Univerzita Pardubice. Fakulta ekonomicko-správní Ústav matematiky a kvantitativních metod

Transkript

1 Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní Ústav matematiky a kvantitativních metod Některé ekonomické aplikace teorie her Bc. Veronika Školníková Diplomová práce 2013

2

3

4 PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že jsem tuto práci vypracovala samostatně. Veškeré literární prameny a informace, které jsem v práci využila, jsou uvedeny v seznamu použité literatury. Byla jsem seznámena s tím, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 121/2000 Sb., autorský zákon, zejména se skutečností, že Univerzita Pardubice má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 autorského zákona, a s tím, že pokud dojde k užití této práce mnou nebo bude poskytnuta licence o užití jinému subjektu, je Univerzita Pardubice oprávněna ode mne požadovat přiměřený příspěvek na úhradu nákladů, které na vytvoření díla vynaložila, a to podle okolností až do jejich skutečné výše. Souhlasím s prezenčním zpřístupněním své práce v Univerzitní knihovně. V Hradci Králové dne Bc. Veronika Školníková

5 PODĚKOVÁNÍ: Tímto bych ráda poděkovala svému vedoucímu práce panu doc. RNDr. Jaroslavu Seibertovi, CSc. za jeho odbornou pomoc a cenné rady, které mi pomohly při zpracování diplomové práce. Dále bych chtěla poděkovat také panu doc. Ing. Josefu Volkovi, CSc. za cenné rady a poskytnuté materiály, jež mi pomohly při vypracování praktické části práce. Poslední poděkování patří rodině a přátelům, kteří mě podporovali během doby studia.

6 ANOTACE Diplomová práce se věnuje vědní disciplíně teorie her a ukázce některých jejích ekonomických aplikací. Práce je rozdělena do čtyř kapitol. První kapitola se věnuje vzniku a vývoji teorie her. Druhá kapitola vysvětluje hlavní charakteristiky teorie her. Ve třetí kapitole jsou již uvedeny jednotlivé ekonomické aplikace teorie her a čtvrtá kapitola je podrobněji zaměřena na jednu možných aplikací teorie her, obálkovou metodu. KLÍČOVÁ SLOVA Teorie her, hra, hráč, strategie, optimální strategie, výplatní matice, obálková metoda TITLE Some Economic Applications of Game Theory ANNOTATION This master's thesis concentrates on game theory and shows some of its economic applications. The thesis is divided into four chapters. The first chapter centers on the creation and development of game theory. The second one explains the main characteristics of game theory. The various economic applications are outlined in the third chapter. The final and fourth chapter focuses on one specific possible application of game theory, sealed bid auction. KEYWORDS Game theory, game, player, strategy, optimal strategy, payoff matrix, sealed bid auction

7 OBSAH ÚVOD HISTORIE TEORIE HER VZNIK TEORIE HER John von Neumann Oscar Morgenstern VÝVOJ TEORIE HER Paul Anthony Samuelson Kenneth Joseph Arrow John Charles Harsanyi, John Forbes Nash, Reinhard Selten William Spencer Vickrey Robert John Aumann, Thomas Crombie Schelling Leonid Hurwicz, Eric Stark Maskin, Roger Bruce Myerson Alvin Eliot Roth, Lloyd Stowell Shapley CHARAKTERISTIKA TEORIE HER VYMEZENÍ ZÁKLADNÍCH POJMŮ KLASIFIKACE HER PODLE RŮZNÝCH KRITÉRIÍ ROZHODOVACÍ SITUACE Nekonfliktní rozhodovací situace Konfliktní rozhodovací situace Matematický model rozhodovací situace Hra v normálním tvaru Hra ve tvaru charakteristické funkce Hra v explicitním tvaru ANTAGONISTICKÉ HRY Hry s konstantním součtem Optimální strategie Maticové hry Princip minimaxu Čistá a smíšená strategie Dominance NEANTAGONISTICKÉ HRY Nekooperativní hry Dvojmaticové hry Kooperativní teorie přenosná výhra Kooperativní teorie nepřenosná výhra HRY S NEÚPLNOU INFORMACÍ Statická Bayesovská hra AUKCE Historie aukcí Typy aukcí Aukce jako Bayesovská hra PRINCIPY ŘEŠENÍ NĚKTERÝCH TYPŮ HER V EKONOMICKÝCH SOUVISLOSTECH ROZDĚLENÍ NÁKLADŮ NA PROPAGACI REKLAMNÍ HRA VĚZŇOVO DILEMA KONFLIKT TYPU VĚZŇOVO DILEMA - DOHODA KONFLIKT TYPU KUŘE (ZBABĚLEC) MANŽELSKÝ SPOR MARKETINGOVÁ STRATEGIE OBÁLKOVÁ METODA OPTIMÁLNÍ STRATEGIE PŘI OBÁLKOVÉ METODĚ DVA NEKOOPERUJÍCÍ INVESTOŘI Jediný rovnovážný bod Více rovnovážných bodů řešitelný případ Více rovnovážných bodů žádné řešení DVA KOOPERUJÍCÍ INVESTOŘI ZÁVĚR POUŽITÁ LITERATURA

8 SEZNAM TABULEK Tabulka 1: Základní pojmy teorie her Tabulka 2: Výplatní matice Tabulka 3: Výplatní matice Tabulka 4: Maticová hra Tabulka 5: Redukovaná matice Tabulka 6: Redukovaná matice Tabulka 7: Obálková metoda s jediným rovnovážným bodem Tabulka 8: Tabulka celkových zisků SEZNAM OBRÁZKŮ Obrázek 1: Schéma rozhodovacích situací Obrázek 2: Nedělitelné zakázky

9 ÚVOD Teorie her je vědní obor řazený do matematické ekonomie, ale také do teorie rozhodování a operačního výzkumu. Teorie her se zabývá modelováním a rozborem širokého spektra rozhodovacích situací s více účastníky (hráči), kteří mají rozdílné zájmy. Cílem je nalézt optimální řešení, resp. takovou strategii, která bude vyhovovat všem hráčům rozhodovací situace. Pojem hra má v moderní teorii velmi obecný význam. Nezahrnuje pouze salónní hry typu šachy či poker, jde v podstatě o jakoukoli konfliktní situaci mezi jedinci, podniky, armádami, státy, politickými stranami, biologickými druhy. Tato vědní disciplína nachází využití v mnoha oborech: matematika, ekonomie, sociologie, politologie, biologie, informatika, zemědělství a dalších. Co tedy můžeme rozumně očekávat od teorie he? Je rozhodně mnohem jednodušší než taková teorie, která by pokryla všechny vojenské, ekonomické i sociální situace. Na druhé straně je dostatečně obecná, aby ospravedlnila očekávání, že vysvětlí některé kritické stránky mnoha zajímavých konfliktních situací. [33] Diplomová práce je rozdělena do čtyř kapitol. První kapitola se věnuje vzniku a vývoji teorie her. Jsou zde uvedeny nejvýznamnější osobnosti, které v souvislosti s touto vědní disciplínou získali Nobelovu cenu. U každého z nich je krátce popsán jejich osobní i profesní život a hlavní přínos teorii her. Druhá kapitola se věnuje hlavním charakteristikám teorie her. Nejprve jsou vysvětleny základní pojmy, následuje dělení her, bližší popis jednotlivých druhů her, principy jejich řešení. Ve třetí kapitole jsou již uvedeny jednotlivé ekonomické aplikace teorie her. Nechybí zde popis principu řešení ani následné výsledky příkladů. Čtvrtá kapitola je zaměřena na obálkovou metodu, jako jednu z možných aplikací teorie her. Cílem práce je ukázat některé možnosti ekonomických aplikací teorie her. Práce obsahuje vznik a vývoj teorie her, charakteristiky teorie her, principy řešení některých typů her v ekonomických souvislostech. Hlavní zaměření praktické části je na ekonomickou aplikaci obálkové metody

