Ù Ú ÑÙ Ú ÓÙ ÑÙ ÊÆ Öº ËÚ ØÓÔÐÙ Ù ÃÖ ÐÓÚ È º º Þ Ø ÚÒ Ó Ø ÚÓÙ ÚÝØÖÚ ÐÓÙ ÔÓÑÓ Ñ ÚÝÔÖ ÓÚ Ú Ò ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ º Ì Ù Ð Ñ Ú Ñ Ð ÒóÑ Å Ø Ñ Ø Ó Ø ÚÙ ÍÃ Þ Ö Ý ÔÓ Ñ ØÒ

Transkript

1 ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Å Ø Ñ Ø Ó¹ ÝÞ ÐÒ ÙÐØ ÁÈÄÇÅÇÎý ÈÊý Å Ö Ó Ø ÐÓÚ ÌÛ ØÓÖÓÚ ÓÔ Ö ØÓÖ Ú ÝÑÔÐ Ø Ô ÒÓÖÓÚ ÓÑ ØÖ Å Ø Ñ Ø Ø Ú ÍÃ Î ÓÙ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ ËØÙ Ò ÔÖÓ Ö Ñ ËØÙ Ò Ó ÓÖ ÊÆ Öº ËÚ ØÓÔÐÙ ÃÖ Ð È º º Å Ø Ñ Ø Å Ø Ñ Ø ØÖÙ ØÙÖÝ ÈÖ ¾¼½½

2 Ù Ú ÑÙ Ú ÓÙ ÑÙ ÊÆ Öº ËÚ ØÓÔÐÙ Ù ÃÖ ÐÓÚ È º º Þ Ø ÚÒ Ó Ø ÚÓÙ ÚÝØÖÚ ÐÓÙ ÔÓÑÓ Ñ ÚÝÔÖ ÓÚ Ú Ò ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ º Ì Ù Ð Ñ Ú Ñ Ð ÒóÑ Å Ø Ñ Ø Ó Ø ÚÙ ÍÃ Þ Ö Ý ÔÓ Ñ ØÒ Ô ÔÓÑ Ò Ýº Ð ØÓÙØÓ ØÓÙ ÔÓ ÓÚ Ø ÚÑ ÖÓ óñ Þ ÔÓ ÔÓÖÙ Ñ ØÙ ÚÑ Ô Ø ÐóÑ Þ Þ Ñ ÔÓÚÞ Ù Ú ÐÓÚ Ñ Ô Ò Ø ØÓ ÔÖ º

3 ÈÖÓ Ð Ù ö Ñ ØÙØÓ ÔÐÓÑÓÚÓÙ ÔÖ ÚÝÔÖ ÓÚ Ð ÑÓ Ø ØÒ Ú Ö Ò ÔÓÙö Ø Ñ ØÓÚ Ò ÔÖ Ñ Òó Ð Ø Ö ØÙÖÝ Ð Ó ÓÖÒ Þ ÖÓ óº ÖÙ Ò Ú ÓÑ ö Ò ÑÓ ÔÖ ÚÞØ Ù ÔÖ Ú ÔÓÚ ÒÒÓ Ø ÚÝÔÐÚ Þ Þ ÓÒ º ½¾½»¾¼¼¼ Ë º ÙØÓÖ Ó Þ ÓÒ Ú ÔÐ ØÒ Ñ ÞÒ Ò Þ Ñ Ò ÙØ ÒÓ Ø ö ÍÒ Ú ÖÞ Ø Ã ÖÐÓÚ Ú ÈÖ Þ Ñ ÔÖ ÚÓ Ò ÙÞ Ú Ò Ð Ò Ò ÑÐÓÙÚÝ Ó Ùö Ø Ø ØÓ ÔÖ Ó ÓÐÒ Ó Ð ÔÓ Ð ï ¼ Ó Øº ½ ÙØÓÖ Ó Þ ÓÒ º Î ºººººººº Ò ºººººººººººº ÈÓ Ô ÙØÓÖ

4 Æ Þ Ú ÔÖ ÌÛ ØÓÖÓÚ ÓÔ Ö ØÓÖ Ú ÝÑÔÐ Ø Ô ÒÓÖÓÚ ÓÑ ØÖ ÙØÓÖ Å Ö Ó Ø ÐÓÚ Ã Ø Ö Å Ø Ñ Ø Ø Ú ÍÒ Ú ÖÞ ØÝ Ã ÖÐÓÚÝ Î ÓÙ ÔÐÓÑÓÚ ÔÖ ÊÆ Öº ËÚ ØÓÔÐÙ ÃÖ Ð È º º Å Ø Ñ Ø Ø Ú Íà ÈÖ ØÖ Ø Ì Ñ Ø Ñ ÔÖ ÝÑÔÐ Ø Ô ÒÓÖÓÚ ÓÑ ØÖ ö ÚÞ ÙÑ Þ ¹ ÔÓ Ð º Ë Ð º ÃÓ Ø ÒØ Ãº À ÖÑ ÒÒÓÚ Ú ØÓÑØÓ ÚÞ ÙÑÙ ÔÓ Ö ÓÚ Ð º Î ÔÖ Þ Ú Ñ Ô Ú Ñ Ò Ñ Þ Ø ÞÚ Ò ÝÑÔÐ Ø ØÛ ØÓÖÓÚ ÓÔ Ö ØÓÖó Ø Ö Þ Ú Ð Ëº ÃÖ Ðº ÓÙÑ Ñ Ó Ôó Ó Ò Ò Ö ÐÒ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ Ô Ò Ñ Ó ÝÑÔÐ Ø Ú Ö Ø º Í ØÓ ÓØÓ ÓÔ Ö ØÓÖÙ Þ Ú Ñ Ó ÒÚ ¹ Ö Ò Ö ÙÐ Ö ØÓÙ ÔÓÔ Ù Ñ Ø Ó Ö Ò R 2 Ø Ö ØÚÓ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ñ Ø ÔÐ Ø ÖÙÔÝ Ø Ö ÚÓÙÐ ØÑ Ò ÖÝØ Ñ ÝÑÔÐ Ø ÖÙÔݺ ÃÐ ÓÚ ÐÓÚ ÝÑÔÐ Ø Ô ÒÓÖÓÚ ÓÑ ØÖ ÝÑÔÐ Ø ØÛ ØÓÖÓÚ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖÝ Ø ÓÖ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ë Ð¹Ë Ð ¹Ï ÐÓÚ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ì ØÐ ÌÛ ØÓÖ ÓÔ Ö ØÓÖ Ò ÝÑÔÐ Ø Ô Ò ÓÑ ØÖÝ ÙØ ÓÖ Å Ö Ó Ø ÐÓÚ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ Ø Ð ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÖÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ Ù ËÙÔ ÖÚ ÓÖ ÊÆ Öº ËÚ ØÓÔÐÙ ÃÖ Ð È º º Å Ø Ñ Ø Ð ÁÒ Ø ØÙØ Ó ÖÐ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ Ù ØÖ Ø Ì ØÓÔ Ó Ø ÔÐÓÑ Ø ÝÑÔÐ Ø Ô ÒÓÖ ÓÑ ØÖݺ ÁØ Ö Ö Û Ø ÖØ Ý º Ë Ð º ÃÓ Ø ÒØ Ò Ãº À ÖÑ ÒÒº Ï ÓÙ ÓÙÖ ØØ ÒØ ÓÒ ØÓ ÓÒ Ó Ø Ó ÐÐ ÝÑÔÐ Ø ØÛ ØÓÖ ÓÔ Ö ØÓÖ ÒØÖÓ Ù Ý Ëº ÃÖ Ðº Ï ÒÚ Ø Ø Ø Ø ÓÒ Ó Ø ÓÔ Ö ØÓÖ ÓÒ Ö Ð Ú Ò Ñ Ò ÓÒ Ð Ú ØÓÖ Ô ÓÒ Ö ÝÑÔÐ Ø Ñ Ò ÓÐ Ø ÒÚ Ö Ò ÔÖÓÔ ÖØ Ò Ö ÙÐ Ö Øݺ Ï Ö Ô ÖØ Ó Ø ÖÒ Ð Ó Ø ÝÑÔÐ Ø ØÛ ØÓÖ ÓÔ Ö ØÓÖ Û Ò Ø Ò ÓÒ ÝÑÔÐ Ø Ô ÒÓÖ ÓÒ R 2 º Ì ÖÒ Ð ÓÖÑ Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ó Ø Ó ÐÐ Ñ Ø ÔÐ Ø ÖÓÙÔ ÓÙ Ð ÓÚ Ö Ó Ø ÝÑÔÐ Ø ÖÓÙÔµº à ÝÛÓÖ ÝÑÔÐ Ø Ô ÒÓÖ ÓÑ ØÖÝ ÝÑÐ Ø ØÛ ØÓÖ ÓÔ Ö ØÓÖ Ö ÔÖ Ò¹ Ø Ø ÓÒ Ø ÓÖÝ Ë Ð¹Ë Ð ¹Ï Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ

5 Ç ÚÓ ½ ËÝÑÔÐ Ø Ð Ò ÖÒ Ð Ö ½º½ ËÝÑÔÐ Ø Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ËÝÑÔÐ Ø ÖÙÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÈÖÓ ØÓÖ Ó Þ ½¾ ¾º½ Ö ØÓÚÝ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ ¾º¾ ÈÖÓ ØÓÖ ÖÝ Ð Ð Ò ÐÝØ ÙÒ º º º º º º º º º º º º ½ ¾º¾º½ À ÖÑ Ø ÓÚÝ ÔÓÐÝÒÓÑÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ë Ð¹Ë Ð ¹Ï ÐÓÚ Ö ÔÖ Þ ÒØ ¾½ º½ À Ò Ö ÓÚ ÖÙÔ Ë Ö Ò ÖÓÚ Ö ÔÖ Þ ÒØ º º º º º º ¾½ º¾ ËØÓÒ ¹ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒÓÚ Ú Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º Å Ø ÔÐ Ø ÖÙÔ Ö ÔÖ Þ ÒØ º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÖÓÚ Ò Ò ÐÝ ÓÒ Ü ÝÑÔÐ Ø Ô ÒÓÖÓÚ Ò Ð ¾ º½ ËÝÑÔÐ Ø Ú Ö ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º¾ ÖÓÚ Ò Ò ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º ÀÐ ÚÒ ÓÒ Ü Ó ÓÚ Ò ÓÒ Ü ÓÚ Ö ÒØÒ Ö Ú º º º º º º ËÝÑÔÐ Ø Ô ÒÓÖÓÚ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÝÑÔÐ Ø Ô ÒÓÖÓÚ ÓÖÑÝ º½ ÇÔ Ö ØÓÖÝ X Y º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ º¾ ËÝÑÔÐ Ø ØÛ ØÓÖÓÚ ÓÔ Ö ØÓÖÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾º½ ÁÒÚ Ö Ò Ò Ø Ö ÓÔ Ö ØÓÖó º º º º º º º º º º º º º º º º¾º¾ ÁÒÚ Ö Ò ØÛ ØÓÖÓÚ Ó ÓÔ Ö ØÓÖÙ T 0 Ò R 2n º º º º º º º º º ËÝÑÔÐ Ø ØÛ ØÓÖÓÚ ÓÔ Ö ØÓÖ T 0 Ò R 2 º º º º º º º º º º º º º ¼ Æ Ø Ö Ò ØÛ ØÓÖÓÚ ÝÑÔÐ Ø ÖÓÚÒ º½ ÃÓÒ Ø ÒØÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾ Ä Ò ÖÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÃÚ Ö Ø Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º à Ò Ù k º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º ÀÓÐÓÑÓÖ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ Ë ÞÒ Ñ ÔÓÙö Ø Ð Ø Ö ØÙÖÝ ½

6 ÚÓ Î ÝÞ Ü ØÙ Ú Þ Ð Ò Ô ØÙÔÝ Ñ Ò º Ä Ö Ò óú Ô ØÙÔ Ð Ý Ú Ê Ñ ÒÒÓÚ ÓÑ ØÖ Þ Ø ÑÓ ÝÑÔÐ Ø ÓÙ ÓÑ ØÖ ÔÓÙö Ú Ñ Ú À ¹ Ñ ÐØÓÒÓÚ Ô ØÙÔÙº ËÝÑÔÐ Ø Ô ÒÓÖÓÚ ÓÑ ØÖ Ñóö Ø Ø Ý Ô Ò ¹ Ó Ø Ò ÐÓ Ê Ñ ÒÒÓÚÝ Ô ÒÓÖÓÚ ÓÑ ØÖ º Î Ó ÓÙ Ö Ò ÐÒ ÓÑ ¹ ØÖ Ô Ò ÚÞ ÙÑ Ö Ò ÐÒ ÓÔ Ö ØÓÖó ÔÓ Ò ØÒ Ú Ð Ýº ÓÙÑ Ñ ¹Ð Ò Ô Ð ÓÔ Ö ØÓÖ Ú Ó Ò ÔÓ Ò ÓÑ ØÖ ÓÙ ØÖÙ ØÙÖÓÙ ÐÞ Þ Ó Ò ÐÝØ ¹ ÚÐ ØÒÓ Ø Ò Ý Þ Ø ÒÒ Ò ÓÖÑ Ó ÚÐ ØÒÓ Ø ÔÓ Ð ÓÚ Ú Ö Øݺ ÈÖ Ú Ø ÓÚ ØÓ Þ Ñ Ú Ú Ð Ý Ó Ú Ñ Ô ØÙ Ù Ö Ò ÐÒ ÓÔ Ö ØÓÖó Ú ÝÑÔÐ Ø Ñ Ô Ô º ÈÖÓ ØÙØÓ ÔÖ Ñ ÞÚÓÐ Ð Ò ÐÞÙ ÝÑÔÐ Ø Ó ØÛ ØÓÖÓÚ Ó ÓÔ Ö ØÓÖÙ Ø Ö Þ Ú Ð Ëº ÃÖ Ð Äº à РÓÚ º ÓÙÑ Ð Ñ Ó ÚÐ ØÒÓ Ø Þ Ñ Ð Ñ Ò Ó ÖÓº Â Ó ÑÓØ Ú ÔÖÓ Ö Ñ Þ Ú Ø ÙÚ Ñ Ô Ð Ó Ò Ö¹Ä ÔÐ ÓÚ ÓÔ Ö ØÓÖÙ Ò ÓÑÔ ØÒ Ê Ñ ÒÒÓÚ Ú Ö Ø º Ì Ò¹ ØÓ ÓÔ Ö ØÓÖ Ôó Ó Ò ÔÖÓ ØÓÖÙ ÚÒ Ö Ò ÐÒ ÓÖ Ñ Ø ØÓ Ú Ö ØÝ Ò ÙÒ Ò ÔÐÓ Ù Ð ÓÚ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ ÔÐÚ Ä ÔÐ ÓÚÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñº  ÞÒ ÑÓ ö ÔÓ Ù Ô ÐÙ Ò Ú Ö Ø ÓÑÔ ØÒ ÖÓ ØÓ ÓØÓ Ó Ò Ö¹Ä ÔÐ ÓÚ ÓÔ Ö ØÓÖÙ Ò Ò ÓÒ Ò ÖÓÞÑ ÖÒ Ð Ó ÓÒ ØÓ ö ¹ Ñ ÒÞ Ö ØÓ ÓØÓ ÓÔ Ö ØÓÖÙ Þ ö Ò Ó Ò k¹ ÓÖÑÝ ÖÓÚÒ k¹ø ÑÙ ØØ Ó ÐÙ Ú Ö ØÝ Ò Ó Ò ÒÓ Ñ ÒÞ Ò Ô º ÑÔÐ ÐÒ ÓÑÓÐÓ ØÙ ÓÚ Ò Ú Ö ¹ Øݺ ÈÖÓ ÖÓ ÝÑÔÐ Ø Ó ØÛ ØÓÖÓÚ Ó ÓÔ Ö ØÓÖÙ Ò Ó Ó Ò Ó ÚÓÞ Ò ÓÔ Ö ØÓÖó ÐÞ Ó Ú Ø ÔÓ Ó Ò Ú Ð Ýº Æ ÞÒ Ñ ØÖÙ Ò ÚÐ ØÒ ØÛ ØÓÚÑ ÓÔ Ö ØÓÖóÑ Ó Ø Ò Ñ º Î Ú Ò¹ ØÓÚ Ñ Ò ÚÝÚ Ø Ð ÔÓØ Ò Ð ÞØ ÔÓ Ý ÓÚÓÙ ÖÓÚÒ Ø Ö Ù Ò Ò ÔÓ¹ Ô ÓÚ Ø Ú ÒØÓÚ Ñ Ò Ø Ú Ø Ð Ù ÔÐ ÓÚ Ø ÓÖÑ Ð ÑÙ Ò¹ Ø ÒÓÚÝ Ô ÐÒ Ö Ð Ø Ú Øݺ Ì ØÓ Ó Ú Ð ÓØ Þ Ò Ð ÞØ Ö Ò ÐÒ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖ ÔÖÚÒ Ó Ù Ôó Ó Ò ÙÒ ÒÓÚ Ò Ò R 4 Ø Ö Ñ Ó ÒÓØÝ Ú ØÝ ÖÓÞÑ ÖÒ Ñ ÓÑÔÐ ÜÒ Ñ Ú ØÓÖÓÚ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ ¹ ÔÖÓ ØÓÖÙ Ô ÒÓÖó Óö ÖÙ ÑÓÒ Ò Ù Ä ÔÐ óú ÓÔ Ö ØÓÖº Ç ÔÓÚ ÝÐÓ Þ Ú Ò Ö ÓÚ ÓÔ Ö ØÓÖ٠Ⱥ º ź Ö Ñº Ý Ø ØÓ ÑÓØ Ú Þ Ñ ÚÓÙ ÓØ Þ ÓÙ ÔÖÓ ÝÑÔÐ Ø ÓÙ ÓÑ ØÖ Ø ¹ ÐÓ Ð Ò Ö Ò ÐÒ Ó ÓÔ Ö ØÓÖÙ ÔÖÚÒ Ó Ù Ø Ö Ôó Ó Ò ÙÒ ÒÓÚ Ò Ò ÝÑÔÐ Ø Ñ Ú ØÓÖÓÚ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ Óö ÖÙ ÑÓÒ Ò Ä ÔÐ óú ÓÔ Ö ØÓÖ Ô ÖÓÞ Ò ÒÓÚ Ò ÔÓÑÓ ÝÑÔÐ Ø ØÖÙ ØÙÖº ÌÙ¹ ØÓ ÓØ Þ Ù ÚÝ Ð Ãº À ÖÑ ÒÒÓÚ Ø Ö Þ Ú Ð Ø ÞÚ Ò ÝÑÔÐ Ø Ö óú ÓÔ Ö ØÓÖº ÈÓÞÒ Ñ Ò Ñ ö Ú Ê Ñ ÒÒÓÚ ÓÑ ØÖ ÒÙØÒ Ö Ø Ú ÓÑÔÓÒ ÒØÓÚ ÙÒ ¹ Ô ÒÓÖÓÚ ÔÓÐ º ÎÞÒ Ø Ý Ð ÓØ Þ Ó ÓÙ Ô ÒÓÖÝ ÔÖÓ ÝÑÔÐ Ø ÓÙ ÖÙÔÙº Í ÞÙ ö Þ Ô ÒÓÖÓÚÓÙ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ú Ô Ô ÝÑÔÐ Ø ÖÙÔÝ Ú Ó Ò ÚÞ Ø ØÞÚº Ë Ð¹Ë Ð ¹Ï ÐÓÚÙ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÓÙÚ ¹ Ð Ó ÚÓÙÐ Ø Ó Ò ÖÝØ ÝÑÔÐ Ø ÖÙÔÝ ØÞÚº Ñ Ø ÔÐ Ø ÖÙÔݺ ÌÛ ØÓÖÓÚ ÓÔ Ö ØÓÖ Ú Ê Ñ ÒÒÓÚ ÓÑ ØÖ Ò Ð Þ Ñ ÔÓÑÓ ÖÓÞ Ð Ù ÚÒ ¹ Ö Ò ÐÒ ÓÖ Ñ Ó ÒÓØ Ñ Ú Ô ÒÓÖ º Ì ÒØÓ ÖÓÞ Ð Þ Ñ Ú Ý ØÓÑÙ ö Ú Ò Ñ Ô ÖÓÞ Ò Ó ÚÙ Ö óú ÓÔ Ö ØÓÖ Ó ÐÓö Ò ÚÒ ÓÚ Ö ÒØÒ Ö Ú ÔÖÓ Ò Ú Ó Ò Ö Ù ÐÒ ÔÓ Ò Ðº ÈÓ Ó Ò ÐÞ Ú ÝÑÔÐ Ø Ñ Ô Ô ÙÚ öóú Ø ÔÖÓ ØÓÖ ÚÒ Ö Ò ¹ ÐÒ ÓÖ Ñ Ó ÒÓØ Ñ Ú Ô ÒÓÖ Ò ö Ø ÖÓÞÐÓö غ Ì ÒØÓ ÖÓÞ Ð ¾

