České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Návrh decentralizovaného PID regulátoru pro model čtyřválcové vodárny

Transkript

1 České vysoké učení technické v Praze Fakulta elektrotechnická BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Návrh decentralizovaného PID regulátoru pro model čtyřválcové vodárny Praha, 2013 Autor: Tomáš Bäumelt

2

3 Poděkování Děkuji především vedoucímu bakalářské práce Doc. Ing. Petru Huškovi, Ph.D. za jeho cenné rady a vedení bakalářské práce. Dále bych chtěl poděkovat své rodině za jejich velkou podporu a trpělivost během studia. i

4 ii

5 Abstrakt Bakalářská práce se zabývá návrhem decentralizovaného PID regulátoru pro systémy s více vstupy a více výstupy. Těžištěm práce je frekvenční metoda využívající Nyquistovy analýzy stability a maxima citlivostní funkce. Předností této návrhové metody je garance stability celkového systému a možnost měnit parametry regulace pomocí ladicího faktoru. Dále je tato metoda testována na modelu čtyřválcové vodárny se zpožděním, konkrétně na dvou odlišných konfiguracích. Nakonec jsou dosažené výsledky porovnány se standardně používanou metodou návrhu pomocí matice relativních zesílení RGA. iii

6 Abstract Bachelor thesis deals with design of decentralized PID controller for systems with multiple inputs and multiple outputs. The focus of this work is a frequency design method based on Nyquist stability analysis and maximum of sensibility function. The advantage of this design method is that it guarantees the stability of the overall closed-loop system and provides an option to tune and find an optimal controller. Next this design method is tested on two different configurations of quadruple tank model with dead-times. At theendtheresultsarecomparedwithacommonuseddesignmethodbasedonrelative Gain Array. iv

7 v

8 vi

9 Obsah Seznam obrázků Seznam tabulek ix xi 1 Úvod 1 2 MIMO systémy a algoritmy návrhu PID regulátorů Mnoharozměrovésystémy Vnějšípopis Stavovýpopis NulyapólyMIMOsystémů Párováníaurčenímíryinterakcí AlgoritmypronávrhPIDregulátorůproMIMOsystémy MetodynávrhudecentralizovanýchPIDregulátorů Rozvazbení Frekvenčnímetody Regulátorysobecnoustrukturou Popis modelu a konfigurací čtyřválcové vodárny Mechanickýpopismodelu Matematickýpopismodelu Konfiguracevodárny Nulyafázovostsystému Vybranékonfiguracesystému Srovnáníodezevnelineárníhoalinearizovanéhomodelu Návrh řízení založený na Nyquistově analýze stability Zobecněné Nyquistovo kritérium stability pro MIMO systémy vii

10 4.2 NávrhdecentralizovanéhoPIregulátoru Oblaststabilitydiagonálníhosubsystému Oblaststabilitycelkovéhosystému VýběrparametrůPIregulátoru NávrhPIregulátorupomocíladicíhofaktoru Minimálněfázovýsystém Neminimálněfázovýsystém Shrnutídosaženýchvýsledků Porovnání výsledků s návrhem pomocí RGA PorovnánívýsledkůproMPsystém Návrhmetodouumístěnípólů PorovnánívýsledkůproNMPsystém Návrhmetodouumístěnípólů Závěr 43 Literatura 45 A Obsah přiloženého CD I viii

11 Seznam obrázků 3.1 Schémaprostorovéhouspořádánívodárny Oblastiminimálněaneminimálněfázovéhosystému NulyapólyPadéhoaproximace3.řádu Výřezzokolípočátkuobrázku Jednotkovéskokyvstupů Odezvylineariz.anelin.systému Jednotkovéskokyvstupů Odezvylineariz.anelin.systému Schémazapojenísdecentralizovanýmregulátorem Hraniceoblastistability M d1 a M d2 pro T(s) Výslednéoblastistabilityceléhosystému Nyquistova křivka se superponovanými Gershgorinovými kružnicemi SimulinkovéschémazapojeníprořízeníMPsystému Oblastistabilníchparametrůvzávislostinafaktoru Q Referenčníhodnoty r 1 a r OdezvyMPsystémunaskokreferencevzávislostinaparametru Q Akčnízásahyvzávislostinaparametru Q Gershgorinovykružnicepro Q= Gershgorinovykružnicepro Q= SimulinkovéschémazapojeníprořízeníNMPsystému Oblastistabilníchparametrůvzávislostinafaktoru Q Výřezoblastistabilníchparametrůvzávislostinafaktoru Q Referenčníhodnoty r 1 a r OdezvyNMPsystémunaskokreferencevzávislostinaparametru Q Akčnízásahyvzávislostinaparametru Q Gershgorinovykružnicepro Q= ix

12 4.19 Gershgorinovykružnicepro Q= Porovnáníregulacerůzněnavrženýmiregulátory Porovnáníakčníchzásahůrůzněnavrženýchregulátorů PorovnáníregulaceNMPsystémurůzněnavrženýmiregulátory Porovnání akčních NMP systému zásahů různě navržených regulátorů.. 42 x

13 Seznam tabulek 3.1 Číselnéhodnotykonstantmodelu Pracovníbodykonfiguracísystému Nulyapólyaproximovanéhosystému ParametryPIregulátorůprorůznépoloměry Q Překmityadobyustáleníregulovanýchveličin ParametryPIregulátorůprorůznépoloměry Q Překmityadobyustáleníregulovanýchveličin KonstantyPIregulátorůproMPsystém SrovnánírůznýchmetodnávrhuregulátoruproMPsystém KonstantyPIregulátorůproNMPsystém SrovnánírůznýchmetodnávrhuregulátoruproNMPsystém xi

14 xii

15 Kapitola 1 Úvod Hlavní náplní této bakalářské práce je otestovat vybranou metodu návrhu decentralizovaného PID regulátoru na různých konfiguracích modelu čtyřválcové vodárny se zpožděním. Nejprve je uveden základní přehled algoritmů návrhu PID regulátorů pro řízení systémů svícevstupyavýstupy. Studium těchto tzv. mnoharozměrových systémů je dnes již velmi významným oborem, počátky hlubšího zkoumání sahají do doby 60. let 20. století, kdy se rovněž začala široce rozvíjet moderní teorie řízení. Významným rozdílem těchto systémů oproti systémům s jedním vstupem a výstupem(siso) je přítomnost systémových interakcí, které ztěžují návrh řízení. Vzniklo proto mnoho různých pokročilých algoritmů a metod pro návrhregulátorů.jmenujmenapř.robustnímetodyminimalizace H nebo µ-syntézu. Výsledkem těchto metod jsou regulátory s obtížněji realizovatelnou obecnou strukturou. Na druhé straně lze pro řízení mnoharozměrových systémů stále použít s dobrými výsledky klasické PID regulátory, které mají výhodu snadné implementace v průmyslových procesech. Tyto PID regulátory mají decentralizovanou strukturu, tedy řídí pouze jeden výstup. Návrh varianty tohoto regulátoru(pi) je v této práci realizován pomocí frekvenční metody, která je založena na zobecněném Nyquistově kritériu stability, jež zaručuje stabilitu celkového systému. Při návrhu jsou systémové interakce reprezentovány Gershgorinovými kružnicemi superponovanými na Nyquistovu křivku. Dále je tato metoda rozšířena tak, že umožňuje pomocí ladicího faktoru nalézt PI regulátor, který vyhovuje požadavkům řízení. Následně je metoda použita pro návrh regulace výšek hladin modelu čtyřválcové vodárny, který představuje nelinární model se dvěma vstupy a dvěma výstupy s dopravním zpožděním. Model je linearizován v pracovních bodech pro dvě různé konfigurace, kterých lze dosáhnout vhodným nastavením ventilů. Nakonec jsou výsledky této metody 1

16 2 KAPITOLA 1. ÚVOD porovnány se standardně používanou metodou návrhu pomocí matice RGA. Výpočty a simulace byly prováděny v programovém prostředí Matlab a Simulink R2012b.

