15 - Stavové metody. Michael Šebek Automatické řízení

Transkript

1 15 - Stavové metody Michael Šebek Automatické řízení

2 Stavová zpětná vazba Když můžeme měřit celý stav (všechny složky stavového vektoru) soustavy, pak je můžeme využít k řízení u = K + r [ k k k ] 2 = 1 2 n + 1 n r soustava = A + Bu regulátor Na rozdíl od dosud probíraných regulátorů: vstupem regulátoru je vektor je potřeba více senzorů využíváme víc informace než při ZV z výstupu do regulátoru vstupuje jiný signál, než který chceme řídit regulátor není dynamický, je jen proporcionální Je stavový regulátor složitější nebo jednodušší než dynamická ZV z výstupu? r + + u K C y Michael Šebek AR

3 Když do = A + Bu dosadíme u = K + r, dostaneme = A+ Bu = A+ B( K+ r) = ( A BK) + Br Rovnice výsledného systému je Zpětnovazební systém = ( A BK) + Br Zavedení stavové zpětné vazby změnilo původní matici systému = A + Bu = ( A - BK) + Br Výstupní rovnice y = C se nezměnila Jak moc můžeme matici ZV změnit? a11 a12 a1 n b1 a21 a22 a 2n b 2 A new = A BK = [ k1 k2 kn ] an1 an2 ann bn Z porovnání hodností je zřejmé, že všechny prvky libovolně změnit nemůžeme Michael Šebek AR

4 Co tedy umí stavová zpětná vazba? když se to na první pohled nezdá, platí Věta Vhodnou volbou prvků K můžeme libovolně (až na kompleně sdružené dvojice) umístit vlastní čísla matice Anew = A BK a to právě když soustava je úplně řiditelná. Jinými slovy Můžeme libovolně umístit póly výsledného systému (právě když soustava je úplně řiditelná) det ( s A ) det ( s A ) = det s ( A BK) Porovnejte s metodou RL: ta všechny póly libovolně umístit nedokáže. Proč? Póly opravdu jen posouvá, ale nepřidává srovnej s dynamickou výstupní ZV Všimněte si ještě: Nutná a postačující podmínka je úplná řiditelnost Právě proto je tento pojem tak důležitý new Michael Šebek AR

5 Umístění pólů - Naivně a v kanonickém tvaru Pro 1. a 2. řád řešíme - naivně - přímo z rovnice det ( s A ) = det s ( A BK) new Pro vyšší řády to obvykle nejde, protože vycházejí příliš složité rovnice. Pro soustavu v kanonické formě řiditelnosti A an 1 an 2 a1 a =, B= n n 1 det ( s A) = s + a s + + as+ a n je řešení jednoduché, neboť i výsledný systém je v tomto zvláštním tvaru Michael Šebek AR

6 opravdu je Pokračování: Umístění pólů v kanonickém tvaru A = A BK = new [ ] an 1 an 2 a1 a0 1 k1 kn = ( an 1+ k1) ( an 2 + k2) ( a1+ kn 1) ( a0 + kn) = a výsledný charakteristický polynom je n n 1 cs = det s A = s + a + k s + + a+ k s+ a + k new n n 1 0 n prvky matice K vybereme tak, aby se koeficienty polynomu rovnaly požadovaným n n 1 c() s = s + c s + + cs+ c n k = c a kn 1 = c1 a1 k = c a 1 n 1 n 1 n 0 0 Michael Šebek AR

7 Pokud soustava není v normálním tvaru řiditelnosti, = Tcon 1. můžeme problém řešit převodem do tohoto tvaru A = TAconT Pomocí matice řiditelnosti vypočteme B = TBcon transformační matici T 2. Převedeme naše rovnice s maticemi A, B do kanonické formy řiditelnosti A = T AT, B = T B con 3. Vypočteme matici stavové ZV pro tuto formu 4. Matici ZV transformujeme zpátky do původních souřadnic transformací Odvození transformace pro matici zpětné vazby A B K B Řešení pro obecný tvar 1 1 con K con K = K T = + r con con con con con con con 1 = T A B K T + TB 1 con con con con 1 ( A BK T ) = + Br con r = A BK + Br 1 Michael Šebek AR

