Neparametrické testy. 1. Úvod. 2. Medián

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Neparametrické testy. 1. Úvod. 2. Medián"

Transkript

1 Neparametrické testy. Úvod Testy hypotéz o parametrech základních souborů, které jsme zatím poznali, jsou založeny na předpokladu, že tyto soubory mají normální rozdělení pravděpodobnosti, popřípadě i na některých dalších předpokladech, např. rovnosti rozptylů. Nesplnění předpokladu o normalitě většinou není vzhledem k centrální limitní větě příliš na závadu, pokud je rozsah náhodných výběrů, z nichž konstrukce testu vychází, dostatečně velký. Často je ale třeba testovat hypotézy na základě náhodných výběrů malých rozsahů pocházejících z výrazně nenormálních rozdělení, takže klasické testy založené na předpokladu normality nelze použít. Pro práci s takovými výběry byly vyvinuty tzv. neparametrické testy, které nepředpokládají nic o konkrétním typu rozdělení základního souboru ani o jeho parametrech a vyžadují zpravidla pouze jeho spojitost. Po výpočetní stránce jsou neparametrické testy velmi jednoduché a proto se často používají i tehdy, kdy je možné použít také klasické, ale početně podstatně náročnější testy založené na předpokladu normality. Neparametrické testy však zpravidla využívají informaci obsaženou v náhodném výběru pouze částečně, a proto pravděpodobnost chyby. druhu je u nich v těchto případech zpravidla větší než u klasických testů. Zatímco rozhodovací pravidla parametrických testů jsou konstruována přímo z číselných hodnot náhodných výběrů, konstrukce rozhodovacích pravidel neparametrických testů vychází pouze ze vzájemného pořadí těchto hodnot. Některé neparametrické testy lze proto použít i v případech, kdy nejsou známy hodnoty náhodného výběru ale pouze jejich pořadí, nebo kdy tyto hodnoty znamenají pouze pořadí zkoumaných vlastností náhodného charakteru seřazených podle určitého hlediska. Neparametrických testů existuje velmi mnoho. Zde se omezíme jenom na několik z nich, které jsou obdobou klasických testů o střední hodnotě a testu lineární nezávislosti náhodných veličin. Na rozdíl od klasických testů se však testují hypotézy o mediánu.. Medián Medián m è rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X se spojitou distribuční funkcí F je míra polohy charakterizovaná ne zcela jednoznačně podmínkou FHm è L = m è D = ê. Jednoznačně je medián určen např. tehdy, je-li funkce F rostoucí. Je-li příslušné rozdělení pravděpodobnosti symetrické kolem některého bodu m è, tj. platí-li pro všechna x œ rovnost FHm è - xl = - FHm è + xl, potom m è je medián a v případě, že existuje střední hodnota E X, platí rovnost m è = E X. Podmínku symetrie funkce F splňuje např. tehdy, je-li náhodná veličina X (absolutně) spojitá a její hustota f je symetrická podle bodu m è, tj. platí-li pro všechna x œ rovnost fhm è - xl = fhm è + xl. Není-li distribuční funkce F spojitá, lze medián m è definovat např. podmínkami < m è D = lim xøx è - FHxL ê, m è D = FHm è L ê. Definujeme-li a-kvantil x a rozdělení s distribuční funkcí F formulí Hx < x a ï xd = FHxL < alfl x a D = FHx a L a, pak tyto podmínky, které neurčují medián jednoznačně, splňuje např. kvantil x 0.5. Z definice mediánu a kvantilů dále snadno vyplývá, že tento kvantil je ze všech možných mediánů rozdělení nejmenší. Lze dokázat, že každý medián m è má následující vlastnost: je-li střední hodnota EX konečná, potom funkce E» X - c» nabývá v bodě c = m è svého minima.

2 Nonparametric Tests.nb 3. Znaménkový test 3.. Znaménkový test je určen k ověřování hypotéz o mediánu rozdělení pravděpodobnosti (základního souboru) se spojitou distribuční funkcí F. Protože bez dalších předpokladů o F není medián určen jednoznačně, je třeba význam nulové hypotézy m è = c a možných alternativ m è c, m è < c, m è > c upřesnit. Hypotéza m è = c znamená, že c je medián, tj. že FHcL = ê, alternativa m è c znamená, že c není medián, tj. že FHcL ê, alternativa m è < c znamená, že každý medián je menší než c, tj. že FHcL > ê, a a poslední alternativa znamená, že každý medián je větší než c, tj. že FHcL < ê. 3.. Kritické hodnoty pro znaménkový test. Pro každé reálné číslo c a každý bod =Hx,..., x n L prostoru n nechť n c H L = počet indexů i, pro něž x i c, n >c H L = počet indexů i, pro něž x i > c, a pro každé přirozené číslo n a každé a œh0, L nechť k a, HnL = Bi aê Hn, êl -, k a, HnL = Bi -aê Hn, êl +, kde Bi b Hn, êl je b-kvantil binomického rozdělení BiHn, êl Věta. Jestliže =HX,..., X n L je náhodný výběr z rozdělení se spojitou distribuční funkcí F a mediánem c, potom >c H L xd ó x k a, HnL, >c H L xd ó x k a, HmL Znaménkový test. Nechť =Hx,..., x n L je realizace náhodného výběru =HX,..., X n L z rozdělení se spojitou distribuční funkcí. Nulovou hypotézu H : m è = c na základě realizace zamítneme ve pro prospěch některé ze tří možných alternativ, pokud n >c = n >c H L a n c = n c H L splňují příslušnou podmínku uvedenou ve třetím sloupci následující tabulky: Hypotéza H 0 Alternativa H Kritický obor pro hladinu významnosti a m è = c m è c n >c k a, Hn c LÍ n >c k a, Hn c L m è = c m è < c n >c k a, Hn c L m è = c m è > c n >c k a, Hn c L 3.5. Asymptotická varianta znaménkového testu. Pro větší rozsahy n c, přibližně pro n c 0, můžeme také použít testovací statistiku R Zn,c = R Zn,c H L = n >c H L - n c H L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n c H L s asymptoticky normálním rozdělením NH0, L a kritické obory pro zamítnutí nulové hypotézy uvedené v tabulce Hypotéza H 0 Alternativa H Kritický obor pro hladinu významnosti a m è = c m è c» R Zn,c» > u -aê m è = c m è < c R Zn,c < -u -a, m è = c m è > c R Zn,c > u -a kde u b je jako obvykle b-kvantil normovaného normálního rozdělení Poznámka. Znaménkový test má poměrně malou sílu, tj. pravděpodobnost chyby. druhu je ve srovnání s jinými testy dosti veliká, a proto je žádoucí mít k dispozici větší počet pozorování různých od c Příklad. Deset pokusných osob mělo nezávisle na sobě a bez předchozího nácviku odhadnout, kdy od daného signálu uplyne jedna minuta. Byly získány následující výsledky ( v sekundách):

