které charakterizují danou fyzikální situaci. souvislostí). Může být formulován jako soustava rovnic a nerovnic.
|
|
- Jakub Horák
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 1. Přednáška Obsah: Úvod do tvorby matematických modelů jako okrajové úlohy pro diferenciální rovnici. Příklad 1D vedení tepla a lineární pružnost. Diferenciální, variační, energetická formulace úloh. Klasické, slabé řešení. Přechody mezi řešeními. Jednoznačnost slabého řešení, závislost slabého řešení na vstupních datech. Problematika existence řešení a úplných prostorů. Úvod: Matematické modelování vychází z určení základních kvantifikovatelných veličin, které charakterizují danou fyzikální situaci. Matematický model je vyvořen těmito veličinami a vztahy mezi nimi, které jsou často formulované za zjednodušujících předpokladů (zanedbání méně významných souvislostí). Může být formulován jako soustava rovnic a nerovnic. Okrajové nebo počátečně-okrajové diferenciální rovnice. Přesné řešení lze nalézt jen ve velmi specifickém případě (které často slouží i jako testovací příklad pro numerické metody) a musíme tedy hledat numerické řešení (pomocí numerických metod - MKP). Přesné řešení dané fyzikální situace u. Přesné řešení matematického modelu (pokud je jediné) u M. Přesné řešení zjednodušeného matematického modelu (např. linearizace) ũ M. Přesné řešení diskretizovaného modelu u D. Numerické (přibližné) řešení diskretizovaného modelu v konečné aritmetice (počítač) u N. Chyba u u N, ũ M u N. Eliptické parciální diferenciální rovnice 2. řádu: Au xx + 2Bu xy + Cu yy + =, 1
2 kde předpokládám u xy = u yx. [ A B δ = det B C δ > eliptické rovnice, δ = parabolické rovnice, δ < hyperbolické rovnice. Příklad: Laplaceova rovnice u =, na R 2 u = û, na Γ = (nehomogenní Dirichletova OP) u = 2 u x u y 2, řešením jsou harmonické funkce, koncentrace určité veličiny v rovnováze (teplota, chem. koncentrace), tvar membrány upevněné v rámečku (homogenní Dirichletova OP), rozložení teploty na homogenní desce při daných teplotách na krajích, δ = 1. ], Jednorozměrné modely: Lineární stacionární model vedení tepla + zobecnění, matematický model lineární pružnosti. Okrajové úlohy pro diferenciální rovnici 2. řádu. Vedení tepla: Rozložení teploty v tyči délky l s příčným řezem K = K(x) = konst. o obsahu K = κ. Materiál charakterizovaný koeficientem tepelné vodivosti k [W m 1 K 1 ]. Tyč je tepelně izolovaná po celém obvodovém plášti, tj. teplota je konstantní v každém příčném řezu. 2
3 Veličiny: Teplota u = u(x) [K]. Teplotní spád ε = ε(x) [Km 1 ]. Tepelný tok τ = τ(x) [W m 2 ]. K(x) l Vztahy: Fourierův zákon: τ(x) = k(x)ε(x), k = k(x) >. u(x+h) u(x) Teplotní spád: ε(x + ) = lim = u (x h + h + ) = u (x). u(x+h) u(x) ε(x ) = lim = u (x h h ) = u (x). Rozhraní materiálů: ε(x ) ε(x + ). x Tepelné zdroje: v úseku x 1, x 2 je za jednotku času vyvíjeno teplo x 2 Q(x 1, x 2 ) = κf(x) dx, kde f je hustota tepelného zdroje. x 1 Příklad: Q(x 1, x 2 ) = RI 2 (x 2 x 1 ) - teplo při průchodu elektrického proudu drátem, R - odpor, I - el. proud. Okrajové podmínky: na levém konci udržujeme konstantní teplotu û, tj. u() = û, na pravém konci je dán tepelný tok ˆτ, tj. ku (l) = ˆτ. Bilanční formulace: Nechť (x 1, x 2 ) (, l), potom platí bilance toků skrz hranici a zdroje: κτ(x 1 ) κτ(x 2 ) + x 2 Diferenciální formulace (limitní přechod): x 1 κf(ξ) dξ =, (x 1, x 2 ) (, l). (ku (x)) = f(x), x = (, l) u() = û, ku (l) = ˆτ, Dirichletova OP Neumannova OP Jiné OP: Izolovaný konec: û = (homogenní Dirichletova OP). Podmínka přestupu tepla: ku (l) = α[u(l) Û] (Newtonova, Robinova OP), kde Û je teplota vnějšího prostředí, α koeficient přestupu tepla. 3
