M1-Seminar-ZS06.nb 1. x + 4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x - 3 ó x œi k. ~ 2 a, b = ÅÅÅÅÅÅÅÅ. -b è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! b 2-4 a c

Transkript

1 M-Semnar-ZS06.nb. Opakování Intervaly a nerovnost.. Vyjádřete jako ntervaly nebo sjednocení ntervalů množny HaL 8x :» x + 4» < <, HbL 8x :» x -» <, HcL 9x : ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ < =.» x -».. Pomocí nerovností popšte množny HaL X-, 7\, HbLH-, L H, L... Řešte nerovnost HaL x - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x + x - ó x œh-, -L, HbL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x + 4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x + x - ó x œ k j-4, ÅÅÅ Å_ H, L, HcL»x-» <» x -» ó x œh- L H4, L, HdL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x - x - <»x+» ó x œ k j-, ÅÅÅ Å I- -!!! 7M y z H, L, { HeL»x+4»-» x +» x ó x œx, L. Doplňování na úplný čtverec a řešení kvadratcké rovnce.4. Doplnt na úplný čtverec kvadratcký trojčlen a x + b x + c znamená vyjádřt jej ve tvaru ahx + al + b. Porovnáním koefcentů dostaneme c = a a + b o } b = a a o ï a = ÅÅÅÅÅÅÅÅ b ~ a, b = ÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 a I4 a c - b M... Rovnce a x + b x + c = 0 je tedy postupně ekvvalentní rovncím a proto a jx + k ÅÅÅÅÅÅÅÅ b y z a{ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 a Ib - 4 a cm, jx + b y ÅÅÅÅÅÅÅÅz k a{ x + ÅÅÅÅÅÅÅÅ b!!!!!!!!!!!!!!!!! a = b - 4 a c ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, a -b!!!!!!!!!!!!!!!!! b - 4 a c x = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ. a = b - 4 a c ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, 4 a.6. Doplňte na úplný čtverec HaL x + 6 x + =Hx + L +, HbL x - 6 x - 0 =Hx - L - 9, HcL x + x + 7 =Hx + ÅÅÅÅ L + ÅÅÅÅ, HdL 4 x - 7 x + 8 = Hx - ÅÅÅÅ 7 HeL - x + x - = - k jx - ÅÅÅ y Åz 4{ - 6 ÅÅÅÅÅÅ Å 8. 6 L + ÅÅÅÅÅÅÅ 47,

2 M-Semnar-ZS06.nb.7. Řešte nerovnost HaL x + x + 7 x + 6 ó x œh-, -\ X-, L HbL - 4 < x - x - 6 ó x œy ÅÅÅÅ I - M, -M I, ÅÅÅÅ x - x+ HcL ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x +4 x+ < - x ó x œi-, ÅÅÅÅ I- -!!! MM I-, ÅÅÅÅ HdL!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! x + x - <»x+» ó x œh-, -\ X, L I + M], I- +!!! MM, Raconální a raconální čísla.8. Dokažte raconaltu čísel HaL 7, HbL log 0.9. Vyjádřete jako podíl nesoudělných přrozených čísel perodcké desetnná čísla HaL 0. = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 00 - = ÅÅÅ Å 9, HbL 0. 4 = 4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 Å 9999 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 9 Å, HcL.7 47 = + 7 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 000 = + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 7 Å ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 000 H000 - L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 6607 ÅÅÅÅÅÅ Å Gonometrcké funkce.0. Základní vlastnost sn ÅÅÅ p Å 6 = cos ÅÅÅ p Å = ÅÅÅ Å, sn ÅÅÅ p Å = cos ÅÅÅ p Å sn p ÅÅÅ Å 6 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, sn ÅÅÅ p Å 4 = cos ÅÅÅ p Å snhn pl = 0, coshn pl =H-L n, snha + n pl =H-L n sn a, cosha + n pl =H-L n cos a, =, cos p ÅÅÅ Å 4 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, = 0, snja ÅÅÅ p Å N = cos a, cosja ÅÅÅ p ÅN = sn a, sn a + cos a =, snha bl = sn a cos b cos a sn b, cosha bl = cos a cos b sn a sn b, sn a cos b = snha + bl + snha - bl, cos a cos b = cosha + bl + cosha - bl, sn a sn b = cosha - bl - cosha + bl, tg a = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ sn a, pokud cos a 0, cos a + tg a = cos a cotg a = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, pokud sn a 0, sn a ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Å cos a, + cotg a = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ sn a... Vypočtěte HaL sn ÅÅÅÅÅÅÅÅ 8 p = -sn j ÅÅÅÅÅÅÅÅ 8 p k - py z = -snj- ÅÅÅ p Å { N = sn ÅÅÅ p Å = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ,