3 Nonparametric Tests.nb 3 Řešení. Odhad délky jedné minuty je zřejmě náhodná veličina se spojitou distribuční funkcí. Pro ověření hypotézy, že medián jejího rozdělení je c = 60 sekund, můžeme proto použít znaménkový test. Zřejmě n c = 0, n >c = a podle tabulky kritických hodnot k 0.05, H0L =, k 0.05, H0L = 9. Na hladině významnosti a = 0.05 nelze tedy hypotézu H 0 : m è = 60 zamítnout ve prospěch alternativy m è 60. Ke stejnému závěru dojdeme, použijeme-li statistiku R Zn,c, neboť R Zn,c = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 6 è!!!!!! 0 U , u = Příklad. V jednom městečku proběhl výzkum požívání alkoholu tak, že u 8 náhodně vybraných občanů byla zjištěna průměrná měsíční dávka alkoholu. Po nějaké době došlo v městečku ke dvěma úmrtím na cirhózu jater, způsobenou velmi pravděpodobně nadměrmým požíváním alkoholu. K posouzení, zda tato událost nějak ovlivnila u občanů městečka množství požívaného alkoholu, byly použity výsledky předchozího výzkumu a navíc byla u stejných 8 osob jako dříve zjištěna jejich současná průměrná měsíční dávka alkoholu. Výsledky obou šetření jsou uvedeny v následující tabulce: Osoba Před úmrtími Po úmrtích Otázka zní: lze na základě těchto výsledků na hladině významnosti a = 5 % tvrdit, že zmíněná úmrtí ovlivnila v městečku požívání alkoholu? Řešení. Výsledky obou šetření představují realizaci náhodného výběru H, L rozsahu n = 8 z dvourozměrmého základního souboru HX, YL, kde X resp. Y je průměrná měsíční spotřeba alkoholu obyvatele městečka před zmíněnými úmrtími resp. po nich. Rozdíl Z = Y - X tedy vyjadřuje, jak se tato spotřeba alkoholu u obyvatele městečka zvýšila nebo snížila. Za kritérium změny v požívání alkoholu můžeme vzít buď střední hodnotu EZ veličiny Z nebo její medián m è Z. Rovnost EZ = 0 znamená, že průměrná měsíční spotřeba alkoholu obyvatele městečka se nezměnila. Rovnost m è Z = 0 naproti tomu znamená jenom tolik, že počet obyvatel městečka, kteří po úmrtích požívání alkoholu omezili, je přibližně stejný, jako počet obyvalel, kteří naopak začali pít víc. Za předpokladu normality náhodného vektoru HX, YL můžeme otestovat hypotézu EZ = 0 proti hypotéze EZ 0 s výsledkem = -00, T = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ s è!!! n t -aêhn - L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 00 è!!!!.3646 = 67.04,»» < T, 8 což znamená, že na hladině významnosti a = 5 % nelze hypotézu EZ = 0 zamítnout. Protože dosažená hladina významnosti tohoto testu je 0.00, nulovou hypotézu lze zamítnout oboustranným testem až na hladině významnosti a > 0.., tj. s pravděpodobností chyby. druhu větší než 0 %, nebo jednostranným testem proti hypotéze EX < 0 až na hladině významnosti a > 0., tj. s pravděpodobností chyby. druhu alespoň 0 %. Protože normalita implikuje rovnost střední hodnoty a mediánu, testy hypotéz o střední hodnotě jsou současně testy hypotéz o mediánu. Pokud usoudíme, že normalitu předpokládat nelze, můžeme pouze otestovat hypotézu m è Z = 0 proti některé ze tří možných hypotéz m è Z 0, mè Z < 0, mè Z > 0. Protože pro Z, jak velmi snadno zjistíme, n 0 = 7, n >0 =, k a, H7L = 0, k a, H7L = 7, R Zn,0 = , u 0.95 =.64485, u =.95996, ani jeden z možných šesti znaménkových testů hypotézu m è Z = 0 na dané hladině významnosti nezamítá. Na hladině významnosti a = 5 % proto nelze tvrdit, že úmrtí konzumaci alkoholu v městečku nějak významně změnila. 4. Wilcoxonův jednovýběrový test 4.. Tento test je testem hypotézy H 0 : m è = c o mediánu rozdělení se spojitou distribuční funkcí F za předpokladu, že toto rozdělení je kolem mediánu m è symetrické, tj. že pro každé reálné číslo x platí rovnost FHm è - xl = - FHm è + xl. Protože symetrie rozdělení kolem bodu c implikuje, že c je medián, Wilcoxonův test hypotézy H 0 je vlastně testem

4 4 Nonparametric Tests.nb symetrie rozdělení kolem bodu c. K zamítnutí hypotézy H 0 proto může dojít buď proto, že c není medián, nebo proto, že rozdělení není kolem mediámu symetrické. 4.. Wilcoxonova jednovýběrová statistica. Pro každý vektor =Hx,..., x n L œ n označme * =Hx *,..., x n * L posloupnost absolutních hodnot čísel x, x,..., x n seřazených do neklesající posloupnosti a pro každé i =,,..., n definujme pořadí r i + H L absolutní hodnoty x i * čísla x i v posloupnosti * jako aritmetický průměr všech indexů j, pro něž x i * = x j *, zmenšený o počet indexů j, pro něž x i = 0, a položme S + H L = r + i H L, S - H L = r + i H L. x i >0 x i <0 Označíme-li ještě ǹ počet indexů i, pro které x i 0, pak se snadno ověří, že S + H L + S - H L = ǹhǹ + Lê. Jeli =HX,..., X m L náhodný výběr, pak náhodná veličina S + = SH L je tzv. Wilcoxonova jednovýběrová statistika (Wilcoxon signed rank statistic) Věta. Nechť =HX,..., X n L je náhodný výběr ze základního soubor X se spojitou distribuční funkcí F, jehož rozdělení pravděpodobnosti je symetrické kolem 0. Potom ES + = ES - = ÅÅÅÅÅ 4 nhn + L, var S+ = var S - = ÅÅÅÅÅÅÅ 4 nhn + L H n + L Kritické hodnoty pro Wilcoxonovův jednovýběrový test. Pro každé celé číslo k z intervalu X0, nhn + Lê\ nechť W+ HkL je počet permutací =Hx, x..., x n L množiny 8,,..., n<, kde x < x <... < x m, x m+ < x m+ <... < x n pro některé m œx0, n\ a x x m = k, a nechť f W + HkL = W+ HkL -n pro k œ80,,..., nhn + Lê<, f W + HxL = 0 pro x 80,,..., nhn + Lê<, F + W HxL = f + W HkL pro všechna x œ. k x Snadno je vidět, že pro každou permutaci =Hx,..., x n L množiny 8,,..., n<, kde x < x <... < x m, x m+ < x m+ <... < x n, platí implikace Odtud vyplývají postupně identity je celá část čísla x. m Hy,..., y n L =Hx m+,..., x n, x,..., x m L ï i= n-m x i + i= y i = ÅÅÅÅÅ nhn + L. W+ HkL = W+ HnHn + Lê - kl, W+ J ÅÅÅÅÅ 4 nhn + L - kn = W + J ÅÅÅÅÅ nhn + L + kn, 4 f + W HkL = f + W HnHn + Lê - kl, f + W J ÅÅÅÅÅ 4 nhn + L - kn = f W + J ÅÅÅÅÅ nhn + Lê + kn, 4 F + W HxL = - F + W HnHn + Lê - L, Dolní a horní kritické hodnoty Wilcoxonovy jednovýběrové statistiky jsou definovány vztahy Z vlastností funkce F W + snadno vyplývá identita k W, Hn, al = k ó F W + HkL a Ï F W + Hk + L > a, k W, Hn, al = k + ó F W + HkL - a Ï F W + Hk - L < - a. k W, Hn, al = ÅÅÅÅÅ nhn + L - k W,Hn, al. Kritické hodnoty Whitneyovy jednovýběrové statistiky jsou definovány pro 0 < a < ê vztahem V literatuře bývají tyto kritické hodnoty označovány w a HnL. k W Hn, al = k W, Hn, aêl.