10 1 HISTORIE TEORIE HER První zmínky o teorii her učinil již v roce 1838 francouzský matematik A. Cournot, který se zabýval stanovením rozsahu výroby na trhu, kde existují pouze dvě konkurenční firmy (duopol). Na počátku 20. století se matematici snažili nalézt odpověď na otázku, zda je možné spočítat optimální strategii pro šachy. Základy současné teorie her vznikaly v pracích E. Zermela (1913), E. Borela (1921) publikující práci zabývající se formulací matematických problémů motivovými herními situacemi, a J. von Neumanna, který v roce 1928 dokázal základní větu teorie her větu o minimaxu. Později se dodatečně ukázalo, že i některé práce publikované s ekonomickou problematikou měly blízko k oblasti vznikající teorii her. Příkladem jsou práce Leona Walrasa publikované kolem roku 1877 zabývající se pojmem rovnovážného řešení a rovnovážného stavu. Dále je to také pojem nedominovanosti, tzv. Paretovská optimalita, z prácí Vilfreda Pareta počátkem 20. století, nebo teorie konfliktů od H. von Stackelberga publikovaná v roce Vznik teorie her Teorie her se do povědomí ekonomie a společenských věd dostala až v roce 1944, kdy vyšla kniha Johna von Neumanna a Oskara Morgensterna Theory of Games and Economic Behavior. Tato kniha se stala základním dílem teorie her a ustanovila tak novou vědní disciplínu John von Neumann John Ludwig von Neumann, jehož původní jméno bylo János, se narodil 28. prosince 1903 v Budapešti do rodiny bohatého židovského maďarského bankéře. Již jako dítě projevoval znaky geniality měl jazykové nadání, neobyčejnou paměť, díky které zvládnul po pouhém jednom přečtení citovat dlouhé části textu, také vynikal v matematice. Otec jeho nadání podporoval tím, že mu zaplatil nejlepší školu ve městě, kupoval mu knihy a od dvanácti let ho soukromě učil nejlepší profesor matematiky z budapešťské univerzity, který pro něj připravil individuální plán studia, jelikož rozpoznal jeho neobyčejné nadání. Svou první vědeckou práci publikoval v sedmnácti letech a o rok později se zapsal na budapešťskou univerzitu, obor chemické inženýrství. Studium pro něj bylo tak snadné, že ve volném čase napsal doktorskou práci z matematiky. Na univerzitu v Berlíně nastoupil ve dvaadvaceti letech jako nejmladší asistující profesor v historii. Zde se zabýval kvantovou teorií a teorií neutronových sítí. Od roku 1928 se začal zabývat teorií her. V roce 1929 spolu

11 s Albertem Einsteinem založili nový Institut for Advanced Study v Princetonu, kde se stal vedoucím oddělení matematiky. Začátkem druhé světové války se dostal von Neumann do pozornosti vlády a armádních činitelů. V roce 1943 se stal jednou z hlavních postav tajného vývoje atomové bomby, tzv. Projektu Manhattan. Úkolem bylo určit množství explozivního materiálu, které obalí plutonium, aby došlo k nejúčinnějšímu výbuchu. Špičkový vědci si s tímto problémem lámali hlavy, ale von Neumann jej vyřešil během krátké chvíle. Jeho závěry pak byly použity k sestrojení bomb, které Američané použili v Hirošimě a Nagasaki. Mezi spolupracovníky si tímto vytvořil spoustu nepřátel. Po druhé světové válce spolupracoval na vývoji vodíkové bomby, kde mu až v roce 1950 pomohl s výpočty počítač. V roce 1952 byl testem v Tichém oceánu zničen jeden malý ostrov. Poté se stal von Neumann poradcem americké vlády. Zásadní význam udělal von Neumann pro výpočetní techniku svým Prvním náčrtem zprávy o EDVACu, kde popsal koncepci, která dala základ raným počítačů EDVAC a MANIAC. V roce 1945 von Neumann navrhnul architekturu samočinného počítače, který používáme dodnes. Ten se skládá z pěti hlavních komponent: procesoru, řadiče, operační paměti, vstupního a výstupního zařízení. John von Neumann byl za svůj život dvakrát ženatý. Jeho první manželka se jmenovala Mariette Kovesi, s níž měl dceru Marinu, ale brzy se rozvedli. Von Neumann se rok po rozvodu znovu oženil, tentokrát s Klarou Dan. John von Neumann zemřel 8. února 1957 ve věku 53 let na rakovinu. Za svůj život podstatně přispěl do mnoha oborů - matematiky, kvantové fyziky, počítačových věd, hydrodynamiky, ekonomie a dalších. Tvrdí se o něm, jako o jediném vědci, že byl chytřejší než Albert Einstein. [15], [22], [23] Oscar Morgenstern Oscar Morgenstern se narodil 24. ledna 1902 v Görlitzu v Německu. Některé zdroje uvádějí, že jeho matka byla nelegitimní dcera německého císaře Fridricha III. Oscar vyrostl ve Vídni, kam chodil do školy. V roce 1925 promoval na univerzitě ve Vídni, získal zde doktorát z politických věd a v roce 1935 se zde stal profesorem ekonomie, kde zůstal až do svého odchodu do důchodu v roce Je také známý pro svou skepsi ohledně měřitelnosti ekonomie, kterou popsal roku 1950 ve své knize On the Accuracy of Economic Observations (O přesnosti ekonomického pozorování). V roce 1970 přijal pozici profesora ekonomie na New York University, kde zůstal až do své smrti. V roce 1948 si vzal za manželku Dorothy Young. Zemřel v Princetonu 26. července [25], [26]

