Otázky z kapitoly Základní poznatky

Transkript

1 Otázky z kapitoly Základní poznatky 10. února 2015 Obsah 1 Krokované příklady (0 otázek) 1 2 Mnohočleny a lomené výrazy (68 otázek) Obtížnost 2 (58 otázek) Obtížnost 3 (10 otázek) Množiny a výroky (36 otázek) Obtížnost 1 (19 otázek) Obtížnost 2 (10 otázek) Obtížnost 3 (7 otázek) Číselné množiny a teorie čísel (87 otázek) Obtížnost 1 (10 otázek) Obtížnost 2 (77 otázek) Krokované příklady (0 otázek) 2 Mnohočleny a lomené výrazy (68 otázek) 2.1 Obtížnost 2 (58 otázek) Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Určete hodnotu výrazu x2 x y y x pro x = 1, y = 2. x + y Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 x 4 1. Určete množinu všech hodnot x, pro které není výraz x 3 16x definován. M = { 4; 0; 4} M = { 4; 4} M = {0; 4} M = {0} 1

2 Pro kterou hodnotu proměnné x je výraz 1 2x + 1 x 1 roven nule? x = 2 x = 1 2 x = 0 x = Pocet vyskytu v Neriskuj: 2 1. Určete množinu všech hodnot x, pro které má výraz x2 x x + 1 : x 2 1 x 2 + 2x + 1 smysl. R { 1; 1} R { 1; 0; 1} R { 1} R { 1; 0} Pocet vyskytu v Neriskuj: 2 1. Upravte výraz x3 x 2 x 2 2 x x 2 pro x 0 a x 2. 1 x x 1 x + 1 x Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Zjednodušte výraz x + y xy 1 y 1 x 1 x 2 1 y 2 1 y + 1 x pro x 0, y 0, x y. x + y xy 1 x 1 y 1. Pro x {0; 1; 3} upravte na co nejjednodušší tvar výraz x2 9 x 2 x x + 3 x 3 x 2 x 2 x + 3 x + 3 2x x ( x 2 ) 1 3x. x Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 ( x 2 y 2 ) 2 x 2 1. Upravte výraz x 0 y 8 : x 4 pro x 0 a y 0. y7 1 y 13 x 2 y 13 x 2 y 15 x 4 x 6 y 27 2

3 Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Určete hodnotu výrazu x 1 2 x 2 pro x = 4. x Je dán výraz V (x) = V ( 2), V (0), V (2). x x 1 1. Určete, která z následujících nerovností platí pro čísla 1 x V (0) < V ( 2) < V (2) V ( 2) < V (0) < V (2) V (0) < V (2) < V ( 2) V (2) < V (0) < V ( 2) Uveďte všechny hodnoty x R, pro které je výraz x2 16 2x 8 roven 0. x = 4 x = 4 x = ±4 x = Uveďte všechny hodnoty x R, pro které je výraz x2 + 6x + 9 x 2 9 roven Uvedený výraz nenabývá hodnoty 0 pro žádné reálné číslo. x = ±3 x = 3 x = 3 1. Uveďte všechny hodnoty x R, pro které je výraz x3 x x 1 roven 0. x = 1, x = 0 x = 0 x = 1 x = 1, x = 0, x = Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Uveďte všechny hodnoty x R, pro které je výraz x2 4x + 4 x(x 2) Uvedený výraz nenabývá hodnoty 0 pro žádné reálné číslo. x = 0 x = 2 x = 2, x = 0 roven 0. 3

4 Uveďte všechny hodnoty x R, pro které je výraz 2x(x + 2)(x 3) x 2 4 roven 0. x = 0, x = 3 x = 2, x = 0, x = 3 x = 0 x = ± Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Uveďte všechny hodnoty x R, pro které je výraz x = 3 x = 4 x = 3, x = 3 4x x 2 roven x + 36 Uvedený výraz nenabývá hodnoty 0 pro žádné reálné číslo Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Uveďte všechny hodnoty x R, pro které je výraz 4x3 + 20x x x + 1 x = 0, x = 5 2 x = 0 roven 0. x = 5 2 x = Uveďte všechny hodnoty x R, pro které je výraz x2 (2x 1) 2 x 2 roven 0. 4 x = 1 3, x = 1 x = 1 3, x = 1 x = ±2 x = Uveďte všechny hodnoty x R, pro které je výraz (2x + 3)2 (3x 2) 2 x 5 x = 1 x = 5 5 roven 0. x = 5 x = Uveďte všechny hodnoty x R, pro které je výraz (4x + 3)2 (5x 2) x x = 5, x = 1 x = 5 9 roven 0. x = 5 9, x = 1 x = 1, x = 5 9 4

5 Určete podíl (3x 2 + 2x + 7) : (x + 1) pro x R { 1}. 3x x + 1 3x 1 5 x + 1 3x x + 1 3x x Určete podíl ( 2x 4 3x 2 + 3) : (x 2 1) pro x R {±1} x x 2 1 2x x Určete podíl (x 2 + x + 1) : (2x + 3) pro x R { 3 }. 2 2x x 2 1 2x x x x + 3 x x x x + 3 x x Určete podíl (5x 3 2x 2 + x + 1) : (5x + 3) pro x R { 3 }. 5 x 2 x x + 3 x 2 x x + 3 x 2 x x + 3 x 2 x x Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 { 1. Určete podíl (4x 3 1) : (2x + 1) pro x R 1 }. 2 2x 2 x x + 1 2x 2 x x Určete podíl (2x + 2x 2 3) : (x 1) pro x R {1}. 2x x 1 2x x Určete podíl ( x 3 x 2 + x 1) : (x 2 + 1) pro x R. x 1 + 2x x x 1 + x x x 2 + x x + 1 2x 2 + x x + 1 2x x 1 2x x 1 x 1 + x x x 1 + 2x x