5 Nonparametric Tests.nb Věta. Nechť =HX,..., X m L je náhodný výběr ze základního souboru X se spojitou distribuční funkcí F. Jestliže rozdělení pravděpodobnosti základního souboru je symetrické kolem 0, tj. FH-xL = - FHxL pro všechna x œ, potom + H L = xd = f + W HxL, + H L xd = F + W HxL, + H L xd a ó x k W, Hn, al, + H L xd a ó x k W, Hn, al, 8S + H L, S - H L< xd a ó x k W Hn, al Wilcoxonův jednovýběrový test. Nechť =Hx,..., x n L je realizace náhodného výběru ze základního soubor X se spojitou distribuční funkcí F, jehož rozdělení pravděpodobnosti je symetrické kolem mediánu m è, nechť c =Hx - c,..., x n - cl a nechť ǹ je počet nenulových členů posloupnosti c. I. H 0 :m é = c, H :m é π c. Hypotézu H 0 : m è = c zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže min 8S + H c L, S - H c L< = min 8S + H c L, ǹ Hǹ + Lê - S + H c L< k W Hǹ, al. II. H 0 :m é = c, H :m é > c. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže platí jedna z následujících dvou ekvivalentních nerovností S + H c L k W, Hǹ, al = ǹhǹ + Lê - k W Hǹ, al, S - H c L k W, Hǹ, al = k W Hǹ, al. III. H 0 :m é = c, H :m é < c. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže platí jedna z následujících dvou ekvivalentních nerovností S + H c L k W, Hǹ, al, S - H c L k W, Hǹ, al = ǹhǹ + Lê - k W Hǹ, al Asymptotická varianta Wilcoxonova jednovýběrového testu. Kritické hodnoty Wilcoxonova jednovýběrového testu lze ve většině statistických tabulek najít pro nepříliš velké hodnoty n od 4 do přibližně 30. Není-li potřebná kritická hodnota k W Hn, al dostupná, můžeme pro n > 0 použít statistiku R W = R W H c L = S+ H c L - ES + H c L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = S+ H c L - ÅÅÅÅ ǹhǹ + L 4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ var S + H c L "############################################ ÅÅÅÅÅ ǹhǹ + L H ǹ + L která má pro n Ø asymptoticky normované normální rozdělení. Na hladině významnosti blížící se a pak hypotézu H 0 : m è = c zamítneme ve prospěch alternativy H : m è c, bude-li platit nerovnost»r W» u -aê, kde u b je jako obvykle b-kvantil normovaného normálního rozdělení, a hypotézu H 0 : m è = c zamítneme ve prospěch alternativy H : m è > c resp. H : m è < c, bude-li platit nerovnost R W u -aê resp. R W -u -aê Příklad - pokračování příkladu 3.7. Otestujme hypotézu H 0 : m è = c pro c = 60 znovu pomocí Wilcoxonova testu. Protože x i y i = x i - c * y i r i , S + H L = r + 5 H L + r + 7 H L = + 5 = 7, S - H L = 55-7 = 48, min 8S + H L, S - H L< = 7, w 0.05 H0L = 8, hypotézu H 0, podle níž v lidské populaci polovina osob délku jedné minuty podhodnotí a polovina tuto délku nadhodnotí, na hladině významnosti a = 0.05 zamítneme. Protože

6 6 Nonparametric Tests.nb ES + = 7.5, var S + = 96.5, R W = R W H c L = -.09, u =.95996, hypotézu H 0 zamítá na dané hladině významnost i test zakládající se na statistice R W Příklad - pokračování příkladu 3.8. Podívejme se, co říká o hypotéze m è Z = 0 Wilcoxonův test. Protože z tabulky z i * z i r i , v níž jsou zapsány všechny potřebné hodnoty, plyne S + H L = r + 3 H L + r + 5 H L = = 6.5, S - H L = =.5, min 8S + H L, S - H L< = 6.5, w 0.05 H7L =, hypotézu m è Z = 0 nelze na hladině významnosti a = 0.05 zamítnout. Protože ES + = 4, var S + = 35, R W = R W H 0 L = -.68, u =.95996, hypotézu m è Z = 0 nezamítá na dané hladině významnost ani test zakládající se na statistice R W, který je však vzhledem k malé hodnotě redukovaného rozsahu ǹ velmi hrubý. 5. Mannův-Whitneyův test 5.. Tento test, který je v literatuře často uváděn jako Wilcoxonův dvouvýběrový test, je obdobou testu rovnosti středních hodnot dvou nezávislých náhodných výběrů z normálních rozdělení se stejným rozptylem, testuje však silnější hypotézu, že dva základní soubory X, Y se spojitými distribučními funkcemi F, G mají stejné rozdělení pravděpodobnosti, tj. hypotézu H 0 : F = G. Víme-li, že G má stejný tvar jako F, tj. že pro některé m a všechna x platí rovnost GHxL = FHx - ml, můžeme pomocí tohoto testu testovat také hypotézu H 0 : m = m 0 proti jedné z alternativ H : m m 0, H : m > m 0, H : m < m Mannova-Whitneyova statistika. Pro každé dvě posloupnosti =Hx,..., x m L, =Hy,..., y n L reálných čísel položme m UH, L = i= n HHy j - x i L, j= kde H je funkce nabývající hodnoty 0 na intervalu H-, 0L, hodnoty ê v bodě 0 a hodnoty na intervalu H0, + L. Snadno se ověří, že UH, L závisí pouze na množinách 8x,..., x m <, 8y,..., y n < a UH, L + UH, L = mn, UH, L = ÅÅÅÅÅ mn - k ó UH, L = ÅÅÅÅÅ mn + k. Jsou-li =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L náhodné výběry, pak náhodná veličina U = UH, L je tzv. Mannova- Whitneyova statistika Věta. Nechť =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G. Jestliže F = G, potom EU = ÅÅÅÅÅ mn, var U = ÅÅÅÅÅÅÅ mnhm + n + L Kritické hodnoty pro Mannovův-Whitneyův test. Pro každé celé číslo k z intervalu X0, m n\ nechť MW HkL je počet permutací H, L =Hx,..., x m, y,..., y n L množiny 8,,..., m + n<, kde a jsou rostoucí posloupnosti a UH, L = k, a nechť

