ρ = 0 (nepřítomnost volných nábojů)

Transkript

1 Učební text k přednášce UFY Světlo v izotropním látkovém prostředí Maxwellovy rovnice v izotropním látkovém prostředí: B rot + D rot H ( r, t) div D ρ rt, ( ) div B a materiálové vztahy D ε pro dielektrika nemagnetické látky μ μ B μh ρ (nepřítomnost volných náboů) polarizace - obemová hustota elektrických dipólů P ε ε χε ε ε, (3) P ( ) kde χ e elektrická susceptibilita Potom D ε + P ε χ ε V izotropním prostředí e χ skalární veličina nabývaící stených hodnot pro libovolný směr přiloženého elektrického pole. V neizotropním prostředí se velikost polarizace mění v závislosti na směru přiloženého pole a χ e tenzorovou veličinou. V nevodivém izotropním prostředí sou elektrony vázány k atomům tvořících prostředí bez něakého preferenčního směru. Předpokládeme, že každý elektron s náboem e e v dielektriku vychýlen na vzdálenost r z rovnovážné polohy. Výsledná makroskopická polarizace P prostředí e vyádřena ako P en r (4) kde N e počet elektronů v ednotce obemu. Je-li vychýlení elektronu z rovnovážné polohy výsledkem působení statického vněšího elektrického pole a e-li elektron pružně vázán k rovnovážné poloze silovou konstantou K, potom platí e Kr Statická polarizace potom bude dána s užitím (5) vztahem (5)

2 Učební text k přednášce UFY Ne (6) P K Bude-li ale přiložené vněší pole časově proměnné, vztah (6) nebude platit. Abychom správně vyádřili polarizaci v tomto dynamickém případě, musíme vzít do úvahy vlastní pohyb elektronů. Pro popis pohybu vázaného elektronu v časově proměnném vněším poli použieme model klasického tlumeného oscilátoru. Diferenciální pohybová rovnice nabývá tvar dr dr m + mγ + Kr e (7) dt dt dr Člen mγ představue tlumící sílu úměrnou rychlosti elektronu s konstantou úměrnosti mγ, dt člen e e vynucuící síla. Předpokládeme, že přiložené vněší pole e harmonické; eho časová závislost e popsána faktorem i t závislostí, t. r re, potom dr it ri e i r dt dr it r ( i ) e r dt i t e. Předpokládáme-li, že se pohyb elektronu řídí stenou harmonickou časovou čili dosazením do (7) dostáváme m + i m + K r e ( γ ) a dosazením do (4) dostáváme výraz pro dynamickou polarizaci Ne (9) P m + imγ + K Pro se rovnice (9) redukue na rovnici (6) pro statickou polarizaci. Pro danou amplitudu vněšího elektrického pole se velikost polarizace mění s frekvencí. Imaginární člen ve menovateli znamená, že fáze P vůči rovněž závisí na frekvenci. Zavedeme-li vlastní rezonanční frekvenci vázaného elektronu K () m můžeme vztah (9) upravit do tvaru Ne / m P + iγ (8) ()

3 Učební text k přednášce UFY Z tvaru výrazu () pro polarizaci e zřemé, že můžeme očekávat rezonanční chování pro frekvence světla v blízkosti vlastní frekvence. Abychom ukázali, ak polarizace ovlivňue šíření světla v dielektriku, musíme se vrátit k obecné vlnové rovnici odvozené z Maxwellových rovnic P rot rot + μ () c t t P kde na pravé straně se obevil (na rozdíl od vlnové rovnice ve vakuu) zdroový člen μ. Dosazením z () do () dostaneme μne rot rot + c t m i t + γ kde /c με Z lineárního vztahu mezi a P plyne, že div a tedy rot rot Δ a rovnice (3) se redukue na poněkud ednodušší tvar Δ + c m i t Ne ε γ + Hledeme řešení této rovnice ve tvaru homogenní rovinné harmonické vlny šířící se podél osy z i( t z) e K Derivume (5) i( t z) ( i ) e K K i K z i( t K z) ( i K) e K z i( t K z ) ( i ) e i ( ) (3) (4) (5) i( t K z) i e Dosazení do (4) ukazue, že homogenní rovinná harmonická vlna e řešením vlnové rovnice (4) pokud Ne K + (6) c mε + iγ Přítomnost imaginárního členu ve menovateli znamená, že vlnové číslo musí být komplexní veličina, tedy K k iα 3

