17 Konečná krystalová mřížka a její Fourierova transformace. Mřížková a tvarová amplituda

Transkript

1 17 KONEČNÁ KRYSTALOVÁ MŘÍŽKA, MŘÍŽKOVÁ A TVAROVÁ AMPLITUDA 1 17 Konečná krystalová mřížka a její Fourierova transformace. Mřížková a tvarová amplituda Konečnou mřížku f x) pravidelně rozmístěný motiv f U x) elementární buňka) v konečné oblasti V N-rozměrného prostoru lze matematicky popsat dvěma formálně odlišnými způsoby: f x) = f U x) δ x x n ), n V f x) = f U x) δ x x n ) s x). n inf 1a) 1b) Výraz 1a) je přirozenější, neboť suma představuje součet konečného počtu sčítanců symbol n V vyjadřuje, že součet tvoří sčítanci, v nichž koncový bod mřížkového vektoru x n 182) patří do oblasti V ). Ve výrazu 1b) se naproti tomu vymezuje konečná oblast V z nekonečné mřížky sčítá se přes všechny hodnoty multiindexu n) pomocí tzv. tvarové funkce s x) charakteristické funkce oblasti V ): s x) = 1, když x V, s x) = 0, když x V. 2) Pokud předpokládáme, že konečná mřížka je tvořena jen kompletními elementárními buňkami, je výraz 1b) nezávislý na pořadí, v němž se provádí konvoluce a násobení a oba výrazy 1a) a 1b) jsou ekvivalentní. Ekvivalentní jsou i Fourierovy transformace obou výrazů 1). Jsou však vyjádřeny různými funkcemi. Fourierova transformace výrazu 1a) je podle 7.31) a 1.32) součinem F X) = F U X)G X), 3) v němž funkce G X) = n V exp ik X x n ) 4) je součtem konečného počtu fázorů, který Laue [1] nazval mřížkovou amplitudou. Je zřejmě periodickou funkcí s 2π k -násobnou periodicitou reciproké mřížky a poněvadž X h x n je celé číslo, je max G X) ) 2π = G X k h = V. 5) V U V Podíl V U je počet elementárních buněk tvořících konečnou mřížku. Fourierova transformace výrazu 1b) je podle 7.31), 7.33), a 4.317) dána výrazem kde F X) = 1 A N V U F U X) h inf S X) = FT {s x)} = A N δ X 2πk X h ) S X), 6)... V exp ik X x ) d N x. 7) Funkci S X) nazval Ewald [2] tvarovou amplitudou. Týmž termínem se označují i veličiny úměrné Fourierově transformaci tvarové funkce, zejména bezrozměrné veličiny S 1 X) = 1 A N V S X) a G 1 X) = 1 A N V U S X). 8) Je zřejmé, že pro X = 0 nabývají absolutní hodnoty těchto veličin maximálních hodnot

2 2 17 KONEČNÁ KRYSTALOVÁ MŘÍŽKA, MŘÍŽKOVÁ A TVAROVÁ AMPLITUDA S 0) = A N V, S 1 0) = 1, G 1 0) = V V U. 9) S použitím tvarové amplitudy G 1 lze přepsat Fourierovu transformaci 6) konečné mřížky do tvaru F X) = F U X) h inf δ X 2πk ) X h G 1 X), 10) jenž má přesně stejnou výstavbu jako výraz 1b) charakterizující konečnou mřížku. Fourierovu transformaci konečné mřížky tvoří tedy tvarové amplitudy G 1 X) rozmístěné v mřížkových bodech 2π k X h reciproké mřížky a násobené Fourierovou transformací F U X) elementární buňky. Tato analogie mezi konečnou mřížkou a její Fourierovou transformací je snad ještě zřejmější z výrazů, které se získají, když se v 1b) a 10) provede nejprve násobení a potom konvoluce: f x) = s x n ) f U x x n ), 11) n inf F X) = ) 2π F U X k h G 1 X 2π ) X k h. 12) h inf Obrázek 1: Fraunhoferova difrakce na dvojčetné Siemensově hvězdici. Hvězdice je vyobrazena v levém dolním rohu difrakčního obrazce. Ramena difrakčního obrazcce jsou kolmá na rovné úseky okraje hvězdice. Dvojčetné Siemensovy hvězdice je použito jako základního motivu, jehož translací vznikly mřížky na obr. 2. Jinými slovy a formálně nahlíženo, Fourierovou transformací konečné mřížky je opět konečná mřížka, v níž tvarové amplitudy G 1 hrají roli elementárních buněk f U a Fourierova transformace F U elementární buňky hraje roli tvarové funkce s a omezuje rozsah konečné mřížky v prostoru Fourierovy transformace srv. obrázky 2, 3 a 4). Lze v tom opět spatřovat projev reciprocity: Velkému v prostoru proměnné x odpovídá malé ve Fourierově prostoru proměné X a naopak. Věcně však není analogie mezi konečnou mřížkou a její Fourierovou transformací tak úplná jako formálně. Už proto, že konečná mřížka je prostorově vymezena tvarovou funkcí s x), jež nabývá nulové hodnoty skokem viz 2)), kdežto Fourierova transformace konečné mřížky je konečnou mřížkou ve Fourierově prostoru jen v tom smyslu, že je

