Spojitost funkcí více proměnných

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Spojitost funkcí více proměnných"

Transkript

1 Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo. Zcela analogicky s teorií reálných funkcí jedné reálné proměnné zavádíme pojem definiční obor funkce n reálných proměnných a obor funkčních hodnot. Funkce více proměnných(slovo reálných již budeme vynechávat) zadáváme obvykle opětfunkčnímipředpisy.příkladytakovýchtozadáníjsou f(x, y)=x + y +3x 5y, f(x, y)=sin(x +y ), f(x, y, z)=ln(x+y + z 3 )nebo(není-linázevfunkcepodstatný) z= x + y, z=sin(x + y ),atd. Opět je možno hovořit o elementárních funkcích více proměnných, což jsou funkce zadané předpisem, ve kterém jsou obsaženy pouze názvy proměnných, reálná čísla, závorky, znaménka pro sčítání, odčítání, násobení, dělení a symboly označující základní elementární funkce(mocninné, exponenciální, logaritmické, goniometrické a cyklometrické). Spojitost funkcí více proměnných Opět, zcela analogicky jako v případě funkce jedné proměnné, řekneme, že funkce f(x 1,..., x n )jespojitávbodě A=(a 1,..., a n ),jestližekekaždémuokolí V bodu f(a) existujeokolí Ubodu Atakové,že f(x) V prokaždýbod X U. Vzhledem k tomu, že pojem hraniční body definičního oboru funkce více proměnných je mnohem složitější než hraniční body intervalů, zavedeme pojem spojitost funkce vzhledem k množině. Definice. Řekneme,žefunkce f(x) nproměnnýchjevbodě Aspojitávzhledemkmnožině M,jestližekekaždémuokolí V bodu f(a)existujeokolí U bodu Atakové,žepro každýbod X U Mje f(x) V. Řekneme, že funkce n proměnných je spojitá na množině M, jestliže je spojitá v každém bodě A Mvzhledemkmnožině M. Je snadno vidět, že funkce je ve vnitřním bodě množiny M spojitá vzhledem k množině M,právěkdyžjevněmspojitá.Naprotitomuvhraničnímboděmnožiny Mmůžebýt funkcespojitávzhledemkmanemusíbýtvněmspojitá.ověřtesitototvrzeníufunkce z= x+ yvbodechnaose x.stejnějakovpřípadělimitfunkcívíceproměnných, vystačíme se spojitostí vzhledem k příslušným definičním oborům. Platí následující věta. Věta. Elementární funkce n proměnných jsou spojité na svých definičních oborech. Vlastnosti spojitých funkcí Na závěr této kapitoly si připomeňme dvě velice důležité vlastnosti spojitých funkcí. Věta(Bolzanova). Je-li funkce(jedné proměnné) f(x) spojitá na intervalu I a jsou li a, b I,pakfunkce f(x)nabývávšechhodnotmezi f(a)af(b).

2 Věta(Weierstrassova). Funkce(jedné proměnné) f(x) spojitá na uzavřeném intervalu I nabývá na tomto intervalu největší a nejmenší funkční hodnoty; to jest existují reálnáčísla c, d Itaková,žeprokaždé x Ije f(c) f(x) f(d). Oběvětyjemožnoformulovatiprofunkcevíceproměnných.PřitomjenutnovBolzanově větě pojem interval nahradit souvislou množinou(tj. každé dva body množiny je možno spojit křivkou, která celá do ní patří). Každý interval je souvislá množina a samozřejmě ne každá množina je souvislá. Souvislou množinu budeme nazývat dále oblastí. Napříkladmnožina M= {(x, y); xy >0}nenísouvisláajistěnalezneteelementární(a tedy spojitou) funkci dvou proměnných definovanou na této množině, která nenabývá všech mezihodnot. Ve Weierstrassově větě je zase nutno uzavřený interval nahradit omezenou uzavřenou oblastí, to jest množinou, která je souvislá, uzavřená a je obsažena v nějakém okolí bodu(0,...,0).připomeňme,žepodmnožina MmnožinyR n senazýváotevřená,jestliže skaždýmbodemobsahujeinějakéjehookolíapodmnožina MmnožinyR n senazývá uzavřená,jestližejejídoplněkvr n,tj.množinar n \ M,jeotevřenámnožina. Upozorňujeme, že nestačí jenom nahradit uzavřený interval uzavřenou oblastí. Uzavřenýintervaljejiž omezený,alenekaždáuzavřenáoblastvr n jeomezená.například množina {(x, y);0 x 1}jejistěuzavřenáaneníomezená.Naleznětespojitoufunkci dvou proměnných, která na této množině nabývá libovolně velkých hodnot. Věta(Bolzanova). Nechť funkce f(x)(n proměnných) je spojitá na nějaké oblasti M anechť A, B M.Potomfunkce f(x)nabývána Mvšechhodnotmezi f(a)af(b). Věta(Weierstrassova). Funkce f(x)(n proměnných) spojitá na uzavřené a omezené oblasti M nabývá na této množině největší a nejmenší funkční hodnoty; to jest existují body C, D Mtakové,žeprokaždýbod X Mje f(c) f(x) f(d). Parciální derivace funkcí více proměnných Pojem derivace funkce jedné reálné proměnné nelze do teorie funkcí více reálných proměnnýchpřevéstjiným rozumným způsobemnežjakolimitystejnéhotypu,při kterýchse mění pouzejednaproměnná.dostanemetakpojemparciálníderivacepodle příslušné proměnné. Definice. Řekneme,žefunkce f(x 1,..., x n )mávbodě(a 1,..., a n )parciálníderivaci podleproměnné x i,1 i n,rovnou A,jestližeje(tj.existujeajerovno) f(a 1,..., a i + x,..., a n ) f(a 1,..., a i,..., a n ) lim x 0 x = A. Tuto skutečnost vyjadřujeme zápisem x i (a 1,..., a n )=A. Obdobně jako u funkcí jedné reálné proměnné hovoříme o nevlastní parciální derivaci podleproměnné x i,je-li A {, }.

