Operační výzkum. Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Transkript

1 Operační výzkum Teorie her cv. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo projektu: CZ.1.07/2.2.00/

2 Maticové hry řešené v oboru smíšených strategií V případech, kdy α < β, a tedy max i min j musíme MH řešit v oboru smíšených strategií. a ij < min j max a ij( ) i Definice: Smíšenou strategií 1. hráče P rozumíme m-tici x = (x 1,..., x m), kde x i 0 a m x i = 1. Smíšenou strategií 2. hráče P rozumíme n-tici y = (y 1,..., y n), kde y j 0 a n y j = 1. Poznámka: x i vyjadřuje pravděpodobnost, s jakou 1. hráč užívá i-tou čistou strategii A i, y j vyjadřuje pravděpodobnost, s jakou 2. hráč užívá j-tou čistou strategii B j. i=1 j=1

3 Maticové hry řešené v oboru smíšených strategií Nemá-li hra sedlový bod je pro oba hráče výhodné své jednotlivé (čisté) strategie rozumně střídat. P Výraz E( x, y) = m np a ijx iy j nazýváme střední cena hry (= očekávaná výhra i=1 j=1 1. hráče = očekávaná prohra 2. hráče). Definice: Smíšené strategie x 0, y 0, pro které platí rovnost max x min y E( x, y) = min y se nazývají optimální smíšené strategie. Cena hry pak je v = E( x 0, y 0). Základní věta teorie MH: max E( x, y) = E( x 0, y 0), x Každá maticová hra má řešení v oboru smíšených strategií. Poznámka: Existuje řada metod řešení MH. Vždy jde o to nalézt optimální smíšené strategie obou hráčů x 0, y 0 a cenu hry v = E( x 0, y 0).

4 Maticové hry typu 2 2 Předpokládejme, že MH daná platební maticí «a11 a 12 A = nemá sedlový bod. a 21 a 22 Hledáme tedy optimální smíšené strategie x 0 = (x 1, x 2), y 0 = (y 1, y 2), přičemž x 1 + x 2 = 1, y 1 + y 2 = 1; x 1, x 2, y 1, y 2 0. Pro tyto optimální smíšené strategie musí platit: a 11x 1 + a 21x 2 = v, a 11y 1 + a 12y 2 = v, a 12x 1 + a 22x 2 = v, a 21y 1 + a 22y 2 = v. Řešením této soustavy rovnic získáme neznámé x 1, x 2, y 1, y 2, v: x 1 = y 1 = a22 a21, x 2 = a a22 a12, y 2 = a a12 a11, a a11 a21, a v = det(a), a kde a = a 11 + a 22 a 12 a 21, det(a) = a 11a 22 a 12a 21.

5 Maticové hry typu 2 2 Př: Řešte MH s platební maticí A = Řešení: «. Optimální strategie získáme dosazením do vzorců: a = a 11+a 22 a 12 a 21 = = 4, det(a) = a 11a 22 a 12a 21 = = 10, Tedy: x 1 = y 1 = a22 a21 a a22 a12 a = = x 0 = = 1 a12 a11, x2 = = 4 2 = 1 2 a 4 2, = 1 a11 a21, y2 = = 4 1 = 3 4 a 4 4, v = 10 4 = , 1 «1, y 0 = 2 4, 3 «, v =

6 Maticové hry typu 2 2 Př: Řešte MH s platební maticí A = «. Řešení: Optimální strategie obou hráčů a cena hry jsou: 9 x 0 = 20, 11 «3, y 0 = 20 10, 7 «, v = Hra je nespravedlivá, zvýhodňuje hráče A.

7 Maticové hry typu 2 2 Př: Řešte MH s platební maticí A = «. Řešení: Optimální strategie obou hráčů a cena hry jsou: x 0 = (1, 0), y 0 = (0, 1), v = 3. Hra je nespravedlivá, zvýhodňuje hráče A. Poznámka: Při řešení předchozí MH bylo potřeba si uvědomit, že v platební matici exituje sedlový bod (α = β), čili řešení v čistých strategiích. Formální dosazení do vzorců by dalo špatné výsledky!