12 1.2 Vývoj teorie her Po roce 1945 se teorie her začala rychle vyvíjet. Významné práce byly vydány ve čtyřech sbornících Princetonské university. V roce 1952 J. C. C. McKinsey vydal učebnici přispívající k rozšíření teorie her i mimo oblast specializovaných pracovníků. Populárnější prací se stala kniha J. Williamse z roku 1953, která bohužel končí právě v místech, kde začíná být teorie her užitečná pro aplikace. Roku 1965 publikoval významnou práci R. Isaacs, který se zabýval novým odvětvím teorie her, tzv. teorií diferenciálních her. Tyto hry zkoumají konfliktní situace, které probíhají v čase. Strategie hráče je zaznamenána konkrétní funkcí času zadanou pomocí diferenciální rovnice. Od roku 1971 vychází časopis International Journal of Game Theory, který je hlavním periodikem odrážející vývoj teorie her. [5] Nejvýznamnější osobnosti, které přispěly k rozvoji teorie her a jejího uplatnění v ekonomických vědách, byly oceněny Nobelovou cenou za ekonomii. Nobelovy ceny se udělují 10. prosince na výročí dne úmrtí Alfreda Bernharda Nobela. Tyto ceny se předávají ve Stockholmu i v Oslu zároveň. Udělování cen začalo již v roce 1901 cenami za fyziku, chemii, lékařství či fyziologii, za literaturu a za mír. Od roku 1969 zavedla Centrální Švédská banka novou cenu, Cenu Švédské národní banky za ekonomii na památku Alfreda Nobela, která je obdobou Nobelovy ceny. Tato cena se začala udělovat při příležitosti třísetletého výročí založení banky, byla udělena již 44 krát 71 laureátům mezi roky 1969 a V následující části jsou uvedeni laureáti Nobelovy ceny za ekonomii v oblasti teorie her. U každého nositele je uveden krátký životopis, který byl zpracován ze zdrojů: [1], [10], [14], [24], [27], [28], [32]. Seznam osobností je veden podle roku, ve kterém získali Cenu Švédské národní banky za ekonomii na památku Alfreda Nobela Paul Anthony Samuelson Nobelovu cenu získal Paul Anthony Samuelson v roce 1970 za vědecký příspěvek k rozvoji statické a dynamické ekonomické teorie a aktivní přispění ke zvýšení analytické úrovně ekonomické vědy. Jeho příspěvky lze rozdělit do čtyř oblastí: dynamická teorie a analýza stability, teorie spotřeby, teorie všeobecné rovnováhy a teorie kapitálu. Paul Anthony Samuelson se narodil v Gary ve státě Indiana 15. května V roce 1935 získal titul bakalář svobodných umění na Chicagské univerzitě, v roce 1936 obdržel titul mistr svobodných umění a v roce 1941 získal doktorát z filozofie na Harvardu. Jako asistent začal v roce 1941 na Massachusettském technologickém institutu (MIT), kde se v roce 1947 stal profesorem. Toho roku mu byla udělena medaile Johna Batese jako žijícímu

13 ekonomovi mladšímu čtyřiceti let, jehož práce představuje vynikající přínos hlavnímu proudu ekonomického myšlení a vědění. Jeho práce Economics: An Introductory Analysis, poprvé vydaná v roce 1948, se stala nejúspěšnější učebnicí ekonomie všech dob. Ve spolupráci s R. Dorfmanem a R. Solowem napsal knihu Linear Programming and Economic Analysis, kde se zabývá matematickou ekonomií. Ta se využívá především k řešení praktických problémů v mezinárodním obchodě, v dopravě a marketingu, v otázkách konkurenční strategie v soukromém podnikání i ve vládním sektoru, v průmyslové výrobě a při plánování obrany. Působil jako ekonomický poradce různých soukromých i vládních institucí, byl také ekonomickým poradcem prezidenta J. F. Kennedyho a napsal velké množství odborných článků do všech významných časopisů. Jeho přínos pro ekonomii je obrovský a jistě patří mezi největší postavy ekonomické vědy uplynulého 20. století. Paul A. Samuelson zemřel 13. prosince 2009 v Belmontu, Massachusetts, ve věku 94 let Kenneth Joseph Arrow Kenneth Joseph Arrow získal Nobelovu cenu v roce 1972 společně s J. R. Hicksem za průkopnické příspěvky k teorii všeobecné rovnováhy a za teorii blahobytu. Kenneth Joseph Arrow se narodil 23. srpna 1921 v New Yorku. V roce 1940 byl promován na bakaláře společenských věd, avšak jeho hlavní zájem upoutala matematika. V dalším studiu pokračoval na Kolumbijské univerzitě, kde v roce 1941 získal titul M. A. v oboru matematika. Toto studium bylo přerušeno druhou světovou válkou, když musel sloužit jako důstojník meteorologické služby. V letech zastával na Chicagské univerzitě post docenta ekonomie. Inspirací pro něj byly letní pobyty od roku 1948 financované korporací RAND, kde se seznámil s teorií her a matematickým programováním. Od roku 1949 působil na Stanfordské univerzitě, kde setrval až do roku 1968, aby zde nakonec dosáhl titulu profesora ekonomie, statistiky a operačního výzkumu. V roce 1968 přijal jmenování profesorem ekonomie na Harvard University. K. J. Arrow je vědec širokého rozhledu a záběru. Na svém kontě má významná díla z oblasti ekonomické teorie, publikace z oborů teorie řízení, matematického programování a statistiky, ale i četné přehledové monografie a empirické studie. Jeho hlavní přínos je v obohacení ekonomické metodologie o nové pojmy a instrumenty, především při řešení problému všeobecné rovnováhy a v otázce veřejné volby

14 1.2.3 John Charles Harsanyi, John Forbes Nash, Reinhard Selten Nobelovu cenu získal J. C. Harsanyi v roce 1994 společně s J. F. Nashem a R. Seltenem. Ta jim byla udělena za průkopnickou analýzu rovnováhy v teorii nekooperativních her. John Charles Harsanyi se narodil 29. května 1920 v Budapešti. Jeho rodiče vlastnili lékárnu a jako jedináček převzal rodinný podnik. On však měl více zájem o filozofii a matematiku. Na budapešťské univerzitě získal doktorát filozofie, ale v roce 1950 musel emigrovat do Austrálie. Zde v Sydney studoval ekonomii a od roku 1964 pracoval na Univerzity of California v Berkeley jako profesor. Teorii her, kterou se převážně zabýval, přispěl prohloubením zpracování přístupů pro analýzu her při neúplné informovanosti účastníků. Tím poskytl teoretické základy pro aktivní výzkumy oblasti ekonomie informací, kde jsou rozebírány strategické situace, v nichž jednotlivé ekonomické subjekty neznají cíle jiných ekonomických subjektů. J. C. Harsanyi koncem 60. let vytvořil metodu, jak převést hry s neúplnými informacemi na hry s úplnými informacemi, které pak mohou být analyzovány s pomocí standardních nástrojů. Odstranil tak druhý hlavní nedostatek konceptu Nashovy rovnováhy, kde jednotliví účastníci hry mají úplné informace o preferencích ostatních hráčů. John C. Harsanyi pracoval nejen v oblasti výzkumu teorie her, ale také svým způsobem přispěl k základům teorie blahobytu a věnoval se i filozofii morálky. Zemřel 9. srpna 2000 v Berkeley. John Forbes Nash se narodil 13. června 1928 v Bluefield v Západní Virgínii. Vystudoval na univerzitě v Princetonu matematiku, v roce 1950 zde získal doktorát a na univerzitě působí dodnes. Jeho nejznámější úspěch je zavedení pojmu Nashova rovnováha, která se uplatňuje nejen v teorie her, ale i v některých částech teoretické ekonomie. Tento pojem zformuloval v roce Rovnováhu představuje soubor strategií nekooperativní hry, při které ani jeden z hráčů nemůže zlepšit svou strategii, pokud ostatní hráči nezmění svou strategii. Od roku 1959 trpěl mentálními poruchami, avšak po zlepšení zdravotního stavu se vrátil k vědecké práci. O jeho životě, práci i schizofrenii byl natočen v roce 2001 americký film Čistá duše, který získal čtyři Oscary. Reinhard Selten se narodil 10. října 1930 ve Vratislavi v tehdejším Německu. V roce 1961 získal doktorát na Frankfurtské univerzitě, kde se následně v roce 1968 habilitoval. Poté působil na Svobodné univerzitě v Berlíně, kde pracoval jako profesor. Od roku 1972 přešel na univerzitu do Bielefeldu a od roku 1984 je profesorem na Rheinische Friedrich-Wilhelm- Universität v Bonnu. Zpočátku se R. Selten zabýval oligopolním modelem. V roce