6 Určete podíl ( 5x 4 + 4x 2 + 3x 4) : (x 3 4x 2 + 3x) pro x R {0, 1, 3}. 5x x2 + 63x 4 x 3 4x 2 + 3x 5x x2 + 63x 4 x 3 4x 2 + 3x 5x x2 + 23x + 36 x 3 4x 2 + 3x 5x x2 + 23x 36 x 3 4x 2 + 3x Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 2x Určete podmínky, za kterých je definován výraz 6x 2 + 3x : x 0 x 1 2 x 0 x 2 x 0 x 0 x Pocet vyskytu v Neriskuj: 2 1. Určete podmínky, za kterých je definován výraz a a a 2 9 a 2 + 3a : a 0 a 3 a 3 a 3 a 0 a 3 a Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Je dán výraz 1 x 2 2x + 1. Hodnota výrazu pro x = 1 je rovna: Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 2s 8rs 1. Výraz 16r 2 lze zjednodušit do tvaru: 1 2s 2s 4r + 1 4r + 1 2s 2s 4r 1 1 4r Pocet vyskytu v Neriskuj: 2 1. Zjednodušením výrazu a4 1 1 a 2 dostaneme: a 2 1 a a a 2 6

7 Na místo označené hvězdičkou doplňte takový výraz, aby v případě nenulových jmenovatelů platila následující rovnost výrazů: mn m 2 + 2mn + n 2 = 2m(m + n) 3 2m 2 n(m + n) 2mn(m + n) 2m(m + n) 2m(m + n) Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Na místo označené hvězdičkou doplňte takový výraz, aby v případě nenulových jmenovatelů platila následující rovnost výrazů: 3 2x x 2 = 3(4x2 12x + 9) (3x 6)(3 2x) (x 2)(2x 3) (x 2)(9 4x) (3x 6)(2x 3) Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 a 1. Nejmenší společný jmenovatel lomených výrazů a 2 ab, b a 2 b 2, 2b ab + b 2 je: ab(a 2 b 2 ) ab(a b) ab(a + b) ab(a + b) Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 ( 1 1. Úpravou výrazu m n 1 ) ( m 2 + 2mn + n 2 ) dostaneme: m + n 2n m + n m n 0 m(m + n) n(m n) Úpravou výrazu x 1 x 1 x x + 1 ( x 1 ) ( 1 x ) dostaneme: x x + 1 x 1 x x x Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Umocněním ( 2x 3 y 2) 3 získáme výraz: 8x 9 12x 6 y 2 + 6x 3 y 4 y 6 8x 9 4x 6 y 2 + 2x 3 y 4 y 6 8x 6 12x 5 y 2 + 6x 3 y 4 y 5 8x 6 4x 5 y 2 + 2x 3 y 4 y 5 7

8 Umocněním ( a 2 + 3b) 3 získáme výraz: a a 4 b + 9a 2 b b 3 a 6 + 3a 4 b + 3a 2 b b 3 a a 4 b + 9a 2 b b 3 a 5 + 3a 4 b + 3a 2 b b Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 ( 1. Umocněním x 5 2 2y) získáme výraz: x x 5 y + 2y 2 x 10 2x 5 y + 2y 2 x x 5 y 2y 2 x 10 2x 5 y 2y Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 ( a 1. Umocněním 2 + 4b3) 2 získáme výraz: a ab3 + 16b 6 a ab3 + 16b 6 a ab3 + 16b 5 a ab3 + 16b Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Rozložením výrazu 9a 6 4b 2 na součin získáme výsledek: ( 3a 3 2b ) ( 3a 3 + 2b ) ( 3a 3 2b ) ( 3a 3 2b ) ( 3a 3 2b ) ( 3a 2 + 2b ) ( 3a 3 2b ) ( 3a 2 2b ) Rozložením výrazu x 2 y na součin získáme výsledek: ( xy 5 9 ) ( xy ) ( xy 5 9 ) ( xy 5 9 ) ( xy 5 9 ) ( xy ) ( xy 5 9 ) ( xy 2 9 ) Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Rozložením výrazu 4a 2 (a 1) 2 na součin získáme výsledek: (a + 1) (3a 1) (a 1) (3a 1) (a + 1) (3a + 1) (a 1) (3a + 1) Rozložením výrazu (2x 1) 2 (x + 3) 2 na součin získáme výsledek: (x 4) (3x + 2) (x 4) (3x 2) (x + 4) (3x + 2) (x + 4) (3x 2) 8

9 Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Rozložením výrazu 27a 3 8b 9 na součin získáme výsledek: ( 3a 2b 3 ) ( 9a 2 + 6ab 3 + 4b 6) ( 3a + 2b 3) ( 9a 2 6ab 3 + 4b 6) ( 3a 2b 3 ) ( 9a ab 3 + 4b 6) ( 3a + 2b 3) ( 9a 2 12ab 3 + 4b 6) Rozložením výrazu 64x na součin získáme výsledek: ( 4x ) ( 16x 4 20x ) ( 4x 2 5 ) ( 16x x ) ( 4x ) ( 16x 3 20x ) ( 4x 2 5 ) ( 16x x ) Úpravou výrazu 2 (2x + 1) + x(5 2x) 3(x 2) získáme dvojčlen: 2x x x 2 3 2x Úpravou výrazu a 4(2 a) a(5a + 1) + 2a(3 2a) získáme trojčlen: 9a a 8 9a a 8 9a 2 + 2a 8 9a 2 + 4a Úpravou výrazu (a 2)(5a + 3) (2a + 1)(3 a) získáme trojčlen: 7a 2 12a 9 3a 2 12a 9 7a 2 2a 9 3a 2 2a Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Úpravou výrazu (3 x)(x 2) (x + 1)(x 3) získáme trojčlen: 2x 2 + 7x 3 2x 2 + 3x 9 2x 2 + 3x 3 2x 2 + 7x Úpravou výrazu (3 2a) 2 (3a 4)(3a + 4) získáme mnohočlen: 5a 2 12a a 2 12a 7 5a a Úpravou výrazu (2x + 3) 2 (2 x) 2 získáme mnohočlen: 3x x + 5 3x 2 + 8x x x

