BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Numerické metody jednorozměrné minimalizace"

Transkript

1 UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Numerické metody jednorozměrné minimalizace Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Horymír Netuka, Ph.D. Rok odevzdání: 2013 Vypracovala: Barbora Dohnalová MATAP, III. ročník

2 Prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto práci zpracovala samostatně. Veškeré zdroje a literatura, kterých bylo při práci používáno, jsou citovány a uvedeny v seznamu literatury. V Olomouci dne

3 Poděkování Ráda bych na tomto místě poděkovala svému vedoucímu práce, RNDr. Horymíru Netukovi, PhD., za cenné připomínky a rady, bez nichž by práce nemohla být vypracována. Také děkuji své rodině a příteli, kteří mě během psaní podporovali.

4 Obsah Úvod 4 1 Základní pojmy 5 2 Typy metod 8 3 Metody druhého řádu Newtonova metoda Metody prvního řádu Metoda půlení intervalu Metoda sečen Metoda regula falsi Metoda kubické interpolace Metody nevyužívající derivace Metoda kvadratické interpolace Rovnoměrná komparativní metoda Metoda zlatého řezu Fibonacciho metoda Příklady 26 Literatura 36

5 Úvod Tématem této práce jsou numerické metody, které se používají při hledání nepodmíněného minima funkcí jedné proměnné. Numerické metody řeší mnoho matematických úloh, u kterých neznáme přesné analytické řešení nebo je nalezení takového řešení těžce proveditelné. Hledání minima funkce je součástí procesu optimalizace, jenž má široké využití. Optimalizaci nalezneme například v přírodních vědách (optimalizace chemických či biologických procesů) nebo v ekonomice (optimalizace výrobních procesů, využití skladových zásob). Cílem práce je seznámení se nejenom se základními numerickými metodami, jenž jsou obsahem studia na Přírodovědecké fakultě Univerzity Palackého, jako je například Newtonova metoda či metoda sečen, ale také s méně známými numerickými metodami, jimž nejsou věnovány učební texty, jako je kvadratická či kubická interpolace. Záměrem této práce není srovnání daných metod ani zkoumání jejich rychlosti konvergence. 4

6 1. Základní pojmy V této kapitole si zavedeme základní pojmy vztahující se k tématu jednorozměrné minimalizace. Zároveň předpokládáme, že čtenář má základní znalosti z oblasti numerických metod a matematické analýzy, tedy chápe pojmy jako rostoucí funkce, derivace funkce, iterace apod. Definice 1. Řekneme, že funkce f má v bodě x 0 nepodmíněné lokální minimum (resp. maximum), jestliže existuje δ-okolí bodu x 0, takové, že f(x 0 ) f(x) (resp.f(x) f(x 0 )) pro každé x z δ-okolí. Bude-li platit ostrá nerovnost, nazveme lokální minimum (resp. maximum) ostré. Definice 2. Nechť f je funkce s definičním oborem D(f), M D(f) je neprázdná množina. Řekneme, že funkce f má v bodě x 0 nepodmíněné globální minimum (resp. maximum) na M, jestliže Mplatí f(x) f(x 0 ) (resp. f(x) f(x 0 )). Bude-li platit ostrá nerovnost, nazveme globální minimum (resp. maximum) ostré. Definice 3. Funkce f se nazývá unimodální na intervalu I, jestliže má na I právě jeden lokální extrém. (viz [10], str.3) Poznámka 1. Unimodální funkce se dá definovat více způsoby, další z nich je ukázán v následující definici. Definice 4. Funkce f : R R se nazývá unimodální na intervalu I, jestliže existuje bod x I takový, že x je bodem minima funkce f na I a jestliže pro libovolné x 1, x 2 I takové, že x 1 < x 2 platí x 2 x = f(x 1 ) > f(x 2 ) x 1 x = f(x 2 ) > f(x 1 ). (viz [5], str.22) 5

7 Obrázek 1: Příklad unimodální funkce Definice 5. Nechť je funkce f definovaná na intervalu I R. Pokud pro libovolnou dvojici bodů x 1, x 2 I a libovolné λ [0, 1] platí f(λx 1 + (1 λ)(x 2 )) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ), pak funkci f nazýváme konvexní funkce na intervalu I. Poznámka 2. Dá se ukázat, že funkce, která je v intervalu [a, b] konvexní, je v tomto intervalu také unimodální. Účelovou funkcí nazýváme funkci, jejíž minimum hledáme. Budeme se zabývat numerickými metodami pro unimodální spojité funkce, tedy budeme hledat řešení optimalizační úlohy x = minf(x), x [a, b], kde f = f(x ). V teorii numerických metod je také třeba definovat přesnost vyznačení optimálního řešení x, to jest číslo ε 0 takové, pro něž k-tá aproximace řešení x k vyhovuje nerovnosti x k x ε. Tento vztah bývá také nazýván odhadem absolutní chyby k-té aproximace. Přesností vyznačení optimální hodnoty účelové funkce f je číslo δ 0, pro něž 6

8 hodnota účelové funkce v bodě x k vyhovuje této nerovnosti f(x k ) f δ. Obrázek 2: Přesnost řešení Splnění podmínek přesnosti je však značně problematické, jelikož je k jeho výpočtu třeba znát optimální řešení x. Naším cílem je ale právě toto řešení najít, je tedy zřejmé, že při výpočtu numerických úloh pomocí algoritmů nelze dané vztahy pro přesnost užít. Z tohoto důvodu užíváme modifikované vztahy, které využívají hodnot x k, x k+1, tedy hodnot, jichž dosáhneme výpočtem. Vztah užívající odhad absolutní chyby x k+1 x k ε 1, a vztah pro odhad relativní chyby x k+1 x k x k ε 2, kde ε 1,ε 2 jsou kladná reálná čísla. 7

9 2. Typy metod Numerické metody jednorozměrné minimalizace lze rozdělit na dva typy: metody využívající derivace - metody vyžadující hodnoty účelové funkce a hodnoty první a druhé derivace této funkce ve všech bodech z intervalu [a, b] metody druhého řádu - metody vyžadujicího hodnoty účelové funkce a hodnoty první i druhé derivace Newtonova metoda metody prvního řádu - metody vyžadujicího hodnoty účelové funkce a hodnoty první derivace metoda půlení intervalu metoda sečen metoda regula falsi metoda kubické interpolace Metody využívající derivace jsou založeny na principu nalezení jediného stacionárního bodu, v němž má funkce f(x) na intervalu I ostré globální minimum, a který je reálným kořenem rovnice f (x) = 0. V některých případech je rovnice řešitelná analyticky, jesliže však není algebraická, je třeba její řešení najít numerickými metodami. Pro zajištění nalezení minima je třeba předpokládat, že funkce f(x) je na intervalu I = [a, b] spojitá a f(a),f(b) mají rozdílná znaménka, tedy platí f(a)f(b) < 0. 8