3 17 KONEČNÁ KRYSTALOVÁ MŘÍŽKA, MŘÍŽKOVÁ A TVAROVÁ AMPLITUDA 3 Obrázek 2: Dvojrozměrné čtvercové mřížky v levém sloupci jsou tvořeny translací různě orientovaných dvojčetných Siemensových hvězdic. Fraunhoferovy difrakční jevy v pravém sloupci ukazují, že difrakční obrazec na mřížce je vymezen difrakcí na motivu vytvářejícím mřížku v difrakčních obrazcích jsou ramena kolmá k rovným okrajům Siemensovy hvězdice).

4 4 17 KONEČNÁ KRYSTALOVÁ MŘÍŽKA, MŘÍŽKOVÁ A TVAROVÁ AMPLITUDA Obrázek 3: Vliv vnějšího tvaru konečné mřížky na tvar difrakčních stop [5]. a),b) dvojrozměrné mřížky s touž strukturou čtverečnou), avšak s různými vnějšími okraji. c), e) a d), f) Fraunhoferova difrakce z a) a b): c),d) celá střední část difrakčního obrazce, e), f) detail ukazující tvar difrakčních stop čtverec modulu mřížkové amplitudy G X)).Vedlejší maxima uprostřed buněk reciproké mřížky zřetelná v f) zanikají s rostoucí velikostí mřížky. Jejich intenzita je úměrná počtu rozptylových center, kdežto intenzita hlavních maxim roste s kvadrátem počtu rozptylových center.)

5 17 KONEČNÁ KRYSTALOVÁ MŘÍŽKA, MŘÍŽKOVÁ A TVAROVÁ AMPLITUDA 5 Obrázek 4: Fraunhoferova difrakce na konečné dvojrozměrné mřížce. V horní části obrázku je dvojrozměrná mřížka téhož vnějšího tvaru tvořená jednou kruhovými, jednou obdélníkovými otvory. Ve střední části obrázku jsou celé Fraunhoferovy difrakční obrazce těchto mřížek. Ukazují, že difrakční obrazec jako celek je vymezen tvarem odpovídajícím difrakci na motivu vytvářejícím mřížku rotačně symetrický Airyho difrakční obrazec představuje difrakci na kruhovém otvoru, kříž s rameny kolmými na strany představuje difrakci na obdélníkovém otvoru). V dolní části obrázku jsou zvětšené centrální části difrakčních obrazců. Jsou téměř stejné, neboť obě difrakční mřížky mají touž strukturu. Hlavní maxima tvoří reciprokou mřížku k difrakční mřížce.

