Teorie množin. kapitola 2

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Teorie množin. kapitola 2"

Transkript

1 Teorie množin kapitola 2

2 kapitola 2 část 3 Intervaly Základní poznatky Teorie množin Co po tobě budu dneska chtít? V této podkapitole tě naučím pracovat s intervaly, správně je zapisovat a zakreslovat na číselnou osu. Budeš vědět, jaké typy intervalů existují a jaký je mezi nimi rozdíl. Nakonec ti ukážu, jak udělat průnik a sjednocení dvou intervalů, protože tahle dovednost je opravdu velmi důležitá, tak tuto látku nepodceň. Na co to budeš jednou potřebovat? Odpověď na tuto otázku můžeš nalézt na konci této podkapitoly, kde ti řeknu, v jakých konkrétních případech v životě se s intervaly setkáš, tak dočkej času jako husa klasu. S čím to bude v matematice souviset? Intervaly se používají opravdu téměř všude a jejich znalost je tedy nutná. Setkáš se s nimi například u určování podmínek pro neznámou v Rovnicích a nerovnicích nebo při řešení soustav lineárních nerovnic. Co je to interval? Definice říká, že interval je podmnožina množiny všech reálných čísel, která je z obou stran ohraničena dvěma krajními body (krajní bod může být i nekonečno). Interval je tedy soubor reálných čísel, která jsou větší (nebo rovna) danému číslu (či mínus nekonečnu) a zároveň menší (nebo rovna) jinému číslu (či plus nekonečnu), například větší než 5 a menší nebo rovno 17, v matematičtině jako (5; 17. Nezapomeň především na to, že interval existuje pouze v reálných číslech. Existují dva typy intervalů: a) interval omezený takový interval, který je z obou stran omezený danými hodnotami (nikoliv symbolem nekonečna), např. ( 3; 2. Tyto intervaly se dále rozlišují na interval uzavřený, polouzavřený zprava, polouzavřený zleva a otevřený. Podrobnější informace ti řeknu až za chvíli. b) Interval neomezený Neomezený interval je takový interval, který je omezen přesnou hodnotou nejvýše (maximálně) z jedné strany, např. ( ; 1) či ( ; ). I tento typ intervalu se dále rozděluje, a to na interval neomezený zprava a uzavřený zleva, interval neomezený zprava a otevřený zleva, interval neomezený zleva a uzavřený zprava, interval neomezený zleva a otevřený zprava a interval neomezený z obou stran (ten se používá jen zřídka). Je jich sice hodně, ale není na tom vůbec nic těžkého. Více ti řekne tabulka, kterou nalezneš na straně 92, kde jsou tyto druhy intervalů znázorněny. 88