15 1965 absolvoval seminář z teorie her v Jeruzalémě, kterého se účastnily špičky oboru a kde se seznámil s Harsanyim. Teorii her poté aplikoval nejen na průmyslové podniky, ale i do jiných oblastí: zkoumal evoluční stabilitu a konstruoval teoretický model opylení rostlin včelami. Podle slov samotného R. Seltena, se dá teorie her aplikovat na kdeco - na politiku hospodářské konjunktury, kartelové zákonodárství, konkurenční boj, rozhodovací proces v podnicích, ale také na politický a volební zápas a fungování politických stran William Spencer Vickrey W. S. Vickrey získal v roce 1996 Nobelovu cenu společně s J. A. Mirrleesem za zásadní přispění k ekonomické teorii pobídek v podmínkách asymetrických informací. William Spencer Vickrey se narodil 21. června 1914 v kanadské Victorii. V roce 1935 získal na univerzitě v Yale titul bakaláře, v roce 1937 se stal magistrem na Columbia University v New Yorku a v roce 1947 zde získal doktorát. Od roku 1946 vyučoval ekonomii. V roce 1958 se stal řádným profesorem ekonomie, v roce 1971 profesorem politické ekonomie a od roku 1982 byl emeritním profesorem. Ve vědecké činnosti se zabýval především teorií daňových systémů a optimální výší zdanění. Zkoumal nejlepší způsoby rozhodnutí ekonomických subjektů, pokud mají neúplné či nerovnoměrné rozdělení informací. Věnoval se výzkumu informační nejistoty dražeb a jeho jménem byl pokřtěn nový způsob dražení. Podle něj neplatí odklepnutá nabídka ceny vítěze, ale cena druhé nejvyšší nabídky. Tato teoretická doporučení se prakticky uplatnila také v pojišťovnictví a při poskytování úvěrů. W. S. Vickrey proslul také jako kritik měnové unie v rámci Evropské unie. Zemřel náhle 11. října Robert John Aumann, Thomas Crombie Schelling R. J. Aumann získal Nobelovu cenu spolu s Thomasem C. Schellingem v roce 2005 za zvýšení porozumění konfliktům a spolupráci prostřednictvím analýzy teorie her. Robert John Aumann se narodil 8. června 1930 ve Frankfurtu nad Mohanem. V roce 1938 se s rodiči odstěhoval do USA. Na Massachusetts Institute of Technology získal v roce 1955 doktorát. V roce 1968 získal profesuru na Hebrew University of Jerusalem a v současné době má titul emeritního profesora. V době udílení ceny se zabýval teorií nekonečně opakovaných her, která usiluje o odhadnutí výsledků dlouhodobých procesů a vztahů. Spolu

16 s T. Schellingem se pokoušeli odpovědět na otázku, proč některé skupiny, organizace a země spolupracují, zatímco jiné ovládají konflikty. Aumann byl členem např. Econometric Society a American Economic Association. Dostal také mnohá významní ocenění za svou vědeckou práci např. Israel Prize in Economics, EMET Prize in Economics. V roce 1955 se Robert J. Aumann oženil s Esther Schlesinger, se kterou měl pět dětí. Jeho nejstarší syn Shlomo roku 1982 tragicky zahynul během výkonu služby v izraelské armádě. Aumann ovdověl roku 1988 a v roce 2005 se znovu oženil. Manželkou se stala ovdovělá sestra jeho zemřelé ženy, Batya Cohn. V současnosti má R. Aumann 19 vnoučat a dvě pravnoučata. Thomas Crombie Schelling se narodil 14. dubna 1921 v Oakland v Kalifornii. V roce 1951 získal doktorát na Harvard University. Než začal akademickou dráhu, pracoval v americké administrativě. Následně působil na Harvard University, kde má čestnou profesuru. V současnosti přednáší na University of Maryland, kde je profesorem na katedře ekonomie. Ve svých pracích se Schelling zabýval mj. konflikty mezi státy, které mají možnost zbrojit oba či nezbrojit. Závěry prací naznačily cestu pro řešení konfliktů a snahu, jak se vyhnout válkám. Svoji teorii vyvíjel v padesátých letech, aby nalezl optimální strategii Spojených států ve studené válce. Dále se Schelling věnuje v rámci ekonomické teorie i dalším tématům, od ekologie až po organizovaný zločin Leonid Hurwicz, Eric Stark Maskin, Roger Bruce Myerson L. Hurwicz získal v roce 2007 společně s E. S. Maskinem a R. B. Myersonsem Nobelovu cenu za položení základů teorie vytváření mechanismů. Leonid Hurwicz se narodil 21. srpna 1917 v Moskvě a pocházel z polské židovské rodiny. Za několik měsíců po jeho narození se rodina odstěhovala zpět do Varšavy, kde L. Hurwicz studoval práva na Varšavské universitě. V roce 1939 začal studovat na London School of Economics a poté se dostal do Ženevy. Ve svých studiích dále pokračoval na Harvard University a University of Chicago. V roce 1980 získal titul doktor věd na Northwestern University. Hurwicz se ve svém díle zabýval zejména matematikou v souvislostech s ekonomií, modelováním a teorií firem. Leonid Hurwicz zemřel 24. června 2008 v Minneapolis v Minnesotě. Eric Stark Maskin se narodil v New York City 12. prosince Na Harvard University získal titul A.A. z matematiky, A.M. z aplikované matematiky a Ph.D. také z aplikované matematiky. V současné době je profesorem v Princetonu na Institute for Advanced Study

17 a vyučuje na Princeton University. Je členem např. Game Theory Society, American Economic Association a také European Economic Association. Roger Bruce Myerson se narodil 29. března 1951 v Bostonu v Massechusetts. V roce 1973 získal na Harvard University titul A. B. z aplikované matematiky, v roce 1976 v tomto oboru získal titul Ph.D. Na Northwestern University přednášel v letech a od roku 2001 je profesorem na University od Chicago. Mimo jiné je R. B. Myerson vicepresidentem Econometric Society a členem American Academy of Arts. Je autorem několika knižních publikací a mnoha příspěvků do odborných periodik. Dále je autorem užitečných softwarových aplikací, které jsou kompatibilní se softwarem firmy Microsoft Alvin Eliot Roth, Lloyd Stowell Shapley A. E. Roth dostal spolu s L. S. Shapleym Nobelovu cenu v roce 2012 za teorii stabilních alokací a praktické návrhy podoby trhů. Alvin Eliot Roth se narodil 18. prosince 1951 v New Yorku. Zabýval se operačním výzkumem na Columbia University, kde studoval. V roce 1974 získal titul Ph.D. za operační výzkum na Stanford University. Přednášel na University of Illinois, na University of Pittsburgh a na Stanford University. Na Harvard University přednáší jako emeritní profesor. Roth se věnoval především teorii her, návrhu trhů a experimentální ekonomice. Vypracoval např. nové postupy pro optimální přijímání absolventů základních škol do středních škol s aplikací pro New York a Boston. Je členem American Academy of Arts and Sciences a Econometric Society. Lloyd Stowell Shapley se narodil 2. června 1923 v Cambridge. Na Harvardu začal studovat matematiku. V roce 1943 však musel během studií odejít do armády, kde byl v roce 1944 vyznamenán medailí Bronzová hvězda, zejména za rozluštění japonského meteorologického kódu. Po ukončení II. světové války se vrací na Harvard a v roce 1948 zde získává titul A.B. v oboru matematika. V roce 1953 získal titul Ph.D. a v roce 1981 se stává profesorem. Ve svých pracích se věnuje především teorii her a přiřazovacím postupům. Vytvořil např. algoritmus, který zajišťuje vždy stabilní párování. Známý je též tzv. Galeův-Shapleyho algoritmus, čili problém stabilních manželství. Je členem Econometric Society, členem American Academy of Arts and Sciences a čestným členem American Economic Association