3 M-Semnar-ZS06.nb HbL cos ÅÅÅÅÅÅÅÅ 7 p = cosj ÅÅÅ p Å + ÅÅÅÅÅÅ p Å N = -sn p ÅÅÅÅÅÅ Å = -$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% - cos ÅÅÅÅ p 6 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = - ÅÅÅ Å.. Vyjádřete jako lneární kombnac snů a kosnů vhodných argumentů HaL snh x + L cosh - 4 xl = ÅÅÅ Å@snH6 x - L - snh x - 4LD, HbL sn 4 x + cos 4 x =Isn x + cos xm - sn x cos x = = - ÅÅÅ Å sn x = - ÅÅÅ Å 4.. Najděte všechna řešení (ne)rovnc HaL cos x - sn x = - ÅÅÅ Å 4 HbL sn x + cos x = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ cos x ó ó HcL sn x + cos x ó x œ Ê H - cos 4xL = ÅÅÅ Å 4 + ÅÅÅ Å cos 4x. 4 "################# -. x œ: ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k p + n p : k = f, n œ >, 6 x œ: ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k p + n p : k = 0f, n œ >, 4 Z ÅÅÅ p Å + n p, Hn + L p^ nœ Mocnny a logartmy.4. Mocnny - defnce a vlastnost.. Logartmy - defnce a vlastnost x 0 =, x n = x n- x pro přrozené n > 0, x -n = ÅÅÅÅÅ pro x 0 a přrozené n > 0, x n n x = y ó n přrozené fl x y 0 fl y n = x, x pêq =!! q x p pro x > 0, p celé, q přrozené, x u x v = x u+v x u, ÅÅÅÅÅÅÅ x = v xu-v, Hx u L v = x u v pro x > 0, u, v œ, Hx yl u = x u y u pro x, y > 0, u œ. log a x = y ó 0 < a fl x > 0flx = a y, log a Hx yl = log a x + log a y pro 0 < a Ï x, y > 0, log x a ÅÅÅ Å y = log a x - log a y pro 0 < a Ï x, y > 0, log a Hx y L = y log a x pro 0 < a Ï x, y > 0, log b x = log a ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x pro 0 < a, b fl x > 0. log a b

4 4 M-Semnar-ZS06.nb.6. Řešte rovnce HaL x-6 log = - x log 7 ó x = 4, HbL x- + x- + x- = 448 ó x = 9, HcL -x - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 6 = -x ó x = - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ log, HdL loghx - L = logh4 - xl ó x =, + x log HeL log x - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ó x = log x 0- Í x = 0, HfL x log x = 00 x ó x = 00f x = ÅÅÅÅÅÅ HgL loghx + L - loghx - L = - log ó x = 7, HhL x log x - 8 x -log x = ó x = 0!!!!!!!!! log 4. 0,. Množny reálných čísel, funkce, posloupnost.. Určete supremum, nfmum, maxmum a mnmum množny M HaL M =H-, L X, \ : nf M = -, sup M = max M =, HbL M =Y0, ] : nf M = mn M = 0, sup M =!, HcL M =[0, ÅÅÅ Å _ 8-n : n œ < : nf M = mn M = 0, sup M = max M = ÅÅÅ Å 4,.. Určete defnční obor funkce HdL M =9 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n ÅÅÅÅÅ : n œ = : nf M = ÅÅÅ Å, sup M = max M = ÅÅÅ Å n +, HeL M =9H-L n n - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ : n =,,,...= : nf M = -, sup M =, n + HfL M =8x :» x +»x-»» < : nf M = -, sup M = max M =. HaL fhxl =!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!» x»h - xl -» x -» : DHfL =H-, -\ 8<, HbL fhxl = "###################### + x - x -!!!!!!! x - : DHfL =X-, \, x HcL fhxl = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ : DHfL =H-, L H, L. x - x +.. Určete defnční obor funkce HaL fhxl = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 9 - x + lnix - xm : DHfL =H-, 0L H, L H, L, HbL fhxl = lniln - lnix - x + 8MM + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ : DHfL =H, L, x + 4 x + HcL fhxl = logi - logix + 4 x + MM : DHfL =H-, -L, HdL fhxl = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ lnh + x - ÅÅÅÅ x L : DHfL =I -, + M -80, <..4. Určete defnční obor funkce» x -» HaL fhxl = ln ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 - x +!!!!!!!!!! ln tg x : DHfL =J-, - ÅÅÅ p Å N J ÅÅÅ p Å 4, N J, ÅÅÅ p Å N, HbL fhxl =$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% logh4 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x + ÅÅÅÅÅÅ L x + x - 6 : DHfL = k j-, - ÅÅÅ Å 4 _ k j- ÅÅÅ 6 Å, 0_ H, L,

