ZPRACOVÁNÍ BIOLOGICKÝCH SIGNÁLŮ

Transkript

1 Vysoá šola báňsá Techcá uverzta Ostrava ZPRACOVÁÍ BIOLOGICKÝCH SIGÁLŮ Učebí text Jta Mohylová Vladmír Krača Ostrava 007

2 Receze: Ig. Ja Havlí ázev: Zpracováí bologcých sgálů Autor: Jta Mohylová, Vladmír Krača Vydáí: prví, 006 Počet stra: 35 Vydavatel a ts: Edčí středso VŠB TUO Studí materály pro studí obor: Řídcí a formačí systémy faulty FEI Jazyová oretura: ebyla provedea. Určeo pro proet: Operačí program Rozvo ldsých zdroů ázev: E-leargové prvy pro podporu výuy odborých a techcých předmětů Číslo: CZ.O4.0.3/3..5./036 Realzace: VŠB Techcá uverzta Ostrava Proet e spolufacová z prostředů ESF a státího rozpočtu ČR Jta Mohylová, Vladmír Krača VŠB Techcá uverzta Ostrava ISB

3 Obsah. ZÁKLADÍ POJMY Defce sgálu Charatersty ěterých bomedcísých sgálů PŘEDZPRACOVÁÍ DAT Aalogově dgtálí převodí FILTRACE CHARAKTERISTIKY ÁHODÝCH SIGÁLŮ SPEKTRÁLÍ AALÝZA BIOLOGICKÉHO SIGÁLU eparametrcé metody Fast Fourer Trasform Parametrcé metody Modely odhadu spetra Spetrálí aalýza Korelačí aalýza ZOBRAZEÍ VÝSLEDKŮ SPEKTRÁLÍ AALÝZY Metoda zhuštěých spetrálích uls CSA Topografcé mapováí bramappg BM METODY UMĚLÉ ITELIGECE Záladí pomy teore učeí Shluová aalýza Cluster Aalyss Klasface metod shluové aalýzy Učící se lasfátory UMĚLÉ EUROOVÉ SÍTĚ () Topologe a způsoby šířeí sgálu Perceptro a eho učeí Vícevrstvý perceptro multlayer perceptro (MLP) Další algortmy učeí Samoseorgazuící euroové sítě... 9

4 Průvodce studem poyy e studu předmětu: Zpracováí bologcých sgálů Pro předmět Zpracováí bologcých sgálů 9. (0.) semestru oborů Měřcí a řídcí techa, Řídcí a formačí systémy ste obdrţel studí balí obsahuící tegrovaé srptum pro dstačí studum obsahuící poyy e studu CD-ROM s doplňovým amacem vybraých částí aptol harmoogram průběhu semestru a rozvrh prezečí část Prerevzty Pro studum tohoto předmětu se předpoládá absolvováí předmětu Sgály a soustavy Cílem předmětu e sezámeí se záladím pomy z oboru zpracováí bomedcísých dat. Po prostudováí modulu by měl studet být schope provést aalýzu sgálů v časové a frevečí oblast. Pro oho e předmět urče Modul e zařaze do magstersého studa oborů Měřcí a řídcí techa, Řídcí a formačí systémy studího programu M6 Eletrotecha a formata, ale můţe e studovat záemce z teréhoolv ého oboru, poud splňue poţadovaé prerevzty. Srptum se dělí a část, aptoly, teré odpovídaí logcému děleí studovaé láty, ale esou steě obsáhlé. Předpoládaá doba e studu aptoly se můţe výrazě lšt, proto sou velé aptoly děley dále a číslovaé podaptoly a těm odpovídá íţe popsaá strutura. Př studu aždé aptoly doporučueme ásleduící postup: Čas e studu: xx hod a úvod aptoly e uvede čas potřebý prostudováí láty. Čas e oretačí a můţe vám slouţt ao hrubé vodíto pro rozvrţeí studa celého předmětu č aptoly. ěomu se čas můţe zdát přílš dlouhý, ěomu aopa. Jsou studet, teří se s touto problematou eště dy esetal a aopa taoví, teří ţ v tomto oboru maí bohaté zušeost. Cíl: Po prostudováí tohoto odstavce budete umět popsat... defovat... vyřešt... Ihed potom sou uvedey cíle, terých máte dosáhout po prostudováí této aptoly orétí dovedost, zalost.

5 Výlad ásledue vlastí výlad studovaé láty, zavedeí ových pomů, ech vysvětleí, vše doprovázeo obrázy, tabulam, řešeým přílady, odazy a amace. Pomy zapamatováí Hlaví pomy, teré s v aptole máte aptoly osvot. Poud ěterému z ch po prostudováí ebudete eště erozumět, vraťte se m eště edou. Otázy Pro ověřeí, ţe ste dobře a úplě látu aptoly zvládl, máte dspozc ěol teoretcých otáze. Úlohy řešeí Protoţe větša teoretcých pomů tohoto předmětu má bezprostředí výzam a vyuţtí v databázové prax, sou Vám aoec předládáy pratcé úlohy řešeí. V ch e hlaví výzam předmětu a schopost aplovat čerstvě abyté zalost př řešeí reálých stuací hlavím cílem předmětu. Klíč řešeí Výsledy zadaých příladů teoretcých otáze výše sou uvedey v závěru učebce v Klíč řešeí. Pouţívete e aţ po vlastím vyřešeí úloh, e ta s samootrolou ověříte, ţe ste obsah aptoly sutečě úplě zvládl. Úspěšé a příemé studum s touto učebcí Vám přeí autoř výuového materálu Jta.mohylova@vsb.cz

6 Harmoogram průběhu studa /: Zpracováí bosgálů (ZBS) Garat: Ig. Jta Mohylová, Ph.D. Aotace: Vlastost bologcých sgálů, ódováí léařsých dat, dsretzace. Zpracováí sgálů v časové oblast, fltrace, ve frevečí oblast - parametrcé modely, FFT. Zobrazeí zpracovaých výsledů - CSA, topografcé mapováí. Adaptví segmetace, metody automatcé lasface sgálů - učeí bez učtele, shluová aalýza. euroové sítě. Pratcé aplace zpracováí EEG sgálů. Typ studa: magstersé Počet redtů: 4 Bodové hodoceí: Položa Poč. bodů M. bodů. Semestrálí práce č. 0. Semestrálí práce č Semestrálí práce č Semestrálí práce č Zouša - ZBS 60 Průběžá otrola studa: čtyř semestrálí práce (orespodečí úoly) v poţadovaých termíech Podmíy uděleí zápočtu: Pro uděleí zápočtu musí studet odevzdat do oce 4. týde semestru všechy čtyř zadaé semestrálí práce. Kaţdá semestrálí práce e hodocea maxmálě 0 body. Studet tedy můţe zísat aţ 4*0 = 40 bodů. Kurs e uoče závěrečou ombovaou zoušou. Studet můţe zísat u písemé část zoušy 30 bodů, u ústí zoušy 30 bodů. Aby byla závěrečá zouša úspěšě sloţea, musí studet zísat eméě 0 bodů. Pro úspěšé uočeí ursu musí studet zísat eméě 5 bodů. Cíle předmětu: Cílem předmětu Zpracováí bosgálu e sezámt studety s edotlvým bologcým sgály, ech fltrací a aalýzou v časové a mtočtové oblast a metodam zobrazeí zpracovaých výsledů. Studet bude zát charatersty edotlvých bosgálů, dovede určt spetrum, spetrálí výoovou hustotu, orelačí a oherečí aalýzu. Bude schope provést adaptví segmetac, automatcou lasfac a shluovou aalýzu. Dosaţeé výsledy zobrazí metodou CSA a bra mappgem. Př aalýze reálých dat (EEG a EKG) bude vyuţívat prostředí MATLAB.

7 Zísaé dovedost: Studet bude zát charatersty edotlvých bosgálů, dovede určt spetrum, spetrálí výoovou hustotu, orelačí a oherečí aalýzu. Bude schope provést adaptví segmetac, automatcou lasfac a shluovou aalýzu. Dosaţeé výsledy zobrazí metodou CSA a bra mappgem. Př aalýze reálých dat (EEG a EKG) bude vyuţívat prostředí MATLAB. Předášy: Sgály v léařství - původ, charater a obecé prcpy zpracováí bosgálů, metody a algortmy zpracováí sgálů přehledě Charatersta bosgálů, EEG, EMG, ECG, EOG. Původ, zdroe, dagostcé vyuţtí. Moţost uplatěí bo-ţeýrů. Zpracováí bologcých sgálů v reálém čase a off le. Přřazeí utých zařízeí, počítačové sítě. Statstcé charatersty bosgálů. Pravděpodobostí rozloţeí. Stochastcé procesy, aalýza časových řad. estacoarta. Údae o pacetov, detfačí soubory. Sběr a předzpracováí bologcých dat, dsretzace - záladí řetězec převodu do počítače. A/D převodíy, problémy vzorováí a vatzace sgálu. Alasg. Fltrace. Tredy. Data zpracováváa souběţě se sgály. Spetrálí aalýza I. - Záladí metody. Perodogram, AR model. Parametrcé a eparametrcé metody. Pratcé problémy odhadu spetra. Kříţové spetrum, oherece a fáze. Spetrálí aalýza II. - FFT. Aplace. Metoda zhuštěých spetrálích uls (CSA). Pouţtí. Iterhemsfercá a loálí oherece. Medálí sychroe a symetre. Měřeí fáze. Topografcé mapováí eletrofyzologcé atvty. Prcp bra mappgu. Ampltudové a frevečí mapováí. Iterpolace. Pouţtí v lcé dagostce. Dyamcé mapováí. Adaptví segmetace Motvace. estacoarta bosgálů. Záladí metody. Multaálová o-le adaptví segmetace. Extrace přízaů. Metody automatcé lasface I. - Učeí bez učtele. Metry. ormalzace dat. Shluová aalýza. K-meas algortmus. Fuzzy moţy. Optmálí počet tříd. Lmty a omezeí shluové aalýzy. euroové sítě a zpracováí sgálů. Metoda hlavích ompoet a euroové sítě. Hebbovsé učeí. Multaálové sgály - omprese a reostruce. Samoorgazuící se metoda hlavích ompoet (Doc. Ig. Vladmír Krača, Csc). Automatcá lasface II. - Učící se lasfátory. Srováí vlastostí supervzovaého a esupervzovaého učeí. O-le lasface. - lasfátor lascý a fuzzy. Porováí s euroovým sítěm. Automatcá detece epleptcých grafoelemetů II. Automatcý detetor hrotů a záladě medáové fltrace. Artmetcý detetor. Kombovaý detetor.metoda hlavích ompoet a lascé fltrace pro detec. Eletroardografcý sgál, dgtálí zpracováí, vlastost. Krtéra dgtalzace EKG, frevečí aalýza, fltrace, adaptví fltrace. Reduce dat, holterovsé techy pacetsé detface. Resprometre, pops parametrů sgálu, záladí algortmy a výstupí data. Poţadavy a dgtálí zpracováí a grafcou prezetac. Obrazové sgály. Průměty a sevece vícedmezoálích sgálů. Korétí programové prostředy zpracováí obrazů. Prezetace v dsrétí formě. Počítačové laboratoře: Úvod do zpracováí bosgálů. Pratcé uázy EEG, EMG, ECG atvty, epleptcé paroxysmy, spáové grafoelemety. Artefaty.

8 Statstcé charatersty bosgálů. Pratcá realzace algortmů číslcového zpracováváí bosgálů. Programové vybaveí. Uţvatelsý terface. Formáty dat. Semestrálí práce I. ačteí a zobrazeí reálého bosgálu Termí: týde Sběr a předzpracováí bologcých dat. Símáí dat v lascých a bezpapírových přístroích. A/D převodíy yqustův teorém. Chyby př převodu. Úprava sgálu. Spetrálí aalýza I. Záladí metody. Spetrálí aalýza a sytéza sgálů pomocí FFT. Fltrace, odstraňováí šumu. LDR algortmus. evýhody perodogramu. Wdowg. Semestrálí práce II. Spetrálí aalýza a sytéza sgálu pomocí FFT Termí: týdy Topografcé mapováí eletrofyzologcé atvty. Demostrace topografcého mapováí a umělých a lcých datech. Iteratví vytvářeí mapy. Amace. Úsalí mapováí. Spetrálí aalýza II. Aplace. Aplace CSA pro patologcou spáovou atvtu. Koherečí aalýza pro dagostu CMP. Semestrálí práce III. a) Topopografcé mapováí sítě 0 bodů (bra mappg), b) CSA mut zázamu Termí: týdy Adaptví segmetace. astaveí parametrů. Předost a omezeí metod. Uázy fuce segmetačích algortmů. Metody automatcé lasface I. Učeí bez učtele. Záladí algortmy shluové aalýzy a smulovaých datech. Uázy lasface EEG dat. Pouţtí fuzzy moţ pro zvýšeí homogety tříd. Aalýza dlouhodobých sgálů. Uáza fucí systému pro aalýzu 4 hod motorováí. Sumárí formace. Extrace prototypů. Extrace omprmovaé formace z dlouhodobých zázamů. Aplace a reálých datech, další metody, aalýza spáového grafu. Uáza programu WaveFder. Automatcá lasface II. Učící se lasfátory. Předvedeí záladích algortmů učících se lasfátorů a smulovaých a datech. Pouţtí fuzzy moţ v - lasfátorech Semestrálí práce IV. 3- učící se lasfátor pro smulovaá data. Termí: týdy Automatcá detece epleptcých hrotů I. Demostrace omerčích programů: automatcá detece epleptcých grafoelemetů (Gotma). Uáza programu pro aalýzu dpólů (Scherg, FOCUS). Předzpracováí EKG sgálu pomocí wavelet trasformace: omprese, fltrace, odstraěí artefatů. Výpočet frevečích ampltudových a fázových speter, výoové spetrum sgálu EKG. Určeí orelačí fuce a orelačího oefcetu u patologcých a fyzologcých zázamů. ěteré detečí algortmy QRS omplexu - výpočet a porováí, pouţtí metody detece R- R tervalů v závslost a patologcých stavech a případých varabltách srdečího rytmu. Pratcá demostrace plě automatcého hodotícího systému sgálu EKG a Krasé hygecé stac v Ostravě. (Exurse v počítačové EEG laboratoř eurologcého odděleí F Bulova. Kozultace výsledů semestrálích prací.)

9 . Záladí pomy. ZÁKLADÍ POJMY.. Defce sgálu Čas e studu: hoda Cíl Po prostudováí tohoto odstavce budete umět defovat sgál popsat edotlvé druhy sgálu vyřešt převod aalogového sgálu a číslcový a aopa Pomy zapamatováí Sgál, bosgál, druhy sgálů, bologcý artefat, techcý artefat. Výlad Co e to sgál? prostřede přeosu formace (Cohe) aáolv fyzálí vatta měící se v čase, prostoru, ebo s ěaou další velčou (Proas, Maolas) matematcy e popsá ao fuce edé ebo více proměých s(t) =0 sωt Co e to bologcý sgál? e to sgál platí pro ě metoda zpracováí sgálu, terá e poryta řadou učebc e to specálí sgál, terý e a) vyvolá exstecí ţvého orgasmu Co e to zpracováí sgálu? b) símá ze ţvého orgasmu extrace poţadovaé formace, eţ můţe být sryta v sgálu větša reálých sgálů e aalogových počítač (záladí edota zpracováí sgálů) zpracovává číslcový sgál Klasface sgálů: Determstcý sgál lze popsat explctím matematcým vztahy áhodé sgály vzore (realzace) áhodého (stochastcého) procesu se lší ede od druhého, maí ale steé statstcé vlastost 9

10 . Záladí pomy popsáy pouze pravděpodobostí výsytu (fuce hustoty pravděpodobost) a statstcým momety Perodcé sgály x(t) = x(t + T), T e peroda sado sou popsáy ve frevečí oblast (fudame-tálí frevece + harmocé) Kvazperodcé esou perodcé, ale maí dsrétí pops ve frevečí oblast (růzé frevece esou harmocé) Stacoárí proces statstcé vlastost esou fucí času lze určt odhad středí hodoty zprůměrěím realzací x(t) v čase t Ergodcé procesy statstcé zprůměrňováí přes realzace se rová prů-měru v čase pro určtý časový úse (apř. u sgálu EEG - máme e edu časovou realzac, emůţeme měřt vícrát) Multaálový sgál geerová z ěola zdroů (EEG síť eletrod) Původ boeletrcých sgálů sou vyvoláy buď samotým ţvotím proevy orgasmu, ebo působeím a orgasmus z věšu ervová buňa (EEG) svalová buňa (EMG, EKG), spolupracuící ve větších supách Rozděleí bosgálů rozděleí e odvozeo od měřeých velč, ol od postupů měřeí boeletrcé bomagetcé bompedačí boaustcé bomechacé bochemcé.. Charatersty ěterých bomedcísých sgálů Eletrcé sgály: EKG, VKG Eletroardogram, vetorardogram zázam spoeý s mechacou a eletrcou atvtou srdce. povrchové eletrody ampltudová úroveň dosahue 50 µv - 5 mv frevečí rozsah e 0,0-50 Hz. Fetálí EKG, VKG povrchové eletrody ampltudová úroveň dosahue µv 0

11 . Záladí pomy frevečí rozsah e 0,0-50 Hz. EMG Eletromyogram zázam el. potecálu svalu povrchové eletrody ehlové eletrody (MUAP motor ut acto potetal) SFEMG sgle fber eletromyografy ze svalového vláa eurosvalové poruchy (myastea gravs) MUAP sgály z omplexu ervová buňa ervové vláo euro- svalové spoeí svalové vláo. Dagosta myopatí, lézí ampltudová úroveň dosahue 0, - 5 mv frevečí rozsah e Hz. PG Peumogram dýcháí EOG - Eletrooulogram zázam el. potecálu sítce. Uţívá se pro měřeí pohybu očí, př výzumu spáu. měří se párem povrchových eletrod umístěých olem očí. ampltudová úroveň dosahue 0 μv - 5 mv. frevečí rozsah e 0,05-00 Hz EGG Eletrogastrogram povrchové eletrody ampltudová úroveň dosahue µv frevečí rozsah e 0,0 Hz. Tyto sgály slouţí ao doplě pro ahráváí EEG př tazvaé polygraf EEG Eletroecefalogram - zázam eletrcé atvty mozu. Hlaví ástro pro dagózu eplepse, zraěí hlavy, poruchy spáu, psychcé poruchy, eurologcé poruchy povrchové ebo vpchové eletrody ampltudová úroveň dosahue 300 µv frevečí rozsah e 0, 80 Hz. Magetcé sgály: MKG Magetoardogram ampltuda magetcé duce dosahue pt frevečí rozsah e 0,05 00 Hz. Fetálí magetoardogram ampltuda magetcé duce dosahue pt frevečí rozsah e 0,05 00 Hz. Magetomyogram ampltuda magetcé duce 0 90 pt

12 . Záladí pomy frevečí rozsah e 0 0 Hz. Magetoecefalogram alfa rytmus, cm ad salpem ampltuda magetcé duce pt frevečí rozsah e 0,5 Hz. ampltuda magetcé duce dosahue pt frevečí rozsah e 0,05 00 Hz. Evoovaý magetoecefalogram ampltuda magetcé duce 0, pt Magetooulogram ampltuda magetcé duce 0 pt frevečí rozsah e 0, 00 Hz. Obr. : Přílad EEG vl Artefaty evy, teré emaí fyzologcý původ ve vyšetřovaém orgáu. Jsou způsobey fyzologcým a věším vlvy. utost odstrat e ze zázamu. Dělíme e do dvou záladích sup: Techcé (fyzálí) artefaty: eletrostatcé potecály ízá aost eletrod, špatý otat eletroda ůţe, pohyb předmětů z eletrostatcých materálů (sloové prádlo, hřebe, )

13 síťový brum apětí síťového mtočtu a eho harmocé (odstraíme fltrem). Záladí pomy mpulsí rušeí způsobue blízost motorů (apř. holící stroe), zapíáí přístroů apáeých ze steé eergetcé sítě, přepíáí svodů edostatečé stíěí magetcých polí proevue se zeméa v bomagetsmu šum eletrocých obvodů domatí e vlv vstupích obvodů bozeslovačů. Př dgtalzac se taé uplatí vatzačí šum Bologcé artefaty sou to pohybové artefaty EOG mráí EKG mohou falešě azačovat hrot u EEG (proto se ahrává EKG) Obr. : Artefaty - očí artefat (mráí), - svalový artefat Řešeý přílad. Zobrazte sgály: s() = {,,0,3,,}: Jedotový mpuls - () 0 Harmocý sgál ) x cos t ) součet susových sgálů x( ) A 0 0 3

14 . Záladí pomy Řešeí : a) s = [ 0 3 ]; příazy: plot,stem, bar(s) pops: ttle('sloupcový graf'); fgure(); subplot(3,,); grd, echo off; b) Jedotový mpuls: = 0; delta = [ zeros(,-)]; plot(delta); xlabel(''); ylabel('ampltuda'); c) Harmocý sgál ) = 0:0.0:-; ) t=lspace(0, 00,500); % geer. leárí fuce f = 5; s=s(*p*3/500*t); % 3Hz susova fvz = 00; r=s(*p*6/500*t); % 6Hz susova x = cos(*p*f*/fvz); fgure (); clg, clf; plot(x); subplot(,,),plot(s), hold o, plot(r,'g'); le([0 500], [0 0]);hold off; % vyreslí s. do obr. subplot(,,),plot(s), hold o, plot(r,'g'); axs([ ]); le([0 500], [0 0]);hold off; % t=r+s; % subplot(,,); % plot(t);hold o; % = příazy esou realzováy d) umocňováí se provádí prve po prvu, A, x sou omplexí čísla = 0; = 0 : -; A = ; alfa = 0.5; x = A*(alfa.^); stem(x); Řešeý přílad. Uáza dalších příazů: [b,a]=cheby(7,, 0/50); rf=flter(b,a,r); sf=flter(b,a,s); fgure() subplot(,,),plot(sf), hold o, plot(rf,'g'), le([0 500], [0 0]), hold off; subplot(,,), plot(sf), hold o, plot(rf,'g'), le([0 500], [0 0]), axs([ ]); hold off; 4

15 % tf=rf+sf; % subplot(,,); % plot(tf);hold off; % zoom o, pause, zoom off,hold off %pro potřeby zvetšeí zámové oblast pause; fgure() for = :0, [b,a]=butter(6, [/ / ], 'stop'); zplae (b,a);zoom o; pause;ed; pause zoom off b) Procvčte: x = (0:0.0:*p); b = oes(,0); y = s(x); b = [b 5 3]; y = cos(x); b =(:5); plot(x,y,x,y); c = [b,9:]; a = b'; fgure(); fplot('s',[0 4*p]) fgure(); fplot('s(x)',[0 4*p],'-+') fgure(3); fplot('[s(x),cos(x)]',[0 4*p],'-x') fgure(4); fplot('abs(exp(-*x*(0:9))*oes(0,))',[0 *p],'-o') fgure(5); fplot('ta',[-*p *p -*p *p],'-*') fgure(6); fplot('[ta(x),s(x),cos(x)]',[-*p *p -*p *p]) fgure(7); fplot('s(./ x)', [0.0 0.],e-3). Záladí pomy Ze sgálu Řešeý přílad.3 x() 0, 4 0, 5 e vytvořte ový sgál y x x y vyádřete ve tvaru y Ae Určete umercé hodoty Řešeí : A,, a) 0, 4 0, 5 0, 4 e 0, 4 e y x x e 0, 5 e 0, 4 0, 5 0, 4 0, 4 0, 5 0, 4 0, 4 e e e e e e e 0, 3 cos 0, 4 s 0, 4 0,69 0,95,76 e 0, 4 b) 0, 3 0, 4 0, 0, 4 0, y e e,76 e,76 e e,76 e c) A,76, 0,4, 0, 5