3 K čemu je interval dobrý? Pokud potřebuješ vymezit nějaký úsek reálných čísel, pak použiješ interval. Například chceš říct, že otevírací doba obchodu Hustejšop je od devíti (včetně) do osmnácti (včetně) hodin. Intervalem bys takovouto skutečnost zapsal jako 9; 18. Třeba číslo 19 hodin se už v intervalu nenachází, tudíž si nemůžeš nic v tomto obchodu koupit, protože je zavřený. Kdežto číslo 12,5 (tj. půl jedné odpoledne) je v intervalu obsaženo je, takže nakupovat můžeš. Častým problémem jsou závorky, tedy zda tam bude ostrá, tj. nebo, či kulatá, tj. ( nebo ). Ale o tomto ti řeknu více až na straně 95, kde ti to ukážu na příkladech z reálného života. Jak zapsat interval? Interval můžeš zapsat třemi způsoby. S prvním způsobem se setkáš nejčastěji, je to klasický zápis intervalu, kde jsou v závorkách dvě čísla oddělená středníkem (někdy se používá jen desetinná čárka, což může působit nepřehledně a plést se tak s desetinným číslem, takže to v této knize používat nebudeme). První typ zápisu vypadá tak, že má dva krajní body v závorkách. Bod, který je vlevo, musí být menší než ten, co je vpravo. Například interval (1; 5) je zapsaný správně, ale interval (5; 1) je už špatně. Mohou se samozřejmě měnit závorky, takže můžeš napsat čtyři typy intervalů, buď (a; b), a; b), (a; b, nebo a; b. Záleží na tom, zda chceš, aby krajní bod ještě patřil do intervalu. Pokud patří do intervalu, pak dáš ostrou závorku, tj. nebo. Jestli nemá patřit, napíšeš kulatou závorku, tedy ( nebo ). Více ti o závorkách řeknu později u omezených intervalů. (a; b) krajní bod (tzv. dolní mez) krajní bod (tzv. horní mez) Druhý způsob zápisu, kterému se říká charakteristická vlastnost, se používá především u zápisu množin. Funguje tak, že nejdříve napíšeš menší krajní bod a potom znaménko nerovnosti (buď krajní bod patří do intervalu, anebo < nepatří do intervalu). Dále napíšeš neznámou (je na tobě, jak ji pojmenuješ, obvykle to je x) a opět napíšeš znaménko nerovnosti (symbol nebo <, záleží, zda krajní bod patří nebo nepatří do intervalu). Nakonec napíšeš hodnotu většího krajního bodu. Zápis 1 < x < 5 lze přečíst jako: neznámá x je větší než jedna a zároveň menší než pět. x R; a < x < b krajní bod (tzv. dolní mez) neznámá (název je libovolný) krajní bod (tzv. horní mez) Třetím způsobem je grafické znázornění na číselné ose. Tento způsob se hodí především ve chvílích, kdy si potřebuješ představit více intervalů najednou, aby bylo například vidět, jakou část mají společnou. Více o zakreslování ti řeknu pod nadpisem Omezené intervaly trochu detailněji. 89

4 Přehled omezených intervalů V následující tabulce (kde a, b jsou reálná čísla a platí, že a < b) se nachází přehled omezených intervalů. Pokud ti některý z těchto typů není jasný nebo nevíš, jak správně interval znázornit na ose nebo ho zapsat charakteristickou vlastností, podívej se na následující řádky pod tabulkou, kde ti toto vysvětlím detailněji. V případě, že ti to jasné je, můžeš přelistovat na stranu 92, kde se nachází přehled neomezených intervalů. Název Zápis intervalu Charakteristická vlastnost Znázornění na ose Uzavřený interval a; b a x b, x R Polouzavřený interval zprava (a; b a < x b, x R Polouzavřený interval zleva a; b) a x < b, x R Otevřený interval (a; b) a < x < b, x R Omezené intervaly trochu detailněji Omezené intervaly se dále dělí podle toho, kde jsou uzavřené. a) uzavřený interval Uzavřený interval je takový interval, který je na obou stranách uzavřen určitými hodnotami, které do intervalu patří. To znamená, že na obou stranách intervalu jsou ostré závorky, např. 1; 5. 1; 5 1 x 5, x R krajní bod (tzv. dolní mez) krajní bod (tzv. horní mez) krajní bod (tzv. dolní mez) neznámá (název je libovolný) krajní bod (tzv. horní mez) Interval 1; 5 zapíšeš pomocí charakteristické vlastnosti jako 1 x 5 (čti: číslo x je větší nebo rovno jedné a zároveň menší nebo rovno pěti ). V dalších typech intervalů se soustřeď na měnící se znaménko nerovnosti (tj. < a ) u zápisu charakteristickou vlastností. Tento typ intervalu můžeš zakreslit na číselnou osu. Oba krajní body znázorníš na ose plným kolečkem, protože do intervalu patří, což říká ostrá závorka 1; 5. Pokud by tam body nepatřily, to znamená, že by u krajních bodů byla kulatá závorka, pak by se na číselné ose znázornily prázdnými kolečky, ale o tom až později. b) polouzavřený interval zprava Polouzavřený interval zprava (také polootevřený interval zleva, záleží, jak se na to díváš) je takový interval, který je na pravé straně uzavřený (ostrá závorka označující, že krajní bod do intervalu patří) a na levé straně je otevřený (kulatá závorka říkající, že krajní bod do intervalu nepatří), např. interval ( 1; 2. 90