7 ÞÒ Ñ Ý ÔÖ Ëº ÃÖ Ð ½ º Î ÓÑÔÐ ÜÙ ÔÓ ÑÓ ÙÐó ØÓ ÓØÓ ÖÓÞ Ð Ù ÓÙ Ø Ý Ô ÖÓÞ Ò ÒÓÚ ÒÝ ÝÑÔÐ Ø ØÛ ØÓÖÓÚ ÓÔ Ö ØÓÖݺ Æ Ø Þ ÝÑÔÐ Ø Ñ ØÛ ØÓÖÓÚÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ ÞÒ Ñ Ñ Ø Ò Ú ÔÖÚÒ Ô ØÓÐ ÝÑÔÐ Ø Ñ Ú ØÓÖÓÚÑ ÔÖÓ ØÓÖ Ñ ÝÑÔÐ Ø ÓÙ ÖÙÔÓÙº ÖÙ¹ Ô ØÓÐ Ô Ø Ú Ò ÐÝØ ÓÙ ØÖ Ò Ù Ú º ËÝÑÔÐ Ø ØÛ ØÓÖÓÚ ÓÔ Ö ØÓÖ Ôó Ó Ò ÚÒ ÓÖÑ Ø Ö Ñ Ó ÒÓØÝ Ú ÝÑÔÐ Ø Ô ÒÓÖ º ÈÖ ¹ Ú ÙÒ Þ ÔÖÓ ØÓÖÙ Þ Ú Ò Ó Ú ÖÙ Ô ØÓÐ Ù ÓÙ Ö Ø ÖÓÐ ÝÑÔÐ Ø Ô ÒÓÖóº Ì Ø Ô ØÓÐ Ô Ø Ú Ñ Ø ÔÐ Ø ÓÙ ÖÙÔÙ Ë Ð¹Ë Ð ¹Ï ÐÓÚÙ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ò ÔÖÓ ØÓÖÙ ÝÑÔÐ Ø Ô ÒÓÖóº Î ØÚÖØ Ô ØÓÐ ÞÓÔ Ù Ñ Þ Ð Ò ÓÑ ØÖ ØÖÙ ØÙÖÝ ÔÓØ Ò ÓÒ ØÖÙ ÝÑÔÐ Ø Ó Ô ÒÓÖÓ¹ Ú Ó Ò ÐÙº ÃÓÒ Ò Ú Ô Ø Ô ØÓÐ Ù ÓÙ ÒÓÚ ÒÝ ÝÑÔÐ Ø ØÛ ØÓÖÓÚ ÓÔ Ö ØÓÖݺ ÈÖÓ ØÛ ØÓÖÓÚ ÓÔ Ö ØÓÖ T 0 Ò Ñ Ó ÚÝ Ò º Í ö Ñ ö ÒÚ Ö ÒØÒ Úó Ôó Ó Ò Ñ Ø ÔÐ Ø ÖÙÔÝ Ø Ý ÓÔÖ Ú Ù Ú Ó ÒÑ ÓÔ Ö ØÓÖ Ñ Ò Ø ØÓ ØÖÙ ØÙ º Ð Ù ö Ñ ö T 0 Ö ÙÐ ÖÒ Ò Ñ ÖÓÚÒ ÔÓÔ Ù Ó ÖÓº Î ÔÓ Ð Ò Ô ØÓÐ ÔÓÔ Ñ Ø Ö ÝÑÔÐ Ø Ó ØÛ ØÓÖÓÚ Ó ÓÔ Ö ØÓÖÙ Ø Ö ØÚÓ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ñ Ø ÔÐ Ø ÖÙÔÝ ØÓ Ø Ù Ñ Ð Ø Ò Ø Ô Ö ÐÒ Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ Ø Ö ÔÓÔ Ù ÖÓ T 0 º ÈÖ Ú Ú Ð Ý Ó ö Ò Ú Ô Ø Ø Ô ØÓÐ ÓÙ Ð ÚÒ Ñ Ô ÒÓ Ñ Ø ØÓ ÔÖ ÓÙ Þ Ò ÔÖÓ Ø Ú Ø ÒÝ ÒÓÚ º

8 ½º ËÝÑÔÐ Ø Ð Ò ÖÒ Ð Ö ÈÖÚÒ Ô ØÓÐ ÞÒ ÑÙ ÔÓ ÑÝ ÝÑÔÐ Ø Ð Ò ÖÒ Ð ÖÝ ÝÑÔÐ ¹ Ø ÓÙ ÖÙÔÓÙ Ñ ÚÐ ØÒÓ ØÑ º Î ÔÖ Ù Ñ ÙÚ öóú Ø ÔÓÙÞ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖÝ Ò Ø Ð Ñ Ö ÐÒ Ò Ó ÓÑÔÐ ÜÒ Ðº ½º½ ËÝÑÔÐ Ø Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ Î Ô ØÓÐ ÞÒ Ñ Ñ ÔÓ ÑÝ ÝÑÔÐ Ø Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ ÞÓØÖÓÔÒ Ýѹ ÔÐ Ø Ð Ö Ò ÓÚ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ ÝÑÔÐ Ø Ó ÔÖÓ ØÓØÙº Æ ÓÒ Þ Ú ¹ Ñ ÞÒ Ò ÔÖÓ ÔÓ Ø Ò Ú ÓÙ Ò Ø Ö Ù Ñ ÚÝÙö Ú Ø Ú ÖóÞÒ Ø Ø ØÓ ÔÖ º Ò ½º½º½º ËÝÑÔÐ Ø Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ ÚÓ V, Ω V Ú ¹ ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ ÓÒ Ò Ñ ÒÞ Ò Ø Ð Ñ Ö ÐÒ Ð R Ω : V V R Ð Ò ÖÒ ÓÖÑ Ø Ö ÒØ ÝÑ ØÖ Ò Ò ÖÓÚ Ò º ÒØ ÝÑ ØÖ ÓÖÑÝ Ω ÚÝ Ò ÖÓÚÒÓ Ø Ωv, w = Ωw, v ÔÖÓ Ú Ò v, w V º Æ Ò ÖÓÚ ÒÓ Ø Ω ÐÞ ÚÝ Ø Ú Ñ ÞÔó Ó Ýº  ¹Ð Ωv, u = 0 ÔÖÓ Ú Ò v V Ô u = 0 ÔÖÚÒ ÞÔó Ó Ò º Æ Ó ÒÙ ÞÓ Ö Þ Ò Ω v : V V Ô Ô Ñ Ω v w = Ωv, wº ÈÓ Ù Ω Ò Ò ÖÓÚ Ò Ω v ÞÓÑÓÖ ÑÙ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖóº Î Ø ½º½º½º Æ ð Ω ÒØ ÝÑ ØÖ Ð Ò ÖÒ ÓÖÑ Ò ÒÙØÒ Ò Ò ÖÓÚ ¹ Ò µ Ò Ú ØÓÖÓÚ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ V Ø Ö Ñ ÓÒ ÒÓÙ Ñ ÒÞ Ô Ü ØÙ Þ u,...,u k, e...,e n, f,...,f n Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ V Ø Ö ÔÐ Ù Ωu i, v = 0 ÔÖÓ Ú Ò i =,...,k ÔÖÓ Ú Ò v V, Ωe i, e j = 0 ÔÖÓ Ú Ò i, j =,..., n, Ωf i, f j = 0 ÔÖÓ Ú Ò i, j =,..., n, Ωe i, f j = δ ij ÔÖÓ Ú Ò i, j =,..., n. ÈÓÞÒ Ñ º ÈÓÞÒ Ñ Ò Ñ ö Ú Ñ Ø ÓÚ Ñ Þ Ô Ù Î Ø ½º½º½ ö Ü ØÙ Þ Ú Ø Ö Ñ ÓÖÑ Ω ØÚ Ö Ωv, u = v I u. 0 I 0 ËÝÑ ÓÐ I ÓÞÒ Ù ÒÓØ ÓÚÓÙ Ñ Ø Ù n 0 ÞÒ ÒÙÐÓÚÓÙ Ñ Ø Ô ¹ ÐÙ Ò Ú Ð Ó Ø º ó Þº ÈÓÙö Ñ ÙÔÖ Ú Ò Ö Ñ¹Ë Ñ ØóÚ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Þ Ò ÔÖÓ º ÈÓÐÓöÑ U := {u V ; Ωu, v = 0 ÔÖÓ Ú Ò v V }º ÎÝ ÖÑ Þ u,...,u k ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖÙ U V ÓÞÒ Ñ W ÓÔÐ ÓÚ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ U Ú V V = U W º ÎÝ ÖÑ Ò ÒÙÐÓÚ ÔÖÚ e W º Ý Ò Ò ÖÓÚ ÒÓ Ø Ω Ò W Ü ØÙ ÔÖÚ f W Ø ÓÚ ö Ωe, f = α 0º ÈÓÐÓöÑ f := fº ÈÖÓØÓö Ω α Ð Ò ÖÒ ÞÓ Ö Þ Ò Ó Ø Ú Ñ Ωe, f = º ÇÞÒ Ñ W Ð Ò ÖÒ Ó Ð Ú ØÓÖó e, f ÔÓÐÓöÑ W Ω = {w W; Ωw, v = 0 ÔÖÓ Ú Ò v W }º

9 Í ö Ñ ö W ÐÞ ÖÓÞÐÓö Ø Ò W W Ω º ÔÖÚ ÓÚ Ñ ö W W Ω = {0}º ÈÖÚ Þ ÔÖóÒ Ù Ñ ØÚ Ö u = ae + bf W W Ω º ÈÐ Ø 0 = Ωu, e = b, 0 = Ωu, f = a. ÃÓ ÒØÝ a, b ÓÙ Ø Ý ÒÙÐÓÚ Ø º u = 0º Ð Ù ö Ñ ö W = W + W Ω º Î ÞÑ Ñ Ð ÓÚÓÐÒ ÔÖÚ v W º ÇÞÒ Ñ c := Ωv, e d := Ωv, f º ÈÖÚ v Ñóö Ñ Þ Ô Ø Ú ØÚ ÖÙ v = cf + de + v + cf de, cf + de W v + cf de W Ω Ò Óð Ωv + cf de, e = 0 Ωv + cf de, f = 0º ÈÓ Ö Ù Ñ Ú Ð Ò Þ ÔÓ Ù W Ω 0º ÎÝ ÖÑ Ò ÒÙÐÓÚ ÔÖÚ e 2 W Ω º ÈÓØÓÑ Ý Ò Ò ÖÓÚ ÒÓ Ø Ω Ò W Ω Ü ØÙ f W Ω ö Ωe 2, f = β 0º ÈÓÐÓö Ñ ¹Ð f 2 := β f Ó Ø Ú Ñ Ωe 2, f 2 = º ÇÞÒ Ñ W 2 Ð Ò ÖÒ Ó Ð Ú ØÓÖó e 2, f 2 º Ì ØÓ ÔÓ Ö Ù Ñ Ð Ò Ù º Æ Óð V Ñ ÓÒ ÒÓÙ Ñ ÒÞ ÔÖÓ Ú Ò Ñ ÖÓ Ù Þ Ø Ú Ø Ó Ø Ú Ñ ÖÓÞ Ð V = U W W 2... W n. ÈÓÞÒ Ñ º ½º ÈÓ Ù Ω Ò Ò ÖÓÚ Ò U = {0} ÔÖÓØÓö Ò ÔÖÓ u = 0 ÔÐ Ø Ωu, v = 0 ÔÖÓ Ú Ò v V º ¾º ËÝÑÔÐ Ø Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ V, Ω Ñ Ù ÓÙ Ñ ÒÞ ÔÖÓØÓö dim U = 0 dim W = 2n W Ú Þ Ú ó ÞÙ Î ØÝ ½º½º½º º Î Ø ÜØÙ Ù Ñ Ð Ñ ØÓ ÓÞÒ Ò Þ {e...,e n, f,...,f n } ÔÓÙö Ú Ø ÓÞÒ Ò {e...,e n, e n+,...,e 2n }º Ò ½º½º¾º Þ {e..., e n, e n+,..., e 2n } ÝÑÔÐ Ø Ó Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ¹ ØÓÖÙ V, Ω Ò ÞÚ ÝÑÔÐ Ø Þ V, Ω ÔÓ Ù ÔÐ Ø Ωe i, e j = 0 = Ωe n+i, e n+j Ωe i, e n+j = δ ij i, j =,...,nº Îó ÝÑÔÐ Ø Þ Ñ ÝÑÔÐ Ø ÓÖÑ Ω Ñ Ø ÓÚ ÚÝ Ò Ωv, u = v 0 I u. I 0 ÈÓÞÒ Ñ Ò Ñ ö ÝÑÔÐ Ø Þ Ò ÖÓÞ Ð Ó ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Þ Ù ÔÓ ¹ ÒÓÙ ÑÒÓö ÒÓÙº Ð ÔÓÞÒ Ñ Ò Ñ ö Ð Î ØÝ ½º½º½ ÝÑÔÐ Ø Þ Ü ØÙ º È Ð ½º Î ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ R 2n Þ {}}{ e =, 0,..., 0,..., e n = 0,..., 0,, 0,..., 0, e n+ = 0,..., 0, }{{}, 0,..., 0,..., e 2n = 0,..., 0, n+ ÔÓÐÙ ÓÖÑÓÙ Ω 0 Ø Ö Ñ Úó Ø ØÓ Þ Ñ Ø 0 I I 0 ØÚÓ ÝÑÔÐ Ø Ú ¹ ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖº ÌÙØÓ ÓÖÑÙ Ω 0 Ò ÞÚ Ñ ÒÓÒ ÓÙ ÝÑÔÐ Ø ÓÙ ÓÖÑÓÙ Ò R 2n ÝÑÔÐ Ø Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ R 2n, Ω 0 Ò ÞÚ Ñ ÒÓÒ Ñ ÝÑÔÐ ¹ Ø Ñ Ú ØÓÖÓÚÑ ÔÖÓ ØÓÖ Ñº n

10 È Ð ¾º ÈÖÓ Ð ÓÚÓÐÒ ÓÒ Ò ÖÓÞÑ ÖÒ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ E ÐÞ Ò V = E E ÒÓÚ Ø ÝÑÔÐ Ø ÓÙ ØÖÙ ØÙÖÙ Ô Ô Ñ Ωu, α, v, β = βu αv, u, v E α, β E º Ù ÒÝÒ e,..., e n Þ E ɛ,...,ɛ n Ù ÐÒ ¹ Þ ÔÖÓ ØÓÖÙ E Þ Ñ e, 0,..., e n, 0, 0, ɛ,..., 0, ɛ n ÝÑÔÐ Ø Þ ÔÖÓ ØÓÖÙ V, Ωº Ò ½º½º º ÈÓ ÔÖÓ ØÓÖ W ÝÑÔÐ Ø Ó Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ V, Ω Ò ÞÚ ÝÑÔÐ Ø ÔÓ Ù Ω W Ò Ò ÖÓÚ Ò º ÈÓ ÔÖÓ ØÓÖ Y ÝÑÔÐ Ø Ó Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ V, Ω Ò ÞÚ ÞÓØÖÓÔÒ ÔÓ Ù Ω Y 0º È Ð º È Ð Ñ ÝÑÔÐ Ø Ó ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖÙ Ñóö Ø ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ Ò ¹ ÖÓÚ Ò Ú ØÓÖÝ e, e n+ Þ È Ð Ù ½º È Ð Ñ ÞÓØÖÓÔÒ Ó ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖÙ ÔÓ ¹ ÔÖÓ ØÓÖ Ò ÖÓÚ Ò Ú ØÓÖÝ e, e 2 º ÌÚÖÞ Ò ½º½º¾º Ù Y ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ ÝÑÔÐ Ø Ó Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ V, Ω ÓÒ Ò Ñ ÒÞ Y Ω = {v V ; Ωv, u = 0 ÔÖÓ Ú Ò u Y } Ó ÝÑÔÐ ¹ Ø ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ ÓÔÐÒ º ÈÓØÓÑ ÔÐ Ø dim Y + dim Y Ω = dim V. ½º½µ ó Þº ÒÙ Ñ Ð Ò ÖÒ ÞÓ Ö Þ Ò ϕ : V Y := ÀÓÑY, R v Ω v Y. ÈÖÓ Ð Ò ÖÒ ÞÓ Ö Þ Ò Ñ Þ ÓÒ Ò Ñ ÒÞ ÓÒ ÐÒ Ñ Ú ØÓÖÓÚÑ ÔÖÓ ØÓÖÝ f : V n V m ÔÐ Ø dim ÁÑf + dim à Öf = dim V n º  ÖÓ ÞÓ Ö Þ Ò ϕ à Öϕ = {v V ; Ω v u = 0 ÔÖÓ Ú Ò u Y } = Y Ω º Í öñ ö ÁÑϕ = Y º ÈÖÓØÓö ö Ω v Y : Y R Ð Ò ÖÒ Ω v Y Ø Ý ÁÑϕ Y º Í öñ ö ÁÑϕ Y º ÚÓÐÑ Ð ÓÚÓÐÒ α Y º ÈÖÓ ØÓÖ Y ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ Ð Ò ÖÒ Ó Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ ÓÒ Ò Ñ ÒÞ ÔÖÓØÓ Ü ØÙ Þ {y i } dim i= Y ÔÖÓ ØÓÖÙ Y º ÇÞÒ Ñ a i := αy i º ÈÖÓØÓö Ω Ò Ò ÖÓÚ Ò Ð Ò ÖÒ ÓÖÑ Ò V Ü ØÙ ÔÖÓ ö i =,...,dim Y ÔÖÚ w i V ö Ωw i, y i 0 Ωw i, y j = 0 ÔÖÓ j iº ÎÝÒ Ó Ñ w i Ú Ó ÒÓÙ ÓÒ Ø ÒØÓÙ Ý ÓÑ Ó Ø Ð ΩK i w i, y i = a i º ÈÓÐÓöÑ v := dim Y j= K i w i º ËÒ ÒÓ Ô Ú ¹ Ñ ö Ω v Y = αº Ì Ý ÁÑϕ = Y º ÈÖÓ Ð Ò ÖÒ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖÝ ÓÒ Ò Ñ ÒÞ ÔÐ Ø dim Y = dim Y º ÌÚÖÞ Ò ½º½º º ÈÖÓ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ Y ÝÑÔÐ Ø Ó Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ V, Ω ÓÒ Ò Ñ ÒÞ Ú Ú Ð ÒØÒ ½º Y ÝÑÔÐ Ø ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ ¾º Y Y Ω = {0} º Y Y Ω = V º