5 M-Semnar-ZS06.nb HcL fhxl = "############################# 4 +Hln sn xl : DHfL = ÊH n p, n p + pl... Určete obor hodnot funkce a nverzní funkc HaL fhxl = + ÅÅÅÅÅÅÅ : HHfL =H, L, x f nœ - neexstuje, HbL fhxl = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 6 x + x - 6 : HHfL =H-, L H, L, f - HxL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 6 x + x - 6, HcL fhxl = "############## x +, x 0 : HHfL =X, L, f - HxL = "############## x -, x, HdL fhxl = 0 x+ : HHfL =H0, L, f - HxL = log 0 x - = log 0.6. Určete složenou funkc gëf resp. hëgëf, tj. vyjádřete u jako funkc x HaL u = hhzl = "############## + z, z = ghyl = ln y, y = fhxl = sn x ï ï u =HhëgëfL HxL = "############################# +Hln sn xl, x ÅÅÅÅÅÅ Å 0. HbL u = hhzl = "############## - z, z = ghyl = cos y, y = fhxl = + x ï ï u =HhëgëfL HxL = "################################# - cos H + xl =» snh + ul», HcL u = ghyl = yi - y M, y = fhxl = sgn x ï u =HgëfL HxL = 0, 0, x œ8-, <, lo HdL u = ghyl = sgn y, y = fhxl = xi - x M ï u =HgëfL HxL = m sgn x, - < x <, o n -sgn x,» x» >..7. Zjstěte, která z funkcí je sudá a která lchá HaL fhxl = a x + a -x, a > 0 : sudá, HbL fhxl = ax - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a x +, a > 0 : lchá, HcL fhxl = lnix +!!!!!!!!!! + x M : lchá, HdL fhxl = sn x - cos x : an sudá, an lchá. Cyklometrcké funkce.8. Defnce a vlastnost arcsn x = y ó x œx-, \fl y œz- ÅÅÅ p Å, ÅÅÅ p Å x = sn y, ^fl tj. arcsn je nverzní k funkc sn na ntervaluz- ÅÅÅ p Å, ÅÅÅ ^, p Å arccos x = y ó x œx-, \fly œx0, p\flx = cos y, tj. arccos je nverzní k funkc cos na ntervalu X0, p\,

6 6 M-Semnar-ZS06.nb arcsn ÅÅÅ Å = ÅÅÅ p Å 6 = arccos arctg x = y ó y œj- ÅÅÅ p Å, ÅÅÅ p ÅNflx = tg y, tj. arctg je nverzní k funkc tg na ntervaluj- ÅÅÅ p Å, ÅÅÅ p Å N, arccotg = y ó y œh0, plfl x = cotg y, tj. arccotg je nverzní k funkc cotg na ntervalu H0, pl, funkce arcsn, arctg jsou rostoucí a lché, funkce arccos, arccotg jsou klesající, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, arcsn ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅ p Å = arccos ÅÅÅ Å arcsn x + arccos x = p ÅÅÅ Å,, arcsn ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅ p Å 4 = arccos arctg = ÅÅÅ p Å = arccotg ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, arctg ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅ p Å = arccotg, arctg = ÅÅÅ p Å = arccotg, 6 4 arctg x + arccotg x = ÅÅÅ p Å..9. Určete defnční obor funkce HbL fhxl = arccosh - 4 xl - HaL fhxl = arcsnh + x L : DHfL = «, x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x - : DHfL =[ ÅÅÅ Å 4, ln y z { k HcL fhxl =$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% arccos ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x + x - : DHfL = k j-, - ÅÅÅ y Åz. { jln, ÅÅÅ Å 4 _, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, Hyperbolcké a hyperbolometrcké funkce.0. Hyperbolcké funkce snh x = ÅÅÅ Å H x - -x L, cosh x = ÅÅÅ Å H x + -x L, tgh x = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ snh x cosh x = x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - cosh x ÅÅÅÅÅÅ, cotgh x = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x + snh x = x + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x - pro x 0... Hyperbolometrcké funkce argsnh x = y ó x = snh y, tj. argsnh je nverzní k funkc snh, argcosh x = y ó x fly 0flx = cosh y, argcosh je nverzní k funkc cosh, argtg x = y ó x = tgh y, tj. argtgh je nverzní k funkc tgh, argcoth x = y ó» x» > fly 0fl x = cotgh y, tj. argcotgh je nverzní k funkc cotgh... Dokažte, že HaL argsnh x = lnix +!!!!!!!!!! x + M, HcL argtg x = ÅÅÅÅ +x ln ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -x HbL argcosh x = lnix +!!!!!!!!!! x - M, x,,» x» <, HdL argcotg x = ÅÅÅÅ x+ ln ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ,» x» >. x-

7 M-Semnar-ZS06.nb 7 Posloupnost.. Součet prvních n členů artmetcké posloupnost HaL n= a + a a n = ÅÅÅ Å nha + a n L..4. Součet prvních n členů geometrcké posloupnost HaL n= s kvocentem q π s n = a + a a n = a + a q a q n-, q s n = a q + a q a q n, q s n - s n = a q n - a, s n = a qn - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ q -... Vyšetřete omezenost a monoton posoupností n HaL J ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n + N : omezená shora číslem, rostoucí, n= HbL j n + y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅz : omezená shora. členem, klesající, k 4 n + { n= HcL j kk j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n + n y y z z : omezená shora číslem, rostoucí n { { n= HdL j kk j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n + y z n { n+ y z { n= : omezená shora. členem, klesající.. Lmty posloupností a funkcí Konvence: pokud není řečeno něco jného, symbol lm næ znamená lmtu posloupnost, zatímco lm xæ znamená lmtu funkce.. Základní lmty I Posloupnost Funkce lm a n = pro a > lm xø a x =, lm xø- a x = 0 pro a > lm a n = 0 pro a < lm xø a x = 0, lm xø- a x = pro a < n lm a = lm a ên = pro a > 0 lm xø a êx = lm xø- a êx = pro a > 0 lm n n =, lm!! n n! =