4 Učební text k přednášce UFY (záporné znaménko před imaginární částí sme použili proto, že potom α vychází kladné) Analogicky můžeme zavést komplexní index lomu N kde Nn ik K N (v analogii ke k c c n ) (7) Řešení rovnice (5) lze potom vyádřit ve tvaru i( t K z) α z i( t kz) e e e (8) Faktor e α z ukazue, že amplituda vlny exponenciálně klesá se vzdáleností. To znamená, že ak se vlna šíří, energie vlny e prostředím absorbována. Protože energie vlny e úměrná, mění se energie vlny se vzdáleností ako z e α. Tudíž veličina α představue koeficient absorpce prostředí. Imaginární část k komplexního indexu lomu e známa ako extinkční koeficient. Vztah mezi α a k vyadřue rovnice α k (9) c Fázový faktor v (8) ukazue, že máme harmonickou vlnu šíříce se fázovou rychlostí v c v n () k n Z rovnic (6) a (7) dostáváme a odtud získáváme vztahy N n k () ε + iγ ( i ) + Ne m ( ) Ne Re N n -k + (a) mε + γ ( ) ( ) ( Ne γ Im N ) nk (b) mε + γ ze kterých lze určit optické parametry n a k. Předpokládeme tak slabou absorpci, že ve vztahu (a) můžeme zanedbat k vůči n, a úzkou oblast absorpce, takže můžeme položit Potom při uvážení, že ( )( ) ( ) + Δ 4

5 Učební text k přednášce UFY dostáváme z (a) Ne mε 4 γ n ( ) Ne Ne u Δ Δ γ + + C mε u ( ) γ mε γ ( γ ) 4 Δ + Δ + + (3a) k Ne γ Ne C ( ) mε + (3b) 4 ( Δ ) + mε γ γ ( Δ γ ) + u kde konstantac e dána výrazem Ne C mε γ a proměnná u výrazem u Δ γ Průběh n a k v závislosti na frekvenci e znázorněn na obr. DI-. oblast anomální disperze.5 oblast normální disperze n()..5 oblast normální disperze. k().5. Obr. DI-. Průběh indexu lomu n a extinkčního koeficientuk na frekvenci Nesilněší absorpce nastává v okolí rezonanční frekvence. Index lomu e pro nízké dn frekvence větší než a s rostoucí frekvencí vzrůstá d >. To e oblast tzv. normální disperze, kterou vykazue většina transparentních látek ve viditelném oboru spektra. Pro tyto látky rezonanční frekvence leží v ultrafialové oblasti spektra. V oblasti rezonanční frekvence 5

6 Učební text k přednášce UFY se ale disperze stává anomální v tom smyslu, že s rostoucí frekvencí index lomu v oblasti dn anomální disperze klesá, tedy d < V odvození výše sme pro ednoduchost předpokládali existenci pouze edné rezonanční frekvence. Ve skutečnosti mohou být různé elektrony vázány rozdílně a můžeme proto předpokládat, že istá část f má rezonanční frekvenci, frakce f má rezonanční frekvenci a tak dále. Vztah () lze pro tento případ zobecnit Ne f N + mε (4) + iγ kde sčítáme přes všechny druhy elektronů (sčítací index ). Veličina f (nazývaná síla oscilátoru) e faktor, který určue ak silně se proevue rezonanční frekvence. Ve statické limitě výraz (4) pro kvadrát indexu lomu nabývá hodnoty Ne f +, mε což e statická dielektrická konstanta prostředí. Obr. DI-. Průběh indexu lomu n a extinkčního koeficientuk na frekvenci pro látku s několika rezonančními frekvencemi (viz vztah (4)). Jsou-li tlumící konstanty γ dostatečně malé, aby bylo možno v rovnici (4) zanedbat člen γ proti vztahem, potom bude index lomu v podstatě reálný a eho kvadrát bude dán 6

7 Učební text k přednášce UFY Ne f n ( ) + mε (5) Vztah (5) dobře platí pro plyny. Avšak v kondenzované fází na elektron nepůsobí vněší pole nýbrž v důsledku polarizace dielektrika pole lokální L, které má v případě izotropního dielektrika hodnotu L + P 3ε S uvážením lokálního pole lze odvodit vztah (Lorentzův-Lorenzův) (6) n Ne f. (7) n + 3ε m 7