2. Řešení algebraické

Transkript

1 @ Řešení algebraické Definice: Nechť a, c jsou reálná čísla. Rovnice v R (s neznámou x) daná formulí se nazývá lineární rovnice a ax + c = 0 se nazývají lineární nerovnice. ax + c 0 ax + c < 0 ax + c > 0 ax + c 0 Příklad: Řešte v R rovnici 3x - 6 = 0 Řešení: rozbor 3x - 6 = 0 přičteme 6 3x = 6 vydělíme 3 x = 2 L(2) = = 0 P(2) = 0 => L(2)=P(2) Příklad: Řešte v R nerovnice 2x - 6 < 0-3x + 2 < 0 Řešení: rozbor rozbor rozbor 2x - 6 < 0-3x + 2 < 0 přičteme 6 2x < 6 odečteme 6 odečteme 2-3x < -2 odečteme 2 vydělíme 2 kladné x < 3 x (- ; 3) vynásobíme 2 - kladné vydělíme 3 záporné x > 2/3 x (2/3; + ) vynásobíme 3 záporné poznámka: Zkouška nerovnic se v praxi obvykle neprovádí novým opisováním obráceného postupu, ale rozbor se prochází krok za krokem v opačném pořadí kroků a každý se znovu zdůvodňuje. poznámka: Při prvním seznamování se s řešením rovnic, je možné další kroky této lekce vynechat a vrátit se k nim později.

2 @019 Napsané rovnice jsou jedny z mnoha, které dané zadání splňují. Nepochybujeme o tom, že i ty vaše jsou správné. Napište aspoň jednu lineární rovnici, která rovnice řešení a) má právě jedno řešení v N (přirozená čísla) x - 3 = 0 x = 3 b) má právě jedno řešení v C - (celá záporná) 2x + 4 = 0 x = -2 c) má právě jedno řešení rovné 0 x + 0 = 0 x = 0 d) nemá žádné řešení v R 0.x - 7 = 0 Ø e) má za řešení všechna čísla z R 0.x + 0 = 0 R f) má právě jedno řešení v R \ Q (iracionální) 2x - = 0 x = /2 g) má právě jedno řešení větší než 1000 x = 0 x = 1001 h) má právě jedno řešení v Q \ C (racionální, ale ne celá) 3x - 2 = 0 x = 2/3

3 @018 Úkol: Jistě každý z vás vyřeší snadno lineární rovnici v R, je-li napsána ve tvaru podle definice ax + c = 0. A proto úkol bude obrácený. Napište aspoň jednu lineární rovnici, která a) má právě jedno řešení v N (přirozená čísla) b) má právě jedno řešení v C - (celá záporná čísla) c) má právě jedno řešení rovné 0 d) nemá žádné řešení v R e) má za řešení všechna čísla z R f) má právě jedno řešení v R \ Q (reálná, ale ne racionální = iracionální čísla) g) má právě jedno řešení větší než 1000 h) má právě jedno řešení v Q \ C (racionální, ale ne celá = zlomky, které nejdou vykrátit) výsledek

4 @017a přehled - obecné řešení Nyní si proveďme obecné řešení lineární rovnice. a,c R ax + c = 0 ax = -c vydělíme a a 0 a = 0 x = -c/a jediný kandidát na řešení nutná L(-c/a) = a(-c/a) + c = -c + c = 0 P(-c/a) = 0 0.x = -c c 0 c = 0 0.x = -c 0.x = 0 vlevo nula, vpravo nenula - nesplňuje žádné reálné číslo splňují všechna reálná čísla odečteme c rozklad na dva rozklad na dva Souhrn: Množina řešení lineární rovnice v R může být: 1. jednoprvková množina řešením je jedno konkrétní reálné číslo 2. prázdná množina řešení neexistuje 3. celé R existuje nekonečně mnoho řešení Původní rovnice, která po úpravách vede k lineární rovnici, může mít některá omezení související s omezujícími podmínkami (dělení nulou, záporné číslo pod odmocninou, apod.).

5 @017b Nyní si proveďme obecné řešení lineární nerovnice. a,c R ax + c > 0 ax > -c dělíme a<0, mění se relační znaménko kandidáti řešení = intervaly a < 0 a = 0 a > 0 x < -c/a nerovnice se mění na 0.x > -c 0 > -c c<0 c=0 c>0 0=0.x < c 0=0.x > 0 0=0.x < c neslučitelné podmínky nelze splnit pro žádné x nepravdivý výrok 0 > 0 stejné podmínky splňuje každé reálné x x > -c/a (- ;-c/a) Ø Ø R (-c/a;+ ) obrácením postupu není co zkoušet není co zkoušet obrácením postupu obrácením postupu odečteme c rozklad na tři dělíme a>0, relační znaménko se nemění rozklad na tři násobíme 1 relace se obrací Souhrn: Množina řešení lineární nerovnice v R může být: 1. celé R existuje nekonečně mnoho řešení 2. jednostranně neomezený interval existuje nekonečně mnoho řešení 3. prázdná množina řešení neexistuje Původní rovnice, která po úpravách vede k lineární rovnici, může mít některá omezení související s omezujícími podmínkami (dělení nulou, záporné číslo pod odmocninou, apod.).

6 @020 Nepochybujeme o tom, že dokážete vyřešit jakoukoli lineární rovnici ve tvaru ax + c = 0 Když se ale říká budeme řešit lineární rovnice, málokdy se tím myslí lineární rovnice v tomto základním tvaru. Ve většině případů se musí zadaná rovnice upravit do tohoto tvaru. Pravidla pro úpravu rovnic jsou uvedena v první lekci tohoto kurzu. Obvykle obsahuje zadaná rovnice nějakou specifiku, která určuje její označení. Tak máme lineární rovnice s racionalitou, s absolutní hodnotou, s odmocninou. Je to spíše školní označení, protože jen sbírky úloh, či kurz podobný našemu, ví předem, že po úpravách dostane řešitel lineární rovnici. Pokud pro řešení rovnice používáme pouze algebraických úprav, říkáme, že rovnici řešíme algebraicky. KONEC LEKCE