8 8 M-Semnar-ZS06.nb Posloupnost Funkce lm n a = pro a > 0 lm xø x a = pro a > 0 lm n a = 0 pro a < 0 lm xø x a = 0 pro a < 0 lm lm lna n ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n a ÅÅÅÅÅÅÅÅ b n = 0 pro b > 0 lm xø x a ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ b x = 0 pro b > 0 n b = 0 pro b > 0 lm lna x xø ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x b = 0 pro b > 0 Posloupnost Funkce lm H + ÅÅÅÅ n Ln = lm xø H + ÅÅÅÅ x Lx = lm xø- H + ÅÅÅÅ x Lx = lm H + a ÅÅÅÅ n Ln = a lm xø H + ÅÅÅÅ a x Lx = lm xø- H + ÅÅÅÅ a x Lx = a.. Vypočtěte lmty posloupností a funkcí HaL lm I n - n + 4 n - M = lm xø I x - x + 4 x - M = +, HbL lm xø- I x - x + 4 x - M = -, n - HcL lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n - n + 4 = lm x - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xø x - x + 4 = lm Hn + L +Hn - L HdL lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H n + L -Hn + L = lm xø xø- x - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x - x + 4 = ÅÅÅ Å, Hx + L +Hx - L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H x + L -Hx + L = ÅÅÅ Å 8, H n + 4 n + L H n - n + L H x + 4 x + L H x - x + L HeL lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ H - nl H n n + L xø H - xl H x x + L HhL lm n + 7 n HfL lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n - 4 n = lm HgL lm xø 7 n 4 + n ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n - 4 n + = lm xø x + 7 x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x - 4 x = 0, 7 x 4 + x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x - 4 x + = +, 7 n + n ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + 4 n - n = lm 7 x + x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = -, lm xø + 4 x - x xø- = - ÅÅÅ Å 7 x + x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + 4 x - x = +,.4. Vypočtěte lmty posloupností a funkcí HbL lm n + n HaL lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n + n!!!!!!!!!!!!!! n + - n ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n + - n = lm xø = -, lm xø x + x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x + = 0, x!!!!!!!!!!!!!! x + - x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x + - x =, HcL lm n I!!!!!!!! n + - è!!! nm = lm x I!!!!!!!! x + - xm= ÅÅÅ Å xø, HdL lm nj "################## n + n - "############## n - N = lm xj "################# x + x - "############## x - N = ÅÅÅ Å xø,

9 M-Semnar-ZS06.nb 9 HeL lm J "################## n + - "################## n - N= lm J "################## x + - "################## x - N=-, xø!! 4 n -!!!!!!!!!! n!! 4 + x -!!!!!!!!!! x + HfL lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ!!!!!!!!!! n 4 + -!!!!!!!!!! = lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n + xø!!!!!!!!!! x 4 + -!!!!!!!!!! = 0, x + HgL lm J "############## x + + xn = 0. xø-.. Vypočtěte lmty posloupností a funkcí Hn + L! +Hn + L! HaL lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hn + L! -Hn + L! =, HbL lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ... - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n!!!!!!!!!! = -, n + µ n +H-L n H-L n + µ 4 n HcL lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 0, HdL lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ neexstuje, n - n n+ + n n y n+ x y x+ x y x+ HeL lm j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅz = lm j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅz = lm j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅz ê, k n + { xø k x + { xø- k x + { HfL lm j n - y - n ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅz = lm k n + 7{ xø k j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x - y - x z = lm x + 7{ xø- k j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x - y - x z = 6, x + 7{ HhL lm xø HgL lm xø-» x» a b x = 0 pro b > 0, lnh x + x L ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ lnh x + x 6 L = ÅÅÅ Å, HL lm j ln x - y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅz xø k ln x + { ln x = Pro a>0 dokažte, že níže rekurentně defnovaná posloupnost HxL n= konverguje a vypočtěte její lmtu x x = a, x n =!!!!!!!!!! a + x n pro n >. Návod. Ukažte, že posloupnost je rostoucí a shora omezená, takže má konečnou lmtu, a pak ve vztahu x n =!!!!!!!!! a + x n přejděte na obou stranách k lmtě..7. Stolzova věta. Jestlže posloupnost HyL n= je rostoucí a lm y n =, potom pro pro každou posloupnost HxL n= pokud lmta na pravé straně exstuje. x n x n+ - x n lm ÅÅÅÅÅÅÅ = lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, y n y n+ - y n.8. Pomocí Stolzovy věty dokažte mplkace HaL p œ ï HbL lm a n = a ï lm lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ n p+ Hp + p n p L = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ p +, ÅÅÅ Å n Ha + a a n L = a,!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! n HcL " Hn œ fl a n > 0L fl lm a n = a ï lm a a a n n = a.

