Literatura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

Transkript

1 Předmět: MA Dnešní látka: Metoda sítí pro D úlohy. Poissonova rovnice. Vlnová rovnice. Rovnice vedení tepla. Literatura: Kapitola 5 ze skript Karel Rektorys: Matematika 3, ČVUT, Praha,. Text přednášky na webové stránce přednášejícího.

2 Metoda sítí pro eliptické PDR ve D Připomeňme, že u je zkrácený zápis výrazu u x + u y Úloha (s Dirichletovou okrajovou podmínkou): u = f v Ω = (a, b ) (a, b ), u = g na Γ. Dělení ve směru x s krokem h, body x i = a + ih, i =,,...,M. Dělení ve směru x s krokem h, body x j = a + jh, j =,,...,N. Uzly P i,j (x i, x j ). Označme u i,j = u(p i,j ). Je-li u dostatečně hladká funkce, pak parciální derivace funkce u umíme vyjádřit pomocí hodnot u v uzlech a parametrů h a h :

3 u (P i,j ) = u i+,j u i,j +O(h x h ), u x (P i,j ) = u i,j u i,j + u i+,j h +O(h ), u (P i,j ) = u i,j+ u i,j +O(h x h ), u x (P i,j ) = u i,j u i,j + u i,j+ h +O(h ). Označíme-li f i,j f(p i,j ) a zavedeme U i,j místo u i,j, můžeme psát diferenční (sít ové) rovnice odpovídající vnitřním uzlům sítě, např. uzlu P i,j. Vztah u(p i,j ) = f(p i,j ) nahradíme rovností

4 U i,j U i,j + U i+,j h U i,j U i,j + U i,j+ h = f i,j, kde i =,,...,M, j =,,...,N. Hodnoty U,j, U M,j, kde j =,,...,N, a hodnoty U i,, U i,n, kde i =,,...,M, jsou přímo určeny okrajovou podmínkou u = g na Γ. Dostáváme tedy systém (M )(N ) lineárních algebraických rovnic s neznámými U,, U,,..., U,N, U,, U,,...,U,N,..., U M,, U N,,...,U M,N. Neznámé uspořádáme do sloupcového vektoru û, hodnoty f i,j do sloupcového vektoru f a koeficienty soustavy do (řídké) matice A. Řešíme soustavu Aû = f. Lze ukázat, že matice A je symetrická a pozitivně definitní. Často h h = h, zjednodušení diferenčních rovnic.

5 Speciální případ: u =, čtvercová sít, tj. h = h. Rovnice U i,j U i,j + U i+,j h kde h = h a f i,j =, přejde v U i,j U i,j + U i,j+ h = f i,j, (U i,j U i,j + U i+,j ) (U i,j U i,j + U i,j+ ) =, tedy U i,j = U i,j + U i+,j + U i,j + U i,j+, tj. aritmetický průměr hodnot v sousedních uzlech. Liebmannova iterace: v nulté aproximaci je část hodnot U i,j dána okraj. podm., hodnoty ve zbývajících uzlech jsou libovolně zvoleny; postupný výpočet průměrů s využitím "čerstvých" hodnot; ukončení výpočtu při splnění konvergenčního kritéria. Odpovídá Gaussově-Seidelově metodě. Konvergence k přesnému řešení diskretizované úlohy.

6 Liebmannova iterace: příklad u = v Ω = (, ) (,, 5), u = x y + na Γ Ω. Diskretizační parametr h = / ve směru x i y. Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + Liebmannova iterace. Presne reseni: x y osa y osa y osa x osa x

7 Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + Liebmannova iterace. Presne reseni: x y osa y osa y osa x osa x Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + Liebmannova iterace. Presne reseni: x y osa y osa y osa x osa x

8 Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + Liebmannova iterace. Presne reseni: x y osa y osa y osa x osa x Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + Liebmannova iterace. Presne reseni: x y osa y osa y osa x osa x

9 Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + Liebmannova iterace. Presne reseni: x y osa y osa y osa x osa x Liebmannova iterace. Presne reseni: x y osa y osa x

10 Na konci.,., 3. a. cyklu iterací přes všechny uzly: Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + Liebmannova iterace. Presne reseni: x y osa y osa y osa x osa x Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + Liebmannova iterace. Presne reseni: x y osa y osa y osa x osa x

11 Spojitá, po částech lineární interpolace ("dva trojúhelníky = jeden obdélník"). Liebmannova iterace. Presne reseni: x y osa y osa x Výsledky získané na jemnejší síti; iterací a iterací: Liebmannova iterace. Presne reseni: x y + Liebmannova iterace. Presne reseni: x y osa y osa x.5 osa y osa x

12 Liebmannovou iterací lze řešit i Poissonovu rovnici u = f Sít ová rovnice v uzlu s indexy i, j U i,j U i,j + U i+,j h kde h h = h, přejde v U i,j U i,j + U i,j+ h = f i,j, (U i,j U i,j + U i+,j ) (U i,j U i,j + U i,j+ ) = h f i,j, tedy U i,j = U i,j + U i+,j + U i,j + U i,j+ + h f i,j. Další postup je stejný jako dříve. Příklad: u = 6 sin(xy)(y + x ), s takovými okrajovými podmínkami, aby přesné řešení bylo u(x, y) = sin(xy) na obdélníku (, ) (,, 5).

