( u,v W) : u W v W ( α R)( u,v W) : α W v W.

Transkript

1 ÔÐ ÓÚ Ò Ð Ö Ú Ò µ ÇÐ ÎÐ Ò Ó Ø Ð ¾¼º Ù Ò ¾¼½ ½

2 ½ ½º½ È ÔÓÑ ÒÙØ Ò Ø Ö Ô ØÓÐ Þ Ð Ò ÖÒ Ð ÖÝ Î ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖÝ ØÚ (V,F,, ) V ÑÒÓö Ò F Ø Ð Ó Ð Ô ÒÓ (F,+, ) Ø Ð Ó ÓÙ ÓÔ Ö : V V V : F V V Ò ÞÚ Ñ ÔÓ Ñ Ñ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ ÔÖ Ú Ø Ý Ýö (V, ) ÓÑÙØ Ø ÚÒ ÖÙÔ ÚÐ ØÒÓ Ø ½µ µ ÓÙ ÔÐÒ ÒÝ ÚÐ ØÒÓ Ø µ µº Ì Ý Ô Ð Ò Ó Ø Ú Ø ( u,v,w V) : (u v) w = u (v w) ½µ ÆÙÐÓÚ ÔÖÚ ( o V)( u V) : u o = o u = u ¾µ ÇÔ Ò ÔÖÚ ( u V)( ( u) V) : u ( u) = o µ ÃÓÑÙØ Ø Ú Ø ( u,v V) : u v = v u µ ØÖ ÙØ Ú Ø ( α F)( u,v V) : α (u v) = (α u) (α v) µ ØÖ ÙØ Ú Ø + ( α,β F)( u V) : (α+β) u = (α u) (β u) µ ÃÓÑÔ Ø Ð Ø ( α,β F)( u V) : α (β u) = (α β) u µ Æ Ó Ò Ò ÓÙ F ( u V) : u = u µ F Ú Ø Ð F ÒØ ØÓÙ ÚÞ Ð Ñ Ò Ó Ò Ø Ý ( α F) α = αº Å Ñ ÔÓ ÑÒÓö ÒÙ W V Ö ØÖ W W ÓÔ Ö Ò Wº ÈÓ Ù (W,F, W, W ) Ú ØÓÖÓÚÑ ÔÖÓ ØÓÖ Ñ Ò ÞÚ Ñ ÔÓ Ñ Ñ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓØÙ Vº ÈÓ Ø Ù ÔÓ Ñ Ò¹ ÓÙ Ý W ÝÐ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ Ñ Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ V ÙÞ Ú ÒÓ Ø ÓÔ Ö Ò W ( u,v W) : u W v W ( α R)( u,v W) : α W v W. ¾

3 È Ð ½º Ó öø µ µ ÔÖÓ µ (R 2 2,R, R 2 2, R 2 2) [ ] [ ] [ ] a b e f a+e b+f d c R 2 2 = g h d+g c+h [ ] [ ] a b αa αb α R 2 2 = d c αd αc µ (P 3,R, P3, P3 ) (a+bx+cx 2 ) P3 (d+ex+fx 2 ) = (a+d)+(b+c)x+(c+f)x 2 α P3 (a+bx+cx 2 ) = (αa+αbx+αcx 2 ) à Ò º µ ( α R)( u,v R 2 2 ) [ ] [ ] a b e f u =, v = c d g h [ ] [ ] [ ] a b e f a+e b+f u R 2 2 v = c d R 2 2 = = g h c+g d+h [ ] [ ] [ ] e+a f +b e f a b = = g +c h+d g h R 2 2 = v c d R 2 2 u ([ ] [ ]) [ ] a b e f a+e b+f α R 2 2 (u R 2 2 v) = α R 2 2 c d R 2 2 = α g h R 2 2 = c+g d+h [ ] [ ] [ ] [ ] α(a+e) α(b+f) αa+αe αb+αf αa αb αe αf = = = α(c+g) α(d+h) αc+αg αd+αh αc αd R 2 2 = αg αh ( [ ]) ( [ ]) a b e f = α R 2 2 c d R 2 2 α R 2 2 = (α g h R 2 2 u) R 2 2 (α R 2 2 v) µ ( α R)( u,v P 3 ) u = (a+bx+cx 2 ), v = (d+ex+fx 2 ) u P3 v = (a+bx+cx 2 ) P3 (d+ex+fx 2 ) = (a+d)+(b+e)x+(c+f)x 2 = (d+a)+(e+b)x+(f +c)x 2 = (d+ex+fx 2 ) P3 (a+bx+cx 2 ) = v P3 u α P3 (u P3 v) = α P3 ( (a+bx+cx 2 ) P3 (d+ex+fx 2 ) ) = = α P3 ( (a+d)+(b+e)x+(c+f)x 2 ) = = α(a+d)+α(b+e)x+α(c+f)x 2 = (αa+αd)+(αb+αe)x+(αc+αf)x 2 = = ( αa+αbx+αcx 2) + ( αd+αex+αfx 2) = = ( α P3 (a+bx+cx 2 ) ) P3 ( α P3 (d+ex+fx 2 ) ) = (α P3 u) P3 (α P3 v)

4 È Ð ¾º Å Ñ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ (R R,R, R R, R R ) Ú Ö ÐÒ ÙÒ R R = {f : R R} ( f,g R R )( x R ) : (f R R g)(x) = f(x)+g(x) ( α R )( f R R )( x R ) : (α R R f)(x) = αf(x). ÍÖ Ø Ú ØÚÖÞ Ò Ó Ø µ Ø Ö Þ ÑÒÓö Ò # {U,V,W} R R U = C (R,R) = {f : R R ( x R) : f (x) < } U = {f : R R ( x R) : f(206) = } W = {f : R R ( x R) : f(x) = c Z} ÔÓÐÙ Ö ØÖ ÓÔ Ö Þ C (R,R) Ò # ØÚÓ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ C (R,R)º à Ò º  ÔÓØ ÔÖÓ Þ Ø ÙÞ Ú ÒÓ Ø ÓÔ Ö Ø Ò Ú ØÓÖó Ò Ó Ò Ð Ö Ñº µ ( U = C (R,R),R, U, U ) ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ(R R,R, R R, R R ) Ð Óö f,g U ( x R) : α R, f U ( x R) : ( f U g ) (x) = f (x)+g (x) < f U g U ( α U f ) (x) = αf (x) < α U f U. µ ( V,R, V, V ) Ò Ò Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ Ð Óö Ò Ô Ð Ó ÓÒ ( f,g V) : ( f V g ) (206) = f(206)+g(206) = + = 2 f V g / V. ÈÓ Ó Ò Ò Ò ÙÞ Ú Ò Ò Ô Ð Ò Ó Ò Ð Ö Ñ α º Î ÑÒ Ñ ö ÒÙÐÓÚ ÙÒ 0 R R 0 Þ Ü ÓÑÙ ¾ Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ R R Ò Ò ÔÖÚ Ñ Vº ÈÓ ÔÖÓ ØÓÖ Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ Úö Ý ÑÙ Ó ÓÚ Ø ÒÙÐÓÚ ÔÖÚ ÔóÚÓ Ò Ó ÔÖÓ ØÓÖÙº µ ( W,R, W, W ) Ò Ò Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ Ð Óö ÔÖÓ Ò Ô Ð ÔÖÓ α = 2 f ( x R) : ( α W f ) (x) = 2 = 2 / Z α W f 2 / W. Î ÑÒ Ñ ö ÓÔ Ö W ÙÞ Ú Ò ( f,g W) : ( x R) : ( f W g ) (x) = f(x)+g(x) = c f +c g = c f W g Z, Ø Ý f W g W.

5 ½º¾ Þ Í ÔÓ ÒÓÙ ÑÒÓö ÒÙ F = (f,...,f n ) Ú ØÓÖó Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ V Ò ÞÚ Ñ ÔÓ Ñ Ñ Þ Ú ¹ ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ V ØÐ ö Ð Ò ÖÒ Ò Þ Ú Ð Ð Ò ÖÒ Ó Ð Ð ÔÖÓ ØÓÖ V Ø Ý F = Vº ËÓÙ Ò [u] F Ú ØÓÖÙu V ÚÞ Ð Ñ Þ F Ú ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙV Ú ØÓÖ Ó ÒØó Ð Ò ÖÒ ÓÑ Ò R n [u] F : u = ([u] F ) f + +([u] F ) n f n º È Ð º Å Ñ Ò ÓÐ Ö ÐÒ ÔÓ Ø ÙÒ f # C( 0,,R) # {a,b,c} Þ Ò Ô ¹ Ô Ý { sin(2πx) x 0, f a (x) = sin(2πx), f b (x) = 2 ) 0 x ( 2,, f c(x) = 2 x ÞÓ Ö Þ Ò Ò Ç Ö Þ Ù ½º Ñ ØÝØÓ ÙÒ Ö ÔÖ Þ ÒØÓÚ Ø Ò ÔÓ Ø Óö Ò ÐÞ Ù Ð Ø ÔÖÓ Ó Ò f a (x) 0.5 f b (x) f c (x) Ç Ö Þ ½ ÙÒ Þ È Ð Ù º ÙÒ Ô Ò Ð Óö ÔÖÓ ØÓÖ C( 0,,R) Ñ Ò ÓÒ ÒÓÙ Ñ ÒÞ º Ù Ñ ØÓ Ò Ô Ò º ÁÒØ ÖÚ Ð (0,) ÖÓÞ Ð Ñ Ò 2 n Ð ó ÔÖÓ ØÓ ÙÚ Ñ ÔÓÞ µ Ó Ø Ò Ñ ÖÓÚÒÓÑ ÖÒ Ò ÚÞÓÖ ÓÚ Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ (0,) Ó Ý x j j,...,2 n + x = 0, x 2 = 2 n,..., x j = (j ) 2 n,..., x 2n + =. ÀÓ ÒÓØÝ Þ Ò ÙÒ Ú Ø ØÓ Ó ÓÞÒ Ñ f #,j º ÙÒ f # Ò Ö Ñ ÙÒ Ñ f# V C( 0,,R) ÙÒ Þ ÔÖÓ ØÓÖÙ V ÓÙ ÔÓ Ø Ð Ò ÖÒ Ò ÒØ ÖÚ Ð I j = x j,x j+, j {,...,2 n } f # (x k ) = f # (x k ), k {,...,2 n +}, # {a,b,c}. µ ÍÖ Ø Ú Þ S ÔÖÓ ØÓÖÙ V ÓÙ ÔÐ Ø ÔÖÓ ÓÙ Ò f # (x ) [ f # ] S = º. f # (x 2 n +) µ Ê ÙÖÞ ÚÒ ÒÙ Ñ ÒÓÙ Þ E Ú Þ Ó Ö Þ ¾º ÍÖ Ø ÓÙ Ò ÙÒ f# Ú Ø ØÓ ÒÓÚ Þ ÔÖÓÚ Ø ØÞÚ ÔÖ ÓÚ Ò Ý Ú ÒÝ ÓÙ Ò Ñ Ò Ò ö ε = 0 2 Þ Ò Ø º

