečný prvek. Geometrie, zatížení a dělení na konečné prvky jsou uvedeny na obrázku, tloušt ka stěny je konstantní a má velikost t =.1m, modul pružnosti použitého materiálu je E = 2GP a, Poissonův součinitel má velikost.2. 17

18 Příklad: Analýza stěny metodou konečných prvků (2) F = 2 kn 4 3 F = 1 kn 2 1 m m 18

19 Příklad: Matice tuhosti konečného prvku (3) V dále uvedeném tvaru matice tuhosti (viz Kolář a kol: Finite Element Method, Brno, 1971) se vyskytují některé symboly: E C 1 = 1 µ 2 C 2 = µ λ = 1 2 (1 C 2) x i y i 1 x j y j 1 x k y k 1 = x i y j 1+x j y k 1+x k y i 1 (x k y j 1+x j y i 1+x i y k 1) Souřadnicové rozdíly: x ij = x i x j, y ij = y i y j,... 19

20 Příklad: Matice tuhosti konečného prvku (Kolář a kol, 197) (3a) 2

21 Příklad: Konečný prvek č. 1 (4) E 2 19 C 1 = = = 2, µ 2 1,22 C 2 = µ =,2 λ = 1 2 (1 C 2) = 1 2 (1,2 2) =,4 x i = x 1 = y i = y 1 = x ij = -1 y ij = x j = x 2 = 1 y j = y 2 = x jk = 1 y jk = -1 x k = x 4 = y k = y 4 = 1 x ik = y ik = -1 Násobitel matice tuhosti (ten zlomek s determinantem dole): NAS 1 = 2 C 1 t = 2,83 19,1 2 1 = 1,

22 Příklad: Konečný prvek č. 1 (5) Matice tuhosti (bez násobitele): u 1 v 1 u 2 v 2 u 4 v 4 u 1 1,4,6 1, -,4 -,4 -,2 v 1,6 1,4 -,2 -,4 -,4-1, u 2 1, -,2 1,,2 v 2 -,4 -,4,4,4 u 4 -,4 -,4,4,4 v 4 -,2-1,,2 1, 22

23 Příklad: Konečný prvek č. 2 (6) E 2 19 C 1 = = = 2, µ 2 1,22 C 2 = µ =,2 λ = 1 2 (1 C 2) = 1 2 (1,2 2) =,4 x i = x 2 = 1 y i = y 2 = x ij = y ij = -1 x j = x 3 = 1 y j = y 3 = 1 x jk = 1 y jk = x k = x 4 = y k = y 4 = 1 x ik = 1 y ik = -1 Násobitel matice tuhosti (ten zlomek s determinantem dole): NAS 2 = 2 C 1 t = 2,83 19,1 2 1 = 1,

24 Příklad: Konečný prvek č. 2 (7) Matice tuhosti (bez násobitele): u 2 v 2 u 3 v 3 u 4 v 4 u 2,4 -,4 -,4,4 v 2 1, -,2-1,4,2 u 3 -,4 -,2 1,4,2-1, -,4 v 3 -,4-1,,2 1,4 -,2 -,4 u 4,2-1, -,2 1, v 4,4 -,4 -,4,4 Násobitel je náhodou u obou matic stejný (neplatí obecně!). Zneužijeme toto a necháme si ho až na později. 24

25 Příklad: Matice tuhosti konstrukce (8) Sestavíme ji z matic tuhostí jednotlivých prvků, její velikost je rovna počtu stupňů volnosti (u i, v i ) konstrukce, kontrole: matice musí být symetrická dle hlavní diagonály (souvisí s Bettiho větou). 25

26 Příklad: Matice tuhosti kce (9) Postup sestavení: 1. vyrobíme tabulku s počtem řádků a sloupců rovným počtu stupňů volnosti v konstrukci, 2. řádky a sloupce vhodně označíme (např. u 1... v 4, stejným systémem jako u matic tuhosti prvků), 3. členy matic tuhostí prvků umíst ujeme do matice tuhosti konstrukce podle indexů ([u 1, v 4 ] do [u 1, v 4 ] atd.) pokud se někde setkají členy z více matic, tak je sečteme. 26

27 Příklad: Matice tuhosti kce (1) Matice tuhosti (bez násobitele): u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 u 4 v 4 u 1 1,4,6 1, -,4 -,4 -,2 v 1,6 1,4 -,2 -,4 -,4-1, u 2 1, -,2 1,4 -,4 -,4,6 v 2 -,4 -,4 1,4 -,2-1,,6 u 3 -,4 -,2 1,4,2-1, -,4 v 3 -,4-1,,2 1,4 -,2 -,4 u 4 -,4 -,4,6-1, -,2 1,4 v 4 -,2-1,,6 -,4 -,4 1,4 27

28 Příklad: zatěžovací vektor (11) Vektor má stejnou velikost jako matice tuhosti, jednotlivé uzlové síly zapíšeme do řádků odpovídajících posunutím na kterých pracují, síla je kladná pokud působá ve směru kladné pčíslušné poloosy systému souřadnic. 28

