Optimalizace spotřebitele & poptávka Jan Čadil FNH VŠE

Transkript

1 Optimalizace spotřebitele & poptávka Jan Čadil FNH VŠE Footer Text 3/24/2014 1

2 Podstata problému Spotřebitel se snaží maximalizovat užitek a zároveň je omezen rozpočtovým omezením Optimum nastává tehdy, když s daným omezením dosahujeme na nejvíce preferovaný a zároveň dosažitelný koš Optimum se může měnit se změnou vnějších podmínek (komparativní statika) Z optimalizace jsme schopni nejen odvodit optimální kombinace statků, ale také poptávkovou funkci a další implikace Footer Text 3/24/2014 2

3 Optimalizace - graficky Optimum nastává tam, kde je rozpočtové omezení tečnou IC, tj. sklony jsou si rovny MU1 p1 = MRS = MU2 p2 Footer Text 3/24/2014 3

4 Optimalizace - algebra Algebraicky jde v zásadě o optimalizaci s omezením, kdy účelová fce je užitková funkce a omezení je rozpočet. Substituční metoda nebo Lagrangeův multiplikátor L = U x1, x2 λ p 1 x 1 + p 2 x 2 I max δu λ p δx1 1 Tedy : δu δx1 δu δx2 = 0 ; δu δx2 λ p 2 = 0 ; p 1 x 1 + p 2 x 2 I = 0 = p 1 MU1 p 2 MU2 = MRS = p1 p2 Co je λ? Říká jak se změní užitek, pokud se důchod změní o jednotku (stínová cena rozpočtu) Footer Text 3/24/2014 4

5 CD funkce U = (x1)(x2) I=100, p1=10, p2=20. Příklad Určete optimální množství statku x1 a x2, které bude spotřebitel za daných podmínek nakupovat Footer Text 3/24/2014 5

6 Vnitřní a rohové řešení Co když bude cena jednoho statku = 0? Co když půjde o dokonalé substituty? V tomto případě je optimem tzv. rohové řešení Footer Text 3/24/2014 6

7 Odvození poptávky (algebra) Poptávku lze odvodit z optimalizace Obecně platí, že fce poptávky je fcí důchodu a cen x 1 = f I, p 1, p 2..jde o tzv. Marshallovskou poptávku Příklad: Odvoďte poptávkovou fci po x1 pokud U = (x1)(x2). Řešení: x 1 = I 2(p1) Marshallovské poptávky jsou homogenní stupně 0 Příklad: odvoďte obecnou fci poptávky z CD fce Footer Text 3/24/2014 7

8 Poptávka z CD fce Z CD fce vždy dostaneme poptávku ve tvaru αi x 1 =, kde α je zastoupení daného statku ve (α+β)(p1) spotřebním koši Footer Text 3/24/2014 8

9 Poptávka u dokonalých komplementů (Leontief) U = min a x1, b(x2), lze vždy převést na U = min c x1, (x2). Příklad k jednomu snowboardu (x1) potřebuji 2 rukavice (x2) tj. x2=2(x1) Potom (substituce do rozpočtu) x1 = Obecně: x1 = I (p1)+c(p2) ; x2 = ci (p1)+c(p2) I (p1)+2(p2) Jde o největší množství těchto statků, které jsou zároveň dosažitelné tj. optimum. Footer Text 3/24/2014 9

10 Poptávka (optimum) - Leontief Footer Text 3/24/

11 Změna důchodu - Engelova křivka Také income offer curve křivka, která spojuje body optima při různých hladinách důchodu. Důchodová elasticita jak citlivě spotřebitel reaguje na změnu důchodu e i(x1) = d(x1) x1 d(i) I = d(x1) d(i) I (x1) e i(x) > 1 luxusní statky e i(x) 0,1 nezbytné statky e i(x) < 0 méněcenné (inferiorní) statky Footer Text 3/24/