10 Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Úpravou podílu ( 6x 2 5x 6 ) : (2x 3) získáme výraz: 3x + 2 3x 2 3x x 3 3x x Úpravou podílu ( 2x 3 + x 2 17x + 5 ) : ( x 2 + 3x 1 ) získáme výraz: 2x 5 2x + 5 2x x 2 x 2 + 3x 1 2x x x 2 + 3x Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Úpravou podílu ( 4x 2 10x 1 ) : (x 2) získáme výraz: 4x 2 5 x 2 4x x Úpravou podílu ( x 3 + 3x 2 x + 4 ) : ( x 2 x + 1 ) získáme výraz: 2x x x 2 x + 1 x x x 2 x + 1 4x x 2 4x x 2 x x + 8 x 2 x + 1 x x + 2 x 2 x Obtížnost 3 (10 otázek) Pocet vyskytu v Neriskuj: 2 1. Určete, za jakých podmínek má výraz x y x+y x+y x y xy x 2 y 2 smysl. x 0, y 0, x ±y x y x ±y x 0, y 0 1. Hodnota výrazu x x Hodnota výrazu x y x 1 + x y pro x = 1 je rovna číslu: 2 pro x = 1 2 a y = 1 je rovna číslu:

11 Úpravou lomeného výrazu x2 + 2xy + y 2 2x 2 + 4x + 2 x + y 2x + 2 x + y (x + 1)(y x) y 2 x 2 pro x 1, x ±y získáme výraz: x + y Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 3x 1. Společný jmenovatel lomených výrazů x 2 + 4x + 4 a x + 5 x 2 4 je: (x + 2) 2 (x 2), x ±2 (x + 2)(x 4), x ±2 (x + 2) 2 (x 4), x ±2 (x + 2)(x 4), x ± Úpravou lomeného výrazu x2 + x 6 x 3 8 x + 3 x 2 + 2x + 4 x + 3 x 2 + 4x + 4 pro x 2 získáme výraz: x + 3 x 2 2x + 4 x + 3 x Úpravou lomeného výrazu výraz: xy 2 (x 2 1) x [ ( ) 2 x : x + 1 ( ) ] 2 x 1 y : 2xy x x 1 4 pro x 0, x ±1, y 0 získáme Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 x y 1+xy 1. Úpravou lomeného výrazu + y pro xy 1 získáme výraz: 1 y(x y) 1+xy x(1 + y 2 ) x 1 y 2 x 1 x(1 + y 2 ) Úpravou lomeného výrazu y(x y) x(x y) x 2 +y 2 x 2y ( ) 1 y 1 2 x 2 xy x+y pro x 0, x ±y, y 0 získáme výraz: x y y x y x 11

12 Úpravou lomeného výrazu získáme výraz: ( 2x x + y + y x y ) ( y2 1 x 2 y 2 : x + y + x 2x y x 2x y 1 ) x x 2 y 2 pro x ±y, y 2x 3 Množiny a výroky (36 otázek) 3.1 Obtížnost 1 (19 otázek) Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Určete pravdivostní hodnoty výroků a a b, víte-li, že pravdivostní hodnota složeného výroku (a b) je 1. Pravdivostní hodnota a je 1, pravdivostní hodnota b je 1. Pravdivostní hodnota a je 1, pravdivostní hodnota b je 0. Pravdivostní hodnota a je 0, pravdivostní hodnota b je 1. Pravdivostní hodnota a je 0, pravdivostní hodnota b je Určete pravdivostní hodnoty výroků a a b, víte-li, že pravdivostní hodnota složeného výroku a b je 0. Pravdivostní hodnota a je 1, pravdivostní hodnota b je 1. Pravdivostní hodnota a je 1, pravdivostní hodnota b je 0. Pravdivostní hodnota a je 0, pravdivostní hodnota b je 1. Pravdivostní hodnota a je 0, pravdivostní hodnota b je Určete pravdivostní hodnoty výroků a a b, víte-li, že pravdivostní hodnota složeného výroku a b je 1. Pravdivostní hodnota a je 1, pravdivostní hodnota b je 1. Pravdivostní hodnota a je 1, pravdivostní hodnota b je 0. Pravdivostní hodnota a je 0, pravdivostní hodnota b je 1. Pravdivostní hodnota a je 0, pravdivostní hodnota b je 0. 12

