Robustní odhady kovarianční matice
|
|
- Lukáš Liška
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Robustní odhady kovarianční matice Tomáš Hanzák Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky MFF UK Praha Seminář Stochastické modelování v ekonomii a financích Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 1 / 39
2 Obsah Úvod 1 Úvod Motivace Covariance-location model 2 Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady 3 M-odhadů Odhady s bodem selhání 1/2 Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 2 / 39
3 Motivace Covariance-location model Odhady kovariančních matic ve statistice Kde všude se setkáváme s odhady kovariančních (či korelačních) matic? Téměř všude v mnohorozměrné statistice/ekonometrii: Analýza mnohorozměrných dat Mnohorozměrné časové řady Shluková analýza Diskriminační analýza Metoda hlavních komponent Kanonické korelace Mnohorozměrné t-testy apod. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 3 / 39
4 Výběrová kovarianční matice Motivace Covariance-location model Nejběžnější odhad = výběrová kovarianční matice. Výhody: Srozumitelnost, snadný výpočet. Odhad probíhá po složkách, odhad podmatice je podmaticí odhadu. Výsledkem je vždy symetrická pozitivně semidefinitní matice. Nevýhoda: Odhad je citlivý na odlehlá pozorování (outliers). A to: ve smyslu jednorozměrných odhadů měřítka, tj. odledhlé pozorování může nadhodnotit diagonální prvky odhadu. ve smyslu ovlivnění korelační matice, tj. směru a těsnosti lineární závislosti mezi proměnnými. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 4 / 39
5 Příklady odlehlých pozorování Motivace Covariance-location model Kovarianční matici lze vizualizovat pomocí mnohorozměrného elipsoidu ( vrstevnice hustoty pravděpodobnosti). Realativně snadná vizualizace odlehlých pozorování a kovarianční matice u dvourozměrných dat: scatter plot X vs. Y, elipsa. Příklad... Ve více rozměrech je to již horší: Žádný z 2D pohledů nemusí outlier odhalit. Příklad... Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 5 / 39
6 Problém nerobustnosti Úvod Motivace Covariance-location model Obsahují-li naše data odlehlá pozorování, může být náš odhad kovarianční matice poškozen. Tím pak logicky úměrně trpí i statistická metoda, v rámci které byl odhad prováděn. Sama metoda je tedy nerobustní, pokud je nerobustní odhad kovariancnčí matice. Pokud bychom mohli použít robustní odhad kovarianční matice, stane se i celá metoda robustní. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 6 / 39
7 Řešení Úvod Motivace Covariance-location model Řešení = Uvažovat robustní odhady kovariančních matic. Několik možností: 1 Odhadovat kovarianční matici robustně po složkách. Nevýhody: Výsledná matice nemusí být pozitivně semidefinitní. Individuální 2D pohledy nemusí odhalit odlehlé pozorování. 2 Odhadovat celou kovarianční matici naráz. První nápad: Iterativně počítat výběrovou kovarianční matici a vždy vyloučit několik pozorování s největší Mahalanobisovou vzdáleností od středu dat. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 7 / 39
8 Ortogonální transformace na R m Motivace Covariance-location model Definice Ortogonální transformací prostoru R m rozumíme zobrazení R m R m ve tvaru x Γx, kde Γ je ortogonální matice řádu m m (tj. její řádky jsou jednotkové vzájemně kolmé vektory). Pozorování: Platí (Γx) T (Γy) = x T Γ T Γxy = x T Iy = x T y, speciálně Γx = x, tj. ortogonální transformace zachovává úhly a vzdálenosti. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 8 / 39
9 Sféricky symetrické rozdělení Motivace Covariance-location model Definice Rozdělení pravděpodobnosti na R m nazveme sféricky symetrické, pokud je invariantní vůči všem ortogonálním transformacím prostoru R m. Má-li sféricky symetrické rozdělení F 0 hustotu f 0 vzhledem k Lebesqueově míře, pak platí f 0 (z) = f z ( z 2) pro nějakou funkci f z : R + 0 R+ 0. Tedy hustota f 0(z) je pouze funkcí poloměru z, nezávisí na směru. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 9 / 39