6 Ð Ú Ð ¼ ÙÒ ¾ Ð Ú Ð ½ ÙÒ = 2 0 Ð Ú Ð ¾ ÙÒ 2 = 2 Ð Ú Ð ÙÒ 4 = 2 2 Ð Ú Ð ÙÒ 8 = 2 3 Ç Ö Þ ¾ À Ö Ö Þ Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ 0, ÔÖÚÒ ØÝ ÖÓÚÒ º Ä Ø Ò ½ Ò Ö Ø ½ Ö Ö Ð ºÑ ½ ÙÒØ ÓÒ Ò Ö Ø ½ Ö Ö Ð Ò µ ¾ ± Ò Ö Ø Ø Ö Ö Ð ÓÒ ÒØ ÖÚ Ð ¼ ½µ Ó ÓÖ Ö Ò ± Ø Ö ØÙÖÒ Ò ÓÐÙÑÒ Ó Ø Ø ÓÒØ Ò ± Ó ÙÒØ ÓÒ ß½Ð ººº ß Ó Ð ± ÙÒØ ÓÒ Ú Ò Ý Ú ÐÙ Ò ÔÓ ÒØ Ü Ó ½ ¾ Ò ± ÓÒØ Ò Ó ÙÒØ ÓÒ Ü ¼ Ó ¹½µ» Ó ¹½µ ± Þ ÖÓ Ó µ ½µ Ü ½¼ ¾µ ½¹ Ü ½½ ÓÙÒØ ½¾ ÓÖ ½ Ò ½ ± ÓÖ Ö Ñ Ò Ò Ð Ú Ð ½ Ü ¼ ¾ Ò ¹ ½µ ¾ Ò ¹¾ Ò ¹ ½µ ½ Ü ¾ Ò ¹ ½µ ¾ Ò ¹ ½µ ¾ Ò ½ Ü ¼º Ü Ü µ ½ ÓÖ ½ Þ Ü ¾µ ½ Ü µ ½ Ü µ ½ ÓÙÒØ µ ¼ Ü µ ¹ Ü µµ ³» Ü µ ¹ Ü µµ ½ Ü µ ½ Ü µ ½ ÓÙÒØ µ ½ ¹ ¼ Ü µ ¹ Ü µµ ³» Ü µ ¹ Ü µµ ¾¼ ÓÙÒØ ÓÙÒØ ½ ¾½ Ò ¾¾ Ò à Ò º ÖÓ ÓÚ Ý ØÓÑÙØÓ Ô Ð Ù ÓÙ ÙÚ ÒÝ Ú ½ ¾º µ Þ S ÞÓ Ö Þ Ò Ò Ó Ö Þ Ù º Â Ò Ó ÔÓ Ø Ð Ò ÖÒ ÔÓ Ø ÙÒ ϕ j Ø Ö Ñ Ú ÚÞÓÖ ÓÚ Ñ Ó x j Ó ÒÓØÙ ½ Ú Ó Ø ØÒ ÚÞÓÖ ÓÚ Ó Ó ÒÓØÙ ¼º Â Þ Ñ ö ÓÙ Ò Ú Ø ØÓ Þ ÓÙ Ô ÑÓ ÙÒ Ò Ó ÒÓØÝ f # (x k ) ÐÞ Ø ÞØÓØÓöÒ Ø Ö Ý ÙÒ Ò Ç Ö Þ Ù ½º µ à Ò ØÓ ÓØÓ ÓÐÙ ÙÚ ÒÓ Ú Þ ÖÓ ÓÚ Ñ Ù ¾º Æ Ú ÔÙ Ø Ò ÖÓÚ Ò Ó ÒÓØ ¹ ÞÓÚ ÙÒ ψ j (x i ) Ú ÚÞÓÖ ÓÚ Ó ÙÐÓö Ó Ñ Ø B R (2n +) (2 n +) Ø Ý

7 Ç Ö Þ ËØ Ò Ö Ò Þ Ò ÒØ ÖÚ ÐÙ 0, º [B] i,j = ψ j (x i )º ÙÒ Ò Ó ÒÓØÝ Þ Ò ÙÒ Ú ÚÞÓÖ ÓÚ Ó ÙÐÓö Ñ Ó Ñ Ø Y R (2n +) 3 ÔÓ ÖÓ Ò [C] i,j = f j (x i )º ÈÓØÓÑ ÔÓ Ø Ñ ÓÙ Ò Ú Þ E = (ψ,...,ψ 2 n +) Ø Ö ÙÐÓö Ñ ÔÓ ÐÓÙÔ Ó Ñ ¹ Ø C R (2n +) (2 n +) [ f a ] E = [C] :,, [f b ] E = [C] :,2, [f c ] E = [C] :,3. Æ Ô Ð ÔÖÓ ÔÖÚÒ ÐÓÙÔ Ñ Ø C Ô ÑÙ ÔÐ Ø Ø 2 n + 2 n + 2 n + f a = [C] i, ψ i [Y] :, = [C] i, [B] :,i = [B] :,k [C] k, = B [C] :,, i= i= Ò ÐÓ Ý ØÓ Ù ÔÖÓ Ó Ø ØÒ ÐÓÙÔ Ñ Ø Cº Ì Ý Y = BC C = B Yº ÈÓ ÓØ Ò Ñ ö ÔÖÓ ÚÔÓ Ø Ñ Ø C Ò Ò ÒÙØÒ Ò Ú Ó Ò ÔÖÓ µ ÔÓ Ø Ø Ñ Ø B º ÓÐÙØÒ Ó ÒÓØÝ Þ Ò ÓÙ Ò ÓÙ ÞÓ Ö Þ ÒÝ Ò Ç Ö Þ Ù º Î ÑÒ Ñ ö ÔÓ Ø ØÒ Ú Ø Ò Þ Ò Ú ÐÑ Ñ Ð º Ó Ø Ò Ýö Ú ÒÝ Ñ Ò Ò ö ε ÞÒÙÐÙ Ñ ÓÔ ÖÙ Ñ Ñ Ø C Ó Ñ Ø D Ò Ð Ò Ú D ÔÖÓÚ Ñ ÔÖ ÓÚ Ò Ó ÒÓØ Ò εº Ì ÑØÓ ÔÖÓ Ñ ˆf a = [D] i, ψ i 2 n + i= Ò ÐÓ Ýµ Ó Öö Ñ ÙÒ ˆf # Ø Ö ÓÙ ÞÓ Ö Þ ÒÝ Ò Ç Ö Þ Ù ÚÐ ÚÓµ ÖÓÞ ÐÝ Ý Ø ÖÓÙ ÓÔÓÙ Ø Ñ ÔÖ ÓÚ Ò Ñ ÓÙ Ò µ f # ˆf # ÞÓ Ö Þ Ò Ò Ç Ö Þ Ù ÚÔÖ ÚÓµº Â Ø ÙÚ Ñ ÔÖ ÓÚ Ò ÔÖÓ Ú Ò ÔÓ ØÙ Ò ÒÙÐÓÚ Ó ÒØó Óö ÙÚ ÒÓ Ú Ì ¹ ÙÐ ½º # a b c f # ½¼¾ ½½ ½¼¾ ˆf # ¾ ½ k= Ì ÙÐ ½ ÈÓ ØÝ Ò ÒÙÐÓÚ Ó ÒØó ÔÓ ÔÖ ÓÚ Ò È Ð º

8 [ f a ] E [ f b ] E [ f c ] E Ç Ö Þ ÓÐÙØÒ Ó ÒÓØÝ ÓÙ Ò Ú Ö Ö Þ È Ð º f a ˆf a f b ˆf b f c ˆf c ˆf a ˆf b ˆf c Ç Ö Þ Ù Ò ÔÓ ÔÖ ÓÚ Ò ÓÙ Ò È Ð º Ä Ø Ò ¾ Ö Ö Ð Ø ØºÑ ½ Ò ½¼ ± Ð Ú Ð ¾ Ò Ö Ø ½ Ö Ö Ð Ò µ ± Ö Ö Ð Ñ Þ ½µ Þ ½ Ñ ± Ó Ü ¼ Ñ ¹½µ» Ñ ¹½µ ± ÒØ ÖÚ Ð ¼ ½µ ½ ¹¾ ± Ô ÐÓÒ Üµ ººº ± Ø Ø ÙÒØ ÓÒ Ò ¾ Ô Ü µ ººº Ò ¾ Ô Ü µ º Ü ¼º µ ººº ¾º ¹ ܵ ½¼ ½½ ܵ ³ ÙÖ ½µ ÓÐ ÓÒ ½¾ ÔÐÓØ Ü ½µ ³¹ ³µ ÔÐÓØ Ü ¾µ ³¹Ö ³µ ÔÐÓØ Ü µ ³ ¹ ³µ ½ ÙÖ ¾µ ÓÐ ÓÒ ½ ÔÐÓØ Ü ½µ ³¹ ³µ ÔÐÓØ Ü ¾µ ³¹Ö ³µ ÔÐÓØ Ü µ ³ ¹ ³µ ½ ÙÖ µ ÓÐ ÓÒ ½ ÔÐÓØ Þ ½µ ³¹ ³µ ÔÐÓØ Þ ¾µ ³¹Ö ³µ ÔÐÓØ Þ µ ³ ¹ ³µ ½ ÙÖ µ ÓÐ ÓÒ ½ ÔÐÓØ Þ ½µ µ ³¹ ³µ ÔÐÓØ Þ ¾µ µ ³¹Ö ³µ ÔÐÓØ Þ µ µ ³ ¹ ³µ ½ Ø ³ Ë Ð ³ ³ ÐÓ ³µ ¾¼ µ µ ¼ ÙÖ µ ÓÐ ÓÒ ¾½ ÔÐÓØ Ü ½µ ³¹ ³µ ÔÐÓØ Ü ¾µ ³¹Ö ³µ ÔÐÓØ Ü µ ³ ¹ ³µ ¾¾ ÔÖ ÒØ ½ ³ ÆÓÒÞ ÖÓ Ú ÐÙ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ö Ð µ ³ ººº ¾ ³ ½ ± ¾ ± ± Ò ³ ÒÒÞ ½µ µ ÒÒÞ ¾µ µ ÒÒÞ µ µµ ¾ ÔÖ ÒØ ½ ³ ÆÓÒÞ ÖÓ Ú ÐÙ ÓÓÖ Ò Ø ØÖ ÓÐ ºµ ³ ººº ¾ ³ ½ ± ¾ ± ± Ò ³ ÒÒÞ ½µ µ ÒÒÞ ¾µ µ ÒÒÞ µ µµ

9 ½º Ä Ò ÖÒ ÞÓ Ö Þ Ò Ó Ö Þ Ò A : U V Ò ÞÚ Ñ Ð Ò ÖÒ Þ Ô Ù Ñ A L(U,V)µ ÔÖ Ú Ø Ý Ýö ( u,v U) : A(u) V A(v) = A(u U v) µ ( α R)( u U) : α V A(u) = A(α U u). ½¼µ Æ ð Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖÝ U V Ñ Þ E = (e,...,e m ) F = (f,...,f n )º Å Ø Ð Ò ÖÒ Ó ÞÓ Ö Þ Ò A L(U,V) ÚÞ Ð Ñ Þ Ñ E F Ñ Ø R n m ÓÞÒº A E,F A F E = [ ] [A(e )] F [A(e )] F. ÈÐ Ø ÔÖÓ Ò [A(u)] F = A F E [u] E º È ÔÓÑ Ò Ñ ö Ú ØÓÑØÓ Ø ÜØÙ Ù Ñ ÓÞÒ ÓÚ Ø Ñ Ø Ô Ó Ù A F E Ñ ØÓ Ó ÚÝ Ð Ó A E,F º È Ð º Å Ñ n Ó ó Ú R 3 Ò Ô Ð ÓÙ Ò Ó ó Ò Ó ËÌÄ ÑÓ ÐÙµº  ÞÑ Ò ØÝØÓ ÓÙ Ò Ô ÖÓØ ÔÓ ØÙÔÒ Ó ÐÝ (α,β,γ) = (0,5,20 ) ÚÞ Ð Ñ Ó Ñ (x,y,z) à Ò º Î Ð ÒÓÙ ÖÓØ R α,β,γ L(R 3,R 3 ) Ó Ø Ò Ñ ÔÓ ØÙÔÒÓÙ ÖÓØ ÞÓ Ö Þ Ò R x,α,r y,β,r z,γ L(R 3,R 3 )µ ÔÓ Ð ÒÓØÐ Ú Ó Ø Ý R α,β,γ = R x,α R y,β R z,γ ] ] [R x,α ] S,S =, [R y,β ] S,S =, [R z,γ ] S,S = [ cos(α) sin(α) 0 sin(α) cos(α) [ cos(β) 0 sin(β) 0 0 sin(β) 0 cos(β) [ ] cos(β) sin(β) 0 sin(β) cos(β) ÖÓ ÓÚ Ý ØÓÑÙØÓ Ô Ð Ù ÓÙ ÙÚ ÒÝ Ú Ã º Â Ó Ô Ð ÔÓÙö Ø Ò Ø Ñ Ë ÁÁ ËÌÄ ÓÙ ÓÖ Ó Ù ÔÓÚÖ ÓÚÓÙ ð ÑÓ ÐÙ Ó Ý ÙÒ Ö ØÐ Ø Ö ÚÖ Ó Ý P Ñ Ø n p 3µº ÈÓÚÖ ÓÚÓÙ ð ÞÓ Ö Þ Ñ ÔÓÑÓ ÙÒ Ô Ø Ú Þ Ç Ö Þ ÚÐ ÚÓµº ÊÓØÓÚ Ò ÓÙ Ò P r Þ Ñ ÔÓÑÓ Ñ Ø R Óö ÚÐ ØÒ Ñ Ø Ð Ò ÖÒ ØÖ Ò ÓÖÑ R α,β,γ L(R 3,R 3 ) ÚÞ Ð Ñ Ø Ò Ö Ò Þ S ØÓ Ø R = [R α,β,γ ] S,S º ÈÖÓØÓ P r = RP P r = PR. Æ Ç Ö Þ Ù ÚÔÖ ÚÓ ÞÓ Ö Þ Ò ÔÓÚÖ ÓÚ ð ÔÓ ÖÓØ º Ç Ö Þ Ø Þ ËÌÄ ÓÙ ÓÖÙ ÚÐ ÚÓ ÓÖ Ò ÐÒ ÚÔÖ ÚÓ ÔÓ ÖÓØ È Ð º