10 0 M-Semnar-ZS06.nb.9. Základní lmty II sn x x - lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ =, lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xø0 x xø0 x lnh + xl =, lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xø0 x = lm xø ln x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x - =..0. Vypočtěte lmty funkcí x - x - 4 x + 8 HaL lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅ Å, HbL lm x 4 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x + xø x 4-8 x xø x - 4 x + =, HcL lmj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xø k - x - y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ z = -, - x { x + 9 HdL lm xø- j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k x - x x - y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x + x + z = ÅÅÅÅÅÅ Å {.. Vypočtěte lmty funkcí HcL lm xø HaL lmh + a xl êx = a, xø0 è!!! n x - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!! ÅÅÅÅÅÅÅ m x - = ÅÅÅÅÅÅ m n lnha + xl - ln a HeL lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xø0 x ln x - HgL lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xø x - = ÅÅÅ Å HbL lm xø0+» ln x» a x b = 0 pro b > 0, x a - pro m, n œ, HdL lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xø x b - = = ÅÅÅ Å a, HhL lm xø0 a ÅÅÅÅÅ b pro b 0, pro a > 0, HfL lm xhlnha + xl - ln xl = a, xø x - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ln, lnhx + L HL lm ÅÅÅ Å xø0 x H a x - b x L = a - b... Vypočtěte lmty funkcí tg x HaL lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xø0 x = ÅÅÅ Å, HbL lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ cosh ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xl = -, HcL lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ tg x - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ sn x = ÅÅÅ Å xøpê - sn x xø0 x, + sn x - cos x HdL lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = -, HeL lmj ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xø0 - sn x - cos x xø0k sn x - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ y z = 0, HfL lm J ÅÅÅ p Å - xn tg x =, tg x{ xøpê p snhx - ÅÅÅÅ 6 HgL lm L x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ =, HhL lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ cos x = x + sn x ÅÅÅ Å, HL lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xøpê6 ÅÅÅÅÅÅÅÅ - cos x xø0 x xø x + cos x =, HjL lm arcsn ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - x xø+ + x = - ÅÅÅ p Å, HkL lm arctg x arccotg x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = 0, xø x xø x HlL lm xø+ J x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + x N x = ÅÅÅ Å, HmL lm xø k j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x + y z =: + x - { 0 x, HnL lm xø k j + ÅÅÅ y zx Å =: + x { 0... Vyšetřete spojtost funkce f v závslost na parametrech a, b ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -x lo - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ a -x, x < HaL fhxl = m b, x =, o n snhx-l ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, x >. -x snhx+4l ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x+8 lo, x < -4, HbL fhxl = m a x + b, -4 x, o n x- ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ!!!!!!!!ÅÅÅÅÅÅÅ x - -, x >. Řešení. (a) Spojtá pro a =, b = -, (b) spojtá pro a = ê4, b = ê 4.

11 M-Semnar-ZS06.nb.4. Najděte všechny asymptoty funkcí HaL fhxl = ÅÅÅ x Å + arctg x : y = ÅÅÅ x Å ÅÅÅ p Å v, HbL fhxl ="############## x + + "############## x - : y = x, HcL fhxl = x k j + ÅÅÅ x:y y Åz = x v, x = -, x { HdL fhxl = x + x arctg x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x - HeL fhxl = : y = x + p ÅÅÅ Å v, x =, ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x - arctg x : y = x + p v, x =. x - 4. Dervace a jejch aplkace 4.. Vypočtěte dervac funkce f a určete defnční obory DHfL, DHf L HaL arctg ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + x - x : DHfL = -8<, f ' HxL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x + na DHfL, HbL ln x + lnhln xl : DHfL =H, L, f ' HxL = ln x + ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x ln x na DHfL, HcL lnjx - "############## x - - N : DHfL =X, L, f ' HxL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x - na H, L, f ' + HL = -, HdL arctgitg xm : DHfL = -9 ÅÅÅ p Å + k p : k œ =, f ' HxL = snh xl ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ sn 4 x + cos 4 x na DHfL, x + HeL $%%%%%%%%%%%%%% ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ : DHfL = -8<, f ' HxL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x - "################################## Hx + L Hx - L 4 HfL "###################### tgh x - : DHfL = «= DHf 'L. na -8-, <, f ' H-L =. Tečny a normály 4.. Napšte rovnc tečny t a normály n ke grafu funkce y = fhxl v bodě a HaL y = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, a = ï t : 4 x + y =, n : x - 4 y = 6, x + HbL y = x 4-4 x, a = ï t : 8 x + 7 y =, n : x - 8 y =, HcL y = arccos "############## - x, a = ÅÅÅ Å ï t : 4 x - 6 y = - p, n : 6 x + y = + p x x HdL y = y j ÅÅÅÅÅÅÅ k z, a = -, t : x - y + + = 0, n : x + y = -. {