10 Eliptická rozdělení Úvod Motivace Covariance-location model Model Uvažujeme rodinu pravděpodobnostních rozdělení vzniklých pomocí aplikace všech afinních transformací tvaru α A,µ (z) = Az + µ, kde A R m m je regulární matice a µ R m, na jedno základní sféreciky symetrické rozdělení F 0. Vzniklá rozdělení budeme nazývat eliptická rozdělení. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 10 / 39
11 Parametrizace I Úvod Motivace Covariance-location model Transformace se stejným vektorem posunutí µ a s maticemi A a AΓ, kde Γ je ortogonální, vedou evidentně ke stejnému rozdělení pravděpodobnosti. Tedy dvojice µ a A není vhodnou parametrizací modelu. Symetrická pozitivně definitní matice Σ = AA T je však totožná pro všechny matice A vedoucí ke stejnému rozdělení (a naopak). Náš model tedy budeme parametrizovat pomocí dvojice µ a Σ. Model obsahuje celkem p = m(m + 1)/2 + m parametrů. Užitečný je tzv. Choleskyho rozklad Σ = LL T, kde L je dolní trojúhelníková matice m m s kladnými prvky na diagonále. Tento rozklad je jednoznačný. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 11 / 39
12 Parametrizace II Úvod Motivace Covariance-location model Abychom pracovali s vektorovým parametrem θ R p, zavedeme následující značení: vecs(σ) = ( σ 11 / 2,..., σ mm / (2), σ 21, σ 31, σ 32,..., σ m,m 1 ) T. Tedy sloupcový vektor vecs(σ) nejprve obsahuje diagonální prvky Σ dělené 2 a poté po řádcích prvky pod diagonálou. Dělení 2 diagonálních prvků zajistí, že platí vecs(σ) 2 = 1 σij 2 = 1 (ΣΣ ) 2 2 trace T. ij Položíme θ = [ vecs(σ) T, µ T ] T, což je kompletní parametr našeho modelu ve tvaru sloupcového vektoru. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 12 / 39
13 Covariance-location model Motivace Covariance-location model Model Covariance-location model generovaný sféricky symetrickým rozdělením F 0 je rodina pravděpodobnostních rozdělení {F Σ,µ ; µ R m, Σ positivně definitní m m}, kde F Σ,µ je rozdělení α A,µ (Z) = Az + µ, AA T = Σ a náhodný vektor Z má rozdělení F 0. θ = (Σ, µ) [ vecs(σ) T, µ T ] T je p-rozměrný parametr modelu. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 13 / 39
14 Motivace Covariance-location model Hustota, střední hodnota, kovarianční matice Má-li rozdělení F 0 hustotu f z, pak rozdělení F Σ,µ má hustotu f Σ,µ (x) = 1 det(σ) f z (v), kde v = (x µ) T Σ 1 (x µ). Má-li rozdělení F 0 nulovou střední hodnotu a jednotkovou kovarianční matici, pak rozdělení F Σ,µ má střední hodnotu µ a kovarianční matici Σ. Matice Σ se proto nazývá (pseudo-) kovarianční matice. Hodnota θ 0 = (I, 0) parametru θ je tzv. neutrální parametr. Tedy platí F θ0 = F 0. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 14 / 39
15 Motivace Covariance-location model Příklad: Mnohorozměrné normální rozdělení Nejdůležitejším příkladem je systém (regulárních) m-rozměrných normálních rozdělení: F 0 = N m (0, I ), F Σ,µ = N m (µ, Σ). Pro hustotu základního rozdělení F 0 zde platí: f z (z) = (2π) N/2 e z /2. Standardní m-rozměrné normální rozdělení F 0 je jediným sféricky symetrickým rozdělením, jehož složky jsou vzájemně nezávislé. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 15 / 39
16 Důležité charakteristiky matice Σ Motivace Covariance-location model Necht λ j jsou vlastní čísla Σ. Definujme log-size parametr jako τ 1 m ln det(σ) = 1 m m ln(λ j ) j=1 a shape parametr jako η 2 1 m m (ln(λ j ) τ) 2. j=1 Všechny charakteristiky vecs(σ), τ i η 2 jsou invariantní vůči transformacím Σ ΓΣΓ T, kde Γ je ortogonální matice. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 16 / 39
17 Skórová funkce I Úvod Motivace Covariance-location model Skórová funkce s(x, θ) = θ ln f (x; θ) = 1 2 θ ln Σ + θ ln f z (v). [ v = Σ 1 (x µ) T (x µ)σ 1], σ ij µ v = 2Σ 1 (x µ) a s ohledem na definici vecs(σ) je ( G(Σ) 2 vecs(σ) = G,..., 2 G G, + G ) T,.... σ 11 σ mm σ 12 σ 21 Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 17 / 39
