Soustavy rovnic obsahující kvadratickou rovnici II

Transkript

1 .7. Soustavy rovnic obsahující kvadratickou rovnici II Předpoklady: 70 Soustavy s kvadratickou rovnicí se často vyskytují v analytické geometrii (náplň druhého pololetí třetího ročníku). Typický příklad analytické geometrie vypadá takto: Urči všechny body na přímce y =, které mají od bodu [ 3;] vdálenost 5. Každému geometrickému objektu odpovídá v analytické geometrii rovnice. Například body na přímce uvedené v adání ponáme podle toho, že jejich souřadnice splňují rovnici y =. Pokud bod leží v průsečíku dvou objektů, musí splňovat obě rovnice hledání průsečíků, pak přecháí v řešení soustav rovnic. Jak napíšeme: vdálenost od bodu [ 3; ] je 5? 0 8 [;y] [3;] Hledaná vdálenost bodu [ ] ; X y od bodu je vynačena červeně. Můžeme ji určit pomocí pravoúhlého trojúhelníku.

2 0 8 [;y] y- y- y [3;] Z obráku můžeme určit délky stran trojúhelníka a dosadit do Pythagorovy věty: c = a + b (dosadíme c = 5, a = 3, b = y ) ( 3) ( y ) 5 + = - tuto rovnici splňují všechny body modré kružnice na prvním obráku (střed v bodě [ 3; ], poloměr 5), proto se používá jako rovnice kružnice (v umocněném tvaru na další řádce) ( 3) 5 / + y = - můžeme, vše je kladné ( 3) + ( y ) = 5 y = Zbytek postupu je obsahem následujícího příkladu. Př. : Vyřeš soustavu rovnic + y = ( 3) 5 y = soustava rovnic, řešíme dosaením y = + = ( 3) 5 + = ( 3) ( + ) = 5 = 0 0 / : 5 = 0 ( + )( ) = 0 = y = = = 5 = y = = = {[,5 ];[, ] } = leží dva body [,5] a [, ], které mají od bodu [ ] K = pro řešení předchoího příkladu toho vyplývá, že na přímce y 3; vdálenost 5.

3 Dodatek: Správnost výsledku můžeme ověřit i pomocí obráku: y=- 0 8 [-;5] [3;] [;-] Pedagogická ponámka: Následující příklad je uvedený jako BONUS, protože v podstatě nesouvisí s probíranou látkou a v daném okamžiku není důležité, aby jej řešili všichni. Rychlejší studenti si však mohou kusit, jestli pochopili předchoí vysvětlování pořádně a dokáží ho použít i v jiném případě. Př. : (BONUS) Najdi průsečík kružnic k ([ 0,0 ]; r = 5) a k ([ 9,9 ]; r = 3) Dosadíme do rovnice přímky, která má již v předchoím příkladě miňovaný tvar y s + y s = r, kde s; s y jsou souřadnice jejího středu a r její poloměr. k : ( 0) + ( y 0) = 5 ( ) k : 9 + y 9 = 3 Po úpravě ískáme soustavu rovnic: + y = 5 y y = 9 + y = 5, kterou řešíme v následujícím příkladu = 7 y y Př. 3: Vyřeš soustavu rovnic: + y = = 7 y y + y = 5 + y + 8 8y = 7 V obou rovnicích jsou obě nenámé ve druhé mocnině nele dosaovat. Pomocí sčítací metody se můžeme v jedné rovnic bavit druhých mocnin: + y = y / :8 3

4 + y = 5 + y = Teď už můžeme dosaovat e druhé rovnice y = + + ( + ) = = = 5 + = 0 / : + = 0 ( + )( 3) = 0 = y = + = + = 3 = 3 y = + = 3+ = {[ ; 3 ];[ 3;] } se protnou v bodech [ ; 3] K = pro řešení předchoího příkladu toho vyplývá, že adané kružnice a [ ] 3;. Ponámka: Ještě elegantněji se mocnin v druhé rovnici bavíme tím, že provedeme substituci a místo + y napíšeme díky rovnosti první rovnice 5. Jde fakticky samořejmě o to samé k čemu dospějeme sčítáním rovnic, ale vypadá to elegantněji. Př. : Vyřeš soustavu rovnic: + y + 3 = + + y + = +. y + Rovnice jsou ve složitém tvaru, nejdřív je upravíme:. rovnice: y 3 + / ( ) podmínka + y + 3 = ( + ) y = y =. rovnice: y y + / ( y ) podmínka y + y + = + y + + y + = y + + y + y + y = 0 Dosadíme první rovnice do druhé: y = = y + y + y + y = 0 y + y = 0 y ( y + ) = 0 y = 0 = y + = 0 + = y = = y + = + = - tato dvojice nevyhovuje podmínce K = {[ ;0 ]}

5 Ponámka: K řešení je možné dospět i rychleji rovnice y + y = 0. Úpravou na součinový tvar ískáme y ( + ) = 0 =, y = 0. Druhá čísla do dvojic dopočítáme. Trochu riskantní je trik s dosaením = + y přímo do neupravené druhé rovnice: ( y + ) + y + y + + y + 3y = = = = 3 = + y + y + y + y + dánlivé mií s vykrácením. =. Správné řešení ůstane, Pedagogická ponámka: Studenti samořejmě poměrně často apomínají na podmínky. Pokud někdo najde působ řešení uvedený v ponámce, snažím se ho motivovat k tomu, aby jej dotáhl do konce. Přijde mi matematicky ajímavější než klasické řešení, protož vyžaduje lepší představu o tom, která čísla k sobě do dvojice patří. Po vyřešení třídou si ponámku ukaujeme. Př. 5: y + Vyřeš soustavu rovnic: y + = + y + = Použijeme dosaovací metodu. Nejdříve první rovnice vyjádříme y a dosadíme do bývajících dvou: y + y y = = y = = y = = 50 Z druhé rovnice vyjádříme a dosadíme do třetí: + 3 = 0 = 0 3 y = = 50 y = = 50 y = = 0 Poslední rovnice obsahuje jedinou proměnnou. Řešíme jako kvadratickou rovnici: 5

6 = 0 / : = 0 b ± b ac ± 7 75 ± ±, = = = = a = = 7 = = 3 Dopočteme ostatní proměnné: 5 = = 0 3 = 0 3 = y = 7 7 = 3 y = 0 3 = = 3 = 5 5 K = ; ; ;[ ;;3 ] Př. : Petáková: strana 7/cvičení 33 d) e) g) Shrnutí: Soustavy rovnic s kvadratickou rovnicí řešíme většinou dosaovací metodou. Sčítací metodu používáme na odstranění druhých mocnin jedné rovnic.