5 Interval ( 1; 2 zapíšeš pomocí charakteristické vlastnosti takto: 1 < x 2 (čti: číslo x je větší než mínus jedna a zároveň menší nebo rovno dvěma ). Jak můžeš vidět, pokud je u krajního bodu kulatá závorka, dáš znaménko <. Jestliže je v zadání ostrá závorka, napíšeš znaménko. Na číselnou osu se tento interval znázorní tak, že nad hodnotu krajního bodu, u kterého je ostrá závorka, nakreslíš plné kolečko. U krajního bodu, který má u sebe kulatou závorku v zadání intervalu, bude prázdné kolečko. Více ti řekne číselná osa níže. Ostrá závorka v zadání intervalu a plné kolečko na číselné ose značí, že daný bod patří do intervalu. Kdežto kulatá závorka v zadání intervalu a prázdné kolečko na číselné ose říká, že daný bod nepatří do intervalu, více ti řekne číselná osa výše. c) polouzavřený interval zleva Polouzavřený interval zleva (také polootevřený interval zprava) je takový interval, který je na levé straně uzavřený (ostrá závorka) a na pravé straně otevřený (kulatá závorka), např. interval 0; 3). Interval 0; 3) zapíšeš pomocí charakteristické vlastnosti takto: 0 x < 3. (čti: číslo x je větší nebo rovno nule a zároveň menší než tři ). Tam, kde je kulatá závorka, dáš < a kde je ostrá závorka, napíšeš. Tento typ intervalu můžeš samozřejmě zakreslit na číselnou osu. Krajní bod omezující interval zleva do intervalu patří (proto je na číselné ose vyznačen plným kolečkem), kdežto krajní bod, který omezuje interval zprava, do intervalu nepatří (proto je na ose označen prázdným kolečkem). d) otevřený interval Otevřený interval je takový interval, který je na obou stranách otevřený (má pouze kulaté závorky), např. ( 2; 2). Interval ( 2; 2) zapíšeš pomocí charakteristické vlastnosti jako 2 < x < 2 (čti: číslo x je větší než mínus dva a zároveň menší než dva ). Na číselnou osu zakreslíš tento typ intervalu tak, že u obou krajních bodů bude prázdné kolečko, protože do intervalu nepatří, je u nich v zadání intervalu kulatá závorka. Přehled neomezených intervalů Jak jsem ti již říkal na začátku kapitoly, i intervaly neomezené lze dále dělit. V tabulce níže (kde a je reálné číslo) můžeš nalézt přehled těchto neomezených intervalů. Pravidla pro zakreslování, jako například, že kulatá závorka se značí prázdným kolečkem nebo že ostrá závorka je plné kolečko, platí i zde. 91