11 ó Þº ½º ¾º Æ ð v Y Y Ω º Ì Ý v Y Ω Ø º Ωv, w = 0 ÔÖÓ Ú Ò w Y Ð Ò Y Ω Ó Ù Þ Ò Ò ÖÓÚ ÒÓ Ø Ω Y ÝÑÔÐ Ø µ ÔÐÝÒ ö v = 0 Ø Ý Y Y Ω = {0}º ¾º º ÊÓÚÒÓ Ø Y Y Ω = V ÔÐÝÒ Þ ØÓ Ó ö dim Y + dim Y Ω = dim V Y Y Ω = {0} Y V Y Ω V º º ½º ÈÓ Ù ÔÖÓ ØÓÖ V = Y Y Ω Ô Ω Y Ò Ò ÖÓÚ Ò ÔÖÓØÓö Ò ÔÖÚ u Y ÔÖÓ Ø Ö ÔÐ Ø Ωy, u = 0 ÔÖÓ Ú Ò y Y 0º ÌÚÖÞ Ò ½º½º º ÈÖÓ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ Y ÝÑÔÐ Ø Ó Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ V, Ω ÔÐ Ø Ò Ð Ù ÚÖÓ Ý ½º Y ÞÓØÖÓÔÒ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ ÔÖ Ú Ø Ý Ýö Y Y Ω º ¾º Y ÞÓØÖÓÔÒ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ ÔÓØÓÑ dim Y 2 dim V º ó Þº ½º  ØÐ ö ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ Y ÞÓØÖÓÔÒ Ω Y 0º Y Ω = {v V ; Ωv, u = 0 ÔÖÓ Ú Ò u Y }º ÈÓ Ð Ò Y Ω Y Y Ω Ú Ú Ð ÒØÒ ØÓÑÙ ö ÔÖÓ Ú Ò y Y ÔÐ Ø Ωy, u = 0 ÔÖÓ Ú Ò u Y Óö Ω Y 0º ¾º ÈÐ Ø Y Y Ω Ø Ý dim Y dim Y Ω ÔÖÓØÓö ÔÐ Ø dim Y + dim Y Ω = dim V Ó Ø Ú Ñ dim Y 2 dim V º È Ð º ÈÓ ÔÖÓ ØÓÖ ÝÑÔÐ Ø Ó Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ Ò ÑÙ Ø Ò Ýѹ ÔÐ Ø Ò ÞÓØÖÓÔÒ º È Ð Ñ Ñóö Ø ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ Y ÝÑÔÐ Ø Ó Ú ¹ ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ R 6, Ω 0 Ò ÖÓÚ Ò Ú ØÓÖÝ e, e 3+, e 2 º Â Ó ÝÑÔÐ Ø ÓÖ¹ ØÓ ÓÒ ÐÒ ÓÔÐÒ Y Ω Ò ÖÓÚ Ò e 2, e 3, e 3+3 º Ü ØÙ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖÝ ÔÖÓ Ø Ö ÔÐ Ø Y Ω Y Ø Ö Ò Ý ÓÞÒ Ù Ó Ó ÞÓØÖÓÔÒ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖݺ  ÓÙ Ñ Ò Ô Ð Ú ÒÝ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖÝ Ó Ñ ÒÞ ½º Ò ½º½º º Ä Ö Ò ÓÚ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ Y ÝÑÔÐ Ø Ó Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ¹ ØÓÖÙ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ ÔÐ Ù Y = Y Ω º Â Ø Ý ÞÓØÖÓÔÒ Ó ÞÓØÖÓÔÒ º ÌÚÖÞ Ò ½º½º º Ä Ö Ò ÓÚ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ ÔÖ Ú Ø ÓÚ ÞÓØÖÓÔÒ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ ÔÖÓ Ò ö ÔÐ Ø dim Y = 2 dim V º ó Þº Æ ð Y Ð Ö Ò ÓÚ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ Ø º Y = Y Ω º ÈÓ Ð Î ØÝ ½º½º ÞÓØÖÓÔÒ º ÈÖÓØÓö dim Y + dim Y Ω = dim V Ñ Ñ dim Y = dim V º 2 Æ ð Y ÞÓØÖÓÔÒ ÔÐ Ø dim Y = dim V º ÈÖÓ ÞÓØÖÓÔÒ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖÝ ÔÐ Ø 2 Y Y Ω º ÈÖÓ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ ÝÑÔÐ Ø Ó Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ ÔÓ Ð ÌÚÖÞ Ò ½º½º¾ ÔÐ Ø dim Y + dim Y Ω = dim V ÔÖÓØÓ ÔÐ Ø Y = Y Ω º È Ð º Ò Ö ØÓÖÝ Ð Ö Ò ÓÚ Ó ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖÙ ÝÑÔÐ Ø Ó Ú ØÓÖÓÚ ¹ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ R 6, Ω 0 ÑÓ ÓÙ Ø Ò Ô Ð Ú ØÓÖÝ e, e 2, e 3 Ò Ó e 3+, e 2, e 3+3 º ÈÖÓ ÔÐÒÓ Ø Ó öñ Ò Ð Ù ØÚÖÞ Ò Ýð Ò Ù Ñ Ú Ð Ñ Ô ÑÓ ÔÓØ ÓÚ Øº ÌÚÖÞ Ò ½º½º º à ö Þ e,...,e n Ð Ö Ò ÓÚ Ó ÝÑÔÐ Ø Ó ÔÓ ÔÖÓ¹ ØÓÖÙ Y ÝÑÔÐ Ø Ó Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ V, Ω ÐÞ ÖÓÞ Ø Ú Þ e,...,e n e n+,..., e 2n Ð Ó V º

12 ó Þº Ù Ñ ÔÓ ØÙÔÓÚ Ø Ò Ù ÔÓ Ð nº ÈÖÓ n = dim V = 2º ÓÖÑ Ω Ò Ò ÖÓÚ Ò Ò V º ÈÖÓ ÔÖÚ e 0 Þ Þ Ð Ö Ò ÓÚ Ó ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖÙ Y ÔÐ Ø Ωe, v = 0 ÔÖÓ Ú Ò v Y ÔÖÓØÓö e 0 Ü ØÙ ÔÖÚ f V Y ÔÖÓ Ø Ö Ωe, f = a 0º ÒÙ Ñ e + = fº Ä Ò ÖÒ Ó Ð e a, e + ÝÑÔÐ Ø ÔÖÓ ØÓÖ V Ó Þ e, e 2 º ÈÖÓ n > dim V = 2nº ÓÖÑ Ω Ò Ò ÖÓÚ Ò Ò V º ÈÖÓØÓö ÔÖÚ e n Þ Þ Ð Ö Ò ÓÚ Ó ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖÙ Y Ò ÒÙÐÓÚ Ü ØÙ ÔÖÚ f V Y ÔÖÓ Ø Ö Ωe n, f = a 0º ÒÙ Ñ e n+n = fº Ä Ò ÖÒ Ó Ð e a n, e n+n ÓÞÒ ¹ Ñ W n º ÓÖÑ Ω Ò W n Ò Ò ÖÓÚ Ò Óö ÞÒ Ñ Ò ö W n ÝÑÔÐ Ø ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ V dim W n = 2 ÔÐ Ø ÔÖÓ Ò W n Wn Ω = V º ÈÖÓ ØÓÖ W n Ω Ýѹ ÔÐ Ø Wn Ω e,...,e n º Ä Ò ÖÒ Ó Ð e,...,e n Ð Ö Ò ÓÚ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ ÝÑÔÐ Ø Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ Wn Ω º ÈÖÓØÓ Ñóö Ñ ÔÓÙö Ø Ò Ù Ò Ô ÔÓ¹ Ð dim Wn Ω = 2n e,...,e n Þ Ó Ð Ö Ò ÓÚ Ó ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖÙº Ì ØÓ Þ Ò ÑÒÓö Ò e,...,e n, e n+,...,e 2n ÝÑÔÐ Ø Þ V º ÈÓÞÒ Ñ º Î ÔÖ Ù Ñ ØÓ ÔÓÙö Ú Ø ÒÓÒ ÝÑÔÐ Ø Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ R 2n, Ω 0 º ÚÓÐÑ ÝÑÔÐ Ø ÓÙ Þ {e i } 2n i= ÔÖÓ ØÓÖÙ R 2n Ð Ö Ò ÓÚ¹ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖÝ L L Ø ÓÚ ö L L = R 2n {e i } n i= Þ L {e i } 2n i=n+ Þ L º Ñ ÒÞ L L nº ÇÞÒ Ñ ω ij := Ω 0 e i, e j º ÈÖÓ ÝÑÔÐ Ø ÓÙ Þ ÔÐ Ø ω ij = ÔÓ Ù j = n + i ω ij = ÔÓ Ù j = i n Ò ω ij = 0º ÇÞÒ Ñ {ɛ i } 2n i= Þ R 2n Ù ÐÒ {e i } 2n i=º ÈÖÓ i, j =,..., 2n ÒÙ Ñ ω ij ÔÓÑÓ 2n k= ω ikω jk = δ j i º ÈÓÚ ÑÒ Ñ ö ö Ñ Ô ÖÙ Ò Üº ÌÙØÓ ÓÒÚ Ò ÚÝÙö Ú Ñ Ý Ø Ò Ó ÔÖÓ ω ij ÔÖÓ ω ij ÔÐ Ø ÐÓ ω ij = ÔÓ Ù j = n + i ω ij = ÔÓ Ù j = i n Ò ω ij = 0º Î ÝÑÔÐ Ø Ñ Ô Ô ÔÓ Ó Ò Ó Ú Ê Ñ ÒÒÓÚ ÓÑ ØÖ Ù Ñ Ò ¹ Ý ÔÓØ ÓÚ Ø Þ Ú Ø Ò öóú Ø Ò Üݺ ËÝÑÔÐ Ø ÓÖÑ Ω 0 ÒØ ÝÑ ØÖ ¹ ÔÖÓØÓ ÔÓØ Ø Ò ÔÓ º Å Ñ Ø ÒÞÓÖ Ò Ú ØÓÖÓÚÑ ÔÖÓ ØÓÖ Ñ R 2n Þ Ô Ò Ú ÓÙ Ò K d...e...f i a...b...c º ÇÞÒ Ñ K d...e...f a... := ω ib d...e...f K...c a...b...c d... Ð K...f a...b...c := K d...e...f i a...b...c ω ei º ÌÝØÓ ÓÒÚ Ò Ù Ñ Ó Ò Ùö Ú Ø Ú Ô ØÓÐ º ½º¾ ËÝÑÔÐ Ø ÖÙÔ ËÝÑÔÐ Ø ÖÙÔ Sp2n, R Ä ÓÚ ÖÙÔ º  ÑÓöÒ Ø Ø Ø Ò Ñ ØÝÔ Ñ ÝÑÔÐ Ø ÖÙÔÝ Ø Ö Ó ÚÝ Ð ÞÒ Spn Ð Þ ÒÚ ÖØ ¹ ÐÒ Ð Ò ÖÒ ÞÓ Ö Þ Ò ÔÖÓ ØÓÖÙ Ú Ø ÖÒ ÓÒó H n º ÌÓÙØÓ ÖÙÔÓÙ Ø ÖÓÙ ÐÞ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø ÔÓÑÓ ÓÑÔÐ ÜÒ Ñ Ø Ù 2n Ð Þ Ú Ø Ò Ù Ñ º Æ ÔÓÞÓÖÒÓ Ø Þ Ñ Ñ Ò ÖÙÔÙ Sp2n, R Ú Ø ØÓ Ô ØÓÐ ÖÒ Ñ ÚÐ ØÒÓ Ø Ø Ö Ù Ñ ÔÓØ ÓÚ Ø Ú Ð Ñº Æ ÓÒ Ô ØÓÐÝ ÞÑ Ò Ñ Ó ÝÑÔÐ Ø Ä ÓÚ Ð Ø Ö Ò Ó ÑÝ Ð Ø ÐÒ ÝÑÔÐ Ø ÓÙ ÖÙÔÓÙ ÔÓ Ò º Ò ½º¾º½º ËÝÑÔÐ Ø ÖÙÔ Sp2n, R ÖÙÔ Ú ÙØÓÑÓÖ Ñó R 2n Þ ÓÚ Ú ÒÓÒ ÓÙ ÝÑÔÐ Ø ÓÙ ÓÖÑÙ Ω 0 ÔÖÓ x, y R 2n º Ω 0 : x, y n x i y n+i i= n x n+i y i, i=

13 ÌÓ Ø Sp2n, R ÖÙÔ Ø ÓÚ A GL2n, R Ø Ö ÔÐ Ù ÔÖÓ Ú ÒÝ v, w R 2n º Ω 0 Av, Aw = Ω 0 v, w ÈÓÞÒ Ñ º ÇÞÒ Ñ ÒÝÒ Ñ Ø ÒÓÒ ÝÑÔÐ Ø ÓÖÑÝ Úó Ò ÝÑÐ Ø Þ ÝÑ ÓÐ Ñ J 0 Ô ÔÓÑ Ñ ö ØÚ Ö 0 I J 0 =, I 0 I ÓÞÒ Ù ÒÓØ ÓÚÓÙ Ñ Ø Ù nº Ñ ÔÐ Ø Ω 0 v, w = v, J 0 w, ÓÞÒ Ù ÒÓÒ Ù Ð ÓÚ Ð ÖÒ ÓÙ Ò Ò R 2n º ÈÖÚ Ý Sp2n, R ÓÙ ÔÖ Ú Ñ Ø X Ø Ö ÔÐ Ù X T J 0 X = J 0 Ò Ó Ú ¹ Ú Ð ÒØÒ XJ 0 X T = J 0 º Ñ J 0 Sp2n, R ÔÐ Ø ÔÖÓ Ò J 0 = J0 = J0 T º Å Ø J 0 Ø Ý ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ º ÈÖÓ ØÚ ÖÓÚ Ñ Ø A, B, C D Ù n Þ Ô Ñ Ñ Ø X Sp2n, R Ú ØÚ ÖÙ X = A B C D º ÎÝ Ò Ñ ÖÓÚÒÓ Ø X T J 0 X = J 0 XJ 0 X T = J 0 Ó Ø Ú Ñ ÔÖÓ Ñ Ø A, B, C D Ò Ð Ù ÖÓÚÒÓ Ø A T C = C T A B T D = D T B A T D C T B = I, AB T = BA T CD T = DC T AD T BC T = I. Æ Ð Ù ØÚÖÞ Ò ÔÓÔ Ù ÔÓÐ ÖÒ ÖÓÞ Ð ÔÖÓ ÝÑÔÐ Ø ÓÙ ÖÙÔÙº ½º¾µ ½º µ ÌÚÖÞ Ò ½º¾º½º à ö ÓÙ Ñ Ø X Sp2n, R ÐÞ Ò Ô Ø ÒÓÞÒ Ò Ú ØÚ ÖÙ X = UP P Sp2n, R ÝÑ ØÖ ÔÓÞ Ø ÚÒ Ò ØÒ Ñ Ø U Sp2n, R O2n, R O2n, R := {A GL2n, R; AA T = A T A = I} ÖÙÔ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ö ÐÒ Ñ Ø º ó Þº à ö Ñ Ø X GL2n, R Ñ ÒÓÞÒ Ò ÔÓÐ ÖÒ ÖÓÞ Ð X = UP U ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ñ Ø P ÝÑ ØÖ ÔÓÞ Ø ÚÒ Ò ØÒ º ËØ Ø Ý Ù Þ Ø ö U, P Sp2n, Rº ÈÖÓ ö ÓÙ ÝÑÔÐ Ø ÓÙ Ñ Ø ÔÐ Ø X T = J 0 XJ0 Ø Ý U T P T = X T = J 0 XJ 0 = J 0 UJ 0 J 0 PJ 0. ÈÖÓØÓö J 0 ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ J 0 UJ0 O2n, Rº Æ Ú J 0 PJ0 ÔÓÞ Ø ÚÒ Ò ØÒ º Ý ÒÓÞÒ ÒÓ Ø ÔÓÐ ÖÒ Ó ÖÓÞ Ð Ù ÔÐ Ø U T = J 0 UJ0 P T = J 0 PJ0 Óö Ú ÞÒ Ñ Ò ö U, P Sp2n, Rº ÌÚÖÞ Ò ½º¾º¾º Å Ü Ñ ÐÒ ÓÑÔ ØÒ ÔÓ ÖÙÔ ÖÙÔÝ Sp2n, R Sp2n, R O2n, Rº ó Þº Æ ð K ÔÓ ÖÙÔ Sp2n, R Ó Ù Sp2n, R O2n, Rº ÚÓÐÑ A K. Å Ø A ÐÞ ÔÓ Ð ÌÚÖÞ Ò ½º¾º½ ÒÓÞÒ Ò µ Þ Ô Ø Ú ØÚ ÖÙ A = UP U Sp2n, R O2n, R P Sp2n, R ÝÑ ØÖ ÔÓÞ Ø ÚÒ Ò ØÒ Ñ Ø º Å Ø P = U A K ÔÖÓØÓö K ÔÓ ÖÙÔ Ó Ù Sp2n, R O2n, Rº ÈÖÓ ÔÓÞ Ø ÚÒ Ò ØÒ Ñ Ø P ÔÐ Ø P T J 0 P = J 0 ÔÖÓØÓ Ù P = I Ò Ó Ü ØÙ ÚÐ ØÒ ÐÓ P Ú Ø Ò ö ½ ÔÖÓØÓö ÞÒ ÑÓ ÓÙ Ò ÚÐ ØÒ

14 Ð ÖÓÚ Ò Ø ÖÑ Ò ÒØÙº Î ÖÙ Ñ Ô Ô P K Sp2n, R O2n, R P j K ÔÖÓ Ú ÒÝ j N 0 Ò Óð K ÔÓ ÖÙÔ º È Ý Ð K Ò ÑÓ Ð Ø ÓÑÔ ØÒ ÔÖÓØÓö Ý Ò ÝÐ ÓÑ Þ Ò Ò Óð Ù Ð ÓÚ ÒÓÖÑ Ø ÓÚ ØÓ ÔÓÞ Ø ÚÒ Ò ØÒ Ñ Ø P ÔÐ Ù P j º Ì Ý Sp2n, R O2n, R Ñ Ü Ñ ÐÒ ÓÑÔ ØÒ ÔÓ ÖÙÔ Sp2n, Rº ÈÓÞÒ Ñ º Ù Ð ÓÚ ÓÙ ÒÓÖÑÓÙ Ñ Ø A Ù m Ñ Ò Ñ ÐÓ m A := max{ a ij ; i =,..., m}. Á ÒØ Ù Ñ ¹Ð R 2n C n ÔÓÑÓ x, y x + iy ÔÓØÓÑ ÔÐ Ø j= Sp2n, R O2n, R = Un, ÙÒ Ø ÖÒ ÖÙÔ Un Un := {A M n C; A T A = I} M n C ÞÒ ØÚ Ö¹ ÓÚ ÓÑÔÐ ÜÒ Ñ Ø Ù nº ÌÚÖÞ Ò ½º¾º¾ Ø Ý ö Ñ Ü Ñ ÐÒ ÓÑÔ ØÒ ÔÓ ÖÙÔ Sp2n, R ÙÒ Ø ÖÒ ÖÙÔ Unº ÌÚÖÞ Ò ½º¾º º ÖÙÔ Sp2n, R Ó ÐÓÙ ÓÚ ÓÙÚ Ð ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒ ÖÙÔ Zº ó Þº ÈÖÓ ó Þ ÓÙÚ ÐÓ Ø ØÙ Ó ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒ ÖÙÔ Ú Þ º ÓÐÐ Ò ÈÖÓÔÓ ØÓÒ º º Â Ò ØÖÙ Ò Ò Ñ ö ÖÙ Ø ØÚÖÞ Ò ÓÔ Ö Ó Ø ö Ä ÓÚ ÖÙÔ Ñ Ü Ñ ÐÒ ÓÑÔ ØÒ ÔÓ ÖÙÔ Ñ Ø ÒÓÙ ÙÒ Ñ ÒØ Ð¹ Ò ÖÙÔÙº à ó ÞÙ Ó ÐÓÙ ÓÚ ÓÙÚ ÐÓ Ø Sp2n, R ÚÝÙö ÔÓÐ ÖÒ ÖÓÞ Ð ÝÑÔÐ Ø Ñ Ø ½º¾º½º Î Ð Ñ Ò Ñ Ò Ö ØÓÖÝ ÝÑÔÐ Ø ÖÙÔݺ ÒÙ Ñ ÑÒÓö ÒÝ { } D 0 D := 0 D T ; D GLn, R, { I N N := 0 I { I 0 N := N I ; N GLn, R, N = N T }, ; N GLn, R, N = N T }, Ø Ö ÓÙ ÔÓ ÖÙÔ Ñ Sp2n, R ÐÞ Ù Þ Ø Ô ÑÑ ÚÔÓ Ø Ñº ÌÚÖÞ Ò ½º¾º º ÈÐ Ø ó Þº Æ ð E 0 N DN = 0 E T D I 0 I 0 E 0 I F G I 0 E T 0 I { } A B Sp2n, R; deta 0. C D F I N I 0 G = I N. È E EF GE GEF + E T. ÈÓÐÓöÑ A = E det E 0 F = A B G = CA D = GEF + E T º ÈÓ Ð ½º¾µ ½º µ ÓÙ F = A B = B T A T = F T G = CA ÝÑ ØÖ D = A T C T B + A T = CA B + A T Óö ÖÓÚÒ GEF + E T º ½¼

