ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ ÁÈÄÇÅÇÎý ÈÊý º Å Ð âú Ö ÔØ ÚÒ ÓÖÑ ÔÖ Ú ÖÙ ÐÒÝ ÒØÓÚ Ã Ø Ö Ó ØÛ Ö ÚÙ Ý Ò ÓÖÑ Ø Ý Î ÓÙ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ Å Öº ÌÓÑ ÈÐ

Transkript

1 ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ ÁÈÄÇÅÇÎý ÈÊý º Å Ð âú Ö ÔØ ÚÒ ÓÖÑ ÔÖ Ú ÖÙ ÐÒÝ ÒØÓÚ Ã Ø Ö Ó ØÛ Ö ÚÙ Ý Ò ÓÖÑ Ø Ý Î ÓÙ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ Å Öº ÌÓÑ ÈÐ ËØÙ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ÁÒ ÓÖÑ Ø ËØÙ Ò Ó ÓÖ Ì ÓÖ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÈÖ ¾¼½½

2 Ù Ú ÑÙ Ú ÓÙ ÑÙ ÌÓÑ ÈÐ ÓÚ Þ Þ Ñ Ú Ø Ñ ÔÖ Þ ÖÓÞ ÐÒ Ô ØÙÔ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ø Ö ÝÐ Ú Ð Ñ Ô ÒÓ Ñº Ð Ù Å Ø Î Ø ÓÚ È ØÖÙ Å Ð ÓÚ Â ÒÙ ÇÐ ÒÓÚ Þ ÖÓÞ Ð ÓÖ ØÙÖݺ Î Ò ÔÓ Ð Ò Ù ÄÝ Ó Ù ÓÚ Þ Ô Ý ÓÙ ÔÓ ÔÓÖÙ ÑÓØ Ú Ô ØÙ Ù Ô Ò Ø ØÓ ÔÖ º ¾

3 ÈÖÓ Ð Ù ö Ñ ØÙØÓ ÔÐÓÑÓÚÓÙ ÔÖ ÚÝÔÖ ÓÚ Ð ÑÓ Ø ØÒ Ú Ö Ò ÔÓÙö Ø Ñ ØÓÚ Ò ÔÖ Ñ Òó Ð Ø Ö ØÙÖÝ Ð Ó ÓÖÒ Þ ÖÓ óº ÖÙ Ò Ú ÓÑ ö Ò ÑÓ ÔÖ ÚÞØ Ù ÔÖ Ú ÔÓÚ ÒÒÓ Ø ÚÝÔÐÚ Þ Þ ÓÒ º ½¾½»¾¼¼¼ Ë º ÙØÓÖ Ó Þ ÓÒ Ú ÔÐ ØÒ Ñ ÞÒ Ò Þ Ñ Ò ÙØ ÒÓ Ø ö ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Ñ ÔÖ ÚÓ Ò ÙÞ Ú Ò Ð Ò Ò ÑÐÓÙÚÝ Ó Ùö Ø Ø ØÓ ÔÖ Ó ÓÐÒ Ó Ð ÔÓ Ð ï ¼ Ó Øº ½ ÙØÓÖ Ó Þ ÓÒ º Î ÈÖ Þ Ò ½ º º¾¼½½

4 Æ Þ Ú ÔÖ ÔØ ÚÒ ÓÖÑ ÔÖ Ú ÖÙ ÐÒÝ ÒØÓÚ ÙØÓÖ º Å Ð âú Ö Ã Ø Ö Ø Úµ Ã Ø Ö Ó ØÛ Ö ÚÙ Ý Ò ÓÖÑ Ø Ý Î ÓÙ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ Å Öº ÌÓÑ ÈÐ ØÖ Ø Ò Ò Ú ÖØÙ ÐÒ Ú ØÝ Ó Ù Ú Ð ÑÒÓö ØÚ Ú ÖØÙ ÐÒ ÒØóº ÌÓ ÓÙ Ô Ò ÒÙØÒÓ Ø ÓÓÖ Ò ÔÓ Ý Ùº Î Ø ØÓ ÔÖ Ò ÚÖ Ù Ñ Ð¹ ÓÖ ØÑÝ ÔÖÓ Þ Ò ÔÓ Ý Ù ÙÔ ÒÝ ÒØó Ú ÓÖÑ º óö Þ Ð Ò Ò Ø ÓÚ Ñ ØÓ Ý Ø Ö ÙÑÓö Ù Ù ÖöÓÚ Ø ÚÐ ØÒÓ Ø ÓÖÑ Þ ÖÓÚ Ô ÓÒ Ú Ø ÖÓÞ¹ Ð Ò Ø Ö ÒÒ Ô ö ݺ ÌÝØÓ Ñ ØÓ Ý ÔÓØ ÔÓÖÓÚÒ Ú Ñ ÔÓÑÓ Ú Ó Ò ÞÚÓÐ Ò Ó ÒÓØ ÙÒ Ò ÚÞÓÖÓÚ Ò º ÃÐ ÓÚ ÐÓÚ ÓÖÑ Ú ÖØÙ ÐÒ ÒØ ÚÝ Ð Ú Ò ØÝ Ø Ö Ò ÔØ Ì ØÐ ÔØ Ú ÓÖÑ Ø ÓÒ ÓÖ Ú ÖØÙ Ð ÒØ ÙØ ÓÖ º Å Ð âú Ö Ô ÖØÑ ÒØ Ã Ø Ö Ó ØÛ Ö ÚÙ Ý Ò ÓÖÑ Ø Ý ËÙÔ ÖÚ ÓÖ Å Öº ÌÓÑ ÈÐ ØÖ Ø Ì Ö ÖÓÛ Ò ÒÙÑ Ö Ó Ú ÖØÙ Ð ÒØ Ò ØÓ Ý³ Ú ÖØÙ Ð ÛÓÖÐ º Ì Ö ØÐÝ Ö Ð Ø ØÓ Ø Ò Ó ÓÓÖ Ò Ø Ò Ø Ö Ú ÓÖ Ò ÑÓÚ ¹ Ñ Òغ ÁÒ Ø ÛÓÖ Û Ò Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ñ ÒØ Ò Ö ÓÖÑ Ø ÓÒ Ó ÒØ Û Ð ÑÓÚ Ò Ø ÖÓÙ ÙÐØ Ø ÖÖ Òº Ì Ñ Ø Ó Û ØÙ Ý ÓÙÐ Ñ ÒØ Ò Ø Ö ÕÙ Ö Ñ ÒØ Ó Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ Û ÐÐ ØÖ Ú Ö ÐÓÒ Ú Ö ÓÙ Ó Ø Ð º Ï Ø Ò Ù Ò Ö ØÖ ÖÝ ØÒ ÙÒØ ÓÒ ØÓ ÓÑÔ Ö Ø Ô Ö ÓÖÑ Ò Ó Ø Ñ ¹ Ø Ó ÓÒ ØÝÔ Ð Ò Ö Ó º à ÝÛÓÖ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ú ÖØÙ Ð ÒØ Ô Ø Ò Ò Ø ÖÖ Ò ÔØ Ø ÓÒ

5 Ç ÚÓ ½ ÓÖÑ Ð Þ ½º½ Å Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾  ÒÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ½º Ë Ñ ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ½º ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º Ë Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ÊÓÞ ÓÖ Þ Ò ½ ¾º½ ÀÓ ÒÓ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ ÌÖ Ú ÐÒ Ð ÓÖ ØÑÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º ÈÖÓ Ð ÑÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ð ÓÖ ØÑÙ ¾¼ º½ ÀÐ Ò ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ º¾ ÈÐ ÒÓÚ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ËÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ó Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ø ÓÐ Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Å ØÓ Ó ÒÓ Ò º½ ËØ Ø ØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÝÒ Ñ ØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Î Ð Ý ¾ º½ Ø ÓÐ Þ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÈÐ ÒÓÚ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ó Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÎÝ Ð Ú Ò ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ú Ö

6 ÈÓÙö Ø ÞÒ Ò Ë ÞÒ Ñ Ø ÙÐ ¼ ½ Ë ÞÒ Ñ Ó Ö Þ ó Ë ÞÒ Ñ Ù Þ Ù Ä Ø Ö ØÙÖ Ë Ñ Ø ÓÖÑ º½ à º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÃÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ØÚ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ò ¼ º½ Ú Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÇØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÓÙØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Íö Ú Ø Ð Ó ÙÑ ÒØ º½ ÚÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÁÒ Ø Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Æ Ø Ú Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÔÙ Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÇÚÐ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÈÖÓ Ö Ñ ØÓÖ Ó ÙÑ ÒØ ½ º½ Å Ô º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ Ð ÓÖ ØÑÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º  ÒÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

7 ÚÓ Î ÖØÙ ÐÒ ÒØ Ö Ú ÔÓ Ø ÓÚ Ö Ú ÙÑ Ð ÒØ Ð Ò Ó Ò Ú Ð ÓÙ ÖÓÐ º Î ØÖ Ø Ö Ñ Ö ÑÓöÒÓ Ø ÓÚÐ Ø Ú ÒØó Ò ÒÓÙ Ø Ø Ò ØÓ Ý ÔÓÐÙ Ø ØÓ Ò Þ Ò ÓÐ ÒØ Ð ÒØÒ ÔÓÐÙÔÖ ¹ ÓÚ Ð º  ÒÓ Ù Ñ Ô Ð Ñ Ø ÓÚ ÒÒÓ Ø ÔÓÐ Ò ÔÓ Ý ÔÓ Ú ÖØÙ ÐÒ Ñ Ú Ø º ÎÞ Ð ØÓ ÓØÓ ÔÓ Ý Ù Ñóö ÓöØÓ ØÓ ÓÔ Ù ÒÒÓ Ø ÚÖ ÞÒ ÓÚÐ ÚÒ Ø Ö ÓÚÝ Ó Ñݺ ÓÖÑ Ñ ÐÝ ÚÞÒ Ñ ö Ó Ö Ò Ó ÚÓ Ò ØÚ º  ö Ú º ØÓÐ Ø Ô Ò Ñ Ð ØÓÔÓ Ø Ñ ÔÓÙö Ú ÐÝ ÔÖÚÒ ÓÖÑ Ð Ò Ý ½¼ Ø Ö ÖÙöÓÚ ÐÝ Ó¹ ÔÐ ØÝ Ó Ø Ò ÓÖÑ ö Ø Ð Þ Ñ Ò Ó Ö ÒÒ Ú Ó Ýº ÈÓ ØÙÔ Ñ Ù ÔÖÓ Ô ÓØÙ ÚÝÚ ÒÙÐÝ Ð ØÝÔÝ ÓÖÑ Ò Ô Ð ÐÓÙÔ Ôº ÓÖÑ ÖÓÑ Ø Ø Ú Ó Ú Ó Ö Ò ØÓ Ù Ô Ò ÔÓ ÔÓÖÙ ÑÓÖ Ð Ý º ÅÓö¹ ÒÓÙ Ò Ú Ó ÓÙ ÓÖÑ Ò ö Ò ÔÓ Ý Ð ÚÓ Ø º Í Ò Ò Ø Ð ØÑó Ø Ö ÔÓ ÖÚ Ú Ø ÔÐÓ Ù Ò Ú ÔÖÓ ÐÓÚ Ô Ð Ò ÖÓ Ò Ò Ù Ø Ð ÚÝ Ó ÒÓÓÚ Ø ÔÓ Ý Ó Ø ØÒ ÒÓØ Ú ÓÖÑ º ÎÞÒ Ñ ÓÖÑ Ø Ò Ô Ø ÓÖ Ø º Î ÔÖÚÒ Ô ØÓÐ Ð ö ÒÙ Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñº ÈÖÓÚ Ñ Ò ÓÐ Ö Ø ¹ ØÓÒ ÖÓÞ Ó ÒÙØ Ó ØÓÑ ÚÝÔ Ò Ú ÖØÙ ÐÒ Ú Ø Ú Ò Ñ ÒØ ÔÓ Ý Ù º ÈÓ Ù Ý ÓÒ Ô Ú Ø Þ Ò Ó Ð Ð ÝÐÓ Ý ÒÙØÒ Ò Ø Ö Ð Ú Ý Ú Ó Ò Ô ÞÔó Ó Øº Î ÖÙ Ô ØÓÐ ÔÖÓÞ ÓÙÑ Ñ Ð ÓÖ ØÑÝ ÔÖÓ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ü ØÙ º È ØÓÑ ÖÓÞ Ö Ñ ÔÖÓ ÓÙ ÔÖÓ ÒÓÙ ØÙ Ò Ó Ø Ø Ò Ò ÚÝ ÓÚÙ Ò ÚÖ Ò Ñ Ñ ÞÔó Ó Ñ Ý Ñ ÐÓ Ù Ö Ø Ò º Ë ÔÓ ÖÓ Ò ÞÒ ÐÓ Ø ÔÖÓ Ð ÑÙ ÓÐó Ø Ö Ù Ñ Ø Ú Ø Ø ¹ Ô ØÓÐ ÔÓ Ú Ñ Ò ÞÔó Ó Ø ÖÑ Ù Ñ Ú Ð ØÙ ÖóÞÒ Ò ÔÓÖÓÚÒ Ú Øº Æ ÔÖÚ Ò ÚÖ Ò Ñ Ó Ó ÒÓ Ò Ø Ö ÔÓÔ Ø Ú ÓÖÑ Ú Ò Ñ ÓÚ Ñ Ó ¹ Ñö Ù ÔÓØ ÔÓ Ù Ñ Ò ÐÝÞÓÚ Ø ÔÖó Ø ØÓ Ó ÒÓØ ÙÒ Ú Ñö Ù Ñ ÓÔÒ Ó Ó ÒÓØ Ø Ø Ú ÓÖÑ Ú Ð Ñ ÓÚ Ñ Ùº

8 ØÚÖØ Ô ØÓÐ ÓÑÔÓÒÙ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò ÒÓØÐ Ú ÑÓ ÙÐÝ Ø Ö ÓÒ¹ Ö ØÒ ÔÓ ÔÖÓ Ð Ñݺ Æ ÚÖ Ò Ñ ÞÔó Ó Ý Ø ÖÑ Ý ØÝØÓ ÐÝ ÚÝ Ø ¹ ÑÓÒ ØÖÙ Ñ Ú Ý Ø Ö ØÓ Þ Ò ÚÖ ÓÚ ÒÑ Ò Ñ º Î ÔÓ Ð Ò Ô Ø Ô ØÓÐ Ó ÒÓØ Ñ Ú ÓÒ ÒÓØÐ Ú ÑÓ ÙÐó Ò Ò ÓÐ Ø ØÓÚ Ò ÓÖÑ º Ì Ñ Ù Ñ ÑÓ ÚÝ Ø Ø Ö ÔÖÓ Ð ÑÝ Ò Ñ ÔÓ ÐÓ Ö ÓÚ Ø Ó Ñ ÖÝ ÝÐÓ Ò Ô Ò º

9 Ã Ô ØÓÐ ½ ÓÖÑ Ð Þ ½º½ Å Ô Î ÖØÙ ÐÒ Ú Ø Ú Ø Ö Ñ Ù ÓÙ ÒØ ÔÓ Ý ÓÚ Ø Ù Ñ Ò ÞÚ Ø Ñ Ô º Å Ô Ô Ø ÚÓÚ Ò ÖÓÚ ÒÒÑ Ò Ö Ð Ò Ñ Ö Ù G = (V,E)º Ö Ý Úö Ý ÚÝÔÐ Ù Ó ÐÒ ÓÚ ÔÓÐ º Å Ñ ÔÓÞ Ò ÓÐ ÑÓöÒÓ Ø Ö ÔÓÙö Ø ØÚ ÖÓÚÓÙ Ñ ö Ù Ø Ý Ö Ñ Ú ÒÝ ÚÖ ÓÐÝ ØÙÔ ØÖÓ ÐÒ ÓÚÓÙ Ñ ö Ù Ø Ý ØÙÔ ØÚ ÖÓÚÓÙ Ñ ö Ù ÐÓÔ Ñ Ø Ý ØÙÔ º ËØÙÔ ÚÖ ÓÐÙ Ú ÓÖ ÔÓÒ Ò ÔÓ Ø Ñ Ñ Öó Ø ÖÑ Ñóö ÒÓØ ÔÓ Ý ÓÚ Øº Ñ Ú Ñ ÚÖ ÓÐÝ ØÙÔ ó Ø Ñ Ð Ô Ù Ø ÒØÓ ÔÓ Ý Ú Øº Ç Ñ Ñ ÖÓÚ Ñ ö Ú Ø Ú ÔÖÓ Ð ÑÝ Ó Ù Ö ÒÝ ÖóÞÒ Ð Ý Ó ¹ Ù Ö ÒÝ Ø Ö ö º Ø ØÓ óúó ó ÞÚÓÐ Ñ ØÖÓ ÐÒ ÓÚÓÙ Ñ ö Ùº Î Ø ÒÙ Ð Ú Ú Ø ÜØÙ ÐÞ Ò ÒÓ Ô ÞÔó Ó Ø ÔÖÓ Ò ØÝÔ Ñ ö ݺ (0,0) (2,0) (4,0) (12,0) (1,1) (13,3) (12,4) Ç Ö Þ ½º½ È Ð Ñ ÔÝ Ó ÖÓÞÑ Ö 7 5 ÚÝÞÒ ÒÑ ÓÙ Ò Ñ Ò Ø ¹ Ö Ó ó

10 ½º½º½ ÎÖ ÓÐÝ ÎÖ ÓÐÝ Ô Ø ÚÙ Ñ Ø ÑÓ ÓÙ ÚÝ ÝØÓÚ Ø ÒÓØ Ýº Æ Ó Ö Þ Ù ½º½ ÓÙ Ò Ø Ö Þ ÚÖ ÓÐó ÚÝÞÒ ÒÝ ÖÒÑ Ø Ñ º ÁÒØ ÖÒ ÓÞÒ Ò ÚÖ ÓÐó ÔÓÙö Ú ÒÓÖÑÓÚ Ò ÓÙ Ò Ó Ù Ú ÖÓÚ ÒÒ Ñ Ò Ö Ð Ò º ÎÖ ÓÐ Ú Ð Ú Ñ ÓÖ¹ Ò Ñ ÖÓ Ù Ñ ÓÙ Ò (0,0)º  РÓö ÓÙ Ð Ù Ý Ò ÚÞ Ñ ÔÓ ÙÒÙØ ÓÙ ÔÓÙö ØÝ ÔÓÙÞ ÚÖ ÓÐÝ ÔÖÓ Ø Ö ÓÙ Ø řádek+sloupec Ð Ø ÐÒ Ú Ñ º Î Ó ÚÝÒ Ú Ò ÐÓÙÔó ÔÓ Ú Ú ÒÓ Ù ÑÔÐ Ñ ÒØ Ö Ò ÙÖ ¹ Ø ÙÒ º Î Ø ÜØÙ ÓÞÒ Ù Ñ ÚÖ ÓÐÝ Ô Ñ ÒÝ p q ¹Ð ÚÖ ÓÐó Ú Ø v i º ÃÖÓÑ ÐÓ ÓÙ Ò ÚÖ ÓÐÙ Ú Ó Ò ÒÓÚ Ø ÓÙ Ò ÝÞ º ÝÞ ÓÙ Ò ÚÖ ÓÐÙ Ú ÚÖ ÓÐÙ ÐÓ Ñ ÓÙ Ò Ñ (x,y) ÔÓ¹ Ø Ô Ô Ñ ( ) size x, 2 size y size ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ñ Þ Ú Ñ ÓÙ Ò Ñ ÚÖ ÓÐݺ Â Ú Ø ö Þ Ø ÑÓ ÐÓ ÓÙ Ò Ò Ú Ú ÐÓö ÔÓÙÞ Ó ÒÓØ Ô ÖÓÞ Ò Ð ÝÞ Ó Ù Ö ÐÒ Ó ÒÓغ â Ñ ÔÝ ÙÖ Ò ÔÓ Ø Ñ ÚÖ ÓÐó Ò ÒÓÑ Ù Ü¹ÓÚ ÓÙ Ò ÚÖ ÓÐÙ Ò ÔÖ Ú Ñ Ó Ö Ñ ÔÝ Ø Ý ö Ò ÓÒ Ø ÒØÙ Ú Ö Ø Ú Ø Ò ö Ø ØÓ µº Î Ñ ÔÝ ÙÖ Ò ÔÓ Ø Ñ óº, ½º½º¾ ÀÖ ÒÝ Â ÒÓØ Ý Ò Ñ Ô ÔÓ Ý Ù ÔÖÓ Ö Ò Ø ØÓ ØÖ Ò ÙÐ º à ö Ö Ò ÓÖ ÒØÓÚ Ò Ó ÒÓ Ó Þ Ø Ñ Öó ÙÚ ÒÓ Ú Ø ÙÐ ½º½ ½ º ÀÓ ÒÓØÝ x y Ù Ú ÞÑ ÒÙ ÐÓ ÓÙ Ò ÚÖ ÓÐÙ Ô Ô Ó Ù Ô Ö ÒÙ ÒÓÙ ÓÖ ÒØ º Â Ú Ø ö ÔÖÓ Ú ÒÝ Ö ÒÝ ÔÐ Ø x + y = 2 y 1º ÀÖ ÒÝ Ö Ù Ò ÓÙ Ó Ó ÒÓ Ò Ø Ö Þ ÒÓ Ù Ò ÞÒ Ñ Ò Ò ÖÓ ÒÓ Ø Ö Òݺ Ñ Ò ÖÓ Ò Ø Ñ Ð ØÖÚ ÒÓØ Ò ö Ö ÒÙ ÔÖÓ º ÀÖ ÒÝ ÓÙ ÓÖ ÒØÓ¹ Ú Ò Ú Ö ÝÑ ØÖ º Ì Ñ ÑÓöÒ Ó ÒÓÙØ Ò Ô Ð ØÙ ÓÔ Ø Ó ÓÔ Ò ÖÓ Ò Ò ö Þ ÓÔ µº Â Ø ÑÓöÒ ÑÔÐ Ñ ÒØÓÚ Ø Ò ¹ ÔÖó Ó Ò Ö ÒÝ Ò Ô º ÔÓ Ù Ø ÓÚ Ö Ò Ú Ò Ñ ØÓ Ò ÔÖÓ ØÙÔÒ Ô ö µ Ú Ø ÓÚ Ñ Ô Ô Ò ÑÙ Ø Ö ÝÑ ØÖ Ò Ô º ÔÓ Ù ÐÓÒ ÓÔ Ø Ú Ð ö Þ Ò Ó ÑÓöÒ Ø ÔÓÙÞ ÓÐóµº ÀÖ ÒÙ Þ ÚÖ ÓÐÙ p Ó ÚÖ ÓÐÙ q ÓÞÒ Ù Ñ e p,q ÒÙ Ô c p,q º à ö Ñ Ô Ñ Ø ÒÓÚ ÒÓÙ Ñ Ò Ñ ÐÒ ÒÙ Ö ÒÝ c min Ñ Ü Ñ ÐÒ c max º ½ ÇÖ ÒØ Ö Ò ÔÓÙÞ ÐÓÚÒ ÓÞÒ Ò Ø Ö Ó ÔÓÚ Þ ÑÙØÙ ÔÓÙÞ Ô Ð öò ½¼

11 ÇÖ ÒØ Þ ÑÙØ x y Ë Ú ÖÓÚ Ó ¼ ½ ½ Î Ó ¼ ¾ ¼  ÓÚ Ó ½ ¼ ½ ½  ÓÞ Ô ¾½¼ ½ ½ Ô ¾ ¼ ¾ ¼ Ë Ú ÖÓÞ Ô ¼ ½ ½ Ì ÙÐ ½º½ Ë ÞÒ Ñ ÓÖ ÒØ Ö Ò ÝÞ ÙÑ Ø Ò ÔÖÓ Ó Ò Ö Ò Ú ÓÙ Þ ÚÖ ÓÐÙ(x 1,y 1 ) Ó ÚÖ ÓÐÙ(x 2,y 2 ) ÔÓ Ø Ô Ô Ñ ((1 t) x 1 +t x 2,(1 t) y 1 +t y 2 ), (x 1,y 1 ) Ö Ôº (x 2,y 2 )µ ÓÙ ÝÞ ÓÙ Ò ÚÖ ÓÐÙ (x 1,y 1 ) Ö Ôº (x 2,y 2 )µ Ô Ö Ñ ØÖ t [0,1] ÙÖ Ù Ô Ò Ó Ò Ö Ò º ½º¾  ÒÓØ Â ÒÓØ Ò Ñ Ò ÒØ Ø ÔÓ Ý Ù ÔÓ Ñ Ô º à ö ÒÓØ Ñ Ú ÐÓ ÝÞ ÙÑ Ø Ò º ÄÓ Ñ ÙÑ Ø Ò Ñ Ñóö Ø Ù ÙÑ Ø Ò Ú ÚÖ ÓÐÙ Ö Ù Ò Ó Ò Ð Ó¹ ÚÓÐÒ ÓÖ ÒØÓÚ Ò Ö Ò Ò Ú ÓÔÐÒ ÒÓ Ó Ú Ð Ó Ø Ø Ö ÒÝ t [0,1]µ Ø ÖÓÙ ö ÒÓØ ÔÖÓ Ð º ÝÞ ÙÑ Ø Ò Ô Ø ÚÙ Ó Ò ÓÙ Ò Ø Ö Ñ ÚÞÒ Ñ Þ ÞÒ ¹ ÐÓ Ø Ö Ù Ñ Ôݺ ÌÝØÓ Ú Ø ÒÓÙ Ó ÔÓÚ ÝÞ ÑÙ ÙÑ Ø Ò Ô ÐÙ Ò Ó ÚÖ¹ ÓÐÙ Ò Ó Ó Ù Ò Ö Ò Ò Ý Ú ÑÓ ÓÙ Ñ ÖÒ Ó Ð ÓÚ Ø Ò Ô Ð Ô Ø ÓÐ Þ Ú Þ º µº ½º Ø Ø ÓÒ Ò ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÚÖ ÓÐó P = (v i ) n i=1 ÔÖÓ n > 1µ i {1,2,...,n 1} ÔÐ Ø ö Ü ØÙ Ö Ò e vi,v i+1 º Ó v 1 ÓÞÒ Ù Ñ Ó ÔÓ Ø ØÝ Ó v n Ó Ð Øݺ ÈÓ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ØÝ P ØÚ ÖÙ F = (v i ) k i=j 1 j < k n Ò ÞÚ Ñ Ö Ñ ÒØ Øݺ Ú Ö Ñ ÒØÝ F 1 = (v i ) k i=j F 2 = (v i ) m i=l Ò Ò Ú ÞÙ ÔÓ Ù k = lº Ö Ñ ÒØ ØÝ Ø Ø ö Ø º ÈÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Ö Ò E P = ( ) n e vi,v i+1 Ò ÞÚ Ñ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Ö Ò Øݺ i=1 n 1 Ò ØÝ ÒÓÚ Ò Ó c(p) = c vi,v i+1 º ½½ i=1