4 Jiné DR: Přestup tepla obvodovým pláštěm: (ku (x)) + k u = f(x) + k Û, x = (, l) k = αω, ω je obvod řezu κ Šíření tepla konvekcí: (ku (x)) + cρ(pu) = f(x) + k Û, x = (, l), pohyb prostředí rychlostí p = p(x) v každém řezu je stejná, c je měrné teplo, ρ hustota prostředí. Lineární pružnost: Tyč délky l s příčným řezem K = K(x) = konst. o obsahu K = κ. Materiál charakterizovaný (Youngovým) modulem pružnosti E [P a]. Veličiny: Posunutí u = u(x) [m]. Deformace ε = ε(x) bezrozměrná. Napětí τ = τ(x) [P a]. Vztahy: Hookův zákon: τ(x) = E(x)ε(x). Deformace: u(x+h) u(x) ε(x + ) = lim h + h = u (x + ) = u (x). u(x+h) u(x) ε(x ) = lim h h = u (x ) = u (x). Objemová síla: působení na úsek x 1, x 2 x 2 F (x 1, x 2 ) = κf(x) dx, kde f je hustota objemové síly. x 1 Příklad: f(x) = ρ(x)g, ρ(x) je hustota, g je gravitační konstanta. Okrajové podmínky: na levém konci je tyč pevně zafixována, tj. u() =, Diferenciální formulace: na pravém konci působí tah nebo tlak o velikosti ˆτ, tj. Eu (l) = ˆτ. (Eu (x)) = f(x), x = (, l) u() =, Eu (l) = ˆτ, Dirichletova OP Neumannova OP 4
5 Linearita nelinearita Vstupní data: f, û, ˆτ. Linearita zobrazení (úlohy) (f, û, ˆτ) u, tj. pokud u 1 a u 2 jsou řešení odpovídající vstupním datům (f 1, û 1, ˆτ 1 ) a (f 2, û 2, ˆτ 2 ), potom u 1 + u 2 je řešení odpovídající (f 1 + f 2, û 1 + û 2, ˆτ 1 + ˆτ 2 ) a cu 1 (c R) je řešení odpovídající datům (cf 1, cû 1, cˆτ 1 ). Nelinearita: např. k = k(u) = k(x, u(x)) linearizace, iterační postupy. Nespojitá vstupní data, heterogenní materiálové prostředí: Spojitost funkce f, řešení u, u, u, koeficientu k, k. Nespojitost např. v f - skok v bodě ξ: řešení diferenciální rovnice na dvou samostatných částech (, ξ) a (ξ, l) a podmínky přechodu: lim u(x) = lim u(x), x ξ x ξ + lim ku (x) = lim ku (x). x ξ x ξ + Vede k obecnějšímu chápání řešení okrajové úlohy. Minimum energie, rovnost prací. Variační formulace: Diferenciální formulace: Úloha najít u C 2 (, l ) tak, aby Lineární prostor U: (ku (x)) = f(x), x = (, l) u() = û, ku (l) = ˆτ, funkce definované a spojité na, l, hlavní OP přirozená OP po částech hladké, tj. u C 1 (ξ i 1, ξ i ) pro nějaké = ξ < ξ 1... ξ m 1 < ξ m = l, omezená první derivace, tj. u (x) K x (ξ i 1, ξ i ), i = 1,..., m. 5
6 Množina testovacích funkcí (v mechanice množina virtuálních posunutí): V = {v U : v(x) = x Γ D }, např. Γ D = {}. Množina přípustných funkcí U D = {u U : u(x) = û x Γ D }, např. Γ D = {}. Přenásobení DR testovací funkcí, integrování přes oblast = (, l) (ku ) v dx = fv dx. Per partes, dosazení OP variační identita: ku v dx = fv dx ˆτv(l) v V, a(u, v) = b(v), v V. Pokud k a f jsou po částech spojité a omezené, potom a : U U R a b : U R jsou definované na celém U. Jiné úlohy: DR: Úloha najít u C 2 (, l ) tak, aby (ku (x)) = f(x), x = (, l) u() =, VR: Úloha najít u U D tak, aby ku (l) = α(u(l) Û). ku v dx + αu(l)v(l) = fv dx αûv(l), v V } {{ } a(u,v) } {{ } b(v) U D = V = {u U : u() = } 6
