Teorie množin. kapitola 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Teorie množin. kapitola 2"

Transkript

1 Teorie množin kapitola 2

2 kapitola 2 část 3 Intervaly Základní poznatky Teorie množin Co po tobě budu dneska chtít? V této podkapitole tě naučím pracovat s intervaly, správně je zapisovat a zakreslovat na číselnou osu. Budeš vědět, jaké typy intervalů existují a jaký je mezi nimi rozdíl. Nakonec ti ukážu, jak udělat průnik a sjednocení dvou intervalů, protože tahle dovednost je opravdu velmi důležitá, tak tuto látku nepodceň. Na co to budeš jednou potřebovat? Odpověď na tuto otázku můžeš nalézt na konci této podkapitoly, kde ti řeknu, v jakých konkrétních případech v životě se s intervaly setkáš, tak dočkej času jako husa klasu. S čím to bude v matematice souviset? Intervaly se používají opravdu téměř všude a jejich znalost je tedy nutná. Setkáš se s nimi například u určování podmínek pro neznámou v Rovnicích a nerovnicích nebo při řešení soustav lineárních nerovnic. Co je to interval? Definice říká, že interval je podmnožina množiny všech reálných čísel, která je z obou stran ohraničena dvěma krajními body (krajní bod může být i nekonečno). Interval je tedy soubor reálných čísel, která jsou větší (nebo rovna) danému číslu (či mínus nekonečnu) a zároveň menší (nebo rovna) jinému číslu (či plus nekonečnu), například větší než 5 a menší nebo rovno 17, v matematičtině jako (5; 17. Nezapomeň především na to, že interval existuje pouze v reálných číslech. Existují dva typy intervalů: a) interval omezený takový interval, který je z obou stran omezený danými hodnotami (nikoliv symbolem nekonečna), např. ( 3; 2. Tyto intervaly se dále rozlišují na interval uzavřený, polouzavřený zprava, polouzavřený zleva a otevřený. Podrobnější informace ti řeknu až za chvíli. b) Interval neomezený Neomezený interval je takový interval, který je omezen přesnou hodnotou nejvýše (maximálně) z jedné strany, např. ( ; 1) či ( ; ). I tento typ intervalu se dále rozděluje, a to na interval neomezený zprava a uzavřený zleva, interval neomezený zprava a otevřený zleva, interval neomezený zleva a uzavřený zprava, interval neomezený zleva a otevřený zprava a interval neomezený z obou stran (ten se používá jen zřídka). Je jich sice hodně, ale není na tom vůbec nic těžkého. Více ti řekne tabulka, kterou nalezneš na straně 92, kde jsou tyto druhy intervalů znázorněny. 88

3 K čemu je interval dobrý? Pokud potřebuješ vymezit nějaký úsek reálných čísel, pak použiješ interval. Například chceš říct, že otevírací doba obchodu Hustejšop je od devíti (včetně) do osmnácti (včetně) hodin. Intervalem bys takovouto skutečnost zapsal jako 9; 18. Třeba číslo 19 hodin se už v intervalu nenachází, tudíž si nemůžeš nic v tomto obchodu koupit, protože je zavřený. Kdežto číslo 12,5 (tj. půl jedné odpoledne) je v intervalu obsaženo je, takže nakupovat můžeš. Častým problémem jsou závorky, tedy zda tam bude ostrá, tj. nebo, či kulatá, tj. ( nebo ). Ale o tomto ti řeknu více až na straně 95, kde ti to ukážu na příkladech z reálného života. Jak zapsat interval? Interval můžeš zapsat třemi způsoby. S prvním způsobem se setkáš nejčastěji, je to klasický zápis intervalu, kde jsou v závorkách dvě čísla oddělená středníkem (někdy se používá jen desetinná čárka, což může působit nepřehledně a plést se tak s desetinným číslem, takže to v této knize používat nebudeme). První typ zápisu vypadá tak, že má dva krajní body v závorkách. Bod, který je vlevo, musí být menší než ten, co je vpravo. Například interval (1; 5) je zapsaný správně, ale interval (5; 1) je už špatně. Mohou se samozřejmě měnit závorky, takže můžeš napsat čtyři typy intervalů, buď (a; b), a; b), (a; b, nebo a; b. Záleží na tom, zda chceš, aby krajní bod ještě patřil do intervalu. Pokud patří do intervalu, pak dáš ostrou závorku, tj. nebo. Jestli nemá patřit, napíšeš kulatou závorku, tedy ( nebo ). Více ti o závorkách řeknu později u omezených intervalů. (a; b) krajní bod (tzv. dolní mez) krajní bod (tzv. horní mez) Druhý způsob zápisu, kterému se říká charakteristická vlastnost, se používá především u zápisu množin. Funguje tak, že nejdříve napíšeš menší krajní bod a potom znaménko nerovnosti (buď krajní bod patří do intervalu, anebo < nepatří do intervalu). Dále napíšeš neznámou (je na tobě, jak ji pojmenuješ, obvykle to je x) a opět napíšeš znaménko nerovnosti (symbol nebo <, záleží, zda krajní bod patří nebo nepatří do intervalu). Nakonec napíšeš hodnotu většího krajního bodu. Zápis 1 < x < 5 lze přečíst jako: neznámá x je větší než jedna a zároveň menší než pět. x R; a < x < b krajní bod (tzv. dolní mez) neznámá (název je libovolný) krajní bod (tzv. horní mez) Třetím způsobem je grafické znázornění na číselné ose. Tento způsob se hodí především ve chvílích, kdy si potřebuješ představit více intervalů najednou, aby bylo například vidět, jakou část mají společnou. Více o zakreslování ti řeknu pod nadpisem Omezené intervaly trochu detailněji. 89