18 2 CHARAKTERISTIKA TEORIE HER Předmětem teorie her jsou rozhodovací situace, které tato vědní disciplína modeluje a řeší. Cílem teorie her je nalezení optimální strategie, což je strategie zajišťující co nejvyšší výhru nezávisle na tom, jakou strategii volí protihráč. Takovýto přístup poskytuje všem hráčům výběr nejlepšího, nejpřijatelnějšího řešení. 2.1 Vymezení základních pojmů Původně se teorie her zabývala společenskými hrami, jako jsou šachy, poker, bridž nebo kostky, což se odrazilo i v odlišném názvosloví, než jsou ekonomové zvyklí. Teoreticko-herní terminologie má výhodu ve své obecnosti, kdy se při popisu situace nezaměřujeme na specifický druh konfliktu. Maňas [18] uvádí jako příklad naprogramování simulátorů pro piloty vojenských stíhaček, jejichž cílem je cvičit se v likvidaci protivníka. Zde může být nepraktické mluvit o konfliktu zájmů. Tabulka 1 stručně charakterizuje jednotlivé základní pojmy používané v teorii her. Tabulka 1: Základní pojmy teorie her Teorie her Hra Hráč Strategie Optimální strategie Prostor strategií Výplatní funkce Ekonomická realita Rozhodovací situace, konflikt Účastník konfliktu, rozhodovatel, firma, jedinec, politická strana Konkrétní alternativa, kterou může hráč zvolit Hráčem zvolená alternativa, která je pro něj nejvýhodnější Seznam všech možných alternativ, které jsou hráči dostupné Výsledek hry, výhra či zisk hráče v závislosti na zvolených strategiích Zdroj: [3] Jednotlivé charakteristiky následujících pojmů jsou převzaty z Volka [29] a upraveny. Hra je souborem pravidel a podmínek, které určují, jaké alternativy mohou volit jednotliví hráči, v jakém pořadí je volí a jaká je jejich výhra, která závisí na uskutečněné volbě. Dále můžeme hrou rozumět matematický model rozhodovací situace. Dle [31] je hra jednoduše souhrn pravidel, které ji popisují. Hráč je každý jednotlivý účastník rozhodovací situace. Je to také nositel práva na volbu závazných rozhodnutí. Hráči se dělí dle cílevědomosti chování na hráče inteligentní, do této

19 skupiny patří vždy člověk, a hráče neinteligentní, neboli náhodný mechanismus, zástupcem je příroda. Některé prameny uvádějí i p-inteligentního rozhodovatele, který se chová jako inteligentní rozhodovatel s pravděpodobností p a jako neinteligentní rozhodovatel s pravděpodobností 1 - p. Inteligentní hráči se vždy snaží maximalizovat svůj příjem, užitek. Partie hry je označení pro realizaci souboru pravidel a podmínek hry. Podle [31] je to každý jednotlivý případ, kdy je hra hrána od začátku do konce. Tah je moment hry, ve kterém se uskutečňuje volba jedné alternativy z množiny možných alternativ. Tahy se dále dělí na osobní tah, kdy je volba jedné alternativy volbou racionálního hráče, a náhodný tah, kdy je volba realizována náhodným mechanismem. Platba (výplata, výhra) se uskutečňuje vždy na konci každé partie a je závislá na volbě každého hráče a na pravidlech hry. Strategie označuje způsob rozhodování hráče v rozhodovacích situacích. Optimální strategie je taková, která zajišťuje hráči v dané konfliktní situaci (hře) nejvyšší dosažitelnou hodnotu výplatní funkce. Výplatní funkce závisí na rozhodnutí hráče samotného, ale i na rozhodnutí ostatních hráčů. 2.2 Klasifikace her podle různých kritérií Podle Volka [29] existuje několik charakteristik, podle kterých klasifikujeme hry. Podle počtu účastníků je dělíme na hry: jednoho hráče, dvou hráčů, n hráčů. Podle počtu alternativ v každém tahu jsou hry: s konečným počtem alternativ (konečné hry), s nekonečným počtem alternativ (nekonečné hry)

20 Podle příslušnosti rozhodovacího problému k oblasti společenské praxe dělíme hry na: salonní, ekonomické, vojenské. Podle možnosti a stupně spolupráce rozlišujeme hry: kooperativní, nekooperativní. Podle charakteru plateb hovoříme o hrách s: konstantním součtem, nekonstantním součtem. Podle množství informací, které mají hráči o předchozích tazích k dispozici, mluvíme o hrách: s dokonalou informací, s nedokonalou informací. Podle pravděpodobnosti výhry jednotlivých hráčů dělíme hry na: spravedlivé/korektní (matematická naděje na výhru je pro všechny účastníky stejná), nespravedlivé/nekorektní. Podle složení množiny hráčů rozlišujeme hry: inteligentních hráčů, s neinteligentním hráčem, tzv. hry proti přírodě. Hry s neinteligentním hráčem dále dělíme podle znalosti mechanismu volby tahů neinteligentním hráčem na hry: s neurčitostí (není znám mechanismus volby tahů neinteligentního hráče), s rizikem (známe zákon, který rozdělí pravděpodobnosti volby tahů neinteligentního hráče). Na obrázku 1 je schematicky uvedena klasifikace rozhodovacích situací

21 Obrázek 1: Schéma rozhodovacích situací Zdroj: [29]

22 Maňas [5] se odkazuje při členění na klasifikaci používanou mezinárodními referátovými časopisy, v jejímž čele uvádí časopis Mathematical Review. Teorie her se podle této kategorizace dělí takto: 1. hry dvou hráčů 2. hry n hráčů nekooperativní 3. hry n hráčů kooperativní 4. nekonečné hry 5. víceetapové hry stochastické 6. víceetapové hry rekursivní 7. diferenciální hry 8. herní modely pronásledování a úniku 9. teorie užitku 10. teorie rozhodování 11. teoreticko herní modely 12. poziční hry 13. aplikace teorie her 2.3 Rozhodovací situace V rozhodovací situaci se provádí výběr jedné z možných alternativ. Nutnou podmínkou pro správné rozhodnutí je dosažení určitého cíle Nekonfliktní rozhodovací situace Nekonfliktní rozhodovací situace nastává tehdy, pokud v ní vystupuje pouze jeden účastník. Zápis takové situace je následující: {Q = {1}; X; M 1 (x)}. (1) kde: Q = {1} je množina hráče, X je prostor strategií, M 1 (x) je výplatní funkce hráče, x X