7 DR: Úloha najít u C 2 (, l ) tak, aby (ku (x)) + pu = f(x), x = (, l) u() =, u(l) =. VR: Úloha najít u U D tak, aby (ku v + pu v) dx = fv dx, v V } {{ } a(u,v) } {{ } b(v) U D = V = {u U : u() =, u(l) = } DR: Úloha najít u C 2 (, l ) tak, aby (ku (x)) + qu = f(x), x = (, l) u() =, u(l) =. VR: Úloha najít u U D tak, aby (ku v + quv) dx = fv dx, v V } {{ } a(u,v) } {{ } b(v) U D = V = {u U : u() =, u(l) = } qu je reaktivní člen (např. přísun tepla chemickou reakcí). Vlastnosti a(u, v), b(v): Linearita: U je lineární prostor, a(u, v) budeme nazývat bilineární formou a b(v) lineárním funkcionálem, pokud jsou zobrazení a, b lineární v každém argumentu, tj. pro libovolné u 1, u 2, v 1, v 2 U a α 1, α 2 R platí a(α 1 u 1 + α 2 u 2, v) = α 1 a(u 1, v) + α 2 a(u 2, v), a(u, α 1 v 1 + α 2 v 2 ) = α 1 a(u, v 1 ) + α 2 a(u, v 2 ), b(α 1 v 1 + α 2 v 2 ) = α 1 b(v 1 ) + α 2 b(v 2 ). 7
8 Symetrie: Bilineární forma a(u, v) je symetrická, pokud a(u, v) = a(v, u) u, v U. Nezápornost (pozitivní semidefinitnost): a(u, u), u U. V-elipticita (pozitivní definitnost): abstraktní verze energie u 2 2,1 = [u 2 + (u ) 2 ] dx = u u 2 2, existuje konstanta m > taková, že m v 2 2,1 a(v, v) v V. Omezenost: Existuje konstanta M >, pro kterou platí: a(u, v) M u 2,1 v 2,1. Existuje konstanta B > takové, že b(v) B v 2,1. Energetická formulace: Pokud a je bilineární, symetrická a pozitivně definitní forma na U U, pak definuje skalární součin a tedy i normu u a = u E = a(u, u) - energetická norma. Energetický funkcionál pro bilineární formu a a lineární funkcionál b: J : U R 1, J = 1 a(u, u) b(u) 2 EF: Úloha najít u U D tak, aby J(u) = min{j(w) : w U D }. Řešení úloh: Definice (klasické řešení): Nechť k C 1 (, l), f je na (, l) omezená, û, ˆτ R. Klasickým řešením okrajové úlohy (ku (x)) = f(x), x = (, l) u() = û, ku (l) = ˆτ. nazveme takovou funkci u C 2 (, l), která splňuje danou diferenciální rovnici a okrajové podmínky. 8
9 Definice (slabé řešení): Nechť k, f jsou po částech spojité a omezené, û, ˆτ R. Potom zobecněným (slabým) řešením okrajové úlohy (ku (x)) = f(x), x = (, l) u() = û, ku (l) = ˆτ. nazveme funkci u, pro kterou platí u U D, a(u, v) = b(v), v V. kde U D = {u U : u() = û} nazýváme prostorem přípustných funkcí a prostor V = {v U : v() = } nazýváme prostorem testovacích funkcí. Věta: Předpokládejme, že bilineární forma a je symetrická a nezáporná. Potom u je zobecněným řešením okrajové úlohy, tj. právě tehdy, když platí u U D, a(u, v) = b(v), v V. u U D, J(u) = min{j(w) : w U D } kde J : U R, J(v) = 1 a(v, v) b(v) je energetický funkcionál. 2 Věta: Je-li u klasické řešení, je i slabým řešením. C 2 () C 1 () U(). Úlohu lze přeformulovat (pokud chceme stejné prostory přípustných a testovacích funkcí) ũ U D, u = ũ + u, u V, a(ũ + u, v) = b(v), v V. u V, a(u, v) = b(v) a(ũ, v) = b D (v), v V. 9
10 Jednoznačnost slabého řešení: Věta: Nechť a je V-eliptická (pozitivně definitní), potom existuje nejvýše jedno slabé řešení úlohy u U D, a(u, v) = b(v), v V. Spojitá závislost slabého řešení na datech: Věta: Nechť a je V-eliptická (pozitivně definitní) a u je slabé řešení úlohy (ku (x)) = f(x), x = (, l) u() = û, ku (l) = ˆτ. Označme u 1 řešení úlohy pro vstupní data f 1, ˆτ 1, û a u 2 řešení úlohy pro vstupní data f 2, ˆτ 2, û, potom existuje konstanta C taková, že u 1 u 2 2,1 C ( f 1 f 2 2, + ˆτ 1 ˆτ 2 ). Věta: Nechť a je V-eliptická (pozitivně definitní) a u je slabé řešení úlohy (ku (x)) = f(x), x = (, l) u() = û, ku (l) = ˆτ. Pokud u 1 je řešení odpovídající vstupním datům f, ˆτ, û 1, u 2 je řešení odpovídající vstupním datům f, ˆτ, û 2 a ũ 1 U 1 D, tj. ũ 1() = û 1, ũ 2 U 2 D, tj. ũ 2() = û 2. Potom existuje konstanta C taková, že u 1 u 2 2,1 C inf{ ũ 1 ũ 2 2,1 : ũ 1, ũ 2 U, ũ 1 () = û 1, ũ 2 () = û 2 }. 1