3 Analogickyjakoufunkcíjednéproměnnédefinujemeufunkce f(x 1,..., x n )prokaždé i,1 i n,funkci nproměnných,kterákaždémubodu A D(f),vněmžexistuje vlastníparciálníderivacepodleproměnné x i,přiřazujejejíhodnotuaznačímeji x i (x 1,..., x n ) nebo f x i (x 1,..., x n ). Tutofunkcinazývámeparciálníderivacífunkce fpodleproměnné x i. Z definice parciální derivace ihned plyne, že parciální derivaci funkce podle proměnné x i určímetak,ževšechnyostatníproměnné,tojestkroměproměnné x i,považujemeza konstantyaurčímederivacifunkcejednéproměnné,tojestproměnné x i. Příklad.Určemeparciálníderivacefunkcedvouproměnných f(x, y)=x y. Chceme-li určit parciální derivaci dané funkce podle proměnné x, použijeme známý vzorec(x α ) = α x α 1 adostaneme x (x, y)=y xy 1. Prourčeníparciálníderivacefunkce f(x, y)= x y podleproměnné ymusímepoužítvzorec (a x ) = a x lnaadostaneme y (x, y)=xy lnx. Příklad.Určemeparciálníderivacefunkcetříproměnných g(x, y, z)=x yz. Postupujeme obdobně jako v předcházejícím příkladě, navíc použijeme pravidlo o derivování složené funkce a dostaneme: g x = yz x yz 1, g y = xyz lnx z y z 1, g z = xyz lnx y z lny. Analogie mezi derivací funkce jedné proměnné a parciálními derivacemi funkce více proměnných není úplně stoprocentní, například z existence vlastní derivace funkce v bodě plyne spojitost funkce v tomto bodě, ale existence všech parciálních derivací funkce více proměnných v bodě ještě nezaručuje spojitost funkce v tomto bodě, jak ukážeme v příštím příkladě. Zhruba lze říci, že analogií existence derivace funkce v bodě je u funkcí více proměnných existence spojitých derivací v bodě. Ve skutečnosti spojitost funkce zaručují i slabší podmínky. Například jsou-li všechny parciální derivace funkce více proměnných omezenévnějakémokolíbodu A,pakužjefunkcevtomtobodě Aspojitá. Příklad. Funkce dvou proměnných { 0, je-li xy=0, f(x, y)= 1, je-li xy 0, mávbodě(0,0)oběparciálníderivacerovny0.přitomvkaždémokolítohotobodu existujíbody,vnichžnabýváfunkcehodnotu1.protožeje f(0,0)=0,nenítatofunkce vbodě(0,0)spojitá. Parciální derivace vyšších řádů Obdobně jako u funkcí jedné proměnné lze opakovaným určováním parciálních derivací získávat derivace vyšších řádů. Jelikož se u funkcí více proměnných mohou měnit proměnné, podle kterých derivujeme, ujasněme si symboliku značení parciálních derivací. Derivujeme-lifunkci nproměnnýchnejprvepodleproměnné x i atutovýslednoufunkci 3

4 4 podleproměnné x j, i j,označímetuto druhouparciálníderivaci symbolickytakto: x j ( ) x i = f x i x j. Derivujeme-lidvakrátpodleproměnné x i,používámeznačení x i ( ) x i = f x i. Například u funkce dvou proměnných f(x, y) máme čtyři možnosti pro parciální derivace druhého řádu, a to: x, x y, y x, y. Příklad. Určeme všechny parciální derivace druhého řádu funkce dvou proměnných f(x, y)=x ln(x + y). Určeme nejprve parciální derivace podle obou proměnných. x =ln(x 1 + y)+x x +y x=ln(x + y)+ x x +y, y = x 1 x +y. Nyní určeme parciální derivace druhého řádu. = x +4x (x +y) x x, f x x +y (x +y) x y = 1 x +y + x = y x, (x +y) (x +y) y x = 1 x +y + x x (x +y) = y x (x +y), f y = x 1 (x +y) = x (x +y). Jistějsmesivšimli,ževpředcházejícímpříkladunastalo f x y = f y x.musínás tedy okamžitě napadnout otázka: je to náhoda, nebo to platí vždy? Odpověď na tuto otázku je: není to náhoda a platit to nemusí. Přesnější odpověď dává následující věta. Věta. Jsou-lioběparciálníderivace f x y a f y x spojitévbodě A=(a 1, a ),potom x y (a 1, a )= f y x (a 1, a ). Jelikož, jak již víme, jsou elementární funkce spojité ve všech vnitřních bodech svých definičních oborů a jelikož parciální derivace elementárních funkcí jsou opět funkce elementární, dostáváme ihned následující tvrzení. Důsledek. Je-li f(x, y) elementární funkce dvou proměnných, pak je x y = f y x ve všech bodech, v nichž obě tyto parciální derivace existují. Poznámka.Existenceobou smíšených derivacíjenutná.napříkladprofunkcidanou předpisem f(x, y)= x +yexistuje y x (0,0)apřitomneexistuje x y (0,0).Promysletetototvrzení.Samozřejmějemožnovýšeuvedenétvrzeníorovnosti smíšených

5 parciálních derivací rozšířit i na parciální derivace vyšších řádů; speciálně pro elementární funkce platí, že při určování parciálních derivací nezáleží na pořadí proměnných, podle kterých jsme derivovali, ale pouze na počtu derivování podle jednotlivých proměnných, samozřejmě pokud všechny existují. Je tedy například: 7 f 7 f 7 f x 4 y 3= y 3 x 4= x y x y= Příklady k procvičení Vypočtěte parciální derivace daných funkcí podle všech proměnných: 1) f(x, y)=x 3 y 4x y +x+3; ) f(x, y)=y x 3 y 3) f(x, y)=y x+1 ; 4) f(x, y)= x y x y ; 5) f(x, y)=arccotg x y ; 6) f(x, y)=x ex y +3y 1; 7) f(x, y)=x y x y ; 8) z= cos x 1+sin y ; 9) f(x, y)=arctg x+y 11) f(x, y)=ln x y x+y ; 1 xy ; 10) z= 1 x +y y ; 1) z=arctg y x xy x ; 13) z= x ln(x+ x + y ) x + y ; 14) z= x y arctg x y ln(x + y ); 15) z=ln 1 x y +ln(1+y); x ; 16) z=arcsin x x +y +lny; 17) f(x, y, z)=x y+x z 3y z 3 ; 18) f(x, y, z)=z tg(3xy 1); 19) f(x, y, z)=(x+y)e x+z ; 0) f(x, y, z)=(x+y) z. Vypočtěte hodnoty prvních parciálních derivací daných funkcí v daném bodě A: 1) z= (y x ) 3 3x 3 y, A=(1,); ) z= x y + y arcsin y x, A=(, ). 3)Vypočtěte f x a f x y funkce f(x, y)=x ln(x+ x + y ) x + y. 4)Vypočtěte f y a f x y funkce f(x, y)=ln(x y ex ). 5)Vypočtětevšechnyparciálníderivace.řádufunkce f(x, y)= y +arctg y x. 6) Vypočtěte f x y (1,1) funkce f(x, lnx+y 3. y)=ex+y 7) Vypočtěte hodnoty prvních a druhých parciálních derivací funkce f(x, y)=sin x+y cos(x y)vbodě A=( π,1). 8)Vypočtětehodnotyvšechparciálníchderivací1.a.řáduvbodě A=(1,)pro funkci f(x, y)=x y y + x. x Výsledky 1) x =6x y 4y +, 3) x =yx+1 lny, 5) y, x +y y =x3 8xy; ) x = y x +3 ( ) y, x y = x 6 y x ; 4) x = y (x y), y = x (x y) ; y =(x+1)yx ; y = x x = 6) x =ex y (1+x), ; x +y 7) x = x y (y+ xln), y = x y y = xex y +6y; ( x ); x y ln

