Neparametrické testy. 1. Úvod. 2. Medián
|
|
- Kristýna Kopecká
- před 10 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Neparametrické testy. Úvod Testy hypotéz o parametrech základních souborů, které jsme zatím poznali, jsou založeny na předpokladu, že tyto soubory mají normální rozdělení pravděpodobnosti, popřípadě i na některých dalších předpokladech, např. rovnosti rozptylů. Nesplnění předpokladu o normalitě většinou není vzhledem k centrální limitní větě příliš na závadu, pokud je rozsah náhodných výběrů, z nichž konstrukce testu vychází, dostatečně velký. Často je ale třeba testovat hypotézy na základě náhodných výběrů malých rozsahů pocházejících z výrazně nenormálních rozdělení, takže klasické testy založené na předpokladu normality nelze použít. Pro práci s takovými výběry byly vyvinuty tzv. neparametrické testy, které nepředpokládají nic o konkrétním typu rozdělení základního souboru ani o jeho parametrech a vyžadují zpravidla pouze jeho spojitost. Po výpočetní stránce jsou neparametrické testy velmi jednoduché a proto se často používají i tehdy, kdy je možné použít také klasické, ale početně podstatně náročnější testy založené na předpokladu normality. Neparametrické testy však zpravidla využívají informaci obsaženou v náhodném výběru pouze částečně, a proto pravděpodobnost chyby. druhu je u nich v těchto případech zpravidla větší než u klasických testů. Zatímco rozhodovací pravidla parametrických testů jsou konstruována přímo z číselných hodnot náhodných výběrů, konstrukce rozhodovacích pravidel neparametrických testů vychází pouze ze vzájemného pořadí těchto hodnot. Některé neparametrické testy lze proto použít i v případech, kdy nejsou známy hodnoty náhodného výběru ale pouze jejich pořadí, nebo kdy tyto hodnoty znamenají pouze pořadí zkoumaných vlastností náhodného charakteru seřazených podle určitého hlediska. Neparametrických testů existuje velmi mnoho. Zde se omezíme jenom na několik z nich, které jsou obdobou klasických testů o střední hodnotě a testu lineární nezávislosti náhodných veličin. Na rozdíl od klasických testů se však testují hypotézy o mediánu.. Medián Medián m è rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X se spojitou distribuční funkcí F je míra polohy charakterizovaná ne zcela jednoznačně podmínkou FHm è L = P@X m è D = ê. Jednoznačně je medián určen např. tehdy, je-li funkce F rostoucí. Je-li příslušné rozdělení pravděpodobnosti symetrické kolem některého bodu m è, tj. platí-li pro všechna x œ rovnost FHm è - xl = - FHm è + xl, potom m è je medián a v případě, že existuje střední hodnota E X, platí rovnost m è = E X. Podmínku symetrie funkce F splňuje např. tehdy, je-li náhodná veličina X (absolutně) spojitá a její hustota f je symetrická podle bodu m è, tj. platí-li pro všechna x œ rovnost fhm è - xl = fhm è + xl. Není-li distribuční funkce F spojitá, lze medián m è definovat např. podmínkami P@X < m è D = lim xøx è - FHxL ê, P@X m è D = FHm è L ê. Definujeme-li a-kvantil x a rozdělení s distribuční funkcí F formulí Hx < x a ï P@X xd = FHxL < alfl P@X x a D = FHx a L a, pak tyto podmínky, které neurčují medián jednoznačně, splňuje např. kvantil x 0.5. Z definice mediánu a kvantilů dále snadno vyplývá, že tento kvantil je ze všech možných mediánů rozdělení nejmenší. Lze dokázat, že každý medián m è má následující vlastnost: je-li střední hodnota EX konečná, potom funkce E» X - c» nabývá v bodě c = m è svého minima.
2 Nonparametric Tests.nb 3. Znaménkový test 3.. Znaménkový test je určen k ověřování hypotéz o mediánu rozdělení pravděpodobnosti (základního souboru) se spojitou distribuční funkcí F. Protože bez dalších předpokladů o F není medián určen jednoznačně, je třeba význam nulové hypotézy m è = c a možných alternativ m è c, m è < c, m è > c upřesnit. Hypotéza m è = c znamená, že c je medián, tj. že FHcL = ê, alternativa m è c znamená, že c není medián, tj. že FHcL ê, alternativa m è < c znamená, že každý medián je menší než c, tj. že FHcL > ê, a a poslední alternativa znamená, že každý medián je větší než c, tj. že FHcL < ê. 3.. Kritické hodnoty pro znaménkový test. Pro každé reálné číslo c a každý bod =Hx,..., x n L prostoru n nechť n c H L = počet indexů i, pro něž x i c, n >c H L = počet indexů i, pro něž x i > c, a pro každé přirozené číslo n a každé a œh0, L nechť k a, HnL = Bi aê Hn, êl -, k a, HnL = Bi -aê Hn, êl +, kde Bi b Hn, êl je b-kvantil binomického rozdělení BiHn, êl Věta. Jestliže =HX,..., X n L je náhodný výběr z rozdělení se spojitou distribuční funkcí F a mediánem c, potom P@n >c H L xd ó x k a, HnL, P@n >c H L xd ó x k a, HmL Znaménkový test. Nechť =Hx,..., x n L je realizace náhodného výběru =HX,..., X n L z rozdělení se spojitou distribuční funkcí. Nulovou hypotézu H : m è = c na základě realizace zamítneme ve pro prospěch některé ze tří možných alternativ, pokud n >c = n >c H L a n c = n c H L splňují příslušnou podmínku uvedenou ve třetím sloupci následující tabulky: Hypotéza H 0 Alternativa H Kritický obor pro hladinu významnosti a m è = c m è c n >c k a, Hn c LÍ n >c k a, Hn c L m è = c m è < c n >c k a, Hn c L m è = c m è > c n >c k a, Hn c L 3.5. Asymptotická varianta znaménkového testu. Pro větší rozsahy n c, přibližně pro n c 0, můžeme také použít testovací statistiku R Zn,c = R Zn,c H L = n >c H L - n c H L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n c H L s asymptoticky normálním rozdělením NH0, L a kritické obory pro zamítnutí nulové hypotézy uvedené v tabulce Hypotéza H 0 Alternativa H Kritický obor pro hladinu významnosti a m è = c m è c» R Zn,c» > u -aê m è = c m è < c R Zn,c < -u -a, m è = c m è > c R Zn,c > u -a kde u b je jako obvykle b-kvantil normovaného normálního rozdělení Poznámka. Znaménkový test má poměrně malou sílu, tj. pravděpodobnost chyby. druhu je ve srovnání s jinými testy dosti veliká, a proto je žádoucí mít k dispozici větší počet pozorování různých od c Příklad. Deset pokusných osob mělo nezávisle na sobě a bez předchozího nácviku odhadnout, kdy od daného signálu uplyne jedna minuta. Byly získány následující výsledky ( v sekundách):