23 Příkladem takových situací jsou dopravní úlohy, přiřazovací problémy, určování výrobní kapacity Konfliktní rozhodovací situace Dle Volka [29] je významnou skupinou rozhodovacích situací skupina konfliktních rozhodovacích situací, které vyhovují následujícím podmínkám: účastníci rozhodovací situace jsou alespoň dva, každý účastník rozhodovací situace zná množinu možných strategií svého chování a zná i množinu možných strategií svého protivníka/protivníků, každý účastník rozhodovací situace dovede zhodnotit efektivnost své volby ve všech možných případech, které mohou nastat (při libovolných strategiích, které zvolí protivníci), každý účastník rozhodovací situace rozhodne o své strategii z množiny možných alternativ nezávisle na volbách protivníků (nemá informace o strategiích, které zvolí protivníci), nejméně jeden z účastníků rozhodovací situace je inteligentní hráč, to znamená, že jedná rozumně a svou volbou se snaží dosáhnout stanoveného cíle. Účastníkem konfliktní rozhodovací situace může být i neinteligentní hráč, tedy příroda nebo též náhodný mechanismus. V takové situaci tento hráč nesleduje určitý cíl a jeho jednání je možné považovat za neurčité nebo nepředvídatelné s jistou pravděpodobností. Takové hry označujeme za hry proti přírodě Matematický model rozhodovací situace K popisu a řešení rozhodovací situace využívá teorie her tři různé modely: hra v normálním tvaru, hra ve tvaru charakteristické funkce, hra v explicitním tvaru

24 2.3.4 Hra v normálním tvaru Základním modelem je hra v normálním tvaru. Popis konfliktu je určen množinami: účastníků, prostorů strategií, výplatních funkcí. Účastníkem rozhodovací situace mohou být fyzické osoby, instituce, či jiné elementy, na jejichž rozhodnutí a chování je závislý výsledek dané situace. Je vhodné označovat účastníky pořadovými čísly. Prostor strategií značí všechny možná rozhodnutí určitého hráče. Výplatní funkce jsou definovány na kartézském součinu prostorů strategií a udávají výši výhry určitého hráče. Pokud je tato hodnota záporná, je to prohra, tedy částka, kterou musí určitý hráč zaplatit. Matematicky lze hru v normálním tvaru zapsat následovně: {Q; X i ; M i (x 1, x 2,, x n )}, (2) kde: Q = {1,2,, n} je množina hráčů, X i, i = 1,2,,n jsou prostory strategií, M i (x 1,x 2,,x n ), i = 1,2,,n jsou výplatní funkce hráčů, x 1 X1, x 2 X2,, x n Xn Hra ve tvaru charakteristické funkce Podle Maňase [18] je v některých případech rozhodovací situace výhodné dohodnout se v určité skupině hráčů na spolupráci, která zlepší jejich výsledek v konfliktní situaci. Taková skupina hráčů tvoří tzv. koalici. Při posuzování síly a výhodnosti jednotlivých koalic pro jednotlivé členy je nutné znát hodnotu úhrnné výhry koalice, kterou koalice může získat již bez spolupráce s nečleny koalice. Charakteristická funkce hry, je taková funkce, která každé z potenciálně možných koalic přiřazuje jejich celkovou možnou výhru, tedy reálné číslo Hra v explicitním tvaru Většina salónních her a některé rozhodovací situace jsou založené na realizaci postupných tahů. Taková hra se nazývá tahová. Cílem hráče je dosáhnout vítězství nebo alespoň podílu

25 na výhře. Popis rozhodovací situace, která probíhá formou postupně prováděných tahů, lze modelovat hrou v explicitním tvaru. Tento model je založen na znázornění rozhodovací situace a všech možných tahů pomocí grafu, který má tvar stromu. Strom hry tedy zachycuje všechny možné situace, do kterých se může hra dostat. Každá situace je charakterizována uzlem, ze kterého vychází určitý počet hran, které odpovídají možným rozhodnutím, čili tahům daného hráče. 2.4 Antagonistické hry O antagonistické hře mluvíme v případě, kdy jsou zájmy hráčů v přímém protikladu. Hráči se snaží maximalizovat svou výhru na úkor jiného či jiných hráčů. Jeden účastník ztrácí to, co získává druhý účastník. V této situaci nemají spolupráce nebo dohody mezi účastníky význam. Maňas [17] uvádí: Antagonistické konflikty jsou charakteristické pro situace, s nimiž se setkáváme v oblasti politických nebo vojenských střetnutí. V oblasti ekonomického rozhodování jde o případy do důsledku dovedené konkurence dvou firem. Takovýto typ konkurence se dnes vyskytuje většinou pouze v učebnicích, takže teorie antagonistických konfliktů se v ekonomickém rozhodování aplikuje přímo jen zřídka. Její zásadní význam spočívá v tom, že prvků této teorie se využívá pro řešení řady složitějších konfliktů. Jde o historicky nejstarší část teorie her a v jistém smyslu i nejjednodušší Hry s konstantním součtem Antagonistického konfliktu dvou hráčů se účastní dva inteligentní hráči, kteří se snaží maximalizovat svoji výhru na úkor protihráče. Součet výplatní funkce je roven konstantě K. Je tedy zřejmě možné omezit se na jednu výplatní funkci, neboť pro všechna x 1 X 1, x 2 X 2 platí M 1 (x 1,x 2 ) = - M 2 (x 1,x 2 ) + K. Pokud tedy známe M 1 (x 1,x 2 ) a K, známe i hodnotu výplatní funkce hráče 2. K je předem dané číslo. O hře s nulovým součtem mluvíme tehdy, když součet výher je nula bez ohledu na volbu strategií. Pro tuto hru platí: M 1 (x 1,x 2 ) = - M 2 (x 1,x 2 ), resp. M 1 (x 1,x 2 ) + M 2 (x 1,x 2 ) =

26 Hru můžeme pomocí matematického modelu zapsat v normálním tvaru takto: {Q = {1,2}; X, Y ; M 1 (x,y), M 2 (x,y)}, (3) kde: Q je množina hráčů, X, Y jsou prostory strategií prvního a druhého hráče, M 1 (x,y), M 2 (x,y) jsou výplatní funkce hráčů 1 a Optimální strategie Definice 2.1 Optimální strategií hráče 1 ve hře (3) nazveme takovou strategii x X, ve které existuje strategie Y tak, že M 1 (x,y) M 1 (x, ) M 2 (x, y) M 2 (x, ) (4) pro všechna x X, y Y. Strategii potom nazveme optimální strategií hráče 2. Je-li {Q = {1,2}; X, Y ; M(x,y)} (5) hra s nulovým součtem, můžeme nerovnosti (4) napsat ve tvaru M(x, ) M(x, ) M(x,y). (6) Dvojici strategií (x, ) s vlastnostmi požadovanými v (4), popř. v (6), nazveme řešení hry v normálním tvaru (3), popř. ( ). her s nulovým součtem se číslo M(x, ) nazývá cena hry. [17] Maticové hry Maticová hra je matematickým modelem této základní situace: je dána matice reálných čísel typu m x n. První hráč volí řádek matice, druhý hráč nezávisle na něm volí sloupec matice. Potom své volby zveřejní a první hráč dostane od druhého hráče částku rovnou prvku na průsečíku zvoleného řádku a sloupce. Je-li vybraný prvek záporný, jde platba obráceným