15 ÌÚÖÞ Ò ½º¾º º ÖÙÔ Sp2n, R Ò ÖÓÚ Ò D N {J 0 } Ò Ó Ø D N {J 0 }º ó Þº ÈÖÓ ó Þ Ú Þ º ÓÐÐ Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º½¼ º ÍÚ Ñ Ò ö ó Þ ÓÔ Ö Ó ÌÚÖÞ Ò ½º¾º ÌÚÖÞ Ò ½º¾º º Ò ½º¾º¾º ËÝÑÔÐ Ø Ä ÓÚ Ð Ö sp2n, R = {A M 2n R; A T J 0 + J 0 A = 0}. ÈÓÞÒ Ñ º ÄÞ Ù Þ Ø ö ÝÑÔÐ Ø Ä ÓÚ Ð Ö ÙØ Ò Ä ÓÚ Ð ¹ Ö ÝÑÔÐ Ø Ä ÓÚÝ ÖÙÔÝ Sp2n, Rº ÈÓÞÒ Ñ º ÈÖÚ Ý ÝÑÔÐ Ø Ä ÓÚÝ Ð ÖÝ ÓÙ ÔÖ Ú Ò ÓÑÓÖ ÑÝ A ÔÖÓ¹ ØÓÖÙ R 2n ÔÐ Ù ÔÖÓ Ú ÒÝ v, w R 2n Ω 0 Av, w + Ω 0 v, Aw = 0. ½½

16 ¾º ÈÖÓ ØÓÖ Ó Þ Ì ØÓ Ô ØÓÐ ÔÓ Ò Ú Ó Ò ÐÝØ ØÖ Ò ÝÑÔÐ Ø Ô ÒÓÖÓÚ ÓÑ ØÖ º ¾º½ Ö ØÓÚÝ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖÝ Æ ö Ù Ñ ÒÓÚ Ø ÔÖÓ ØÓÖ ÞÒ ÑÑ ØÓÔÓÐÓ ÓÙ ØÖÙ ØÙÖÓÙ Ö ¹ ØÓÚ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖó ö Ô Ð Ñ Ù ÔÖÓ ØÓÖ ÒÓÚ Ò Ú ÖÙ ÔÓ Ô ØÓÐ º ÈÓ Ù ÓÚÓ Ñ Ó ØÓÔÓÐÓ Ñ Ú ØÓÖÓÚ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ Ñ Ò Ñ Ø Ñ Ú Ø ØÓ ÔÖ ¹ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ ÚÝ Ú Ò ØÓÔÓÐÓ Úó Ò ö ÓÙ ÓÔ Ö Ø Ò Ú ØÓÖó Ò Ó Ò Ú ØÓÖÙ Ð Ö Ñ ÔÓ Ø Ò Ú ÔÓö Ù Ñ Ý ÔÖÓ ØÓÖ ÝÐ À Ù ÓÖ¹ óúº ÈÓÑÓ Ý Ø ÑÙ Ñ ÒÓÖ Ñ Ò Ú ØÓÖÓÚ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ ÐÞ ÒÓÚ Ø ØÓÔÓÐÓ Ò ØÓÑØÓ Ú ØÓÖÓÚ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙº Ò ¾º½º½º Ù X Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ P := {p i ; i I} Ý Ø Ñ Ñ ÒÓÖ Ñ Ò Ú ØÓÖÓÚ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ Xº ÇØ Ú Ò ÓÙÐ Úó Ý Ø ÑÙ Ñ ÒÓÖ Ñ P Ó ÔÓÐÓÑ ÖÙ ε = {ε i } i I Ø Ñ Ú Ó x 0 X ÑÒÓö Ò Ó ó x X Ø Ö ÔÐ Ù ε i > p i x x 0, ε i > 0 ÔÖÓ ÓÒ Ò ÑÒÓ Ó Ò Üó i Iº ÌÓÔÓÐÓ ÙÖ ÒÓÙ Ý Ø Ñ Ñ Ñ ÒÓÖ Ñ P Ñ Ò Ñ Ø ÓÚÓÙ ö Ò ÖÓÚ Ò Ý Ø Ñ Ñ Ú ÓØ Ú Ò ÓÙÐ Úó Ý Ø ÑÙ Ñ ÒÓÖ Ñ Pº ÌÙØÓ ØÓÔÓÐÓ Ù Ñ ÞÒ Ø τ P º ÌÚÖÞ Ò ¾º½º½º ÈÖ Ú ÒÓÚ Ò Ý Ø Ñ ÓØ Ú Ò ÓÙÐ Úó Ý Ø ÑÙ Ñ ÒÓ¹ Ö Ñ ØÚÓ Þ ØÓÔÓÐÓ Ò Xº ó Þº ÈÓ ÑÒÓö ÒÝ X Ø Ö ÓÙ ÒÓ Ò Ñ ÓÒ ÒÑ ÔÖóÒ Ý Ú ¹ ÒÓÚ Ò ÓÙÐ Ø Ý Ú Ú Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ X ÔÐ Ù Ü ÓÑÝ ØÓÔÓÐÓ º ËÝ Ø Ñ Ú ÓÙÐ ØÚÓ Þ Ø ØÓ ØÓÔÓÐÓ ÔÖÓØÓö ÒÓ Ò Ø ØÓ ÓÙÐ Ø ÔÓ ÖÚ Xº Ø ÔÐ Ø ö ÔÖÓ ö x B B 2 B, B 2 ÓÙ Ú ÓØ Ú Ò ÓÙÐ Ü ØÙ B ÓØ Ú Ò ÓÙÐ ö x B B B 2 ÔÐÝÒ Þ Ò Ý Ø ÑÙ Ñ ÒÓÖ Ñº ÈÓÞÒ Ñ º ÈÓ Ù ÒÙ Ñ ØÓÔÓÐÓ Ò ÒÓÙ Ñ ÒÓÖÑÓÙ p Ø Ö Ú Ò Ò ÒÓÖÑÓÙ Ø Ü ØÙ 0 x X ö px = 0º à ö Ó ÓÐ ÔÓ Ø Ù Ô Ø ÒØÓ Ó Ó Ù ØÓÔÓÐÓ ÒÓÚ Ò Ñ ÒÓÖÑÓÙ p Þ Ñ Ò ÔÐ Ù Ó ¹ ÐÓÚ Ü ÓÑ À Ù ÓÖ ÓÚ ÔÖÓ ØÓÖÙº Æ ÖÙ ÓÙ ØÖ ÒÙ ÐÞ Ó Þ Ø ö ÔÓ Ù Ý Ø Ñ Ñ ÒÓÖ Ñ Ø ÓÚ ö ÔÖÓ ö 0 x X Ü ØÙ Ñ ÒÓÖÑ p Þ Ý Ø ÑÙ Ñ ÒÓÖ Ñ ö px 0 Ô Ø ÒØÓ Ý Ø Ñ Ñ ÒÓÖ Ñ ÒÙ ØÓÔÓÐÓ À Ù ÓÖ ÓÚ ÔÖÓ ØÓÖÙºÎ Þ º ÓÕ٠ع ÖÙ Ø ØÖº ¾ º ÌÚÖÞ Ò ¾º½º¾º Ù Q = {q i ; i I} ÔÓ ØÒ Ý Ø Ñ Ñ ÒÓÖ Ñ Ò Ú ØÓÖÓÚ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ X Ø ÓÚ ö ÔÖÓ ö 0 x X Ü ØÙ i I ö q i x 0º È ØÓÔÓÐÓ ÒÓÚ Ò Ý Ø Ñ Ñ Ñ ÒÓÖ Ñ Q Ñ ØÖ ÞÓÚ Ø ÐÒ º ÌÓ ÞÒ Ñ Ò ö Ü ØÙ Ñ ØÖ ρ Ò X ÔÖÓ Ò ö ÓÙ ÓØ Ú Ò ÔÖ Ú Ø ÓÚ ÑÒÓö ÒÝ Y X ö ÓÙ ÓØ Ú Ò Ú ØÓÔÓÐÓ τ Q º ½¾

17 ó Þº Í öñ ö ØÓÔÓÐÓ τ Q ÒÓÚ Ò Ý Ø Ñ Ñ Ñ ÒÓÖ Ñ Q ØÓØÓöÒ ØÓÔÓÐÓ τ ρ ÒÓÚ ÒÓÙ ØÖ Ò Ð Ò ÒÚ Ö ÒØÒ Ñ ØÖ ÓÙ ρx, y := i=0 2 i q i x y + q i x y. Æ Ú Ù öñ ö ρ Ó ÒÓÚ Ò ØÓ Ø ö ÙÑ ÓÒÚ Ö Ù º ÌÓ ÔÐÝÒ Þ ØÙ ö 0 a < ÔÖÓ a 0 Þ ØÓ Ó ö +a i=0 ÓÒÚ Ö Ù º Ð ÓÚ Ñ 2 i ö ρ ØÖ Ò Ð Ò ÒÚ Ö ÒØÒ Ñ ØÖ º ÈÖÓ ÞÓ Ö Þ Ò ρ ÔÖÓ Ú Ò x, y X Þ Ñ ÔÐ Ø ρx, y 0 ρx, y = ρy, x ρx, y = 0 x = yº ÌÖÓ ÐÒ ÓÚ Ò ÖÓÚÒÓ Ø ÔÖÓ x, y, z X ÔÐÝÒ Þ Ò ÖÓÚÒÓ Ø q i x z + q i x z q ix y + q i y z + q i x y + q i y z q ix y + q i x y + q iy z + q i y z, ÔÖÚÒ Ò ÖÓÚÒÓ Ø ÔÐ Ø Ý ØÓÑÙ ö q i Ñ ÒÓÖÑ ÖÙ Ò ÖÓÚÒÓ Ø ÔÐ Ø ÔÖÓ Ú Ò Ð Ò Ö ÐÒ Ð º Ó Ö Þ Ò ØÖ Ò Ð Ò ÒÚ Ö ÒØÒ Ò Óð ÔÐ Ø ρx+h, y +h = ρx, y ÔÖÓ ö h X ÔÐÝÒ Þ ÖÓÚÒÓ Ø q i x y = q i x h y h i Iº Ý ØÓÑÙ ö ρ ØÖ Ò Ð Ò ÒÚ Ö ÒØÒ Ø Ù Þ Ø ö ÓÙ ØÓÔÓÐÓ τ Q τ ρ ØÓØÓöÒ Ò Ó ÓÐ ÒÙÐݺ  ØÐ ö ρx, 0 < η Ô i=0 q i x < 2 i +q i x η ÑÔÐ Ù ö Ü ØÙ Ú Ó Ò ε i ö q i x < ε i ÔÖÓ i Þ ÓÒ Ò Ò ÜÓÚ ÑÒÓö ÒÝ Iº ÈÖÓØÓ x Ð ö Ú ÓØ Ú Ò ÑÒÓö Ò ÒÓÚ Ò q i x 0 < ε i ÔÖÓ i Þ ÓÒ Ò Ò ÜÓÚ ÑÒÓö ÒÝ Iº Æ ÖÙ ÓÙ ØÖ ÒÙ ÞÓ Ö Þ Ò x ρ0, x ÔÓ Ø Ú ØÓÔÓÐÓ τ Q º ÈÖÓØÓ ö Ó ÓÐ ÒÙÐÝ Ú ØÓÔÓÐÓ τ ρ Ð ö Ú ØÓÔÓÐÓ τ Q º Ò ¾º½º¾º Æ ð X, τ ØÓÔÓÐÓ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ Ø Ö Ñ ÐÓ Ð¹ Ò Þ ØÓÔÓÐÓ ØÚÓ ÒÓÙ ÓÒÚ ÜÒ Ñ ÑÒÓö Ò Ñ º ÈÓØÓÑ ÔÖÓ ØÓÖ X Ò ÞÚ Ñ ÐÓ ÐÒ ÓÒÚ ÜÒ º Æ Ð Ù ØÚÖÞ Ò Ø Ö ÙÚ º ÓÕ٠ع ÖÙ Ø ØÖº ¾ Ú Ó ÓÙ¹ Ú ÐÓ Ø ØÓÔÓÐÓ ÒÓÚ ÒÓÙ Ñ ÒÓÖÑ Ñ ÐÓ ÐÒ ÓÒÚ ÜÒÓ Øº Ç Ó Ò ÚРع ÒÓ Ø ÔÐ Ø ÔÖÓ ØÓÔÓÐÓ ÒÓÚ Ò ÒÓÖÑÓÙ Ò Ú ØÓÖÓÚ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙº ÌÚÖÞ Ò ¾º½º º ÌÓÔÓÐÓ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ X Óö ØÓÔÓÐÓ ÐÞ ÒÓÚ Ø ÔÓ ØÒÑ Ý Ø Ñ Ñ Ñ ÒÓÖ Ñ ÐÓ ÐÒ ÓÒÚ ÜÒ º Æ ÓÔ ÔÐ Ø ö ÔÖÓ ØÓÔÓ¹ ÐÓ ÐÓ ÐÒ ÓÒÚ ÜÒ Ó Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ ÐÞ Ò Ø ÒÙ Ý Ø Ñ Ñ ÒÓ¹ Ö Ñº Ò ¾º½º º ÌÓÔÓÐÓ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ X Ö ØóÚ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ ØÐ ö ÔÐÒ Ó ØÓÔÓÐÓ ÐÞ ÒÓÚ Ø ÔÓ ØÒÑ Ý Ø Ñ Ñ Ñ ÒÓÖ Ñº ÈÓÞÒ Ñ º Ö ØóÚ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ ÐÞ ÒÓÚ Ø Ú Ú Ð ÒØÒ Ó ØÓÔÓ¹ ÐÓ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ Ø Ö ÔÐÒ ÐÓ ÐÒ ÓÒÚ ÜÒ Óö ØÓÔÓÐÓ ÐÞ ÒÓÚ Ø ØÖ Ò Ð Ò ÒÚ Ö ÒØÒ Ñ ØÖ ÓÙº ÈÓÞÒ Ñ º à ö Ò óú ÔÖÓ ØÓÖ Ö ØóÚº Å ØÖ ÙÖ Ò dx, y := x y ö ØÖ Ò Ð Ò ÒÚ Ö ÒØÒ Ò Ù Ù ÐÓ ÐÒ ÓÒÚ ÜÒ ØÓÔÓÐÓ Úó Ò ö ÔÖÓ ØÓÖ ÔÐÒº È Ð º ÈÖÓ ØÓÖ R n Ð ÓÙ ÖØ Þ ÓÙ Ñ ØÖ ÓÙ Ö ØóÚº Ë Û ÖØÞóÚ ÔÖÓ ØÓÖ SR n ÖÝ Ð Ð ÙÒ Ö ØóÚ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖº ½

18 Ð Ñ Ùö Ú ÒÑ Ö ØÓÚÑ Ú ØÓÖÓÚÑ ÔÖÓ ØÓÖÝ ÓÙ Ô Ú Ñ ÖóÞÒ ÔÖÓ ØÓÖÝ ÙÒ ÔÓÐÙ Ú Ó ÒÑ Ý Ø Ñ Ñ Ñ ÒÓÖ Ñ Ò Ô Ð C R Ý ¹ Ø Ñ Ñ Ñ ÒÓÖ Ñ f k,n := sup{ D k fx ; x [ n, n]}, ÔÖÓ Ú ÒÝ n, k N 0 º Ò ¾º½º º Æ ð V W ÓÙ Ú Ö ØÓÚÝ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖÝ {q i } i N0 Ý Ø Ñ Ñ ÒÓÖ Ñ ÒÙ ØÖÙ ØÙÖÙ Ö ØÓÚ Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ W º Ó Ö Þ Ò F : V W Ò ÞÚ Ñ Ð ÔÓ Ù q i F : V C Ð ÔÖÓ ö i N 0 º Î Ò Ð Ù Ñ ÙÚ Ñ ÓÔÖÓØ öò ÔÖ Ü Ñ ÖÒ ÖÓÞ ÒÓÙ Ò Ë Ù¹ ÖÓÚÝ Þ º Ò ¾º½º º Ù X Ö ØóÚ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖº ÈÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø {x n } n= X Ë Ù ÖÓÚÓÙ Þ ÔÖÓ ØÓÖÙ X ØÐ ö ÑÓöÒÓ ö ÔÖÚ x X Þ Ô Ø ÒÓÞÒ Ò Ú ØÚ ÖÙ x = c n x n, c n R. n= ÈÓÞÒ Ñ º Î ÑÒ Ñ ö Ò ÑÐÙÚ Ò Ó Ô Ô Ù ö Ë Ù ÖÓÚÙ Þ ÐÞ Ú Ö ØÓÚ Ú ØÓÖÓÚ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ Þ Ú Ø Óö Ú Ô ÔÓ Ð Ø Ö Ò Ò Úö Ý ÔÐÒ Òº ¾º¾ ÈÖÓ ØÓÖ ÖÝ Ð Ð Ò ÐÝØ ÙÒ Î Ø ØÓ ÔÓ Ô ØÓÐ ÞÒ Ñ Ñ ÔÖÓ ØÓÖ Ñ ÖÝ Ð Ð Ò ÐÝØ ÙÒ ÔÖÓ Ø Ö ÔÐ Ø SR n L 2 R n SR n ÓÞÒ Ù Ë Û ÖØÞóÚ ÔÖÓ ØÓÖ ÖÝ Ð Ð ÙÒ L 2 R n ÔÖÓ ØÓÖ ÓÑÔÐ ÜÒ Ó ÒÓØÓÚ ÙÒ ¹ Ò R n Ø Ö ÓÙ Ð Ù ÓÚ Ý ÒØ ÖÓÚ Ø ÐÒ Ú ÖÙ ÑÓÒ Ò º ÈÖÓ ØÓÖ ÚÝÙö Ñ Ú Ø ØÓ ÔÖ ÔÖÓ ÓÒ ØÖÙ ÔÖÓ ØÓÖÙ ÝÑÔÐ Ø Ô ÒÓÖÓÚ ÔÓ¹ Ð Ò ÝÑÔÐ Ø Ñ Ú Ö Ø Ñ º Æ ÓÒ Ô ØÓÐÝ ÞÒ Ñ Ñ ÓÙÖ ÖÓÚÓÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ö Ö óð ö ØÓÙ ÖÓÐ Ú Ë Ð¹Ë Ð ¹Ï ÐÓÚ Ö ÔÖ Þ ÒØ º Ò ¾º¾º½º ÇÞÒ Ñ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ Ú Ò ÐÝØ ÙÒ ÒÓ¹ Ú Ò Ò R n ÖÝ Ð Ð Ú Ò ÓÒ ÒÙ Ø º := {f C ω R n ; lim x + xα D β fx = 0 ÔÖÓ ö α, β N n 0}, C ω R n ÞÒ Ò ÐÝØ ÙÒ Ò R n x α = x α... x αn n, α = α,...,α n N n 0 ÝÑ ÓÐ D β ÞÒ Ö Ú Ô ÐÙ Ò ÔÖÓÑ ÒÒ Ô ÐÙ Ò ó Ø º D β = β βn β = β x β x βn,...,β n N n 0º ÈÓÞÒ Ñ Ò Ñ ö α, β N n 0 n Ò ÞÚ ÑÙÐØ Ò Üݺ ÇÞÒ Ñ α := n i= α i ÔÖÓ ö α = α,...,α n N n 0 α! := α!...α n!º ÈÓÞÒ Ñ º ÈÖÓ ØÓÖ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ Ë Û ÖØÞÓÚ ÔÖÓ ØÓÖÙ SR n Ð ÖÝ ¹ Ð Ð ÙÒ Ø Ö Ò ÖÙ ÓÙ ØÖ ÒÙ Ù Ø ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ ÔÖÓ ØÓÖÙ L 2 R n º ÓÔ Ù Ñ Ò Ð Ù Ð ÓÙ Ò º Ò ¾º¾º¾º Æ ð P, ρ Ñ ØÖ ÔÖÓ ØÓÖ f n, f : P, ρ R ÔÖÓ n Nº ÈÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø ÙÒ f n ÓÒÚ Ö Ù Ø ÒÓÑ ÖÒ ÙÒ f ÓÞÒ Ò f n fµ ØÐ ö ÔÖÓ ö ε > 0 Ü ØÙ n 0 N ö ÔÖÓ ö n n 0 ÔÖÓ ö x P f n x fx < εº ½