12 M-Semnar-ZS06.nb 4.. Napšte rovnc tečny t resp. normály n ke grafu funkce y = fhxl s požadovanou vlastností HaL y = arccotg x, p : x + y - = 0, t»» p ï t : x + 4 y = p +, x + 4 y = p -, HbL y = arcsn ÅÅÅ Å x, p : x + y - 4 = 0, t»» p ï t : x + 4 y = p 4, HcL y = x ln x, p : x - y + = 0, n»» p ï n : x - y - - = 0, HdL y = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x + 0D œ t ï t : x + y = 0 f x + y = 0. x + L'Hosptalovo pravdlo 4.4. Vypočtěte lmty funkcí x - HaL lm ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xø0 sn x =, HdL lm xøpê4!!!!! tg x - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ sn x - = ÅÅÅ Å HbL lm xøa x a - a a ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x b - a b, HeL lm ÅÅÅ Å xø0 x = a ÅÅÅÅÅ b aa-b, HcL lm xø0 tg 4 x - tg x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ sn 4 x - sn x = -, j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ k tgh x - ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ y tg x{ z = ÅÅÅ Å, HfL lm xø0k jcotg x - ÅÅÅ y Åz = 0, x { HgL lmjcotg x - y ÅÅÅÅÅÅÅz = - ÅÅÅ Å xø0 k x {. 4.. Vypočtěte lmty funkcí HaL lm xø Hln xl êx =, x z HdL lm j ÅÅÅ Å xø k p arctg xy { HgL lm xø- HlnH - xl ln xl = 0, HbL lm xø Htgh xl x =, = -êp, HeL lm xø x ln x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hln xl x = 0, p x HcL lm Jtg ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Nêx =, xø x + HfL lm H + xl êx y j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ xø0 k z { êx = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, HhL lm J ÅÅÅ p Å xø - arctg xnêln x = ÅÅÅ Å, HL lm xø0k j ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ sn x -cos x y z = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x { ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Vypočtěte lmtu funkce f v uvedených bodech HaL fhxl = arccotg x - ÅÅÅÅ p coshx L + x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ : lm fhxl = - ÅÅÅ Å x arctg x + x xø0, lm fhxl = - ÅÅÅ Å xø- p, x + tgh x - sn x HbL fhxl = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x -!!!!!!!!!!!!!!!!!! x - x + : lm xø0 fhxl = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ln 4, lm fhxl =, xø- HcL fhxl = snh xl - cosh xl + x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 4 x + + x - : lm fhxl = ÅÅÅ 4 Å xø0, lm fhxl =, lm xø- fhxl = ÅÅÅ Å xø+. lm fhxl = ÅÅÅ Å xø+ p, Intervaly monotone, lokální a globální extrémy 4.7. Určete maxmální ntervaly monotone a lokální a globální extrémy HaL f HxL = x + x + : D HfL =, H-, -\ â X, 0\ ä X0, + L â, ostré lokální mnmum f H0L =, ostré lokální maxmum f H-L =,