12 Engelova křivka graf odvození p1 a p2 jsou konst., roste I U normálních statků s růstem I roste spotřeba statků (u luxusních rychleji než I). U méněcenných statků bude klesající! Footer Text 3/24/

13 Engelova křivka výpočet (CD fce) Známe obecně fci poptávky x 1 = αi (α+β)(p1) ; x 2 = βi (α+β)(p2) Rovnice Engelovy křivky je pouze modifikací poptávkové fce pro důchod (vyjádříme I): I 1 = α+β p1 α A potom : x 2 = β α (x1) ; I 2 = α+β p 1 p 2 (x1) β p2 (x2) Footer Text 3/24/

14 Důchodová elasticita výpočet (CD fce) Opět z fce poptávky získáme jako e i(1) = d(x1) d(i) I x1 = α I (α+β)(p1) (x1) Příklad: Určete důchodovou elasticitu v případě, že CD funkce U = (x1)(x2) I=100, p1=10, p2=20. Dokažte, že ei je vždy =1 u CD fce Footer Text 3/24/

15 Obecně: x1 = Engelova křivka výpočet (Leontief) I (p1)+c(p2) ; x2 = ci (p1)+c(p2) Opět získáme Engelovu rovnici jako I = x1 p1 + c p2, I = x2 p1 + c p2 /c, z toho x2=c(x1).což je logicky bod zlomu (EC prochází body zlomu) Footer Text 3/24/

16 Důchodová elasticita výpočet (Leontief) Obecně: x1 = I (p1)+c(p2) ; x2 = ci (p1)+c(p2) Opět získáme důchodovou elasticitu jako e i(1) = d(x1) d(i) I = 1 x1 (p1)+c(p2) I (x1) Důchodová elasticita je v případě Leontiefovy fce rovna 1! (dokažte) Footer Text 3/24/

17 Změna ceny Běžné statky (ordinary goods) se chovají tak, že s růstem jejich ceny klesá jejich poptávané množství tj. křivka poptávky je negativně skloněna Price offer curve křivka nabídkové ceny spojuje všechna optima při změně ceny jednoho statku Cenová elasticita poptávky jak citlivě reaguje spotřebitel na změnu ceny e p(x1) = d(x1) x1 d(p1) p1 = d(x1) (p1) d(p1) (x1) e p(x) < 1 cenově elastická poptávka e p(x) 0, 1 neelastická poptávka e p(x) > 0 Giffenovy statky Footer Text 3/24/

18 Křivka nabídkové ceny a poptávka Footer Text 3/24/

19 Cenová elasticita výpočet (CD) Opět z fce poptávky získáme jako e p(1) = d(x1) p1 = d(p1) x1 αi (p1) (α+β)(p1) 2 (x1) Příklad: Určete cenovou elasticitu v případě, že CD funkce U = (x1)(x2) I=120, p1=15, p2=20. Cenová elasticita u CD fce je -1 (dokažte) Footer Text 3/24/

20 Cenová elasticita výpočet (Leontief) Obecně: x1 = I (p1)+c(p2) ; x2 = ci (p1)+c(p2) Opět získáme cenovou elasticitu jako e p(1) = d(x1) p1 = d(p1) x1 I p1 = (p1+c p2 ) 2 x1 (p1) (p1)+c(p2) U Leontiefovy fce je ep vždy větší než -1 (neelastická) Footer Text 3/24/

21 Změna ceny p2 Vyvolá změnu poptávky po p1 Směr změny je určen tím, zda se jedná o substituty nebo komplementy e c(1) = d(x1) p2 d(p2) x1 e c > 0..substituty e c < 0..komplementy Příklad: jaká je vždy ec u CD fce? Footer Text 3/24/

