Příklady k přednášce 13 - Návrh frekvenčními metodami

Transkript

1 Příklady k přednášce 13 - Návrh frekvenčními metodami Michael Šebek Automatické řízení

2 Nastavení šířky pásma uzavřené smyčky Na přechodové frekvenci v otevřené smyčce je (z definice) Hodnota L( jωc ) T( jωc ) = 1 + L( jω ) ale ještě závisí na fázi L( jω c ), tedy na PM Pro PM = 90 je L( jω ) = j a má fázi - 90, takže c j 1 T( jωc ) = = j 2 V tomto případě je tedy šířka pásma uzavřené smyčky právě rovna přechodové frekvenci otevřené smyčky! ω BW = ω c c L( jω c ) = 1 Pro menší PM hodnota T( jω c ) roste, vzniká rezonanční špička. Tím se šířka pásma ωbw posouvá doprava, ale obvykle nepřekročí 2ω c Je tedy obvykle ωc ωbw 2ωc Proto nastavujeme ω (OL!!!) s cílem zajistit požadované ω (CL!!!) c BW Michael Šebek ARI

3 Souvislost ω c a ω BW Bodeho graf T( jω) s vyznačenou ω a hodnotami ω c BW pro různé PM Obvykle je ω ω 2ω c BW c Pro druhý řád bez nul je v závislosti na ζ vynesen v grafu poměr ω c ω BW ωc 2ζ ζ 1 =, ωbw (1 2 ζ ) + 4ζ 4ζ Michael Šebek ARI ζ 1 2

4 Opakování: ustálené chování z Bodeho grafu >> L=(1+s)/(2+s)/(3+s), M =15dB v=value(l,0),l=l/v*10^(15/20),k=value(l,0),bode(l) L = s / 6 + 5s + s^2 K = >> KpdB=20*log10(abs(value(L,j*.01))), Kp=10^(15/20) KpdB = , Kp = >> einfty = 1/(1+Kp) einfty = počáteční sklon je 0 a tak systém je typu 0 (bez astat.) počáteční hodnota asymptoty je 15 db a tak je K = 15d B = 10 = p ustálená odchyl. na skok je estep,ss = 1 1+ K p = ( ) L=(1+s)/(2+s)/(3+s)/s,v=value(coprime(s*L),0);L=L/v*10, L = s / 6s + 5s^2 + s^3 Kv=value(coprime(s*L),0),bode(L) Kv = 10 ω =10 počáteční sklon je 20 db/dek a tak systém je typu 1 (s astatismem 1. řádu) protažená počáteční asymptota protíná nulovou přímku pro frekvenci ω =10 a tak je K = 10 ustálená odchylka na rampu je v e ( ) ramp = K v = Michael Šebek Pr-ARI

5 Srovnání časového a frekvenčního chování Michael Šebek Pr-ARI

6 Příklad: Nastavení K p regulátorem P Soustava 5 Gs () = s dB K e p ss = 2.5, K = 20 log 2.5 = 8dB p,db 1 = = K p Chceme K e ss,2 ss, p,2 99 ess,2 p,2,db Použijeme K 1 e = K = = = 20 log 99 = 40dB K p,2 = = = K p db p,2, p,db 39.6 K = K K = 40 8 = 32dB (pozor - výsledek je moc rychlý, s velkou špičkou akčního zásahu ) 6

7 Příklad: Nastavení K v regulátorem P Soustava má 1 Gs () = Kv = eramp ( ) = = s( s+ 36)( s+ 100) Kv Chceme-li odchylku na rampu zmenšit 10x, musíme nastavit K v = A tedy zvětši zesílení 10x, čímž dostaneme Ls () = Takže s s+ 36 s+ 100 ( )( ) ale pozor, výsledek je nestabilní! Tady P regulátor úlohu nevyřeší! 7