18 Skórová funkce II Úvod Motivace Covariance-location model Platí [ ( )] ( ( vecs(σ) vecs Σ s x, = 1 (x µ) T (x µ)σ 1 ω v (v) Σ 1) ) µ Σ 1 (x µ)ω v, (v) kde ω v (v) = 2 v ln [f z (v)]. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 18 / 39
19 Hustota V = Z 2 Úvod Motivace Covariance-location model Necht Z F 0 a hustota f 0 existuje. Pak druhá mocnina poloměru Z, V = Z 2, má hustotu f v (v) = πm/2 Γ(m/2) v m/2 1 f z (v), kde Γ( ) je gama funkce. Funkce f v se od f z liší faktorem úměrným ploše nad-sféry o poloměru v v m-rozměrném prostoru. Můžeme psát ω v (v) = 2 v ln [f v (v)] + (m 2)/v. Pro normální rozdělení je f v hustota rozdělení χ 2 m a ω v (v) 1. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 19 / 39
20 Značení Úvod Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Necht a : R m R p je libovolná funkce. V našem případě si za funkcí a můžeme představit skórovou funkci x s(x, θ), influenční funkci odhadu T v bodě x či funkci x ψ(x, θ) definující M-odhad. Každý prvek R p si můžeme představit jako hodnotu parametru θ a zapsat ho jako (vecs(σ) T, µ T ) T pro nějaké Σ (symetrická) a µ. Zaved me tedy Σ a (z) a µ a (z) tak, že a(z) = ( vecs [Σ a (z)] µ a (z) ). Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 20 / 39
21 Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Ortogonálně ekvivariantní vektorová funkce Definice Funkci a(z), a : R m R p, nazveme ortogonálně ekvivariantní, pokud splňuje Σ a (Γz) = ΓΣ a (z)γ T, µ a (Γz) = Γµ a (z) pro každé z R m a každou ortogonální m m matici Γ. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 21 / 39
22 Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Charakterizace ortogonálně ekvivariantních funkcí I Lemma Funkce a(z) je ortogonálně ekvivariantní právě když jde zapsat ve tvaru Σ a (z) = zz T w a η ( z 2 ) Iw a δ ( z 2 ), µ a (z) = zw a µ( z 2 ), kde wη a, wδ a, w µ a : R + 0 R jsou skalární funkce. Dále platí a(z) 2 = 1 ( 1 1 ) [vw a η (v) ] m 2m ua τ (v) 2 + vwµ(v) a 2, kde jako obvykle v = z 2 a navíc u a τ (v) = vw a η (v) mw a δ (v). Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 22 / 39
23 Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Charakterizace ortogonálně ekvivariantních funkcí II Dolní indexy u funkcí w a µ, u a τ a w a η odkazují na jednotlivé elementy parametru θ = (Σ, µ): µ... parametr polohy modelu, τ... log-size parametr kovarianční matice Σ, η... shape parametr kovarianční matice Σ. Pozorování: Skórová funkce z s(z, θ 0 ) je ortogonálně ekvivariantní. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 23 / 39
24 d-matice Úvod Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Vedle ortogonálně ekvivariantních vektorových funkcí hrají důležitou roli v odvozování tzv. d-matice (d-type matrix). Definice d-maticí rozumíme symetrickou, skoro diagonální matici D o rozměru p p určenou třemi reálnými čísly d D η, d D τ a d D µ pomocí d D v = d D η + d D ρ a d D ρ = (d D τ d D η )/m. Viz tabule... Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 24 / 39
25 Vlastnosti Úvod Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Platí (postupně Lemma 2, 3 a 4 na str v knize): Je-li D = a(z)b(z) T df 0 (z) kde a(z) a b(z) jsou ortogonálně ekvivariantní funkce, pak D je d-matice a její µ, τ a η elementy lze charakterizovat pomocí µ, τ a η elementů funkcí a a b (jako jisté integrály podle distribuce F v náhodné veličiny Z, kde Z F 0 ). Množina všech d-matic spolu s násobením tvoří komutativní grupu. Násobení, inverze a jednotková matice se dají chápat po složkách µ, τ a η. Čísla d D η, d D τ a d D µ jsou vlastní čísla matice D. Je-li a ortogonálně ekvivariantní a D je d-matice, pak z D a(z) je také ortogonálně ekvivariantní a její µ, τ a η elementy se získají součinem těch D a a. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 25 / 39
