Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: = = + c) = f) +6 +8=4 g) h)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Příklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)"

Transkript

1 Příklad Řešte v R rovnice: a) =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme obě závorky na levé straně =20+4 Nyní převedeme všechny členy s neznámou na levou stranu a všechny členy bez neznámé na pravou stranu, přitom se obrátí znaménka = Na levé straně vytkneme neznámou = Provedeme operace sčítání a odčítání na obou stranách 0 =20 Vydělíme obě strany koeficientem u neznámé 0 0 =20 0 Dostáváme řešení =2 Každé řešení je třeba ověřit. Tím ověříme, zda jsme pracovali korektně a případně nepřehlédli nějakou situaci, ve které by některý z výrazů v úloze neměl smysl. Dosadíme tedy nalezené řešení do původního zadání = Vypočítáme zvlášť levou i pravou stranu = = =28 28=28 Vidíme, že levá strana se rovná pravé. Tím jsme nalezené řešení ověřili. Poznámka

2 Vzhledem k tomu, že jde o první cvičení, je tato úloha řešena až přehnaně detailně. V dalších úlohách bude tato detailnost snižována. V žádném případě by nemělo dojít k nepochopení postupu řešení. Řešení b Máme řešit rovnici 6+25 = Nejprve uvedeme všechny členy rovnice na společného jmenovatele, kterým je konstanta = Nyní můžeme celou rovnici vynásobit = Roznásobíme výrazy na obou stranách, přitom si dáme pozor na znaménka =0 +2 Zjevně jde opět o lineární rovnici o jedné neznámé. Nyní převedeme všechny členy s neznámou na levou stranu a všechny členy bez neznámé na pravou stranu, přitom se obrátí znaménka =2 6 5 Na levé straně vytkneme neznámou =2 6 5 Provedeme operace sčítání a odčítání na obou stranách 0 =0 Vzhledem k tomu, že nulou nelze dělit, nepokoušíme se již o žádné další úpravy. Této rovnici vyhovuje jakékoli reálné číslo. Řešením tedy je celá množina R. naivní Protože řešením je celá množina R, provedeme zkoušku dosazením zcela libovolného čísla. Zvolíme si například = Budeme provádět výpočty zvlášť na levé i pravé straně 8 5 2= Převedeme na společného jmenovatele, kterým je = =5 5 Levá strana se rovná pravé, zkouška je tím provedena. správná Protože řešením je celá množina R, provedeme zkoušku dosazením zcela libovolného čísla, které označíme třeba. V průběhu provádění zkoušky nesmíme zkopírovat postup řešení. Je vhodné postupovat jinak. Vhodné je upravovat zvlášť levou i pravou stranu rovnice = Převedeme na společného jmenovatele, kterým je 5 na obou stranách =

3 = = Levá strana se rovná pravé, zkouška je tím provedena. Řešení c Máme řešit rovnici = Při práci s výrazy je vždy nutné si uvědomit, že nesmíme zapomenout na zkoumání toho, kdy mají výrazy smysl. Zde je dobré si všimnout, že 2 +4 = V tomto případě tedy jde o to, že jmenovatelé zlomků musí být různé od nuly. Musí tedy platit 2 0 a současně +4 0 Neboli 2 a současně 4 Nyní můžeme přistoupit k hledání řešení. Nejprve uvedeme všechny členy rovnice na společného jmenovatele, kterým je výraz Víme, že 2 +4 = Této znalosti využijeme a dostaneme = Nyní můžeme celou rovnici vynásobit výrazem = Roznásobíme výrazy na obou stranách = Všechny členy převedeme na levou stranu, přitom si dáme pozor na znaménka =0 Dáme k sobě členy se stejnými mocninami neznámé (pěkně od největší mocniny k nejmenší) =0 Vytkneme =0 Dostaneme =0 První člen je nula a nemusíme ho tedy psát 7 4=0 Odtud dostáváme =2 Z rozboru případů, pro které má zadání úlohy smysl, víme, že musí platit podmínky 2 a současně 4 Tyto podmínky vylučují dříve nalezené řešení. Úloha tedy nemá řešení. V tomto případě by bylo nesmyslné dělat jakoukoli zkoušku. 3

4 Řešení d Máme řešit rovnici 3 +2 = 5 +6 Nejprve je nutné nalézt podmínky, za kterých bude mít hledání řešení smysl. Jmenovatelé zlomků musí být nenulové, tedy musí platit 3 0 a současně +2 0 a současně +6 Třetí podmínka je evidentně splněna vždy (výraz +6 je vždy kladný). Musí tedy platit 3 a současně 2 Nyní můžeme začít hledat řešení. Celou rovnici převedeme na společného jmenovatele, kterým je výraz a dostaneme = Celou rovnici nyní tímto společným jmenovatelem vynásobíme. Odtud = Roznásobíme výrazy vpravo i vlevo = Odstraníme závorky (pozor na znaménka) = Všechny členy zprava převedeme na levou stranu a uspořádáme tak, aby spolu byly členy se stejnou mocninou neznámé =0 Vytkneme stejné mocniny neznámé =0 Vypočteme součty a rozdíly v závorkách =0 Levé dva členy jsou zřejmě nulové. Odtud 5 +60=0 Dostáváme řešení = 2 Toto řešení není v rozporu s dříve nalezenými podmínkami. Dosadíme nalezené řešení do původního zadání a vypočteme zvlášť levou i pravou stranu = Vypočteme těch pár jednoduchostí 5 0 = Dokončíme úpravy pravé strany 5 0 = 5 50 Zkrátíme pravou stranu a převedeme na společného jmenovatele = 30 Zpracujeme dva minusy a nakonec to sečteme 4