16 Text prostudováí [] Mohylová, J, Krača,V.: Zpracováí sgálu v léařství. Eletrocé srptum Ţla, Sloveso, ISB , 005. Záladí pomy Další zdroe, použtá lteratura [] Svatoš, J.: Bologcé sgály I. Geeze, zpracováí a aalýza. Srptum ČVUT FEL,995, (ISB ) [] MATLAB, The Laguage of Techcal Computg, Verso 6, The Math Wors, Ic., 000 Referece Otázy. Co zameá: a) perodcý sgál b) ergodcý proces c) stacoárí proces. Co azýváme EEG, EKG, VKG, EOG, MKG, EGG Úlohy řešeí. Sezamte se s příazy v MATLABu: a) fd = fope( ), [A,cout] = fread( ), subplot( ), plot( ), b) fucem: loofor square help square. Zobrazte: a) Jedotový so u ( ) 0 b) Obdélíový sgál c) 0 0 x( ) a a ( r e ) a r e r (cos s ) 3. Je zadáo: x(t) cos 00 t 3 cos00 t 3 4 a) Určete fázor reprezetuící oba susové sgály a areslete e v omp-lexí rově b) Pouţte fázory zísaé v bodě a) vyádřeí tvaru x( t ) Acos ωt φ c) alezěte omplexí sgál z(t), pro terý platí, ţe xt Rezt 6

17 . Záladí pomy Klíč řešeí ) a) ) u=oes(,); ) x=zeros(,3); plot(u); x=oes(,6); x=[x x(7:5) x(:5)]; plot(x) b) t = 0:.00:.5; y = square(*p*3*t); plot(t,y); y = (:0) 3) c) theta = 0.536; r = 0.5; = 0; = 0:-; x = (r.^).*exp(*theta*); stem(abs(x)); %.* esteý počet prvů ve sloupcových vetorech a) fázory: e e ; e 4 b) b) xt 0,73 cos 00 t e 35 c) c) z(t) 0,73 e 00 t Korespodečí úol Sezam se s formátem dat frmy Bra-Quc ačt a zobraz mmálě 3 aály EEG sgálu a albračí aál Prác odevzdete do 4 dí po zadáí domácí úlohy. 7

18 . Předzpracováí dat. PŘEDZPRACOVÁÍ DAT.. Aalogově dgtálí převodí Čas e studu: hoda Cíl Po prostudováí aptoly budete umět defovat yqustovu frevec popsat převod aalogového sgálu a číslcový a aopa vyřešt převod aalogového sgálu a číslcový a aopa Pomy zapamatováí Alasg fltr, vzorováí, vatováí, ódováí, spetrum. Výlad DSP Dgtal Sgal Processg systém pracuící v reálém čase (real tme) Aalogově dgtálí převodí x vst (t) Atalasg fltr DP x d (t) Vzorováí (dsretzace) x vzor (t) Kvatováí x v (t) Číslcové vyádřeí x() Zpracováí číslcového sgálu P( z) y() D/A převodí x(t) DA Výstupí fltr DP Obr. 3: Bloové schéma číslcového zpracováí sgálu Aalogově dgtálí převodí Převede původě spotý eletrcý bosgál a dsrétí posloupost vzorů sgálu vybraých v pravdelých (evdstatích) časových tervalech v ásleduí-cích rocích: Sgál e vzorová 8

19 . Předzpracováí dat Ampltuda aţdého vzoru e vatováa do edé z B úroví (B počet btů A/D převodíu) Hodota ampltudy e zaódováa (ečastě bárí ód), aţdé slovo e dély B btů. DP fltr Paměťové vzorováí Kvatováí Kódováí x(t) B Logcý obvod x() Obr. 4: A/D převodí DP fltr musí být aalogový (pouţtí dgtálího fltru vyţadue předchozí vzorová-í). Je to tzv. atalasgový fltr s mezím mtočtem do / vzorovacího mtočtu. Vzorováí př vzorováí musí být dodrţe vzorovací teorém (yqustův) f vz f max () de f max e evyšší frevece obsaţeá v sgálu. Čím vyšší vzorovací frevece tím lépe. Vzorováí Sample Hold (S H) e paměťové vzorováí (semutá hodota vzoru e pamatováa aţ do příchodu dalšího vzoru, během převodu se eměí). Δt t (s) T Obr. 5: Vzorováí převod spotého sgálu do číslcového tvaru Iterval pozorováí T: doba měřeí úseu sgálu Peroda vzorováí t: vzdáleost mez dvěma měřeím Vzorovací frevece f vz : mtočet A/D převodíu, platí pro ě f () vz Δt Vzorovací frevece apř. 00 Hz tedy zameá, ţe v aţdé vteřě převedeme 00 vzorů sgálu. 9

20 . Předzpracováí dat Problémy vzorováí: Alasg ev vzaící př edodrţeí (). Způsobue, ţe z vzorů sgálu ţ eí moţé reostruovat původí sgál. a) alasg v časové oblast: Vzorovací frevece e přílš ízá masováí vyšších frevecí ao ţší frevece. 0 T T 3T 4T 5T 6T 7T Obr. 6: Alasg chybá terpretace vyšších mtočtů vlvem ízé vzorovací frevece (špy). Výsledý sgál e ozače přerušovaou čarou b) alasg v mtočtové oblast: dochází sléváí speter sgálu, taţe elze reostruovat sgál. -f vz - f vz 0 f vz f vz - f vz 0 f f vz f vz Obr. 7: Správě a) vzorovaého sgálu b) podvzorovaého sgálu B V prax: vstupí DP atalasg fltr A 0 log,5 m Vzorovací frevece přílš vysoá aměříme více dat v aţdé vteřě, ale eúměrě vzrůstá poţadave a paměť počítače. (apř.: 0 m EEG představue př frevec vzorováí 00 Hz čísel ve 0 aálech. 0

21 . Předzpracováí dat Prot sobě tedy avzáem působí dva protchůdé poţadavy apacta počítače vzorovací frevece apř. pro EEG by tedy teoretcy stačlo vzorovat frevecí 60 Hz = x 30 Hz. Poud samozřemě zvolíme frevec vyšší, tím lépe. V prax se pro EEG pouţívaí vzorovací frevece Hz. Kvatováí a ódováí: ampltudy vzorů se vatuí po určtých vatech (daých počtem btů převodíu) do zvoleých úroví. Ty se pa vyádří ve zvoleé číselé soustavě (apř. dvoové). - Kvatzačí ro q: - Efetví hod. sgálu: A q ef U šš B q B U šš B vatzačí chyba pro aţdý vzore e Středí hodota čtverce vatzačí chyby s předpoladem steé pravděpodobost q q chyby v tervalu, e: q/ d q q/ q coţ odpovídá eerg šumu. Poměr sgál/šum SQR: SQR 0 log A q / / B q / 0 log q / 0 log,5 B 0log,5 B0log,76 6,0B db Prodlouţeí slova o aţdý bt zameá zmešeí vatzačího šumu o 6 db. apř.: 8 btový převodí e schope převádět čísla v rozsahu 0 55, tedy v 56 úrovích včetě uly ( 8 = 56). Zameá to tedy, ţe hodota ampltudy apětí e reprezetováo číslem v rozsahu -7 aţ +8 vz obr. 8.

22 . Předzpracováí dat Δ A Obr. 8: Kvatzace úroví pro 8 btový A/D převodí Řešeý přílad. Jaá e potřebá vzorovací frevece a obr. 9, e-l požadováo, aby chyba způsobeá alasgem byla meší ež % úrově sgálu v pásmu propustost? R = 0 C = 8 F R x(t) R x f (t) vzorováí x() C f vz Obr. 9: Zapoeí příladu. Řešeí : Přeosová fuce fltru (fltr. řádu) e H H c f f de f c Pro f c (uvažueme Butterworthovu aproxmac) platí: f c Hz RC

23 . Předzpracováí dat Požadovaou chybu (obr. 0) staovíme ao % z hodoty přeosové fuce H f c a frevec f c, t. % z hodoty ebo-l z hodoty 0, 707 H db 0,707 poles o 3 db H 0,707 3 f 4,4 % 0 0,0 Dosazeím do vztahu pro přeosovou fuc zísáme hodotu f H % f % f c 0,0 % chyba f c Obr. 0: Přeosová fuce fltru f (Hz) 3 4,4 0 f % 4,4 Hz f % 0 3 Mmálí vzorovací frevece fltru e: f 3 m f f 4,40 43, Hz vz % c 4 Řešeý přílad. Jaá e vatovací úroveň sgálu u 8 btovévo převodíu, e-l ampltuda sgálu v rozsahu od -do + mv? Řešeí : vatzačích úroví: 8 56 U 56 7,8 µ dferece V Řešeý přílad.3 Určete pro požadovaý sgál x(t) cos 00 t Řešeí : a) Mmálí vzorovací frevece f vz b) Určete dsrétí sgál, terý zísáte po vzorováí (vzorovací frevece f vz = 00 Hz) a) f 00 f 50 Hz Mmálí vzorovací frevece f vz = 00 Hz b) Sgál e vzorová f vz = 00 Hz 3

24 . Předzpracováí dat x cos 00 cos 00 Otázy. Proč e zařaze atalasgový fltr před A/D převodíem?. Ja se proevue podvzorováí sgálu a) v časové oblast? b) ve frevečí oblast? 3. Jaá e vatovací úroveň sgálu u btovévo převodíu, e-l ampltuda sgálu 5 mv? Úlohy řešeí.. Určete mmálí vzorovací frevec aalogového sgálu u t 5s 300 t 3cos50 t s 00 t V.. Určete rozlšovací schopost btového A/D převodíu. Jmeovtý rozsah vstupího apětí převodíu e od -5 V do +5 V. 3. Určete vzorovací frevec fltru z příladu 3. sou-l zadáy hodoty odporů R = 5,6 a C = 8,4 F Klíč řešeí. f 50 Hz; f 5 Hz; f3 50 Hz Mmálí vzorovací frevece e f vz = 300 Hz. Dferece U, 44 78, mv 3. f c Hz; f% 70, 704 Hz Mmálí vzorovací frevece e f vz = 7,704 Hz Text prostudováí [] Mohylová, J, Krača,V.: Zpracováí sgálu v léařství. Eletrocé srptum Ţla, Sloveso, ISB , 005 Další zdroe, použtá lteratura [] Svatoš, J.: Bologcé sgály I. Geeze, zpracováí a aalýza. Srptum ČVUT FEL,995, (ISB ) [3] Uhlíř, J., Sova, P.: Číslcové zpracováí sgálů. Vydavatelství ČVUT, Praha 995, (ISB ) 4

25 . Předzpracováí dat [4] Proas, J.G., Maolas, D.G.: Itroducto to Dgtal Sgal Processg. Macmlla Publshg Compay, ew Yor, 988 (ISB X)] [5] MATLAB, The Laguage of Techcal Computg, Verso 6, The Math Wors, Ic., 000 Referece 5

26 3. Fltrace 3. FILTRACE Čas e studu: hody Cíl Po prostudováí této aptoly budete umět defovat druhy fltrů popsat vlastost fltrů avrhou číslcový fltr Pomy zapamatováí 3 Fltry IIR, FIR, dolí propust, horí propust, pásmová propust a pásmová zádrţ, fázová charatersta, mpulsí odezva. Výlad Protoţe bologcý sgál obsahue často eţádoucí artefaty (apř. EEG síťové rušeí, svalovou atvtu ), e uto před začátem zpracováí zázam fltrovat. Dgtálí fltrace e tedy ede z epouţívaěších ástroů počítačového zpracováí bosgálů. Podrobou teor fltru alezeme apř. v [], [3], [4], [5], [6] a [7]. eí vša edoduché avrhout valtí fltr, terý by byl současě dostatečě rychlý z výpočetího hledsa. Problémem př ávrhu e přesost a rychlost prot poţadovaé valtě. Děleí fltrů Rozlšueme fltry: a) FIR (Fte Impulse Respose s oečou dobou odezvy) sou vţdy stablí, maí leárí fázovou charaterstu b) IIR (Ifte Impulse Respose s eoečou dobou odezvy - reuretí) sou to reursví fltry, bývaí ţšího řádu, maí eleárí fázovou charaterstu ovlvňuí fáz, př esprávém ávrhu mohou být establí Př fltrac bologcého sgálu poţadueme, aby fázová charatersta fltru byla vţdy leárí. ečastě bologcý zázam fltrueme fltrem s oečou mpulsí odezvou h () (Fte Impulse Respose - FIR). Teto fltr e plě defová hodotam odezvy. Matematcým modelem FIR fltru v časové oblast e dferečí rovce de ( ) y a x( -) (3.) 0 y() představue současou výstupí hodotu fltru, x() představue současou vstupí hodotu fltru, 6

27 3. Fltrace x(-) reprezetue dřívěších vstupích vzorů fltru, a sou oefcety dferečí rovce. Z defce mpulsí odezvy vyplývá, ţe oefcety charatersty h () FIR fltru, taţe platí 0 h x- a z (3.) představuí vzory h mpulsí y (3.) Vztah (3.) e taé vyádřeí tzv. přímého realzačího algortmu, taţe hodoty mpulsí charatersty sou přímo systémovým realzačím ostatam. Vlastost fltru v časové oblast mohou být ve frevečí oblast popsáy vztahem Y z X z 0 h z coţ odpovídá vztahu (3.) po trasformac z. - (3.3) Ze vztahu (3.3) pa můţeme defovat přeosovou fuc fltru H(z) z z 0 Y - H z h z (3.4) X Frevečí charaterstu fltru zísáme pouţeme-l substtuc úpravě tvar z e, vztah (3.4) abývá po H( ) h( ) e, de (3.5) Vztah (3.5) odpovídá dsrétí Fourerově trasformac (DFT). Přeosová fuce H(Ω) ve vztahu (3.5) e perodcá, vyádřeá ve tvaru Fourerovy řady s oefcety h. FIR fltry sou avrţey ta, ţe ech fázová charatersta e leárě závslá a frevec, tedy fázové zpoţděí e ostatí, taţe časové poměry zůstaou ezměěy, coţ e pro aalýzu zásadí. K tomu postačue, aby mpulsí charatersta systému splňovala edu ze záladích symetrzačích podmíe fltru: h( ) h( ) ebo h( ) h( ), (3.6) Řešeý přílad 3. ávrh FIR fltru metoda váhováí mpulsí charatersty (oéová metoda): Metoda váhováí mpulsí charatersty vychází ze zalost obecě eomezeé mpulsí charatersty h D, popsuící přesě požadovaý fltr. Řešeí : Postup: a) Požadavy a deálí frevečí odezvu fltru H(Ω) frevečí charatersta fltru e perodcá fuce mtočtu a lze vyádřt eoečou Fourerovou řadou s perodou π T 7

28 3. Fltrace H D T T H e h e b) Impulsí odezvu h D () zísáme pomocí verzí FFT pro požadovaé frevece h D T T T H D e D T d frevečí charatersta e taé spetrum eoečého sgálu c) Omezeí dély posloupost h D a zvoleý rozsah čleů: t h t T h t T h t h t T h t T h D 0 ehož délu omezíme vyásobeím oečým sgálem (tzv. oem) w() o délce vz tabula druhy oe d) Koefcety FIR fltru zísáme vyásobeím h hd w K dosažeí leárí fázové charatersty e uté posuout mpulsí odezvu h() ta, aby začíala v ule. Př realzac dgtálího fltru bylo uté určt sloţtost fltru - tedy zvolt. Pro odhad sou uváděy růzé emprcé vztahy apř.: pro dolopropustí fltr vz obr. de D (, ) f (, ) ( ) D 0, log 0,074 log 0,476 (, ) log 0,0066 log 0,594 log (, ) 0,544 f log,0 Jedodušší e Kaserův vztah apř. pro fltr DP: 0,478 0 log 4,6 s p - 3 de e zvoleé zvlěí v pásmu propustost e zvoleé zvlěí v pásmu útlumu 8

29 3. Fltrace p e hračí frevece v pásmu propustost s e hračí frevece v pásmu útlumu Teto vztah e pouţt pro prví odhad. Pro zvoleé hodoty 0, 0, 0, 00, p 8 Hz, 3 Hz obdrţíme s 0log 0, 0 0, 00 4, , 5 Pro dosaţeí symetre typu h( ) h( ) a lché volíme prví eţší odhad 5. Tab. : Ideálí mpulsí odezvy fltru Typ fltru Ideálí mpulsí odezva h() h(), 0 h(0) DP s f c HP s f c c PP s s f f c c c PZ s s f f f c f c f f f f 9

30 3. Fltrace +δ -δ δ δ ω ω ω Obr. : Frevečí charatersta dolopropustího fltru apř. z vlastostí sgálu EEG vyplyou poţadavy a charaterstcé frevece pásmové propust: 0,5 Hz a 30 Hz obr.. Pro symetr h( ) h( ) a lché platí: H(ω) π π 0 ω ω ω (ormalzovaá) Obr. : Přeosová charatersta pásmové propust de H ( ) / h cos (3.7) 0 0 h ( 0) h() (3.8) h a sω sω Podle druhu pouţtého oa vz Tab. oretačě odhademe řád fltru. apř.: Hammg : Hag : f f 3,3/ 3,/ 0,5/8 0,003 3,3/0, ,/0, Aby byl potlače vlv Gbbsova evu, e příslušá mpulsí charatersta ásobea váhovou fucí (), terá představue oéo. Pomocí í zrátíme mpulsí odezvu h() a auzálí oečou posloupost h( ) h ( ) ( ) (3.9) de h ( )e mpulsí odezva vypočteá podle vztahu (3.7). 30

31 3. Fltrace a) H (Ω) (db) b) f (Hz) H (Ω) (db) f (Hz) Obr. 3: Přeosová charatersta fltru pásmová propust pro EEG sgál a) Hammgovo oo = 845 b) Hagovo oo = 968 3

32 3. Fltrace Tab. : ěteré druhy oe Typ oa Šířa pásma přechodu Zvlěí v PP Poměr hl. lalou vedlešímu lalou (db) Potlačeí SP (db) Oovací fuce ω(), (-)/ Obdélíové 0.9/ Hagovo 3./ w( ) cos Hammgovo 3.3/ w( ) 0,54 0,46cos Blacmaovo 5.5/ w( ) 0,4 0,5cos 0,08cos Kaserovo.93/ (β=4.54) 4.3/ (β=6.76) 5.7/ (β=8.96) I 0 /( ) I ( ) 0 / 3

33 3. Fltrace Obr. 4: Oo: a) Bartletovo, b) Blacmaovo, c) Hammgovo d) Hagovo pro = 30 Obr. 5: Frevečí odezva Hammgova oa (plá čára) a obdélíového oa (přerušovaá čára) Řešeý přílad 3. avrhěte Chebysevovsý fltr I: řád s deálí přeosovou fucí: PP w p = 0. zvlěí 0.5 db, SP w s = zvlěí 9 db, f vz = Hz. Úlohu řešte v MATLABu. 33

34 3. Fltrace Řešeí : % ω p = f p /f vz ; ω s = f s /f vz ; ω p = 00 Hz ω s = 83 Hz = 5; Rp = ; Rs = 0; fvz = 000; wp = 0.*p; ws = 0.3*p; wh = 0.4*p; wd = 0.7*p; Wp = 00/(fvz/); Ws = 50/(fvz/); [,w] = chebord(0.,0.3,rp,rs); % = 4 % w = 0. W =ta(w*p/); % W = Wp =ta(wp/); % Wp = Ws =ta(ws/); % Ws = [z,p,] = chebap(,rp); % z = % p = % = % [] % % % % % b = *poly(z); % b = a = poly(p); % a =.0000*s^ *s^ *s % a = [s^ s ] % a = [s^ s ] [h,w]= freqs(b,a); % ormovaá fgure(); subplot(,,); plot(w/p,abs(h)), grd ttle('chebyshev I = 4 ormovay'); ylabel(' H(w) '); subplot(,,); plot(w/p,agle(h)), grd ylabel('faze(w)'); [r,p,] = resdue(b,a); % ormovaé res. % r = p = = % [] % % % % Vyásobíme omplexě sdruţeé póly r = [ ]; p = [ ]; [um,de] = resdue(r,p,); 34

35 3. Fltrace % um = -0.36s % [um,de] = r()/p()+r()/p() % de = *s^ s % [um,de] = r(3)/p(3)+r(4)/p(4) r = [ ]; p = [ ]; [um,de] = resdue(r,p,); % um = 0.36s % de = *s^ s % % ormovaá přeosová fuce má tvar: % % (-0.36s-0.744) (0.36s+0.368) % % (s^ s ) s^ s % % % odormováí pólů epslo = ((-(0^(-0.05)^))/(0^(-0.05)^))^(/); % epslo = gama = ((+(+(epslo^))^(/))/epslo)^(/); % gama =.490 beta = (gama+gama^(-))/; % beta =.0644 alfa = (gama-gama^(-))/; % alfa = % pól = sgma + omega % sgma = -alfa*wp*s[(+)*p/*]... = 0,,... - % omega = beta*wp*cos[(+)*p/*] sgma = -alfa*wp*s((*0+)*p/(*)); % sgma = sgma = -alfa*wp*s((*+)*p/(*)); % sgma = sgma3 = -alfa*wp*s((*+)*p/(*)); % sgma3 = sgma4 = -alfa*wp*s((*3+)*p/(*)); % sgma4 = omega = beta*wp*cos((*0+)*p/(*)); % omega = omega = beta*wp*cos((*+)*p/(*)); % omega = 0.33 omega3 = beta*wp*cos((*+)*p/(*)); % omega3 = omega4 = beta*wp*cos((*3+)*p/(*)); % omega4 = p = [sgma + *omega]; p = [sgma + *omega]; p3 = [sgma3 + *omega3]; p4 = [sgma4 + *omega4]; p = [p p p3 p4]; a_od = poly(p); % a_od = [ ] p = [p p4]; 35

36 3. Fltrace a_od = poly(p); % a_od =.0000s^ s p = [p p3]; a_od = poly(p); % a_od =.0000s^ s [r,p,] = resdue(b,a_od); % odormovaé res. % r = p = = % % % % % Vyásobíme omplexě sdruţeé póly r = [ ]; p = [ ]; [um_od,de_od] = resdue(r,p,) % um_od = s % [um_od,de_od] = r()/p()+r()/p() % de_od = *s^ s % [um_od,de_od] = r(3)/p(3)+r(4)/p(4) r = [ ]; p = [ ]; [um_od,de_od] = resdue(r,p,); % um_od = s % de_od = *s^ s % % Odormovaá přeosová fuce má tvar: % % ( s -.599) (3.8636s ) % % (s^ s+0.04) s^ s % % [h,w]= freqs(um_od,a_od); [h,w]= freqs(um_od,a_od); h = h + h; fgure(); % odormovaá subplot(,,); plot(w,abs(h)), grd ttle('chebyshev I = 4 odormovay'); ylabel(' H(w) '); subplot(,,); plot(w,agle(h)), grd ylabel('faze(w)'); 36

