Příklady k přednášce 8 - Geometrické místo kořenů aneb Root Locus

Transkript

1 Příklady k přednášce 8 - Geometrické místo kořenů aneb Root Locus Michael Šebek Automatické řízení

2 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Pro bod na RL platí (pro nějaké K>0) KL( s) = (k + 1) 180 Příklad: Úhel bodu na RL vzhledem k nulám a pólům = lichý násobek 180 = úhlů od nul - úhlů od pólů Ls () ( s+ 3)( s+ 4) = ( s+ 1)( s+ ) Bod v= + 3j neleží na RL Ls () = β3 + β4 β1 β = ( v+ 3) + ( v+ 4) ( v+ 1) ( v+ ) = Bod r = + j může ležet na RL Ls () = α3+ α4 α1 α = ( r+ 3) + ( r+ 4) ( r+ 1) ( r+ ) = = KL() s = 0 KL() s = 1 Ls ( ) = (k+ 1) 180 r = + j β α α 3 v= + 3j β α β 1 1 α β j j3 Michael Šebek Pr-ARI

3 Vzdálenost bodu na RL od nul a pólů Automatické řízení - Kybernetika a robotika Pro bod na RL platí (pro nějaké K > 0) 1 + KL() s = 0 KL() s = 1 K = 1 Ls () = ( vzdáleností od pólů) / ( vzdáleností od nul) Nelze to použít k testu, ale když už víte, že bod leží na RL, můžete tak zjistit příslušné zesílení Příklad K ( s+ 3)( s+ 4) Ls () = ( s+ 1)( s+ ) 1 1 LL 1 = = r+ r+ = = Ls () r + 3 r + 4 LL 3 4 r = + j j 6 = = L4 L 3 L L 1 Michael Šebek Pr-ARI

4 Pravidla 1 a pro kladný RL - Počet větví a symetrie Automatické řízení - Kybernetika a robotika Pravidlo 1 (Počet větví) je celkem zřejmé: každý CL pól se pohybuje se změnou K po své větvi RL. Pravidlo (Symetrie) je také zřejmé: Polynom s reálnými koeficienty má kořeny buď reálné anebo v komplexně sdružených dvojicích, tedy vždy rozloženy symetricky podle reálné osy. Graf RL je tvořen kořeny CL, který má reálné koeficienty. Proto je RL symetrický. A to pro každé jednotlivé K! Příklad Ls () = 1 s s ( + 10) p s = s + s+ K cl ( ) 10 K = 0 K = 0 K = 5 K = 50 s1, = 5 ± 5 K K = 50 Michael Šebek Pr-ARI

5 Pravidlo 3 Segmenty na reálné ose Automatické řízení - Kybernetika a robotika Ani tohle není obtížné: Abychom zjistili, zda body P i na reálné ose mohou ležet na RL, sečteme u každého úhly k OL nulám a pólům. Zřejmě platí: Příspěvek úhlů od komplexně sdružené dvojice je vždy 0 Příspěvek úhlů od reálných OL nul/pólů ležících nalevo od P i je vždy 0 Vliv mají jen OL nuly/póly ležící napravo od P i : každý přispívá +/-180º Jejich celkový příspěvek je 0º, pokud jich je sudý počet. Naopak jejich celkový příspěvek je lichý násobek 180º, pokud jich je lichý počet P 4 P 3 jω P 0 P 1 ϕ ϕ 180 σ Příklad ( s+ 3)( s+ 4) RL pro Ls () = ( s+ 1)( s+ ) má reálné segmenty Michael Šebek Pr-ARI

6 Pravidlo 4 Počáteční a koncové body Automatické řízení - Kybernetika a robotika m m 1 Přesněji řečeno Pravidlo 4 zní: Je-li bs m + bm 1s + Ls () = n n 1 s + an 1s + n větví grafu RL začíná (pro K = 0) v n konečných pólech OL a m větví grafu RL končí (pro K = ) v m konečných nulách OL., tak pokud má OL nuly v nekonečnu, tak n m > 0 větví RL končí (pro K = ) v nekonečnu (v těch nekonečných nulách) pokud by OL měla póly v nekonečnu, tak m n > 0 větví RL začíná (pro K = 0) v nekonečnu (v těch nekonečných pólech) Důkaz Pro K = 0, pak je CL charakteristický polynom cl = + = rovný OL charakteristickému polynomu, tedy n větví opravdu začíná v konečných OL pólech p () s as () Kbs () as () Při zkoumání nekonečných pólů vyjdeme z CL přenosu děleného K, což nezmění polohu nul a pólů. Protože je limt K = lim L ( 1 + KL) = L( s), K 0 K 0 i nekonečné CL póly = nekonečné OL póly Michael Šebek Pr-ARI

