Neparametrické testy. 1. Úvod. 2. Medián

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Neparametrické testy. 1. Úvod. 2. Medián"

Transkript

1 Neparametrické testy. Úvod Testy hypotéz o parametrech základních souborů, které jsme zatím poznali, jsou založeny na předpokladu, že tyto soubory mají normální rozdělení pravděpodobnosti, popřípadě i na některých dalších předpokladech, např. rovnosti rozptylů. Nesplnění předpokladu o normalitě většinou není vzhledem k centrální limitní větě příliš na závadu, pokud je rozsah náhodných výběrů, z nichž konstrukce testu vychází, dostatečně velký. Často je ale třeba testovat hypotézy na základě náhodných výběrů malých rozsahů pocházejících z výrazně nenormálních rozdělení, takže klasické testy založené na předpokladu normality nelze použít. Pro práci s takovými výběry byly vyvinuty tzv. neparametrické testy, které nepředpokládají nic o konkrétním typu rozdělení základního souboru ani o jeho parametrech a vyžadují zpravidla pouze jeho spojitost. Po výpočetní stránce jsou neparametrické testy velmi jednoduché a proto se často používají i tehdy, kdy je možné použít také klasické, ale početně podstatně náročnější testy založené na předpokladu normality. Neparametrické testy však zpravidla využívají informaci obsaženou v náhodném výběru pouze částečně, a proto pravděpodobnost chyby. druhu je u nich v těchto případech zpravidla větší než u klasických testů. Zatímco rozhodovací pravidla parametrických testů jsou konstruována přímo z číselných hodnot náhodných výběrů, konstrukce rozhodovacích pravidel neparametrických testů vychází pouze ze vzájemného pořadí těchto hodnot. Některé neparametrické testy lze proto použít i v případech, kdy nejsou známy hodnoty náhodného výběru ale pouze jejich pořadí, nebo kdy tyto hodnoty znamenají pouze pořadí zkoumaných vlastností náhodného charakteru seřazených podle určitého hlediska. Neparametrických testů existuje velmi mnoho. Zde se omezíme jenom na několik z nich, které jsou obdobou klasických testů o střední hodnotě a testu lineární nezávislosti náhodných veličin. Na rozdíl od klasických testů se však testují hypotézy o mediánu.. Medián Medián m è rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X se spojitou distribuční funkcí F je míra polohy charakterizovaná ne zcela jednoznačně podmínkou FHm è L = m è D = ê. Jednoznačně je medián určen např. tehdy, je-li funkce F rostoucí. Je-li příslušné rozdělení pravděpodobnosti symetrické kolem některého bodu m è, tj. platí-li pro všechna x œ rovnost FHm è - xl = - FHm è + xl, potom m è je medián a v případě, že existuje střední hodnota E X, platí rovnost m è = E X. Podmínku symetrie funkce F splňuje např. tehdy, je-li náhodná veličina X (absolutně) spojitá a její hustota f je symetrická podle bodu m è, tj. platí-li pro všechna x œ rovnost fhm è - xl = fhm è + xl. Není-li distribuční funkce F spojitá, lze medián m è definovat např. podmínkami < m è D = lim xøx è - FHxL ê, m è D = FHm è L ê. Definujeme-li a-kvantil x a rozdělení s distribuční funkcí F formulí Hx < x a ï xd = FHxL < alfl x a D = FHx a L a, pak tyto podmínky, které neurčují medián jednoznačně, splňuje např. kvantil x 0.5. Z definice mediánu a kvantilů dále snadno vyplývá, že tento kvantil je ze všech možných mediánů rozdělení nejmenší. Lze dokázat, že každý medián m è má následující vlastnost: je-li střední hodnota EX konečná, potom funkce E» X - c» nabývá v bodě c = m è svého minima.

2 Nonparametric Tests.nb 3. Znaménkový test 3.. Znaménkový test je určen k ověřování hypotéz o mediánu rozdělení pravděpodobnosti (základního souboru) se spojitou distribuční funkcí F. Protože bez dalších předpokladů o F není medián určen jednoznačně, je třeba význam nulové hypotézy m è = c a možných alternativ m è c, m è < c, m è > c upřesnit. Hypotéza m è = c znamená, že c je medián, tj. že FHcL = ê, alternativa m è c znamená, že c není medián, tj. že FHcL ê, alternativa m è < c znamená, že každý medián je menší než c, tj. že FHcL > ê, a a poslední alternativa znamená, že každý medián je větší než c, tj. že FHcL < ê. 3.. Kritické hodnoty pro znaménkový test. Pro každé reálné číslo c a každý bod =Hx,..., x n L prostoru n nechť n c H L = počet indexů i, pro něž x i c, n >c H L = počet indexů i, pro něž x i > c, a pro každé přirozené číslo n a každé a œh0, L nechť k a, HnL = Bi aê Hn, êl -, k a, HnL = Bi -aê Hn, êl +, kde Bi b Hn, êl je b-kvantil binomického rozdělení BiHn, êl Věta. Jestliže =HX,..., X n L je náhodný výběr z rozdělení se spojitou distribuční funkcí F a mediánem c, potom >c H L xd ó x k a, HnL, >c H L xd ó x k a, HmL Znaménkový test. Nechť =Hx,..., x n L je realizace náhodného výběru =HX,..., X n L z rozdělení se spojitou distribuční funkcí. Nulovou hypotézu H : m è = c na základě realizace zamítneme ve pro prospěch některé ze tří možných alternativ, pokud n >c = n >c H L a n c = n c H L splňují příslušnou podmínku uvedenou ve třetím sloupci následující tabulky: Hypotéza H 0 Alternativa H Kritický obor pro hladinu významnosti a m è = c m è c n >c k a, Hn c LÍ n >c k a, Hn c L m è = c m è < c n >c k a, Hn c L m è = c m è > c n >c k a, Hn c L 3.5. Asymptotická varianta znaménkového testu. Pro větší rozsahy n c, přibližně pro n c 0, můžeme také použít testovací statistiku R Zn,c = R Zn,c H L = n >c H L - n c H L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n c H L s asymptoticky normálním rozdělením NH0, L a kritické obory pro zamítnutí nulové hypotézy uvedené v tabulce Hypotéza H 0 Alternativa H Kritický obor pro hladinu významnosti a m è = c m è c» R Zn,c» > u -aê m è = c m è < c R Zn,c < -u -a, m è = c m è > c R Zn,c > u -a kde u b je jako obvykle b-kvantil normovaného normálního rozdělení Poznámka. Znaménkový test má poměrně malou sílu, tj. pravděpodobnost chyby. druhu je ve srovnání s jinými testy dosti veliká, a proto je žádoucí mít k dispozici větší počet pozorování různých od c Příklad. Deset pokusných osob mělo nezávisle na sobě a bez předchozího nácviku odhadnout, kdy od daného signálu uplyne jedna minuta. Byly získány následující výsledky ( v sekundách):

