Variace, permutace, kombinace, faktoriál, kombinační čísla 1. Vypočítejte:

Transkript

1 Variace, permutace, kombinace, faktoriál, kombinační čísla 1. Vypočítejte: Zjednodušte: [ 1680 ] [ 840 ] [ 70 ] Upravte na společného jmenovatele: Zkraťte a určete podmínky pro n: ( n +1) [ n Z, n 0] n n ( n ) [ n n, n N, n ] + 1 [ ] n + n, n N ( n ) ( n 1) ( n 100) ( n 99) 1, n N, n 100 n Zjednodušte a určete podmínky: ( n 1) n + 3n 4( n + 1) e) 7n + 4, n N 1n + 1n ( n 1) n 3n 4( n + 1) 1, n N 1n + 1n n 1 n 3 n 4 ( ) ( ) 3, n N, n 4 ( n 3) ( n + ) ( n + 1) n + n ( n 1) ( n ) [ ] ( n + 4) ( n + ) ( n 1), ( n + ) ( n + 1) ( n 3) [ 9 n + 8] n N e) f) g) f) g) h) [ 40 ] ( n + 4) ( n + ) [ n 7n 1, n Z, n ] + + ( n 4) ( n ) 1, n N, n 4 n 5n + 6 ( n) [ n, n N] ( n 1) ( n + 1) n n ( n + 1) 1 n n ( n + 1) + n n + 1 n 1, n Z, n 0 ( n + 1) n 1 ( n 3) ( n 4) 3, n N, n 4 ( n 3)

2 6. Řešte rovnice: n = 4n n [ 5 ] ( ) ( x 4) + ( x ) = 3 ( x 3) ( n + ) n = n ( n ) [ 4, n ] ( n ) 1 = ( n 1) + ( n 3) 3 ( n 1) ( n 3) + 3 e) n = 8 g) 5 ( n + 1) = ( n + ) n + n = 4 n + 1 n 1 i) ( n + 1) 16( n 1) = n j) log ( x + 1) log x log10 = 0 [ 9 ] h) ( ) ( ) ( ) 10 17n 4 f) + = 0 [ ] ( n + 1) ( n 1) 1. Kolik je pěticiferných, čtyřciferných a trojciferných čísel s různými ciframi, jestliže tato čísla neobsahují cifry 0, 1, 3, 4, 6. [ 10, 10,60]. Kolika způsoby lze vybrat ze 100 výrobků 3 výrobky ke kontrole, jestliže po kontrole je výrobek vždy vrácen zpět. [ ] 3. Fotbalové mužstvo má 3 brankáře, 5 obránců, 4 záložníky a 10 útočníků. Kolik různých mužstev může trenér sestavit, jestliže mužstvo se skládá z 1 brankáře, 4 obránců, záložníků a 4 útočníků. [ 18900] 4. Ve třídě je 19 chlapců a 16 dívek. Kolika způsoby je možné vybrat do soutěže 4 studenty tak, aby ve vybrané skupině byli: 3876 pouze chlapci [ ] jedna dívka a tři chlapci [ 15504] dvě dívky a dva chlapci [ 050] k) ( x ) + 3 x 7 = 0 [ x = 0 x = 1] l) ( x ) + 6 = 7 x [ 0,1,3 ] 5. Určete, kolika způsoby lze ze 7 chlapců a 4 dívek vybrat šestičlennou skupinu, ve které jsou aspoň 3 dívky. [ 161 ] 6. V balíčku 3 karet jsou 4 esa různých barev. Určete, kolika různými způsoby lze z balíčku vytáhnout 5 karet tak, aby mezi nimi byla právě esa. [ 19656] 7. Určete počet všech šestimístných telefonních čísel sestavených z číslic 0, 1,,, 9, která nezačínají nulou a žádná číslice se v nich neopakuje. [ ] 8. Kolik přirozených čísel menších než 5000 je možné vytvořit z číslic 0, 3, 4, 5, jestliže se žádná z číslic neopakuje Kolik je přirozených čísel menších než 10 4, jejichž cifry jsou navzájem různé. [ ] 10. Kolika způsoby si může 8 lidí sednout na 8 židlí v řadě. [ 4030] 11. Kolika způsoby si může 7 lidí sednout na 7 židlí kolem kulatého stolu? Jiný způsob znamená jiné rozmístění vedle sebe, ne vůči stolu. [ 70 ] 1. Kolik přirozených pěticiferných čísel dělitelných pěti lze utvořit z číslic 3, 5, 7, 8, 9, pokud se číslice nemohou v čísle opakovat. 