10 metody nevyužívající derivace - metody vyžadující jen hodnoty účelové funkce metoda kvadratické interpolace rovnoměrná komparativní metoda metoda zlatého řezu Fibonacciho metoda Metody nevyužívající derivace, někdy také nazývané jako metody nultého řádu, neužívají derivace minimalizovaných funkcí ani jejich aproximace. Byly využívany především v 60. letech 20. století, kdy byly považovány za spolehlivější než metody prvního a druhého řádu. Důvodem, proč je používáme dodnes, je fakt, že metody prvního a druhého řádu nefungují pro všechny optimalizační problémy a také to, že technická realizace přímých metod je snadná. 9

11 3. Metody druhého řádu 3.1. Newtonova metoda Newtonova metoda (neboli metoda tečen) je iterační metoda, ke které je třeba znát počáteční hodnotu x k a k ní jsme schopni vypočítat hodnoty f(x k ), f (x k ), f (x k ). Geometrický význam této metody spočívá v tom, že v počátečním bodě [x k, f(x k )] sestrojíme tečnu ke grafu funkce f(x). V bodě, ve kterém se protne graf tečny s osou x, leží bod [x k+1, 0], protože platí (x k+1 x k )f (x k ) = f (x k ). Hledáme tedy průsečík přímky y s osou x y = (x k+1 x k )f (x k ) + f (x k ) = 0 => x k+1 = x k f (x k ) f (x k ). Z předpisu iteračního procesu je zřejmé, že nezávisí na hodnotě f(x k ). Newtonova metoda se tedy dá technicky zjednodušit na iterační řešení rovnic typu: g(x) = 0, kde g(x) f (x). Poté se dá metoda psát stylem: x k+1 = x k g(x k) g (x k ). Výpočet se ukončí při splnění nerovnosti x k+1 x k ε. 10

12 Obrázek 3: Newtonova metoda 11

13 4. Metody prvního řádu 4.1. Metoda půlení intervalu Metoda půlení intervalu je známá také pod pojmy Bolzanova metoda, metoda bisekce nebo metoda dichotomie. Jedná se o nejjednodušší iterační metodu, která spočívá v utvoření posloupnosti intervalů I k = [a k, b k ], I k+1 I k, kde délka následujícího intervalu s k+1 je vždy poloviční oproti původnímu intervalu s k s k+1 = 1 2 s k = 1 2 (b k a k ), tedy optimální bod x I k, a 1 = a, b 1 = b, k = 1 : N. Intuitivně je zřejmé, že lim I k = x k lim s k = 0. k Z unimodálnosti funkce je zřejmé, že jestliže nalezneme hledané minimum x na intervalu [a, b], pak nám tento bod rozdělí funkci f tak, že na intervalu [a, x ] klesá a na intervalu [x, b] roste. Z toho nám plyne, že x [a, x ] je f (x) < 0 a x [x, b] je f (x) > 0. Přirozeně platí, že f (x ) = 0. Na těchto vlastnostech postavíme metodu půlení intervalu. V prvním kroku položíme a 1 = a, b 1 = b, x 1 = 1 2 (a 1 + b 1 ), s 1 = b 1 a 1 = b a, a pro k = 1 : N opakujeme postup níže, dokud nedostaneme požadovanou přesnost 1. jestliže f (x k ) < 0 x > x k, položíme a k+1 = x k, b k+1 = b k, x k+1 = 1 2 (a k+1 + b k+1 ) 12

14 2. jestliže f (x k ) > 0 x < x k, položíme a k+1 = a k, b k+1 = x k, x k+1 = 1 2 (a k+1 + b k+1 ) 3. jestliže f (x k ) = 0 x k je hledané minimum. Lze odvodit, že nutný počet iterací pro dosažení požadované přesnosti ε je dán vztahem N log b a 2ε log Metoda sečen Metoda sečen, někdy také nazývaná jako sekantová, vychází z Newtonovy metody. Počítání funkčních hodnot první a druhé derivace může být pracné, a tak aproximujeme f (x k ) takto f (x k ) f (x k ) f (x k 1 ) x k x k 1. Následným dosazením do vzorce pro Newtonovu metodu dostaneme x k+1 = x k x k x k 1 f (x k ) f (x k 1 ) f (x k ). Takto jsme získali metodu sečen, která požaduje na vstup dvě počáteční iterace x k, x k 1 a funkční hodnoty první derivace v těchto bodech. Geometrický význam spočívá v nalezení iterace x k+1 jako průsečíku přímky [(x k, f(x k )), (x k 1, f(x k 1 ))] s osou x Metoda regula falsi Metoda regula falsi, v literatuře někdy uváděná jako "method of false position", je dalším typem iterační metody, která vychází z metody Newtonovy. Newtonova metoda je založena na informacích o jediném bodu x k, funkční hodnotě a funkční hodnotě první a druhé derivace v tomto bodě. Užitím více bodů snížíme požadavky na každý z nich. Metoda regula falsi tedy spočívá v užití bodu x k a 13

15 v hodnotách f(x k ), f (x k ), f (x k 1 ). Poté můžeme vytvořit kvadratickou funkci h(x) h(x) = f(x k ) + f (x k )(x x k ) + f (x k 1 ) f (x k ). (x x k) 2, x k 1 x k 2 která má odpovídající hodnoty stejné. Stejně jako u Newtonovy metody funkci zderivujeme, dosadíme do bodu x k+1 a položíme rovnu nule: A po úpravě dostáváme h (x) = f (x k ) + (f (x k 1 ) f (x k ))(x x k ) x k 1 x k h (x k+1 ) = f (x k ) + (f (x k 1 ) f (x k ))(x k+1 x k ) x k 1 x k = 0 x k+1 = x k f x k 1 x k (x k ). f (x k 1 ) f (x k ) Metoda regula falsi také nezávisí na hodnotě f(x k ), proto naše aproximace povede buď přes f(x k ) nebo f(x k 1 ). Na tuto metodu se dá také nahlížet jako na aproximaci Newtonovy metody, kde druhou derivaci nahradíme rozdílem dvou prvních derivací ve dvou různých bodech. Další podobností s metodou tečen je, že se dá také psát ve tvaru f (x) g(x) = 0, tedy také iterační předpis je možné přepsat na tvar x k 1 x k x k+1 = x k g(x k ). g(x k 1 ) g(x k ). 14

16 Obrázek 4: Princip metody regula falsi, první tři iterace 4.4. Metoda kubické interpolace Další metoda, která je při jednorozměrné minimalizaci užitečná, se nazývá metoda kubické interpolace. Je založena na polynomu třetího stupně neboli na kubickém polynomu: y = f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3. Z nákresu polynomu y je zřejmé, že polynom může mít minimum stejně tak jako maximum. Obrázek 5: Kubická funkce, vlevo s koeficentem a 3 > 0, vpravo s koeficientem a 3 < 0 15