37 3. Fltrace % % Metoda mpulsí varace: % [bz,az] = mpvar(um_od,de_od); % bz = % az = [bz,az] = mpvar(um_od,de_od); % bz = % az = % % přeosová fuce má tvar: % % *z^(-) *z^(-) % % -.847*z^(-) *z^(-) *z^(-) *z^(-) % % % H(z) = H(z) + H(z) - paralelí realzace % y() = ( )x() +.80x(-) +.847y(-) y(-) % y() = x() x(-) y(-) y(-) [h,w]= freqz(bz,az,,fvz); [h,w]= freqz(bz,az,,fvz); h = h + h; fgure(3); subplot(,,); semlogx(w,abs(h)), grd ttle('chebyshev I =4 DP metoda mp. var'); xlabel('f [Hz]'); ylabel(' H(w) '); subplot(,,); semlogx(w,agle(h)),grd xlabel('f [Hz]'); ylabel('faze(w)'); % % Přepočet a horí propust % beta = (cos((wp+wp)/))/(cos((wp-wp)/)); % beta = % bz = *z^(-) % az = *z^(-) *z^(-) % bz = *z^(-) % az = *z^(-) *z^(-) % za výraz z^(-) dosadíme: z^(-) = -(z^(-)-beta)/(-beta*z^(-)) 37

38 % % přeosová fuce má tvar: % % *z^(-)-.535*z^(-) *z^(-)+.688z^(-) % % *z^(-) *z^(-) *z^(-)+0.003*z^(-) % % bz_hp = [ ]; az_hp = [ ]; bz_hp = [ ]; az_hp = [ ]; [h,w]= freqz(bz_hp,az_hp,,fvz); [h,w]= freqz(bz_hp,az_hp,,fvz); h = h + h; fgure(4); subplot(,,); semlogx(w,abs(h)), grd ttle('chebyshev I =4 HP metoda mp. var'); ylabel(' H(w) '); xlabel('f [Hz]'); subplot(,,); semlogx(w,agle(h)),grd xlabel('f [Hz]'); ylabel('faze(w)'); % H(z) = H(z) + H(z) - paralelí realzace % y() = y() + y() 3. Fltrace Otázy 3. Proč poţadueme leárí fázovou charaterstu pro fltr bologcého sgálu?. Jaé oo pouţete př fltrac sgálu a proč? Úlohy řešeí 3. V Matlabu přepočtěte avrţeý fltr z příladu 3.. a pásmovou propust.. V Matlabu přepočtěte avrţeý fltr z příladu 3.. a pásmovou zádrţ. Klíč řešeí. % % Přepočet a pásmovou propust %

39 3. Fltrace Wp = 0.349; wd = 0.4*p; wh = 0.7*p; Wh =ta(wh/); % Wh =.3764 Wd =ta(wd/); % Wd = = cot((wh+wd)/)*ta(wp/); % = gama = (cos((wh+wd)/))/(cos((wh-wd)/)); % gama = 6.438e-07 = 0 gama = 0; beta = (*gama*)/(+); % beta = 0 beta = (-)/(+); % beta = % bz = *z^(-) % az = *z^(-) *z^(-) % bz = *z^(-) % az = *z^(-) *z^(-) % za výraz z^(-) dosadíme: % z^(-) = -(z^(-)-beta*z^(-)+beta)/(beta*z^(-)-beta*z^(-)+) % % přeosová fuce má tvar: % % *z^(-)-.6356*z^(-4) *z^(-)-4.809*z^(-4) % % *z^(-) *z^(-4) *z^(-)-.9736*z^(-4) % % bz_pp = [ ]; az_pp = [ ]; bz_pp = [ ]; az_pp = [ e ]; [h,w]= freqz(bz_pp,az_pp,,fvz); [h,w]= freqz(bz_pp,az_pp,,fvz); h = h + h; fgure(5); subplot(,,); semlogx(w,abs(h)), grd ttle('chebyshev I =4 PP metoda mp. var'); ylabel(' H(w) '); xlabel('f [Hz]'); subplot(,,); semlogx(w,agle(h)),grd xlabel('f [Hz]'); ylabel('faze(w)'); % H(z) = H(z) + H(z) - paralelí realzace % y() = y() + y() 39

40 3. Fltrace. % % Přepočet a pásmovou zádrţ % Wp = 0.349; wd = 0.4*p; wh = 0.7*p; Wh =ta(wh/); % Wh =.3764 Wd =ta(wd/); % Wd = = ta((wh-wd)/)*ta(wp/); % = gama = (cos((wh+wd)/))/(cos((wh-wd)/)); % gama = 0 beta = (*gama)/(+); % beta = 0 beta = (-)/(+); % beta = % za výraz z^(-) dosadíme: % z^(-) = z^(-)-beta*z^(-)+beta)/(beta*z^(-)-beta*z^(-)+) % % přeosová fuce má tvar: % % *z^(-) *z^(-4) *z^(-)+.637*z^(-4) % % *z^(-)+0.98*z^(-4) *z^(-)+0.04*z^(-4) % % bz_pz = [ ]; az_pz = [ ]; bz_pz = [ ]; az_pz = [ ]; [h,w]= freqz(bz_pz,az_pz,,fvz); [h,w]= freqz(bz_pz,az_pz,,fvz); h = h + h; fgure(6); subplot(,,); semlogx(w,abs(h)), grd ttle('chebyshev I =4 PZ metoda mp. var'); ylabel(' H(w) '); xlabel('f [Hz]'); subplot(,,); semlogx(w,agle(h)),grd xlabel('f [Hz]'); ylabel('faze(w)'); % H(z) = H(z) + H(z) - paralelí realzace % y() = y() + y() Pozáma: Trasformace a HP, PP a PZ se dá provést v aalogovém tvaru, % výslede se pa převede a dgtálí tvar 40

41 3. Fltrace Text prostudováí [] Mohylová, J, Krača,V.: Zpracováí sgálu v léařství. Eletrocé srptum Ţla, Sloveso, ISB , 005 Další zdroe, použtá lteratura [] Proas, J.G., Maolas, D.G.: Itroducto to Dgtal Sgal Processg. Macmlla Publshg Compay, ew Yor, 988 (ISB X)]]) [3] Mtra, S.K., Kaser, J.F.: Dgtal sgal Processg. Joh Wley Sos, Ig., ew Yor, 993 (ISB ) [4] Uhlíř, J., Sova, P.: Číslcové zpracováí sgálů. Vydavatelství ČVUT, Praha 995, (ISB ) [5] Vích, R.: ávrh číslcových fltrů a oretorů útlumu s leárí fází metodou mtočtového vzorováí. Slaboproudý obzor 4, r. 98, č. 0, str [6] Ly, P.A.: O le dgtal flters for bologcal sgals: Some fast desgs for small computer. Med. & Bol. Eg. & Comput., vol.5, 977 [7] Ja, J.: Číslcová fltrace, aalýza a restaurace sgálů. VUT Bro, 997, (ISB ) [8] MATLAB, The Laguage of Techcal Computg, Verso 6, The Math Wors, Ic., 000 Referece 4

42 4. Charatersty áhodých sgálů 4. CHARAKTERISTIKY ÁHODÝCH SIGÁLŮ Čas e studu: hodu Cíl Po prostudováí tohoto odstavce budete umět defovat záladí pomy. popsat áhodý sgál vypočítat autoorelačí a orelačí fuce Pomy zapamatováí 4 Středí hodota, rozptyl, středí vadratcá hodota, medá, autoorelačí fuce a vzáemá orelačí fuce. Výlad Bologcé zázamy patří do supy áhodých dat. Tyto emohou být vyádřey explctím matematcým vztahy. áhodá data sou popsáa statstcým termíy (pravděpodobostí rozloţeí, momety druhých a vyšších řádů). Charatersty áhodých procesů sou obecě určováy pro časové oamţy ze všech realzací souboru ( apříč souborem ) [], [3], [4], [5], [6], [7], [8]. V prax máme dspozc pouze edý zázam. Proto eho charatersty určueme přes časový terval a e apříč souborem. áhodý proces e matematcý model. Pouţtím tohoto modelu můţeme popsat sté průměré vlastost dat matematcým termíy postaveým a statstcé teor [3], [4], [8]. V této aptole budou defováy záladí pomy, teré budou v další část pouţíváy. Mez epouţívaěší charatersty patří: středí hodota, rozptyl, středí vadratcá hodota, medá, autoorelačí fuce a vzáemá orelačí fuce. Pro stacoárí ergodcý proces sou defováy tato: Odhad středí hodoty: ( ) x( ) x (4.) de e počet vzorů, x() sou edotlvé vzory realzace dsrétího sgálu a dex udává pořadí vzoru x() rozptyl : vychýleý odhad rozptylu: x ( ) x() - x (4.) estraý odhad rozptylu: 4

43 4. Charatersty áhodých sgálů s x ( ) x x() - x (4.3) - středí vadratcá hodota sgálu : x ( ) x () x ( ) x ( ) medá : Pro lché platí : (4.4) ~ x x( ), de (4.5) Je-l sudé, pa : x ~ x x, de (4.6) Medá x ~ e uazatel polohy. Je to vlastě prostředí (cetrálí) hodota posloupost x() uspořádaé podle velost. autoorelačí fuce stacoárího procesu e defováa pro dva časové oamţy. Pro dsrétí posloupost sou defováy vztahy : estraý odhad R xx ( l) x()x(-l), de l 0,,..., L (4.7) l vychýleý odhad l 0 l 0 R xx ( l) x()x(-l), de l 0,,..., L (4.8) de L e zvoleé maxmálí zpoţděí. dsrétí vzáemá orelace sgálu x() a y() lze odhadout podle vztahů : l R xy ( l) x()y(-l), l 0 de l 0,,..., L (4.9) ebo l R yx ( l) y()x(-l), l 0 de l 0,,..., L (4.0) de L e zvoleé maxmálí zpoţděí. 43

44 4. Charatersty áhodých sgálů 44 leárí regrese vychází z metody emeších čtverců. Regresí rovce e aalytcým vyádřeím vztahů mez proměým x() a y() vz obr. 6. Zísaá příma optmálě proládá soustavu bodů regresí příma (vztahová příma) : ) ( ) ( 0 x a a y (4.) de x x y x x y x a 0 (4.) x x y x y x a (4.3) e počet bodů. leárí orelace xy y y x x x y y x r, (5.4) Korelačím oefcetem r xy měříme stupeň těsost závslost ebol spolehlvost regresího odhadu. Koefcet r xy leţí v tervalu <-, >. Co do absolutí hodoty e povaţová orelačí vztah za málo těsý, e-l orelačí oefcet meší eţ 0,3. Za velm těsý, e-l větší eţ 0,8. Pohybue-l se orelačí oefcet v tomto rozmezí, e orelačí závslost středě těsá.

45 4. Charatersty áhodých sgálů Obr. 6: Přílad regresí přímy a) y = 0,9003x + 0,90 b) y = 0, 669x + 4,9804 Řešeý přílad 4. Procvčte s příazy z MATLABu: ) Autoorelace % a) Autoorelace % b) Autoorelace pomoc ovoluce fgure(); subplot(,,) subplot(,,); z=flplr(x); % zamea porad prvu vetoru x=[ ]; Rxy=cov(x,z); dela=legth(x); stem(rxx) Rxx=xcorr(x); % autoorelace ttle('rxx()=x()*x(-) '); =-9::9; hold o stem(,rxx) plot(rxy,'g'); ttle('rxx v casove oblast'); hold off hold o pause plot(,rxx,'g'); hold off ) Vzáemá orelace a) Rxy %b) Ryx fgure() subplot(,,) subplot(,,) Ryx=xcorr(x,y); y=0:-:; stem(,ryx) Rxy=xcorr(y,x); % vzaema orelace ttle('ryx'); x=legth(x); hold o y=legth(y); plot(,ryx,'g'); =-(y-):(y-); hold off stem(,rxy) pause ttle('rxy'), hold o plot(,rxy,'g'); hold off 45

46 4. Charatersty áhodých sgálů 3) Autoorelace perodcého sgálu fgure(3) subplot(3,,); x=[x zeros(,30) x zeros(,30) x zeros(,30) x zeros(,30)]; x=[x x]; plot(x) ttle('.x;.rxx(aperodca); 3.Rxx(perodca)'); subplot(3,,); Rxx=xcorr(x); plot(rxx) hold o plot(rxx,'g'); hold off 4) Autoorelace pomocí spetrum xx=[x x]; X=fft(xx); XX=co(X); RXX=X.*XX; Rxx=real(fft(RXX)); subplot(3,,3); plot(rxx) pause 5) Detece sgálu pomocí orelačích tech % a) šum s ormálím rozděleím % b) zašuměý sgál y = x + ; fgure(4) x=x/8; % edod. volba pomeru % sgal/sum subplot(3,,) y=x+; % geerov. ahod.posl.s ormalm rozdelem: fgure(5) % stred hodota=0.0, rozptyl=.0 subplot(3,,) =rad(,legth(x)); plot(y); plot() hold o subplot(3,,) plot(x-0,'r'); hst(); %zobraze hstogramu hold off subplot(3,,3) ttle('.x a y=x+ose;.ryy; 3.Rxy'); R=xcorr(); subplot(3,,) plot(r); or=xcorr(y); pause plot(or(legth(x):*legth(x)-)) subplot(3,,3) oryx=xcorr(y,x); plot(oryx(legth(x):*legth(x)-)); rovom=roud(50*(rad(,500)-0.5)+50); % rov. rozdele 5-75, str. hod. 50 ormal=roud(0*rad(,500)+0); % ormal. rozdele, str. hod. 0, rozptyl 0 fgure(); subplot(,,); [PR,dxr]=hst(rovom,[m(rovom):max(rovom)]); 46 % PR - cetost; dxr - hodoty % vzoru

47 4. Charatersty áhodých sgálů PR=PR/legth(rovom); bar(dxr,pr); ttle('rovomere rozdele pravdepodobost'); % ted PR = pravdepodobost subplot(,,); [PG,dxg]=hst(ormal,[m(ormal):max(ormal)]); PG=PG/legth(ormal); bar(dxg,pg); ttle('ormal rozdele pravdepodobost'); FR=[]; % vypocet dstrbuc fuce FG=[]; for =:legth(dxr), FR=[FR sum(pr(:))]; ed; for =:legth(dxg), FG=[FG sum(pg(:))]; ed; pause fgure(); subplot(,,); bar(dxr,fr); ttle('dstrbuc fce pro rovomere rozdele pravdepodobost'); subplot(,,); bar(dxg,fg); ttle('dstrbuc fce pro ormal rozdele pravdepodobost'); % Stred hodota: avg=sum(ormal)/legth(ormal); avg=dxg*pg'; avg3=mea(ormal); % zprumerovay sgal % z rodele pravdepodobost % vypocet Matlabu % Dsperze (rozptyl): dsp=sum((ormal-avg).^)/legth(ormal); % pomoc zprumerova sgalu dsp=((dxg-avg).^)*pg'; % z rozdele pravdepodobost %Smerodata odchyla: smo=sqrt(dsp); smo=sqrt(dsp); smo3=std(ormal); pause % pomoc zprumerova sgalu % z rozdele pravdepodobost % vypocet Matlabu %Zobraze fgure(3); clg; axs off; text(0,,'středí hodoty:'); text(0.,0.9,['zprumerovam sgalu: ' umstr(avg)]); text(0.,0.85,['z rozdele pravd.: ' umstr(avg)]); text(0.,0.8,['vypocet Matlabu: ' umstr(avg3)]); text(0,.7,'dsperze (rozptyl):'); text(0.,0.6,['zprumerovam sgalu: ' umstr(dsp)]); text(0.,0.55,['z rozdele pravd.: ' umstr(dsp)]); text(0,.45,'smerodata odchyla:'); text(0.,0.35,['zprumerovam sgalu: ' umstr(smo)]); text(0.,0.3,['z rozdele pravd.: ' umstr(smo)]); 47

48 4. Charatersty áhodých sgálů text(0.,0.5,['vypocet Matlabu: ' umstr(smo3)]); pause ACF = xcorr(acf,'based'); ACF = fft(acf); subplot(,,); t =(:8)/8-; t =(9:56)/8-; plot(t,abs(acf(9:56)),t,abs(acf(:8)),'r'), grd xlabel(' t ( s ) '); ylabel('acf'); ttle('autoorelačí fuce); % sec. zázamu - 56 vzorů; Řešeý přílad 4. Jsou dáy posloupost : x ={, -, 3, 7,,, -3, 0}, y = {, -,, -, 4,, -, 5}. a) Určete výpočtem R xx () a R xy () b) Grafcy e zázorěte Řešeí : r xx r xx r xx r xx r xx R xx (l) = { 0, -6, 7, -9, -, 3, 9, 77, 9, 3, -, -9, 7, -6 } Obdobě R xy (l) = { 0, -9, 9, 36, -4, 33, 0, 7, 3, -8, 6, -7, 5, -3 } 48

49 4. Charatersty áhodých sgálů Vzáemá orelačí fuce Autoorelačí fuce Otázy. Ja určíme autoorelačí fuc?. Ja určíme vzáemou orelačí fuc? 3. Co e to medá? Úlohy řešeí. Jsou dáy posloupost : x ={ 4,, -, 3, -, -6, -5, 4, 5 }, a. y = { 7, 4, -, -8, -,, 0, 0, 0}.. Určete výpočtem R xx () a R xy (). Výpočet ověřte v MATLABu. 3. Jsou dáy posloupost : x ={, 0, 0, }, y = { 0.5,,, 0.5 }. UrčeteR xx () a R xy () algortmem FFT. Výpočet ověřte v MATLABu. Klíč řešeí. R xx (l) = { 0, 6, -7, -3, -3, -39, -53, 39, 36, 39, -53, -39, -3, } R xy (l) = { 0, 0, 0, 4, -6, -37, -9,,, 7, 7, 6, -70, -0, -9, 48, 35 }. R xx (l) = {, 0, 0,, 0, 0, } R xy (l) = { 0.5,,,,,, 0.5, 35 } Text prostudováí [] Mohylová, J, Krača,V.: Zpracováí sgálu v léařství. Eletrocé srptum Ţla, Sloveso, ISB ,

50 4. Charatersty áhodých sgálů Další zdroe, použtá lteratura [] Proas, J.G., Maolas, D.G.: Itroducto to Dgtal Sgal Processg. Macmlla Publshg Compay, ew Yor, 988 (ISB X)]]) [3] Mtra, S.K., Kaser, J.F.: Dgtal sgal Processg. Joh Wley Sos, Ig., ew Yor, 993 (ISB ) [4] Uhlíř, J., Sova, P.: Číslcové zpracováí sgálů. Vydavatelství ČVUT, Praha 995, (ISB ) [5] Aděl, J.: Statstcá aalýza časových řad. STL, Praha 976 [6] Vích, R.: ávrh číslcových fltrů a oretorů útlumu s leárí fází metodou mtočtového vzorováí. Slaboproudý obzor 4, r. 98, č. 0, str [7] Ly, P.A.: O le dgtal flters for bologcal sgals: Some fast desgs for small computer. Med. & Bol. Eg. & Comput., vol.5, 977 [8] Ja, J.: Číslcová fltrace, aalýza a restaurace sgálů. VUT Bro, 997, (ISB ) [9] Šráše, J., Tchý, Z.: Zálady aplovaé matematy. STL, Praha, 989 [] MATLAB, The Laguage of Techcal Computg, Verso 6, The Math Wors, Ic., 000 Referece 50

51 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu 5. SPEKTRÁLÍ AALÝZA BIOLOGICKÉHO SIGÁLU Čas e studu: 3 hody Cíl Po prostudováí tohoto odstavce budete umět defovat záladí pomy popsat metody frevečí aalýzy vypočítat přímou zpětou DFT a FFT, spetrálí výoovou hustotu, oherec, autoorelačí a orelačí fuce říţové spetrum, určt časové zpoţděí mez dvěma aály určt modely spetrálí výoové hustoty AR, MA ARMA Pomy zapamatováí 5 Spetrálí aalýza parametrcé (model AR, MA, ARMA) a eparametrcé metody DFT, FFT, spetrálí výoová hustota, autoorelace, vzáemá orelace, oherece, časové zpoţděí. Výlad Bologcé zázamy sou poládáy za časové řady. K aalýze časových řad byly vyvuty růzé metody. Frevečí (spetrálí) aalýza e edím z edůleţtěších dagostcých ástroů eboť léař posuzue frevečí sloţy, teré sou v zázamu obsaţey. Metody frevečí aalýzy můţeme rozdělt do dvou záladích ategorí: ) eparametrcé metody ) parametrcé metody ad ) eparametrcé metody patří metodám, teré lze pouţít pro lbovolé sgály a modelové zpracováí sgálů esou totţ ladey specálí poţadavy, sgál e zpracovává přímo. Metody zahruí: fltrováí, spetrálí aalýzu, orelačí aalýzu. ad ) Parametrcé metody vyţaduí staoveí řady parametrů, teré by vyhovovaly daému specálímu matematcému modelu pro zpracovávaý sgál. Aalýza sgálu spočívá v odhadu těchto parametrů ze zazameaých dat. ezáměší modely dat sou: autoregresí model (AR), model louzavých průměrů (MA), autoregresí model louzavých průměrů (ARMA). 5

52 5.. eparametrcé metody Fast Fourer Trasform 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu Fourerova trasformace e ede ze záladích algortmů číslcového zpracováí sgálu. Patří mez ortogoálí trasformace Přímá Fourerova Trasformace (DFT [5], [6], [], [5], [], [3] a [37]), vzorovaá v bodech, e defováa X ( ) X T X e 0 x e, = 0,,, - (5.) Předpoládáme, ţe T =, poud eí uvedeo a Tato rovce defue algortmus, terý vezme pole omplexích čísel (případě pole reálých čísel a magárích čísel) a vrací pole omplexích čísel. Iverzí DFT e defováa x 0 X ( ) e = 0,,, - (5.) Přímý výpočet DFT zameá mocou. operací. FFT algortmus vyţadue ( log) operací, e-l Řešeý přílad 5. Určete a) DFT posloupost, 0, 0, b) areslete modulové (ampltudové) a fázové spetrum c) areslete ampltudové fázové spetrum e-l vzorovací mtočet f vz = 8 Hz Řešeí : Poz.: řešte v radáech a) Vydeme ze vztahu (5.): x x 0, x, x, x 3, 0, 0, ; 0,, 3; = 4 X ( ) 0 x e = 0 3 X ( ) x e =

53 Spetrálí aalýza bologcého sgálu 3 X ( ) x 4 e x 0 e Imag arctg Real 0 e 4 x e 4 x e 4 x3 e cos arctg 45 3 s 3 = X ( ) x 4 e x e Obdobě obdržíme pro = 3 3 X ( 3) x 0 e 3 0 e 4 x e 4 x e 4 x3 e arctg 45 cos 3 s 3 0 b) ampltudové spetrum: fázové spetrum: A c) Tvar ampltudového a fázového spetra se ezměí, určíme pouze hodoty T T 3 de T 5 s f vz 3 80, 57 Hz 6 450, 57 Hz 5, 4 Hz 37, 7Hz 53