5 30 = 30 Levá strana se rovná pravé. Správnost řešení tím byla prokázána. Řešení e Máme řešit rovnici Nejprve stanovíme podmínky pro řešení úlohy. Aby oba zlomky měly smysl, musí být jejich jmenovatelé různé od nuly. Musí tedy platit 0 a současně 0 Odtud po úpravě dostaneme pro oba případy 2 3 Nyní můžeme přistoupit k vlastnímu řešení úlohy. Nejprve čitatele i jmenovatele obou zlomků převedeme na společný jmenovatel Nyní oba zlomky převedeme na jednoduché = = =2 Oba zlomky mají nyní stejný jmenovatel, můžeme je tedy sečíst = Celou rovnici vynásobíme jmenovatelem zlomku na levé straně = Výrazy na levé i pravé straně roznásobíme a dostaneme =8 2 Členy s neznámou převedeme na levou stranu a zbylé konstanty na pravou stranu = Vytkneme neznámou nalevo = Vypočteme součty =2 A dostáváme řešení =2 Toto řešení vyhovuje podmínce nalezené dříve, je tedy vyhovující. Zkoušku provedeme dosazením řešení do levé strany původní rovnice (napravo se neznámá nevyskytuje) =

6 Vypočteme součiny Nyní vypočteme rozdíly A nakonec podíly Druhý zlomek zjednodušíme = = =2 =2 Vykrátíme =2 Oba zlomky mají stejného jmenovatele, takže je bez problémů sečteme A dále již jednoduše Vykrátíme +3 2 =2 4 2 =2 2=2 Nyní se levá strana rovná pravé. Zkouškou jsme ověřili správnost nalezeného řešení. Řešení f Máme řešit rovnici 6 +8=4 Standardní řešení Členy z pravé strany si převedeme na levou =0 Sečteme a odečteme odpovídající členy 5 +4=0 Dostali jsme kvadratickou rovnici ve standardním tvaru. Vypočteme její diskriminant = 5 4 4=25 6=9 Nyní nalezneme řešení dosazením do standardního vzorce Odtud Řešení pro všímavé = 5+3 2, = 5 ± 9 2 = 5±3 2 = 8 2 =4 ; = = 2 2 = 6

7 Všimneme si, že levou stranu rovnice lze rozložit na součin dvou členů, z nichž jeden nápadně připomíná pravou stranu 2 4 =4 Pravou stranu upravíme tak, aby ta podobnost byla zjevná 2 4 = 4 Nyní vidíme, že na obou stranách máme člen 4. Bude-li tento člen nulový, budou se obě strany rovnat. Odtud přímo dostáváme =4 Pro nalezení druhého řešení můžeme předpokládat, že 4 0. V tomto případě můžeme členem 4 rovnici vykrátit. 2 = Odtud již přímo dostáváme druhé řešení = Zkoušku musíme provést pro obě nalezená řešení. Nejprve tedy do původní rovnice dosadíme první z nich =4 4 Po úpravě dostaneme =4 4 A dále 0=0 Obě strany jsou stejné, tím je správnost prvního řešení ověřena. Nyní uděláme totéž pro druhé řešení 6 +8=4 Po úpravě dostaneme 6+8=4 A dále 3=3 Obě strany jsou stejné, tím je ověřena i správnost druhého řešení. Řešení g Máme řešit rovnici =0 Všimněme si, že jmenovatel třetího zlomku je součinem jmenovatelů prvních dvou zlomků. To nám umožní snadno určit podmínky řešení (jmenovatelé zlomků musí být nenulové) ±4 Pro nalezení řešení rovnice nyní můžeme převést levou stranu rovnice na společného jmenovatele =0 Levou stranu napíšeme jako jeden zlomek = Protože z dřívějška předpokládáme, že ±4, můžeme celou rovnici vynásobit jmenovatelem levé strany 7

8 =0 Roznásobíme závorky =0 Sečteme a uspořádáme do standardního tvaru. 3 40=0 Máme nyní kvadratickou rovnici ve standardním tvaru. Vypočteme diskriminant = =9+60=69=3 Diskriminant je kladný, rovnice bude mít dvě řešení. Nyní můžeme podle standardního vzorce vypočítat Odtud, = 3 ± 3 2 = 3±3 2 = 3+3 = =8 ; = 3 3 = = 5 pro první řešení Dosadíme první řešení do dané rovnice =0 Provedeme naznačené výpočty a dostáváme =0 Dále Vykrátíme Uvedeme na společného jmenovatele Dále Neboli Tím je první řešení ověřeno. pro druhé řešení Dosadíme první řešení do dané rovnice = = = =0 = =0 Provedeme naznačené výpočty a dostáváme =0 Dále Uvedeme na společného jmenovatele =0 8

9 Dále Neboli = =0 Tím je druhé řešení ověřeno. Řešení h Máme řešit rovnici 4 +4 = 5 2 Nejprve stanovíme podmínky řešení. Všechny jmenovatele musí být různé od nuly, musí tedy platit ±4 ; 5 ; 2 Obě strany rovnice převedeme na společného jmenovatele = Každou ze stran napíšeme jako jediný zlomek +4 4 = Provedeme výpočty v obou čitatelích = Nyní oba zlomky převedeme na společného jmenovatele = Za předpokladu stanoveného v podmínkách řešení můžeme obě strany rovnice tímto jmenovatelem vynásobit. Dostaneme = Obě strany roznásobíme = Neboli =3 48 Převedeme na levou stranu =0 Máme kvadratickou rovnici ve standardním tvaru. Vypočteme diskriminant = = =576=24 Diskriminant je kladný, rovnice bude mít dvě řešení. Nyní můžeme podle standardního vzorce vypočítat Odtud = , = 56 ± =0 = 56±24 0 = 80 0 =8 ; = = =6 5

10 pro první řešení Dosadíme první řešení do dané rovnice = Provedeme naznačené výpočty 4 2 = 3 6 Uvedeme na společného jmenovatele =2 6 6 Odečteme 2 2 = 6 Vykrátíme 6 = 6 Obě strany jsou stejné. První řešení tím je ověřeno. pro druhé řešení Dosadíme druhé řešení do dané rovnice = Uvedeme ve jmenovatelích na společné jmenovatele = Provedeme naznačené operace Převedeme na jednoduché zlomky = = Obě strany převedeme na společné jmenovatele = Odečteme = 25 8 A vykrátíme 25 8 = 25 8 Obě strany jsou stejné. Druhé řešení tím je ověřeno. 0