10 Ä Ø Ò Ö ØÐºÑ ½ ÙÒØ ÓÒ Ô Ò Ö ØÐ Ð Ò Ñ µ ¾ ± Ö ËÌÄ Ð ± ÓÙØ Ô ººº ÔÓ ÒØ ± ººº ØÖ Ò Ð ± Ò ººº ÓÙØ Ö ÒÓÖÑ Ð ØÓ ØÖ Ò Ð ÓÔ Ò Ð Ò Ñ ³Ö ³µ ± Ö ØÐ Ð Ø ÜØ Ò ³± ³ ½ ³ Ð Ñ Ø Ö ³ ³ Ò ³µ ½¼ Ø Ø ÜØ Ò ³ Ø ÒÓÖÑ Ð ± ± ± Ò ³ ³ ÓÙØ Ö ÐÓÓÔ Ò ³ ººº ½½ ³ Ú ÖØ Ü ± ± ± Ò ³ ³ Ú ÖØ Ü ± ± ± Ò ³ ³ Ú ÖØ Ü ± ± ± Ò ³ ººº ½¾ ³ Ò ÐÓÓÔ Ò ³ ³ Ò Ø ³ µ ½ Ò Ø ß ½Ð Ø ß ¾Ð Ø ß Ð ½ Ô Ø ß Ð Ø ß Ð Ø ß Ð Ø ß Ð Ø ß Ð Ø ß Ð Ø ß½¼Ð Ø ß½½Ð Ø ß½¾Ð ½ Ñ Þ Ò ½µ ½ ½ Ñ Ñ ½ ¾ Ñ ¾ Ñ ½ Ñ ½ Ò Ä Ø Ò ÖÓØ Ø ÓÒ Ø ØºÑ ½ Ô Ò Ö ØÐ ³ºº» Ø Ð» Å º ØÐ ³µ ¾ Ð ½¼ Ô»½ ¼ ½ Ô»½ ¼ ¾¼ Ô»½ ¼ ʾ ÜÜ µ Ó ÜÜ µ ¹ Ò ÜÜ µ Ò ÜÜ µ Ó ÜÜ µ ÊÜ Ý µ ÊÜ ¾ ¾ µ ʾ Ð µ ÊÝ Ý µ ÊÝ ½ ½ µ ʾ µ ³ ÊÞ Ý µ ÊÞ ½ ¾ ½ ¾ µ ʾ µ ÊØ Ý µ ÊØ ¾ ¾ µ ʾ ¼ Ô»½ ¼µ ½¼ Ê ÊÜ ÊÝ ÊÞ Ô Ô ÊØ ½½ ÔÖ Ô Ê ³ ½¾ ÙÖ ½µ Ô Ø ³ ³ ³ ³ Î ÖØ ³ Ô ³ ÓÐÓÖ ³ ³ ³µ ½ ÙÖ ¾µ Ô Ø ³ ³ ³ ³ Î ÖØ ³ ÔÖ ³ ÓÐÓÖ ³ ³Ö ³µ óð ö ØÓÙ Ð Ò ÖÒ ØÖ Ò ÓÖÑ ÞÑ Ò ÓÙ Ò Ô ÞÑ Ò Þ º Å Ñ Ú Þ E F Ú ¹ ØÓÖÓÚ Ó ÔÖÓ ØÓÖÙ Vº ÈÖÓ ö Ú ØÓÖ v V ÙÑ Ñ ÙÖ Ø ÓÙ Ò [v] E [v] F Ú Ø ØÓ Þ º Í öñ ö ÞÓ Ö Þ Ò P F E Ô ÞÙ ÓÙ Ò Ñ Ú Þ E Ô ÐÙ Ò ÓÙ Ò Ú Þ F Ð Ò ¹ ÖÒ Ø º P F E L(R n,r n ) n = dim V Ò Ú ÙÑ Ñ ÔÓ Ø Ñ Ø ØÓ ÓØÓ Ð Ò ÖÒ Ó ÞÓ Ö Þ Ò P F E R n n ÔÓÑÓ Ø Ö Ô Ò ÒÓ Ô Ú Ñ ÓÙ Ò Ë ÙØ Ò ÔÖÓ ÓÙ Ò ÔÐ Ø [v] F = P F E [v] E, [v] E = P E F [v] F P F E = P E F. v = n [v] F,i f i = i= n [v] E,i e i. ÌÙØÓ ÖÓÚÒÓ Ø Ñ Þ Ú ØÓÖÝ Ú V ÚÝ Ñ Ú ÓÙ Ò Ò Ø Ö Þ Þ Ò Ô Ð F Ú ÓÖÝ s i ÓÙ Ú ÓÖÝ Ø Ò Ö Ò Þ ÔÖÓ ØÓÖÙ R n µ [v] F = n i= [v] F,i s i {}}{ [f i ] F = i= n [v] E,i [e i ] F = [ ] [e ] F... [e n ] F i= [v] E, º [v] E,n = P F E [v] E. Ó Ø Ð Ñ ÚÞØ ÔÖÓ ØÞÚº Ñ Ø Ô Ó Ù Ó ÓÙ Ò Ú Þ E ÓÙ Ò Ñ Ú Þ F P F E = [ [e ] F... [e n ] F ]. ½¼

11 È Ð º Å Ñ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ (R 2 2,R, R 2 2, R 2 2) Þ E F Ð Ð Ò ÖÒ ÞÓ Ö Þ Ò A : R 2 2 R 2 2 Ð Ò ÖÒ ÓÖÑÙ B : R 2 2 R 2 2 R ([ ] [ ] [ ] [ ]) E =,,, ([ ] [ ] [ ] [ ]) F =,,, [ ] 8 6 A(u) = u 4 2 B(u,v) = [ [v], ] [u], [u],2 [u],2 [u] 2, [v], [v] 2, [v] 2,2 ÍÖ Ø µ Ñ Ø Ô Ó Ù P E F Ó ÓÙ Ò Ú Þ E ÓÙ Ò Ñ Ú Þ F µ Ñ Ø A F E Ð Ò ÖÒ Ó ÞÓ Ö Þ Ò A ÚÞ Ð Ñ Þ Ñ E F µ Ñ Ø B E,F Ð Ò ÖÒ ÓÖÑÝ B ÚÞ Ð Ñ Þ Ñ E Fº à Ò º µ ÍÚ Ñ Ú ÞÔó Ó Ý P E F ÔÓ Øº µ Ô ÑÓ Þ ÚÞÓÖ P F E = [ [e ] F... [e 4 ] F ] ÔÖÓ Þ Ö Ò Þ Ô Ù Ô Ñ [ei ] F,j = p j,i [ [ e i = p,i f +p 2,i f 2 +p 3,i f 3 +p 4,i f 4 i =,...,4 ] [ ] [ ] [ ] = p, +p 3 4 2, +p 2 3 3, 2 º ] = p,4 [ ] +p 4, [ [ ] [ ] [ ] p 2,4 +p 2 3 3,4 +p 2 4,4. 4 ÌÝØÓ ØÝ ÖÓÚÒÓ Ø Ñ Þ R 2 2 Ñ Ø Ñ ÓÙ Ú Ú Ð ÒØÒ ÖÓÚÒÓ ØÑ = p 2, 3 +p 2, 2 +p 4 3, +p 3 4, 4 = º = p 2,4 3 +p 2,4 2 +p 4 3,4 +p 3 4,4 4 = ] p, p 2, p 3, p 4, p,4 p 2,4 p 3,4 p 4,4, ½½

12 Óö ÐÞ Þ Ô Ø Ó ÖÓÑ Ý Ó p, p,2 p,3 p,4 = p 2, p 2,2 p 2,3 p 2, p 3, p 3,2 p 3,3 p 3, p 4, p 4,2 p 4,3 p 4,4 p, p,2 p,3 p, P F E = p 2, p 2,2 p 2,3 p 2,4 p 3, p 3,2 p 3,3 p 3,4 = p 4, p 4,2 p 4,3 p 4, = = µ Ø Ò Ú Ð Ó Ø Ò Ñ ÔÓÙö Ø Ñ Ø Ò Ö Ò Þ ([ ] [ ] [ ] [ ]) S =,,, P S E = [ ] [e ] S... [e 4 ] S = P S F = [ ] [f ] S... [f 4 ] S = ÔÖÓØÓö ( u R 2 2 ) : P F E = P F S P S E = P S F P S E [u] F = P F S [u] S = P F S P S E [u] E = P S F P S E[u] E = P F E [u] E. ½¾

13 µ Ð Ò Ñ Ø Ð Ò ÖÒ Ó ÞÓ Ö Þ Ò ( u R 2 2 ) : [A(u)] S = A S S [u] S [ ][ ] [ ] [ ] A(s ) = =,..., A(s ) =, A 0 2 S S = P S F [A(u)] F = [A(u)] S = A S S [u] S = A S S P S E [u] E [A(u)] F = A E F [u] E = P S F A S SP S E [u] E A F E = P S F A S SP S E = = µ È ÔÓÑ Ò Ñ Ò Ñ Ø Ð Ò ÖÒ ÓÖÑݺ  ¹Ð B : U V R Ð Ò ÖÒ ÓÖÑ G H ÓÙ Þ ÔÖÓ ØÓÖó U V Ñ Ø B G,H R dim U dim V Ð Ò ÖÒ ÓÖÑÝ B ÚÞ Ð Ñ Þ Ñ G H ÒÓÚ Ò Ó B(g,h )... B(g,h dim V ) B G,H = º º ºº º ºº. B(g dim U,h )... B(gdim U,h dim V ) Â Þ Ñ ö Ñ Ø B S,S Ð Ò ÖÒ ÓÖÑÝ B ÚÞ Ð Ñ Ø Ò Ö Ò Þ S [B S,S ] i,j = ÎÝÙö Ñ ö Ò ÔÓ Ø Ò Ñ Ø Ô Ó Ù Þ Ò Ñ Ø B E,F º  РÓö ( u,v R 2 2 ) B(u,v) = [u] SB S,S [v] S = (P S E [u] E ) B S,S P S F [v] F = [u] EP S EB S,S P S F [v] F B E,F = P S EB S,S P S F = = = ½

14 ½º ËÔÓ Ø Ñ Ñ Ø B E,F ÔÖÓ ÓÒØÖÓÐÙ Ø Ô ÑÓ Þ Ò [B E,F ], = B(e,f ) = [ ] = º [B E,F ] 4,4 = B(e 4,f 4 ) = [ ] = Ë Ð ÖÒ ÓÙ Ò ÒÓÖÑ ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐÒ Þ ÙÒ Ø ÖÒ Ñ Ø Ð Ò ÖÒ ÓÖÑÙ (, ) : V V R Ò ÞÚ Ñ ÔÓ Ñ Ñ Ð ÖÒ ÓÙ Ò ÔÖ Ú Ø Ý Ýö ÝÑ ØÖ ÔÓÞ Ø ÚÒ Ò ØÒ Ø Ý ( u,v,w V)( α R) (u v,w) = (u,w)+(v,w) (α u,v) = α(u,v) (u,v) = (v,u) (u,u) > 0 ÔÖÓ u 0. Ó Ö Þ Ò : V R Ò ÞÚ ÒÓÖÑ ØÐ ö ( u,v V)( α R) u v u + v α u = α u u = 0 u = 0. Ë Ð ÖÒ ÓÙ Ò (, ) a ÒÙ Ò V ÒÓÖÑÙ u a = (u,u) a Ò ö ÒÓÖÑ Ò ÖÓÚ Ò Ð ÖÒ Ñ ÓÙ Ò Ñº Å Ñ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ Ð ÖÒ Ñ ÓÙ Ò Ñ (V,F,,,(, )) Ù ÔÓ ÒÓÙ ÑÒÓö ÒÙ Ú ØÓÖó E = (e,...,e n )º ÅÒÓö ÒÙ E Ò ÞÚ Ñ { (e i,e j ) = 0 i j ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ (e i,e j ) > 0 i = j { (e i,e j ) = 0 i j ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐÒ (e i,e j ) = i = j. È Ð º Æ ð (V,F, V, V,(, )) Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ Ð ÖÒ Ñ ÓÙ Ò Ñ ÚÞ Ð Ñ Ò ÑÙ ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐÒ Þ E = (e,...,e n )º Ó öø ö ÓÙ Ò [v] E ÐÞ ÚÝÔÓ Ø Ø ÔÓÑÓ ÚÞÓÖ [v] E,i = (v,e i )º Î Ó ÓÙ ØÓ ÓØÓ ÔÓ ØÙÔÙ ÑÓöÒÓ Ø Ô Ö Ð Ð Þ º à Ò º ËÓÙ Ò [v] E ÓÙ Ð Ò Ó ÒØÝ Ð Ò ÖÒ ÓÑ Ò v = [v] E, V e V V [v] E,n V e n. ÈÖÓÚ Ñ Ð ÖÒ ÓÙ Ò Ó ÓÙ ØÖ Ò Ô ÓÞ ÖÓÚÒÓ Ø Ú ØÓÖ Ñ e i (v,e i ) = ([v] E, V e V V [v] E,n V e n,e i ) = [v] E, (e,e i )+ +[v] E,n (e n,e i ) = [v] E, δ,i + +[v] E,n δ n,i = [v] E,i. ½