13 Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Určete pravdivostní hodnoty výroků a a b, víte-li, že pravdivostní hodnota složeného výroku (a b) je 0. Pravdivostní hodnota a je 1, pravdivostní hodnota b je 1. Pravdivostní hodnota a je 1, pravdivostní hodnota b je 0. Pravdivostní hodnota a je 0, pravdivostní hodnota b je 1. Pravdivostní hodnota a je 0, pravdivostní hodnota b je Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Určete pravdivostní hodnoty výroků a a b, víte-li, že pravdivostní hodnota složeného výroku a b je 0. Pravdivostní hodnota a je 1, pravdivostní hodnota b je 1. Pravdivostní hodnota a je 1, pravdivostní hodnota b je 0. Pravdivostní hodnota a je 0, pravdivostní hodnota b je 1. Pravdivostní hodnota a je 0, pravdivostní hodnota b je Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Určete pravdivostní hodnoty výroků a a b, víte-li, že pravdivostní hodnota složeného výroku a (a b) je 0. Pravdivostní hodnota a je 1, pravdivostní hodnota b je 1. Pravdivostní hodnota a je 1, pravdivostní hodnota b je 0. Pravdivostní hodnota a je 0, pravdivostní hodnota b je 1. Pravdivostní hodnota a je 0, pravdivostní hodnota b je Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Určete pravdivostní hodnoty výroků a a b, víte-li, že pravdivostní hodnota složeného výroku ( a b) a je 1. Pravdivostní hodnota a je 1, pravdivostní hodnota b je 1. Pravdivostní hodnota a je 1, pravdivostní hodnota b je 0. Pravdivostní hodnota a je 0, pravdivostní hodnota b je 1. Pravdivostní hodnota a je 0, pravdivostní hodnota b je 0. 13

14 Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Určete pravdivostní hodnoty výroků a a b, víte-li, že pravdivostní hodnota složeného výroku a (a b) je 1. Pravdivostní hodnota a je 1, pravdivostní hodnota b je 1. Pravdivostní hodnota a je 1, pravdivostní hodnota b je 0. Pravdivostní hodnota a je 0, pravdivostní hodnota b je 1. Pravdivostní hodnota a je 0, pravdivostní hodnota b je Je dán pravdivý výrok a, nepravdivý výrok b a nepravdivý výrok c. Určete, který ze složených výroků je pravdivý. ( a b) c (a b) c a (b c) (a b) c Je dán nepravdivý výrok a, nepravdivý výrok b a pravdivý výrok c. Určete, který ze složených výroků je nepravdivý. ( a b) c (a b) c a (b c) (a b) c Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Vyberte výrok, který je ekvivalentní s negací výroku: Kočka leze dírou, pes oknem. Kočka neleze dírou nebo pes neleze oknem. Kočka leze dírou a pes neleze oknem. Jestliže pes neleze oknem, pak kočka neleze dírou. Kočka neleze dírou a pes neleze oknem Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Vyberte výrok, který je ekvivalentní s negací výroku: Jestli se rozzlobíme, budeme zlí. Rozzlobíme se a nebudeme zlí. Jestli budeme zlí, pak se rozzlobíme. Jestli se nerozzlobíme, pak nebudeme zlí. Rozzlobíme se a budeme zlí. 14

15 Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Vyberte výrok, který je ekvivalentní s negací výroku: Nebude-li pršet, nezmoknem. Nebude pršet a zmokneme. Bude pršet a zmokneme. Bude-li pršet, pak zmokneme. Nebude pršet a nezmoknem Vyberte výrok, který je ekvivalentní s negací výroku: Jestliže pes štěká, potom nekouše. Pes štěká a kouše. Pes štěká nebo kouše. Pes neštěká nebo nekouše. Jestliže pes nekouše, pak štěká Vyberte výrok, který je ekvivalentní s negací výroku: Šla Nanynka do zelí, natrhala lupení. Nanynka nešla do zelí nebo nenatrhala lupení. Šla Nanynka do zelí a nenatrhala lupení. Jestliže šla Nanynka do zelí, potom natrhala lupení. Nešla Nanynka do zelí a nenatrhala lupení Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Vyberte výrok, který je ekvivalentní s negací výroku: Dáte mi peníze, nebo přijdete o život. Nedáte mi peníze a nepřijdete o život. Nedáte mi peníze, nebo přijdete o život. Nedáte mi peníze, nebo nepřijdete o život. Jestli mi nedáte peníze, pak přijdete o život Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Vyberte výrok, který je ekvivalentní s negací výroku: Já do lesa nepojedu, já do lesa nepůjdu. Pojedu nebo půjdu do lesa. Jestli nepojedu do lesa, pak do lesa nepůjdu. Pojedu a půjdu do lesa. Pojedu nebo nepůjdu do lesa. 15

16 Považujte název filmu za výrok: Jestliže je úterý, musíme být v Belgii. Vyberte výrok, který je ekvivalentní s negací výroku. Je úterý a nemusíme být v Belgii. Jestliže jsme v Belgii, pak musí být úterý. Není úterý nebo nemusíme být v Belgii. Není úterý a nemusíme být v Belgii Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Považujte následující část verše za výrok: U lavice dítě stálo, z plna hrdla křičelo. Vyberte výrok, který je ekvivalentní s negací tohoto výroku. U lavice nestálo dítě nebo z plna hrdla nekřičelo. U lavice dítě stálo a z plna hrdla nekřičelo. U lavice dítě nestálo a z plna hrdla křičelo. U lavice dítě stálo nebo z plna hrdla nekřičelo. 3.2 Obtížnost 2 (10 otázek) Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Určete průnik množin A, B, jestliže A = { 5; 0; 1,5; 2; 6}, B = {x Z; x 0}. {0; 1,5; 2; 6} {0; 2; 6} {1,5; 2; 6} Z Určete průnik množin A, B, jestliže A = {x Z; x 2}, B = {x N; x 5}. {0; 1; 2; 3; 4; 5} {0; 1; 2; 3; 4} { 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5} {1; 2; 3; 4; 5} Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Určete sjednocení množin A, B, jestliže A = {x Z; x 3}, B = {x N; x < 8}. {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} {x Z; x 3} { 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Z Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Určete sjednocení množin A, B, jestliže A = N, B = {x Z; x > 8}. {x Z; x > 8} N Z 16