6 6 17 KONEČNÁ KRYSTALOVÁ MŘÍŽKA, MŘÍŽKOVÁ A TVAROVÁ AMPLITUDA vymezena Fourierovou transformací F U X) elementární buňky, jež jde k nule pouze asymptoticky, když X. Fourierovu transformaci konečné mřížky lze tedy vyjádřit dvěma formálně různými výrazy: Jednak výrazem 3) prostřednictvím mřížkové amplitudy 4), jednak výrazem 10), resp. 12) prostřednictvím tvarové amplitudy 8). Mohlo by se zdát, že k výpočtu Fourierovy transformace konečné mřížky je vždy výhodnější použít výrazu 3), který je součinem dvou zdánlivě jednoduchých funkcí, než výrazu 10) nebo 12), které představují N-násobné nekonečné řady. Lze však uvést aspoň tři důvody, které vysvětlují, proč tomu bývá právě naopak: i) Mřížkovou amplitudu G X) bývá obtížné vypočítat podle definice 4). Je-li totiž vnější tvar mřížky poněkud komplikovanější, bývá obtížné specifikovat meze součtu 4). Proto může být užitečný vztah, který se získá porovnáním 3) a 10): G X) = h inf G 1 X) δ X 2πk ) X h = G 1 X 2π ) X k h. 13) h inf Vyjadřuje mřížkovou amplitudu G X) periodická funkce) superpozicí tvarových amplitud G 1 X) neperiodická funkce). ii) Je-li konečná mřížka tvořena velkým počtem elementárních buněk v každém směru, má modul tvarové amplitudy G1 X) velmi ostré maximum v počátku, tj. G1 X) V U V = S 1 X) se výrazněji liší od nuly jen v blízkosti počátku. V důsledku toho v blízkosti bodů X = 2π k X h platí G X). = G 1 X 2π k X h ), pokud X 2π X k h 2π a + k r, 14) neboť příspěvky všech ostatních členů řady 13) jsou zanedbatelné. Tvarovou amplitudu G 1 X 2π ) k X h lze tedy použít jako lokální aproximaci mřížkové amplitudy G X) v okolí bodů X = 2π k X h. To byl také původní podnět ke studiu tvarové amplitudy, když v r Laue [3] aproximoval součet 4) integrálem vyjadřujícím tvarovou amplitudu G 1. Dobrá lokální aproximace mřížkové amplitudy G tvarovou amplitudou G 1 v okolí bodů 2π k X h je dobře patrná na příkladu konečné jednorozměrné mřížky tvořené 2n+1) body: fx) = n j= n δx ja). Mřížková amplituda takové mřížky je GX) = n j= n exp ikxja ) = sin[ kx2n + 1)a/2 ] sin kxa/2 ) 15) a tvarová amplituda G 1 X) = 2n+1)a/2 2n+1)a/2 exp ikxa ) dx = sin[ kx2n + 1)a/2 ] kxa/2. 16) Dobrá aproximace mřížkové amplitudy 15) tvarovou amplitudou 16) v okolí mřížkového bodu X = 0 je zřejmá z algebraického vyjádření obou funkcí. Obrázek 5 ilustruje tuto skutečnost pro případ mřížky tvořené devíti body. iii) Konečná mřížka má vždy tvar nějakého N-rozměrného mnohostěnu polygonu v E 2, mnohostěnu v E 3 ). Tvarové amplitudy mnohostěnů lze poměrně snadno vypočítat, neboť jak bylo uvedeno v odst integrál 7) je vždy možné vypočíst analyticky, a tím vyjádřit tvarovou amplitudu algebraicky. V trojrozměrném případě na to upozornil Laue již v r [3] a doporučoval využít k výpočtu integrálu 7) Abbeovy transformace viz [5] a též dodatek D těchto přednášek). V r Patterson [4] počítal tvarové amplitudy některých mnohostěnů tak, že rozložil mnohostěn na čtyřstěny, vypočetl tvarovou amplitudu obecného čtyřstěnu a tvarovou amplitudu mnohostěnu vyjádřil součtem tvarových amplitud čtyřstěnů. Algebraické formule pro tvarové amplitudy obecných mnohoúhelníků a mnohostěnů odvozené pomocí Abbeovy transformace 11.12) byly publikovány v roce 1988 [5]. S jejich pomocí lze tvarovou amplitudu mnohostěnů resp. mnohoúhelníků bez obtíží vypočítat srov. odst. 11.2, dodatek D a publikace [6], [7]) a Fourierovu transformaci konečné mřížky je proto výhodné počítat podle vztahu 12). Přitom je vzhledem k 14) možné v okolí bodů X = 2π k X h nahradit nekonečnou řadu 12) jen několika jejími sčítanci, často téměř vždy dokonce jediným, jak to ilustruje obrázek 5.

7 17 KONEČNÁ KRYSTALOVÁ MŘÍŽKA, MŘÍŽKOVÁ A TVAROVÁ AMPLITUDA 7 Reference [1] Laue M. v.: Materiewellen und ihre Interferenzen. 2. Auflage. Akademische Verlagsgesellschaft, Geest & Portig, Leipzig [2] Ewald P. P.: X-ray diffraction by finite and imperfect crystal lattices. The Proceedings of the Physical Society London) ), [3] Laue M. v.: Die äussere Form der Kristalle in ihrem Einfluss auf die Interferenzerscheinungen an Raumgittern. Annalen der Physik. 5. Folge ), [4] Patterson A. L.: The Diffraction of X-Rays by Small Crystalline Particles. Phys. Rev ), [5] Komrska J.: Algebraic expressions of shape amplitudes of polygons and polyhedra. Optik ), [6] Komrska J., Neumann W.: Crystal Shape Amplitudes of Platonic Polyhedra. I. General Aspects and the Shape Amplitudes of the Tetrahedron, Cube and Octahedron. phys. stat. sol. a) ), [7] Neumann W., Komrska J.: Crystal Shape Amplitudes of Platonic Polyhedra. II. The Regular Pentagonal Dodecahedron and the Icosahedron. phys. stat. sol. a) ),

8 8 17 KONEČNÁ KRYSTALOVÁ MŘÍŽKA, MŘÍŽKOVÁ A TVAROVÁ AMPLITUDA Obrázek 5: Mřížková amplituda GX) = sin sin ) sin 9kXa/2 kxa/2 9kXa/2 kxa/2 ) ) plná čára) a tvarová amplituda G 1 X) = tečkovaně) jednorozměrné mřížky tvořené devíti body. Z grafů je vidět, že tvarová amplituda G 1 X) dobře aproximuje mřížkovou amplitudu GX) v okolí mřížkového bodu X = 0, tj. když X 2π ka.