11 Existence slabého řešení: Existence slabého řešení úlohy u V, a(u, v) = b D (v), v V. existence minima funkcionálu u V, J D (u) = min v V J D(v), J D (v) = 1 2 a(v, v) b D(v). 1. J D je zdola omezený funkcionál. 2. Minimalizující posloupnost je Cauchyovská (splňuje Bolzanovu-Cauchyovu podmínku). 3. J D je spojitý. 4. Prostor V není úplný zúplnění existence řešení. Definice: Zúplněním prostoru C() v integrální normě u p = p prostor L p () u(x) p dx je Definice: Zúplněním prostoru C 1 () nebo U() v integrální normě u 2,1 je Sobolevův prostor H 1 (). H 1 () = {v L 2 () : v L 2 ()} v je zobecněná derivace Definice(zobecněná derivace): Zobecněná derivace v = w je funkce, pro kterou platí w ϕ dx = v ϕ dx ϕ C () Definice(slabé řešení): Slabým řešením nazveme u HD 1 (), resp. w H1 V takové, že u = u D + w, kde u D HD 1 () je předem zvolená funkce a(w, v) = b D (v) = b(v) a(u D, v) v H 1 V 11
12 Věta (Laxova-Milgramova): Pokud a je V-eliptická, omezená bilineární forma a b je omezený lineární funkcionál na HV 1 potom existuje právě jedno slabé řešení. Navíc platí u 2,1 1 m b B b(v), kde b = sup. m v v 2,1 Regularita slabého řešení: Lemma (du Bois Reymondovo): Nechť u L() a platí u ϕ dx = ϕ C (). Potom u = skoro všude na. Pokud navíc u C(), potom u = ve všech bodech. 12
13 Základy funkcionální analýzy: Lineární prostor: Lineárním prostorem U nazveme libovolnou množinu (vektorů, funkcí) na které jsou definovány operace sčítání, násobení skalárem s následujícími vlastnostmi: x + y = y + x, x, y U, (x + y) + z = x + (y + z), x, y, z U, α(x + y) = αx + αy, x, y U, α R, : x + = x, x U, x ( x): x + ( x) =, (α + β)x = αx + βx, x U, α, β R, α(βx) = (αβ)x, x U, α, β R, 1.x = x, x U,.x =, x U. Norma: Nezáporná funkce x s následujícími vlastnostmi: x, x = x =, x U, αx = α x, x U, α R, x + y x + y, x, y U. Lineární prostor U s definovanou normou u je lineární normovaný prostor. u = max x u(x), u 1 = u(x) dx, [ u p = 1/p [ u(x) dx] p, u 2 = u 2, = u(x) 2 dx] 1/2, [ 1/2 u 2,1 = [u 2 + (u ) 2 ] dx], 13
14 u a = u E = a(u, u). [ 1/2 Seminorma: u 2,1 = [(u ) 2 ] dx], nespňuje u 2,1 = u =. Skalární součin: Symetrická bilineární forma (u, v) : U U R, po kterou platí (u, u), (u, u) = u =, u U. u = (u, u). Cauchy-Schwarzova nerovnost: (u, v) u v. Ekvivalence norem: m > a M >, takové, že u U platí m u 2,1 u a M u 2,1. Systém všech otevřených i uzavřených množin je v obou normách stejný. Každá posloupnost je zároveň konvergentní nebo divergentní v obou normách. Každá posloupnost je nebo není Cauchyovská v obou normách. Cauchyovská posloupnost (Bolzanova-Cauchyova podmínka): (nutná podmínka konvergence) Definice: Řekneme, že posloupnost {a n } n=1 je Cauchyovská, jestliže ε > n N tak, že m, n n je a m a n 2,1 < ε Lemma: Každá konvergentní posloupnost je Cauchyovská. Definice: Prostor X nazveme úplný, jestliže každá Cauchyovská posloupnost je konvergentní. 14
Dnešní látka: Literatura: Kapitoly 3 a 4 ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceCo jsme udělali: Au = f, u D(A)
Předmět: MA4 Dnešní látka: Od okrajových úloh v 1D k o. ú. ve 2D Laplaceův diferenciální operátor Variačně formulované okrajové úlohy pro parciální diferenciální rovnice a metody jejich přibližného řešení
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
Více(Poznámka: V MA 43 je věta formulována trochu odlišně.)