17 Kapitola 2 MIMO systémy a algoritmy návrhu PID regulátorů V této kapitole budou nejprve uvedeny základní vlastnosti MIMO systémů, a poté budou představeny vybrané metody návrhu PID regulátorů pro řízení systémů s více vstupy avýstupy. 2.1 Mnoharozměrové systémy Mnoharozměrové systémy, také nazývané MIMO(Multiple Input Multiple Output) systémy, jsou takové systémy, jež mají vícenásobné vstupy a výstupy. Poznámka:Vdalšímtextubudouvektorové funkcejakonapř.x(t) : R R n či y(s):c C n častozkráceněnazýványpouzejakovektory.vestejnémduchubudou imaticovéfunkcea(s):c C m n nazýványpouzejakomatice Vnější popis Uvažujme obecně systém s n vstupy a m výstupy, označme Laplaceův obraz vstupního vektoru jako u(s) a výstupního vektoru jako y(s). Potom je přenosová matice G(s) 3

18 4 KAPITOLA 2. MIMO SYSTÉMY A ALGORITMY NÁVRHU PID REGULÁTORŮ definovánanásledovně y 1 (s) g 11 (s)... g 1n (s) u 1 (s). = (2.1) y m (s) g m1 (s)... g mn (s) u n (s) }{{}}{{}}{{} y(s) G(s) u(s) y i (s) TedyG(s) C m n ajednotlivéprvkyjsourovnypřenosůmzevstupu u j (s)navýstup g ij (s)= y i(s) u j (s). (2.2) ObecnějematiceG(s)nediagonální,tedyexistujealespoňjedenvstup u i,kterýovlivňujealespoňjedenvýstup y j, i j.je-limaticeg(s)diagonální,paksystémneobsahuje žádnéinterakce,tedyvstup u i ovlivňujepouzevýstup y i Stavový popis Stavový popis lineárního časově neproměnného(lti) MIMO systému lze psát v maticové formě jako ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t), y(t) = Cx(t)+Du(t), (2.3) kde x(t) značí stavový vektor, u(t) vektor vstupů a y(t) vektor výstupů. Vektor počátečníchpodmínekoznačímejakox 0 =x(0 ).Pronulovépočátečnípodmínkyx 0 =olze ze stavového popisu získat přenosovou matici jako G(s)=C[sI A] 1 B+D. (2.4) NulyapólyMIMOsystémů Nula MIMO systému je definována jako hodnota komplexní frekvence s = z, pro kterou ztrácí přenosová matice G(s) plnou hodnost. Nejsou to tedy nuly jednotlivých přenosů. Oprotitomupóljedefinovánjakohodnota s=p,prokteroujeněkterýprvekmatice G(s)roven,jetotedypřímopólněkteréhozpřenosůmaticeG(s).Vpřípaděsystému s nvstupyanvýstupylzenulyapólyzískat[1]zdeterminantug(s) det(g(s))= Πl i=1(s z i ) Π n i=1 (s p i), (2.5)

19 2.1. MNOHAROZMĚROVÉ SYSTÉMY 5 kde z i jsounulysystémuap i pólysystému.narozdílodsisosystémůjeumnoharozměrových systémů kromě hodnot nul a pólů také důležitý jejich směr. Podle[1] pro vstupní a výstupní směry nul platí G(z i )u zi =0y zi. (2.6) Vstupnínulovýsměru zi představujesměrvstupů,kterýnemávliv[2].výstupnínulový směry zi poskytujeinformaciotom,kterévýstupylzeobtížněřídit[1,2].pomocírozkladu maticeg(z i ) C m n podlesingulárníchčísellzezískatvstupníavýstupnísměrypro nulu z i. Podle polohy nul rozlišujeme MIMO systémy na minimálně a neminimálně fázové. Pokud platí z i <0 i, (2.7) pak je systém minimálně fázový. Pokud je alespoň jedna nula kladná, pak je systém neminimálně fázový. Vstupní a výstupní směry pólů jsou definovány vztahem[1] G(p i )u pi = y pi (2.8) alzejeopětzískatpomocírozkladupodlesingulárníchčíselmaticeg(p i ).Polohapólů stejně jako u SISO systémů rozhoduje i o stabilitě MIMO systému. Pokud platí R{p i } <0 i, (2.9) pak je systém stabilní Párování a určení míry interakcí Pokud je čtvercová matice přenosů G(s) nediagonální, pak je žádoucí vyšetřit, kterými vstupy jsou nejsilněji ovlivňovány které výstupy. Tento tzv. problém párování lze vyřešit pomocí matice RGA, která je definována jako λ λ 1n RGA(G)=Λ(G)=G(0) G(0) T =....., (2.10) λ n1... λ nn kdeoperace značíschurůvsoučin,tedynásobenímaticpoprvcích.hodnota λ ij reprezentujemírupůsobenívstupu u j navýstup y i.řízenípáru(u j y i )jepodle[1] možné, pokud λ ij 0.67,1.5. (2.11)

20 6 KAPITOLA 2. MIMO SYSTÉMY A ALGORITMY NÁVRHU PID REGULÁTORŮ 2.2 Algoritmy pro návrh PID regulátorů pro MIMO systémy V moderní teorii řízení vzniklo mnoho pokročilých metod návrhu regulátorů pro řízení systémů s více vstupy a výstupy. Regulátory se často vyznačují prediktivním chováním (např. MPC, LQ), proto je nutné řešit v reálném čase množství optimalizačních úloh. Naproti tomu stojí regulátory z klasické teorie řízení, zejména v průmyslových procesech velmi používaný PID regulátor a jeho různé redukované varianty(pi, PD, P). Nyní bude uveden přehled základních metod návrhu PID regulátorů pro řízení MIMO systémů. Existuje několik základních tříd regulátorů, které se navzájem liší svou strukturou: centralizovaný(jediný) regulátor, decentralizovanýregulátor, nediagonální regulátor s obecnou strukturou. Nejpoužívanější strukturou pro PID regulátor je diagonální decentralizovaná varianta, pro kterou budou nyní představeny různé metody návrhu Metody návrhu decentralizovaných PID regulátorů Přenosovou matici K(s) diagonálního regulátoru lze psát jako K(s)=diag[k 1 (s),...,k n (s)], (2.12) nediagonální prvky(přenosy) jsou tedy nulové. Regulátor s takovouto strukturou lze použít samozřejmě v případě, kdy je matice přenosů G(s) taktéž diagonální nebo téměř diagonální, tzn. v systému probíhají malé interakce. Pak lze úlohu návrhu PID regulátoru pro MIMO systém přeformulovat na úlohu nalezení n PID regulátorů pro řízení n samostatných SISO systémů. Lze tedy použít klasické SISO metody návrhu jako: umístění pólů charakteristického polynomu, geometrické místo kořenů(root locus), frekvenčnímetody, polynomiálnímetody.