27 směrem. Hlavním úkolem teorie maticových her je objasnit, podle jakých pravidel mají hráči provést své volby tak, aby maximalizovali své výhry, případně minimalizovali své ztráty. [5] Definice 2.2 Konečnou hru s nulovým součtem {Q = {1,2}; X = {1,2,,m}, Y = {1,2,,n}; M(i,j) = a ij, i X, j Y}, (7) kde a 11 a 12 a 1n A = a 21 a 22 a 2n (8) a m1 a m2 a mn je daná matice, nazveme maticovou hrou. [17] Konečnou hru s nulovým součtem {Q = {1,2}; X, Y ; M(i,j) = (a ij )}, kde X a Y jsou konečné množiny tahů hráčů, nazveme maticovou hrou. Maticová hra je určena maticí A typu m n, kde prvky matice jsou reálná čísla. Matice se nazývá maticí plateb/výher pro prvního hráče. [29] Jestliže cena hry (hodnota hry) v 0 je hra nekorektní (nespravedlivá), což znamená, že jeden z hráčů má větší pravděpodobnost výhry. Při korektní (spravedlivé) hře mají všichni hráči stejnou pravděpodobnost výhry. Nerovnosti znázorněné v (6) vyjadřují fakt, že pokud se jeden z hráčů odchýlí od své optimální strategie, zatímco jeho soupeř se jí bude držet, jeho výhra se sníží. Takto definované optimální strategie se nazývají Nashovy rovnovážné strategie. Definice 2.3 Budiž (7) daná maticová hra. Hru dvou hráčů s nulovým součtem, jejíž prostory strategií jsou m x i i1 (X) = {x T = [x 1,, x m ]; 1, x 0}, (9) n y i i1 (Y) = {y T = [y 1,, y n ]; 1, y 0}, (10)

28 a výplatní funkce m M(x,y) i1 n i1 x i a ij y j = x T Ay, nazveme smíšeným rozšířením maticové hry (7).[17] Věta 2.1 Základní věta maticových her Smíšené rozšíření každé maticové hry má řešení. [17] Praktický způsob, jak najít optimální smíšené strategie pro danou maticovou hru, je použití lineárního programování. [20] Princip minimaxu Nashovy rovnovážné strategie získáme tak, že nalezneme sedlový prvek matice A. Pro každou matici platí nerovnost: Jestliže platí max (min a ij ) min (max a ij ). i j j i max (min a ij ) = min (max a ij ), i j j i pak mluvíme o tom, že matice má sedlový prvek. Sedlový prvek matice je číslo největší ve svém sloupci a zároveň nejmenší ve svém řádku. Je-li a ij sedlový prvek, pak i-tá strategie prvního hráče optimální a j-tá strategie druhého hráče jsou optimální. Hodnotu a ij nazýváme cenou hry. [3] Při hledání sedlového prvku v matici můžou nastat následující tři možnosti: 1. Matice má pouze jeden sedlový prvek, který je Nashovým rovnovážným řešením. 2. Matice má několik sedlových prvků a hodnoty těchto prvků jsou si rovny, pak tyto sedlové prvky určují alternativní optimální strategie. 3. Matice nemá žádný sedlový prvek. V tomto případě se nepodařilo nalézt optimální řešení daným způsobem. Hra tedy nemá řešení v oboru čistých strategií. [3]

29 2.4.5 Čistá a smíšená strategie Smíšená strategie hráče 1 je řádkový vektor X = (x 1,x 2,,x m ), který obsahuje nezáporné m x i i1 složky 0 x i 1, tak že 1. Smíšená strategie hráče 2 je sloupcový vektor Y = (y 1,y 2,, y n ) s nezápornými složkami 0 y i 1, tak že n y i i1 1. Smíšená strategie hráče 1, jejíž i-tá složka je rovna jedné a ostatní složky jsou rovny nule, se nazývá čistou strategií hráče 1. Analogicky pro hráče 2 nazýváme čistou strategii tu, jejíž j-tá složka je rovna jedné a ostatní složky jsou rovny nule. [29] Dominance Dominance znamená redukce matice plateb. Tuto metodu použijeme, pokud matice neobsahuje sedlový bod, a tudíž nemůžeme použít čistou strategii, ale pouze smíšenou. Tato metoda vyřadí tedy strategie, které nemá smysl volit a můžeme tak zmenšit rozměr matice. První hráč nebude volit ten řádek matice, ve kterém jsou všechny prvky menší než odpovídající prvky v jiném řádku. Druhý hráč nebude volit ten sloupec matice, ve kterém jsou všechny prvky větší (prvky značí jeho prohru) než odpovídající prvky v jiném sloupci. Jde o tzv. silně dominovanou strategii a platí, že hráč nikdy nezvolí silně dominovanou strategii. Pokud platí, že v jednom řádku (sloupci) jsou všechny prvky menší nebo rovny prvkům druhého řádku (sloupce) jde o slabě dominovanou strategii. [3] 2.5 Neantagonistické hry Neantagonistické hry jsou v praxi mnohem častější, než hry antagonistického typu. Neantagonistické hry představují takovou situaci, kdy každý z účastníků sleduje své vlastní zájmy, které však nemusejí být v přímém protikladu ostatních. V takovýchto případech dále rozlišujeme hry podle toho, zda hráči mají či nemají možnost uzavírat před volbou dohodu o tom, jakou volbu zvolí. Tyto neantagonistické konflikty dělíme podle možnosti spolupráce do dvou skupin: nekooperativní hry, kooperativní hry

30 Kooperativní hry dělíme dále podle možnosti rozdělení výhry mezi hráče: kooperativní hry s přenosnou výhrou, kooperativní hry s nepřenosnou výhrou Nekooperativní hry Definice 2.4 Mějme dánu hru dvou hráčů s nekonstantním součtem {Q = {1,2}; X, Y ; M 1 (x,y), M 2 (x,y)}. (10) Dvojici strategií x, nazveme rovnovážným bodem této hry, jestliže platí současně M 1 (x, ) M 1 (x, ) M 2 (x, y) M 2 (x, ) (11) pro všechna x X a y Y. Strategie x hráče 1 a se nazývá rovnovážná strategie hráče 2.[20] se nazývá rovnovážná strategie Při srovnání vztahů (4) a (11) lze vidět jistou analogii, která však není dokonalá. Poškodí-li se totiž u hry s konstantním součtem jeden hráč nevhodnou volbou strategie, je jeho protihráč automaticky zvýhodněn právě o tu částku, o kterou se chybující hráč poškodil. U her s nekonstantním součtem tomu tak není. Je dokonce možné, že hráč, který nevolí rovnovážnou strategii, vyhraje sice méně, než kdyby ji volil, ale současně může poškodit i hráče, který rovnovážnou strategii volil, a to třeba i více než sebe. Je tedy stupeň vynucování volby rovnovážného bodu podstatně slabší než u optimálních strategií ve hrách s konstantním součtem. Tato skutečnost je příčinou toho, proč zatím mluvíme o rovnovážných, a nikoli o optimálních strategiích. [17] Dvojmaticové hry Konečnou hru s nekonstantním součtem můžeme popsat dvěma následujícími maticemi: a 11 a 12 a 1n A = a 21 a 22 a 2n (12) a m1 a m2 a mn