19 ÌÚÖÞ Ò ¾º¾º½º Æ ð P, ρ Ñ ØÖ ÔÖÓ ØÓÖ f n, f : P, ρ R ÔÖÓ n Nº È f n f Ò P ÔÖ Ú Ø Ý Ýö lim sup f n x fx = 0. n x P ó Þº ÈÓö ÓÚ Ò Ú Ú Ð Ò Ò Ò Þ Ô Ò Ò Ø ÒÓÑ ÖÒ ÓÒÚ Ö¹ Ò º ÈÖÓ α, β N n 0 N N Þ Ú Ñ Ò Ð Ù Ý Ø Ñ ÙÒ Ò q α,β f := sup x R n x α D β fx, f N := max {q α,β f; α, β < N}. α,β N n 0 ÌÚÖÞ Ò ¾º¾º¾º ËÝ Ø Ñ ÞÓ Ö Þ Ò N Ý Ø Ñ Ñ ÒÓÖ Ñ Ò º ó Þº Ò ÔÐÝÒ ö q α,β N ÞÓ Ö ÞÙ Ó Rº Â Ð Ò ÒÓ Ò Ð Ò Ñ q α,β ÓÙ ÔÓÞ Ø ÚÒ ÓÑÓ ÒÒ Ò Óð ÔÖÓ a C f ÔÐ Ø q α,β af = sup x R n x α D β afx = sup x R n x α ad β fx = a q α,β f. Ý Ø Ú Ø Ö Ú q α,β Ù Ø ÚÒ ÔÐÝÒ Þ ØÖÓ ÐÒ ÓÚ Ò ÖÓÚÒÓ Ø º Ç Ò ÔÓÞÒ Ø Ý Þ Ô ÓÞ Ã Ô ØÓÐÝ ¾º½ ÚÝÙö Ñ ÔÖÓ ÔÖÓ ØÓÖ º  ö Ñ ÒÓÚ Ð ÔÓ ØÒ Ý Ø Ñ Ñ ÒÓÖ Ñ N, N N Þ ó ÞÙ Î ØÝ ¾º½º¾ Ñ Ñ ö ÞÓ Ö Þ Ò ρ A ÒÓÚ Ò Ò Ð Ù Ñ Ô Ô Ñ ρ A f, g := N=0 ØÖ Ò Ð Ò ÒÚ Ö ÒØÒ Ñ ØÖ Ò º 2 N f g N + f g N Î Ø ¾º¾º º ÃÓÒÚ Ö Ò ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Ð Ñ ÒØó Þ ÑÔÐ Ù Ø ÒÓÑ ÖÒÓÙ ÓÒÚ Ö Ò Ø ØÓ Ð Ñ ÒØó Ö Ò Ó Ò ÐÝØ ÙÒ Ò R n º ó Þº Â Ó ó Ð ÅÓÓÖ ¹Ç ÓÓ ÓÚÝ Ú ØÝ Ó Þ Ñ Ò Ð Ñ ØÝ Ø ÒÓÑ ÖÒ ÓÒ¹ Ú Ö ÒØÒ ÙÒ Ú Ñ ØÖ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ Ó Ø Ú Ñ ö Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ¹ ÒÓÑ ÖÒ ÓÒÚ Ö Ù Ò ÐÝØ ÙÒ º ËØ ÙÚ ÓÑ Ø ö ØÓÑÙØÓ ØÚÖÞ Ò ÔÓØ Ù Ñ Þ Ñ Ò Ø Ð Ñ ØÙ ÙÑÙ Ò Ø ÖÓÙ Ñóö Ñ ÔÓ Ð ö Ø Ó Ò Ð Ñ ØÙ Ø Ò ÓÙ Øóº ÃÓÒÚ Ö Ò Ú Ñ ØÖ ρ A ÑÔÐ Ù ÓÒÚ Ö Ò Ú q αβ Ñ ÑÓ Ò ÔÖÓ α, β = 0 Ø Ö ÑÔÐ Ù ÓÒÚ Ö Ò Ô ÐÙ Ò ÙÔÖ Ñº ÈÓ Ð Ô ÓÞ Ó ÌÚÖÞ Ò ¾º¾º½ ÓÒÚ Ö Ò ÙÔÖ Ñ Ú Ú Ð ÒØÒ Ø ÒÓÑ ÖÒÓÙ ÓÒÚ Ö Ò º Î Ø ¾º¾º º ÈÖÓ ØÓÖ Ö ØóÚ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖº ó Þº Â Ñ Ù Þ Ð Ú ØÓÔÓÐÓ Ò ÔÖÓ ØÓÖÙ ÐÞ ÒÓÚ Ø ÔÓÑÓ Ý Ø ÑÙ Ñ ÒÓÖ Ñ Ø ÔÓÑÓ ØÖ Ò Ð Ò ÒÚ Ö ÒØÒ Ñ ØÖ Ýº Ì ØÓ ÒÓÚ Ò ØÓÔÓÐÓ ÔÓ Ð ÌÚÖÞ Ò ¾º½º ÐÓ ÐÒ ÓÒÚ ÜÒ º ÈÖÓ ØÓÖ À Ù ÓÖ óú ÔÓ Ð ÈÓÞÒ Ñ Ý Ô Î ØÓÙ ¾º½º¾ ÔÖÓØÓö ÔÖÓ ö ÓÙ f 0 Þ Ñ Ü ØÙ α, β ö q α,β f 0 Ø Ý Ü ØÙ N ÔÖÓ Ò ö f N 0º Î ØÝ ¾º¾º ÔÐÝÒ ÔÐÒÓ Ø ÔÖÓ ØÓÖÙ Ò Óð ÓÒÚ Ö Ò f n f Ú ÔÖÓ ØÓÖÙ ÑÔÐ Ù Ø ÒÓÑ ÖÒÓÙ ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ó Þ Ð Ú º ½

20 Ò ¾º¾º º ÈÖÓ ÓÑÔÐ ÜÒ ÒØ ÖÓÚ Ø ÐÒÓÙ ÙÒ f L R n ÒÙ Ñ ÓÙÖ ÖÓÚÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Ff Ô Ô Ñ Ffξ := ˆfξ := R n e i2π x,ξ fxdx ÓÔ ÒÓÙ ÓÙÖ ÖÓÚÙ ØÖ Ò ÓÖÑ F f Ô Ô Ñ F fx := ˇfx := e i2π x,ξ fξdξ, R n x ξ R n, ÒÓÒ Ð ÖÒ ÓÙ Ò Ú R n º ÈÓÞÒ Ñ º ÈÓÙö Ú Ò ÓÒÚ Ò ÔÖÓ ÓÙÖ ÖÓÚÝ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ö ÐÞ ÒÓØÒ Ö Ø Ö ÞÓÚ Ø ÔÓÑÓ Ø Ô Ö Ñ ØÖó A, B, k R {0}º Ffξ := A n e ik x,ξ fxdx, F fξ := B n e ik x,ξ fxdx, ξ R n. R n R n Ð A, B k ÓÙ Ò ÚÞ Ñ Ú Þ Ò ÚÞØ Ñ AB = k º Î Þ Ò Ô Ð Âº ÃÓÔ 2π ½¾ Ò ½ º½ º º Î Ø ¾º¾º º ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ F ÓÔ Ò ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ F ÓÙ ÚÞ ÑÒ ÒÚ ÖÞÒ ÔÓ Ø ÞÓ Ö Þ Ò SR n Ò SR n º ó Þº Î Þ Ò Ô Ð Âº ÃÓÔ ½¾ Î Ø ½ º º º ÆÝÒ Ó ö Ñ Ú ØÙ Ø ÖÓÙ Ù Ñ ÔÓØ ÓÚ Ø Ô Ò Ò ÐÝØ Ë Ð¹ Ë Ð ¹Ï ÐÓÚÝ Ö ÔÖ Þ ÒØ º Î Ø ¾º¾º º ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò º ó Þº ÈÖÓ ØÓÖ Ò ÐÝØ ÙÒ ÖÝ Ð Ð Ú Ò ÓÒ ÒÙ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ Ë Û ÖØÞÓÚ ÔÖÓ ØÓÖÙ SR n º ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ ÔÓ Ð Ô ÓÞ Î ØÝ ¾º¾º Þ ÓÚ Ú SR n ÔÖÓØÓ Ø Ù Þ Ø ö ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò ÐÝØ ÙÒ Ò ÐÝØ ÙÒ º ÚÓÐÑ ÙÒ f º Ì ØÓ ÖÓÚÒ Ú Ì ÝÐÓÖÓÚ Ú Ò Ñ Ó ÓÐ ö Ó Ó Ù R n º ÚÓÐÑ Ø Ý Ó ξ 0 R n ÓÞÒ Ñ K R n Ó ÓÐ Ú Ø Ö Ñ f ÖÓÚÒ Ú Ì ÝÐÓÖÓÚ Ø Ñ Ú ξ 0 Ø º fx = α α f x ξ 0 x ξ 0 α, α α! α ÑÙÐØ Ò Üº  ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Ñ ØÚ Ö [ α f Ffx ξ = F x ξ 0 x ξ 0 α ] ξ α α! α α f = x ξ 0 x ξ 0 α e 2πi x,ξ dx. α α! R α Ì ÝÐÓÖÓÚ ÓÒÚ Ö Ù ÓÐÙØÒ ÔÖÓ Ú Ò x K e 2πixξ ÔÖÓØÓ Ø Ò ÓÙ ØÝ s ξ 0,ξ N x := α f α <N ξ x α 0 x ξ 0 α e 2πi x,ξ ÓÒÚ Ö Ù α! ½

21 Ð Ñ Ø Þ ÔÖÓ ØÓÖÙ º ÈÓ Ð Î ØÝ ¾º¾º ÓÒÚ Ö Ò Ú ÔÖÓ ØÓÖÙ ÑÔÐ Ù Ø ÒÓÑ ÖÒÓÙ ÓÒÚ Ö Ò ÙÒ Þ ÔÖÓ ØÓÖÙ º ÈÖÓØÓ Ø Ò ÓÙ ØÝ s ξ 0,ξ N x Ø ÒÓÑ ÖÒ ÓÒÚ Ö Ù Ø Ý ÐÞ Þ Ñ Ò Ø ÙÑÙ ÒØ Ö Ðº Î Ñ Ø Ý ö ö ÔÐ Ø F : º Ç Ó Ò Ó ö Ñ ö ÔÐ Ø F : º ËØ Ò Ó Ú Ë Û ÖØÞÓÚ ÔÖÓ ØÓÖÙ SR n ÔÐ Ø F F = F F = Idº È ÐÙ Ò Þ Ñ ÒÝ ÒØ Ö Ðó ÐÞ ÔÖÓÚ Ø Þ Ø Ò óúó ó Ó Ú SR n ºµ ¾º¾º½ À ÖÑ Ø ÓÚÝ ÔÓÐÝÒÓÑÝ À ÖÑ Ø ÓÚÝ ÔÓÐÝÒÓÑÝ ØÚÓ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Þ L 2 R ÙÚ öóú Ò Ó Ú ÓÙ e x2 Ó Ò Ó ÚÓÞ Ò À ÖÑ Ø ÓÚÝ ÙÒ ØÚÓ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Þ Ô ÑÓ ÔÖÓ ØÓÖÙ L 2 Rº ÔÐÒÓ Ø Ý Ø ÑÙ À ÖÑ Ø ÓÚ ÙÒ Ú L 2 R Ò Ù Ñ Ó ÞÓÚ Øº ÈÓÙÞ ÞÒ Ñ Ñ Þ Ð Ò Ñ ÚÐ ØÒÓ ØÑ º ÈÖÓ Ú Ò ÓÖÑ Ú Þ Æº ƺ Ä Ú ½ º Ò ¾º¾º º ÈÖÓ n = N 0 ÒÙ Ñ n¹ø À ÖÑ Ø óú ÔÓÐÝÒÓÑ Ô Ô Ñ H n x := n dn x2 e. dx ne x2 Æ ÓÐ ÔÖÚÒ À ÖÑ Ø ÓÚ ÔÓÐÝÒÓÑó H 0 x =, H x = 2x, H 2 x = 4x 2 2, H 3 x = 8x 3 2x, H 4 x = 6x 4 48x 2 + 2, ÐÞ Ò ÒÓ Ô Ú Ø Ó Þ Ò Ñº ÈÓÞÒ Ñ Ò Ñ ö ÚÞÓÖ ÔÖÓ n¹ø À Ö¹ Ñ Ø óú ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÞ Ô Ø Ú ØÚ ÖÙ H n x := n/2 k=0 k n! k!n 2k! 2xn 2k, ÞÒ ÓÐÒ ÐÓ٠غ ó Þ Ú Þ Æº ƺ Ä Ú ½ º Ì ÒØÓ ÚÞÓÖ Ú Ò Ù Ñ Ú Ð Ñ ÔÓØ ÓÚ Øº ÈÓÞÒ Ñ º ÈÖ Ú ÒÓÚ Ò À ÖÑ Ø ÓÚÝ ÔÓÐÝÒÓÑÝ Ò Ý ÓÞÒ Ù Ó Ý¹ Þ ÐÒ À ÖÑ Ø ÓÚÝ ÔÓÐÝÒÓÑݺ Î Ø ÓÖ ÔÖ Ú ÔÓ Ó ÒÓ Ø Ñóö Ñ Ø Ø ØÞÚº ÔÖ Ú ÔÓ Ó ÒÓ ØÒ Ñ µ À ÖÑ Ø ÓÚÑ ÔÓÐÝÒÓÑÝ Hn prob = n e x 2 d n 2 e x 2 dx n 2 Ø Ö ÝÞ ÐÒ Ñ ÓÙÚ Ò Ð Ù Ñ ÚÞØ Ñ H n x = 2 n 2 Hn prob 2x ÓÙ ÒÓÖÑÓÚ Ò Ø Ý Ú ÓÙ Ó ÒØ ÝÐ º Ò ¾º¾º º Ù {a n } n=0 ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Ö ÐÒ Ò Ó ÓÑÔÐ ÜÒ Ðº à ¹ Ò Ñ ö {a n } Ñ Ò ÖÙ ÙÒ at ØÐ ö at = ÓÒÚ Ö Ù Ð ÔÓ ÔÖÓ Ò 0 t Cº a n t n n=0 ½

22 Æ Ý Ò ÖÙ ÙÒ Ò ÞÚ ÚÝØÚÓ Ù ÙÒ º ÌÚÖÞ Ò ¾º¾º º ÈÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø { H n! nx} n=0 Ñ Ò ÖÙ ÙÒ wt, x = e 2xt t2 º ÌÓ Ø e 2xt t2 = n! H nxt n ¾º½µ ÔÖÓ Ú Ò x Rº n=0 ó Þº ÙÒ wx, t Ð ÙÒ ÓÐÓÑÓÖ Ò Ò Cµ Ú ÔÖÓÑ ÒÒ t Ø º ÓÒÚ Ö Ù Ú Ì ÝÐÓÖÓÚ Ò Ð Ñ C ÔÖÓØÓ wx, t = e 2xt t2 = n=0 ÔÖÓ t < + º Ó ÞÓÚ Ò ÔÐÝÒ Þ ÖÓÚÒÓ Ø [ ] n w t n t=0 n! [ ] n wx, t t n t n t=0 [ ] [ ] n = e x2 = 2 n e u2 e x2 = H t ne x t2 t=0 u n n x. u=x ÆÝÒ Ù Ñ Ò ö Ø Ò Ð ÞØ Ö ÙÖ ÒØÒ ÚÞØ ÔÖÓ À ÖÑ Ø ÓÚÝ ÔÓÐÝÒÓÑݺ Ò ÖÙ ÙÒ wx, t Ø ÔÐ Ù ÖÓÚÒ w t 2x 2tw = 0, ÐÞ Ô Ú Ø Ô ÑÑ ÚÔÓ Ø Ñº Ó ÖÓÚÒ Ó Ñ ÖÓÚÒÓ Ø ¾º½µ ÚÝÙö Ñ ØÓ Ó ö ÑÓÒ ÒÒÓÙ Ù ÐÞ Ö ÚÓÚ Ø Ð Ò ÔÓ Ð ÒÙ Ò ÓØ Ú Ò Ñ ÖÙ Ù ÓÒÚ Ö Ò º Ó Ø Ú Ñ n=0 H n+ x t n 2x n! n=0 H n x t n + 2 n! n=0 H n x t n+ = 0. n! ÅÓÒ ÒÒ ÖÓÚÒ ÒÙÐ ÔÖÓ Ú Ò t < ÔÓ Ù ÖÓÚ Ò ÒÙÐ Ó ÒØ Ù ö ÑÓÒ ÒÝ t n Ø ÔÐ Ø ÖÓÚÒÓ Ø H n+ x 2xH n x + 2nH n x = 0 ¾º¾µ ÔÖÓ Ú Ò n Nº Ì Ñ Ñ Þ Ð Ö ÙÖ ÒØÒ ÚÞØ ÔÖÓ ÚÔÓ Ø À ÖÑ Ø ÓÚ ÔÓÐÝÒÓÑó ÔÓÐÓö Ñ ¹Ð H 0 x = H x = 2xº Ð ÚÞØ ÔÖÓ À ÖÑ Ø ÓÚÝ ÔÓÐÝÒÓÑÝ Þ Ñ Ó Þ Ò Ñ ÓÖÑÙÐ Þ Î ØÝ ¾º½ Ó ÖÓÚÒ w 2tw = 0, x Ø ÖÓÙ Ò ÖÙ ÙÒ wx, t Ø Ø ÔÐ Ù º Ç Öö Ñ n=0 H nx t n 2 n! n=0 ½ H n x t n+ = 0. n!