21 2.2. ALGORITMY PRO NÁVRH PID REGULÁTORŮ PRO MIMO SYSTÉMY 7 Složitějším případem je přenosová matice G(s), která již není diagonální. Pro zjištění míry interakcí lze použít matici RGA(2.10) a pokud existují páry, které splňují kritérium (2.11), pak lze opět s uspokojivými výsledky použít standardní SISO metody. Problémem použití těchto SISO metod v případě, že matice přenosů G(s) není zcela diagonální, je, že požadavky na řízení, které byly při návrhu použity k výpočtu(např. překmit atd.), se nepodaří zpravidla při regulaci MIMO systému dodržet. Důvodem jsou právě systémové interakce, a proto je ladění takovéhoto regulátoru poněkud obtížné. Dalším problémem zanedbání interakcí je ztráta plné kontroly nad stabilitou systému při návrhu Rozvazbení Pokročilejší metodou, která opět využívá k řízení decentralizovaný PID regulátor, je dvoustupňový návrh[2]. V prvním kroku je provedeno tzv. rozvazbení(decoupling) systému, kdy je navržen člen s přenosovou maticí D(s), který diagonalizuje matici přenosů G(s). Tedy [G(s)D(s)] ij =0 i j. (2.13) Rozvazbeníjebuďnavrženodynamickyprovšechnyfrekvence,např.D(s)=G 1 (s), nebo pouze pro zvolenou frekvenci(steady-state decoupling). V druhém kroku provedeme opět návrh SISO metodami, neboť přenosová matice G(s)D(s) je již diagonální. Problémem této metody je ovšem velká citlivost na chyby a změny v parametrech[2] Frekvenční metody Velkou skupinou metod návrhu decentralizovaného PID regulátoru jsou metody frekvenční. Mnoho z těchto metod je založeno na zobecněném Nyquistově kritériu stability, jež poskytuje garanci stability celkového systému. Pro toto kritérium bylo představeno několik návrhů ladění PID regulátorů, např. zobecněná fázová bezpečnost[1] nebo vzdálenost Gershgorinových kružnic od kritického bodu 1 + 0j[1, 3], což je metoda, která byla testována na modelu čtyřválcové vodárny v kapitole 4 této práce Regulátory s obecnou strukturou Při návrhu diagonálních PID regulátorů se nemusí zcela podařit splnit požadavky na řízení, ovšem výhodou těchto metod je relativní jednoduchost nalezení parametrů regulátoru při návrhu. Regulátor s obecnou strukturou poskytuje mnohem větší možnosti pro

22 8 KAPITOLA 2. MIMO SYSTÉMY A ALGORITMY NÁVRHU PID REGULÁTORŮ regulaci, na druhou stranu stavový prostor parametrů je mnohem větší a je dosti obtížné efektivně aplikovat nějakou metodu ladění. Pro návrh regulátorů s obecnou strukturou lze použít například polynomiální metody.

23 Kapitola 3 Popis modelu a konfigurací čtyřválcové vodárny V této kapitole se nachází matematicko-fyzikální popis modelu čtyřválcové vodárny s dopravním zpožděním. Jelikož se jedná o soustavu obyčejných nelineárních diferenciálních rovnic, je tento popis linearizován ve zvolených pracovních bodech. Dále jsou uvedeny dvě základní konfigurace modelu, které způsobují jeho zcela odlišnou kvalitativní povahu a mají významný vliv pro návrh regulátoru. 3.1 Mechanický popis modelu Model čtyřválcové vodárny sestává ze čtyř nádrží, které jsou vzájemně propojeny trubicemi. Zdrojem tlaku jsou dvě napětím řízená čerpadla, nad nimiž se objemové toky dělí pomocí proporcionálních ventilů. Kapalina proudící od čerpadel nabírá určité dopravní zpoždění, než vteče do jednotlivýchnádrží.situacivystihujeobr.3.1,kde α i (i=1,...,4)značíprávědopravní zpoždění. 9

24 10KAPITOLA 3. POPIS MODELU A KONFIGURACÍ ČTYŘVÁLCOVÉ VODÁRNY α 3 α 4 h 3 h 4 nádrž 3 nádrž 4 ventil 1 γ 1 α 1 α 2 ventil 2 γ 2 čerpadlo 1 u1 h 1 h 2 nádrž 1 nádrž 2 čerpadlo 2 u 2 Obrázek 3.1: Schéma prostorového uspořádání vodárny 3.2 Matematický popis modelu Soustavu diferenciálních rovnic popisujících dynamiku vodárny lze odvodit z rovnice kontinuity a Bernoulliho rovnice[4] v následujícím tvaru dh 1 (t) dt dh 2 (t) dt dh 3 (t) dt dh 4 (t) dt = a 1 A 1 2gh1 (t)+ a 3 A 1 2gh3 (t)+ γ 1k 1 A 1 v 1 (t α 1 ) = a 2 A 2 2gh2 (t)+ a 4 A 2 2gh4 (t)+ γ 2k 2 A 2 v 2 (t α 2 ) = a 3 A 3 2gh3 (t)+ (1 γ 2)k 2 A 3 v 2 (t α 3 ) = a 4 A 4 2gh4 (t)+ (1 γ 1)k 1 A 4 v 1 (t α 4 ), (3.1)

25 3.2. MATEMATICKÝ POPIS MODELU 11 kde h i [cm]jsouvýškyhladinvjednotlivýchnádržích, v j [V]jsounapětínačerpadlech, a i [cm 2 ]jsouobsahyodtokovýchotvorů, A i [cm 2 ]jsouobsahydnanádrží, g[cm s 2 ] jetíhovézrychlení, γ j 0,1 [-]jsoupoměryotevřeníventilů, k j [cm 3 V 1 s 1 ]jsou převodníkonstantyčerpadelaα i [s]jsoujižzmiňovanádopravnízpoždění.hodnoty jednotlivých parametrů jsou uvedeny v tabulce 3.1. Tabulka 3.1: Číselné hodnoty konstant modelu A 1,A 3 28 A 2,A 4 32 a 1,a a 2,a k k g 981 α 1 5 α 2 6 α 3 8 α 4 10 Stavovými proměnnými systému jsou jednotlivé výšky hladin [ ] T= [ T. x(t)= x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) x 4 (t) h 1 (t) h 2 (t) h 3 (t) h 4 (t)] (3.2) Vstupy systému jsou napětí na čerpadlech [ ] T= [ T. u(t)= u 1 (t) u 2 (t) v 1 (t) v 2 (t)] (3.3) Výstupysystémujsouvýškyhladinv1.a2.nádrži [ ] T= [ T. y(t)= y 1 (t) y 2 (t) x 1 (t) x 2 (t)] (3.4) Pro účely linearizace zavedeme odchylkové proměnné ˆx i (t) = h i (t) h 0 i, i=1,...,4, (3.5) û j (t) = v j (t) v 0 j, j=1,2, ŷ j (t) = ˆx j (t), j=1,2,

26 12KAPITOLA 3. POPIS MODELU A KONFIGURACÍ ČTYŘVÁLCOVÉ VODÁRNY kde h 0 i(i=1,...,4)av 0 j(j=1,2)jsousouřadnicepracovníhoboduvekvilibriu. Podobně jako v[5] lze nalézt stavové rovnice linearizovaného systému dˆx(t) dt = Aˆx(t)+ ŷ(t) = Cˆx(t), 4 B i û(t α i ) (3.6) i=1 kde A= 1 T T 2 0 A 3 A 1 T 3 0 A 4 A 2 T T T 4 γ 1 k 1 A B 1 = ,B 2= 0 γ 2k 2 A 2 0 0, (3.8) B 3 = (1 γ 2)k 2 A C=,B 4= [ ] , (3.7) 0 0, (3.9) (1 γ 1 )k 1 A 4 0 (3.10) ačasovékonstanty T i (i=1,...,4)vmaticiajsourovny T i = A i 2h 0 i, i=1,...,4. (3.11) a i g Ze stavového popisu lze získat matici přenosů systému G(s), která je dána jako ) ŷ(s)=g(s)û(s)=c(si A) 1 ( 4 i=1b i e sα i û(s), (3.12) tedy [ ] [ g11 (s) g 12 (s) G(s)= = g 21 (s) g 22 (s) γ 1 T 1 k 1 A 1 (1+sT 1 ) e sα 1 (1 γ 2 )T 1 k 2 A 1 (1+sT 1 )(1+sT 3 ) e sα 3 (1 γ 1 )T 2 k 1 A 2 (1+sT 2 )(1+sT 4 ) e sα 4 γ 2 T 2 k 2 A 2 (1+sT 2 ) e sα 2 ]. (3.13)