17 minima x y (x ) = 2a 2 + 6a 3 x > 0 Nyní si ukážeme způsob, jakým nalezneme hledané minimum. Postupujeme jako při obvyklém hledání extrému, tedy položíme první derivaci funkce rovno nule: y = f (x) = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 = 0 Vypočteme kořeny této kvadratické rovnice klasickým způsobem a dostáváme x = 2a 2 ± 4a a 1 a 3 = a 2 ± a 2 2 3a 1 a 3 6a 3 3a 3 Z matematické analýzy plyne, že v bodech lokálního minima je druhá derivace kladná, takže nám platí následující vztah pro druhou derivaci v hledaném bodě neboli x > a 2 3a 3 (1) Za vztahu (1) a odvození je nyní zřejmé, který ze dvou kořenů je minimum. Neznámé koeficienty a 0, a 1, a 2, a 3 se dají určit několika způsoby, jedním z nich je vycházet ze systému rovnic y 1 = f(x 1 ) = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x a 3 x 3 1 y 2 = f(x 2 ) = a 0 + a 1 x 2 + a 2 x a 3 x 3 2 y 3 = f(x 3 ) = a 0 + a 1 x 3 + a 2 x a 3 x 3 3, a k tomuto systému přidat funkční hodnotu první derivace v jednom z bodů x 1, x 2, x 3, vybereme například bod x 1, tedy platí y = f (x) = a 1 + 2a 2 x + 3a 3 x 2 y 1 = f (x 1 ) = a 1 + 2a 2 x 1 + 3a 3 x 2 1 Řešením tohoto systému čtyř rovnic o čtyřech neznámých nalezneme hodnoty koeficientů a 0, a 1, a 2, a 3, přičemž koeficient a 0 nás početně nezajímá. Hodnoty koeficientů jsou nicméně velmi rozsáhlé, proto je zapisujeme touto formou: 16

18 a 1 = y 1 2a 2 x 1 3a 3 x 2 1 a 2 = α γa 3 a 3 = α β γ δ, kde α = y 2 y 1 + y 1(x 1 x 2 ) (x 1 x 2 ) 2 β = y 3 y 1 + y 1(x 1 x 3 ) (x 1 x 3 ) 2 γ = 2x2 1 x 2 (x 1 + x 2 ) (x 1 x 2 ) δ = 2x2 1 x 3 (x 1 + x 3 ) (x 1 x 3 ) Je zřejmé, že při užití metody kubické interpolace zahrnuje jedna iterace mnohem více počítání, než-li při užití interpolace kvadratické. I přesto však může být kubická interpolace účinnější než kvadratická, protože aproximace funkce f(x) polynomem třetího řádu je přesnější než aproximace polynomem řádu dva. Obrázek 6: Příklad užití metody kubické interpolace, funkci f(x) = x 5 2x proložíme kubickou křivkou y = 1.75x x 2 2x 17

19 5. Metody nevyužívající derivace 5.1. Metoda kvadratické interpolace Metoda kvadratické interpolace (někdy také známá jako Powellova metoda) je iterační metoda, která požaduje na vstup do algoritmu (a také do každé další iterace) tři body - (x i, y i ), y i = f(x i ), i = 1, 2, 3. Těmito body poté proložíme kvadratickou parabolu y = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 (2) a najdeme její extrém, jehož souřadnice označíme (x 4, y 4 ). Pro extrém kvadratické fce (2) platí Řešení systému rovnic dy dx = a 1 + 2a 2 x => x 4 = x = a 1 2a 2. y 1 = a 0 + a 1 x 1 + a 2 x 2 1 y 2 = a 0 + a 1 x 2 + a 2 x 2 2 y 3 = a 0 + a 1 x 3 + a 2 x 2 3 vede k hodnotám koeficientů a 1, a 2. Po odečtení první rovnice od druhé dostáváme výraz y 2 y 1 = a 1 (x 2 x 1 ) + a 2 (x 2 2 x 2 1) => a 1 = y 2 y 1 a 2 (x 2 2 x 2 1) x 2 x 1 Po odečtení první rovnice od třetí dostáváme výraz y 3 y 1 = a 1 (x 3 x 1 ) + a 2 (x 2 3 x 2 1) a po dosazení již odvozeného a 1 dostaneme y 3 y 1 = y 2 y 1 a 2 (x 2 2 x 2 1) x 2 x 1 (x 3 x 1 ) + a 2 (x 2 3 x 2 1) (y 3 y 1 )(x 2 x 1 ) = (y 2 y 1 a 2 (x 2 2 x 2 1))(x 3 x 1 ) + a 2 (x 2 3 x 2 1)(x 2 x 1 ) 18

20 (y 3 y 1 )(x 2 x 1 ) = (y 2 y 1 )(x 3 x 1 ) + a 2 ((x 2 3 x 2 1)(x 2 x 1 ) (x 2 2 x 2 1)(x 3 x 1 )) a 2 = (y 3 y 1 )(x 2 x 1 ) (y 2 y 1 )(x 3 x 1 ) (x 2 3 x 2 1)(x 2 x 1 ) (x 2 2 x 2 1)(x 3 x 1 ) Dosazením do rovnice x = x 4 = a 1 2a 2 dostáváme výraz x = a 1 2a 2 = (y 2 y 1 ) + a 2 (x 2 2 x 2 1) x 2 x 1 2a 2 = = (y 2 y 1 ) + (x2 x1)(y3 y1) (x3 x1)(y2 y1) (x 2 3 x2 1 )(x 2 x 1 ) (x 2 2 x2 1 )(x 3 x 1 ) (x2 2 x 2 1) 2 (x 2 x 1 )(y 3 y 1 ) (x 3 x 1 )(y 2 y 1 ) (x 2 3 x2 1 )(x 2 x 1 ) (x 2 2 x2 1 )(x 3 x 1 ) (x 2 x 1 ) = 1 2.(x2 2 x 2 1)(y 3 y 1 ) (x 2 3 x 2 1)(y 2 y 1 ) (x 2 x 1 )(y 3 y 1 ) (x 3 x 1 )(y 2 y 1 ) Další postup při hledání extrému funkce f na intervalu [a, b]: = 1. V bodech x 1 = a, x 2 = b, x 3 = a + b 2 f(x i ), i = 1, 2, 3. vypočítáme hodnoty funkce y i = 2. Využitím vztahu pro x 4 vypočítáme další aproximaci polohy extrému. Dále vypočítáme y 4 = f(x 4 ). 3. Zjistíme, zda hodnoty funkce vyhovují požadavku na přesnost, tedy jestli platí vztah x 3 x 4 ε, jestliže ano, přejdeme k následující bodu. Jestliže vztah není splněn, je třeba udělat tyto substituce x 1 = x 2, y 1 = y 2 x 2 = x 3, y 2 = y 3 x 3 = x 4, y 3 = y 4, a vrátit se k bodu 2. 19