54 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu 54 Řešeý přílad 5. Určete zpětou dsrétí Fourerovu trasformac pro DFT: 0,,, Řešeí : Vydeme ze vztahu (5.): e X x 0 ) ( = 4; = 0,, 3; = 4 = 0 e X x 0 ) ( ) ( 0 ) ( 4 (3) () () (0) 4 ) ( X X X X e X x = (3) () () (0) 4 ) ( 4 e X e X e X e X e X x e e e e e e = (3) () () (0) 4 4 e e e e e x X X X X X ) ( e e e e e e Obdobě obdržíme pro = 3 ) ( e X x

55 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu 55 W e W e W W W W W e e e W ) / )( / ( / / / ) / /( / / Algortmus Decmace v čase (Cooley,Tuey 965). Začeme s plou trasformací 0 ) ( x e X = 0,,, - (5.3) e W 0 ) ( x W X = 0,,, (5.4) Poz. W e / / W W (5.5) W W ) / (. Rozepíšeme X ( ) ao součet sudých a lchých čleů / 0 ) ( / 0 ) ( W x W x X sudá posloupost 4 0,,,, x x x x, lchá posloupost 5 3,,,, x x x x / 0 / 0 ) ( W x W W x X = 0,,, ) ( ) ( ) ( X W X X = 0,,, (5.6) Orgálí Fourerova trasformace byla přepsáa pomocí dvou FT operuících a lchých a sudých sloţách dat. V této reurs lze poračovat aţ do trválího případu edoho bodu. sudá posloupost lchá posloupost

56 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu 56 Pozáma: Odvozeí: / 0 / 0 ) ( ) ( ) ( e x e x X / 0 ) ( / 0 ) ( e x e e x / 0 / / 0 / e x e e x ) ( ) ( X e X Výpočetí áročost Počet bodů Přímý výpočet FFT Zrychleí Komplexí ásobeí Komplexí ásobeí (/)log

57 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu Přílad pro = 8 bodů DFT: x(0) x(4) x() x(6) x() x(5) x(3) x(7) -bodová FFT -bodová FFT -bodová FFT -bodová FFT Kombu -bodové FFT Kombu -bodové FFT Kombu 4-bodové FFT X(0) X() X() X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) Obr. 7: Bloový dagram výpočtu FFT pro 8 bodů FFT - motýle x 0 X (0) X (0) X (0) x 4 X () X () X () x X (0) 0 W 8 X () X () x 6 x x 5 x 3 x 7 X () X 4 (0) X 4 () X 3 (0) W 8 X 3 () W 8 0 W 8 X (0) X () X () X (3) X (3) 0 W 8 W 8 W 8 3 W 8 X (3) X (4) X (5) X (6) X (7) Obr. 8: Schéma výpočtu FFT pro 8 vzorů (rozresleí obr. 5). W e. 57

58 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu Řešeý přílad 5.3 apšte struturu výpočtu 8-bodové FFT posloupost A 0 pomocí algortmu decmace v čase. Posloupost A 0 : x 0, x, x, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 Řešeí : 8-bodová DFT z A 0 : X () = X () + Posloupost A 0 rozdělíme a: sudou A a lchou A : A : x 0, x, x 4, x 6 A : x, x 3, x 5, x 7 =0,, 3 4-bodová DFT z A : X () = X () + A : X () = X 3 () + W X (), de = 0,, -; = 0,, 7 W X () W X 4 (), de = 0,, = 0,, 3 4-bodové posloupost A a A rozdělíme opět a: sudé A 3, A 5 a lché A 4, A 6 : A 3 : x 0, x 4 A 5 : x, x 6 A 4 : x, x 5 A 6 : x 3 x 7 =0, -bodové DFT z A 3 : X () = x 0 + A 4 : X () = x + A 5 : X 3 () = x + A 6 : X 4 () = x 3 + W 4 x 5 W 4 x 4 W 4 x 6 W 4 x 7, de = = 0, Řešeý přílad 5.4 Ověřte pomocí algortmu decmace v čase, že FFT posloupost A 0 e 4, 0,, 0, 0, 0,, 0. Posloupost A 0 abývá hodot:, 0, 0,,, 0, 0, Řešeí : Vydeme z příladu 5.: Určíme -bodové DFT ze sudých A 3, A 5 a lchých A 4, A 6 posloupostí: A 3 : X () = x 0 + = 0, W 4 x 4 58

59 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu 0 4 X (0) = x 0 + W x 4 = x 0 + x 4 4 X () = x 0 + W x 4 = x 0 + e x 4 = x 0 + e x 4 x 4 cos s x x 0 0 x4 0 4 Obdobě: A 4, A 5, A 6 X (0) = x 0 + x 6 = 0 X () = x 0 x 6 = 0 X 3 (0) = x + x 5 = 0 X 3 () = x 0 x 6 = 0 X 4 (0) = x 3 + x 7 = 0 X 4 (0) = x 3 x 7 = 0 yí určíme 4-bodové DFT A : X () = X () + de = 0,,, = 0,, 3 A : X () = X 3 () + W X () W X 4 () = 0 X (0) = X (0) + = 0 W X (0) = + 0 = 8 X () = X () + W X () = X () e X () = 0 = 8 X () = X () + W X () = X () e X () = X () e X () X () = X () X () yí musíme určt hodotu X () a X () 4 X () = x 0 + W x 4 = x 0 + x 4 4 X () = x 0 + W x 4 = x 0 + x 4 taže pro = e 59

60 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu X () = X () X () = = 0 = X (3) = X (3) + W X (3) = X (3) e X (3) X (3) = x 0 + X (3) = x x 6 = 0 X (3) = 0 3 W 4 x 4 = x 0 x 4 = 0 Obdobě určíme X (): X () = X 3 () + = 0 X (0) = X 3 (0) + = X () = X 3 (0) + 0 W X 4 (0) = 0 W X 4 () = 0 8-bodová FFT pa e: X () = X () + = 0 X (0) = X (0) + = 0 W X (0) = + = 4 W X 4 () X () = X () + W 8 8 X () = X () + e X () = 0 W X () opět postupě dosazueme za, 5.. Parametrcé metody Přehled modelů dat Vzorovaou časovou řadu lze vyádřt ao x(t) = x() = x de T e terval vzorováí (5.7) Z-trasformace e 60

61 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu X ( z) x z (5.8) 0 spetrum e dáo dosazeím z = e t X ( e t ) X ( ) X ( z) z e t Autoorelačí fuce stacoárího procesu e defováa pro dva časové oamţy. Pro dsrétí posloupost sou defováy vztahy : estraý odhad l Rxx ( l) x( ) x( l), l de l 0,,, L (5.9) 0 vychýleý odhad l Rxx ( l) x( ) x( l), de l 0,,, L (5.0) 0 de L e zvoleé maxmálí zpoţděí. Ze statstcého hledsa e důleţté, aby odhad byl : a) estraý b) ozstetí Dsrétí vzáemá orelace sgálu x() a y() lze odhadout podle vztahů : ebo l 0 Rxy ( l) x( ) y( l), de l 0,,, L (5.) l l 0 Ryx ( l) y( ) x( l), de l 0,,, L (5.) l de L e zvoleé maxmálí zpoţděí. Tř záladí modely dat sou Autoregressve (AR, autoregresí) Movg average (MA, louzavý průměr) Autoregressve movg average (ARMA, autoregresí - louzavý průměr) Autoregresí model AR: - určeí parametrů AR modelu e leárí úloha. AR model e popsá rovcí: x ) x( ) a x( )... a x( p) e( ) (5.3) ( a p 6

62 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu Dferecálí rovce modelu e popsáa vztahem : X ( z) p a z a z... a z E( ) p z (5.4) X(z) E( z) (5.5) - A (z ) Autoregresí model představue IIR fltr pouze s póly, p určue počet mulých hodot výstupu v reurz. Obr. 9: Autoregressve model Movg average model - určeí parametrů modelu e eleárí úloha. MA model e popsá rovcí : b x ) b x( ) b x( )... b x( ) y( ) (5.6) 0 ( Y ( z) b z X ( z) (5.7) 0 MA model představue FIR fltr pouze s ulam, určue počet mulých hodot vstupu v reurz. ZDROJ BÍLÉHO ŠUMU TAPPED DELAY LIE (ZPOŢDĚÍ) b b b q VÝSTUP MA PROCESU Obr. 0: Movg average model 6

63 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu Autoregresí - movg average model e epřesěší, ale pro určeí eho parametrů e uté řešt eleárí optmalzačí úlohy. ARMA model e popsá rovcí p y( ) a y( ) b x( ) (5.8) 0 0 Y ( z) X ( z) (5.9) b z p a z ZDROJ BÍLÉHO ŠUMU TAPPED DELAY LIE (ZPOŢDĚÍ) b b b q VÝSTUP ARMA PROCESU -a -a -a p TAPPED DELAY LIE (ZPOŢDĚÍ) Obr. : Autoregressve movg average model ARMA model představue IIR fltr s póly ulovým body. Všechy tř modely aproxmuí sutečé spetrum sgálu pomocí vadrátu modulu frevečí charatersty leárího časově varatího (LTI) fltru. Volbou řádu fltru (řádu modelu) volíme stupeň aproxmace. Pro AR modely lze úlohu detface parametrcého modelu terpretovat ao úlohu aproxmace spetrálí výoové hustoty sgálu metodou emeších čtverců pomocí polyomu stupě p. Přtom musí být splěa erovost p (5.0) Př hledáí autoregresího modelu vycházíme z předpoladu, ţe sgál vzl průchodem bílého šumu přes leárí časově varatí fltr obr.. Úolem e určeí oefcetů tohoto fltru ze vzorů sgálu. Koefcety fltru parametrzuí sgál v tom smyslu, ţe vadrát ampltudové frevečí charatersty fltru aproxmueme sutečou spetrálí hustotou sgálu. 63

64 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu x() EEG A ( z ) e() bílý šum Obr. : AR model EEG aopa předpoládáme-l, ţe sgál e stacoárí, pa eho průchod fltrem verzím ( odhadutému AR fltru) dá bílý šum obr. 3. e() bílý šum A( z ) x() EEG Obr. 3: Iverzí AR fltr 5.3. Modely odhadu spetra Výoová spetrálí hustota (Power Spectral Desty, PSD) stacoárího dsrétího áhodého procesu e vyádřea Weer-Chčovým teorémem S f R xx e f (5.) Z této rovce e vdět, ţe a PSD lze pohlíţet ao a Fourerovu řadu s oefcety daým autoorelačím oefcety. Hledaly se modely s oečým počtem para-metrů. Spetrálí odhad e proces odhadu parametrů vhodě vybraého modelu třístupňový postup. Výběr modelu, terý e dobrou aproxmací sutečého procesu. Odhad parametrů modelu 3. Výpočet odhadu spetra Leárí predce Leárí predce vychází z autoregresího (AR) modelu sgálu x p a x e (5.) de oefcety a 0, a,, a p represetuí leárě predčí (LP, Weerův) fltr saţící se trasformovat vstupí posloupost do posloupost eorelovaých áhodých velč. e se v tomto případě azývá chyba predce a představue chybu, teré se dopouštíme pří odhadu hodoty x z leárí ombace p mulých vzorů sgálu. 64

65 Odhad parametrů Metoda emeších čtverců 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu Za předpoladu, ţe vstup do systému e ezámý, x můţeme přblţě odhadout z váţeého součtu p mulých vzorů (p e řád modelu) ~ x p a x Vze přtom určtá odchyla mez sutečou hodotou x a predovaou hodotou predce e e p p x ~ x x a x a x a0 0 (5.3) x~, chyba, (5.4) Je-l vzore x časové řady vybrá z áhodého procesu, pa e áhodým procesem { e } a v metodě emeších čtverců mmalzueme středí hodotu čtverce této chyby: P E p e ( x a x ) E (5.5) Středí chyba P e mmalzováa a záladě stacoárích bodů (parcálí dervace podle příslušých oefcetů sou rovy ule): E e a,, p 0 (5.6) Zísáme ta soustavu leárích rovc (ormálí rovce, Yule Walerovy rovce) p a E x x E x x - a mmálí středí chyba e - p x a E x x 65 (5.7) P E (5.8) p Pro stacoárí případ platí : E p R( ) x - x - de R() e autoorelačí fuce áhodého procesu, terá splňue podmíu R( ) R( ) (5.9) a předpoládáme, ţe chyba v (5.8) e mmalzováa pro eoečý terval (Autoorelačí metoda, oefcety R(-) tvoří autoorelačí matc - symetrcá Toepltzova matce). Zísáme ta soustavu rovc : p a R (5.30) R ( ),,..., p p R( 0) a R (5.3) p Řešeí rovc (5.30) a (5.3) (apř. Gaussovou elmačí metodou) e áročé a počet operací. Proto byly vyvuty algortmy, teré řeší tuto úlohu efetvě - apř. Levso-Durb-Robsoův algortmus, Burgův algortmus.

66 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu Levso Durb - Robsoův algortmus Levso Durb Robsoův algortmus vyuţívá sutečost, ţe R(-) tvoří Toepltzovu matc autoorelačí fuce vz obr. 4, pro efetví výpočet spetrálí výoové hustoty. Spetrálí výoovou hustotu (PSD) počítá reuretě z moţy parametrů {a, σ }, {a, a, σ },, {a p, a p,,a pp, σ p }, de prví dex určue řád terace. Levso Durb Robsoův algortmus e popsá a obr. 5. Rxx() Rxx() Rxx(3) Rxx(4) Rxx() Rxx() Rxx() Rxx(3) R R () () () () xx Rxx Rxx Rxx Rxx(3) Rxx() Rxx() Rxx() Rxx(4) Rxx(3) Rxx() Rxx() Obr. 4: Toepltzova matce autoorelačí fuce odhad autoorelace l 0 Rxx ( l) x( ) x( l), de l 0,,, L l a calzace reurse Rxx(), ( a ) Rxx(0) R (0) xx a Levsoova reurse pro =, 3,, p R xx ( ) a, R xx l ( ) a a, a a,,,..., - ( ) a Výpočet AR spetrálí výoové hustoty zvýšeí řádu o PSD AR ( ) p t p a e f Obr. 5: Levso Durb Robso algortmus 66

67 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu Př pouţtí AR modelu e edůleţtěší správé staoveí řádu p modelu. Je-l řád modelu přílš ízý, e spetrálí výoová hustota PSD AR () přílš vyhlazeá. aopa, e-l p přílš vysoé, mohou se ve spetru PSD AR () vysytout další chybé vrcholy spetrálí výoové hustoty s ţší ampltudou. Pro výběr optmálího řádu AR modelu bylo staoveo Aaem ěol rtérí [5], [6], [3], [5], [6]. Krtéra sou zaloţea a mmalzac chyby predce metodou emeších čtverců. Hodota rtéra se počítá vţdy po edom rou predce. Krtérum FPE (fal predcto error) p FPE( p) p p AIC (Aae formato crtero) (5.3) p AIC( p ) l( p ) (5.33) a obr. 6 sou pro přílad zobrazey spetrálí výoové hustoty AR modelu a spetrálí výoová hustota počítaá pomocí Weer - Chčova teorému (6.). EEG sgál e yí v bpolárím zapoeí aálu P3 > 0 zázamu LAF0.trc. U tohoto zázamu by měla domovat alfa atvta. a obrázu e vdět, ţe došlo vyhlazeí spetrálí výoové hustoty AR modelu, dyţ tato e opět soustředěa oolo frevece 0 Hz, coţ odpovídá alfa atvtě. Avša AR model emá dostatečou rozlšovací schopost, sou-l dva spetrálí vrcholy blízo sebe. Spetrálí výoová hustota e opět počítáa s přerýváím tervalů dlouhých 56 vzorů. AR model e 8. řádu - {, a 7 a 7,,a 77 }. Aaeho rtérem bylo prověřeo, ţe AR model 8. řádu {,-.7359,-.0037,-.8055,-0,876, 0,87,.05} e vyhovuící vz tab. 3. Tab. 3: Krtéra AR modelu (vz. obr. 7) Řád mod. σ p FPE(p) AIC(p) e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e

68 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu PSD (W/Hz) PSD (W/Hz) f (Hz) Obr. 6: Spetrálí výoová hustota EEG (plá čára) a spetrálí výoová hustota AR modelu 8 řádu (přerušovaá čára) AIC(p) Obr.7: Graf závslost AIC rtéra a řádu modelu 68

69 5.4. Spetrálí aalýza 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu Spetrálí aalýza [], [3], [4], [5] [6], [7], [8] a [9].e výoý aalytcý ástro, terý umoţňue určt spetrum ebo spetrálí výoovou hustotu sgálu. Matematcým záladem těchto metod sou ortogoálí trasformace, teré přřazuí časovému průběhu sgálu spetrum a aopa spetru sgál. Jedou z epouţívaěších metod e Fourerova aalýza. Ta předpoládá, ţe aţdý perodcý sgál lze reprezetovat součtem záladích susove a osusove o příslušé ampltudě a frevec. Přereslíme-l tyto záladí frevece a ech ampltudy (spetrálí čáry) do grafu, zísáme frevečí spetrum (perodogram). Měříme e v edotách V Hz (výoová spetrálí hustota) ebo V Hz (ampltudové spetrum). Spetrum e počítáo pomocí algortmu rychlé Fourerovy trasformace (FFT Fast Fourer Trasformato). Dsrétí Fourerova trasformace (DFT) e defováa X ( ) 0 x( ) e a verzí dsrétí Fourerova trasformace (IDFT) pa e (5.34) x( ) 0 X ( ) e (5.35) Problémem Fourerovy trasformace e, ţe předpoládá perodcý sgál. Př výpočtu sme vša omeze oečým tervalem pozorováí T (stacoarta). Proto sgál musíme perodcy rozšířt tedy terpolovat perodcý sgál za terval pozorováí. Zvoleí tervalu T e ao dybychom původí sgál x () vyásobl obdélíovým oéem w () de x( ) x( ) w( ), de 0,,, (5.36) w ( ) pro ostatí Př omezováí dély pozorováí T dochází efetu zresleí spetra a perodzace spetra. Jestlţe avzorueme perodcý sgál ta, ţe déla pozorováí T e právě perodou tohoto sgálu, potom edotlvé frevečí sloţy tohoto sgálu sou zobrazey ve spetru DFT ta, ţe aţdé z ch přísluší pouze eda čára. Koečý terval pozorováí T (šířa oéa) má vlv a rozlšeí dvou eblţších spetrálích čar. Vzdáleost dvou spetrálích čar ve spetru sgálu e f.vzdáleost prvího průchodu frevečího oa ulou e f T. Je-l f f, sou ve výsledém spetru obě čáry dobře rozlštelé. Př f f elze správě rozhodout o charateru vstupího sgálu. Je-l zvolea déla pozorováí vteřy (stacoarta), zísáme frevečí sloţy s rozlšeím 0,5 Hz (t. spetrálí čáry a frevecích 0,5 Hz, Hz,,5 Hz, Hz, ). Mmo obdélíového oéa můţeme pouţít ý druh oa Bartlettovo (troúhelíové) oo: w ( ), 0 Hagovo: w( ) cos, 0 69

70 Hammgovo w( ) 0,54 0,46cos, 0 Blacmaovo 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu 4 w ( ) 0,4 0,5cos 0,08cos, 0 Tueyovo (osový zvo) 0 % dat a začátu a a oc e vyásobeo w ( ) 0,5cos, de M 0 M a porývá 0 % dat a začátu a a oc Spetrálí výoová hustota U áhodých sgálů se místo pomu spetrum zavádí poem spetrálí výoová hustota (PSD). Spetrálí výoová hustota popsue rozloţeí hustoty výou sgálu v závslost a frevec. Pro určeí spetrálí výoové hustoty lze pouţít metody lascé zaloţeé a pouţtí dsrétí Fourerovy trasformace (přímé a epřímé) Klascé metody parametrcé zaloţeé a popsu sgálu souborem parametrů Postup pro výpočet spetrálí výoové hustoty e azače a obrázu č. 8. Časová posloupost x() epřímá (6.9) přímá (6.38) Autoorelačí fuce R xx (l) PSD() Spetrálí výoová hustota (6.37) Obr.8: Metody výpočtu spetrálí výoové hustoty epřímá metoda spočívá v určeí PSD pomocí Weer Chčova teorému. Pro dgtálí sgály oečé dély e odhad spetrálí výoové hustoty určeý dsrétí Fourerovou trasformací vychýleého odhadu autoorelačí fuce dá vztahem: PSD( ) 0 R xx ( ) e f (5.37) de R xx () e autoorelačí fuce vypočítaá podle vztahu (5.9). 70

71 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu Přímá metoda spetrálí aalýzy e moderí verze Schusterova perodogramu [3]. Odhad spetrálí výoové hustoty e počítá pouze pro vzory segmetu x0, x,, x a e dá ao ( ) PSD x( ) e 0 f (5.38) Spetrálí výoová hustota určeá Weer Chčovou větou (6.37) a spetrálí výoová hustota určeá z perodogramu (6.38) sou totoţé. Tato e zísáo oamţté výoové spetrum (perodogram, spetogram) z aţdého edotlvého oa. Kaţdý odhad e zatíţe systematcou chybou. Proto př dostatečé délce sgálu e pouţíváa metoda průměrováí dílčích perodogramů zísá se vyhlazeý odhad. Jeda z metod průměrováí perodogramu e Welchova metoda [4], [5], [6], [7], [], [3]. Jeí prcp e zázorě a obr. 9. x () w () R xx () DFT PSD () Welch avrhl reduovat rozptyl perodogramu rozděleím vstupích dat x (), 0,,, a K segmetů, aţdý o délce M vzorů x (m), 0,,,K, m 0,,, M. Segmety sou buďto vedle sebe aebo se přerývaí. Kaţdý. segmet e váţe oem a po trasformac dává dílčí modfovaý perodogram PSD (). Výsledý vyhlazeý odhad zísáme zprůměrováím dílčích perodogramů: K 0 Obr. 9: Welchova metoda PSD ( ) PSD ( ) (5.39) a obr. 30 a) e pro přílad uvede oamţtý odhad zísaý z posloupost vzorů sgálu LAF0.trc, aálu P3. Déla datového segmetu e 56 vzorů, sgál ebyl dosud fltrová. Obr. 30 b) e oamţtý odhad zísaý ze steého fltrovaého datového úseu. Perodogramy dalších tří realzací áhodého EEG sgálu sou a obr. 3 (a) aţ (c). Déla aţdé realzace e opět 56 vzorů. Vzory se přerývaí vz obr. 3: - 56, 9-384, 57-5, , atd. (datová posloupost 56 vzorů vteřy a) efltrovaý b) fltrovaý Obr. 30: Odhad spetrálí výoové hustoty pro EEG sgál Laf0.trc 7