27 3.3. KONFIGURACE VODÁRNY Konfigurace vodárny Zásadní vliv na chování systému a pro návrh regulátoru mají nuly přenosové matice. U jednorozměrných(siso) systémů způsobují nuly přenosové funkce, které leží v pravé polovině komplexní s-roviny, zpočátku obrácený průběh odezvy systému. Takovýto systém nazýváme neminimálně fázový a je obtížněji řiditelný než systém s minimální fází. Dále bude tedy ukázáno, kterými parametry vodárny lze měnit povahu systému mezi minimálně a neminimálně fázovým Nuly a fázovost systému Nuly přenosové matice G(s) lze nalézt dle[5] jako kořeny čitatele det(g(s))= γ 1γ 2 T 1 T 2 k 1 k 2 /(A 1 A 2 ) Π 4 i=1 (1+sT i) (1 γ 1)(1 γ 2 ) γ 1 γ 2 e s(α 3+α 4 ) ( (1+sT 3 )(1+sT 4 )e s(α 1+α 2 ) ), (3.14) získáme je tedy jako kořeny výrazu v závorkách rovnice(3.15). ( e s(α 1+α 2 ) (1+sT 3 )(1+sT 4 ) (1 γ ) 1)(1 γ 2 ) e s(α 1+α 2 +α 3 +α 4 ) =0 (3.15) γ 1 γ 2 Označíme-lisoučetzpožděníjako β= 4 i=1 α i,paknulyg(s)jsoukořeny (1+sT 3 )(1+sT 4 ) (1 γ 1)(1 γ 2 ) γ 1 γ 2 e sβ =0. (3.16) Jelikožvpřípaděnašehomodeluvodárnyje β= 7 0,závisípolohanulsystému dle[5, Lemma1]nahodnotěvýrazu Podle[5, Lemma 1] mohou nastat dva případy: N(0) = (1 γ 1)(1 γ 2 ) γ 1 γ 2. (3.17) (i) N(0) <1,pakG(s)nemážádnéneminimálněfázové(NMP)nulynezávisléna zpoždění; (ii) N(0) >1,pakG(s)máalespoňjednuNMPnuluapočettěchtonulsezvyšuje, pokud β klesá.

28 14KAPITOLA 3. POPIS MODELU A KONFIGURACÍ ČTYŘVÁLCOVÉ VODÁRNY Poznámka:Komplexnífunkce e sβ komplexníproměnné sjefunkceperiodická,tudíž počet nul G(s) je nekonečný. Jsou to tedy nuly závislé na zpoždění. Významný vliv ale mají jen NMP nuly tzv. dominantní, tj. nuly, které mají malou reálnou část(nachází se blízko imaginární ose). V případě(i) není takováto nula žádná(všechny nedominantní), vpřípadě(ii)jejednanmpnulanezávislánazpoždění,ostatnínmpnulyzávisléna zpoždění se přibližují imaginární ose s tím, jak β klesá. Nastaveníventilůtedypodle[4,5]rozhodujeotom,zdamásystémNMPnulyčine. Pro 0 < γ 1 +γ 2 <1 (3.18) je systém neminimálně fázový a pro 1 < γ 1 +γ 2 <2 (3.19) je systém minimálně fázový. Naobr.3.2jerovina γ 1 γ 2 nastaveníventilů[4],kde G značíminimálněfázový systémag + neminimálněfázovýsystém. γ 2 1 G G γ 1 Obrázek 3.2: Oblasti minimálně a neminimálně fázového systému Vybrané konfigurace systému Vsouladusnerovnicemi(3.19)a(3.18)bylyproMPaNMPsystémzvolenykonstanty proporcionálních ventilů a vypočítány souřadnice pracovních bodů v ekvilibriu.

29 3.3. KONFIGURACE VODÁRNY 15 Tabulka 3.2: Pracovní body konfigurací systému G (s) MP G + (s) NMP γ 1,γ 2 0.7, ,0.34 v1 0,v ,3 3, h 0 1,h0 2 15, ,13.5 h 0 3,h , ,5.087 Přenosová matice minimálně fázového systému je dle vztahu(3.12) G (s)= e 5s s e 10s ( s)( s) e 8s ( s)( s) e 6s s (3.20) a neminimálně fázového systému G + (s)= e 5s s e 10s ( s)( s) e 8s ( s)( s) e 6s s. (3.21) Počet nul a pólů přenosových matic je sice nekonečný, ale pomocí Padého aproximace lze kvazipolynomy úspěšně aproximovat polynomy[6]. Nuly a póly Padého aproximace 3.řádujsouzobrazenynaobr.3.3(zvětšenéokolípočátkujenaobr.3.4),přesnéhodnoty jsou uvedeny v tabulce 3.3, kde je dominantní NMP nula zvýrazněna šedou barvou. MP Pole Zero Map NMP Pole Zero Map Imaginary Axis (seconds 1 ) Imaginary Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 ) Obrázek 3.3: Nuly a póly Padého aproximace 3. řádu

30 16KAPITOLA 3. POPIS MODELU A KONFIGURACÍ ČTYŘVÁLCOVÉ VODÁRNY x 10 3 MP Pole Zero Map x 10 3 NMP Pole Zero Map Imaginary Axis (seconds 1 ) Imaginary Axis (seconds 1 ) dominantní NMP nula Real Axis (seconds 1 ) Real Axis (seconds 1 ) Obrázek 3.4: Výřez z okolí počátku obrázku 3.3 Tabulka 3.3: Nuly a póly aproximovaného systému P 3(s) G (s) P + 3(s) G + (s) nuly póly nuly póly ± j ± j ± j ± j ± j ± j ± j ± j ± j ± j ± j ± j ± j ± j ± j ± j

31 3.4. SROVNÁNÍ ODEZEV NELINEÁRNÍHO A LINEARIZOVANÉHO MODELU Srovnání odezev nelineárního a linearizovaného modelu V předchozí sekci byly představeny dvě konfigurace vodárny, pro každou z nich zvolen pracovní bod a sestavena přenosová matice. Nyní bude ověřena platnost linearizovaného systému v okolí pracovního bodu porovnáním odezev se systémem nelineárním, odezvy by tedy měly být velice podobné. Odezvy na jednotkový skok vstupů(obr. 3.5) minimálně fázového systému z pracovníhobodujsounaobrázku3.6.neminimálněfázovýsystémjenaobr.3.7a3.8.písmenem L v legendě je míněn linearizovaný systém, písmenem N nelineární systém v [V] 3.5 h [cm] v 1 (t) v 2 (t) t [s] L h 1 (t) L h 2 (t) N h 1 (t) N h 2 (t) t [s] Obrázek 3.5: Jednotkové skoky vstupů Obrázek 3.6: Odezvy lineariz. a nelin. systému v [V] 3.5 h [cm] v 1 (t) v 2 (t) t [s] L h 1 (t) L h 2 (t) N h 1 (t) N h 2 (t) t [s] Obrázek 3.7: Jednotkové skoky vstupů Obrázek 3.8: Odezvy lineariz. a nelin. systému Na obr. 3.6 a 3.8 lze pozorovat, že odezvy linearizovaného a nelineárního systému jsou skutečně velmi podobné, nevzdálí-li se příliš od pracovního bodu.

32 18KAPITOLA 3. POPIS MODELU A KONFIGURACÍ ČTYŘVÁLCOVÉ VODÁRNY

33 Kapitola 4 Návrh řízení založený na Nyquistově analýze stability V této kapitole bude představena návrhová metoda decentralizovaného PID regulátoru pro řízení čtyřválcové vodárny, která využívá Nyquistovy analýzy stability. Vzhledem k pomalé dynamice vodárny není nutné navrhovat plnou verzi PID regulátoru, neboť požadavkům řízení plně vyhovuje PI regulátor. Tato metoda patří mezi metody frekvenční a vyznačuje se hned několika přednostmi[7]. Za prvé garantuje celkovou stabilitu zpětnovazebního systému a za druhé není omezena řádem systému ani přítomností dopravního zpoždění. Vyžaduje pouze frekvenční odezvu každého páru vstup-výstup. Metoda bude testována nejen na MP konfiguraci vodárny, pro kterou je ostatně až zbytečně pokročilá, ale zejména na NMP konfiguraci, kde se již velmi významně projevují systémové interakce. Proto je nejprve nutné zjistit oblast stability celkového systému, a poté vhodnou metodou vybrat parametry pro každý PI regulátor. Následně bude ukázána metoda, která kromě zajištění celkové stability umožňuje specifikovat chování systému pomocí ladicího faktoru. 4.1 Zobecněné Nyquistovo kritérium stability pro MIMO systémy Zobecněné Nyquistovo kritérium stability lze obecně použít pro systém s n vstupy, n výstupy a přenosovou maticí G(s), který je zpětnovazebně řízen decentralizovaným PI regu- 19