6 Název Zápis intervalu Charakteristická vlastnost Znázornění na ose Interval neomezený zprava a uzavřený zleva a; ) x a, x R Interval neomezený zprava a otevřený zleva (a; ) x > a, x R Interval neomezený zleva a uzavřený zprava ( ; a x a, x R Interval neomezený zleva a otevřený zprava ( ; a) x < a, x R Interval neomezený z obou stran ( ; ) < x <, x R Příklad 1 Vyjádři zápis K = {x R; 1 x < 6} výčtem prvků a posléze i intervalem. Postup Máš množinu K, která pro svůj zápis využívá charakteristickou vlastnost, zapsat výčtem prvků a poté i intervalem. Tak vzhůru na to! Množinu K nelze zapsat výčtem prvků. Takovýto zápis nemůžeš napsat výčtem prvků, protože výsledkem jsou všechna reálná čísla (to určuje značka R) mezi čísly jedna a šest (říká zápis 1 x < 6), a to je nekonečně mnoho čísel (může to být například číslo 1,6; 1,789; 2,86; 3, atd.). A proto je potřeba nějaký snazší zápis, tedy způsob zápisu pomocí intervalu. K = 1; 6) U zápisu intervalu je velmi důležité vědět, jaké závorky použiješ, zda ostré, anebo kulaté. Záleží na tom, jestli se v zadání nerovnice nachází znaménka <, >, nebo. U prvních dvou znamének dáš kulatou závorku, která značí, že daný krajní bod již do intervalu nepatří. Zbylá dvě znaménka mají ostrou závorku udávající, že dané číslo do intervalu patří. Zápis intervalem napíšeš u této množiny jako 1; 6). V zadání u jedničky je symbol, takže dáš ostrou závorku a u čísla šest bude kulatá závorka, protože je u něho symbol <. Tomuto omezenému intervalu se odborně říká polouzavřený zleva. Tý jo, průnik intervalů! Jestliže potřebuješ provést průnik dvou nebo i více intervalů, pak je nejlepší možnost si všechny intervaly zakreslit na jednu číselnou osu. Z podkapitoly Množiny víš, že výsledkem průniku je množina (interval) obsahující všechny prvky, které mají obě množiny (intervaly) společné. To znamená, že pokud chceš průnik dvou intervalů, tak výsledkem bude interval s čísly, které patří do obou intervalů zároveň. 92

7 Příklad 2 Urči průnik intervalů A = ( 2; 2 a B = 0; 4). Postup Uděláš tedy průnik dvou intervalů A a B a získáš tak nový interval, který bude obsahovat čísla, která jsou jak v intervalu A, tak zároveň i v intervalu B. A = ( 2; 2 a B = 0; 4) Nejdříve na jednu číselnou osu zakreslíš oba intervaly. Začneš krajními body. Pokud je u krajního bodu kulatá závorka, pak bude na číselné ose prázdné kolečko. Když je u krajního bodu ostrá závorka, nakreslíš plné kolečko. Krajní body z jednoho intervalu spojíš čárou. A B Následně vyšrafuješ průnik těchto dvou intervalů, tedy to, co mají společné (= všechna čísla, která jsou obsažena v obou intervalech zároveň). Na ose vidíš zobrazený průnik jako modro-zeleně vyšrafovanou část. Je to ta část, kde jsou oba intervaly zobrazené pod sebou. V tomto případě do průniku patří všechna čísla od nuly (včetně) do dvou (včetně). Včetně proto, že do zadaných intervalů body patří (v zadání intervalů se u nich nachází ostrá závorka). K = A B = ( 2; 2 0; 4) = 0; 2 V jazyce matematiky se pro průnik používá symbol. Výsledkem tedy je interval od nuly (včetně) do dvou (včetně). Příklad 3 Urči průnik intervalů A B C, jestliže A = 1; 1, B = (0; 2 a C = (2; 4. Postup Tento příklad vyřešíš podobným způsobem jako příklad 2. Výsledkem průniku je nový interval, který bude obsahovat prvky, které jsou ve všech třech intervalech zároveň. Nejdříve si na číselnou osu nakreslíš krajní body intervalů. Plné kolečko bude mít ten bod, který má u sebe ostrou závorku. Prázdné kolečko zastupuje bod, který je u kulaté závorky. Nakonec body z jednotlivých intervalů spojíš. Průnikem je pak to, co mají všechny tři intervaly společné (na ose to bude ta část, kde jsou všechny tři čáry pod sebou). Jak je z osy výše jasné, nemají společného vůbec nic (jsou pod sebou maximálně dvě čáry ). 93