4 Přehled omezených intervalů V následující tabulce (kde a, b jsou reálná čísla a platí, že a < b) se nachází přehled omezených intervalů. Pokud ti některý z těchto typů není jasný nebo nevíš, jak správně interval znázornit na ose nebo ho zapsat charakteristickou vlastností, podívej se na následující řádky pod tabulkou, kde ti toto vysvětlím detailněji. V případě, že ti to jasné je, můžeš přelistovat na stranu 92, kde se nachází přehled neomezených intervalů. Název Zápis intervalu Charakteristická vlastnost Znázornění na ose Uzavřený interval a; b a x b, x R Polouzavřený interval zprava (a; b a < x b, x R Polouzavřený interval zleva a; b) a x < b, x R Otevřený interval (a; b) a < x < b, x R Omezené intervaly trochu detailněji Omezené intervaly se dále dělí podle toho, kde jsou uzavřené. a) uzavřený interval Uzavřený interval je takový interval, který je na obou stranách uzavřen určitými hodnotami, které do intervalu patří. To znamená, že na obou stranách intervalu jsou ostré závorky, např. 1; 5. 1; 5 1 x 5, x R krajní bod (tzv. dolní mez) krajní bod (tzv. horní mez) krajní bod (tzv. dolní mez) neznámá (název je libovolný) krajní bod (tzv. horní mez) Interval 1; 5 zapíšeš pomocí charakteristické vlastnosti jako 1 x 5 (čti: číslo x je větší nebo rovno jedné a zároveň menší nebo rovno pěti ). V dalších typech intervalů se soustřeď na měnící se znaménko nerovnosti (tj. < a ) u zápisu charakteristickou vlastností. Tento typ intervalu můžeš zakreslit na číselnou osu. Oba krajní body znázorníš na ose plným kolečkem, protože do intervalu patří, což říká ostrá závorka 1; 5. Pokud by tam body nepatřily, to znamená, že by u krajních bodů byla kulatá závorka, pak by se na číselné ose znázornily prázdnými kolečky, ale o tom až později. b) polouzavřený interval zprava Polouzavřený interval zprava (také polootevřený interval zleva, záleží, jak se na to díváš) je takový interval, který je na pravé straně uzavřený (ostrá závorka označující, že krajní bod do intervalu patří) a na levé straně je otevřený (kulatá závorka říkající, že krajní bod do intervalu nepatří), např. interval ( 1; 2. 90

5 Interval ( 1; 2 zapíšeš pomocí charakteristické vlastnosti takto: 1 < x 2 (čti: číslo x je větší než mínus jedna a zároveň menší nebo rovno dvěma ). Jak můžeš vidět, pokud je u krajního bodu kulatá závorka, dáš znaménko <. Jestliže je v zadání ostrá závorka, napíšeš znaménko. Na číselnou osu se tento interval znázorní tak, že nad hodnotu krajního bodu, u kterého je ostrá závorka, nakreslíš plné kolečko. U krajního bodu, který má u sebe kulatou závorku v zadání intervalu, bude prázdné kolečko. Více ti řekne číselná osa níže. Ostrá závorka v zadání intervalu a plné kolečko na číselné ose značí, že daný bod patří do intervalu. Kdežto kulatá závorka v zadání intervalu a prázdné kolečko na číselné ose říká, že daný bod nepatří do intervalu, více ti řekne číselná osa výše. c) polouzavřený interval zleva Polouzavřený interval zleva (také polootevřený interval zprava) je takový interval, který je na levé straně uzavřený (ostrá závorka) a na pravé straně otevřený (kulatá závorka), např. interval 0; 3). Interval 0; 3) zapíšeš pomocí charakteristické vlastnosti takto: 0 x < 3. (čti: číslo x je větší nebo rovno nule a zároveň menší než tři ). Tam, kde je kulatá závorka, dáš < a kde je ostrá závorka, napíšeš. Tento typ intervalu můžeš samozřejmě zakreslit na číselnou osu. Krajní bod omezující interval zleva do intervalu patří (proto je na číselné ose vyznačen plným kolečkem), kdežto krajní bod, který omezuje interval zprava, do intervalu nepatří (proto je na ose označen prázdným kolečkem). d) otevřený interval Otevřený interval je takový interval, který je na obou stranách otevřený (má pouze kulaté závorky), např. ( 2; 2). Interval ( 2; 2) zapíšeš pomocí charakteristické vlastnosti jako 2 < x < 2 (čti: číslo x je větší než mínus dva a zároveň menší než dva ). Na číselnou osu zakreslíš tento typ intervalu tak, že u obou krajních bodů bude prázdné kolečko, protože do intervalu nepatří, je u nich v zadání intervalu kulatá závorka. Přehled neomezených intervalů Jak jsem ti již říkal na začátku kapitoly, i intervaly neomezené lze dále dělit. V tabulce níže (kde a je reálné číslo) můžeš nalézt přehled těchto neomezených intervalů. Pravidla pro zakreslování, jako například, že kulatá závorka se značí prázdným kolečkem nebo že ostrá závorka je plné kolečko, platí i zde. 91

6 Název Zápis intervalu Charakteristická vlastnost Znázornění na ose Interval neomezený zprava a uzavřený zleva a; ) x a, x R Interval neomezený zprava a otevřený zleva (a; ) x > a, x R Interval neomezený zleva a uzavřený zprava ( ; a x a, x R Interval neomezený zleva a otevřený zprava ( ; a) x < a, x R Interval neomezený z obou stran ( ; ) < x <, x R Příklad 1 Vyjádři zápis K = {x R; 1 x < 6} výčtem prvků a posléze i intervalem. Postup Máš množinu K, která pro svůj zápis využívá charakteristickou vlastnost, zapsat výčtem prvků a poté i intervalem. Tak vzhůru na to! Množinu K nelze zapsat výčtem prvků. Takovýto zápis nemůžeš napsat výčtem prvků, protože výsledkem jsou všechna reálná čísla (to určuje značka R) mezi čísly jedna a šest (říká zápis 1 x < 6), a to je nekonečně mnoho čísel (může to být například číslo 1,6; 1,789; 2,86; 3, atd.). A proto je potřeba nějaký snazší zápis, tedy způsob zápisu pomocí intervalu. K = 1; 6) U zápisu intervalu je velmi důležité vědět, jaké závorky použiješ, zda ostré, anebo kulaté. Záleží na tom, jestli se v zadání nerovnice nachází znaménka <, >, nebo. U prvních dvou znamének dáš kulatou závorku, která značí, že daný krajní bod již do intervalu nepatří. Zbylá dvě znaménka mají ostrou závorku udávající, že dané číslo do intervalu patří. Zápis intervalem napíšeš u této množiny jako 1; 6). V zadání u jedničky je symbol, takže dáš ostrou závorku a u čísla šest bude kulatá závorka, protože je u něho symbol <. Tomuto omezenému intervalu se odborně říká polouzavřený zleva. Tý jo, průnik intervalů! Jestliže potřebuješ provést průnik dvou nebo i více intervalů, pak je nejlepší možnost si všechny intervaly zakreslit na jednu číselnou osu. Z podkapitoly Množiny víš, že výsledkem průniku je množina (interval) obsahující všechny prvky, které mají obě množiny (intervaly) společné. To znamená, že pokud chceš průnik dvou intervalů, tak výsledkem bude interval s čísly, které patří do obou intervalů zároveň. 92