15 È Ð º È ÔÓÑ Ñ Ö ÑÑóÚ¹Ë Ñ ØóÚ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Þ Ò ÔÖÓ º Å Ñ Ú Ú ØÓÖÓÚ Ñ ÔÖÓ¹ ØÓÖÙ Ð ÖÒ Ñ ÓÙ Ò Ñ (R 4,R, R 4, R 4,(, ) b ) a e b c, f g = [ a b c d ] e 4 0 f 0 4 g d h h ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ b 0 0 f,f 2,f 3 = 0,, 0 = V R ÈÓÑÓ Ö ÑÑÓÚ ¹Ë Ñ ØÓÚ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Þ Ò Ó ÔÖÓ Ù ÚÝØÚÓ Ñ ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐÒ Þ E ÚÞ Ð Ñ Ð ÖÒ ÑÙ ÓÙ ÒÙ (, ) b µ ÔÖÓ ØÓÖÙ Vº à Ò º Ö ÑÑÓÚóÚ¹Ë Ñ ØóÚ ÓÖØÓÒÓÖÑ Ð Þ Ò ÔÖÓ ÔÓÔ Ò Ú ½ º ÈÓ ØÙÔÒ ÚÝØÚÓ Ñ ÓÖØÓ¹ ÒÓÖÑ Ð ÞÓÚ ÒÓÙ Þ ÔÖÓ ØÓÖó e = f = V, e,e 2 = f,f 2 = V 2, e,e 2,e 3 = f,f 2,f 3 = V. ÈÖÓ Ð ÒÓÙ ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐÒ Þ E = (e,e 2,e 3 ) ÑÙ ÔÐ Ø Ø e b = (e,e 2 ) b =, e 2 b =, e 3 b =, (e,e 2 ) b = 0, (e,e 3 ) b = 0, (e 2,e 3 ) b = 0. ½º Î ØÓÖ e Ø ÓÚ ö ÔÖÓ Ò ÔÐ Ø e = f ÓÙ Ò e b = Þ Ñ e = f R 4 b 0 = R 4 0 = R = 0 [ ] ¾º ÓÒ ØÖÙÙ Ñ Ú ØÓÖ ẽ 2 V 2 = f,f 2 = e,f 2 Ø Ý ẽ 2 = f 2 R 4 ( α) R 4 e Ø Ý 0 = (ẽ 2,e ) b = (f 2 R 4 ( α) R 4 e,e ) b = (f 2,e ) b α(e,e ) b = (f 2,e ) b α, Ø Ý α = (f 2,e ) b = [ ] = ( 6 ẽ 2 = R 4 2 ) 2 R = 3 2 R e 2 = R 4 ẽ 2 = ẽ 2 b R 4 3 = R 4 3. [ ] ½

16 º ÆÝÒ Ú Ø Ò Ó Ò Þ Ñ ÓØÖ ÚÙ Ò Ù Ø Ð ÔÓÙö Ú Ò Þ Ô Ù R 4 R 4 Ô ö Ñ Ú ÝØÙ Ø ØÓ ÓÔ Ö º ÈÖÓØÓ Þ Ò Ù Ñ ÜÔÐ ØÒ Þ Ô ÓÚ Ø Ð Óö Ú ÝØ Ù Ó Ø Ø Ò Þ Ñ Þ Þ Ô Ùº ÓÒ ØÖÙÙ Ñ Ú ØÓÖẽ 3 V = f,f 2,f 3 = e,e 2,f 3 Ø Ý ẽ 3 = f 3 αe βe 2 Ø Ý 0 = (ẽ 3,e ) b = (f 3 αe βe 2,e ) b = (f 3,e ) b α(e,e ) b β(e 2,e ) b = (f 3,e ) b α 0 = (ẽ 3,e 2 ) b = (f 3 αe βe 2,e 2 ) b = (f 3,e 2 ) b α(e,e 2 ) b β(e 2,e 2 ) b = (f 3,e 2 ) b β, Ø Ý α = (f 3,e ) b = [ ] = β = (f 3,e 2 ) b = 4 [ ] = ( ) ( ) 5 ẽ 2 = = e 2 = ẽ 3 = 2 ẽ 3 b = 4 77 [ ] Ë ÖÒÙØÓ E = 6 0, , ½

17 ¾ ¾º½ ÊÝ Ð ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Ìµ ÃÓÑÔÐ ÜÒ Ð Ã Ú ØÓÖÓÚ ÑÙ ÔÖÓ ØÓÖÙ (R 2,R, R 2, R 2) Ô Ñ ÓÔ Ö Ò Ó Ò Ú ØÓÖ Ñ [ [ ] [ ] a c ac bd b] R 2,R 2 = d ad+bc ÓÞÒ Ñ (R 2,R, R 2, R 2, R 2,R 2) Ø ØÓ ÚÞÒ ÐÓÙ Ô Ø Cº ÄÞ Ù Þ Ø ö (C, C, C ) C = R 2, C = R 2, C = R 2 Ø Ð Ó Ø Ö Ò ÞÚ Ñ ÔÓ Ñ Ñ Ø Ð Ó ÓÑÔÐ ÜÒ Ðº Ç ÚÝ Ð Þ Ô Ù Ñ [ a a+bi =. b] Î Ú Þ ¾ Ô ØÓÐ ¾º È Ð º Í öø ö ÒÚ ÖÞÒ ÓÑÔÐ ÜÒ ÐÓ ÒÙØÒÓ ÒÓÚ Ø Ó [ ] a =. b] [ a a 2 +b 2 b a 2 +b 2 à Ò º ÁÒÚ ÖÞÒ ÓÑÔÐ ÜÒ ÐÓz ÐÙz = a+bi Ø Ò ÒÓÚ Ø Ø Ý ÔÐ Ø ÐÓz C z = w w Ò ÙØÖ ÐÒ ÔÖÚ ÚÞ Ð Ñ Ò Ó Ò ÓÑÔÐ ÜÒ Ð Ø z C w = z (a+bi) = (a+bi) C (w +w 2 i) = (aw bw 2 +i(aw 2 +bw )), Óö ÔÐ Ø ÔÓÙÞ ÔÖÓ w = (+0i)º ÈÖÓØÓ z = (c+di) : (+0i) = w = z C z = (a+bi) C (c+di) = (ac bd+i(ad+bc)). ÊÓÞ Ô Ò Ñ ÖÓÚÒÓ Ø Ñ Þ ÓÑÔÐ ÜÒ Ñ ÐÝ Ó Ø Ò Ñ = ac bd r µ 0 = bc+ad r 2 µ ar +br 2 : a = (a 2 +b 2 )c br ar 2 : b = (a 2 +b 2 )d, Óö Ú Ú Ð ÒØÒ ÚÞÓÖ Ø Ö Ñ Ø Ð Ó Þ Øº ¾º¾ ÈÓ ÑÝ Þ ÒØ Ö ÐÒ Ö ØÒ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ ÓÙÖ ÖÓÚÝ Ý a n = π b n = π ˆ π π ˆ π π ˆf(ξ) = ˆ f(x)e 2πixξ dx f(x) = ˆ ˆf(ξ)e 2πiξx dξ f(x)cos(nx)dx, f(x) = 2 a 0 + a n cos(nx)+ b n sin(nx) f(x)sin(nx)dx n= n= ½

18 ¾º Ö ØÒ ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Ìµ ˆf n = k=0 f k e 2πink, fn = k=0 f k e 2πink ̵ Ö ØÒ ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Ú ½ µ ÈÓÞÒ Ñ º Î Ø ØÓ Ô ØÓÐ Ù Ñ Ò ÜÓÚ Ø ÐÓö Ý Ú ØÓÖó Ó ÒÙÐÝ Ó Ú ºººµ Ò Ó Ò Ý Ó Ú Å ØÄ Ùµº Å Ñ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ Ð ÖÒ Ñ ÓÙ Ò Ñ ( C,C,,,, ) Ú Ò Ñ Þ E = (e 0,...,e ) e k = [ e 2πik0  РÓö e k,e l = [e k ] s [e l ] s = s=0 = s=0 e 2πi(k l)s e 2πikl s=0 = u,v = [u] s [v] s, e 2πiks s=0 s=0 ], e 2πik( ) k {0,..., }. e 2πils = (e 2πi(k l) ) s = s=0 e 2πiks 2πils e 2πi(k l) e e 2πi(k l) = 0 k l = k = l, Þ E ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐÒ ÚÞ Ð Ñ Ð ÖÒ ÑÙ ÓÙ ÒÙ, º Î ÚÔÓ ØÙ Ñ ÚÝÙö Ð ÓÙ ØÓÚ Ó ÚÞÓÖ ÔÖÓ ÓÑ ØÖ ÓÙ ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø n q k = qn+. q k=0 Ì ÒØÓ ÒÓ Ù ÔÓ ØÙÔ Þ Ñ Ò Ô Ð Ø ÚÒ µ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÚ Ò Ú Å ØÐ ÓÚ Ñ Ã Ù ½ ÙÒØ ÓÒ Ì Ø Ñ ØÖ Ü Ò µ ¾ ¼ ½ Ò ¹½ ± ÖÓÛ Ú ØÓÖ ÓÖ ¼ ½ Ò ¹½ ± ÖÓÛ Ú ØÓÖ ÓÖ Û ÜÔ ¹½ ¾ Ô»Òµ ± ØÓÖ Ûµ Ì Û º ³ µ ± Ì Ñ ØÖ Ü Ä Ø Ò Ø Ñ ØÖ ÜºÑ [ [ ] ] È Ð ½¼º ÓÒ ØÖÙÙ Ø Þ E ÔÖÓ C 4 º ÍÖ Ø à Ò º Ð Ò Þ E ( E = (e 0,e,e 2,e 3 ) = 4 = ( 2 e 2πi e 2πi 0 4 e 2πi e 2πi 0 3 4, 4, i 2, 2, ) i 2. i i e 2πi 0 4 e 2πi 4 e 2πi 2 4 e 2πi 3 4 E º, 4 e 2πi e 2πi 2 4 e 2πi e 2πi 2 3 4, 4 e 2πi e 2πi 3 4 e 2πi e 2πi ) ½