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy: zúplnění prostoru funkcí přibližné řešení minim. úlohy metoda konečných prvků jiný pohled na zobecněné řešení stejný způsob numerické aproximace
VíceHomogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky
Předmět: MA4 Dnešní látka Variační formulace okrajových úloh. Přibližné řešení minimalizační úlohy Ritzova metoda. Homogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky Literatura:
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceLiteratura: Kapitoly 3, 4 a 2 d) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT, Praha, Text přednášky na webové stránce přednášejícího.
Předmět: MA4 Dnešní látka: Nehomogenní okrajové podmínky. Pokračování OÚ pro PDR (jen pro fajnšmekry). Jednoznačnost zobecněného řešení. Metoda sítí v 1D. Přibližné řešení okrajových úloh. Aproximace vlastních
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceDiferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program
Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí
VíceVěta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa
Věta o sedlovém bodu a Fredholmova alternativa Petr Tomiczek Fakulta Aplikovaných věd Západočeská univerzita Plzeň 2006 obsah 1 Rozklad Hilbertova prostoru Uzavřený lineární a samoadjungovaný operátor
VíceObsah. 1 Lineární prostory 2
Obsah 1 Lineární prostory 2 2 Úplné prostory 2 2.1 Metrické prostory.................................... 2 2.2 Banachovy prostory................................... 3 2.3 Lineární funkcionály..................................
Více1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu
[M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:
VíceZákladní spádové metody
Základní spádové metody Petr Tichý 23. října 2013 1 Metody typu line search Problém Idea metod min f(x), f : x R Rn R. n Dána počáteční aproximace x 0. Iterační proces (krok k): (a) zvol směr d k, (b)
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory
Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory 3. července 2012 1 Metrika na množině, metrický prostor Pojem vzdálenosti dvou reálných (komplexních) čísel, nebo bodů v rovině či prostoru je známý ze
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Lineární (vektorový) prostor Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
Více1. Posloupnosti čísel
1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
Více19 Hilbertovy prostory
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem
VíceMatematika 4 FSV UK, LS Miroslav Zelený
Matematika 4 FSV UK, LS 2017-18 Miroslav Zelený 13. Diferenční rovnice 14. Diferenciální rovnice se separovanými prom. 15. Lineární diferenciální rovnice prvního řádu 16. Lineární diferenciální rovnice
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceÚvod do parciálních diferenciálních rovnic. 2 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce
Příklady na cvičení k přednášce NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic 1 Kanonický tvar lineárních PDR 2. řádu pro funkce dvou proměnných 1. Určete typ parciální diferenciální rovnice u xx
VíceParciální diferenciální rovnice
Parciální diferenciální rovnice Obsah kurzu Co bude obsahovat... úvod do PDR odvození některých PDR klasická teorie lineárních PDR 1. a 2. řádu řešení poč. a okraj. úloh vlastnosti řešení souvislost s
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
VíceČetba: Texty o lineární algebře (odkazy na webových stránkách přednášejícího).