7 Pravidlo 4 Počáteční a koncové body Automatické řízení - Kybernetika a robotika Pokračujme v důkazu pro K = : Pro body na RL (!) platí a z toho K K a tedy je bod s bodem RL pro K =, právě když je nulou (konečnou či nekonečnou) OL přenosu. Vraťme se k minulému příkladu s přenosem Podle pravidla 3 už víme, že RL má reálné segmenty Teď nově víme, že větve vycházejí z OL pólů -1 a -, blíží se k sobě po reálné ose, někde mezi -1 a - se setkají, osu symetricky opustí a nějak se na ní někde mezi -3 a -4 vrátí pak po reálné ose pokračují od sebe a skončí v -3 a -4 Ls () = 1 K lim Ls ( ) = lim 1 K= 0 Ls () ( s+ 3)( s+ 4) = ( s+ 1)( s+ ) Ještě ale nevíme, kde přesně reálnou osu opustí a kde se na ni vrátí QED Michael Šebek Pr-ARI

8 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Nejprve probereme RL tzv. asymptotického systému začíná v bodě σ a má n-m přímkových větví jdoucích do nekonečna σ =, n m= σ =, n m= Důkaz pravidla 5 naznačíme: z bodu RL velmi daleko od OL nul a pólů (pro velké s) vypadají všechny konečné OL nuly a póly, jako by byly stejné a reálné vliv každé nuly se vyruší vlivem nějakého pólu, takže v tom bodě nakonec leží n - m pólů tedy se pro velké s Evansova rovnice zjednoduší na Evansovu rovnici asymptotického systému Pravidlo 5 Chování v nekonečnu: σ =, n m= 3 tedy pro velké K se n-m kořenů blíží větvím RL asymptotického systému 180 Michael Šebek Pr-ARI Ls () = n m ( s σ ) n m p () s = ( s σ ) + K cl σ =, n m= σ =, n m=

9 Pravidlo 5 Chování v nekonečnu: Automatické řízení - Kybernetika a robotika Nyní vypočteme σ : n n pro 1 platí známý vztah s + a n 1s + + a0 = ( s p1)( s p) ( s pn) a = n 1 pi b = m 1 zi c( s) = s + a n 1s + + a0 + K( 1 0) = ( s r1)( s r) ( s rn) m r = p cn 1 = an 1+ Kbn 1 = ri m m 1 podobně pro s + bm 1s + + b0 = ( s z1)( s z) ( s zm) platí n n 1 m m 1 a pro s + b s + + b je-li m< n 1, tak i a střed (součet) CL pólů se nemění s K a je vždy reálný i Příklad: 4 konečné póly, 1 kon. a 3 nekon. nuly 3 větve RL vedou do nekon. ( s + 3) Ls () = ss ( + 1)( s+ )( s+ 4) průsečík asymptot (0 1 4) ( 3) 4 σ a = = úhly s reálnou osou (k + 1) π θa = = π 3 = 0, π = 1, = 5π 3 = 3 ( k ) ( k ) ( k ) Michael Šebek Pr-ARI

10 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Pravidlo 6 Body rozpojení a spojení na reálné ose Protože K= 1 Ls (), jsou body rozpojení a spojení lokální maxima a lokální minima funkce K = 1 L( σ ) na reálné ose Najdeme je pomocí nulových bodů derivace dk 1 = dσ L( σ ) Alternativně je můžeme vypočítat řešením rovnice m 1 n 1 = 1 1 σ z σ p i protože ale tyto rovnice obvykle bez počítače nevyřešíme, můžeme si raději rovnou Matlabem nechat vykreslit celý RL i Michael Šebek Pr-ARI

11 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Analýza stability zpětnovazebního systému Určení rozsahu zesílení K > 0, aby zpětnovazební systém se zápornou zpětnou vazbou byl stabilní 40 LL ss = KKKK ss = KK (ss 1)(ss + 4)(ss + 10) Přenos otevřené smyčky roznásobíme 40 LL ss = KKKK ss = KK ss ss + 6ss 40 Póly přenosu zpětnovazebního systému pro KK cc ss = ss ss + 6ss KK = 0 Póly na mezi stability mají nulovou reálnou část. Velikost imaginární části dostaneme dosazením s = jω do předchozího vztahu. Řešení má dvě části: Im: ω 3 + 6ω = 0 ω 1 = 0 ; ω = 6 dosadíme do reálné části Re: 13ω KK = 0 KK 1 = 1; KK = = 9,45 Zpětnovazební systém je stabilní pro KK 1 ; 9,45. Michael Šebek Pr-ARI

12 Příklady úplného RL Automatické řízení - Kybernetika a robotika Ls () = ( s+ 1)( s ) n m= ss ( 1)( s+ ) (( s+ 1) + 1) 6 = 4> 0 θa-pos = (k+ 1) π 4, k = 0, ± 1, = π 4,3π 4, π 4, 3π 4 θ a-neg = kπ 4, k = 0, ± 1, = 0, π, π, π Ls () = ( s+ 1)( s 1)( s ) n m= = 1> 0 ( s ) (( s 1) 1) θ a-pos = (k+ 1) π, k = 0 = π θa-neg = kπ, k = 0 = 0 Michael Šebek Pr-ARI