19 n n nlog 2 n 3.3e Ì ÙÐ ¾ ËÖÓÚÒ Ò ÙÒ n 2 nlog 2 nº ÆÝÒ Ý ÓÑ ÑÓ Ð ÚÝÙö Ø ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐÒ Þ E ÔÖÓ Þ Ú Ò Ö ØÒ ØÖ Ò ÓÖÑ Ô ÞÙ Ú ØÓÖÙ u = [u] S C Ó ÓÙ Ò [u] E C Ú Þ Eº ÌÓØÓ Ð Ò ÖÒ ÞÓ Ö Þ Ò Ý ÔÓÔ ÓÚ ÐÝ Ñ Ø ØÖ Ò ÓÖÑ P E S ÞÔ ØÒ ØÖ Ò ÓÖÑ P S E = P E S º ØÓÖ óúó ó Ú Ö ØÒ ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Þ Ú Ò Ó Ð Ò ÖÒ ÞÓ Ö Þ Ò Ô ÞÙ Ú ØÓÖÙ u = [u] S C Ú ØÓÖ û ÓÞÒº [u] E C º  РÓö u = [u] E,l e l l=0 u,e k = [u] E,l e l,e k = [u] E,l δ k,l = [u] E,k = û k, l=0 ÔÐ Ø ÔÖÓ Ö ØÒ ÓÙÖ ÖóÚ Ó Ö Þ l=0 û k = [u] E,k = u,e k = [u] n [e k ] n = n=0 n=0 u n e 2πikn. ½½µ Ð ØÓ ÓØÓ ÚÞÓÖ ÔÖÓ ÚÔÓ Ø û ÒÙØÒ ÙÖ Ø Ú ÒÝ µ ÐÓö Ý ÚÔÓ Ø ö Þ Ò Þ ÖÒÙ ÔÖÓÚ Ò ÓÑÔÐ ÜÒ Ò Ó Ò ÓÑÔÐ ÜÒ Ø Ò º ÈÓØ Ù Ñ Ø Ý O( 2 ) ÓÔ Ö º Ó Ö ÞÙ û ÐÞ ÞÔ ØÒ Ö ÓÒ ØÖÙÓÚ Ø ÔóÚÓ Ò u ÔÓÑÓ ÞÔ ØÒ ÓÙÖ ÖÓÚÝ ØÖ Ò ÓÖÑ ¾º u k = n=0 ̵ ÊÝ Ð ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Ú ½ µ û n e 2πikn. ½¾µ ÍÚ Ñ ÔÓ ØÙÔ Ø Ö ÔÓØ Ù ÔÓÙÞ O( log 2 ) ÓÔ Ö Óö ÔÖÓ Ú Ð ÙÑÓö Ù Ò ÓÐ ¹ ÓÚ ÖÝ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÞÔ ØÒÓÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Ð Óö Ø ÚÔÓ ØÒ ÔÓ Ó Ò µ Ú Þ Ø ÙÐ ¾º ÈÖÓ ÒÓ Ù Ó Ø Ô ÔÓ Ð Ñ ö = 2 b º ÇÞÒ Ñ w = e 2πi ½ µ ÙÚ ÓÑÑ ö ÔÖÓ w ÔÐ Ø ÝÑ ØÖ µ Ô Ö Ó Ø µ w k( n) = w kn = w kn w kn = wk(+n) = w (k+)n. ½

20 È ( k 0,..., ) û k = = = n=0 2 r=0 2 r=0 u n e 2πikn = 2 u 2r w k2r + u 2r w kr 2 n 0,..., n Ù r=0 +w k u n w kn + u 2r+ w k(2r+) = 2 r=0 = û Ù,k +w k ûð,k, u 2r+ w kr 2 Ñ Ú ÔÓ Ð Ò ÖÓÚÒÓ Ø ÚÝÙö Ð Ô Ö Ó ØÝ w rk 2 Ò Ñ ( k 0,..., 2 ) n 0,..., n Ð 2 r=0 u n w kn 2 ( ) u 2r w 2 kr ( ) +w k u 2r+ w 2 kr r=0 = w r(k+ 2 ) º ÊÓÞ Ô Ò Ñ ÔÓ Ð Ò ÖÓÚÒÓ Ø Ó Ø ¹ 2 Ð Óö û k+ 2 û k = û Ù,k +w k ûð,k = û Ù,k +w k+ 2 û Ð,k = û Ù,k w k ûð,k w k+ 2 = w k w 2 = w k e 2πi 2 = w k e πi = w k. Ì ÒØÓ ÒÓ Ù ÔÓ ØÙÔ Ò ÔÖÓ Ö ÑÓÚ Ò Ú Å ØÐ ÓÚ Ñ Ã Ù Ø ØÓÚ Ö ÔØ ÙÚ Ò Ú Ã Ù º Ä Ø Ò Ø Ö ºÑ ½ ÙÒØ ÓÒ Ý Ø Ö Üµ ¾ Þ Ü ½µ Þ Ü ½µ Ü Ü ³ Ò Æ Þ Ü ½µ Æ ½ Ý Ü Ð ÓÑ ÜÔ ¹¾ Ô ½»Æ µ ½¼ ¼ Æ»¾ ¹½µ ³ ½½ Û ÓÑ º ½¾ Ý Ø Ö Ü ½ ¾ Ò ¹½µ µ ± Ì Ó Ú Ò Ü ½ Ý Ó Û º Ø Ö Ü ¾ ¾ Ò µ µ ± Ì Ó Ó Ü ½ Ý Ý Ý Ó Ý ¹ Ý Ó ½ Ò ½ Ò ½½ Ô ½ ¹ ¾ Ü ¼ ¾ Ò ¹½µ ³» ¾ Ò ¹½µ Ä Ø Ò Ø Ø ØºÑ Ý ¼ Ò ½ ¾ Ô Üµ ¼ Ó ¾ ¾ Ô Ü µ ¾¼ Ò ¾ Ô Üµ ½¼ Ó ¾ Ô Üµ ÔÖ ÒØ ½ ³ ÒÒÞ ±¼ Ò ³ ÒÒÞ Ý µµ ± Ì Ì Ø Ñ ØÖ Ü ¾ Òµ Ø Ø ÖØ Ø Ý Ø Ì Ý Ø Ò ØÓ Ø Ø ÖØ µ Ý Ø Ý Ø µ Ô Ñ Ü Ý Ø µµµ ¼ ± ØÖ ÓÐ Ò ÔÖ ÒØ ½ ³ Ì ººº ± º ØÖ ÓÐ ÒÒÞ ±¼ Ò ³ Ø Ò ÒÒÞ Ý Ø µµ ½¼ ± Ì Ê ¾¼

21 ½½ Ø Ø ÖØ Ø Ý ØÖ Ø Ö Ýµ Ø Ò ØÓ Ø Ø ÖØ µ ½¾ Ý ØÖ Ý ØÖ µ Ô Ñ Ü Ý ØÖ µµµ ¼ ± ØÖ ÓÐ Ò ½ ÔÖ ÒØ ½ ³ ÌÖ ººº ± º ØÖ ÓÐ ÒÒÞ ±¼ Ò ³ Ø Ò ÒÒÞ Ý ØÖ µµ ½ ± Ì ÁÌ Ê ½ Ø Ø ÖØ Ø Ý Ø Ø Ø Ö Ýµ Ø Ò ØÓ Ø Ø ÖØ µ ½ Ý Ø Ý Ø µ Ô Ñ Ü Ý Ø µµµ ¼ ± ØÖ ÓÐ Ò ½ ÔÖ ÒØ ½ ³ Ì ººº ± º ØÖ ÓÐ ÒÒÞ ±¼ Ò ³ Ø Ò ÒÒÞ Ý Ø µµ ½ ± ÔÐÓØØ Ò ½ ÙÖ ½µ ÓÐ ÓÒ ¾¼ ÔÐÓØ Ü Ý ³¹Ö ³µ ¾½ ÔÐÓØ Ü Ö Ð Ì ³ Ý Ø µ»¾ Ò ³ ¹ ³µ ¾¾ ÔÐÓØ Ü Ö Ð Ì ³ Ý ØÖ µ»¾ Ò ³ ¹ ³µ ¾ ÙÖ ¾µ ÓÐ ÓÒ ¾ ÔÐÓØ Ü Ö Ð Ý Ø µ ³¹Ö ³µ  РÓö ÞÔ ØÒ Ö ØÒ ÓÙÖ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ ½¾µ Ó ÓÙÖ ÖÓÚÝ ØÖ Ò ÓÖÑ ½½µ Ð ÔÓÙÞ ÞÒ Ñ Ò Ñ Ú w ÖÓÚÒ ½ µ ½¾µ ½½µµ ÐÞ Ð ÓÖ ØÑ Ñ ÔÖÓ Ì ÔÓ Ø Ø Ø ÞÔ ØÒÓÙ Ö ØÒ ÓÙÖ ÖÓÚÙ ØÖ Ò ÓÖÑ Ú Ñ ÖÓ ÒÑ ÞÑ Ò Ñ ÞÑ ÒÓÙ ÞÒ Ñ Ò Ú ÜÔÓÒ ÒØÙ w Ò Ó Ò µº ÍÚ Ñ Ø Ã Ø Ö Ø Ö Ò Ñ Ú Ú Ð ÒØ Ñ Ö ÙÖÞ ÚÒ Ó Ù Ìº ½ ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Ø Ö Ø µ ¾ Ä Ø Ò Ø Ø ÖºÑ Æ Þ Ø ½µ ÐÓ ¾ Ƶ ± ÔÖ ÔÖÓ Ò ÓÖ ½ ¹½ ÐÐ Þ ¾ ¹ ½µ ÐÐ ÓÙÒØ ¾ ¹½µ ÓÖ ½ ÐÐ ÓÙÒØ ½¼ ÐÐ Ò ¹½µ ÐÐ Þ ½ ÐÐ Þ ½½ Ø Ð Ò Ó Ø ÐÐ Ò ½ ¾ Ò ¹½µ µ ½¾ Ø Ð Ò Ú Ò Ø ÐÐ Ò ¾ ¾ Ò µµ ½ ÐÐ Ð Ò Ö Ø ÐÐ Ò ½ Ò»¾µ ½ ÐÐ Ð Ò ÓÒ ÐÐ Ò Ò»¾ ½ Ò µ ½ Ø ÐÐ Ð Ò Ö Ø µ Ø Ð Ò Ó ½ Ø ÐÐ Ð Ò ÓÒ µ Ø Ð Ò Ú Ò ½ Ò ½ Ò ½ ± Ø Ö Ø Ú Ø ¾¼ ÓÖ ½ ¾½ ÐÐ Þ ¾ ¾¾ ÓÑ ÜÔ ¾ Ô ½» ÐÐ Þ µ ¾ Û ÓÑ º ¼ ÐÐ Þ»¾ ¹½µ µ ³ ¾ ÓÖ ½ ¾ ¹ µ ¾ ÐÐ Ò ¹½µ ÐÐ Þ ½ ÐÐ Þ ¾ Ø ÐÐ Ø ÐÐ Ò µ ¾ Ø Ð ÐÐ Ö Ø Ø ÐÐ ½ Ò»¾µ ¾ Ø Ð ÐÐ ÓÒ Û º Ø ÐÐ Ò»¾ ½ Ò µ ¾ Ø ÐÐ Ò ½ Ò»¾µ µ Ø Ð ÐÐ Ö Ø Ø Ð ÐÐ ÓÒ ¼ Ø ÐÐ Ò Ò»¾ ½ Ò µµ Ø Ð ÐÐ Ö Ø ¹ Ø Ð ÐÐ ÓÒ ½ Ò ¾ Ò ¾½

22 ¾º Ì Ú ¾ Ú Ú Ñ ÒÞ µ Å Ñ Ú ØÓÖÓÚ ÔÖÓ ØÓÖ (C m n,c,) û k,l = M m=0 n=0 u m,n = M M u m,n e 2πi(km M +ln ) m=0 n=0 û m,n e 2πi( km M +ln ) ¾¾

23 ÎÝ Ö Ò ÖÓÞ Ð Ý Ñ Ø º½ ËÔ ØÖ ÐÒ ÖÓÞ Ð Æ ð A R n n ØÚ ÖÓÚ Ñ Ø º Î ØÓÖ v Ò ÞÚ Ñ ÚÐ ØÒ Ú ØÓÖ Ñ Ø A ÔÖ Ú Ø Ý Ýö ÔÖÓ Ò Ü ØÙ Ð Ö λ Ø ÓÚ ö Av = λv, Óö ØÓØ ö Ó (A λi)v = 0. ÓÑ ØÖ Ý ØÓ ÞÒ Ñ Ò ö Ú ØÓÖÝ v Av ÓÙ ÖÓÚÒÓ öò º ÚÓ (λ,v) Ñ ÚÐ ØÒ ÐÓ ÚÐ ØÒ Ú ØÓÖ Ñ Ø Aº Å Ø A R n n n Ð Ò ÖÒ Ò Þ Ú ÐÑ ÚÐ ØÒ Ñ Ú ØÓÖÝ ÐÞ Þ Ô Ø Ú ØÚ ÖÙ A = QΛQ, Q R n n Ñ Ø Ø Ö ÚÞÒ Ò Þ Ô Ò Ñ n ÒÓÖÑ Ð ÞÓÚ Ò ÚÐ ØÒ Ú ØÓÖó ÔÓ ØÙÔÒ Ó ÐÓÙÔó Ñ Ø Λ R n n ÓÒ ÐÒ Ò ÓÒ Ð ÓÙ ÔÓ ØÙÔÒ ÚÐ ØÒ Ð Ñ Ø Aº ÌÓÑÙØÓ Þ Ô Ù ÚÐ ØÒ ÖÓÞ Ð Ñ Ø Aº Å Ø Ø Ö ÐÞ Ø ØÓ ÖÓÞÐÓö Ø Ò ÞÚ Ñ ÓÒ ÞÓ¹ Ú Ø ÐÒ Ò Ø Ö ÓÒ Ð ÞÓÚ Ø Ò ÓÙº È Ð ½½º ËÔÓ Ø Ø ÚÐ ØÒ ÖÓÞ Ð Ñ Ø [ ] 0 A = 3 B = [ ] 0. à Ò º Ò ÔÓ Ø Ñ ÚÐ ØÒ Ð Ú ØÓÖÝ A Ø Ý det(a λi) = λ 0 3 λ = ( λ)(3 λ) λ {,3} [ ] [ λ = : 0 = (A λ I)ṽ = ṽ 2 ṽ = p v ] = ṽ ṽ = [ 2 5 ] [ ] [ [ λ 2 = 3 : 0 = (A λ 2 I)ṽ 2 = ṽ 0 2 ṽ 2 = p v ] 2 = ṽ2 0 ṽ 2 ] = A = QDQ = [ 2 ] [ ] ][ 5 B det(b λi) = λ 0 λ = ( λ)2 λ = λ 2 = [ ] [ ] = (A λi)ṽ = ṽ ṽ = p 0 Ú Ñ ö ÚÓ Ò Ó Ò ÑÙ ÚÐ ØÒ ÑÙ ÐÙ λ = ÐÞ Ú Ò Ñ Ô Ô Ø Ú Ø ÔÓÙÞ Ò ÚÐ ØÒ Ú ØÓÖ v = [0] º Ý Ò Ñ ÖÙ ÚÐ ØÒ Ú ØÓÖ Ø Ú Ò Ñ Ø Qº Å Ø A Ò Ò ÓÒ Ð ÞÓÚ Ø ÐÒ º ¾