8 Příklad: Nastavení zesílení na požadovaný PM Pro systém řízení polohy z obrázku nastavte zesílení předzesilovače tak, aby měl výsledný systém při skoku reference překmit 9.5% Z požadavku na překmit vypočteme požadované tlumení (dominantních pólů) ln(%os 100) ln(0, 095) ζ = = = , π + ln (%OS 100) π + ln (0,095) a z toho požadované PM 2ς PM = arctan = arctan = ς ς 2 (0.6) (0.6) Přenos otevřené smyčky je s neurčitým K Abychom mohli nakreslit Bodeho graf a navrhovat graficky, musíme zvolit nějakou hodnotu K. Tak třeba pro K = 3.6 dostaneme Ls () = s s L K = K ( + 36)( s+ 100) () s = s s 360 ( + 36)( s+ 100) 8

9 Tedy nakreslíme Bodeho graf a na něm najdeme frekvenci, pro kterou je fáze Z grafu tedy odečteme Pro tuto frekvenci je amplituda a proto musíme zvětšit zesílení o 44,2 db, tedy cca krát Tím dostaneme hledané Ls () = s s ( + 36)( s+ 100) Nezbytná simulace ověří správnost návrhu Pro pozdější pokračování příkladu ještě odměříme Kv = e ( ) = ramp ( ( )( )) L ( s) 360 s s 36 s 100 K = 3.6 = + + L( jω ) = = ω =14.8rad s L( ω ) = M( ω ) = = 44.2dB 44.2 db Pokračování ω =14.8rad s 9

10 Příklad: Nastavení PD Přenos soustavy (aircraft attitude) Specifikace e K 1 e = 2257 ramp, ss v ramp, ss PM 80 Nejprve nastavíme K p = , abychom zvýšili K v,1 = 12.5 na K v =2258 a tím zajistili požadovanou ustálenou odchylku Dále budeme hledat složku ( 1+ KDs) PD regulátoru pro přenos Gs () = 4500 s( s ) K p 45dB K v,1 = 12.5 K v,2 = 2257 KGs () = P s( s ) 10

11 Pokračování: Nastavení PD Vykreslíme Bodeho graf přenosu ( 1 K s) Ls () = KP + D Gs () = s s ( ) ( 1 K ) Ds pro K d = 0 Najdeme ω D, na které je PM = požadavek (fáze regulátoru na ω D ) = = 35 kde je tedy fáze = = -145 To je ω D = 516 Vypočteme 1 1 KD = = = ω 516 Výsledné L má Bodeho graf Specifikace je splněna: PM = 84.9 D 145 Fáze PD regulátoru ω D = K P K D ω D = KP KD 10K P K D 11

12 Pro přenos soustavy Ještě jeden příklad: Nastavení PD Gs () = s s s ( ) Řekněme, že jsme již navrhli K P = 1 a teď nastavme K D v PD regulátoru pro dobré PM Nakreslíme Bodeho graf pro hodnoty ( 1+ KDs) K D = 0, 0.002, 0.005, 0.02 Nekompenzovaný systém (K d = 0) má PM = 7.78 Pokud bychom chtěli dosáhnout PM = 58.5 PM = 80, musel by regulátor PM = 47.6 přidat 72,22 a to na nové ω c Z grafu vidíme, že se to nepodaří, protože vyšší zesílení regulátoru PM = 7.78 posunuje ω c k vyšším frekvencím, Kde fáze nekompenzovaného systému klesá rychleji než ji kompenzátor přidá. PM =

13 Pro přenos soustavy Gs () = Najděte PI regulátor, který zlepší z PM = 22.6 na PM new = 65 Nakreslíme Bodeho graf Ls () = ( + ) K s K K 2 s ( s ) P I P nejprve pro K p = 1 a K I = 0 Z požadavku PM new =65 najdeme ω c,new = 170 rad/s a vypočteme K P G j ( ωc, new ) db s( s ) = 10 = 10 = K I volíme tak, aby byla zlomová frekvence o dekádu menší než ω c,new K K = ω 10 K I P c, new = K ω 10 = I P c, new Příklad: Nastavení PI ω = PM new = 65 ω c, new = 170 c PM = 22.6

14 Příklad: Nastavení PI Pro toto K = 1.42 vypočteme přenos a nakreslíme Bodeho graf Naměříme PM new =59, což specifikaci nesplňuje Zkusíme tedy ještě vzít ještě menší K I (= posunout zlom, frek. ještě více vlevo), Např. K I = 0.07 vede na přenos L () s = 2 2 s PM new = 64.3 I ( ) KP s+ KI KP 68489( s ) Ls () = = 2 2 s ( s ) s ( s ) 68489( s ) s ( s ) 14

