Příklady k přednášce 14 - Moderní frekvenční metody

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Příklady k přednášce 14 - Moderní frekvenční metody"

Leoš Matěj Slavík
před 5 lety
Počet zobrazení:

1 Příklady k přednášce 4 - Moderní frekvenční metody Michael Šebek Automatické řízení

2 Přenosy ve ZV systému Opakování: Přenosy v uzavřené smyčce ys () = Tsrs ()() + Ssds () () Tsns ()() us () = KsSsrs () ()() KsSsds () () () KsSsns () ()() es () = rs () ys () = Ssrs ()() Ssds () () + Tsns ()() u Ks () Gs () Např. vliv poruchy bude malý pro malé S, vliv šumu pro malé T Současně malé S i T bohužel nelze, neboť Ss () + Ts () = Důkaz Ls () + Ls () Ss () + Ts () = + = = + Ls () + Ls () + Ls () To je vážné omezení pro návrh regulátoru, platí i po dosazení s=jω, a to pro každé jednotlivé ω S( jω) + T( jω) = (pozor jsou to komplexní čísla) Proto je návrh kompromisem: musíme zvolit priority pro jednotlivé frekvenční rozsahy Tomu se říká tvarování frekvenční charakteristiky (loop shaping) 2

3 V klasické verzi loop shaping je tvarování OL frekvenční charakteristiky, přesto že cílem je tvar CL frekvenční charakteristiky (navrhujeme ZV systém) v některých frekvenčních pásmech totiž stačí tvarovat L(jω), protože z tvaru L(jω) tam jednoznačně (a jednoduše) plyne tvar S(jω) a T(jω), přesné vztahy přibližné vztahy obvykle pro nízké frekvence: obvykle pro vysoké frekvence Opakování - Loop Shaping - klasická verze S( jω) = + L( jω) L( jω ) >> L( jω ) << L( jω) T( jω) = + L( jω) S( jω) S( jω ) = L( jω) v okolí přechodové frekvence ωc (tam kde L není ani velké ani malé) ze tvaru L(jω) jednoduše tvar S(jω), T(jω) neplyne, protože záleží také na fázi Např. S(jω), T(jω) mohou mít velké špičky když je L(jω) ~ - T( jω ) = T( jω) = L( jω) 3

4 Bode Gain-Phase Relation Pro stabilní minimálně-fázový systém (= nemá nestabilní póly a nuly) s přenosem Gs () je mezi zesílením G( jω ) a fází G( jω) jednoznačný vztah Přibližně, v log-log Bodeho grafu: Má-li G( jω) po celou dekádu frekvencí konstantní sklon n, pak tam je G( jω) n 9 Tedy pokud má v přechodovém pásmu (kde L( jω) ) amplituda lokálně charakter: žádný přechod není! s n= s n G jω PM 2 s n G j PM Jednoduché pravidlo: Navrhni regulátor tak, aby v přechodové oblasti měla L( jω) sklon I = -, tj. -2dB/dek Michael Šebek ARI = ( ) 9 9 = 2 ( ω) 8

5 Bode Gain-Phase Relation Kdyby to někoho zajímalo, tak přesně je Bodeho vztah mezi zesílením a fází G j ν ( ω) = ln cotgh d 2 ω ν = ln ω π d ln L( je ) ν ν dν Michael Šebek ARI

6 Vztahy mezi PM, M S a M T Např. nebo M = 2 GM 2, PM 29 S M = 2 GM.5, PM 29 T Je tedy jednodušší používat ve specifikacích MS nebo MT Třeba graficky PM [ ] rad PM 2arcsin PM 2arcsin [rad] M M 2 S S [rad] M M 2 T T GM GM + M T GM GM M S M S M S MT M T M S Michael Šebek ARI

7 Příklad váha vstupního signálu jednotková ZV má mít odchylku menší než.5 pro všechny sinusovky s amplitudou o frekvenci pod Hz pomocí váhové frekvenční funkce chování formulujeme tyto požadavky takto: spektrum referenčních signálů je = pro ω 2π 2 protože e b =.5, tak je hledanou funkcí obdélník o výšce /.5 = 2 na daným frekvenčním rozsahem výsledný graf 2 2π

8 Příklad: porovnání s klasickým požadavkem Ustálená odchylka na skok je Klasický požadavek pro ustálenou odchylku na skok můžeme tedy napsat jako e estep,ss = = lim Ss ( ) = S() + lim Ls ( ) s tento požadavek jsme teď rozšířili na frekvenční pásmo jako ω [, ω ] : S( jω) W ( ω) SW s = S() = S() W step,ss eb eb protože je W mimo tento frekvenční rozsah nulové, platí tento vztah vlastně pro všechny frekvence e step,ss ω [, ω ] [, ] S j W ω : ( ω) ( ω) e e b step,ss e b 8