11 Příklad 2 Řešte v R nerovnice: a) 5< b) 5 3 c) d) e) f) < Poznámka Pro všechny tyto případy si ukážeme i možnost alternativního grafického (a proto nedostatečně přesného) řešení. Hlavním důvodem je možnost spatřit grafy jednotlivých funkcí na obou stranách nerovnic. V příslušných grafech bude modrá čára vždy grafem funkce na levé straně a zelená na pravé straně nerovnice. Pro vytvoření grafů využijeme programu Microsoft Mathematics. Tento program má licenci k volnému použití. Za tímto účelem lze využít řadu dalších podobných programů. Řešení 2a Máme řešit nerovnici < 2 Jednotlivé výrazy jsou definovány v celém R. Nemáme pro ně tedy žádné omezující podmínky. Nyní můžeme přistoupit k řešení nerovnice. Celou nerovnici uvedeme na společného jmenovatele, kterým je konstanta <3 6 6 Levou stranu spojíme do jediného zlomku < Obě strany nerovnice vynásobíme 6. To je kladná konstanta, znak nerovnosti tedy zůstane zachován <3 Obě strany roznásobíme <3 3 Na levé straně posčítáme členy, které sčítat můžeme 7<3 3 Členy s neznámou převedeme na pravou stranu, ostatní konstanty převedeme na levou stranu 7+3<3 Sečteme 4<2 Vydělíme dvěma, což je kladná konstanta, která nezmění znak nerovnosti 7< Řešením nerovnice je tedy 7,

12 Zkoušku provedeme tak, že za neznámou dosadíme do původního zadání libovolnou hodnotu z množiny výsledku, v tomto případě například hodnotu nula Provedeme základní výpočty Upravíme znaménka Levou stranu uvedeme na společný jmenovatel Vynásobíme Sečteme na levé straně Poslední výraz je zjevně platný. je tím dokončena. Je důležité si uvědomit, že zkouška pro nerovnice není tak exaktní, jako zkouška pro rovnice. Je to proto, že při zkoušce pro rovnici ověřujeme každé konkrétní řešení, kdežto při zkoušce pro nerovnici obvykle ověřujeme jedno konkrétní řešení z nekonečně mnoha. Grafické řešení Namalujeme si grafy funkcí na levé (modrá) a na pravé (zelená) straně nerovnice. Řešením bude ten interval, kde jsou hodnoty grafu funkce z levé strany menší než hodnoty grafu z pravé strany. Odtud (za pomoci odhadu x-ové souřadnice průsečíků): 7, V tomto případě je použití zcela odlišného řešení velmi dobrou zkouškou. 2

13 Řešení 2b Máme řešit nerovnici 5 Jednotlivé výrazy jsou definovány v celém R. Nemáme tedy žádné omezující podmínky. Úlohu lze řešit více způsoby. V dalším si ukážeme algebraické a grafické řešení. Algebraické řešení Umocníme a roznásobíme výraz vlevo Členy z pravé strany převedeme na levou stranu To je kvadratická nerovnice ve standardním tvaru. Vypočteme diskriminant = =49+20=69=3 Nyní podle standardního vzorce vypočteme kořeny příslušné rovnice Odtud přímo dostáváme, = 7 ± = 7±3 0 = 7+3 = =2 ; = 7 3 = = 3 5 Nyní je nutné určit, zda nerovnici splňuje množina mezi těmito body, či množina vně těchto bodů. To lze ověřit snadno. Mezi těmito body leží bod 0. Dosadíme tedy nulu do zadané nerovnice. Pokud bude nerovnice splněna, je hledaným řešením množina mezi těmito body. Bude-li nerovnice po takovém dosazení nesplněna, bude hledaným řešením množina vně tohoto intervalu. Při hledání řešení je nutné si uvědomit, že nalezené body nerovnici splňují, protože nerovnice připouští možnost, že se i rovná. Po dosazení 0 dostaneme Po úpravě a odstranění nul 5 Tato nerovnice zjevně neplatí. Hledaným řešení tedy musí být množina ; 2 3 2; Grafické řešení Namalujeme si grafy funkcí na levé a na pravé straně nerovnice. Řešením bude ten interval, kde jsou hodnoty grafu funkce z levé strany menší nebo rovny hodnotám grafu z pravé strany. 3

14 Odtud (za pomoci odhadu x-ové souřadnice průsečíků): ; 2 3 2; V tomto případě je použití zcela odlišného řešení velmi dobrou zkouškou. Řešení 2c Máme řešit nerovnici Jednotlivé výrazy jsou definovány v celém R. Nemáme tedy žádné omezující podmínky. Levá strana je kvadratickým výrazem ve standardním tvaru. Vypočítáme diskriminant Nyní podle standardního vzorce vypočteme kořeny příslušné rovnice Odtud přímo dostáváme, ; Nyní je nutné určit, zda nerovnici splňuje množina mezi těmito body, či množina vně těchto bodů. To lze ověřit snadno. Mezi těmito body leží bod 0. Dosadíme tedy nulu do zadané nerovnice. Pokud bude nerovnice splněna, je hledaným řešením množiny mezi těmito body. Bude-li nerovnice nesplněna, bude hledaným řešením množina vně tohoto intervalu. Při hledání řešení je nutné si uvědomit, že nalezené body nerovnici splňují, protože nerovnice připouští možnost, že se i rovná. Po dosazení 0 dostaneme Po úpravě a odstranění nul 35 0 Tato nerovnice zjevně platí. Hledaným řešení tedy musí být interval 5 2 ;7 4

15 Grafické řešení Namalujeme si grafy funkcí na levé a na pravé straně nerovnice. Řešením bude ten interval, kde jsou hodnoty grafu funkce z levé strany menší nebo rovny hodnotám grafu z pravé strany. Odtud (za pomoci odhadu x-ové souřadnice průsečíků): 5 2 ;7 V tomto případě je použití zcela odlišného řešení velmi dobrou zkouškou. Řešení 2d Máme řešit nerovnici 6 2 Nejprve vyhledáme omezující podmínky. Jmenovatel zlomku vlevo musí být nenulový. Musí tedy platit Nyní můžeme přistoupit k hledání řešení. Tento příklad bude mít řešení komplikovanější, než příklady předchozí, protože se v něm vyskytuje podíl (se součinem by to bylo stejné) členů obsahujících neznámou. Nejprve od obou stran nerovnice odečteme 2 tak, aby pravá strana byla nulová Uvedeme na společného jmenovatele 6 A převedeme na jediný zlomek Upravíme výraz v čitateli 8 0 Nyní jsme se dostali do klíčového místa. Je třeba si uvědomit, za jakých podmínek je podíl záporný. Stane se tak právě tehdy, když jeden člen je kladný a druhý záporný. Dostáváme proto dva případy. 5