26 Obecné výsledky I Úvod Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Ekvivariantní odhad T v covariance-location modelu musí splňovat ( ]) vecs [AˆΣ(F )A T [α A,a (F )] = α A,a [T (F )] = T Aˆµ(F ) + a ] kde T (F ) [ˆΣ(F ), ˆµ(F ). Vezmeme-li speciálně F = F 0, a = 0 a A = Γ libovolnou ortogonální, dostaneme a tedy musí platit ˆΣ(F 0 ) = ΓˆΣ(F 0 )Γ T, ˆµ(F 0 ) = Γˆµ(F 0 ) pro nějaké σ 0 R. Odtud již ˆΣ(F 0 ) = σ 0 I, ˆµ(F 0 ) = 0 ˆΣ(F Σ,µ ) = σ 0 Σ, ˆµ(F Σ,µ ) = µ. T je Fisherovsky konzistentní σ 0 = 1. Platí ˆτ = τ(ˆσ) = ln(σ 0 ). Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 26 / 39
27 Obecné výsledky II Úvod Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Influenční funkce (IF ) ekvivariantního odhadu T je rovna ( [ vecs LΣ IF (Lz + µ; T, F LL T,µ) = I (z)l T ] ) Lµ I, (z) kde ( [ vecs Σ I (z) ] ) µ I IF (z; T, F (z) 0 ). Vezmeme-li speciálně µ = 0 a L = Γ libovolnou ortogonální, zjitíme, že z IF (z; T, F 0 ) je ortogonálně ekvivariantní funkce. Nyní je možné použít aparát ortogonálně ekvivariantních funkcí a d-matic k odvození dalších obecných výsledků pro ekvivariantní odhady. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 27 / 39
28 Obecné výsledky III Úvod Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Platí (str. 281 a 282 v knize): Platí jisté rovnosti pro elementy w I µ, u I τ a w I η influenční funkce IF ( ; T, F 0 ). Norma IF (z; T, F 0 ) 2 je funkcí v = z 2 a lze ji rozložit na tři sčítance, kde každý zastupuje influenční funkci jednoho z elementů µ, τ a η Asymptotická kovarianční matice V (T, F 0 ) ekvivariantního odhadu T v bodě F 0 je d-matice, jejíž elementy dµ V, dτ V a dη V je možné vyjádřit pomocí elementů wµ, I uτ I a wη. I Fisherova informační matice je také d-matice a její elementy dµ, J dτ J a dη J lze vyjádřit analogicky pomocí funkce ω v (v). Platí tedy d V h 1/d J h pro h = µ, τ, η. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 28 / 39
29 Ekvivariantní M-odhady I Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Každý M-odhad může být definován pomocí své IF jakožto skórové funkce ψ(x, θ). Každý ekvivariantní M-odhad tedy může být definován pomocí funkce ψ(x, θ) ve tvaru [ ( )] vecs(σ) [ ψ x, = ψ µ 0 L 1 (x µ) ] kde LL T = Σ a ψ 0 je ortogonálně ekvivariantní funkce. Naopak platí, že každý Modhad tohoto tvaru je ekvivariantní. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 29 / 39
30 Ekvivariantní M-odhady II Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Ortogonálně ekvivariantní funkce ψ 0 je určena třemi skalárními funkcemi w ψ η, w ψ δ a w ψ µ. Příslušný M-odhad T tedy může být formulován jako řešení jisté soustavy rovnic s neznámými L a µ, jejímiž parametry jsou funkce w ψ η, w ψ δ a w ψ µ (definující daný M-odhad) a rozdělení F v němž hodnotu funcionálu T počítáme. Přesně řečeno řešení ˆL a ˆµ této soustavy pak dává dotyčný odhad T = T (F ) jako (ˆLˆLT ) T = (ˆΣ, ˆµ) =, ˆµ. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 30 / 39
31 Ekvivariantní M-odhady III Ortogonálně ekvivariantní funkce a d-matice Obecné výsledky o ekvivariantních odhadech Ekvivariantní M-odhady Důležitá je otázka existence a jednoznačnosti ekvivariantního M-odhadu, tj. na jakých F je odhad T dobře definován. Věta - existence (Theorem 1, str. 287 v knize) Při splnění jistých podmínek kladených na funkce w ψ η, w ψ δ a w ψ µ a rozdělení F existuje řešení T (F ) příslušného M-odhadu. Věta - existence a jednoznačnost (Theorem 2, str. 288 v knize) Při splnění jistých podmínek existuje řešení T (F ) příslušného M-odhadu ve všech eliptických rozděleních F. Poznámka: Tato věta nám bohužel nedává existenci a jednoznačnost T v empirických rozděleních. Za jistých podmínek se však existence a jednoznačnost T šíří i do Prohorovských okoĺı eliptických rozdělení. Tedy dostáváme ji tak i pro dostatečně velké výběry z těchto rozdělení. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 31 / 39