8 A B C = Pro zápis průniku se používá symbol a pokud není průnik žádný, tak se používá symbol, který značí prázdnou množinu (pokud nevíš, co to je, podívej se na stranu 69). Sjednocení intervalů Z podkapitoly Množiny určitě víš, že výsledkem sjednocení množin je nová množina (interval) obsahující všechna čísla, která jsou alespoň (minimálně) v jedné množině. U dvou intervalů bude sjednocením nový interval, který bude obsahovat všechna čísla, která jsou alespoň v jednom ze dvou intervalů. Příklad 4 Urči sjednocení intervalů A = ( 2; 2 a B = 0; 4). Postup Uděláš tedy sjednocení dvou intervalů A a B a získáš tak nový interval, který bude obsahovat čísla, která jsou alespoň v intervalu A nebo v B. A = ( 2; 2 a B = 0; 4) Nejdříve na osu zakreslíš oba dva intervaly, respektive jejich krajní body ve tvaru plných (ostrá závorka) nebo prázdných (kulatá závorka) koleček a příslušná kolečka spojíš. A B Následně pak označíš (např. vyšrafuješ) část, která spadá alespoň (minimálně) do jednoho z intervalů. V tomto případě to jsou všechna čísla od mínus dvou (bez) do čtyř (bez). Bez je to proto, že v zadání intervalů se u čísla 2 a 4 nachází kulatá závorka značící, že daný bod do intervalu nepatří. K = A B = ( 2; 2 0; 4) = ( 2; 4) V matematické symbolice se pro zápis sjednocení používá symbol. Výsledkem tohoto příkladu je interval od mínus dvou (bez) do čtyř (bez). 94

9 Příklad 5 Urči sjednocení intervalů A = 1; 1, B = (0; 2 a C = (3; 5. Postup Postup bude velmi podobný jako u příkladu 4. Výsledkem sjednocení bude nový interval, který bude obsahovat čísla, která budou minimálně v jednom intervalu ze tří. Na číselnou osu nakreslíš intervaly, resp. jejich krajní body. Bod u kulaté závorky má prázdné kolečko a bod u ostré závorky je zobrazen jako plné kolečko. Nakonec spojíš nakreslené body z jednotlivých intervalů. A B C Sjednocením jsou všechna čísla, která jsou alespoň v jednom intervalu, tedy všude, kudy vede na číselné ose čára. Sjednocení na obrázku výše značí vyšrafovaná oblast. A B C = 1; 1 (0; 2 (3; 5 Výsledek můžeš napsat buď tak, že napíšeš všechny intervaly, které máš sjednotit, a dáš mezi ně symbol sjednocení, tedy. Matematicky správnější je ale to, aby se vyloučily stejné hodnoty, které jsou v jednotlivých intervalech. Například číslo 1 je obsaženo jak v první intervalu, tak i ve druhém, a to není úplně dobré. A B C = 1; 1 (0; 2 (3; 5 = 1; 2 (3; 5 Správný výsledek je tedy tento. Jednoduše na něj přijdeš tak, že se podíváš na číselnou osu a přímo z ní opíšeš to, co vidíš. Nejdříve napíšeš bod 1, protože tím začíná první interval. Pak pojedeš na ose směrem doprava. Narazíš na bod 0, který má u sebe prázdné kolečko. Ale v intervalu A je bod 0 obsažen (prochází jím čára ). Tedy bod nula je součástí a nijak ho nezapíšeš. Dalším bodem je číslo 1, které patří dokonce do obou intervalů (jak do A, tak do B), tudíž si tohoto bodu také nevšímáš. Nakonec se zde nachází bod 2, který se nachází na konci intervalu, a proto je potřeba si ho napsat. Ukončuje interval. Bude u něho ostrá závorka, jelikož má u sebe plné kolečko. Tudíž máš první interval, a to 1; 2. Poslední interval jsou jen dva body, kde není co upravovat, takže ho jen opíšeš a máš celkový výsledek. K čemu jsou intervaly dobré v životě? Ačkoliv si to možná neuvědomuješ, tak intervaly používáš každý den. Už jen tvůj denní režim je jeden interval. V šest ráno vstaneš a ve dvacet dva hodin jdeš spát. To by se intervalem dalo zapsat jako (6; 22), přičemž kulaté závorky by mohly být i ostré, jelikož nevíš, zda přesně v šest vstaneš či přesně ve dvacet dva hodin usneš. Tím se dostáváme k problému... V reálném životě ti je jedno, jestli přesně v šest vstaneš (když vstaneš v 6:01, tak se nic nestane, kromě toho, že by ti ujel autobus), jenže v matematice musí být přesně dáno, kdy člověk vstane. Znamená to tedy, že kulaté a ostré závorky jsou velmi důležité. Podívej se na další příklady, které potkají snad každého smrtelníka. 95