22 Projevené preference Pokud je koš x preferován před košem y a y je dostupný, potom je preference x před y přímo projevena. x d y Pokud platí, že x d y y d z, potom x I z tedy preference x před z je projevena nepřímo. Slabý axiom projevených preferencí (WARP): pokud je preference koše x před y přímo projevena, nemůže nastat situace, že platí opak, tedy y je přímo projeveně preferováno před x. x d y (y d x) Footer Text 3/24/

23 Příklady Honza má 27 USD a kupuje pouze celé jednotky statku (x1) a (x2). Jaký bude je spotřební koš, pokud cena (x1) je 16 dolarů a cena (x2) je 10 dolarů za jednotku a jeho užitková fce U = 5(x1) 2 +2(x2) 2? A) bude mít v koši stejně (x1) jako (x2) B) nakoupí jen (x1) C) nakoupí jen (x2) D) Nakoupí více (x1) než (x2) E) Nakoupí 4 (x2) a 2 (x1) Footer Text 3/24/

24 Příklady Alice má užitkovou fci U = x x2 3 x2 2 a důchod I=184. Pokud je cena (p1)=1 a (p2)=33 kolik jednotek statku (x1) bude poptávat? A) 16 B)17 C) 0 D) 19 E) 5 Footer Text 3/24/

25 Příklady Jakub konzumuje pouze desítku a ležák. Jeho týdenní rozpočet na nákup těchto dvou statků vypadá jako 300 = 18 x1 + 30(x2), kde (x1) je desítka. Pro Jakuba jsou tři lahve desítky dokonalým substitutem k dvěma lahvím ležáku. Jak bude vypadat Jakubův nákup A) Jakub nakoupí 16,66 lahví desítky B) Jakub nakoupí pouze ležák C) Jakub nakoupí 8 lahví ležáku D) Jakub nakoupí 5 lahví desítky a 7 lahví ležáku E) žádná z uvedených možností Footer Text 3/24/

26 Příklady Jiří má funkci užitku definovanou jako U = min x1, 5 x2 + 2(x3), kdy cena (p1)=1, (p2)=15 a (p3)=7. Kolik jednotek statku (x1) bude nakupovat pokud I=44. A) 8,5 B) 11 C) 5 D) 3 E) 0 Footer Text 3/24/

27 Příklady Jiří má funkci užitku definovanou jako U = min x1, 4 x2 + 5(x3), kdy cena (p1)=1, (p2)=4 a (p3)=7. Kolik jednotek statku (x1) bude nakupovat, pokud I=8. A) 3,33 B) 4 C) 5 D) 7 E) 0 Footer Text 3/24/

28 Příklady Jana spotřebovává statky (x1) a (x2). Její užitková funkce je dána jako U = min x1 + 2(x2), x2 + 2(x1). Rozhodla se spotřebovávat 10 jednotek (x1) a 20 jednotek (x2), kdy (p1)=1. Které tvrzení je pravdivé? A) Jana má I=40 B) Jana má I=60 C) Jana má I=35 D) Jana má I=20 E) nemáme dostatek informací abychom zjistili Janin důchod, neboť není dána cena p2 Footer Text 3/24/

29 Příklady Jakub má užitkovou funkci danou jako U = x1 + 2 x Pokud jsou ceny obou statků rovny 1, platí A) Jiří spotřebovává stejně (x1) a (x2) B) Jiří spotřebovává o jednu jednotku (x1) více než x(2) C) Jiří spotřebovává o jednu jednotku více (x2) než (x1) D) Jiří spotřebovává o dvě jednotky více (x1) než (x2) Jiří spotřebovává pouze (x2) Footer Text 3/24/

30 Příklady Jana spotřebovává mrkev a pomeranče. Cena pomerančů je 5Kč za jednotku, cena mrkve 3 Kč za jednotku. Janin mezní užitek z pomerančů je v současné situaci 10 a mezní užitek mrkve je 2. Pokud Jana nezmění celkové výdaje za tyto statky, pak A) zvýší svůj užitek pokud zvýší spotřebu pomerančů a sníží spotřebu mrkve B) zvýší svůj užitek pokud sníží spotřebu pomerančů a sníží spotřebu mrkve C) zvýší svůj užitek pokud zvýší spotřebu pomerančů a zvýší spotřebu mrkve D) zvýší svůj užitek pokud sníží spotřebu pomerančů a zvýší spotřebu mrkve E) žádná z možností Footer Text 3/24/