7 Příklad 2 Urči průnik intervalů A = ( 2; 2 a B = 0; 4). Postup Uděláš tedy průnik dvou intervalů A a B a získáš tak nový interval, který bude obsahovat čísla, která jsou jak v intervalu A, tak zároveň i v intervalu B. A = ( 2; 2 a B = 0; 4) Nejdříve na jednu číselnou osu zakreslíš oba intervaly. Začneš krajními body. Pokud je u krajního bodu kulatá závorka, pak bude na číselné ose prázdné kolečko. Když je u krajního bodu ostrá závorka, nakreslíš plné kolečko. Krajní body z jednoho intervalu spojíš čárou. A B Následně vyšrafuješ průnik těchto dvou intervalů, tedy to, co mají společné (= všechna čísla, která jsou obsažena v obou intervalech zároveň). Na ose vidíš zobrazený průnik jako modro-zeleně vyšrafovanou část. Je to ta část, kde jsou oba intervaly zobrazené pod sebou. V tomto případě do průniku patří všechna čísla od nuly (včetně) do dvou (včetně). Včetně proto, že do zadaných intervalů body patří (v zadání intervalů se u nich nachází ostrá závorka). K = A B = ( 2; 2 0; 4) = 0; 2 V jazyce matematiky se pro průnik používá symbol. Výsledkem tedy je interval od nuly (včetně) do dvou (včetně). Příklad 3 Urči průnik intervalů A B C, jestliže A = 1; 1, B = (0; 2 a C = (2; 4. Postup Tento příklad vyřešíš podobným způsobem jako příklad 2. Výsledkem průniku je nový interval, který bude obsahovat prvky, které jsou ve všech třech intervalech zároveň. Nejdříve si na číselnou osu nakreslíš krajní body intervalů. Plné kolečko bude mít ten bod, který má u sebe ostrou závorku. Prázdné kolečko zastupuje bod, který je u kulaté závorky. Nakonec body z jednotlivých intervalů spojíš. Průnikem je pak to, co mají všechny tři intervaly společné (na ose to bude ta část, kde jsou všechny tři čáry pod sebou). Jak je z osy výše jasné, nemají společného vůbec nic (jsou pod sebou maximálně dvě čáry ). 93

8 A B C = Pro zápis průniku se používá symbol a pokud není průnik žádný, tak se používá symbol, který značí prázdnou množinu (pokud nevíš, co to je, podívej se na stranu 69). Sjednocení intervalů Z podkapitoly Množiny určitě víš, že výsledkem sjednocení množin je nová množina (interval) obsahující všechna čísla, která jsou alespoň (minimálně) v jedné množině. U dvou intervalů bude sjednocením nový interval, který bude obsahovat všechna čísla, která jsou alespoň v jednom ze dvou intervalů. Příklad 4 Urči sjednocení intervalů A = ( 2; 2 a B = 0; 4). Postup Uděláš tedy sjednocení dvou intervalů A a B a získáš tak nový interval, který bude obsahovat čísla, která jsou alespoň v intervalu A nebo v B. A = ( 2; 2 a B = 0; 4) Nejdříve na osu zakreslíš oba dva intervaly, respektive jejich krajní body ve tvaru plných (ostrá závorka) nebo prázdných (kulatá závorka) koleček a příslušná kolečka spojíš. A B Následně pak označíš (např. vyšrafuješ) část, která spadá alespoň (minimálně) do jednoho z intervalů. V tomto případě to jsou všechna čísla od mínus dvou (bez) do čtyř (bez). Bez je to proto, že v zadání intervalů se u čísla 2 a 4 nachází kulatá závorka značící, že daný bod do intervalu nepatří. K = A B = ( 2; 2 0; 4) = ( 2; 4) V matematické symbolice se pro zápis sjednocení používá symbol. Výsledkem tohoto příkladu je interval od mínus dvou (bez) do čtyř (bez). 94

9 Příklad 5 Urči sjednocení intervalů A = 1; 1, B = (0; 2 a C = (3; 5. Postup Postup bude velmi podobný jako u příkladu 4. Výsledkem sjednocení bude nový interval, který bude obsahovat čísla, která budou minimálně v jednom intervalu ze tří. Na číselnou osu nakreslíš intervaly, resp. jejich krajní body. Bod u kulaté závorky má prázdné kolečko a bod u ostré závorky je zobrazen jako plné kolečko. Nakonec spojíš nakreslené body z jednotlivých intervalů. A B C Sjednocením jsou všechna čísla, která jsou alespoň v jednom intervalu, tedy všude, kudy vede na číselné ose čára. Sjednocení na obrázku výše značí vyšrafovaná oblast. A B C = 1; 1 (0; 2 (3; 5 Výsledek můžeš napsat buď tak, že napíšeš všechny intervaly, které máš sjednotit, a dáš mezi ně symbol sjednocení, tedy. Matematicky správnější je ale to, aby se vyloučily stejné hodnoty, které jsou v jednotlivých intervalech. Například číslo 1 je obsaženo jak v první intervalu, tak i ve druhém, a to není úplně dobré. A B C = 1; 1 (0; 2 (3; 5 = 1; 2 (3; 5 Správný výsledek je tedy tento. Jednoduše na něj přijdeš tak, že se podíváš na číselnou osu a přímo z ní opíšeš to, co vidíš. Nejdříve napíšeš bod 1, protože tím začíná první interval. Pak pojedeš na ose směrem doprava. Narazíš na bod 0, který má u sebe prázdné kolečko. Ale v intervalu A je bod 0 obsažen (prochází jím čára ). Tedy bod nula je součástí a nijak ho nezapíšeš. Dalším bodem je číslo 1, které patří dokonce do obou intervalů (jak do A, tak do B), tudíž si tohoto bodu také nevšímáš. Nakonec se zde nachází bod 2, který se nachází na konci intervalu, a proto je potřeba si ho napsat. Ukončuje interval. Bude u něho ostrá závorka, jelikož má u sebe plné kolečko. Tudíž máš první interval, a to 1; 2. Poslední interval jsou jen dva body, kde není co upravovat, takže ho jen opíšeš a máš celkový výsledek. K čemu jsou intervaly dobré v životě? Ačkoliv si to možná neuvědomuješ, tak intervaly používáš každý den. Už jen tvůj denní režim je jeden interval. V šest ráno vstaneš a ve dvacet dva hodin jdeš spát. To by se intervalem dalo zapsat jako (6; 22), přičemž kulaté závorky by mohly být i ostré, jelikož nevíš, zda přesně v šest vstaneš či přesně ve dvacet dva hodin usneš. Tím se dostáváme k problému... V reálném životě ti je jedno, jestli přesně v šest vstaneš (když vstaneš v 6:01, tak se nic nestane, kromě toho, že by ti ujel autobus), jenže v matematice musí být přesně dáno, kdy člověk vstane. Znamená to tedy, že kulaté a ostré závorky jsou velmi důležité. Podívej se na další příklady, které potkají snad každého smrtelníka. 95