34 20KAPITOLA 4. NÁVRH ŘÍZENÍ ZALOŽENÝ NA NYQUISTOVĚ ANALÝZE STABILITY látorem K(s). Matici G(s) je nejprve nutné uspořádat tak, aby na hlavní diagonále byly umístěny přenosy párů vstup-výstup, které lze získat např. pomocí matice relativních zesílení(rga). Schéma zpětnovazebního systému T(s) je na obr. 4.1, r(s) e(s) u(s) y(s) + K(s) G(s) Obrázek 4.1: Schéma zapojení s decentralizovaným regulátorem kde a matice decentralizovaného PI regulátoru je g 11 (s)... g 1n (s) G(s)=....., (4.1) g n1 (s)... g nn (s) k 1 (s) K(s)=diag[k 1 (s),...,k n (s)]=., (4.2) k n (s) kde jednotlivé PI regulátory mají přenos k l (s)= k pls+k il s, l=1,...,n. (4.3) Laplaceovy obrazy na obr. 4.1 představují v časové doméně následující vektory signálů: r(t)-reference, e(t)-regulačníodchylka,tj.e(t)=r(t) y(t), u(t)-akčnízásah, y(t)-výstupsystému.

35 4.2. NÁVRH DECENTRALIZOVANÉHO PI REGULÁTORU 21 Matice přenosů zpětnovazebního systému T(s) je definována jako přenos z reference na výstup, tedy kde I značí jednotkovou matici. y(s)=g(s)k(s)[i+g(s)k(s)] 1 r(s), (4.4) }{{} T(s) Diagonálnísubsystém T(s)obsahujepouzepřenosyzhlavnídiagonálysystémuT(s) [ ] gll (s)k l (s) T(s)=diag, l=1,...,n, (4.5) 1+g ll (s)k l (s) podobně G(s)=diag[g 11 (s),...,g nn (s)]. (4.6) Věta4.1([7]):Předpokládejme,žeG(s)a G(s)majístejnýpočetpólůvpravépoloroviněaže T(s)jestabilní.PakpřenosuzavřenésmyčkyT(s)jestabilní,pokud n 1+g ll (jω)k l (jω) > g rl (jω)k l (jω) l,ω. (4.7) r=1,r l Nerovnice(4.7) představuje kritérium sloupcové diagonální dominance a lze ji interpretovat tak[7, 1], že zpětnovazební systém T(s) je stabilní, pokud je jeho diagonální subsystém T(s)stabilníazároveňNyquistovykřivkyotevřenésmyčky g ll (jω)k l (jω)se superponovanými kružnicemi o poloměru n g rl (jω)k l (jω) (4.8) r=1,r l neobkrouží v komplexní rovině kritický bod 1 + 0j. Kružnice o poloměru(4.8) se nazývají Gershgorinovy kružnice a představují velikosti systémových interakcí. 4.2 Návrh decentralizovaného PI regulátoru Nyní bude ukázána metoda návrhu decentralizovaného PI regulátoru pro model čtyřválcové vodárny využívající poznatků z předchozí části(věty 4.1).

36 22KAPITOLA 4. NÁVRH ŘÍZENÍ ZALOŽENÝ NA NYQUISTOVĚ ANALÝZE STABILITY Oblast stability diagonálního subsystému JednímzpředpokladůVěty4.1jestabilitadiagonálníhosubsystému T(s).Prourčení oblastistability,kterouoznačímejako M dl,použijemenyquistovokritérium,neboťse jednáostabilizaci nsisosystémů g ll (s) nregulátory k l (s).tedynyquistovakřivka otevřenésmyčky g ll (jω)k l (jω)nesmívkomplexníroviněobkroužitbod 1+0j. Parametrickýpopishraniceoblastistabilitydiagonálníhosubsystému M dl dostaneme dle[1] postupnou úpravou rovnice G(jω)K(jω) = I, ω, (4.9) tedy g ll (jω)k l (jω)= 1, l,ω. (4.10) Rovnici(4.10) dále upravíme do tvaru ( ) kil +jωkpl (a ll (ω)+jb ll (ω)) = 1, l,ω, (4.11) jω kde a ll (ω)=r{g ll (jω)}ab ll (ω)=i{g ll (jω)}.navíczavedemeoznačenípromodul frekvenčníhopřenosu r ll (ω)= g ll (jω).řešenímrovnice(4.11)jedle[7,1] k pl = a ll(ω) r 2 ll (ω), k il = ω b ll(ω) r 2 ll (ω). (4.12) Hranicioblasti M dl parametrůpiregulátoru,prokteroujediagonálnísubsystém T(s) stabilní,lzezískatpro0 ω <.Příkladtakovétooblasti,kterábylavypočítánapomocí funkce calc_freq_diag.m, je na obr. 4.2.

37 4.2. NÁVRH DECENTRALIZOVANÉHO PI REGULÁTORU M d M d k i k p Obrázek4.2:Hraniceoblastistability M d1 a M d2 pro T(s) Oblast stability celkového systému Kritériumsloupcovédiagonálnídominance(4.7)lzepomocívztahů(4.3)ag ll (jω) = a ll (ω)+jb ll (ω)posériialgebraickýchúpravzískatvetvaru kpl( 2 r 2 ll (ω) Rl 2 (ω)) +kil 2 rll 2(ω) R2 l (ω) ( ) b ll (ω) +2 k ω 2 pl a ll (ω)+k il +1 >0, l,ω, ω (4.13) kde R l (ω)= n r=1,r l g rl (jω). (4.14) Oblaststabilityceléhosystému M cl pro l-týpiregulátordostanemesplněnímnerovnice(4.13)pro0 ω <. Finální oblast zajišťující stabilitu celkového systému získáme podle[7, 1] jako M l = M dl Mcl. (4.15) Výsledná oblast stability byla vypočítána pomocí funkce controllers_region.m, kde jenerovnice(4.13)řešenatak,žejsoupostupněvolenyhodnoty k pl zintervalu,prokteré jediagonálnísubsystémstabilní.provypočtenéhodnotyk il jepotétestovánaplatnostne-

38 24KAPITOLA 4. NÁVRH ŘÍZENÍ ZALOŽENÝ NA NYQUISTOVĚ ANALÝZE STABILITY rovnice(4.13) pro všechny frekvence. Ukázka výsledné oblasti stability celkového systému jenaobr.4.3podmodrýmikřivkami M c1 M c2 0.3 M d1 0.3 M d k i1 k i k p k p2 Obrázek 4.3: Výsledné oblasti stability celého systému Výběr parametrů PI regulátoru Ze vztahu 4.15 jsme sice získali oblast parametrů, pro které je celkový systém T(s) stabilní,nicménězůstáváotázkou,kteroudvojiciparametrů(k pl,k il )apodlejakéhokritéria z celé oblasti vybrat. Jednouzmožnýchmetodjemetodapoužitáv[1,3].Uvažujmehodnotyparametru k il jakofunkciproměnné k pl,tedy k il = f(k pl ).Paktatometodavyberehodnotyparametrů k pl = argmax k pl f(k pl ), k il = max k pl f(k pl ). (4.16) Tatometodatedyvyberemaximimálníhodnotu k il ajípříslušnouhodnotu k pl,což poskytuje velmi dobré výsledky při řízení[1, 3]. Další metoda výběru parametrů např. vychází z návrhu PI regulátoru metodou Zieglera-Nicholse[1], kterou se ale zabývat nebudeme. Použijeme metodu, která vychází z výběru(4.16), pouze bude mírně modifikována. Uvažujmepřípad,kdy f(k pl )budenasvémcelémdefiničnímoboru 0,k plmax nerostoucí či dokonce klesající funkcí. Pak by bylo nanejvýš nevhodné, pokud by výběr proběhl striktněpodle(4.16),neboťbybylapravděpodobněvybránadvojice(0,k ilmax ),tedy

