Množiny. množinové operace jsou mírně odlišné od

Transkript

1 Množiny Množina se dá chápat jako soubor prvků. ( Např. lidé na planetě zemi tvoří jednu velkou množinu.) Každá množina tedy obsahuje určitý počet prvků, který může být konečný (lze spočítat) nebo nekonečný (nelze spočítat). Také nemusí obsahovat prvek žádný, poté mluvíme o prázdné množině (zapisujeme Ø). Množinu obvykle značíme velkým tiskacím písmenem (například M) a prvky množiny malým písmenem (m). Je-li prvek m obsažen v množině M, zapisujeme to takto: m M. Pokud je prvků v množině více, zaznamenávají se do svorkových závorek {}. M Stejně jako můžeme operovat se samotnými čísly, můžeme provádět všemožná kouzla i s množinami. Ovšem množinové operace jsou mírně odlišné od těch normálních. Jako první se zmíním o S J EDNOCENÍ MNOŽIN (značíme symbolem ). Sjednocením dvou množin A a B vznikne nová množina, např. C, která bude obsahovat všechny prvky z množiny A a také všechny prvky z množiny B. Sjednocením dvou množin tedy získáme množinu, která obsahuje všechny prvky z obou těchto množin. Zkrátka sesypeme obě množiny do jedné, nesmíme však zapomenout, že množina nemůže obsahovat více exemplářů stejného prvku (pokud je tedy nějaký prvek v obou množinách, v jejich sjednocení bude pouze jednou) )! Grafické znázornění sjednocení množin je následující:

2 Podívejme se na dva konkrétní příklady: 1) Mějme množiny A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a B = {3, 6, 8, 9}. Výsledek sjednocení množin vypadá takto A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9}. 2) Mějme množiny A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a B =. Pak je množina A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Platí to i obecně, pro jakoukoli množinu M je M = M. Další množinovou operací je P RŮNIK MNO ŽIN (značíme ). Průnikem dvou množin A a B vznikne nová množina C, která bude obsahovat prvky, které mají ty dvě množiny společné. Přesněji bychom řekli, že nová množina bude obsahovat prvky, které náleží do A a zároveň náleží do B. Průnikem dvou množin získáme množinu, která obsahuje jen ty prvky, které jsou pro dané dvě množiny společné. V grafickém znázornění zohledníme to, že společné prvky mají být naznačeny překrytím kruhů, jež symbolizují množiny: Jestliže dvě množiny nemají žádné společné prvky, neboli jejich průnikem je prázdná množina, pak o těchto množinách říkáme, že jsou disjunktní. Je to velmi důležitá vlastnost dvojice množin, protože je z ní možné odvodit mnoho dalších poznatků. Platí například, že mohutnost (mohutnost = počet prvků v množině) sjednocení dvou disjunktních konečných množin je součtem mohutností sjednocovaných množin. Chcemeprvky používáme li naznačit opačnou situaci tedy že množiny mají nějaké společné často spojení, že množiny mají neprázdný průnik. Disjunktní množiny

3 K dobrému pochopení operace průniku si opět ještě můžeme pomoci ukázkou několika příkladů: 1) Mějme množiny A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a B = {3, 6, 8, 9}. Pak A B = {3, 6}. 2) Mějme množiny A = {1, 2, 3, 6} a B =. Pak A B =. Prázdná množina totiž neobsahuje vůbec žádné prvky, a tak nemůže mít s jinou množinou nějaký společný prvek. 3) Uvažujme nějakou kuchyňskou skříňku s nádobím. Řekněme, že množina A je množina všech hrnečků ve skříňce, množinou B je pak množina všeho skleněného nádobí ve skříňce. Množina A B je pak množina všech skleněných hrnečků ve skříňce. Pokud v ní žádné skleněné hrnečky nejsou, jsou množiny A a B disjunktní. Nyní se podíváme na pojem PODMNOŽINA. Je-li každý prvek nějaké množiny H zároveň prvkem nějaké množiny M (která však může obsahovat i další prvky), pak říkáme, že množina H je podmnožinou množiny M. Máme-li např. množinu M = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a množinu H = {1, 3, 4, 5}, můžeme říci, že množina H je podmožinou množiny M. Tuto informaci můžemee zapsat pomocí symbolu takto: H M. Je dobré si uvědomit, že každá (i prázdná) množina je podmnožinou sebe sama a také že prázdná množina je podmnožinou každé množiny. Matematicky se vztah být podmnožinou nazývá INKLUZE. Další operací je DOPLNĚK MNOŽINY, značí se to všelijak, ale asi nejčastěji čárkou. Doplněk množiny B vzhledem k množině A budeme značit B A. Pokud je z předchozího kontextu jasné, k jaké množině je doplněk vztažen, můžeme psát zkráceně B'. Je velmi důležité si uvědomit, že operace doplňku není komutativní, neboli když zaměníme pozice množin A a B, nedostaneme stejný výsledek

4 Graficky si můžeme šrafováním): doplněk znázornit následovně (doplněk je vyznačen Je-li B A, pak doplňkem množiny B vzhledem k množině A je množina, která obsahuje všechny prvky z A, které zároveň nejsou v B. Pokud použijeme obrazné vyjadřování, můžeme říci, že doplněk množiny B vzhledem k množině A je právě ten zbytek množiny A, který zbude po odstřižení její podmnožiny B. Řekli jsme si, že doplněk je také množina, zavedli jsme si tedy operaci, která nám umožňuje definovat novou množinu ze dvou již známých množin. Nesmíme však zapomenout na podmínku, že množina, jejíž určujeme doplněk, musí být podmnožinou množiny, vzhledem ke které se doplněk tvoří! Podívejme se na dva konkrétní příklady: 1) Mějme množiny A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a B = {1, 3, 6}. Pak je množina B A A= {2, 4, 5}. 2) Říkali jsme si, že množina je sama sobě podmnožinou. Máme-li množinu M, pak M' M =. Poslední operací na kterou se podíváme je ROZDÍL MNOŽIN. U doplňku množin jsme byli velmi omezeni podmínkou, kdy jedna množina musela být podmnožinou druhé. Nyní si ukážeme operaci, která je doplňku podobná, avšak toto omezení nemá. Rozdíl množin totiž ukousne z jedné množiny to, co má společné s množinou druhou. Rozdíl množin A a B budeme značit A B (někdy je značen též A\B ) a jeho definice je:

5 Rozdíl množin A a B, který značíme A B, je množina, která obsahuje všechny prvky množiny A s výjimkou těch, jež jsou zároveň prvky množiny B. Což můžeme říci také jinak: Chceme-li vytvořit množinu A B, pak stačí vzít množinu A a vyjmout z ní prvky, které má společné s množinou B. I zde je důležité si uvědomit, že ani rozdíl není komutativní. Grafické znázornění rozdílu může vypadat např. takto: I rozdíl množin si samozřejmě ukážeme na konkrétních příkladech: 1) Mějme množiny A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} a B = {1, 3, 6, 8}. Pak je množina A B = {2, 4, 5}. 2) Zkusíme-li provést rozdíl množiny se sebou, získáme prázdnou množinu: M M =. 3) Pro libovolnou množinu M také platí: M = M. Prázdná množina neobsahuje žádné prvky, proto nemůže mít žádné prvky společné s množinou M, a tak výsledkem takového rozdílu musí být opět množina M.