10 Otevírací doba je od 9:00 do 18:00. Znamená to, že můžeš přijít v tomto časovém intervalu. Matematicky zapsáno: 9; 18, (9; 18), 9; 18) nebo (9; 18, záleží, jestli obchod zavřou a otevřou přesně. Děti do 15 let mají vstup zdarma. Opět závisí na tom, jestli pořadatelé mysleli, zda i děti, kterým je přesně 15 let, mají vstup zdarma, tedy matematicky zapsáno: (0; 15 nebo (0; 15). Také je i možnost, že pokud je někomu 15 let a 5 měsíců, tak mu je právně stále 15 let, tudíž i na něho by se sleva mohla vztahovat. Pak by se to matematicky zapsalo následovně: (0; 16). Nosnost plošiny je kg. Unese plošina ještě kg, nebo jen maximálně 999,99 kg. Matematicky to musí být přesně určeno, tedy buď 0; 1000, anebo 0; 1000). V reálném životě je například nosnost výtahu o mnoho vyšší, než je udáváno, protože je třeba počítat s různými fyzikálními faktory, a proto v běžném životě platí varianta 0; 1000, takže se neboj, že by tě výtah neunesl. Zákaz vjezdu vozidel, jejichž výška přesahuje 3,5 m. U tohoto příkladu už nezáleží na domluvě lidí, zde není počítáno s velkou rezervou (na ceduli je napsáno 3,5 m, tak skutečná výška mostu je jen o malinko vyšší, maximálně v řádech centimetrů), tudíž by zde byl použit interval s ostrými závorkami, tedy 0; 3,5. Vždy záleží, jak se lidé dohodnou, ale minimálně v matematice to musí být jasně dané, a proto jsou závorky u intervalů velmi důležité, tak na to prosím dávej pozor. Neboj, už tě brzy nechám být! Interval je soubor reálných čísel, která jsou větší (nebo rovna) danému číslu (či mínus nekonečnu) a zároveň menší (nebo rovna) jinému číslu (či nekonečnu). Typy intervalů: Interval omezený je z obou stran omezený danými hodnotami, např. ( 3; 2. Interval neomezený je omezený maximálně z jedné strany, např. (2; ) nebo ( ; ). Zakreslování na číselnou osu: Plné kolečko na číselné ose či ostrá závorka v zadání intervalu značí, že krajní bod je součástí daného intervalu. Prázdné kolečko na číselné ose nebo kulatá závorka v zadání intervalu značí, že krajní bod nepatří do daného intervalu. Sjednocením intervalů vznikne nový interval, který obsahuje čísla, která jsou minimálně v jednom z nich. Průnikem intervalů je nový interval, který obsahuje čísla, která mají všechny intervaly společné. 96

11 Procvičení 48 Co nejjednodušším způsobem zapiš množiny: a) (2; 6) 4; ) b) (2; 6) 4; ) 49 Znázorni na číselné ose a urči průnik a sjednocení intervalů: a) (2; 7) a (5; 9) b) ( 8 11 ; 7 ) a 4; 7 2 c) ( ; 5) a ( 7; 0 d) ( 5; 2) a 1; 3) 50 Na číselné ose znázorni a jako interval zapiš tyto množiny: a) A = {x R; 7 < x 2} b) B = {x R; 5 x < 12,5} c) C = {x R; x > 0} d) D = {x R; x 1} 51 Jsou dány intervaly A = 3; 2, B = ( ; 2), C = (0; 10. Zapiš následující množiny pomocí intervalu: a) A B C b) A B C c) (B C) A d) (A B) C 52 Při cestě z Hradce do Pardubic se jede přes tři mosty. První má nosnost 15 t, druhý má nosnost 25 t a třetí 30 t. Zapiš intervalem (v tunách), jak těžká auta mohou po této trase jezdit. Výsledky Postup řešení najdeš na 48 a) 4; 6) b) (2; ) 49 a) (2; 7) (5; 9) = (2; 7) (5; 9) = b) ( 8 11 ; 7 ) 4; 7 2 = ( 8 11 ; 7 ) 4; 7 2 = 97

12 c) ( ; 5) ( 7; 0 = ( ; 5) ( 7; 0 = d) ( 5; 2) 1; 3) = ( 5; 2) 1; 3) = 50 a) A = ( 7; 2 b) B = 5; 8,5) c) C = (0; ) d) D = ( ; 1 51 a) ( ; 10 b) (0; 2) c) 3; 2 d) 3; (0; 15 98

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5 > 0 ostrá nerovnost 5.0 50 neostrá nerovnost ( používáme pouze čísla) ZNAKY NEROVNOSTI: > je větší než < je menší

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

METODICKÉ LISTY. výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Karlových Varech. číslo)

METODICKÉ LISTY. výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Karlových Varech. číslo) METODICKÉ LISTY výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Karlových Varech reg. č. projektu: CZ.1.07/1.3.11/02.0003 Sada metodických listů: KABINET MATEMATIKY

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

2.7.17 Nerovnice s neznámou pod odmocninou

2.7.17 Nerovnice s neznámou pod odmocninou .7.7 Nerovnice s neznámou pod odmocninou Předpoklady: 05, 75 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi největší masakry během celého studia. Její obtížnost spočítává hlavně ve dvou věcech: a) Je nutné,

Více

ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647

ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647 ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647 Název vzdělávacího materiálu: Anotace: Vzdělávací oblast: VY_32_INOVACE_ARITMETIKA+ALGEBRA17 Rovnice

Více

2. RBF neuronové sítě

2. RBF neuronové sítě 2. RBF neuronové sítě Kapitola pojednává o neuronových sítích typu RBF. V kapitole je popsána základní struktura tohoto typu neuronové sítě. Poté následuje definice a charakteristika jednotlivých radiálně

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět Matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6. až 8. ročníku 4 hodiny týdně, v 9. ročníku 3

Více

Vyučovací předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu

Vyučovací předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět: Matematika Školní vzdělávací program pro základní vzdělávání Základní školy a mateřské školy Dobrovice Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu

Více

Že tuto definici znáte, ale stále přesně nevíte, jak funkci chápat? Ukážeme si konkrétní příklad. 1 2 3 4 5 Definiční obor (množina A)

Že tuto definici znáte, ale stále přesně nevíte, jak funkci chápat? Ukážeme si konkrétní příklad. 1 2 3 4 5 Definiční obor (množina A) Funkce úvod Co je funkce Funkce je předpis, který číslu z množiny A přiřazuje právě jedno číslo z množiny B. Množina A je definiční obor funkce a množina B je obor hodnot funkce. Že tuto definici znáte,

Více

Zápis čísla v desítkové soustavě. Číselná osa Písemné algoritmy početních operací. Vlastnosti početních operací s přirozenými čísly

Zápis čísla v desítkové soustavě. Číselná osa Písemné algoritmy početních operací. Vlastnosti početních operací s přirozenými čísly Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Obor vzdělávací oblasti: Matematika Ročník: 1. Výstupy kompetence Učivo Průřezová témata,přesahy Číslo a početní operace VDO Občanská společnost a škola Obor

Více

Páka - výpočty rovnováhy na páce, výpočet momentu síly, rovnováha momentů sil

Páka - výpočty rovnováhy na páce, výpočet momentu síly, rovnováha momentů sil Páka - výpočty rovnováhy na páce, výpočet momentu síly, rovnováha momentů sil Teoretická část: Páka je jednoduchý stroj, ve fyzice velmi důležitý pojem pro působí síly či celé skupiny sil. Ve své podstatě

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Rovnice RNDr. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Grafické řešení soustav rovnic a nerovnic VY INOVACE_0 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Soustav lineárních rovnic Soustavou

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 6. 4 Klíčové kompetence.

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 6. 4 Klíčové kompetence. A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 6. 4 Klíčové kompetence Výstupy Učivo Průřezová témata Evaluace žáka Poznámky (Dílčí kompetence) 5 Kompetence

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, 518 01 Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE - 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 6.

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, 518 01 Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE - 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 6. 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 6. ročník RVP ZV Obsah RVP ZV Kód RVP ZV Očekávané výstupy ŠVP Školní očekávané výstupy ŠVP Učivo ČÍSLO A PROMĚNNÁ M9101 provádí

Více

Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. Matematika. Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám

Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. Matematika. Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Matematika Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Doc. PaedDr. Dalibor Martišek, Ph.D. RNDr. Milana Faltusová 5 Autoři: Lektorovala: Doc.

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

5.1.2.1. Matematika. 5.1.2. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace

5.1.2.1. Matematika. 5.1.2. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace 5.1.2. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace 5.1.2.1. Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu na 1. stupni: Vychází ze vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace, která je v základním

Více

VZDĚLÁVACÍ OBLAST: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE VZDĚLÁVACÍ OBOR: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE PŘEDMĚT: MATEMATIKA 7

VZDĚLÁVACÍ OBLAST: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE VZDĚLÁVACÍ OBOR: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE PŘEDMĚT: MATEMATIKA 7 VZDĚLÁVACÍ OBLAST: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE VZDĚLÁVACÍ OBOR: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE PŘEDMĚT: MATEMATIKA 7 Opakování -desítková soustava - početní výkony - dělitelnost - úhel - osová souměrnost -

Více

11. Geometrická optika

11. Geometrická optika Trivium z optiky 83 Geometrická optika V této a v následující kapitole se budeme zabývat studiem světla v situacích, kdy je možno zanedbat jeho vlnový charakter V tomto ohledu se obě kapitoly podstatně

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3476 Název materiálu: VY_42_INOVACE_145 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/4.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_2_INOVACE_CH29_1_06 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Jak připravit žákům trenažer pro cvičení jednoduchých dovedností

Jak připravit žákům trenažer pro cvičení jednoduchých dovedností Jak připravit žákům trenažer pro cvičení jednoduchých dovedností Ukázka 17 Trenažery Aktivní nástroje Pole pro vkládání textu, tlačítko Modely určené k procvičování model prvý bez skriptování Modely, které

Více

7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104

7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104 71 Vektory Předpoklady: 7104 Některé fyzikální veličiny (například rychlost, síla) mají dvě charakteristiky: velikost směr Jak je znázornit, jedno číslo (jako například pro hmotnost m = 55kg ) nestačí?

Více

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH (Tento text je součástí výkladu k definičním oborům, tam najdete další příklady a pokud chcete část tohoto textu někde použít, můžete čerpat ze stažené kompletní verze definičních oborů ve formátu.doc.)

Více

334/2000 Sb. VYHLÁŠKA. Ministerstva průmyslu a obchodu. ze dne 6. září 2000,

334/2000 Sb. VYHLÁŠKA. Ministerstva průmyslu a obchodu. ze dne 6. září 2000, Vyhl. č. 334/2000 Sb., stránka 1 z 9 334/2000 Sb. VYHLÁŠKA Ministerstva průmyslu a obchodu ze dne 6. září 2000, kterou se stanoví požadavky na vodoměry na studenou vodu označované značkou EHS Ministerstvo

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose

3. Celá čísla. 3.1. Vymezení pojmu celé číslo. 3.2. Zobrazení celého čísla na číselné ose 3. Celá čísla 6. ročník 3. Celá čísla 3.1. Vymezení pojmu celé číslo Ve své dosavadní praxi jste se setkávali pouze s přirozenými čísly. Tato čísla určovala konkrétní počet (6 jablek, 7 kilogramů jablek,

Více

Kód uchazeče ID:... Varianta: 14

Kód uchazeče ID:... Varianta: 14 Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 14 1. V lednu byla zaměstnancům zvýšena mzda o 16 % prosincové mzdy. Následně

Více

ZLOMKY A DESETINNÁ ČÍSLA. Růžena Blažková

ZLOMKY A DESETINNÁ ČÍSLA. Růžena Blažková ZLOMKY A DESETINNÁ ČÍSLA Růžena Blažková Úvod Se zlomky a s desetinnými čísly se setkává každý člověk, jak v běžném životě, tak v pracovních či zájmových činnostech. Z matematického hlediska není rozdíl

Více

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.