15 Pro přenos soustavy Gs () = s( s ) Najděte PI regulátor, který zlepší z PM=22.6 na PM=65 Nakreslíme Bodeho graf Ls () = ( + ) K s K K 2 s ( s ) P I P nejprve pro K p = 1 a K I =0 Z požadavku PM new = 65 najdeme ω c,new = 170 rad/s a vypočteme Příklad: Nastavení PI K P G j ( ωc, new ) db = 10 = 10 = Dále vykreslíme Bodeho rafpřenos pro toto nové K p a několik různých K I = 0; 0.008; 0.08;0.8;1.6 PM = 65 ω c, new = 170 ω = 868 c PM =

16 PID Viz doplňkový text 16

17 Zadání: Pro soustavu Fs () = Příklad: Návrh regulátoru Lag 1 ( + 2)( s+ 30) s s navrhni Lag regulátor splňující tyto specifikace: e, 0.05, PM 45 ss ramp Řešení: 1. Najdeme hodnotu zesílení zajišťující požadovanou odchylku: () () K L1 s = KF s = s( s+ 2)( s+ 30) ess, ramp = = = = 0.05 K = 1200 K lim sl ( s) K K 0.05 v s Tento OL přenos dává špatné PM a GM 1 >> K=1200;F=1/s/(s+2)/(s+30);L1=K*F L1 = 1200 / 60s + 32s^2 + s^3 >> [GM,PM,om_cp,om_cg]=margin(tf(L1)) GM = PM = om_cp = om_cg = >> GM_dB = 20*log10(GM) GM_dB = Michael Šebek ARI

18 Příklad: Návrh regulátoru Lag 2. Nakreslíme Bodeho graf L 1200 L1 () s = s s+ 2 s+ 30 ( )( ) Z požadovaného PM vypočteme potřebnou fázi =125 a na ní najdeme nové ω c,new = 1.28 rad/s Na této frekvenci zjistíme potřebné zeslabení Magnitude (db) Phase (deg) C( jω ) = 22.1dB c, new db System: untitled1 Frequency (rad/s): 1.31 Magnitude (db): 22.1 System: untitled1 Frequency (rad/s): 1.28 Phase (deg): Vypočteme parametr a z naměřených hodnot nebo z přenosu a C( jω ) = 22.1dB c, new db C( jω ) c, new = C( jω ) = 10 db = 10 = c, new ( / ) >> aa=1/abs(value(l1,j*1.28)) aa = Michael Šebek ARI

19 4. Vypočteme nulu a pól 5. Výsledný regulátor je p c z c ω 10 c, new = = Příklad: Návrh regulátoru Lag = az = = c C lag () s as + pc s = = s+ p s c 6. Konečně ověříme splnění specifikací Michael Šebek ARI

20 Příklad: Návrh regulátoru Lag 6. Magnitude (db) Bode Diagram rad/s rad/s System: untitled3 Phase Margin (deg): 49 Delay Margin (sec): 0.65 At frequency (rad/s): 1.32 Closed loop stable? Yes Phase (deg) F ( d/ ) >> Kv=value(coprime(s*L2),0), e_ss_ramp=1/kv Kv = , e_ss_ramp = Michael Šebek ARI

21 Jiný příklad: Kompenzace Lag V systému řízení polohy bylo předchozí Ls () = metodou nastaveno zesílení tak, že s( s+ 36)( s+ 100) Výsledný systém má překmit 9.5% a 1 Kv = eramp ( ) = = Kv Přidejte Lag kompenzaci tak, aby ustálená odchylka na rampu byla 10x menší a přitom se překmit nezhoršil Požadavek na ustálený stav vede na K v = 162.2, takže musíme zesílení ještě zvětšit 10, čímž dostaneme Ls () = Požadavek překmitu 9.5% vede na s( s+ 36)( s+ 100) ς = 0.6 PM = 59.2 Protože Lag sníží PM málo, ale přece jen (počítáme se zhoršením PM = 5 12 ), uvažujeme raději PM = = 69.2 Najdeme frekvenci ω, pro kterou je fáze L( jω ) = =