39 4.3. NÁVRH PI REGULÁTORU POMOCÍ LADICÍHO FAKTORU 25 s nulovou proporcionální složkou PI regulátoru. V tomto případě provedeme výběr následujícím způsobem. Jestližeje f(k pl )nacelém 0,k plmax nerostoucí,potom k pl = argmax k pl (k pl f(k pl )), k il = 1 k pl max k pl (k pl f(k pl )). (4.17) Tedyjevybránatakovádvojice(k pl,k il ),prokteroujejejichsoučinmaximálníze všech dvojic. Výběr dvojice realizuje funkce selecting_kp_ki.m. 4.3 Návrh PI regulátoru pomocí ladicího faktoru V předchozí části bylo ukázáno, jak najít oblast parametrů PI regulátoru zajišťující celkovou stabilitu systému. Podmínkou bylo, aby Gershgorinovy kružnice superponované na Nyquistovu křivku neobkroužily v komplexní rovině bod 1 + 0j. Nyní bude tato podmínka upravena tak, aby Gershgorinovy kružnice neobkroužily kružnici o poloměru Q se středem v bodě 1 + 0j. Volbou velikosti poloměru Q lze tedy specifikovat požadavky řízení. Kritérium sloupcové diagonální dominance(4.7) je nyní ve tvaru n 1+g ll (jω)k l (jω) Q > g rl (jω)k l (jω) l,ω. (4.18) r=1,r l Nerovnici(4.18) lze po sérii algebraických úprav převést do tvaru[3] kpl( 2 r 2 ll (ω) Rl(ω) ) 2 +kil 2 rll 2(ω) R2 l (ω) +2 ω QR l (ω) k 2 pl + k2 il ω 2 Q2 >0, l,ω. ( ) b ll (ω) k pl a ll (ω)+k il ω (4.19) Jako zpětnou kontrolu správnosti výpočtu a návrhu si lze nechat vykreslit Gershgorinovy kružnice pomocí funkce gersh_band.m, příklad je na obr. 4.4.

40 26KAPITOLA 4. NÁVRH ŘÍZENÍ ZALOŽENÝ NA NYQUISTOVĚ ANALÝZE STABILITY Nyquistova krivka Gershgorinovy kruznice 1 + 0j Q = Im Re Obrázek 4.4: Nyquistova křivka se superponovanými Gershgorinovými kružnicemi Nyní bude tato metoda aplikována při návrhu decentralizovaného PI regulátoru pro dvě různé konfigurace čtyřválcové vodárny, a to s minimální a neminimální fází Minimálně fázový systém NejprvejenutnéuspořádatmaticipřenosůG (s)tak,abynahlavnídiagonálebyly nejvhodnější páry vstup-výstup pro řízení regulační smyčky. Páry určíme pomocí matice RGAproustálenýstav[1],tedy s=0. [ ] RGA =G (0) G (0) T = (4.20) Zmatice(4.20)vyplývápodle(2.11),ženejvhodnějšímipárybudou(u 1 y 1 )a(u 2 y 2 ).SimulinkovéschémazapojenídecentralizovanéhoPIregulátorujenaobr.4.5.

41 4.3. NÁVRH PI REGULÁTORU POMOCÍ LADICÍHO FAKTORU 27 Obrázek 4.5: Simulinkové schéma zapojení pro řízení MP systému Vypočítané oblasti stability pro různé poloměry Q jsou na obr. 4.6, kde PI regulátor 1 regulujepár(u 1 y 1 )apiregulátor2pár(u 2 y 2 ).VybranéhodnotyparametrůPI regulátoru podle(4.16) a(4.17) jsou označeny černým kroužkem [k p1, k i1 ] Q = 0 Q = 0.2 Q = 0.4 Q = 0.6 M d [k p2, k i2 ] Q = 0 Q = 0.2 Q = 0.4 Q = 0.6 M d k i1 k i k p k p2 (a)pireg.1 (b)pireg.2 Obrázek 4.6: Oblasti stabilních parametrů v závislosti na faktoru Q Přesnéhodnotyvybranýchparametrů(k pl,k il )jsouuvedenyvtabulce4.1. Tabulka 4.1: Parametry PI regulátorů pro různé poloměry Q Q k p1 k i1 k p2 k i

42 28KAPITOLA 4. NÁVRH ŘÍZENÍ ZALOŽENÝ NA NYQUISTOVĚ ANALÝZE STABILITY Odezvy na jednotkový skok reference z pracovního bodu, viz obr. 4.7, pro vypočtené PI regulátory jsou na obr Na obrázku 4.9 jsou vykresleny akční zásahy r 1 [cm] r 2 [cm] t [s] t [s] Obrázek4.7:Referenčníhodnoty r 1 a r Q = 0 Q = 0.2 Q = 0.4 Q = Q = 0 Q = 0.2 Q = 0.4 Q = h 1 [cm] 16 h 2 [cm] t [s] t [s] Obrázek 4.8: Odezvy MP systému na skok reference v závislosti na parametru Q

43 4.3. NÁVRH PI REGULÁTORU POMOCÍ LADICÍHO FAKTORU Q = 0 Q = 0.2 Q = 0.4 Q = Q = 0 Q = 0.2 Q = 0.4 Q = v 1 [V] 4 3 v 2 [V] t [s] t [s] Obrázek 4.9: Akční zásahy v závislosti na parametru Q Vtabulce4.2jsouuvedenyprocentuálnípřekmity OS l adobyustálení T sl vzávislosti na parametru Q. Tabulka 4.2: Překmity a doby ustálení regulovaných veličin h 1 h 2 Q OS 1 [%] T s1 [s] OS 2 [%] T s2 [s] Zobrázku4.8atabulky4.2lzevyvodit,žepronižšíhodnotyparametru Qjeregulátor příliš agresivní a dochází k velkému překmitu a době ustálení. Naopak např. pro hodnotu Q=0.6jeřízenísystémujižvelmipřijatelné,neboťdocházíjenkmalémupřekmitu žádané hodnoty a ustálení probíhá také vcelku rychle. Pro kontrolu návrhu a stability celého systému jsou na obrázcích 4.10 a 4.11 vykresleny Gershgorinovykružnicepro Q=0.2apro Q=0.6.

44 30KAPITOLA 4. NÁVRH ŘÍZENÍ ZALOŽENÝ NA NYQUISTOVĚ ANALÝZE STABILITY Im 0.5 Im Nyquistova krivka Gershgorinovy kruznice 1 + 0j Q = Nyquistova krivka Gershgorinovy kruznice 1 + 0j Q = Re Re (a)pireg.1 (b)pireg.2 Obrázek 4.10: Gershgorinovy kružnice pro Q = 0.2 Im Im Nyquistova krivka Gershgorinovy kruznice 1 + 0j Q = Re Nyquistova krivka Gershgorinovy kruznice 1 + 0j Q = Re (a)pireg.1 (b)pireg.2 Obrázek 4.11: Gershgorinovy kružnice pro Q = Neminimálně fázový systém Tato konfigurace vodárny s jednou dominantní NMP nulou je pro řízení mnohem obtížnější, neboť zde již probíhají velké systémové interakce, a tudíž jsou také oblasti stability mnohem menší než u MP systému. Nejprve je opět nutné určit nejvhodnější páry(vstupvýstup)[7]pomocímatice RGAproustálenýstav(s=0). [ ] RGA + =G + (0) G + (0) T = (4.21)