13. Při zkoušení si žák tahá 5 otázek ze 0 možných. Kolika způsoby to lze provést. [ ] 14. Na devíti kartičkách máme všechny číslice kromě nuly. Kolik přirozených čísel složíme, použijeme-li pokaždé jen 6 kartiček. [ ] 15. Kolika způsoby může 0 žáků třídy vybrat své 3 zástupce, jednoho do školní sportovní komise, jednoho do kulturní komise a jednoho do komise mezinárodních výměnných akcí. [ 6840] 16. Z 19 mužů a 16 žen se má v televizní soutěži do poroty vybrat čtveřice, kde bude stejně mužů i žen. Kolika způsoby je možné tuto čtveřici vybrat? [ 050 ] 17. Kolik různých shluků písmen lze vytvořit změnou pořadí písmen ve slově sasanka. [ 40 ] 18. Kolik různých pěticiferných čísel můžeme sestavit z osmi různých číslic různých od nuly, pokud se 670, 3768 čísla nemohou opakovat, mohou opakovat. [ ] 19. Kolik různých pěticiferných čísel můžeme zapsat pomocí číslic 0,, 5, 8. [ 768 ]

3 0. Kolik různých přirozených čísel menších než lze vytvořit z číslic 0, 4, 5, 6, jestliže se číslice nemohou opakovat, mohou opakovat. [ 4, 191] 1. Na mezinárodním dětském letním táboře je 4 dětí z Česka, 8 dětí ze Švédska a 5 dětí z Francie. Kolika způsoby můžeme sestavit čtyřčlennou hlídku, musí-li v ní být zastoupeny všechny národnosti. [ ]. Kolik různých vrhů (ne součtů) získáme při hodu pěti různými klasickými hracími kostkami (na stěnách jsou počty teček 1 až 6). [ 7776 ] 3. Kolik prvků obsahuje množina M, jestliže počet variací. třídy bez opakování z prvků množiny M je o 300 větší než počet kombinací. třídy bez opakování z prvků této množiny. [ n = 5] 4. Kolika způsoby si může 8 dívek sednout na osm míst v dlouhé lavici, chtějí-li tři z nich sedět nutně vedle sebe. [ 430 ] 5. Kolik prvků obsahuje množina, platí-li, že počet variací druhé třídy bez opakování z prvků této množiny je o 78 větší než počet variací první třídy bez opakování. [ n = 8] 6. Z 50 otázek z českého jazyka se jich Pavel naučil 45. Při zkoušení si jich musí vytáhnout 6. Kolika možnostmi si může vytáhnout takovou šestici, ve které aspoň 4 otázky umí. [ ] 7. Pan učitel přidělí skupině osmi chlapců 5 úkolů. Kolika způsoby to lze provést, může-li jednomu chlapci zadat více úkolů. [ 79 ] 8. Maminka nakupuje 7 květináčů a v květinářství jí nabídnou 1 různých druhů. Kolika způsoby může maminka nákup provést. [ 3184] 9. Výbor sportovního klubu tvoří 6 mužů a 4 ženy. Určete: kolika způsoby z nich lze vybrat předsedu, místopředsedu, jednatele a hospodáře [ 5040 ] kolika způsoby z nich lze vybrat funkcionáře podle tak, aby ve funkci předsedy byl muž a ve funkci místopředsedy žena nebo obráceně [ 688 ] 30. O telefonním čísle svého spolužáka si Petr zapamatoval jen to, že je šestimístné, začíná sedmičkou, neobsahuje žádné dvě stejné číslice a je dělitelné 5. Určete, kolik telefonních čísel přichází v úvahu. [ 40 ] 31. Určete počet prvků, z nichž lze utvořit: dvoučlenných variací [ ] dvakrát více čtyřčlenných variací než 3 členných variací [ 5 ] 3. Zvětší-li se počet prvků o, zvětší se počet tříčlenných variací: 10 krát o 150 [ 5 ] Určete původní počet prvků. 