3 Nonparametric Tests.nb 3 Řešení. Odhad délky jedné minuty je zřejmě náhodná veličina se spojitou distribuční funkcí. Pro ověření hypotézy, že medián jejího rozdělení je c = 60 sekund, můžeme proto použít znaménkový test. Zřejmě n c = 0, n >c = a podle tabulky kritických hodnot k 0.05, H0L =, k 0.05, H0L = 9. Na hladině významnosti a = 0.05 nelze tedy hypotézu H 0 : m è = 60 zamítnout ve prospěch alternativy m è 60. Ke stejnému závěru dojdeme, použijeme-li statistiku R Zn,c, neboť R Zn,c = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 6 è!!!!!! 0 U , u = Příklad. V jednom městečku proběhl výzkum požívání alkoholu tak, že u 8 náhodně vybraných občanů byla zjištěna průměrná měsíční dávka alkoholu. Po nějaké době došlo v městečku ke dvěma úmrtím na cirhózu jater, způsobenou velmi pravděpodobně nadměrmým požíváním alkoholu. K posouzení, zda tato událost nějak ovlivnila u občanů městečka množství požívaného alkoholu, byly použity výsledky předchozího výzkumu a navíc byla u stejných 8 osob jako dříve zjištěna jejich současná průměrná měsíční dávka alkoholu. Výsledky obou šetření jsou uvedeny v následující tabulce: Osoba Před úmrtími Po úmrtích Otázka zní: lze na základě těchto výsledků na hladině významnosti a = 5 % tvrdit, že zmíněná úmrtí ovlivnila v městečku požívání alkoholu? Řešení. Výsledky obou šetření představují realizaci náhodného výběru H, L rozsahu n = 8 z dvourozměrmého základního souboru HX, YL, kde X resp. Y je průměrná měsíční spotřeba alkoholu obyvatele městečka před zmíněnými úmrtími resp. po nich. Rozdíl Z = Y - X tedy vyjadřuje, jak se tato spotřeba alkoholu u obyvatele městečka zvýšila nebo snížila. Za kritérium změny v požívání alkoholu můžeme vzít buď střední hodnotu EZ veličiny Z nebo její medián m è Z. Rovnost EZ = 0 znamená, že průměrná měsíční spotřeba alkoholu obyvatele městečka se nezměnila. Rovnost m è Z = 0 naproti tomu znamená jenom tolik, že počet obyvatel městečka, kteří po úmrtích požívání alkoholu omezili, je přibližně stejný, jako počet obyvalel, kteří naopak začali pít víc. Za předpokladu normality náhodného vektoru HX, YL můžeme otestovat hypotézu EZ = 0 proti hypotéze EZ 0 s výsledkem = -00, T = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ s è!!! n t -aêhn - L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 00 è!!!!.3646 = 67.04,»» < T, 8 což znamená, že na hladině významnosti a = 5 % nelze hypotézu EZ = 0 zamítnout. Protože dosažená hladina významnosti tohoto testu je 0.00, nulovou hypotézu lze zamítnout oboustranným testem až na hladině významnosti a > 0.., tj. s pravděpodobností chyby. druhu větší než 0 %, nebo jednostranným testem proti hypotéze EX < 0 až na hladině významnosti a > 0., tj. s pravděpodobností chyby. druhu alespoň 0 %. Protože normalita implikuje rovnost střední hodnoty a mediánu, testy hypotéz o střední hodnotě jsou současně testy hypotéz o mediánu. Pokud usoudíme, že normalitu předpokládat nelze, můžeme pouze otestovat hypotézu m è Z = 0 proti některé ze tří možných hypotéz m è Z 0, mè Z < 0, mè Z > 0. Protože pro Z, jak velmi snadno zjistíme, n 0 = 7, n >0 =, k a, H7L = 0, k a, H7L = 7, R Zn,0 = , u 0.95 =.64485, u =.95996, ani jeden z možných šesti znaménkových testů hypotézu m è Z = 0 na dané hladině významnosti nezamítá. Na hladině významnosti a = 5 % proto nelze tvrdit, že úmrtí konzumaci alkoholu v městečku nějak významně změnila. 4. Wilcoxonův jednovýběrový test 4.. Tento test je testem hypotézy H 0 : m è = c o mediánu rozdělení se spojitou distribuční funkcí F za předpokladu, že toto rozdělení je kolem mediánu m è symetrické, tj. že pro každé reálné číslo x platí rovnost FHm è - xl = - FHm è + xl. Protože symetrie rozdělení kolem bodu c implikuje, že c je medián, Wilcoxonův test hypotézy H 0 je vlastně testem

4 4 Nonparametric Tests.nb symetrie rozdělení kolem bodu c. K zamítnutí hypotézy H 0 proto může dojít buď proto, že c není medián, nebo proto, že rozdělení není kolem mediámu symetrické. 4.. Wilcoxonova jednovýběrová statistica. Pro každý vektor =Hx,..., x n L œ n označme * =Hx *,..., x n * L posloupnost absolutních hodnot čísel x, x,..., x n seřazených do neklesající posloupnosti a pro každé i =,,..., n definujme pořadí r i + H L absolutní hodnoty x i * čísla x i v posloupnosti * jako aritmetický průměr všech indexů j, pro něž x i * = x j *, zmenšený o počet indexů j, pro něž x i = 0, a položme S + H L = r + i H L, S - H L = r + i H L. x i >0 x i <0 Označíme-li ještě ǹ počet indexů i, pro které x i 0, pak se snadno ověří, že S + H L + S - H L = ǹhǹ + Lê. Jeli =HX,..., X m L náhodný výběr, pak náhodná veličina S + = SH L je tzv. Wilcoxonova jednovýběrová statistika (Wilcoxon signed rank statistic) Věta. Nechť =HX,..., X n L je náhodný výběr ze základního soubor X se spojitou distribuční funkcí F, jehož rozdělení pravděpodobnosti je symetrické kolem 0. Potom ES + = ES - = ÅÅÅÅÅ 4 nhn + L, var S+ = var S - = ÅÅÅÅÅÅÅ 4 nhn + L H n + L Kritické hodnoty pro Wilcoxonovův jednovýběrový test. Pro každé celé číslo k z intervalu X0, nhn + Lê\ nechť W+ HkL je počet permutací =Hx, x..., x n L množiny 8,,..., n<, kde x < x <... < x m, x m+ < x m+ <... < x n pro některé m œx0, n\ a x x m = k, a nechť f W + HkL = W+ HkL -n pro k œ80,,..., nhn + Lê<, f W + HxL = 0 pro x 80,,..., nhn + Lê<, F + W HxL = f + W HkL pro všechna x œ. k x Snadno je vidět, že pro každou permutaci =Hx,..., x n L množiny 8,,..., n<, kde x < x <... < x m, x m+ < x m+ <... < x n, platí implikace Odtud vyplývají postupně identity je celá část čísla x. m Hy,..., y n L =Hx m+,..., x n, x,..., x m L ï i= n-m x i + i= y i = ÅÅÅÅÅ nhn + L. W+ HkL = W+ HnHn + Lê - kl, W+ J ÅÅÅÅÅ 4 nhn + L - kn = W + J ÅÅÅÅÅ nhn + L + kn, 4 f + W HkL = f + W HnHn + Lê - kl, f + W J ÅÅÅÅÅ 4 nhn + L - kn = f W + J ÅÅÅÅÅ nhn + Lê + kn, 4 F + W HxL = - F + W HnHn + Lê - L, Dolní a horní kritické hodnoty Wilcoxonovy jednovýběrové statistiky jsou definovány vztahy Z vlastností funkce F W + snadno vyplývá identita k W, Hn, al = k ó F W + HkL a Ï F W + Hk + L > a, k W, Hn, al = k + ó F W + HkL - a Ï F W + Hk - L < - a. k W, Hn, al = ÅÅÅÅÅ nhn + L - k W,Hn, al. Kritické hodnoty Whitneyovy jednovýběrové statistiky jsou definovány pro 0 < a < ê vztahem V literatuře bývají tyto kritické hodnoty označovány w a HnL. k W Hn, al = k W, Hn, aêl.