21 4. Výpočet nyní můžeme ukončit, souřadnice extrému jsou (x 4, y 4 ). Obrázek 7: Princip metody kvadratické interpolace Nevýhoda metody kvadratické interpolace je v tom, že někdy může selhat i při unimodální funkci, například tehdy, když není účelová funkce při hledání minima konvexní. Důvodem je to, že při prokládání bodů parabolou může vzniknout parabola konkávní a extrém, který nalezneme, nebude hledané minimum, ale naopak maximum funkce. Poté metoda kvadratické interpolace nepočítá správné hodnoty a je třeba užít jinou metodu. Příklad 1. Metodou kvadratické interpolace nalezněte minimum funkce f(x) = x 5 2x na intervalu [ 1, 0.5], kde přesnost ε = Zaokrouhlujte na tři desetinná místa. V prvním kroku kvadratické interpolace volíme jako body x 1,x 2 krajní body intervalu a jako bod x 3 = a + b 2. Poté vypočítáme hodnoty y i = f(x i ) pro i = 1 : 3 a hodnotu x 4. 20

22 x 1 = 1, y 1 = 1 x 2 = 0.5, y 2 = x 3 = 0.75, y 3 = x 4. = 0.794, y4. = x 3 x 4 = > Přesnost nebyla splněna, je potřeba udělat dané substituce a opakovat postup. x 1 = 0.5, y 1 = x 2 = 0.75, y 2 = x 3 = 0.794, y 3 = x 4. = 0.804, y4. = x 3 x 4 = 0.01 = Nyní je splněna přesnost, ale je zřejmé, že výsledek není správný, protože funkční hodnota v bodě x 4 je 1.272, což je více než funkční hodnota v krajním bodě intervalu x 1 = 0.5, kde f(x 1 ) = y 1 = 0.969, tedy v bodě x 4 určitě neleží minimum. Naopak se nám povedlo nalézt maximum dané funkce na tomto intervalu. Důvodem je to, že funkce není na našem intervalu konvexní, i přesto, že je unimodální. Z definice konvexity platí, že pro libovolnou dvojici bodů x 1, x 2 I a libovolné λ [0, 1] platí vztah f(λx 1 + (1 λ)(x 2 )) λf(x 1 ) + (1 λ)f(x 2 ). Zvolíme-li tedy za x 1 = 1, x 2 = 0.5 a λ = 0.5, dostáváme f( 0.75) 1 (f( 1) + f( 0.5)) = , 2 což ale určitě neplatí Rovnoměrná komparativní metoda bodů Rovnoměrná komparativní metoda spočívá v rozdělení intervalu [a, b] pomocí x k = a + k b a N + 1, k = 1 : N 21

23 a nalezení f(x m ) = min 1 k N f(x k). Optimální bod x se tedy nachází v intervalu [x m 1, x m+1 ] a lze psát x = x m ± b a N + 1 U komparativních metod nazýváme určení hodnoty účelové funkce (ať už výpočtem či experimentálním měřením) experiment. Efektivnost metody je vyjádřena poměrem délky počátečního intervalu k délce posledního j-tého intervalu neurčitosti, tedy E = b a l j. Pokud není předem dán počet experimentů N, lze z požadované přesnosti ε tato hodnota odvodit, neboť l j = x m+1 x m 1 = 2. b a N + 1 2ε b a N + 1 ε b a ε(n + 1) b a εn + ε b a ε εn N b a ε 1 22

24 Vztah pro efektivnost se dá také upravit následujícím způsobem E = b a l j = b a 2(b a) N+1 = N Obrázek 8: Princip rovnoměrné komparativní metody 5.3. Metoda zlatého řezu Metoda zlatého řezu se řadí mezi postupné komparativní metody. Stejně jako u metody půlení intervalu vytvoříme posloupnost intervalů I k = [a k, b k ], I k+1 I k... I 2 I 1 = [a, b], kde délka intervalů s se neustále snižuje s k+1 < s k < < s 2 < s 1 = b a. Je tedy zřejmé, že opět lim I k = x k 23

25 lim s k = 0. k Metoda zlatého řezu je založena na rozdělení intervalu neurčitosti následujícím způsobem s k 1 s k = s k s k+1 = r = konst. a platí s k 1 = s k + s k+1, k = 2 : N Obrázek 9: Dělení intervalu metodou zlatého řezu Dosazením do proměnné r dostaneme kvadratickou rovnici r 2 r 1 = 0, která má dva reálné kořeny. Zajímá nás jen kladný kořen r = = 1, , který se nazývá zlatý řez. Platí pro něj následující vztahy 1 r = = 0, , 1 r = = 0, , 1 r r = 1. Obrázek 10: k-tý krok dělení metodou zlatého řezu 24

26 V prvním kroce položíme a 1 = a, b 1 = b, x 1 1 = a r 2 (b 1 a 1 ), x 2 1 = b 1 1 r 2 (b 1 a 1 ), s 1 = b 1 a 1 = b a a pro k = 2 : N 1 opakujeme tento postup 1. jestliže f(x 1 k 1 ) f(x2 k 1 ), položíme a k = a k 1, b k = x 2 k 1, x 1 k = a k + 1 r 2 (b k a k ), x 2 k = x1 k 1 2. jestliže f(x 1 k 1 ) > f(x2 k 1 ), položíme a k = x 1 k 1, b k = b k 1, x 1 k = x2 k 1, x2 k = b k 1 r 2 (b k a k ) V posledním, N-tém kroce, užijeme tento postup 1. jestliže f(x 1 k 1 ) f(x2 k 1 ), položíme a N = a N 1, b N = x 2 N 1, x N = 1 2 (a N + b N ) 2. jestliže f(x 1 k 1 ) > f(x2 k 1 ), položíme a N = x 1 N 1, b N = b N 1, x N = 1 2 (a N + b N ). Lze odvodit, že nutný počet iterací pro dosažení požadované přesnosti ε je dán vztahem N log b a 2ε log r Fibonacciho metoda Fibonacciho metoda, někdy též známá pod pojmem Kieferova, je modifikací metody zlatého řezu. Je také založena na posloupnosti intervalů I k = [a k, b k ] a na práci s délkami těchto intervalů. Při snaze zkrátit délky intervalů neurčitosti využívá Fibonacciho číselné posloupnosti. Počítací technika je podobná jako v metodě zlatého řezu. Algoritmus postupu je součástí přílohy. 25

27 6. Příklady V této kapitole si pro ilustraci uvedeme jednoduché příklady na určité typy metod. Příklad 2. Newtonovou metodou, metodou půlení intervalu, metodou sečen a metodou kubické interpolace nalezněte minimum funkce f(x) = x 3 5x + 3 na intervalu [1, 2], kde přesnost ε = Zaokrouhlujte na čtyři desetinná místa. V metodách užívajících derivace je zapotřebí první a druhá derivace f(x), tedy f (x) = 3x 2 5, f (x) = 6x. Newtonova metoda Jako vhodné se jeví zvolit za počáteční iteraci některý bod intervalu, tedy například zvolíme x 1 = 1. Dále spočítáme hodnoty f (x 1 ) = 2, f (x 1 ) = 6. Druhou iteraci spočítáme dosazením do vzorce Newtonovy metody a dostáváme Poté otestujeme přesnost x 2 = x 1 f (x 1 ) f (x 1 ) = 4 3. x 2 x 1 = 1 3 > Přesnost není splněna, je třeba pokračovat další iterací. f (x 2 ) = 1 3, f (x 2 ) = 8, x 3 = x 2 f (x 2 ) f (x 2 ) = = , x 3 x 2 = < Výpočet nyní můžeme ukončit, požadovaný výsledek je (x 3, f(x 3 )) = (1.2917, ). 26