16 První případ Zde jen pro jistotu podotkněme, že symbol znamená logickou spojku a (a současně) a symbol představuje logickou spojku nebo. Obě nerovnice upravíme a dostaneme 8 Odtud plyne přímo 8 Druhý případ Obě nerovnice upravíme a dostaneme 8 Odtud plyne přímo Sjednocením obou případů dostáváme 8 Této podmínce vyhovují ; 8; Grafické řešení Namalujeme si grafy funkcí na levé a na pravé straně nerovnice. Řešením bude ten interval, kde jsou hodnoty grafu funkce z levé strany menší než hodnoty grafu z pravé strany. Odtud (za pomoci odhadu x-ové souřadnice průsečíků): ; 8; V tomto případě je použití zcela odlišného řešení velmi dobrou zkouškou. 6

17 Řešení 2e Máme řešit nerovnici +2 Nejprve vyhledáme omezující podmínky. Jmenovatel zlomku vlevo musí být nenulový. Musí tedy platit Tento příklad vede k podobnému řešení, jako příklad předchozí. Všechny výrazy převedeme nalevo +2 0 Převedeme na společného jmenovatele +2 0 Odečteme do jediného zlomku +2 0 Roznásobíme Upravíme +2 0 Odečteme a dostaneme +2 0 Tento zlomek bude nezáporný právě tehdy, když čitatel bude nezáporný a současně jmenovatel kladný, nebo čitatel bude nekladný a současně jmenovatel záporný. Dostáváme tedy dva případy. První případ Zde jen pro jistotu podotkněme, že symbol znamená logickou spojku a (a současně) a symbol představuje logickou spojku nebo. Obě nerovnice upravíme a dostaneme 2 Odtud plyne přímo ;2 Druhý případ 2 0 <0 Zde jen pro jistotu podotkněme, že symbol znamená logickou spojku a (a současně) a symbol představuje logickou spojku nebo. Obě nerovnice upravíme a dostaneme 2 < Odtud plyne přímo, že podmínky jsou ve sporu, neboli řešením druhého případu je prázdná množina. Množiny řešení obou případů sjednotíme a dostaneme konečné řešení ;2 Grafické řešení Namalujeme si grafy funkcí na levé a na pravé straně nerovnice. Řešením bude ten interval, kde jsou hodnoty grafu funkce z levé strany větší než hodnoty grafu z pravé strany. 7

18 Odtud (za pomoci odhadu x-ové souřadnice průsečíků): ;2 V tomto případě je použití zcela odlišného řešení velmi dobrou zkouškou. Řešení 2f Máme řešit nerovnici Nejprve vyhledáme omezující podmínky. Jmenovatelé zlomků vlevo musí být nenulové. Musí tedy platit 2 a současně 4 Oba zlomky nalevo i výraz na pravé straně převedeme na společného jmenovatele Zlomky na levé straně sečteme Výrazy v čitateli na levé straně roznásobíme

19 Jednotlivé mocniny neznámé v čitateli na levé straně sečteme Celou nerovnici vydělíme dvěma. Dvě je kladná hodnota, znaménko nerovnosti se tedy nemění Pravou stranu převedeme na levou Uvedeme na společného jmenovatele a roznásobíme Výraz v čitateli sečteme Zlomek nalevo musí být nekladný. To nastane jen tehdy, když právě jeden, nebo právě všechny tři výrazy na levé straně jsou záporné s upřesněním, že u čitatele je třeba připustit možnost, že je nekladný. Tento problém budeme řešit tak, že určíme nulové body jednotlivých výrazů levé strany. Tyto body nám rozdělí osu na čtyři části. Těmito body jsou ;-2; 4. Tyto body nám rozdělují reálnou osu na následující intervaly. U těchto intervalů uvedeme, jaké znaménko bude mít v tomto intervalů výraz vlevo. ; výraz vlevo je nekladný ; 2 výraz vlevo je kladný 2;4 výraz vlevo je záporný 4; výraz vlevo je kladný Nerovnici vyhovuje první a třetí z těchto intervalů. Řešením zadané nerovnice tedy je ; 3 2 2;4 Grafické řešení Namalujeme si grafy funkcí na levé a na pravé straně nerovnice. Řešením bude ten interval, kde jsou hodnoty grafu funkce z levé strany menší nebo rovny hodnotám grafu z pravé strany. 9

20 Odtud (za pomoci odhadu x-ové souřadnice průsečíků): ; 3 2 2;4 V tomto případě je použití zcela odlišného řešení velmi dobrou zkouškou. 20

21 Příklad 3 Řešte v R rovnice: a) 3 +3 =08 b) =32 c) =0 d) =33 e) log 7 +6 =+log 3 4 f) ln +3=0 Řešení 3a Máme řešit rovnici 3 +3 =08 Druhý z výrazů na levé straně upravíme tak, aby obsahoval stejnou mocninu jako ten první =08 Vytkneme vpravo +3 3 =08 Upravíme 4 3 =08 Vydělíme 3 =27 Nyní si stačí uvědomit, že 27 je třetí mocninou tří 3 =3 Logaritmujeme obě strany rovnice log3 =log3 Upravíme log3=3log3 Vykrátíme a dostáváme řešení =3 Pokud si pravdu o třetí mocnině tří neuvědomíme, musíme použít logaritmy log3 =log27 Upravíme log3=log27 Odtud = log27 log3 =log 27=log 3 =3log 3=3 =3 Dosadíme naše řešení do původního zadání 3 +3 =08 Upravíme 3 +3 =08 Vypočteme mocniny 27+8=08 Sečteme 2