3 Nonparametric Tests.nb 3 Řešení. Odhad délky jedné minuty je zřejmě náhodná veličina se spojitou distribuční funkcí. Pro ověření hypotézy, že medián jejího rozdělení je c = 60 sekund, můžeme proto použít znaménkový test. Zřejmě n c = 0, n >c = a podle tabulky kritických hodnot k 0.05, H0L =, k 0.05, H0L = 9. Na hladině významnosti a = 0.05 nelze tedy hypotézu H 0 : m è = 60 zamítnout ve prospěch alternativy m è 60. Ke stejnému závěru dojdeme, použijeme-li statistiku R Zn,c, neboť R Zn,c = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 6 è!!!!!! 0 U , u = Příklad. V jednom městečku proběhl výzkum požívání alkoholu tak, že u 8 náhodně vybraných občanů byla zjištěna průměrná měsíční dávka alkoholu. Po nějaké době došlo v městečku ke dvěma úmrtím na cirhózu jater, způsobenou velmi pravděpodobně nadměrmým požíváním alkoholu. K posouzení, zda tato událost nějak ovlivnila u občanů městečka množství požívaného alkoholu, byly použity výsledky předchozího výzkumu a navíc byla u stejných 8 osob jako dříve zjištěna jejich současná průměrná měsíční dávka alkoholu. Výsledky obou šetření jsou uvedeny v následující tabulce: Osoba Před úmrtími Po úmrtích Otázka zní: lze na základě těchto výsledků na hladině významnosti a = 5 % tvrdit, že zmíněná úmrtí ovlivnila v městečku požívání alkoholu? Řešení. Výsledky obou šetření představují realizaci náhodného výběru H, L rozsahu n = 8 z dvourozměrmého základního souboru HX, YL, kde X resp. Y je průměrná měsíční spotřeba alkoholu obyvatele městečka před zmíněnými úmrtími resp. po nich. Rozdíl Z = Y - X tedy vyjadřuje, jak se tato spotřeba alkoholu u obyvatele městečka zvýšila nebo snížila. Za kritérium změny v požívání alkoholu můžeme vzít buď střední hodnotu EZ veličiny Z nebo její medián m è Z. Rovnost EZ = 0 znamená, že průměrná měsíční spotřeba alkoholu obyvatele městečka se nezměnila. Rovnost m è Z = 0 naproti tomu znamená jenom tolik, že počet obyvatel městečka, kteří po úmrtích požívání alkoholu omezili, je přibližně stejný, jako počet obyvalel, kteří naopak začali pít víc. Za předpokladu normality náhodného vektoru HX, YL můžeme otestovat hypotézu EZ = 0 proti hypotéze EZ 0 s výsledkem = -00, T = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ s è!!! n t -aêhn - L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 00 è!!!!.3646 = 67.04,»» < T, 8 což znamená, že na hladině významnosti a = 5 % nelze hypotézu EZ = 0 zamítnout. Protože dosažená hladina významnosti tohoto testu je 0.00, nulovou hypotézu lze zamítnout oboustranným testem až na hladině významnosti a > 0.., tj. s pravděpodobností chyby. druhu větší než 0 %, nebo jednostranným testem proti hypotéze EX < 0 až na hladině významnosti a > 0., tj. s pravděpodobností chyby. druhu alespoň 0 %. Protože normalita implikuje rovnost střední hodnoty a mediánu, testy hypotéz o střední hodnotě jsou současně testy hypotéz o mediánu. Pokud usoudíme, že normalitu předpokládat nelze, můžeme pouze otestovat hypotézu m è Z = 0 proti některé ze tří možných hypotéz m è Z 0, mè Z < 0, mè Z > 0. Protože pro Z, jak velmi snadno zjistíme, n 0 = 7, n >0 =, k a, H7L = 0, k a, H7L = 7, R Zn,0 = , u 0.95 =.64485, u =.95996, ani jeden z možných šesti znaménkových testů hypotézu m è Z = 0 na dané hladině významnosti nezamítá. Na hladině významnosti a = 5 % proto nelze tvrdit, že úmrtí konzumaci alkoholu v městečku nějak významně změnila. 4. Wilcoxonův jednovýběrový test 4.. Tento test je testem hypotézy H 0 : m è = c o mediánu rozdělení se spojitou distribuční funkcí F za předpokladu, že toto rozdělení je kolem mediánu m è symetrické, tj. že pro každé reálné číslo x platí rovnost FHm è - xl = - FHm è + xl. Protože symetrie rozdělení kolem bodu c implikuje, že c je medián, Wilcoxonův test hypotézy H 0 je vlastně testem
4 4 Nonparametric Tests.nb symetrie rozdělení kolem bodu c. K zamítnutí hypotézy H 0 proto může dojít buď proto, že c není medián, nebo proto, že rozdělení není kolem mediámu symetrické. 4.. Wilcoxonova jednovýběrová statistica. Pro každý vektor =Hx,..., x n L œ n označme * =Hx *,..., x n * L posloupnost absolutních hodnot čísel x, x,..., x n seřazených do neklesající posloupnosti a pro každé i =,,..., n definujme pořadí r i + H L absolutní hodnoty x i * čísla x i v posloupnosti * jako aritmetický průměr všech indexů j, pro něž x i * = x j *, zmenšený o počet indexů j, pro něž x i = 0, a položme S + H L = r + i H L, S - H L = r + i H L. x i >0 x i <0 Označíme-li ještě ǹ počet indexů i, pro které x i 0, pak se snadno ověří, že S + H L + S - H L = ǹhǹ + Lê. Jeli =HX,..., X m L náhodný výběr, pak náhodná veličina S + = SH L je tzv. Wilcoxonova jednovýběrová statistika (Wilcoxon signed rank statistic) Věta. Nechť =HX,..., X n L je náhodný výběr ze základního soubor X se spojitou distribuční funkcí F, jehož rozdělení pravděpodobnosti je symetrické kolem 0. Potom ES + = ES - = ÅÅÅÅÅ 4 nhn + L, var S+ = var S - = ÅÅÅÅÅÅÅ 4 nhn + L H n + L Kritické hodnoty pro Wilcoxonovův jednovýběrový test. Pro každé celé číslo k z intervalu X0, nhn + Lê\ nechť W+ HkL je počet permutací =Hx, x..., x n L množiny 8,,..., n<, kde x < x <... < x m, x m+ < x m+ <... < x n pro některé m œx0, n\ a x x m = k, a nechť f W + HkL = W+ HkL -n pro k œ80,,..., nhn + Lê<, f W + HxL = 0 pro x 80,,..., nhn + Lê<, F + W HxL = f + W HkL pro všechna x œ. k x Snadno je vidět, že pro každou permutaci =Hx,..., x n L množiny 8,,..., n<, kde x < x <... < x m, x m+ < x m+ <... < x n, platí implikace Odtud vyplývají postupně identity je celá část čísla x. m Hy,..., y n L =Hx m+,..., x n, x,..., x m L ï i= n-m x i + i= y i = ÅÅÅÅÅ nhn + L. W+ HkL = W+ HnHn + Lê - kl, W+ J ÅÅÅÅÅ 4 nhn + L - kn = W + J ÅÅÅÅÅ nhn + L + kn, 4 f + W HkL = f + W HnHn + Lê - kl, f + W J ÅÅÅÅÅ 4 nhn + L - kn = f W + J ÅÅÅÅÅ nhn + Lê + kn, 4 F + W HxL = - F + W HnHn + Lê -@xd - L, Dolní a horní kritické hodnoty Wilcoxonovy jednovýběrové statistiky jsou definovány vztahy Z vlastností funkce F W + snadno vyplývá identita k W, Hn, al = k ó F W + HkL a Ï F W + Hk + L > a, k W, Hn, al = k + ó F W + HkL - a Ï F W + Hk - L < - a. k W, Hn, al = ÅÅÅÅÅ nhn + L - k W,Hn, al. Kritické hodnoty Whitneyovy jednovýběrové statistiky jsou definovány pro 0 < a < ê vztahem V literatuře bývají tyto kritické hodnoty označovány w a HnL. k W Hn, al = k W, Hn, aêl.