24 Ó ÓÙ ÚÐ ØÒ Ð Ú ØÓÖÝ Ñ Ø A n à Ò º Ò Ò Av = λv A n v = A n Av = A n λv = λa n v = λa n 2 Av = λ 2 A n 2 v = λ n v, Óö ÐÞ ÖÒÓÙØ Ó Þ Ú ÖÙ ö ÑÓÒ ÒÓÙ A ÚÐ ØÒ Ú ØÓÖÝ Ò Ñ Ò ÚÐ ØÒ Ð Ñ Ò ÑÓÒ ÒÓÙº Ð Þ Ú Ñ Ò Ø ÖÑ ÚÐ ØÒÓ ØÑ ÚÐ ØÒ Ó ÖÓÞ Ð Ù Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ ÈÖÓ Ñ Ø A R n n Ø ÖÑ Ò ÒØ A λi ÔÓÐÝÒÓÑ Ñ n Ø Ó Ù ÔÖÓÑ ÒÒ λº Ì ÒØÓ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÞÚ Ñ Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓѺ Ð Þ Ð Ò Ú ØÝ Ð ÖÝ ÐÞ ÖÓÞÚ Ø Ú ØÚ ÖÙ ÓÙ ÒÙ Ó ÒÓÚ Ò Ø Ðó n n A λi = (λ λ) (λ n λ) = ( λ) n +( λ i )( λ) n + + λ i. i= i= ½ µ ÁÒÚ Ö ÒØÒÓ Ø ÚÞ Ð Ñ ÔÓ Ó ÒÓ Ø Ñ Ø ÈÓ Ù (λ,v) ÚÐ ØÒ ÚÓ Ñ Ø A Ø Ý Av = λvº ÈÖÓ ÓÙ ÓÐ Ñ Ø B ÔÓ Ó ÒÓÙ Ñ Ø A Ø Ý B = TAT Ô ÔÐ Ø BTv = TAT Tv = TAv = λtv. ÈÐ Ø Ø Ý ö ÔÓ Ó Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò ÚÐ ØÒ Ð º Æ Ú Ñ ÔÓ Ó Ò Ñ Ø Ø Ø Ò Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Óö TAT λi = TAT λtt = T(A λi)t = T A λi T = A λi. ËÓÙ Ò ÚÐ ØÒ Ð Ñ Ø Ó Þ Ò Ñ λ = 0 Ó Ö Ø Ö Ø Ó ÔÓÐÝÒÓÑÙ ½ µ Ó Ø Ò Ñ ö Ø ÖÑ Ò ÒØ A ÖÓÚ Ò ÓÙ ÒÙ ÚÐ ØÒ Ðº ËÓÙ Ø ÚÐ ØÒ Ð Ñ Ø Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ ÐÞ Ø ÚÝÙö Ø Ñ ÖÓÞÚÓ Ø ÖÑ Ò ÒØÙ ÔÓ Ð Ù Þ Ô Ø Ú ØÚ ÖÙ A λi = n n (A ii λ)+p n 2 (λ) = p n 2 (λ)+( A ii )( λ) n +( λ) n. i= ÈÓÖÓÚÒ Ò Ñ Ó ÒØó Ù ( λ) n ÖÓÞÚÓ Ñ ½ µ ÔÐÝÒ ö n i= λ i = n i= A iiº Ð Ù Ñ Þ Ú Ø Ô Ô Ñ Ý Ñ Ø A Ö ÐÒ ÝÑ ØÖ º Î ØÓÑØÓ Ô Ô ÓÙ ÚÐ ØÒ Ð Ö ÐÒ ÚÐ ØÒ Ú ØÓÖÝ Ô ÐÙ Ò ÚÐ ØÒ Ñ ÐóÑ ÓÙ ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ ÚÐ ØÒ Ú ØÓÖÝ Ô ÐÙ Ò Ú Ò Ó Ò ÑÙ ÚÐ ØÒ ÑÙ ÐÙ Ð ö ØÚÓ ÔÓ ÔÖÓ ØÓÖ Ñ ÒÞ ÖÓÚÒ Ø ØÓ Ò Ó ÒÓ Ø º ÎÐ ØÒ Ú ØÓÖÝ ÐÞ Ø Ý ÞÚÓÐ Ø ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐÒ Þ ÚÐ ØÒ Ó ÖÓÞ Ð Ù Ñ Ø Ø Ò Ô ØÖ ÐÒ ÖÓÞ Ð Ñ Ø A = QDQ. i= ¾

25 º¾ ÉÊ ÖÓÞ Ð ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ñ Ø ÀÓÙ ÓÐ ÖÓÚ ÞÖ Ð Ò Æ ð A R m n Ð ÓÚÓÐÒ Ñ Ø º È Ü ØÙ ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐÒ Ñ Ø Q R m m ÓÖÒ ØÖÓ ÐÒ ¹ ÓÚ Ñ Ø R R m n Ø ÓÚ ö A = QR. ÈÖÓ Ö Ñ Ò Þ ÞÔó Ó ó ÚÔÓ ØÙ ÉÊ ÖÓÞ Ð Ù ØÓ ÔÓÑÓ ÀÓÙ ÓÐ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ñ Ø P = I 2ww, w =, Ø Ö ÔÓÔ Ù Ð Ò ÖÒ ÞÓ Ö Þ Ò Ú ØÓÖÙ y Ò Ú ØÓÖ Py = (I 2ww )y = y 2w(w y), ö Ó ÞÖ ÐÓÚÑ Ó Ö Þ Ñ Ú Þ Ç Ö Þ º ÌÓØÓ ÞÖ Ð Ò ÒÓ Ú ØÓÖ Ñ w Ø Ö ÓÐÑ Ò ÖÓÚ Ò ÔÓ Ð Ø Ö ÞÖ Ð Ò ÔÖÓÚ º Æ ÔÖÚ Ó ö Ñ Ò ÓÐ ÚÐ ØÒÓ Ø Ñ Ø Pº w x u = 2(w x)w w x o e x e Ç Ö Þ ÀÓÙ ÓÐ ÖÓÚÓ ÞÖ Ð Ò P ÝÑ ØÖ Ð Óö P = (I 2ww ) = I 2(ww ) = I 2(w ) w = I 2ww = Pº {}}{ P ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ P = Pµ Ð Óö PP = (I 2ww )(I 2ww ) = I 4ww +4ww ww = Iº ÈÓÐÓöÑ ÓØ Þ Ù Þ Ø ÖÓÞ Ð Ñ Ø A = QRº Î Ñ Ù Þ Ð Ò Þ ÞÔó Ó ó ÙØÚÓ Ø ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐÒ Ñ Ø Pº ËÓÙ Ò ÓÖØÓ ÓÒ ÐÒ Ñ Ø P = P n P 2 P ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐÒ Ñ Ø º Ó Ý Ý ÓÑ ÚÓÐ Ð Ñ Ø P i Ø Ý ÔÓ ØÙÔÒ Ô Ú Ð Ñ Ø A Ò ÓÖÒ ØÖÓ ÐÒ ÓÚÓÙ Ñ Ø R Á ÐÒ Ý ÝÐÓ Ý Ñ Ð Ñ Ø P A Ú ÔÖÚÒ Ñ ÐÓÙÔ ÒÙÐÝ ÔÓ Ð ÚÒ ÓÒ ÐÓÙ Ñ Ø P 2 P A Ý Ñ Ð ÒÙÐÝ ÔÓ ÓÒ ÐÓÙ Ú ÔÖÚÒ Ñ ÖÙ Ñ ÐÓÙÔ Ø Ð º Ú Ô Ú Ø Þ Ð ÐÞ ÔÖÓ Ñ Ø AÒ Ð ÞØ Ø ÓÚ Ú ØÓÖw Ý Ó ÔÓÚ Ð ÞÖ Ð Ò Ø Ö Ô Ú ÔÖÚÒ ÐÓÙÔ x = s (A) Ñ Ø A Ò Ú ØÓÖ x e ÖÓÚÒÓ öò e º Ì ÒØÓ ÓÑ ØÖ ÓÐ Ñ Ð ö Ò Ø Ò Ð Ò Ç Ö Þ Ù Px = x e = x u, u = x Px, w = u u. Ì ØÓ ÐÞ ÔÖÓÚ Ø ÉÊ ÖÓÞ Ð Ñ Ø A Ü ØÙ Ú Ø Ø ÚÒ Ñ ØÓ Ýº Ì ÐÓ ÉÊ ØÓÖ Þ ÔÓÑÓ ÀÓÙ ÓÐ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ ÙÚ ÒÓ Ú Ã Ù ½¼ Ø ØÓÚ ÒÓ ÓÙ ÓÖ Ñ º = ¾

26 º Ë Ò ÙÐ ÖÒ ÖÓÞ Ð ËÎ µ ØÖ Ò ÓÖÑ Ò Ñ Ø Ú Ò ÓÚ ÖÓØ Æ ð A R m n Ð ÓÚÓÐÒ Ñ Ø º È Ü ØÙ ÓÖØÓÒÓÖÑ ÐÒ Ñ Ø U R m m V R n n ÓÒ ÐÒ Ñ Ø S R m n Ò ö ÓÒ Ð ÓÙ ÚÐ ØÒ Ð Ñ Ø A A ÔÖÓ m n AA ÔÖÓ m < n Ø ÓÚ ö A = USV. ÌÓÑÙØÓ ÖÓÞ Ð Ù Ñ Ò ÙÐ ÖÒ ÖÓÞ Ð º Ð Ò ÓÒ Ð Ñ Ø S Ò ÞÚ Ò ÙÐ ÖÒ Ð Ñ Ø Aº Ø Ò Ò Ú ÖÞ ÙÐÐ ËÎ µ Ú Å ØÄ Ù Í Ë Î Ú µ A = U S m n m mm nn n V Ö Ù ÓÚ Ò Ú ÖÞ Ö Ù ËÎ µ U A = m n U S m nn nn n V S m m m mm n V m > n m < n Ú Å ØÄ Ù Í Ë Î Ú ³ ÓÒ³µ ÔÖÓ Ñ Ø Ú Å ØÐ Ù ÔÖÓÜ Ñ Ó ÒÓ Ø qµ Í Ë Î Ú Õµ ÔÖÓÜ Ñ Ñ Ø Ñ Ø Ò ö Ó ÒÓ Ø ÐÓÛ Ö Ò ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒµº Æ ð h(a) = r Ô r r A = A i = σ i u i vi i= i= Ö Ò Ñ Ø ØÓ ÙÑÝ Þ r Ò q Ð Òó Ó Ø Ò Ñ Ñ Ø q  q = σ i u i vi i= ÔÖÓ Ø ÖÓÙ ÔÐ Ø A Âq = σ q+ 2 m n M 2 a 2 ij = M F i= j= È Ð ½¾º ËÔÓ Ø Ø Ò ÙÐ ÖÒ ÖÓÞ Ð Ñ Ø [ ] 4 4 A = 3 3 B = [ ] 0. à Ò º Ò ÔÓ Ø Ñ ÚÐ ØÒ Ð Ú ØÓÖÝ ¾