13 Příklady úplného RL Automatické řízení - Kybernetika a robotika Pro přenos ryzí ale ne striktně je situace s asymptotami složitější Vždy jsou dvě reálné asymptoty, ale mohou být i další, na rozdíl od kladného RL Ls () = 3 s s s 3 s s s Ls () = 3 s s s 3 s s s s + s + s+ 1 Ls () = 3 s + s + s+ Michael Šebek Pr-ARI

14 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Systém pro řízení výšky hladiny má v pracovním bodě přenos 100 G( s) = 0 s+ 1 s+ 5 s+ 0 ( )( )( ) Požadujeme nulovou regulační odchylku na skok reference v ustáleném stavu To splní např. regulátor s dynamikou PI ki kp D( s) = k + P ( s I ) s = s +ω kde ωω II představuje integrační nulu Integrační pól přidáme k systému 100 G( s) = s( s+ 1)( s+ 5)( s+ 0) Vykreslíme RL pro tento systém Matlabem >> gi=zpk([],[ ],100) >> rlocus(gi) později použijeme >> rltool(gi) Dynamická kompenzace PI Michael Šebek Pr-ARI Imaginary Axis Root Locus Real Axis

15 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Zobrazený RL odpovídá čistému I regulátoru, který je velmi pomalý, jak plyne z pozice dominantních pólů Pokud zobrazíme RL pomocí nástroje rltool můžeme volit preference návrhu: Na obrázku je vyznačen požadavek, že poměrné tlumení je větší než Volitelnou nulu PI regulátoru umístíme za první dva póly zprava, abychom dosáhli co nejrychlejší odezvy co největší reálné části dominantních pólů. Snažíme se je umístit do vertikálního proužku změnou pozice nuly a zesílení (trochu praxe) Navržený přenos kompenzátoru D s = s 1.33 s = s + ( ) ( ) Dynamická kompenzace PI Michael Šebek Pr-ARI

16 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Jiné použití RL: návrh ABS pro auto brzdná soustava automobilu můžeme mít přenos (z akčního zásahu na prokluz) 1 Gs () = k [ kmin, kmax ] ( s+ k)( s+ 1) kde neurčitý parametr k může nabývat v závislosti na stavu vozovky a pneumatik všech možných hodnot z daného intervalu při návrhu ABS jsme pro nominální hodnotu k = 1 zrychlili odezvu pomocí PD regulátoru s přenosem Ds ( ) = ( s+ 0.9) výsledný ZV systém má charakteristický 1 s ( s+ k)( s+ 1) polynom uzavřené smyčky je psk (, ) = ( s+ k)( s+ 1) + ( s+ 0.9) ( s s 0.9) k( s 1) = Jeho stabilitu pro různá k můžeme zkoumat pomocí RL fiktivního systému k s s s+ 0.9 Michael Šebek Pr-ARI

17 Orlando Automatické řízení - Kybernetika a robotika pro stabilní polynom je Hurwitzova matice nesingulární >> p=(s+1)*(s+)*(s+3)*(s+4) p = s + 35s^ + 10s^3 + s^4 >> Hp=hurwitz(p) Hp = >> rank(hp) ans = 4 jsou-li dva kořeny položeny symetricky podle imaginární osy je Hurwitzova matice také singulární to je při detekci meze stability artefakt nelíbí se nám to, ale poradíme si je-li kořen na imaginární ose, je Hurwitzova matice singulární >> q=s*(s+)*(s+3)*(s+4) q = 4s + 6s^ + 9s^3 + s^4 >> Hq=hurwitz(q) Hq = >> rank(hq) ans = 3 >> r=(s+1)*(s-1)*(s+3)*(s+4) r = -1-7s+11s^+7s^3+s^4 >> Hr=hurwitz(r) Hr = >> rank(hr) ans = 3 Michael Šebek Pr-ARI

18 Automatické řízení - Kybernetika a robotika Model podélného pohybu letounu F4E Phantom (Ackermann, 93) u poloha výškovky, y úhel stoupání Stabilizujme pracovní bod módu podélných kmitů s krátkou periodou pro rychlost Mach 0.5, výšku 5000 ft 1 ( ) ( ) Hurwitzova matice a její nuly Rozkládají osu parametru regulátoru na 3 intervaly Příklad: F4E Phantom - zjednodušený b() s a() s = c() s = a + Kb = b1 s s a s s 31.84s s 3 Ha=hurwitz(a); Hb=hurwitz(b,deg(a)); M=-Ha\Hb;K=1./eig(M) K = -Inf K Otestujeme jeden případ v každém intervalu a dostaneme pásma stability STAB NESTAB NESTAB Michael Šebek Pr-ARI K