7 Nonparametric Tests.nb 7 f MW HkL = MW HkL i j m + n y z k m { - pro k œ80,,..., mn<, f MW HxL = 0 pro x 8,,... mn<, F MW HxL = f MW HkL pro všechna x œ. k x Snadno je vidět, že pro posloupnosti - = m + n + -Hx m,..., x L a - = m + n + -Hy n,..., y L platí rovnost UH -, - L = UH, L. Odtud a z výše uvedeného vztahu mezi UH, L a UH, L vyplývají postupně identity je celá část čísla x. MW HkL = MW Hmn - kl, MW J ÅÅÅÅÅ mn - kn = MW J ÅÅÅÅÅ mn + kn, f MW HkL = f MW Hmn - kl, f MW J ÅÅÅÅÅ mn - kn = f MW J ÅÅÅÅÅ mn + kn, F MW HxL = - F MW Hmn - L, Dolní a horní kritické hodnoty Mannovy-Whitneyovy statistiky jsou definovány vztahy Z vlastností funkce F MW snadno vyplývá identita k MW, Hm, n, al = k ó F MW HkL a fl F MW Hk + L > a, k MW, Hm, n, al = k + ó F MW HkL - a fl F MW Hk - L < - a. k MW, Hm, n, al = mn - k MW, Hm, n, al. Kritické hodnoty Mannovy-Whitneyovy statistiky jsou definovány pro 0 < a < ê vztahem k MW Hm, n, al = k MW, Hm, n, aêl Poznámka. Kritické hodnoty k MW Hm, n, al se zpravidla označují W a Hm, nl a jsou známy spíše jako kritické hodnoty pro Wilcoxonův test. Stejný název se ale používá i pro kritické hodnoty k W Hm, n, al definované v odstavci 6.5 a značené např. w a Hm, nl, které jsou o mhm + Lê větší Věta. Nechť =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G. Jestliže F = G, potom pro každé reálné x L = xd = f MW HxL, L xd = F MW HxL, L xd a ó x k MW, Hm, n, al, L xd a ó x k MW, Hm, n, al, 8UH, L, UH, L< xd a ó x k MW Hm, n, al. 5.7.Mannův-Whitneyův test. Nechť =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G a nechť, jsou jejich realizace. I. H 0 : F = G, H : F π G. Hypotézu H 0 : F = G zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže min 8UH, L, UH, L< = min 8UH, L, mn - UH, L< k MW Hm, n, al. II. Předpokládejme nyní, že F a G mají stejný tvar, tj. že pro některé m a všechna x platí rovnost GHxL = FHx-mL, takže za platnosti hypotézy H 0 : m = m 0 má Y 0 = Y - m 0 stejné rozdělení jako X a 0 = - m 0 je realizace náhodného výběru 0 = - m 0 =HY - m 0,..., Y n - m 0 L z 0. To nám dovoluje testovat H 0 proti každé ze tří možných alternativ. (a) H 0 :m=m 0, H :mπ m 0. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže min 8UH, 0 L, UH 0, L< = min 8UH, 0 L, mn - UH, 0 L< k MW Hm, n, al.

8 8 Nonparametric Tests.nb (b) H 0 :m=m 0, H :m> m 0. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže platí jedna z následujících dvou ekvivalentních nerovností UH, 0 L k MW, Hm, n, al = mn - k MW Hm, n, al, UH 0, L k MW Hm, n, al. (c) H 0 :m=m 0, H :m < m 0. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže platí jedna z následujících dvou ekvivalentních nerovností UH, 0 L k MW, Hm, n, al, UH 0, L k MW, Hm, n, al = mn - k MW Hm, n, al Asymptotická varianta Mannova-Whitneyova testu. Kritické hodnoty Mannovy-Whitneyovy statistiky lze ve většině statistických tabulek najít pro nepříliš velké hodnoty m, n od 4 do přibližně 30. Není-li potřebná kritická hodnota k MW Hm, n, al dostupná, můžeme pro m > 0, n > 0 použít statistiku UH, L - EUH, L UH, L - ÅÅÅÅ R MW = R MW H, L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ mn è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ var UH, L mnhm + n + Lê = UH, L - mn ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ mnhm + n + Lê3, která má pro m Ø, n Ø asymptoticky normované normální rozdělení. Na hladině významnosti blížící se a pak hypotézu H 0 : F = G zamítneme ve prospěch alternativy H : F G, bude-li platit nerovnost»r MW» u -aê, kde u b je jako obvykle b-kvantil normovaného normálního rozdělení, a hypotézu H 0 : m = m 0 zamítneme za předpokladu, že F a G mají stejný tvar, ve prospěch alternativy H : m m 0 resp. H : m > m 0 resp. H : m < m 0, bude-li platit nerovnost» R MW» u -aê resp. R MW u -aê resp. R MW -u -aê Příklad-pokračování příkladů 3.8 a 4.9. Na rozdíl od příkladů 3.8 a 4.9 nyní předpokládejme, že průměrná spotřeba před úmrtími byla zjišťována tak jako v těchto příkladech u 8 vybraných obyvatel, po úmrtích však již tito lidé v městečku nežili resp. nebylo z různých důvodů možné jejich spotřebu alkoholu zjistit, a proto byla zjištěna spotřeba alkoholu u jiných náhodně vybráných obyvatel. Máme tedy realizace, dvou nezávislých náhodných výběrů - z rozdělení spotřeby alkoholu před úmrtími a z rozdělení alkoholu po úmrtích: Osoba Před úmrtími Po úmrtích Hypotézu, že úmrtí spotřebu alkoholu v městečku neovlivnila, můžeme zřejmě interpretovat jako hypotézu H 0 o rovnosti obou rozdělení. Použijeme-li k jejímu ověření Mannův-Whitneyův test, zapíšeme hodnoty HHy j - x i L přehledně do tabulky x i \ y j ê ê a z ní postupně vypočteme UH, L = 9, UH, L = 69, min 8UH, L, UH, L< = 9. Protože k MW H8, 0, 0.05L = 9, náhodné výběry leží v kritickém oboru testu, a proto nulovou hypotézu, tj. že spotřeba alkoholu po úmrtích je mezi obyvateli městečka rozložena stejně jako před úmrtími, na hladině významnosti 0.05 zamítáme. Protože

9 Nonparametric Tests.nb R MW = R MW H, L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 88 µ 0ê = , u =.95996, nulovou hypotézu zamítá i asymptotická varianta Mannova-Whitneyova testu. 6. Wilcoxonův dvouvýběrový test 6.. Tento test, v anglosaské literatuře známý jako Wilcoxon rank-sum test, je zcela rovnocenný Mannovu-Whitneyovu testu, a proto jím lze testovat stejné hypotézy jako Mannovým-Whitneyovým testem. Rovnocennost obou testů je důsledkem jednoduchého vztahu mezi statistikami, na nichž se tyto testy zakládají, a totiž, že Wilcoxonovy statistiky se od Mannových-Whitneyových liší o konstanty závislé pouze na rozsazích náhodných výběrů, z nichž jsou konstruovány. 6.. Wilcoxonova dvouvýběrová statistika. Pro každé dvě posloupnosti =Hx,..., x m L, =Hy,..., y n L reálných čísel položme =Hz,... z m+n L =Hx,..., x m, y,..., y n L, uspořádejme čísla z i do neklesající posloupnosti * =Hz * *,..., z m+n L, definujme tzv. sdružené pořadí r i H, L čísla z i v této posloupnosti jako aritmetický průměr všech indexů j, pro něž z * * i = z j, a položme m SH, L = r i H, L. i= Snadno se ověří, že SH, L závisí pouze na množinách 8x,..., x m <, 8y,..., y n < a SH, L + SH, L = ÅÅÅÅÅ Hm + nl Hm + n + L. Jsou-li =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L náhodné výběry, pak náhodná veličina S = SH, L je tzv. Wilcoxonova dvouvýběrová statistika (Wilcoxon rank-sum statistic). Následující věta uvádí do souvislosti Mannovu-Whitneyovu a Wilcoxonovu dvouvýběrovou statistiku. S její pomocí lze snadno pro každý výrok o Mannově-Whitneyově statistice vyslovit ekvivalentní výrok o Wilcoxonově dvouvýběrové statistice Věta. Pro každé dvě posloupnosti =Hx,..., x m L, =Hy,..., y n L SH, L = mn + ÅÅÅÅÅ mhm + L - UH, L = ÅÅÅÅÅ mhm + L + UH, L Věta. Nechť =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G. Jestliže F = G, potom ES = ÅÅÅÅÅ mhm +n + L, var S = ÅÅÅÅÅÅÅÅ mnhm + n + L Kritické hodnoty pro Wilcoxonův dvouvýběrový test. Pro každé celé číslo k z intervalu XmHm + Lê, mhm + Lê + mn\ nechť WHkL je počet permutací H, L =Hx,..., x m, y,..., y n L množiny 8,,..., m + n<, kde a jsou rostoucí posloupnosti a SH, L = k, a nechť f W HkL = WHkL i j m + n y z k m { - pro k œz ÅÅÅÅÅ mhm + L, ÅÅÅÅÅ f W HxL = 0 pro ostatní x, F W HxL = f W HkL pro všechna x œ. k x mhm + L + mn^, Z vlastností statistik UH, L, SH, L a vztahů mezi nimi snadno vyplývají následující identity