6 6 8) z x = sinx 1+sin y, z y = xsiny cos (1+sin y) ; 9) x = 1 1+x, y = 1 1+y ; 10) z x = x, z ( y)(1 x +y) y = 3 x ; ( y) ( y)(1 x +y) 11) x = y, x y y = x ; x y 1) z x = 1, z xy x y = x y xy x ; 13) z x =ln(x+ x + y ), z y = y x+ x +y ; 14) z x = y arctg x y + x(y ) z x +y, y = x arctg x y y(x +) x +y ; 15) z x = x 1 x, z y = 1 y ; 16) z x = y x +y, z y = x +y xy 17) x y(x +y ) ; =xy+z, y = x 3z 3, z =x 9yz ; 18) x = 3yz cos (3xy 1), y = 3xz cos (3xy 1), z 19) x =ex+z (1+x+y), y =ex+z, 0) x = z(x+y)z 1, 1) z x (A)= 3, ) z x (A)=, z 3) f x = 1 y =z(x+y)z 1, z y (A)= 3 4 ; y (A)= π 4 ; x +y, 4) f x y = ex (1 x) (x ye x ), 5) f x = xy (x +y ), x y = y x +y +x x +y. ex. (x ye x ) = y x y = y x (x +y ), =tg(3xy 1); z =(x+y)ex+z ; y =1 6) f x y (1,1)=e. 7) f x (A)=3, f x y (A)=π, f y (A)=π. 8) x z =(x+y)z ln(x+y). xy (x +y ). (A)=7, y (A)=3, f x (A)= 9, x y (A)=5, y (A)=. Extrémy funkcí Vmnohapraktickýchúloháchtechnickýchnebo ekonomickyladěných potřebujeme nalézt ty body definičního oboru funkce, ve kterých jsou funkční hodnoty nějakým způsobem extrémní. Budeme rozeznávat tři základní typy takovýchto extrémů. Jsou to extrémy lokální, absolutní a vázané. Lokální a absolutní extrémy Definice. Řekneme,žefunkce f jednénebovíceproměnnýchmávboděasvéhodefiničního oboru lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje okolí U bodu A, U D(f),takové,žeprokaždé X U, X Aje Pokudprokaždé X U, X Aje f(x) f(a), resp. f(x) f(a). f(x) < f(a), resp. f(x) > f(a), hovoříme o ostrém lokálním maximu, resp. o ostrém lokálním minimu.

7 Definice. Řekneme,žefunkce fjednénebovíceproměnnýchmávboděasvéhodefiničního oboru absolutní maximum, resp. absolutní minimum, jestliže pro každé X D(f) je f(x) f(a), resp. f(x) f(a). Pokudjeprovšechna X D(f), X Asplněnanerovnice f(x) < f(a), resp. f(x) > f(a), hovoříme o ostrém absolutním maximu, resp. o ostrém absolutním minimu. Výše definované pojmy souhrnně nazýváme lokální extrémy, ostré lokální extrémy, absolutní, popřípadě ostré absolutní extrémy. Slovo absolutní někdy vynecháváme. Pokud budeme chtít zdůraznit, že nějaký extrém není ostrý, použijeme pro něj označení neostrý extrém. Poznámka. Lokální extrémy může mít funkce pouze ve vnitřních bodech svého definičního oboru, absolutní extrémy může mít jak ve vnitřních bodech svého definičního oboru (pak to jsou ale také lokální extrémy), tak v hraničních bodech svého definičního oboru. Existence absolutních extrémů, a to jak maxima tak minima, je zaručena u spojitých funkcí jedné proměnné definovaných na uzavřeném intervalu a u spojitých funkcí více proměnných definovaných na omezených uzavřených oblastech(weierstrassova věta). V ostatních případech funkce samozřejmě extrémy mít může, ale také nemusí. Vyšetřujme nejprve lokální extrémy funkcí. Je možno celkem snadno odvodit následující větu, která omezuje možnosti pro existenci lokálních extrémů. Význam této věty tkví právěvtom,žeznačněomezujepočetbodů,vekterýchbyfunkcemohlamítlokální extrém. Věta(nutná podmínka). Jestliže má funkce f(x) jedné proměnné v bodě a lokální extrém a zároveň derivaci, pak je nutně f (a)=0. Jestližemáfunkce f(x 1,..., x n )vbodě Alokálníextrémazároveňparciálníderivaci podleproměnné x j,pakjenutně x j (A)=0. 7 Poznámka. Má-li funkce f více proměnných v nějakém bodě A lokální extrém, pak (A)=0provšechna j,prokteréexistuje (A). x j x j Výšeuvedenánutnápodmínkanenízdalekapostačující.Napříkladfunkce y = x 3 je rostoucínacelémsvémdefiničnímoboruaje y (0)=0.Obdobněfunkce z=x 3 + y 3 nemávbodě(0,0)lokálníextrém(dokažte)aje z z (0,0)= x y (0,0)=0. Příklad.Vekterýchbodechmůžemítfunkce z= x + y extrémyajaké? DefiničnímoboremfunkcejeR R.Obědvěparciálníderivacetétofunkce z x = x x +y