23 Ö ÚÓÚ Ø ÔÓ Ð ÔÖÓÑ ÒÒ x ÓÔÖ Ú Ù Ñóö Ñ Ð Ò ÔÓ Ð ÒÙ Ý ØÓÑÙ ö ÙÑ H nx n=0 ÓÒÚ Ö Ù Ø ÒÓÑ ÖÒ ÔÖÓ ö x < a 0 < a Ú Ó Ò Ö ÐÒ n! ÐÓ Ö Ú H nx ÓÙ ÚÐ ØÒ ÙÑ Ö Ú ÓÒÚ Ö Ù º ËÖÓÚÒ Ñ ¹Ð Ó n! Ð ÒÝ Ù t n Þ Ñ ÚÞØ H n x = 2nH n x ¾º µ ÔÖÓ Ú Ò n N. Ð Ùö Ø Ò ÚÞØ ÔÖÓ À ÖÑ Ø ÓÚÝ ÔÓÐÝÒÓÑÝ Þ Ñ Ó Þ Ò Ñ ¾º µ Ó ¾º¾µ H n+ x 2xH n x + H n x = 0. ¾º µ ÌÚÖÞ Ò ¾º¾º º À ÖÑ Ø ÓÚÝ ÔÓÐÝÒÓÑÝ ÓÙ Ò Ñ Ø ÞÚ Ò À ÖÑ Ø ÓÚÝ ÖÓÚÒ y 2xy + 2ny = 0. ó Þº Ö ÚÓÚ Ò Ñ ÚÞØ Ù ¾º µ ÔÓ Ð ÔÖÓÑ ÒÒ x Ò Ð ÒÓÙ ÔÖ ÚÓÙ ÔÓ Ð ÚÞÓÖ ¾º µ Ó Öö Ñ H n x 2xH n + 2nH nx = 0, ¾º µ Ó Ù Ú Ø ö À ÖÑ Ø óú ÔÓÐÝÒÓÑ H n x Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ ÔÖÓ Ú Ò n N 0 º ÌÚÖÞ Ò ¾º¾º º À ÖÑ Ø ÓÚÝ ÔÓÐÝÒÓÑÝ ÓÙ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ú ÓÙ e x2 Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ, Úó Ð ÖÒ ÑÙ ÓÙ ÒÙ Ò L 2 Rº ÌÓ Ø ÔÖÓ m n ÔÐ Ø e x2 H m xh n xdx = 0. ó Þº ÈÓÐÓöÑ u n x := e x2 2 H n xº ÙÒ ux Ö Ò ÐÒ ÖÓÚÒ u n + 2n + x2 u n = 0 ÔÖÓ Ú Ò n N Ñóö Ñ Ô Ú Ø Ô ÑÑ Ó Þ Ò Ñ ÚÝÙö Ø Ñ ÚÞÓÖ ¾º µº Ì Ý ÔÐ Ø ÖÓÚÒÓ Ø ÔÖÓ n, m u nu m + 2n + x 2 u n u m = 0 u m u n + 2m + x 2 u n u m = 0. Ç Ø Ò Ñ ÖÓÚÒ Ó ÚÝÙö Ø Ñ ØÓ Ó ö d dx u n u m u m u n = u n u m+u m u n u nu m u mu n Ó Ø Ú Ñ ÁÒØ ÖÙ Ñ ¹Ð ØÙØÓ ÖÓÚÒÓ Ø Ó Ø Ò Ñ d dx u nu m u mu n + 2n mu n u m = 0. d dx u nu m u mu n + 2n mu n u m dx = 0 [u nu m u mu n ] + 2n m u n u m dx = 0. ½

24 ËÔÓ Ø Ñ Ó ÒÓØÙ ÒØ Ö ÐÙ e x2 H n xh n xdx. ÎÝ Ñ Þ ÖÓÚÒÓ Ø ¾º¾µ Þ Ñ Ñ n Þ n º ÌÙØÓ ÖÓÚÒÓ Ø ÚÝÒ Ó Ñ H n xº Ó Ø Ò Ñ ÚÖ Þ H 2 n x 2xH nxh n x + 2n H n xh n 2 x = 0, Ó Ø Ö Ó Ó Ø Ñ ÒÙÐÙ Ú ÔÓ Ó ÚÖ ÞÙ ¾º¾µ ÚÝÒ Ó Ò Ó H n x. ÈÖÓ n = 2, 3,... Ó Ø Ò Ñ Hn 2 x + 2n H nxh n 2 x H n+ xh n x 2nHn 2 x = 0. ÌÙØÓ ÖÓÚÒÓ Ø ÚÝÒ Ó Ñ e x2 Þ ÒØ ÖÙ Ñ º Ó Ø Ú Ñ Ø Ò Ð Ù Ö Ù¹ Ö ÒØÒ ÖÓÚÒÓ Ø ÔÖÓ n = 2, 3,... Ú Þ Ú ÒØ Ö ÐÝ ÓÙ ÒÙÐÓÚ Ý ÓÖØÓ ÓÒ Ð Ø e x2 H 2 nxdx = 2n e x2 H 2 n xdx. Â Ñ ÓÔ ÓÚ ÒÑ ÔÓÙö Ø Ñ Þ Ñ e x2 Hn 2 xdx = 2n n! e x2 H 2 xdx = 2n n! e x2 2x 2 dx = 2 n n! π ÔÖÓ n = 2, 3,...º È ÑÑ ÚÔÓ Ø Ñ Þ Ø Ñ ö ÓÖÑÙÐ ÔÐ Ø ÔÖÓ n = 0, º Ð ÓÚ ÔÖÓ n N 0 e x2 H 2 n xdx = 2n n! π. È Ð ÚÔÓ Ø Ú ÑÝ Ð Ò Ð Ù Ò º Ò ¾º¾º º À ÖÑ Ø ÓÚÝ ÙÒ ÔÖÓ n N 0 ÓÙ ψ n x := 2 n n! π 2 e x2 2 Hn x. ÌÚÖÞ Ò ¾º¾º½¼º À ÖÑ Ø ÓÚÝ ÙÒ ØÚÓ ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐÒ Ý Ø Ñ Ú L 2 Rº ó Þº ÌÚÖÞ Ò ÔÐÝÒ Þ Ô Ð Ó ÚÔÓ ØÙ Ò À ÖÑ Ø ÓÚ ÙÒ Þ ÓÖØÓ ÓÒ Ð ØÝ À ÖÑ Ø ÓÚ ÔÓÐÝÒÓÑó Ú L 2 R Úó ÒØ Ö ÐÒ ÑÙ Ð ÖÒ ÑÙ ÓÙ¹ ÒÙº ÈÓÞÒ Ñ º Ð Ý ÝÐÓ Ú Ó Ò Ó Þ Ø ö À ÖÑ Ø ÓÚÝ ÙÒ ÓÙ Ó ÓÒ ÔÐÒÑ ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐÒ Ñ Ý Ø Ñ Ñº Ç ØÙ Ý Ò ÒÓ ÔÐÝÒÙÐÓ ö ØÚÓ Ë Ù ÖÓ¹ ÚÙ Þ º Î ØÓÑØÓ Ô ØÙÔÙ Ò ÓÒ ÔÓ Ö ÓÚ Ø Ò Ù Ñ º Ú Ñ Ú Ø Ò ÑÓöÒÓ Ø ÙÚ ÓÑ Ø Ø ÒØÓ Øº ¾¼

25 º Ë Ð¹Ë Ð ¹Ï ÐÓÚ Ö ÔÖ Þ ÒØ Î Ø ØÓ Ô ØÓÐ ÞÒ Ñ Ñ Ô Ö Ø Ñ ÔÓØ ÒÑ Þ Ú Ò Ë Ð¹Ë Ð ¹ Ï ÐÓÚÝ Ö ÔÖ Þ ÒØ º Ù Ñ ÒÓÚ Ø À Ò Ö ÓÚÙ ÖÙÔÙ Ë Ö Ò ¹ ÖÓÚÙ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ó Ò ö Ó Ø Ò Ñ Ë Ð¹Ë Ð ¹Ï ÐÓÚ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ñ ¹ Ø ÔÐ Ø ÖÙÔÝ Ò L 2 Lº Å Ø ÔÐ Ø ÖÙÔ Ö Ú ÝÑÔÐ Ø ÓÑ ØÖ ÔÓ Ó ÒÓÙ ÖÓÐ Ó Ô Ò ÖÙÔ Ú Ê Ñ ÒÒÓÚ Ô Ô º È ÔÓÑ Ñ ö ÔÓ Ð ÈÓÞÒ Ñ Ý Ò ÓÒ Ã Ô ØÓÐÝ ½º½ ÞÒ Ñ L, L Ð Ö Ò¹ ÓÚ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖÝ ÒÓÒ Ó ÝÑÔÐ Ø Ó Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ R 2n, Ω 0 Ø ÓÚ ö L L = R 2n º È ÔÓÑ Ñ ö ÔÖÓ ØÓÖÝ L L ÓÙ ÞÓÑÓÖ Ò R n º º½ À Ò Ö ÓÚ ÖÙÔ Ë Ö Ò ÖÓÚ Ö ¹ ÔÖ Þ ÒØ ÈÓ Ñ Ñ À Ò Ö ÓÚ ÖÙÔ Ú Ø ÒÓÙ Ñ Ò ÖÙÔ ÓÖÒ ØÖÓ ÐÒ ÓÚ 3 3 Ñ Ø Ø Ö Ñ Ò ÓÒ Ð ÒÓØ Ýº ÅÝ Ú ÚÝÙö Ñ Ú ØÖ ØÒ Ò À Ò Ö ÓÚÝ ÖÙÔݺ ÈÓÞÒ Ñ Ò Ñ ö Ú Ô Ô Ñ Ø 3 3 Ø ØÓ ÖÙÔ Ñóö ÚÝÙö Ø ÔÓÔ Ù ÒÓ Ñ ÒÞ ÓÒ ÐÒ Ó Ú ÒØÓÚ Ó Ý Ø ÑÙº Ò º½º½º Ù V, ω ÝÑÔÐ Ø Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖº À Ò Ö ÓÚ ÖÙÔ HV ÖÙÔ ÒÓ ÒÓÙ ÑÒÓö ÒÓÙ V R ÖÙÔÓÚÓÙ ÓÔ Ö v, x w, y = v + w, x + y + 2 ωv, w, v, x w, y V Rº ÇÞÒ Ñ Hn À Ò Ö ÓÚÙ ÖÙÔÙ HR 2n ÔÖÓ ÒÓÒ ÝÑÔÐ Ø Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ R 2n, Ω 0 º ÈÓÞÒ Ñ º À Ò Ö ÓÚÙ ÖÙÔÙ Hn ÐÞ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø Ò Ð Ù Ñ ÞÔó Ó Ñº Î ÓÙÐ Ù ÈÓÞÒ Ñ ÓÙ Ò ÓÒ Ã Ô ØÓÐÝ ½º½ ÚÓÐ Ñ Ó Þ Ð Ö Ò ÓÚ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖó L L ÔÖÚÒ n ÖÙ n ÔÖÚ ó ÒÓÒ ÝÑÔÐ Ø Þ R 2n º Ù v L w L x R Ô ÔÖÚ v, w, x ÖÙÔÝ Hn Ñóö Ñ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø Ñ Ø v x 0 I w. 0 0 I ÞÒ ÒÓØ ÓÚÓÙ Ñ Ø Ù n v ÓÚ w ÐÓÙÔÓÚ n ÐÓö ÓÚ Ú ØÓÖº Æ Ó Ò Ò Ø ØÓ ÔÖÚ ÒÓ A B = AB + BAº Ä ÓÚ 2 ö Ø ØÓ ÒÓÚ Ò Ò Ó Ò Ó ÔÓÚ Ò Ó Ò Ú Hnº Ä ÑÑ º½º½º ÒØÖÙÑ À Ò Ö ÓÚÝ ÖÙÔÝ ZH = {v, x; v = 0} = Rº ó Þº ÒØÖÙÑ ÖÙÔÝ ØÚÓ ÔÖÚ Ý Ø Ö ÓÑÙØÙ Ð ÓÚÓÐÒÑ ÔÖÚ Ñ ÖÙÔݺ ÈÖÓ ÔÖÚ ÒØÖ v, x Ð ÓÚÓÐÒ ÔÖÚ w, y HV Ø Ý ÔÐ Ø v, x w, y = v+w, x+y+ 2 ωv, w = w+v, y+x+ 2 ωw, v = w, y v, x. Ë Ø Ò Ú V R ÓÑÙØ Ø ÚÒ º ÀÐ Ñ Ø Ý Ò ÔÖÚ Ý v, x ÔÖÓ Ø Ö ÔÐ Ø ωw, v = ωv, w ÔÖÓ ö w V º ÌÓØÓ Ú Þ Ò Ò ÖÓÚ ÒÓ Ø ω ÔÐ Ø Ò ÔÖÓ v = 0º ¾½

26 ÈÓÞÒ Ñ º À Ò Ö ÓÚ ÖÙÔ ÔÖÓ Ø Ò Ð Ò Ö Ø Ü ØÒ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø 0 R ι HV ϕ ψ V 0, ÔÐÝÒ Þ Ò Ö Ø Ü ØÒ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø À Ò Ö ÓÚÝ ÖÙÔݺ ÈÐ Ø ØÓØ ö ϕ ι = 0 Ã Ö ϕ ÁÑιº Ó Ö Þ Ò ψ : v v, 0 Þ Ñ ÖÙÔÓÚ ÓÑÓÑÓÖ ÑÙ ÔÖÓØÓö ÔÐ Ø ψu + v = ψu + ψv ÔÖÓ Ú Ò u, v V º ÈÓÞÒ Ñ Ò Ñ Ò Ú ö ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø Ø Ô Ø ÐÒ Ò Óð ÔÖÓ Ú Ò w V ÔÐ Ø ϕ ψw = w Ø Ý ϕ ψ = Id V º Ò º½º¾º Æ ð G Ä ÓÚ ÖÙÔ Ò ð W ØÓÔÓÐÓ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ Ò ð ÙØW ÞÒ Ú Ò ÔÓ Ø Ð Ò ÖÒ ÞÓ Ö Þ Ò Þ W Ò W Ø Ö Ñ ÔÓ ØÓÙ ÒÚ ÖÞ º ÀÓÑÓÑÓÖ ÑÙ ÖÙÔ r : G ÙØW Ò ÞÚ Ñ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÖÙÔÝ G ÔÓ Ù r : G W W ÒÓÚ Ò ÚÞØ Ñ rg, v := rgv ÔÓ Ø º ÈÖÓ ØÓÖ W Ò ÞÚ G¹ÑÓ ÙÐ Ò Ó Ø ö Ö ÔÖ Þ ÒØ Ò ÔÖÓ ØÓÖº Ê ÔÖ Þ ÒØ Ò ÞÚ ÙÒ Ø ÖÒ ÔÓ Ù W À Ð ØóÚ ÔÖÓ ØÓÖ ÁÑr UW UW ÞÒ Ñ ÖÙÔÙ ÙÒ Ø ÖÒ ÓÔ Ö ØÓÖó Ò W Ø º Ø ÓÚ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖó A Ø Ö ÔÐ Ù A T A = I I ÞÒ ÒØ ÓÔ Ö ØÓÖº ÈÓÞÒ Ñ Ò Ñ ö G W ÙÚ öù Ñ Ð ÓÙ ÓÙ ÒÓÚÓÙ ØÓÔÓÐÓ º ËÐÓö Ò ÚÓÙ ÞÓ Ö Þ Ò Ø Ö Ñ ÔÓ ØÓÙ ÒÚ ÖÞ ÓÔ Ø ÔÓ Ø ÞÓ Ö Þ Ò ÔÓ ØÓÙ ÒÚ ÖÞ ÔÖÓØÓ ÙØW ÖÙÔ º  ÒÓØ Þ Ñ ÒØ ÞÓ Ö Þ Ò º È ÔÓÑ Ñ ö ÞÓ Ö Þ Ò ψ : M N Ñ Þ Ú Ñ Ú Ö Ø Ñ Ñ ÒÞ m, n ØÐ Ý {U M α, ϕm α } α, {U N β, ϕn β } β Ò ÞÚ Ð ÔÓ Ù Ð C ÞÓ Ö Þ Ò ϕ N β ψ ϕm α : R m R n ÔÖÓ Ú Ò α, β Þ Ò ÜÓÚ ÑÒÓö Ò I J Ñ Ô ØÐ ó M Nº Ó Ö Þ Ò ψ : G W G Ä ÓÚ ÖÙÔ W ÓÑÔÐ ÜÒ ØÓÔÓ¹ ÐÓ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ Ð ÔÓ Ù ÔÖÓ ö v W ÞÓ Ö Þ Ò g v ψg C Ð Ó ÞÓ Ö Þ Ò Þ Ú Ö ØÝ Ó ÓÑÔÐ ÜÒ Ðº ËÝÑ Ó¹ Ð Ñ W ÞÒ Ñ Ð Ý ÔÖÓ ØÓÖ Ú ÔÓ Ø Ð Ò ÖÒ ÙÒ ÓÒ Ðó Ò W ºµ Ò º½º º Ù r Ö ÔÖ Þ ÒØ ÖÙÔÝ G Ò ØÓÔÓÐÓ Ñ Ú ØÓÖÓÚ Ñ W º ½µ ÈÓ ÔÖÓ ØÓÖ W W Ò ÞÚ G¹ ÒÚ Ö ÒØÒ ÔÓ Ù raw W ÔÖÓ Ú Ò a Gº ¾µ Ê ÔÖ Þ ÒØ r Ò ÞÚ Ö Ù ÐÒ ÔÓ Ù Ò G¹ ÒÚ Ö ÒØÒ ÙÞ Ú Ò ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖÝ W ÓÙ {0} Ð W º Æ ÔÖÓ ØÓÖÙ L 2 L ÓÞÒ Ñ ÓÔ Ö ØÓÖ ÒØ ØÝ ÝÑ ÓÐ Ñ Iº Ð Ù ÓÔ Ö ØÓÖ X = n j= Xj Ò Ò Ó Ò Ñ X j f := x j f ÓÔ Ö ØÓÖ D = n j= D j Ù ØÚ ÖÙ D j f := f ÔÖÓ f L 2 Lº ÇÔ Ö ØÓÖ D Þ Ñ Ò ÓÑ Þ Ò Ò L 2 Lº 2πi x j Ò º½º º Ë Ö Ò ÖÓÚ Ö ÔÖ Þ ÒØ HL L Ò À Ð ÖØÓÚ ÔÖÓ ØÓÖÙ L 2 L ÓÑÓÑÓÖ ÑÙ r S : HL L ÙØ L 2 L ÒÓÚ Ò Ô Ô Ñ p, q, t HL L º r S p, q, t = e 2πitI+pD+qX, ¾¾

27 ÈÐ Ø e ti fx = e t fx e 2πipD+qX fx = e 2πiqx+πipq fx + p Ù Þ ÒÓ Ú º ÓÐÐ Ò ØÖº ¾¾ ¾ º Ë Ö Ò ÖÓÚ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ý Ò Ô Ô Ñ rs p, q, tf x = e 2πit+qx+ 2 pq fx + p, p, q, t HL L f : R n C x R n º ØÓ ÓØÓ ÚÝ Ò ÔÐÝÒ ÔÓ ØÓ Ø Ú ÑÝ ÐÙ Ò º½º¾º ÈÓÚ ÑÒ Ñ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ôó Ó Ò ÔÖÚ ÒØÖ À Ò Ö ÓÚÝ ÖÙ¹ Ôݺ ÈÖÓ ö t R f L 2 L r S 0, 0, tf = e 2πit f, ØÓ Ø Ôó Ó Ò ÔÖÚ ó ÒØÖ Ò Ó Ò Ð Ö Ñº ÌÚÖÞ Ò º½º¾º Ë Ö Ò ÖÓÚ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÙÒ Ø ÖÒ º ó Þº ÈÖÓ r, s, p, q HV ÔÐ Ø e 2πirD+sX e 2πipD+qX fx = e 2πisx+πirs e 2πiqx+r+πipq fx + p + r = e 2πixs+q+πirs+pq+2πirq fx + p + r = e 2πixs+q+πir+ps+q+πirq sp fx + p + r = e πirq sp e 2πir+pD+s+qX fx. ÇÔ Ö ØÓÖ A ÙÒ Ø ÖÒ ÔÓ Ù ÔÐ Ù AA T = A T A = Iº ÍÒ Ø ÖÒ ÖÙö Ò ÓÔ Ö ØÓÖ r S Þ Ñ e 2πitI+pD+qX T = e 2πi ti pd qx, Ó ØÙ Ú Ñ ÚÝÙö Ø Ñ Ô ÓÞ ÖÓÚÒÓ Ø ö Ë Ö Ò ÖÓÚ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÞÓ ¹ Ö ÞÙ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ ÙÒ Ø ÖÒ ÓÔ Ö ØÓÖó r S : HV U L 2 R º Â Ò Ø Ý Ó ÙÒ Ø ÖÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ º Î Ð Ñ Ù ö Ñ ö Ë Ö Ò ÖÓÚ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ö Ù ÐÒ º ÎÝÙö Ñ ØÓÑÙ Ò ÓÐ ÔÓÞÒ Ø ó Þ Ø ÓÖ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ú Ò ÓÒ Ò Ñ ÒÞ Ø Ö ÙÚ Ñ Ò ö º Æ Ú Ú Þ Ú Ñ ÞÓ Ö Þ Ò V : L 2 L L 2 L L 2 L Ò Ý Ò ÞÚ ¹ ÒÓÙ ÓÙÖ Ö¹Ï Ò ÖÓÚÓÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Ø Ö Ò ÚÞÓÖ Ñ [V f, g]p, q := r S p, q, 0f, g, f, g L 2 L p, q R 2n, À Ð ÖØóÚ Ð ÖÒ ÓÙ Ò Ò L 2 L Ø º f, g = R n fxgxdxº ÌÚÖÞ Ò º½º º ÈÖÓ f f 2 g g 2 L 2 L ÔÐ Ø V f, g, V f 2, g 2 = f, f 2 g, g 2. º½µ ó Þº ÈÖÓ ó Þ Ú Þ º ÓÐÐ Ò ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º ¾ º ¾