13 M-Semnar-ZS06.nb HbL fhxl = x ln x : DHfL =H0, + L, H0, - \ ä X -, + Lâ, ostré lokální a globální mnmum fi - M =, HcL fhxl = x x : DHfL =, H-, -\ â X-, 0\ ä X0, + L â, ostré lokální a globální mnmum fh0l = 0, ostré lokální maxmum fh-l = 4 - U 0.44, x HdL fhxl = arccos ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ : DHfL =, + x H-, -\ â X-, \ ä X, + L, ostré lokální a globální mnmum fhl = pê, ostré lokální a globální maxmum fh-l = pê, HeL fhxl = tg x - tg x, x œj- ÅÅÅ p Å, ÅÅÅ p ÅN : H-pê, pê4\ â Xpê 4, pêl ä, ostré lokální a globální maxmum f Hpê4L =, HfL f HxL = x - sn x : D HfL =, rostoucí na Určete maxmální ntervaly monotone a lokální extrémy HaL f HxL = 4 - x - x - x+ : D HfL =, I-, - - ] ä Y- -, -] â X-, + L ä, ostré lokální mnmum fi- - M = - 4 U , ostré lokální maxmum fh-l = 0, HbL fhxl = - x + 6 x + 4 x - 6 x - : DHfL =, H-, -\ â X-, 0\ ä X0, ê\ â, Xê, \ ä fh-l = fhêl = -, X, + L â, ostrá lokální mnma fh0l = -, fhl = -7, ostrá lokální maxma HcL fhxl = 4-6 x + x - x- : DHfL =, H-, \ â Y, 6] ä Y 6, + M â, ostré lokální mnmum fi 6M = 8-6 U 8.606, ostré lokální maxmum fhl = 0, HdL fhxl = x - x + 6 x- : DHfL =, H-, -\ ä X-, \ â X, + L ä, ostré lokální mnmum fhl = 4, ostré lokální maxmum fhl =, HeL fhxl = + 9 x - x + x - : DHfL =, H-, -\ ä Y-, ] â Y, + M ä, ostré lokáln mnmum f H-L = 4, ostré lokální maxmum f I M = Určete maxmální ntervaly monotone a lokální a globální extrémy HaL fhxl = Hx - L - : DHfL =, H-, \ ä X, + \ â, ostré lokální a globální mnmum fh0l = 0, HbL fhxl =H»x-»-L : DHfL =, H-, \ ä X, + \ â, ostré lokální a globální mnmum fhl = -, HcL fhxl = arcsnix - x - M : DHfL =, H-, -\ konst. X-, 0\ ä X0, L â X, + L konst., ostré lokální mnmum fh0l = -pê, lokální maxmum fhxl = pê pro každé x œh-, -\ X, + L, HdL fhxl = arccos -»x -» ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ : DHfL =, +»x -» H-, -\ ä X-, 0\ â X0, \ ä X, + L â, ostrá lokální mnma f H-L = f HL = 0, ostré lokální maxmum f H0L = p Určete mnmum m a maxmum M funkce f na ntervalu I HaL fhxl = x - 4 x + 6, I =X-, 0\ : m = fhl =, M = fh0l = 66, HbL fhxl = x - x - 9 x + 8, I =X-, \ : m = fhl = -9, M = fh-l = fhl =, HcL fhxl = x 4-8 x - 8 x, I =X-, 4\ : m = fhl = -, M = fh-l = 40, HdL fhxl = x - x 4 + x + 9, I =X-, 4\ : m = fhl = -8, M = fh4l = 7, HeL fhxl = x - 7 x + 0, I =X-, 6\ : m = fhl = fhl = 0, M = fh-l = 8,

14 4 M-Semnar-ZS06.nb HfL fhxl = x + ÅÅÅ Å x, I =Y0-, 0] : m = fhl =, M = fi0 - M = 0ê 0, HgL fhxl = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x -, I =X0, 4\ : m = fh0l = -, M = fh4l = ê, x + HhL fhxl = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - x ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + x, I =X-ê, \ : m = fhêl = ê, M = fh- - L = 7, + x - x 4.. Určete mnmum m a maxmum M funkce f na ntervalu I HaL fhxl = x - x, I =X0, 9\ : m = fhl = -, M = fh9l =, HbL fhxl =!!!!!!!!!!! - 4 x, I =X-, \ : m = fhl =, M = fh-l =, HcL fhxl = x "################### 00 - x, I =X-6, 8\ : m = fh-6l = -48, M = fi M = 0, HdL fhxl = "####################### Hx - xl, I =X0, \ : m = fh0l = fhl = 0, M = fhl =, HeL fhxl = -x x, I =X-, \ : m = fh-l = - U-.788, M = fhl = ê U , HfL fhxl = tg x - x, I =X-pê4, pê6\ : m = fh-pê4l = pê 4 - U-0.46, M = ë - pê6u0.047, HgL fhxl = snh xl - x, I =X-pê, pê\ : m = fhpêl = -pê, M = fh-pê L = pê. 4.. Určete nfmum s, mnmum m, supremum S a maxmum M funkce f na ntervalu I HaL fhxl = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + x + x, I = : m neexstuje, s = 0, M = S = f j "##################### - + y 4 k { z = ÅÅÅ Å I + MU.07, HbL fhxl = x ln x, I =H0, \ : m = s = fhl = 0, M = S = fhl = ln U , HcL fhxl = tg x - tg x, I =X-, pêl : m neexstuje, s = -, M = S = fhpê 4L =, HdL fhxl = arccoshêxl, I =X, + L : m = s = fhl = 0, M neexstuje, S = +, 4.. Slovní úlohy na globální extrémy (a) Úkolem je vyrobt plechové konzervy ve tvaru rotačního válce s objemem V > 0 tak, aby byly co nejlehčí. Najděte příslušný poměr výšky h válce a poloměru r jeho podstavy, a to nejdříve pro obecný objem V, pak pro V = 000 cm. [h : r =, r =H ÅÅÅÅÅÅÅ V p Lê, a pro V = 000 cm je r = 0 H pl -ê U.4 cm, h = 0 H pl -ê U 0.84 cm.] (b) Z obdélníkového plechu o velkost 80 cm µ 0 cm má být po odstřžení stejně velkých čverců v rozích plechu vyrobena krabce bez víka. Jak velké čtverce je třeba odstřhnout, aby vznklá krabce měla maxmální objem, a jak velký tento objem bude? [Je třeba odstřhnout čtverce o straně 0 cm a krabce bude mít ohjem 8000 cm.] (c) Rozsáhlý les je z jhu ohrančen přímou cestou vedoucí od západu k východu. Z výchozího místa na této cestě se máme dostat na místo, které je od nás vzdáleno km východně a km severně. Jstou dobu půjdeme po cestě rychlostí kmê hod, pak (škmo) lesem rychlostí kmê hod. Jak dlouho máme jít po cestě, abychom se do cíle dostal co nejdříve? Kolk př tom ujdeme klometrů a jak dlouho nám cesta bude trvat? [Optmální doba chůze po cestě je 7ê0 hodny, tj. 4 mnut. Do cíle dorazíme za ê hodny, tj. za 9 mnuty a ujdeme př tom 6 km.] (d) Přímý vodní kanál je 0 m šroký. Místa A a B ležící na jednom z břehů mají vzdálenost km, místo C je na druhém břehu přesně naprot místu B. Z místa A má být do místa C vedeno potrubí, jehož první (přímý) úsek povede z A do jstého místa D na spojnc AB a jehož druhý (také přímý) úsek spojí D s C. Položení m potrubí na břehu stojí 800 Kč, přes kanál je cena dvojásobná. Jak daleko má být D od A, aby cena celého potrubí byla co nejmenší? Jaká bude jeho délka zaokrouhlená na decmetry a cena zaokrouhlená na celé koruny? Jaký úhel budou svírat úsečky DB a DC? [Vzdálenost AD bude è!!! mu9.4 m, potrubí bude mít délku è!!! m U086.6 m, náklady na něj budou KčU Kč a úsečky DB, DC budou svírat úhel 60.]