10 Otevírací doba je od 9:00 do 18:00. Znamená to, že můžeš přijít v tomto časovém intervalu. Matematicky zapsáno: 9; 18, (9; 18), 9; 18) nebo (9; 18, záleží, jestli obchod zavřou a otevřou přesně. Děti do 15 let mají vstup zdarma. Opět závisí na tom, jestli pořadatelé mysleli, zda i děti, kterým je přesně 15 let, mají vstup zdarma, tedy matematicky zapsáno: (0; 15 nebo (0; 15). Také je i možnost, že pokud je někomu 15 let a 5 měsíců, tak mu je právně stále 15 let, tudíž i na něho by se sleva mohla vztahovat. Pak by se to matematicky zapsalo následovně: (0; 16). Nosnost plošiny je kg. Unese plošina ještě kg, nebo jen maximálně 999,99 kg. Matematicky to musí být přesně určeno, tedy buď 0; 1000, anebo 0; 1000). V reálném životě je například nosnost výtahu o mnoho vyšší, než je udáváno, protože je třeba počítat s různými fyzikálními faktory, a proto v běžném životě platí varianta 0; 1000, takže se neboj, že by tě výtah neunesl. Zákaz vjezdu vozidel, jejichž výška přesahuje 3,5 m. U tohoto příkladu už nezáleží na domluvě lidí, zde není počítáno s velkou rezervou (na ceduli je napsáno 3,5 m, tak skutečná výška mostu je jen o malinko vyšší, maximálně v řádech centimetrů), tudíž by zde byl použit interval s ostrými závorkami, tedy 0; 3,5. Vždy záleží, jak se lidé dohodnou, ale minimálně v matematice to musí být jasně dané, a proto jsou závorky u intervalů velmi důležité, tak na to prosím dávej pozor. Neboj, už tě brzy nechám být! Interval je soubor reálných čísel, která jsou větší (nebo rovna) danému číslu (či mínus nekonečnu) a zároveň menší (nebo rovna) jinému číslu (či nekonečnu). Typy intervalů: Interval omezený je z obou stran omezený danými hodnotami, např. ( 3; 2. Interval neomezený je omezený maximálně z jedné strany, např. (2; ) nebo ( ; ). Zakreslování na číselnou osu: Plné kolečko na číselné ose či ostrá závorka v zadání intervalu značí, že krajní bod je součástí daného intervalu. Prázdné kolečko na číselné ose nebo kulatá závorka v zadání intervalu značí, že krajní bod nepatří do daného intervalu. Sjednocením intervalů vznikne nový interval, který obsahuje čísla, která jsou minimálně v jednom z nich. Průnikem intervalů je nový interval, který obsahuje čísla, která mají všechny intervaly společné. 96