12 ½º Ë Ñ ÓÖÑ Ë Ñ ÓÖÑ Ù ÔÓ Ò ØÚ F = (G F,a,o,w)º G F = (S,B) ÝÑ ØÖ ÓÖ ÒØÓÚ Ò Ö ÓÖÑ º S ÓÒ Ò ÑÒÓö Ò Ó ó ÓÖÑ ÔÓØ ¾ µº B ÓÒ Ò ÑÒÓö Ò Ú Þ ÓÖÑ Ò Ò µº Î Þ ÓÖÑ Ù ÔÓ Ò ÚÓ (p,q) p,q Sº ÙÒ a : S S Ò ØÓÖµ ÒÙ Ö Ö Ò ÓÖÑ º  ¹Ð a(t) = s Ô s ÞÔÖÓ Ø Ò Ñ Ú Ð Ø Ð Ñ t t Þ Ú Ð Ò sº À Ö Ö ÑÙ ÔÐ ÓÚ Ø Ò Ð Ù ÔÓ Ñ Ò Ýº a(s) = t (s,t) B!s S : a(s) = sº Ì ÒØÓ Ó ÓÞÒ Ù Ñ Ó Ú Ð Ø Ð ÓÖÑ º ÈÖÓ ö Ó s Ü ØÙ ÓÒ Ò ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Ó ó (s i ) n i=1 i {1,2,...,n 1} a(s i ) = s i+1 s 1 = s s n Ú Ð Ø Ð ÓÖÑ º  ÒÑ ÐÓÚÝ ÓÒ ÒÑ Þ Ø Þ Ò Ñ ÙÒ a ÐÞ Þ Ø Ú Ð Ø Ð ÓÖÑ º ÙÒ o : B R R ÓÔØ Ñ ÐÒ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ó Øµ Ò Ú Þ º ÙÒ w : B R + Û Øµ Ú Ú Þ Ý Ø Ö ÙÖ Ù Ú Þ Ú ÓÒØ ÜØÙ ÓÖÑ ÔÓÙö Ø º Ì ØÓ Ú ÔÓÙö Ø Ò Ô º Ô ØÚÓÖ ÓÑ ÒÓÚ Ò Ó ÔÖÓ Ð Ú Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ Ú Þ º½º½µº Ì ØÓ Ò Ò Ñ ÙÑÓö Ù ØÚÓÖ Ù ÖóÞÒ ØÝÔó Ñ Øº Ë Ñ Ø Ø Ö Ù Ñ Ú ÔÖ ÔÓÙö Ú Ø ÓÙ ÔÓÔ Ò Ú Ô ÐÓÞ º ÈÓ Ð a B Ð ÒÙ Ñ ÑÒÓö ÒÝ B = s SB s, B s = {(s,t) a(t) = s}. ¾ Ò Ð ÚÖ ÞÝ ÔÖÓ ÙÚ Ò ÔÓ ÑÝ ÓÙ ÔÓÙö ØÝ Ó Ò ÞÚÝ Ø Ñ ØÓ Ð Ò ÔÖÓ¹ Ñ ÒÒ Ú ÔÖÓ Ö ÑÙº ½¾

13 ½º ÓÖÑ ÓÖÑ Ô Ø ÚÙ ÓÒ Ö ØÒ Ò Ø Ò Ñ ØÙ ÓÖÑ º Ã Ó óñ ÓÖÑ ÓÙ ÚÞ ÑÒ ÒÓÞÒ Ò Ô Þ ÒÝ ÒÓØ Ýº ÌÓ Ò Ñ ÙÑÓö Ù ÒÓÚ Ø ÙÒ ÙØ Ò ÚÞ Ð ÒÓ Ø d : B R R Ø Ò µ Ò Ú Þ º Ì ØÓ ÙÒ ÚÖ ÖÓÞ Ð ÙÑ Ø Ò Ø ÚÓÙ ÒÓØ Ø Ö ÓÙ Ô Þ ÒÝ Ó óñ Ú Þ Ýº Ð Ò Ñ Ù ÓÙ Ó Ø Ú ÙÒ Ø Ö ÔÓÔ Ù ÚÞØ Ý Ñ Þ Ñ ÖÝ Ú ¹ ØÓÖó ÙÒ Ò Ð ÌÓ(u,v) ÚÖ ÖÓÞ Ð Ñ Öó u vº Ì ÒØÓ ÖÓÞ Ð Ò Ú Ó ÒÓØ Þ ÒØ ÖÚ ÐÙ [0,360 )º ÙÒ Ò Ð ØÛ Ò(u,v) ÚÖ Ð Ø Ö ÔÓÐÙ Ú Ö Ñ ÖÝ u vº Ì ÒØÓ Ð Ò Ú Ó ÒÓØ Þ ÒØ ÖÚ ÐÙ [0,180 )º Í ÙÒ Ò Ð ÌÓ Ø Ý Þ Ð ö Ò ÔÓ Ñ Öó Ù Ò Ð ØÛ Ò ØÓÑÙ Ø Ò Ò º È Ð Ò ØÝØÓ Ó ÒÓØÝ ÖÒÙ Ó Ö Þ ½º¾ ¹ Ø ÓÚ Ò Ö ÞÒ ÞÓÖ Ù Ú Ó ÓÙ Ô Ô Ó ÒÓØÙ Ò Ð ØÛ Ò(u,v) Ö ÓÚ Ò Ò Ð ÌÓ(u,v)º v u u v µ È Ð ÖÓÞ ÐÒ ÙÒ Ò Ó ¹ ÒÓØ µ È Ð Ó Ò ÙÒ Ò Ó ¹ ÒÓØ Ç Ö Þ ½º¾ ÎÔÓ Ø Ó ÒÓØ Ò Ð ÌÓ Ò Ð ØÛ Ò ÌÖ Ú ÐÒ ÔÐ Ø Ò Ð ØÛ Ò(u,v) = min( Ò Ð ÌÓ(u,v),360 Ò Ð ÌÓ(u,v))º Ò Ð ØÛ Ò(u,v) = Ò Ð ØÛ Ò(v,u) Ò Ð ÌÓ(u,v)+ Ò Ð ÌÓ(v,u) = 360 ½

14 ½º Ë Ò Ë Ò Ð Þ Ñ ÔÝ Ñ ØÙ ÓÖÑ ÒÓØ ÔÓ Ø Ò Ó ÐÓÚ Ó Ñ Ø º ÓÐ Ñ ÓÖÑ Ù ÒÝÒ Ó Ø Ø Ú Ð Ø Ð Ò ØÓØÓ ÐÓÚ Ñ ØÓ Ñ Ó ØÝ Ù ÖöÓÚ Ø Ó Ò Ð Ô ÚÞØ Ý Ø ÖÑ ÔÓÔ Ò º ÌÓ Ó Ù Ó ÓÚ Ø ÚÓÐ ÓÙ ØÝ Ú Ó ÒÓÙ ÓÖ Ò Þ Ó Ø ØÒ ÒÓØ º Å Ö ÔÐÒ Ò ÓÐÙ Þ Ú Ò ÚÐ ØÒÓ Ø ÓÖÑ Ñ Ô ÙÒÙ Ò Ú Ø Ö Ñ ÓÐ ÔÐÒ Ò Ô Ñö ÔÐÒ Ò ÓÐÙ ÒÙ Ñ Ó Ó Ù Ó Þ Ò ÖÓÞ ÞÙ Ó Ù ÓÒ Ò ÔÓ Ý Ù Ú ÒÓØ Ò ÐÓÚ Ñ Ñ Ø º ÒÓ Ù Ò ÒÓ Ñ Ñ Ò Ù Ù Ô ÙÒ ØÖÚ Ø Ñ Ð Ô Ù ÓÖÑ Ù ÖöÓÚ Ø Þ Ò ÚÞØ Ý Ø Ñ ÓÐ Ð Ô ÔÐÒ Òº ÒÓÚ Ø ÞÔó Ó Ò Þ Ò Ó Ò Ø ö Ò Ñ Ó Ñ ÔÖ º ÀÓ ¹ ÒÓ Ò ØÓ ÓØÓ Ò Ù ÔÖÓ Ø Ò Ò ÓÐ Ò Ø Ö ÓÙ ÙÚ ÒÝ Ú Ô ÐÓÞ º Æ Ý Ñóö Ø Ú Ó Ò Ñ Ø Ò Ø ÒÓÚ ÒÝ ØÞÚº Û ÝÔÓ ÒØÝ Ø Ö ÑÓ ÓÙ Ô Ò ÙÖ Ø Ù Ý Ñ ÓÖÑ ÔÓ Ý ÓÚ Øº ½

15 Ã Ô ØÓÐ ¾ ÊÓÞ ÓÖ Þ Ò ¾º½ ÀÓ ÒÓ Ò Ð Ò Ñ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ÓÖÑ ÐÒ Ò Ô ÒÓ Ø Ô ÙÒÙº Æ Ò ÐÞ Ð Ø Ú Ö Ø Ö ÈÖÚÒ Ñ Ö Ø Ö Ñ Ð Ô ÙÒÙº ÓÖÑ Ñóö ÔÓ Ý ÓÚ Ø Ò ÞÔ ¹ ÒÑ Ø Ö Ò Ñ Ñóö ö Ó Ñö Ö Ø ÔÓØ Ò ÐÒ Ú Ð ÓÙ ÖÓÐ ÔÖÓ Ô ö Ø ÒÓØ º ÈÐ Ø ö Ñ Ð Ô ÙÒ ØÖÚ Ø Ñ ÓÖ º Ç Ø öò Ù ÓÔ Ø ÐÒÑ Ö Ø Ö Ñ Ñ Ö Ò ÔÐÒ Ò ÚÞØ ó Ñ Þ ÒÓØ Ñ Ø Ö ÔÓÔ Ù Ñ ÓÖÑ º Æ ÐÞ ÒÓ Ù Ø Ö ÚÞØ Ý Ú ÓÖ¹ Ñ Ö óð ö ØÓÙ ÖÓÐ Ò ØÓ ÓÖÑ ÓÚÐ Ú Ù ÚÞ Ð ÓÖÑ Ô ÔÓ Ð Ù ÓÖ º Ì ØÓ Ö Ø Ö Ú ÓÙ Ú ÚÞ ÑÒ Ñ ÖÓÞÔÓÖÙº Ñ ¹Ð ØÓØ ö ÓÖÑ ÓÔ ÖÓÚ Ø Ú ÐÑ Ú ÖÒ ÑÓ ÓÙ Ñ Ø Ò Ø Ö ÒÓØ Ý Ð Ò Ó Ó Ø öò ØÙº ÊÝ Ð ÔÓ¹ ØÙÔ Ô Ò Ò Ú ØÓÐ ÔÖÓ ØÓÖÙ Ù ÖöÓÚ Ò ÓÖÑ º ÈÖÓ Ð Ñ Ø Ó ÒÓ Ò Ò Ú ÒÙ Ô ØÓÐ º ½

16 ¾º¾ ÌÖ Ú ÐÒ Ð ÓÖ ØÑÙ Ù Ñ ¹Ð Ñ Ø Ñ ØÓ Ù Ó ÒÓ Ò Ñóö Ñ Þ ÓÙÑ Ø ÚÐ ØÒÓ Ø ÔÖÓ Ð ÑÝ ÒÓØÐ Ú Ð ÓÖ ØÑóº Æ Þ Ð Ò Ñ ØÓ ÓÙ ØÖ Ú ÐÒ Ô ÙÒº ÄÞ ÔÓÔ Ø Ø ØÓ ½º ÎÐÓö Ñ Ñ ÓÖÑ Ò Ñ ÔÙ Ø Ý Ù ÓÙ ÔÓÞ Ú Ð Ø Ð Ó ÔÓ¹ Ú Ð Ð Ô ÙÒÙ ÓÖÑ ÝÐ ÓÖ ÒØÓÚ Ò Ñ Ö Ñ Ó Ú ÓÞ Ó ÔÓÐ Ú Þ ¾º½ µº Ì Ñ Þ Ñ ÐÓÚ ÔÓÞ Ó Ø ØÒ ÒÓØ Ú ÓÖÑ ½ º ¾º ÈÖÓ ö ÓÙ ÒÓØ Ù Ò ÔÐ ÒÙ Ñ ØÙ Ò ÐÓÚ Ñ ØÓº µ ÓÖÑ Ó Ø Ò ÖÓÞ Þ Ò Ñ ØÓ ÓÞÒ Ò ö Ñ µ  ÒÓØÐ Ú ÒÓØ Ý Ó Ø ÒÓÙ ÖÓÞ Þ Ô ÙÒÙ Ò Ú ÐÓÚ Ñ ØÓ Ç Ö Þ ¾º½ Ë Ñ ØÖ Ú ÐÒ Ó Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ Ô ÙÒ ÓÖÑ Ø ØÓ Ø ÔÐÒ Þ Ò ÓÐ Ô ÙÒ Ò ÐÓÚ Ñ ØÓ ÔÓ Ù ÓÒ¹ Ò Ô ÙÒÙ Ù ÖöÙ ÚÐ ØÒÓ Ø ÓÖÑ Ò Ð Ô ØÓ ÑÓöÒ º Î Ò Ð Ù ÔÓ Ô ØÓÐ Ó Ñ ÒÓ Ù Ñ Ú Ñ Ò ÓÐ ÔÓØ Ò ÐÒ Ñ óúó óñ ÔÖÓ ÓÖÑ Ñ ØÝ Ò Ù ÖöÙ ØÚ Öº ÈÖÓ Ú ÒÝ ØÙ Ù Ñ Ô ÔÓ¹ Ð Ø ö Ò ÓÖÑ Ñ Ú Ð Ø Ð ÚÔ Ù ÙÔÖÓ Ø Ó Ø ÓÖ ÞÓÒØ ÐÒ Ó Ñ ÖÙµº È Ð Ñ Ø ØÓ ÓÖÑ Ò Ô Ð Ô Ú Þ º µº ÈÖÓ Ò ÓÖÑ Ø ØÝØÓ Ú Ý Ô ÞÔó Ó Ø Ò Ñ Ò Ú Ø Ò ÔÓÞÓÖÓÚ Ò Þó Ø Ú Ú ÔÐ ØÒÓ Ø º ½  РÓö ÔÖÓ Ð Ú ÔÖÓ ØÓÖ ÔÓÑ ÖÒ ÖÙ Ò ÑÙ Ò Ò Ñ Ñ Ø Ò Þ Ø ö Ò ÚÖ Óк Î Ø ÓÚ Ñ Ô Ô ÚÝ Ö Ñ ÒÓ Ù Ø Ò Ò Ð ö º ½

17 ¾º ÈÖÓ Ð ÑÝ ÀÒ ÔÖÚÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ø Ú Ù Ñ ÔÝ ØÚ ÖÙ ÒÓ Ù Þ Ø Ý Ó Ò Ó Ö Þ Ù ¾º¾ º â Ú ÖÚ Ô Ø ÚÙ ØÙ Ø Ö ÓÔÖÓØ Ó ÓÐÒ ÑÙ Ø Ö ÒÙ ÚÖ ÞÒ Ð ÚÒ º  ÒÓ Ù ÔÖÓ Ð Ú Ò Ò ØÙ ÔÓ Ó ÒÓÙ Ø Ò Ó Ö Þ Ù ¾º¾ º Ì ØÓ Ú Ó Ò ÔÖÓ ÒÓØ Ù ÑÓØÒÓÙ Ú Ð Ú Ú ÓÖÑ º  ÒÓØ Ý Ø Ö Ñ Ú Ñ ØÓ ÚÐ ÚÓ Ó Ú Ð Ø Ð ØÓØ ö ÖÓÞÔÓÖ Ø Ö Ú Ñ Ò Ó Ö Þ Ù ¾º¾º Ù Ù ÓÙ Ó ÖöÓÚ Ø ÚÓ Ô Ô ÒÓÙ ØÙ Ù ÓÙ ÔÓ Ý ÓÚ Ø Ö ö¹ Ñ Ø Ö Ò Ñ Ñö Ñ Ù Ô ÙÒ ØÖÚ Ø Ð Ø ÓÚ Ò Ø µ Ò Ó Ôó ÓÙ ÔÓ Ó ÒÓÙ ØÓÙ Ó Ú Ð Ø Ð Ñö Ù Ø Ð ÔÓÖÙ ÚÐ ØÒÓ Ø ÓÖÑ Ö ÓÚ Ò Ø µº ÌÓÑÙ ÐÞ ÚÝ ÒÓÙØ Ø Ñ ö Ú Ð Ø Ð ÔÖÓ ÐÓÙö ÚÓ ØÙ Ø Ý Ú ÚÒ Ø Ò ØÖ Ò Þ Ø Ý ÝÐ Ó Ø Ø Ñ Ø ÔÖÓ ÔÓ Þ Ò ÒÓØ Ýº Á ÐÒ Ø Ý Ô Ñ Ð Ú Ø Ø Ñ ØÝ ÞÓ Ö Þ ÒÓ Ò Ó Ö Þ Ù ¾º¾ º µ Ë Ñ Þ Ø Ý µ Ø Ú Ð Ø Ð Ù ØÖ Ú ÐÒ Ó Ð ÓÖ ØÑÙ µ Ø ÒÓØ Ý ÚÐ ÚÓ Ó Ú Ð Ø Ð µ Î Ó Ò Ø Ú Ð Ø Ð ØÓÙ ÔÖÓ Ó ÐÒ ÒÓØ Ý Ç Ö Þ ¾º¾ Ø ÓÖÑ Þ Ø ÓÙ ÔÖÓ Ð ÑÝ Ø Ñ ÔÓ Ò ½

18 Ø ÓÖÑ Þ Ø ÓÙ Ú Ó Ú Ù ÖÚ Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö Ó Ú Ø Ò Ó Ö Þ Ù ¾º¾ º  ÒÓØ Ý Ú ÚÒ Ø Ò ØÖ Ò Þ Ø Ý Ñ Ö Ø ØÙ Ò ö Ú Ð Ø Ð ÒÓØ Ý Ò ÚÒ ØÖ Ò Ò ÓÔ Ð º ÈÓ Ù Ý Ú ÒÝ ÒÓØ Ý ÐÝ Ø ÒÓÙ ÖÝ ÐÓ Ø ØÝ Ò Ð Ú Ñ Ð Ý ÝÐÝ ÓÔÖÓØ Ú Ð Ø Ð Ò Ô ØÝ Ò ÔÖ Ú Ñ Ð ÔÖÓ ÞÑ ÒÙ ÔÓÞ Ùº ÈÖÓ ÒÓØ Ý ÚÐ ÚÓ ÔÖÓ Ú Ð Ø Ð Ý Ø Ý ÝÐÓ ÖÓÞÙÑÒ Ú Ó Ò ÞÔÓÑ Ð Ø Ý ÒÓØ Ý ÚÔÖ ÚÓ ÓÖÑ Ø Ðݺ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ô ÚÞ Ð ÓÚ Ó ÔóÚÓ Ùº ö Ö Ø ÓÚ Ó Ñö Ú Ø Ö Ñ Ø ÓÖÑ ö Ú Ð Ò ÔÓ Ý Ð Ú öøó Ò Ø Ö ÒÓØ Ý Ø Ô ÙÒÙ Ôó Ó ÖÙ Ú º ÈÓ Ù Ý Ú ÒÝ ÒÓØ Ý ÓÖ Þ ÐÝ Ó ÐÓÚ ÔÓÞ Ò ÒÓÙ ÑÓ ÐÓ Ý ØÓ ÞÐ Ô Ø Ó Ñ Þ ÔÓ Ý Ùº Î Ô Ô ö Ø Ú Ò Ø Ö Ñ Ó Ô Ð Þ ÓÐ Ñ Ó Ð Ø Ú ÐÑ Ö Ò Ó Ò ÔÖó Ó Ò ÓÖÑ Ñ Ø Ò Ò ÑÖ Ø Ø ÔÓ ÒÓ ÒÓÙ Ñ Þº Æ ¹ Ô Ð Ò Ó Ö Þ Ù ¾º ÓÙ ÖÚÓÙ ÚÝÞÒ Ò Ø ÐÓÙ Ò ÔÖÓ ØÙÔÒ Ø Ö Òº Ð Ô ÓÞÒ Ù ØÙ Ø Ö ÔÖÓ ÓÖÑ Ô Ð Þ ÓÖÑ Ý ÑÙ Ð Ô Ð ÞÑ Ò Ø Ý ÒÓÙ ØÓÙ ÔÖÓ Ð º Æ ÔÖÓØ ØÓÑÙ Ô ÓÞÒ Ò Ö¹ ÒÓÙ Ô ÓÙ ÓÞÒ Ù ØÙ Ø Ö Ð Ú Þ Ð Ó Öö Ò ÚÐ ØÒÓ Ø ÓÖÑ Ú Ó Ò º Ç Ö Þ ¾º ÈÖÓ Ð Ñ Ô Ð Þ Ó ÔÖó Ó Ùº Ð Ø ÔÖÓ ÓÖÑ Ô Ð Þ Ø ÔÓÙö Ø Ð ÖÒÓÙº Å ¹Ð ÒÓØ Ý Ú Ö Þ Ú ÔÓ Ó Ò ÐÓÙ Ø ÑÓ ÓÙ Ò Ø Ø Ø Ò ÔÖÓ Ð Ñݺ  РÓö ÓÙ Ó ÒÓØ Ý Ú ÓÖÑ Ñ ÖÒ ÔÓ ÙÒÙØ Ñóö ÚÝ Ó ÒÓ Ò ØÓ Ó Ø Ö Ø Ú Ó Ò Ð Øº ÓÖÑ Ô ÖÓÞ Ð Ò Ú Ò Ó Ú Ò Þ Ú Ð Ø Þ Ò ö ö ØÙ ÒÑ Ñ Ö Ñº ÎÝ Ñ Ô Ô ó Ý Ò Ó Ó Ø Ø Ò Ñ ÐÓÙ Ô ö Ù Ý ÝÐÓ Ú Ó Ò Ý Ú ÒÝ ÒÓØ Ý ½

19 Ò ÓÖÑ ÔÓÙö ÐÝ ØÙ Ø ÒÓÙº ÊÓÞÐ Ò Ú Ð Ó Ø Ô ö Ò Ò ÒÓÞÒ Ò Ñóö Þ Ú Ø Ò Ú Ð Ó Ø ØÝÔÙ ÓÖÑ Ò Øݺ ÈÖÓ Ð Ñ Ñ Ø Ö Ø Ú ÔÓ Ó Ò Ð ÓÖ ØÑ Úö Ý Ö ÓÚ Ø Ø ÓÐ Þ Ò º ÌÖ Ú ÐÒ Ð ÓÖ ØÑÙ ÙÑÓö Ù Ý Ú Ò Ó Ú ÒÓØ Ñ ÐÝ Ú Ø Ø Ò ÚÖ Óк  ¹Ð Ò Ú Ø ÒØÓ Ú ÔÓ Ó Ò Ñ Ù ØÝ Ñóö Ò Ø Ø ÓÐ Þ º Ú ÒÓØ Ý Ù ÓÙ Ô Ð Ð Þ Ó Ù Óö Ùö Ú Ø Ð Ø Ú ÑÒ º ÈÓ Ð Ò Ú Ø ö ÚóÐ ÔÓÑ ÖÒ ÖÙ ÑÙ Ö ØÖÙ Ñ ÔÝ ÚÝÔ ÔÓ Ý ÒÓØ Ú ÐÑ ÓÑ Þ Òº ÑÒ Ò Ö ØÖÙ ÓÙ Ñóö Ò Ø Ú ÓÒÓÚ ÔÖÓ Ð ÑÝ Ø ö Ù Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÚÝ Ø Ó Ø ÓÚ Ò Ñ ÞÔó Ó Ñº Â Ú Ø ÔÖÓ Ð Ñó ØÖ Ú ÐÒ Ñ Ð ÓÖ ØÑ Ñ ÑÒÓ Óº Â Ò Þ ÑÓöÒ ÞÔó Ó ó ÔÓ Ù Ø ÚÝ Ø Ò ÚÖ ÒÓÙØ Ð ÓÖ ØÑÙ Þ Ð Òº ÖÙ ÑÓö¹ ÒÓ Ø Ø ÖÓÙ ÔÓÙö Ñ Þ Ñ Ø Ò ÖóÞÒ ÔÖÓ Ð ÑÝ ÔÓ Ù Ø ÚÝ Ø ö ÞÚÐ ð Ô Ô Ò Ò ÓÐ ÔÓ Ó Ò ÔÖÓ Ð Ñó Ò ÒÓÙº ÈÓ Ù Ý ÔÓ ¹ ÐÓ ÔÖÓ ö Ô Ø Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÚ Ø ÚÐ ØÒ ÑÓ ÙÐ Ø Ö Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ðº Î Ø ÓÚ Ñ Ô Ô Ý ÝÐÓ ÑÓöÒ Ò ÒÓ Ô Ô Ò Ø ÒÓØÐ Ú ÓÚ Ò º ÃÖÓÑ Ù Ò Ò Ò ÚÐ ØÒ ØÚÓÖ Ý Þ Ò ÙÖ Ø ÖÓÞ Ø ÐÒÓ Ø Ò ÚÖ Ù Ø Ñ ÓØ Ú Ö ÑÓöÒÓ Ø ÔÖÓ ÔØ Ò ÚÒ ÔÓ Ñ Ò Ý Ò Ó ÚÒ Ø Ò Ø Ú ÒØóº ½