17 Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Určete všechny množiny B, pro které platí: A B = C, jestliže A = {x N; x < 3} a C = {0; 1; 2}. {0; 1; 2}, {0; 1}, {0; 2}, {0} řešení neexistuje {0; 1; 2}, {0; 1}, {1; 2}, {0; 2} Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Určete množinu B A (doplněk množiny B v množině A), jestliže A = {x N; x < 9}, B = {4; 5; 6; 7}. {4; 5; 6; 7} {0; 1; 2; 3; 8} {1; 2; 3; 8} Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Určete množinu B A (doplněk množiny B v množině A), jestliže A = Z, B = {x Z; x > 3}. { 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3} { 2; 1; 0; 1; 2} {0; 1; 2; 3} {1; 2; 3} Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Určete rozdíl A B, jestliže A = { 2; 1; 0; 1; 2}, B = {x Z; x < 2}. { 2; 1; 0; 1; 2} {0; 1} {2} Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Určete rozdíl B A, jestliže A = {x Z; x < 2}, B = {x Z; x < 5}. {x Z; x < 2} {2; 3; 4} {3; 4} Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Určete rozdíl A B, jestliže A = {x Z; x < 3}, B = {x N; x < 5}. { 2; 1} {3; 4} { 2; 1; 0} 3.3 Obtížnost 3 (7 otázek) Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Žáci 1. ročníku mohou navštěvovat matematický a fyzikální kroužek. Z 31 žáků třídy jich 21 chodí do matematického kroužku. Pouze do jednoho z kroužků chodí 10 žáků. Do žádného kroužku nechodí 3 žáci. Kolik žáků chodí do obou kroužků zároveň?

18 Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Žáci 1. ročníku si kupovali knížky, aby se nenudili o nadcházejících prázdninách. V blízké prodejně právě dostali dlouho očekávanou detektivku a strašidelný horor. Z 31 žáků třídy si 22 koupilo horor. Pouze jednu z těchto knih si koupilo 12 žáků. Žádnou z těchto knih si nekoupili dva žáci. Kolik žáků si koupilo detektivku? Žáci 1. ročníku nakupovali svačinku ve školním bufetu. Z 31 žáků mělo 8 svačinku z domu, a proto si nic nekoupilo. 12 dětí si koupilo housku se sekanou a 15 žáků si koupilo housku s vuřtem. Kolik nenasytů si koupilo oba typy housky? Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Ze 129 studentů prvního ročníku vysoké školy chodí do menzy na oběd nebo večeři 116 studentů, 62 studentů dochází právě na jedno z těchto jídel. Přitom na obědy chodí o 46 studentů více než na večeře. Kolik studentů prvního ročníku chodí jenom na večeře? V obchodě se objevily dva nové druhy sýrů. Ze 153 zákazníků jich 65 neodolalo koupi prvního druhu. Druhý druh zakoupilo 49 zákazníků. Těch, kteří zakoupili oba druhy, byla pouze pětina počtu těch zákazníků, kteří zakoupili aspoň jeden druh. Kolik zákazníků si nekoupilo žádný z těchto sýrů? Celkem 200 studentek gymnázia vyplnilo anketu s otázkou, který ze tří zpěváků (K. Gott, M. David, D. Hůlka) se jim líbí. Gotta obdivuje 78, Davida 75 a Hůlku 101 děvčat. Všechny tři zpěváky současně obdivuje 28 studentek. Těch, které obdivují právě dva z těchto zpěváků, je 22 a z nich právě polovinu tvoří obdivovatelky dvojice David, Hůlka. Děvčat, která obdivují jen Davida, je o 7 méně než těch, která obdivují jen Gotta. Kolik děvčat neobdivuje nikoho z těchto tří populárních zpěváků? Z 35 žáků 1.A bylo 7 o prázdninách na Slovensku, 7 v Chorvatsku a 5 v Bulharsku. Celkem 21 žáků o prázdninách do ciziny vůbec nevyjelo. Všechny tři krajiny navštívil jeden žák. V Chorvatsku i v Bulharsku byli dva žáci. V Bulharsku i na Slovensku byl jeden žák. Kolik žáků navštívilo přes prázdniny Slovensko nebo Chorvatsko?

19 4 Číselné množiny a teorie čísel (87 otázek) 4.1 Obtížnost 1 (10 otázek) Číslo je dělitelné dvěma, je-li poslední číslice sudá. ciferný součet dělitelný dvěma. ciferný součet sudý. poslední číslice 2, 3, 6 nebo Pocet vyskytu v Neriskuj: 2 1. Číslo je dělitelné třemi, je-li poslední dvojčíslí dělitelné třemi. ciferný součet dělitelný třemi. ciferný součet lichý. poslední číslice 3, 6 nebo Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Číslo je dělitelné čtyřmi, je-li poslední dvojčíslí dělitelné čtyřmi. ciferný součet dělitelný čtyřmi. poslední číslice čtyřka. poslední číslice sudá Číslo je dělitelné pěti, je-li poslední číslice pět nebo nula. ciferný součet dělitelný pěti. dělitelné dvěma a třemi současně. poslední číslice lichá. 19

20 Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Číslo je dělitelné šesti, je-li dělitelné dvěma a třemi současně. ciferný součet dělitelný dvěma a současně třemi. ciferný součet sudý a poslední cifra je 3. poslední číslice šestka Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Číslo je dělitelné osmi, je-li poslední trojčíslí dělitelné osmi. ciferný součet dělitelný osmi. dělitelné dvěma a čtyřmi současně. poslední dvojčíslí dělitelné osmi Číslo je dělitelné devíti, je-li ciferný součet dělitelný devíti. poslední dvojčíslí dělitelné devíti. ciferný součet lichý. poslední číslice devět Číslo je dělitelné deseti, je-li poslední číslice nula. ciferný součet dělitelný deseti. poslední dvojčíslí dělitelné pěti. poslední číslice sudá Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Číslo je dělitelné dvanácti, je-li dělitelné současně třemi a čtyřmi. ciferný součet dělitelný dvěma a třemi současně. ciferný součet sudý a poslední dvojčíslí je liché. poslední číslice sudá a ciferný součet je lichý. 20