28 Metoda půlení intervalu Jako první je dobré spočítat si potřebný počet iterací N, který zaručuje dosažení přesnosti. N V prvním kroce pokládáme log b a 2ε log2 = log log2 = 3.32 = N = 4. a 1 = a = 1, b 1 = b = 2, x 1 = 1.5. Spočítáme f (x 1 ) = 1.75 > 0 a algoritmem metody bisekce pokračujeme. a 2 = a 1 = 1, b 2 = x 1 = 1.5, x 2 = 1.25, f (x 2 ) = < 0 a 3 = x 2 = 1.25, b 3 = b 2 = 1.5, x 3 = 1.375, f (x 3 ). = > 0 a 4 = a 3 = 1.25, b 4 = x 3 = 1.375, x 4 = Námi hledané minimum je tedy v bodě (x 4, f(x 4 )) = (1.3125, ). Metoda sečen V metodě sečen je zapotřebí na vstup dvě iterace. Zvolíme proto krajní body našeho intervalu a dopočítáme hodnoty potřebné pro vzorec. x 1 = 1, x 2 = 2, f (x 1 ) = 2, f (x 2 ) = 7, x 2 x 1 x 3 = x 2 f (x 2 ) f (x 1 ).f (x 2 ) = , x 3 x 2 = > 0.05 x 3 x 2 x 4 = x 3 f (x 3 ) f (x 2 ).f (x 3 ) = , x 4 x 3 = > 0.05 x 4 x 3 x 5 = x 4 f (x 4 ) f (x 3 ).f (x 4 ) = , x 4 x 3 = < 0.05 V páté iteraci jsme nalezli výsledek odpovídající kritériím přesnosti, (x 5, f(x 5 )) = (1.2914, ). 27

29 Metoda kubické interpolace Jelikož zadaná funkce je třetího stupně, není třeba počítat koeficienty v kubické interpolaci, stačí si pouze uvědomit, že a 0 = 3, a 1 = 5,a 2 = 0,a 3 = 1. Poté dosadíme do vzorce pro minimum x = a 2 ± a 2 2 3a 1 a 3 ( 3)(5) = ± 3a 3 3. = ± Z teorie metody kubické interpolace ale víme, že musí platit následující vztah, ze kterého je jasné, který z kořenů je minimum. x > a 2 3a 3 > 0 = x = Příklad 3. Metodou kvadratické interpolace, rovnoměrnou komparativní metodou a metodou zlatého řezu nalezněte minimum funkce f(x) = 3x 3 2x + 7 na intervalu [0, 1], kde přesnost ε = 0.1. Zaokrouhlujte na tři desetinná místa. Metoda kvadratické interpolace V kvadratické interpolaci volíme jako body x 1,x 2 krajní body intervalu a jako bod x 3 = a + b 2. Dále vypočítáme hodnoty y i = f(x i ) pro i = 1 : 3 a hodnotu x 4. Pak otestujeme přesnost. x 1 = 0, y 1 = 7 x 2 = 1, y 2 = 8 x 3 = 0.5, y 3 = x 4. = 0.389, y4. = x 3 x 4 = > 0.1. Přesnost není splněna, je třeba udělat substituce a zopakovat daný postup. 28

30 x 1 = 1, y 1 = 8 x 2 = 0.5, y 2 = x 3 = 0.389, y 3 = x 4. = 0.464, y4. = x 3 x 4 = < 0.1. Splnili jsme požadavek přesnosti a tím nalezli minimum funkce, kterým je bod (x 4, f(x 4 )) = (0.464, 6.372). Rovnoměrná komparativní metoda V této metodě je vhodné začít spočítáním počtu iterací N pro zaručení přesnosti. N b a ε 1 = 9 = N = 9. k(b a) Pomocí vzorce x k = a+ spočítáme devět iterací a jejich funkční hodnoty. N + 1 Z funkčních hodnot pak vybereme tu nejmenší. x 1 = 0.1, f(x 1 ) = x 2 = 0.2, f(x 2 ) = x 3 = 0.3, f(x 3 ) = x 4 = 0.4, f(x 4 ) = x 5 = 0.5, f(x 5 ) = x 6 = 0.6, f(x 6 ) = x 7 = 0.7, f(x 7 ) = x 8 = 0.8, f(x 8 ) = x 9 = 0.9, f(x 9 ) = Nejmenší funkční hodnota je f(x 5 ) = = minimum se nachází v bodě (x 5, f(x 5 )) = (0.5, 6.375). Metoda zlatého řezu Opět začneme výpočtem N log b a 2ε logr tedy aplikujeme metodu zlatého řezu podle popisu = = N = 5. V pěti krocích 29

31 1. a 1 = a = 0, b 1 = b = 1, x 1 1 = 0.382, x 2 1 = f(x 1 1) = < f(x 2 1) = a 2 = a 1 = 0, b 2 = x 2 1 = 0.618, x 1 2 = 0.236, x 2 2 = f(x 1 2) = > f(x 2 1) = a 3 = x 1 2 = 0.236, b 3 = b 2 = 0.618, x 1 3 = 0.382, x 2 3 = f(x 1 3) = > f(x 2 3) = a 4 = x 1 3 = 0.382, b 4 = b = 3 = 0.618, x 1 4 = 0.472, x 2 4 = f(x 1 4) = < f(x 2 4) = a 5 = a 4 = 0.382, b 5 = x 2 4 = 0.528, x 1 5 = x 2 5 = Minimum jsme našli v bodě (x 5, f(x 5 )) = (0.455, 6.373). Následující příklady budou popsány velmi stručným, ilustračním způsobem. Příklad 4. Metodami využívajícími derivace nalezněte minimum funkce f(x) = 6x 4 7sin(x) na intervalu [0, 1], kde přesnost ε = Zaokrouhlujte na čtyři desetinná místa. f (x) = 24x 3 7cos(x), f (x) = 72x 2 + sin(x) Newtonova metoda Za počáteční bod nelze zvolit nula, protože ve vzorci Newtonovy metody bychom dostali nulu ve jmenovateli. Jako počáteční bod tedy zvolíme x 1 = 1. x 2 = , x 2 x 1 = > 0.01 x 3 = , x 3 x 2 = > 0.01 x 4 = , x 4 x 3 = > 0.01 x 5 = , x 5 x 4 = < 0.01 Minimum nalezené Newtonovou metodou leží v bodě (0.6193, ). 30