20 Ã Ô ØÓÐ Ð ÓÖ ØÑÙ º½ ÀÐ Ò ØÝ Â Ö Ñ Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓÚ Ñ ÔÓ Ý ÒÓØ Ú ÔÖÓ ØÓÖÙ Ù Ð Ò Øݺ ÈÓØ Ù Ñ Ò ØÖÓ Ø Ö Ò Ñ ÔÖÓ Þ Ò Ú ÓÞ ÐÓÚ Ó Ú ÔÖÓ ØÓÖÙ Ò Ò Ö Ø ØÙ Ñ Þ Ò Ñ º ÈÖÓ Ð Ú Ñ ÔÖÓ ØÓÖ Ñ Ú Ø ØÓ ØÙ Ò Ñ Ô Ó Ð Ø º ÈÖÓ ÑÓØÒ Ð Ò Ò Ð ÚÒ ØÝ Ô ÔÓÙö Ñ Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ö ÔÓÔ Ò Ò Ô Ð Ú ½ º Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÐÒ ÔÖÓ Ð Ú Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ö ÔÓÙö Ú ÙÖ Ø Ó ÒÝ Þ Ú ØÝ ÔÖÓ Ó Ó ÒÓ Ò ÔÖÓ Ð Ú Ò ÚÖ ÓÐóº Ý ØÓÑÙ Ó Ù Ú Ó Ú Ò Ñ Ô Ô Ð Ô Ó Ú ÓÒÙ Ò ö ÔÖÓ Ð Ú Ò Ó Ýº  ¹Ð ÙÖ Ø Ô ÔÙ ØÒ Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÖ ØÒ Ø Ý Ò Ð ÞÒ Ò Ö Ø ØÙµº Â Ó ÙÖ Ø ÙÒ Ò Ñ Ú ØÙØÓ Ú Ð ÔÓ ÐÓÙö Ò Ð Ù ÙÒ º Î Ø º½º½ h(p,q) = c min max{ p.x q.x + p.y q.y 2, p.y q.y } c min Ñ Ò ¹ Ñ ÐÒ Ó Ó ÒÓ Ò Ö Òݵ Ô ÔÙ ØÒ ÙÖ Ø º ó Þ ÇÞÒ Ñ dx = p.x q.x dy = p.y q.y º ÈÖÓ ØÙ Ð Ý Ò Ö ÒÝ ØÖ Ú ÐÒ ÔÐ Ø dx+dy 2 = 1 dy 1 Ú Þ Ô ØÓÐ ½º½º¾µº Æ Ð Ù ØÝ k Ö Ò Ñóö Ñ ÔÓ Ð ö Ø Ø Ó Ò k Ø Ð Ý Ò Ö ÒÝ Ø ö ÔÐ Ø dx+dy 2 k dy k ½ Ó ÖÓÑ Ý max{ dx+dy 2,dy} kº ØÓ Ó ÔÐÝÒ ö f (p,q) h(p,q) = c min max{ dx+dy 2,dy} Ø Ý h Ô ÔÙ ØÒ ÙÖ Ø º ÈÓÞÒ Ñ º½º¾ Ì ØÓ ÙÖ Ø Ó ÔÓÚ Ò Ö Ø Ø Ó Ó ÔÓ ØÙ Ö Ò Úݹ Ò Ó Ò Ñ Ò Ñ ÐÒ ÑÓöÒÓÙ ÒÓÙ Ö ÒÝ Ú Þ Ó Ö Þ º½µº ½ ÈÐÝÒ Þ Ò ÖÓÚÒÓ Ø x i x i º ¾¼

21 Ç Ö Þ º½ À ÙÖ Ø ÙÒ ÔÖÓ c min = 1 º½º½ ÃÓÑ ÒÓÚ Ò ÔÖÓ Ð Ú ÔÖÓ ØÓÖ ÌÖ Ú ÐÒ ÔÓ ØÙÔ Ð Ò ØÝ ÔÖÓ ö ÓÙ ÒÓØ Ù ÞÚÐ ð Ó ÙÖ Ø Ñ ÖÝ ÙÒ¹ Ù Ñ Ð Ð ÓÖÑ Ó Ø Ò Ó Ùö Ñ Ø Ò Ø Ú ÔÓØ ö º  ¹Ð Ò Ô º Ú Ð Ø Ð ÓÖ ÞÓÒØ ÐÒ ÙÔÖÓ Ø ÓÖÑ ÚÝÔÐ Ø Ý ÔÐ ÒÓÚ Ð ØÙ Ô Ø ¹ Ñ Ó Ð Ø Ò Þ ÓÙ ÒÓÙ Ý ÒÓØ Ý Ò Ð ÝÐÝ Ú Ø ØÓ Ó Ð Ø Ø º ÈÓ Ù Ø ØÓ Ó Ð Ø Ú ÐÑ Þ ÓÐ Ñ Ò Ó Ð Ø Ú ÐÑ Ö Ò Ó Ó ÓÒ Ò ÔÖó Ó Ò Ó ÓÒ ÖÓÞÙÑÒ Ø ØÓ Ó Ð Ø ÚÝ ÒÓÙØ Ýö Ý ØÓ ÔÖÓ ¹ ÑÓØÒÓÙ ÒÓØ Ù ÝÐ Ò Ð ÚÒ Ø º Â Ò ÒÓ Ú Ó Ò Ý Ú Ð Ø Ð Ô Ð Ò ØÝ Ö Ð Ú Ú Ù ÒÓØ Ý Ø Ö ÓÙ Ú Ö Ö ÔÓ Ò Ñº ÌÓ Ó Ñóö Ñ ÒÓ Ù Ñ ÞÔó Ó Ñ Ó ÒÓÙØ Ø ö ÔÖÓ Ð Ú Ñ ÔÝ ÒÓØÐ Ú ÒÓØ Ô ÖÝ Ñ ÔÓ ÙÒÙØ ÔÓ Ð ØÓ Ó ÔÓÞ Ú ÓÖÑ Ñ º ÌÙØÓ Ñ ØÓ Ù Ò Ð Ô ÑÓÒ ØÖÙ Ñ Ò Ô Ð º Æ Ó Ö Þ Ù º¾ Ú Ñ Ñ ÓÖÑ Ø Ö ÒÙ ÖÙ ÓÚ Ó ÐÓÚ Ò Ó ØÝ Ô Ø ÚÙ Ò ÔÖó Ó Ò Ô ö Ý Ò Ô º ØÖÓÑݵ ÖóÞÒÓ Ö ÚÒ ÖÙ Ý ÚÝÞÒ Ò Ñ ÓÖ ÒØ ÓÙ ¹ ÒÓØ Ýº Ñ Þ ÓÒ ØÖÙÓÚ Ø ÔÖÓ Ð Ú Ñ ÔÙ Ú Ð Ø Ð ÞÓ Ö Þ Ò ÖÒ µº Æ ÔÖÚ ÙÖ Ñ Ú ØÓÖ ÔÓ ÙÒÙØ Þ Ú Ð ÒÓØ Ý ÓÔÖÓØ Ú Ð Ø Ð Ú ÒÝ Ô ö Ý Ô ¹ ÙÒ Ñ Ó ÓÔ Ò Ú ØÓÖº Æ Ó Ö Þ Ù º¾ Ú Ñ Ø ÒØÓ ÖÓ ÔÖÓ ØÑ Ú ÓÙ ÒÓØ Ù ØÖÓÑ ÐÓ ½ Ò Ó Ö Þ Ù º¾ Ú Ñ Ú Ð ÒÓÙ Ñ ÔÙº ÌÙØÓ Ñ ÔÙ Ô Ú Ð Ø Ð ÔÓÙö ÔÖÓ ÚÝ Ð Ò ØÝ Ø ÖÓÙ ÑÓ ÓÙ ÓÔ ÖÓÚ Ø Ú ÒÝ Þ Ú Ð ÒÓØ Ý Þ Ó Ú Þ Ò ÔÖó Ó Ò Ó Ø Ö ÒÙ Ú Þ º¾ µº Ì ØÓ ÑÝ Ð Ò Ò ÒÓ ÔÐ ÓÚ Ø Ò Ò ØÖÓ ÐÒ ÓÚÓÙ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ó Ó ÒÓ Ò Ñ Ö Òº Å ØÓ Ô ÙÒÙ Ô ö Ù Ñ ÓÑ ÒÓÚ Ø ÒÙ Ö Ò Ò Ó ÔÓÚ Ñ Ø º w(b) c p+ó(b),q+ó(b) c c p,q = c p,q + b B s b B s w(b) ¾½

22 µ  ÒÓ Ù Ñ Ô µ ÃÓÔ ÖÓÚ Ò Ô ö µ Î Ð Ò Ñ Ô µ Æ Ð Þ Ò Ø Ç Ö Þ º¾ ÃÓÒ ØÖÙ ÓÑ ÒÓÚ Ò Ó ÔÖÓ Ð Ú Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ Â ¹Ð Ö Ò Ù Þ Ú Ð ÒÓØ Ý Ò ÔÖó Ó Ò Ò Ò Ú Ó Ò Ý ÝÐ Ó ÔÓÚ ¹ Ö Ò Ò ÔÖó Ó Ò Ù Ú Ð Ø Ð º ÈÓ Ù Ý ÓÑ Ú Ú ÙÚ Ò Ñ Ô Ð Ô Ð Ø Ò ÓÐ Þ Ú Ð ÒÓØ Ò Ó Ô ö ÑÓ ÐÓ Ý Ø Ø ö Ý ÚÝØÚÓ ÐÝ Ò ÔÖó Ó Ò Ò Ó Ó ÓÒ ÔÐÒ Ò Ó ØÙÔÒ Ó Ð Ø º È ØÓÑ Ý ÝÐÓ ÙÖ Ø ÑÓöÒ Ò Ø Ø ÓÚÓÙ ØÙ Ø ÖÓÙ Ý Ú Ø Ò Þ Ú Ð ÒÓØ ÑÓ Ð ÔÖÓ¹ Ø Ò Ò Ø Ö Ý ÑÙ ÐÝ Þ ÙÖÞÙ Ñ ÖÒ Ó Ð Ø ÓÖÑÓÚ Ø Ø Ù ÙÔ Ò º ÌÓ Ó ÐÞ Ò ÒÓ Ó ÒÓÙØ Ø Ñ ö ÔÖÓ ÐÝ ÓÒ ØÖÙ ÓÑ ÒÓÚ Ò Ñ ÔÝ Ò ¹ Ö Ñ Ò ÔÖó Ó Ò Ö ÒÝ Ú Ñ Ô Þ Ú Ð ÒÓØ Ö Ò Ñ ÒÓÙ 2c max º ÈÓÞÒ Ñ º½º  РÓö ÓÙ Ñ ÔÝ ÔÓØ Ò ÐÒ Ú Ð ÓÖÑ Ñóö ÓØ ¹ Ø ÓÖÑÓÚ Ø Ó ÓÒ ÔÐÒ Ñ Ò Ø Ò Ò Ú Ó Ò ÓÒ ØÖÙÓÚ Ø ÓÑ ÒÓÚ ÒÓÙ Ñ ÔÙ ÐÓÙ Ð ÔÓ Ø Ø ÔÓÙÞ ØÝ Ö ÒÝ Ø Ö ÓÙ ØÙ ÐÒ Ø º Ì ÒØÓ Ô ØÙÔ Ú ÓÒÓÚ ÞÒ Ø Ò ÑÓØÒ Ñ ÚÝ Ð Ú Ò ØÝ Ð ÔÖÓ Ñ Ð ÔÓ ØÝ ÒÓØ Ú ÓÖÑ Ò Ò ØÓØÓ ÞÔÓÑ Ð Ò ÚÖ ÞÒ º ¾¾

23 º¾ ÈÐ ÒÓÚ Ò Î Ð ÓÙ ÖÓÐ Ú Ù ÖöÓÚ Ò ÓÖÑ Ñóö Ö Ø ÞÔó Ó ÔÐ ÒÓÚ Ò Øº ÌÖ Ú ÐÒ Ô ØÙÔ Ò ÔÐ ÒÓÚ Ø Ú Ñ ÒÓØ Ñ ÔÓ ØÙÔ Ô ÑÓ Ó ÐÓÚ ÔÓÞ º Í ÞÙ Ú ö Ô Ø ÓÚ Ñ ÔÓ ØÙÔÙ ÓÖÑ Ò Öö ØÚ Ö Ô Ð ÐÓÙ Ó Ô Ó Ó ÐÓÚ ÔÓÞ Ú ÐÑ ÓØ º Æ Ò ö ÑÓ ÓÙ ÒÓØ Ý Ú Þ Ú ÐÓ Ø Ò ÔÖÓ ÐÙ Ø Ö ÒÙ Ø ÚÖ ÞÒ ÒÓÙ ÖÝ ÐÓ Ø Ò Ø Ö Þ Ò Ð ÑÓ ÓÙ Ñ Ø Ö Ø ØÙ Ò Ô º Ò ÚÒ Ø Ò ØÖ Ò Þ Ø Ýµº Ó ÓÒ Ñóö Ø Ø ö Ý Ú Ô Ô Ú Ð Ô ö Ý ÙÔÖÓ Ø ØÝ Ò Ô º Ù ÓÚ Þ ÖÓµ ÑÓ Ð ÓÖÑ ÖÓÞ Ð Ø Ò Ú Ø Þ Ò ö ö Ó Þ Ô ö Ù Þ Ò ØÖ ÒÝ Ñö Ý ÓÖÑ ÖÓÞ Ð Ð Ò Ú Ò Þ Ú Ð Ø º º¾º½ È Ö Ó Ô ÔÐ ÒÓÚ Ò Ý ÚÐ Ú Ø ØÓ ÔÖÓ Ð Ñó ÚÖ ÞÒ ÞÑ Ò Ð ÑÓöÒ Ô Ñ ÔÓÙö Ú Ø ØÞÚº Ô Ö Ó Ô ÔÐ ÒÓÚ Ò º Ð Ñ Ø ØÓ Ñ ØÓ Ý ÖÓÞ Ð Ø ØÙ Ò Ò ÓÐ Ö Ñ ÒØó ÙÚÒ Ø ö Ó Þ Ò ÔÐ ÒÓÚ Ø ØÙ ÞÚÐ ðº Î Ð Ø Ð ÓÖÑ Ò ÔÖÚ Ò ÔÐ ÒÙ ÐÓÙ ØÙ Ó ÐÓÚ Ó Ó Ùº ÈÓØ ÙÖ ÔÖÚÒ Ö Ñ ÒØ ØÝ Ú ÒÝ Ó Ø ØÒ ÒÓØ Ý Ò ÔÐ ÒÙ Ó Ó Ð º ÈÓ ÔÖÓ Ø ÙÖ Ø Ø Ö Ñ ÒØÙ ÙÖ Ú Ð Ø Ð Ö Ñ ÒØ ÒÓÚ ÔÓ ØÙÔ ÞÓÔ Ù º ÒÒÓ Ø Ø ØÓ Ñ ØÓ Ý Þ Ú Ò ÞÚÓÐ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØÓ F Ð Ö Ñ ÒØÙ Ú ÔÓ ØÙ Ö Ò P ÔÓ Ø ÔÖÓ Ð Ö Ò ÔÓ Ø Ö Ò Ð Ù Ú Ö ÒÓÚ Ó Ö Ñ ÒØÙ È Ö Ñ ØÖ P Þ Ú Ð Ò F º Ñ Ý Ñ ÐÓ Ø P F Ò Ý ÔÓ ÔÖÓ Ø Ö Ñ ÒØÙ ÓÖÑ Þ Ø Ú Ð º Þ ÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ó Ù Ú Þ º µ Ý Ò Ø Ö ÒÓØ Ý ÑÓ ÐÝ Þ Ø ÚÓÚ Ø Ô P = F Ò Ó Ô P Ð Þ Ó F º  ¹Ð Ò ÓÔ P Ô Ð Ñ Ð Ò Ø Ú Ú Ö ÒÓÚ Ó Ö Ñ ÒØÙ Ú ÐÑ ØÓ ¾ Ò Ú Ú Ø Ò ØÝ Ú Ö Ñ ÒØÙ ÓÙ Ò Ñ ÔÓ Ø Þ ÝØ Ò º Â Ó ÓÑÔÖÓÑ Þ Ø Ú Ó Ò Ó ÒÓØ P 0.5 F º ËØ Ø Ý ÓÔØ Ñ Ð ÞÓÚ Ø Ô Ö Ñ ØÖF º Æ ÖÓÞ Ð Ó ÖÙ Ó Ô Ö Ñ ØÖÙ Ô Ð Ñ Ð F Ò Ó Ùº Í Ö ØÓØ ö ÓÖÑ Ò ÚÓÐÒÓ Ø Ô Ó Þ Ò Ñ Ð Ô ö Ò Ô º ØÖÓѵ Ô ÓÒ Ú Ò Ñ Ò ÖÓÞ Ðó Ú Ò ÖÓ ÒÓ Ø Øݺ Æ Ú ÔÓ Ù ÓÖÑ ÔÓ Ø Þ Ø Óö Ø Ñ Úö ݵ Ô ÒÓØ Ý Ø Ö ÓÙ Ð Ó Þ Ú Ð Ø Ð Ñ Ù ÓÙ ÑÙ Ø ÔÓ Ý ÓÚ Ø ÔÓ Ó ÐÓÙ Ù Ò Ú ÒÓÚ Ñ ØÓ ØÓ Ø Ñ ÓÐÑÓ Ò ÔÓö ÓÚ Ò Ñ Ö ÔÓ Ý Ùº ÎÝ Ó F Ò ÓÔ ÞÒ Ñ Ò ö ÔÖÓ Ö Ø ØÝ Ö Ø Ý Øµ Ò Ö Ô ÔÐ ÒÓÚ Ò Ö Ñ ÒØ ö ÒÓÙ ÔÓÞ Ø ÚÒ ÖÓÐ º ¾ ÌÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÓÒÒÓ ØÒ Ó Ö Ø ÖÙº Æ Ò ¹Ð Ú ÓÒ Ø óð ö Ø ÑÓöÒ P ÞÑ Ò Ø Ø ö Ò ÒÙ Ö ÒÙº ¾

24 Î Ó Ò Ó ÒÓØÝ Ô Ö Ñ ØÖÙ F Ù Ø ÙÖ Ø Ò ÐÞÓÙ ÓÚ Ò ØÓ ÓØÓ Ð¹ ÓÖ ØÑÙ Ó ÔÖÓ ÖóÞÒ Ó ÒÓØݺ Ì ØÓ Ó ÒÓØ Ô Ñóö Ú Ó Ò Ñ Ò Ø ÔÓ Ð Ò Ó Ñ ØÙ ÓÖÑ Ò Ó ÔÓ Ð ÔÓö Ú ó Ò ÖÝ ÐÓ Ø Ú Ð ØÙ Ô ÙÒÙº º¾º¾ Ö Ñ ÒØ ÔÓ Þ Ø ÈÖÓ Ð Ñ Ô ØÙÔÙ Ô Ö Ó Ó Ô ÔÐ ÒÓÚ Ò Ú ØÓÑ ö Ô Ö Ñ ÒØ Úó¹ Ò Ò Ö Ò Ú Ú Ù ØÚ Ö Øݺ Å Þ Ô ÔÐ ÒÓÚ Ò Ñ Ô Þ Ø ÓÙ ÔÓ Ò Ñóö Ø Ú Ð ÖÓÞ Ð ÔÓ ÔÖÓ Ø Þ Ø Ý Ý Ñ Ð Ø ÓÖÑ Ò ÓÖ ÒØÓÚ Ò Ò ö Ô Ò Ñº Æ ÐÓÙ Þ Þ Ø Ý Ò ÓÔ Þ ÝØ Ò ÔÐ ÒÓÚ Ø ØÙ ÔÓ Ú º ÈÓ Ù Ý ÓÑ Ø Ý ØÙ ÖÓÞ Ð Ð Ò Ô Ñ Ý Þ Þ Ø ÑÓ Ð Ý Ö Ñ ÒØ ØÙØÓ ÖÓÐ ÔÐ ÓÚ Øº Ý ÝÐÓ ÑÓöÒ ÙÖ Ø Ó Ô Ñ ØÝ ÑÙ Ñ Ø Ò ÔÖÚ ÓÔÒ Ñ Ö Ñ Ø ÒÓØ Ý Ú Ò Ñ ÚÖ ÓÐÙº ÍÖ Ò Ñ ÖÙ ØÝ Ñ ÐÓ ÐÒ Ö Ø Ö Ø Ý Þ Ú Ð Ò Ò ÓÐ Ó ÓÐÒ Ö Ò º Î ÔÖ Ü Ù Þ ÐÓ Ø ÖÓÞÙÑÒ ÚÞ Ø Þ ÑÙØ Ñ Þ ÚÖ ÓÐ Ñ Ú Ö ÒÝ ÔÓ Ø ÚÖ ÓÐ Ñ Ú Ö ÒÝ ÔÖÓØ Ø Ú Þ Ó Ö Þ º µº Î Ð Ó Ø ØÓ ÓØÓ Ó Ò Ó Ø Ø Ò Ñ Ð Ò ØÓ Ý ÙØ Ò Þ Ø ÔÖÓ Ú Ð ÖÝ Ð Ð Ý Ñ Ð Ù ØÙ Ú Ø Þ Ø Ù Ò ÞÒ Ñ Ò Ð º Æ Ó Ö Þ Ù º Ú Ñ ØÙ Ø Ö Þ ÐÓ ÐÒ Ó Ð ÖÓÚÒ Ò Ö ØÒÓ Ø Ñ ÔÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ ÞÔó Ó Ù ö Ú Ø ÚÝ ÝØÙ Ö ÒÝ ÖóÞÒÓÙ ÓÖ ÒØ º Î Ú Ó Ð ÔÓ Ð ÞÚÓÐ Ò Ò Ñ Ö ØÝ Ø Òº Ç Ö Þ º ËÑ Ö ØÝ Ú Ò ÓÐ Ó Þ ÓÒ ØÖÙÓÚ Ò Ñ ØÓ ÓÙ Ó Ò Ç Ö Þ º ÊÓ Ù ØÒÓ Ø Ò Ñ ÖÙ ØÝ Å Ñ ÒÝÒ Ú ÖóÞÒ Ý ØÝ F 1 F 2 º Æ Ú Ø Ð Ø Ö ÔÓÐÙ Ú Ö Ñ ÖÝ ØÝ Ú ÚÖ ÓÐ Þ Ù F 1 ÓÞÒ Ñ ϕ 1 Ò ÐÓ Ý ϕ 2 ÔÖÓ Ñ ÖÝ ØÝ ¾

25 Ú ÚÖ ÓÐ F 2 º Ä ¹Ð ÐÝ ϕ 1 ϕ 2 ÔÓÙÞ Ó Ò ÓÙ Ñ ÐÓÙ Ó ÒÓØÙ ɛ Ú Ó Ò Ý ÔÐ Ø ÐÓ ö ÓÙ Ó Ý F 1 F 2 Ô Ñ Ò Ó Ò Ò Ô Ñ Ò Ò Þ Ò º ϕ 1 ϕ 2 < ɛ (F 1 Ô Ñ F 2 Ô Ñ) Ý ÝÐ Ò Ó Ø Ø Ò ÖÓ Ù ØÒ Ø Ý ÖÓÞ ÐÝ Ñ Öó ÔÓ Ó Ò Ú Ð Ó Ø ÓÚ ÐÝ Þ Ð Ø Ô Ñ ó Ø Ò º ÈÖÓØÓ ÒÝÒ Þ Ø Ñ Ó ÒÓØÝ ÑóöÓÙ ØÝØÓ ÖÓÞ ÐÝ Ò Ú Øº ÇÞÒ Ñ S Ð ÓÚÓÐÒ Ó Ò Ñ Ô º ÇÞÒ Ñ ÔÓ P 1,P 2... P 24 Ú ÒÝ Ó Ý Ú ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ö ÒÝ ÔÖÓØÓö Ú Ð Ó Ø Ó Ò µ Ó S Ø ÒÙ Ñ P 25 = P 1 P 26 = P 2 º Ë Ñ ÓÙÑ ÖÒ ÔÓ Ð ö Ô Ñ Ý SP i Óö Ò Ñ ÙÑÓö Ù ÒÓ Ù ÙÖ Ø ÐÝ Ø Ö Ú Ö ÒÓØÐ Ú Ñ Öݺ S P 3 P 2 P 1 P 24 Ç Ö Þ º ÅÒÓö Ò Ó ó Ú ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ö Ò Ó Ø ÓÚ Ó Ó Ù S ÈÖÓ ÓÙ Ò Ñ ÖÝ Þ Ø Ñ Ñ Ò Ñ P 2k SP 2k+1 = , ÔÖÓ k 1,2,...,12º P 2k 1 SP 2k = ÈÖÓ Ú Ñ ÖÝ Ó Ò ØÙ ÒÓ Ù ÔÐ Ø P i SP i+2 = 30 ÔÖÓ i 1,2,...,24º Ø Ñ Ñ Ð ÔÓ Ø Ð ÔÓÙÞ Ø Ñ Ø Ö Úö Ý ÚÞ ÐÙ Ó ÔÓ Ø Ò Ó Ó Ù Óö Ú Ó Ò Ò ÔÐ Ø º ÅÓöÒ Ñ Öó Ú Ò Ø Ò Ò ÚÖ ÞÒ Ú ¾

26 ö Ò ÝÑ ØÖ Ó ÓÒ ÔÓÙÞ Òº Æ Ó Ö Þ Ù º Ø ÒØÓ Ñ Ö ÓÞÒ Ò Ó SQ 2 º Ç Ø ØÒ Ó Ý Ð ö S Ð ö Úö Ý Ò Ò SP i ÒÙ Ø Ý Ø Ò Ñ Öº S Q 2 P 3 P 2 P 1 Ç Ö Þ º Ó Q 2 ÒÙ ÑÓöÒ Ñ Ö ÔÓ Ý Ù Ô Ú Ð Ó Ø Ó Ò º P 24 Å Ò Ò Ñ Ú P 2k 1 SQ 2k = Æ Ñ Ò ÐÝ Ø Ö Ñ ÖÝ Ú Ö ÓÙ Ø Ý ÔÖÓ k {1,2,...,12}µ P 2k SQ 2k = 2.991, P 2k+1 SQ 2k = , P 2k SP 2k+1 = , P 2k 1 SP 2k = , P 2k 1 SQ 2k = , P 2k+2 SQ 2k = , P 2k 1 SP 2k+1 = 30, P 2k SP 2k+2 = 30. ÝÑ ØÖ Ñ ÖÓÚ Öóö ÔÐÝÒ ö ö ÑÓöÒ Ð Ñ Þ Ñ ÖÝ Ñ Ú Ð ¹ Ó Ø Ú ØÚ ÖÙ k 30 + ψ k {0,1,...,11} ψ Ò Þ Ú ÙÚ Ò Ò Ñ Ò Ðóº Æ Ú Ø ÖÓÞ ÐÝ ÓÙ Ñ Þ ÚÓ Ñ Ðó (k ,k ) (k ,k ) Ó Ò º Â Ø Ý Ú Ó Ò Ý ÔÖ ÖÓÞÐ Ù Ô Ñ Ý Ó Ø Ø Ö Ô Ñ Ò ÓÙ Ð ö Ð Ú ÒÓÑ Þ Ø ØÓ Ò¹ Ø ÖÚ Ðóº  РÓö Ý Ø ÒØÓ ÔÖ Ò Ñ Ð Ò Ú Ø ÚÝ Ó Ó ÒÓØ Ò Þ ÔÓÙÞ Ò ÓÐ ÑÓöÒÓ Ø {10,20,40,50 }º Ò º¾º½ ØÝ ÓÞÒ Ñ Ó ϕ 0 ¹Ô Ñ ÔÖ Ú Ø Ý Ýö ÔÖÓ ö ÓÙ ÚÓ Ó ÚÖ ÓÐó ÔÐ Ø ö Ñ ÖÝ ØÝ Ú Ø ØÓ ÚÖ ÓÐ Ú Ö Ð Ñ Ò Ò ö ÔÖ ϕ 0 ϕ 0 {10,20,40,50 }º ¾