11 Procvičení 48 Co nejjednodušším způsobem zapiš množiny: a) (2; 6) 4; ) b) (2; 6) 4; ) 49 Znázorni na číselné ose a urči průnik a sjednocení intervalů: a) (2; 7) a (5; 9) b) ( 8 11 ; 7 ) a 4; 7 2 c) ( ; 5) a ( 7; 0 d) ( 5; 2) a 1; 3) 50 Na číselné ose znázorni a jako interval zapiš tyto množiny: a) A = {x R; 7 < x 2} b) B = {x R; 5 x < 12,5} c) C = {x R; x > 0} d) D = {x R; x 1} 51 Jsou dány intervaly A = 3; 2, B = ( ; 2), C = (0; 10. Zapiš následující množiny pomocí intervalu: a) A B C b) A B C c) (B C) A d) (A B) C 52 Při cestě z Hradce do Pardubic se jede přes tři mosty. První má nosnost 15 t, druhý má nosnost 25 t a třetí 30 t. Zapiš intervalem (v tunách), jak těžká auta mohou po této trase jezdit. Výsledky Postup řešení najdeš na 48 a) 4; 6) b) (2; ) 49 a) (2; 7) (5; 9) = (2; 7) (5; 9) = b) ( 8 11 ; 7 ) 4; 7 2 = ( 8 11 ; 7 ) 4; 7 2 = 97

12 c) ( ; 5) ( 7; 0 = ( ; 5) ( 7; 0 = d) ( 5; 2) 1; 3) = ( 5; 2) 1; 3) = 50 a) A = ( 7; 2 b) B = 5; 8,5) c) C = (0; ) d) D = ( ; 1 51 a) ( ; 10 b) (0; 2) c) 3; 2 d) 3; (0; 15 98

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy

4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 9. ročník 4. Lineární nerovnice a jejich soustavy 5 > 0 ostrá nerovnost 5.0 50 neostrá nerovnost ( používáme pouze čísla) ZNAKY NEROVNOSTI: > je větší než < je menší

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Ten objekt (veličina), který se může svobodně měnit se nazývá nezávislý.

Ten objekt (veličina), který se může svobodně měnit se nazývá nezávislý. @001 1. Základní pojmy Funkce funkční? Oč jde? Třeba: jak moc se oblečeme, závisí na venkovní teplotě, jak moc se oblečeme, závisí na našem mládí (stáří) jak jsme staří, závisí na čase jak moc zaplatíme

Více

Páťáci a matematika I. Přirozená čísla větší než milión. 1. Zapište čísla do tabulky. 2. Přečtěte čísla zapsaná v tabulce. Rozepište do tabulky čísla:

Páťáci a matematika I. Přirozená čísla větší než milión. 1. Zapište čísla do tabulky. 2. Přečtěte čísla zapsaná v tabulce. Rozepište do tabulky čísla: Páťáci a matematika I Přirozená čísla větší než milión 1. Zapište čísla do tabulky 2. Přečtěte čísla zapsaná v tabulce. Rozepište do tabulky čísla: 1 3. Napočítejte deset čísel od nuly při počítání 4.

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

METODICKÉ LISTY. výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Karlových Varech. číslo)

METODICKÉ LISTY. výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Karlových Varech. číslo) METODICKÉ LISTY výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Karlových Varech reg. č. projektu: CZ.1.07/1.3.11/02.0003 Sada metodických listů: KABINET MATEMATIKY

Více

2.7.17 Nerovnice s neznámou pod odmocninou

2.7.17 Nerovnice s neznámou pod odmocninou .7.7 Nerovnice s neznámou pod odmocninou Předpoklady: 05, 75 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi největší masakry během celého studia. Její obtížnost spočítává hlavně ve dvou věcech: a) Je nutné,

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

Racionální čísla. Množinu racionálních čísel značíme Q. Zlomky můžeme při počítání s nimi:

Racionální čísla. Množinu racionálních čísel značíme Q. Zlomky můžeme při počítání s nimi: Racionální čísla Racionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru zlomku p kde p je celé číslo a q je q číslo přirozené. Tento zápis je jednoznačný pokud čísla p, q jsou nesoudělná, zlomek je v základním tvaru.