31 Příklady Marta má užitkovou funkci definovanou jako U=(x1)(x2). Důchod =100, (p1)=10 pro prvních 8 jednotek a poté klesá na 5, (p2)=10. Jaká je Martina optimální kombinace statků A) (5,5) B) (8,4) C) (6,8) D) (3,14) E) (4,12) Footer Text 3/24/

32 Příklady Klára má funkci užitku definovanou takto U = (x1 + 2)(x2 + 1). Pokud je její MRSc=-4 a spotřebovává 14 jednotek x1, kolik jednotek x2 spotřebuje? A) 30 B) 68 C) 18 D) 63 E) 8 Footer Text 3/24/

33 Příklady Janova užitková funkce má podobu U = min x1, x2 2. Jaký bude jeho důchod, pokud spotřebovává 7 jednotek x2 a (p1)=25, p(2)=15? A) B) 280 C) D) E) 800 Footer Text 3/24/

34 Příklady Ondřejova užitková funkce má podobu U = 4 (x1) + (x2). P1=1, p2= 6, I=264. Kolik jednotek statku 1 optimálně nakoupí? A) 20 B) 144 C) 288 D) 147 E) 75 Footer Text 3/24/

35 Příklady Michal spotřebovává statky x1 a x2. Jeho užitková funkce je následující U = min x1 + 2 x2, x2 + 2(x1). Nakupuje 8 jednotek x1 a 16 jednotek x2. Cena statku x2 (p2)=0,5. Jaký je jeho důchod? A) 32 B) 40 C) 24 D) 16 E) nelze rozhodnout Footer Text 3/24/

36 Příklady Karlova užitková funkce má podobu U = (x1) 2 (x2) 8, kde x1 jsou banány a x2 hrušky. Kolik banánů bude Karel optimálně nakupovat, pokud je jeho příjem alokovaný na tyto statky = 105 a cena banánů p1=2. A) 10,5 B) 8 C) 63 D) 21 E) 12 Footer Text 3/24/

37 Příklady Poptávková funkce je dána takto x1 = I 2(p1), x2 = I 4 p2 křivka?. Kdy (p1) = 1 a (p2)=2. Jaký tvar má Engelova A) EC je horizontální přímka B) EC je vertikální přímka C) EC je přímka se sklonem -1/2 D) EC je přímka se sklonem ½ E) EC je přímka se sklonem ¼ Footer Text 3/24/

38 Příklady Poptávková funkce je dána jako x1 = I 1 a p2 x2 = p1. P1=1, p2=2 a I>2. Jaký je tvar Engelovy p2 křivky A) je to vertikální přímka B) je to horizontální přímka C) je to přímka se sklonem = 2 D) je to přímka se sklonem 1/2 E) je to přímka se sklonem -1/2 Footer Text 3/24/

39 Příklady Karlova užitková funkce má tvar U = (x1) 4 (x2). Jakou podobu má jeho poptávková funkce po statku (x1)?. I A) 2 p1 B) 4I p1 4I C) 5 p1 D) 4I E) p2 5I 4 p1 Footer Text 3/24/

40 Příklady Lída konzumuje ořechy (x1) a minerálku (x2). Ke každým dvěma jednotkám ořechů si dá vždy jednu jednotku minerální vody. Pokud je cena jednotky ořechů 3 a cena jednotky minerální vody 6, bude mít Lídina poptávka po minerální vodě následující A) I 3 B) I 12 C) I 18 3I D) 3 x2 E) 6I/2 Footer Text 3/24/