32 Metoda půlení intervalu N log b a 2ε log2 = log log2 = 5.64 = N = 6. a 1 = a = 0, b 1 = b = 1, x 1 = 0.5 f (x 1 ) = < 0 a 2 = x 1 = 0.5, b 2 = b 1 = 1, x 2 = 0.75, f (x 2 ) = > 0 a 3 = a 2 = 0.5, b 3 = x 2 = 0.75, x 3 = 0.625, f (x 3 ) = > 0 a 4 = a 3 = 0.5, b 4 = x 3 = 0.625, x 4 = f (x 4 ) = < 0 a 5 = x 4 = , b 5 = b 4 = 0.625, x 5 = , f (x 5 ) = < 0 a 6 = x 5 = , b 6 = b 5 = 0.625, x 6 = , Námi hledané minimum je (0.6094, ). Metoda sečen, metoda regula falsi Metoda regula falsi vychází v tomto příkladu při zaokrouhlení na čtyři desetinná místa stejně jako metoda sečen, proto jsou jejich hodnoty uvedeny společně. x 1 = 0, x 2 = 1, f (x 1 ) = 7, f (x 2 ) = , x 3 = x 3 x 2 = > 0.01 x 4 = x 4 x 3 = > 0.01 x 5 = x 5 x 4 = > 0.01 x 6 = x 6 x 5 = > 0.01 x 7 = x 7 x 6 = > 0.01 x 8 = x 8 x 7 = > 0.01 x 9 = x 9 x 8 = <

33 Metoda kubické interpolace Za vstupní body zvolíme hodnoty x 1 = 0,x 2 = 0.5,x 3 = 1. x 1 = 0 y 1 = 0 x 2 = 0.5 y 2 = x 3 = 1 y 3 = y 1 = 7 α = a 3 = β = a 2 = γ = 0.5 a 1 = 7 δ = 1 x m1 = x m2 = x > a 2 3a 3 > x = x m2 = y m = max(y 1, y 2, y 3 ) m = 3 x 0 = x = x m = x 3 = x = x 1 = 0 y 1 = 0 x 2 = 0.5 y 2 = x 3 = y 3 = y 1 = 7 α = a 3 = β = a 2 = γ = 0.5 a 1 = 7 δ = x m1 = x m2 = x > a 2 3a 3 > x = x m2 = y m = max(y 1, y 2, y 3 ) m = 1 x 0 = x = x m = x 1 = x =

34 x 1 = y 1 = x 2 = 0.5 y 2 = x 3 = y 3 = y 1 = α = a 3 = β = a 2 = γ = a 1 = δ = x m1 = x m2 = x > a 2 3a 3 > x = x m2 = Aproximací kubickým polynomem jsme nalezli minimum (0.6193, ). Příklad 5. Metodami bez využití derivací nalezněte minimum funkce f(x) = sinh(x) 4x 2 na intervalu [ 1, 0], kde přesnost ε = 0.1. Zaokrouhlujte na čtyři desetinná místa. Metoda kvadratické interpolace x 1 = 1 y 1 = x 2 = 0 y 2 = 0 x 3 = 0.5 y 3 = x 4 = x 3 x 4 = > 0.1 x 1 = 0 y 1 = 0 x 2 = 0.5 y 2 = x 3 = y 3 = x 4 = x 3 x 4 = < 0.1 Minimum bylo nalezeno v bodě ( , ). 33

35 Rovnoměrná komparativní metoda N b a ε 1 = 9 = N = 9. x 1 = 0.9, f(x 1 ) = x 2 = 0.8, f(x 2 ) = x 3 = 0.7, f(x 3 ) = x 4 = 0.6, f(x 4 ) = x 5 = 0.5, f(x 5 ) = x 6 = 0.4, f(x 6 ) = x 7 = 0.3, f(x 7 ) = x 8 = 0.2, f(x 8 ) = x 9 = 0.1, f(x 9 ) = Nejmenší funkční hodnota je f(x 9 ), minimum se nachází v bodě ( 0.1, ). Metoda zlatého řezu N log b a 2ε logr + 1. = = N = 5 1. a 1 = 1, b 1 = 0, x 1 1 = 0.618, x 2 1 = f(x 1 1) = > f(x 2 1) = a 2 = 0.618, b 2 = 0, x 1 2 = 0.382, x 2 2 = f(x 1 2) = > f(x 2 1) = a 3 = 0.382, b 3 = 0, x 1 3 = 0.236, x 2 3 = f(x 1 3) = > f(x 2 3) = a 4 = 0.236, b 4 = 0, x 1 4 = , x 2 4 = f(x 1 4) = < f(x 2 4) = a 5 = 0.236, b 5 = , x 1 5 = x 2 5 =

36 Minimum jsme našli v bodě (x 5, f(x 5 )) = ( , ). Fibonacciho metoda N log b a 2ε logr + log 5 logr 1. = = N = 5 F 1 = F 2 = 2 F 3 = F 4 = 5 F 5 = a 1 = 1, b 1 = 0, x 1 1 = , x 2 1 = f(x 1 1) = > f(x 2 1) = a 2 = , b 2 = 0, x 1 2 = , x 2 2 = f(x 1 2) = > f(x 2 1) = a 3 = , b 3 = 0, x 1 3 = , x 2 3 = f(x 1 3) = > f(x 2 3) = a 4 = , b 4 = 0, x 1 4 = = x 2 4 f(x 1 4) = > f(x g) = , kde g= a 5 = , b 5 = 0, x 1 5 = x 2 5 = Minimum leží v bodě ( , ). 35

37 Literatura [1] Antoniou, A., Lu, W-S.: Practical Optimization: Alghoritms and Engineering applications. Springer, [2] Brunovská, A.: Malá optimalizácia: Metódy, programy, príklady. Alfa, Bratislava, [3] Luenberger, D.G., Ye, Y.: Linear and Nonlinear Programming. 3rd Edition, Springer, [4] Machalová, J.: Numerické metody (učební text), [5] Machalová, J., Netuka, H.: Numerické metody nepodmíněné optimalizace. PřF UP, [6] Míka, S.: Matematická optimalizace. Vydavatelství ZČU Plzeň, [7] Netuka, H.: Numerické metody optimalizace (učební text), [8] [online ] (Dostál, Z., Beremlijski, P.: Metody optimalizace - interaktivní verze. VŠB - TUO, ZČU, 2012) [9] [online ] (Dokanová, L.: Konvexní funkce. PřF MU, 2007) [10] [online ] (Urbánek, J.: Hledání minima funkce jedné proměnné. PřF MU, 2006) [11] [online ] (Wikipedia.org: Metoda tečen) [12] [online ] (Vítečková, M., Jedlička, D.: Statická optimalizace systému. VŠB-TU Ostrava, 2003) 36

1a. Metoda půlení intervalů (metoda bisekce, Bisection method) Tato metoda vychází z vlastnosti mezihodnoty pro spojité funkce.

1a. Metoda půlení intervalů (metoda bisekce, Bisection method) Tato metoda vychází z vlastnosti mezihodnoty pro spojité funkce. Hledání kořenů Úloha: Pro danou funkci f(x) máme najít číslo r tak, aby f(r) = 0. Pozor, počítač totiž kořen nepozná! Má jistou přesnost výpočtu δ > 0 a prohlásí f(r) = 0 pokaždé, když f(x) < δ. Není ovšem

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2.