72 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu atd. Obr. 3: Zázorěí posloupost datových oe zázamu (Short Tme Spectral Aalyss), v tomto tervalu e sgál vazstacoárí vz poţadavy a stacoartu sgálu). Odhad zísaý průměrováím realzací 30 b) a 3 a) aţ 3 c) e a obr. 3 d). Pro srováí e a obr. 3 e) zprůměrováo 0 segmetů v celové délce aţ 408 vzorů, t. 5,5 vteřy. Z obr. 3 e) lze vyčíst, ţe v EEG zázamu e spetrálí výoová hustota soustředěa a frevecích aţ 3 Hz, coţ odpovídá přítomost epleptcé atvty. Dále e spetrálí výoová hustota soustředěa a frevečím rozsahu 7 aţ 0 Hz, coţ odpovídá alfa atvtě aálu P3. Spetrálí výoová hustota vazstacoárích sgálů můţe být zobrazea taé v trorozměrém prostoru (f, t, PSD()). Teto způsob e velm ázorý. Podrob-ě bude rozebrá v aptole 0 Metody zobrazeí výsledů spetrálí aalýzy. eí-l dspozc zázam sgálu dostatečé dély, emůţeme průměrovat větší moţství datových segmetů. Oamţté spetrálí výoové odhady staoví pouze přítomost frevečích sloţe. eurčí vša, terý mód e domatí. K určeí domatost e moţé pouţít orelačí aalýzu, t.autoorelačí fuc R xx () ebo říţové spetrum sgálu G xy (f). 7

73 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu a) b) c) d) e) Obr. 3: Průměrováí perodogramů EEG sgálu Laf0.trc. a obr. 3 d) sou zprůměrňováy odhady z obr. 30 b, 3 a) 3 c). a obr. 3 e) e zprůměrováo 0 odhadů sgálu Laf0.trc. 73

74 5.5. Korelačí aalýza 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu Př aalýze bologcého sgálu lze pouţít taé orelačí aalýzu. Korelačí aalýza zoumá vztahy mez dvěm růzým aály EEG, teré byly zazameáy současě. Zísáme ta vzáemou spetrálí výoovou hustotu, ebo-l vzáemé (říţové) spetrum (cross spectrum). Aebo můţeme zoumat poměry uvtř edoho aálu. Obdrţíme ta spetrum z edoho aálu - autospetrum. Autoorelačí fuce Autoorelačí fuc R xx () můţeme určt podle vztahů (6.9), resp. (6.0). Záme-l spetrálí výoovou hustotu PSD() lze autoorelačí fuc R xx () určt taé pomocí verzí Fourerovy trasformace: R xx ( ) FFT PSD( ) (5.40) a obr. 33 e pro přílad uvedea autoorelačí fuce R xx () aálu P3 EEG sgálu. Tato fuce e počítaá pro PSD() v obr. 3 a). Autoorelačí fuce R xx () e perodcá fuce s perodou přblţě 00 ms, tz., ţe EEG sgál obsahue oheretí osclace, teré sou dáy frevecí f coh 0 Hz 0, R xx () t ( s ) Obr. 33: Autoorelačí fuce sgálu EEG Laf0.trc Spetrum a obrázu 3 a). uazue čáru umístěou v oolí 0 Hz, proto tedy f coh e domatí frevecí EEG. Vzáemá spetrálí výoová hustota Vzáemá spetrálí výoová hustota e určea Fourerovou trasformací vzáemé orelačí fuce R xy (). Kříţové spetrum G xy (f) můţeme zísat taé vyásobeím speter G x (f) a G y (f) edotlvých aálů. Jedá se o omplexí proměou: G xy xy( f ) ( f ) G ( f ) e (5.4) xy 74

75 de modul G xy (f) e ampltudové říţové spetrum G xy ( f ) ReG ( f ) ImagG ( f ) xy xy 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu (6.4) a υ xy (f) e fázové spetrum daé vztahem xy xy Imag G xy( f ) arctg (5.43) Re G Vzáemá spetrálí výoová hustota G xy (f) slouţí ao míra podobost dvou sgálů. Kříţové spetrum uazue frevečí čáry, teré sou společé oběma sgálům. G xy (f),0 x 0-9,5,0 0, f ( Hz ) Obr. 34: Vzáemá spetrálí výoová hustota G xy (f) mez aály P3 O Pro přílad e uvedea a obr. 34 říţová orelace mez aály P3 O sgálu EEG LAF0.trc. Z obrázu lze vyčíst, ţe v obou aálech e přítoma alfa atvta (8 3 Hz) a epleptcá atvta (,8 aţ 4,5 Hz). Vzáemá spetrálí výoová hustota slouţí většou ao mezvýslede pro výpočet dalších charaterst oherečí fuce, frevečí charatersty. Vzáemou spetrálí výoovou hustotu G xy (f) můţeme taé pouţít pro určeí vzáemého zpoţděí dvou sgálů. Zpoţděí τ(ω) mez dvěm aály e určeo ao dervace fázového spetra podle frevece: d xy ( ) ( ), de ω = πf (5.44) d Časové zpoţděí Δt dvou sgálů e určeo z fázového zpoţděí Δυ (obr. 35). Fáze totţ vyadřue poměrou část perody susové sloţy sgálu a lze převést a odpovídaící časový úda [5], [6], [33], [35], [36] vztahem t 360 f (5.45) de Δυ e ve stupích a Δf e v Hz, přčemţ tato doba e poládáa za ladou, estlţe soustava sgál posue v záporém smyslu, t. bude-l Δυ < 0. 75

76 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu Protoţe z edoho bodu elze edozačě určt zda se edá o předbíháí fáze ebo o zpoţděí, e časové zpoţděí (časový rozdíl) mez dvěm aály počítáo ze slou fázové charatersty [35], [36] obr. 36. Supové zpoţděí τ(ω) mez dvěm aály e určeo : d( ) d( ) ( ) d( ) d(f) Δt 360 (f f ) 360 (f f ) Δ 360 Δf (5.46) de Δυ e fázový rozdíl ve stupích př frevec f v Hz, Δf e rozsah frevecí a terém e počítá slo obr. 36. Výpočet fázového slou z frevečí závslost vyloučí eedozačost př bodovém určeí fáze. () Δυ t f f f ( Hz ) Obr. 35: Fázové zpoţděí Obr. 36: Určováí fázového zpoţděí Metoda: Pro dva sgály x(t) a y(t) předpoládáme ásleduící leárí vztah (ede sgál e zpoţdě za druhým) de (t) e bílý šum, eorelovaý s x (t). Pa říţové spetrum e G xy t ( ) y( t) x t t (5.47) 76 * ( f ) lm E X ( f ) Y ( f ) (5.48) T T X ( f ) a Y ( f ) sou Fourerovy trasformace x (t) a y (t) a T e časové oo pozorováí. Protoţe (t) a x (t) sou eorelovaé, platí G tf xy( f ) Gxx( f ) e (5.49) de G xx e výoové spetrum x (t). Jeloţ G xx a sou reálá čísla, fázové spetrum říţového spetra mez sgály x (t) a y (t) e dáo vztahem ( f ) t f (5.50) xy e tedy leárí fucí frevece. Časový posuv tedy můţe být zísá ze slou fázové charatersty.

77 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu Pro reálé EEG sgály e časový posu urče leárí regresí odhadutého fázového spetra a frevečím tervalu, de oherece e výzamě vyšší eţ ula.(emůţeme odhadovat fázový posuv a frevecích, teré eexstuí v obou sgálech). Koherečí fuce Jsou-l sgály popsáy spetrálí výoovou hustotou, vzáemou spetrálí výoovou hustotou a frevečí charaterstou e ědy potřeba posoudt přesost odhadu těchto charaterst míru přesost. Touto mírou e oherečí fuce. Koherečí fuce COH xy (f) e reálá fuce reálé proměé. Koherece měří míru orelace (závslost) mez dvěma sgály a daé frevec. Jeí hodoty leţí v tervalu 0,. Ideálě e ezávslá a ampltudách sgálů. Koherečí fuce e defováa pomocí vzáemé a vlastí spetrálí hustoty COH xy y Gxy(f) (f) (5.5) G (f) G (f) x Je-l COH xy (f) = 0, potom x(t) a y(t) sou a daém mtočtu eorelovaé (ţádá relace), aprot tomu pro COH xy (f) = sou x(t) a y(t) a daém mtočtu orelovaé (deálí orelace). Jedou z moţostí vyuţtí oherece e testováí symetre mez aály EEG [9], [30]. V moha případech e potřeba pouţít ormalzovaou hodotu říţového spetra. V eletroecefalograf apřílad mohou být sousedí aály EEG růzě utlumey průchodem eletrcého potecálu lebou, táí apod. V tomto případě defueme ampltudovou oherec Gxy(f) COH xy(f) (5.5) G (f) G (f) x y a obr. 37 e demostrováa v edom obrázu oherece a fázové spetrum sgálu EEG - LAF0.trc bpolárího zapoeí aálů P3 > 0 a aálů 0 > P4. O výzamost údaů fázové charatersty má smysl uvaţovat e pro ty frevece, de e oherece blízá edé. Fázové spetrum zobrazue středí časové rozdíly mez společým frevečím sloţam. Udává se ve stupích. 77

78 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu Obr. 37: Koherece COH xy (f) a fázové spetrum φ xy (f) bpolárího zapoeí aálů P3 0 a 0 P4 sgálu Laf0.trc CD-ROM Otevř soubor BM frev, spusť amac prezetace _0 Otázy 5. Ja určíme časové zpoţděí mez dvěma sgály?. Jaou formac zísáme př pouţtí oherečí fuce 3. Ja e defováo supové zpoţděí? 4. Co e to říţové spetrum 5. Ja určíme domatí frevec v sgálu Úlohy řešeí 5. Určete pomocí algortmu decmace v čase FFT posloupost, 0, 0,,, 0, řešeí:. V programu Matlab ověřte správost výsledů z příladu 5.3. areslete ampltudové a fázové spetrum. 3. Vytvořte program v MATLABu pro ačteí vyresleí aměřeých dat ze souboru XXX.trc. Data vyreslete mmálě ze dvou aálů. 78

79 5. Spetrálí aalýza bologcého sgálu V programu Matlab Korespodečí úol a) asmulute sgál o délce bodů. b) Proveďte FFT asmulovaého sgálu Zpětě reostruute sgál. Př zpěté reostruc evyuţívete fuc fft v MATLABu. Poz.: pouţte fuce: a real ( c ), b mag( c ) Prác odevzdete do 4 dí po zadáí domácí úlohy. Text prostudováí [] Mohylová, J, Krača,V.: Zpracováí sgálu v léařství. Eletrocé srptum Ţla, Sloveso, ISB , 005 Další zdroe, použtá lteratura [] Proas, J.G., Maolas, D.G.: Itroducto to Dgtal Sgal Processg. Macmlla Publshg Compay, ew Yor, 988 (ISB X)]]) [3] Mtra, S.K., Kaser, J.F.: Dgtal sgal Processg. Joh Wley Sos, Ig., ew Yor, 993 (ISB ) [4] Aděl, J.: Statstcá aalýza časových řad. STL, Praha 976 [5] Vích, R.: ávrh číslcových fltrů a oretorů útlumu s leárí fází metodou mtočtového vzorováí. Slaboproudý obzor 4, r. 98, č. 0, str [6] Ly, P.A.: O le dgtal flters for bologcal sgals: Some fast desgs for small computer. Med. & Bol. Eg. & Comput., vol.5, 977 [7] Ja, J.: Číslcová fltrace, aalýza a restaurace sgálů. VUT Bro, 997, (ISB ) [8] Kay, S.M., Marple, S.L.: Spectrum Aalyss A Moder Perspectve, Proc. IEEE, vol. 69, 98, pp [9] Cooley, J.W., Tuey, J.W. A algorthm for the mache computato of Complex Fourer Seres, Math.Comp. vol.9, 965, pp [0] MATLAB, The Laguage of Techcal Computg, Verso 6, The Math Wors, Ic., 000 Referece 79

80 6.Zobrazeí výsledů spetrálí aalýzy 6. ZOBRAZEÍ VÝSLEDKŮ SPEKTRÁLÍ AALÝZY Čas e studu: hodu Cíl Po prostudováí tohoto odstavce budete umět grafcy zobrazt výsledy spetrálí aalýzy umět metodu topografcé mapováí umět metodu spetrálích zhuštěých uls CSA Pomy zapamatováí 6 CSA zhuštěé spetrálí ulsy, topografcé mapováí mappg. Výlad esporou výhodou počítačového zobrazováí dat e moţost efetví mapulace se sgálem, eho zpracováí, úprava a zobrazeí. Jedou z moţostí e zobrazeí výsledů umercé aalýzy ve formě růzých grafů. Z bohaté palety prostředů pro zobrazováí výsledů spetrálí aalýzy se soustředíme pouze a dva směry: a metodu zhuštěých spetrálích uls (CSA, compressed spectral arrays) a topografcé mapováí mozové atvty (bra mappg) 6.. Metoda zhuštěých spetrálích uls CSA Metoda zhuštěých spetrálích uls e eda ze stadardích metod pro motorováí sgálové atvty ve frevečí oblast Podstatou metody e výpočet frevečích řve z ratších úseů (apř. vteřy) a ech seřazeí v trodmezoálí proec metoda zhuštěých spetrálích uls CSA, compressed spectral arrays, terou poprvé avrhl Bcford [9]. Prcp metody spočívá v tom, ţe se postupě počítaí frevečí řvy z úseů dély aţ 4 seudy. Vypočteé frevečí řvy se pa postupě vyreslí eda za druhou v pseudo-trorozměré proec f, t, PSD ( f ) (představme s, ţe spetra vystřheme z papíru a ty pa alepíme za sebou ta, ao ulsy v dvadle) ta, ţe pozdě vyresleá epřerývá předchozí. Tímto způsobem e moţé sledovat posu a změy frevečích ompoet v průběhu času pops dyamcého chováí sgálu ve spetrálí oblast. Výhodou metody e přehledé zpracováí delších úseů bologcých zázamů. evýhodou metody e ztráta časové formace o tvaru sgálu př trasformac do frevečí oblast. Tato evýhoda se vša dá elmovat prohlíţeím původího úseu v orgálím zázamu. Uáza CSA e a obr. 38, spetrálí výoová hustota e zde počítáa pomocí Weer Chčovy věty. Kaţdá spetrálí řva představue vteřy dat. a obr. 39 a) e uáza CSA z programu Matlab. a obrazovce lze zobrazt aţ ěol mut sgálu v ěola aálech podle moţost výpočetí techy. Všměme s výrazých pomaleších frevecí, teré zřetelě detfuí místa s epleptcým paroxysmy. 80

81 6.Zobrazeí výsledů spetrálí aalýzy Obr. 38: Zobrazeí spetrálí výoové hustoty PSD f, t, PSD( f ) sgálu EEG metodou CSA v prostředí Matlab Vlastost sgálu sou eště lépe vdět př ém slou uls obr. 39 a,b) vz amace CSA_BM. Uţvatel můţe v prostředí Matlab lbovolě mět slo, měříto rozteč uls ta, aby dosáhl optmálí proece obrázu. a) b) Obr. 39 a,b): Já varata zobrazeí CSA U multaálového zázamu (apř. EEG) e moţé pomocí ursoru vybrat příslušý orgálí úse EEG sgálu, z ěhoţ byla řva spočtea a prohlíţet sgál střídavě v časové frevečí oblast (obr. 40). 8

82 6.Zobrazeí výsledů spetrálí aalýzy Obr. 4): Motorováí spetrálích pásem v průběhu času. Jedotlvá pásma sou ozačea barevě Obr. 40: So do EEG stráy vybraé ursorem z obr. 39 b) Pro eště větší ázorost můţeme spetrálí pásma odlšt barevě vz obr. 4. Metody CSA vyuţeme všude tam, de e potřeba sledovat dyamcý vývo frevečích charaterst v čase apř. př motorováí EEG 6.. Topografcé mapováí bramappg BM Př topografcém mapováí mozové atvty vlastě zšťueme prostorové (plošé) proevy atvty. V ašem případě se zaměříme a topografcého zobrazováí mozové atvty zde patří bra mappg (BM) mapa oamžtého rozložeí ampltud potecálů. Podstata BM spočívá v zaódováí číselých hodot sgálu do barevé šály a ech teratví terpolac a oblast, de hodoty sgálu ebyly aměřey. Rozmístěí eletrod a hlavě u 9 aálového EEG e v systému 0/0 Topografcé mapováí ampltudy Z ddatcých důvodů e vhodé se eprve věovat mapováí ampltudy, de se dá podstata BM vysvětlt elépe. Prcp e přehledě zobraze a obr. 4 v ěola rocích. 8

83 6.Zobrazeí výsledů spetrálí aalýzy Mappováí ampltudy mv 3.5 Čísla zaměíme barvou a) b) µ V. terace. terace Topograpfcá mapa Počítáme průměrou hodotu ze 4 sousedích eletrod c) do další terace zahreme ově vypočítaé body... zísáme ta celou topografcou mapu Obr.4: Prcp mapováí ampltudy POSTUP. V multaálovém zázamu zvolíme určtý časový oamţ, apř. ursorem obr. 4 a),. aměřeým číselým hodotám ampltudy sgálu přřadíme barvu ze zvoleé časové šály (rozděleé apřílad a 6 barevých subtervalů) obr. 4 b), 3. V ěola teračích rocích postupě terpolueme ovou hodotu apřílad ao průměr ze čtyř sousedích eletrod obr. 4 c). Iterpolac opět opaueme včetě zahrutí ově vypočítaých hodot a ta postupě zobrazeí zemňueme, aţ poryeme barevě celou plochu 4. Zísáme ta barevě zaódovaou formac o hodotách EEG ampltudy pro daý časový oamţ ve tvaru mapy prostorového rozloţeí příslušé číselé hodoty. 83

84 6.Zobrazeí výsledů spetrálí aalýzy Obr. 43: Přílad mapováí ampltudy v prostředí Matlab v tabulce sou zobrazey odečteé hodoty ampltud z EEG zázamu eterovaé hodoty sou barevě podbarvey. Vpravo e zobrazea ampltudová mapa číselých hodot z tabuly a obr. 43, e uvede přílad ampltudové mapy sgálu ALBA. Lze zobrazt růzé mapy pro růzé polohy ursoru, ebo taé echat proíţdět ursor po sgálu automatcy a sledovat dyamu změ v ampltudě apřílad př průchodech epleptcým hrotem a saţt se vysledovat zdro záchvatů (tzv. cartoog, rychlá amace map ao v resleém flmu) vz obr 44. Ampltudový BM provádí pouze trasformac z dvodmezoálího do dvodmezoálího prostoru; epřáší tedy ovou formac, pouze ázorě zobrazue 84

85 6.Zobrazeí výsledů spetrálí aalýzy Obr. 44: Uáza ampltudového bra mappgu z programu Wave Fder - zázorěy sou ampltudové mapy mez urzory Topografcé mapováí frevece Postup pro určeí frevečího BM (mapováí) e a obr. 45. Vychází se ze steých prcpů, ao př mapováí ampltudy. Jedý rozdíl e v tom, ţe yí ebereme hodoty pouze v edom průřezu, ale v časovém tervalu, terý e pro všechy aály steý. V daém časovém tervalu vypočteme pro aţdý aál výoové spetrum. Vyeseím ampltud speter pro daou frevec ve všech aálech zísáme hodoty, teré sou zobrazey v barevé šále. Postupou terací (ao u ampltudového BM) e zísáa síť bodů, teré sou uvedey v tabulce vz obr. 46 (eterovaé hodoty ampltud výoových speter sou opět barevě vyzačey 85

86 6.Zobrazeí výsledů spetrálí aalýzy Mapováí spetrálí výoové hustoty frequecy spectrum V /Hz Zvol časový terval a Vypočíte spetrálí výoovou hustotu Hodoty výoového spetra pro hodotu frevece f = Hz Hz poraču ao u ampltudového mapováí c) f = Hz 0 V /H z Obr. 45: Prcp frevečího mapováí Př frevečím rozboru tedy emapueme přímo orgálí EEG sgál, ale výo (ampltudu) frevečích řve, teré sou ze zázamu vypočítáy pro určtou frevec. Obr. 46: Přílad frevečího mapováí v prostředí Matlab v tabulce sou zobrazey odečteé hodoty ampltud z PSD(f) zázamu EEG eterovaé hodoty sou barevě podbarvey. Vpravo e zobrazea frevečí mapa pro číselé hodo-ty z tabuly hodoty sou uvedey pro f = 7 Hz Zobrazt můţeme taé čtyř mapy uazuící PSD(f) a povrchu hlavy pro edotlvá frevečí pásma pro steý časový terval ao v obr. 44., - vz obr. 47. Musíme s vša být vědom zedodušeí, terého se tímto dopouštíme. 86

87 6.Zobrazeí výsledů spetrálí aalýzy Obr. 44: Uáza ampltudového bra mappgu z programu Wave Fder - zázorěy sou ampltudové mapy mez urzory Obr. 47: Přílad mapováí frevece pro čtyř spetrálí pásma Přílad detalího mapováí frevecí e uázá a obr. 48a) pro steý časový terval ao v obr. 44. V obrázu sou zobrazey spetrálí řvy pro edotlvé aály. Spetrálí pásma sou zde vyzačea růzým barvam. a obr. 48b) pa sou vyzačey frevečí mapy pro edotlvé frevece. a) b) Obr.48: a) Frevečí řvy v edotlvých aálech b) Přesěší mapováí edotlvých frevecí. 87

88 logtudálí oherece 6.Zobrazeí výsledů spetrálí aalýzy Topografcé mapováí oherece Mapováí oherece se pouţívá pro sledováí terhemsferálích vztahů (symetre a sychroe) [30]. Výslede ve formě map přáší ové formace o symetr mez aály případé esymetr ve spetru. Tím usadí léařovo rozhodutí. Koherece měří míru leárí závslost mez dvěm aály pro aţdou frevec. Mezeletrodová oherece se určí z hodot ormalzovaého říţového spetra mez dvěm aály (Kaptola Koherečí fuce: vztah 5.5 popř. 5.5). Můţe být buďto terhemsferálí ebo loálí (Rappelsberger 993). Iterhemsferálí oherece e určováa v systému 0/0 v laterálích řadách vzhledem referečí eletrodě, terá e buď FPZ, PZ, CZ, FZ ebo OZ (eletroda FPZ e zísáa ao: FPZ = (FP+FP)/, steě eletroda 0Z: 0Z = (0+0)/. Prcp terhemsferálí oherece e a obr. 49. Úolem metody e odhalt sryté závslost (asymetre ve spetru) evýhodou terhemsferálí oherece e, ţe se ědy uáţe symetre, terá tam ve sutečost eí. Tato evýhoda e odstraěa u loálí oherece. Prcp loálí oherece e a obr. 50. Koherece e vţdy počítáa mez dvěm eletrodam a) edříve ve svslém směru (logtudálí oherece) b) pa příčě (trasversálí oherece) Obr. 49: Prcp vazeb mez aály pouţtých př výpočtu oherečí mapy (terhemsferálí oherece Obr. 50: Loálí oherece 88 traversálí oherece