22 08=08 Obě strany se rovnají. Tím je správnost výsledku prokázána. Řešení 3b Máme řešit rovnici =32 Nejprve levou stranu upravíme =32 Sjednotíme mocniny čtyř =32 Vytkneme mocninu čtyř vpravo =32 Odečteme 2 4 =32 Vydělíme dvěma obě strany rovnice 4 =6 Nyní si stačí uvědomit, že 6 je druhá mocnina čtyř 4 =4 Logaritmujeme obě strany rovnice log4 =log4 Upravíme log4=2log4 Zkrátíme a dostáváme řešení =2 Dosadíme řešení do původní rovnice =32 Vypočteme exponenty =32 Umocníme =32 Vynásobíme 64 32=32 Odečteme 32=32 Tím je správnost řešení prokázána. Řešení 3c Máme řešit rovnici Střední člen rozdělíme Vytkneme = = =0 22

23 A vytkneme ještě jednou =0 Vyjádříme osm jako třetí mocninu dvou a jedna jako nultou mocninu dvou =0 Nyní jsme dostali součin dvou členů, který je nulový. Musí být tedy nulový jeden nebo druhý z těchto členů, neboli 2 2 =0 2 2 =0 Neboli 2 =2 2 =2 Odtud pomocí logaritmování, úpravy a zkrácení (viz předchozí dva příklady) dostáváme přímo dvě řešení dané rovnice =3 =0 Nalezené první řešení dosadíme do původní rovnice =0 Umocníme =0 Vynásobíme =0 Sečteme a odečteme 0=0 Obě strany se rovnají. Tím je správnost prvního řešení ověřena. Nyní dosadíme do původní rovnice nalezené druhé řešení =0 Umocníme 9 +8=0 Vynásobíme 9+8=0 Sečteme a odečteme 0=0 Obě strany se rovnají. Tím je ověřena i správnost druhého řešení. Řešení 3d Máme řešit rovnici Rozdělíme první mocninu Vytkneme vpravo Umocníme Odečteme Upravíme = = = = = =33 23

24 A uděláme ještě jednu úpravu Vydělíme dvěma Pomocí logaritmů pokračujeme Upravíme A dokončíme 2 4 =33 4 = 33 2 log4 =log 33 2 log4=log 33 2 = log33 2 log4 =log 33 2 Nalezené řešení dosadíme do původní rovnice Upravíme A v dalším kroku Vytkneme Odečteme Využijeme základní vlastnosti logaritmů Odtud již přímo = = = = = =33 33=33 Levá strana se rovná straně pravé. Tím je správnost výsledku prokázána. Řešení 3e Máme řešit rovnici log 7 +6 =+log 3 4 Vyjádříme jednotku jako logaritmus deseti log 7 +6 =log0+log 3 4 Součet logaritmů je logaritmus součinu log 7 +6 =log0 3 4 Logaritmus je prostá funkce, takže rovnají-li se logaritmy, musí se rovnat i jejich argumenty, tedy 7 +6=0 3 4 Roznásobíme 7 +6=

25 Upravíme 46=23 Odtud přímo =2 Poznámka Matematik by poslední zásadní krok řešení udělal spíše s využitím exponenciální funkce takto 0 =0 Odtud 7 +6=0 3 4 A dále již shodné úpravy vedoucí k výsledku. Dosadíme do původní rovnice log =+log Provedeme výpočet v argumentech logaritmů log 20 =+log 2 Roznásobíme log 0 2 =+log 2 Využijeme větu o logaritmu součinu log 0 +log 2 =+log 2 Využijeme větu o logaritmu základu +log 2 =+log 2 Obě strany jsou stejné. Tím je řešení potvrzeno. Řešení 3f Máme řešit rovnici ln 3=0 Vyjádříme 3 jako přirozený logaritmus ln +ln =0 Dále ln = ln Upravíme ln =ln Logaritmus je prostá funkce, proto rovnají-li se její hodnoty, musí se rovnat její argumenty. Tak dostáváme přímo řešení = Poznámka Matematik by poslední krok udělal spíše s využitím exponenciální funkce takto Odtud Dosadíme nalezené řešení do původní rovnice ln 3=0 Vypočteme přirozený logaritmus 3+3=0 25

26 Sečteme a dostaneme 0=0 Tím je nalezené řešení potvrzeno. 26

27 Příklad 4 Řešte v R nerovnice: a) b) c) log +2 3 d) 0 Poznámka Pro všechny tyto případy si ukážeme i možnost alternativního grafického (a proto nedostatečně přesného) řešení. Hlavním důvodem je možnost spatřit grafy jednotlivých funkcí na obou stranách nerovnic. V příslušných grafech bude modrá čára vždy grafem funkce na levé straně a zelená na pravé straně nerovnice. Pro vytvoření grafů využijeme programu Microsoft Mathematics. Tento program má licenci k volnému použití. Za tímto účelem lze využít řadu dalších podobných programů. Řešení 4a Máme řešit nerovnici Převedeme součin z pravé strany na levou stranu K oběma stranám přičteme jednotku Pravou stranu sečteme a první člen levé strany vyjádříme jako druhou mocninu Na levé straně nyní vidíme použití známého vzorce + = 2 +. Upravíme obě strany 3 2 Musí tedy platit 3 < Je důležité zaznamenat, že mezi oběma případy je logická spojka nebo. Musíme tedy zkoumat obě možnosti. Výsledek bude sjednocením obou dílčích výsledků. Zabývejme se nyní prvním případem 3 < 2 Upravíme 3 < Vzhledem k tomu, že exponenciální funkce s jakýmkoli základem je vždy kladná, je zřejmé, že tato situace nemůže nastat. Budeme se tedy zabývat druhým případem 3 2 Upravíme 3 3 Logaritmujeme obě strany log3 log3 Upravíme log3 log3 27

28 Vykrátíme a dostáváme výsledek Celkovým výsledkem úlohy tedy je ; Grafické řešení Namalujeme si grafy funkcí na levé a na pravé straně nerovnice. Řešením bude ten interval, kde jsou hodnoty grafu funkce z levé strany větší než hodnoty grafu z pravé strany. Odtud (za pomoci odhadu x-ové souřadnice průsečíku): ; Použití zcela odlišné metody řešení je současně poměrně dobrou zkouškou. Řešení 4b Máme řešit nerovnici Upravíme levou stranu