Předmět: MA 4 Dnešní látka Vlastní čísla a vektory Google Normovaný lineární prostor Normy matic a vektorů Symetrické matice, pozitivně definitní matice Gaussova eliminační metoda, podmíněnost matic Četba:
Víceterminologie předchozí kapitoly: (ϕ, Ω) - plocha, S - geometrický obraz plochy
2. Plošný integrál. Poznámka. Obecně: integrování přes k-rozměrné útvary (k-plochy) v R n. Omezíme se na případ k = 2, n = 3. Definice. Množina S R 3 se nazve plocha, pokud S = ϕ(), kde R 2 je otevřená
Více11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah
11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceMatematika V. Dynamická optimalizace
Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,
Více21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic
21. Úvod do teorie parciálních diferenciálních rovnic Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2014/15 21.1 Základní termíny Definice Vektor tvaru α = (α 1,...,α m ), kde α j N {0}, j
VíceHomogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové podmínky
Předmět: MA4 Dnešní látka Diferenciální operátory Variační formulace okrajových úloh. Přibližné řešení minimalizační úlohy Ritzova metoda. Homogenní (nulové) okrajové podmínky Nehomogenní (nenulové) okrajové
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VíceTéma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
Více24. Parciální diferenciální rovnice
24. Parciální diferenciální rovnice Aplikovaná matematika IV, NMAF074 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2011/12 24.1 Rovnice vedení tepla Definice (Rovnice vedení tepla) Parciální diferenciální rovnici c(x)ρ(x)
VíceTENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE. Obrázek 1: Volba souřadnicového systému
TENSOR NAPĚTÍ A DEFORMACE Obrázek 1: Volba souřadnicového systému Pole posunutí, deformace, napětí v materiálovém bodě {u} = { u v w } T (1) Obecně 9 složek pole napětí lze uspořádat do matice [3x3] -
VíceÚvod základy teorie zobrazení
Úvod základy teorie zobrazení V přednášce se budeme zabývat diferenciálním a integrálním počtem funkcí více proměnných. Přednáška navazuje na přednášku atematická analýza 1 z prvního semestru. Proto se
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
VíceÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY. Jiří Bouchala
ÚVOD DO FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZY Jiří Bouchala Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.7/2.2./7.332), na kterém se společně podílela Vysoká škola báňská
Víceem do konce semestru. Obsah Vetknutý nosník, str. 8 Problém č.8: Průhyb nosníku - Ritzova metoda
Zápočtové problémy Na následujících stránkách naleznete druhou sérii zápočtových problémů věnovanou nosníkům. Ti, co ještě nemají žádný problém přidělený, si mohou vybrat libovolný z nich. Řešení můžete
VíceU218 Ústav procesní a zpracovatelské techniky FS ČVUT v Praze. Seminář z PHTH. 3. ročník. Fakulta strojní ČVUT v Praze
Seminář z PHTH 3. ročník Fakulta strojní ČVUT v Praze U218 - Ústav procesní a zpracovatelské techniky 1 Přenos tepla 2 Mechanismy přenosu tepla Vedení (kondukce) Fourierův zákon homogenní izotropní prostředí
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VícePožadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15
Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita
Více1 Zatížení konstrukcí teplotou
1 ZATÍŽENÍ KONSTRUKCÍ TEPLOTOU 1 1 Zatížení konstrukcí teplotou Časově proměnné nepřímé zatížení Klimatické vlivy, zatížení stavebních konstrukcí požárem Účinky zatížení plynou z rozšířeného Hookeova zákona
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
Více18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VíceNumerické metody optimalizace - úvod
Numerické metody optimalizace - úvod Petr Tichý 16. února 2015 1 Organizace přednášek a cvičení 13 přednášek a cvičení. Zápočet: úloha programování a testování úloh v Matlabu. Další informace na blogu
VíceKomplexní analýza. Holomorfní funkce. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Holomorfní funkce Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Holomorfní funkce 1 / 8 Derivace Definice Necht f je komplexní
VíceNumerická matematika 1
Numerická matematika 1 Obsah 1 Řešení nelineárních rovnic 3 1.1 Metoda půlení intervalu....................... 3 1.2 Metoda jednoduché iterace..................... 4 1.3 Newtonova metoda..........................
VícePožadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory
Požadavky k písemné přijímací zkoušce z matematiky do navazujícího magisterského studia pro neučitelské obory Zkouška ověřuje znalost základních pojmů, porozumění teorii a schopnost aplikovat teorii při
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
Více1 Posloupnosti a řady.
1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže
VíceKapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
Více1 Vedení tepla stacionární úloha
1 VEDENÍ TEPLA STACIONÁRNÍ ÚLOHA 1 1 Vedení tepla stacionární úloha Typický představitel transportních jevů Obdobným způsobem možno řešit například Fyzikální jev Neznámá Difuze koncentrace [3] Deformace
VíceMatematické modelování elmg. polí 1. kap.: Elektrostatika
Matematické modelování elmg. polí 1. kap.: Elektrostatika Dalibor Lukáš Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava email: dalibor.lukas@vsb.cz http://www.am.vsb.cz/lukas/ Text byl
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
Vícenazvu obecnou PDR pro neznámou funkci
Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R
Více11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
VíceKapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15
Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +
VíceNetradiční výklad tradičních témat
Netradiční výklad tradičních témat J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi I. VUTIUM, Brno 2006 (291 s.), 2009 (349 s.). J. Musilová, P. Musilová: Matematika pro porozumění i praxi
Víceverze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
VíceKatedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze Příjmení a jméno ➊ ➋ ➌ ➍ ➎ ➏ Bonus
Zkoušková písemná práce č 1 z předmětu 1RMF čtvrtek 16 ledna 214, 9: 11: ➊ 11 bodů) Ve třídě zobecněných funkcí vypočítejte itu x ) n n2 sin 2 P 1 n x) ➋ 6 bodů) Aplikací Laplaceovy transformace vypočtěte
Více3. Přednáška: Line search
Úloha: 3. Přednáška: Line search min f(x), x R n kde x R n, n 1 a f : R n R je dvakrát spojitě diferencovatelná. Iterační algoritmy: Začínám v x 0 a vytvářím posloupnost iterací {x k } k=0, tak, aby minimum
VíceNMAF063 Matematika pro fyziky III Zápočtová písemná práce B Termín pro odevzdání 4. ledna 2019
Jméno: Příklad 2 3 4 5 Celkem bodů Bodů 20 20 20 20 20 00 Získáno Zápočtová písemná práce určená k domácímu vypracování. Nutnou podmínkou pro získání zápočtu je zisk více jak 50 bodů. Pravidla jsou následující:.
VíceZobecněný Riemannův integrál
Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál
Vícestránkách přednášejícího.
Předmět: MA 4 Dnešní látka Iterační metoda Jacobiova iterační metoda Gaussova-Seidelova iterační metoda Superrelaxační metoda (metoda SOR) Metoda sdružených gradientů Četba: Text o lineární algebře v Příručce
VícePřednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla
Přednáška č. 5: Jednorozměrné ustálené vedení tepla Motivace Diferenciální rovnice problému Gradient teploty Energetická bilance Fourierův zákon Diferenciální rovnice vedení tepla Slabé řešení Diskretizace
Více1 Funkce dvou a tří proměnných
1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2
VíceOBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
VíceRozdíly mezi MKP a MHP, oblasti jejich využití.
Rozdíly mezi, oblasti jejich využití. Obě metody jsou vhodné pro určitou oblast problémů. základě MKP vyžaduje rozdělení těles na vhodný počet prvků, jejichž analýza je poměrně snadná a pro většinu částí
VícePROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM. Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti
PROSTORY SE SKALÁRNÍM SOUČINEM Definice Nechť L je lineární vektorový prostor nad R. Zobrazení L L R splňující vlastnosti 1. (x, x) 0 x L, (x, x) = 0 x = 0, 2. (x, y) = (y, x) x, y L, 3. (λx, y) = λ(x,
VíceDIPLOMOVÁ PRÁCE. Parabolické rovnice řešené metodou konečných UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE Parabolické rovnice řešené metodou konečných prvků Vedoucí diplomové práce: RNDr.
VíceTransformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.
Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních
VícePARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Základní pojmy Řešení rovnice je hledání neznámé, která po dosazení do této rovnice vytvoří rovnost. V případě ODR byla neznámou funkce jedné proměnné obvykle ji označujeme
VíceMatematická analýza 4
Matematická analýza 4 LS 2015-16 Miroslav Zelený 18. Metrické prostory III 19. Křivkový a plošný integrál 20. Absolutně spoj. fce a fce s konečnou variací 21. Fourierovy řady 18. Metrické prostory III
VíceMetody aplikované matematiky
Metody aplikované matematiky D. Janovská Ústav matematiky, VŠCHT Praha, Technická 5, 166 28 Praha 6 e-mail: janovskd@vscht.cz 13. února 211 1 Úvod Diskrétní metody řešení diferenciálních rovnic jako např.
VíceGreenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice
Greenova funkce pro dvoubodové okrajové úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice Jan Tomeček Tento stručný text si klade za cíl co nejrychlejší uvedení do teorie Greenových funkcí pro obyčejné diferenciální
VíceLimita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
VíceNelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků
Nelineární analýza materiálů a konstrukcí (V-132YNAK) Přednáška 2 Princip metody konečných prvků Petr Kabele petr.kabele@fsv.cvut.cz people.fsv.cvut.cz/~pkabele Petr Kabele, 2007-2014 Obsah Variační principy
Více2 Odvození pomocí rovnováhy sil
Řetězovka Abstrakt: Ukážeme si, že řetěz pověšený mezi dvěma body v homogenním gravitačním poli se prohne ve tvaru grafu funkce hyperbolický kosinus. Odvození provedeme dvojím způsobem: pomocí rovnováhy
VíceK oddílu VI.1 obecné slabé topologie Příklad 1. Necht X = C([0, 1]) s topologií bodové konvergence na [0, 1]. Popište všechny
FUNKCIONÁLNÍ ANALÝZA 1 PŘÍKLADY PRO POROZUMĚNÍ LÁTCE ZS 2016/2017 PŘÍKLADY KE KAPITOLE VI K oddílu VI.1 obecné slabé topologie Příklad 1. Necht X = C([0, 1]) s topologií bodové konvergence na [0, 1]. Popište
VíceAplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
Více17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
VíceMATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z. Obsah. 1. Parciální diferenciální rovnice obecně. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu
MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 1 3. Lineární rovnice druhého řádu
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VícePOŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY
POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)
Více7. Lineární vektorové prostory
7. Lineární vektorové prostory Tomáš Salač MÚ UK, MFF UK LS 2017/18 Tomáš Salač ( MÚ UK, MFF UK ) 7. Lineární vektorové prostory LS 2017/18 1 / 62 7.1 Definice a příklady Definice 7.1 Množina G s binární
Více2 Vektorové normy. Základy numerické matematiky - NMNM201. Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro
Cvičení 1 Základy numerické matematiky - NMNM201 1 Základní pojmy opakování Definice 1 (Norma). Norma je funkcionál splňující pro libovolné vektory x a y a pro libovolný skalár α C následující podmínky:
VíceMetoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika)
Inovace studijního oboru Geotechnika Reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0009 Metoda konečných prvků Charakteristika metody (výuková prezentace pro 1. ročník navazujícího studijního oboru Geotechnika) Doc. RNDr.
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceLIMITA A SPOJITOST FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceSkalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy.
6 Skalární součin Skalární součin dovoluje zavedení metriky v afinním bodovém prostoru, tj. umožňuje nám určovat vzdálenosti, odchylky, obsahy a objemy. Příklad: Určete odchylku přímek p, q : p : x =1+3t,
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
VíceDefinice. Na množině R je dána relace ( R R), operace sčítání +, operace násobení a množina R obsahuje prvky 0 a 1 tak, že platí
1. Úvod 1.1. Výroky a metody důkazů Výrok je tvrzení, o kterém má smysl říci, že je pravdivé či ne. Vytváření nových výroků: Logické spojky & a, Implikace, Ekvivalence, Negace. Obecný kvatifikátor a existenční
Více