89 6.Zobrazeí výsledů spetrálí aalýzy a výsledé hodoty se umístí doprostřed mez eletrody. Výhoda loálí oherece spočívá v tom, ţe se počítá vţdy ze sousedích hodot a tím se zvýší ctlvost metody. Obr. 5: Přílad oherečího mapováí v prostředí Matlab v tabulce sou zobrazey odečteé hodoty oherece COH(f) ze zázamu EEG eterovaé hodoty sou barevě podbarvey. Vpravo e zobrazea oherečí mapa pro číselé hodoty z tabuly hodoty sou uvedey pro f = 7 Hz Přílad detalího mapováí oherece e uázá a obr. 5 pro steý časový terval ao v obr. 44. V. a obr 5 a) e uáza loálí oherece, a obr. 5 b) pa terhemsferálí oherece a a obr. 5c) e opět souhr terhemsferálích map pro edotlvé frevece. 89

90 6.Zobrazeí výsledů spetrálí aalýzy a) b) c) Obr 5: a) Loálí oherece b) Iterhemsferálí oherece c) souhr terhemsferálích map pro edotlvé frevece Topografcé mapováí fáze Podobě lze mapovat taé fázové spetrum (aptola 5.4. vztah (5.43) vz obr. 36). Vychází se ze steých prcpů, ao př frevečím mapováí. Ve zvoleém časovém tervalu, terý e pro všechy aály steý, vypočteme pro aţdý aál fázové spetrum. Vyeseím hodoty fáze pro daou frevec ve všech aálech, zísáme hodoty, teré sou zobrazey v barevé šále. Postupou terací (ao u ampltudového BM) e zísáa síť bodů 90

91 6.Zobrazeí výsledů spetrálí aalýzy Topografcé mapováí časového zpožděí Měřeí velm malých časových rozdílů mez edotlvým aály (vz ap. 5) e obtíţý úol a vzuálí odhad velm malých posuů v zápsu edotlvých aálů e emoţý. Gotma [8] se př svých pousech a zvířatech saţl loalzovat místo vzu epleptcého záchvatu s pouţtím peclového modelu (epleptcé záchvaty vyvolával peclovou ecí přímo do staoveého místa mozu). Vypracoval postup měřeí časových zpoţděí mez edotlvým aály. Vycházel z předpoladu, ţe poud exstue epleptcé ohso, pa vzruchu, terý se z ěho šíří, bude trvat delší dobu, eţ se dostae e vzdáleěšímu místu (eletrodě) a povrchu leby. K eletrodám eblţším (vůč loţsu) pa vzruch emá ta velou vzdáleost a časový rozdíl e úměrě meší ( poud vezmeme do úvahy ehomogety táě). Pops metody Př měřeí malých časových rozdílů Δt mez dvěm EEG sgály (aály) x() a y() vycházíme ze spetrálí aalýzy sgálu. Pro odhad spetra e pouţt běţý algortmus FFT [5], [6], [4], [5], [6], [7], [8]. Z důvodů stacoarty e př výpočtech omeze oečý terval pozorováí T a sgál byl perodcy rozšíře. Díy tomu můţe být př prohlíţeí sgálu zvole lbovolý datový úse (část EEG) a v ěm určeo oamţté spetrum, spetrálí výoová hustota ebo uděláa orelačí aalýza. Postup aalýzy a) Prvím roem aalýzy e rozděleí eletrod a levou a pravou hemsféru. Za referečí eletrody sou povaţováy eletrody FPZ, FZ, CZ, PZ a OZ (FPZ = /(FP+FP), OZ = /(0+0)). b) Aby byl vylouče vlv růzého zesíleí dvou testovaých sgálů a potvrzea přítomost epleptcých událostí apř. hrot vla (,8 4,5 Hz) ebo ostré hroty (déla trváí 0 80 ms) e vypočteo říţové spetrum (5.4). Kříţová spetra v edotlvých laterálích řadách sou počítáa vzhledem příslušým referečím eletrodám. c) Pomocí říţového spetra určíme fázové spetrum (5.43) a oherec (5.5). d) Z fázové charatersty určíme pomocí regresí přímy (5.) fázový slo. Podle vztahu (5.4) e taé vypočte stupeň spolehlvost regresího odhadu r xy. Fázový slo e počítá e tam, de sou alespoň čtyř body zštěé fázové charatersty shodé s regresí přímou (frevečí rozlšeí e 0,5 Hz mmálí rozsah Hz). Další podmíou pro výpočet fázového slou e dostatečá oherece, t. blízá. Jsou uvaţováy pouze ty hodoty frevece, teré sou přítomé v obou aálech a ech oherece e větší ež 0,7 (míra oherece e dost důleţté vodíto př rozhodováí). Za oblast epleptcého ohsa e povaţováa hodota s evětší ladou hodotou zpoţděí Δt. e) V dalším rou e uděláa trasformace evětší ladá hodota e posuuta do uly (COH xy =, Δυ = 0, Δt = 0) a zovu e provede výpočet roů b) až d) vzhledem této eletrodě. Všechy ostatí eletrody by měly být oprot této eletrodě zpoţděy (záporé hodoty). Časové zpoţděí Δt dvou sgálů e určeo z fázového zpoţděí Δυ (vz ap. 5 vztah 5.56). Časové zpoţděí mez edotlvým aály lze opět zobrazt pomocí topografcé mapy vz obr 53. Prcp mapováí časového zpoţděí e zobraze a obr

92 6.Zobrazeí výsledů spetrálí aalýzy G xy(f) COH xy(f) υ xy(f) Obr. 53: Přílad mapováí časového zpoţděí v prostředí Matlab vlevo e zobrazeo říţové spetru - G xy (f), oherece COH xy (f) a fázové spetrum υ xy (f). Mapováí časového zpožděí [ ] Δ t f (Hz) Vybereme časový terval a vypočteme řížové spetrum, fáz. oherec a časové zpožděí, dále určíme regresí řvu Čísla zaměíme barvou poraču ao u ampltudového mapováí c) Obr. 54: Mapováí časového zpoţděí CD-ROM Otevř soubor BM_ampltud, spusť amac prezetace Otevř soubor BM_fre, spusť amac prezetace _0 Otevř soubor CSA_BM, spusť s amac prezetace 7 9

93 6.Zobrazeí výsledů spetrálí aalýzy Otázy 6. Jaý e prcp metody CSA?. Zísáme ovou formac př pouţtí metody CSA? 3. Zísáme ovou formac př pouţtí metody topografcého mapováí? Korespodečí úol V programu Matlab vytvořte program pro ačteí alespoň edoho aálu EEG, vypočtěte eho spetrálí výoovou hustotu. Výsledy zobrazte metodou a) CSA b) topografcým mapováím frevece Text prostudováí [] Mohylová, J, Krača,V.: Zpracováí sgálu v léařství. Eletrocé srptum Ţla, Sloveso, ISB , 005 Další zdroe, použtá lteratura [] Proas, J.G., Maolas, D.G.: Itroducto to Dgtal Sgal Processg. Macmlla Publshg Compay, ew Yor, 988 (ISB X)]]) [3] Mtra, S.K., Kaser, J.F.: Dgtal sgal Processg. Joh Wley Sos, Ig., ew Yor, 993 (ISB ) [4] Uhlíř, J., Sova, P.: Číslcové zpracováí sgálů. Vydavatelství ČVUT, Praha 995, (ISB ) [5] Ja, J.: Číslcová fltrace, aalýza a restaurace sgálů. VUT Bro, 997, (ISB ) [6] Kay, S.M., Marple, S.L.: Spectrum Aalyss A Moder Perspectve, Proc. IEEE, vol. 69, 98, pp [7] Cooley, J.W., Tuey, J.W. A algorthm for the mache computato of Complex Fourer Seres, Math.Comp. vol.9, 965, pp [8] Gotma, J.: Measuremet of small tme dffereces betwee EEG chaels: Method ad applcato to epleptc sezure propagato, Electroeceph. Cl. europhysol., 56, 983, pp [9] Bcford R.G., et al., Aplcato of compressed spectral array clcal EEG, Automato of Clcal Electroecephalography, P.Kellaway, ad I. Peterse, Eds., ew Yor,Ravem, 973,pp [0] Dumermuth G., Fudametals of spectral aalyss electroecepha-lography, I: A. Rémod (Ed.),. EEG Iformatcs : A Ddactc Revew of Methods ad Applcatos of EEG data Pro-cessg. Elsever, Amsterdam,977, pp [] MATLAB, The Laguage of Techcal Computg, Verso 6, The Math Wors, Ic., 000 Referece 93

94 7. Metody umělé telgece 7. METODY UMĚLÉ ITELIGECE Čas e studu: x hody Cíl Po prostudováí tohoto odstavce budete umět záladí pomy umělé telgece určt středy edotlvých tříd aplovat shluovou aalýzu a bologcé sgály lasfovat bologcé sgály Pomy zapamatováí 7 Strutura dat, shluová aalýza, metoda -meas středů, třída, těţště, optmum, Euldova vzdáleost, příza, obraz, lasfátor, učící se lasfátor, - lasfátor. Výlad Umělá telgece (artfcal tellgece, AI - [54]) e metoda, eímţ cílem e vývo modelů a algortmů, teré od stroů poţaduí řešt úlohy, teré by vyřešl e člově se zalostm. Systémy, teré sou povaţovaé za systémy umělé telgece vz obr. 43, musí splňovat poţadavy: uloţt zalost (owledge represetato) aplovat zalost řešeí problému uvaţováí (reasog) během expermetu zísat ové zalost učeí (learg) vědomost učeí uvaţováí Obr. 55: Hlaví ompoety všeobecého systému umělé telgece Systémy umělé telgece (AI) můţeme rozdělt do dvou záladích ategorí a) Symbolcá AI zde řadíme expertí systémy, logcé systémy b) Výpočetí AI euroové sítě, evolučí algortmy, fuzzy loga atd. Mez metody učeí umělá telgece řadíme: tvorba rozhodovacích stromů tvorba rozhodovacích pravdel tvorba asocačích pravdel euroové sítě geetcé algortmy 94

95 7. Metody umělé telgece bayesovsé sítě učeí zaloţeé a aalog dutví logcé programováí V ašem urzu se budeme zabývat algortmy euroových sítí. Umělé euroové sítě ( eural etwors) můţeme vyuţít př řešeí úloh v oblast: predce lasface do tříd, lasface stuací (rozpozáváí) asocace, smulace pamět optmalzace fltrace řízeí procesu a další Predce zameá předpovídáí výstupí hodoty velčy a záladě eího průběhu v mulost. Př predc de o to, abychom v průběhu ěaé zámé číselé řady, eíţ hodoty se měí v závslost a ezávsle proměém parametru sledovaého evu alezl co epravděpodoběší průběh ezávslé proměé. Rozpozáváí e rozhodováí a záladě vstupího vetoru o tom, do teré ategore předmět, popsaý daým vetorem, zařadt. ědy se místo rozpozáváí mluví o lasfac. Asocace e podobá lasfac. Umělá euroová síť se učí a bezchybých datech a lasfue data pošozeá. 7.. Záladí pomy teore učeí Učeí e záladí a podstatou vlastostí umělé telgece. Tato vlastost odlšue od doposud zámého pouţíváí počítačů zde vytváříme algortmus, podle terého probíhá výpočet. U těchto algortmů eexstuí fáze učeí. U euroových sítí má avrţeý algortmus dvě fáze adaptví a atví. V adaptví fáz se síť učí, v atví vyoává aučeou čost. Vhodost tohoto algortmu defue valtu a rychlost učeí a předládaých reprezetatvích datech. Schématcé rozděleí záladích modelů a algortmů tohoto procesu e uvedeo a obr. 44. Adale lascá umělá euroová síť perceptroovsého typu s bárím výoým prvy. Jech váhy sou astavtelé a učeí probíhá tzv. delta pravdlem. Adaptace schopost uměle euroové sítě samoorgazac. Realzue se obvyle změam vah během učeí. Atvta eurou stav edé buňy. Je fuc váţeého součtu eho vstupů, prahu a dosavadí atvty. Počítá se z í hodota eho výstupu. Ve steém výzamu se pouţívá poem vtří potecál eurou. Asocatví uče metoda učeí umělé euroové sítě. Vstupí vetor sítě e v tomto případě eím vetorem výstupím. euroová síť se učí tím, ţe asocue vstupí vetor se sebou samým. Archtetura strutura sítě výoých prvů, ech vzáemé propoeí. ART Adaptví rezoačí teore. Umělá euroová síť vyvutá S. Grossbergem. Má zpěto-vazebí charater. To zameá, ţe mez vstupy euroů ve vrstvě sou výstupy z téţe vrstvy. Teto typ euroové sítě byl vyvíe podle bologcého vzoru a díy specálí archtetuře má zaímavé vlastost. Patří mez ě zeméa fat, ţe edou aučeé vzory uţ zůstávaí během uče dalších stablí, síť se edoučue. 95

96 7. Metody umělé telgece Axo výstup eurou. Je mohutě rozvětveý a prostředctvím syapsí vysílá sgály do ých euroů. Bac-propagato (zpěté šířeí) učící algortmus vícevrstvých dopředých (ereuretích) euroových sítí. Př ěm se chyba výstupí vrstvy zpětě přepočítává do předchozích vrstev (zpětě se šíří) a podle eí hodoty se upravuí edotlvé váhy. Bázový prve ede z prvů umělé euroové sítě, terý e stále atví. Jeho výstup se přvádí (vyásobeý příslušou vahou) do všech ostatích výoých prvů ao ech práh. Bárí euro výoý prve, ehoţ výstup abývá právě edé ze dvou růzých hodot (atví, eatví). Cílový vetor ţádaý výstupí vetor patřící ěaému vetoru vstupímu. Teto vetor musí být př učeí s učtelem zám. Delta pravdlo pravdlo pro učeí s učtelem, u terého se změou vah dosahue stale se zmešuícího rozdílu mez ţádaou a sutečě dosaţeou hodotou výstupu. Dopředá (ereuretí) síť moderí vícevrstvá a částečě samoorga-zuící se síť. Samostatě lasfue vstupí vetory ta, ţe m přřazue odpovídaící výstupí hodoty. Je v í edozačě defová formačí to. V taové sít eexstuí spoe mez euroy z vyšších vrstev zpět do vrstev ţších, dooce a spoeí mez euroy v téţe vrstvě. Dyama pravdlo, a ehoţ záladě edotlvé výoé prvy euroové sítě měí svů stav. Patří m vstupí fuce, atvačí (výstupí) fuce euroů, aoţ předps pro posloupost výpočtů edotlvých výstupů. Exctace e taové působeí atvího eurou, ţe př ěm v přpoeých euroech dochází růstu ech vtřího potecálu. Eergetcá fuce eerge e mírou aučeost, tedy odchyly mez sutečým a poţadovaým hodotam výstupů euroové sítě pro daou tréovací moţu. Geetcé algortmy sou sprováy přrozeým chováím přírody, v íţ probíhá evolučí vývo. Algortmy sou zaloţey a prác s velým moţstvím edců (vyvíeých systémů), a tzv. populacích. ové geerace se eustále vytvářeí říţeím a mutací exstuících edců. Pro zařazeí ově vzlého systému do ové geerace a pro výběr edců vhodých pro říţeí e brá zřetel a určté výběrové hledso. Podle ě dochází určtému zvaltňováí populace. Hammgova síť optmálí mmálí! lasfátor. Hebbovsé učící pravdlo původí učící předps pro učeí bez učtele. Je aalog průběhu učeí v ldsém ervovém systému. Přeeseo do umělých euroových sítí říá, ţe častěší pouţíváí toho-terého spoe poslue eho hodotu váhy. K této záladí formulac exstue moho varat.. Heteroasocatví učeí e učeí s učtelem. Vstupí vetor euroové sítě se v tomto případě od ţádaého výstupu lší. Pro učeí musí být ţádaý výstupí vetor dspozc. Hopfeldova síť zpětovazebí symetrcá euroová síť s bárím euroy. Pouţívá se zeméa detfac zašuměých vstupích vzorů. Ihbce e opaem exctace. Buňa má hbčí chovaí e-l v atvm stavu a sţue-l vtří potecál v euroech, teré sou s í spoey. Kohoeova síť samoorgazucí se síť, t. epotřebue tréovaí učtele. Kompetce (soutěžeí) stuace, dy s ěol euroů vzáemě ourue. Ve fáz učeí se u vítězého eurou zvýší hodoty vah a u eho ouretů se aopa váhy síţí. Ve vybavovací fáz se atvta vítěze zvýš o příspěvy eho soupeřů. 96

97 7. Metody umělé telgece Kompetčí učeí učící pravdlo, ve. terém s výoé prvy př předládá vstupích vzorů vzáemě ouru. Váhy se pa mohou mět pouze u vítězého eurou. Leárí asocátor e edoduchá leárě pracuící síť, eíţ matc vah vypočítáváme podle Hebbovsého pravdla učeí. Představue eedodušší formu děleé asocatví pamět. Madale e o edu vrstvu rozšířea síť Adale. Má zvláští metodu učeí, protoţe a rozdíl od Adale obsahue edu srytou vrstvu. euro buňa ervového systému. euro e aatomcy fučě záladím stavebím ameem ervového systému a poslouţl ao vzor pro výoý prve v umělých euroových sítích. euroová síť počítačová archtetura podobá mozu. Prot lascým počítačům má celou řadu výhod: e odolá prot chybám, má schopost učt se, dovede abstrahovat geeralzovat. Obousměrá asocatví paměť dvouvrstvá síť s bárím výoým prvy a symetrcým propoeím. Je zobecěím Hopfeldovy sítě. Díy zpětovazebímu propoeí se mez vrstvam dosahue rezoace a síť po sté době dosáhe stablího stavu. Perceptro edoduchá dopředá síť bez srytých vrstev. Tz., ţe e edu vrstvu této sítě lze učt. Klascou hrac schopost perceptrou e XOR-problém. Práh hodota, terou musí součet všech váţeých vstupů eurou přeročt, aby se stal atvím. Problém obchodího cestuícího ombatorcá úloha, ve teré se hledá eratší cesta předem zámým počtem míst. S tímto problémem se setáváme v řadě erůzěších oborů. Přeučováí učící proces, ve terém se maţe stý počet vah. V otrastu ormálímu učeí uţ př přeučováí síť stý obem vědomost obsahovala. Rozpozáváí vzorů, obrazů rozpozáváí aučeých vzorů v zašuměých vstupích datech. Vstupí výstupí data se obvyle prezetuí vetorovou formou. Rozpozáváí zaů terpretace vzuálích symbolů. Rozpozáváí číslc, alfabetcých zaů ebo ých, třeba ručě psaých, symbolů. Jde sce o lascý, ale velm sloţtý problém. Samoorgazace schopost euroové sítě učeím přzpůsobt své chováí vyřešeí daého problému. Shlu sládá se z podobých obetů tříd. Schopost asocace vlastost euroové sítě odhalt podobost mez aučeým vzory a vstupím daty. Sumačí fuce část výoého prvu, terá sčítá váţeé vstupí sgály. Syapse místo styu mez dvěma euroovým buňam v orgasmu. Během učeí se eho parametry měí. Učeí přzpůsobovaí ebo adaptace euroové sítě daým poţadavům. Váhy a spoích mez edotlvým výoým prvy sítě se měí podle ěaého učícího algortmu. Učeí bez učtele př tomto způsobu učeí emá systém ţádou podporu z věšu. Celé učeí e zaloţeo pouze a formacích, teré samotá síť zísala během celého procesu učeí. Učeí s učtelem učeí, př terém se euroová síť' tréue z věšu. "Učtel" zadává vstupí výstupí vetor dat, vyhodocue výslede a provádí změy. 97

98 7. Metody umělé telgece Učící fáze časový terval, během terého se podle ěaého učícího algortmu měí parametry sítě a tyto se do sítě ahrávaí. Učící ro reálé číslo mez 0 a, teré udává, a slě se edotlvý učící ro ve změě vah proeví. K tomu, aby se aučey vzor zrušl, lze pouţít egatví hodoty tohoto parametru. Učící pravdlo (algortmus) předps, terý udává, a se budou sít předládat vzory uče a a se budou vypočítávat změy vah. Váha hodotou vyádřea míra vazby mez dvěma spoeým výoým prvy. Jeím prostředctvím se v sít předávaí formace. Paměť sítě představuí pravě tyto váhy, resp. Jech velost. Vážeý vstup souč výstupího sgálu ého eurou a váhy tohoto spoe. Teto příspěve vstupue do součtu se všem ostatím váţeým vstupy orétího eurou a vytváří s m eho ový vtří potecál. Vrstva záladí ompoeta archtetury euroové sítě. Vrstvu tvoří stý počet steých buě maících v síťové strutuře detcou fuc. Vybavovací fáze časový terval, ve terém euroová síť a záladě předchozího aučeí geerue výstupí data ao odezvu a data vstupí. Vybavováí můţe mít edu ze dvou varat obr. 57: a) autoasocatví vstup a výstup systému e steý. Vyuţtí autoasocace e dyţ vstupí vetor eí ompletí vz obr 57 c). b) heteroasocatví Výoý prve (euro) záladí procesorový prve euroové sítě. V ldsém mozu mu odpovídá eda euroová buňa. Výstupí fuce (přeosová fuce) část výoého prvu zašťuící výstup vtřího potecálu (atvty) a další euroy. ědy e vtří potecál a výstup eurou detcý. Zobecňováí schopost euroové sítě a záladě aučeých vzorů odpovědět a vzor, terý ebyl součástí učící moţy. Zpětá vazba zvláští propoeí výoých prvů podobé apř. ruhu, dy se formačí to zovu vrací e svému výchozímu bodu. Zpětovazebí síť síť, ve teré elze edozačě defovat směr formačího tou. Jedotlvé vrstvy zde emaí edozačě defovaou herarch. Síť obsahue zpěté vazby mez buňam ebo supam buě. Příza velča popsuící edu vlastost zoumaého obetu; obet můţe být charaterzovaý více přízay. Obyčeě se příza vyadřue číselou hodotou pomocí reálých, celých ebo bárích čísel Přílad pops obetu, terý e předmětem ašeho zámu, pomocí číselých hodot přílad e vlastě -rozměrý vetor, de vyadřue počet přízaů daého obetu Příladový prostor Y e moţa příladů Reprezetatví vzore s prve moţy Y x {0, } m, de m e počet příladů ve vzoru. Tz., ţe reprezetatví vzore představue moţu uspořádaých dvoc s ( y, d, y, d,, y, d m m. d 0, představuí adevátí výstupy edotlvým vstupům. V prax výstupy d emusí být bárí hodoty. Reprezetatví vzore posytue emprcé údae chováí systému, terý ezáme. Pomocí pozáí vstupů a výstupů systému se saţíme pozat chováí systému Reprezetatví vzore e esporý, dyţ ţádé dva přílady ve vzoru esou sporé, t. dyţ y = y d = d. Reprezetatví vzore dělíme do dvou záladích sup: 98

99 7. Metody umělé telgece a) tréovací vzore e to moţa uspořádaých hodot, terá se pouţívá ve fáz učeí. Jestlţe eí tato moţa vhodě vybraá ebude učeí valtí. Tyto data by měla popsovat omplexí chováí systému b) testovací vzore e to moţa uspořádaých hodot, terá se pouţívá v atví fáz otestováí zísaých zalostí během učeí. Abychom mohl rozhodout zda testovaý vzor patří do daé třídy, potřebueme zstt vzdáleost mez vzorem a třídam. Měřeí této vzdáleost umoţňue zstt míru podobost vzorů. Obr. 56: Záladí modely a algortmy učeí Obr. 57: Autoasocatví a heteroasocatví euroová síť 99