8 8 a z y = y x +y existujívevšechbodechsvýjimkoubodu(0,0),vžádnémboděseobě parciální derivace současně nerovnají 0. Funkce tedy může mít lokální a absolutní extrém pouze v bodě(0, 0). V tomto bodě má funkce ostré absolutní minimum. Zdůvodněte. Příklad.Vekterýchbodechmůžemítfunkce z= 9 x y extrémyajaké? Definičnímoboremfunkcejekruhsestředemvbodě[0,0]apoloměrem3.Parciální z derivace x = x a z 9 x y y = y mádanáfunkcevevšechbodechvyjma 9 x y bodůležícíchnakružniciorovnici x + y =9.Oběparciálníderivaceserovnajínule vbodě(0,0).funkcetedymůžemítlokální(anásledněipřípadněabsolutní)extrém pouzevbodě(0,0).jistěsisnadnoověříte,ževtomtoboděmáfunkceostréabsolutní maximum. V každém hraničním bodě definičního oboru(kružnice se středem v[0, 0] apoloměrem3)funkcemůžemítabsolutníextrém,atakémá,atoneostréabsolutní minimum. Zdůvodněte. V předcházejících příkladech nebylo těžké potvrdit extrém, v mnoha jiných je toto podstatně obtížnější. Naštěstí zná matematika mnohé postačující podmínky pro existenci lokálních extrémů. My si zde připomeneme pouze tři nejzákladnější takové podmínky. Další je možno nalézt v mnoha jiných obsáhlejších knihách o diferenciálním počtu. Věta. Nechťfunkce f(x, y)mávnějakémokolíbodu(a, b)spojitéparciálníderivace druhéhořáduanechťje Označme (a, b)= (a, b)=0. x y D(a, b)= f x (a, b) f y(a, b) ( ) f (a, b). x y Platí: a) je-li D(a, b) >0,máfunkcevbodě(a, b)lokálníextrém,atoostrélokálnímaximum, je-li f x (a, b) <0,aostrélokálníminimum,je-li f x(a, b) >0; b) je-li D(a, b) <0,nemáfunkcevbodě(a, b)lokálníextrém; c) je-li D(a, b)=0,můžefunkcevbodě(a, b)mítlokálníextrém,aletakénemusí. Příklad.Funkce z= x 3 +y 3 nemávbodě(0,0)lokálníextrém.funkce z= x 4 + y 4 má v bodě(0, 0) evidentně lokální a také absolutní minimum. Obě funkce splňují předpoklady předcházejícívětyaprooběje,jaksisnadnoověříte, D(0,0)=0. Příklad.Nalezněmeextrémyfunkce z=x 3 + x y +5x + y. FunkcejedefinovánanaR R,máspojitéparciálníderivacelibovolnéhořáduaje z x =6x + y z +10x, y =x y+y. Lokální extrémy může tedy funkce mít pouze v bodech, ve kterých jsou obě parciální derivace rovny 0. Řešme proto soustavu dvou rovnic 6x + y +10x=0, x y+y=0. Zdruhérovniceihnedplyne,žemusíbýt y=0nebo x= 1.Podosazenídoprvní rovniceihneddostávámebody A=(0,0), B=( 5,0), C=( 1,)aD=( 1, ), 3 ve kterých by funkce mohla mít lokální extrémy. Určeme si parciální derivace druhého řádu. Dostaneme

9 z z z x y =y. x =1x+10, y =x+, Protožeje D(0,0)=0a z x (0,0)=10,máfunkce zvbodě Aostrélokálníminimum; protožeje D ( 5 3,0) = 40 3 a ( z x 5 3,0) = 10,máfunkce zvbodě Bostrélokální maximum;jelikožje D( 1,)=D( 1, )= 16,nemádanáfunkce zvbodech Ca D lokální extrémy. Ukažte, že funkce nemá absolutní extrémy. Příklad.Nalezněmelokálníaabsolutníextrémyfunkce z= x 3 + y 3 + x+y. Protožeparciálníderivace z x =3x +1a z y =3y +1existujívevšechbodechR R, a protože v žádném nemohou nabývat hodnoty 0, daná funkce nemá žádné lokální ani absolutní extrémy. Příklad.Nalezněmeextrémyfunkce z= 9 x 16 y. Nejprvehledejmelokálníextrémy.Jelikožje z x = x a z 9 x y = y (ověřte),jebod 16 y (0, 0) jediným bodem, ve kterém by funkce mohla mít lokální extrém. Vypočtěme proto všechny parciální derivace druhého řádu. Dostaneme z 9 = x ( 9 x ) 3, z= 16 y ( 16 y ) 3, z x y =0. Jelikožje D(0,0) <0,danáfunkcenemávtomtobodělokálníextrém.Tedyfunkcenemá v žádném bodě lokální extrém. Hledejme tedy absolutní extrémy, které funkce jistě má (je spojitá na definičním oboru 3, 3 4, 4 ). Absolutní extrémy může funkce mít pouze v některém ze svých hraničních bodů, tj. pouze na množině {(x, y); x {3, 3}, y 4,4 } {(x, y); x 3,3, y { 4,4}}. Uvažujmedanoufunkcinamnožině {(x, y); x {3, 3}, y 4,4 }.Tatofunkcejena tétomnožinědánapředpisem z= 16 y.snadnozjistíme,žetatofunkcejedné proměnnémáabsolutníminimumvbodě y=0aabsolutnímaximumvbodech y=4 a y= 4.Obdobnězjistíme,ženamnožině {(x, y); x 3,3, y { 4,4}}nabývá danáfunkcenejvětšíhodnotyvbodě x=0anejmenšíhodnotyvbodech x=3ax= 3. Funkce z= 9 x 16 y nabývánejmenšíanejvětšíhodnotyvněkterémzezískanýchbodů(3,0),(3, 4),(3,4),( 3,0),( 3, 4),( 3,4),(0,4)a(0, 4).Porovnáním funkčních hodnot v těchto bodech dostaneme, že neostré absolutní maximum má funkce vbodech(0,4)a(0, 4)(hodnotatohotomaximaje3)aneostréabsolutníminimum vbodech(3,0)a( 3,0)(hodnotatohotominimaje 4).Porovnejtetentovýsledek sobr.7,nakterémjezobrazengraffunkce z= 9 x 16 y. Poznámka. Pokud hledáme pouze absolutní extrémy funkcí, jejichž existence je zaručena spojitostí funkce jedné proměnné na uzavřeném intervalu nebo spojitostí funkce více proměnných na omezené uzavřené oblasti, můžeme postupovat zjednodušeným způsobem takto: 1. nejprve si zjistíme body podezřelé z extrému a vypočteme funkční hodnoty v těchto bodech,. porovnáme funkční hodnoty a nalezneme body, ve kterých jsou funkční hodnoty nejmenší a body, ve kterých jsou funkční hodnoty největší. Připomeňme, že body podezřelé z extrému jsou u funkce jedné proměnné a) hraniční body definičního oboru, b) body definičního oboru funkce, ve kterých funkce nemá derivaci, c) body definičního oboru funkce, ve kterých má funkce derivaci rovnou nule. Body podezřelé z extrému jsou u funkcí více proměnných 9