8 Princip dominování Rozměry platební matice je často možno při řešení MH zmenšovat na základě principu dominování. Definice: Řekneme, že vektor a = (a 1,..., a n) dominuje vektor b = (b1,..., b n), jestliže a i b i, i = 1,..., n. Mějme MH s platební maticí A = (a ij) m n. Jestliže i-tý řádek platební matice dominuje k-tý řádek, můžeme k-tý řádek vynechat s tím, že x k = 0 a dále řešíme hru se zmenšenou maticí, která má stejné řešení jako původní hra. Jestliže j-tý sloupec platební matice dominuje k-tý řádek, můžeme j-tý sloupec vynechat s tím, že y j = 0 a dále řešíme hru se zmenšenou maticí, která má stejné řešení jako původní hra.

9 Princip dominování 0 Př: Řešte MH s platební maticí A A. Řešení: 0 A A 3. sloupec dominuje 1. sloupec (y 3 = 0) A 3 3 A 3. řádek dominuje 2. řádek (x 2 = 0) 2 3 «4 6 A = 2 3 Nyní vyřešíme MH s platební matící A podle vzorců pro MH typu 2 2:

10 Maticové hry typu 2 2 Nyní vyřešíme MH s platební matící A podle vzorců pro MH typu 2 2: x 1 = x 1 = 1 3 x 2 = x 3 = 2 3, y 1 = y 1 = 3 5, y 2 = y 2 = 2 5, v = v = 0. Optimální strategie obou hráčů a cena hry jsou: 1 x 0 = 3, 0, 2 «3, y 0 = 3 5, 2 «5, 0, v = 0. Hra je spravedlivá.

11 Maticové hry typu 2 n. Grafická metoda. Hry typu 2 n «a11 a a 1n Předpokládejme, že MH daná platební maticí A = a 21 a a 2n nemá sedlový bod. Hledáme tedy optimální smíšené strategie x 0 = (x 1, x 2), y 0 = (y 1, y 2,..., y n), přičemž x 1 + x 2 = 1, y 1 + y y n = 1; x 1, x 2, y 1, y 2,..., y n 0. Uvažujme funkce M j(x 1) = a 1jx 1 + a 2jx 2 = (a 1j a 2j)x 1 + a 2j, j = 1,..., n. Znázorníme graficky části těchto přímek v intervalu x 1 0, 1. Použijeme principu minimaxu.

12 Maticové hry typu 2 n. Grafická metoda. Použijeme principu minimaxu. Cílem 2. hráče je minimalizovat výhru 1. hráče. Určíme proto funkci M(x 1) = min j M j(x 1). Cílem 1. hráče je vhodnou volbou hodnoty x 1 maximalizovat svoji výhru. Hledáme tedy hodnotu x 0 1 takovou, že Řešením hry je pak M(x 0 1 ) = max x 1 M(x 1). v = M(x 0 1 ), x 0 = (x 0 1, 1 x 0 1 ). V optimální smíšené strategii 2. hráče jsou nenulové hodnoty y k, y l, které odpovídají přímkám M k (x 1), M l (x 1) protínajícím se v bodě (x1 0, v). Hodnoty y k, y l určíme řešením MH s platební maticí (typu 2 2) «A a1k a = 1l. a 2k a 2l

13 Maticová hra typu 2 n. Grafická metoda. Př: Řešte MH s platební maticí A = «. Řešení: α = 2, β = 5 sedlový bod neexistuje. MH budeme řešit graficky. Do grafu znázorníme přímky: M 1(x 1) = 2x 1 + 7x 2 = 5x 1 + 7, [0, 7], [1, 2], M 2(x 1) = 3x 1 + 5x 2 = 2x 1 + 5, [0, 5], [1, 3], M 3(x 1) = 11x 1 + 2x 2 = 9x 1 + 2, [0, 2], [1, 11].

14 Maticová hra typu 2 n. Grafická metoda. Obrázek: Grafické řešení MH

15 Maticová hra typu 2 n. Grafická metoda. Funkce M(x 1) je zřejmá z grafu. Maximum funkce M(x 1) nabývá v průsečíku přímek M 2 M 3. Proto y 1 = 0. Ostatní složky určíme řešením MH s platební maticí (2. a 3. sloupec): A = «. Optimální strategie obou hráčů a cena hry jsou: 3 x 0 = 11, 8 «, y 0 = 0, , 2 «, v = Hra je nespravedlivá, zvýhodňuje hráče A.