Více

Slovesa. MASARYKOVA ZÁKLADNÍ ŠKOLA A MATEŘSKÁ ŠKOLA VELKÁ BYSTŘICE projekt č. CZ.1.07/1.4.00/21.1920 Název projektu: Učení pro život

Slovesa. MASARYKOVA ZÁKLADNÍ ŠKOLA A MATEŘSKÁ ŠKOLA VELKÁ BYSTŘICE projekt č. CZ.1.07/1.4.00/21.1920 Název projektu: Učení pro život Slovesa MASARYKOVA ZÁKLADNÍ ŠKOLA A MATEŘSKÁ ŠKOLA VELKÁ BYSTŘICE projekt č. CZ.1.07/1.4.00/21.1920 Název projektu: Učení pro život Číslo DUMu: VY_32_INOVACE_25_01 Tématický celek: Gramatika, skladba,

Více

PŘEDMĚT: Matematika Ročník: 1. Výstup z RVP Ročníkový výstup Doporučené učivo Průřezová témata

PŘEDMĚT: Matematika Ročník: 1. Výstup z RVP Ročníkový výstup Doporučené učivo Průřezová témata PŘEDMĚT: Matematika Ročník: 1. Výstup z RVP Ročníkový výstup Doporučené učivo Průřezová témata číslo a početní operace 1. používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném

Více

Základní ovládání aplikace

Základní ovládání aplikace Základní ovládání aplikace Základem ovládání aplikace je jednoduchý toolbar (panel nástrojů) ve spodní části obrazovky, který umožňuje přepínání mezi jednotlivými obrazovkami aplikace. Jsou zde zobrazeny

Více

Uživatelská příručka ClinkMe

Uživatelská příručka ClinkMe Uživatelská příručka ClinkMe OBSAH DIALER 1 ZÁKLADNÍ OVLÁDÁNÍ APLIKACE... 1 KONTAKTY... 2 POČET TELEFONNÍCH ČÍSEL KONTAKTU... 4 ZÁLOŽKY PRO FILTROVÁNÍ KONTAKTŮ... 5 PANEL PRO ZADÁVÁNÍ VYHLEDÁVACÍCH KRITÉRIÍ...

Více

Dopravní značky 6. část

Dopravní značky 6. část Dopravní značky 6. část (1) jsou a) "Počet" (č. E 1), E1 Užívá se zejména ve spojení s DZ Dvojitá zatáčka, první vpravo, nebo Dvojitá zatáčka, první vlevo. Pokud po sobě následují tři nebo čtyři zatáčky

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004 PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)

Více

FOTOVOLTAICKÁ ELEKTRÁRNA V BŘEŽANECH

FOTOVOLTAICKÁ ELEKTRÁRNA V BŘEŽANECH Středoškolská technika 2009 Setkání a prezentace prací středoškolských studentů na ČVUT FOTOVOLTAICKÁ ELEKTRÁRNA V BŘEŽANECH Martin Vanický ISŠT Benešov Černolesklá 1997; 25601 Benešov Fotovoltaická elektrárna

Více

1.2.1 Desetinná čísla I

1.2.1 Desetinná čísla I 1.2.1 Desetinná čísla I Předpoklady: S přirozenými čísly dokážeme hodně, ale vždy s nimi nevystačíme. Takto by například vypadalo olympijské finále v běhu na 1 m mužů, kdybychom uměli měřit pouze na celé

Více

JMENUJI SE: To je otisk mé ruky: Baví mě: S čím si rád/a hraju: Namaluj/napiš na každý prst osobu, která ti pomáhá.

JMENUJI SE: To je otisk mé ruky: Baví mě: S čím si rád/a hraju: Namaluj/napiš na každý prst osobu, která ti pomáhá. To jsem JÁ 1I JMENUJI SE: Baví mě: To je otisk mé ruky: S čím si rád/a hraju: Namaluj/napiš na každý prst osobu, která ti pomáhá. 2I Jmenuji se......... a je mi... let. Žiju společně s: Bydlím v: Nejvíc

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Komentář k pracovnímu listu

Komentář k pracovnímu listu Komentář k pracovnímu listu Název: Čísla a letopočty Cíle aneb K čemu by práce s tímto pracovním listem měla vést: Cílem PL je naučit se pracovat s velkými čísly a základními dějepisnými pojmy jako je

Více

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 05_2_Kinematika hmotného bodu Ing. Jakub Ulmann 2 Kinematika hmotného bodu Nejstarším odvětvím fyziky,

Více

30/2001 Sb. VYHLÁŠKA Ministerstva dopravy a spojů. ze dne 10. ledna 2001,

30/2001 Sb. VYHLÁŠKA Ministerstva dopravy a spojů. ze dne 10. ledna 2001, 30/2001 Sb. VYHLÁŠKA Ministerstva dopravy a spojů ze dne 10. ledna 2001, kterou se provádějí pravidla provozu na pozemních komunikacích a úprava a řízení provozu na pozemních komunikacích Změna: 153/2003

Více

Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA. Dělitelnost. 3. Rozložte daná čísla na součin prvočísel: 128; 96; 78; 105; 150.

Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA. Dělitelnost. 3. Rozložte daná čísla na součin prvočísel: 128; 96; 78; 105; 150. Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA Dělitelnost 1. Z čísel 1800; 356; 168; 855; 380; 768; 2880; 435; 2000 vyberte čísla: a) dělitelná dvěma: b) dělitelná třemi: c) dělitelná čtyřmi: d)

Více

Gymnázium Přírodní škola Mapa výjezdů Přírodní školy

Gymnázium Přírodní škola Mapa výjezdů Přírodní školy Gymnázium Přírodní škola Mapa výjezdů Přírodní školy Autor: Šárka Vohralíková; Vedoucí práce: Mgr. Štěpán Macháček Velmi bych chtěla poděkovat svému vedoucímu práce a konzultantovi panu učiteli Štěpánovi

Více

ODBORNÝ VÝCVIK VE 3. TISÍCILETÍ

ODBORNÝ VÝCVIK VE 3. TISÍCILETÍ Projekt: ODBORNÝ VÝCVIK VE 3. TISÍCILETÍ Úloha: Nikobus software ruční režim Obor: Elektrikář silnoproud Ročník: 3. Zpracoval: Ing. Jaromír Budín, Ing. Jiří Šima Střední odborná škola Otrokovice, 2010

Více

Úvodní opakování, kladná a záporná čísla, dělitelnost, osová a středová souměrnost

Úvodní opakování, kladná a záporná čísla, dělitelnost, osová a středová souměrnost Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Úvodní opakování, kladná a záporná, dělitelnost, osová a středová souměrnost Prima 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Knihomol. Manuál pro verzi 1.2

Knihomol. Manuál pro verzi 1.2 Knihomol Manuál pro verzi 1.2 Strana - 2 - I. Základy práce s programem Úvod do práce s programem Knihomol: Program knihomol slouží pro vedení evidence spojené s provozem malé knihovny. Je určen především