31 b 11 b 12 b 1n B = b 21 b 22 b 2n (13) b m1 b m2 b mn Tyto matice lze spojit do jedné tabulky tvaru: a 11,b 11 a 12,b 12 a 1n,b 1n a 21,b 21 a 22,b 22 a 2n,b 2n (14) a m1,b m1 a m2,b m2 a mn,b mn Číslo v řádku dvojmatice koresponduje s číslem strategie hráče 1, číslo sloupce koresponduje s číslem strategie hráče 2. Vybere-li si hráč 1 strategii i a hráč 2 strategii j, pak výhra hráče 1 je a ij a výhra hráče 2 je b ij. Definice 2.5 Konečná hra {Q = {1,2}; X = {1,2, m}, Y = {1,2,,n};M 1 (i,j) = a ij, M 2 (i,j) = b ij, i X, j Y}, (15) kde a ij a b ij jsou prvky matic (12) a (13), se nazývá dvojmaticová hra s maticemi (12) a (13). [17] U nekooperativní teorie zavedeme pojem rovnovážného bodu hry. Dvojici strategií x 0 X, y 0 Y nazveme rovnovážným bodem hry, jestliže platí f 1 (x,y 0 ) f 1 (x 0,y 0 ) f 2 (x 0,y) f 2 (x 0,y 0 ) (16) pro všechna x X, y Y. [7] Dvojice x 0 a y 0 se nazývá Nashovy rovnovážné strategie. F 1 (x,y) a f 2 (x,y) jsou množiny výplatních funkcí hráčů 1a

32 U dvoumaticových her se můžeme setkat s následujícími čtyřmi situacemi: 1. Nashovo rovnovážné řešení je jediné a tak dává návod k optimálnímu jednání pro oba hráče. 2. Rovnovážných řešení je více, jedno z nich je však pro oba hráče výhodnější než ostatní rovnovážná řešení (dané řešení dominuje ostatním). Hráči si tedy vyberou pro oba nejvýhodnější rovnovážné řešení. 3. Rovnovážných řešení je více, ale hráči se neshodnou, které rovnovážné řešení vybrat, jelikož každý hráč preferuje jiné rovnovážné řešení. 4. V dvoumaticové hře neexistuje žádné rovnovážné řešení. [8] Pokud jsme nenalezli Nashovo rovnovážné řešení v čistých strategiích, využijeme smíšeného rozšíření dvoumaticové hry, jelikož platí věta 2.2. Věta 2.2 Smíšené rozšíření každé dvoumaticové hry má alespoň jeden rovnovážný bod. [19] Kooperativní teorie přenosná výhra Při hraní kooperativních her lze uzavřít s protihráčem smlouvu o volbě strategie či o pozdějším rozdělení výhry. Smlouvu je vhodné uzavřít, pokud mohou hráči spoluprací získat více než při samostatném rozhodování. Předpokladem je, že hráči se zajímají jen o zcela zaručené výhry. To jsou takové, při kterých je protihráč nemůže v žádném případě ohrozit. Pro hráče 1 označíme zajištěnou výhru jako pokud takový extrém existuje. Pro hráče 2 označíme zajištěnou výhru jako v(1) = max min M 1 (x,y), (17) x X y Y v(2) = max min M 2 (x,y). (18) y Y x X

33 Dále si hráči mohou zjistit výhru, kterou by mohli získat dohromady při spolupráci při volbě strategie. Tuto částku označíme v(1,2) a platí pro ni v(1,2) = max [M 1 (x,y) + M 2 (x,y)]. (19) x X y Y Využít uzavření dohody bude výhodné v případě, že v(1,2) > v(1) + v(2), protože vedle zajištění minimální výhry může každý hráč případně získat něco navíc z přebytku v(1,2) v(1) v(2). Definice 2.6 Nechť pro hru dvou hráčů (10) s přenosnou výhrou existují čísla (17), (18) a (19). Potom tuto hru nazveme podstatnou, jestliže platí v(1,2) > v(1) + v(2), a nepodstatnou, jestliže platí v(1,2) = v(1) + v(2). [17] Další rozhodnutí nastává v případě rozdělení výhry. Částku, kterou dostane hráč 1 ze společné výhry, si označíme a 1. Analogicky si označíme a 2 částku, kterou dostane hráč 2 ze společné výhry. Vektor [a 1,a 2 ] nazveme rozdělením. Pro hráče budou přijatelné takové hodnoty a 1, a 2, pro něž platí současně a 1 + a 2 = v(1,2) a 1 v(1), a 2 v(2). (20) Vztahy (20) říkají, že při dělení se musí rozdělit celá společná výhra, a dále, že každý hráč musí dostat alespoň tolik, kolik je schopen si zajistit samostatně. Množinu všech rozdělení splňujících (20) nazveme jádrem uvažované hry. [17] Rozdělení výher na poloviny nebude zřejmě obecně vyhovovat, jelikož hráči se na výhře nemusejí podílet rovným dílem. Návodů na to, jak rozdělit výhry je mnoho. Jedním z nich je ten, že každý hráč si ponechá částku, kterou je schopen si sám uhradit a o zbytek se rozdělí v poměru přínosu hráčů ke společné výhře. Dalším způsobem, jak rozdělit výhru je, že každý hráč si ponechá částku, kterou je schopen sám uhrát a o zbytek se hráči mezi sebou rozdělí stejným dílem. Tento návod můžeme zapsat pomocí matematické naděje výhry

34 1 = [v(1,2) + v(1) v(2)]/2, 2 = [v(1,2) + v(2) v(1)]/2. (21) Definice 2.7 V podstatné hře dvou hráčů s nekonstantním součtem nazveme strategie x, optimálními, jestliže pro ně platí v(1,2) = M 1 (x,y) + M 2 (x,y). Optimálním rozdělením nazveme dvojici 1, 2, pro kterou platí (20). hry potom rozumíme čtveřici x,, 1, 2. [17] ešením podstatné Kooperativní teorie nepřenosná výhra V případech nepřenosné výhry se sice smlouvy mohou uzavírat, avšak přenos výhry není možný. Takovéto situace nastávají v praxi, pokud je legální s druhou stranou spolupracovat, ale o výhru se nelze podělit, jelikož se na to dívá jako na úplatek, nebo výhru prostě rozdělit nelze. Příkladem může být smlouva o omezení zbrojení, kdy jedna strana nebude platit druhé v případě nezbrojení. Definice 2.8 važujme hru {Q = {1,2}; X, Y ; M 1 (x,y), M 2 (x,y)} a nepřenosnou výhru. Dvojici čísel [a 1,a 2 ] nazveme dosažitelným rozdělením, jestliže a 1 v(1), a 2 v(2) a jestliže existují strategie x X a y Y tak, že a 1 = M 1 (x,y), a 2 = M 2 (x,y). Množinu všech dosažitelných rozdělení označíme D. [17] Pokud v D existuje alespoň jeden prvek [a 1,a 2 ], který má vlastnost [a 1,a 2 ] [v(1), v(2)], pak bude přinejmenším pro jednu stranu výhodné uvažovat o možnosti uzavření smlouvy o volbě strategie. Definice 2.9 Dosažitelné rozdělení [b 1,b 2 ] D nazveme paretovským, jestliže neexistuje rozdělení [a 1,a 2 ] D s vlastností a 1 b 1 a a 2 > b 2 nebo a 1 > b 1 a a 2 b 2. Množinu všech paretovských rozdělení označíme P. [17] Paretovské rozdělení je tedy takové dosažitelné rozdělení, k němuž neexistuje jiné dosažitelné rozdělení, při němž by alespoň jeden hráč získal více a druhý stejně nebo také více než u prvního přijatelného rozdělení. [17] Pokud má hra paretovských rozdělení více, pak je hra složitější a optimální řešení se hledá podle následující definice