9 Požadavek na chování jako funkce L vztah formulující požadavky na řízení SW ω: S( jω) W( ω) můžeme také přibližně vyjádřit pomocí přenosu otevřené smyčky protože ve frekvenčním rozsahu (malé frekvence), kde požadujeme malou odchylku, je velké zesílení, tak tam přibližně platí potom přibližně S( jω) = + L( jω) L( jω) SW W L L W L( jω) nebo podrobněji [ ] ω, ω : L( jω) W ( ω) Hranice ustálené odchylky ω c 9

Příklad: Nyquistův graf neurčité soustavy () s = 2 [ ω j ] G( jω) =

bode(tf(g)*(+tf(w)*delta),'b'), hold on, end,end bode(tf(g),'r')

10 Příklad: Nyquistův graf neurčité soustavy () s = 2 [ ω j ] G( jω) = G ( jω) + W ( ) ( ω), ( jω), G ( ) 2. 5, jω + W ω = s + jω + db g=2.5/(2.5*s+); w=(4*s+.2)/(*s+);a=2*pi; for m=:/:,for alfa=:a/:a, delta=m*exp(-j*alfa); bode(tf(g)*(+tf(w)*delta),'b'), hold on, end,end bode(tf(g),'r') bode(tf(w),'g') abs g=2.5/((s+)^3); k=rdf();w=rdf(.5); omega=:.:2; ball(,k,w,,j*omega); Michael Šebek ARI-4-22

11 Příklad: Nyquistův a Bodeho graf neurčitého systému systém s multiplikativní neurčitostí 2.5 G( s) =, W 3 2( s) =.5 ( s + ) nominální frekvenční charakteristika G ( jω ) celková frekvenční charakteristika G( jω) = G( jω) [ ] G( jω) = G ( jω) + W ( ω) ( jω), ( jω) 2 g=2.5/((s+)^3); k=rdf();w=rdf(.5); omega=:.:2; ball(g,k,w,,j*omega);

12 Neurčitost způsobená zanedbáním dynamiky Uvažme soustavu s přenosem Gs () = G() s f() s kde G (s) je pevně dáno a budeme s ním počítat jako s nominálním, ale f (s) chceme zanedbat a nahradit multiplikativní neurčitostí. Velikost relativní neurčitosti způsobené zanedbáním f (s) je zřejmě G( jω) G ( jω) l ω = = f jω I ( ) max max ( ) G( s) G ( ) ( jω ) f s Probereme podrobněji 2 případy: zanedbání členu s dopravním zpožděním s f( s) = e θ, θ θ zanedbání členu prvního řádu f( s) = ( τ s+ ), τ τ p Michael Šebek ARI p max max

Zanedbané dopravní zpoždění uvažme Gs () = G() s f() s, kde s f( s) = e θ, θ θ max max pro maximální

maxima (=2) pro ω= πθ max pak osciluje mezi a 2 2 pro jiná θ je to podobné je tedy li ( ω) = 2 jωθ max

*omega))), hold on w=(2*j.*omega)./(j*omega+);plot(omega,abs(w),'r--') w3=((2/2.363)^2.*omega.^2+2*.

13 Zanedbané dopravní zpoždění uvažme Gs () = G() s f() s, kde s f( s) = e θ, θ θ max max pro maximální zpoždění je odchylka l ( ) j I ω = e ωθ nakreslena na obrázku (pro θ max = 2) dosahuje pro ω = θmax maxima (=2) pro ω= πθ max pak osciluje mezi a 2 2 pro jiná θ je to podobné je tedy li ( ω) = 2 jωθ max e, ω< πθ ω πθ max max náhrada racionální funkcí řádu a 3 omega=.:.:;plot(omega,abs(-exp(-2*j.*omega))), hold on w=(2*j.*omega)./(j*omega+);plot(omega,abs(w),'r--') w3=((2/2.363)^2.*omega.^2+2*.838*2/2.363*j.*omega+)./... ((2/2.363)^2.*omega.^2+2*.4*2/2.363*j.*omega+); θ πθ max max w2=w.*w3;plot(omega,abs(w2),'g--') 3

14 Zanedbané dopravní zpoždění W ( jω) = W ( jω) 2,2 2, 2 2 s + 2.s+ s +.4s+ s = j ω W 2, ( jω) = 4s +.2 s + s = j ω k θ s e τ s + G () s k, τθ, {2, 2.5,3} 4

funkcí w ( jω) = l ( ω) I I τ maxs wi ( jω ) = = τ s+ τ s+ max max

15 Zanedbané zpoždění.řádu Uvažme Gs () G() s f() s, kde f( s) = ( τ s+ ), τ τ = p p max Odchylka li ( ω) = ( τ s+ ) max nakreslena na obrázku pro τ max = 2 červeně a pro menší τ modře reprezentujeme ji racionální váhovou funkcí w ( jω) = l ( ω) I I τ maxs wi ( jω ) = = τ s+ τ s+ max max omega=.:.:;taumax=2; for tau=.:.:taumax,plot(omega,abs(-./(+tau.*j.*omega))) hold on,end plot(omega,abs(-./(+taumax.*j.*omega)),'r--') 5

