4. Lineární (ne)rovnice s racionalitou

Transkript

1 @04 4. Lineární (ne)rovnice s racionalitou rovnice Když se řekne s racionalitou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje nějaký zlomek a neznámá je ve jmenovateli zlomku. Na co si dát pozor? u rovnic je to nula ve jmenovateli u nerovnic ještě možná změna relačního znaménka Nejprve si ukážeme tři možnosti, které mohou nastat při řešení rovnic s racionalitou, a které se po úpravách stanou lineárními rovnicemi. Příklad: Řešte v R rovnici 0 Řešení: rozbor Tato rovnice má smysl pouze tehdy, nebude-li ve jmenovateli nula. Musíme zjistit, kdy taková situace nastává a proto nejprve řešíme lineární rovnici (jmenovatel položíme roven 0). + = 0 = - Číslo - musíme vyloučit z dalších úvah o řešení, protože by to znamenalo dostat nulu do jmenovatele. Je zřejmé, že číslo nemůže být v žádném případě kořenem zadané rovnice. Za předpokladu, že -, můžeme zadanou rovnici vynásobit výrazem (+) a dostaneme Odkud snadno dostaneme - = 0 = / což je číslo různé od - a tedy je to kandidát na řešení.

2 zkouška:.0 0 L( ) 0 P( ) závěr: Tato rovnice má v R jediné řešení = /. S = {/} L P pokračování

3 @045 Předchozí tři příklady ukázaly, že řešením lineární rovnice s racionalitou může být jednoprvková množina (jedno číslo) nekonečně mnoho čísel (vyjádříme nejlépe intervalem) množina prázdná Úkol: : Řešte v R rovnici Řešení: 4 S = {} S = (- ; 4) (4; + ) S = {4}

4 @048 Bohužel. Nerovnici přece nelze rozložit na případy I. II. + < 0 - Zlomek musíte vynásobit a ne pracovat pouze s čitatelem. + > 0 - znovu prostudujte

5 @05 Bohužel. znovu prostudujte

6 @054 Správně. Řešte v R nerovnici 6 Řešení: rozbor Libovolné reálné číslo umocněné na druhou je vždy nezáporné 0 Tedy + > 0 je vždycky kladné. Vynásobíme-li zadanou nerovnost výrazem ( +), znaménko nerovnosti se nezmění nerovnici vydělíme kladným číslem ( +) Kandidáti řešení jsou tedy čísla z intervalu <5; + ) a zkouškou obráceným postupem dokážeme, že to nejsou jen kandidáti, ale přímo kořeny nerovnice (řešení nerovnice). Úkol: Řešte v N rovnici y 0 y y ( y )( y ) Nespěchejte za výsledkem, ale aspoň se pokuste rovnici vyřešit sami. výsledek

7 @04 Příklad: Řešte v R rovnici 0 Řešení: rozbor Tato rovnice má smysl pouze tehdy, nebude-li ve jmenovateli nula. Proto i tentokrát musíme z dalších úvah vyloučit číslo -. Za předpokladu, že -, můžeme zadanou rovnici vynásobit výrazem (+) a dostaneme a po úpravě což je vyloučené číslo. + = 0 = - zkouška Nedostali jsme žádného kandidáta na řešení, tedy zkouška odpadá (není co přezkoušet). závěr: Tato rovnice nemá v R řešení. S = Ø pokračování

8 @046 Bohužel, řešte rovnici pečlivěji. znovu prostudujte

9 @049 Bohužel. Pravděpodobně jste jen nepřesně provedl závěry. znovu prostudujte

10 @044 Příklad: Řešte v R rovnici Řešení: rozbor Tato rovnice má smysl pouze tehdy, nebude-li ve jmenovateli nula. I tentokrát musíme z dalších úvah vyloučit číslo -. Za předpokladu, že -, můžeme zadanou rovnici vynásobit výrazem (+) a dostaneme + = + Na obou stranách rovnice je týž výraz, tedy pro každé reálné jde o pravdivý výrok. Tedy kandidáti řešení jsou všechna reálná čísla kromě vyloučeného čísla. zkouška Kandidátů je nekonečně mnoho, tak zkoušku můžeme provést jen obrácením postupu + = + celou rovnici vydělíme (+), protože máme vyloučeno číslo, dělíme nenulovým výrazem Levou stranu necháme bez úpravy, zlomek na pravé straně vykrátíme a dostáváme původní rovnici. závěr: Řešená rovnice má nekonečně mnoho řešení. Jsou to všechna reálná čísla z množiny S = R\{-} či vyjádřeno intervaly (- ; -) (-; + ) pokračování

11 @047 Správně. 4 Nejprve musíme vyloučit číslo 4, neboť s ním bychom dostali do jmenovatele nulu. Dále vynásobíme celou rovnici číslem a výrazem (-4). ( ) = - 4 levou stranu roznásobíme a provedeme pár další úprav a skončíme určením kandidáta na řešení = Zkouška dokáže, že je to opravdu řešení zadané rovnice. nerovnice Příklad: Řešte v R nerovnici 0 Řešení: Jsme již znalci, a tak je nám jasné, že nerovnice má smysl jen pro -. Číslo = rozděluje reálná čísla na dvě části. Vyznačme si rozbor řešení do tabulky R : jestliže R : jestliže pak rozbor kandidáti řešení zkouška 0 - > 0 > pak (; + ) 0 - < 0 < pak (- ; ) jestliže (- ; -) (; + ) = Ø (-; + ) (- ; ) = (-; ) se provede obrácením postupu (modrá cesta) naznačeno šipkou řešení sjednocení dílčích řešení Ø (-; ) je řešení celkové závěr: Nerovnice má za řešení všechna z intervalu (-; ) Úkol: Řešte v R nerovnici

12 Řešení: S = (- ; -) S = (- ; -4> <4; + ) (-; + ) S = <-4; -)

13 @050 Správně. Řešte v R nerovnici R : jestliže pak R : jestliže pak rozbor kandidáti řešení zkouška - ( + ) + -4 pak (- ; -4> jestliže (- ; -) (- ; -4> = (- ; -4> - ( + ) + -4 pak <-4; + ) jestliže (-; + ) <-4; + ) = (-; + ) se provede obrácením postupu (modrá cesta) naznačeno šipkou řešení sjednocení dílčích řešení (- ; -4> (-; + ) je řešení celkové Úkol: Řešte v N rovnice a) t b) t 7 t t c) t t Řešení: v N má pouze rovnice má pouze rovnice c mají pouze rovnice a, c má pouze rovnice b

14 @05 Správně. a) t b) t 7 t t c) Řešení v R rovnic =-5/ Ø =4 Řešení: v N Ø Ø =4 t t V množině přirozených čísle N má řešení pouze rovnice c. Úkol: Řešte v R nerovnici 6 Poznámka: Neděste se. Po úpravě v rozboru tento člen zmizí. Řešení: S = (-; 5> S = (- ; -) <5; + ) S = <5; + )

15 @05 Bohužel. znovu prostudujte

16 @055 Příklad: Řešte v N rovnici y 0 y y ( y )( y ) Řešení: rozbor Ve jmenovateli se objeví nula, pokud y nabude hodnoty nebo. Proto tato dvě čísla musíme vyloučit. y a y Za tohoto předpokladu vynásobíme rovnici postupně výrazy (y-) a (y-) a další úpravy následují ( y - ) - ( y - ) = y = y = y = y Dopracovali jsme se k číslu, které je předem vyloučeno. Proto je S = Ø závěr: Zadaná rovnice nemá řešení v R tedy ani v N. KONEC LEKCE