33. Určete, kolika způsoby je možno ze 7 mužů a 4 žen vybrat šestičlennou skupinu, v níž jsou: 10 právě dvě ženy [ ] alespoň dvě ženy [ 371 ] 34. Určete počet všech trojciferných přirozených čísel sestavených pouze z cifer 1, 3, 5, 7, 9. [ 15 ] 35. Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel dělitelných čtyřmi, v nichž se vyskytují pouze číslice 1,,3,4,5. [ 65 ] 36. Jsou dány cifry 0,,4,5,8,9. Určete kolik lze vytvořit přirozených čísel: čtyřciferných větších než 5000 s opakováním cifer [ 647 ] dvojciferných sudých bez opakování [ 17 ] 37. Máme 1 výrobků a 3 výrobky z nich jsou vadné. Kolika způsoby z nich můžeme vybrat: 6 libovolných výrobků [ 94 ] 84 6 výrobků bezvadných [ ] 6 výrobků, z nichž právě jeden je vadný [ 378 ] 6 výrobků, z nichž právě dva jsou vadné [ 378 ] e) 6 výrobků, z nichž právě tři jsou vadné [ 84 ] 38. Zvětšíme-li počet prvků o jeden, zvětší se počet variací druhé třídy o 18. Určete původní počet prvků. [ 9 ] Vyjádřete jediným kombinačním číslem součet

4 40. K písemné zkoušce připravil učitel sadu 1 úloh 7 z pravděpodobnosti a 5 ze statistiky. Každý student si musí k řešení vybrat 5 úloh, z každého tématu alespoň dvě. Určete počet všech možností výběru pětice úloh. [ 560 ] 41. Kolik je všech možných trojciferných přirozených čísel? [ 900 ] 4. Řešte rovnici s neznámou x N : x x = 16 x -1 + x [ 8 ] Heslo trezoru se skládá ze dvou písmen (každé lze volit z 6) a tří číslic (každá 0-9). Kolik existuje možností, jak je nastavit? [ ] 44. Kolik různě vyplněných formulářů tiketů sportky může v daném tahu vyhrát třetí cenu(tj. ze zaškrtnutých 6 čísel byla 4 vylosována a nebyl. [ ] 45. S připomínkami k navrhovanému zákonu chce v parlamentě vystoupit 6 poslanců A,B,C,D,E,F. Určete počet: 70 všech možných pořadí jejich vystoupení [ ] všech pořadí, v nichž vystupuje A po E [ 360 ] všech pořadí, v nichž vystupuje A ihned po E [ 10 ] 46. Kolik různých vrhů lze provést třemi kostkami, je-li na každé ze šesti stěn 1 až 6 teček. [ 16 ] 47. Kolik je všech možných trojciferných přirozených čísel. [ 900 ] 48. Určete počet všech možných tanečních párů z 15 chlapců a 10 děvčat. [ 150 ] 49. V podniku pracuje 18 mužů a 16 žen. Kolika způsoby je možno vybrat na rekreaci 7 zaměstnanců podniku, z toho 4 muže a 3 ženy. [ ] 50. Vypočtěte součty kombinačních čísel: = = = Řešte rovnici s neznámou x N : x + + x 4 1 [ 8 ] x 1 x + 5. V prodejně mají výběr 1 různých pohledů. Určete, kolika způsoby si lze z nich koupit pohledů [ ] 7 pohledů [ 3184] 7 různých pohledů [ 79 ] 53. Řešte v N rovnice: ( n + ) = n n + 3 ( n ) ( n ) 1 = ( n 1) + ( n 3) 3 [ 4, n ] x + x x = + x [ 5, x 3] x x 1 x x 3 n 1 n = 9 n 3 + n 4 [ 5 ] x x e) = x [ 11 ] x f) + x x 1 = + x 6 3 [nemá řešení] x 3 1 0