27 ÈÓÞÒ Ñ º¾º¾ ÊóÞÒ Ó ÒÓØ Ô Ö Ñ ØÖÙ ϕ 0 Ù Þ Ñ Ñ Ø ÚÐ Ú Ò ÔÖó Ð ÓÖ ØÑÙº Ì ÒØÓ ÚÐ Ú Ù Ø Ò ÐÝÞÓÚ Ø ÚÝ Ö Ø Ó ÒÓØÙ Ø Ö ÔÖÓ Ò Ð¹ ÓÖ ØÑÙ Ò Ú Ó Ò Ò Ó ÙÑÓöÒ Ø Ú Ö ÔÓ Ð Ò Ó Ñ ØÙ ÓÖÑ ÔÓ Ð ÔÓö Ú ó Ò ÖÝ ÐÓ Ø Ú Ð ØÙ Ô ÙÒÙº Ì ØÓ Ò Ò Ñ ÙÑÓö Ù ÒÓ Ù Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ Ø ϕ 0 ¹Ô Ñ ó Ú Þ º½µº v i ÓÙ ÔÓ ÚÖ ÓÐÝ ØÝ ÙÒ Ò Ð ØÛ Ò ÚÖ Ð Ø Ö ÔÓÐÙ Ú Ö Ñ ÖÝ ÚÓÙ ÚÖ ÓÐóº Ð ÓÖ ØÑÙ ÚÖ ÑÒÓö ÒÙ ÚÖ ÓÐó Ø Ö Ô Ø ÚÙ ÔÖÚÒ Ô Ñ Ò Ø º min max v 1 i 1 Û Ð Ò Ð ØÛ Ò(min,max) < ϕ 0 Ó i i+1 lastnode(v i ) Ø Ò Ö ØÙÖÒ {v 1,v 2,...,v i } Ò α Ò Ð ØÛ Ò(min,max) β Ò Ð ØÛ Ò(min,v i ) γ Ò Ð ØÛ Ò(max,v i ) β +γ > α Ø Ò β < γ Ø Ò min v i Ð max v i Ò Ò Ò Û Ð Ö ØÙÖÒ {v 1,v 2,...,v i 1 } à º½ Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ Ø Ô Ñ ó Ä ÑÑ º¾º ÈÖÓ ö n N ÔÐ Ø ÚÓ ÚÖ ÓÐó Þ v 1,v 2,...,v n ö Ñ ÖÝ ÔÓÐÙ Ú Ö Ò Ú Ø Ð min maxº ó Þ Ò Ù ÔÓ Ð nº n = 1 Å Ñ ÔÓÙÞ Ò ÚÖ ÓÐ v 1 min = max = v 1 È ÔÓ Ð Ñ ÒÝÒ ö ÔÖÓ n = k ÔÐ Ø ö Ñ ÖÝ min max ÔÓÐÙ Ú Ö Ñ Ü Ñ ÐÒ Ðº ÇÞÒ Ñ ÔÓ α β γ ÐÝ Ñ Þ ÚÓ Ñ Ñ Öó min maxµ min v k+1 µ max v k+1 µº ¾

28  ¹Ð Ñ Ö v k+1 Ñ Þ min max Ú Þ Ó Ö Þ º µ Ô ÔÐ Ø β+γ = α min max Ò ÞÑ Ò Ø Ð Ò Ó ÚÖ ÓÐÝ ö Ñ ÖÝ ÔÓÐÙ Ú Ö Ñ Ü Ñ ÐÒ Ðº  ¹Ð Ò ÓÔ Ñ Ö v k+1 Ñ ÑÓ min max Ú Þ Ó Ö Þ º µ Ô ÔÐ Ø β+γ > αº Â ¹Ð ÒÝÒ β > γ ÞÒ Ñ Ò ØÓ ö Ñ Ö max Ñ Þ v k+1 minº Æ Ú Ø Ð Ø Ý ÔÓÐÙ ÒÝÒ Ú Ö Ñ ÖÝ min v k+1 Óö Ú ÓÙÐ Ù Ô Þ Ò Ñ max = v k+1 º Ò ÐÓ Ý ÔÖÓ β < γº ÃÓÒ Ò ÔÓ Ù ÔÐ Ø β = γ ÑÙ ÒÙØÒ Ø min = max Ø Ý Ô Þ Ò max = v i Ú ÔÓ Ùº max v k+1 max v k+1 min µ v k+1 Ñ Þ min max min µ v k+1 Ñ ÑÓ min max Ç Ö Þ º ÈÓÞ v k+1 Ó Þ Ð Ñ Ø Ý ö Ú Ø ÔÐ Ø ÔÖÓ n = 1 ö ÔÓ Ù Ú Ø ÔÐ Ø ÔÖÓ n = k ÔÐ Ø ÔÖÓ n = k +1 Ñö Ú Ø Ó Þ Ò ÔÖÓ Ú Ò Ô ÖÓÞ Ò nº Ä ÑÑ º¾º ÈÓ Ù Ý ÐÙ ÓÒ ÚÖ Ø Ò Ð ÑÓöÒ Ô Ñ º ó Þ ËØ Ó Þ Ø Ý ÐÙ ÓÒ ÝÐ Ò Ð Þ Ò ÚÓ ÚÖ ÓÐó ö Ñ ÖÝ ÔÓÐÙ Ú Ö Ð Ú Ø Ò ö ϕ 0 º ÈÐÝÒ Ô ÑÓ Þ Ù ÓÒ ÓÚ ÔÓ Ñ Ò Ý Ý ÐÙ Þ ØÙ ö {min,max} {v 1,v 2,...,v n } Þ º¾º Ú Ñ ö Ò Ð ØÛ Ò(min,max) Ò Ú Ø Ð Ø Ö ÔÓÐÙ Ú Ö Ú ÚÖ ÓÐÝ Þ {v 1,v 2,...,v n }º Î Ø º¾º Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÒ Ò ÓÖ ØÒ º ó Þ Ð ÓÖ ØÑÙ Ð Ò ÖÒ ÔÖÓ Þ ÓÒ ÒÓÙ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÚÖ ÓÐó Ø Ý ÓÒ Òº ÃÓÖ ØÒÓ Ø ÔÐÝÒ Þ ÓÒ ÒÓ Ø º¾º º ÈÓÞÒ Ñ º¾º ÈÖÓ Ö Ñ ÒØ ÔÓ Þ Ø Ò Ò Ú Ó Ò Ý ÚÞÒ ÐÝ Ô Ð Ö Ø Ö Ñ ÒØÝ Þ Ø Ò óúó ó Ó ÔÓÔ ÒÓ Ù º¾º½º ÈÓ Ù Ý Ñ Ð ÚÞÒ ÒÓÙØ Ô Ð Ö Ø Ö Ñ ÒØ ÔÓÙö Ö Ñ ÒØ Ø ÒÓÚ Ò Ñ Ò Ñ ÐÒ Ð Ý (n = 3)º ¾

29 º¾º ÔØ ÓÖÑ Ç ÞÔó Ó Ý Ò Ø Ý Ô Ö Ó Ô ÔÐ ÒÓÚ Ò Ö Ñ ÒØ ÔÓ Þ Ø Ñ Ú Ú Ó Ý Ú ÑÔÐ Ñ ÒØ Ó ÖÚ Þ Ú öò ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö Ò Ú ÔÖÓ Ú Ò Ó ØÖ Þ Ø ÐÓÙ ÓÖÑ º Æ Ó Ö Þ Ù º ÞÒ ¹ ÞÓÖÒ Ò ÓÖÑ Ö Ø Ö Ñ ÖÓÞ Þ ÔÓ Ý Ù ÚÐ ÚÓ º ËØ Ò Ö Ò ÔÐ Ò Ø Ö Ú ÒÝ Ñ ØÓ Ý Ú ØÒ ØÖ Ú ÐÒ µ ÚÝØÚÓ Ù ÔÓ Ó Ò ØÓÑÙ Ò Ó Ö Þ Ù º º Â Ò Ð Ò ö ÔÖÓ ÒÓØ Ù Ø Ö Ò Ú ÚÞ Ù ÚÞÒ Ò Ø Ø Ö Úݹ ÞÒ Ò Ò Ó Ö Þ Ù º º  ÑÓöÒ ö ÔÐ ÒÓÚ Ò Ú Ð Ö Ñ ÒØ ØÙØÓ ØÙ Ñ ÖÒ ÞÐ Ô Ø Ò Ø ¹Ð Ú Ó ÓÐ Ò ÖÓ Ò Ø Ö Ò Ø Ý ÓÖÑ ÔÓ Ý Ù ÔÓ Ø µ Ò Ø Ò ÚÝ Ð Ò Þ ØÝ ÔÓÞ º Ø Ô Ù ÚÝÔ Ø Ø ÞÒ ÞÓÖÒ ÒÓ Ò Ó Ö Þ Ù º º ÌÓ Ñ ÓÚ Ñ Ó ÐÒ ØÝ Ð Ó ¹ ÒÓØ ÔÖÓ Þ Ø ØÝ Þ Ð Þ ÝØ Ò º Æ Ú ¹Ð Ø Ö Ò Ñ ÑÓ ÓÔØ Ñ ÐÒ ØÖ Ù Ò ÖÓ Ò Ø Ñ ÓÖÑ Ò Ñ ÖÒ ÞÔÓÑ Ð Ò º µ ËØ Ú ÓÖÑ ÚÝÞÒ Ò Ñ Ó Þ Ñ ÖÙ µ ÈÐ Ò ÚÝØÚÓ Ò Ø Ò Ö Ò Ñ ÞÔó¹ Ó Ñ µ Æ ÔÐ ÒÓÚ Ò Ø ÔÓ Ð Ò ¹ ÒÓØ Ý µ Ë ÙØ Ò Ø ÔÓ Ð Ò ÒÓØ Ý Ç Ö Þ º ÁÐÙ ØÖ ÔÖÓ Ð ÑÙ ÐÓÙ ÓÖÑ Ú Þ Ø È ÒÓÙ ØÓ ÓØÓ ÔÖÓ Ð ÑÙ ÞÔó Ó Ñ ØÚÓ ÔÐ Ò ÔÖÓ ÒÓØ Ý Ú ÓÖÑ Ú Þ Ó Ö Þ ¾º½µº  ÒÓØ Ý ÔÐ ÒÙ ÔÓ Ð ØÓ Ó Ñ Ñ Ö Ñ Ñ Ø Â Ð Ó Ø Ò Þ Ò Ó Ô Ñ ÖÓÞ Þ ÓÖÑ Ò Ó Ò ØÙ Ò Ø Ð Ú ÙÖ Ø Ñ Ö Ñ ÒØÙ Øݺ ¾

30 ÓÖÑ Ò ÐÓÚ ÔÓÞ Ò ØÓ Ò º Ó Ù Ò Ò Ø ÒØÓ Ñ Ö ÚÖ ÞÒ Ó Ð Ò Ó ÓÙ Ò ÓÖ ÒØ Ú ÒÓ Ú ÔÓ Ùº Î Ú ÙÚ Ò Ñ Ô Ð ØÓÑÙ Ø Ð Ò Ò ØÙ ö ÚÞÒ ÔÓÔ ÓÚ Ò ÔÖÓ Ð Ñº Ð Ò Ñ Ñ Ò Ñ Ò ÖÓÞ Ð Ø ÓÖÑ Ò Ú Ø Þ Ò ö ö Ù Ñ Ø Ò Ò ØÓ Ò Ø Ý ØÖ ØÓÖ ÒÓØ ÝÐ Ó Ò Ú Ô ÖÓÞ Ò º ÈÖÓ Ô Ò ÔÓÐÓÚ ÒÙ ÓÖÑ ØÓ Ò ÞÒ Ñ Ò ö ÒÓÙ ÞÑ ÒÙ Ù ÓÖ ÒØÓÚ Ò Ø Ñ Ñ Ö Ñ Ø ÖÑ Ñ Ð ÓÖÑ ÔÓ Ý ÓÚ Ø Ø Ý Ú Ò Ñ Ô Ô ÚÐ ÚÓµº ÈÖÓ Þ Ò ÔÓÐÓÚ ÒÙ ØÓ Ù Ñ Ö Ó Ò Ð ö Ñ ÖÙ Ñ Ð ÓÖÑ Ô Ø Ñ Ò ö Þ ØÓ Ð º È ÔÐ ÒÓÚ Ò ö Ó Ö Ñ ÒØÙ Ô ÙÔÖ Ú Ñ ÞÔó Ó Ñ Ù ÚÝ Ö Ø ÐÓÚ Ñ ØÓ ÔÖÓ Ó Ø ØÒ ÒÓØ Ýº ÌÝ ÒÓØ Ý ö ÐÓÚ ÔÓÞ Ú Ø Ò Ö Ò Ñ Ð ÓÖ ØÑÙ Ô ÔÓÞ Ú Ø Ö ÑÓÑ ÒØ ÐÒ Ú Ð Ø Ð Ù ÓÙ ÔÓÚ öóú ÒÝ Þ Ô ÓÖÑ ÔÐ Ò Þó Ø Ò Þ ÞÑ Òݺ Î ÒÝ Ó Ø ØÒ ÒÓØ Ý Ù ÓÙ ÔÓÚ öóú ÒÝ Þ Þ Ò Ø ÓÖÑ Ò ÔÐ ÒÙ Ø Ó Ý Ý Ú Ð Ø Ð ÓÖÑ Þ ÓÙ Ò ÔÓÞ ÔÓ Ö ÓÚ Ð Ø Ð Ø ÒÑ Ñ Ö Ñº L L L A A C C µ ËØ Ú ÓÖÑ ÚÝÞÒ Ò Ñ ÓÖ Ò¹ Ø ÓÙ Ò Þ Ú Ð ÒÓØ µ È ÓÞ Ø ÔÐ Ò Ú Ð Ø Ð ÓÖ¹ Ñ Ç Ö Þ º È Ð ÐÓÙ ÓÖÑ ÁÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ØÓ ÑÝ Ð Ò Ý Ò Ò Ó Ø öò º Å Ñ Ò Ô Ð ÓÖÑ Ó Ò Ó Ö Þ Ù º L Ú Ð Ø Ð ÓÖÑ A C ÓÙ Ð ÒÓØ Ý º Ð Þ ÚÝÞÒ Ò ÓÙ Ò ÓÖ ÒØ ÓÖÑ ÓÙ Ò ÒÓØ Ú ÓÖÑ º Ù Ñ Ô Ñ ØÓÚ Ø ØÙ Ø ÖÓÙ ö Ú Ð Ø Ð ÓÖÑ ÔÖÓ Ð ØÙ ÒÓÙ ÐÓÑ ÒÓÙ ÖÙº ÌÙ Ò Ñ ÔÓÐÙ ÔÐ Ò Ñ Ú Ð Ø Ð LL µ Ù ÞÙ Ó Ö Þ º º È ÔÐ ÒÓÚ Ò Ù Ñ Ò ÔÖÚ ÔÓ ØÙÔÓÚ Ø Ø Ò Ö Ò º ÎÝØÚÓ Ñ ÔÐ Ò ÔÖÓ Ú ÒÝ ÒÓØ Ý Ò Ó Ö Þ Ù º½¼ Ô Ø ÚÙ Ó A Ö Ôº C µ ÔÐ Ò ÔÖÓ ÒÓØ Ù A Ö Ôº Cµº ÈÖÓ Ô Ð ÒÓ Ø ÙÚ Ñ ÔÓÙÞ Ú ÚÝ Ö Ò ÒÓØ Ýº È ÔÓ Ð Ñ ö ØÝØÓ ÓÙ Ú ÓÔØ Ñ ÐÒ Ñ ÙÑ Ø Ò º Æ ÔÓØ Ù Ñ ØÙ ÐÓÙ Ð Ø Ò Ñ Ø Ö Ø ÐÓÙ Ý Ò Ò Ú Ð Ð ÓÖÑ º ¼

31 Ç Ý LL ÔÖÓ Þ Ó Ñ L Ô ÖÓÞ ÐÙ ÓÖÑ Ò Ô Ò Þ Ò Øº º½¼ Ø Ý Ú Ñ ö ÒÓØ A Ú Ô Ò Ø ÒÓØ C Ú Þ Ò Ø º L A L L A L A C C C µ ËØ Ò Ö Ò ÔÐ Ò ÔÖÓ ÓÖÑ µ ÀÖ Ò Ñ Þ ØÑ Ç Ö Þ º½¼ ÊÓÞ Ð Ò ÐÓÙ ÓÖÑ Ò Ô Ò Þ Ò Ø ÈÐ Ò ÔÖÓ ÒÓØ Ù A Ø Ý ÔÓÒ Ñ Ð ÙÚ öù Ñ ÔÓÙÞ ÒÓØ Ù Cº Î ØÓÖ ØÝ Ú Ð Ø Ð Ò Ñ Ø ÓÚ Ó C h Ý ÔÐ Ø ÐÓ LL + LC h = LC h, Ó C h ÔÖÓ Ó Ù C Ò Ó Ù Ñ Öµ ÓÖÑ º  РÓö Þ º½¼ Þ Ñ ö L L < L C Ú Ñ ö ÔÓ Ù ØÓÖ Ú Ð Ø Ð Ó Ø Ø Ò ÐÓÙ Ñóö Ñ Ó C h Ò Ø º Ó C h Ò Ñ ÒÙ ÓØÓ Ò ÓÖÑ Ú Þ Ò Ø Ú Ñ ö ÓÖÑ ÓØÓ Ò Ó 180 L LC h º ËØ Ø Ý Ó ÓÐÓ Ó Ù L ÓØÓ Ø Ó C h Ó Ø Ò Ð Ñö Þ Ñ Ó C h Ú Þ º½½ µ Óö Ð Ò ÐÓÚ ÔÓÐÓ ÒÓØ Ý Cº ÃÚóÐ ØÓÑÙ ö Ò Ñ Ô Ö ØÒ Ú ÞÑ Ñ Ñ ØÓ C h Ò Ð ö º ÚÖ ÓÐ Ø Ö ØÓÑÙØÓ Ó Ù ½

32 L L L L C h A C C h C C C h µ Æ Ð Þ Ò ØÓÖ ÔÓÐÓ Ý Ú Ð Ø Ð µ ÃÓÒ ØÖÙ ÔÓÐÓ Ý Ú Ð Ø Ð ÔÓ Ù Ý Ò Ñ Ò Ð Ñ Ö Ç Ö Þ º½½ ÈÐ ÒÓÚ Ò ÒÓØ Ú Þ Ò Ø ÓÖÑ ö ÒÓØ Þ Þ Ò Ø ÓÖÑ Ú ØÓÑØÓ Ô Ô Ò Ò ÚÝ Ð Ò ÓÔÖ Ú ØÓÑÙ ÝÐÓ Ô ÒÓ Ù Ñ ÞÔó Ó Ù ÔÐ ÒÓÚ Ò Óö ÝÐ Ò Ðº ¾

33 º ËÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ó Ù Â Ò Þ óð ö Ø Ô Øó Ø Ö Ñ ÔØ ÚÒ ÓÖÑ ÔÐ ÓÚ Ø Ó Ò Ñ Ò Ó ÝÐ ÚÞ Ð ÒÓ Ø ÚÓÙ ÒÓØ Ô ÔÓ Ý Ùº Å ¹Ð Ò ÒÓØ ÚÖ ÞÒ Ö Ø ØÙ Ò ö Ò Ò Ô Ð Ñ Ñ Ò Ò ÖÓ Ò Ø Ö Ò Ò Ó Ú ÚÒ Ø Ò ØÖ Ò Þ Ø Ýµ Þ Ò Ó Ò Ú ÔÖó Ù ØÝ ÚÞ ÐÓÚ Ø Ò Ú Ò ÐÓÚ Ñ ØÓ Ó¹ Ö Þ Ú º ÅÝ Ð Ò ÓÙ ÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ó Ù ØÓ ö ÔÓ Ù Ø ÓÚÓÙ ÒÓØ Ù ÞÔÓÑ Ð Ñ Ô Ú ÔÖó Ù ØÝ Ù ÓÖÑ Öö Ø Ð Ô º ÈÓ Ù ÔÓÙö Ú Ñ Ò ÓÙ ÓÖÑÙ Ö Ñ ÒØ ØÝ Ú Þ º¾º½ Ò Ó º¾º¾µ Ù Ñ ÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ó Ù ÔÖÓÚ Ø Ú ö Ñ Ö Ñ ÒØÙ ØÝ ÞÚÐ ðº ö Ò ÔÓ Ð Ò Ö Ñ ÒØ Ø Ý ÚÐ ØÒ Ó ö ÒÓÙ ÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Þ Ù Ò Ò ÔÖÓØÓö Ò ö Ú Ð Ø Ð ÓÖ Þ Ó Ð Ö Ñ ÒØÙ Ò ÔÐ ÒÙ Ð Ö Ñ Òغ Ð Ñ ÙÖ Ø Ñ Ü Ñ ÐÒ ÒÙ ØÝ Ú Ò Ñ Ö Ñ ÒØÙ Ø Ý ÒÙ ØÝ Ò ÔÓÑ Ð ÒÓØ Ýµº Æ Ð Ò Ù Ú ÖÝ Ð ÒÓØ ÙÔÖ Ú Ñ ÖÝ ÐÓ Ø ÔÖó Ó Ù Ò Ó Ó ÓÒ ØÙ ÑÓØÒÓÙº Â Ò ÓÐ ÑÓöÒ Ô ØÙÔó ØÓØÓ Ù Ð Øº º º½ ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÚÒ ÞÑ Ò ÖÝ ÐÓ Ø Æ ð M Ò ØÝ Ò ÔÓÑ Ð ÒÓØ Ý Ø Ý Ñ Ü Ñ ÐÒ Ò Øݵ m Ò ØÝ ÝÒ ÖÓÒ ÞÓÚ Ò ÒÓØ Ýº ÈÖÓ ÒÓÙ ÒÓØ Ù Ô ÒÙ ö Ö ÒÝ Ò Ø ÚÝÒ Ó Ñ M º  РÓö M m Ø M 1 Ø Ý Ò ö Ò m m Ö ÒÝ Ò ÞÑ Ò º ÈÖÓØÓö M m = M ÓÖ Þ Ú ÒÝ ÒÓØ Ý Ó Ð Ú Ø Ò m Ó Ñö Ó Ò ÔÓÑ Ð Þ Ò º ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÚÒ ÞÑ Ò ÖÝ ÐÓ Ø Ø Ý ÙÒ Ù Ð Ò Ø Ö Ó º Í ÓÒ Ö ØÒ ÒÓØ Ý Ñóö Ó Þ Ø Ú Ø Ñ Ú ÝÚóÑ ÖÝ ÐÓ Ø ÔÓ Ù Ò Ø Ø Ð ÚÒ Ö Ö Òݺ Æ Ö Ö Ò Ô ÒÓØ Ñóö Ø ÚÖ ÞÒ ÔÓÑ ¹ Ð Ò ö Ò Þ ÝØÒ ÒÙØÒ Ò Ð ÚÒ Ö Ò Ù Ø Ð ÚÖ ÞÒ ÖÝ Ð Ò ö Ò ÔÓÑ Ð ÒÓØ º º º¾ Ø ÚÒ ÞÑ Ò ÖÝ ÐÓ Ø Æ ð M Ñ Ü Ñ ÐÒ Ò ØÝ m Ò ØÝ ÝÒ ÖÓÒ ÞÓÚ Ò ÒÓØ Ý n Ð Ó Ó ÔÓ ØÙ Ö Òº ÈÖÓ ÒÓÙ ÒÓØ Ù Ô Ò ö Ö ÒÝ Ò Ø Ô Ø Ñ M m M m º  РÓö M m Ø 0 Ø Ý Ò ö Ò Ö ÒÝ n n Ò ÞÑ Ò º ÈÖÓØÓö m+ M m n = M ÓÖ Þ Ú ÒÝ ÒÓØ Ý Ó Ð Ú Ø Ò n Ó Ñö Ó Ò ÔÓÑ Ð Þ Ò º

34 º º ÔØ ÚÒ ÞÑ Ò ÖÝ ÐÓ Ø Æ ð M Ñ Ü Ñ ÐÒ Ò ØÝ c 1,...c n Ù ÒÝ Ö Ò Ò Ø ÝÒ¹ ÖÓÒ ÞÓÚ Ò ÒÓØ Ýº Î Ó Ò ÞÚÓÐ Ñ ÔÖ D Ô ÔÓ Ø Ñ ÒÝ Ö Ò Ó d i = max{c i,d} Ñö Ò ö Ò Ö ÒÝ Ò ÞÑ Ò º ÈÓ Ù ÓÒ Ø ÒØÙ D ÞÚÓ¹ Ð Ñ Ø Ý d i = M Ô ÓÖ Þ Ú ÒÝ ÒÓØ Ý Ó Ð Ú Ø Ò Ó Ñö Ó Ò ÔÓÑ Ð Þ Ò º Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ Ò Ð Þ Ò ÔÖ Ù D Ò Ð Ù d i c i Û Ð d i < M Ó m d i S mind i T min{d i S} c {d i = S} m+c (T S) < M Ø Ò d i max(d i,t) Ð d i max(d i, M m c Ò Ò Û Ð Ö ØÙÖÒ mind i +S) à º¾ Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ Ò Ð Þ Ò ÔÖ Ù D ÔÖÓ ÔØ ÚÒ ÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ó Ù Ä ÑÑ º º½ ÈÓ ÐÓÙ Ó Ù Ù ÔÐ Ø ö d i c i º ó Þ Æ Þ Ø Ù Ù Ð ÓÖ ØÑÙ d i = c i º à ö Ð Ô Þ Ò Ó d i Ñ ØÚ Ö d i max(d i,k) Ø Ý d i Ò Ý Ò ÞÑ Ò º Ä ÑÑ º º¾ ÈÓ Ù Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÒ Ô ÔÐ Ø d i = Mº ó Þ Î Ò Ø Ö Ý ÐÙ Ò Ø Ò Úö Ý Ò Þ ÚÓÙ ÑÓöÒÓ Ø ½º ÈÐ Ø ¹Ð ÚÒ Ø Ò ÔÓ Ñ Ò m + c (T S) < Mµ Ô c Ö Ò ÞÑ Ò ÚÓ ÒÙ Þ S Ò T º Æ Ð Ò Ø Ý Ù ÔÐ Ø Ø di = m cs +ct = m+c (T S) < M Ð ÓÖ ØÑÙ Ù ÔÓ Ö ÓÚ Øº