15 M-Semnar-ZS06.nb (e) Na přímé slnc S odstartuje v čase t = 0 z místa A chodec B a cyklsta C; oba se budou pohybovat od bodu A týmž směrem, a to rychlostí km a km za hodnu. Na kolmc k přímce S vedené bodem A stojí ve vzdálenost 00 m od bodu A pozorovatel D a měří zorný úhel U úsečky BC. Dokažte, že v jstém (jednoznačně určeném) okamžku t 0 > 0 bude úhel U maxmální, a popšte vlastnost trojúhelníka BCD v tomto okamžku. [t 0 = è!!! ë 0U mnuty a 4.7 sekundy, U = pê 6 a BCD je rovnoramenný trojúhelník o základně CD délky 600 m a ramenech BC a BD délky 00 m.] 4.4. Stanovte ntervaly konvexty a konkávnost, určete nflexní body a napšte rovnce nflexních tečen HaL fhxl = x - x : konvexní na H-, \, konkávní nax, + L, nflexe v bodě, tečna x - y =, HbL fhxl = -8 x + 4 x + x 4 : konvexní nah-, -\ ax, + L, konkávní nax-, \, nflexe v bodech -,, tečny y = 08 x +, 0 x + y = 7, a HcL fhxl = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ, a > 0 : konvexní nay-aë, aë ], konkávní nai-, -aë ]ayaë, M, x + a nflexe v bodech aë, tečny x - 8 y + 9 a ã 0, x + 8 y = 9 a, HdL fhxl = "################# Hx - al : konvexní nah-, a\, konkávní na Xa, + L, nflexe v bodě, tečna x =. 4.. Stanovte ntervaly konvexty a konkávnost, určete nflexní body a napšte rovnce nflexních tečen HaL f HxL = x ln x : D HfL =H0, L, konvexní nah0, ê \, konkávní maxê, + M, nflexe v bodě ê, tečna x + y =, HbL fhxl = x lnix M pro x 0, fh0l = 0 : konvexní nah-, 0\, konkávní nax0, + L, nflexe v bodě 0, tečna x = 0, HcL fhxl = x ln Ix M pro x 0, fh0l = 0 : konvexní nax-ê, 0\ axê, + L, konkávní na H-, -ê \ a X0, ê \, nflexe v bodech - ê, 0, ê, tečny 4 x + y = 8ê, x = 0, 4 x + y = -8ê, HdL fhxl = lni + x + x - 6 M : konkávní nah-, -\, X-, \ a X, + L, bez nflexních bodů, HeL fhxl = lnix + M : konvexní na X-, \, konkávní na H-, -\ ax, + L, nflexe v bodech -,, tečny x + y = ln -, x - y = - ln, HfL fhxl = expi-x M : konvexní nai-, -ë ] ayë, + M, konkávní nay-ë, ë ], nflexe v bodech - ë, ë, tečny x - y = -, x - y =, HgL fhxl = x + sn x : konvexní na X k p, k p + p\ pro k œ, konkávní nax k p - p, k p\ pro k œ, nflexe v bodech k p pro k œ, tečny H + coshk pll x - y = k p coshk pl pro k œ, HhL fhxl = exph arctg xl : konvexní nah-, \, konkávní nax, + L, nflexe v bodě, tečna y = pê x, x HL fhxl = arccos ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ : DHfL =, konvexní nah-, -\ a X0, \, konkávní nax-, 0\ a X, + L, + x nflexe v bodě 0, tečna 4 x + y = p.