21 Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Číslo je dělitelné patnácti, je-li dělitelné současně třemi a pěti. ciferný součet dělitelný třemi a pěti současně. ciferný součet lichý a dělitelný pěti. poslední číslice pět nebo nula. 4.2 Obtížnost 2 (77 otázek) Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Vyberte takovou skupinu čísel, jejíž členy lze zapsat ve tvaru 3k + 2, kde k N 0 (jinými slovy: hledáme taková čísla, která při dělení číslem 3 dávají zbytek 2). 5, 10, 15 5, 8, 11 3, 6, 9 15, 25, 30 4, 5, Pocet vyskytu v Neriskuj: 2 1. Vyberte takovou skupinu čísel, jejíž členy lze zapsat ve tvaru 5k + 2, kde k N 0 (jinými slovy: hledáme taková čísla, která při dělení číslem 5 dávají zbytek 2). 5, 10, 15 17, 27, , 42, , 47, 60 41, 55, Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Vyberte takovou skupinu čísel, jejíž členy lze zapsat ve tvaru 11k+1, kde k N 0 (jinými slovy: hledáme taková čísla, která při dělení číslem 11 dávají zbytek 1). 21, 32, 48 18, 88, , 55, 70 56, 122, , 56, Vyberte takovou skupinu čísel, jejíž každý člen je dělitelem čísla , 64, 123 4, 8, 104 1, 12, , 30, 64 1, 128,

22 Vyberte takovou skupinu čísel, jejíž každý člen je dělitelem čísla , 36, 42 4, 8, , 18, 26 16, 315, , 17, Vyberte takovou skupinu čísel, jejíž každý člen je dělitelem čísla , 2, 4 13, 15, 17 17, 34, 289 1, 13, 289 2, 35, Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Dokončete větu tak, aby byla pravdivá. Součet každých tří po sobě jdoucích celých čísel je dělitelný 3. není dělitelný 6. je dělitelný 6. není dělitelný 3. je dělitelný Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Dokončete větu tak, aby byla pravdivá. Součet každých pěti po sobě jdoucích celých čísel je dělitelný 3. je dělitelný 4. je dělitelný 5. je dělitelný 6. je dělitelný Vyberte takovou skupinu čísel, jejíž každý člen má právě dva přirozené dělitele. 7, 15, 17 8, 11, 17 2, 7, 91 3, 27, 81 3, 7, Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Vyberte takovou skupinu čísel, jejíž každý člen má právě tři přirozené dělitele. 1, 2, 3 4, 25, , 36, 49 1, 17, , 36, Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. A = {x R; x > 2}. Vyberte ekvivalentní zápis množiny A. ( ; 2) (2; ) 2; (2; ) ( ; 2 2; ) 22

23 Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. B = {x R; x 4}. Vyberte ekvivalentní zápis množiny B. 4; 4 ( 4; 4) ( ; 4 ( ; 4) Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. A = {x R; x 3 5}. Vyberte ekvivalentní zápis množiny A. ( ; 2 8; ) ( ; 8 2; ) 2; ) 8; ) B = {x R; x + 10 > 7}. Vyberte ekvivalentní zápis množiny B. ( ; 17) ( 3; ) ( ; 3) (17; ) ( 3; ) (17; ) Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Pro x (0; ) je výraz 3x 2x x roven: 0 2x 3x 4x Pro x ( ; 0) je výraz 3x 2x x roven: 6x 4x 2x Pro x ( 12 ) ; 6 je výraz 3 6 x + 2x + 1 roven: 3x 2 x 2 3x + 10 x Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Pro x (1; ) je výraz 3x 2x x 1 roven: 2x 2 4x 2 2x + 2 2x Určete hodnotu výrazu 3 7 2( 4) + ( 5)( 2)

24 Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Pro x (6; 11) je výraz 3 x x roven: 5x x 45 x 45 x Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Zvětšíme-li neznámé číslo o 5 %, dostaneme číslo 378. Určete neznámé číslo ,1 396, Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Zmenšíme-li neznámé číslo o 14 %, dostaneme číslo 602. Určete neznámé číslo ,28 517, Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Číslo 234 je o 20 % větší než neznámé číslo. Určete neznámé číslo ,2 280, % z neznámého čísla je 87,5. Určete neznámé číslo Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Původní cena šatů byla Kč. Potom je zdražili o 20 % a za měsíc zlevnili o 30 %. Určete konečnou cenu šatů. (Výsledek zaokrouhlete na koruny.) 916 Kč 981 Kč 952 Kč 930 Kč Původní cena automobilu byla snížena o 16 % a později zvýšena o 4 % na Kč. Určete původní cenu automobilu. (Výsledek zaokrouhlete na tisícikoruny.) Kč Kč Kč Kč Zvětšíme-li neznámé číslo o 20 % a potom ho zmenšíme o 5 %, dostaneme 513. Určete neznámé číslo. (Neznámé číslo zaokrouhlete na jednotky.)