5 Nonparametric Tests.nb Věta. Nechť =HX,..., X m L je náhodný výběr ze základního souboru X se spojitou distribuční funkcí F. Jestliže rozdělení pravděpodobnosti základního souboru je symetrické kolem 0, tj. FH-xL = - FHxL pro všechna x œ, potom P@S + H L = xd = f + W HxL, P@S + H L xd = F + W HxL, P@S + H L xd a ó x k W, Hn, al, P@S + H L xd a ó x k W, Hn, al, P@min 8S + H L, S - H L< xd a ó x k W Hn, al Wilcoxonův jednovýběrový test. Nechť =Hx,..., x n L je realizace náhodného výběru ze základního soubor X se spojitou distribuční funkcí F, jehož rozdělení pravděpodobnosti je symetrické kolem mediánu m è, nechť c =Hx - c,..., x n - cl a nechť ǹ je počet nenulových členů posloupnosti c. I. H 0 :m é = c, H :m é π c. Hypotézu H 0 : m è = c zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže min 8S + H c L, S - H c L< = min 8S + H c L, ǹ Hǹ + Lê - S + H c L< k W Hǹ, al. II. H 0 :m é = c, H :m é > c. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže platí jedna z následujících dvou ekvivalentních nerovností S + H c L k W, Hǹ, al = ǹhǹ + Lê - k W Hǹ, al, S - H c L k W, Hǹ, al = k W Hǹ, al. III. H 0 :m é = c, H :m é < c. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže platí jedna z následujících dvou ekvivalentních nerovností S + H c L k W, Hǹ, al, S - H c L k W, Hǹ, al = ǹhǹ + Lê - k W Hǹ, al Asymptotická varianta Wilcoxonova jednovýběrového testu. Kritické hodnoty Wilcoxonova jednovýběrového testu lze ve většině statistických tabulek najít pro nepříliš velké hodnoty n od 4 do přibližně 30. Není-li potřebná kritická hodnota k W Hn, al dostupná, můžeme pro n > 0 použít statistiku R W = R W H c L = S+ H c L - ES + H c L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = S+ H c L - ÅÅÅÅ ǹhǹ + L 4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ var S + H c L "############################################ ÅÅÅÅÅ ǹhǹ + L H ǹ + L která má pro n Ø asymptoticky normované normální rozdělení. Na hladině významnosti blížící se a pak hypotézu H 0 : m è = c zamítneme ve prospěch alternativy H : m è c, bude-li platit nerovnost»r W» u -aê, kde u b je jako obvykle b-kvantil normovaného normálního rozdělení, a hypotézu H 0 : m è = c zamítneme ve prospěch alternativy H : m è > c resp. H : m è < c, bude-li platit nerovnost R W u -aê resp. R W -u -aê Příklad - pokračování příkladu 3.7. Otestujme hypotézu H 0 : m è = c pro c = 60 znovu pomocí Wilcoxonova testu. Protože x i y i = x i - c * y i r i , S + H L = r + 5 H L + r + 7 H L = + 5 = 7, S - H L = 55-7 = 48, min 8S + H L, S - H L< = 7, w 0.05 H0L = 8, hypotézu H 0, podle níž v lidské populaci polovina osob délku jedné minuty podhodnotí a polovina tuto délku nadhodnotí, na hladině významnosti a = 0.05 zamítneme. Protože
6 6 Nonparametric Tests.nb ES + = 7.5, var S + = 96.5, R W = R W H c L = -.09, u =.95996, hypotézu H 0 zamítá na dané hladině významnost i test zakládající se na statistice R W Příklad - pokračování příkladu 3.8. Podívejme se, co říká o hypotéze m è Z = 0 Wilcoxonův test. Protože z tabulky z i * z i r i , v níž jsou zapsány všechny potřebné hodnoty, plyne S + H L = r + 3 H L + r + 5 H L = = 6.5, S - H L = =.5, min 8S + H L, S - H L< = 6.5, w 0.05 H7L =, hypotézu m è Z = 0 nelze na hladině významnosti a = 0.05 zamítnout. Protože ES + = 4, var S + = 35, R W = R W H 0 L = -.68, u =.95996, hypotézu m è Z = 0 nezamítá na dané hladině významnost ani test zakládající se na statistice R W, který je však vzhledem k malé hodnotě redukovaného rozsahu ǹ velmi hrubý. 5. Mannův-Whitneyův test 5.. Tento test, který je v literatuře často uváděn jako Wilcoxonův dvouvýběrový test, je obdobou testu rovnosti středních hodnot dvou nezávislých náhodných výběrů z normálních rozdělení se stejným rozptylem, testuje však silnější hypotézu, že dva základní soubory X, Y se spojitými distribučními funkcemi F, G mají stejné rozdělení pravděpodobnosti, tj. hypotézu H 0 : F = G. Víme-li, že G má stejný tvar jako F, tj. že pro některé m a všechna x platí rovnost GHxL = FHx - ml, můžeme pomocí tohoto testu testovat také hypotézu H 0 : m = m 0 proti jedné z alternativ H : m m 0, H : m > m 0, H : m < m Mannova-Whitneyova statistika. Pro každé dvě posloupnosti =Hx,..., x m L, =Hy,..., y n L reálných čísel položme m UH, L = i= n HHy j - x i L, j= kde H je funkce nabývající hodnoty 0 na intervalu H-, 0L, hodnoty ê v bodě 0 a hodnoty na intervalu H0, + L. Snadno se ověří, že UH, L závisí pouze na množinách 8x,..., x m <, 8y,..., y n < a UH, L + UH, L = mn, UH, L = ÅÅÅÅÅ mn - k ó UH, L = ÅÅÅÅÅ mn + k. Jsou-li =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L náhodné výběry, pak náhodná veličina U = UH, L je tzv. Mannova- Whitneyova statistika Věta. Nechť =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G. Jestliže F = G, potom EU = ÅÅÅÅÅ mn, var U = ÅÅÅÅÅÅÅ mnhm + n + L Kritické hodnoty pro Mannovův-Whitneyův test. Pro každé celé číslo k z intervalu X0, m n\ nechť MW HkL je počet permutací H, L =Hx,..., x m, y,..., y n L množiny 8,,..., m + n<, kde a jsou rostoucí posloupnosti a UH, L = k, a nechť
7 Nonparametric Tests.nb 7 f MW HkL = MW HkL i j m + n y z k m { - pro k œ80,,..., mn<, f MW HxL = 0 pro x 8,,... mn<, F MW HxL = f MW HkL pro všechna x œ. k x Snadno je vidět, že pro posloupnosti - = m + n + -Hx m,..., x L a - = m + n + -Hy n,..., y L platí rovnost UH -, - L = UH, L. Odtud a z výše uvedeného vztahu mezi UH, L a UH, L vyplývají postupně identity je celá část čísla x. MW HkL = MW Hmn - kl, MW J ÅÅÅÅÅ mn - kn = MW J ÅÅÅÅÅ mn + kn, f MW HkL = f MW Hmn - kl, f MW J ÅÅÅÅÅ mn - kn = f MW J ÅÅÅÅÅ mn + kn, F MW HxL = - F MW Hmn -@xd - L, Dolní a horní kritické hodnoty Mannovy-Whitneyovy statistiky jsou definovány vztahy Z vlastností funkce F MW snadno vyplývá identita k MW, Hm, n, al = k ó F MW HkL a fl F MW Hk + L > a, k MW, Hm, n, al = k + ó F MW HkL - a fl F MW Hk - L < - a. k MW, Hm, n, al = mn - k MW, Hm, n, al. Kritické hodnoty Mannovy-Whitneyovy statistiky jsou definovány pro 0 < a < ê vztahem k MW Hm, n, al = k MW, Hm, n, aêl Poznámka. Kritické hodnoty k MW Hm, n, al se zpravidla označují W a Hm, nl a jsou známy spíše jako kritické hodnoty pro Wilcoxonův test. Stejný název se ale používá i pro kritické hodnoty k W Hm, n, al definované v odstavci 6.5 a značené např. w a Hm, nl, které jsou o mhm + Lê větší Věta. Nechť =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G. Jestliže F = G, potom pro každé reálné x P@UH, L = xd = f MW HxL, P@UH, L xd = F MW HxL, P@UH, L xd a ó x k MW, Hm, n, al, P@UH, L xd a ó x k MW, Hm, n, al, P@min 8UH, L, UH, L< xd a ó x k MW Hm, n, al. 5.7.Mannův-Whitneyův test. Nechť =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G a nechť, jsou jejich realizace. I. H 0 : F = G, H : F π G. Hypotézu H 0 : F = G zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže min 8UH, L, UH, L< = min 8UH, L, mn - UH, L< k MW Hm, n, al. II. Předpokládejme nyní, že F a G mají stejný tvar, tj. že pro některé m a všechna x platí rovnost GHxL = FHx-mL, takže za platnosti hypotézy H 0 : m = m 0 má Y 0 = Y - m 0 stejné rozdělení jako X a 0 = - m 0 je realizace náhodného výběru 0 = - m 0 =HY - m 0,..., Y n - m 0 L z 0. To nám dovoluje testovat H 0 proti každé ze tří možných alternativ. (a) H 0 :m=m 0, H :mπ m 0. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže min 8UH, 0 L, UH 0, L< = min 8UH, 0 L, mn - UH, 0 L< k MW Hm, n, al.