16 Maticové hry typu m 2. Grafická metoda. Hry typu m 2 Řeší se analogicky jako hry typu 2 n, ale z pohledu 2. hráče. 0 1 a 11 a 12 a 21 a 22 Předpokládejme, že MH daná platební maticí A = C.. A nemá sedlový bod. Hledáme tedy optimální smíšené strategie x 0 = (x 1, x 2,..., x m), y 0 = (y 1, y 2), přičemž x 1 + x x m = 1, y 1 + y 2 = 1; x 1, x 2,..., x m, y 1, y 2 0. Uvažujme funkce a m1 a m2 N i(x 1) = a i1y 1 + a i2y 2 = (a i1 a i2)y 1 + a i2, i = 1,..., m. Znázorníme graficky části těchto přímek v intervalu y 1 0, 1. Použijeme principu maximinu.

17 Maticové hry typu m 2. Grafická metoda. Použijeme principu maximinu. Určí se funkce N(y 1) = max N i(y 1). i Cílem 2. hráče je vhodnou volbou hodnoty y 1 minimalizovat svou prohru (=maximalizovat svoji výhru). Hledáme tedy hodnotu y1 0 takovou, že Řešením hry je pak N(y 0 1 ) = min y 1 N(y 1). v = N(y 0 1 ), y 0 = (y 0 1, 1 y 0 1 ). V optimální smíšené strategii 1. hráče jsou nenulové hodnoty x k, x l, které odpovídají přímkám N k (y 1), N l (y 1) protínajícím se v bodě (y1 0, v). Hodnoty x k, x l určíme řešením MH s platební maticí (typu 2 2) «A ak1 a = l1. a k2 a l2

18 Maticová hra typu m 2. Grafická metoda. 0 Př: Řešte MH s platební maticí A A. Řešení: α = 1, β = 1 sedlový bod neexistuje. MH budeme řešit graficky. Do grafu znázorníme přímky: N 1(y 1) = 2y 1 + y 2 = 3y 1 + 1, [0, 1], [1, 2], N 2(y 1) = y 1 5y 2 = 4y 1 5, [0, 5], [1, 1], N 3(y 1) = y 2 = y 1 1, [0, 1], [1, 0].

19 Maticová hra typu m 2. Grafická metoda. Obrázek: Grafické řešení MH

20 Maticová hra typu m 2. Grafická metoda. Funkce N(y 1) je zřejmá z grafu. Maximum funkce N(y 1) nabývá v průsečíku přímek N 1 N 3. Proto x 2 = 0. Ostatní složky určíme řešením MH s platební maticí (1. a 3. řádek): «A 2 1 =. 0 1 Optimální strategie obou hráčů a cena hry jsou: 1 x 0 = 4, 0, 3 «1, y 0 = 4 2, 1 «, v = Hra je nespravedlivá, zvýhodňuje hráče B.

21 Maticová hra typu m 2. Grafická metoda. 0 Př: Řešte MH s platební maticí A A. Řešení: α = 3, β = 4 sedlový bod neexistuje. MH budeme řešíme graficky. Do grafu znázorníme přímky: N 1(y 1) = y 1 + 4y 2 = 3y 1 + 4, [0, 4], [1, 1], N 2(y 1) = 3y 1 + 3y 2 = 3, [0, 3], [1, 3], N 3(y 1) = 5y 1 + 1y 2 = 4y 1 + 1, [0, 1], [1, 5].

22 Maticová hra typu m 2. Grafická metoda. Obrázek: Grafické řešení MH

23 Maticová hra typu m 2. Grafická metoda. Funkce N(y 1) je zřejmá z grafu. Maximum funkce N(y 1) nabývá na úsečce mezi průsečíky přímek N 1 N 2 a N 2 N 3. Celá tato úsečka představuje nekonečně mnoho optimálních řešení. Proto x 2 = 1 (přímka N 2 je konstantní). Optimální strategie obou hráčů a cena hry jsou: x 0 = (0, 1, 0), y 0 = (y 1, 1 y 1), kde y 1 Hra je nespravedlivá, zvýhodňuje hráče A. fi 1 3, 1 fl, v = 3. 2