25 Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Na začátku roku se jistý automobil prodával za Kč. Na konci roku jeho cena klesla na Kč. O kolik procent klesla cena automobilu? (Výsledek zaokrouhlete na desetiny procenta.) o 9,7 % o 10,7 % o 10,5 % o 9,5 % Z hrubé mzdy byly pracovníkovi odečteny zákonné odvody Kč, což představovalo 14,5 % jeho hrubé mzdy. Jak velká částka (čistá mzda) mu byla vyplacena? (Poznámka: Zaměstnancům se vyplácí tzv. čistá mzda, která je rozdílem hrubé mzdy a zákonných odvodů (daň z příjmu, sociální a zdravotní pojištění).) Kč Kč Kč Kč Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Ve třídě je 19 dívek a 12 chlapců. O kolik se liší procentuální zastoupení dívek a chlapců ve třídě? o 22,6 % o 15,1 % o 18,5 % o 23,5 % Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Určete, která z nabídnutých nerovnic má množinu všech řešení graficky znázorněnou na obrázku x x < 1; x R x 1 < 0; x R x > 1; x R x + 1 < 1; x R x 1 > 0; x R Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Určete, která z nabídnutých nerovnic má množinu všech řešení graficky znázorněnou na obrázku x x 1 < 2; x R x + 1 < 2; x R x 1 > 2; x R x + 1 > 2; x R x 2 > 1; x R 25

26 Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Určete, která z nabídnutých nerovnic má množinu všech řešení graficky znázorněnou na obrázku x x 1 < 2; x R x + 1 < 2; x R x 1 > 2; x R x + 1 > 2; x R x 2 > 1; x R Určete, která z nabídnutých nerovnic má množinu všech řešení graficky znázorněnou na obrázku x 2 + x > 1; x R 2 + x < 1; x R 2 x > 1; x R 2 x < 1; x R 1 + x > 2; x R Určete, která z nabídnutých nerovnic má množinu všech řešení graficky znázorněnou na obrázku x 2 + x > 1; x R 2 + x < 1; x R 2 x > 1; x R 2 x < 1; x R 1 x < 2; x R Určete, jaký vztah platí mezi výrazy x a x, kde x R. x = x x > x x < x Není možné jednoznačně určit. Záleží na hodnotě proměnné x Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Určete, jaký vztah platí mezi výrazy x y a y x, kde x, y R. x y = y x x y > y x x y < y x Není možné jednoznačně určit. Záleží na hodnotě proměnné x,y. 26

27 Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Jsou dány výrazy x ; x ; x ; x, kde x R. Vyberte variantu, v níž je uveden výraz nabývající pouze záporných hodnot. x x x x Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Jsou dány výrazy 1 + x ; 1 + x ; 1 x ; 1 x, kde x ( ; 1). Vyberte variantu, která obsahuje výraz, který má v daném oboru proměnné nejmenší hodnotu. 1 x 1 + x 1 + x 1 x Stejnou nejmenší hodnotu má více uvedených výrazů Z následujících čísel vyberte prvočíslo Z následujících skupin čísel vyberte tu, která neobsahuje žádné prvočíslo. 13, 100 1, 2, 4 29, , , Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Z následujících skupin čísel vyberte tu, která obsahuje jen prvočísla. 13, 131 1, 31, , , , Z následujících čísel vyberte to, která má právě tři kladné dělitele

28 Z následujících čísel vyberte to, které má v prvočíselném rozkladu právě dvě různá prvočísla Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Z následujících čísel vyberte to, které má v prvočíselném rozkladu právě jedno prvočíslo ve třetí mocnině Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Z následujících čísel vyberte to, které má v prvočíselném rozkladu nejvíce různých prvočísel Z následujících čísel vyberte to, které v prvočíselném rozkladu obsahuje prvočíslo v nejvyšší mocnině Z následujících čísel vyberte to, které má v prvočíselném rozkladu prvočísla pouze ve druhé mocnině Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Z následujících čísel vyberte to, které nemá v prvočíselném rozkladu různá prvočísla

29 Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Televizor stál Kč. Postupně byl dvakrát zlevněn a to vždy o 20 %, aby se lépe prodával. Jaká je jeho konečná prodejní cena? Kč Kč Kč Kč Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Ve třídě je 32 žáků 20 chlapců a 12 dívek. Čtvrtina všech chlapců a čtvrtina všech dívek má vyznamenání. O kolik procent klesne počet všech vyznamenaných ve třídě, jestliže jeden chlapec a jedna dívka se samými jedničkami přestoupí na jinou školu? 5 % 6,25 % 7,5 % 8,25 % Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Do obchodu bylo dodáno 30 kusů výrobků od výrobce A, přičemž 5 z nich nefungovalo, a určité množství výrobků od výrobce B, které fungovaly všechny. Kolik výrobků dodal výrobce B, jestliže 10 % ze všech výrobků bylo nefunkčních? Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Hokejové utkání mezi mužstvy A a B skončilo nerozhodně 2 : 2. Brankář mužstva A chytil 90 % všech střel vystřelených na jeho branku, brankář mužstva B nechytil 20 % všech střel vystřelených na jeho branku. Kolik střel celkem bylo během zápasu vystřeleno na obě branky? Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. První vydání učebnice stálo 100 Kč, druhé vydání téže učebnice 125 Kč. O kolik procent je potřeba zlevnit druhé vydání, aby stálo tolik, co první? 20 % 22,5 % 17,5 % 25 % Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Sjezdové lyže byly po sezoně zlevněny o 18 % původní ceny a prodávaly se o 360 Kč levněji. Jaká byla cena lyží před slevou? Kč Kč Kč Kč Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Automat na plnění lahví naplní obvykle lahví za hodinu. V důsledku technické závady klesl jeho výkon o 10 %. Kolik lahví naplní automat za 8 hodin při tomto sníženém výkonu?