35 ¾º Î ÓÔ Ò Ñ Ô Ô c Ö Ò ÞÑ Ò ÚÓ ÒÙ Þ S Ò M m + Sº Ù Ø Ý c ÔÐ Ø Ø Ð ÓÖ ØÑÙ Þ ÖÓÚ ÓÒ º di = m cs +c ( M m c ) +S = M Ä ÑÑ º º  ¹Ð Ú Ò Ø Ö d j = S Ô Ú Ô Ø Ø Ö Ù Ø Ø ö ÔÐ Ø Ø d j = Sº ó Þ ÈÓ Ù Ð ÓÖ ØÑÙ Ò ÓÒ Ð Ô ÝÐÓ Ó d j Ô Þ ÒÓ T º d j Ø ÒÓÚ Ñ Ò ÑÙѺ Î Ø º º ÈÓ Ù Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÒ Ô D = mind i Ð Ò ÔÖ º ó Þ Ñ Ó Þ Ø ö d i = max{c i,d}º º º½ Ú Ñ ö d i c i º Ò D Ô ÔÐ Ø ö d i Dº È Ù d i = c i Ñ ÓØÓÚ Ò Ó d i > c i º Î Ø ÓÚ Ñ Ô Ô ÑÙ ÐÓ Ø d i Ú Ò Ø Ö Ñ Ý ÐÙ ÞÚ ÒÓº ÌÓ ÞÒ Ñ Ò ö Ð Ò ÐÓ Ó Ñ Ò ÑÙÑ Ø Ö Ùö ÝÐÓ ÔÓ Ð º º Ñ Ò Ñ Ñ Úö ݺ Ì Ý d i = Dº ØÓ Ó Þ º º¾ ÔÐÝÒ ö Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÖ ØÒ º Ä ÑÑ º º Ð ÓÖ ØÑÙ ÓÒ ÔÓ Ò Ú n Ø Ö ÚÒ Ó Ý ÐÙº ó Þ Î ö Ø Ö ÔÓ Ø Ö Ð ÓÖ ØÑÙ Ò ÓÒ ÑÙ ÔÐ Ø Ø m+c (T S) < Mº ÈÓ Ø ÖóÞÒ Ó ÒÓØ Ñ Þ d i Ø Ñ ÞÑ Ò Ð Ó ½ ÔÖÓØÓö Ú ÒÝ S ÞÑ Ò ÐÝ Ò T Ø Ö ö Ñ Þ d i ÝÐÓµº Æ Þ Ø Ù Ù Ð ÓÖ ØÑÙ ÝÐÓ ÖóÞÒ Ó ÒÓØ Ò Ú n Þ ÖÓÚ Ú Ò Ý Ò Ñóö Ø Ò Ý Ñ Ò Ò ö 1º Åóö Ø Ý ÔÖÓ ÒÓÙØ Ñ Ü Ñ ÐÒ n 1 Ø Ö ÔÓ Ø Ö Ð ÓÖ ØÑÙ Ò ÓÒ Ø Ý Ò Ú n Ð ÓÚ º Î Ø º º ÓÚ ÐÓö ØÓ Ø Ð ÓÖ ØÑÙ O(n 2 ) n Ð ØÝ Ú ÔÓ ØÙ Ö Òº ó Þ Ý ÐÙ Ñóö ÔÖÓ ÒÓÙØ Ñ Ü Ñ ÐÒ n¹ Ö Ø ÓÚ ÐÓö ØÓ Ø ÒÓ Ó Ù Ý ÐÙ ØÖ Ú ÐÒ O(n)º Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ý ÓÒ Òº ÈÓÞÒ Ñ º º ÓÚÓÙ ÐÓö ØÓ Ø ÑÓöÒ Ø ÞÖ Ù ÓÚ Ø Ò O(nlogn)º Æ Ð Ò Ñ Ò Ñ Ñóö Ñ ØÓØ ö ÔÓÙö Ø Ð Ù O(logn)µº È ÞÓÚ Ò Ó d i Ò Ò ÔÓØ Ð Óö Úö Ý Ô ÞÙ Ñ ÒÓÑ Ó ÒÓØÙ ÖÓÚÒÓÙ ÒÓÚ ÑÙ Ñ Ò ÑÙ Ø ö Ø Ô Ñ ØÓÚ Ø ØÙ ÐÒ ÔÓ Ø Ñ Ò Ñ O(1)µº ËÓÙ Ø d i Ø ÔÓ Ø Ø Ò Þ Ø Ù Ù ÔÓØ Ò ÙÔÖ ÚÓÚ Ø Ø ÒÑ Ó Ý Ó Ñ ÔÓÙö Ð Ú ó ÞÙ º º¾ O(1)µº Ì ØÓ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ú Ò ÝÐ ÔÓÙö Ø Ð Óö Ó ÒÓØ n ÓÚ ½¼ Ø Ý Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖ Ø Ý ÖÝ Ð Ò Ýк

36 Î Ø ÙÐ º½ Ú Ñ ÔÓÖÓÚÒ Ò ÒÓØÐ Ú Ñ ØÓ Ø Ö Ñ ÔÖÓ ÝÒ ÖÓÒ ¹ Þ Ô Ó Ù Ò ÚÖ Ð º Ä Ú ÐÓÙÔ Ó Ù ÒÝ Ö Ò Ò Ø Ò ÔÖÓ Ð ö Ò ÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ó Ùº Ç Ø ØÒ Ø ÐÓÙÔ Ô Ø ÚÙ Ó ÒÓØÝ ÔÓ ÝÒ¹ ÖÓÒ Þ ÖóÞÒÑ Ñ ØÓ Ñ ÔÖÓ M = 24º ê Ò ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÚÒ Ø ÚÒ ÔØ ÚÒ ½ ¼ ½ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¾¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ¾¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¾¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ½¼ ½ ½ ¼ ½ ¼ ¾ ¼ ¼¼ ¾ ¼ ½¼ ½ ¼ ½¼ ½ ¼ ¾ ¼¼ ½ ¼ ½ ¼ ½ ¼¼ ½ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ½¼ ½ ¼ ½ ¼¼ ¾ ¼¼ ¾ ¼¼ ¾ ¼¼ Ì ÙÐ º½ ÈÓÖÓÚÒ Ò Ñ ØÓ ÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ó Ù

37 º Ø ÓÐ Þ Â ÝÐÓ ö ÙÚ ÒÓ Ú Ô ØÓÐ ¾ ØÖ Ú ÐÒ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò ÚÝÚ Úó ö Ò Ð ÔÖÓ Ø Ò ÓÐ Þ º ö ÖóÞÒ ÞÔó Ó Ý ÔÐ ÒÓÚ Ò ÔÓÐÙ ÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ó Ù ÞÔó Ó Ù ö ÓÐ Þ Ò Ø Ú Ñ Ò ØÓ Ú Ò Ñ Þ ÔÐÒ º ÈÖÓØÓ Ø Ò ÚÖ ÒÓÙØ ÜÔÐ ØÒ Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ Ø ÓÐ Þ Ò Ð Ò Ò º à ÓÐ Þ ÚÓÙ ÒÓØ Ñóö Ó Ø ÔÓÙÞ Ú Ô Ô ö Ø Ó ÓÙ Ó Ù Ø Ò ÚÖ ÓÐ vº ÃÚóÐ ÞÔó Ó Ù Ñ ÓÙ ØÝ ÒÓØ ÔÐ ÒÓÚ ÒÝ ØÓ Ò Ñóö Ø ÔÖÓ Ó ÒÓØ Ý Ð Øݺ  ÓÐ Ú Ñ ØÓ ÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ó Ù Þ ÖÙ ö ÓÐ Þ Ò Ó ÔÓ Ù v ÐÓÚÑ ÚÖ ÓÐ Ñ ÔÖÓ ÔÖ Ú ÒÙ Þ ÒÓØ º ÈÓ Ó ÒÓÙ Ú ÓÙ ÐÞ ÚÝÐÓÙ Ø Ø ÖØ Øݺ ËØ Ø Ý Ø Ô Ô Ý Ú Ø Ö Ó v ÓÙ Ø ØÝ Ø Ý Ú Ñ ö ÑÙ Ò Ó Ô Þ Ò Ò Ð Ù º Åóö Ñ Ø Ý Ô ÔÓ Ð Ø ö ØÝ ÓÙ Ø Ý ØÚ ÖÙ P 1 = (...,p 1,v,q 1,...) P 2 = (...,p 2,v,q 2,...). Ø ÓÐ Ù ÒÓØ Ñ ÓÚÓÙ ÐÓö ØÓ Ø O(n 2 ) n ÔÓ Ø ¹ ÒÓØ Ò Ñ Ô º Î Ó ÒÑ ÓÚ Ò Ñ ÚÖ ÓÐó ØÝ ÐÞ Ó ÒÓÙØ ØÓ Ó ö Ø ØÓ ÐÓö ØÓ Ø Ù Ò ö Ô Ú Ð Ñ ÔÓ ØÙ ÒÓØ Ò Ñ Ô º º º½ Ñ Ò ÝÞ Ó ÙÑ Ø Ò Â ÒÓ Þ ÑÓöÒ Ò ÔÓÒ Ò ÔÐ ÒÙ ÒÓØ ÞÑ Ò Ó ÚÝ ÓÒ Ò º à ØÓÑÙ ÚÝÙö Ñ Ò ÐÓ Ó ÝÞ Ó ÙÑ Ø Ò Ú Þ ½º¾µº ÈÓÒ Ò ÔÐ ÒÙ ÒÓØ Ý ÞÒ Ñ Ò ö ÐÓ ÙÑ Ø Ò Ò Ù Ñ Ñ Ò Øº ÝÞ ÙÑ Ø Ò Ú Ò Ù Úö Ý Ó ÔÓÚ Ø ÐÓ ÑÙ Ð Ú Ô Ô ÖÓÞ Ý ÓÐ Þ Ù Ñ ÖÒ ÚÝ Ð Ò º à ö ÒÓØ Ù Ñ Ø ÚÓ ÚÐ ØÒ Ø ÓÐ Þ º ÈÓ Ù Ú Ð Þ Ó Ø ÞÓÖÒ Ñ ÔÓÐ ÚÝ ÝØÙ Ò ÒÓØ Ù ØÓ ÞÒ Ñ Ò Ø ö ÖÓÞ ÓÐ Þ º Æ ¹ Ù Ñ Ø Ý Ö Ø Ú Ú Ù ÒÓØ Ý Ø Ö ØÓ Þ Ò Ñ ÔÖÓØÓö ØÝ Ò Ñ Ò Ô Ð öù º Ôó Ó Ò ÓÐ Þ Ù ÔÖÓ Øº ÀÖÓÞ ¹Ð ÓÐ Þ ÞÚ Ø Ñ ÚÝ Ð Ò ÒÓØ Ý Ú Ñ ÖÙ ÓÐÑ Ñ Ò Ñ Ö ÔÓ Ý Ù ÒÓØ Ý ÔÓ Ù ÓÐ Þ Ò ÖÓÞ ÞÑ Ò Ñ º ÌÓ Ò Ñ Ú Ò Ð Ù Ð ÓÖ ØÑÙ

38 someoneisinsight() Ø Ò o + µ v t o o+o + unit(normal(v)) Ð o min( o,ν v t) o o o unit(o) Ò Ö ØÙÖÒ o à º Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ Ø ÓÐ Þ Ò ÞÑ ÒÓÙ ÝÞ Ó ÙÑ Ø Ò Î ØÓÖoÞÒ ÚÝ Ð Ò Ó Øµ ÝÞ Ó ÙÑ Ø Ò ÒÓØ Ý ÓÔÖÓØ ÐÓ ÑÙ Ú ØÓÖ v Ó Ñö Ø ÖÝ ÐÓ Ø Ú ÐÓ Øݵº Î ØÓÖÓÚ ÙÒ ÚÖ Ú Ð Ó Ø Ú ¹ ØÓÖÙ normal ÚÖ ÒÓÖÑ ÐÓÚ Ú ØÓÖ unit ÒÓØ ÓÚ Ú ØÓÖº t ÓÚ Ð Ø Ñ µ ÓÙ Ò Ø Ö º È Ö Ñ ØÖÝ µ ν ÙÖ Ù ÖÝ ÐÓ Ø ÓÙ ÚÝ Ð Ò Ö Ôº Ò ÚÖ Ø Ó ÐÓ Ó ÙÑ Ø Ò µ Ò Ø Ú º È Ò öóú Ò ÚÝ Ð Ò Ø Ø ÔÓÞÓÖ Ý ØÓØÓ Ò Ó ÐÓÚ ÐÓ ÓÐ Ñ ÒÙÐÝ ÔÖÓØÓ Ú Ð Ó Ø Ò ö Ò ÚÝ Ð Ò ÓÖ ÓÑ Þ Ò ÓÙ ÒÓÙ Ú Ð Ó Ø ÚÝ Ð Ò º  ¹Ð Ô Ò Ý ν v t o, Ô ÔÐ Ø Â Ð Óö Ô ÔÓ Ð Ò Ô Þ Ò Ñ ØÚ Ö o = o. o = o unit(o), o 0, Ø Ý ÒÓÚ ÚÝ Ð Ò ÒÙÐÓÚ º Ôó Ó Ñ ÚÝ Ð Ò ÙÔÖ ÚÙ Ñ ÞÔó Ó Ù ö ÒÓØ Ò Ý ÔÓ¹ Ý Ù ÖÝ Ð Ò ö Ý ÔÓ Ö Ò Ñ Ð º  ÒÓ Ù Ú Ñóö Ñ Ù Þ Ø ö ØÓØÓ ÙÖÝ Ð Ò Ò ó ÓÒ Ø ÒØÒ º Ð Ù Ø Ö Ý ÒÓØ ÙÖ Þ Ð ÔÓ Ù Ý ö Ò ÓÐ Þ Ò Ó ÐÓ v tº  ÒÓØ ÚÝ Ð Ò Ó µ v t Ö Ôº ν v tµ Ú Ñ ÖÙ ÓÐÑ Ñ Ò Ñ Ö ÔÓ Ý Ùº Ð ÓÚ Ð Ù Ø Ö ÔÖÓ Ù Ø Ý ÖÓÚÒ 1+µ 2 v t Ö Ôº 1+ν 2 v tµ Ð ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ð Ò ÖÒ ÚÞ Ð Ñ v tº ÌÓØÓ Ò ÓÐ Þ Ñ Ò Þ Ö Ò Úö Ý Ú Ó Ô ÒÓ Ø ÔÓÑ ÖÒ Úݹ Ó º Î Ó ÓÙ ØÓ ÓØÓ Ò Ó Ò Ò ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø ÓÚ ÐÓö ØÓ Ø Ø Ö O(n) n ÔÓ Ø ÒÓØ º Ý Ò ÝÐÓ Ø Ø ØÓÚ Ø ÔÓØ Ò ÐÒ

39 ÑÒÓ Ó ÒÓØ Ò Ñ Ô Ò ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ú Ø ÐÒÓ Ø Ú ÙÒ someoneisinsight() ÑÓöÒ ÔÖÓ ÚÝ Ð Ú Ò Ð Þ ÒÓØ ÔÓÙö Ø Ú Ó Ò ¹ ØÖÓÑ Ú Þ µº º º¾ ÎÝ Ð Ò Ø ÓÚ Ó Ó Ù ÖÙ ÓÙ ÑÓöÒÓ Ø Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÓÐ Þ ÞÑ Ò Ø ØÙ ÒÓØ Ý Þ p i Ó q i Ø Ý ÓÐ Þ Ò Ó ÐÓ Óö ÑÓöÒ ÔÖÓÚ Ø ÚÝ Ð Ò Ñ Ó Ù v Ò ÒÙ ÖÙ ÓÙ ØÖ ÒÙ Ñ ÑÓ ÚÖ ÓÐÝ Ö Òݺ ÈÓ Ð ÐÙ Ø Ö ÔÓÐÙ Ú Ö Ö ÒÝ e pi v e vqi Ñóö Ñ ÖÓÞÐ Ø Ø ÖóÞÒ ÔÖó Ó Ý Ú Þ Ó Ö Þ º½¾µ Ô Ñ ÔÓ Ó ØÖÑ Ð Ñ ¼ µ ÔÓ ØÙÔÑ Ð Ñ ½¾¼ µº ÈÖÓ ö Þ Ò Ñóö Ñ Ó v ÚÝ Ð Ø Ó ÚÓÙ ØÖ Ò ÔÓ Ó Ô ÙÒÙ Ø Ñ Þ Ø Ú ÒÓÚ ÑÓöÒ Øݺ µ ÐØ ÖÒ Ø ÚÒ ØÝ ÔÖÓ Ô Ñ ÔÖó Ó µ ÐØ ÖÒ Ø ÚÒ ØÝ ÔÖÓ ÔÖó Ó ÔÓ ØÙÔÑ Ð Ñ µ ÐØ ÖÒ Ø ÚÒ ØÝ ÔÖÓ ÔÖó Ó ÔÓ Ó ØÖÑ Ð Ñ Ç Ö Þ º½¾ ÐØ ÖÒ Ø ÚÒ ØÝ ÔÖÓ ÖóÞÒ ØÝÔÝ ÔÖó Ó Ù ÚÖ ÓÐ Ñ ÌÝØÓ ØÝ ÔÓØÓÑ Ñóö Ñ ÔÓÙö Ø Ó Ò Ö Ù ÔóÚÓ Ò ØÝ Ý ÓÑ Ø Ñ Þ Ö Ò Ð ÓÐ Þ º Ð Ý Ø ØÓ Ø ÚÝ Ò Ó Ò Ó Ð Ý ÔóÚÓ Ò ØÝ Ö¹ ÒÙ Ø ÙÐ º¾º ÈÓ Ù Ý ÓÑ Ø Ð ÔÓÙö Ø ØÝØÓ ÚÝ Ð Ò ØÝ Ó Ò Ö Ù ØÝ ÔóÚÓ Ò Þ ÓÚ Ø Ô ØÓÑ Ð Ù ÔÖó Ó Ù Ö ÒÓÙ Ý ÓÑ Ò ÑÙ Ð ÞÒÓÚÙ Ð Ø ÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ó Ùµ Ò Ò Ó Ö Ý ÝÐ ÒÓÚ Ø Ó ÑÒÓ Ó Ð º ÈÖÓØÓ Ù Ñ Úö Ý ÔÓÙö Ú Ø ÔÓÙÞ Ö Ø Þ Ó ÓÙ ÐØ ÖÒ Ø ÚÒ Øº È Ô Ñ Ñ ÔÖó Ó Ù Ñóö Ñ ÔÓÙö Ø Ó Ð Óö ÓÙ Ø Ò ÐÓÙ º Ð ØÝ Ð Ä Ú ÈÖ Ú ¼ ¼º ½º ¼ ½¾¼ ½ ¼ ¾ ¼ ¼¼ Ì ÙÐ º¾ Ð Ý ÔÖó Ó ó Ø ÚÝ Ð ÒÑ Ø ÓÚÑ Ó Ñ ÆÝÒ Ø ÔÖÓ ö ÓÙ ÒÓØ Ù ÚÝ Ö Ø Ú Ó ÒÓÙ ØÙ Ø Ý Ú Ð Ò ÔÖó Ó Ý ÔÖÓ ÒÓØ Ý Ò Ó ÓÚ ÐÝ ÓÐ Þ º à ØÓÑÙ ÔÓØ Ù Ñ Ò ÔÖÚ Ò ÓÐ Ò

40 Ò º º½ Å Ñ Ú ÙÒ f,g : [0,1] R n º Æ Ð ö Ô Ð ö Ò ÚÓ¹ ÙÒ Ñ Ò ÑÙÑ ÙÒ D(t) = d(f(t),g(t)) Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ [0,1] d : R n R Ð ÓÚÓÐÒ Ñ ØÖ º ÌÙØÓ Ó ÒÓØÙ Ù Ñ ÞÒ Ø ca(f,g)º Ò º º¾ Å Ñ F ÑÒÓö ÒÙ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Øµ ÙÒ f : [0,1] R n º Æ ¹ Ð ö Ô Ð ö Ò ÑÒÓö ÒÝ F min{ca(f,g) f,g F,f g}º ÌÙØÓ Ó ÒÓØÙ Ù Ñ ÞÒ Ø ca(f)º Ò º º ËÝ Ø Ñ Ñ ÙÒ ÖÓÞÙÑ Ñ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø F = (F i ) m i=1 F i ÑÒÓö Ò ÙÒ f : [0,1] R n º ÈÓ Ý Ø Ñ Ñ ÙÒ ÖÓÞÙÑ Ñ Ø ÓÚÓÙ ÔÓ ÐÓÙÔ¹ ÒÓ Ø ÙÒ F = (fi ) m i=1 i 1,...,m : f i F i º Æ ÚÞ Ð Ò ÔÓ ÐÓÙÔ¹ ÒÓ Ø ÙÒ Ý Ø ÑÙ F Ø ÓÚ ÔÓ Ý Ø Ñ F + ÔÖÓ Ø Ö ca(f + ) Ñ Ü Ñ ÐÒ º Î Ò Ñ Ô Ô Ù ÑÒÓö Ò F i Ó ÓÚ Ø ÖóÞÒ ÔÖó Ó Ý Ò ÒÓØ Ý ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø F Ù ÖÙöÓÚ Ø ÑÒÓö ÒÝ ÔÖó Ó ó Ú ÒÓØ Ø Ö ÔÖó Ó Ó Ñ v Ø º F + ÔÓØÓÑ Ó Ù ÔÓ Ò Ð Ô ÔÖó Ó Ý ÔÖÓ ö ÓÙ ÒÓØ Ùº Ú ÚÝ Ø Þ Ø Ø ÒÓØÐ Ú Ó ÒÓØÝ ca(f,g)º Î Ò Ñ Ô Ô ÔÓÙö ¹ Ú Ñ ÔÖÓ ØÓÖ R 2 Ù Ð ÓÚ ÓÙ Ñ ØÖ Ùº à ö ÔÖó Ó Ñ ØÚ Ö ÚÓÙ Ð Ò ÖÒ ÙÒ Þ ÓÙ Ú Þ Ó Ö Þ º½ µº  РÓö ÑÙ Ñ ÚÞ Ø Ú Ú Ù Ò ÖÓ ÒÓ Ø Ø ¹ Ö ÒÙ Ò ÑÙ Ò Ð Ò ÖÒ ÙÒ Ô Þ Ø Ú ÖÙ ÓÙ Ú Ó ÓÙ ÙÒ Ú Ø Ò Ñ Ó º ÁÒØ ÖÚ Ð [0,1] Ú Ñóö Ñ ÖÓÞ Ð Ø Ò ÖóÞÒ ÔÓ ÒØ ÖÚ ÐÝ Ú Ø Ö ÓÙ Ó ÙÒ Ð Ò ÖÒ ÔÖÓ ÔÖÓ ØÓÖ R Ù ÞÙ ÖÓÞ Ð Ò Ò ÔÓ ÒØ ÖÚ ÐÝ Ó Ö ¹ Þ º½ µº Ù Ñ ¹Ð Ñ Ø Ñ Ò ÑÙÑ Ò ö Ñ Þ Ø ØÓ ÔÓ ÒØ ÖÚ Ðó Ò ÒÓ Þ Ñ Ñ Ò ÑÙÑ Ò Ð Ñ ÒØ ÖÚ ÐÙ [0,1]º Å Ò ÑÙÑ Ù Ð ÓÚ ÚÞ Ð ÒÓ Ø ÚÓÙ Ð Ò ÖÒ ÙÒ Ò Ñ ÒÓ Ù¹ Ñ ÔÓ ØÙÔ Ñº Æ ÔÖÚ ØÝØÓ ÚÝ Ñ Ó x = x 0 +tx s y = y 0 +ty s x = x 0 +t x s ỹ = ỹ 0 +tỹ s ÔÖÓ t [0,1]º ÀÐ Ñ ÜØÖ ÑÝ ÙÒ d(f(t),g(t)) Ò ÓÑÔ ØÒ ÑÒÓö Ò t [0,1]º D = (x x) 2 +(y ỹ) 2 ¼

41 1 f(x) g(x) Poloha Čas µ ÄÓÑ Ò Ð Ò ÖÒ ÙÒ f(x) g(x) Poloha Čas µ ÊÓÞ Ð Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ Ò ÔÓ ÒØ ÖÚ ÐÝ ÓÙ ÙÒ Ð Ò ÖÒ Ç Ö Þ º½ ÊÓÞ Ð Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ Â Ð Óö f(x) = x ÙÒ ÖÓ ØÓÙ Ø Ò Ñ Ð Ø ÜØÖ ÑÝ ÙÒ D = (x x) 2 +(y ỹ) 2 = [ (x 0 +tx s ) ( x )] 0 + tx 2 s + [ (y 0 +ty s ) ( )] ỹ 0 + ty 2 s ÍÖ Ñ Ø Ý ÔÖÚÒ Ö Ú Ø ØÓ ÙÒ D t = 2(x s x s ) [ (x 0 +tx s ) ( x )] 0 + tx s +2(ys ỹ s ) [ (y 0 +ty s ) ( )] ỹ 0 + ty s  ¹Ð f ÖÝÞ ÑÓÒÓØ ÒÒ ÙÒ ÔÐ Ø g Ñ Ú x 0 ÜØÖ Ñ ÐÓö Ò ÙÒ f g Ñ Ú x 0 ÜØÖ Ñº ½

42 = 2[(x 0 x 0 )(x s x s )+(y 0 ỹ 0 )(y s ỹ s )]+2t [ (x s x s ) 2 +(y s ỹ s ) 2] ÔÓÐÓö Ñ ÖÓÚÒÙ ÒÙÐ º ÆÝÒ Ñ Ñ Ú ÑÓöÒÓ Ø ½º Ù ÔÐ Ø ö (x s x s ) 2 +(y s ỹ s ) 2 = 0, Ð x s = x s y s = ỹ s º ÈÓØÓÑ Ð t R : D t (t) = 0, Ø Ý D Ñ Ò Ó ØÖ µ ÐÓ ÐÒ Ñ Ò ÑÙÑ Ò Ô º Ú t 0 = 0º ¾º Î ÓÔ Ò Ñ Ô Ô ÑÙ ÔÐ Ø Ø (x s x s ) 2 +(y s ỹ s ) 2 > 0. ÈÓØÓÑ D Ñóö Ò Ú Ø ÐÓ ÐÒ Ó ÜØÖ ÑÙ Ò R ÔÓÙÞ Ú Ó ÖÙ Ö Ú t 0 = (x 0 x 0 )(x s x s )+(y 0 ỹ 0 )(y s ỹ s ) (x s x s ) 2 +(y s ỹ s ) 2. 2 D t 2 = 2[ (x s x s ) 2 +(y s ỹ s ) 2] > 0 Úö Ý Ð Ò D Ñ Ø Ý Ú t 0 ÐÓ ÐÒ Ó ÓÒ ÐÓ ÐÒ µ Ñ Ò ÑÙѺ ØÓ Ó ÔÐÝÒ D(0) ÔÖÓ t 0 (,0) mind = D(t 0 ) ÔÖÓ t 0 [0,1] D(1) ÔÖÓ t 0 (1, ) Å Ñ Ø Ý Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ö ÙÖ Ó ÒÓØÙ Ò Ð ö Ó Ô Ð ö Ò ÚÓÙ ÙÒ f g Ú O(1)º ÀÓ ÒÓØÙ Ò Ð ö Ó Ô Ð ö Ò ÑÒÓö ÒÝ ÙÒ F Ô ÚÝ Ð Ñ Ð Ò Ú O ( 2 F ) º Æ ÚÞ Ð Ò ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÙÒ Ô ÙÖ Ñ Ø Ø ö ÔÓ Ð Ò Ú F O 2 F F i. i=1 ¾