27 A Ñ Ò Ø Ú ØÓÖÝ v,v R 2 u,u R 2 Ð Ò Ð σ σ 2 Ø ÓÚ ö Av i = σ i u i Ø Ý AV = US A = USV. Å ØÓ Ð Ò ØÖÓ U S V Ù Ñ Ð Ø ÔÓÙÞ ÚÓ S V A A = VS U USV = VS 2 V = Vdiag(σ 2,σ2 2 )V Ì Ý [ ][ ] [ ] A A = = = 25 λ λ = (25 λ)2 49 = λ 2 50λ 576 = (λ 32)(λ 8) [ ] [ ] = v = [ ] 2 [ ] [ ] = v = [ ] 2 [ ] [ ] 4 4 AV = [ ] U = AVS 4 4 = A = [ ] 4 4 = [ σ = λ = 32 = 4 2 σ 2 = λ 2 = 8 = 3 2 [ = U [ ] ] = US [ ] = 4 ][ ] [ ] = USV 2 2 [ ] Â Ò ÞÔó Ó ÎÝÔÓ Ø Ñ Ô ØÖ ÐÒ ÖÓÞ Ð ÝÑ ØÖ Ñ Ø [ ] M M = λ = 0 0 λ λ 0 = λ 4 50λ = (λ 2 32)(λ 2 8) λ Þ Ö Ò λ = 4 2, v = 2 λ 3 = 4 2, v 3 = , λ 2 = 3 2, v 2 = 2, λ 4 = 3 2, v 4 = ¾

28 [ ] 0 M M = = = = 2  ÔÓ Ø ËÎ ÖÓÞ Ð Ü ØÙ Ð Ô Ð öò Ñ ØÓ º ÙÚ Ñ ÚÔÓ ØÓÚ Ú ÐÑ Ò Ð Òµ ÔÓ ØÙÔ ÔÓÑÓ ÀÓÙ ÓÐ ÖÓÚ ØÖ Ò ÓÖÑ Ú Ò ÓÚ ÖÓØ º ½ Ò ½¼ Ñ ¾ ± ÉÊ Ø Ø Ö Ò Ñ Ò µ Ê É ÓÙ ÓÐ Ö ³ÕÖ ³µ Ô ÒÙѾ ØÖ ÒÓÖÑ ¹É ʵ» ÒÓÖÑ µµµ ± ØÖ ÓÒ Ð Þ Ø ÓÒ Ø Ø Ö Ò Òµ ³µ»¾ Ì È ÓÙ ÓÐ Ö ³ ØÖ ³µ Ô ÒÙѾ ØÖ ÒÓÖÑ ¹È Ì È ³µ» ÒÓÖÑ µµµ ½¼ ± ËÎ Ø Ø ½½ Ö Ò Ñ Ò µ ½¾ Ì È½ Ⱦ ÓÙ ÓÐ Ö ³ ³µ ½ Ô ÒÙѾ ØÖ ÒÓÖÑ ¹ Ƚ Ì È¾ µ» ÒÓÖÑ µµµ Ä Ø Ò Ñ ØÖ Ü ØÓÖ Þ Ø ÓÒ Ø ØºÑ Ä Ø Ò ½¼ ÓÙ ÓÐ ÖºÑ ½ ÙÒØ ÓÒ È È¾ ÓÙ ÓÐ Ö ØÝÔ µ ¾ Ñ Þ ½µ Ò Þ ¾µ ÑÒ Ñ Ò Ñ Ò µ È Ý Ñµ Ⱦ Ò Ö Ò ¾ ØÝÔ ³ÕÖ ³ Ò ± ØÝÔ ººº ß³ÕÖ ³ ³ ØÖ ³ ³ ³Ð Û Ø ØÝÔ ³ÕÖ ³ ÓÖ ½ ÑÒ ¹½ Ü Þ ÖÓ Ñ ½µ ÒÓÖÑÜ Þ ÖÓ Ñ ½µ ½¼ Ü Ò ½µ Ò µ ½½ ÒÓÖÑÜ ½µ ÒÓÖÑ Üµ ½¾ Ù Ü ¹ ÒÓÖÑÜ ½ Û Ù» ÒÓÖÑ Ù µ ½ È Ý Ñµ ¹¾ Û Û ³µ È È È È ½ Ò ½ ³ ØÖ ³ ½ ÓÖ ½ ÑÒ ¹½ ½ ÐÔ ¹ Ò ½ µµ ÕÖØ ÙÑ ½ Ò µ º ¾µ µ ½ Ö ÕÖØ ½»¾µ ÐÔ ÐÔ ¹ ½ µµ µ Û Þ ÖÓ Ñ ½µ ¾¼ Û ½µ ½ µ ¹ ÐÔ µ» ¾ Öµ ¾½ Û ¾ Ò µ ¾ Ò µ µ» ¾ Öµ ¾¾ È Ý Ñµ ¹¾ Û Û ³µ È È È È È ¾ Ò ¾ ³ ³ ¾ Ⱦ Ý Òµ ¾ ÓÖ ½ ÑÒ ¹½ ¾ ± ÖÓÛ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ¾ Ü Þ ÖÓ Ñ ½µ ÒÓÖÑÜ Þ ÖÓ Ñ ½µ ¾

29 ¾ Ü Ò ½µ Ò µ ÒÓÖÑÜ ½µ ÒÓÖÑ Üµ ¼ Ù Ü ¹ ÒÓÖÑÜ Û Ù» ÒÓÖÑ Ùµ ½ È Ý Ñµ ¹¾ Û Û ³µ È È È È ¾ ± ÓÐÙÑÒ ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÐÔ ¹ Ò ½µ µ ÕÖØ ÙÑ ½ Ò µ º ¾µ µ Ö ÕÖØ ½»¾µ ÐÔ ÐÔ ¹ ½µ µ µ Û Þ ÖÓ Ò ½µ Û ½µ ½ µ ¹ ÐÔ µ» ¾ Öµ Û ¾ Ò µ ¾ Ò µ µ» ¾ Öµ Ⱦ Ý Òµ ¹¾ Û Û ³µ Ⱦ Ⱦ Ⱦ Ⱦ Ò ÓØ ÖÛ ¼ ÖÖÓÖ ³ ÓÙ ÓÐ Ö ÓÔØ µ ººº ÓÔØ ³³ÕÖ ³³ ÓÖ ³³ ØÖ ³³ ÓÖ ³³ ³³³µ ½ Ò ¾

30 º½ ÃÚ Ö Ø ÔÖÓ Ö ÑÓÚ Ò ÇÔ ÓÚ Ò Þ Ö Ò ÐÒ Ó ÔÓ ØÙ ÙÒ Ú ÔÖÓÑ ÒÒ ÓÔÓÖÙ Ù Ñ ÔÖÓ ØÙ ÓÚ Ø º Å Ñ f : R n Rº È Ö ÐÒ Ö Ú ÙÒ f ÔÓ Ð ÔÖÓÑ ÒÒ x i ÒÓÚ Ò Ó f(a+he i ) f(a) ( xi f)(a) = lim. h 0 h Ö ÒØ ÙÒ f ÒÓÚ Ò Ó f(a) = x f º xn f (a). È Ð ½ º ËÔÓ Ø Ø Ö ÒØ ÙÒ f : R n R Ò Ô Ô Ñ A ÝÑ ØÖ Ñ Ø º f(x) = 2 x Ax x b, à Ò º ËÔÓ Ø Ñ Ò Ú Ô Ö ÐÒ Ö Ú ÔÓ Ð i¹ø ÔÖÓÑ ÒÒ º ÈÖÓ Ø ÒØÓ Ð ÖÓÞ Ô Ñ f Ø Ý i¹ø ÔÖÓÑ ÒÒ Ò ÝÐ Ò Ú ÙÑ Ô Þ Ñ f(x) = 2 = 2 n k= l= n k= l= k i l i xi f(x) = 2 n x k a k,l x l n x k b k k= n x k a k,l x l + 2 n a i,l x l + 2 l= l i n x i a i,l x l + 2 l= l i n x k a k,i x i + 2 x ia i,i x i k= k i n a k,i x k +a i,i x i b i = k= k i n x k b k x i b i k= k i n a i,k x k b i = [Ax b] i k= Ø Ý f(x) = Ax b. º¾ Å ØÓ ÖÙö Ò Ö ÒØó ÁÒö ÒÖ ÔÖÓ Ð ÑÝ ØÓ Ú ÓÙ Ò ÐÓ Ý Ñ Ò Ñ Ð Þ Ð ÓÚ Ò Ö Ý Ø ÑÙº Ò Ö Ý Ø ÑÙ ÞÔÖ ¹ Ú Ð ÐÞ ÔÓÔ Ø ÔÖ Ú Ú Ñ ÒÞ ÓÒ ÐÒ Ú Ö Ø ÓÙ ÙÒ ØÞÚº Ú Ö Ø Ó ÙÒ ÓÒ ÐÙº ØÓ Ø Ý Ð Ñ Ò ÐÓ Ý Ñ Ò Ñ Ð Þ Ú Ö Ø Ó ÙÒ ÓÒ ÐÙ Ñ Ø A ÔÓÞ Ø ÚÒ Ò ØÒ µº ÈÖÓ ÖÑ Ò ÔÖÚ ÒÓ Ù Ú Ö ÒØÙ Ý Ñ Ò Ñ Ð Þ Ò Ó Ú Ñ Ð ÓÑ ÞÙ ÔÓ Ñ Ò Ýº ÈÖÓ Ò ÐÓ Ý ÔÐ Ø Ð Óö f Ð ÙÒ µ x = arg min x R n f(x), f(x) = 2 x Ax x b f(x ) = Ax b = 0 x = A b. ¼

31 ÈÓØ Ù Ñ Ø Ý Ø ÓÙ Ø ÚÙAx = b Ò Ô Ð Ù ÓÚÓÙ Ð Ñ Ò Ò Ñ ØÓ ÓÙº ÈÓ Ù Ñ ÒÞ Ñ Ø A Ú Ð ÔÖÓÚ Ò Ù ÓÚÝ Ð Ñ Ò ÚÔÓ ØÒ Ò ÖÓ Ò º ÍÚ Ñ Ñ ØÓ Ù Ø Ö Ú¹ ÔÓ ØÙ x ÔÓØ Ù ÔÓÙÞ ÑÔÐ Ñ ÒØÓÚ ÒÓÙ ÙÒ Ò Ó Ò Ñ Ø A ÞÐ Ú º à ØÓÑÙ Ð ÓÔÖ Ù Ñ ÔÓ ØÙÔÒÑ Öó ݺ È ÔÓÑ Ñ ö ÞÓ Ö Þ Ò (u,v) A := u Av Ð ÖÒ ÓÙ Òº È ÔÓ Ð Ñ ö Ñ Ñ ÓÖØÓ¹ ÓÒ ÐÒ Þ (p,...,p n ), i j (p i,p j ) A = 0, (p i,p i ) A > 0 ÚÞ Ð Ñ ØÓÑÙØÓ Ð ÖÒ ÑÙ ÓÙ ÒÙº à Ýö ÚÝÙö Ñ Þ Ô Ù Ð ÓÚÓÐÒ Ó Ú ØÓÖÙ x R n Ú Ø ØÓ Þ x = n i= α ip i ÐÞ Ñ Ò Ñ Þ Ò ÐÓ Ô Ú Ø Ò n x = α i p i = arg ni= min f( n α i p i ) α ip i R n i= = arg min α i R i=,...,n = arg min α i R i=,...,n ( n 2 i= n ( i= i= ) ( n n ) α i p i A α j p j α i p i b j= ) 2 α2 ip i Ap i α i p i b i= = arg min α R f( α p )+ + min α n R f( α np n ), Ñö ÝÐ ÔóÚÓ Ò Ñ Ò Ñ Þ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ú Ò Ò n Ò Þ Ú Ð ÒÓ Ñ ÒÞ ÓÒ ÐÒ Ú Ö Ø ÖÓÚÒ º ËÓÙ Ò Ò n x = α ip i, 0 = df( αp i) d α α= α = α i ip i Ap i p i b α i = p i b p i Ap i i= Ú Þ (p,...,p n ) Ñóö Ñ ÔÓ Ø Ô Ö Ð ÐÒ Ú ÔÖÓ ö ÓÙ ÓÙ Ò ÑÙ Ñ ÔÓ Ø Ø Ap i Ø Ý Ò Ó Ò Ñ Ø º ÈÖÓ Ú Ð n Ø Ý ÓÔÓ Ø Ò Ô Ò Ó Ò x Ô Ð Ò ÖÓ Ò º ÇÑ ÞÑ Ò ÐÓ Ù Ò Ð Þ Ò Ñ Ò Ñ ÔÓÙÞ Ò ÔÓ ÑÒÓö Ò Ø Ý ÔÖÓØÓ x k = k x k S k = {x 0 + α p + + α k p k } = x 0 + p,...,p k R n ˆx k = x 0 + i= k α i p i = arg min f(x 0 + k i= αipi Rn i= k α i p i ) k ( ) = arg min f(x 0 )+ α 2 α2 i p i Ap i + α i p i Ax 0 α i p i b i R i=,...,n i= k ( ) = arg min α 2 α2 i R ip i Ap i α i p i (b Ax 0 ) i=,...,n i= i= = arg f(x 0 )+ min α R f 0( α p )+ + min α k R f 0( α k p k ), f 0 (x) = 2 x Ax x (b Ax 0 ) = 2 x Ax+x g 0 α i p i, 0 = df 0( αp i ) α= α d α i = α i p i Ap i p i g 0 α i = p i g 0 p i Ap. i ½