100 7. Metody umělé telgece Podobost dvou obetů x, x X e ezáporá reálá fuce s: X x X R +, pro terou platí (ozačme s( x, x ) s ) s, de, s s 0 (7.) s s Taţe pro eméě podobé obety platí s 0 a pro evíce podobé platí s. x matc s budeme azývat matce podobost. Duálím pomem podobost e vzdáleost, terá e defovaá: Vzdáleost dvou obetů x, x X e ezáporá reálá fuce s: X x X R +, pro terou d x, x d platí (ozačme d, de, d d 0 (7.) d 0 x matce d se azývá matce vzdáleost. Platí-l troúhelíová erovost, d d d edá se o metru. euţívaěší sou: Hammgova vzdáleost: Máme dva bárí vetory aţdý z těchto vetorů reprezetue ede vzor: A a, a,, a, B b, b,, b Prvy těchto vetorů sou edotlvé elemety daého vzoru. Počet těchto elemetů ve vzoru e. Hammgova metra hledá rozdíly mez edotlvým elemety, celová vzdáleost e pa součet absolutích hodot těchto rozdílů: H a b (7.3) Výpočet se dá zedodušt pouţtím bárí operace XOR. Platí Euldova vzdáleost a b a XOR b (7.4) Je epouţívaěší metra.máme artézsý souřadý systém, ve terém sou vetory A, B. Vzdáleost pro dvourozměrý případ e zobrazea a obr. 58 přerušovaou (modrou) čárou. Pro lbovolou dmez prostoru platí: E A ) B( ) (, de e dmeze prostoru (7.5) 00

101 7. Metody umělé telgece Pro ázorost přílad ve dvourozměrém prostoru vz obr. 58. Vzdáleost bodů R x, y R R a S x S, y S y 6 R S x E Obr. 58: Měřeí Euldovy vzdáleost R, S x x y y , 46 Bloová vzdáleost (Mahatta) R S Je to zedodušeá verze Euldovy vzdáleost Čtvercová vzdáleost R S M A( ) B( ) (7.6) Je opět zedodušeí Euldovy vzdáleost. Za míru vzdáleost bere evětší rozdíl mez edotlvým elemety vetorů: C max A( ) B( ) (7.7) Mahalaobsova vzdáleost A( ) B( ) W A( ) B( T d ) (7.8) de A() e -tý řáde matce dat a W e výběrová ovaračí matce. Mahalaobsova vzdáleost zahrue orelac mez přízay a stadardzue aţdý příza ta, aby měl ulovou středí hodotu a edotovou varac. Další podrobost o výběru přízaů, ech stadardzac, o řešeí případu chyběících dat apod. lze aít v [], [3]. Vzdáleost mez třídam Představíme-l s obety ao body v p-rozměrém prostoru, lbovolá třída C můţe být reprezetováa těţštěm těchto bodů. Těţště představue artmetcý průměr obetů třídy. Vzdáleost tříd měříme ao vzdáleost těţšť vz obr

102 7. Metody umělé telgece Vzdáleost bodu od těžště-středu třídy Vzdáleost tříd Obr. 59: Vzdáleost mez třídam 7.. Shluová aalýza Cluster Aalyss Je přízaově oretovaá metoda učeí bez učtele (emáme ţádou aprorí formac o obetech), eţ e vyuţíváa rozpozáváí obrazů (patter recogto). K detfac zoumaých obetů pouţívá podobost (resp. epodobost vzdáleost) mez obety [], []. Data obety sou popsáy -rozměrým přízay. Shluová aalýza hledá přrozeou struturu dat vz obr. 60, a) b) Obr. 60: Přílad shluů ve dvourozměrém prostoru: a) exstue přrozeá strutura dat aplueme shluovou aalýzu b) strutura dat eexstue eaplueme shluovou aalýzu a eím úolem e roztříděí zoumaého souboru obetů do homogeích (steorodých) tříd. Coţ e velá výhoda shluové aalýzy, poud pracueme s ezámým obety lasface. evýhoda shluové aalýzy spočívá v tom, ţe eumoţňue o-le lasfac. elze totţ shluovat obety, teré teprve přdou (apř. během símáí paceta) Klasface metod shluové aalýzy podle matematcého aparátu determstcé 0

103 7. Metody umělé telgece statstcé fuzzy z hledsa zpracováí dat paralelí (všecha data v aţdém rou) sevečí (meší část souboru) podle sdíleí čleství v růzých třídách dsutví (přerývaící se, ede obet můţe patřt současě do více tříd) edsutví podle typu shluovacího rtéra metody eherarchcé metody herarchcé a záladě teore grafů optmalzuící rterálí fuc Obecý model shluové aalýzy Shluovou aalýzu e moţé defovat ao metodu lasface, dy a) Sémata problému lasface e dáa podobostm mez obety b) Obety sou popsáy měřeím (přízay) c) eí dáa a pror formace (tréovací moţa) d) Ozačeí (detface obetů) e určeo procesem shluováí Proces shluováí sestává obecě z pouţtí tří záladích fucí [3]: Fuce počátečího popsu dat Můţe být dáa: - počátečí struturou dat - míram podobost vypočteým z počátečí strutury dat - méy (ozačeím) přřazeým počátečí strutuře dat Fuce symbolcého popsu Provádí reduc (abstrac) formace potlačeí epodstatých detalů a zachováí důleţtých vlastostí. Idetfačí fuce f Z počátečí strutury dat a ze symbolcého popsu vyplývá detface ozačeí prvů růzých tříd. Všechy obety z daé moţy obetů X x,, x, x } zde zísávaí méo ω z oečé moţy me Ω prostředctvím zobrazeí f: X Ω. Tato procedura (algortmus, program) e umoţěa detfačím operátorem shluováí f. Třídy C určeé tímto operátorem se azývaí shluy a moţa C C, C,, C } tvoří rozlad (rozděleí). Platí pro ě: C X K C X K C C (7.9) C se azývá třídou rozděleí C. 03

104 7. Metody umělé telgece Počátečí pops a reprezetace dat Obet x X z populace X x, x,, x } e popsá vetorem p měřeí (přízaů). Výsledem e řada parametrů ( x, x,, xp) pro aţdý lasfovaý obet x, eţ určuí počátečí struturu dat. Moţu přízaů (pozorováí, měřeí, charatersty) pro daou populac ozačíme Y y,, y, y }, de y x, x,, x ) představuí hodoty realzací určtého steého { p ( p měřeí a všech obetech. Výsledy p měřeí a obetech lze reprezetovat matcí dat x dmeze x p obr. 6. Z hledsa terpretace výsledů hodot měřeí mohou být přízay vattatví (reálá čísla) valtatví (barva, méo emoc,..) bárí (pouze dva stavy 0,) měřeí obety y y x x x y p x p.. x x x x p x x x x p Obr. 6: Matce dat Záladí problém shluové aalýzy lze taé formulovat tato: a moţě obetů X x, x,, x ostruovat řadu homogeích tříd obetů C C, C,, C K ta, aby podobé obety áleţely steé třídě a epodobé obety patřly do růzých tříd. Stadardzace dat Protoţe se pro přízay často pouţívaí růzé fyzálí edoty, e většou utá ormalzace a stadardzace přízaů, poud epouţeme Mahalaobsovu vzdáleost. Původí data x se trasformuí a ová data x, de x x * m s (7.0) m e středí hodota -tého sloupce (přízau) pro všecha data a s e směrodatá odchyla. Můţeme taé ormalzovat maxmem ve sloupc přízaů. * 04

105 7. Metody umělé telgece Metody shluové aalýzy Metody shluové aalýzy můţeme rozdělt a: a) herarchcé metody b) eherarchcé metody a) Herarchcé metody shluové aalýzy Trasformuí matc vzdáleost do posloupost herarchcy seřazeých zahízděých rozděleí. Grafcy sou popsaé dedrogramem vz obr. 6. Tyto algortmy sou áročé a paměť (e uté uchovávat v pamět matc vzdáleost), a dobu výpočtu (zbytečě posytuí tříděí pro úrově počty tříd, teré epotřebueme, od třídy s obety aţ po tříd s obetem) a byly ţ přeoáy moderěším postupy, apřílad eherarchcým metodam. Shluy ( x ),( x ),( x3),( x4 ),( x5 ) x x x3 x4 x5 ( x, x ),( x3),( x4 ),( x5 ) ( x, x ),( x3, x4 ),( x5) ( x, x, x3, x4 ),( x5 ) ( x, x, x3, x4, x5 ) b) eherarchcé metody shluové aalýzy. Metoda -středů (-meas) Tyto metody hledaící teratví optmálí rozděleí dat, teré mmalzuí určtou rterálí fuc. Mez ezáměší lascé postupy patří růzé varaty metod -středů []. Prcp:. Začeme s počátečím rozděleím (rozladem) obetů do K shluů. Počátečí rozděleí lze zísat apřílad tato: - vezmeme prvích K obetů ao shluy s edím čleem (těţště třídy) - vezmeme áhodě K obetů, apod - áhodě vybereme středy tříd prototypy (mohou být přímo data). Vypočteme vzdáleost všech obetů od aţdého středu 3. Obet přřadíme (lasfueme) do té třídy, eímuţ středu má eblíţe (tím se změí těţště ových tříd). 4. Přepočteme těţště změěých tříd. Obr. 6: Přílad dedrogramu 5. Opaueme ro do overgece, tedy doud celý cylus přes všecha data ezazameá ţádou změu čleů tříd. 05

106 7. Metody umělé telgece Jao fuc vzdáleost uţeme apřílad obyčeou Euldovsou metru. Schématcy e prcp - meas středů zázorěo a obr áhodě zvoleé středy tříd. Zařazeí obetů do třídy s eblţším těţštěm 3. Přepočteí ového těţště třídy ové přřazeí obetů ovému těţšt a opětové přepočteí těţště Formálě lze obecý tvar tohoto algortmu zapsat tato: X x,, } C e lbovolé rozděleí moţy obetů, x x do (0) (0) C C 0) (,..., C (0) K tříd. C ( ) ( C ( ) ) (, ) ( C C ),..., C, = 0,,,, K rozděleí K C ( ), K Defume reuretě postup od rozděleí C ( ), C Obr. 63: Prcp shluové aalýzy ( ),..., C ( ) ( ) ( ) x X : x xc m x xc,,,..,k, de xc ( ) K ta, ţe platí těţště třídy ozačue Postup opaueme do overgece, tedy apřílad doud se epřestae mět čleství obetů v edotlvých shlucích () C 06

107 7. Metody umělé telgece Varace metody: MacQueeova metoda (pouţívá e průchody prví přřazovací, druhý deftví) Forgy ao předchozí, ale postupueme aţ do overgece ISODATA během výpočtu se můţe mět počet tříd metoda dyamcých shluů umoţňue staovt typcé představtele třídy fuzzy -meas algortmus vz íţe Počet tříd cluster valdty Př lasfac do tříd, potřebueme taé staovt optmálí počet tříd. Optmálí počet tříd můţeme aít: - výpočtem pro růzý počet tříd (, 3, 4, ) - hledáím mma tříd pomocí rtéra. Taovým rtérem můţe být apřílad poměr meztřídího rozptylu a vtrotřídího rozptylu. Matce vtrotřídího rozptylu Matce vtrotřídího rozptylu (wth group scatter matrx) W představue součet rozptylů edotlvých tříd K W W (7.) de rozptyl pro třídu C s obety x () a středem x C e ( ) W x x (7.) C Vtrotřídí rozptyl e zázorě a obr. 64. Matce meztřídího rozptylu Matce meztřídího rozptylu B (betwee group scatter matrx) představue rozptyl všech průměrů edotlvých tříd C vzhledem celovému průměru všech dat X : K ( ) Obr. 64: Zázorěí vtrotřídího rozptylu B x x (7.3) Grafcy e tato matce uázáa a obr

108 7. Metody umělé telgece C C X () x C Obr. 65: Zázorěí meztřídího rozptylu Mez moţá rtera patří pseudo F-statsta [4], de optmálí počet tříd e staove maxmem fuce tr( B)( ) PFS (7.4) tr( W )( ) pro rozděleí obetů do tříd pro =, 3, Krtéra bývaí ědy mootóí, v tom případě e uté hledat áhlý poles, soy ve fuc.. Teore fuzzy mož a shluová aalýza Klascá teore moţ e přílš zedodušuící, eboť podle této teore prve můţe abývat pouze dvou hodot 0 prve epatří do moţy (třídy), prve patří do moţy (třídy). Taová to lasface eumoţňue sdíleí čleství edoho obetu v růzých třídách. Mohou astat problémy s hybrdím obety, teré lze přřadt do růzých tříd s růzým stupěm příslušeství. Toto umoţňue teore fuzzy (ezřetelých) moţ, eboť podle této teore prve patřící do fuzzy moţy můţe abývat hodot z tervalu 0,, taţe fuzzy moţy dovoluí víceásobé sdíleí obetu ve více třídách s růzým stupěm čleství. Vyuţtí fuzzy -meas algortmus e další varatou metody -středů [58]. a záladě teore fuzzy moţ e zaloţea fuzzy varata lascého -meas algortmu. echť X x, x,, x }, e moţa obetů. Klascá moţa (třída) A můţe být popsáa charaterstcou fucí : X 0, moţě {0,} (patří/epatří). A, terá abývá fučích hodot pouze v dvou-prvové Pro třídu tedy platí: x A Ax (7.5) 0 x A aprot tomu teore fuzzy moţ, terá přpouští proměý stupeň čleství v celém tervalu 0, a charaterstcá fuce abývá reálých hodot : A : X 0, (7.6) Fuzzy čleství obetu ve třídě pa ozačíme A x u a tvoří prvy matce čleství U. Klascý K-rozlad zoumaého vetorového prostoru dat V K ( obetů, K tříd) do avzáem dsutích tříd e defová ao 08

109 7. Metody umělé telgece M K U VK : u 0,,, ; u, ; u K : 0, (7.7) Fuzzy rozlad M fk zoumaého vetorového prostoru dat V K ( obetů, K tříd) e pa defová ao K M fk U VK : u 0,,, ; u, ; u : 0, (7.8) a prvy tohoto prostoru mohou a rozdíl od lascého rozladu sdílet čleství v ěola třídách. Fuzzy -meas algortmy (FCM) vyplývaí z mmalzace fucoálu (rterálí fuce) J m : M fk xr K R K m d, m 0, Jm ( U, v) ( u ) (7.9) K p de U M fkv v, v,..., vk R a v R sou terpretováy ao středy fuzzy shluů (popsáy p přízay) a d x v e vzdáleost -tého prvu shluu od přslušého středu v, m e váhový expoet určuící stupeň ezřetelost. FCM algortmus:. Zade: počet shluů K, P vyber metru a R, zade váhu (stupeň ezřetelost ) m. 0 Icalzu počátečí rozlad U, zvol rozlšovací úroveň pro rtérum overgece L. Pro roy algortmu = 0,,. Vypočt fuzzy středy shluů v ( u ) m ( u ) x m v,,, K podle vztahu () 3. Urč ový rozlad U podle u, (/ m) K d d 4. Porove U a U pomocí vhodé matcové ormy (apřílad max). Jestlţe: max u u., STOP Ja d a ro Přepš U U a d opět a ro. L (7.0) (7.) 09

110 7. Metody umělé telgece ástroem pro terpretac fuzzy moţ sou -ádra fuzzy moţ. Jedá se o lascé moţy, pro teré platí [5] C u, x X : u ( x) (7.) -ádra lze e vyuţít pro vyčštěí shluů zvýšeí ech homogety Učící se lasfátory Učící se lasfátory umoţňuí o-le lasfac to e ech velá výhoda. aopa ech edostatem e utost předem specfovat tréovací moţu a lasfátor a í aučt rozpozávat přcházeící obrazy (obety lasface). Fáze učeí e buď provedea expertem ebo automatcy pomocí shluové aalýzy. ový ezámý obet, ezařazeý do moţy prototypů ve tréovací moţě, bude mít problém se zařazeím. Učící se lasfátory mohou být zaloţey a teor lascých fuzzy moţ. BEGI Zade ezámý vetor y Zade, počet eblţších sousedů, Icalzu = DO UTIL (alezeo -eblţších sousedů) Vypočt vzdáleost od y do x IF ( ) THE ELSE Zahreme x do moţy -eblţších sousedů IF (x e blíţe y eţ aýolv předchozí ) THE ED IF Zvětš ( = + ) ED DO UTIL Vymaţ evzdáleěší z moţy - Zahrň x do moţy - ED Urč maortí třídu v moţě - (de e evíce čleů) Tam přřaď y Obr. 66 a): Pseudoód - lasfátoru - lasfátor Mez ezáměší algortmy pro učící se lasfátory patří --algortmus (-earest eghbours). echť W { x, x,..., x} e moţa ozačeých vzorů (vzorům e přřazeo číslo třídy, do teré patří). ezámý obet přřadíme do té třídy, de má evětší počet eblţších sousedů. Pseudoód lasfátoru pa lze formalzovat tato [59] vz obr. 66 a). 0

111 7. Metody umělé telgece Přílad 5- lasfátoru e pa uázá a obr. 66 b). Přílad lascé shluové aalýzy e uvede a obr 67. Uáza zobrazue prví část třídy číslo 4) obsahue shlu epleptcé grafoelemety, ale taé artefaty s podobým spetrálím a tvarovým charaterstam, ao ostatí grafoelemety (segmety č..9,.7, 3.7 atd. Prví číslo udává číslo aálu, druhé pořadové číslo segmetu. Obr. 66 b): Zázorěí 5- lasfátoru Obr. 67: Automatcá lasface EEG grafoelemetů ALBA00.TRC s EMG artefaty (. řáde). Část třídy číslo 4 (z celem šest), lascá shluová aalýza.

112 7. Metody umělé telgece Fuzzy - lasfátor a rozdíl od lascého - lasfátoru, terý přřazue ezámý vetor do příslušé třídy, fuzzy -earest eghbour lasfátor přřazue ezámému vetoru čleství v daé třídě (z ola procet prve do daé třídy áleţí). Toto čleství můţe olísat mez hodotam 0 a, ta ao u fuzzy shluů. Pseudoód fuzzy - lasfátoru lze formalzovat aalogcy, ao v předchozí aptole [59] vz obr. 68 Ve vztahu (7.3) ozačue u čleství prvů tréovací moţy (x ) ve třídě. Proměá m určue, a slě e váţea vzdáleost př výpočtu příspěvu aţdého souseda ve fuc čleství. BEGI Zade ezámý vetor y Zade, počet eblţších sousedů, Icalzu = DO UTIL (alezeo -eblţších sousedů) Vypočt vzdáleost od y do x IF ( K) THE ELSE Zahreme x do moţy -eblţších sousedů IF (x e blíţe y eţ aýolv předchozí ) THE ED IF Zvětš ( = +) ED DO UTIL Vymaţ evzdáleěší z moţy - Zahrň x do moţy - Icalzu = DO UTIL (y má přřazeo čleství ve všech třídách) vypočt fuzzy čleství obetu ve třídě podle vztahu u y K u y x K y x /(m ) /(m ) (7.3) Zvětš ( = +) ED DO UTIL ED Obr. 68: Pseudoód K- lasfátoru

113 7. Metody umělé telgece Obr. 69: Klascá třída č.6 obsahuící obety typu třídy 5 (řáde 7). K- lasfátor Třída číslo 5 sestává ze sgálu otamovaého EMG atvtou, zatímco převáţou část 6. třídy tvoří epleptcá atvta. Všměte s esprávě zařazeých grafoelemetů č. 7.97, aţ 7.56, teré vyazuí rysy obou tříd - páté šesté, v lascém tříděí vša emohou být zařazey s růzým stupěm člesví do růzých tříd a byly proto lasfováy do třídy č. 6, am maí přece e eblíţe. Elmac uvedeých hybrdích segmetů a záladě -ader vdíme a obr. 70. Vyloučeé grafoelemety s člestvím meším eţ 0.5 (teré sou vša přesto dspozc pro otrolu) sou zobrazeé světle šedou barvou. Fuzzy čleství e uvedeo ad segmety. Je vdět, a se v tomto případě podařlo úspěšě odstrat hybrdí, etypcé grafoelemety obsahuící převáţě EMG atvtu a zvýšt ta homogetu (steorodost) aalyzovaé typové třídy. Poud vša mluvíme o "odstraěí" eedá se v ţádém případě o deftví ztrátu. Ja ţ bylo uvedeo, ţádou formac o EEG sgálu "ezahazueme", elmovaé segmety e moţé dyolv zovu prohlédout. Protoţe učící se algortmy vyţaduí předchozí formac o typu lasfovaých dat, ech pouţtí bude zřemě eefetvěší u automatcé lasface opaovaých zázamů téhoţ paceta. eprve se metoda aučí (adaptue) a určtý EEG graf a eho specfcé grafoelemety a poté můţe slouţt velm efetvímu motorováí ásleduících vyšetřeí a sledováí vývoe EEG grafu během terape. 3

114 7. Metody umělé telgece Obr. 70: Fuzzy lasface a elmace EMG artefatů (odstraěé hybrdí segmety zázorěy světle šedou barvou) CD-ROM Otevř soubor -meas, spusť amac prezetace 3 Otevř soubor lasface, spusť amac prezetace 5 Otázy 7. Proč e utá přrozeá strutura dat?. Jaý e rozdíl mez lascou moţou a fuzzy moţou? 3. Ja e defováa Euldova vzdáleost? 4. Ja staovíte středy tříd? 5. Popšte prcp - lasfátoru Korespodečí úol V programu Matlab vytvořte program pro - lasfátoru. Je zadáa moţa etaloů. Zařaďte body Y = (5,6) a Y = (6,5) do eblţší třídy. Pouţte Euldovsou vzdáleost. Obet přřaďte do té třídy, am má eblíţe. Jao lasfátor pouţte: 4

115 7. Metody umělé telgece a) KLASIFIKÁTOR b) 3 KLASIFIKÁTOR Obet Souřadce (x,y) Třída,3, 3 4,9 4 8, , , ,8 8,3 9,4 0,5 3,5 3,9 3 4, 4,4 5 7, , ,9 8 5, 9 8, ,5 3 Text prostudováí [] Mohylová, J, Krača,V.: Zpracováí sgálu v léařství. Eletrocé srptum Ţla, Sloveso, ISB , 005 Další zdroe, použtá lteratura ] Aderberg, M., R.: Cluster Aalyss for Applcatos. Academc Press, ew Yor, 974 [3] Dday, E.: The dyamc clusters method oherarchcal clusterg, It. J. Comp. If. Sc,, o., 973 [4] Vogel, M., Wog, A.: PFS clusterg method, IEEE Tras. Patter Aal. Mache Itell., Vol. PAMI-, o.3., July, pp , 979 [5] Bezde, J.,C.: Patter Recogto wth Fuzzy Obectve Fuctos Algorthms. ew 5

116 7. Metody umělé telgece Yor, Pleum Press, 98 [6] Keller, J. et al.: A fuzzy K-earest eghbor algorthm, IEEE Tras. Syst., Ma, ad Cyber., Vol. SMC-5, o. 4, pp , 985 [7] MATLAB, The Laguage of Techcal Computg, Verso 6, The Math Wors, Ic., 000 Referece 6