43 Ì ÒØÓ Ð ÓÖ ØÑÙ ÒÝÒ ÚÝÙö Ñ ÔÖÓ Ø Ò ÓÐ Þ º Îö Ý Ýö Ñ Ñ Ò ÓÙ ÑÒÓö ÒÙ ÒÓØ T Ø Ö Ñ Ø Ò Ò Ð Ù ÚÖ ÓÐ ØÝ v Þ ÓÒ¹ ØÖÙÙ Ñ ÔÖÓ ö ÓÙ ÒÓØ Ù t i T ÑÒÓö ÒÙ Ø P i Ø Ö Ù Ó ÓÚ Ø ÔóÚÓ Ò ØÙ Ø ÐØ ÖÒ Ø ÚÒ ØÝ Ú Þ Ó Ö Þ º½¾µº Ë ØÖÓ Ñ Ý Ø Ñ ÙÒ P = (P i ) T i=1 Ò Ñ Ò ÚÞ Ð Ò ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÙÒ P + º  ÒÓØ t i Ô Ô Ñ ØÙ P + i Ø Ö Ò Ð Ô Ñ Ò Ñ ÓÐ Þ Ú ÑÝ ÐÙ ÚÝ Ð Ò Ø ÓÚ Ó Ó Ùº  РÓö P i 3 Ô ÐÓö ØÓ Ø Ð ÓÖ ØÑÙ Ö Ù Ù Ò O ( 6 T ) Óö ÔÖÓ Ñ Ð T Ú ÖÓÞÙÑÒ Ó ÒÓØݺ Ù ¹Ð Ò ÒÓÑ Ñ Ø Ú Ø ÑÒÓö ØÚ ÒÓØ Ò Ò ÓÚ ÞÚÐ ÒÙØ ÐÒ ÔÓ Ø Ø Ú ÒÝ ÓÑ Ò º Í ÞÙ ö ØÓ Ú Ò Ò Ò Ô Ð Ø º Î Ð ÑÒÓö ØÚ ÒÓØ Ò ÒÓÑ Ñ Ø ØÓØ ö ÞÒ Ñ Ò ö ÙÖ Ø ÑÙ ÔÓ ØÙ ÓÐ Þ Ò ÐÞ Ø ÑØÓ Ð ÓÖ ØÑ Ñ Þ Ö Ò Ø ÔÖÓØÓö Ò Ø ÓÚ Ñ Ð Ñ ØÓ Þ Ö Ø ØÓÐ ÒÓØ Ò Ú µº Î Ø ÓÚ Ñ Ô Ô Ú Ñóö Ñ ÔÓÑÓ ÔÖ Ú ÔÓ Ó ÒÓ ØÒ ÔÖÓÜ Ñ º È Ò ÓÐ ÞÒ ØÙ Ò Ù Ñ Ø ØÓÚ Ø Ú ÒÝ ÓÑ Ò ÐØ ÖÒ Ø ÚÒ Ø Ð ÔÓÙÞ ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÒ Ú Ð ÓÙ ÔÓ ÑÒÓö ÒÙº Ì ÑØÓ Ó Ø Ò Ñ ÔÖÓÜ Ñ Ò ¹ ÚÞ Ð Ò ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÙÒ Ø Ö ÔÖ Ú ÔÓ Ó Ò Ó ÓÔØ Ñ ÐÒ Ó Ò Ò Ù Ô Ð Ð Øº Åóö Ò Ñ ÑÓÞ Ñ Ø Ø ö ÓÐ Þ Ò Ø Ò ÔÖÓ ÙÖ ØÓÙ ÒÓØ Ù Ò ÚÓÙ Ú ÔÓ Ó ÓÙ ÚÖ ÓÐ º Î Ø ÓÚ Ñ Ô Ô Ø Ú Ð ÚÖ ÓÐ ö ÔÓ Ø Ø Ô ÓÞ Ñ ÚÖ ÓÐÝ Ó ÚÝ Ð ÒÑ Ø Ý ÐØ ÖÒ Ø ÚÒ ØÝ ÓÙ Ò º Æ Ó Ö Þ Ù º½ Ñ Ñ ÚÝÞÒ Ò ÔÖó Ó Ú Ñ ÚÖ ÓÐݺ Î ÔÖÚÒ Ñ ÚÖ ÓÐÙ Ò Ø Ò ÓÐ Þ º Ì ÚÝ Ò Ò Ð Þ Ò Ñ ÐØ ÖÒ Ø ÚÒ ØÝ Ò Ó Ö Þ Ù º½ º Î ÖÙ Ñ ÚÖ ÓÐÙ ØÝ Ú Ñ Ø ö Ó Ø ÓÐ Þ ÔÖÓØÓ Ø ÞÚ ö Ø ÐØ ÖÒ Ø ÚÒ ÔÖó Ó Ýº ÌÝ ÓÙ ÖÓÑ ÔóÚÓ Ò Ò Ð Þ Ò ØÝ Ø Ö Ù Ø ö Ö Ò Ú Ú Ùµ ÞÓ Ö Þ ÒÝ Ò Ó Ö Þ Ù º½ º µ ÈóÚÓ Ò Ø µ ÎÝ Ö Ò ÐØ ÖÒ Ø ÚÒ Ø ÔÖÓ ÔÖó Ó ÔÖÚÒ Ñ ÚÖ ÓÐ Ñ µ ÐØ ÖÒ Ø ÚÒ ØÝ ÔÖÓ ÖÙ ÚÖ ÓÐ Ç Ö Þ º½ Ú ÐØ ÖÒ Ø ÚÒ ÔÖó Ó Ý Þ ÓÙ

44 Ã Ô ØÓÐ Å ØÓ Ó ÒÓ Ò º½ ËØ Ø ØÒ ÈÖÓ Ð ÓÚ Ò Ô ÒÓ Ø ÓÖÑ Ú Ó Ò ÒÓÚ Ø Ý Ø Ñ ÙØÓÑ Ø Ó Ó ÒÓ Ò º ÈÖÓ Ø ÒØÓ Ð ÒÙ Ñ ØÒ ½ ÓÖÑ Ú Ò Ñ ÓÚ Ñ Ó Ñö Ùº º½º½ ØÒ ÚÞ Ð ÒÓ Ø ÈÖÚÒ Ñ ØÓÖ Ñ Ø Ö ÒÙ ÓÖÑ Ó Ö ÓÙ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ñ Þ ÒÓØ Ñ º ÎÞ Ð ÒÓ Ø Ñ Þ Ò Ø ÖÑ ÚÓ Ñ ÒÓØ ÓÙ ØÓØ ö Ú ¹ Ñ ØÙ ÓÖÑ Ô Ò ÒÓÚ Òݺ ØÒ ÚÞ Ð ÒÓ Ø ÒÓÚ Ò Ó f D = 1 B ( d(b) o(b) ) 2. b B º½º¾ ÐÓÚ ØÒ ÖÙ Ñ óð ö ØÑ ØÓÖ Ñ ÓÙ ÐÝ Ø Ö ÒÓØ Ý Ú ÓÖÑ Ú Ö º Î Ñ ØÙ ÓÖÑ ÓÙ ÒÓÚ ÒÝ Ò Ò ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ð Þ ÑÙØÝ Ó Ø ØÒ Ñ Ó óñº  РÓö ÓØÓ Ò Ð ÓÖÑ Ò Ò Ò Ó Ù Ù Ñ Ñ ØÓ Þ ÑÙØó Ñ Ø ÔÓ Ñ Ð Ñ Ú ÒÓØ Ú ÒÝ ÖóÞÒ ÚÓ Ó ó Ò Ø Ö Ñ Ú Þ Ùº ÐÓÚ ØÒ ÒÓÚ Ò Ó f A = 1 B B s fs A, s S ½ Æ Ò Ó ØÒ Ú ÔÖ Ú Ñ ÐÓÚ ÑÝ ÐÙ Ð Óö Ò ö Ó ÒÓØÝ Þ ÞÒ Ñ Ò Ð Ô ÚРع ÒÓ Ø ÓÖÑ º ÃÓÖ ØÒ ÓÞÒ Ò Ý ÝÐÓ Ý Ò Ó Ó ÝÐ º

45 f A s = 1 ( Bs 2 ) (b 1,b 2 ) ( Bs 2) ( Ò Ð ÌÓ(d(b 1 ),d(b 2 )) Ò Ð ÌÓ(o(b 1 ),o(b 2 ))) 2. º½º ÃÓÑ ÒÓÚ Ò ØÒ ö Þ Ø ØÓ ÚÐ ØÒÓ Ø Ñ ÓÔÒ Þ Ø Ò ÓÖÑ Ó ØÓÑ ÓÖÑ Ô Ò º ÈÓ Ù Ð ÔÓØ Ù Ñ Ý ØÒ ÝÐ ÒÓÖÓÞÑ ÖÒ Óö Ñóö Ø Ø ÔÓ Ù Ý ØÒ Ñ Ð Ø Ú ØÙÔ Ñ Ò Ø Ö Ó Þ ÑÓ ÙÐó Ð ÔÖÓ Ò Ò ÔÓÖÓÚÒ Ò Ô ÒÓ Ø Ò ÓÐ Ð ÓÖ ØÑóµ Ø ØÝØÓ Ú Ó ÒÓØÝ Ò Ñ ÞÔó Ó Ñ Þ ÓÑ ÒÓÚ Øº Æ Þ Ò ÓÐ Ú Ö ÒØ ØÒ ÐÙ ¾ f A ØÒ ÚÞ Ð ÒÓ Ø f D ØÒ Ñ Ü Ñ f M = max ( f A,f D) ØÒ Ñ Ò Ñ f N = min ( f A,f D) ØÒ ÓÑ ØÖ Ó ÔÖóÑ ÖÙ f S = f A f D ØÒ Ö ØÑ Ø Ó ÔÖóÑ ÖÙ f P = fa +f D ( ) 1 ØÒ ÖÑÓÒ Ó ÔÖóÑ ÖÙ f H 1 = f A f D Ð Ñ ÓÚ Ò ÚÐ ØÒÓ Ø Ø ØÓ Ò ÚÖ ÓÚ Ò ØÒ ÝÐ ÑÔÐ Ñ ÒØÓÚ Ò Ò ØÖÓ ÔÖÓ Ø ØÓÚ Ò ÓÔØ Ñ Ð Þ ØÒ º ÈÖÚÒ Ó ÙÒ ÑÓöÒÓ Ø Ô ÙÒÓÚ Ø ÒÓØ Ý Ú ÓÖÑ Ð ÓÚ Ø Ñ Ò ØÒ º ÖÙ ÙÒ Ò ÞÚ Ò ÇÔØ Ñ Ð Þ ØÒ º Â Ñ Ú ØÙÔ Ñ ÓÙ ÒÓØ Ý Ø Ö ÑÓ ÓÙ Ø Ð ÓÚÓÐÒ ÓØ Ý ÖÓÞÑ Ø Ò º ÙÒ Ð ÓÚÑ Ð ÓÖ ØÑ Ñ ÓÔØ Ñ Ð ÞÙ ØÒ ÓÖÑ º ÈÖÓÚ ØÓ Ø ö ÚÝ Ö Ò Ó Ò ÒÓØ Ù Ô ¹ ÙÒ Ò Ø ÓÚ Ñ ØÓ Ù ÓÑ ÒÓÚ Ò ØÒ Ð ÓÖÑ Ó Ò Ò ö º Â Ò Ø Ö ØÓ ÓØÓ Ð ÓÖ ØÑÙ Ô Ø ÚÙ ÒÙ ÐÓ ÐÒ ÓÔØ Ñ Ð Þ ö ¹ ÒÓØ Ý Ú ÓÖÑ º ¾ Á ÒÓÖÙ ØÒ ÚÞ Ð ÒÓ Ø º Á ÒÓÖÙ ØÒ ÐÙº ÀÓ ÒÓØ Ò Ð Þ Ò ÔÖÓ Ð Ò Ñ Ð Ñ ÔÝ ÔÓØ Ò Ð Ô Ø Ú ÔÓ ØÙÔÒ Þ Ñ Ù Ñ Ö ØÖÙ ö Ò Ú Ð Ó Ø ØÚ Ö 8 8º ÃÚóÐ Ú Ð Ó Ø Ö ØÖÙ Ùö Ò ÓÙ ÖÓÞ ÐÝ Ñ Þ Ñ ÐÑ Ó ÒÓØ Ñ ØÒ ÚÞÒ ÑÒ º 2

46 ÅÝ Ð Ò ÓÙ Ø ØÓ Ñ ØÓ Ý Þ Ø Ø Ú ÖÒ ÔÓÔ Ù Ò ØÒ ÚÐ ØÒÓ Ø ÓÖÑ º Ü Ø Ò ÐÓ ÐÒ Ñ Ò Ñ Ý ØÓØ ö ÑÓ Ð ÞÔó Ó Ø ö Ð Ô ÚÞ Ð ÓÖ¹ Ñ Ý ÑÓ Ð Ø Ó Ó ÒÓ Ò ÓÖ ØÒ º Ð Ñ Ø Ý ÚÝ Ö Ø Ø ÓÚÓÙ ØÒ Ø Ö ÞÔó Ó Ù Ò ÖÝ Ð Ò ÔÖ Ú ÔÓ Ó Ò ÓÒÚ Ö Ò ÓÖÑ Ð¹ Ò ÑÙ Ø ÚÙº ÎÐ ØÒÓ Ø Ú ØÒ ÙÒ Ù Ñ ÔÓÖÓÚÒ Ú Ø Ú ÔÖÚÒ Ø Ø Ö ÓÔØ Ñ Ð Þ Ò Ó ÔÖÓ Ù Ò ÚÞÓÖ Ù ½¼¼ ÓÖÑ Ò Ó Ò ÖÓÞÑ Ø ÒÑ ÒÓع Ñ º  РÓö Ò Ò ÑÓöÒ ÔÓÖÓÚÒ Ú Ø ÓÑ ÒÓÚ ÒÓÙ ØÒ ÔÖÓØÓö Ø Ñ Ô ÖóÞÒ Ñ Ô Ô Ù ÖóÞÒÓÙ Ñ ÒØ Ù Ù Ñ ÔÓÖÓÚÒ Ú Ø ÐÓÚÓÙ ØÒ ØÒ ÚÞ Ð ÒÓ Ø ÞÚÐ ðº Ì ÙÐ Ù º½ ÒØ ÖÔÖ ØÙ Ñ Ø ØÓ Ú ÐÓÙÔ ÓÞÒ Ò Ñ f C Ù i Ñ Ñ Ú ÖÓÚ ÔÖóÑ Ö f A Ú ½¼¼ Ø ØÓÚ Ò ÓÖÑ ÔÓ i Ø Ö Ú Ø Ö ÝÐ Ó ÓÑ ÒÓÚ Ò ØÒ ÔÓÙö Ø ÙÒ f C º Ç Ó Ò ÒØ ÖÔÖ ØÙ Ñ Ó Ø ØÒ Ø Ø ÙÐ Ý º½ º¾ º½ µº ÁØ Ö f A f D f N f M f P f S f H ½ ½ ½ ½ ¾ ½ ½¼ ½ ½¼ ¾ ½¼ ¾½ ¾¾ ¼ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾¾ ¾ ¾ ¾¼ ½ ½ ¾ ½ ¾ ½ ¼ ¾¼½ ½½¾ ½ ½ ½ ½ ¾ ½ ¼½ ¾¼ ½ ½½ ½½ ¾ ½ ¼¼ ½ ¾ ¾ ½¼ ½ ½ ¼ ½¼¼ ½ ½½ ½ ½ ¾ ¾ ½¾ ¾ ½ ½ ½ ½¼ ½ ½¾ ½ ½ ½ µ Î ÖÓÚ ÔÖóÑ Ö ØÒ ÐÙ ÁØ Ö f A f D f N f M f P f S f H ½ ¼ ¼ ¾ ¼ ¾ ¾ ½ ¼ ½ ½ ½ ¾ ½ ¼ ½ ¼ ½ ½ ½ ½ ½ ½½¼ ½ ½¼ ¾ ¾ ½ ½ ¼ ½ ¾ ½ ½ ½ ¼ ½ ½¾ ½½ ½½ ½ ½ ½¼ ½½ ¼ ½¾ ¾ ¼ ¾ ½½ ½¼ ½ ¼¾ ½ ½½ µ Å Ò ØÒ ÐÙ Ì ÙÐ º½ Æ Ñ Ò Ó ÒÓØÝ f A ÔÖÓ ÖóÞÒ ÓÑ ÒÓÚ Ò ØÒ Â Ù ÞÙ Ò Ñ Ò Ø Ø ÙÐ Ý º½ º¾µ ÑÓØÒ ÐÓÚ ØÒ Ò Ó ØÒ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ò Ø º È ÔÓÙö Ø ÔÓÙÞ Ò ÐÓö Ý ØÒ ÔÖÓ ÓÔØ Ñ Ð Þ ÖÙ Ø Ø ö Ñ ÖÒ Ð Ú ÚÖ ÞÒ ÔÓÑ Ð º ÄÓ ÐÒ ÓÔØ ÑÙÑ ÔÖÓ ÐÓÚÓÙ

47 ÁØ Ö f A f D f N f M f P f S f H ½ ¾ ¼ ½ ¾ ¼ ½ ¾ ½ ¼ ¾ ¾¼ ¼¼ ¾ ½ ¼ ¾ ¼ ½ ¼ ¾¼ ½¾ ½ ¾ ½¾¾ ½ ½ ½¾¾¾½¾ ½ ¾½ ½¾ ½¼¾ ½¼ ½¼¾¼ ½ ¾ ¾ ¼ ½¼ ¼½ ½ ¾ ¾½½ ¾ ¾ ¾ ¾¾½ ½ ¾ ¼¾ ½ ½ ¾¼¾ ½ ½ ½ ½ ½¼ ½ ½ ¾ ½ ¼ ½¼ ¾½ ½ ¼ ¾ ½ µ Î ÖÓÚ ÔÖóÑ Ö ØÒ ÚÞ Ð ÒÓ Ø ÁØ Ö f A f D f N f M f P f S f H ½ ¾ ½ ½ ¾ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¾¾ ½ ¾ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ½¼ ¼ ¾ ½¼½¼ ½¼ ½ ½ ½¼ ½ ½ ½ ¾¾ ½½ ¾ ¾ ½ ¾ ¾ ½ ½ ½ ¾ ¾¼ ½ ½¾ ½ ½½ ½ ¾ ½ ½¼ ½¼ ½½ ¾ ¾ ½ ½ ½ ½¼ ½¼ ¾ ½ ½¼ ¼¾¾ ¼¾¾ ½¼ ½¼ ¾ ½ µ Å Ò ØÒ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ì ÙÐ º¾ Æ Ñ Ò Ó ÒÓØÝ f D ÔÖÓ ÖóÞÒ ÓÑ ÒÓÚ Ò ØÒ ØÒ ÓÖÑ Ø Ö Ñ ÔÖ ÚÒ Ú ÒÝ ÐÝ Ú ÚÖ ÞÒ Ú Ø Ñ Ò Ú Þ Ó Ö Þ º½ µº ÄÓ ÐÒ ÓÔØ ÑÙÑ ÔÖÓ ØÒ ÚÞ Ð ÒÓ Ø ÓÖÑ Ø Ö Ñ ÔÖ ÚÒ Ú ÒÝ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ú Ú Ò Ø Ö Ú Ó Ò ÓÐ Ö Ø Ô ØÓ Ò Ú Þ Ó Ö Þ º½µº ØÒ Ñ Ò Ñ f N µ ÓÚ Ú ÐÑ ÔÓ Ó Ò Ó ÑÓØÒ ÐÓÚ ØÒ º Î Ñ ö Ú ÖÓÚ ÔÖóÑ Öf D Ù ØÒ Ñ Ò Ñ Ó Ñ Ò Ò ö1% Ò ö Ú ÖÓÚ ÔÖóÑ Ö f A Ó 32% ÚÝ Ñ ÒÝ f A f D ÓÙ Ò ÔÖÓ ØÓ Ø Ò º ÎÖ ÞÒ ÚÞÖó Ø ØÒ ÔÖÓ f A Ú Ò ÞÒ Ù ö Ø ØÓ Ñ ØÓ ÓÚ ó Ò ö ÑÓØÒ ÐÓÚ ØÒ º Ñ ØÓ ÚóÐ ØÓÑÙ ö ÔÖÓ Ú Ø ÒÙ ÓÖÑ Ô ØÒÓÙ Ó ÒÓØÓÙ ØÒ Ó ÒÓØ f D ÚÖ ÞÒ ÚÝ ÔÖÓØÓö Ý ÓÚ Ð ÒÝ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ò ÓÙ ÓÑ Þ ÒÝ Þ Ø ÑÓ Ý ÓÚ Ð ÒÝ ÐÙ ÒÓ Ø ö Ú Ø ÒÓÙ ÓÔØ Ñ Ð ÞÓÚ Ò Ò f A º ØÒ ÓÑ ØÖ Ó ÔÖóÑ ÖÙ f S µ ÓÚ Ø Ø ö ÔÓ Ó Ò ÔÓÙÞ Ø Ñ ÖÓÞ Ð Ñ ö Ó Ø Ò Ó ÐÓ ÐÒ Ó ÓÔØ Ñ ÓÒÚ Ö Ù ÖÝ Ð Ú Ø ÔÖ Ú ÔÓ¹ Ó ÒÓ Ø Ô ØÓÑ ÓÔØ Ñ Ð ÞÙ f D Ø Ý Ò ÔÖÓ Ù Ù Ø Ú Ð ÓÖÑ µº f D Ó Ù ÔÖóÑ ÖÒ Ó 95% Ò ö Ó ÒÓØݺ

48 µ ÇÔØ Ñ ÐÒ ØÚ Ö ÓÖÑ ÐÓ ÐÒ ÓÔØ ÑÙÑ Ú ØÒ ÙÒ µ ÄÓ ÐÒ ÓÔØ ÑÙÑ ÔÖÓ f A f N f S µ ÄÓ ÐÒ ÓÔØ ÑÙÑ ÔÖÓ f D µ ÄÓ ÐÒ ÓÔØ ÑÙÑ ÔÖÓ f P f M f H Ç Ö Þ º½ ÄÓ ÐÒ ÜØÖ ÑÝ ÖóÞÒ ØÒ ØÒ Ö ØÑ Ø Ó ÔÖóÑ ÖÙ f P µ ØÒ ÖÑÓÒ Ó ÔÖóÑ ÖÙ f H µ ع Ò Ñ Ü Ñ f M µ Ú ÒÝ ÓÚ ÔÓ Ó Ò Ø ö ÚÖ ÔÓ Ó Ò Ú Ð Ýº ÊÓÞ ÐÝ Ù Ñ Òó ÓÙ Þ Ò Ø ÐÒ Þ Ñ ÚÞÒ ÚóÐ ÖÙ Ó Ø Ñ ö Ý Ò Ø Ö Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ º Í Ø Ò Ó ÒÓØ ÓÙ ÖÓÞ ÐÝ ÚÖ ÞÒ Þ Ñ Ò f M Þ Ó Ñ Ñ ØÓ Ñ Þ Ó Ø Ú Ú Ô Ô ØÒ ÚÞ Ð ÒÓ Ø º f P Ñ Ñ ÖÒ Ð Ô Ó ÒÓØÝ Ò ö f H Ò Ñ Ò Ó ØÒ Þ Ø Ú Ó Ò º Î ÒÝ Ø Ø¹ Ò Ó Ò Ú Ú Ø Ò Ô Ô ó ÚÝ ÐÓ ÐÒ Ñ ÓÔØ ÑóѺ ÈÓ Ù Ø ÓÚ ö ÚÝ ÝØÒ Ñ Ú Ø ÒÓÙ ØÚ Ö ÔÓ Ó Ò Ó Ö Þ Ù º½ º Ó Ö Þ Ù ØÓ Ò Ò Ô Ð Ó Ú Ø Ð ÒÓØ ÙÔÖÓ Ø ÓÖÑ Þ Ø Ö Ú Ú Þ Ú ÙØ ÒÓ Ø ÐÓö Ò Þ ÚÓÙ Ô ÖÝØ ÒÓØ Ø Ö ÔÓÐÙ Ò ÓÙ ÔÓ ÒÝ Ú Þ ÓÙ Úó Ó ÓÐÒ Ñ Ó óñ Ñ ÔÓÑ ÖÒ ÓÖ ØÒ ÚÞ Ð ÒÓ Ø º

49 º¾ ÝÒ Ñ ØÒ ËØ Ø ØÒ Ùö Ø Ò ÔÖÓ Þ Ó ÒÓ Ò Ø ÚÙ ÓÖÑ Ú ÓÒ Ö ØÒ Ñ º Æ Ó ö Ú ÚÝ Ø ÒÓÙØ ÞÑ ÒÝ Ø ØÓ ØÒ Ú Ò Ð Ù ØÖÚ Ò Ô ÙÒÙº ÒÐ Ú ÑÓöÒ ÔÓ Ø ÒÓÙØ Ó ØÝØÓ ØÓÖÝ Ô Ô Ñ T F = f C dt, 0 f C Ð ÓÚÓÐÒ ÓÑ ÒÓÚ Ò ØÒ t T Ð ØÖÚ Ò Ô ÙÒÙº  РÓö Ò ÔÓÞÓÖÓÚ Ò ØÒ ÓÙ Ö ØÒ Ñóö Ñ ÚÝ Ø ÒØ Ö Ð Ó ÙÑÙ F = n t i fi C, i=0 fi C Ó ÒÓØ ØÒ Ú i¹ø Ñ ÔÓÞÓÖÓÚ Ò t i Ø Ö ÙÔÐÝÒÙÐ Ó Ô ÓÞ Ó ÔÓÞÓÖÓÚ Ò º Ì ÒØÓ Ô Ô ÔÐ Ù Ò ÓÐ Þ Ð Ò ÔÓö Ú ó Ò ØÒ F ÑÓÒÓØ ÒÒ ÚÞ Ð Ñ T Ø Ý Ñ Ð Ô ÙÒ ØÖÚ Ø Ñ ÚÝ Ó ÒÓØ F F ÑÓÒÓØ ÒÒ ÚÞ Ð Ñ f C Ø Ý Ñ ÓÖ ØÒ Ú ÒÓØÐ Ú Ó Ñö Ø Ñ ÚÝ Ó ÒÓØ F F Ú Ò Ó ö Ó ÔÓ Ø ÒÓÙØ ÐÓö Ø Ô Ô Ý T f C ÓÙ ÔÖÓØ Ó º  ¹Ð Ò Ô Ð T 2 = 2 T 1 f2 C (2t) = f1 C (t)/2 ÔÖÓ t [0;T] Ú Þ º¾ µ Ô ÒØ Ö ÐÝ ÖÓÚÒ Ð Ú Þ Ú ÐÓ Ø Ò Ñ ÒØ ÓÖÑ Ñóö Ø Ð Ô Ø Ö ÓÐ Ú Þ Ú Ö Òغ ÈÓØÓÑ Ò Ú Ñóö ÔÐ Ø Ø ö ÖÝ Ð Ø ÚÝ Ó ÓÙ f C Ñóö Ø Ð Ô Ú Ö ÒØ Ò ö ÔÓÑ Ð Ú Ö ÒØ Ø Ö Ñ Ó ÓÒ Ò ö Ó ÒÓØÙ F º ÌÚ Ö f C Ð º ÈÓ Ó Ò Ó Ú Ô ÓÞ Ñ Ô Ô Ò Ò Ò Þ Ð Ô Ú Ö ÒØ Ú Ñ Ò Ø ÐÑ ÔÖó Ñ f1 C Ò Ó Ú Ö ÒØ f2 C Ú Ø ÒÙ Ù Ò ö Ú Ó Ù ÚÖ ÞÒ ÐÓ ÐÒ Ñ Ü Ñ Ú Þ º¾ µº