13 Priblizne reseni (presne reseni sin(xy))

14 Přibližné řešení z jiného pohledu. Priblizne reseni (presne reseni sin(xy))

15 Rozdil mezi presnym a pribliznym resenim v uzlech site x 3 x 3.5 y.5.5 x 3

16 Ukázka konvergence přibližného řešení. Poloviční krok sítě čtvrtinová chyba, ale čtyřnásobný počet iterací. Abs. hodn. rozdilu mezi presnym a pribl. resenim v uzlech site. h=, h h/ h/ h/8 h/ Pocet cyklu Liebmannovych iteraci

17 Obecné poznámky k řešení Poissonovy rovnice s OP: Pokud Ω není obdélník, pak přibližné zachycení Dirichl. okrajových podmínek. Při některých způsobech větší chyba diskretizace větší chyba metody. Vhodná aproximace zajistí chybu metody η h max C(max(h, h )) (za předpokladu jisté hladkosti přesného řešení u). Lze řešit i úlohy s okr. podm. s derivací. Lze řešit okr. úl. se složitější dif. rov.: ( a u ) ( b u ) + qu = f, x x x y kde a, b C (Ω), q, f C(Ω), a, b c >, q.

18 Rovnice kmitání struny (vlnová rovnice) (příklad PDR hyperbolického typu) u t = u a x v Ω = (, L) (, T), u(x, ) = g (x), < x < L poč. výchylka u t (x, ) = g (x), < x < L poč. rychlost u(, t) = u(l, t) =, < t < T okraj. podm., přičemž a = F ρ, kde F je síla, která napíná strunu, a ρ je délková měrná hmotnost struny.

19 Diskretizace Uzly sítě: (x i, t k ) = (ih, kτ), i =,,...,M, k =,,...,N, h = L/M, τ = T/N, N a M jsou přirozená čísla. Za předpokladu hladkosti funkce u v Ω: Diferenční rovnice u x (x i, t k ) = uk i uk i + ui+ k h +O(h ), u t (x i, t k ) = uk+ i ui k + u k i τ +O(τ ). U k+ i Ui k + U k i τ = a Uk i Uk i + Ui+ k h, k =,,...,N, i =,,...,M. Pětibodové schéma.

20 Toto schéma patří mezi explicitní metody, protože ze znalosti přibližného řešení na k-té časové vrstvě explicitně ( vzorečkem ) spočítáme řešení na k + -ní časové vrstvě. Z diferenční rovnice plyne U k+ i = ( τ a h k =,,...,N, i =,...,M. Lze-li zvolit τ = h a, dostaneme U k+ i ) U ki +τ a ( ) h Ui k + Uk i+ U k i, = U k i + Uk i+ Uk i, k =,,...,N, i =,,...,M (explicitní čtyřbodové schéma).

21 Okrajová podmínka U k = = Uk M, k =,,...,N. Počáteční výchylka Ui = g (x i ), i =,,...,M. Počáteční rychlost U i = U i +τg (x i ), i =,,...,M. Chyba metody řádu O(τ + h ). Přesnější vztah pro přibližné řešení na. časové vrstvě by zlepšil chybu metody na O(τ + h ).

22 Stabilita metody O metodě řekneme, že je stabilní, pokud se chyba, které se dopustíme během výpočtu či při zadání počátečních podmínek, nebude zvětšovat.... slabě stabilní, pokud se chyba... zvětšuje jen "mírně" (lineárně).... nestabilní, pokud se chyba... "prudce" zvětšuje. Postačující podmínka, aby naše explicitní metoda byla slabě stabilní: τ h a ; silně stabilní: τ < h a. Metoda je podmíněně stabilní.

23 Příklad: Struna s počáteční nenulovou výchylkou a s nulovou počáteční rychlostí Struna v case

24 τ =.9 τ kriticke =. τ =.996 τ kriticke = τ =. τ kriticke =. τ =. τ kriticke =

27 Implicitní schéma U k+ i Ui k + U k i τ [ = U k+ a i Uk+ i + U k+ i+ h + Uk i Uk i h + U k i+ Sedmibodové schéma. Při přechodu na novou časovou vrstvu (tj. (k + )-ní) je nutno vyřešit soustavu lin. alg. rovnic pro neznámé U k+ i, i =,..., M s třídiagonální regulární maticí. Metoda je stabilní pro libovolné τ > (nepodmíněně stabilní). ].