32 M-odhadů Odhady s bodem selhání 1/2 Horní mez pro bod selhání M-odhadu Věta (Theorem 1, str. 298 v knize) Pro slabě spojitý ekvivariantní M-odhad T platí ε ({T n }, F Σ,µ ) 1/m pro všechna Σ, µ. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 32 / 39
33 Poznámka Úvod M-odhadů Odhady s bodem selhání 1/2 Výše uvedená věta diskvalifikuje M-odhady ve vyších dimenzích m jako odhady s vysokým bodem selhání. Naopak existují triviální ne-ekvivariantní odhady s bodem selhání rovným 1/2 (Příklad...). Dle autorů knihy je však možné se na věc dívat jako na ilustraci nevhodnosti klasického konceptu bodu selhání v případě použití na location-covariance model. Alternativní koncept: Point of breakdown at the edge (kapitola 5.5b v knize). Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 33 / 39
34 Projekční odhad - definice M-odhadů Odhady s bodem selhání 1/2 Uvažujme všechny projekce prostoru R m na přímku určené vektory d R m, d = 1. Necht L a S jsou jednorozměrné odhady polohy a měřítka. Označme L d (F ) a S d (F ) hodnoty těchto odhadů při projekci F ve směru d: x d T x. Zajímá nás největší t-hodnota pro každý bod x R m. Označme r(x; F ) sup d d T x L d (F ) S d (F ). Projekční odhad příslušící k L a S a váhové funkci w : R + 0 R je vážená kovarianční matice a vážená střední hodnota rozdělení F s vahami w [ r(x; F ) 2]. Kovarianční matici je třeba přenásobobit vhodnou kladnou konstantou tak, aby bylo dosaženo Fisherovské konzistence pro zvolený typ rozdělení F. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 34 / 39
35 Projekční odhad - bod selhání 1/2 M-odhadů Odhady s bodem selhání 1/2 Věta (Theorem 3, str. 301 v knize) Předpokládejme, že platí: 1 Odhad (L, S) T má bod selhání 1/2 v projekci F 0 na přímku,. 2 Funkce w je spojitá, kladná a omezená, r w(r 2 )r 2 je také omezená funkce,. 3 Nosič F 0 je celý prostor R m. Pak bod selhání projekčního odhadu příslušného k LT a S je 1/2 pro všechna modelová (eliptická) rozdělení. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 35 / 39
36 Projekční odhad - výpočetní aspekty M-odhadů Odhady s bodem selhání 1/2 Maximalizační úloha obsažená v definici r(x; F ) není výpočetně triviální. Maximalizovaná funkce totiž může obsahovat mnoho pouze lokálních maxim. To způsobuje, že obvyklé metodu nelineární optimalizace selžou. Lze použít dostatečně hustou sít bodů d na jednotkové sféře. Ovšem pro větší dimenze m je potřeba příliš mnoho bodů sítě. Existuje procedura pro empirická rozdělení o rozsahu n. Vybereme náhodně m bodů z výběru a zvoĺıme d kolmé k nadrovině utvořené těmito m body. Toto opakujeme q-krát a jako r(x; F ) vezmeme maximum přes těchto q hodnot d. Hodnotu je možné dále zpřesnit optimalizací na okoĺı nalezeného směru. Větší hodnota q logicky zvyšuje výpočetní náročnost a zvyšuje přesnost metody. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 36 / 39
37 MVE a MCD odhady Úvod M-odhadů Odhady s bodem selhání 1/2 Další příklady ekvivariantních odhadů s bodem selhání 1/2: Minimal Volume Ellipsoid (MVE) Určeme elipsoid s nejmenším objemem, který pokrývá alespoň 50% dat. Střed takového elipsoidu je odhad parametru polohy µ, jeho tvar, velikost a orientace určuje odhad matice Σ. Minimal Covariance Determinant (MCD) Odhad polohy je průměr takových 50% dat, majících nejnižší determinant výběrové kovarianční matice. Ta slouží jako odhad matice Σ. Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 37 / 39
38 Literatura Úvod Kniha F.R. Hampel, E.M. Ronchetti, P.J. Rousseeuw & W.A. Stahel: Robust Statistics - The Approach Based on Influence Functions. John Wiley and Sons, J. Jurečková: Robustní statistické metody. Nakladatelství Karolinum, J. Anděl: Základy matematické statistiky. Preprint Matfyzpress, Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 38 / 39
39 Děkuji za pozornost! Tomáš Hanzák Robustní odhady kovarianční matice 39 / 39
Oct 19th Charles University in Prague, Faculty of Mathematics and Physics. Multidimensional estimators. Základní pojmy.