8 8 Nonparametric Tests.nb (b) H 0 :m=m 0, H :m> m 0. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže platí jedna z následujících dvou ekvivalentních nerovností UH, 0 L k MW, Hm, n, al = mn - k MW Hm, n, al, UH 0, L k MW Hm, n, al. (c) H 0 :m=m 0, H :m < m 0. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže platí jedna z následujících dvou ekvivalentních nerovností UH, 0 L k MW, Hm, n, al, UH 0, L k MW, Hm, n, al = mn - k MW Hm, n, al Asymptotická varianta Mannova-Whitneyova testu. Kritické hodnoty Mannovy-Whitneyovy statistiky lze ve většině statistických tabulek najít pro nepříliš velké hodnoty m, n od 4 do přibližně 30. Není-li potřebná kritická hodnota k MW Hm, n, al dostupná, můžeme pro m > 0, n > 0 použít statistiku UH, L - EUH, L UH, L - ÅÅÅÅ R MW = R MW H, L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ mn è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ var UH, L mnhm + n + Lê = UH, L - mn ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ mnhm + n + Lê3, která má pro m Ø, n Ø asymptoticky normované normální rozdělení. Na hladině významnosti blížící se a pak hypotézu H 0 : F = G zamítneme ve prospěch alternativy H : F G, bude-li platit nerovnost»r MW» u -aê, kde u b je jako obvykle b-kvantil normovaného normálního rozdělení, a hypotézu H 0 : m = m 0 zamítneme za předpokladu, že F a G mají stejný tvar, ve prospěch alternativy H : m m 0 resp. H : m > m 0 resp. H : m < m 0, bude-li platit nerovnost» R MW» u -aê resp. R MW u -aê resp. R MW -u -aê Příklad-pokračování příkladů 3.8 a 4.9. Na rozdíl od příkladů 3.8 a 4.9 nyní předpokládejme, že průměrná spotřeba před úmrtími byla zjišťována tak jako v těchto příkladech u 8 vybraných obyvatel, po úmrtích však již tito lidé v městečku nežili resp. nebylo z různých důvodů možné jejich spotřebu alkoholu zjistit, a proto byla zjištěna spotřeba alkoholu u jiných náhodně vybráných obyvatel. Máme tedy realizace, dvou nezávislých náhodných výběrů - z rozdělení spotřeby alkoholu před úmrtími a z rozdělení alkoholu po úmrtích: Osoba Před úmrtími Po úmrtích Hypotézu, že úmrtí spotřebu alkoholu v městečku neovlivnila, můžeme zřejmě interpretovat jako hypotézu H 0 o rovnosti obou rozdělení. Použijeme-li k jejímu ověření Mannův-Whitneyův test, zapíšeme hodnoty HHy j - x i L přehledně do tabulky x i \ y j ê ê a z ní postupně vypočteme UH, L = 9, UH, L = 69, min 8UH, L, UH, L< = 9. Protože k MW H8, 0, 0.05L = 9, náhodné výběry leží v kritickém oboru testu, a proto nulovou hypotézu, tj. že spotřeba alkoholu po úmrtích je mezi obyvateli městečka rozložena stejně jako před úmrtími, na hladině významnosti 0.05 zamítáme. Protože
9 Nonparametric Tests.nb R MW = R MW H, L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 88 µ 0ê = , u =.95996, nulovou hypotézu zamítá i asymptotická varianta Mannova-Whitneyova testu. 6. Wilcoxonův dvouvýběrový test 6.. Tento test, v anglosaské literatuře známý jako Wilcoxon rank-sum test, je zcela rovnocenný Mannovu-Whitneyovu testu, a proto jím lze testovat stejné hypotézy jako Mannovým-Whitneyovým testem. Rovnocennost obou testů je důsledkem jednoduchého vztahu mezi statistikami, na nichž se tyto testy zakládají, a totiž, že Wilcoxonovy statistiky se od Mannových-Whitneyových liší o konstanty závislé pouze na rozsazích náhodných výběrů, z nichž jsou konstruovány. 6.. Wilcoxonova dvouvýběrová statistika. Pro každé dvě posloupnosti =Hx,..., x m L, =Hy,..., y n L reálných čísel položme =Hz,... z m+n L =Hx,..., x m, y,..., y n L, uspořádejme čísla z i do neklesající posloupnosti * =Hz * *,..., z m+n L, definujme tzv. sdružené pořadí r i H, L čísla z i v této posloupnosti jako aritmetický průměr všech indexů j, pro něž z * * i = z j, a položme m SH, L = r i H, L. i= Snadno se ověří, že SH, L závisí pouze na množinách 8x,..., x m <, 8y,..., y n < a SH, L + SH, L = ÅÅÅÅÅ Hm + nl Hm + n + L. Jsou-li =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L náhodné výběry, pak náhodná veličina S = SH, L je tzv. Wilcoxonova dvouvýběrová statistika (Wilcoxon rank-sum statistic). Následující věta uvádí do souvislosti Mannovu-Whitneyovu a Wilcoxonovu dvouvýběrovou statistiku. S její pomocí lze snadno pro každý výrok o Mannově-Whitneyově statistice vyslovit ekvivalentní výrok o Wilcoxonově dvouvýběrové statistice Věta. Pro každé dvě posloupnosti =Hx,..., x m L, =Hy,..., y n L SH, L = mn + ÅÅÅÅÅ mhm + L - UH, L = ÅÅÅÅÅ mhm + L + UH, L Věta. Nechť =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G. Jestliže F = G, potom ES = ÅÅÅÅÅ mhm +n + L, var S = ÅÅÅÅÅÅÅÅ mnhm + n + L Kritické hodnoty pro Wilcoxonův dvouvýběrový test. Pro každé celé číslo k z intervalu XmHm + Lê, mhm + Lê + mn\ nechť WHkL je počet permutací H, L =Hx,..., x m, y,..., y n L množiny 8,,..., m + n<, kde a jsou rostoucí posloupnosti a SH, L = k, a nechť f W HkL = WHkL i j m + n y z k m { - pro k œz ÅÅÅÅÅ mhm + L, ÅÅÅÅÅ f W HxL = 0 pro ostatní x, F W HxL = f W HkL pro všechna x œ. k x mhm + L + mn^, Z vlastností statistik UH, L, SH, L a vztahů mezi nimi snadno vyplývají následující identity
10 0 Nonparametric Tests.nb je celá část čísla x. WHkL = WHmHm + n + L - kl, WHkL = MW Jk - ÅÅÅÅÅ m Hm + LN, WJ m ÅÅÅÅÅ Hm + n + L - kn = WJ ÅÅÅÅÅ m Hm + n + L + kn, mhm + L f W HxL = f MW Jx - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ N, f W HxL = f W HmHm + n + L - xl, f W J ÅÅÅÅÅ m Hm + n + L - xn = f WJ ÅÅÅÅÅ m Hm + n + L + xn, mhm + L F W HxL = F MW Jx - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅN, F W HxL = - F W HmHm + n + L -@xd - L, Dolní a horní kritické hodnoty Wilcoxonových statistik jsou definovány vztahy k W, Hm, n, al = k ó F W HkL a fl F W Hk + L > a, k W, Hm, n, al = k + ó F W HkL - a fl F W Hk - L < - a. Z vlastností funkcí F MW, F W a vztahu mezi nimi snadno vyplývají identity k W, Hm, n, al = k MW, Hm, n, al + ÅÅÅÅÅ m Hm + L, k W, Hm, n, al = k MW, Hm, n, al + ÅÅÅÅÅ m Hm + L, k W,Hm, n, al = mhm + n + L - k W, Hm, n, al. Kritické hodnoty Wilcoxonovy statistiky jsou definovány pro 0 < a < ê vztahem k W Hm, n, al = k W, Hm, n, aêl. V literatuře jsou kritické hodnoty k W Hm, n, al označovány w a Hm, nl i jinak Věta. Nechť =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G. Jestliže F = G, potom pro každé reálné x P@SH, L = xd = f W HxL, P@SH, L xd = F W HxL, P@SH, L xd a ó x k W, Hm, n, al, P@SH, L xd a ó x k W, Hm, n, al, P@min 8SH, L, mhm + n + L - SH, L< xd a ó x k W Hm, n, al. 6.7.Wilcoxonův test. Nechť =HX,..., X m L a =HY,..., Y n L jsou nezávislé náhodné výběry ze základních souborů X a Y se spojitými distribučními funkcemi F resp. G a nechť, jsou jejich realizace. I. H 0 : F = G, H : F π G. Hypotézu H 0 : F = G zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže min 8SH, L, m Hm + n + L - SH, L< k W Hm, n, al. II. Předpokládejme nyní, že F a G mají stejný tvar, tj. že pro některé m a všechna x platí rovnost GHxL = FHx-mL, takže za platnosti hypotézy H 0 : m = m 0 má Y 0 = Y - m 0 stejné rozdělení jako X a 0 = - m 0 je realizace náhodného výběru 0 = - m 0 =HY - m 0,..., Y n - m 0 L z 0. To nám dovoluje testovat H 0 proti každé ze tří možných alternativ. (a) H 0 :m=m 0, H :mπ m 0. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže min 8SH, 0 L, mhm + n + L - SH, 0 L< k W Hm, n, al. (b) H 0 :m=m 0, H :m> m 0. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže
11 Nonparametric Tests.nb SH, 0 L k W, Hm, n, al = k W Hm, n, al (c) H 0 :m=m 0, H :m < m 0. Hypotézu H 0 zamítneme na hladině významnosti a ve prospěch alternativy, jestliže SH, 0 L k W, Hm, n, al = mhm +n + L - k W Hm, n, al Asymptotická varianta Wilcoxonova testu. Kritické hodnoty Wilcoxonovy statistiky lze ve většině statistických tabulek najít pro nepříliš velké hodnoty m, n od 4 do přibližně 30. Není-li potřebná kritická hodnota k W Hm, n, al dostupná, můžeme pro m > 0, n > 0 použít statistiku R W = R W H, L = SH, L - ESH, L SH, L - ÅÅÅÅ mhm + n + L SH, L - mhm + n + L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, var SH, L mnhm + n + Lê mnhm + n + Lê3 která má pro m Ø, n Ø asymptoticky normované normální rozdělení. Protože, jak se snadno ověří, R W = R W H, L = R MW H, L = -R MW H, L, testy, založené na asymptotickém rozdělení statistiky R MW mají zřejmé ekvivalenty založené na statistice R W. Na hladině významnosti blížící se a tedy hypotézu H 0 : F = G zamítneme ve prospěch alternativy H : F G, bude-li platit nerovnost»r W» u -aê, kde u b je jako obvykle b-kvantil normovaného normálního rozdělení, a hypotézu H 0 : m = m 0 zamítneme za předpokladu, že F a G mají stejný tvar, ve prospěch alternativy H : m m 0 resp. H : m > m 0 resp. H : m < m 0, bude-li platit nerovnost»r W» u -aê resp. R W -u -aê resp. R W -u -aê Příklad-pokračování příkladů 3.8, 4.9 a 5.9. Chceme-li místo Mannova-Whitneyova testu použít Wilcoxonův test, zapíšeme přehledně výchozí data, neklesající posloupnost těchto dat * a pořadí výchozích dat v v posloupnosti * do tabulky x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 y y y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8 y 9 y 0 y z i z i * r i , a z ní snadno vypočteme SH, L = 05.0, mhm + n + L - SH, L = = 55. Protože k W H8, L = 55, náhodné výběry leží v kritickém oboru testu a proto nulovou hypotézu, podle níž je spotřeba alkoholu mezi obyvateli městečka rozložena po úmrtích stejně jako před úmrtími, na hladině významnosti 0.05 zamítáme. Protože R W = R W H, L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 88 µ 0ê =.0643, u = nulovou hypotézu zamítá i asymptotická varianta Wilcoxonova testu. 6. Spearmanův korelační koeficient a test nezávislosti 7.. Testování nezávislosti pomocí výběrového korelačního koeficientu náhodných veličin X, Y je vázáno na předpoklad normality rozdělení náhodného vektoru HX, YL. Dost často se však stává, že tento předpoklad je porušen. Někdy ani není možné hodnoty veličin v náhodném výběru HX, Y L,..., HX n, Y n L přesně stanovit a je známo jenom jejich pořadí. Jsou-li si však pořadí veličin X i a veličin Y i hodně podobná, lze nepochybně očekávat, že mezi X a Y existuje jistá závislost. 7.. Definice Spearmanova korelačního koeficientu. Pro každý vektor =Hx,..., x n L seřaďme čísla x,..., x n do neklesající posloupnosti * =Hx *,..., x n * L a pro každé i =,,..., n definujme pořadí r i H L čísla x i v posloupnosti * jako aritmetický průměr všech indexů j, pro něž x i * = x j *.
12 Nonparametric Tests.nb Předpokládejme nyní, že HX, Y L,..., HX n, Y n L je náhodný výběr ze základního souboru HX, YL se spojitým rozdělením a položme =HX,..., X n L, R i = r i H L, R =HR,..., R n L, =HY,..., Y n L, Q i = r i H L, Q =HQ,..., Q n L Spearmanův korelační koeficient je definován jako výběrový korelační koeficient výběrů R a Q formulí n i= R i Q i - n R Q 6 r S = r S H, L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ nhn $%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% n J i= R i - nr n N J i= Q i - n Q - L HR i - Q i L. i= N n kde R = Q =Hn + Lê jsou výběrové průměry výběrů R a Q Věta. Jsou-li veličiny X, Y nezávislé, potom Er S = 0, var r S = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n - a veličina r S è!!!!!!!!!!! n - má asymptoticky normované normální rozdělení Spearmanův test nezávislosti. Hypotézu, že veličiny X a Y jsou nezávislé, zamítneme na hladině významnosti a na základě realizace r S = r S H, L Spearmanova koeficientu, platí-li nerovnost»r S» r S Hn, al, kde r S Hn, al je kritická hodnota Spearmanova korelačního koeficientu, kterou najdeme ve statistických tabulkách. V případě n > 30 lze využít asymptotickou normalitu veličiny r è!!!!!!!!!!! S n - a hypotézu nezávislosti zamítnout, platí.li nerovnost»r S» u * S Hn, al, kde u * S Hn, al = u -aê ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!!!!!!! a u b je jako obvykle b-kvantil normovaného normálního rozdělení. n- Má-li základní soubor HX, YL regulární normální rozdělení s korelačním koeficientem, pak se dá dokázat, že Er S = 6 ÅÅÅÅÅ p n - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n + arcsin ÅÅÅÅÅ + 6 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ phn + L arcsin. S rostoucím n se druhý člen na pravé straně blíží k nule a přitom výběrový korelační koeficient r = rh, L konverguje skoro jistě k. Dostaneme tak přibližnou rovnost ru sinj p ÅÅÅÅÅ 6 r SN. Pokud se v datech, z nichž je koeficient r S počítán, vyskytuje mnoho shod, tj. stejně velkých pozorování, doporučuje se použít korigovaný Spearmanův koeficient. Ten je definován vzorci r S,korig = - 6 n i= HR i - Q i L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å, T n 3 x = ÅÅÅÅÅ - n - T x - T y Ht x 3 - t x L, T y = ÅÅÅÅÅ Ht 3 y - t y L, kde t x resp. t y označuje počty stejně velkých x-ových resp. y-ových hodnot Příklad. Na základě údajů v tabulce Země Spotřeba alkoholu Úmrtnost Země Spotřeba alkoholu Úmrtnost Finsko Belgie Norsko Rakousko Irsko NSR Holandsko Itálie Švédsko Francie Anglie a Wales ,