29 Příklad: zatěžovací vektor (12) Tedy v našem případě: F 1 = F x,3 = 1 N... na u 3 F 2 = F y,4 = 2 N... na v 4 Zatěžovací vektor: F = { F x,1, F y,1, F x,2, F y,2, F x,3, F y,3, F x,4, F y,4 } T = {,,,, 1,,, 2} T 29

30 Příklad: soustava rovnic K u = F N 1, 4, 6 1,, 4, 4, 2, 6 1, 4, 2, 4, 4 1, 1,, 2 1, 4, 4, 4, 6, 4, 4 1, 4, 2 1,, 6, 4, 2 1, 4, 2 1,, 4, 4 1,, 2 1, 4, 2, 4, 4, 4, 6 1,, 2 1, 4, 2 1,, 6, 4, 4 1, 4 u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 u 4 v 4 = 1 2 N = 1, Pěkné, že? Jenže tato soustava má nekonečně mnoho řešení (klidně zkuste ji vyřešit). Ještě je třeba uplatnit okrajové podmínky, aby nám konstrukce nelétala v prostoru. 3

31 Příklad: okrajové podmínky (14) V deformační variantě MKP zavádíme pevné podpory jako nulové hodnoty posunutí kterým brání (tj. přímo známe hodnoty posunutí). V tomto příkladu tedy: u 1 = v 1 = u 2 = v 2 = 31

32 Příklad: okrajové podmínky (14) Praktické provedení (odpovídající rovnice není třeba a musíme se jí zbavit převést na tvar 1x = ): dosadíme hodnotu na příslušné místo ve vektoru neznámých vynulujeme příslušný řádek vektoru pravé strany vynulujeme příslušný řádek a sloupec matice tuhosti a na diagonálu dosadíme 1 32

33 Příklad: okrajové podmínky (15) N , 4, 2 1,, 4, 2 1, 4, 2, 4 1,, 2 1, 4, 4, 4 1, 4 u 3 v 3 u 4 v 4 = 1 2 N = 1,

34 Příklad: výsledky posunutí (15) u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 u 4 v 4 = 2, 84, 39 1, 98 2, y x

35 Příklad: výsledky na prvcích (16) z vektoru posunutí konstrukce vybereme hodnoty příslušné danému prvku z odvození víme (a použijeme): ε = {ε x, ε y, γ xy } T = BS 1 u σ = {σ x, σ y, τ xy } T = Dε 35

36 Příklad: výsledky na prvcích (17) B = , S = x i y i 1 x j y j 1 x k y k 1 x i y i 1 x j y j 1 x k y k 1 D = E 1 µ 2 1 µ µ (1 + µ) 36

37 Příklad: výsledky na prvku 1 (18) u 1 = u 1 v 1 u 2 v 2 u 4 v 4 = 1, 98 2, D = 2, , 2, 2 1, 4 37

38 Příklad: výsledky na prvku 1 (19) S = S 1 = Inverzi matice je třeba provést numericky (kdo to zvládne ručně, at se přihlásí). 38

39 Příklad: výsledky na prvku 1 (2) ε 1 = σ 1 = ε x ε y γ xy σ x σ y τ xy = =, 2, 9 1, 98, 86 4, 45 1, Ještě by se mohla spočítat hlavní napětí a jejich směr, maximální smykové napětí,... 39

40 Příklad: výsledky na prvku 2 (21) u 1 = u 2 v 2 u 3 v 3 u 4 v 4 = 2, 84, 39 1, 98 2, D = 2, , 2, 2 1, 4 4

41 Příklad: výsledky na prvku 2 (22) S = S 1 =

42 Příklad: výsledky na prvku 2 (23) ε 2 = σ 2 = ε x ε y γ xy σ x σ y τ xy = = 8, 61 3, 39 4, , 47 3, Ještě by se mohla spočítat hlavní napětí a jejich směr, maximální smykové napětí,... HOTOVO! 42

43 Diskuse: spojitost a výstižnost výsledků (1) Použitá aproximace posunutí: u(x, y) = a 1 x + a 2 y + a 3 v(x, y) = a 4 x + a 5 y + a 6 Tedy polynom 1. stupně pro posunutí: spojité deformace r protože ε = r, konstantní poměrné deformace (po derivaci snížení na polynom. stupně) protože σ = D ε, konstantní napětí (polynom. stupně) 43

44 Diskuse: spojitost a výstižnost výsledků (2) pro uvedený prvek jsou deformace aproximovány lineárně poměrné deformace a napětí jsou na prvku konstantní pro přesnější výsledky hustší sít konečných prvků ufem.2.53d ufem.2.53d CS: CART Result: s_x Set: 1: 1. Set: 1: e e e e e e e e+2.e e e e e e e e e+4.e e e e e e e e e+4 y z x y z x bigfile bigfile