Více

METODICKÉ LISTY. výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Sokolově

METODICKÉ LISTY. výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Sokolově METODICKÉ LISTY výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Sokolově reg. č. projektu: CZ.1.07/1.3.11/02.0005 Sada metodických listů: KABINET MATEMATIKY Název metodického

Více

Kód VM: 42_ INOVACE_1SMO41 Projekt: Zlepšení výuky na ZŠ Schulzovy sady registrační číslo: CZ.1.07./1.4.00/21.2581

Kód VM: 42_ INOVACE_1SMO41 Projekt: Zlepšení výuky na ZŠ Schulzovy sady registrační číslo: CZ.1.07./1.4.00/21.2581 Kód VM: 42_ INOVACE_1SMO41 Projekt: Zlepšení výuky na ZŠ Schulzovy sady registrační číslo: CZ.1.07./1.4.00/21.2581 Autor: Mgr. Marie Smolíková Datum: 1. 2. 2012 Ročník: 7. Vzdělávací oblast: Matematika

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

Metodický list. Ověření materiálu ve výuce: Datum ověření: 30. 3. 2012 Třída: 5. B Ověřující učitel: Jana Kuchtíková

Metodický list. Ověření materiálu ve výuce: Datum ověření: 30. 3. 2012 Třída: 5. B Ověřující učitel: Jana Kuchtíková Příjemce: Základní škola Ruda nad Moravou, okres Šumperk, Sportovní 300, 789 63 Ruda nad Moravou Zařazení materiálu: Metodický list Šablona: Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické

Více

8. Geometrie vrací úder (sepsal Pavel Klavík)

8. Geometrie vrací úder (sepsal Pavel Klavík) 8. Geometrie vrací úder (sepsal Pavel Klavík) Když s geometrickými problémy pořádně nezametete, ony vám to vrátí! Ale když užzametat,takurčitěnepodkoberecamístosmetákupoužijtepřímku.vtéto přednášce nás

Více

Kolekce ArrayList. Deklarace proměnných. Import. Vytvoření prázdné kolekce. napsal Pajclín

Kolekce ArrayList. Deklarace proměnných. Import. Vytvoření prázdné kolekce. napsal Pajclín Kolekce ArrayList napsal Pajclín Tento článek jsem se rozhodl věnovat kolekci ArrayList, protože je to jedna z nejpoužívanějších. Tento článek není kompletním popisem třídy ArrayList, ale budu se snažit

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_3_10 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51

Více

Tabulkové processory MS Excel (OpenOffice Calc)

Tabulkové processory MS Excel (OpenOffice Calc) Maturitní téma: Tabulkové processory MS Excel (OpenOffice Calc) Charakteristika tabulkového editoru Tabulkový editor (sprematuritníadsheet) se používá všude tam, kde je třeba zpracovávat data uspořádaná

Více

3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech

3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech 3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech V předchozích dvou kapitolách jsme zjistili, jak se zobrazují tělesa ve středovém promítání a hlavně v lineární perspektivě, a jak pomocí těchto promítání vytvořit

Více

POPIS PROSTŘEDÍ PROGRAMU GIMP 2. Barvy 2. Okno obrázku 4 ZÁKLADNÍ ÚPRAVA FOTOGRAFIÍ V GRAFICKÉM EDITORU 6. Změna velikosti fotografie 6

POPIS PROSTŘEDÍ PROGRAMU GIMP 2. Barvy 2. Okno obrázku 4 ZÁKLADNÍ ÚPRAVA FOTOGRAFIÍ V GRAFICKÉM EDITORU 6. Změna velikosti fotografie 6 Obsah POPIS PROSTŘEDÍ PROGRAMU GIMP 2 Barvy 2 Okno obrázku 4 ZÁKLADNÍ ÚPRAVA FOTOGRAFIÍ V GRAFICKÉM EDITORU 6 Změna velikosti fotografie 6 Ořezání obrázku 7 TRANSFORMACE 9 Rotace 9 Překlopení 11 Perspektiva

Více

Základní škola Moravský Beroun, okres Olomouc

Základní škola Moravský Beroun, okres Olomouc Charakteristika vyučovacího předmětu matematika Vyučovací předmět má časovou dotaci čtyři hodiny týdně v prvním ročníku, pět hodin týdně ve druhém až pátém ročníku, pět hodin týdně v šestém ročníku a čtyři

Více

N únosnost nýtů (při 2 střižných krčních nýtech zpravidla únosnost plynoucí z podmínky otlačení) Pak platí při rozteči (nýtové vzdálenosti) e

N únosnost nýtů (při 2 střižných krčních nýtech zpravidla únosnost plynoucí z podmínky otlačení) Pak platí při rozteči (nýtové vzdálenosti) e Výpočet spojovacích prostředků a spojů (Prostý smyk) Průřez je namáhán na prostý smyk, působí-li na něj vnější síly, jejichž účinek lze ekvivalentně nahradit jedinou posouvající silou T v rovině průřezu

Více

Matematika pro studenty ekonomie

Matematika pro studenty ekonomie w w w g r a d a c z vydání upravené a doplněné vydání Armstrong Grada Publishing as U Průhonu 7 Praha 7 tel: + fax: + e-mail: obchod@gradacz wwwgradacz Matematika pro studenty ekonomie MATEMATIKA PRO STUDENTY

Více

DUM 14 téma: Barevné korekce fotografie

DUM 14 téma: Barevné korekce fotografie DUM 14 téma: Barevné korekce fotografie ze sady: 2 tematický okruh sady: Bitmapová grafika ze šablony: 09 Počítačová grafika určeno pro: 2. ročník vzdělávací obor: vzdělávací oblast: číslo projektu: anotace:

Více

Teoretická rozdělení

Teoretická rozdělení Teoretická rozdělení Diskrétní rozdělení Obsah kapitoly Studijní cíle Doba potřebná ke studiu Pojmy k zapamatování Úvod Některá teoretická rozdělení diskrétních veličin: Alternativní rozdělení Binomické

Více

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách.