16 Předpokládejme, že je nominální návrh hotov a CL je nominálně stabilní, Nyquistův graf L (s)=d(s)g (s) tedy splňuje Nyquistovo kritérium stability Dále speciálně nominální CL nemá pól na mezi stability + L () s nemá nulu na mezi stability + L ( jω), ω Aby byla CL stabilní i robustně, nesmí mít ani + Ls () nulu na mezi stability, a to pro žádné ω a žádné + L( jω) ω, ( jω) nominální stabilita Podmínka robustní stability - důkaz + L ( jω) + L ( jω) W ( ω) ( jω) ω, ( jω) 2 + L ( jω) + L( jω) + L( jω) W2( ω) ( jω) ω, ( jω) + L ( jω) ( )( ) + L( jω) + T( jω) W2( ω) ( jω) ω, ( jω) ω ( ) + T ( jω) W ( ω) ( jω) ω, ( jω) 2 T ( jω) W ( ω) ( jω) ω, ( jω) 2 T ( jω) W ( ω) < ω 2 6

17 Příklad: VLT ESO European Southern Observatory: čtyři 8 m teleskopy (~6 m), Atacama v Chile přesné nasměrování a potlačení poruchy (vliv větru) metodami robustního řízení projekt katedry, Z. Hurák: popularizační článek AUTOMA /5 video 7

18 Příklad: VLT ESO první málo tlumené módy konstrukce model řádu 6 (metodou konečných prvků) poryvy větru redukce řádu modelu redukovaný model řádu 24 8

19 Sci Fi Aktivní a adaptivní optika plán 25: OWL Teleskop, zrcadlo m, deformovatelné segmenty 5. akčních členů návrh? numerické metody? VIDEO OWL.mpeg 9

Příklad: Efekt vodní postele I 4 Pro L( jω ) = s jedním nestabilním pólem ( s+ 2)( s ) je S stabilní ale S( jω ) = ln S( jω) dω = π 2 + s+ s 2 2 + s+ s

20 Příklad: Efekt vodní postele I 4 Pro L( jω ) = s jedním nestabilním pólem ( s+ 2)( s ) je S stabilní ale S( jω ) = ln S( jω) dω = π 2 + s+ s s+ s z Bodeho diagramu vidíme, že dokonce S( jω) > ω to je celkem pochopitelné, protože za stabilizaci musíme něco zaplatit 2 S( jω ) = 2 + s+ s s+ s 2 2

21 Efekt vodní postele I - obecněji Podmínku na relativní řád lze vypustit. Pak platí obecnější vztah n ln ( ) p π S jω dω = π Re p unstable, i lim sl( s) 2 s Michael Šebek ARI

22 Příklad: Efekt vodní postele II. Porovnejme neminimálně fázový přenos s L( jω ) = + s + s s jeho minimálně fázovým protějškem Lm L=(-s)/(+s)^2;Lm=/(+s); ( jω ) = + s t=:2*pi/:2*pi;fill(sin(t)-,cos(t),'r') nyquist(ss(l),'b',ss(lm),'g') S > L vidíme, že další fázové zpoždění způsobené nestabilní nulou vytlačí graf do červeného kruhu L m 22

23 Příklad: Efekt vodní postele II. Uvažme neminimálně fázovou soustavu 2 s () a regulátor k Gs = tj. 2 + s s k 2 s Ls () = s 2 + s Nakreslíme Bodeho diagram citlivosti S pro k =.,.5,. a 2. vidíme, že s rostoucím zesílením roste vliv nestabilní nuly a tím i špička citlivosti až pro k = 2 do nekonečna protože ZV systém přestává být stabilní G=(2-s)/(2+s);L=(./s)*G;L5=(.5/s)*G; L=(./s)*G;L2=(2./s)*G; S=/(+L);S5=/(+L5);S=/(+L);S2=/(+L2); bode(ss(s),ss(s5),ss(s),ss(s2),.:.:5) 23

Podobné dokumenty

14 - Moderní frekvenční metody

14 - Moderní frekvenční metody 4 - Moderní frekvenční metody Michael Šebek Automatické řízení 28 4-4-8 Loop shaping: Chování pro nízké frekvence Tvar OL frekvenční charakteristiky L(s)=KD(s)G(s) určuje chování, ustálenou odchylku a