45 4.3. NÁVRH PI REGULÁTORU POMOCÍ LADICÍHO FAKTORU 31 Z matice(4.21) a(2.11) vyplývá narozdíl od MP systému, že nejvhodnějšími páry budou(u 2 y 1 )a(u 1 y 2 ).Protomusíbýtakčnízásahyvsimulinkovémschématuna obr vedeny křižně. Obrázek 4.12: Simulinkové schéma zapojení pro řízení NMP systému ZároveňmusíbýtpřenosovámaticeG + (s)upravenaprodalšívýpočtypodlenalezeného párování do tvaru [ g + G + (s)= 12 (s) g 11 + (s) ] = g 22(s) + g 21(s) e 8s ( s)( s) e 6s s e 5s s e 10s ( s)( s). (4.22) Vypočítané oblasti stability pro zvolené poloměry Q jsou na obr. 4.13, vybrané hodnoty parametrů PI regulátoru podle(4.16) a(4.17) jsou opět označeny černým kroužkem, zvětšené výřezy oblasti stability jsou na obr [k p1, k i1 ] Q = 0 Q = 0.1 Q = 0.35 Q = 0.5 M d [k p2, k i2 ] Q = 0 Q = 0.1 Q = 0.35 Q = 0.5 M d k i k i k p1 k p2 (a)pireg.1 (b)pireg.2 Obrázek 4.13: Oblasti stabilních parametrů v závislosti na faktoru Q

46 32KAPITOLA 4. NÁVRH ŘÍZENÍ ZALOŽENÝ NA NYQUISTOVĚ ANALÝZE STABILITY x 10 3 x [k p1, k i1 ] Q = 0 Q = 0.1 Q = 0.35 Q = 0.5 M d [k p2, k i2 ] Q = 0 Q = 0.1 Q = 0.35 Q = 0.5 M d2 k i1 4 k i k p k p2 (a)pireg.1 (b)pireg.2 Obrázek 4.14: Výřez oblasti stabilních parametrů v závislosti na faktoru Q Vtabulce4.3jsouopětuvedenypřesnéhodnotyvybranýchparametrů(k pl,k il ). Tabulka 4.3: Parametry PI regulátorů pro různé poloměry Q Q k p1 k i1 k p2 k i Na obr jsou vykresleny odezvy na jednotkový skok reference z pracovního bodu (obr. 4.15) v závislosti na faktoru Q. Akční zásahy jsou vykresleny na obrázku r 1 [cm] r 2 [cm] t [s] t [s] Obrázek4.15:Referenčníhodnoty r 1 a r 2

47 4.3. NÁVRH PI REGULÁTORU POMOCÍ LADICÍHO FAKTORU Q = 0 Q = 0.1 Q = 0.35 Q = Q = 0 Q = 0.1 Q = 0.35 Q = h 1 [cm] 13.6 h 2 [cm] t [s] t [s] Obrázek 4.16: Odezvy NMP systému na skok reference v závislosti na parametru Q Q = 0 Q = 0.1 Q = 0.35 Q = Q = 0 Q = 0.1 Q = 0.35 Q = v 1 [V] v 2 [V] t [s] t [s] Obrázek 4.17: Akční zásahy v závislosti na parametru Q Tabulka 4.4: Překmity a doby ustálení regulovaných veličin h 1 h 2 Q OS 1 [%] T s1 [s] OS 2 [%] T s2 [s]

48 34KAPITOLA 4. NÁVRH ŘÍZENÍ ZALOŽENÝ NA NYQUISTOVĚ ANALÝZE STABILITY Ztabulky4.4lzesnadnovypozorovat,žedobyustáleníjsouomnohodelšínežuMP konfigurace vodárny. To samozřejmě není překvapující, neboť již na obr je vidět, jak malé jsou oblasti stability parametrů PI regulátorů. Nelze tedy nasadit tak rychlé regulátory jako u MP konfigurace, neboť by došlo k destabilizaci celého systému. Z tabulky 4.4 také plyne, že nejlepší výsledky poskytoval PI regulátor navržený pro ladicí faktor Q=0.35. Na obrázcích 4.18 a 4.19 jsou pro ověření návrhu a stability celého systému vykresleny Gershgorinovykružnicepro Q=0apro Q= Im 0.5 Im Nyquistova krivka Gershgorinovy kruznice 1 + 0j Q = Nyquistova krivka Gershgorinovy kruznice 1 + 0j Q = Re Re (a)pireg.1 (b)pireg.2 Obrázek 4.18: Gershgorinovy kružnice pro Q = Im 0.4 Im Nyquistova krivka Gershgorinovy kruznice 1 + 0j Q = Nyquistova krivka Gershgorinovy kruznice 1 + 0j Q = Re Re (a)pireg.1 (b)pireg.2 Obrázek 4.19: Gershgorinovy kružnice pro Q = 0.35

49 4.4. SHRNUTÍ DOSAŽENÝCH VÝSLEDKŮ Shrnutí dosažených výsledků V této kapitole byla úspěšně otestována metoda návrhu založená na Nyquistově analýze stability na dvou různých konfiguracích modelu čtyřválcové vodárny. Výběr parametrů PI regulátoru byl proveden pomocí maxima citlivostní funkce a metoda byla dále rozšířena o ladicí faktor, pomocí něhož lze lépe naplnit požadavky regulace. Zvýsledkůregulaceprorůznéfaktory Qvyplývá,žesjehozvyšujícísehodnotouse přirozeně zmenšují oblasti stabilních parametrů PI regulátoru a systém je regulován méně agresivněji, tj. pouze s malým překmitem žádané hodnoty a samozřejmě o to pomalejší dobou náběhu.

50 36KAPITOLA 4. NÁVRH ŘÍZENÍ ZALOŽENÝ NA NYQUISTOVĚ ANALÝZE STABILITY

51 Kapitola 5 Porovnání výsledků s návrhem pomocí RGA V kapitole 4 byla představena a použita metoda návrhu decentralizovaného PI regulátoru s využitím Nyquistova kritéria stability. Cílem této kapitoly je porovnat dosažené výsledky s jinou standardně používanou metodou. K tomuto účelu byla vybrána hojně používaná metoda návrhu pomocí matice relativních zesílení RGA(Relative Gain Array) s následným využitím metody umístění pólů. 5.1 Porovnání výsledků pro MP systém Zmatice RGAproMPsystém(4.20)vyplývajíjakonejvhodnějšípáryprořízení(u 1 y 1 ) a(u 2 y 2 ).Schémazapojeníregulátorůasoustavyjeshodnéjakonaobr.4.5.Propřenosy g 11 (s) = g 22 (s) = s , s , (5.1) bude použita SISO metoda návrhu pomocí umístění pólů charakteristického polynomu uzavřené smyčky s tím, že neuvažujeme dopravní zpoždění systému. 37

52 38 KAPITOLA 5. POROVNÁNÍ VÝSLEDKŮ S NÁVRHEM POMOCÍ RGA Návrh metodou umístění pólů Přenosy(5.1)jsouprvníhořádualzejepsátvobecnémtvaru g ll (s)= K s+p = b(s) a(s). (5.2) Pro řízení použijeme opět PI regulátory, jejichž přenos je ve tvaru k l (s)=k p + k i s = k ps+k i s = q(s) p(s). (5.3) Charakteristický polynom uzavřené smyčky je roven levé straně rovnice a(s)p(s) + b(s)q(s) = c(s), (5.4) kde polynom c(s) na pravé straně je char. polynom 2. stupně, který požadujeme. Poměrnétlumení ζapřirozenáfrekvence ω n jsourovny c(s)=s 2 +2ζω n s+ω 2 n (5.5) ln(os/100) ζ= π2 +ln 2 (OS/100), ω. n= 4. (5.6) ζt s Vevztazích (5.6)představuje OS[%]procentuální překmit a T s [s]dobuustálení. Vztahy(5.2),(5.3) a(5.5) dosadíme do rovnice(5.4) s 2 +(p+kk p )s+kk i = s 2 +2ζω n s+ω 2 n (5.7) a porovnáním koeficientů u příslušných mocnin obdržíme parametry PI regulátoru k p = 2ζω n p K, k i = ω2 n K. (5.8) Prozvolenéhodnoty OS 1 = OS 2 =3%, T s1 =80saT s2 =130sjsouvtabulce5.1 uvedeny vypočtené konstanty PI regulátorů. Tabulka 5.1: Konstanty PI regulátorů pro MP systém regulátor k p k i k k Vypočtené PI regulátory byly otestovány při simulaci na skokové změny reference. Zároveň byly výsledky porovnány s regulátory navrženými pomocí Nyquistovy analýzy