28 Poznámka ke kmitání struny: vlastní čísla a vlastní funkce Hledejme řešení vlnové rovnice ve speciálním tvaru: u(x, t) = v(x)s(t) Po dosazení do u t = a u x dostaneme: v(x)s tt (t) = a v xx (x)s(t) v Ω. Tedy (za předpokladu, že s a v ) s tt (t) s(t) = v xx(x) a v(x) (x, t) Ω. Obě strany se tudíž rovnají téže konstantě ˆλ. Odtud v xx ˆλ a v =, v() = = v(l) okrajové podm., s tt ˆλs =.

29 Upravme v xx ˆλ ˆλ v = zavedením λ = a a. Dostaneme okraj. úlohu na intervalu [, L]. v xx +λv =, v() = = v(l) Systém vlastních čísel a vlastních funkcí (sinus; vlastní tvary). Ukázalo by se, že řešeními druhé rovnice (pro s(t)) jsou také periodické funkce (sinus a kosinus). Z požadavku na splnění počáteční výchylky pak vyplyne, jaké násobky vlastních funkcí se objeví v řešení úlohy. Vlastní kmitočty struny: πn F/ρ, n =,,... L Větší napínací síla F zvýšení kmitočtu. Větší hustota materiálu struny ρ snížení kmitočtu. Delší struna snížení kmitočtu.

30 Kmitání obdélníkové homogenní membrány u t = a ( ) u x + u y v Q = Ω (, T), kde Ω = (, L) (, L), u(x, y, ) = g (x, y), (x, y) Ω poč. výchylka u t (x, y, ) = g (x, y), (x, y) Ω poč. rychlost u(x, y, t) = g (x, y, t), (x, y) Ω, < t < T okraj. podm. Na Ω sít s uzly (x i, y j ) = (ih, jh), kde i, j =,,...,M, h = /M. Časová proměnná diskretizovaná s krokem τ = /N.

31 Explicitní diferenční schéma (diferenční rovnice v uzlu (x i, y j ): U k+ i,j U k i,j + Uk i,j τ k =,,...,N, i, j =,,...,M. = a Uk i,j + Uk i+,j + Uk i,j + Uk i,j+ Uk i,j h, Využití okrajové podmínky pro stanovení uzlových hodnot na Ω. Využití počátečních podmínek pro stanovení uzlových hodnot v nulté a první časové vrstvě. Podmínka stability a konvergence metody: τ h /( a). Schéma opět vede k explicitnímu vyjádření vektoru U k+ = (U k+,, Uk+,,...,Uk+ M,, Uk+,,..., Uk+ M,,..., Uk+ M,M )T.

32 Implicitní schéma U k+ i,j = a U k i,j + Uk i,j + a τ U k+ i,j + Uk+ i+,j + Uk+ i,j + Uk+ i,j+ Uk+ i,j h U k i,j + Uk i+,j + Uk i,j + Uk i,j+ Uk i,j h. Absolutně stabilní; bodů (po pěti v (k + )-ní a v (k )-ní časové vrstvě, jeden bod v k-té časové vrstvě). Pro přechod z (k )-ní a k-té časové vrstvy na (k + )-ní vrstvu je nutné vyřešit soustavu s řídkou, pásovou maticí s pěti nenulovými prvky na jednom řádku.

33 Rovnice vedení tepla (jedna prostorová proměnná) u = a u t x v Q = (, L) (, T), a >, u(x, ) = g(x), < x < L počáteční teplota u(, t) = q (t), < t < T u(l, t) = q (t), < t < T zadaná teplota levého konce, zadaná teplota pravého konce (q () = g(), q () = g(l) podmínky souhlasnosti) Řešením rozumíme každou funkci u(x, t), která je spojitá v Ω = Ω Γ, má v Ω spojité parciální derivace u/ t a u/ x, splňuje v Ω PDR a na Γ\{T} (, L) splňuje okrajové podmínky a počáteční podmínku.

34 Diskretizace (viz vlnovou rovnici!!!) Uzly sítě: (x i, t k ) = (ih, kτ), i =,,...,M, k =,,...,N, h = L/M, τ = T/N, N a M jsou přirozená čísla. Za předpokladu hladkosti funkce u v Ω: u x (x i, t k ) = uk i uk i + ui+ k h +O(h ), u t (x i, t k ) = uk+ i ui k +O(τ). τ Diferenční rovnice Uk+ i Ui k = a Uk i Uk i + Ui+ k τ h, k =,,...,N, i =,...,M. Využití okr. a poč. podm.! Čtyřbodové explicitní schéma: U k+ i = Ui k +τ a ( ) h Ui k Uk i + Ui+ k.