10 0 Nonparametric Tests.nb je celá část čísla x. WHkL = WHmHm + n + L - kl, WHkL = MW Jk - ÅÅÅÅÅ m Hm + LN, WJ m ÅÅÅÅÅ Hm + n + L - kn = WJ ÅÅÅÅÅ m Hm + n + L + kn, mhm + L f W HxL = f MW Jx - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ N, f W HxL = f W HmHm + n + L - xl, f W J ÅÅÅÅÅ m Hm + n + L - xn = f WJ ÅÅÅÅÅ m Hm + n + L + xn, mhm + L F W HxL = F MW Jx - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅN, F W HxL = - F W HmHm + n + L - L, Dolní a horní kritické hodnoty Wilcoxonových statistik jsou definovány vztahy k W, Hm, n, al = k ó F W HkL a fl F W Hk + L > a, k W, Hm, n, al = k + ó F W HkL - a fl F W Hk - L < - a. Z vlastností funkcí F MW, F W a vztahu mezi nimi snadno vyplývají identity k W, Hm, n, al = k MW, Hm, n, al + ÅÅÅÅÅ m Hm + L, k W, Hm, n, al = k MW, Hm, n, al + ÅÅÅÅÅ m Hm + L, k W,Hm, n, al = mhm + n + L - k W, Hm, n, al. Kritické hodnoty Wilcoxonovy statistiky jsou definovány pro 0 < a < ê vztahem k W Hm, n, al = k W, Hm, n, aêl. V literatuře jsou kritické hodnoty k W Hm, n, al označovány w a Hm, nl i jinak Věta. Nechť =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G. Jestliže F = G, potom pro každé reálné x L = xd = f W HxL, L xd = F W HxL, L xd a ó x k W, Hm, n, al, L xd a ó x k W, Hm, n, al, 8SH, L, mhm + n + L - SH, L< xd a ó x k W Hm, n, al. 6.7.Wilcoxonův test. Nechť =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G a nechť, jsou jejich realizace. I. H 0 : F = G, H : F π G. Hypotézu H 0 : F = G zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže min 8SH, L, m Hm + n + L - SH, L< k W Hm, n, al. II. Předpokládejme nyní, že F a G mají stejný tvar, tj. že pro některé m a všechna x platí rovnost GHxL = FHx-mL, takže za platnosti hypotézy H 0 : m = m 0 má Y 0 = Y - m 0 stejné rozdělení jako X a 0 = - m 0 je realizace náhodného výběru 0 = - m 0 =HY - m 0,..., Y n - m 0 L z 0. To nám dovoluje testovat H 0 proti každé ze tří možných alternativ. (a) H 0 :m=m 0, H :mπ m 0. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže min 8SH, 0 L, mhm + n + L - SH, 0 L< k W Hm, n, al. (b) H 0 :m=m 0, H :m> m 0. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže

11 Nonparametric Tests.nb SH, 0 L k W, Hm, n, al = k W Hm, n, al (c) H 0 :m=m 0, H :m < m 0. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže SH, 0 L k W, Hm, n, al = mhm +n + L - k W Hm, n, al Asymptotická varianta Wilcoxonova testu. Kritické hodnoty Wilcoxonovy statistiky lze ve většině statistických tabulek najít pro nepříliš velké hodnoty m, n od 4 do přibližně 30. Není-li potřebná kritická hodnota k W Hm, n, al dostupná, můžeme pro m > 0, n > 0 použít statistiku R W = R W H, L = SH, L - ESH, L SH, L - ÅÅÅÅ mhm + n + L SH, L - mhm + n + L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, var SH, L mnhm + n + Lê mnhm + n + Lê3 která má pro m Ø, n Ø asymptoticky normované normální rozdělení. Protože, jak se snadno ověří, R W = R W H, L = R MW H, L = -R MW H, L, testy, založené na asymptotickém rozdělení statistiky R MW mají zřejmé ekvivalenty založené na statistice R W. Na hladině významnosti blížící se a tedy hypotézu H 0 : F = G zamítneme ve prospěch alternativy H : F G, bude-li platit nerovnost»r W» u -aê, kde u b je jako obvykle b-kvantil normovaného normálního rozdělení, a hypotézu H 0 : m = m 0 zamítneme za předpokladu, že F a G mají stejný tvar, ve prospěch alternativy H : m m 0 resp. H : m > m 0 resp. H : m < m 0, bude-li platit nerovnost»r W» u -aê resp. R W -u -aê resp. R W -u -aê Příklad-pokračování příkladů 3.8, 4.9 a 5.9. Chceme-li místo Mannova-Whitneyova testu použít Wilcoxonův test, zapíšeme přehledně výchozí data, neklesající posloupnost těchto dat * a pořadí výchozích dat v v posloupnosti * do tabulky x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 y y y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 9 y 0 y z i z i * r i , a z ní snadno vypočteme SH, L = 05.0, mhm + n + L - SH, L = = 55. Protože k W H8, L = 55, náhodné výběry leží v kritickém oboru testu a proto nulovou hypotézu, podle níž je spotřeba alkoholu mezi obyvateli městečka rozložena po úmrtích stejně jako před úmrtími, na hladině významnosti 0.05 zamítáme. Protože R W = R W H, L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 88 µ 0ê =.0643, u = nulovou hypotézu zamítá i asymptotická varianta Wilcoxonova testu. 6. Spearmanův korelační koeficient a test nezávislosti 7.. Testování nezávislosti pomocí výběrového korelačního koeficientu náhodných veličin X, Y je vázáno na předpoklad normality rozdělení náhodného vektoru HX, YL. Dost často se však stává, že tento předpoklad je porušen. Někdy ani není možné hodnoty veličin v náhodném výběru HX, Y L,..., HX n, Y n L přesně stanovit a je známo jenom jejich pořadí. Jsou-li si však pořadí veličin X i a veličin Y i hodně podobná, lze nepochybně očekávat, že mezi X a Y existuje jistá závislost. 7.. Definice Spearmanova korelačního koeficientu. Pro každý vektor =Hx,..., x n L seřaďme čísla x,..., x n do neklesající posloupnosti * =Hx *,..., x n * L a pro každé i =,,..., n definujme pořadí r i H L čísla x i v posloupnosti * jako aritmetický průměr všech indexů j, pro něž x i * = x j *.