28 Ò º½º º Ú Ö ÔÖ Þ ÒØ r : G AutW r 2 : G AutW 2 Ò ÞÚ Ñ Ú Ú Ð ÒØÒ ÔÓ Ù Ü ØÙ ÔÓ Ø Ð Ò ÖÒ ÞÓÑÓÖ ÑÙ T : W W 2 ÔÓ ØÓÙ ÒÚ ÖÞ ÔÐ Ù T r a = r 2 a T ÔÖÓ Ú Ò a Gº Ó Ö Þ Ò T Ò ÞÚ Ñ ÔÐ Ø Ò Ý Ú Ú Ö ÒØÒ µ ÓÔ ¹ Ö ØÓÖº ÈÓ Ù ÓÙ W W 2 À Ð ÖØÓÚÝ ÔÖÓ ØÓÖÝ r r 2 ÙÒ Ø ÖÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ô Ö ÔÖ Þ ÒØ r r 2 Ò ÞÚ Ñ ÙÒ Ø ÖÒ Ú Ú Ð ÒØÒ ÔÓ Ù Ü ØÙ ÔÐ Ø ÞÓ Ö Þ Ò ö ÙÒ Ø ÖÒ Ñ ÞÓÑÓÖ Ñ Ñº Æ Ð Ù Ú Ø Ø ÖÓÙ ÚÝÙö Ñ Ô ÓÒ ØÖÙ Ë Ð¹Ë Ð ¹Ï ÐÓÚÝ Ö ÔÖ ¹ Þ ÒØ Ú Ö ÒØ Ë ÙÖÓÚ Ð ÑÑ ØÙ ÔÖÓ Ò ÓÒ ÒÓÙ Ñ ÒÞ º Î Ø º½º º Ë ÙÖµ Æ ð r, r 2 ÓÙ Ú ÙÒ Ø ÖÒ Ö Ù ÐÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ä ¹ ÓÚÝ ÖÙÔÝ G Ò ÓÑÔÐ ÜÒ À Ð ÖØÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ W W 2 º ÈÓ Ù r Ò Ò Ú Ú Ð ÒØÒ r 2 Hom G W, W 2 = 0º ÈÓ Ù ÓÙ r r 2 Ú Ú Ð ÒØÒ Hom G W, W 2 Cº Æ Ú ÐÞ ö ÔÖÚ Þ Hom G W, W 2 ÒÓÖÑÓÚ Ø Ò Ó ¹ Ò Ñ Ð Ö Ñ Ý ÝÐ ÞÓÑ ØÖ º ó Þº Î Þ º Ϻ ÃÒ ÔÔ ½¼ º Ò º½º º Æ ð G Ä ÓÚ ÖÙÔ r Ö ÔÖ Þ ÒØ ÖÙÔÝ G Ò Ö ¹ ØÓÚ Ú ØÓÖÓÚ Ñ ÔÖÓ ØÓÖÙ W º ÀÐ Ú ØÓÖ w W ÔÖÓ Ö ÔÖ Þ ÒØ r Ø ÓÚ Ú ØÓÖ ÔÖÓ Ò ö g rgw W Ð ÞÓ Ö Þ Ò Þ G Ó W º Î ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ Ð Ú ØÓÖó ÓÞÒ Ñ W 0 º ÈÓÞÒ Ñ º ÅÒÓö Ò Ð Ú ØÓÖó ØÚÓ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ Ý Ð Ò Ö Ø Ö Ú º ÍÚ Ñ Þ ó ÞÙ Ø ØÚÖÞ Ò Ó Ð Ú ØÓÖ Ö ÔÖ Þ ÒØ ö ó Þ Ú Þ Ú º Ϻ ÃÒ ÔÔ ½¼ º ÌÚÖÞ Ò º½º º Ö Ò µ Æ ð W 0 W Ú ØÓÖÓÚ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ Ð Ú ØÓÖó Ö ÔÖ Þ ÒØ Ò Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ ÙÒ Ø ÖÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ r Ô W 0 Ù Ø ÔÓ ¹ ÔÖÓ ØÓÖ Ú W º Ò º½º º Æ ð g h ÓÙ Ú Ä ÓÚÝ Ð Öݺ Ä Ò ÖÒ ÞÓ Ö Þ Ò ϕ : g h Ò ÞÚ Ñ ÓÑÓÑÓÖ ÑÙ Ä ÓÚ Ð Ö ÔÓ Ù ÔÐ Ø ϕ [X, Y ] = [ϕx, ϕy ], X, Y gº ÀÓÑÓÑÓÖ ÑÙ Ä ÓÚÝ Ð ÖÝ g Ó glv = EndV Ò ÞÚ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ä ÓÚÝ Ð ÖÝ gº EndV ÞÒ ÔÖÓ ØÓÖ Ú Ò ÓÑÓÖ Ñó Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ V Ø Ö ÙÚ öóú Ò Þ ØÓÔÓÐÓ º Î Ò Ö ÔÖ Þ ÒØ Ä ÓÚÝ Ð ÖÝ Ò Ö ØÓÔÓÐÓ ö ÒÓÙ ÖÓÐ º ÌÚÖÞ Ò º½º º Æ ð g Ä ÓÚ Ð Ö Ä ÓÚÝ ÖÙÔÝ Gº Æ ð W 0 ÔÖÓ ØÓÖ Ð Ú ØÓÖó Ö ÔÖ Þ ÒØ r ÖÙÔÝ Gº Ó Ö Þ Ò dr : g Ò W 0 Ò Ô Ô Ñ drxw := d [re tx w], dt t=0 X g w W 0 Ö ÔÖ Þ ÒØ Ä ÓÚÝ Ð ÖÝ gº ¾

29 ÈÓÞÒ Ñ º Ê ÔÖ Þ ÒØ Ä ÓÚÝ Ð ÖÝ ÐÞ Ó Ò Þ Ø Ò Ò Ð Ú ¹ ØÓÖ Ö ÔÖ Þ ÒØ º Ç Ò ÔÐ Ø W 0 W ÐÞ Ù Þ Ø Ò Ô Ð º ÌÚÖÞ Ò º½º º Î ØÓÖÓÚ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ W 0 W Ð Ú ØÓÖó Ö ÔÖ Þ ÒØ r ÙÞ Ú Ò Ò Ôó Ó Ò Ö ÔÖ Þ ÒØ rº È ÓÞ ØÚÖÞ Ò ö W 0 ÙÞ Ú Ò Ò Ò Ò Ôó Ó Ò Ä ÓÚÝ Ð ÖÝ g Ð Ò Ôó Ó Ò ÖÙÔÝ Gº ÆÝÒ Ùö Ñóö Ñ ÚÖ Ø Ø Ë Ö Ò ÖÓÚ Ö ÔÖ Þ ÒØ º ÌÚÖÞ Ò º½º º Ë Ö Ò ÖÓÚ Ö ÔÖ Þ ÒØ r S Ö Ù ÐÒ º ó Þº Æ ð 0 M L 2 L ÙÞ Ú Ò ÒÚ Ö ÒØÒ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ ÔÖÓ r S Ò L 2 Lº Ù 0 f M 0 M 0 M ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ Ð Ú ØÓÖóº Ù g Mº Ý ÚÓÐ f g fº ÈÖÓØÓö M 0 ÙÞ Ú Ò Ò Ò Ò Ôó Ó Ò dr S Ú Þ ÌÚÖÞ Ò º½º µ Ð Ò r S Ð ÌÚÖÞ Ò º½º µ g e 2πipD+qX f ÔÖÓ Ú Ò p, q R 2n º Ë Ð ÖÒ Ò Ó e 2πit Ú Ô Ô Ù Ö ÔÖ Þ ÒØ Ò ÓÐÑÓ Ø Ò Ò ÓÚÐ ÚÒ ºµ ÌÓ ÞÒ Ñ Ò ö V f, g = 0º ÈÓ Ð ÖÓÚÒÓ Ø º½µ Ñ Ñ 0 = V f, g 2 = f 2 g 2 º ÈÖÓØÓö Ô ÔÓ Ð Ñ f 0 Ó Ø Ú Ñ ö g = 0 ÔÖÓØÓ M = L 2 L Þ ÙÞ Ú ÒÓ Ø Mº º¾ ËØÓÒ ¹ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒÓÚ Ú Ø ËØÓÒ ¹ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒÓÚ Ú Ø Ú óð ö Ø Ò ØÖÓ ÓÒ ØÖÙ Ë Ð¹Ë Ð ¹ Ï ÐÓÚÝ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÙÚ Ñ Ú Ø ØÓ ÔÓ Ô ØÓÐ º Î Ø º¾º½º ËØÓÒ ¹ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒµ Æ ð r Ò Ö Ù ÐÒ ÙÒ Ø ÖÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ À Ò Ö ÓÚÝ ÖÙÔÝ Hn Ò Ô Ö ÐÒ Ñ À Ð ÖØÓÚ ÔÖÓ ØÓÖÙ W Ø ÓÚ ö r0, tw = e 2πit w ÔÖÓ Ú Ò t R w W º ÈÓØÓÑ r ÙÒ Ø ÖÒ Ú Ú Ð ÒØÒ Ë Ö Ò ÖÓÚ Ö ÔÖ Þ ÒØ r S º ó Þº Î Þ º ÓÐÐ Ò Ì ÓÖ Ñ ½º ¼ º ÒÙ Ñ Ö ÔÖ Þ ÒØ À Ò Ö ÓÚÝ ÖÙÔÝ r g S : Hn Aut L 2 L Ô ¹ Ô Ñ r g S := r S a g, r S Ë Ö Ò ÖÓÚ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÞÓ Ö Þ Ò a g : Hn Hn ÒÓÚ ÒÓ ÚÞÓÖ Ñ a g v, t := gv, t ÔÖÓ ö g Sp2n, R v = p + q ÔÖÓ p L q L º Î Þ ÈÓÞÒ Ñ Ù Ò ÓÒ Ã Ô ØÓÐÝ ½º½ºµ Ó Ö Þ Ò a g ÖÙÔÓÚ ÓÑÓÑÓÖ ÑÙ ÔÖÓØÓö ÔÐ Ø a g[ v, t w, s ] = a g v + w, t + s + 2 ωv, w = gv + w, t + s + 2 ωv, w = gv + gw, t + s + 2 ωgv, gw = gv, t gw, s = a g v, t a g w, s. ÔÖÓ Ú Ò v, t w, s Hnº ¾

30 Î ÒÓÚ Ò r g S Ö ÔÖ Þ ÒØ ÔÖÓØÓö Ó ÐÓö Ò ÚÓÙ ÓÑÓÑÓÖ Ñóº Ñ ÔÖÓ Ò ÔÐ Ø r g S 0, sf = r S0, sf = e 2πis f ÔÖÓ Ú Ò s R f L 2 Lº Ý ØÓÑÙ ö a g ÙØÓÑÓÖ ÑÙ ÖÙÔÝ Hn ö Ë Ö Ò ÖÓÚ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÙÒ Ø ÖÒ Ö Ù ÐÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ r g S ÙÒ Ø ÖÒ Ö Ù ÐÒ º ËÔÓ ØÓ Ø Ú ÑÝ ÐÙ Ò º½º¾ Þ Ñ º ÈÓ Ð ËØÓÒ ¹ÚÓÒ Æ ÙÑ ÒÒÓÚÝ Ú ØÝ Î Ø º¾º½µ ÔÐ Ø ö Ú ÒÝ Ö Ù Ð¹ Ò ÙÒ Ø ÖÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ À Ò Ö ÓÚÝ ÖÙÔÝ ö Ò Ð ÖÒ Ò Ó Ø ÒÓÙ ÒØÖ ÐÒ Ó ÔÖÚ Ù Hn ÓÙ ÙÒ Ø ÖÒ Ú Ú Ð ÒØÒ º ÌÓ ÞÒ Ñ Ò ö Ü ØÙ ÔÐ Ø ÓÔ Ö ØÓÖ Ug Ø ÓÚ ö Ug r S v, s = r g S v, s Ug º¾µ ÔÖÓ Ú Ò v, s Hn g Sp2n, Rº ÌÚÖÞ Ò º¾º¾º Ó Ö Þ Ò g Sp2n, R Ug Ò Ù Ù ÔÖÓ Ø ÚÒ ÙÒ Ø ÖÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ U ÖÙÔÝ Sp2n, R Ò L 2 L ØÓ Ø ÔÐ Ø Uab = ca, buaub ÔÖÓ Ð ÓÚÓÐÒ a, b Sp2n, R Ú Ó Ò c : Sp2n, R Sp2n, R S º ó Þº Æ ð ÓÙ a, b Sp2n, R v, s Hn Ô ÔÐ Ø Ua Ubr S v, sub Ua = Uar b Sv, sua = r ab S v, s, Uabr S v, suab = r ab S v, s, Ñ ÔÓÙö Ð º¾µº ÇÔ Ö ØÓÖÝ UaUb Uab Ø Ý ÔÐ Ø ØÝØ ö Ö ÔÖ Þ Ò¹ Ø º ÈÓ Ð Ë ÙÖÓÚ Ð ÑÑ ØÙ Ä ÑÑ º½º µ ÐÞ Ó ØÝØÓ ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÒÓÖÑÓÚ Ø Ò ÞÓÑ ØÖ Þ Óö ÚÝÔÐÚ ö UaUb Uab Ð Ó Ò Ó ÓÑÔÐ ÜÒ ÒÓØ ÓÙ ÓÞÒ ÒÓÙ ca, bº ÖÙÔ Sp2n, R Ò ÖÓÚ Ò Ñ Ø J 0 ÔÓÐÙ Ñ Ø Ñ ØÝÔÙ D 0 0 D T I N 0 I D GLn, R N ÝÑ ØÖ ØÚ ÖÓÚ Ñ Ø Ù n Ú Ñ Þ ÌÚÖÞ Ò ½º¾º º ÈÖÓØÓ Ø ÙÖ Ø Ö ÔÖ Þ ÒØ U Ò Ø ØÓ Ò Ö ØÓÖ º ÈÓ Ð Ãº À ÖÑ ÒÒÓÚ Ä ÑÑ ½º º¾¹ ÔÐ Ø ö ÞÓ Ö Þ Ò 0 I F : L 2 L L 2 L º µ I 0 D 0 0 D T fx det D 2 fd T x º µ I N fx e i 2 Nx,x fx º µ 0 I ÒÙ ÒÙ Þ ÑÓöÒ ÔÖÓ Ø ÚÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ ÖÙÔÝ Sp2n, Rº F ÓÞÒ ¹ Ù ÓÙÖ ÖÓÚÙ ØÖ Ò ÓÖÑ, ÞÒ Ð Ð ÖÒ ÓÙ Òº ¾

31 º Å Ø ÔÐ Ø ÖÙÔ Ö ÔÖ Þ ÒØ Å Ø ÔÐ Ø ÖÙÔ Ä ÓÚ ÖÙÔ Ø Ö Ò Ò Ñ Ø ÓÚ Ò Óð Ò Ñ Ú ÖÒÓÙ ÓÒ Ò Ñ ÒÞ ÓÒ ÐÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ º Â Ò Ó ÚÓÙÐ Ø Ò ÖÝØ Sp2n, Rº Ò º º½º Æ ð X ØÓÔÓÐÓ ÔÖÓ ØÓÖº Æ ÖÝØ ÔÖÓ ØÓÖÙ X ÔÖÓ ØÓÖ C ÔÓÐ Ò ÔÓ ØÑ ÙÖ Ø ÚÒ Ñ ÞÓ Ö Þ Ò Ñ p : C X ÔÖÓ Ø Ö ÔÐ Ø ö ÔÖÓ ö x X Ü ØÙ ÓØ Ú Ò Ó ÓÐ U Ó Ù x Ø ö p U ÙÒ ØÒ ÒÓ Ò ÓØ Ú Ò ÑÒÓö Ò Ú C Þ Ò ö ö ÓÑ ÓÑÓÖ Ò Uº Æ ð X ÓÙÚ Ð ÔÖÓ ØÓÖº Æ ÖÝØ p : C X ÔÖÓ ØÓÖÙ X Ò ÞÚ n¹ Ð Ø Ò ÖÝØ ÔÖÓ ØÓÖÙ X ÔÓ Ù ÔÖÓ ö x U p U ÙÒ ØÒ ÒÓ Ò n N ÓØ Ú Ò ÑÒÓö Ò ÓÑ ÓÑÓÖ Ò Uº Ä ÑÑ º º½º Æ ð X C ÓÙ Ó ÐÓÙ ÓÚ ÓÙÚ Ð ÔÖÓ ØÓÖÝ Ò ð p : C X Ò ÖÝØ Xº È ÔÐ Ø ö Ò Ù ÓÚ Ò ÞÓ Ö Þ Ò π p : π C π X Ñ Þ ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒ Ñ ÖÙÔ Ñ π C π X ÔÖÓ ØÓÖó C X Ò Ø ÚÒ º Æ Ú ÔÓ Ø Ð Øó Ò ÖÝØ p : C X Ó ÔÓÚ Ò ÜÙ ÖÙÔÝ π p π C Ú ÖÙÔ π Xº ó Þº Î Þ º À Ø Ö Â Ú Ñ ÔÓ Ð ÌÚÖÞ Ò ½º¾º ÖÙÔ Sp2n, R Ó ÐÓÙ ÓÚ ÓÙÚ Ð Ñ ÙÒ Ñ ÒØ ÐÒ ÖÙÔÙ π Sp2n, R = Zº ÈÖÓØÓö ÖÙÔ Z Ñ Ò ÒÙ ÔÓ ¹ ÖÙÔÙ Ò ÜÙ ¾ Ü ØÙ ÔÓ Ð Ä ÑÑ ØÙ º º½ ö Ò ÞÓÑÓÖ ÑÙ Ò ÓÙÚ Ð ÚÓÙÐ Ø Ò ÖÝØ ÖÙÔÝ Sp2n, Rº ÇÞÒ Ñ ØÓØÓ ÚÓÙÐ Ø Ò ÖÝØ λ : Mp2n, R Sp2n, R. ÖÙÔ Mp2n, R Ò ÞÚ Ñ Ø ÔÐ Ø ÖÙÔ º º Ï Ð ½ Ó Þ Ð ö ÔÖÓ Ø ÚÒ ÙÒ Ø ÖÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ U ÖÙÔÝ Sp2n, R Ø Ö ÔÓÔ Ò Ò ÓÒ Ã Ô ØÓÐÝ º¾ ÐÞ Þ Ú ÒÓÙØ Ò ÙØ ÒÓÙ ÙÒ Ø ÖÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ñ Ø ÔÐ Ø ÖÙÔݺ ÌÚÖÞ Ò º º¾º Ü ØÙ Ò ÙÒ Ø ÖÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ö ÔÐ Ù M : Mp2n, R UL 2 L, Mq r S v, s = r S λqv, s Mq ÔÖÓ Ú Ò q Mp2n, R v, s Hnº ó Þº Î Þ º Ï Ð ½ ú À ÖÑ ÒÒÓÚ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ½º º º ÍÒ Ø ÖÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ M Ò ÞÚ Ë Ð¹Ë Ð ¹Ï ÐÓÚ Ö ÔÖ Þ ÒØ º ÌÚÖÞ Ò º º º Ë Ð¹Ë Ð ¹Ï ÐÓÚ Ö ÔÖ Þ ÒØ M Ñ Ø ÔÐ Ø ÖÙÔÝ Ú Ö¹ Ò Ø º M : Mp2n, R UL 2 L Ò Ø ÚÒ º Ê ÔÖ Þ ÒØ M ÖÓÞ Ð Ò Ú Ö Ù ÐÒ ÙÒ Ø ÖÒ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ø Ö ÓÙ Ö ØÖ Ñ M Ò ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖÝ Ù Ö Ô Ø Ú Ð ÙÒ Ú L 2 Lº ó Þº Î Þ º ÓÐÐ Ò º ¾