30 Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. O kolik procent je větší než ? 400 % 500 % 300 % 600 % Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Hranu krychle zvětšíme o 100 %. O kolik procent se zvětší objem této krychle? 700 % 400 % 200 % 100 % Podložka tvaru osmiúhelníku se lisuje ze čtverce o straně 4 cm. Při její výrobě se ze všech jeho rohů odlomí pravoúhlý trojúhelník s odvěsnou délky 1 cm. Kolik procent plochy původního čtverce tvoří odpad? 12,5 % 10 % 15 % 20 % Číslo je po zaokrouhlení na desítky rovno: Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Číslo [ (2 2 ) 2] 2 je po zaokrouhlení na desítky rovno: Určete součet tří čísel, která získáme, zaokrouhlíme-li číslo na desítky, na stovky a na tisíce Určete součet tří čísel, která získáme, zaokrouhlíme-li číslo na desítky, na stovky a na tisíce Součin všech jednociferných prvočísel zaokrouhlený na stovky je roven:

31 Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Součin všech dělitelů čísla 12 zaokrouhlený na stovky je roven: Jsou dána čísla a O kolik je součet těchto dvou čísel zaokrouhlených na desítky větší než součet těchto dvou čísel zaokrouhlených na stovky? Jsou dána čísla a O kolik je součet těchto dvou čísel zaokrouhlených na desítky větší než součet těchto dvou čísel zaokrouhlených na stovky? Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Je dáno číslo O kolik bude toto číslo zaokrouhlené na tisíce větší než toto číslo zaokrouhlené na stovky? Je dáno číslo O kolik bude toto číslo zaokrouhlené na tisíce menší než toto číslo zaokrouhlené na stovky? Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. V balíku je méně než 40 m látky. Budeme-li z ní stříhat na košile po 2,6 m, nezůstane žádný zbytek. Budeme-li stříhat na šaty po 3 m, také nezůstane žádný zbytek. Kolik metrů látky je v balíku? Kolik můžeme ustřihnout z balíku košil? V balíku bylo 39 m látky a můžeme ustřihnout na 15 košil. V balíku bylo 40 m látky a můžeme ustřihnout na 16 košil. V balíku bylo 37 m látky a můžeme ustřihnout na 13 košil. V balíku bylo 38 m látky a můžeme ustřihnout na 14 košil. 31

32 Pocet vyskytu v Neriskuj: 2 1. Rozměry pozemku tvaru obdélníku jsou 40 m a 56 m. Majitel byl nucen ho vykolíkovat. Vzdálenosti mezi každými dvěma sousedními kolíky byly vždy stejné a vyjádřeny celistvým násobkem metru. Jaká je největší možná vzdálenost mezi kolíky? Kolik kolíků majitel k vykolíkování potřeboval? Mezi kolíky je 8 m a majitel potřeboval 24 kolíků. Mezi kolíky je 10 m a majitel potřeboval 18 kolíků. Mezi kolíky je 14 m a majitel potřeboval 15 kolíků. Mezi kolíky je 4 m a majitel potřeboval 48 kolíků Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Na atletické závody se přihlásilo 90 chlapců a 42 dívek. Aby se závodu mohli účastnit všichni, sestavíme chlapecká a dívčí družstva vždy se stejným počtem členů. Kolik nejvíce mohou mít družstva členů? Kolik bude chlapeckých a kolik dívčích družstev? Můžeme sestavit 6 členná družstva, 15 chlapeckých a 7 dívčích. Můžeme sestavit 9 členná družstva, 10 chlapeckých a 5 dívčích. Můžeme sestavit 10 členná družstva, 9 chlapeckých a 4 dívčí. Můžeme sestavit 14 členná družstva, 7 chlapeckých a 3 dívčí Pocet vyskytu v Neriskuj: 2 1. Potřebujete rozstříhat barevný pás papíru tvaru obdélníku s rozměry 32 cm a 80 cm na co největší stejně veliké čtverce. Jaké budou délky stran těchto čtverců? Kolik čtverců tak získáte? Strana čtverce bude 16 cm a získáme 10 čtverců. Strana čtverce bude 40 cm a získáme 20 čtverců. Strana čtverce bude 32 cm a získáme 15 čtverců. Strana čtverce bude 20 cm a získáme 40 čtverců Pocet vyskytu v Neriskuj: 2 1. Z autobusové zastávky vyjíždí přesně v 8 hodin autobusy linek A, B a C. Autobusy linky A jezdí každých 8 minut, linky B každých 12 minut a linky C každých 15 minut. V jakých časech mezi 8 a 14 hodinou odjíždějí autobusy všech tří linek ze zastávky současně? Autobusy společně odjíždějí v 8:00, v 10:00, ve 12:00 a ve 14:00. Autobusy společně odjíždějí v 8:00, v 9:30, v 11:00, ve 12:30 a ve 14:00. Autobusy společně odjíždějí společně pouze v 8:00. Autobusy společně odjíždějí každou celou hodinu. 32

33 Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Babička rozdala 15 pomerančů a 27 ořechů svým vnukům rovným dílem, aniž nějaký pomeranč či ořech dělila na části. Kolik vnuků má babička? Babička může mít jednoho nebo tři vnuky. Babička může mít jednoho nebo dva vnuky. Babička může mít pouze jednoho vnuka. Babička může mít jednoho nebo pět vnuků Pocet vyskytu v Neriskuj: 2 1. Kolik je v košíku nejméně jablek, je-li možné je beze zbytku rozdělit do balíčků po 6, 14 i 21 kusech? V košíku je 42 jablek. V košíku je 21 jablek. V košíku je 126 jablek. V košíku je 24 jablek Pocet vyskytu v Neriskuj: 1 1. Krabička od sirek má délky hran 12 mm, 36 mm a 48 mm. Několik krabiček máme poskládat do krabice tvaru krychle. Jaké jsou nejmenší možné délky hran takovéto zaplněné krabice a kolik krabiček od sirek lze do ní naskládat? Hrana krabice je 144 mm a vejde se tam 144 krabiček. Hrana krabice je 96 mm a vejde se tam 48 krabiček. Hrana krabice je 192 mm a vejde se tam 320 krabiček. Hrana krabice je 100 mm a vejde se tam 50 krabiček. 33