12 Nonparametric Tests.nb Předpokládejme nyní, že HX, Y L,..., HX n, Y n L je náhodný výběr ze základního souboru HX, YL se spojitým rozdělením a položme =HX,..., X n L, R i = r i H L, R =HR,..., R n L, =HY,..., Y n L, Q i = r i H L, Q =HQ,..., Q n L Spearmanův korelační koeficient je definován jako výběrový korelační koeficient výběrů R a Q formulí n i= R i Q i - n R Q 6 r S = r S H, L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ nhn $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% n J i= R i - nr n N J i= Q i - n Q - L HR i - Q i L. i= N n kde R = Q =Hn + Lê jsou výběrové průměry výběrů R a Q Věta. Jsou-li veličiny X, Y nezávislé, potom Er S = 0, var r S = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n - a veličina r S è!!!!!!!!!!! n - má asymptoticky normované normální rozdělení Spearmanův test nezávislosti. Hypotézu, že veličiny X a Y jsou nezávislé, zamítneme na hladině významnosti a na základě realizace r S = r S H, L Spearmanova koeficientu, platí-li nerovnost»r S» r S Hn, al, kde r S Hn, al je kritická hodnota Spearmanova korelačního koeficientu, kterou najdeme ve statistických tabulkách. V případě n > 30 lze využít asymptotickou normalitu veličiny r è!!!!!!!!!!! S n - a hypotézu nezávislosti zamítnout, platí.li nerovnost»r S» u * S Hn, al, kde u * S Hn, al = u -aê ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!! a u b je jako obvykle b-kvantil normovaného normálního rozdělení. n- Má-li základní soubor HX, YL regulární normální rozdělení s korelačním koeficientem, pak se dá dokázat, že Er S = 6 ÅÅÅÅÅ p n - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n + arcsin ÅÅÅÅÅ + 6 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ phn + L arcsin. S rostoucím n se druhý člen na pravé straně blíží k nule a přitom výběrový korelační koeficient r = rh, L konverguje skoro jistě k. Dostaneme tak přibližnou rovnost ru sinj p ÅÅÅÅÅ 6 r SN. Pokud se v datech, z nichž je koeficient r S počítán, vyskytuje mnoho shod, tj. stejně velkých pozorování, doporučuje se použít korigovaný Spearmanův koeficient. Ten je definován vzorci r S,korig = - 6 n i= HR i - Q i L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å, T n 3 x = ÅÅÅÅÅ - n - T x - T y Ht x 3 - t x L, T y = ÅÅÅÅÅ Ht 3 y - t y L, kde t x resp. t y označuje počty stejně velkých x-ových resp. y-ových hodnot Příklad. Na základě údajů v tabulce Země Spotřeba alkoholu Úmrtnost Země Spotřeba alkoholu Úmrtnost Finsko Belgie Norsko Rakousko Irsko NSR Holandsko Itálie Švédsko Francie Anglie a Wales ,

13 Nonparametric Tests.nb 3 převzatých z publikace J.F. Osborn, Statistical Exercises in Medical Rexearch, Blackwell Scientific Publications, 979, Oxford, rozhodněte na hladině významnosti a = 5 %, zda spotřeba alkoholu a úmrtnost na cirhózu jater a alkoholismus (což je počet zemřelých s touto diagnózou na obyvatel) jsou nezávislé veličiny. Řešení. Pro n = a postupně vypočteme =H3.9, 4., 5.6, 5.7, 6.6, 7., 0.8, 0.9,.3, 5, 7, 4.7L, =H3.6, 4.3, 3.4, 3.7, 7., 3.0,.3, 7.0, 3.7, 3.6, 46.L R =H,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, L, Q =H3, 5,, 4, 7,, 8, 6, 0, 9, <, R - Q =H-, -3,, 0, -, 5, -,, -,, 0L, HR - QL T.HR - QL =H4, 9,, 0, 4, 5,, 4,,, 0L, HR - QL.HR - QL = HR i - Q i L = 50, 6 r S = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ nhn - L i= n n i= HR i - Q i L = 7 ÅÅÅÅÅÅÅÅ U a v tabulkách najdeme kritickou hodnotu r S H, 0.05L = Protože tato kritická hodnota je menší než»r S», hypotézu o nezávislosti spotřeby alkoholu a úmrtnosti na cirhózu jater a alkoholismus na hladině významnosti 5 % zamítáme. Tuto hypotézu bychom zamítli i při použití přibližné kritické hodnoty u S * H, 0.05L, neboť u * S H, 0.05L = u ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!! 0 U Anděl Jiří, Statistické metody, 3. vyd., Matfyzpress, Praha, Jaroš František a kolektiv, Pravděpodobnost a statistika, VŠCHT, Praha, Montgomery Douglas C., Runger George C. Applied Statistics and Probability for Engineers, John Wiley & Sons, 003

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu)

Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Frank Wilcoxon (1892 1965): Americký statistik a chemik Nechť X 1,..., X n je náhodný výběr ze

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

Korelační a regresní analýza

Korelační a regresní analýza Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná

Více

Mannův-Whitneyův(Wilcoxonův) test pořadová obdoba dvouvýběrového t-testu. Statistika (MD360P03Z, MD360P03U) ak. rok 2007/2008

Mannův-Whitneyův(Wilcoxonův) test pořadová obdoba dvouvýběrového t-testu. Statistika (MD360P03Z, MD360P03U) ak. rok 2007/2008 Statistika (MD30P03Z, MD30P03U) ak. rok 007/008 Karel Zvára karel.zvara@mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/ zvara (naposledy upraveno. listopadu 007) 1(4) Mann-Whitney párový Wilcoxon párový znaménkový

Více

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina

Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi

Více

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.

Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. 1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový

Více

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)

2 ) 4, Φ 1 (1 0,005) Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje

Více

Ing. Michael Rost, Ph.D.

Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do testování hypotéz, jednovýběrový t-test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testovaná hypotéza Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru, např. o parametru Θ, pak takovéto tvrzení

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem základního souboru (který přesně neznáme, k němuž se ale daná statistická hypotéza váže), potřebujeme ověřit,

Více

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,

Více

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368

676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368 Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540

Více

15. T e s t o v á n í h y p o t é z

15. T e s t o v á n í h y p o t é z 15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:

Více

Normální (Gaussovo) rozdělení

Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky)

STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) 1) Význam a využití statistiky v biologických vědách a veterinárním lékařství ) Rozdělení znaků (veličin) ve statistice 3) Základní a

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Statistickou hypotézou rozumíme hypotézu o populaci (základním souboru) např.: Střední hodnota základního souboru je rovna 100.

Více

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.

Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé. 1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,

Více

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika

letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 Opakování t- vs. neparametrické Wilcoxonův jednovýběrový test Opakování

Více

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010

Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010 Testování hypotéz 4. přednáška 6. 3. 2010 Základní pojmy Statistická hypotéza Je tvrzení o vlastnostech základního souboru, o jehož pravdivosti se chceme přesvědčit. Předem nevíme, zda je pravdivé nebo

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci

Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Zpracování dat v edukačních vědách - Testování hypotéz Kamila Fačevicová Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Obsah seminářů 5.11. Úvod do matematické

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech

Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Úkol 1.: Párový znaménkový test a párový Wilcoxonův test Při zjišťování kvality jedné složky půdy se používají dvě metody označené A a B. Výsledky: Vzorek 1

Více

Vybraná rozdělení náhodné veličiny

Vybraná rozdělení náhodné veličiny 3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.