13 Nonparametric Tests.nb 3 převzatých z publikace J.F. Osborn, Statistical Exercises in Medical Rexearch, Blackwell Scientific Publications, 979, Oxford, rozhodněte na hladině významnosti a = 5 %, zda spotřeba alkoholu a úmrtnost na cirhózu jater a alkoholismus (což je počet zemřelých s touto diagnózou na obyvatel) jsou nezávislé veličiny. Řešení. Pro n = a postupně vypočteme =H3.9, 4., 5.6, 5.7, 6.6, 7., 0.8, 0.9,.3, 5, 7, 4.7L, =H3.6, 4.3, 3.4, 3.7, 7., 3.0,.3, 7.0, 3.7, 3.6, 46.L R =H,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, L, Q =H3, 5,, 4, 7,, 8, 6, 0, 9, <, R - Q =H-, -3,, 0, -, 5, -,, -,, 0L, HR - QL T.HR - QL =H4, 9,, 0, 4, 5,, 4,,, 0L, HR - QL.HR - QL = HR i - Q i L = 50, 6 r S = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ nhn - L i= n n i= HR i - Q i L = 7 ÅÅÅÅÅÅÅÅ U a v tabulkách najdeme kritickou hodnotu r S H, 0.05L = Protože tato kritická hodnota je menší než»r S», hypotézu o nezávislosti spotřeby alkoholu a úmrtnosti na cirhózu jater a alkoholismus na hladině významnosti 5 % zamítáme. Tuto hypotézu bychom zamítli i při použití přibližné kritické hodnoty u S * H, 0.05L, neboť u * S H, 0.05L = u ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!!!! 0 U Anděl Jiří, Statistické metody, 3. vyd., Matfyzpress, Praha, Jaroš František a kolektiv, Pravděpodobnost a statistika, VŠCHT, Praha, Montgomery Douglas C., Runger George C. Applied Statistics and Probability for Engineers, John Wiley & Sons, 003
Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13
Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test
Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu)
Jednovýběrový Wilcoxonův test a jeho asymptotická varianta (neparametrická obdoba jednovýběrového t-testu) Frank Wilcoxon (1892 1965): Americký statistik a chemik Nechť X 1,..., X n je náhodný výběr ze
Rozhodnutí / Skutečnost platí neplatí Nezamítáme správně chyba 2. druhu Zamítáme chyba 1. druhu správně
Testování hypotéz Nechť,, je náhodný výběr z nějakého rozdělení s neznámými parametry. Máme dvě navzájem si odporující hypotézy o parametrech daného rozdělení: Nulová hypotéza parametry (případně jediný
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 1
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrické testy hypotéz čast 1 Neparametrické testy hypotéz - úvod Neparametrické testy statistických hypotéz se používají v případech, kdy neznáme rozdělení pozorované
Korelační a regresní analýza
Korelační a regresní analýza Analýza závislosti v normálním rozdělení Pearsonův (výběrový) korelační koeficient: r = s XY s X s Y, kde s XY = 1 n (x n 1 i=0 i x )(y i y ), s X (s Y ) je výběrová směrodatná
Testování hypotéz. Analýza dat z dotazníkových šetření. Kuranova Pavlina
Testování hypotéz Analýza dat z dotazníkových šetření Kuranova Pavlina Statistická hypotéza Možné cíle výzkumu Srovnání účinnosti různých metod Srovnání výsledků různých skupin Tzn. prokázání rozdílů mezi
Mannův-Whitneyův(Wilcoxonův) test pořadová obdoba dvouvýběrového t-testu. Statistika (MD360P03Z, MD360P03U) ak. rok 2007/2008
Statistika (MD30P03Z, MD30P03U) ak. rok 007/008 Karel Zvára karel.zvara@mff.cuni.cz http://www.karlin.mff.cuni.cz/ zvara (naposledy upraveno. listopadu 007) 1(4) Mann-Whitney párový Wilcoxon párový znaménkový
Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru.
1 Statistické odhady Určujeme neznámé hodnoty parametru základního souboru. Pomocí výběrové charakteristiky vypočtené z náhodného výběru. Odhad lze provést jako: Bodový odhad o Jedna číselná hodnota Intervalový
Neparametrické metody
Neparametrické metody Dosud jsme se zabývali statistickými metodami, které zahrnovaly předpoklady o rozdělení dat. Zpravidla jsme předpokládali normální rozdělení. Např. Grubbsův test odlehlých hodnot
Opakování. Neparametrické testy. Pořadí. Jednovýběrový Wilcoxonův test. t-testy: hypotézy o populačním průměru (střední hodnoty) předpoklad normality
Opakování Opakování: Testy o střední hodnotě normálního rozdělení 1 jednovýběrový t-test 2 párový t-test 3 dvouvýběrový t-test jednovýběrový Wilcoxonův test párový Wilcoxonův test dvouvýběrový Wilcoxonův
2 ) 4, Φ 1 (1 0,005)
Příklad 1 Ze zásilky velkého rozsahu byl náhodně vybrán soubor obsahující 1000 kusů. V tomto souboru bylo zjištěno 26 kusů nekvalitních. Rozhodněte, zda je možné s 99% jistotou tvrdit, že zásilka obsahuje
VYBRANÉ DVOUVÝBĚROVÉ TESTY. Martina Litschmannová
VYBRANÉ DVOUVÝBĚROVÉ TESTY Martina Litschmannová Obsah přednášky Vybrané dvouvýběrové testy par. hypotéz test o shodě rozptylů (F-test), testy o shodě středních hodnot (t-test, Aspinové-Welchův test),
Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK
Jana Vránová, 3. lékařská fakulta UK Vznikají při zkoumání vztahů kvalitativních resp. diskrétních znaků Jedná se o analogii s korelační analýzou spojitých znaků Přitom předpokládáme, že každý prvek populace
Testování statistických hypotéz
Testování statistických hypotéz Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem základního souboru (který přesně neznáme, k němuž se ale daná statistická hypotéza váže), potřebujeme ověřit,
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
Ing. Michael Rost, Ph.D.
Úvod do testování hypotéz, jednovýběrový t-test Ing. Michael Rost, Ph.D. Testovaná hypotéza Pokud nás zajímá zda platí, či neplatí tvrzení o určitém parametru, např. o parametru Θ, pak takovéto tvrzení
Testování hypotéz testy o tvaru rozdělení. Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistickou hypotézou se rozumí určité tvrzení o parametrech rozdělení zkoumané náhodné veličiny (µ, σ 2, π,
Testování hypotéz o parametrech regresního modelu
Statistika II Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Lineární regresní model kde Y = Xβ + e, y 1 e 1 β y 2 Y =., e = e 2 x 11 x 1 1k., X =....... β 2,
Testování hypotéz o parametrech regresního modelu
Testování hypotéz o parametrech regresního modelu Ekonometrie Jiří Neubauer Katedra kvantitativních metod FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Jiří Neubauer (Katedra UO
5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza
5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně
15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky)
STATISTIKA A INFORMATIKA - bc studium OZW, 1.roč. (zkušební otázky) 1) Význam a využití statistiky v biologických vědách a veterinárním lékařství ) Rozdělení znaků (veličin) ve statistice 3) Základní a
676 + 4 + 100 + 196 + 0 + 484 + 196 + 324 + 64 + 324 = = 2368
Příklad 1 Je třeba prověřit, zda lze na 5% hladině významnosti pokládat za prokázanou hypotézu, že střední doba výroby výlisku je 30 sekund. Přitom 10 náhodně vybraných výlisků bylo vyráběno celkem 540
Normální (Gaussovo) rozdělení
Normální (Gaussovo) rozdělení Normální (Gaussovo) rozdělení popisuje vlastnosti náhodné spojité veličiny, která vzniká složením různých náhodných vlivů, které jsou navzájem nezávislé, kterých je velký
Jednostranné intervaly spolehlivosti
Jednostranné intervaly spolehlivosti hledáme jen jednu z obou mezí Princip: dle zadání úlohy hledáme jen dolní či jen horní mez podle oboustranného vzorce s tou změnou, že výraz 1-α/2 ve vzorci nahradíme
Testy statistických hypotéz
Testy statistických hypotéz Statistická hypotéza je jakýkoliv předpoklad o rozdělení pravděpodobnosti jedné nebo několika náhodných veličin. Na základě náhodného výběru, který je reprezentativním vzorkem
RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.