32 Ò º º¾º ÒÙ Ñ Ò ÐÝØ ÓÙ Ë Ð¹Ë Ð ¹Ï ÐÓÚÙ Ö ÔÖ Þ ÒØ m : Mp2n, R Aut Ö ØÖ ÒÓÙ ÔÓ Øѵ ÚÒÓ Ò Ñ Id : L 2 Lº ÈÓÞÒ Ñ º ÈÓÞÒ Ñ Ò Ñ ö Ò Ò ÐÝØ Ë Ð¹Ë Ð ¹Ï ÐÓÚÝ Ö ÔÖ Þ Ò¹ Ø ÓÖ ØÒ Ý ÚÞØ óñ º µ º µ º µ Î Ø ¾º¾º º Ó ÞÙ Ñ ö Ö ØÖ ÓÙ Úó ÑÓöÒ µ ÄÞ Ù Þ Ø Ú Þ º ÓÖ Ð ö ö Ö ÔÖ Þ ÒØ Ë Ð¹Ë Ð ¹Ï ÐÓÚ ØÝÔÙ ÖÓÞ Ò Ñ Ò ÐÝØ Ë Ð¹Ë Ð ¹Ï ÐÓÚÝ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ú ÑÝ ÐÙ ö ÔÖÓ ØÓÖ Úö Ý ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ Ñ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ò Ó ÔÖÓ ØÓÖÙº ÈÓ Ù Ý ÓÑ ÒÓÚ Ð Ö ÔÖ ¹ Þ ÒØ m S : Mp2n, R Aut SL ÔÖÓ Ö ÔÖ Þ ÒØ Ò ÔÖÓ ØÓÖ ÔÐ Ø SL º Î ÔÖ Ù Ñ Ð ÔÓÙö Ú Ø Ò ÐÝØ ÓÙ Ë Ð¹Ë Ð ¹Ï ÐÓÚÙ Ö ÔÖ Þ ÒØ mº ÈÖÚ Ý ÔÖÓ ØÓÖÙ Ù Ñ Ò ÞÚ Ø ÝÑÔÐ Ø Ô ÒÓÖݺ ÒÙ Ñ ÒÝÒ Ð ÓÖ ÓÚÓ Ò Ó Ò Ø Ö ÙÑÓö Ù Ò Ó Ø Ú ØÓÖÝ Ýѹ ÔÐ Ø Ô ÒÓÖÝ Ø Ó ØÓ ÑÓöÒÓ Ú Ê Ñ ÒÒÓÚ Ô Ô º Ò º º º ËÝÑÔÐ Ø Ð ÓÖ ÓÚÓ Ò Ó Ò : R 2n ÒÓÚ Ò ÔÓÑÓ ÔÖÚ ó Þ {e,...,e 2n } ÝÑÔÐ Ø Ó Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ R 2n, Ω 0 ÔÖÓ f x = x,...,x j L j =,...,n Ô Ô Ñ e j fx := ix j fx, e n+j fx := f x j x. Æ Ó Ø ØÒ ÔÖÚ Ý Þ R 2n ÝÑÔÐ Ø Ð ÓÖ ÓÚÓ Ò Ó Ò ÖÓÞ Ñ Ð Ò ÖÒ º ÈÓÞÒ Ñ º ËÝÑÔÐ Ø Ð ÓÖ ÓÚÓ Ò Ó Ò Ò ÓÑ Þ Ò ÓÔ Ö ØÓÖ Ò L 2 Lº ÈÖÓ Ø ÐÝ Ú Þ Ãº À ÖÑ ÒÒÓÚ º ÈÓÞÒ Ñ Ò Ñ Ø ö ÝÑÔÐ Ø Ð ¹ ÓÖ ÓÚÓ Ò Ó Ò Ó ÔÓÚ Ø ÞÚ Ò ÑÙ À Ò Ö ÓÚ ÒÓÒ ÑÙ Ú ÒØÓÚ Ò À Ñ ÐØÓÒÓÚÝ Ñ Ò Ýº ÈÓÞÒ Ñ º ÈÖÓ Þ ÒÓ Ù Ò Þ Ô Ù Ù Ñ Þ Ô ÓÚ Ø v w s Ñ ØÓ v w s ÔÖÓ v, w R 2n s Ò ÐÓ Ý ÔÖÓ ÝÑÔÐ Ø Ú ØÓÖÓÚ ÔÓÐ º Ä ÑÑ º º º ÈÖÓ v, w R 2n s ÔÐ Ø v w s w v s = iω 0 v, ws. ó Þº Î Þ Ãº À ÖÑ ÒÒÓÚ Ä ÑÑ ½º º½ º Ä ÑÑ º º º Ð ÓÖ ÓÚÓ Ò Ó Ò Mp2n, R¹ Ú Ú Ö ÒØÒ º ÌÓ ÞÒ Ñ Ò ö ÔÖÓ ö g Mp2n, R v R 2n s ÔÐ Ø λgv mgs = mgv s. ó Þº Î Þ Ãº À ÖÑ ÒÒÓÚ Ä ÑÑ ½º º º ¾

33 º ÖÓÚ Ò Ò ÐÝ ÓÒ Ü ÝÑÔÐ Ø Ô ÒÓÖÓÚ Ò Ð Ø ÑÓ Ú Ô ÓÞ Ô ØÓÐ Ñ Ù ÓÚ Ð Ð Ö Ô Ö Ø Ñ ÖÒ Ñ ÓØ Ð Ò Þ ÝØÒ Ò Ñ ÓÙÚ ØÓÔÓÐÓ Ó¹ Ò ÐÝØ ÔÓ Ñó Ú Ø ØÓ Ô ØÓÐ ÞÒ Ñ Ñ ÓÑ ØÖ Ñ ØÖÙ ØÙÖ Ñ º ËÝÑÔÐ Ø Ú Ö ØÝ Ù ÓÙ Ö Ø ÖÓÐ ÔÓ Ð ÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ Ò Ø ÖÑ ÚÝ Ù Ù Ñ ØÖÙ ØÙÖÙ Ð ÚÒ Ó Sp2n, R¹ Ò ÐÙ Ð ÚÒ Ó Mp2n, R¹ Ò ÐÙ Ò ÑÙ Ó ÓÚ Ò Ó ÝÑÔÐ ¹ Ø Ó Ô ÒÓÖÓÚ Ó Ò ÐÙº Ý ÓÑ ÑÓ Ð ÔÖ ÓÚ Ø Ö Ò ÐÒ Ñ ÖÓÚÒ Ñ ÔÖÓ Ó ÓÚ Ò Ó Ò ÐÙ ÔÓØ Ù Ñ ÔÓ Ñ ÓÒ Ü Ò ÒÓØÐ Ú Ò¹ Ð º Æ ÓÒ ÞÒ Ñ Ñ ÝÑÔÐ Ø ÓÙ Ô ÒÓÖÓÚÓÙ ÓÒ Ü Ø Ö Ò Ñ ÙÑÓöÒ ÔÖ ÓÚ Ø ÝÑÔÐ Ø Ñ Ô ÒÓÖÓÚÑ ÔÓÐ Ö Ò ÐÒ Ñ ÓÖÑ Ñ Ó ÒÓ¹ Ø Ñ Ú ÝÑÔÐ Ø Ô ÒÓÖÓÚ ÔÓÐ º º½ ËÝÑÔÐ Ø Ú Ö ØÝ Ë ÔÓ ÑÝ ÝÑÔÐ Ø Ð Ò ÖÒ Ð ÖÝ Ñ ÞÒ Ñ Ð Ú ÔÖÚÒ Ô ØÓÐ º Ð Ñ ÖÓ Ñ Ù ÞÒ Ñ Ø ÝÑÔÐ Ø Ñ Ú Ö Ø Ñ º à ö n¹ Ñ ÒÞ ÓÒ ÐÒ Ú Ö Ø Þ Ò ÐÓ ÐÒ ÓÑÓÖ Ò R n º ÈÓ Ð Ö ÓÙÜÓÚÝ Ú ØÝ ö ÝÑÔÐ Ø Ú Ö Ø Ñ ÒÞ 2n ÐÓ ÐÒ ÝÑÔÐ ØÓÑÓÖ Ò ÒÓÒ ÝÑÔÐ Ø Ú Ö Ø ÓÞÒ Ò R 2n, ω 0 º ËÝÑÔÐ Ø ÓÙ Ú Ö ØÓÙ Ò Ô Ð ÞÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ ÔÓö Ú Ò Ú À Ñ ÐØÓÒÓÚ Ñ Ò º Ò º½º½º ËÝÑÔÐ Ø Ú Ö Ø M, ω Ð Ú Ö Ø Ù Ñ ÒÞ 2n ÔÓÐÙ ÒØ ÝÑ ØÖ ÓÙ Ö Ò ÐÒ ¾¹ ÓÖÑÓÙ ω Ø Ö ÙÞ Ú Ò Ø º dω = 0 Ò Ò ÖÓÚ Ò Ø º ÔÖÓ ö m M Ò Ü ØÙ Ò ÒÙÐÓÚ ÔÖÚ v T m M ÔÖÓ Ø Ö ÔÐ Ø ω m u, v = 0 ÔÖÓ ö u T m Mº È Ð º  ÒÓ Ù Ñ Ô Ð Ñ ÝÑÔÐ Ø Ú Ö ØÝ Ö ÐÒ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ R 2n Ø Ò Ö Ò Ñ ÓÙ Ò Ñ ÓÞÒ ÒÑ x,...,x n, y,...,y n º ÓÖÑ n ω 0 = dx i dy i i= ÝÑÔÐ Ø ÓÖÑ º ËÝÑÔÐ Ø Þ Ø Ò Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ T m R 2n, ω 0 m ÔÖÓ ö m M { },...,,,...,. x m x m n y m y m n ÌÙØÓ ÝÑÔÐ Ø ÓÙ Ú Ö ØÙ ÓÞÒ Ñ R 2n, ω 0 º È Ð º Ë Ö S 2 ÓÖÑÓÙ Ó ÑÙ ÝÑÔÐ Ø Ú Ö Ø º Æ Ô Ð ÔÓ Ù Ö Þ Ò Ó ÔÓ Ú Ö Ø Ø ÖÓÞÑ ÖÒ Ó Ö ÐÒ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ Ô Ö Ñ ØÖ Þ ÓØ Ú Ò Ù Ø ÔÓ ÑÒÓö ÒÝ cosϑcos ϕ, cosϑsin ϕ, sin ϑ ϑ π 2, π 2, ϕ 0, 2π ÝÑÔÐ Ø ÓÖÑ ω := dφ dϑº ÓÖÑ ω ÒØ ÝÑ ØÖ Ò ¹ Ò ÖÓÚ Ò ÙÞ Ú Ò ÔÖÓØÓö ØÓ ÓÖÑ Ó ÑÙº ¾

34 Ò º½º¾º ËÝÑÔÐ ØÓÑÓÖ ÑÙ Ñ Þ Ú Ñ ÝÑÔÐ Ø Ñ Ú Ö Ø Ñ M ω M 2 ω 2 ÓÑÓÖ ÑÙ F : M M 2 ÔÐ Ù F ω 2 = ω F ÓØ Ò ÞÓ Ö Þ Ò ÞÓ Ö Þ Ò Ñ F º Î Ð Ñ Ù öñ ö Ò ÓØ Ò Ñ Ò ÐÙ T M n¹ Ñ ÒÞ ÓÒ ÐÒ Ú Ö ØÝ M ÐÞ Þ Ú Ø ÒÓÒ ÓÙ ÝÑÔÐ Ø ÓÙ ÓÖÑÙ ω M º Æ Ú Þ Ú Ñ Ò T M Ø ÞÚ ÒÓÙ Ä ÓÙÚ ÐÐ ÓÚÙ ½¹ ÓÖÑÙ θ M : TT M C T M, Rº Ú Ñ ÐÓ ÐÒ ÓÙ Ò Ò T Mº Æ ð x,...,x n ÓÙ ÓÙ¹ Ò Ò ÓØ Ú Ò ÔÓ ÑÒÓö Ò U ÑÒÓö ÒÝ Mº ËÓÙ Ò ÓÖÑÝ α TxM x = x,...,x n α = n i= ξ idx i ÓÙ x,...,x n, ξ,...,ξ n º Ä ÓÙÚ ÐÐ ÓÚ ÓÖÑ Ñ Ú Ø ØÓ ÐÓ ÐÒ ÓÙ Ò ØÚ Ö θ M = n ξ i dx i. i= ÇÚ Ñ ö Ø ØÓ Ò Ò Þ Ú Ò ÚÓÐ ÐÓ ÐÒ ÓÙ Ò Ò Mº Æ ð x,...,x n x,...,x n ÓÙ Ú Ý Ø ÑÝ ÐÓ ÐÒ ÓÙ Ò Ò Mº È dx i = n x i k= dx k ξ x k i = n x j j= ξ x j Ø Ý Ó Ø Ò Ñ i θ M = n ξ i dx i = i= n i,j,k= x i x k x j x iξ jdx k = n δ j k ξ jdx k = j,k= n ξ j dx j = θ M. à ÒÓÒ ÓÙ ÝÑÔÐ Ø ÓÙ ÓÖÑÙ Ò ÓØ Ò Ñ Ò ÐÙ Ú Ö ØÝ M ÒÙ Ñ Ô Ô Ñ ω M := dθ M º à ÒÓÒ ÓÖÑ ω M ÒØ ÝÑ ØÖ Ò Ò ÖÓÚ Ò ÙÞ Ú Ò ÔÖÓØÓö ddθ M = 0º Î Ú Þ Ú Ò ÐÓ ÐÒ ÓÙ Ò Ñ ØÚ Ö n ω M = dx i dξ i. i= Þ ÓÙ Ò ÓÚ Þ Ô θ M Ö Ô Ø Ú ω M Þ Ñ Ò Ð ÓÚÒ º ÒÙ Ñ ÓÖ¹ ÑÙ θ M Ú Ó β T M Ô Ô Ñ θβ M := β π β π : T M M ÔÖÓ π β : T β T M T πβ Mº ÌÓ Ø θβ Mv = β π β v R ÔÖÓ v TT M β T Mº ÈÓ Ù Ñ Ñ ÐÓ ÐÒ ÓÙ Ò x,...,x n, ξ,...,ξ n Ò ÓØ Ò Ñ Ò ÐÙ T M Ó Ù Ø ØÓ Ò Ú ÔÖÓØÓö π x = π i x i ξ i = 0 Ø Ñ ÓÖÑ θ M ÓÔÖ Ú Ù ØÚ Ö θ M = n i= ξ idx i º Æ Ð Ù Ú Ø óð ö ØÓÙ Ò ÓÖÑ Ó ÝÑÔÐ Ø Ú Ö Ø º Î Ø º½º½º Ö ÓÙܵ à ö ÝÑÔÐ Ø Ú Ö Ø ÐÓ ÐÒ ÝÑÔÐ ØÓÑÓÖ Ò R 2n, ω 0 º ó Þº Î Þ º ÒÒ Ë ÐÚ ½ Ì ÓÖ Ñ º½ º j= º¾ ÖÓÚ Ò Ò ÐÝ Î Ø ØÓ Ô ØÓÐ ÞÒ Ñ Ñ ÔÓ ÑÝ ÖÓÚ Ò Ò Ð Ð ÚÒ Ò Ð Ó ÓÚ ¹ Ò Ò Ðº Æ Ø ØÓ Ò Ð Þ Ú Ñ ÙÚ Ñ Ô Ð Ý ÒÓÚ Ò Ò Ðóº Î Ø Ðó Ú Þ Áº ÃÓÐ Ú ½½ º ¼

35 ÈÖÓ Ò ÐÝ Ù Ñ ÔÖ ÓÚ Ø ÖÓÚ ÒÑ Ò ÐÝ ö ØÓØ ÐÒ ÔÖÓ ØÓÖÝ Ù ÓÙ Ñ Ø ØÖÙ ØÙÖÙ Ö ØÓÚÝ Ú Ö Øݺ ÈÖÓØÓ Ò Ù Ñ ÙÚ Ø ö Ú Ø ØÓ Ó ÒÓ Ø º ÈÖÓ Ò Ö ØÓÚ Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ Ð Ó ÞÓ Ö Þ Ò Ñ Þ Ö ØÓÚÑ Ú ØÓÖÓÚÑ ÔÖÓ ØÓÖÝ Ú Þ Ã Ô ØÓÐÙ ¾º½ Ò ¾º½º ¾º½º º ÆÝÒ Þ Ú Ñ Ö ØÓÚÝ Ú Ö ØÝ Ø Ö ÓÙ Ò ÓÒ Ò ÖÓÞÑ ÖÒÑ ÞÓ Ò ¹ Ò Ñ Ð n¹öóþñ ÖÒ Ö ÒÓÚ Ø ÐÒ Ú Ö Øº Ò º¾º½º Æ ð M À Ù ÓÖ óú ØÓÔÓÐÓ ÔÖÓ ØÓÖ ÔÓ ØÒÓÙ Þ ÓØ Ú Ò ÑÒÓö Òº Å Ô Ò M ÚÓ U, ϕ U M ÓØ Ú Ò ϕ : U V ÓÑ ÓÑÓÖ ÑÙ Ò ÓØ Ú ÒÓÙ ÔÓ ÑÒÓö ÒÙ V Ò Ó Ô ÚÒ ÞÚÓ¹ Ð Ò Ó Ö ØÓÚ Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ F º Ö ØóÚ ØÐ Ò M ÑÒÓö Ò Ñ Ô {U α, ϕ α } α A Ø ÓÚ ö M = α A U α ö Ú Ñ ÔÝ ÓÙ ÓÑÔ Ø ÐÒ Ø º Ô Ó ÓÚ ÙÒ ϕ α ϕ β ÓÙ ÓÑÓÖ ÑÝ ÓØ Ú Ò ÔÓ ÑÒÓö Ò Ö ØÓÚ Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ F º ÈÓÞÒ Ñ º ØÐ ÒÙ Ò M ØÓÔÓÐÓ Ø ØÓ A M ÓØ Ú Ò ÔÓ Ù ÔÖÓ ö ÓÙ Ñ ÔÙ U, ϕ Þ Ò Ó ØÐ Ù ÔÐ Ø ö ϕa U ÓØ Ú Ò ÔÓ ÑÒÓö Ò Ö ØÓÚ Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ F º Ò º¾º¾º Ö ØÓÚ Ú Ö Ø M À Ù ÓÖ óú ØÓÔÓÐÓ ÔÖÓ ØÓÖ Ø ¹ Ö Ñ ÔÓ ØÒÓÙ Þ ÓØ Ú Ò ÑÒÓö Ò Ò Ø Ö Ñ Ò Ö ØóÚ ØÐ {U α, ϕ α } α A º Ö ÒÓÚ Ø ÐÒ ØÖÙ ØÙÖ Ò Ö ØÓÚ Ú Ö Ø Ñ Ü Ñ ÐÒ Ö ØóÚ ØÐ º È Ð º È Ð Ñ Ö ØÓÚÝ Ú Ö ØÝ S C Rº Î Þ È Ð º à Ò Ñ ¹Ð Ú Ð Ñ Ú Ö Ø Þ Ó Ò Ö ØÓÚ ÑÝ Ð Ñ Ø Ñ Úö Ý Ú Ö ¹ ØÙ ÓÒ Ò Ñ ÒÞ º Ò º¾º º Æ ð E, F ÓÙ Ö ØÓÚÝ Ú Ö ØÝ B Ú Ö Ø º ÖÓÚ Ò Ò Ð Ø Ò Ö Ò Ñ Ö Ñ F ÔÖÓ ØÓÖ E ÔÓÐÙ Ð Ñ ÙÖ Ø ÚÒ Ñ ÞÓ Ö ¹ Þ Ò Ñ π : E B ÔÓ Ù ÔÖÓ Ú Ò m B Ü ØÙ ÓØ Ú Ò Ó ÓÐ m U α B Ü ØÙ ÓÑÓÖ ÑÙ ψ α : π U α U α F Ø Ö Þ ÓÚ Ú ÖÝ Ø º ÓÑÙØÙ Ö Ñ ψ α E π U α U α F π p U α, p ÔÖÓ Ò ÔÖÚÒ ÐÓö Ù ÖØ Þ Ó ÓÙ ÒÙº ÈÖÓ ØÓÖ B Ò ÞÚ ÞÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ ÖÓÚ Ò Ó Ò ÐÙ E Ò ÞÚ ØÓØ ÐÒ ÔÖÓ ØÓÖ F Ø Ò Ö Ò Öº ÚÓ U α, ψ α Ò ÞÚ Ñ Ô ÖÓÚ Ò Ó Ò ÐÙ Ò Ó ÐÓ ÐÒ ØÖ Ú Ð Þ Eº Ú Ñ ÔÝ ÖÓÚ Ò Ó Ò ÐÙ U α, ψ α U β, ψ β ÓÙ ÓÑÔ Ø ÐÒ ÔÓ Ù ψ α ψ β ÓÑÓÖ ÑÙ º ÌÓ Ø ÔÓ Ù ÔÐ Ø ψ α ψ β x, s = x, ψ αβ x, s ψ αβ : U α U β F F Ð ψ αβ x, ÓÑÓÖ ÑÙ F ÔÖÓ Ú ÒÝ x U αβ := U α U β º Ó Ö Þ Ò ψ αβ : U αβ DiffF Ó ÒÓØ Ñ Ú ÖÙÔ DiffF Ú ÓÑÓÖ Ñó F Ò ÞÚ Ô Ó ÓÚ ÙÒ ÖÓÚ Ò Ó Ò ÐÙº È Ó ÓÚ ÙÒ ÔÐ Ù ÓÝ Ð ÓÙ ÔÓ Ñ Ò Ù Ø º ÔÐ Ø ψ αβ xψ βγ x = ψ αγ x ÔÖÓ Ú Ò x U αβγ := U α U β U γ ψ αα = Id B ÔÖÓ Ú Ò x U α ÐÞ Ò ÒÓ ÓÚ Øº ½