5 Nonparametric Tests.nb Věta. Nechť =HX,..., X m L je náhodný výběr ze základního souboru X se spojitou distribuční funkcí F. Jestliže rozdělení pravděpodobnosti základního souboru je symetrické kolem 0, tj. FH-xL = - FHxL pro všechna x œ, potom + H L = xd = f + W HxL, + H L xd = F + W HxL, + H L xd a ó x k W, Hn, al, + H L xd a ó x k W, Hn, al, 8S + H L, S - H L< xd a ó x k W Hn, al Wilcoxonův jednovýběrový test. Nechť =Hx,..., x n L je realizace náhodného výběru ze základního soubor X se spojitou distribuční funkcí F, jehož rozdělení pravděpodobnosti je symetrické kolem mediánu m è, nechť c =Hx - c,..., x n - cl a nechť ǹ je počet nenulových členů posloupnosti c. I. H 0 :m é = c, H :m é π c. Hypotézu H 0 : m è = c zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže min 8S + H c L, S - H c L< = min 8S + H c L, ǹ Hǹ + Lê - S + H c L< k W Hǹ, al. II. H 0 :m é = c, H :m é > c. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže platí jedna z následujících dvou ekvivalentních nerovností S + H c L k W, Hǹ, al = ǹhǹ + Lê - k W Hǹ, al, S - H c L k W, Hǹ, al = k W Hǹ, al. III. H 0 :m é = c, H :m é < c. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže platí jedna z následujících dvou ekvivalentních nerovností S + H c L k W, Hǹ, al, S - H c L k W, Hǹ, al = ǹhǹ + Lê - k W Hǹ, al Asymptotická varianta Wilcoxonova jednovýběrového testu. Kritické hodnoty Wilcoxonova jednovýběrového testu lze ve většině statistických tabulek najít pro nepříliš velké hodnoty n od 4 do přibližně 30. Není-li potřebná kritická hodnota k W Hn, al dostupná, můžeme pro n > 0 použít statistiku R W = R W H c L = S+ H c L - ES + H c L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = S+ H c L - ÅÅÅÅ ǹhǹ + L 4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ var S + H c L "############################################ ÅÅÅÅÅ ǹhǹ + L H ǹ + L která má pro n Ø asymptoticky normované normální rozdělení. Na hladině významnosti blížící se a pak hypotézu H 0 : m è = c zamítneme ve prospěch alternativy H : m è c, bude-li platit nerovnost»r W» u -aê, kde u b je jako obvykle b-kvantil normovaného normálního rozdělení, a hypotézu H 0 : m è = c zamítneme ve prospěch alternativy H : m è > c resp. H : m è < c, bude-li platit nerovnost R W u -aê resp. R W -u -aê Příklad - pokračování příkladu 3.7. Otestujme hypotézu H 0 : m è = c pro c = 60 znovu pomocí Wilcoxonova testu. Protože x i y i = x i - c * y i r i , S + H L = r + 5 H L + r + 7 H L = + 5 = 7, S - H L = 55-7 = 48, min 8S + H L, S - H L< = 7, w 0.05 H0L = 8, hypotézu H 0, podle níž v lidské populaci polovina osob délku jedné minuty podhodnotí a polovina tuto délku nadhodnotí, na hladině významnosti a = 0.05 zamítneme. Protože

6 6 Nonparametric Tests.nb ES + = 7.5, var S + = 96.5, R W = R W H c L = -.09, u =.95996, hypotézu H 0 zamítá na dané hladině významnost i test zakládající se na statistice R W Příklad - pokračování příkladu 3.8. Podívejme se, co říká o hypotéze m è Z = 0 Wilcoxonův test. Protože z tabulky z i * z i r i , v níž jsou zapsány všechny potřebné hodnoty, plyne S + H L = r + 3 H L + r + 5 H L = = 6.5, S - H L = =.5, min 8S + H L, S - H L< = 6.5, w 0.05 H7L =, hypotézu m è Z = 0 nelze na hladině významnosti a = 0.05 zamítnout. Protože ES + = 4, var S + = 35, R W = R W H 0 L = -.68, u =.95996, hypotézu m è Z = 0 nezamítá na dané hladině významnost ani test zakládající se na statistice R W, který je však vzhledem k malé hodnotě redukovaného rozsahu ǹ velmi hrubý. 5. Mannův-Whitneyův test 5.. Tento test, který je v literatuře často uváděn jako Wilcoxonův dvouvýběrový test, je obdobou testu rovnosti středních hodnot dvou nezávislých náhodných výběrů z normálních rozdělení se stejným rozptylem, testuje však silnější hypotézu, že dva základní soubory X, Y se spojitými distribučními funkcemi F, G mají stejné rozdělení pravděpodobnosti, tj. hypotézu H 0 : F = G. Víme-li, že G má stejný tvar jako F, tj. že pro některé m a všechna x platí rovnost GHxL = FHx - ml, můžeme pomocí tohoto testu testovat také hypotézu H 0 : m = m 0 proti jedné z alternativ H : m m 0, H : m > m 0, H : m < m Mannova-Whitneyova statistika. Pro každé dvě posloupnosti =Hx,..., x m L, =Hy,..., y n L reálných čísel položme m UH, L = i= n HHy j - x i L, j= kde H je funkce nabývající hodnoty 0 na intervalu H-, 0L, hodnoty ê v bodě 0 a hodnoty na intervalu H0, + L. Snadno se ověří, že UH, L závisí pouze na množinách 8x,..., x m <, 8y,..., y n < a UH, L + UH, L = mn, UH, L = ÅÅÅÅÅ mn - k ó UH, L = ÅÅÅÅÅ mn + k. Jsou-li =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L náhodné výběry, pak náhodná veličina U = UH, L je tzv. Mannova- Whitneyova statistika Věta. Nechť =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G. Jestliže F = G, potom EU = ÅÅÅÅÅ mn, var U = ÅÅÅÅÅÅÅ mnhm + n + L Kritické hodnoty pro Mannovův-Whitneyův test. Pro každé celé číslo k z intervalu X0, m n\ nechť MW HkL je počet permutací H, L =Hx,..., x m, y,..., y n L množiny 8,,..., m + n<, kde a jsou rostoucí posloupnosti a UH, L = k, a nechť