35 Zaved me β = τa a U k+ h i = Ui k + τa ( U k h i Ui k + Ui+ k ). upravme na U k+ i = βu k i +( β)uk i +βu k i+. Maticově U k+ = AU k, kde β β.... β β β.. A =. β..... ; β β β pro jednoduchost q = = q (nulová teplota na koncích).

36 Z U k+ = AU k plyne, že U k = A k U, k =,..., N, vektor U je ovšem přímo dán počáteční podmínkou!!! Vyšetření stability metody (naznačení, jak se to dělá) Je nebezpečí, že není-li krok τ dostatečně malý, metoda bude nestabilní? Lze ukázat, že vlastní čísla matice A jsou λ m = β sin mπ M, kde m =,...,M. Pro velká M jest λ M β. Je-li β > /, je β <, tedy aspoň jedno vlastní číslo matice A k v absolutní hodnotě neomezeně roste s rostoucím k (tj. jako β k. Z toho a z Geršgorinovy věty plyne, že aspoň jeden prvek matice A k v absolutní hodnotě také neomezeně roste (vl. č. je v kruhu, který má "vzdálený" střed nebo velký poloměr, prvků matice A k je však stále stejný počet, aspoň jeden tedy musí neomezeně růst). Nestabilita.

37 Je-li β /, jsou vlastní čísla matice A k omezená konstantou nezávislou na M a N. Lze ukázat, že i prvky matice A k jsou omezené, a že metoda je tudíž stabilní. Protože β = τa, je podmínka stability uvedené explicitní h metody dána nerovností τ h a. Při nedodržení podmínky stability pozorujeme jevy podobné ukázkám nestabilního chování explicitní metody sítí pro řešení vlnové rovnice. Čtyřbodové explicitní schéma při volbě τ = h a : U k+ i = ( ) Ui k + Uk i+.

38 Příklad: Tepelně izolovaný drát s počátečním rozložením teploty a s Dirichletovou okrajovou podmínkou Teplota v case

39 τ =.5 τ kriticke =.5 h =.5 τ =.875 τ kriticke =.5 h = Teplota v x=.5 (casove kroky).55 Teplota v x=.5 (casove kroky)

40 Dirichletova okrajová podmínka je leckdy nerealistická. Rovnice vedení tepla s Newtonovou OP u = a u t x v Q = (, L) (, T), a >, u(x, ) = g(x), < x < L, počáteční teplota, u x (, t)= α(u(, t) q (t)), < t < T, α > q je teplota prostředí vlevo (je-li vyšší než teplota drátu, drát se zleva zahřívá, jeho teplota klesá směrem dovnitř, derivace teploty je na levém konci záporná), u x (L, t)= α(u(l, t) q (t)), < t < T, α > q je teplota prostředí vpravo (je-li vyšší než teplota drátu, drát se zprava zahřívá, jeho teplota klesá směrem dovnitř, tedy roste směrem k pravému konci, derivace teploty je na pravém konci kladná).

41 Jak diskretizovat Newtonovy OP? U k+ U k+ h ( ) = α U k+ q ((k + )τ). Hodnotu U k+ už můžeme znát (viz čtyřbodové schéma pro parabolickou rovnici). Pak je explicitní vztah pro U k+ Obdobně pro U k+ M. U k+ = Uk+ + hαq ((k + )τ). +hα. V numerickém příkladu je α =, q = q = ; stejná počáteční teplota jako u Dirichletových OP:

42 Krátký časový krok stabilní metoda. τ =.5 τ kriticke =.5 h =.5.5 Teplota v x=.5 (casove kroky)

43 τ =.5 τ kriticke =.5 h =.5 τ =.875 τ kriticke =.5 h = Teplota v x=.5 (casove kroky).5 Teplota v x=.5 (casove kroky)

44 Nenulové zdroje "f " vedou na rovnici u t = a u x + f s patřičnými počátečními a okrajovými podmínkami. Explicitní schéma U k+ i U k i τ = a Uk i Uk i + U k i+ h + f k i, kde f k i = f(ih, kτ).

45 I pro rovnici vedení tepla (s nulovou či nenulovou pravou stranou) lze použít implicitní schéma: U k+ i U k i τ = a Uk+ i Uk+ i + U k+ i+ h +f k i, které vede na chybu metody O(τ + h ). (Z té plyne, že ačkoli stabilita metody nezávisí na velikosti časového kroku τ, přesto τ musí být řádově tak velké jako h, jinak by chyba způsobená krokemτ převládla a zcela znehodnotila přesnost získanou diskretizací prostorové proměnné.) Jiné implicitní schéma (nepodmíněně stabilní, s chybou O(τ + h )): U k+ i U k i τ [ = U k+ a i Uk+ i + U k+ i+ h + Uk i ] Uk i + Ui+ k h.