Charles University in Prague, Faculty of Mathematics and Physics Oct 19th 2009 Influence Function Stejné jako pro jednorozměrný případ až na Θ R p. Influence Function IF (x; T, F) = lim h 0 T [(1 h)f +
VíceLWS při heteroskedasticitě
Stochastické modelování v ekonomii a financích Petr Jonáš 7. prosince 2009 Obsah 1 2 3 4 5 47 1 Předpoklad 1: Y i = X i β 0 + e i i = 1,..., n. (X i, e i) je posloupnost nezávislých nestejně rozdělených
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceFaculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague
Tomáš Faculty of Nuclear Sciences and Physical Engineering Czech Technical University in Prague 1 / 63 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 / 63 Aritmetický vektor Definition 1 Aritmetický vektor x je uspořádaná
VíceEUKLIDOVSKÉ PROSTORY
EUKLIDOVSKÉ PROSTORY Necht L je lineární vektorový prostor nad tělesem reálných čísel R. Zobrazení (.,.) : L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx,
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceM-estimators. Oct 19th Charles University in Prague, Faculty of Mathematics and Physics. M-estimators. Základní pojmy - připomenutí.
Další Charles University in Prague, Faculty of Mathematics and Physics Oct 19th 2009 Influence Function Pracujeme s parametrickým modelem {F θ } θ Θ, kde Θ R je otevřená konvexní množina. Definice Influence
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 2. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 20 Co nás dneska čeká... Závislé a nezávislé
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Víceterminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy
2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceAVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace
AVDAT Mnohorozměrné metody, metody klasifikace Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Mnohorozměrné metody Regrese jedna náhodná veličina je vysvětlována pomocí jiných
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 30. dubna 2014, 09:00 1 2 15.1 Prehilhertovy prostory Definice 1. Buď V LP nad
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceDefinice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru. Kvadratická forma v n proměnných je tak polynom n proměnných s
Kapitola 13 Kvadratické formy Definice 13.1 Kvadratická forma v n proměnných s koeficienty z tělesa T je výraz tvaru f(x 1,..., x n ) = a ij x i x j, kde koeficienty a ij T. j=i Kvadratická forma v n proměnných
VíceLineární algebra : Skalární součin a ortogonalita
Lineární algebra : Skalární součin a ortogonalita (15. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Více2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro
Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
Více8 Matice a determinanty
M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou
Více2. Schurova věta. Petr Tichý. 3. října 2012
2. Schurova věta Petr Tichý 3. října 2012 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci
Vícematiceteorie 1. Matice A je typu 2 4, matice B je typu 4 3. Jakých rozměrů musí být matice X, aby se dala provést
Úlohy k zamyšlení 1. Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu pro vyhodnocení polynomu p v bodě c obsahuje koeficienty polynomu r, pro který platí p(x) = (x c) r(x) + p(c). 2. Dokažte, že pokud
VíceÚlohy k přednášce NMAG 101 a 120: Lineární algebra a geometrie 1 a 2,
Úlohy k přednášce NMAG a : Lineární algebra a geometrie a Verze ze dne. května Toto je seznam přímočarých příkladů k přednášce. Úlohy z tohoto seznamu je nezbytně nutné umět řešit. Podobné typy úloh se
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vektorový (lineární) prostor (připomenutí) Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodný výběr Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
VíceApriorní rozdělení. Jan Kracík.
Apriorní rozdělení Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Apriorní rozdělení Apriorní rozdělení (spolu s modelem) reprezentuje informaci o neznámém parametru θ, která je dostupná předem, tj. bez informace z dat.