10 10 z y x 0 - Obr. 7.Graffunkce z= 9 x 16 y a) hraniční body definičního oboru, b) body definičního oboru funkce, ve kterých funkce nemá alespoň jednu parciální derivaci, c) body definičního oboru funkce, ve kterých má funkce všechny parciální derivace rovny nule. Ilustrujme si tento postup na dvou příkladech. Příklad. Nalezněme absolutní extrémy funkce definované na množině 1, 1 1, 1 předpisem f(x, y)=x + y. Daná funkce je spojitá na definičním oboru a má obě parciální derivace. Podezřelými bodyzextrémujsouhraničníbodydefiničníhooboruabod A 1 =(0,0),kterýjejediným bodem, ve kterém má funkce obě parciální derivace rovny 0. Hraničními body definičního oborujsoumnožiny M 1 = 1,1 { 1}, M = 1,1 {1}, M 3 = { 1} 1,1 a M 4 = {1} 1,1.Funkce f(x, y)jenamnožině M 1 = 1,1 { 1}totožnásfunkcí jednéproměnné f 1 (x)=f(x, 1)=x +1definovanénaintervalu 1,1.Absolutní extrémy může tato funkce jedné proměnné nabývat v hraničních bodech intervalu 1, 1 avbodě x=0,kterýjejedinýmbodem,vekterémmáfunkce f 1 (x)derivacirovnou nule.získalijsmetakdalšítřibodypodezřelézextrému,atobody A =( 1, 1), A 3 =(1, 1)aA 4 =(0, 1).Pokudanalogickyvyšetřímechovánífunkce f(x, y)na množinách M, M 3 a M 4,dostanemedalšípodezřelébody A 5 =( 1,1), A 6 =(1,1), A 7 =(0,1), A 8 =( 1,0), A 9 =(1,0).Funkčníhodnotyvbodechpodezřelýchzextrému jsou: f(0,0)=0, f(±1,0)=1, f(0, ±1)=1, f(±1, ±1)=.Funkce f(x, y)mávbodě (0, 0) ostré absolutní minimum a v bodech(±1, ±1) neostré absolutní maximum. Vázané extrémy U funkcí dvou a více proměnných má reálný význam také vyšetřovat extrémy funkcí vzhledem k podmnožině definičního oboru dané nějakými dalšími omezujícími podmínkami, které se nazývají vazební podmínky. Hovoříme potom o vázaných extrémech. Tyto

11 omezující podmínky mohou být zadány různými způsoby. My se budeme zabývat pouze případy, kdy jsou vazební podmínky dány nějakou soustavou rovnic. Definice. Řekneme,žefunkce f(x) nproměnnýchmávbodě A D(f)lokálnímaximum(resp. minimum) vázané podmínkami g 1 (x 1,..., x n )=0, g (x 1,..., x n )=0,..., g r (x 1,..., x n )=0, jestližebod Asplňujevazebnípodmínky(tj. g 1 (A)=g (A)= =g r (A)=0)ajestliže je f(a) f(x)(resp. f(a) f(x))provšechnybody Xznějakéhookolí U D(f) bodu A, X A,kterésplňujívazebnípodmínky(tj. g 1 (X)=g (X)= = g r (X)=0). Vázaná lokální maxima a vázaná lokální minima souhrnně nazýváme vázanými extrémy.nahrazenímpožadavku provšechnybody Xznějakéhookolí U D(f)bodu A požadavkem provšechnybody X D(f),dostávámedefiniceabsolutníchvázaných extrémů. Podmínky g 1 (x 1,..., x n )=0, g (x 1,..., x n )=0,..., g r (x 1,..., x n )=0, se nazývají vazební podmínky nebo krátce vazby. Dosazovací metoda Otázkouzůstává,jakhledataurčovatvázanéextrémy.Vpřípadě,žejemožnozvazebních podmínek jednoznačně vyjádřit některé proměnné, můžeme dosazením těchto proměnných do všech ostatních vztahů převést problém na hledání vázaných extrémů funkce(a vazebních podmínek) s menším počtem proměnných, případně na hledání extrémů funkce jedné proměnné. Příklad.Nalezněmeextrémyfunkce f(x, y)=x 4 y vázanépodmínkou3x y=0. Zvazebnípodmínkydostáváme y=3x.hledejmeextrémyfunkce h(x)=x 4 (3x), tedyfunkce h(x)=x 4 18x.Tatofunkcejeelementární,mávšudederivaciaextrémy můžemíttedypouzevbodech,kdejejejíderivacerovna0.derivacefunkce h(x)je h (x)=4x 3 36x.Rovnice4x 3 36x=0mástejnářešeníjakorovnice x(x 9)=0,tedy x 1 =0, x =3, x 3 = 3.Funkce h(x)má,jakjistěihnedvidíte,vbodě x 1 ostrélokální maximum,vbodech x a x 3 ostrélokálníminimum.protomáfunkce f(x, y)=x 4 y vbodě(0,0)ostrévázanélokálnímaximum, f(0,0)=0,kteréneníabsolutnímvázaným maximem(ukažte),avbodech(3,9)a( 3, 9)ostrévázanélokálníminimumazároveň neostréabsolutníminimum,jehožhodnotyjsou f(3,9)=f( 3, 9)= 81. Poznámka. Stejným způsobem bychom mohli také postupovat v případě, že sice nelze z vazebních podmínek proměnnou vyjádřit jednoznačně, ale pouze jako sjednocení konečného počtu možností. V tomto případě úlohu řešíme opakováním předchozího postupu pro jednotlivé možnosti. Příklad. Nalezněmeabsolutníextrémyfunkce f(x, y)=x y vázanépodmínkou x + y =4. Zvazebnípodmínkydostaneme y=± 4 x.uvažujmeprvnípřípad y= 4 x. Dostaneme h(x)=x 4.Tatofunkcejedefinovánanaintervalu, (nezapomínejme,že y= 4 x ),máostrélokálníaabsolutníminimumvbodě x=0aneostré 11