53 5.1. POROVNÁNÍ VÝSLEDKŮ PRO MP SYSTÉM 39 stability v předchozí kapitole. Vybrán byl regulátor s nejlepšími výsledky, tedy navržený proladicífaktor Q=0.6. Porovnání simulačních výsledků realizuje skript confront_nyq_rga.m. Srovnání průběhůregulovanýchveličinjenaobr.5.1,naobr.5.2jesrovnáníakčníchzásahů.vtabulce 5.2 je poté porovnání překmitu a doby ustálení mezi oběma návrhovými metodami r 2 (t) h 2 (t) RGA h 2 (t) Nyquist: Q = 0.6 h 1 [cm] h 2 [cm] r 1 (t) h 1 (t) RGA h 1 (t) Nyquist: Q = t [s] t [s] (a)řízenívýškyhladiny h 1 (b)řízenívýškyhladiny h 2 Obrázek 5.1: Porovnání regulace různě navrženými regulátory v 1 (t) RGA v 1 (t) Nyquist: Q = v 2 (t) RGA v 2 (t) Nyquist: Q = v 1 [V] v 2 [V] t [s] t [s] (a) Akční zásahy čerpadla 1 (b) Akční zásahy čerpadla 2 Obrázek 5.2: Porovnání akčních zásahů různě navržených regulátorů

54 40 KAPITOLA 5. POROVNÁNÍ VÝSLEDKŮ S NÁVRHEM POMOCÍ RGA Tabulka 5.2: Srovnání různých metod návrhu regulátoru pro MP systém h 1 h 2 metoda OS 1 [%] T s1 [s] OS 2 [%] T s2 [s] Nyquist RGA Ze srovnání vyplývá, že výsledky obou metod jsou velice podobné, nicméně mírně lepších výsledků dosáhla metoda založená na Nyquistově analýze stability. 5.2 Porovnání výsledků pro NMP systém Z matice RGA pro NMP systém(4.21) vyplývají tentokrát jako nejvhodnější páry pro řízení(u 1 y 2 )a(u 2 y 1 ).Schémazapojeníregulátorůasoustavyjeshodnéstímna obr Opět bude použita SISO metoda návrhu pomocí umístění pólů charakteristického polynomu uzavřené smyčky pro přenosy g 12 (s) = g 21 (s) = s s+1, s s+1, (5.9) kde neuvažujeme dopravní zpoždění Návrh metodou umístění pólů Přenosy(5.9) jsou již druhého řádu, tj. v obecném tvaru g rl (s)= K (s+p 1 )(s+p 2 ) = b(s) a(s). (5.10) Opět navrhujeme PI regulátory, jejichž obecný přenos zůstává stejný jako ve vztahu(5.3). Rovnice(5.4) také zůstává stejná, avšak charakteristický polynom c(s), který požadujeme, jejiž3.stupně c(s)=(s+αω n )(s 2 +2ζω n s+ωn 2 ). (5.11)

55 5.2. POROVNÁNÍ VÝSLEDKŮ PRO NMP SYSTÉM 41 Vztahy(5.10),(5.3) a(5.11) opět dosadíme do rovnice(5.4) a podle[8] získáme rovnici s 3 +(p 1 +p 2 )s 2 +(p 1 p 2 +Kk p )s+kk i = s 3 +(αω n +2ζω n )s 2 +(α2ζω 2 n+ω 2 n)s+αω 3 n.(5.12) Porovnáním koeficientů u příslušných mocnin obdržíme parametry PI regulátoru a parametr ω n ω n = p 1+p 2 α+2ζ, k p= α2ζω2 n+ωn 2 p 1 p 2, k i = αω3 n K K. (5.13) V tabulce 5.3 jsou uvedeny vypočtené konstanty PI regulátorů pro zvolené hodnoty OS 1 = OS 2 =5%aα=1. Tabulka 5.3: Konstanty PI regulátorů pro NMP systém regulátor k p k i k k Vypočtené PI regulátory byly opět otestovány při simulaci na skokové změny reference. Výsledky byly rovněž porovnány s regulátory navrženými pomocí Nyquistovy analýzy stability z předchozí kapitoly, kde byl vybrán regulátor s nejlepšími výsledky (Q=0.35).Srovnáníprůběhůregulovanýchveličinjenaobr.5.3,naobr.5.4jesrovnání akčních zásahů a konečně v tabulce 5.4 je porovnání překmitu a doby ustálení mezi oběma návrhovými metodami r 2 (t) h 2 (t) RGA h 2 (t) Nyquist: Q = 0.35 h 1 [cm] h 2 [cm] r 1 (t) h 1 (t) RGA h 1 (t) Nyquist: Q = t [s] t [s] (a)řízenívýškyhladiny h 1 (b)řízenívýškyhladiny h 2 Obrázek 5.3: Porovnání regulace NMP systému různě navrženými regulátory

56 42 KAPITOLA 5. POROVNÁNÍ VÝSLEDKŮ S NÁVRHEM POMOCÍ RGA 3.15 v 1 (t) RGA 3.5 v 2 (t) RGA 3.1 v 1 (t) Nyquist: Q = v 2 (t) Nyquist: Q = v 1 [V] 2.95 v 2 [V] t [s] t [s] (a) Akční zásahy čerpadla 1 (b) Akční zásahy čerpadla 2 Obrázek 5.4: Porovnání akčních NMP systému zásahů různě navržených regulátorů Tabulka 5.4: Srovnání různých metod návrhu regulátoru pro NMP systém h 1 h 2 metoda OS 1 [%] T s1 [s] OS 2 [%] T s2 [s] Nyquist RGA Ze srovnání návrhových metod pro NMP systém plyne, že lepších výsledků(nulového překmitu a poměrně krátké doby ustálení) dosahovala metoda založená na Nyquistově analýze stability.

57 Kapitola 6 Závěr V kapitole 2 byly uvedeny základní vlastnosti MIMO systémů a také vytvořen přehled algoritmů pro návrh PID regulátorů pro tyto systémy. V kapitole 3 byl představen model čtyřválcové vodárny se zpožděním a jeho matematický popis pomocí nelineárních diferenciálních rovnic. Systém byl linearizován v pracovním bodě a byl proveden rozbor vlivu konfigurace ventilů na umístění nul systému. Vhodným nastavením ventilů byly získány dvě odlišné konfigurace modelu. Minimálně fázový systém, který je snazší pro řízení, a neminimálně fázový systém, který je již mnohem obtížněji řiditelný. Platnost linearizovaného modelu v okolí pracovního bodu byla ověřena porovnáním odezev s modelem nelineárním. V kapitole 4 byla popsána frekvenční metoda návrhu decentralizovaného PI regulátoru založená na Nyquistově analýze stability. Byly vypočteny oblasti stabilních parametrů a podle daného kritéria vybrány nejvhodnější parametry. Dále byla metoda rozšířena o ladicí faktor, který reprezentuje vzdálenost regulovaného systému od oblasti nestability. Vykreslením Gershgorinových kružnic byla ověřena správnost návrhu. Následně byly pro různé hodnoty ladicího faktoru simulovány regulace výšek hladin pro minimálně a neminimálně fázovou konfiguraci vodárny. V tabulkách byly uvedeny hodnoty charakteristických veličin regulace(procentuální překmit a doba ustálení). V poslední kapitole byl proveden návrh decentralizovaného PI regulátoru pomocí standardně používané metody RGA. Výsledky této metody a frekvenční metody z předchozí kapitoly byly porovnány při simulacích. Opět byly porovnány překmity a doby ustálení. Z porovnání vyplývá, že lepších výsledků(menšího překmitu a doby ustálení) dosahovala metoda založená na Nyquistově analýze stability a maximu citlivostní funkce. Výraznější rozdíl se projevil u NMP konfigurace vodárny. Je ale potřeba zmínit, že frekvenční metoda garantuje celkovou stabilitu a navíc umožňuje poměrně dobré ladění pomocí faktoru Q. 43