29 Uděláme ještě jednu úpravu a k oběma stranám nerovnice přičteme Uvědomíme si, že 25 5 a sečteme pravou stranu Uvědomíme si, že 36=6 a, že pro levou stranu lze použít vzorec Musí tedy platit Neboli Zabývejme se nyní prvním případem Po úpravě 5 Je zřejmé, že tento případ nemá řešení, protože exponenciála s kladným základem nemůže být nikdy záporná. Budeme se zabývat druhým případem Od obou stran nerovnice odečteme 5 5 Vyjádříme jako nultou mocninu Logaritmujeme log5 log5 Užijeme jedné ze základních vlastností logaritmu log5 0log5 Vykrátíme a dostáváme výsledek 0 Řešení úlohy tedy je 0;+ = Grafické řešení Namalujeme si grafy funkcí na levé a na pravé straně nerovnice. Řešením bude ten interval, kde jsou hodnoty grafu funkce z levé strany větší než hodnoty grafu z pravé strany. 29

30 Odtud (za pomoci odhadu x-ové souřadnice průsečíku): 0; Použití zcela odlišné metody řešení je současně poměrně dobrou zkouškou. Řešení 4c Máme řešit nerovnici log +2 3 Nejprve je třeba stanovit podmínky řešení. Argument logaritmu musí být kladný, musí tedy platit +2 0 Neboli 2 Nyní můžeme nerovnici řešit. Obě strany nerovnice užijeme jako argumenty exponenciální funkce se základem 2 (je prostá a zachovává nerovnosti) 2 2 Odtud 2 8 Od obou stran rovnice odečteme 2 a dostáváme řešení 30

31 6 Toto řešení vyhovuje stanovené podmínce. Konečným řešením tedy je 6 Grafické řešení Namalujeme si grafy funkcí na levé a na pravé straně nerovnice. Řešením bude ten interval, kde jsou hodnoty grafu funkce z levé strany větší než hodnoty grafu z pravé strany. Odtud (za pomoci odhadu x-ové souřadnice průsečíku): 6; Použití zcela odlišné metody řešení je současně poměrně dobrou zkouškou. Řešení 4d Máme řešit nerovnici log log 2 Nejprve je třeba stanovit podmínky řešení. Jmenovatel zlomku na levé straně nesmí být roven nule. Dále argumenty logaritmů musí být kladné. Musí tedy současně platit log

32 Logaritmus nabývá hodnoty nula, je-li jeho argument roven jedné, tedy Po úpravě Řešení tedy můžeme hledat pouze na množině ; 2 2 ;+ Nyní můžeme přistoupit k hledání řešení naší úlohy log log 2 Jedná se o podíl dvou výrazů. Ten bude kladný právě tehdy, když oba výrazy budou současně záporně, nebo když budou oba současně kladné, neboli log 3 + <0 log 2 <0 log log 2 0 Vyšetříme tedy první případ log 3 + <0 log 2 <0 Za použití znalosti záporných hodnot logaritmu, respektive exponenciály se základem 0 dostaneme 3 +< 2 < Odtud 3 <0 2 < Neboli <0 < 2 Pro první případ tedy musí být <0 To ale odporuje podmínkám řešení. Vyšetříme nyní druhý případ log log 2 0 Za použití znalosti záporných hodnot logaritmu, respektive exponenciály se základem 0 dostaneme Odtud Neboli Pro druhý případ tedy musí být To podmínkám řešení vyhovuje. Konečné řešení je průnikem podmínek řešení a sjednocení řešení nalezeného v obou případech, neboli 2 ;+ Grafické řešení Namalujeme si grafy funkcí na levé a na pravé straně nerovnice. Řešením bude ten interval, kde jsou hodnoty grafu funkce z levé strany větší než hodnoty grafu z pravé strany. 32

33 Odtud (za pomoci znalosti x-ové souřadnice bodu, kde výraz na levé straně není definován): 2 ; Použití zcela odlišné metody řešení je současně poměrně dobrou zkouškou. 33

34 Příklad 5 Zakreslete následující množiny a určete jejich sjednocení, průnik, rozdíl a doplněk v množině D: a),2, = : 3 <, = b) = 4,8, = : 6 2, = c) = : 4, = : 25, = Řešení 5a Máme zakreslit množiny a určit jejich sjednocení, průnik, rozdíl a doplněk v množině D,2, = : 3 <, = Postupně si pomocí intervalů vyjádříme všechny tři množiny. Pro množinu M je to již zadáno =,2 Množina N je zadána = : 3 < Zde pracujeme s absolutní hodnotou, musíme tedy zvážit dva případy 3 0 3< <4 3<0 3 < < 2 2 Můžeme tedy psát = 2,4 Množinu D (všechna nezáporná reálná čísla) můžeme zapsat jako = 0,+ Nyní lze zapsat jednotlivé požadované množiny =,2 2,4 = = = = = 0, 2,+ = = 0,2 4,+ Zde O značí prázdnou množinu. Na obrázku jsou body do množiny patřící vyznačeny plným kolečkem, nepatřící prázdným kolečkem. 34

35 Řešení 5b Máme zakreslit množiny a určit jejich sjednocení, průnik, rozdíl a doplněk v množině D 4,8, = : 6 2, = Postupně si pomocí intervalů vyjádříme všechny tři množiny. Pro množinu M je to již zadáno = 4,8 Množina N je zadána = : 6 2 Zde pracujeme s absolutní hodnotou, musíme tedy zvážit dva případy <8 6<0 6 2 < 4 4 Můžeme tedy psát = 4,8 Množinu D (všechna nezáporná reálná čísla) můžeme zapsat jako = 0;+ Nyní lze zapsat jednotlivé požadované množiny = 4,8 = 4,8 = = 4;8 = = 0,4 8,+ = = 0,4 8,+ Zde O značí prázdnou množinu. Na obrázku jsou body do množiny patřící vyznačeny plným kolečkem, nepatřící prázdným kolečkem. 35