5 4 x x g) = 0 3 x 1 3 x + h) log ( x 1) log x log10 = [ ] i) log x + log( x + 5) = log( x + 6) [ ] 54. Zjistěte počet přirozených čtyřciferných čísel, která lze vytvořit z číslic 1,5,6,8,9 v případě, že: číslice se nesmějí opakovat [ 10 ] číslice se mohou opakovat [ 65 ] 55. Pokladna má zámek s 5 kotouči, na nichž jsou číslice 0,1,,3,4,5,6,7,8,9. Zámek se otevře, jestliže se nastaví pěticiferné číslo, které je heslem. Pokladník zapomněl heslo a pamatuje si pouze číslici na místě desítek. Jak dlouho by mu trvalo vyzkoušení všech možných pětic čísel se známou číslicí na místě desítek, jestliže na nastavení jedné pětice potřebuje 3,6 sekundy. [ 10 hodin] 56. Určete počet vojáků strážního oddílu, víte-li, že z něho můžete vybrat 10 různých čtyřčlenných hlídek. 10 vojáků [ ] 57. V obchodě mají 3 druhy limonád. Kolika způsoby může dítě koupit 4 láhve limonád. [ 15 ] 58. Při přípitku na oslavě narozenin se ozvalo 15 ťuknutí. Kolik lidí bylo na oslavě, jestliže si přiťukl každý 6 osob s každým. [ ] 59. Kolik pěticiferných čísel je možno sestavit z cifer 0,1,3,4,7. Kolik z nich je sudých. [ 96,4 sudých] 60. Z kolika prvků lze vytvořit 1680 variací 4. třídy bez opakování. [ 8 ] 61. Kolik různých pětimístných čísel lze vytvořit z cifer 5,5,5,4,4. [ 10 ] 6. Kolika způsoby lze přeskupit písmena ve slově KRAKATAU. [ 3360] 63. Kolik různých telefonních čísel lze vytvořit, nesmí-li žádné telefonní číslo začínat nulou ani jedničkou. [ ] 64. Trenér hokejového družstva má k dispozici 10 útočníků, 8 obránců a brankáře. Kolik různých sestav může vytvořit, jestliže má sestava mít 3 útočníky, obránce a 1 brankáře. [ 6 70] 65. Kolik přirozených čísel větších než 300 můžeme napsat pomocí číslic 1,,3,4, jestliže se žádná číslic nesmí opakovat. [ 36 ] 66. Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel dělitelných devíti, v jejichž dekadickém zápisu nejsou jiné číslice než 0,1,,5,7. [ 54 ] 67. Kolik různých slov (ne nutně smysluplných) lze vytvořit ze slova MISSISSIPPI přerovnáním písmen. [ ] 68. Kolika způsoby lze rozměnit stokorunu, máme-li k dispozici pět padesátikorun, čtyři dvacetikoruny, tři desetikoruny a tři pětikoruny. [ 8 ] 69. Ve třídě je 19 chlapců a 16 dívek. Kolika způsoby je možné vybrat do soutěže 4 studenty tak, aby ve vybrané skupině byli: 3876 pouze chlapci [ ] jedna dívka a tři chlapci [ 15504] dvě dívky a dva chlapci [ 050] 70. Určete, kolika způsoby lze ze 7 chlapců a 4 dívek vybrat šestičlennou skupinu, ve které jsou aspoň tři dívky. [ 161 ] 71. Kolika způsoby je možné rozdělit 8 chlapců a 4 dívky do dvou šestičlenných volejbalových družstev, jestliže v každém družstvu má být aspoň jedna dívka. [ 868 ] 7. Kolika způsoby lze vybrat ze 100 výrobků 3 výrobky ke kontrole, jestliže po kontrole je výrobek vždy vrácen zpět. [ ] 73. Řešte rovnici: (. x ) + 3.x 7 = 0 [ x = 0 x = 1] 74. Poměr počtu variací třetí třídy bez opakování z n-prvkové množiny a počtu variací třetí třídy s opakováním z n prvků je 1: 3. Kolik prvků má množina. [ 8 ] 75. Kolik přímek je určeno 10 různými body, jestliže žádné 3 z nich neleží na jedné přímce [ 45 ] 40 čtyři z nich leží na jedné přímce [ ]