Aproximace funkcí. x je systém m 1 jednoduchých, LN a dostatečně hladkých funkcí. x c m. g 1. g m. a 1. x a 2. x 2 a k. x k b 1. x b 2. Aproximace funkcí Aproximace je výpočet funkčních hodnot funkce z nějaké třídy funkcí, která je v určitém smyslu nejbližší funkci nebo datům, která chceme aproximovat. Třída funkcí, ze které volíme aproximace

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

5. Interpolace a aproximace funkcí

5. Interpolace a aproximace funkcí 5. Interpolace a aproximace funkcí Průvodce studiem Často je potřeba složitou funkci f nahradit funkcí jednodušší. V této kapitole budeme předpokládat, že u funkce f známe její funkční hodnoty f i = f(x

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ

PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7. Najděte rovnici tečny ke křivce y x v bodě a. x Tečna je přímka. Přímka se zapisuje jako lineární

Více

Matematika pro informatiku 4

Matematika pro informatiku 4 Matematika pro informatiku 4 Doc. RNDr. Alena Šolcová, Ph. D., KTI FIT ČVUT v Praze 7.března 2011 Evropský sociální fond Investujeme do vaší budoucnosti Alena Šolcová Lámejte si hlavu - L1 Určete všechny

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel

3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel 3. Optimalizace pomocí nástroje Řešitel Rovnováha mechanické soustavy Uvažujme dvě různé nehmotné lineární pružiny P 1 a P 2 připevněné na pevné horizontální tyči splývající s osou x podle obrázku: (0,0)

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

5. Kvadratická funkce

5. Kvadratická funkce @063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Škola matematického modelování 2015. Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Lukáš Malý, Marie Sadowská, Robert Skopal

Škola matematického modelování 2015. Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Lukáš Malý, Marie Sadowská, Robert Skopal Počítačová cvičení Škola matematického modelování 2015 Petr Beremlijski, Rajko Ćosić, Lukáš Malý, Marie Sadowská, Robert Skopal Počítačová cvičení Škola matematického modelování Petr Beremlijski, Rajko

Více

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 9. srpna 05 Materiál je v aktuální

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR. výnos do splatnosti...

Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR. výnos do splatnosti... Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR (Remarks on the economic criterion the Internal Rate of Return ) Carmen Simerská IRR... vnitřní míra výnosnosti, vnitřní výnosové procento, výnos do splatnosti...

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Cyklometrické funkce

Cyklometrické funkce Cyklometrické funkce Definice. Cyklometrické funkce jsou funkce arcsin(x) (čteme arkussinus x), arccos(x) (čteme arkuskosinus x), arctg(x) (čteme arkustangens x) a arccotg(x) (čteme arkuskotangens x),

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací

Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Derivace a průběh funkce příklady z písemných prací Vyšetřete průběh následuících funkcí. Příklad. = x +arctg( x ). D(f) =R.. Funkce e spoitá na R. 3. Funkce není lichá, sudá, ani periodická.. lim x ±

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165.

Jakub Opršal. online prostředí, Operační program Praha Adaptabilita, registrační číslo CZ.2.17/3.1.00/31165. TEORIE ČÍSEL MNOHOČLENŮ A MNOHOČLENY V TEORII ČÍSEL Jakub Opršal Kurz vznikl v rámci projektu Rozvoj systému vzdělávacích příležitostí pro nadané žáky a studenty v přírodních vědách a matematice s využitím

Více

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4

Přednáška z MA. Michal Tuláček 16. prosince 2004. 1 IV.7 Průběhy funkce 3. 2 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 Přednáška z MA Michal Tuláček 6. prosince 004 Obsah IV.7 Průběhy funkce 3 Vyšetřování průběhu funkce- KUCHAŘKA 4 3 Vzorový příklad na průběh funkce ze cvičení 4 4 Příkladynadobumezikapremahusou 7 Definice:

Více

Numerické řešení variačních úloh v Excelu

Numerické řešení variačních úloh v Excelu Numerické řešení variačních úloh v Excelu Miroslav Hanzelka, Lenka Stará, Dominik Tělupil Gymnázium Česká Lípa, Gymnázium Jírovcova 8, Gymnázium Brno MirdaHanzelka@seznam.cz, lenka.stara1@seznam.cz, dtelupil@gmail.com

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta

opravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375

Více

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat?

Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab. 1. Co budeme potřebovat? Vyšetřování průběhu funkce pomocí programu MatLab K práci budeme potřebovat následující příkazy pro 1. Co budeme potřebovat? (a) zadání jednotlivých výrazů symbolicky (obecně) (b) řešení rovnice f()=0,

Více

Cvičení 1 Elementární funkce

Cvičení 1 Elementární funkce Cvičení Elementární funkce Příklad. Najděte definiční obor funkce f = +. + = + =, = D f =,. Příklad. Najděte definiční obor funkce f = 3. 3 3 = > 3 3 + =, 3, 3 = D f =, 3, 3. ± 3 = Příklad 3. Nalezněte

Více

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc.

Numerické metody. Autoři textu: RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Numerické metody Garant předmětu: doc. RNDr. Libor Čermák, CSc. Autoři textu: Mgr. Irena Růžičková RNDr. Rudolf Hlavička, CSc. Ústav matematiky

Více

Numerické algoritmy KAPITOLA 11. Vyhledávání nulových bodů funkcí

Numerické algoritmy KAPITOLA 11. Vyhledávání nulových bodů funkcí Numerické algoritmy KAPITOLA 11 V této kapitole: Vyhledávání nulových bodů funkcí Iterativní výpočet hodnot funkce Interpolace funkcí Lagrangeovou metodou Derivování funkcí Integrování funkcí Simpsonovou

Více

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii

MASARYKOVA UNIVERZITA. Řešené příklady na extrémy a průběh funkce se zaměřením na ekonomii MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Řešené příklad na etrém a průběh funkce se zaměřením na ekonomii Bakalářská práce Veronika Kruttová Brno 008 Prohlášení: Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce

Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Využití programu MS Excel při výuce vlastností kvadratické funkce Martin Mikuláš Tabulkové kalkulátory lze ve škole velmi dobře využít při výuce matematiky. Lze v nich totiž snadno naprogramovat aplikace,

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík

NUMERICKÉ METODY. Josef Dalík NUMERICKÉ METODY Josef Dalík Zdroje chyb Při řešení daného technického problému numerickými metodami jde zpravidla o zjištění některých kvantitativních charakteristik daného procesu probíhajícího v přírodě

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista

Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích. MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Ekonomická fakulta, Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích MATEMATICKÝ SOFTWARE MAPLE - MANUÁL Marek Šulista Matematický software MAPLE slouží ke zpracování matematických problémů pomocí jednoduchého

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních!