7 Nonparametric Tests.nb 7 f MW HkL = MW HkL i j m + n y z k m { - pro k œ80,,..., mn<, f MW HxL = 0 pro x 8,,... mn<, F MW HxL = f MW HkL pro všechna x œ. k x Snadno je vidět, že pro posloupnosti - = m + n + -Hx m,..., x L a - = m + n + -Hy n,..., y L platí rovnost UH -, - L = UH, L. Odtud a z výše uvedeného vztahu mezi UH, L a UH, L vyplývají postupně identity je celá část čísla x. MW HkL = MW Hmn - kl, MW J ÅÅÅÅÅ mn - kn = MW J ÅÅÅÅÅ mn + kn, f MW HkL = f MW Hmn - kl, f MW J ÅÅÅÅÅ mn - kn = f MW J ÅÅÅÅÅ mn + kn, F MW HxL = - F MW Hmn - L, Dolní a horní kritické hodnoty Mannovy-Whitneyovy statistiky jsou definovány vztahy Z vlastností funkce F MW snadno vyplývá identita k MW, Hm, n, al = k ó F MW HkL a fl F MW Hk + L > a, k MW, Hm, n, al = k + ó F MW HkL - a fl F MW Hk - L < - a. k MW, Hm, n, al = mn - k MW, Hm, n, al. Kritické hodnoty Mannovy-Whitneyovy statistiky jsou definovány pro 0 < a < ê vztahem k MW Hm, n, al = k MW, Hm, n, aêl Poznámka. Kritické hodnoty k MW Hm, n, al se zpravidla označují W a Hm, nl a jsou známy spíše jako kritické hodnoty pro Wilcoxonův test. Stejný název se ale používá i pro kritické hodnoty k W Hm, n, al definované v odstavci 6.5 a značené např. w a Hm, nl, které jsou o mhm + Lê větší Věta. Nechť =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G. Jestliže F = G, potom pro každé reálné x L = xd = f MW HxL, L xd = F MW HxL, L xd a ó x k MW, Hm, n, al, L xd a ó x k MW, Hm, n, al, 8UH, L, UH, L< xd a ó x k MW Hm, n, al. 5.7.Mannův-Whitneyův test. Nechť =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G a nechť, jsou jejich realizace. I. H 0 : F = G, H : F π G. Hypotézu H 0 : F = G zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže min 8UH, L, UH, L< = min 8UH, L, mn - UH, L< k MW Hm, n, al. II. Předpokládejme nyní, že F a G mají stejný tvar, tj. že pro některé m a všechna x platí rovnost GHxL = FHx-mL, takže za platnosti hypotézy H 0 : m = m 0 má Y 0 = Y - m 0 stejné rozdělení jako X a 0 = - m 0 je realizace náhodného výběru 0 = - m 0 =HY - m 0,..., Y n - m 0 L z 0. To nám dovoluje testovat H 0 proti každé ze tří možných alternativ. (a) H 0 :m=m 0, H :mπ m 0. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže min 8UH, 0 L, UH 0, L< = min 8UH, 0 L, mn - UH, 0 L< k MW Hm, n, al.

8 8 Nonparametric Tests.nb (b) H 0 :m=m 0, H :m> m 0. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže platí jedna z následujících dvou ekvivalentních nerovností UH, 0 L k MW, Hm, n, al = mn - k MW Hm, n, al, UH 0, L k MW Hm, n, al. (c) H 0 :m=m 0, H :m < m 0. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže platí jedna z následujících dvou ekvivalentních nerovností UH, 0 L k MW, Hm, n, al, UH 0, L k MW, Hm, n, al = mn - k MW Hm, n, al Asymptotická varianta Mannova-Whitneyova testu. Kritické hodnoty Mannovy-Whitneyovy statistiky lze ve většině statistických tabulek najít pro nepříliš velké hodnoty m, n od 4 do přibližně 30. Není-li potřebná kritická hodnota k MW Hm, n, al dostupná, můžeme pro m > 0, n > 0 použít statistiku UH, L - EUH, L UH, L - ÅÅÅÅ R MW = R MW H, L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ mn è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ var UH, L mnhm + n + Lê = UH, L - mn ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ mnhm + n + Lê3, která má pro m Ø, n Ø asymptoticky normované normální rozdělení. Na hladině významnosti blížící se a pak hypotézu H 0 : F = G zamítneme ve prospěch alternativy H : F G, bude-li platit nerovnost»r MW» u -aê, kde u b je jako obvykle b-kvantil normovaného normálního rozdělení, a hypotézu H 0 : m = m 0 zamítneme za předpokladu, že F a G mají stejný tvar, ve prospěch alternativy H : m m 0 resp. H : m > m 0 resp. H : m < m 0, bude-li platit nerovnost» R MW» u -aê resp. R MW u -aê resp. R MW -u -aê Příklad-pokračování příkladů 3.8 a 4.9. Na rozdíl od příkladů 3.8 a 4.9 nyní předpokládejme, že průměrná spotřeba před úmrtími byla zjišťována tak jako v těchto příkladech u 8 vybraných obyvatel, po úmrtích však již tito lidé v městečku nežili resp. nebylo z různých důvodů možné jejich spotřebu alkoholu zjistit, a proto byla zjištěna spotřeba alkoholu u jiných náhodně vybráných obyvatel. Máme tedy realizace, dvou nezávislých náhodných výběrů - z rozdělení spotřeby alkoholu před úmrtími a z rozdělení alkoholu po úmrtích: Osoba Před úmrtími Po úmrtích Hypotézu, že úmrtí spotřebu alkoholu v městečku neovlivnila, můžeme zřejmě interpretovat jako hypotézu H 0 o rovnosti obou rozdělení. Použijeme-li k jejímu ověření Mannův-Whitneyův test, zapíšeme hodnoty HHy j - x i L přehledně do tabulky x i \ y j ê ê a z ní postupně vypočteme UH, L = 9, UH, L = 69, min 8UH, L, UH, L< = 9. Protože k MW H8, 0, 0.05L = 9, náhodné výběry leží v kritickém oboru testu, a proto nulovou hypotézu, tj. že spotřeba alkoholu po úmrtích je mezi obyvateli městečka rozložena stejně jako před úmrtími, na hladině významnosti 0.05 zamítáme. Protože