50 f C f C 1 2 Fitness Čas µ ÈÓÐÓÚ Ò Ð ÔÖó Ó Ù ÚÓ Ò Ó ÒÓÙ ØÒ f C 1 f C 2 Fitness Čas µ ØÒ ÒØ ÖÚ Ð Ñ ÚÖ ÞÒ ÓÖ ØÒ Ç Ö Þ º¾ ÊóÞÒ ØÚ ÖÝ ØÒ Ø ÒÓÙ Ó ÒÓØÓÙ F ¼

51 ØÓÖ Ù ÔÖó Ù ÙÒ Ø Ý Ò ÐÞ Ø ØÓ ÒÓ Ù Ú ÒØ ÓÚ Øº ÊÓÞ¹ Ó Ù ØÓØ ö ÙÖ Ø Ó Ú Ò ØÙ óð ö Ø Þ Ð Ô ÙÒÙ Ò Ó Ó Ú Ð Ø º ÌÓ Ñóö Ñ ÚÝ Ø ÒÓÙØ Ú Ó ÒÑ ÐÓÚ Ò Ñ ØÒ F (k) = T 0 ( f C ) k dt ÔÖÓ Ô Ö Ñ ØÖ k R + º ÀÓ ÒÓØ k < 1 ÔÖ ÖÙ ÖÝ Ð Ô ÙÒÝ Ó ÒÓØ k > 1 Ò ÓÔ Ð Ô Ó ÒÓØ Ú Ð ØÙ Ô ÙÒÙº Ì ÒØÓ ÚÞÓÖ Ú ÓÖÑ ÙÑÝ ÔÓÙö Ñ ÔÖÓ Ó ÙÒ F n mint i (minf C i ) k F(k) n maxti (maxf C i ) k. ÙÒ F ÐÞ Þ Ó ÓÙ ØÖ Ò Ó ÒÓÙØ ÜÔÓÒ Ò ÐÒ ÔÓ Ù Ø Ý F Ò Ö ¹ Ñ Ú Ó ÒÓÙ ÜÔÓÒ Ò ÐÓÙ Ù Ñ ÑÓ ÖóÞÒ ÔÖó Ý Ø ØÓ ÙÒ Ú Ó Ò ÔÓÖÓÚÒ Øº È Ö Ñ ØÖÝ ÜÔÓÒ Ò ÐÒ ÙÒ y = Ae Bx Ó Ò Ñ Ñ ØÓ ÓÙ Ò Ñ Ò ØÚ Öó A = exp ( x 2 i y i ) (yi logy i ) (x i y i ) (x i y i logy i ) yi ( x 2 i y i ) ( xi y i ) 2, B = yi (xi y i logy i ) (x i y i ) (y i logy i ) yi ( x 2 i y i ) ( xi y i ) 2. ÈÖÓ Ó ÔÓÙö Ñ Ó ÒÓØÝ ÙÒ F Ú Ò ÓÐ Ó Þ ÒØ ÖÚ ÐÙ [ 1,10] 10 ÓÒ Ö ØÒ Ú Ó x i = 10 i ÔÖÓ i {0,1,...,20}º ÈÖó ØÒ Ø Ý Ñóö Ñ Ú Ó Ò Ö Ø Ö ÞÓÚ Ø ÔÓÑÓ ÚÓÙ Ô Ö Ñ ØÖó ½º E 1 = Ae B Ó ÒÓØ Ú Ó 1 Ø Ö ÙÖ Ù Ð ÓÖ ØÑÙ Ó Ö Þ Ð ÔÓ Ñ Ò Ñ Ò ö Ø Ñ Ð Ô º ¾º Ë = e B Þ Ð ÜÔÓÒ Ò ÐÝ Ø Ö Ñ ÓÔ ÒÓÙ Ñ ÒØ Ù Ò ö Ô Ö Ñ ØÖ k Ñ ÚÝ Ó ÒÓØ Ø Ñ ÖÝ Ð Ô ÙÒÝ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò ÖÙ º ½

52 Ã Ô ØÓÐ Î Ð Ý Æ ÚÖ Ð Ñ Ò ÓÐ ÑÓ ÙÐó ÓÑÔÐ ÜÒ Ó Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Þ Ó ÒÓØ Ø ÙÒ ÒÓ Øº ÈÖÓ Ø ÒØÓ Ð ÔÓÙö Ñ ØÝ Ø ØÓÚ ÓÖÑ Ú Þ Ô ÐÓ µ ÚÓÙ ÖóÞÒ Ú Ð Ó Ø Ø Ø ØÓÚ Ò ó Ú Þ Ô ÐÓ µº Ù Ñ Þ ÓÙÑ Ø Ñ Ò ØÒ Ú Þ Ú ÐÓ Ø Ò ÞÚÓÐ Ò Ñ Ð ÓÖ ØÑÙ Ò ÓÖÑ º  ÒÓ¹ Ù Ñ Ö ÔØ Ñ ÓØ ØÙ Ñ Ú ÒÝ ÓÑ Ò Ð ÓÖ ØÑó Ò ÓÐ ÓÑ Ò Ô Ö Ñ ØÖóº Ð ÓÚ Ò Ó ÚÞÓÖ ¼½ ÓÒ ÙÖ º Æ Ð Ò ÔÓÑÓ Ø Ø Ø Ó ÔÖÓ Ö ÑÙ Ê Ò ÐÝÞÙ Ñ Ó ÒÓØÝ E 1 Ë ØÒ Ù Ø ØÓ ÓÒ¹ ÙÖ º º½ Ø ÓÐ Þ Ò Ñ Ð ÓÖ ØÑ Ñ Ø ÓÐ Þ ÔÓÖÓÚÒ Ñ Ú Ð Ý Þ Ð Ò Ó Ð¹ ÓÖ ØÑÙ Ø Ý Ð ÓÖ ØÑÙ Ø Ö ö Ò ÓÐ Þ Ò µ Ð ÓÖ ØÑÙ ÞÑ ÒÝ ÝÞ Ó ÙÑ Ø Ò Ú Þ º º½µº Ø ÙÐ Ý º½ Ú Ñ ö ÓÐ ÞÒ Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ Ñ ÖÒ Ò ¹ Ø ÚÒ ÚÐ Ú Ò Ú Ð ØÙ Ô ÙÒÙº Ñ ØÓ ÞÔó Ó ÒÓ Ø Ñ ö Ð ÓÖ ØÑÙ Ø ÓÐ Þ ÔÓÙÞ ÐÓ ÐÒ Ý Ý Ò Ò ÔÓÑ Öö Ø ØÚ Ö ÓÖÑ º ØÒ Ô Ò ÞÓ Ð Ù ÓÐ ÓÐ Þ Ô Ù Ò Ø ÐÓ Ø ö ÔÓ Ù ÓÙ ÓÐ Þ ÒÝ ÐÓ¹ ÐÒ Ñ ÚÝ Ð Ò Ñ ÒÓØ Ý Þ ÓÔØ Ñ ÐÒ ØÖ Ý ÔÓ ÓÔ Ø ÐÒ ö ØÒ ÑÙ ÚÞÖó غ Î Ø ÙÐ º½ Ö Ôº º½µ Ñ Ñ Ú ÖÓÚ ÖÓÞÔØÝÐ Ñ Òó E 1 ˵ ØÒ ó ÖóÞÒÑ ØÝÔ Ñ Ø ÓÐ Þ Ò Ò Ñ Ò Ö Ôº ÒÑ Ñ Ø Ñ ÓÖÑ µº ÎÝ Ó ÖÓÞÔØÝÐ ÞÒ ö ÔÓÙö Ø Ñ ØÓ Ñ Ú Ð ÚÐ Ú Ò Ú ÓÒ ÓÖ¹ Ñ Ò Ò Ñ Ò Ö Ôº ÒÑ Ñ Ø Ñ ÓÖÑ µº Æ Þ ÖÓÞÔØÝÐ ÞÒ ö ÔÖÓ ÒÓÙ ØÙ Ò Ö ÑÓ ÙÐ Ô Ð Ú Ð ÓÙ ÖÓÐ º º½ Ú Ø ö Ú Ò Ú Ø Ò Ñ Ø ÓÐ Þ Ø Ñ ö Ò ÚÐ Ú ÖÓÞÔØÝÐ Ó ÒÓØÝ E 1 Ú ÐÑ Ò Þ µº Æ ÓÔ Ú Ð ÓÙ ÖÓÐ Ö Ø ÓÐ Þ Ú Ò Ø ËÓÙØ Þ Ñ Ò Ø Ú Ú Ø ÑÒÓö ØÚ ÓÐ Þ º ¾

53 Ì ÙÐ º½ Ò Ñ ÔÖÓÞÖ ÞÙ ö ÚÐ Ú Ø ÓÐ Þ Ò Ú Ø ÒÙ Ñ Ø ÔÓ Ó Òº ÎÐ Ú ÓÖÑ Ð Ú Ð Ó Ø ¹ Ñ ØÓØ ö ÓÖÑ Ó Ù Ú ÒÓØ Ø Ñ Ú Ø ÔÖÓ ØÓÖ Þ ÔÐ Ù Ñö Ò öù ÑÒÓö ØÚ ÓÐ Þ Ø Ý ÚÐ Úº ÎÖ ÞÒ ÚÝ Ó Ù ÔÓÙÞ Ñ Ö º Æ Þ ÔÓ Ø ÓÐ Þ Ú ÔÖÚÒ Ñ Ô Ô ÞÔó Ó Ò Þ Ñ Ò Ò Þ Ñ ÔÓ Ø Ñ ÒÓØ º Æ ÓÔ Ô ÚÝ Ñ ÔÓ ØÙ ÒÓØ ÓÖÑ Ò Ù ÖöÙ Ó Ø Ø ÒÓÙ ÓÙ ÖöÒÓ Ø ÚóÐ Ò Ó Ø Ø Ò ÑÙ ÔÓ ØÙ Ú Þ Ú Ñ ØÙ Óö Ú Ò ÖÓ Ò Ñ Ø Ö ÒÙ Ñóö ÞÚÝ ÓÚ Ø ÔÓ Ø ÓÐ Þ º ÃÓÐ ÞÒ Ð ÓÖ ØÑÙ median(e 1 )( 10 3 ) median(ë)( 106 ) ö Ò ½½º ½¾º ÞÑ Ò ÝÞ Ó ÙÑ Ø Ò ½ º½ ½¾º½¼ µ ÎÐ Ú Ø ÓÐ Þ Ë Ò var(e 1 )( 10 6 ) var(ë)( 1012 ) Ú Ø ¼º¼¼¼¼¾ ¼º¼¼¼½ ÇØÓ ¼º¼¼¼ º¼ Ø º ¾º ËÓÙØ ¾º½ ½ ½º½¼ ö Ò ½º½ ½ ½º Ø ¼º ½ ¼º ¼ µ ÎÐ Ú Ò Ò Ø ÓÐ Þ ÓÖÑ ÈÓ Ø ÒÓØ var(e 1 )( 10 6 ) var(ë)( 1012 ) Ö ¼º¼¼¼½ ¼º¼¼¼¾ ØÚ Ö ¼º½¾¼ ¼º½ ¾ Ñ ÒØ º ½ ½º ¼ ÃÐ Ò º¼ ¼º¾ Ö º¼¼ ¼º¾ ½ ØÚ Ö ¼º¼ ¼º¼¼¼ Ñ ÒØ ¼º ½¾ ¼º½ ÃÐ Ò ½º¼½¼ ¼º¼¼¼¼½ µ ÎÐ Ú ÓÖÑ Ò Ø ÓÐ Þ Ì ÙÐ º½ ÎÐ Ú Ø ÓÐ Þ Ò ØÒ º¾ ÈÐ ÒÓÚ Ò ÈÐ ÒÓÚ Ð ÓÖ ØÑÙ Ô Ö Ó Ô ÔÐ ÒÓÚ Ò Ú Þ º¾º½µ Ñ Ô Ö Ñ ØÖÝ F P Ø Ö ÓÚÐ Ú Ù Ó ÚÐ ØÒÓ Ø º ÓÚ Ò Ð ÓÖ ØÑÙ Ò ÐÝÞÙ Ñ ÔÖÓ Ø ÖÓ¹

54 ÞÙÑÒ Ò Þ Ó ÒÓØÝ Ø ØÓ Ô Ö Ñ ØÖóº Ø ÙÐ Ý º¾ ÚÝÔÐÚ ö Ñ Ò Ó ÒÓØÝ Ò ÖÙ Ú Ð ØÒ Ô ÙÒݺ Í Ò ÇØÓ Ò Ò Ø ÒØÓ ÖÓÞ Ð Ô Ð Ô ØÖÒº ÖÙ Ñ ØÓ Ö Ñ ÒØ ÔÓ Þ Ø Ú Þ º¾º¾µ ÚÑ Ô Ö Ñ ØÖ Ñ ϕ 0 Ø Ö ÚÞÒ Ð Ó ÔÓ Ù Ó ÚÝÐ Ô Ò Ö Ñ ÒØ Ú ÔÖÚÒ Ñ Ð ÓÖ ØÑÙ Ó Ù Ò Ð Ô Ú Ð ó Ó ÒÓØÓÙ ϕ 0 = 10 º Ç Ø ØÒ Ó ÒÓØÝ Ú ÖóÞÒ Ò ÓÚ Ó Ð Ò º Î Ò Ú Ø Ø Ó ÒÓØ ϕ 0 = 40 Þ Ó Ø Ú Þ Ó Ø ØÒ Ñ Ú Ò ö Ò Ò ÓÔ Ò Ð Ô º Ç Ò Ò Ò ÑÓöÒ ØÝØÓ Ó ÒÓØÝ Ú Ð Ø Ø ÚÒ Ó Ð Øº Ó Ø ÓÖÑ ØÙ Ò Ñ Ò Ó ÒÓØ ϕ 0 ÞÒ Ñ Ò Ó Ò Ó Ð Ô ÚÐ ØÒÓ Ø º Í Ñ ØÙ ØÚ Ö Ø ÒØÓ ÚÐ Ú Ò Ú Ø º

55 ÈÐ ÒÓÚ Ð ÓÖ ØÑÙ median(e 1 )( 10 3 ) median(ë)( 106 ) ÌÖ Ú ÐÒ ¾½º ¼¼ º ½¼ È Ö Ó Ô ÔÐ ÒÓÚ Ò F = 3 P = 2µ º º¾ È Ö Ó Ô ÔÐ ÒÓÚ Ò F = 5 P = 3µ º º È Ö Ó Ô ÔÐ ÒÓÚ Ò F = 10 P = 5µ ½ º¾ ½ ½ º Ö Ñ ÒØ ÔÓ Þ Ø ϕ 0 = 10 µ ½¼º ¾ º ¼ Ö Ñ ÒØ ÔÓ Þ Ø ϕ 0 = 20 µ ½ º¾ ½½º Ö Ñ ÒØ ÔÓ Þ Ø ϕ 0 = 40 µ ½½º ½½º Ö Ñ ÒØ ÔÓ Þ Ø ϕ 0 = 50 µ ½ º½¾ ½½º µ ÎÐ Ú ÔÐ ÒÓÚ Ò Ò ØÒ Ë Ò var(e 1 )( 10 6 ) var(ë)( 1012 ) Ú Ø º ¾ ½¼ º ÇØÓ ¾ º¼ º Ø ¾ º º ËÓÙØ ½ º½ ¼¾º ö Ò ½ º Ø ½¾º ½ º µ ÎÐ Ú Ò Ò ÔÐ ÒÓÚ Ò ÓÖÑ ÈÓ Ø ÒÓØ var(e 1 )( 10 6 ) var(ë)( 1012 ) Ö ¼º ¼º ØÚ Ö º ½ ½ ½º Ñ ÒØ º ¾ ½½ º½ ÃÐ Ò ¾ º º¾¼ Ö ¾¾º¼ ½º ØÚ Ö º ½ º Ñ ÒØ ½ º ¾¼¼º ÃÐ Ò ¾¾º ¼ ½½ º µ ÎÐ Ú ÓÖÑ Ò ÔÐ ÒÓÚ Ò Ì ÙÐ º¾ ÎÐ Ú ÔÐ ÒÓÚ Ò Ò ØÒ È Ú Ô Ú Ó Ð Ô Þ Ó ÓÙ Ñ ØÓ Ú Ñ ØÓ ÒÓ Ù ØÓ Ô Ö Ó Ô ÔÐ ÒÓÚ Ò º Ç Ñ ØÓ Ý ÓÙ Ú ÚÖ ÞÒ Ð Ô Ò ö ØÖ Ú ÐÒ Ð ÓÖ ØÑÙ º

56 º ËÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ó Ù ÊóÞÒ Ñ ØÓ Ý ÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ó Ù ÓÚ Ú ÐÑ ÔÓ Ó Ò Ú Þ º µº ÈÓ Ý ÓÖÑ ÔØ ÚÒ ÝÒ ÖÓÒ Þ Ú ÓÔØ Ý Ò Ô ÖÓÞ Ò Ú Ø ØÙØÓ ÝÔÓØ ÞÙ Ò ÔÓ ÔÓÖÙ º Í ÞÙ ö Ú ÐÓö Ø Ò Ø ËÓÙØ ö Ò Ø µ Ö ÝÒ ÖÓÒ Þ Ú Ø ÖÓÐ Ú ÒÓ Ù Ò Ò Ø óð ö Ø º Î Ð ÖÓÞ ÐÝ ÓÙ Ñ Þ ÒÓØÐ ÚÑ ÓÖÑ Ñ ØÚ Ö Ñ ÒØ Ú Þ ÝÒ ÖÓÒ Þ ÑÒÓ Ñ ÓÖ Ú Ð Ý Ò ö Ò º Í Ñ ØÙ Ö Ò Ò Ò ÓÔ ÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ð ÔÓØ º ÌÓ ÐÓ Ó Ú Ø ÚÞ Ð Ñ ØÓÑÙ ö Ø ØÓ ÝÒ ÖÓÒ Þ ÝÐ ÑÓØ ÚÓÚ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ñ Ø Ö ÞÒ ÞÓÖÒ Ò Ò Ó Ö Þ Ù ¾º¾º Ì ÒØÓ ÔÖÓ Ð Ñ ØÓØ ö Ù ÓÖÑ Ö Ø Ö Ñ Ú ÔÓ Ø Ø ÒÙÐÓÚÓÙ Ù Ò Ò Ø Ú º ËÝÒ ÖÓÒ Þ Ò Ð ÓÖ ØÑÙ median(e 1 )( 10 3 ) median(ë)( 106 ) ö Ò ½ º ¾ º ¾ ÔØ ÚÒ ½½º ½¼º¾ Ø ÚÒ ½½º ½¼º ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÚÒ ½½º¾ ½¼º µ ÎÐ Ú ÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ó Ù Ò ØÒ Ë Ò var(e 1 )( 10 6 ) var(ë)( 1012 ) Ú Ø ¼º¼½ ¼º¼ ÇØÓ ¼º¼¼¼¼ º ¼ Ø º ¾¾ º¼¼ ËÓÙØ ½ º ½½ ö Ò ½¼º ¼ º Ø ½º º µ ÎÐ Ú Ò Ò ÝÒ ÖÓÒ Þ ÓÖÑ ÈÓ Ø ÒÓØ var(e 1 )( 10 6 ) var(ë)( 1012 ) Ö ¼º¼¼¾ ¼º¼½¾½ ØÚ Ö º ¼ ¾ º¼ Ñ ÒØ ¼º ¾ º ÃÐ Ò ½º¼ ¾¾º Ö ½º¾ ¼º ¼¼ ØÚ Ö ½ º º Ñ ÒØ ½¼º¾ ½ ¼º ÃÐ Ò º½¾ º µ ÎÐ Ú ÓÖÑ Ò ÝÒ ÖÓÒ Þ Ì ÙÐ º ÎÐ Ú ÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ó Ù Ò ØÒ

57 º ÎÝ Ð Ú Ò ØÝ ÈÓ Ð Ò Ñ ÑÓ ÙÐ Ñ Óö ÚÐ ØÒÓ Ø Þ Ú ÔÖÓÞ ÓÙÑ Ø ÑÓ ÙÐ Ó ÔÓÚ Ò Þ ÚÝ Ð Ú Ò Øݺ Í ÞÙ ö Ñ ØÓ ÓÑ ÒÓÚ Ò Ó ÔÖÓ Ð Ú Ó ÔÖÓ¹ ØÓÖÙ Ú Þ º½º½µ ÞÐ Ô Ù Ú ÓÒ ÓÖÑ Ú Ú Ø Ò Ò óº Í Ò Ø Ò Ò ÞÐ Ô Ò ÔÖó ÞÒ Ò Ý Ó ÓÒ ÓÑ ÒÓÚ Ò ÔÖÓ Ð Ú ÔÖÓ ØÓÖ Ú ó º ÌÓ Þ Ñ ÞÔó Ó ÒÓ Ú Ø Ñ ÑÒÓö ØÚ Ñ Þ Ø Ú Ø Ø ÖÑ Ñ Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÓØ ö º Ë Ò Ú Ø ÇØÓ Ý Ò Ñ ÐÝ Ø ÓÚÐ ÚÒ ÒÝ Úó Ð Óö Ó Ù ÔÓÙÞ Ö ÒÝ Ø Ò Òݺ ËØ Ú Ú ö ÚóÐ Þ Ó ÖÓÙ ÐÓÚ ¹ Ñ Ý Ñ Ô ÚÔÓ ØÙ ÒÝ Ö Ò Ú ÓÑ ÒÓÚ Ò Ñ ÔÖÓ Ð Ú Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ ÓÙ Ò Ø Ö Ö ÒÝ ÚÝ Ó ÒÓ ÒÝ Ó Ñ ÖÒ Ö Ø Óö ÞÔó Ó Ù Ú Ö Ò ØÝ Ú Ô Ô ö Ó ÐÓÚ ÔÓÞ Ú Ú Ø Ò Ó Ö Øº ÈÖÓ Ð Ú Ð ÓÖ ØÑÙ median(e 1 )( 10 3 ) median(ë)( 106 ) ÒÓ Ù ½ º ¼ ½ º¼ ÓÑ ÒÓÚ Ò ½¾º¼¼ ½½º½½ µ ÎÐ Ú ÚÝ Ð Ú Ò ØÝ Ò ØÒ Ë Ò var(e 1 )( 10 6 ) var(ë)( 1012 ) Ú Ø ¼º¾ ¼º¾ ¼ ÇØÓ ¼º¼¼¼¼ ¼º¼¼ ¼ Ø º ¾ ½¼º½ ËÓÙØ ½º¼¼ ¼º½¼ ö Ò ¼º ½ ½¼º¾ Ø ¼º¾ ½ º¾¾ µ ÎÐ Ú Ò Ò ÚÝ Ð Ú Ò ØÝ ÓÖÑ ÈÓ Ø ÒÓØ var(e 1 )( 10 6 ) var(ë)( 1012 ) Ö ¼º½ ¼º¼ ØÚ Ö ½º¾ ½ ¾º½ Ñ ÒØ º¼ ¼ ¼º¼ ¼ ÃÐ Ò ¼º¾½¾ º ¾ Ö ¼º ¼º ØÚ Ö º ¼ ¾º Ñ ÒØ ¼º ½ ¾º¾¼¾ ÃÐ Ò ¼º ½ º¼ µ ÎÐ Ú ÓÖÑ Ò ÚÝ Ð Ú Ò ØÝ Ì ÙÐ º ÎÐ Ú ÚÝ Ð Ú Ò ØÝ Ò ØÒ

58 ÈÓ Ó Ò Ó Ù ÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ó Ù ÐÓö Ø ÚÝ Ð Ú Ð ÓÖ ØÑÙ Ô ÒÓ Ò Þ Ñ Ò ÔÖÓ ÖÓ ÓÖÑ Ó ØÚ Ö Ñ Òغ