117 8. Umělé euroové sítě () 8. UMĚLÉ EUROOVÉ SÍTĚ () Čas e studu: x hody Cíl Po prostudováí tohoto odstavce budete umět lasfovat euroové sítě avrhout euroovou síť algormem Bac-propagato aučt Koheeovou síť avrhout euroovou síť v prostředí Matlab Pomy zapamatováí 8 euroová síť (), euro, tréovací moţa, učeí, atvačí fuce, dopředá a reuretí strutura, perceptro, vícevrstvý perceptro, Bac-propagato, Kohoeova. Výlad euroové sítě () patří mez ebouřlvě se rozvíeící metody umělé telgece vz obr. 59. Zahruí a učebí algortmy s učeím, ta bez učtele (samoorgazuící se). Záladí pomy z teore euroových sítí, teré budou potřeba dsus o ech aplacích sou uvedey v ap. 7. Podrobou teor čteář ade v [], [], [3] a [4]. Dedrty Sgálový vstup do těla eurou Soma Sčítáí sgálu od oolích euroů do těla buňy Syapse Upravue sgál a předává e do oolích euroů Axoové vláo Přeáší sgál euroem Obr.7: Schéma bologcého eurou euroové sítě smuluí fuce ldsého mozu, tz. proces adaptace a učeí. Schéma bologcého eurou e zázorěo a obr. 8. Chceme-l vytvořt lascý model eurou, musíme vytvořt algortmus, terý trasformue moţu vstupích dat a výstupí. euroové sítě toto evyţaduí, protoţe sou schopy ve fáz učeí průběţě adaptovat svo struturu a parametry ta, ţe ech vlastost odpovídaí vlastostem studovaého obetu. K tomuto pouţívá tzv. tréovací možu 7

118 8. Umělé euroové sítě () Z matematcého hledsa můţeme popsat zpracováí formace dvěma operacem: o o Operace syaptcé aţdá syapse představue paměť předchozích formací, a záladě teré vybavue aţdý přcházeící sgál eho relatví vahou. Tato váha představue míru síly vazby mez dvěma daým euroy. Vazba můţe představovat: a) exctac (vybuzeí) b) hbc (utlumeí) Syaptcá vazba představue taé převod mpulsího sgálu a apěťo-vý, ehoţ velost e úměrá frevec přcházeících mpulsů. Operace somatcé vstupí sgály sou váţey příslušým váham a dále sečítáy. Jestlţe hodota součtu váţeých sgálů přesáhe práh e v somatu geerová výstupí sgál eurou. Výstupí sgál má pulsí charater se středí frevecí úměrou eho velost. Výstupí sgál e potom vede axoem do výstupích syapsí dalším euroům pro ásleduící zpracováí. Záladím prvem a procesí edotou v euroové sít e euro. Z teoretcého hledsa lze a euro pohlíţet ao a systém s moha vstupy a edým výstupem MISO (Mult Iput Sgle Output). Matematcá formulace procesů probíhaící v bologcém eurou, umoţňue vytvořt matematcý model umělý euro - perceptro. Z hledsa přeosu a zpracováí formace můţeme struturu eurou představt schématem vz. obr. 7. Vazby edotlvých euroů umělou euroovou síť, modeluící zpracováí mpulsů ve sutečé bologcé euroové sít. Atvačí fuce mohou mít růzý tvar: x 0 vstup x x x p w w 0 y f p 0 výstup w x Θ Obr. 7: Leárí model eurou, de x 0,, x p sou vstupy eurou w váhy, y e výstup eurou a f e atvačí fuce Θ e práh eurou a) leárí atvačí fuce sou umístěy ve výstupích vrstvách euroových sítí b) eleárích atvačích fucí, teré se vyuţívaí ve srytých vrstvách euroových sítí. 8

119 8. Umělé euroové sítě () Přílad ěterých atvačích fucí:. Leárí fuce: a) Leárí závslost: a b) Soová fuce: a 0 pro 0 pro 0 pro 0 a pro 0 c) Omezeá fuce: pro 0 a pro 0 a 0 0. eleárí fuce: a) Sgmoda: a e b) Heavsdeova fuce a (hyperbolcá tageta) e e e e 9

120 8. Umělé euroové sítě () c) Gaussovsá fuce: a e euroové sítě se sládaí ze vzáemě propoeých uzlů euroů. Uzel sítě přímá váţeý součet vstupích hodot (váhy w ) a převádí výslede přes eleárí fuc f. Symbol Θ ozačue práh (ostatí předpětí bas). 0

121 8. Umělé euroové sítě () Klasface euroových sítí: euroové lasfátory Bárí Reálý vstup S učtelem Bez učtele S učtelem Bez učtele Hoppfeldova síť Hammgova síť Carpeter/ Grossberg Perceptro Vícevrstvý Perceptro Kohoeova síť Klascé evvalety Optmálí lasfátor Leader clusterg Gauss. lasfátor - lasfátor - meas Clusterg Obr. 73: Přehled euroových lasfátorů (Lppma, 987)

122 8. Umělé euroové sítě () 8.. Topologe a způsoby šířeí sgálu Obecě by euroová síť mohla mít struturu popsaou lbovolým oretovaým grafem pomocí vrcholů euroů a oretovaých hra propoeí. Vlastost taové strutury se obtíţě aalyzuí. Proto sou aalyzováy edříve sítě s ěaým pravdelým struturam. Taovou struturou e apř. vícevrstvá strutura vz. obr. 74. Rozlšueme ásleduící vrstvy : vstupí vrstvu euroy dostávaí vstup pouze z věšího oolí a výstup obvyle poračue dalším euroům srytou vrstvu (hdde layer) euroy dostávaí vstup z ostatích euroů ebo z věšího oolí přes prahové propoeí a ech výstupy poračuí dále do výstupí vrstvu podobá sryté vrstvě, pouze výstup z této vrstvy vyúsťue do oolího prostředí. Tz., ţe můţeme rozlšovat euroy ao vstupí, sryté a výstupí. Př ávrhu rozdělueme topolog do dvou záladích sup: dopředá (feed-forward) sgál se šíří po oretovaých syoptcých propoeích e edím směrem dopředu vz obr. 75. reuretí (recurret) u těchto sítí e obtíţé rozděleí vrstev a euroů a vstupí, resp. výstupí Obr. 74: Strutura dopředé Obr. 75: Strutura reuretí Šířeí sgálu v rámc můţe být růzé, apř: sychroí šířeí sgálu všechy euroy měí svů stav do tatu (prostředctvím sychrozačích hod sevečí šířeí sgálu euroy měí svů stav postupě př šířeí sgálu bloově-sevečí šířeí sgálu atvzuí se e supy euroů, podle předem určeého pravdla asychroí šířeí sgálu euroy měí své stavy ezávsle ede od druhého

123 8. Umělé euroové sítě () 8.. Perceptro a eho učeí Jedím z eedodušších učících se lasfátorů e Perceptro, avrţeý Roseblattem v roce 958. Převádí vstup pomocí přeosové fuce a výstup. Je určeý a dchotomcou lasfac, t rozděleí do dvou tříd, o terých se předpoládá, ţe sou leárě separovatelé v příladovém prostoru (příma ve -rozměrém prostoru, rova v 3-rozměrém prostoru) vz obr. 76. Přílad pro lasfac vstupího vetoru do dvou tříd A a B e uvede a obr. 78. x 0 w 0 výstup x w y f h 0 w x Obr. 76: Přílad perceptrou pro lasfac dvou tříd ve -rozměrém prostoru. f h () 0 - Obr. 77: Rozhodovací fuce perceptrou (hard lmter) w 0 0 y 0 w x x x 0 y 0 w x 0 f w w 0 h Θ x w 0 0 w x x 0 w CLASS CLASS w x Θ Θ w A B 0 Θ + Hrace rozhodováí A A A A A (0,0) A A B B B B B B B B B - Obr. 78: Přílad lasface do tříd Perceptro vypočte váţeý součet vstupích hodot,odečte mez, echá proít výslede přes eleartu, taţe výstup e + ebo -. apř: v obr. 88 bod (0,0) y f třída B. 3

124 8. Umělé euroové sítě () Perceptro e uté a daý problém aučt. Učeí spočívá v postupém předládáí (tréováí) zámých vzorů (o terých víme, do teré třídy patří) a postupá úprava vah perceptrou aţ do overgece (váhy sou optmálě astavey a příma - rozhodovací adplocha rozdělue obě třídy). Postup učeí perceptrou Kro : Kro : Icalzu váhy a mez astav váhy w ( 0 ) 0 a malé áhodé hodoty. w (t) e váha vstupu v čase t. Zade ový vstup a eho požadovaý výstup Vstupí hodoty sou x 0, x,..., x p a poţadovaý výstup (cíl lasface) e d(t). Kro 3: Vypočt sutečý výstup y t f h p 0 w (t)x (t) Θ Kro 4: Uprav váhy (adaptu) w t w t ηd t yt x t, 0 p... d t pro pro vstup vstup z třídy z třídy A B < e učebí oefcet (ovlvňue rychlost učeí), d(t) e poţadovaý správý výstup pro daý vstup. Př správém rozhodutí perceptrou se váhy eměí. Kro 5: Opau postup-jd a ro Problém perceptrou doáţe oddělt pouze leárě separablí moţy. evyřeší apřílad XOR exclusve OR problém, dy eda třída sou body (0,0) a (,) a druhá třída (ozačea říţy) sou body (0,) a (,0) vz obr. 79. Řešeí tohoto problému přesl vícevrstvý perceptro obr. 80. (0,) (,) (0,0) (,0) Obr. 79: Přílad problému, terý eí leárě separablí (XOR problém) 4

125 8. Umělé euroové sítě () 8.3. Vícevrstvý perceptro multlayer perceptro (MLP) síť typu feed forward (dopředé šířeí - propagace) s edou ebo více vrstvam uzlů mez vstupem výstupem tyto vrstvy obsahuí sryté uzly (esou přímo propoey s vstupím/vý-stupím uzly) schopost MLP vyplývaí z eleart pouţtých pro přeosové fuce uzlů (hard lmter, sgmod) Třívrstvý perceptro umí aproxmovat aolv sloţté rozhodovací oblast (Lppma). Platí: - Počet uzlů v druhé vrstvě musí být větší eţ ede, poud sou rozhodovací oblast zolováy a emohou být spoey do edé ovexí oblast. V ehorším případě e ech počet rove počtu espotých oblastí. - Počet uzlů v prví sryté vrstvě by měl být dostatečý pro vytvořeí alespoň tří hra v aţdé ovexí oblast geerovaé body druhé vrstvy, mělo by tedy být 3x více uzlů v druhé vrstvě eţ v prví sryté vrstvě - Platí to pro perceptro s edím výstupem, pro více výstupů e to sloţtěší (rozhodovací oblast esou omezey přímam, ale hladým řvam) x 0 VSTUP Prví srytá vrstva Druhá srytá vrstva () y () 0 y 0 VÝSTUP y 0 x x p- () y () y y m- y () f p 0 w (0) x (0) y () f 0 w () y () () y f 0 w () y () () Obr. 80: Třívrstvý perceptro 5

126 8. Umělé euroové sítě () Řešeý přílad 8. Archtetura perceptrou: de R e počet vstupích čleů S e počet euroů ve vrstvě Učeí perceptrou: de help percept vytvořeí sítě: calzace: smulace: tréováí: učeí: ewp t sm tra learp ormovaé učeí: learp atvačí fuce: hardlm Váhy a prahy sou calzováy pomocí fuce Adaptace a treg sourealzováy pomocí tzero tras a trac Míra aučeí se určue pomocí průměré absolutí chyby mae EWP Sytaxe: et = ewp et = ewp(pr,s,tf,lf) 6

127 8. Umělé euroové sítě () pr - Rx matce mmálích a maxmálích hodot pro R vstupích elemetů S - počet euroů tf přeosová fuce, default = 'hardlm'. lf algortmus učeí, default = 'learp'. přeosová (atvačí) fuce tf může být hardlm ebo hardlms algortmus učeí lf může být learp ebo learp Řešeý přílad 8. Je vytvoře Perceptro se elemety a vstupu (rozsah [0 ] a [- ]) a edím euroem. Řešeí : v MATLABu et = ewp([0 ; - ],); a vstupu e moža P tvořeá 4 vetory o elemetech a 4 odpovídaící cílové (target) hodoty T o elemetu. P = [0 0 ; 0 0 ]; T = [0 ]; Tréovat budeme a 0 epoch a pa provedeme smulac. y = sm(et,p) et.traparam.epochs = 0; et = tra(et,p,t); y = sm(et,p) Poz: Je l u hodot vstupích elemetů velý rozptyl, dosáheme rychlešího aučeí pomocí fuce learp 7

128 8. Umělé euroové sítě () 8.4. Další algortmy učeí Algortmus zpětého šířeí (bac-propagato) Učeí probíhá metodou učeí s učtelem. Podle způsobu aým se vypočítávaí váhy e to teratví gradetí algortmus mmalzuící čtverec rozdílu mez sutečým výstupem MLP a poţadovaým výstupem. elearty musí být spotě dferecovatelé, ao e apřílad sgmodálí logstcá fuce f ( ) ( ) e autorem metody zpětého šířeí e Werbos (974), algortmus zovu realzoval Rummelhart v roce 986 slouţí pro pro astaveí vah uzlů MLP pouţívá hledáí ve směru evětšího gradetu pro mmalzac áladové fuce, terou e středí čtverec rozdílu mez poţadovaým a sutečým výstupy sítě poţadovaý výstup sítě pro esprávé třídy e malý (0 ebo < 0.), pro uzly orespoduících správé třídě sou vysoé hodoty (.0 ebo > 0.9) síť e tréovaá ta, ţe zpočátu zadáme malé áhodé váhy a poté opaovaě předládáme vzory tréovací moţy. Váhy sou upravováy po aţdém průběhu aţ do overgece (áladová fuce - čtverec chyby e mmálí) záladím prvem algortmu e teratví postup, ímţ postupue chyba utá pro adaptac-úpravu vah ZPĚT z uzlů výstupí vrstvy do uzlů vstupí vrstvy Tréovací moža x euroová y - d síť y, w, Θ Učící algortmus Obr. 8: Grafcé zázorěí algortmu zpětého šířeí Bac-propagato algortmus Kro : Icalzu váhy a meze astav váhy a meze uzlů a malé áhodé hodoty (váhy v sít astavíme áhodě a hodoty v doporučovaém rozsahu 0.3, 0. 3 ) Kro : Předlož vstup a žádaé výstupy Předloţ vzore x x x..., x ] [ 0,, p 8

129 8. Umělé euroové sítě () Kro 3: Kro 4: Zade poţadovaé výstupy d d d..., d ]. Poud e síť uţta ao lasfátor, pa [ 0,, m všechy poţadovaé výstupy sou astavey a ulu romě výstupu pro třídu, e vstup - te e astave a Vypočt sutečé výstupy odud Vypočt výstupy uzlů sítě y y y..., y ] s pouţtím elearty f() a výstupů předchozích uzlů. Adaptu váhy [ 0,, m Pouţ reurzví algortmus začíaící a výstupích uzlech a postupuící zpět uzlům prví sryté vrstvy vypočt chybový sgál ve výstupí (L-té vrstvě) pro terac, = 0,, L- e L d y počíte loálí gradety δ (chyby př postupu zpět vrstva za vrstvou) o o pro euro ve výstupí vrstvě L L L L L e y y pro euro sryté vrstvy h (l h) uprav váhy podle w h h h y y h w 0 h h h h w ηδ y h, de e parametr rychlost učeí aby edošlo uzavřeí v loálích mmech, e moţé pouţít mometum α w h h h h w w w h h ηδ y Parametry η a α se volí v rozsahu 0, Kro 5: Jd a ro Samoseorgazuící euroové sítě Jsou sítě, teré epotřebuí e svému učeí učtele. Záladím prcpem ech fuce e shluová aalýza, t. schopost algortmu, sítě, alézt určté vlastost a závslost přímo v předládaých tréovacích datech bez přítomost ěaé věší formace, ao e tomu apř. u perceptroovsé sítě. Myšlea samoseorgazuící vlastí strutury sítě byla rozvuta počátem 70-tých let vo der Malsburgem a posléze Wllshewem. Kohoeova síť Záladí myšlea Kohoeovy sítě vychází z pozatu, ţe větša euroů v mozové ůře e orgazováa v dvodmezoálím prostoru, t. v rově. Spoe mez euroy vedou pouze mez sousedím euroy. Kohoeův záladí model vychází z tohoto pozatu vz obr. 8, dyţ 9

130 8. Umělé euroové sítě () algortmus přpouští vícedme-zoálí uspořádáí vstupích euroů. Poem vrstev e zde zastře, protoţe romě vstupí vrstvy e tu vrstva výstupí. Počet vstupů do sítě e rove dmez vstupího prostoru. ečastě e počet vstupů rove dvěma. Počet vstupů, teré přcházeí do eurou, e rove počtu vstupů do Kohoeovy sítě. Váhy těchto vstupů slouţí zaódováí vzorů, teré reprezetuí předloţeé vzory, steě ao u perceptrou. Vlastí přeosovou fuc tyto euroy emaí. Jedou operac, terou euro provádí e výpočet vzdáleost (odchyly) předloţeého vzoru od vzoru zaódovaé-ho ve vahách daého eurou podle vztahu d x t w t 0 de x t sou edotlvé elemety vstupího vzoru t w sou odpovídaící váhy eurou, teré představuí zaódovaé vzory d výstup z eurou Kaţdý vstup e spoe s aţdým euroem mříţy. Kaţdý euro v mříţce e přímo výstupem. Počet výstupů e tedy rove počtu euroů. Prcp učeí SOM Obr. 8: Typcé uspořádáí Kohoeovy sítě se dvěma vstupy a rovou mříţou. Matc euroů se postupě předládaí vetory vstupího sgálu (x) ta, ţe se zvlášť porovává rozdíl příslušých hodot vetoru vah (oefcetů w) aţdého eurou s hodotam vetoru vstupího sgálu. K vyádřeí rozdílu pouţeme apř. Euldovu vzdáleost d Výsledem e počet hodot d, rový počtu euroů ve strutuře (apř. 00 hodot v matc 0 x 0 euroů). ásledě se vybere edý euro s emeším d a ozačí se ao tzv. vítěz (wer). Váhy tohoto eurou se evíce ze všech odpovídaí hodotám právě předloţeého sgálu. Př předládáí prví učícího vstupího vetoru se eho hodoty porovávaí s áhodě vygeerovaým hodotam vah (oefcetů) edotlvých euroů. Váhy w vítězého eurou se pa upravuí (updatuí), aby se co evíce přblíţly hodotám právě předloţeého vstupího vetoru (x) : 30

131 8. Umělé euroové sítě () de w ové = w staré + α (x - w staré ) α učící oefcet vyadřuící rychlost učeí, (abývá hodot 0 aţ ) w ové vetor vah (oefcetů) -tého eurou w w, w,, w x vstupí učící vetor x x, x,, x. Př opaováí dávy učících vetorů ebo postupým předládáím dalších ových dáve se učící oefcet α sţue. Spolu s vítězým euroem se měí sousedí euroy v defovaém oolí R. Jech váhy se upravuí steým způsobem ao u vítěze, pouze s tím rozdílem, ţe oefcet α e ahraze oefcetem β, přčemţ platí α < β. Př opětovém opaováím dávy učících vetorů se můţeme sţovat hodoty oolí R aţ a R = 0, tz. adaptue se pouze vítěz V matcové strutuře euroů vze ěol výzamých ceter, tzv. shluy, mez mţ se výrazě lší hodoty vah euroů. euroy, echţ váhy během učeí dosáhly ulových hodot, se ze strutury mohou vyloučt. Počet shluů by měl být shodý s počtem odlšých vlastostí ebo parametrů, teré Kohoeova mapa ašla v předloţeých dávách učících vstupích vetorů. Pro otrolu a přehledost učeí mapy vyuţíváme grafcého zobrazeí shluů, teré vyadřue prostorové vztahy mez euroy v prostoru vah. V dagramu sou váhové vetory (euroy) zobrazey ao čeré body v dvodmezoálím prostoru, teré zároveň tvoří cetra shluů. Čeré čáry představuí přímy spouící váhové vetory sousedích euroů. a obrázu e uázaá změa "pozce" eurou před a po adaptac vah a vstupí vetor (zeleý bod). Správé aučeí představue rovoměré rozprostřeí vzáemě propoeých bodů po celé ploše, terá popsue vstupí datový prostor, v ěmţ sou vstupí vetory dat rovoměrě rozloţey. Učeí Kohoeovy sítě Kro : Icalzace. Vyberou se áhodě hodoty váhových vetorů výstupů, M euroů v mříţce) t Kro : Vybere se vstupí vzore x t x t, x t x 0,, 3 w, 0, 0 M ( z tréovací moţy Kro 3: Vypočteme vzdáleost (podobost) d mez předložeým vzorem a všem výstupím euroy podle vztahu d x t w t 0 Kro 4: aleze se epodoběší (vítězý) euro * a záladě emeší vzdáleost od vzoru x m d d *=

132 8. Umělé euroové sítě () Kro 5: Upraví se váhy Přzpůsobíme váhy pro euro * a eho oolí * (t), t. pro všechy leţící uvtř tohoto oolí podle vztahu w t w t t x t w t romě astaveí vah e uté taé calzovat tzv. parametr učeí 0. Teto oefcet řídí rychlost učeí. a začátu se eho hodota astaví a a během učeí se sţue ule. Tím dosáheme toho, ţe ze začátu se váhy adaptuí rychle a e oc pomalu. Kro 6: 5. Poraču doud sou vdět změy a obr. 83 e zázorěa fuce, terá vyadřue míru adaptace oolích vah. Tato fuce byla expermetálě zštěa z reálých bologcých euroových sítí. euroy blízé daému eurou (x = 0) sou váhy poopravey téměř shodě ao pro vlastí euro. Jestlţe se vzdalueme od středu, přestávaí se váhy adaptovat aţ do oamţu, dy fuce přeročí osu x. potom sou váhy aopa hbováy, místo toho, aby byly exctováy. g(x) Obr. 83: Bologcá adaptačí fuce - Mexcý lobou fuce popsuící laterárí vazby mez sousedím euroy v mříţce stupeň exctace lesá se vzdáleostí od atvího eurou 3

133 8. Umělé euroové sítě () a) b) c) d) Obr. 84: Zázorěí učeí sítě 0 x 0 euroů: a) euroová síť b) počátečí stav vah c) rozvováí mříţy d) oečý stav vah a obr. 84 e přílad učeí Kohoeovy sítě a obr. 84 a) e zázorěa síť 0x0 euroů = 000 vzorů vstup. a obr. 84 b) e počátečí stav vah síť eví a vypadá obrazový prostor. a obr. 84 c) e zázorěo rozvováí mříţy tréovaá síť pochopí, am se má rozšřovat. Obr. 84 d) zázorňue oečý stav vah v prax e 0 % oblast eporyto (e to dáo učícím schopostm sítě). CD-ROM Otevř soubor euro_st, spusť amac prezetace 6 Otázy 8. Co sou umělé euroové sítě. Kol příme (rozhodovacích adplochach) e potřeba vyřešeí problému XOR? 33