8 Ackermannův vzorec Kompaktní řešení: Je-li soustava v obecném tvaru s maticemi A, B a požadujeme-li výsledný CL charakteristický polynom n n 1 c() s = s + c s + + cs+ c n pak je matice stavové zpětné vazby dána Ackermannovým vzorcem K = [ 0 0 1] C 1 c( A) C = n 1 kde B AB A B je matice řiditelnosti soustavy n n 1 a matice c( A) = A + c n 1A + + c1a+ c0n vznikne dosazením původní matice soustavy do požadovaného CL charakteristického polynomu Poznámky: Výpočet matice řiditelnosti a tudíž ani Ackermannův vzorec není numericky moc spolehlivý a funguje tak do řádu 10 V Matlabu nepoužívej inverzi, ale lomítko (řešení soustavy rovnic) lépe naprogramováno ve funkci place, ale ta neumí vícenásobné CL póly Michael Šebek 8

9 Vlastnosti: Stavová ZV nemění nuly Automatické řízení - Kybernetika a robotika Z definice plyne, že nuly systému bez ZV (tedy s maticemi A, B, C ) jsou řešením rovnice zatímco nuly systému s ZV (tedy s maticemi A-BK, B, C ) jsou řešením rovnice Jenže obě matice mají stejný determinant: s A B det = 0 C s ( A BK) B det = 0 C s A B s A B 0 s A+ BK B s ( A BK) B det = det = det = det C C K C C takže oba systémy mají stejné nuly! (Pokud má systém více vstupů nebo výstupů, matice není čtvercová, det neeistuje, ale závěry jsou stejné) Tedy stavová zpětná vazba nuly systému neovlivní! - srovnej s výstupní ZV Jelikož má výsledný ZV systém stejné nuly jako soustava (a ty známe dopředu), můžeme stabilní nuly soustavy zahrnout mezi požadované CL póly a tím je z výsledného přenosu vykrátit. To využijeme zejména když ze specifikací neplyne poloha všech CL pólů a my stejně musíme nějaké další volit. Michael Šebek 9

10 Stavová ZV dobře mění dynamiky, ale už neumožňuje nezávisle ovlivnit ustálenou odezvu - často vede na nenulovou ustálenou odchylku na skok Stejnosměrné zesílení soustavy (bez ZV) se po zavedení stavové zpětné vazby se změní na málokdy je jednotkové Můžeme to napravit přímovazebním členem Pak je zřejmě Vlastnosti: Problémy s ustálenou odezvou P(0) C( s A) B D CA B D 1 1 = + = + s= 0 T(0) C( s ( A BK)) B D C( A BK) B D 1 1 = + = + s= 0 M = 1 T(0) T (0) = M(0) T(0) = T(0) T(0) = 1 celk Ale toto řešení není robustní, neboť změna parametrů (soustavy nebo ZV) změní výsledné zesílení na ne-jednotkové = F + Gu Michael Šebek AR r M + + u K H y

11 ntegrální řízení Automatické řízení - Kybernetika a robotika Robustní způsob, jak při stavové ZV zajistit jednotkové ustálené zesílení Do struktury soustavy se stavovou ZV, = C + r = r y přidáme integrátor regulační odchylky V ustáleném stavu pak bude, ss = 0 yss = rss Rovnice rozpojeného systému jsou r u y K = A + Bu + C = A + Bu + y = C K = C + r a kompaktně A 0 B 0 u r = C y = [ C 0] Michael Šebek AR

12 Když subsystémy spojíme, tedy zavedeme stavovou ZV od všech stavů celého systému dostaneme [ K ] u K K = K = A BK BK 0 = + r, y = [ 0] 1 C C [ ] ntegrální řízení Matici velké stavové ZV K K navrhneme standardními metodami, ale pro velký systém s maticemi A 0, B 0 C r K + + u = A + Bu K C y Funguje to podobně jako integrační složka složka v PD regulátoru Michael Šebek AR

13 nternal Model Control Automatické řízení - Kybernetika a robotika Obecněji: Pro sledování rampy obdobně přidáme 2 integrátory, pro sledování paraboly 3 apod. Ještě obecněji: Pro robustní sledování průběhu generovaného nějakým generátorem (= splňujícího nějakou diferenciální rovnici) Přidáme obdobně tento generátor k systému Tato obecná metoda se jmenuje řízení s vnitřním modelem (nternal Model Control MC) Michael Šebek AR