59 Ú Ö Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ñ ÔÓ ÐÓ ÖÓÞ Ð Ø Ò ØÝ Ò Þ Ú Ð ÔÓ ÔÖÓ Ð ÑÝ ÚÝ Ð Ú Ò ØÝ ÔÐ ÒÓÚ Ò ÔÓ Ý Ù ÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ó Ù Ø ÓÐ Þ º Í ö Ó Þ Ò Ñ Ù Þ Ð Ú ØÙ Ö Ð ÓÚÓÙ ÖÓÐ º ÈÖÓ ö ÓÙ Þ Ø ØÓ ÐÓ Ñ Ò ÚÖ Ð Ò ÓÐ Ñ ØÓ Ó Ò º ÌÝØÓ Ñ ØÓ Ý Ñ ÔÓ Ð Þ Ò ÐÝÞÓÚ Ð º Í Þ ÐÓ ö ÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ó Ù Þ Ó Ð Ù Ò ÓÒ Ö ØÒ ÞÔó Ó Ø ¹ ÖÑ ÔÖÓÚ Ò Ö óð ö ØÓÙ ÔÓÞ Ø ÚÒ ÖÓÐ º Ó Ø ÔÐ ÒÓÚ Ò Þ ö ÒÓ Ù Ô ØÙÔ Ö Ñ ÒØ ØÝ Ò Ý ÙÒ Ù Ð Ô Ò ö Ó Ø ÓÚ Ò Ô ØÙÔ Ø Ô Ñ óº Ç ÞÔó Ó Ý ÓÙ Ð ÚÖ ÞÒÑ ÚÝÐ Ô Ò Ñ ÓÔÖÓØ ØÖ Ú ÐÒ ÑÙ Ð ÓÖ ØÑÙº ÃÓÑ ÒÓÚ Ò ÔÖÓ Ð Ú ÔÖÓ ØÓÖ Ö Ô ÔÓÑÓÒÓÙ ÖÓÐ º  ÑÓöÒ ö Ý ÔÓÑÓ Ð Ð Ô ÒØ Ö Ó Ø ØÒ Ñ ÑÓ ÙÐÝ Ú ÓÔ Ò Ñ Ô Ô Ý Ò Ô Ù Þ ÐÓ ö Ò Ñ ØÓ Ò Ò Ô Ð Ú Ó Ò Ð Ú Ý ÝÐÓ Ø Ò Ø Ò Ð Ô Ô ØÙÔº Å ØÓ Ý Ø ÓÐ Þ ÔÓÙÞ ÐÓ ÐÒ ÔÖÓ Ð ÑÝ Ð ÓÚ ØÙ Ú ÓÖÑ ÚÖ ÞÒ Ò Ô Ô Ú º Î ÒÝ Ô ØÙÔÝ Ñ ÔÓÐ Ò ØÓ Ú ØÙ ÓÙ ÔÖÓ Ô Ò º Í ÞÙ ö ÓÖÑ Ø Ö Ñ Ú Ø Ù ÓÙ ÓÔÒÝ Ú ÚÝÙö Ø Ú Ó Ø Ö ØÝØÓ Ô ØÙÔÝ ÔÓ ÝØÙ º Å ØÓ Ý Ø Ò Ð Ô ÙÒ Ù Ú Ø Ò Ó Ø öò Ò Ú ÐÓö Ø ö Ô ÒÓ Ð º Æ Ø Ö Ò ÚÖö Ò ÔÓ ØÙÔÝ ÚÝÙö Ú Ò Ø Ö ÚÐ ØÒÓ Ø ÚÓÙÖÓÞÑ ÖÒ Ó ÔÖÓ¹ ØÓÖÙ Ò Ñ Ò ö Ò Ñ ØÓ Ý Ø Ô Ñ ó Ý Ñ ÐÓ Ø ÑÓöÒ Ô ÞÔó¹ Ó Ø ÔÖÓ ¹ Ú Øݺ Â Ú ÔÖ Ú ÔÓ Ó Ò ö Ý ØÝØÓ ÑÓ ÙÐÝ Ò Ö Þ ÐÝ Ò ÙÖ Ø ÓÑ Þ Ò ÔÖÓ ÚÓÙÖÓÞÑ ÖÒ ÓÖÑ Ò ÝÐÝ Ý ÓÔÒÝ ÔÐÒ Ô ÞÔó Ó Ø Ò ÖÓÚÒÓ Ø Ñ ØÖÓ ÖÓÞÑ ÖÒ Ó Ø Ö ÒÙº ÅÓ ÙÐ ÖÒ Ö Ø ØÙÖ ÔÓ ÝØÙ ÔÖÓ ØÓÖ ÔÖÓ Ð ÒÓÚ ØÓ Þ Ð Ú Ð ØÝ Ò ÞÒ Ñ ØÙ Ø ÑÓöÒÓ Ø Ô Ò ÒÓÚ ÙÒ ÓÔÒÓ Ø ÒÓØ º ÈÓ ÖÓ Ð Ñ ØÓ Ý ÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ó Ù Ý Ò Ô Ð ÑÓ ÐÝ Ñ Ò Ø ÔÖó ØÝ ÖÝ Ð ÒÓØ ØÓ Ø Ý ØÝØÓ Ñ ÔÓ Ý Ù Ð Ò ÚÝÐ Ô Ó¹ Ú ÐÝ ÚÓ ÞÔ ÒÓ Ø Ô ÒÓ ÓÖÑ Ò Ú Ø ÚÓÚ Ò Ñ Ó ó Ø Ö Ó Ò ÞÚ ÖÝØ º

60 ÈÓÙö Ø ÞÒ Ò Ò Ð ÌÓ(d,e) Ð Ø Ö Ú Ö Ñ ÖÝ d e [0,360 )) Ò Ð ØÛ Ò(d,e) Ð Ñ Þ Ñ ÖÝ d e [0,180 ]) B Ò Ò µ ÑÒÓö Ò Ú Þ Ú ÓÖÑ B s Bs c min c p,q c c p,q d(b) Ø Ò µ E 1 Ë F F(k) f(p,q) f A f D f P h(p,q) o(b) Ó Øµ P S ÔÓØ µ v 1,v 2,...,v n ÑÒÓö Ò Ú Þ Ò Ñ ØÓ s ÑÒÓö Ò Ú Þ Þ Ñ Ø s Ñ Ò Ñ ÐÒ ÑÓöÒ Ò Ö ÒÝ Ú Ñ Ô Ò Ö ÒÝ Þ ÚÖ ÓÐÙ p Ó ÚÖ ÓÐÙ q Ò Ö ÒÝ Þ ÚÖ ÓÐÙ p Ó ÚÖ ÓÐÙ q Ú ÓÑ ÒÓÚ Ò Ñ ÔÖÓ Ð Ú Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ Ó Ñö Ø ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ñ Þ Ñ ØÝ Ú Ú Þ b ÒÙÐÓÚ Ó ÒÓØ ÔÖÓÐÓö Ò ÜÔÓÒ Ò ÐÝ F(k) Þ Ð ÔÖÓÐÓö Ò ÜÔÓÒ Ò ÐÝ F(k) ØÝ Ö Ñ Òص ÐÓÚ Ò ØÒ Ò Ò Ö Ø ØÝ Þ ÚÖ ÓÐÙ p Ó ÚÖ ÓÐÙ q ÐÓÚ ØÒ ØÒ ÚÞ Ð ÒÓ Ø ØÒ Ö ØÑ Ø Ó ÔÖóÑ ÖÙ ÙÖ Ø Ó ÒÝ Ò Ö Ø ØÝ Þ ÚÖ ÓÐÙ p Ó ÚÖ ÓÐÙ q ÓÔØ Ñ ÐÒ ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ñ Þ Ñ ØÝ Ú Ú Þ b Ø ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÚÖ ÓÐóµ ÑÒÓö Ò Ñ Ø Ú ÓÖÑ ÚÖ ÓÐÝ Ò Ñ Ô ¼

61 Ë ÞÒ Ñ Ø ÙÐ ½º½ Ë ÞÒ Ñ ÓÖ ÒØ Ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º½ ÈÓÖÓÚÒ Ò Ñ ØÓ ÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ó Ù º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ð Ý ÔÖó Ó ó Ø ÚÝ Ð ÒÑ Ø ÓÚÑ Ó Ñ º º º º º º º º½ Æ Ñ Ò Ó ÒÓØÝ f A ÔÖÓ ÖóÞÒ ÓÑ ÒÓÚ Ò ØÒ º º º º º º º º¾ Æ Ñ Ò Ó ÒÓØÝ f D ÔÖÓ ÖóÞÒ ÓÑ ÒÓÚ Ò ØÒ º º º º º º º º½ ÎÐ Ú Ø ÓÐ Þ Ò ØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÎÐ Ú ÔÐ ÒÓÚ Ò Ò ØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÎÐ Ú ÝÒ ÖÓÒ Þ Ô Ó Ù Ò ØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º ÎÐ Ú ÚÝ Ð Ú Ò ØÝ Ò ØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½

62 Ë ÞÒ Ñ Ó Ö Þ ó ½º½ È Ð Ñ ÔÝ Ó ÖÓÞÑ Ö 7 5 ÚÝÞÒ ÒÑ ÓÙ Ò Ñ Ò ¹ Ø Ö Ó ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÎÔÓ Ø Ó ÒÓØ Ò Ð ÌÓ Ò Ð ØÛ Ò º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º½ Ë Ñ ØÖ Ú ÐÒ Ó Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ Ô ÙÒ º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾ Ø ÓÖÑ Þ Ø ÓÙ ÔÖÓ Ð ÑÝ Ø Ñ ÔÓ Ò º º º º º º º º º ½ ¾º ÈÖÓ Ð Ñ Ô Ð Þ Ó ÔÖó Ó Ùº Ð Ø ÔÖÓ ÓÖÑ Ô Ð Þ Ø ÔÓÙö Ø Ð ÖÒÓÙº º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½ À ÙÖ Ø ÙÒ ÔÖÓ c min = 1 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾½ º¾ ÃÓÒ ØÖÙ ÓÑ ÒÓÚ Ò Ó ÔÖÓ Ð Ú Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ º º º º º º º º ¾¾ º ËÑ Ö ØÝ Ú Ò ÓÐ Ó Þ ÓÒ ØÖÙÓÚ Ò Ñ ØÓ ÓÙ Ó Ò º ¾ º ÊÓ Ù ØÒÓ Ø Ò Ñ ÖÙ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÅÒÓö Ò Ó ó Ú ÚÞ Ð ÒÓ Ø Ö Ò Ó Ø ÓÚ Ó Ó Ù S º º º º ¾ º Ó Q 2 ÒÙ ÑÓöÒ Ñ Ö ÔÓ Ý Ù Ô Ú Ð Ó Ø Ó Ò º º º º º ¾ º ÈÓÞ v k+1 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÁÐÙ ØÖ ÔÖÓ Ð ÑÙ ÐÓÙ ÓÖÑ Ú Þ Ø º º º º º º º º º º ¾ º È Ð ÐÓÙ ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º½¼ ÊÓÞ Ð Ò ÐÓÙ ÓÖÑ Ò Ô Ò Þ Ò Ø º º º º º º º º º º ½ º½½ ÈÐ ÒÓÚ Ò ÒÓØ Ú Þ Ò Ø ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º ¾ º½¾ ÐØ ÖÒ Ø ÚÒ ØÝ ÔÖÓ ÖóÞÒ ØÝÔÝ ÔÖó Ó Ù ÚÖ ÓÐ Ñ º º º º º º º º½ ÊÓÞ Ð Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½ Ú ÐØ ÖÒ Ø ÚÒ ÔÖó Ó Ý Þ ÓÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ÄÓ ÐÒ ÜØÖ ÑÝ ÖóÞÒ ØÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ ÊóÞÒ ØÚ ÖÝ ØÒ Ø ÒÓÙ Ó ÒÓØÓÙ F º º º º º º º º º º º º º ¼ º½ Ë Ñ ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ë Ñ ÓÖÑ Ñ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ñ ÓÖÑ Ð Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ñ ÓÖÑ ØÚ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ë Ñ Ò Ú Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾

63 º¾ Ë Ñ Ò ÇØÓ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Ë Ñ Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ñ Ò ËÓÙØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ñ Ò ö Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ë Ñ Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

64 Ë ÞÒ Ñ Ù Þ Ù º½ Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ Ø Ô Ñ ó º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ Ò Ð Þ Ò ÔÖ Ù D ÔÖÓ ÔØ ÚÒ ÝÒ ÖÓÒ Þ Ô ¹ Ó Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Ð ÓÖ ØÑÙ ÔÖÓ Ø ÓÐ Þ Ò ÞÑ ÒÓÙ ÝÞ Ó ÙÑ ¹ Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º

65 Ä Ø Ö ØÙÖ ½ Ê Ò Ëº Á Ñ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ï ÓÑ Ò Ä ÖÒ Ò ¾¼¼¾ ¾ ÒÙÔÐÓØ ØØÔ»»ÛÛÛº ÒÙÔÐÓغ Ò Ó» Ð Ö Àº À ØÓÖÝ Ó Ø ÖØ Ó Ï Ö ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Æ Ö ÈÖ ½ ¼ Ï Ø Ò Ö Ïº Ä Ø ËÕÙ Ö ØØ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð Å Ø ÏÓÖÐ ÏÓÐ Ö Ñ ØØÔ»»Ñ Ø ÛÓÖÐ ºÛÓÐ Ö ÑºÓÑ»Ä ØËÕÙ Ö ØØ Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ðº ØÑÐ ÓÖÑ Ò Ìº Àº Ä Ö ÓÒ º º Ê Ú Ø Êº ĺ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ Ð ÓÖ Ø Ñ ÅÁÌ ÈÖ Å Ö Û¹À ÐÐ ¾¼¼ Ôº ½¼ Å Ò Ï Å Ò Ñ Ð Ø ÆÍ ÓÖ Ï Ò ÓÛ ØØÔ»»ÛÛÛºÑ Ò ÛºÓÖ» Ð Ù Û ØÞ ÖÐ ÎÓÒ ÇÒ Ï Ö ÇÜ ÓÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ ¾¼¼ ÉØ ÖÓ ¹ÔÐ Ø ÓÖÑ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÍÁ Ö Ñ ÛÓÖ ØØÔ»»ÕغÒÓ ºÓÑ Ê ÈÖÓ Ø ÓÖ ËØ Ø Ø Ð ÓÑÔÙØ Ò ØØÔ»»ÛÛÛºÖ¹ÔÖÓ ØºÓÖ» ½¼ Ä Ò ÓÒ Âº º ËÓÐ Ö ² Ó Ø À ØÓÖÝ Ó ØØÐ Ò Ð Ð ÒØ ÕÙ ØÝ Ð ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ ¾¼¼

66 È ÐÓ Ë Ñ Ø ÓÖÑ ÈÖÓ Ø ØÓÚ Ò Ð ÓÖ ØÑó Ù Ñ ÔÓÙö Ú Ø Ò ÓÐ ÖóÞÒ Ñ Ø ÓÖÑ º Ì ØÓ Ñ Ø ÒÙ Ñ Ò ÔÖÚ Ó Ò ÔÓØ Ù ö Ñ Ò Ø Ò ÔÖÓ ÓÒ Ö ØÒ ÔÓ Ø ÒÓØ º º½ à Æ ÒÓ Ù Ñ Ø Ö Ù Ñ ÔÓÙö Ú Ø Ø Ö Ñ ÔÓ Ó Ù ÔÖÓ ¹ Ø Ó Þ ØÙÔÙ ÒÓØ Ú Þ Ó Ö Þ º½º µ Î Ð Ó Ø µ Î Ð Ó Ø Ç Ö Þ º½ Ë Ñ ÓÖÑ º¾ Ñ ÒØ ÓÖÑ Ñ ÒØ ÚÖ Ø ÚÒ Ø Ñ Ø Ý Ñ Ø Ö Ø Ú Þ Ò ¹ ÓÐ ÚÖ Ø Ú Ó ó Ô Ñö Ú Þ Ý ÚÝ ÝØÙ ÔÓÙÞ Ú Ö Ñ Ò ÚÖ ØÚÝ Ò Ó Ñ Þ Ó Ý Ú ÓÙ Ò ÚÖ ØÚ º Ñ ÒØ ØÝÔÙ n Ð Þ 2n 1 ÚÖ Ø Ú Ô Ñö ÔÓ Ø ÒÓØ Ú ÚÖ ØÚ ÒÓÚ Ò Ô Ô Ñ { i ÔÖÓ i n units(i) = 2n i ÔÖÓ i > n

67 Î Ñ ö Ú ÔÖÚÒ ÚÖ ØÚ Ò ÒÓØ Ø Ö Þ ÖÓÚ Ú Ð Ø Ð Ñ ÓÖ¹ Ñ º Î Ð Ó Ø ÚÓÙ ÓÙ Ò ÚÖ Ø Ú Ð Úö Ý ÔÖ Ú Ó Ò º Ì ØÓ ÒÓÚ ÒÓÙ ÓÖÑ Ñóö Ñ Þ ÓÒ ØÖÙÓÚ Ø ÔÓÙÞ ÔÖÓ n Ø Ö ÖÙ ÓÙ ÑÓÒ ÒÓÙ Ô ÖÓÞ Ò Ó Ð Ú Ñ Ò Ó Ö Þ º¾ º¾º ÈÖÓ Ò ÔÓ ØÝ ÓÒ ØÖÙ ÔÖÓÚ Ñ Ø ö Ú ÞÑ Ò Ð ö ÚÝ ÑÓÒ ÒÙ Þ Ñ ØÙ Ó ¹ Ö Ñ ØÓÐ Ó ó Ý Ñ Ð ÓÖÑ ÔÓö ÓÚ ÒÓÙ Ú Ð Ó Øº Ó Ý Ô ØÓÑ Ó Ö Ñ Ó Þ Ùº È Ð Ø ÓÚ Ó Ñ ØÙ Ò Ó Ö Þ Ù º¾ º Ì ØÓ Ý Ö Ò Ñ Ø Ú Ò Ù Ñ Ô Ø ØÓÚ Ò Ö Ø Ú Ú Ùº µ Î Ð Ó Ø µ Î Ð Ó Ø µ Î Ð Ó Ø Ç Ö Þ º¾ Ë Ñ ÓÖÑ Ñ ÒØ º ÃÐ Ò ÖÙ ÓÙ ÚÖ Ø ÚÒ ØÓÙ ÓÖÑ Ø ÖÓÙ ÔÓÙö Ñ Ð Òº ÃÐ Ò Ñ Ð ÓÚÓÐÒ ÔÓ Ø ÚÖ Ø Ú ÔÖÚÒ ÚÖ ØÚ Ó Ù ØÓÐ Ó Ú Ð Ø Ð ÓÖÑ ö Ð Ó ¹ Ù ÔÖ Ú Ú Ó Ý Ñ ÖÒ Ú Ø Ò ö Ô ÓÞ º È Ð Ø ÓÚ ÓÖÑ Ò Ó Ö Þ Ù º º ËØ Ò Ó Ú Ô Ô ÓÖÑ Ñ ÒØ Þ Ñóö Ñ ¹ ÒÓÚ Ø Ý Ö Ò ÓÖÑ Ù Ø Ö Ò Ò ÔÓ Ð Ò ÚÖ ØÚ Þ ÔÐÒ Ò Ð Ò Þ Ò Ù Ñ Ö Ø Ú Ú Ùº

68 µ Î Ð Ó Ø µ Î Ð Ó Ø µ Î Ð Ó Ø Ç Ö Þ º Ë Ñ ÓÖÑ Ð Ò º ØÚ Ö Ë Ñ ØÚ Ö Ó Ò Ò Ò ÚÖ Ø ÚÒ Ø º ØÚ Ö ö Ò Þ Ú Ò ÔÓÚ Ñ ØÚ Ö ØÚ Ö Ú Óö ö Ñ ÖÓ Ù Ò Þ Ó º Î Ð Ø Ð ÙÑ Ø Ò ÙÔÖÓ Ø Ô Ò Ö ÒÝ ØÚ Ö º Ð ÒÓØ Ý ÙÑ ðù ÖÓÚÒÓÑ ÖÒ Ò Ú ÒÝ ØÖ Òݺ

69 µ Î Ð Ó Ø µ Î Ð Ó Ø µ Î Ð Ó Ø Ç Ö Þ º Ë Ñ ÓÖÑ ØÚ Ö

70 È ÐÓ Ë Ò ÈÖÓ Ø ØÓÚ Ò Ð ÓÖ ØÑó Ñ Ñ ÔÓÞ Ò ÓÐ ÑÓ ÐÓÚ Ò óº Ë ¹ Ò ÓÙ Þ ÐÓö ÒÝ Ò ÙÖ Ø ØÝÔ ØÙ º Í ö Ó Ò ÙÚ Ò Ó Ö Þ Ñ ÔÝ Ø Ö Ó Ù Ö ÒÝ ÖóÞÒ ØÙÔ ó º ÀÖ ÒÝ Ò Ñ Ò ÒÓÙ ÓÙ ÚÝÞÒ ÒÝ ÖÒÓÙ ÖÚÓÙ Ö ÒÝ Ñ ¹ Ü Ñ ÐÒ ÒÓÙ ÐÓÙº Æ Ñ Ô ÓÙ Ð ÚÝÞÒ ÒÝ ÔÓÞ ÔÓ Ø Ò Ó ÐÓÚ Ó Ó Ùº Â Ó ÔÓ Ð Ò ÙÚ Ò Ò Þ Ú ÓÙ ÓÖÙ Ú Ø Ö Ñ Ò ÙÐÓö Òº ËÓÙ ÓÖÝ Ò ó ÓÙ Ò Ô ÐÓö Ò Ñ Î Ú ÐÓö Ò Ö Ó º ÌÝÔ ÓÖÑ Ú Ð Ó Ø Ò ÔÓÙö Ø ÑÓ ÙÐÝ Ò ÓÙ Ú ØÓÑØÓ Ô Ô ÙÚ ÒÝ Ø ØÙ ØÓØ ö ÖóÞÒ ÓÑ Ò ÙÚ Ò ÔÖÚ ó Ò Þ Ú Ð Ò Ò º ¼

71 º½ Ú Ø ÈÖÚÒ ÒÓ Ù Ò Ø ØÙ ÓÖÑ ÔÓ Ý Ù ÔÓ Ù Ò Ò Ò ÓÙ Ð ÒÝ ö Ò Ð ÔÓö Ú Ýº Å Þ Ú ÓÞ Ñ ÐÓÚÑ Ó Ñ Ü ØÙ Ô Ñ Ø Þ ÓÐ Ú Þ Ø Ò ÖÓÚÒÓ Ø º Ì Ö Ò Ò Ñ Ô Ø Ý Ú Ù Ø Ò Ò ÖÓ Òº Î Ð Ó Ø ËØ ÖØ (47,39) ÈÓ Ø Ò Þ ÑÙØ 0 Ð (47,11) ËÓÙ ÓÖ Ò ½¹Ë ÑÔÐ º Ç Ö Þ º½ Ë Ñ Ò Ú Ø ½

72 º¾ ÇØÓ Ë Ò ÇØÓ Ø ØÙ ÓÔÒÓ Ø ÔÐÒ Ò Ó ÚÝ Ð Ó ØÝÔÙ ÖÓÞ ÞÙ ¹ ÓØÓ Ò ÓÖ¹ Ñ Ò Ñ Ø Ó ½ ¼ º  ÒÓØ Ý Ý Ø ÒØÓ ÓÐ Ñ ÐÝ ÔÐÒ Ø ÒÓ Ù Ñ ÞÔó Ó Ñ ØÓ ÔÖó Ó Ñ Ò ÐÓÚ Ñ ØÓ Ò Ö Ø ØÓÙº Î Ú Ø Ò Ô Ô ó ÔÖó Ó ÔÖÓ¹ Þ Ø Ñ ÓÖÑ º Î Ó ÓÐ ØÓ ÓØÓ Ó Ù ÚÞÒ Ú Ð ÑÒÓö ØÚ ÓÐ Þ Ø Ö Ø Øº ÈÖÓ ÒÓ Ù Ó Ø Ø Ö Ò Ò Ñ Ô Ú Ù Ø Ò Ò ÖÓ Òº Î Ð Ó Ø ËØ ÖØ (47,21) ÈÓ Ø Ò Þ ÑÙØ Ð (47,27) ËÓÙ ÓÖ Ò ¾¹ÌÙÖÒ ÖÓÙÒ º 0 Ç Ö Þ º¾ Ë Ñ Ò ÇØÓ ¾

73 º Ø Ë Ò Ø ÑÓÒ ØÖÙ ÓÔÒÓ Ø ÓÖÑ Ô ÙÒÓÚ Ø ÔÓ Ø Ø Ö Þ Ø º Î Ô ØÓÐ ¾º Ø ØÓ ØÙ ÖÓÞ Ö Ò Ó Ð ÒÓ Ò ÓÐ ÔÓØ Ò ¹ ÐÒ ÔÖÓ Ð Ñó Ø ÖÑ Ø Ð Øº Ì ÒØÓ Ò Ø ØÙ Ô ÒÓ Ø ÞÚÓÐ Ò Ó Ò º Î Ð Ó Ø ËØ ÖØ (29,37) ÈÓ Ø Ò Þ ÑÙØ 0 Ð (96,8) ËÓÙ ÓÖ Ò ¹ ÙÖÚ º Ç Ö Þ º Ë Ñ Ò Ø

74 º ËÓÙØ Ë Ò ËÓÙØ Ô Ø ÚÙ ØÙ Ø Ö ÝÐ ÔÓÔ Ò Ò Ó Ö Þ Ù ¾º Ø Ý ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ð Þ ØÝ Ò ØÓ Ý ÓÖÑ ÝÐ ÓÔÒ ÔÖÓ Øº Ý Ò ÝÐÓ ¹ Ò ÓÖ ÐÓÚ Ò Ò Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñó Ò Ô Ð ÔÖó Ó ÓÖÑ Þ Ø ÓÙµ ÓÙ ÔÖó Ó ÓÙØ ÓÙ ÐØ ÖÒ Ø ÚÒ Ø Ó Ò Ô Ñ Ø Ý Ò ÒÓ Ù º Î Ð Ó Ø ËØ ÖØ (50,42) ÈÓ Ø Ò Þ ÑÙØ 0 Ð (48,2) ËÓÙ ÓÖ Ò ¹ ÒÝÓÒº Ç Ö Þ º Ë Ñ Ò ËÓÙØ

75 º ö Ò Ë Ò ö Ò Ø ØÙ Ò Ô ÙÞÒ Ó ÔÖÓ Ð ÑÙ ØÓ ÚÓÐ Ù ÔÓÐ Ò ØÝ Ú Ô Ô Ú Ð Ô ö ݺ ÌÖ Ú ÐÒ Ð ÓÖ ØÑÙ Ú ØÓÑØÓ Ò Ò ÖÙ ØÝ Ô Ø Ö ÖóÞÒ ÒÓØ Ý Ó Þ Ô ö Ù Þ ÖóÞÒ ØÖ Òº Î Ð Ó Ø ËØ ÖØ (19,39) ÈÓ Ø Ò Þ ÑÙØ 45 Ð (95,3) ËÓÙ ÓÖ Ò ¹ËÛ ÑÔº Ç Ö Þ º Ë Ñ Ò ö Ò

76 º Ø Ë Ò Ø Ô Ø ÚÙ ÐÓö Ø ØÝÔ Ò Ú Ø Ö Ñ Ò ÓÐ ÖóÞÒ ÔÖÚ óº Åóö Ò Ò Ñ Ø Ý Ù Þ Ø ÒÓØÐ Ú ÔÓ Ý Ø ÑÝ ÔÓÐÙÔÖ Ù Þ ÓÔÒ ÓÖÑ Ù Öö Ø ØÚ Ö ÔÓØ Ó Ò ÓÐ Ö Ø ÞÑ Ò Ñ Öº Î Ð Ó Ø ËØ ÖØ (44,42) ÈÓ Ø Ò Þ ÑÙØ 40 Ð (87,5) ËÓÙ ÓÖ Ò ¹ ÓÑÔÐ º Ç Ö Þ º Ë Ñ Ò Ø