36 Řešení 5c Máme zakreslit množiny a určit jejich sjednocení, průnik, rozdíl a doplněk v množině D : 4, = : 25, = Postupně si pomocí intervalů vyjádříme všechny tři množiny. Pro množinu M je zadáno = : 4 Což můžeme zapsat jako (pozor, jedná se jen o celá čísla) = 4, 3, 2,,0,,2,3,4 Množina N je zadána = : 25 Což můžeme zapsat jako (opět se jedná o celá čísla) = 5, 4, 3, 2,,0,,2,3,4,5 Množinu D (všechna celá čísla) můžeme s určitým zjednodušením zapsat jako =, 7, 6, 5, 4, 3, 2,,0,,2,3,4,5,6,7, Nyní lze zapsat jednotlivé požadované množiny = 5, 4, 3, 2,,0,,2,3,4,5 = 4, 3, 2,,0,,2,3,4 = = 5;5 = =, 7, 6, 5 5,6,7, = =, 7, 6 6,7, Zde O značí prázdnou množinu. Na obrázku jsou body do množiny patřící vyznačeny plným kolečkem, nepatřící prázdným kolečkem. 36

37 Příklad 6 Pro množiny představující jednotlivá řešení z Příkladu 5 určete jejich minimum a maximum (pokud existují), dále infimum a supremum na rozšířené reálné ose. Řešení 6a Odpověď na tuto úlohu zpracujeme do tabulky Množina Minimum Maximum Infimum Supremum =,2 2,4 neexistuje 4 = neexistuje neexistuje + - = neexistuje neexistuje + - = neexistuje neexistuje + - = 0, 2,+ 0 neexistuje 0 + = 0,2 4,+ 0 neexistuje 0 + Řešení 6b Odpověď na tuto úlohu zpracujeme do tabulky Množina Minimum Maximum Infimum Supremum = 4, = 4,8 neexistuje neexistuje 4 8 = neexistuje neexistuje + - = 4; = 0,4 8,+ neexistuje neexistuje 0 + = 0,4 8,+ neexistuje neexistuje 0 + Řešení 6c Odpověď na tuto úlohu zpracujeme do tabulky Množina Minimum Maximum Infimum Supremum = 5, 4, 3, 2,,0,,2,3,4, = 4, 3, 2,,0,,2,3,4 = neexistuje neexistuje + - = 5; =, 7, 6, 5 neexistuje neexistuje - + 5,6,7, =, 7, 6 6,7, neexistuje neexistuje

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: Škola: Tematický okruh: Jméno autora: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Hotelová škola, Vyšší

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Škola: Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

2. Řešení algebraické

2. Řešení algebraické @016 2. Řešení algebraické Definice: Nechť a, c jsou reálná čísla. Rovnice v R (s neznámou x) daná formulí se nazývá lineární rovnice a ax + c = 0 se nazývají lineární nerovnice. ax + c 0 ax + c < 0 ax

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH (Tento text je součástí výkladu k definičním oborům, tam najdete další příklady a pokud chcete část tohoto textu někde použít, můžete čerpat ze stažené kompletní verze definičních oborů ve formátu.doc.)

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

14. Exponenciální a logaritmické rovnice

14. Exponenciální a logaritmické rovnice @148 14. Exponenciální a logaritmické rovnice Rovnicím, které obsahují exponencielu resp. logaritmus, říkáme exponenciální resp. logaritmické rovnice. Při řešení exponenciálních a logaritmických rovnic

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Souhrnná prezentace. 14. října 2015. Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze

Souhrnná prezentace. 14. října 2015. Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze Souhrnná prezentace Ondřej Pártl Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská České vysoké učení technické v Praze 4. října 205 Ondřej Pártl (FJFI ČVUT) Souhrnná prezentace 4. října 205 / 70 Obsah Čísla 0 20,

Více

Početní operace se zlomky

Početní operace se zlomky Početní operace se zlomky 1. Sčítání a. zlomků - upravíme zlomky na stejného jmenovatele (rozšiřováním, v některých případech krácením) hledáme společný násobek všech jmenovatelů (nejlépe nejmenší společný

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru

Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Rovnice a nerovnice v podílovém tvaru Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621

= cos sin = sin + cos = 1, = 6 = 9. 6 sin 9. = 1 cos 9. = 1 sin 9. + 6 cos 9 = 1 0,939692621 6 ( 0,342020143) = 1 ( 0,342020143) + 6 0,939692621 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MA+ULA ČÁST Příklad Bod má vůči souřadné soustavě souřadnice uvedené níže. Vypočtěte jeho souřadnice vzhledem k soustavě, která je vůči otočená dle zadání uvedeného níže. Výsledky zaokrouhlete

Více

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:

Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován: 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou :. ) Určete, pro která R není daný výraz definován: 3) Určete obor hodnot funkce Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) f : y 4 3. 4 8 5 1 4) Vyšetřete vzájemnou

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

Rovnice v oboru komplexních čísel

Rovnice v oboru komplexních čísel Rovnice v oboru komplexních čísel Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0218 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Čerm_01a

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE

EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol EXPONENCIÁLNÍ

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0

Kvadratická rovnice. - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice a + b + c = 0 a, b, c R a 0 - koeficienty a, b, c jsou libovolná reálná čísla, a se nesmí rovnat 0 - pokud by koeficient a byl roven nule, jednalo by se o rovnici

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17

DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL. Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220. Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 DIGITÁLNÍ UČEBNÍ MATERIÁL Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0763 Název školy SOUpotravinářské, Jílové u Prahy, Šenflukova 220 Název materiálu VY_32_INOVACE / Matematika / 03/01 / 17 Autor Ing. Antonín Kučera

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

Variace. Číselné výrazy

Variace. Číselné výrazy Variace 1 Číselné výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Číselné výrazy Číselné výrazy, výpočty

Více

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno:

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno: Autoevaluační karta Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875 Obor: obchodní akademie Zaměření: ekonomika, účetnictví, daně Školní rok: Předmět: matematika Třída: 1. A Jméno: TEMATICKÝ CELEK: Znalosti

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1

Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 Řešení úloh z TSP MU SADY S 1 projekt RESENI-TSP.CZ úlohy jsou vybírány z dříve použitých TSP MU autoři řešení jsou zkušení lektoři vzdělávací agentury Kurzy-Fido.cz Masarykova univerzita nabízí uchazečům

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5 > 0 ostrá nerovnost 5.0 50 neostrá nerovnost ( používáme pouze čísla) ZNAKY NEROVNOSTI: > je větší než < je menší

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy

KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy KOMPENDIUM ZNALOSTÍ Z MATEMATIKY PRO VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU souhrny, řešené úlohy a pracovní listy Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících

Více

4 Rovnice a nerovnice

4 Rovnice a nerovnice 36 Rovnice a nerovnice 4 Rovnice a nerovnice 4.1 Lineární rovnice a jejich soustavy Požadované dovednosti řešit lineární rovnice o jedné neznámé vyjádřit neznámou ze vzorce užít lineární rovnice při řešení

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady. Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika1.ročník Operace s mnohočleny. Text a příklady.