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
VíceMatematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32
Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristiky často potřebujeme vyšetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
VíceAfinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.
4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
Vícevyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých mocnin). Rozhodněte o definitnosti kvadratické formy κ(x).
Řešené příklady z lineární algebry - část 6 Typové příklady s řešením Příklad 6.: Kvadratickou formu κ(x) = x x 6x 6x x + 8x x 8x x vyjádřete ve tvaru lineární kombinace čtverců (lineární kombinace druhých
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
VíceAVDAT Vektory a matice
AVDAT Vektory a matice Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Vektory x = x 1 x 2. x p y = y 1 y 2. y p Řádkový vektor dostaneme transpozicí sloupcového vektoru x
VíceNáhodné vektory a matice
Náhodné vektory a matice Jiří Militký Katedra textilních materiálů Technická Universita Liberec, Červeně označené slide jsou jen pro doplnění informací a nezkouší se. Symbolika A B Jev jistý S (nastane
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceZáklady teorie odhadu parametrů bodový odhad
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Odhady parametrů Úkolem výběrového šetření je podat informaci o neznámé hodnotě charakteristiky základního souboru
VíceVlastní číslo, vektor
[1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
Více1 Projekce a projektory
Cvičení 3 - zadání a řešení úloh Základy numerické matematiky - NMNM20 Verze z 5. října 208 Projekce a projektory Opakování ortogonální projekce Definice (Ortogonální projekce). Uvažujme V vektorový prostor
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
VíceSingulární rozklad. Petr Tichý. 31. října 2013
Singulární rozklad Petr Tichý 31. října 2013 1 Outline 1 Úvod a motivace 2 Zavedení singulárního rozkladu a jeho vlastnosti 3 Výpočet a náklady na výpočet singulárního rozkladu 4 Moor-Penroseova pseudoinverze
Vícea počtem sloupců druhé matice. Spočítejme součin A.B. Označme matici A.B = M, pro její prvky platí:
Řešené příklady z lineární algebry - část 1 Typové příklady s řešením Příklady jsou určeny především k zopakování látky před zkouškou, jsou proto řešeny se znalostmi učiva celého semestru. Tento fakt se
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceÚvod do kvantového počítání
2. přednáška Katedra počítačů, Fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze 17. března 2005 Opakování Část I Přehled z minulé hodiny Opakování Alternativní výpočetní modely Kvantové počítače
Více10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
Více6 Samodružné body a směry afinity
6 Samodružné body a směry afinity Samodružnými body a směry zobrazení rozumíme body a směry, které se v zobrazují samy na sebe. Například otočení R(S má jediný samodružný bod, střed S, anemá žádný samodružný
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceDefinice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně
7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností
VíceFaktorová analýza. Ekonometrie. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel
Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz J. Neubauer, J. Michálek (Katedra ekonometrie UO) 1 / 27 úvod Na sledovaných objektech
Více6 Lineární geometrie. 6.1 Lineární variety
6 Lineární geometrie Motivace. Pojem lineární varieta, který budeme v této kapitole studovat z nejrůznějších úhlů pohledu, není žádnou umělou konstrukcí. Příkladem lineární variety je totiž množina řešení
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
VíceKGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 5. Odhady parametrů základního souboru Mgr. David Fiedor 16. března 2015 Vztahy mezi výběrovým a základním souborem Osnova 1 Úvod, pojmy Vztahy mezi výběrovým a základním
VíceKapitola 11: Vektory a matice:
Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
VíceDnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda
Předmět: MA 4 Dnešní látka Opakování: normy vektorů a matic, podmíněnost matic Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Četba: Text o lineární algebře v Příručce přežití na webových
VíceDefinice : Definice :
KAPITOLA 7: Spektrální analýza operátorů a matic [PAN16-K7-1] Definice : Necht H je komplexní Hilbertův prostor. Řekneme, že operátor T B(H) je normální, jestliže T T = T T. Operátor T B(H) je normální
Více6. Vektorový počet Studijní text. 6. Vektorový počet
6. Vektorový počet Budeme se pohybovat v prostoru R n, což je kartézská mocnina množiny reálných čísel R; R n = R R. Obvykle nám bude stačit omezení na případy n = 1, 2, 3; nicméně teorie je platná obecně.