A 9. Počítejte v radiánech, ne ve stupních! A 9 Př.. Je dána rovnice sin + 2 = 0. Najděte interval délky, v němž leží kořen rovnice. Metodou půlení intervalů tento interval zužte až na interval délky 0,25. Pak kořen najděte s přesností ε = 0,00

Více

9 INTERPOLACE A APROXIMACE

9 INTERPOLACE A APROXIMACE 1 9 INTERPOLACE A APROXIMACE Vzorová úloha 9.1 Náhrada funkce exp(x) Nalezněte interpolační polynom, který aproximuje funkci exp(x) v intervalu {0, 1} tak, že v krajních bodech x 1 = 0 a x = 1 souhlasí

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A

Katedra matematiky Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A Zápočtová písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3 varianta A středa 19. listopadu 2014, 11:20 13:20 ➊ (8 bodů) Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci řady n 3 n ( ) 1 e xn2 x 2 +n 2 na množině A = 0, + ). ➋

Více

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/

Matematická vsuvka I. trojčlenka. http://www.matematika.cz/ Matematická vsuvka I. trojčlenka http://www.matematika.cz/ Trojčlenka přímá úměra Pokud platí, že čím více tím více, jedná se o přímou úměru. Čím více kopáčů bude kopat, tím více toho vykopají. Čím déle

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce

MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce MAT 1 Mnohočleny a racionální lomená funkce Studijní materiály Pro listování dokumentem NEpoužívejte kolečko myši nebo zvolte možnost Full Screen. Brno 2012 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. First Prev Next Last

Více

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI

Posloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

vysledek = ((1:1:50).*(100-(1:1:50))) *ones(50,1) vysledek = ((1:1:75)./2).*sqrt(1:1:75) *ones(75,1)

vysledek = ((1:1:50).*(100-(1:1:50))) *ones(50,1) vysledek = ((1:1:75)./2).*sqrt(1:1:75) *ones(75,1) ZKOUŠKA ČÍSLO 1 x=linspace(0,100,20); y=sqrt(x); A=[x;y]'; save('data.txt','a','-ascii'); polyn = polyfit(x,y,3); polyv = polyval(polyn,x); plot(x,y,'r*') plot(x,polyv,'b') p1=[1 0 0 0 0 0 0-1]; k=roots(p1);

Více

URČI HODNOTU VÝRAZU. A) Urči hodnotu výrazu 3 2 5 VYPOČÍTEJ 3 2 5 = 6 5 = 1. B) Urči hodnotu výrazu 4( x + 3) pro x = -1

URČI HODNOTU VÝRAZU. A) Urči hodnotu výrazu 3 2 5 VYPOČÍTEJ 3 2 5 = 6 5 = 1. B) Urči hodnotu výrazu 4( x + 3) pro x = -1 URČI HODNOTU VÝRAZU Kolik to je? A) Urči hodnotu výrazu 3 2 5 VYPOČÍTEJ 3 2 5 = 6 5 = 1 určit (vy)počítat dosadit hodnota výrazu (urči) (vypočítej) (dosaď) B) Urči hodnotu výrazu 4( x + 3) pro x = -1 DOSAĎ

Více

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin

Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin Vliv realizace, vliv přesnosti centrace a určení výšky přístroje a cíle na přesnost určovaných veličin doc. Ing. Martin Štroner, Ph.D. Fakulta stavební ČVUT v Praze 1 Úvod Při přesných inženýrsko geodetických

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom.

Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. @213 17. Speciální funkce Funkce, které jsme až dosud probírali, se souhrnně nazývají elementární funkce. Elementární snad proto, že jsou takové hladké, žádný nečekaný zlom. Nyní si řekneme něco o třech

Více

Minimalizace nehladké funkce Minimization of nonsmooth function

Minimalizace nehladké funkce Minimization of nonsmooth function VŠB Technická univerzita Ostrava Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra aplikované matematiky Minimalizace nehladké funkce Minimization of nonsmooth function 2009 Martin Hasal Místopřísežné prohlášení

Více

Rovnoměrné rozdělení

Rovnoměrné rozdělení Rovnoměrné rozdělení Nejjednodušší pravděpodobnostní rozdělení pro diskrétní náhodnou veličinu. V literatuře se také nazývá jako klasické rozdělení pravděpodobnosti. Náhodná veličina může nabývat n hodnot

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE

JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE Obsah JEDNODUCHÉ LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ FUNKCE V GEOGEBŘE...2 Co je to funkce?...2 Existuje snadnější definice funkce?...2 Dobře, pořád se mi to zdá trochu moc komplikonavané. Můžeme se na základní pojmy

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno

Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno 12 Délka výpočtu algoritmu Mimo samotné správnosti výsledku vypočteného zapsaným algoritmem je ještě jedno neméně důležité hledisko k posouzení vhodnosti algoritmu k řešení zadané úlohy. Jedná se o čas,

Více

Termistor. Teorie: Termistor je polovodičová součástka, jejíž odpor závisí na teplotě přibližně podle vzorce

Termistor. Teorie: Termistor je polovodičová součástka, jejíž odpor závisí na teplotě přibližně podle vzorce ermistor Pomůcky: Systém ISES, moduly: teploměr, ohmmetr, termistor, 2 spojovací vodiče, stojan s držáky, azbestová síťka, kádinka, voda, kahan, zápalky, soubor: termistor.imc. Úkoly: ) Proměřit závislost

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A4. Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A4 Cvičení, letní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 200 (1) 120 krát jsme házeli hrací kostkou.

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou

6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou @06 6. Lineární (ne)rovnice s odmocninou rovnice Když se řekne s odmocninou, znamená to, že zadaná rovnice obsahuje neznámou pod odmocninou. není (ne)rovnice s odmocninou neznámá x není pod odmocninou

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008

Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra. študenti MFF 15. augusta 2008 Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Algebra študenti MFF 15. augusta 2008 1 8 Algebra Požadavky Grupa, okruh, těleso definice a příklady Podgrupa, normální podgrupa, faktorgrupa, ideál

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi

MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi Projekt: Reg.č.: Operační program: MO-ME-N-T MOderní MEtody s Novými Technologiemi CZ.1.07/1.5.00/34.0903 Vzdělávání pro konkurenceschopnost Škola: Hotelová škola, Vyšší odborná škola hotelnictví a turismu

Více

Kapitola 7 TESTOVÁNÍ LAKTÁTOVÉHO PRAHU. Definice laktátového prahu

Kapitola 7 TESTOVÁNÍ LAKTÁTOVÉHO PRAHU. Definice laktátového prahu Kapitola 7 TESTOVÁNÍ LAKTÁTOVÉHO PRAHU Definice laktátového prahu Laktátový práh je definován jako maximální setrvalý stav. Je to bod, od kterého se bude s rostoucí intenzitou laktát nepřetržitě zvyšovat.

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

1. Jordanův kanonický tvar

1. Jordanův kanonický tvar . Jordanův kanonický tvar Obecně nelze pro zadaný lineární operátor ϕ : U U najít bázi α takovou, že (ϕ) α,α by byla diagonální. Obecně však platí, že pro každý lineární operátor ϕ : U U nad komplexními

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více