9 Nonparametric Tests.nb R MW = R MW H, L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 88 µ 0ê = , u =.95996, nulovou hypotézu zamítá i asymptotická varianta Mannova-Whitneyova testu. 6. Wilcoxonův dvouvýběrový test 6.. Tento test, v anglosaské literatuře známý jako Wilcoxon rank-sum test, je zcela rovnocenný Mannovu-Whitneyovu testu, a proto jím lze testovat stejné hypotézy jako Mannovým-Whitneyovým testem. Rovnocennost obou testů je důsledkem jednoduchého vztahu mezi statistikami, na nichž se tyto testy zakládají, a totiž, že Wilcoxonovy statistiky se od Mannových-Whitneyových liší o konstanty závislé pouze na rozsazích náhodných výběrů, z nichž jsou konstruovány. 6.. Wilcoxonova dvouvýběrová statistika. Pro každé dvě posloupnosti =Hx,..., x m L, =Hy,..., y n L reálných čísel položme =Hz,... z m+n L =Hx,..., x m, y,..., y n L, uspořádejme čísla z i do neklesající posloupnosti * =Hz * *,..., z m+n L, definujme tzv. sdružené pořadí r i H, L čísla z i v této posloupnosti jako aritmetický průměr všech indexů j, pro něž z * * i = z j, a položme m SH, L = r i H, L. i= Snadno se ověří, že SH, L závisí pouze na množinách 8x,..., x m <, 8y,..., y n < a SH, L + SH, L = ÅÅÅÅÅ Hm + nl Hm + n + L. Jsou-li =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L náhodné výběry, pak náhodná veličina S = SH, L je tzv. Wilcoxonova dvouvýběrová statistika (Wilcoxon rank-sum statistic). Následující věta uvádí do souvislosti Mannovu-Whitneyovu a Wilcoxonovu dvouvýběrovou statistiku. S její pomocí lze snadno pro každý výrok o Mannově-Whitneyově statistice vyslovit ekvivalentní výrok o Wilcoxonově dvouvýběrové statistice Věta. Pro každé dvě posloupnosti =Hx,..., x m L, =Hy,..., y n L SH, L = mn + ÅÅÅÅÅ mhm + L - UH, L = ÅÅÅÅÅ mhm + L + UH, L Věta. Nechť =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G. Jestliže F = G, potom ES = ÅÅÅÅÅ mhm +n + L, var S = ÅÅÅÅÅÅÅÅ mnhm + n + L Kritické hodnoty pro Wilcoxonův dvouvýběrový test. Pro každé celé číslo k z intervalu XmHm + Lê, mhm + Lê + mn\ nechť WHkL je počet permutací H, L =Hx,..., x m, y,..., y n L množiny 8,,..., m + n<, kde a jsou rostoucí posloupnosti a SH, L = k, a nechť f W HkL = WHkL i j m + n y z k m { - pro k œz ÅÅÅÅÅ mhm + L, ÅÅÅÅÅ f W HxL = 0 pro ostatní x, F W HxL = f W HkL pro všechna x œ. k x mhm + L + mn^, Z vlastností statistik UH, L, SH, L a vztahů mezi nimi snadno vyplývají následující identity

10 0 Nonparametric Tests.nb je celá část čísla x. WHkL = WHmHm + n + L - kl, WHkL = MW Jk - ÅÅÅÅÅ m Hm + LN, WJ m ÅÅÅÅÅ Hm + n + L - kn = WJ ÅÅÅÅÅ m Hm + n + L + kn, mhm + L f W HxL = f MW Jx - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ N, f W HxL = f W HmHm + n + L - xl, f W J ÅÅÅÅÅ m Hm + n + L - xn = f WJ ÅÅÅÅÅ m Hm + n + L + xn, mhm + L F W HxL = F MW Jx - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅN, F W HxL = - F W HmHm + n + L - L, Dolní a horní kritické hodnoty Wilcoxonových statistik jsou definovány vztahy k W, Hm, n, al = k ó F W HkL a fl F W Hk + L > a, k W, Hm, n, al = k + ó F W HkL - a fl F W Hk - L < - a. Z vlastností funkcí F MW, F W a vztahu mezi nimi snadno vyplývají identity k W, Hm, n, al = k MW, Hm, n, al + ÅÅÅÅÅ m Hm + L, k W, Hm, n, al = k MW, Hm, n, al + ÅÅÅÅÅ m Hm + L, k W,Hm, n, al = mhm + n + L - k W, Hm, n, al. Kritické hodnoty Wilcoxonovy statistiky jsou definovány pro 0 < a < ê vztahem k W Hm, n, al = k W, Hm, n, aêl. V literatuře jsou kritické hodnoty k W Hm, n, al označovány w a Hm, nl i jinak Věta. Nechť =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G. Jestliže F = G, potom pro každé reálné x L = xd = f W HxL, L xd = F W HxL, L xd a ó x k W, Hm, n, al, L xd a ó x k W, Hm, n, al, 8SH, L, mhm + n + L - SH, L< xd a ó x k W Hm, n, al. 6.7.Wilcoxonův test. Nechť =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G a nechť, jsou jejich realizace. I. H 0 : F = G, H : F π G. Hypotézu H 0 : F = G zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže min 8SH, L, m Hm + n + L - SH, L< k W Hm, n, al. II. Předpokládejme nyní, že F a G mají stejný tvar, tj. že pro některé m a všechna x platí rovnost GHxL = FHx-mL, takže za platnosti hypotézy H 0 : m = m 0 má Y 0 = Y - m 0 stejné rozdělení jako X a 0 = - m 0 je realizace náhodného výběru 0 = - m 0 =HY - m 0,..., Y n - m 0 L z 0. To nám dovoluje testovat H 0 proti každé ze tří možných alternativ. (a) H 0 :m=m 0, H :mπ m 0. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže min 8SH, 0 L, mhm + n + L - SH, 0 L< k W Hm, n, al. (b) H 0 :m=m 0, H :m> m 0. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže

11 Nonparametric Tests.nb SH, 0 L k W, Hm, n, al = k W Hm, n, al (c) H 0 :m=m 0, H :m < m 0. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže SH, 0 L k W, Hm, n, al = mhm +n + L - k W Hm, n, al Asymptotická varianta Wilcoxonova testu. Kritické hodnoty Wilcoxonovy statistiky lze ve většině statistických tabulek najít pro nepříliš velké hodnoty m, n od 4 do přibližně 30. Není-li potřebná kritická hodnota k W Hm, n, al dostupná, můžeme pro m > 0, n > 0 použít statistiku R W = R W H, L = SH, L - ESH, L SH, L - ÅÅÅÅ mhm + n + L SH, L - mhm + n + L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, var SH, L mnhm + n + Lê mnhm + n + Lê3 která má pro m Ø, n Ø asymptoticky normované normální rozdělení. Protože, jak se snadno ověří, R W = R W H, L = R MW H, L = -R MW H, L, testy, založené na asymptotickém rozdělení statistiky R MW mají zřejmé ekvivalenty založené na statistice R W. Na hladině významnosti blížící se a tedy hypotézu H 0 : F = G zamítneme ve prospěch alternativy H : F G, bude-li platit nerovnost»r W» u -aê, kde u b je jako obvykle b-kvantil normovaného normálního rozdělení, a hypotézu H 0 : m = m 0 zamítneme za předpokladu, že F a G mají stejný tvar, ve prospěch alternativy H : m m 0 resp. H : m > m 0 resp. H : m < m 0, bude-li platit nerovnost»r W» u -aê resp. R W -u -aê resp. R W -u -aê Příklad-pokračování příkladů 3.8, 4.9 a 5.9. Chceme-li místo Mannova-Whitneyova testu použít Wilcoxonův test, zapíšeme přehledně výchozí data, neklesající posloupnost těchto dat * a pořadí výchozích dat v v posloupnosti * do tabulky x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 y y y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 9 y 0 y z i z i * r i , a z ní snadno vypočteme SH, L = 05.0, mhm + n + L - SH, L = = 55. Protože k W H8, L = 55, náhodné výběry leží v kritickém oboru testu a proto nulovou hypotézu, podle níž je spotřeba alkoholu mezi obyvateli městečka rozložena po úmrtích stejně jako před úmrtími, na hladině významnosti 0.05 zamítáme. Protože R W = R W H, L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 88 µ 0ê =.0643, u = nulovou hypotézu zamítá i asymptotická varianta Wilcoxonova testu. 6. Spearmanův korelační koeficient a test nezávislosti 7.. Testování nezávislosti pomocí výběrového korelačního koeficientu náhodných veličin X, Y je vázáno na předpoklad normality rozdělení náhodného vektoru HX, YL. Dost často se však stává, že tento předpoklad je porušen. Někdy ani není možné hodnoty veličin v náhodném výběru HX, Y L,..., HX n, Y n L přesně stanovit a je známo jenom jejich pořadí. Jsou-li si však pořadí veličin X i a veličin Y i hodně podobná, lze nepochybně očekávat, že mezi X a Y existuje jistá závislost. 7.. Definice Spearmanova korelačního koeficientu. Pro každý vektor =Hx,..., x n L seřaďme čísla x,..., x n do neklesající posloupnosti * =Hx *,..., x n * L a pro každé i =,,..., n definujme pořadí r i H L čísla x i v posloupnosti * jako aritmetický průměr všech indexů j, pro něž x i * = x j *.