22 Pokračování: Kompenzace Lag Z požadované fáze určíme frekvenci ω = 9.8rad s 24dB Ls () = ( + 36)( s+ 100) s s A z ní pak současnou hodnotu 20 log M ( ω ) = 24 db ω = 9.8rad s Protože z definice PM má pro ω být 20log M ( ω ) = 0dB ω = 9.8rad s Musí lag provést na frekvenci zeslabení 24dB 22

23 Pokračování: Kompenzace Lag Nakreslíme asymptotu pro vysoké frekvence ve 20 log M ( ω ) = 24 db 1 α T = rad s 20dB dek 24dB 1 T = 0.98rad s Horní rohovou frekvenci ω volíme cca dekádu vlevo od ω = 9.8rad s, tj. asi 1 T = 0.98rad s Odtud pokračujeme nahoru se sklonem 20dB dek až k 0dB, což dosáhneme pro 1 α T = rad s Dosazením do dostaneme s+ 1 T s Cs () = = s+ 1 T s To má správný tvar, ale ještě ne zesílení, takže nastavíme DC zesílení kompenzátoru s K DC() s = KCs C () = C = 1 α = p z DC(0) = 1 = 0dB s α ( )

24 Pokračování: Kompenzace Lag Výsledek je ( + 36)( s+ 100) s s 0.063( s ) = s ( s ) s s ( + 36)( s+ 100 )( s ) Kompenzovaný systém Lag Kompenzátor Zesílený nekompenzovaný systém Step response Ramp response 24

25 Opět se vrátíme k průběžnému příkladu řízení polohy a navrhněme regulátor dle specifikací: OS 20%, K v = 40, T p = 0,1s Nejprve nastavíme zesílení tak, aby K v = 40 K = lim sl( s) = K = 40 K = 1440 v s 0 Dosadíme a dále pracujeme dále s přenosem Ze zadaných specifikací vypočteme PM a ω BW : Příklad: Kompenzace Lead Ls () = Ls () = 100K ( + 36)( s+ 100) s s ( + 36)( s+ 100) ln(%os 100) 2ς ζ = PM = arctan π + ln (%OS 100) 2 4 2ς ς π ωbw = ( ς ) + ς ς + = 2 1 ζ T p s s rad s 25

26 Příklad: Kompenzace Lead Nakreslíme Bodeho graf pro Ls () = Tento nekompenzovaný systém má PM = 34,1 Pomocí kompenzace Lead zvýšíme PM na požadovanou hodnotu Jelikož Lead také zvyšuje ω C, přidáme ještě určitý korekční faktor, abychom kompenzovali nižší fázi nekompenzovaného systému pro vyšší ω C Faktor zvolíme 10º Od regulátoru tedy chceme přírůstek fáze ( + 36)( s+ 100) s s =

27 Příklad: Kompenzace Lead Od regulátoru tedy chceme přírůstek fáze 48, = 24,1 Celkem musí mít kompenzovaný systém PM = 48.1 a ω BW = 46.6rad s Pokud by nebyl výsledek uspokojivý, musíme zopakovat návrh s jiným korekčním faktorem Z požadavku na přírůstek fáze máme φ max = 24.1 a z toho Dále je β 1 sinφ 1+ sinφ max = = max D( ωmax ) = = 3.76dB β Když vybereme ωc, new = ωmax, tak na této frekvenci musí být amplituda nekompenzovaného systému -3,76 db Podle toho najdeme ω max Michael Šebek Pr-ARI

28 Příklad: Kompenzace Lead Na Bodeho grafu pro Ls () = s s ( + 36)( s+ 100) naměříme ω max = 39 rad s. Pak z a β = 0.42 vypočteme ω max 3.76dB ω = 39 rad s max ω max = T 1 β 1 1 = 25.3, = 60.2 T Tβ a z toho nakonec dostaneme hledaný regulátor 1 s ( ) T s + Ds = = 2.38 β 1 s + s βt 28

29 Příklad: Kompenzace Lead Výsledek: Kompenzovaný systém Nekompenzovaný systém Lead kompenzátor Simulace: OS% = 22.6, PM = 45.5, ω = 39 rad s ω = 68.8rad s, T = 0.075s, K = 40 BW p v C 29