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách. ŠROUBOVÉ PLOCHY 1. Základní úlohy na šroubových plochách. Šroubová plocha Φ vzniká šroubovým pohybem křivky k, která není trajektorií daného šroubového pohybu. Je-li pohyb levotočivý (pravotočivý je i

Více

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ I. ARITMETIKA 1. Zlomky a racionální čísla Jestliže rozdělíme něco (= celek) na několik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlomkem. Zlomek tři čtvrtiny = tři

Více

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou

OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan âíslice, které nestárnou OD NULY K NEKONEâNU Poãítej jako EgypÈan Nejstarší známý početní systém založený na čísle 10 zavedli před 5 000 lety v Egyptě. Egypťané používali skupinu čar pro vyjádření čísel do devítky. Vypadala asi

Více

Petr Chvosta. vlevo, bude pravděpodobnost toho, že se tyč na počátku intervalu τ B nachází nad vpravo

Petr Chvosta. vlevo, bude pravděpodobnost toho, že se tyč na počátku intervalu τ B nachází nad vpravo MOLEKULÁRNÍ MOTORY Petr Chvosta. Automobil v krupobití aneb brzděním k pohybu Uvažme automobil stojící na mírném svahu a bombardovaný rovnoměrně ze všech stran obrovskými kroupami. Svah stoupá směrem doprava

Více

NEXIS 32 rel. 3.50. Generátor fází výstavby TDA mikro

NEXIS 32 rel. 3.50. Generátor fází výstavby TDA mikro SCIA CZ, s. r. o. Slavíčkova 1a 638 00 Brno tel. 545 193 526 545 193 535 fax 545 193 533 E-mail info.brno@scia.cz www.scia.cz Systém programů pro projektování prutových a stěnodeskových konstrukcí NEXIS

Více

MONITOROVACÍ SYSTÉM. Návod na obsluhu webového rozhraní. Truck Data Technology, s.r.o. 2015 oficiální verze

MONITOROVACÍ SYSTÉM. Návod na obsluhu webového rozhraní. Truck Data Technology, s.r.o. 2015 oficiální verze MONITOROVACÍ SYSTÉM Návod na obsluhu webového rozhraní 2015 oficiální verze 1 Obsah Obsah... 1 Přihlášení do webového rozhraní... 3 Ovládací prvky webového rozhraní... 4 Základní obrazovka... 4 a) pole

Více

Moment síly, páka Převzato z materiálů ZŠ Ondřejov - http://www.zsondrejov.cz/vyuka/

Moment síly, páka Převzato z materiálů ZŠ Ondřejov - http://www.zsondrejov.cz/vyuka/ Moment síly, páka Převzato z materiálů ZŠ Ondřejov - http://www.zsondrejov.cz/vyuka/ Síla může mít otáčivé účinky. Působící síla může měnit otáčivý pohyb tělesa, můžeme těleso roztočit, zbrzdit nebo zastavit.

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Funkce. Definiční obor a obor hodnot

Funkce. Definiční obor a obor hodnot Funkce Definiční obor a obor hodnot Opakování definice funkce Funkce je předpis, který každému číslu z definičního oboru, který je podmnožinou množiny všech reálných čísel R, přiřazuje právě jedno reálné

Více

Webové aplikace Ústí nad Labem

Webové aplikace Ústí nad Labem Webové aplikace Ústí nad Labem - Bezbariérové a přístupové trasy Cykloportál Publikace Bezbariérové a přístupové trasy Použité vizuální prvky - - mapový podklad - ortofotomapy fotodokumentace objekty,

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

5.3.2 Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

5.3.2 Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu 5.3.2 Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Předmět: Matematika Ročník: 1. Očekávané výstupy z RVP ZV Školní výstupy Učivo Přesahy a vazby (mezipředmětové vztahy, průřezová témata) používá přirozená čísla

Více

Okno Editoru nabízí v panelu nástrojů

Okno Editoru nabízí v panelu nástrojů 110 Editor pracovní nástroje Naučte se používat základní nástroje Editoru pro efektivní úpravy obrázků. VYBRANÉ OVLÁDACÍ PRVKY 112 POLYGONOVÉ LASO A LASO 124 VLOŽIT OBRÁZEK DO OBRÁZKU 132 VÝBĚRY 114 REDUKCE

Více

Klíčení obilek pro všechny úlohy společné

Klíčení obilek pro všechny úlohy společné Klíčení obilek pro všechny úlohy společné Laboratorní průvodce Úloha Nechte si naklíčit obilky kukuřice. Po 7 dnech by měly být klíční rostliny připraveny k zasazení do experimentálních podmínek. Také

Více

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 1. stupeň

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 1. stupeň MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 1. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět se vyučuje jako samostatný předmět v 1. - 5. ročníku 5 hodin týdně. Vzdělávání v matematice zaměřeno

Více

Digitalizace signálu (obraz, zvuk)

Digitalizace signálu (obraz, zvuk) Digitalizace signálu (obraz, zvuk) Základem pro digitalizaci obrazu je převod světla na elektrické veličiny. K převodu světla na elektrické veličiny slouží např. čip CCD. Zkratka CCD znamená Charged Coupled

Více

INFORMACE NRL č. 12/2002 Magnetická pole v okolí vodičů protékaných elektrickým proudem s frekvencí 50 Hz. I. Úvod

INFORMACE NRL č. 12/2002 Magnetická pole v okolí vodičů protékaných elektrickým proudem s frekvencí 50 Hz. I. Úvod INFORMACE NRL č. 12/2 Magnetická pole v okolí vodičů protékaných elektrickým proudem s frekvencí Hz I. Úvod V poslední době se stále častěji setkáváme s dotazy na vliv elektromagnetického pole v okolí

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA

M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA M - Příprava na 1. zápočtový test - třída 3SA Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

Soutěžní pravidla pro RC Truck Trial Praha

Soutěžní pravidla pro RC Truck Trial Praha Soutěžní pravidla pro RC Truck Trial Praha Platnost od 1.4.2013 1. Všeobecné 1.1. Základy RC Truck Trialu Závody jsou primárně určeny pro vozidla, která by mohla jezdit truck trialové závody skutečných

Více

Sbírka zákonů ČR Předpis č. 294/2015 Sb.

Sbírka zákonů ČR Předpis č. 294/2015 Sb. Sbírka zákonů ČR Předpis č. 294/2015 Sb. Vyhláška, kterou se provádějí pravidla provozu na pozemních komunikacích Účinnost od 01.01.2016 Aktuální verze 294 VYHLÁŠKA ze dne 27. října 2015, kterou se provádějí

Více

1.1.7 Rovnoměrný pohyb I

1.1.7 Rovnoměrný pohyb I 1.1.7 Rovnoměrný pohyb I Předpoklady: 116 Kolem nás se nepohybují jenom šneci. Existuje mnoho různých druhů pohybu. Začneme od nejjednoduššího druhu pohybu rovnoměrného pohybu. Př. 1: Uveď příklady rovnoměrných

Více