12 Nonparametric Tests.nb Předpokládejme nyní, že HX, Y L,..., HX n, Y n L je náhodný výběr ze základního souboru HX, YL se spojitým rozdělením a položme =HX,..., X n L, R i = r i H L, R =HR,..., R n L, =HY,..., Y n L, Q i = r i H L, Q =HQ,..., Q n L Spearmanův korelační koeficient je definován jako výběrový korelační koeficient výběrů R a Q formulí n i= R i Q i - n R Q 6 r S = r S H, L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ nhn $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% n J i= R i - nr n N J i= Q i - n Q - L HR i - Q i L. i= N n kde R = Q =Hn + Lê jsou výběrové průměry výběrů R a Q Věta. Jsou-li veličiny X, Y nezávislé, potom Er S = 0, var r S = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n - a veličina r S è!!!!!!!!!!! n - má asymptoticky normované normální rozdělení Spearmanův test nezávislosti. Hypotézu, že veličiny X a Y jsou nezávislé, zamítneme na hladině významnosti a na základě realizace r S = r S H, L Spearmanova koeficientu, platí-li nerovnost»r S» r S Hn, al, kde r S Hn, al je kritická hodnota Spearmanova korelačního koeficientu, kterou najdeme ve statistických tabulkách. V případě n > 30 lze využít asymptotickou normalitu veličiny r è!!!!!!!!!!! S n - a hypotézu nezávislosti zamítnout, platí.li nerovnost»r S» u * S Hn, al, kde u * S Hn, al = u -aê ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!! a u b je jako obvykle b-kvantil normovaného normálního rozdělení. n- Má-li základní soubor HX, YL regulární normální rozdělení s korelačním koeficientem, pak se dá dokázat, že Er S = 6 ÅÅÅÅÅ p n - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n + arcsin ÅÅÅÅÅ + 6 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ phn + L arcsin. S rostoucím n se druhý člen na pravé straně blíží k nule a přitom výběrový korelační koeficient r = rh, L konverguje skoro jistě k. Dostaneme tak přibližnou rovnost ru sinj p ÅÅÅÅÅ 6 r SN. Pokud se v datech, z nichž je koeficient r S počítán, vyskytuje mnoho shod, tj. stejně velkých pozorování, doporučuje se použít korigovaný Spearmanův koeficient. Ten je definován vzorci r S,korig = - 6 n i= HR i - Q i L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å, T n 3 x = ÅÅÅÅÅ - n - T x - T y Ht x 3 - t x L, T y = ÅÅÅÅÅ Ht 3 y - t y L, kde t x resp. t y označuje počty stejně velkých x-ových resp. y-ových hodnot Příklad. Na základě údajů v tabulce Země Spotřeba alkoholu Úmrtnost Země Spotřeba alkoholu Úmrtnost Finsko Belgie Norsko Rakousko Irsko NSR Holandsko Itálie Švédsko Francie Anglie a Wales ,

13 Nonparametric Tests.nb 3 převzatých z publikace J.F. Osborn, Statistical Exercises in Medical Rexearch, Blackwell Scientific Publications, 979, Oxford, rozhodněte na hladině významnosti a = 5 %, zda spotřeba alkoholu a úmrtnost na cirhózu jater a alkoholismus (což je počet zemřelých s touto diagnózou na obyvatel) jsou nezávislé veličiny. Řešení. Pro n = a postupně vypočteme =H3.9, 4., 5.6, 5.7, 6.6, 7., 0.8, 0.9,.3, 5, 7, 4.7L, =H3.6, 4.3, 3.4, 3.7, 7., 3.0,.3, 7.0, 3.7, 3.6, 46.L R =H,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, L, Q =H3, 5,, 4, 7,, 8, 6, 0, 9, <, R - Q =H-, -3,, 0, -, 5, -,, -,, 0L, HR - QL T.HR - QL =H4, 9,, 0, 4, 5,, 4,,, 0L, HR - QL.HR - QL = HR i - Q i L = 50, 6 r S = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ nhn - L i= n n i= HR i - Q i L = 7 ÅÅÅÅÅÅÅÅ U a v tabulkách najdeme kritickou hodnotu r S H, 0.05L = Protože tato kritická hodnota je menší než»r S», hypotézu o nezávislosti spotřeby alkoholu a úmrtnosti na cirhózu jater a alkoholismus na hladině významnosti 5 % zamítáme. Tuto hypotézu bychom zamítli i při použití přibližné kritické hodnoty u S * H, 0.05L, neboť u * S H, 0.05L = u ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!! 0 U Anděl Jiří, Statistické metody, 3. vyd., Matfyzpress, Praha, Jaroš František a kolektiv, Pravděpodobnost a statistika, VŠCHT, Praha, Montgomery Douglas C., Runger George C. Applied Statistics and Probability for Engineers, John Wiley & Sons, 003

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Mannův-Whitneyův(Wilcoxonův) test pořadová obdoba dvouvýběrového t-testu. Statistika (MD360P03Z, MD360P03U) ak. rok 2007/2008

Mannův-Whitneyův(Wilcoxonův) test pořadová obdoba dvouvýběrového t-testu. Statistika (MD360P03Z, MD360P03U) ak. rok 2007/2008 Statistika (MD30P03Z, MD30P03U) ak. rok 007/008 Karel Zvára karel.zvara@mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/ zvara (naposledy upraveno. listopadu 007) 1(4) Mann-Whitney párový Wilcoxon párový znaménkový

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Statistickou hypotézou rozumíme hypotézu o populaci (základním souboru) např.: Střední hodnota základního souboru je rovna 100.

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010 Testování hypotéz 4. přednáška 6. 3. 2010 Základní pojmy Statistická hypotéza Je tvrzení o vlastnostech základního souboru, o jehož pravdivosti se chceme přesvědčit. Předem nevíme, zda je pravdivé nebo

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech

Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Úkol 1.: Párový znaménkový test a párový Wilcoxonův test Při zjišťování kvality jedné složky půdy se používají dvě metody označené A a B. Výsledky: Vzorek 1

Více

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D. Statistické metody v ekonomii Ing. Michael Rost, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Test χ 2 v kontingenční tabulce typu 2 2 Jde vlastně o speciální případ χ 2 testu pro čtyřpolní tabulku.