VíceNáhodný vektor. Náhodný vektor. Hustota náhodného vektoru. Hustota náhodného vektoru. Náhodný vektor je dvojice náhodných veličin (X, Y ) T = ( X
Náhodný vektor Náhodný vektor zatím jsme sledovali jednu náhodnou veličinu, její rozdělení a charakteristik často potřebujeme všetřovat vzájemný vztah několika náhodných veličin musíme sledovat jejich
Více1 Linearní prostory nad komplexními čísly
1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)
Více4. Aplikace matematiky v ekonomii
4. Aplikace matematiky v ekonomii 1 Lineární algebra Soustavy 1) Na základě statistických údajů se zjistilo, že závislost množství statku z poptávaného v průběhu jednoho týdne lze popsat vztahem q d =
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
Více1 Vektorové prostory.
1 Vektorové prostory DefiniceMnožinu V, jejíž prvky budeme označovat a, b, c, z, budeme nazývat vektorovým prostorem právě tehdy, když budou splněny následující podmínky: 1 Je dáno zobrazení V V V, které
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceOdhad parametrů N(µ, σ 2 )
Odhad parametrů N(µ, σ 2 ) Mějme statistický soubor x 1, x 2,, x n modelovaný jako realizaci náhodného výběru z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) s neznámými parametry µ a σ. Jaký je maximální věrohodný
VíceAVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení
AVDAT Náhodný vektor, mnohorozměrné rozdělení Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování, náhodná veličina, rozdělení Náhodná veličina zobrazuje elementární
Více12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25
12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant
VíceAVDAT Mnohorozměrné metody metody redukce dimenze
AVDAT Mnohorozměrné metody metody redukce dimenze Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Opakování vlastní čísla a vlastní vektory A je čtvercová matice řádu n. Pak
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
VíceVYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY
VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................
VíceÚvod do teorie odhadu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Úvod do teorie odhadu Ing. Michael Rost, Ph.D. Náhodný výběr Náhodným výběrem ze základního souboru populace, která je popsána prostřednictvím hustoty pravděpodobnosti f(x, θ), budeme nazývat posloupnost
VíceTestování hypotéz o parametrech regresního modelu
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,
VíceKlasická a robustní ortogonální regrese mezi složkami kompozice
Klasická a robustní ortogonální regrese mezi složkami kompozice K. Hrůzová, V. Todorov, K. Hron, P. Filzmoser 13. září 2016 Kompoziční data kladná reálná čísla nesoucí pouze relativní informaci, x = (x
VíceALGEBRA. Téma 5: Vektorové prostory
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 5: Vektorové prostory Základní pojmy Vektorový prostor nad polem P, reálný (komplexní)
Vícez Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin
Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme
Více6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE
Vektorová algebra 6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE Pravoúhlé souřadnice bodu v prostoru Poloha bodu v prostoru je vzhledem ke třem osám k sobě kolmým určena třemi souřadnicemi, které tvoří uspořádanou trojici reálných
VíceFREDHOLMOVA ALTERNATIVA
FREDHOLMOVA ALTERNATIVA Pavel Jirásek 1 Abstrakt. V tomto článku se snažíme shrnout dosavadní výsledky týkající se Fredholmovy alternativy (FA). Postupně zmíníme FA na prostorech konečné dimenze, FA pro
VíceZdrojem většiny příkladů je sbírka úloh 1. cvičení ( ) 2. cvičení ( )
Příklady řešené na cvičení LA II - LS 1/13 Zdrojem většiny příkladů je sbírka úloh http://kam.mff.cuni.cz/~sbirka/ 1. cvičení (..13) 1. Rozhodněte, které z následujících operací jsou skalárním součinem
VícePodobnostní transformace
Schurova věta 1 Podobnostní transformace a výpočet vlastních čísel Obecný princip: Úloha: Řešíme-li matematickou úlohu, je často velmi vhodné hledat její ekvivalentní formulaci tak, aby se řešení úlohy
VíceÚvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi
Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová
VíceKapitola 11: Vektory a matice 1/19
Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =
Vícez = a bi. z + v = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i. z v = (a + bi) (c + di) = (ac bd) + (bc + ad)i.
KOMLEXNÍ ČÍSLA C = {a + bi; a, b R}, kde i 2 = 1 Číslo komplexně sdružené k z = a + bi je číslo z = a bi. Operace s komplexními čísly: z = a + bi, kde a, b R v = c + di, kde c, d R Sčítání Odčítání Násobení
Více