12 1 absolutnímaximumvbodech x= ax=.druhýpřípad y= 4 x námdává stejnoufunkcijednéproměnné,atedyistejnébody x=0, x= ax=.funkce f(x, y)=x y můžemítvázanéextrémyvbodech A=(0,), B=(,0), C=(,0) a D=(0, ).Protožeje f(a)= 4, f(b)=4, f(c)=4af(d)= 4,mátato funkce neostré vázané absolutní minimum v bodech A, D a neostré vázané absolutní maximum v bodech B, C. Všimněte si, že kdybychom neuvažovali definiční obory funkcí y= ± 4 x,pakbychomnezjistilivázanéabsolutníextrémyvbodech B=(,0)a C=(,0). Příklad. Nalezněmeextrémyfunkce f(x, y, z)=13x y + z vázanépodmínkou x+y 5=0. Z vazební podmínky dostaneme y = 5 x. Po dosazení získáme funkci dvou proměnných h(x, z)=5x +40x+z 50.Parciálníderivace h x =10x+40a h z =zsesoučasněrovnají0pouzevbodě( 4,0).Snadnosepřesvědčíte,žeje D( 4,0)=0a h x ( 4,0)=10. Funkce h(x, z)mátedyvbodě( 4,0)ostrélokálníminimum,kteréjetakéostrýmabsolutnímminimem(ukažte).Protofunkce f(x, y, z)mávbodě( 4,13,0)ostréabsolutní (asamozřejměilokální)vázanéminimum,jehožhodnotaje f( 4,13,0)= 130.Funkce nemá absolutní ani lokální vázané maximum. Závěrem si ukažme řešení dvou praktických příkladů, při kterém využijeme dosazovací metodu hledání extrémů funkcí dvou proměnných. Příklad. Určeme rozměry uzavřené válcové nádoby(konzervy,...) daného objemu V tak,abyjejípovrchbylconejmenší(tedyabynapříkladnajejívýrobubylopotřebaco nejméně materiálu). Označme Rpoloměrnádobyavjejívýšku.Funkce S(R, v)=πr +πrvvyjadřujepovrchnádoby.mámenajítminimumtétofunkcevzhledemkvazebnípodmínce πr v= V. Zvazebnípodmínkysivyjádřímeproměnnou vapojejímdosazenídofunkce S(R, v) dostanemefunkcijednéproměnné s(r)=πr + V R.Derivacetétofunkce(podleproměnné R)je s (R)=4πR V R = 4πR3 V R.Tatofunkcemá(ověřte)lokálníiabsolutní minimumvbodě R 0 = 3 V π.hodnotě R 0odpovídá(podlevazebnípodmínky πr v= V) 4V bod v 0 = V = 3 πr π = 3 V π =R 0.Funkce S(R, v)mávázanéabsolutníminimum v odpovídajícím bodě 0 ( ) 3 V π, 3 V. Hledané rozměry válcové nádoby tedy jsou π v=r= 3 V π. Příklad. Určeme rozměry jámy(silážní jámy, bazénu,...) tvaru kvádru daného objemu V tak,abysoučetobsahůstěnadnabylconejmenší(tedyabynapříkladnajejívyzdění bylo potřeba co nejméně materiálu). Označmerozměrydna a, bahloubku c.funkce S(a, b, c)=ab+(ac+bc)vyjadřujesoučet obsahů stěn a dna. Máme najít minimum této funkce vzhledem k vazební podmínce abc=v.zvazebnípodmínkysivyjádřímeproměnnou capojejímdosazenídostaneme funkcidvouproměnných s(a, b)=ab+ V b +V a.parciálníderivacetétofunkcepodle proměnných a, b jsou Soustava rovnic s a = b V a, s b = a V b.

13 b V a =0, a V b =0 májedinéřešení a 0 = b 0 = 3 V.Snadnosiukážete,že D( 3 V, 3 V)=3.Protože S 3 ) V, 3 V =,máfunkce s(a, b)vtomtoboděskutečnělokálníminimum,které x ( je i absolutní. Zbývá už jenom určit hodnotu proměnné c. Dostaneme c 0 = V a 0 b 0 = 3 V 4 = 3 V 8 = 3 V.Hledanérozměryjámyjsou a=b=c= 3 V. Příklady k procvičení Najděte body, ve kterých mají následující funkce dvou proměnných lokální extrémy, určete charakter extrémů a vypočtěte jejich hodnoty: 30) z=x y 3x y +10; 31) z= x x y+ y x+y; 3) z= x 3 + y 3 3x y; 33) z= y x3 +ln(x y); 3 34) z= x +4y+ y x ; 35) z=5x y+5 x + 8 y ; 36) z= y + x e x y ; 37) z=e x (x+y ); 38) z=e x y ; 39) z= y lnx 4x; 40) z=3lnx+x y y 3 ; 41) z= x e x y. Ukaždéznásledujícíchfunkcíjeurčenavazebnípodmínka g(x, y)=0,resp. g(x, y, z)=0. Určete body, v nichž dané funkce mají vázané lokální extrémy, a vypočtěte jejich hodnoty: 43) z= x y x+y 1, x+y 1=0; 44) u=x + y + z,x y+ z 6=0; 45) z= 1 + 1, 1 x y x + 1 y 1 4 =0; 46) z= x+y, x y =0; 47) z=1+4x+y, x + y 4=0; 48) u= 1 x + 1 y +1 z, x+y+ z 1=0; 49) z=(x 1) +(y ), y 3x=5; 50) z=4x+3y, x + y 1=0; 51) z=e x y 1,x+3y 1=0; 5) z=x+y, x + 1 4y 1=0; 53) z= 1 x + 3 y, 1 x + 1 y 5 18 =0; 54) z=6(x+y), x3 + y 3 16=0; 55) z=cos x+cos y, x+y π=0pro x (0,π), y (0,π). 56) Určeteabsolutníextrémyfunkce z= x 3 + y 3 3x ydefinovanéna 0, 1,. 57) Určetelokálníaabsolutníextrémyfunkce z= 1+x+ 4 x+ y 1+ 5 y. 58) Určeteabsolutníextrémyfunkce z=x 4y 3x+y,jejímždefiničnímoborem je D(z)={(x, y); x 0, y 0, x+y 1}. 59) Vypočtěterozměrytohoobdélníkaoobsahu5cm,kterýmánejkratšíúhlopříčku. 60) Jaké rozměry bude mít krabice bez víka, kterou vyrobíme z obdélníkového plechu orozměrech50cm,80cmtak,abymělamaximálníobjem? Výsledky 30) ostrélokálnímaximumjevbodě(0,0), z(0,0)=10; 31) ostrélokálníminimumjevbodě(1,0), z(1,0)= 1; 3) ostrélokálníminimumjevbodě(1,1), z(1,1)= 1; 33) ostrélokálnímaximumjevbodě(1,0), z(1,0)= 1 3 ; 34) ostrélokálníminimumjevbodě(1, 1), z(1, 1)= 1; 35) ostrélokálníminimumjevbodě( 5,4 5 ), z ( 5 5),4 =30; 36) ostrélokálnímaximumjevbodě(,1), z(,1)=0; 13