Více

Statistické testování hypotéz II

Statistické testování hypotéz II PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 9 Statistické testování hypotéz II Přehled testů, rozdíly průměrů, velikost účinku, síla testu Základní výzkumné otázky/hypotézy 1. Stanovení

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Bankovní účty (semestrální projekt statistika) Tomáš Hejret (hej124) 18.5.2013 Úvod Cílem tohoto projektu, zadaného

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Porovnání dvou výběrů

Porovnání dvou výběrů Porovnání dvou výběrů Menu: QCExpert Porovnání dvou výběrů Tento modul je určen pro podrobnou analýzu dvou datových souborů (výběrů). Modul poskytuje dva postupy analýzy: porovnání dvou nezávislých výběrů

Více

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě 31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě Motto Statistika nuda je, má však cenné údaje. strana 3 Statistické charakteristiky Charakteristiky polohy jsou kolem ní seskupeny ostatní hodnoty

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Hypotéza Domněnka, předpoklad Nejčastěji o rozdělení, středních hodnotách, závislostech, Hypotézy ve vědeckém výzkumu pracovní, věcné hypotézy

Více

IBM SPSS Exact Tests. Přesné analýzy malých datových souborů. Nejdůležitější. IBM SPSS Statistics

IBM SPSS Exact Tests. Přesné analýzy malých datových souborů. Nejdůležitější. IBM SPSS Statistics IBM Software IBM SPSS Exact Tests Přesné analýzy malých datových souborů Při rozhodování o existenci vztahu mezi proměnnými v kontingenčních tabulkách a při používání neparametrických ů analytici zpravidla

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

diskriminaci žen letní semestr 2012 1 = výrok, o jehož pravdivosti chceme rozhodnout tvrzení o populaci, o jehož platnosti rozhodujeme

diskriminaci žen letní semestr 2012 1 = výrok, o jehož pravdivosti chceme rozhodnout tvrzení o populaci, o jehož platnosti rozhodujeme motivační příklad Párový Párový Příklad (Platová diskriminace) firma provedla šetření s cílem zjistit, zda dochází k platové diskriminaci žen Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Více

STATISTIKA LS 2013. Garant předmětu: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. Přednášející: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D.

STATISTIKA LS 2013. Garant předmětu: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. Přednášející: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. STATISTIKA LS 2013 Garant předmětu: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. Přednášející: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. Cvičící: Ing. Ondřej Grunt RNDr. Pavel Jahoda, Ph.D. Ing. Kateřina Janurová Mgr. Tereza

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9téma Princip testování hypotéz, jednovýběrové testy V minulé hodině jsme si ukázali, jak sestavit intervalové odhady pro některé číselné charakteristiky normálního

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testování hypotéz na základě jednoho a dvou výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/004. Testování hypotéz Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru,

Více

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 Inovace předmětu STATISTIKA Obsah 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 1 1. Inovace předmětu STATISTIKA Předmět Statistika se na bakalářském oboru

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik:

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik: Testování hypotéz Biolog, Statistik, Matematik a Informatik na safari. Zastaví džíp a pozorují dalekohledem. Biolog "Podívejte se! Stádo zeber! A mezi nimi bílá zebra! To je fantastické! " "Existují bílé

Více

z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové funkce, ze kterého vycházíme,

z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové funkce, ze kterého vycházíme, Úloha 1: V naší studii se zabýváme poptávkovou funkcí životního pojištění, vycházíme z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové

Více

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D.

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testování hypotéz: dvouvýběrový t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému... Již známe jednovýběrový t-test, při kterém jsme měli k dispozici pouze jeden výběr. Můžeme se

Více

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr StatSoft Intervalový odhad Dnes se budeme zabývat neodmyslitelnou součástí statistiky a to intervaly v nejrůznějších podobách. Toto téma je také úzce spojeno s tématem testování hypotéz, a tedy plynule

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Analýza rozptylu. Podle počtu analyzovaných faktorů rozlišujeme jednofaktorovou, dvoufaktorovou a vícefaktorovou analýzu rozptylu.

Analýza rozptylu. Podle počtu analyzovaných faktorů rozlišujeme jednofaktorovou, dvoufaktorovou a vícefaktorovou analýzu rozptylu. Analýza rozptylu Analýza rozptylu umožňuje ověřit významnost rozdílu mezi výběrovými průměry většího počtu náhodných výběrů, umožňuje posoudit vliv různých faktorů. Podle počtu analyzovaných faktorů rozlišujeme

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl

Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl Ilustrační příklad odhadu LRM v SW Gretl Podkladové údaje Korelační matice Odhad lineárního regresního modelu (LRM) Verifikace modelu PEF ČZU Praha Určeno pro posluchače předmětu Ekonometrie Needitovaná

Více

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Opakování: Mějme náhodné veličiny X a Y uspořádané do kontingenční tabulky. Řekli jsme, že nulovou hypotézu H 0 : veličiny X, Y jsou nezávislé zamítneme, když

Více

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D.

Program Statistica Base 9. Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Program Statistica Base 9 Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. OBSAH KURZU obsluha jednotlivých nástrojů, funkce pro import dat z jiných aplikací, práce s popisnou statistikou, vytváření grafů, analýza dat, výstupní

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu 1 Odhady parametrů 11 Bodové odhady Mějme lineární regresní model (LRM) kde Y = y 1 y 2 y n, e = e 1 e 2 e n Y = Xβ + e, x 11 x 1k, X =, β = x n1

Více

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036

Náhodná veličina X má Poissonovo rozdělení se střední hodnotou lambda. Poissonovo rozdělení je definováno jako. P(X=k) = 0,036 Příklad : Statistika A, doc. Kropáč, str. 6, příklad 2 K benzínovému čerpadlu přijíždí průměrně 4 aut za hodinu. Určete pravděpodobnost, že během pěti minut přijede nejvýše jedno auto. Pokus: Zjištění,

Více

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko

Cvičení ze statistiky - 9. Filip Děchtěrenko Cvičení ze statistiky - 9 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Dobrali jsme normální rozdělení Tyhle termíny by měly být známé: Inferenční statistika Konfidenční intervaly Z-test Postup při testování hypotéz

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

STATISTICA Téma 7. Testy na základě více než 2 výběrů

STATISTICA Téma 7. Testy na základě více než 2 výběrů STATISTICA Téma 7. Testy na základě více než 2 výběrů 1) Test na homoskedasticitu Nalezneme jej v několika submenu. Omezme se na submenu Základní statistiky a tabulky základního menu Statistika. V něm

Více

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů

Inferenční statistika - úvod. z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Inferenční statistika - úvod z-skóry normální rozdělení pravděpodobnost rozdělení výběrových průměrů Pravděpodobnost postupy induktivní statistiky vycházejí z teorie pravděpodobnosti pravděpodobnost, že

Více

1.1 Úvod... 1 1.2 Data... 1. 3 Statistická analýza dotazníkových dat 8. Literatura 10

1.1 Úvod... 1 1.2 Data... 1. 3 Statistická analýza dotazníkových dat 8. Literatura 10 MÍRY STATISTICKÉ VAZBY, VÝBĚROVÁ ŠETŘENÍ, STATISTICKÁ ANALÝZA DOTAZNÍKOVÝCH DAT Obsah 1 Statistická data 1 1.1 Úvod.......................................... 1 1. Data...........................................