Analýza dat pro Neurovědy RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr. Jaro 2014 Institut biostatistiky Janoušová, a analýz Dušek: Analýza dat pro neurovědy Blok 3 Jak a kdy použít parametrické a
Náhodné veličiny jsou nekorelované, neexistuje mezi nimi korelační vztah. Když jsou X; Y nekorelované, nemusí být nezávislé.
1. Korelační analýza V životě většinou nesledujeme pouze jeden statistický znak. Sledujeme více statistických znaků zároveň. Kromě vlastností statistických znaků nás zajímá také jejich těsnost (velikost,
Testování hypotéz. 4. přednáška 6. 3. 2010
Testování hypotéz 4. přednáška 6. 3. 2010 Základní pojmy Statistická hypotéza Je tvrzení o vlastnostech základního souboru, o jehož pravdivosti se chceme přesvědčit. Předem nevíme, zda je pravdivé nebo
You created this PDF from an application that is not licensed to print to novapdf printer (http://www.novapdf.com)
Testování statistických hypotéz Testování statistických hypotéz Princip: Ověřování určitého předpokladu zjišťujeme, zda zkoumaný výběr pochází ze základního souboru, který má určité rozdělení zjišťujeme,
UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.
UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace
Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace
Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje
Testování hypotéz. 1. vymezení základních pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test
Testování hypotéz 1. vymezení základních pojmů 2. testování hypotéz o rozdílu průměrů 3. jednovýběrový t-test Testování hypotéz proces, kterým rozhodujeme, zda přijmeme nebo zamítneme nulovou hypotézu
Neparametrické testy
Neparametrické testy Dosud jsme se zabývali statistickými metodami, které zahrnovaly předpoklady o rozdělení dat. Zpravidla jsme předpokládali normální (Gaussovo) rozdělení. Například: Grubbsův test odlehlých
Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1
Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. 1 Úvodní poznámky Statistickou hypotézou rozumíme hypotézu o populaci (základním souboru) např.: Střední hodnota základního souboru je rovna 100.
Intervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace
Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje
Normální (Gaussovo) rozdělení
Normální (Gaussovo) rozdělení f x = 1 2 exp x 2 2 2 f(x) je funkce hustoty pravděpodobnosti, symetrická vůči poloze maxima x = μ μ střední hodnota σ směrodatná odchylka (tzv. pološířka křivky mezi inflexními
letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 Opakování t- vs. neparametrické Wilcoxonův jednovýběrový test Opakování
Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Statistické metody v ekonomii Ing. Michael Rost, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Proč neparametrické testy? Pokud provádíte formální analýzu či testování hypotéz (zejména provádíte-li
Mann-Whitney U-test. Znaménkový test. Vytvořil Institut biostatistiky a analýz, Masarykova univerzita J. Jarkovský, L. Dušek
10. Neparametrické y Mann-Whitney U- Wilcoxonův Znaménkový Shrnutí statistických ů Typ srovnání Nulová hypotéza Parametrický Neparametrický 1 skupina dat vs. etalon Střední hodnota je rovna hodnotě etalonu.
Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci
Zpracování dat v edukačních vědách - Testování hypotéz Kamila Fačevicová Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky, Přírodovědecká fakulta, UP v Olomouci Obsah seminářů 5.11. Úvod do matematické
KORELACE. Komentované řešení pomocí programu Statistica
KORELACE Komentované řešení pomocí programu Statistica Vstupní data I Data umístěná v excelovském souboru překopírujeme do tabulky ve Statistice a pojmenujeme proměnné, viz prezentace k tématu Popisná
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická
I. D i s k r é t n í r o z d ě l e n í
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz.
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2015/2016 Tutoriál č. 5: Bodové a intervalové odhady, testování hypotéz Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Výběrová rozdělení
15. T e s t o v á n í h y p o t é z
15. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
p(x) = P (X = x), x R,
6. T y p y r o z d ě l e n í Poznámka: V odst. 5.5-5.10 jsme uvedli příklady náhodných veličin a jejich distribučních funkcí. Poznali jsme, že se od sebe liší svým typem. V příkladech 5.5, 5.6 a 5.8 jsme
Testování statistických hypotéz
Testování statistických hypotéz 1 Testování statistických hypotéz 1 Statistická hypotéza a její test V praxi jsme nuceni rozhodnout, zda nějaké tvrzeni o parametrech náhodných veličin nebo o veličině samotné
Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech
Cvičení 9: Neparametrické úlohy o mediánech Úkol 1.: Párový znaménkový test a párový Wilcoxonův test Při zjišťování kvality jedné složky půdy se používají dvě metody označené A a B. Výsledky: Vzorek 1
Vybraná rozdělení náhodné veličiny
3.3 Vybraná rozdělení náhodné veličiny 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Rozdělení Z 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Život je umění vytvářet uspokojivé závěry na základě nedostatečných předpokladů.
z Matematické statistiky 1 1 Konvergence posloupnosti náhodných veličin
Příklady k procvičení z Matematické statistiky Poslední úprava. listopadu 207. Konvergence posloupnosti náhodných veličin. Necht X, X 2... jsou nezávislé veličiny s rovnoměrným rozdělením na [0, ]. Definujme
Stručný úvod do testování statistických hypotéz
Stručný úvod do testování statistických hypotéz 1. Formulujeme hypotézu (předpokládáme, že pozorovaný jev je pouze náhodný). 2. Zvolíme hladinu významnosti testu a, tj. riziko, s nímž jsme ochotni se smířit.
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Testování hypotéz Nechť X je náhodná proměnná, která má distribuční funkci F(x, ϑ). Předpokládejme, že známe tvar distribuční funkce (víme jaké má rozdělení) a neznáme parametr
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
Příklad 1. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 11
Příklad 1 Vyhláška Ministerstva zdravotnictví předpokládala, že doba dojezdu k pacientovi od nahlášení požadavku nepřekročí 17 minut. Hodnoty deseti náhodně vybraných dob příjezdu sanitky k nemocnému byly:
1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Testy hypotéz na základě více než 2 výběrů 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Testy hypotéz na základě více než 2 výběrů Na analýzu rozptylu lze pohlížet v podstatě
Základy biostatistiky II. Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II
Základy biostatistiky II Veřejné zdravotnictví 3.LF UK - II Teoretické rozložení-matematické modely rozložení Naměřená data Výběrové rozložení Teoretické rozložení 1 e 2 x 2 Teoretické rozložení-matematické
STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI
STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená
NEPARAMETRICKÉ TESTY
NEPARAMETRICKÉ TESTY Neparametrický jednovýběrový Jeden výběr jehož medián srovnáváme s nějakou hodnotou Wilcoxonův jednovýběrový test 1) Máme data z družice Hipparcos pro deklinaci (obdoba zeměpisné šířky)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 4. až 5.4 hod. http://www.osu.cz/~tvrdik
Testování hypotéz. 1 Jednovýběrové testy. 90/2 odhad času
Testování hypotéz 1 Jednovýběrové testy 90/ odhad času V podmínkách naprostého odloučení má voák prokázat schopnost orientace v čase. Úkolem voáka e provést odhad časového intervalu 1 hodiny bez hodinek
12. cvičení z PST. 20. prosince 2017
1 cvičení z PST 0 prosince 017 11 test rozptylu normálního rozdělení Do laboratoře bylo odesláno n = 5 stejných vzorků krve ke stanovení obsahu alkoholu X v promilích alkoholu Výsledkem byla realizace
Statistické metody v ekonomii. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Statistické metody v ekonomii Ing. Michael Rost, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Test χ 2 v kontingenční tabulce typu 2 2 Jde vlastně o speciální případ χ 2 testu pro čtyřpolní tabulku.