14 14 37) ostrélokálníminimumjevbodě(,0), z(,0)= e ; 38) ostrélokálnímaximumjevbodě(0,0), z(0,0)=1; 39) nemá lokální extrémy; 40) nemá lokální extrémy; 41) ostrélokálnímaximumjevbodě( 1,0), z( 1,0)= 1 e. 43) ostrévázanélokálnímaximumvbodě( 1,3 ), z ( 1 ),3 = 1 4 ; 44) ostrévázanélokálníminimumvbodě(, 1,1), u(, 1,1)=6; 45) ostrévázanélokálníminimumvbodě(8,8), z(8,8)= 1 3 ; 46) ostrévázanéminimumjevbodě(,), z(,)=4,ostrévázanémaximumjevbodě (, ), z(, )= 4; 47) ostrévázanélokálnímaximumvbodě(,0), z(,0)=9; 48) ostrévázanélokálníminimumvbodě( 1 3,1 3,1 3 ), u ( 1 3,1 3 3),1 =9; 49) ostrévázanélokálníminimumvbodě( 4 5,13 5 ), z( 4 5,13 18 )= 5 5 ; 50) ostrévázanélokálnímaximumvbodě( 4 5,3 5 ), z(4 5,3 5 )=5, ostrévázanélokálníminimumvbodě( 4 5, 3 5 ), z( 4 5, 3 5 )= 5; 51) ostrévázanélokálnímaximumvbodě( 1 4,1 6 ), z(1 4,1 6 )=e 4; 1 5) ostrévázanélokálníminimumvbodě ( 3 4,3 4 ), z(3 4,3 4 )= 9 4,ostrévázanémaximumje vbodě( 1 4, 1 4 ), z(1 4, 1 4 )= 1 4 ; 53) ostrévázanélokálnímaximumvbodě (6,), z(6,)= 5 3,ostrévázanéminimumje vbodě( 6, ), z( 6, )= 5 3 ; 54) ostrévázanélokálnímaximumvbodě(,), z(,)=4; 55) ostrévázanélokálnímaximumvbodě (π,0), z(π,0)=;ostrévázanéminimumje vbodě( π, π ), z( π, π )=0. 56) ostréabsolutnímaximumjevbodě (, 1), z(, 1)=13,neostréabsolutníminimumvbodě(1,1), z(1,1)= 1avbodě(0, 1), z(0, 1)= 1. 57) ostrélokálníaabsolutnímaximumvbodě(0,3), z(0,3)=5+,neostréabsolutní minimumvbodě(4,1), z(4,1)=+ 5avbodě(4,5), z(4,5)= ) ostréabsolutnímaximumjevbodě ( 0, 4) 1, z(0, 1 4 ) = 1 4, ostré absolutní minimum vbodě(0,1), z(0,1)=. 59) a=5cm, b=5cm. 60) 10cm,30cm,60cm.

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod.

Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. vičení 1 Definiční obor funkce více proměnných, vrstevnice apod. 1. Najděte definiční obor funkce fx, y = x y + y x. Řešení: D f = { x y a y x }, což je konvexní množina omezená křivkami x = y a y = x.

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/2 BA07. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/ BA07 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 0 () Integrace užitím základních vzorců.

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

4. Topologické vlastnosti množiny reálných

4. Topologické vlastnosti množiny reálných Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 4. Topologické vlastnosti množiny reálných čísel V této kapitole definujeme přirozenou topologii na množině

Více

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12

Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12 Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných

Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně 5. června 9 Diferenciální a integrální počet funkcí více proměnných RNDr. Jiří Klaška, Dr. Sbírka řešených příkladů k předmětu Matematika II pro profesní a kombinovanou

Více

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého

Více

vysledek = ((1:1:50).*(100-(1:1:50))) *ones(50,1) vysledek = ((1:1:75)./2).*sqrt(1:1:75) *ones(75,1)

vysledek = ((1:1:50).*(100-(1:1:50))) *ones(50,1) vysledek = ((1:1:75)./2).*sqrt(1:1:75) *ones(75,1) ZKOUŠKA ČÍSLO 1 x=linspace(0,100,20); y=sqrt(x); A=[x;y]'; save('data.txt','a','-ascii'); polyn = polyfit(x,y,3); polyv = polyval(polyn,x); plot(x,y,'r*') plot(x,polyv,'b') p1=[1 0 0 0 0 0 0-1]; k=roots(p1);

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,

množinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou, Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:

Více

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1

Lineární diferenciální rovnice 1. řádu verze 1.1 Úvod Lineární diferenciální rovnice. řádu verze. Následující tet popisuje řešení lineárních diferenciálních rovnic. řádu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT2 na Univerzitě Hradec Králové

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7. Najděte rovnici tečny ke křivce y x v bodě a. x Tečna je přímka. Přímka se zapisuje jako lineární

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu.

2.1 Formule predikátové logiky. větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených v textu. 6 Kapitola 2 Příklady z predikátové logiky 2.1 Formule predikátové logiky 2.1.1 Příklad. Napište formule predikátové logiky odpovídající následujícím větám. Použijte k tomu predikátových symbolu uvedených

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Řešení: Ano. Řešení: Ne.

Řešení: Ano. Řešení: Ne. 1 ÚLOHY Z PREDIKÁTOVÉ LOGIKY Instance, varianty. UF.1.1. Substituovatelnost. 1. Buď ϕ formule ( z)(x=z)&y < x a dále x, y, z různé proměnné, F unární funkční symbol, c konstantní symbol. Uveďte, zda je

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Kapitola 1: Lineární prostor

Kapitola 1: Lineární prostor Lineární prostor Kapitola 1: Lineární prostor Chcete-li ukončit prohlížení stiskněte klávesu Esc. Chcete-li pokračovat stiskněte klávesu Enter.. p.1/15 Lineární prostor Lineární prostoralineární podprostor

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat.