Více

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ

MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ MATEMATICKO STATISTICKÉ PARAMETRY ANALYTICKÝCH VÝSLEDKŮ Má-li analytický výsledek objektivně vypovídat o chemickém složení vzorku, musí splňovat určitá kriteria: Mezinárodní metrologický slovník (VIM 3),

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel:

NÁHODNÁ ČÍSLA. F(x) = 1 pro x 1. Náhodná čísla lze generovat některým z následujících generátorů náhodných čísel: NÁHODNÁ ČÍSLA TYPY GENERÁTORŮ, LINEÁRNÍ KONGRUENČNÍ GENERÁTORY, TESTY NÁHODNOSTI, VYUŽITÍ HODNOT NÁHODNÝCH VELIČIN V SIMULACI CO JE TO NÁHODNÉ ČÍSLO? Náhodné číslo definujeme jako nezávislé hodnoty z rovnoměrného

Více

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi

Úvodem Dříve les než stromy 3 Operace s maticemi Obsah 1 Úvodem 13 2 Dříve les než stromy 17 2.1 Nejednoznačnost terminologie 17 2.2 Volba metody analýzy dat 23 2.3 Přehled vybraných vícerozměrných metod 25 2.3.1 Metoda hlavních komponent 26 2.3.2 Faktorová

Více

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty

Kontingenční tabulky, korelační koeficienty Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Mějme kategoriální proměnné X a Y. Vytvoříme tzv. kontingenční tabulku. Budeme tedy testovat hypotézu

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 4: Statistické vlastnosti MNČ LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Upřesnění k pojmům a značení

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 7: Časově řady, autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Časové řady Data: HDP.wf1

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA. KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UNIVERSITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY školní rok 2009/2010 BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Testy dobré shody Vedoucí diplomové práce: RNDr. PhDr. Ivo

Více

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT

Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT Univerzita Pardubice Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie STATISTICKÉ ZPRACOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNÍCH DAT STATISTICKÁ ANALÝZA JEDNOROZMĚRNÝCH DAT Seminární práce 1 Brno, 2002 Ing. Pavel

Více

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi

Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Lineární algebra Operace s vektory a maticemi Robert Mařík 26. září 2008 Obsah Operace s řádkovými vektory..................... 3 Operace se sloupcovými vektory................... 12 Matice..................................

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Testování hypotéz a jeho metodika 2 Jasnovidec?... 4 Pojmy... 6 Postup... 7 Chyby... 8

Testování hypotéz a jeho metodika 2 Jasnovidec?... 4 Pojmy... 6 Postup... 7 Chyby... 8 Testování hypotéz Petr Pošík Části dokumentu jsou převzaty (i doslovně) z Mirko Navara: Pravděpodobnost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_print.pdf

Více

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu http://akademie.ldf.mendelu.cz/cz (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28. Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta. Statistika II

Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta. Statistika II Masarykova univerzita Ekonomicko správní fakulta Statistika II distanční studijní opora Marie Budíková Brno 2006 Tento projekt byl realizován za finanční podpory Evropské unie v rámci programu SOCRATES

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Přednáška 10. Analýza závislosti

Přednáška 10. Analýza závislosti Přednáška 10 Analýza závislosti Analýza závislosti dvou kategoriálních proměnných Analýza závislosti v kontingečních tabulkách Analýza závislosti v asociačních tabulkách Simpsonův paradox Analýza závislosti

Více

Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat.

Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat. 6..0 Modul Analýza síly testu Váš pomocník při analýze dat. Power Analysis and Interval Estimation Analýza síly testu Odhad velikosti vzorku Pokročilé techniky pro odhad intervalu spolehlivosti Rozdělení

Více

Analýza dat z dotazníkových šetření

Analýza dat z dotazníkových šetření Analýza dat z dotazníkových šetření Cvičení 6. Rozsah výběru Př. Určete minimální rozsah výběru pro proměnnou věk v souboru dovolena, jestliže 95% interval spolehlivost průměru proměnné nemá být širší

Více

Popisná statistika kvantitativní veličiny

Popisná statistika kvantitativní veličiny StatSoft Popisná statistika kvantitativní veličiny Protože nám surová data obvykle žádnou smysluplnou informaci neposkytnou, je žádoucí vyjádřit tyto ve zhuštěnější formě. V předchozím dílu jsme začali

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Základy lineárního programování VMAT, IMT 1 / 25 Základy lineárního programování Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY

Test z teorie VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY VÝBĚROVÉ CHARAKTERISTIKY A INTERVALOVÉ ODHADY Test z teorie 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový

Více

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry.

Operační výzkum. Teorie her. Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační výzkum Hra v normálním tvaru. Optimální strategie. Maticové hry. Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky

Více

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3,

Vektorový prostor. Př.1. R 2 ; R 3 ; R n Dvě operace v R n : u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ), V (E 3 )...množina vektorů v E 3, Vektorový prostor Příklady: Př.1. R 2 ; R 3 ; R n...aritmetický n-rozměrný prostor Dvě operace v R n : součet vektorů u = (u 1,...u n ) a v = (v 1,...v n ) je vektor u + v = (u 1 + v 1,...u n + v n ),

Více

Pravděpodobnost, náhoda, kostky

Pravděpodobnost, náhoda, kostky Pravděpodobnost, náhoda, kostky Radek Pelánek IV122, jaro 2015 Výhled pravděpodobnost náhodná čísla lineární regrese detekce shluků Dnes lehce nesourodá směs úloh souvisejících s pravděpodobností krátké

Více

Biostatistika Cvičení 7

Biostatistika Cvičení 7 TEST Z TEORIE 1. Střední hodnota pevně zvolené náhodné veličiny je a) náhodná veličina, b) konstanta, c) náhodný jev, d) výběrová charakteristika. 2. Výběrový průměr je a) náhodná veličina, b) konstanta,

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

Testy dobré shody TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests), : veličiny X, Y jsou nezávislé nij eij

Testy dobré shody TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit tests),   : veličiny X, Y jsou nezávislé nij eij Testy dobré shody Máme dvě veličiny a předpokládáme, že jsou nezávislé (platí nulová hypotéza nezávislosti). Často chceme naopak prokázat jejich závislost. K tomu slouží: TESTY DOBRÉ SHODY (angl. goodness-of-fit

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Vlastní čísla a vlastní hodnoty študenti MFF 15. augusta 2008 1 14 Vlastní čísla a vlastní hodnoty Požadavky Vlastní čísla a vlastní hodnoty lineárního

Více

Aktivita A 0803. Zmapování a analýza disparit mezi regiony NUTS 3 ve fyzické dostupnosti bydlení

Aktivita A 0803. Zmapování a analýza disparit mezi regiony NUTS 3 ve fyzické dostupnosti bydlení Aktivita A 0803 Zmapování a analýza disparit mezi regiony NUTS 3 ve fyzické dostupnosti bydlení 1/62 Aktivita A0803 Zmapování a analýza disparit mezi regiony NUTS 3 ve fyzické dostupnosti bydlení Datum

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

ANTAGONISTICKE HRY 172

ANTAGONISTICKE HRY 172 5 ANTAGONISTICKÉ HRY 172 Antagonistický konflikt je rozhodovací situace, v níž vystupují dva inteligentní rozhodovatelé, kteří se po volbě svých rozhodnutí rozdělí o pevnou částku, jejíž výše nezávisí

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená.

naopak více variant odpovědí, bude otázka hodnocena jako nesprávně zodpovězená. Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 28/9 na magisterské studijní obor Finanční informatiky a statistika Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd se získávají

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální

Více