32 Î ÑÒ Ñ ö Ñ Ò ÑÙÑ Ò S k Ñóö Ñ Þ Ø Þ Ñ Ò Ñ Ò S k ÔÓÙÞ Ó Ò Ñ ÒÓ Ñ ÒÞ Ó¹ Ò ÐÒ ÐÓ Ý ÔÖÓØÓö f(x k) = min f(x) = f(x k )+ min f 0( α k p k ) x S k α k R Ñóö Ñ Ø Ý ÔÓ Ù Ø Ò ÖÓÚ Ø Ò ÖÓÚ Ø ÔÓ ÐÓÙÔÒÓ Ø x k k =,... Ø Ö Ø ÚÒ º ÈÖÓØÓö Ñ Ý Þ ÙÚ Ò ÚÞÓÖ ÓÖ ÔÓÒ ÓÚ ÐÝ Ð Ø Ö ØÙÖÓÙ Ô Ñ Ó Ó ÒØó α α = α Ð Óö ÐÞ ÙÔÖ Ú Ø x k = x k α kp k, α k = g 0 p k p k Ap k = g k p k p k Ap k g k p k = ( Ax k b ) pk = ( A ( x k 2 α k p k ) b ) pk = ( Ax k 2 b ) pk α k = g k 2p k = = g 0 p k. =0 {}}{ p k Ap k Ø Ñ Ñ Ò Ò Ð Ó Ú ØÓÖ p i Ø Ö Ý ÓÑ Ø Ø Ð Ò ÖÓÚ Ø Ø Ö Ø ÚÒ º Å Ñ Ú ¹ ØÓÖÝ p,...,p k Ø Ð Ý ÓÑ ÚÝ Ò ÖÓÚ Ø ÒÓÚ p k+ º ÎÞÔÓÑ Ò Ñ ¹Ð Ò ÖÑÑóÚ Ë Ñ ØóÚ ÓÖØÓ ÓÒ Ð Þ Ò ÔÖÓ Ú Þ È Ð µ Ø ÔÓ Ù Ñ Ñ ÔÖÓØÓö h k / p,...,p k, Ô p k+ = h k +β k p + +β kk p k, β ki = p i Ah k p i Ap, i 0 = p i Ap k+ = p i Ah k +β k p i Ap + +β kk p i Ap k = p i Ah k +β ki p i Ap i. Ì ØÓ Ý ÓÑ Ù ÓÚ Ú Ð Ú ÒÝ Ú ØÓÖÝ p,...,p k ÔÓØ ÓÚ Ð ÚÝÔÓ Ø k Ð ÖÒ ÓÙ Òóº ÈÓ Ù Ð Ù Ñ ÔÓ ØÙÔÓÚ Ø ÝØ ÐÞ Ó ØÝØÓ Ò Ú Ó Ý Ð Ñ ÒÓÚ Øº ÀÐ Ñ x k x 0 + K k, K k = g 0,Ag 0,...,A k g 0. Í öñ ö Ö ÒØ g k = g(x k ) Ú x k ÓÐÑ ÔÖÓ ØÓÖÙ K k Ø Ý p g k = 0 p K k.  РÓö Ñ x k Þ Ú Ð Ó f(x k ) = min x 0+K k f(x) Ø ÔÖÓ Ú Ò d K k ÔÐ Ø 2 (x k) Ax k (x k) b = f(x k) f(x k +εd) = 2 (x k +εd) A(x k +εd) (x k +εd) b = 2 (x k) Ax k + ε2 2 d Ad+εd Ax k (x k) b εd b = f(x ε2 k )+ 2 d Ad+εd (Ax k }{{ b) } g k ÈÓ Ú Ñ Ò Ð Ò ε ( ε 2 d Ad+d g k ) Ø Ö Ò Ñ Ø Þ ÔÓÖÒº ÈÖÓ Ô ÚÒ d Kk ÓÙ d Ad > 0 d g k Ö ÐÒ Ð º ÈÓ Ù ÐÓ d g k Ò ÒÙÐÓÚ Ô ÚÓÐ ÓÙ ε = d g ( k ε ) ( ) d 2 d Ad Ó Ø Ú Ñ ε g k 2 d Ad+ = 2d Ad < 0, Óö Ò ÐÞ Ú x k Ñ Ò ÑÙѵº ÆÙØÒ Ø Ý d g k = 0 ÔÖÓ Ú ÒÝ d K k º ¾

33 ÈÓ Ù g k 0 Ô g k / K k Ð Óö g k K k+ ÐÒ Ñ Ò Ø Ñ ÔÖÓ h k º Æ Ú g k A ÓÐÑ K k Ø Ý p K k q = Ap K k 0 = q g k = p Ag k g k A K k. p k+ = g k +β k p k, β k = p k Ag k p k Ap. k ÆÝÒ Ø ÙÚ Ñ Ò ÓÐ Þ ÒÓ Ù Ù Ô Ô ó gk p k = gk (g k +β k p k ) = g k 2 +β k gk p k = g k 2 }{{} =0 x k = x k α kp k Ax k b = Ax k b α kap k Ap k = α k (g k g k ) α k gk Ap k = gk (g k g k ) = g k 2, ÔÖÓØÓö g k K k, g k K k α k p k Ap k = α k p k (g k g k ) = p k α g k p k g k = g k 2, ÔÖÓØÓö p k K k. k ÆÝÒ ö Ñóö Ñ Þ Ô Ø Ð ÓÖ ØÑÙ Ñ ØÓ Ý ÖÙö Ò Ö ÒØóº ÔÓ Ø Ò Ò Ð Þ x 0 ÔÓ Ø Ñ g 0 ÔÓÐÓö Ñ p 0 = g 0 º  ØÐ ö ÞÒ Ñ x k g k ÔÓ Ø Ñ x k = x k α k p k, α k = g k p k p k Ap k g k = g k α k Ap k p k+ = g k +β k p k, β k = p k Ag k p k Ap k = g k 2 p k Ap k = g k 2 g k 2. ÖÓ ÓÚ ½½ Ñ ØÓ Ý ÖÙö Ò Ö ÒØó ÓØ ØÙ Ñ Ò 2 2 Ô Ð Ù Ú Þ ½¾º Ä Ø Ò ½½ Ñ Ø Ó ºÑ ½ ÙÒØ ÓÒ Ü Ñ Ø Ó Ü¼ ØÓÐ µ ¾ ± Ü Ñ Ø Ó Ü¼ ØÓÐ µ ± Ò Ø Ð Þ Ø ÓÒ Ü Ü¼ Ü ¹ Ô ÓÐ ÒÓÖÑ ÒÓÖÑ µ Û Ð ÓÐ ÒÓÖÑ ØÓÐ Ô Ô ÐÔ ÓÐ ÒÓÖÑ ¾» Ô ³ Ô µ Ü Ü ¹ ÐÔ Ô ¹ ÐÔ Ô ½¼ Ø ÒÓÖÑ µ ¾µ» ÓÐ ÒÓÖÑ ¾µ ½½ Ô Ø Ô ½¾ ÓÐ ÒÓÖÑ ÒÓÖÑ µ ½ Ò ½ ¾ ¾ ¹ ½ ³ ¾ Ü Ö Ü Ñ Ø Ó ¼ ½ ¹½ µ Ä Ø Ò ½¾ Ø ØºÑ

34 º Å Ñ ÐÓ Ù Ù Ð Ø Ú ÉÈ min f(x), f(x) = x Ω 2 x Ax b x, Ω = {x B I x c I B E x = c E } à Ò x Ø ØÓ ÐÓ Ý ÑÙ ÔÐ ÓÚ Ø Ö ÒØ f Ä Ö Ò Ò Ax b+b λ = 0 λ B(x c) = 0 x Ω, Ø Ý B I x c I 0 B E x c E = 0 [ ] [ ] λi BI λ =, λ λ I 0, B = E B E g(x) = f(x) = Ax b L(x,λ) = f(x)+λ (Bx c) x L(x,λ) = f(x)+b λ = Ax b+b λ λ L(x,λ) = Bx c Ë ÐÓ Ó ÓÚ ÐÓ Ò (x,λ) R n Ψ ÈÓ Ñ Ò Ý ÐÓÚ Ó Ó Ù L(x,λ) L(x,λ) L(x,λ) x L(x,λ) = 0 [ λ L(x,λ) ] E = 0, [ λ L(x,λ) ] I 0 λ λ L(x,λ) = 0 º º½ Ù Ð Ø ÔÖÓ ÖÓÚÒÓ ØÒ ÓÑ Þ Ò Å Ñ ÐÓ Ù min f(x), f(x) = x Ω 2 x Ax b x, Ω E = {x Bx = c} Ø Ý ÐÓ Ó ÓÚÓÙ ÐÓ Ù Ò (x,λ) R n R m L(x,λ) L(x,λ) L(x,λ), L(x,λ) = 2 x Ax b x+λ (Bx c) ÈÖÓ ÜÒ ˆλ ÓÔÓ Ø Ñ x(ˆλ) = A (b B ˆλ ) º ÇÞÒ Ñ ÙÒ Θ(λ) = min L(x,λ) = L(x(λ),λ) = x Rn = ( b B λ ) A AA ( b B λ ) b A ( b B λ ) +λ ( BA ( b B λ ) c ) 2 = 2 λ BA B λ+λ ( BA b c ) 2 b A b ØÙØÓ ÙÒ Ñ Ò Ñ Ð ÞÙ Ñ Ò R m Ø Ý 0 = Θ(λ) = BA B λ ( c BA b )

35 º º¾ Ù Ð Ø ÔÖÓ Ò ÖÓÚÒÓ ØÒ ÓÑ Þ Ò º ÊÓÞ Ò Ä Ö Ò Ò Î ÞÑ Ñ ÔÖÓ Ð Ñ x = arg min Bx=c 2 x Ax x b

36 Ê Ö Ò ½ º Ó Ø Ð Îº ÎÓÒ Ö Ä Ò ÖÒ Ð Ö º Îâ ¾¼½¾µ ØØÔ»»Ñ ¾½ºÚ ºÞ»ÑÓ ÙÐ»Ð Ò ÖÒ ¹ Ð Ö ¾ º Ó Ø Ð Äº â Ò Ð Ä Ò ÖÒ Ð Ö ÔÖÓ ÓÑ ÒÓÚ Ò Ø Ò Ò ØÙ ÙѺ Îâ ¾¼¼ µ ØØÔ»» ÓÑ ÐºÚ ºÞ» ½»Ð Ø»Ð Ò ÖÒ Ð Ö ÔÖÓ ÓÑ ÒÓÚ Ò ØÙ ÙÑºÔ Ìº ÃÓÞ٠̺ ÖÞÓ Ó Ø Åº  ÖÓ ÓÚ Îº À ÔÐ º Å Ö ÓÔÓÙÐÓ Ä Ò ÖÒ Ð Ö Å ØÄ Ñº Îâ ¾¼½¾µ ØØÔ»»Ñ ¾½ºÚ ºÞ» Ø»Ñ ¾½ºÚ ºÞ» лÙÒ Ø»Ð Ò ÖÒ Ð Ö Ñ ØÐ ÑºÔ Âº ÃÙ Ò âº Å Ý ÖÓÚ Èº Ê ÓÚ Èº â ÖÑ ÒÓÚ Ö Ò ÐÒ ÔÓ Ø ÙÒ Ú ÔÖÓÑ ÒÒ º Îâ ¾¼½¾µ ØØÔ»»Ñ ¾½ºÚ ºÞ»ÑÓ Ùл ÒØ Ö ÐÒ ¹ÔÓ Ø¹ ÙÒ ¹Ú ¹ÔÖÓÑ ÒÒÝ