Více

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11

Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11 Příklad 1 Vyhláška Ministerstva zdravotnictví předpokládala, že doba dojezdu k pacientovi od nahlášení požadavku nepřekročí 17 minut. Hodnoty deseti náhodně vybraných dob příjezdu sanitky k nemocnému byly:

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.

Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz. Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení

Více

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II

Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Základy biostatistiky II Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Teoretické rozložení-matematické modely rozložení Naměřená data Výběrové rozložení Teoretické rozložení 1 e 2 x 2 Teoretické rozložení-matematické

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času

Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek

Více

Porovnání dvou výběrů

Porovnání dvou výběrů Porovnání dvou výběrů Menu: QCExpert Porovnání dvou výběrů Tento modul je určen pro podrobnou analýzu dvou datových souborů (výběrů). Modul poskytuje dva postupy analýzy: porovnání dvou nezávislých výběrů

Více

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D. Statistické metody v ekonomii Ing. Michael Rost, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Test χ 2 v kontingenční tabulce typu 2 2 Jde vlastně o speciální případ χ 2 testu pro čtyřpolní tabulku.

Více

Statistické testování hypotéz II

Statistické testování hypotéz II PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 9 Statistické testování hypotéz II Přehled testů, rozdíly průměrů, velikost účinku, síla testu Základní výzkumné otázky/hypotézy 1. Stanovení

Více

Téma 22. Ondřej Nývlt

Téma 22. Ondřej Nývlt Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky

Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Bankovní účty (semestrální projekt statistika) Tomáš Hejret (hej124) 18.5.2013 Úvod Cílem tohoto projektu, zadaného

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7

4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické

Více

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,

1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, KMA/SZZS1 Matematika 1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, operace s limitami. 2. Limita funkce

Více

Zápočtová práce STATISTIKA I

Zápočtová práce STATISTIKA I Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 7. Testování statistických hypotéz Mgr. David Fiedor 30. března 2015 Osnova 1 2 3 Dělení testů parametrické - o parametrech rozdělení základního souboru (průměr, rozptyl,

Více

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě

31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě 31. 3. 2014, Brno Hanuš Vavrčík Základy statistiky ve vědě Motto Statistika nuda je, má však cenné údaje. strana 3 Statistické charakteristiky Charakteristiky polohy jsou kolem ní seskupeny ostatní hodnoty

Více

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI

STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená

Více

Náhodný vektor a jeho charakteristiky

Náhodný vektor a jeho charakteristiky Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich

Více

Vysoká škola ekonomická v Praze

Vysoká škola ekonomická v Praze Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta informatiky a statistiky Studijní program: Kvantitativní metody v ekonomice Studijní obor: Statistické metody v ekonomii Autor bakalářské práce: Jakub Zajíček Vedoucí

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

5 Parametrické testy hypotéz

5 Parametrické testy hypotéz 5 Parametrické testy hypotéz 5.1 Pojem parametrického testu (Skripta str. 95-96) Na základě výběru srovnáváme dvě tvrzení o hodnotě určitého parametru θ rozdělení f(x, θ). První tvrzení (které většinou

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ ZÁKLADNÍ POJMY Statistická hypotéza je určitá domněnka (předpoklad) o vlastnostech ZÁKLADNÍHO SOUBORU. Test statistické hypotézy je pravidlo (kritérium), které na základě

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení

Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení Příklady na testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení. O životnosti 75W žárovky (v hodinách) je známo, že má normální rozdělení s = 5h. Pro náhodný výběr 0 žárovek byla stanovena průměrná životnost

Více

IBM SPSS Exact Tests. Přesné analýzy malých datových souborů. Nejdůležitější. IBM SPSS Statistics

IBM SPSS Exact Tests. Přesné analýzy malých datových souborů. Nejdůležitější. IBM SPSS Statistics IBM Software IBM SPSS Exact Tests Přesné analýzy malých datových souborů Při rozhodování o existenci vztahu mezi proměnnými v kontingenčních tabulkách a při používání neparametrických ů analytici zpravidla

Více

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně

Definice 7.1 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P). Zobrazení. nebo ekvivalentně 7 Náhodný vektor Nezávislost náhodných veličin Definice 7 Nechť je dán pravděpodobnostní prostor (Ω, A, P) Zobrazení X : Ω R n, které je A-měřitelné, se nazývá (n-rozměrný) náhodný vektor Měřitelností

Více

diskriminaci žen letní semestr 2012 1 = výrok, o jehož pravdivosti chceme rozhodnout tvrzení o populaci, o jehož platnosti rozhodujeme

diskriminaci žen letní semestr 2012 1 = výrok, o jehož pravdivosti chceme rozhodnout tvrzení o populaci, o jehož platnosti rozhodujeme motivační příklad Párový Párový Příklad (Platová diskriminace) firma provedla šetření s cílem zjistit, zda dochází k platové diskriminaci žen Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Výsledky některých náhodných pokusů jsou přímo vyjádřeny číselně (např. při hodu kostkou padne 6). Náhodnou veličinou

Více

6. Testování statistických hypotéz. KGG/STG Zimní semestr 6. Testování statistických hypotéz

6. Testování statistických hypotéz. KGG/STG Zimní semestr 6. Testování statistických hypotéz 6. Testování statistických Testování statistických Princip: Ověř ěřování určit itého předpokladu p zjišťujeme, zda zkoumaný výběr r pochází ze základnz kladního souboru, který mám určit ité rozdělen lení

Více

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz

Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Statistické metody uţívané při ověřování platnosti hypotéz Hypotéza Domněnka, předpoklad Nejčastěji o rozdělení, středních hodnotách, závislostech, Hypotézy ve vědeckém výzkumu pracovní, věcné hypotézy

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 11. téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 11. téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 11. téma Testy založené na χ 2 rozdělení V přehledu významných rozdělení jsme si uvedli, že Poissonovým rozdělením se modeluje počet událostí, které nastanou

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).

Více

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma

Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9.téma Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 9téma Princip testování hypotéz, jednovýběrové testy V minulé hodině jsme si ukázali, jak sestavit intervalové odhady pro některé číselné charakteristiky normálního

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

STATISTICKÉ HYPOTÉZY

STATISTICKÉ HYPOTÉZY STATISTICKÉ HYPOTÉZY ZÁKLADNÍ POJMY Bodové/intervalové odhady Maruška řešila hodnoty parametrů (průměr, rozptyl atd.) Zde bude Maruška dělat hypotézy (předpoklady) ohledně parametrů Z.S. Výsledek nebude

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testování hypotéz na základě jednoho a dvou výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/004. Testování hypotéz Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru,

Více

y = 0, ,19716x.

y = 0, ,19716x. Grafické ověřování a testování vybraných modelů 1 Grafické ověřování empirického rozdělení Při grafické analýze empirického rozdělení vycházíme z empirické distribuční funkce F n (x) příslušné k náhodnému

Více

STATISTIKA LS 2013. Garant předmětu: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. Přednášející: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D.