Více

9. Soustavy rovnic DEFINICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC O DVOU NEZNÁMÝCH. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých je:

9. Soustavy rovnic DEFINICE SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC O DVOU NEZNÁMÝCH. Soustava lineárních rovnic o dvou neznámých je: 9. Soustavy rovnic Správný nadpis této kapitoly by měl znít soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých, z důvodu přehlednosti jsem jej zkrátil. Hned v úvodu čtenáře potěším teorie bude tentokrát krátká.

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace

Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace STUDIJNÍ OPORA DISTANČNÍHO VZDĚLÁVÁNÍ ZÁKLADNÍ PRAVIDLA VÝPOČTU MATEMATICKÝCH ÚLOH ROVNICE A NEROVNICE MICHAL VAVROŠ Ostrava 006 Zpracoval:

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů

ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů ANOTACE vytvořených/inovovaných materiálů Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast Formát Druh učebního materiálu Druh interaktivity CZ.1.07/1.5.00/34.0722 IV/2 Inovace a

Více

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny.

Jednotky zrychlení odvodíme z výše uvedeného vztahu tak, že dosadíme za jednotlivé veličiny. 1. Auto zrychlí rovnoměrně zrychleným pohybem z 0 km h -1 na 72 km h -1 za 10 sekund. 2. Auto zastaví z rychlosti 64,8 km h -1 rovnoměrně zrychleným (zpomaleným) pohybem za 9 sekund. V obou případech nakreslete

Více

Lomené algebraické výrazy

Lomené algebraické výrazy Variace 1 Lomené algebraické výrazy Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Lomené algebraické výrazy

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Zlatý řez nejen v matematice

Zlatý řez nejen v matematice Zlatý řez nejen v matematice Zlaté číslo a jeho vlastnosti In: Vlasta Chmelíková author): Zlatý řez nejen v matematice Czech) Praha: Katedra didaktiky matematiky MFF UK, 009 pp 7 Persistent URL: http://dmlcz/dmlcz/40079

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gmnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. úpravy a převádění zlomků

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Dušan Astaloš. samostatná práce, případně skupinová práce. úpravy a převádění zlomků METODICKÝ LIST DA Název tématu: Autor: Předmět: Zlomky smíšené číslo, složené zlomky a převod na desetinná čísla Dušan Astaloš Matematika Ročník: 6. Učebnice: Kapitola, oddíl: Metody výuky: Formy výuky:

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

2.4.4 Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I

2.4.4 Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I .. Kreslení grafů funkcí metodou dělení definičního oboru I Předpoklady: 01, 08 Opakování: Pokud jsme při řešení nerovnic potřebovali vynásobit nerovnici výrazem, nemohli jsme postupovat pro všechna čísla

Více

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL.

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Jméno a příjmení(čitelně): varianta č. 90 Přezdívka(nepovinné): Zde pište své výsledky Napište rovnici přímky procházející

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty.

Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 7. Matematická indukce a rekurse. Řešení rekurentních (diferenčních) rovnic s konstantními koeficienty. (A7B01MCS) I. Matematická indukce a rekurse. Indukční principy patří

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA

Pokyny k hodnocení MATEMATIKA ILUSTRAČNÍ TEST MAIZD4C0T0 Pokyny k hodnocení MATEMATIKA Pokyny k hodnocení úlohy Vyznačte na číselné ose obraz čísla 0,6. 0,6 3 apod. NEDOSTATEČNÉ ŘEŠENÍ Chybně vyznačený obraz, resp. není zřejmé, kde

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,

Více

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11

Gymnázium, Brno. Matice. Závěrečná maturitní práce. Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Gymnázium, Brno Matice Závěrečná maturitní práce Jakub Juránek 4.A Školní rok 2010/11 Konzultant: Mgr. Aleš Kobza Ph.D. Brno, 2011 Prohlášení Prohlašuji, že jsem předloženou práci zpracoval samostatně

Více

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí.

Instrukce: Jednotlivé části nejdou přesně po sobě, jak jsme se učili, je to shrnutí. Instrukce: Vytiskněte si tenhle přehled, vybarvěte důležité části (zvýrazňovačkou, pastelkami) tak, aby jste se rychle orientovali. Při počítání příkladů jej mějte před sebou! a dívejte se do něj. Možná

Více

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi

4a) Racionální čísla a početní operace s nimi Racionální čísla a početní operace s nimi Množinu racionálních čísel získáme z množiny čísel celých, jejím rozšířením o čísla desetinná s ukončeným des. rozvojem nebo periodická a zlomky, které lze na

Více

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose 3. Celá čísla 6. ročník 3. Celá čísla 3.1. Vymezení pojmu celé číslo Ve své dosavadní praxi jste se setkávali pouze s přirozenými čísly. Tato čísla určovala konkrétní počet (6 jablek, 7 kilogramů jablek,

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

PSANÍ VZORCŮ A ROVNIC

PSANÍ VZORCŮ A ROVNIC PSANÍ VZORCŮ A ROVNIC aneb matematikem bez nesnází Jednoduché matematické, fyzikální či chemické vzorce a rovnice můžeme zapsat poměrně snadno za pomoci znaků na klávesnici a použitím horního nebo dolního

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Projekt Vzdělávání pedagogů k realizaci kurikulární reformy (CZ.1.07/1.3.05/11.0026) Manuál č. 15

Projekt Vzdělávání pedagogů k realizaci kurikulární reformy (CZ.1.07/1.3.05/11.0026) Manuál č. 15 Manuál č. 15 NÁZEV HODINY/TÉMA: OPERACE S REÁLNÝMI ČÍSLY Časová jednotka (vyuč.hod.): 1h (45min.) Vyučovací předmět: Matematika Ročník: první Obor vzdělání: 3letý Použité metody: Hra s čísly, Práce s textem,

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více