S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. @08. Derivace funkce S funkcemi můžeme počítat podobně jako s čísly, sčítat je, odečítat, násobit a dělit případně i umocňovat. Definice: Součet funkce f a g je takový předpis, taková funkce h, která každému

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 9. srpna 05 Materiál je v aktuální

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

UDBS Cvičení 10 Funkční závislosti

UDBS Cvičení 10 Funkční závislosti UDBS Cvičení 10 Funkční závislosti Ing. Miroslav Valečko Zimní semestr 2014/2015 25. 11. 2014 Návrh schématu databáze Existuje mnoho způsobů, jak navrhnout schéma databáze Některá jsou lepší, jiná zase

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat? Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,

Více

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl

Matematika pro studenty ekonomie. Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Doc. RNDr. Jiří Moučka, Ph.D. RNDr. Petr Rádl Matematika pro studenty ekonomie Vydala Grada Publishing, a.s. U Průhonu 22, 70 00 Praha 7 tel.: +420 234 264 40, fax: +420 234 264 400 www.grada.cz jako svou

Více

Návod k programu Graph, verze 4.3

Návod k programu Graph, verze 4.3 Návod k programu Graph, verze 4.3 Obsah 1 Úvod 2 2 Popis pracovní lišty a nápovědy 2 2.1 Nastavení os...................................... 2 2.2 Nápověda....................................... 3 3 Jak

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Funkcionální rovnice

Funkcionální rovnice Funkcionální rovnice Úlohy k procvičení In: Ljubomir Davidov (author); Zlata Kufnerová (translator); Alois Kufner (translator): Funkcionální rovnice. (Czech). Praha: Mladá fronta, 1984. pp. 88 92. Persistent

Více

Prùbìh funkce. d) f(x) = x sin x [rostoucí v R] d) f(x) =ln 1+x [nemá lokální extrém] x = 1 inexní body

Prùbìh funkce. d) f(x) = x sin x [rostoucí v R] d) f(x) =ln 1+x [nemá lokální extrém] x = 1 inexní body Urèete, kde je unkce rostoucí a kde klesající: Prùbìh unkce a) () =ln 0; e klesající ; e ; + rostoucí b) () =+ [( ; 0) [ (0; ) klesající ; ( ; ) [ (; +) rostoucí] c) () =e jj [ ( ; 0) rostoucí ; (0; +)

Více

5. Kvadratická funkce

5. Kvadratická funkce @063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE Obsah JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE...2 Co je to funkce?...2 Existuje snadnější definice funkce?...2 Dobře, pořád se mi to zdá trochu moc komplikonavané. Můžeme se na základní pojmy

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. @213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná.

1. Určíme definiční obor funkce, její nulové body a intervaly, v nichž je funkce kladná nebo záporná. Matmatika I část II Graf funkc.. Graf funkc Výklad Chcm-li určit graf funkc můžm vužít přdchozích znalostí a určit vlastnosti funkc ktré shrnm do níž uvdných bodů. Můž s stát ž funkc něktrou z vlastností

Více

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout.

4. PRŮBĚH FUNKCE. = f(x) načrtnout. Etrém funkc 4. PRŮBĚH FUNKCE Průvodc studim V matmatic, al i v fzic a tchnických oborch s často vsktn požadavk na sstrojní grafu funkc K nakrslní grafu funkc lz dns většinou použít vhodný matmatický softwar.

Více

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT

MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Kolektiv MATEMATIKA Přijímací zkoušky na ČVUT Praha 200 Vydavatelství ČVUT Lektoři: doc. RNDr. Čeněk Zlatník, CSc. doc. RNDr. Ludmila Machačová, CSc. Jaroslav Černý, Růžena Černá, František Gemperle, Vladimíra

Více

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.

15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V. Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,

Více

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost

1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost 1 Náhodný výběr a normální rozdělení 1.1 Teoretická a statistická pravděpodobnost Ve světě kolem nás eistují děje, jejichž výsledek nelze předem jednoznačně určit. Například nemůžete předem určit, kolik

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/ Matematická vsuvka I. trojčlenka http://www.matematika.cz/ Trojčlenka přímá úměra Pokud platí, že čím více tím více, jedná se o přímou úměru. Čím více kopáčů bude kopat, tím více toho vykopají. Čím déle

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

ě á Ř ú ó Á ý á á ú ú ú š ý á ě á á ú á á á á ž ě ě š ů á á á á ý ž á ž á á ě á á ž á ě Á ě á ó ó á ú ěš á ý úě ú ý ň ý ý á ň ň á ň ý ý á É ý á ý á ě á ú Č Š ÝŤ ú ú ú š ý á á á ú á á á á ě ě š ů á á á

Více

M - Goniometrie a trigonometrie

M - Goniometrie a trigonometrie M - Goniometrie a trigonometrie Určeno jako učební text pro studenty dálkového studia a jako shrnující učební text pro studenty denního studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

10 Důkazové postupy pro algoritmy

10 Důkazové postupy pro algoritmy 10 Důkazové postupy pro algoritmy Nyní si ukážeme, jak formální deklarativní jazyk z Lekce 9 využít k formálně přesným induktivním důkazům vybraných algoritmů. Dá se říci, že tato lekce je vrcholem v naší

Více

Matematická analýza 1

Matematická analýza 1 Matematická analýza 1 Verze: 20121012 01MA1 2011/12 Obsah Zkouška z předmětu 01MA1.............................. 4 Literatura....................................... 4 Logika........................................

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2

Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Historie matematiky a informatiky Cvičení 2 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KAM, FIT ČVUT v Praze 2014 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Číselně teoretické funkce (Number-Theoretic

Více

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE

Programy na PODMÍNĚNÝ příkaz IF a CASE Vstupy a výstupy budou vždy upraveny tak, aby bylo zřejmé, co zadáváme a co se zobrazuje. Není-li určeno, zadáváme přirozená čísla. Je-li to možné, používej generátor náhodných čísel vysvětli, co a jak

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Škola matematického modelování 2015. Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Lukáš Malý, Marie Sadowská, Robert Skopal

Škola matematického modelování 2015. Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Lukáš Malý, Marie Sadowská, Robert Skopal Počítačová cvičení Škola matematického modelování 2015 Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Lukáš Malý, Marie Sadowská, Robert Skopal Počítačová cvičení Škola matematického modelování Petr Beremlijski, Rajko

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. TEORIE ČÍSEL MNOHOČLENŮ A MNOHOČLENY V TEORII ČÍSEL Jakub Opršal Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost

CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Soukromá střední škola a jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Č. Budějovice,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

1) íselný výraz. 8. roník Algebraické výrazy. Algebraické výrazy výrazy s promnnou

1) íselný výraz. 8. roník Algebraické výrazy. Algebraické výrazy výrazy s promnnou Algebraické výrazy výrazy s promnnou S výrazy jsme se setkali v matematice a fyzice již mnohokrát. Pomocí výraz zapisujeme napíklad matematické vzorce. Vyskytují se v nich jednak ísla, kterým íkáme konstanty

Více

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.

Oproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost. Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

ELEKTRICKÉ STROJE - POHONY

ELEKTRICKÉ STROJE - POHONY ELEKTRICKÉ STROJE - POHONY Ing. Petr VAVŘIŇÁK 2013 2.7 VOLBA VELIKOSTI MOTORU Vlastní volba elektrického motoru pro daný pohon vychází z druhu zatížení a ze způsobu řízení otáček. Potřebný výkon motoru

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více