STATISTIKA LS 2013. Garant předmětu: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. Přednášející: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. STATISTIKA LS 2013 Garant předmětu: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. Přednášející: Ing. Martina Litschmannová, Ph.D. Cvičící: Ing. Ondřej Grunt RNDr. Pavel Jahoda, Ph.D. Ing. Kateřina Janurová Mgr. Tereza

Více

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D.

t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testování hypotéz: dvouvýběrový t-test, Studentův párový test Ing. Michael Rost, Ph.D. Úvod do problému... Již známe jednovýběrový t-test, při kterém jsme měli k dispozici pouze jeden výběr. Můžeme se

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 9. Korelační analýza Mgr. David Fiedor 20. dubna 2015 Analýza závislostí v řadě geografických disciplín studujeme jevy, u kterých vyšetřujeme nikoliv pouze jednu vlastnost

Více

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti

Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti 3.2 Náhodná veličina a rozdělení pravděpodobnosti Bůh hraje se světem hru v kostky. Jsou to ale falešné kostky. Naším hlavním úkolem je zjistit, podle jakých pravidel byly označeny, a pak toho využít pro

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor Management jakosti Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2009/2010 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

Rozdělení náhodné veličiny

Rozdělení náhodné veličiny Rozdělení náhodné veličiny Náhodná proměnná může mít - diskrétní rozdělení (nabývá jen určitých číselných hodnot) - spojité rozdělení (nabývá libovolných hodnot z určitého intervalu) Fyzikální veličiny

Více

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik:

Testování hypotéz Biolog Statistik: Matematik: Informatik: Testování hypotéz Biolog, Statistik, Matematik a Informatik na safari. Zastaví džíp a pozorují dalekohledem. Biolog "Podívejte se! Stádo zeber! A mezi nimi bílá zebra! To je fantastické! " "Existují bílé

Více

z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové funkce, ze kterého vycházíme,

z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové funkce, ze kterého vycházíme, Úloha 1: V naší studii se zabýváme poptávkovou funkcí životního pojištění, vycházíme z dat nasbíraných v letech 1959 1994. Ke zpracování dat byl použit statistický software R. Základní model poptávkové

Více

KGG/STG Statistika pro geografy

KGG/STG Statistika pro geografy KGG/STG Statistika pro geografy 4. Teoretická rozdělení Mgr. David Fiedor 9. března 2015 Osnova Úvod 1 Úvod 2 3 4 5 Vybraná rozdělení náhodných proměnných normální rozdělení normované normální rozdělení

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7

STATISTIKA. Inovace předmětu. Obsah. 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 Inovace předmětu STATISTIKA Obsah 1. Inovace předmětu STATISTIKA... 2 2. Sylabus pro předmět STATISTIKA... 3 3. Pomůcky... 7 1 1. Inovace předmětu STATISTIKA Předmět Statistika se na bakalářském oboru

Více

Úvod do analýzy rozptylu

Úvod do analýzy rozptylu Úvod do analýzy rozptylu Párovým t-testem se podařilo prokázat, že úprava režimu stravování a fyzické aktivity ve vybrané škole měla vliv na zlepšené hodnoty HDLcholesterolu u školáků. Pro otestování jsme

Více

7. Analýza rozptylu.

7. Analýza rozptylu. 7. Analýza rozptylu. Uvedeme obecnou ideu, která je založena na minimalizaci chyby metodou nejmenších čtverců. Nejdříve uvedeme několik základních tvrzení. Uvažujeme náhodný vektor Y = (Y, Y,..., Y n a

Více

10. N á h o d n ý v e k t o r

10. N á h o d n ý v e k t o r 10. N á h o d n ý v e k t o r 10.1. Definice: Náhodný vektor. Uspořádanou n tici (X 1, X 2,..., X n ) náhodných veličin X i, 1 i n, nazýváme náhodným vektorem. Poznámka: Pro jednoduchost budeme zavádět

Více

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y)

n = 2 Sdružená distribuční funkce (joint d.f.) n. vektoru F (x, y) = P (X x, Y y) 5. NÁHODNÝ VEKTOR 5.1. Rozdělení náhodného vektoru Náhodný vektor X = (X 1, X 2,..., X n ) T n-rozměrný vektor, složky X i, i = 1,..., n náhodné veličiny. Vícerozměrná (n-rozměrná) náhodná veličina n =

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková

Praktická statistika. Petr Ponížil Eva Kutálková Praktická statistika Petr Ponížil Eva Kutálková Zápis výsledků měření Předpokládejme, že známe hodnotu napětí U = 238,9 V i její chybu 3,3 V. Hodnotu veličiny zapíšeme na tolik míst, aby až poslední bylo

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Analýza rozptylu. Podle počtu analyzovaných faktorů rozlišujeme jednofaktorovou, dvoufaktorovou a vícefaktorovou analýzu rozptylu.

Analýza rozptylu. Podle počtu analyzovaných faktorů rozlišujeme jednofaktorovou, dvoufaktorovou a vícefaktorovou analýzu rozptylu. Analýza rozptylu Analýza rozptylu umožňuje ověřit významnost rozdílu mezi výběrovými průměry většího počtu náhodných výběrů, umožňuje posoudit vliv různých faktorů. Podle počtu analyzovaných faktorů rozlišujeme

Více

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr

Intervalový odhad. Interval spolehlivosti = intervalový odhad nějakého parametru s danou pravděpodobností = konfidenční interval pro daný parametr StatSoft Intervalový odhad Dnes se budeme zabývat neodmyslitelnou součástí statistiky a to intervaly v nejrůznějších podobách. Toto téma je také úzce spojeno s tématem testování hypotéz, a tedy plynule

Více

Dva případy chybného rozhodnutí při testování: a) Testační statistika padne mimo obor přijetí nulové H hypotézy O, tj.

Dva případy chybného rozhodnutí při testování: a) Testační statistika padne mimo obor přijetí nulové H hypotézy O, tj. Uvedeme obecný postup statistického testování:. Formulace nulové H 0a alternativní hpotéz H A.. Volba hladin významnosti α.. Volba testační statistik např... Určení kritického oboru testové charakteristik.

Více

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti

Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti Národníinformačnístředisko pro podporu jakosti OVĚŘOVÁNÍ PŘEDPOKLADU NORMALITY Doc. Ing. Eva Jarošová, CSc. Ing. Jan Král Používané metody statistické testy: Chí-kvadrát test dobré shody Kolmogorov -Smirnov

Více

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor "Management jakosti"

Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky. bakalářské studium. studijní obor Management jakosti Tématické okruhy pro státní závěrečné zkoušky bakalářské studium studijní obor "Management jakosti" školní rok 2013/2014 Management jakosti A 1. Pojem jakosti a význam managementu jakosti v současném období.

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina.

jevu, čas vyjmutí ze sledování byl T j, T j < X j a T j je náhodná veličina. Parametrické metody odhadů z neúplných výběrů 2 1 Metoda maximální věrohodnosti pro cenzorované výběry 11 Náhodné cenzorování Při sledování složitých reálných systémů často nemáme možnost uspořádat experiment

Více

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH

Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Test dobré shody v KONTINGENČNÍCH TABULKÁCH Opakování: Mějme náhodné veličiny X a Y uspořádané do kontingenční tabulky. Řekli jsme, že nulovou hypotézu H 0 : veličiny X, Y jsou nezávislé zamítneme, když

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více