Téma 22. Ondřej Nývlt
Téma 22 Ondřej Nývlt nyvlto1@fel.cvut.cz Náhodná veličina a náhodný vektor. Distribuční funkce, hustota a pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny. Sdružené
Statistické testování hypotéz II
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 9 Statistické testování hypotéz II Přehled testů, rozdíly průměrů, velikost účinku, síla testu Základní výzkumné otázky/hypotézy 1. Stanovení
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava. Fakulta elektrotechniky a informatiky
Vysoká škola báňská technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Bankovní účty (semestrální projekt statistika) Tomáš Hejret (hej124) 18.5.2013 Úvod Cílem tohoto projektu, zadaného
Porovnání dvou výběrů
Porovnání dvou výběrů Menu: QCExpert Porovnání dvou výběrů Tento modul je určen pro podrobnou analýzu dvou datových souborů (výběrů). Modul poskytuje dva postupy analýzy: porovnání dvou nezávislých výběrů
Statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2014/2015 Tutoriál č. 6: ANOVA Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Obsah: Testování hypotéz opakování ANOVA Testování hypotéz (opakování) Testování
Testování hypotéz. testujeme (většinou) tvrzení o parametru populace. tvrzení je nutno předem zformulovat
Testování hypotéz testujeme (většinou) tvrzení o parametru populace tvrzení je nutno předem zformulovat najít odpovídající test, podle kterého se na základě informace z výběrového souboru rozhodneme, zda
5. T e s t o v á n í h y p o t é z
5. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Rozeznáváme dva základní typy testů:
Charakteristika datového souboru
Zápočtová práce z předmětu Statistika Vypracoval: 10. 11. 2014 Charakteristika datového souboru Zadání: Při kontrole dodržování hygienických norem v kuchyni se prováděl odběr vzduchu a pomocí filtru Pallflex
DVOUVÝBĚROVÉ A PÁROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica
DVOUVÝBĚROVÉ A PÁROVÉ TESTY Komentované řešení pomocí programu Statistica Úloha A) koncentrace glukózy v krvi V této části posoudíme pomocí párového testu, zda nový lék prokazatelně snižuje koncentraci
Statistika. Testování hypotéz statistická indukce Neparametrické testy. Roman Biskup
Statistika Testování hypotéz statistická indukce Neparametrické testy Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika by
4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7
4ST201 STATISTIKA CVIČENÍ Č. 7 testování hypotéz parametrické testy test hypotézy o střední hodnotě test hypotézy o relativní četnosti test o shodě středních hodnot testování hypotéz v MS Excel neparametrické
10. cvičení z PST. 5. prosince T = (n 1) S2 X. (n 1) s2 x σ 2 q χ 2 (n 1) (1 α 2 ). q χ 2 (n 1) 2. 2 x. (n 1) s. x = 1 6. x i = 457.
0 cvičení z PST 5 prosince 208 0 (intervalový odhad pro rozptyl) Soubor (70, 84, 89, 70, 74, 70) je náhodným výběrem z normálního rozdělení N(µ, σ 2 ) Určete oboustranný symetrický 95% interval spolehlivosti
Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 8. KAPITOLA STATISTICKÉ TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ 22.11.2016 Opakování: CLV příklad 1 Zadání: Před volbami je v populaci státu 52 % příznivců
Tomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
Korelace. Komentované řešení pomocí MS Excel
Korelace Komentované řešení pomocí MS Excel Vstupní data Tabulka se vstupními daty je umístěna v oblasti A2:B84 (viz. obrázek) Prvotní představu o tvaru a síle závislosti docházky a počtu bodů nám poskytne
STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI
STATISTICKÉ TESTY VÝZNAMNOSTI jsou statistické postupy, pomocí nichž ověřujeme, zda mezi proměnnými existuje vztah (závislost, rozdíl). Pokud je výsledek šetření statisticky významný (signifikantní), znamená
Matematická statistika. Testy v. v binomickém. Test pravděpodobnosti. Test homogenity dvou. Neparametrické testy. statistika. Testy v.
Opakování Opakování: y o střední hodnotě normálního 1 jednovýběrový t-test 2 párový t-test 3 výběrový t-test Šárka Hudecová Katedra a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy
12. prosince n pro n = n = 30 = S X
11 cvičení z PSI 1 prosince 018 111 test střední hodnoty normálního rozdělení při známém rozptylu Teploměrem o jehož chybě předpokládáme že má normální rozdělení se směrodatnou odchylkou σ = 3 jsme provedli
Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která
Statistika. Testování hypotéz statistická indukce Úvod do problému. Roman Biskup
Statistika Testování hypotéz statistická indukce Úvod do problému Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 21. února 2012 Statistika by Birom
letní semestr 2012 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika t-test
Párový Šárka Hudecová Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 motivační příklad Párový Příklad (Platová diskriminace) firma
Průzkumová analýza dat
Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se
RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr.
Analýza dat pro Neurovědy RNDr. Eva Janoušová doc. RNDr. Ladislav Dušek, Dr. Jaro 2014 Institut biostatistiky Janoušová, a analýz Dušek: Analýza dat pro neurovědy Blok 4 Jak a kdy použít parametrické a
Zápočtová práce STATISTIKA I
Zápočtová práce STATISTIKA I Obsah: - úvodní stránka - charakteristika dat (původ dat, důvod zpracování,...) - výpis naměřených hodnot (v tabulce) - zpracování dat (buď bodové nebo intervalové, podle charakteru
Test M1-ZS06-1 M1-ZS06-1/1 M NB 1. Příklad 1 Vyšetřete spojitost funkce. arccotg ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ, x ŒH-, 1L, x ŒH1, L ÄÄÄÄÄÄÄÄ. v bodě x = 1. Řešení.
M-06-NB Test M-ZS06- M-ZS06-/ Vyšetřete spojitost funkce v bodě = 0 lo - arccotg ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ, ŒH-, L, - fhl = pê0, =, o n lnhl sin ÄÄÄÄÄÄÄÄ ln ŒH, L Daná funkce je definovaná v okolí bodu, dokonce na celé
1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností,
KMA/SZZS1 Matematika 1. Číselné posloupnosti - Definice posloupnosti, základní vlastnosti, operace s posloupnostmi, limita posloupnosti, vlastnosti limit posloupností, operace s limitami. 2. Limita funkce
Náhodný vektor a jeho charakteristiky
Náhodný vektor a jeho číselné charakteristiky 1 Náhodný vektor a jeho charakteristiky V následující kapitole budeme věnovat pozornost pouze dvourozměřnému náhodnému vektoru, i když uvedené pojmy a jejich
KGG/STG Statistika pro geografy
KGG/STG Statistika pro geografy 7. Testování statistických hypotéz Mgr. David Fiedor 30. března 2015 Osnova 1 2 3 Dělení testů parametrické - o parametrech rozdělení základního souboru (průměr, rozptyl,
Regresní a korelační analýza
Regresní a korelační analýza Mějme dvojici proměnných, které spolu nějak souvisí. x je nezávisle (vysvětlující) proměnná y je závisle (vysvětlovaná) proměnná Chceme zjistit funkční závislost y = f(x).
Tomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
Výběrové charakteristiky a jejich rozdělení
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Statistické šetření úplné (vyčerpávající) neúplné (výběrové) U výběrového šetření se snažíme o to, aby výběrový
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
ANOVA. Semestrální práce UNIVERZITA PARDUBICE. Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie
UNIVERZITA PARDUBICE Fakulta chemicko-technologická Katedra analytické chemie ANOVA Semestrální práce Licenční studium Galileo Interaktivní statistická analýza dat Brno 2015 Ing. Petra Hlaváčková, Ph.D.