Více

Logaritmická rovnice

Logaritmická rovnice Ročník:. Logaritmická rovnice (čteme: logaritmus z x o základu a) a základ logaritmu x argument logaritmu Vzorce Použití vzorců a principy počítání s logaritmy jsou stejné jako u logaritmů základních,

Více

2. RBF neuronové sítě

2. RBF neuronové sítě 2. RBF neuronové sítě Kapitola pojednává o neuronových sítích typu RBF. V kapitole je popsána základní struktura tohoto typu neuronové sítě. Poté následuje definice a charakteristika jednotlivých radiálně

Více

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad

1.3. Číselné množiny. Cíle. Průvodce studiem. Výklad 1.3. Cíle Cílem kapitoly je seznámení čtenáře s axiomy číselných oborů a jejich podmnožin (intervalů) a zavedení nových pojmů, které nejsou náplní středoškolských osnov. Průvodce studiem Vývoj matematiky

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět Matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6. až 8. ročníku 4 hodiny týdně, v 9. ročníku 3

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104

7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104 71 Vektory Předpoklady: 7104 Některé fyzikální veličiny (například rychlost, síla) mají dvě charakteristiky: velikost směr Jak je znázornit, jedno číslo (jako například pro hmotnost m = 55kg ) nestačí?

Více

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Rovnice RNDr. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Grafické řešení soustav rovnic a nerovnic VY INOVACE_0 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Soustav lineárních rovnic Soustavou

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

Matematika - Prima. množiny zavedení pojmů množina, prvek, sjednocení, průnik, podmnožina

Matematika - Prima. množiny zavedení pojmů množina, prvek, sjednocení, průnik, podmnožina - Prima Matematika Výchovné a vzdělávací strategie Kompetence k řešení problémů Kompetence komunikativní Kompetence občanská Kompetence sociální a personální Kompetence k učení Kompetence pracovní Učivo

Více

ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647

ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647 ZÁKLADNÍ ŠKOLA PŘI DĚTSKÉ LÉČEBNĚ Ostrov u Macochy, Školní 363 INOVACE VÝUKY CZ.1.07/1.4.00/21.0647 Název vzdělávacího materiálu: Anotace: Vzdělávací oblast: VY_32_INOVACE_ARITMETIKA+ALGEBRA17 Rovnice

Více

Čtvrťáci a matematika VIII

Čtvrťáci a matematika VIII Čtvrťáci a matematika VIII Poznáváme čísla do 1 000 000 a větší než milión 1. Nejdříve odhadněte a pak spočítejte, kolik je tu základních čtverců sítě. 1 2. Rozepište čísla do tabulky a čísla zapsaná v

Více

. Určete hodnotu neznámé x tak, aby

. Určete hodnotu neznámé x tak, aby Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 015 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 1 1. Původní cena knihy byla 50 Kč. Pak byla zdražena o 15 %. Jelikož nešla

Více

Páka - výpočty rovnováhy na páce, výpočet momentu síly, rovnováha momentů sil

Páka - výpočty rovnováhy na páce, výpočet momentu síly, rovnováha momentů sil Páka - výpočty rovnováhy na páce, výpočet momentu síly, rovnováha momentů sil Teoretická část: Páka je jednoduchý stroj, ve fyzice velmi důležitý pojem pro působí síly či celé skupiny sil. Ve své podstatě

Více

Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. Matematika. Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám

Vysoké učení technické v Brně. Fakulta strojního inženýrství. Matematika. Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Matematika Příručka pro přípravu k přijímacím zkouškám Doc. PaedDr. Dalibor Martišek, Ph.D. RNDr. Milana Faltusová 5 Autoři: Lektorovala: Doc.

Více

Vyučovací předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu

Vyučovací předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět: Matematika Školní vzdělávací program pro základní vzdělávání Základní školy a mateřské školy Dobrovice Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu

Více

Lineární programování

Lineární programování Lineární programování Úlohy LP patří mezi takové úlohy matematického programování, ve kterých jsou jak kriteriální funkce, tak i všechny rovnice a nerovnice podmínek výhradně tvořeny lineárními výrazy.

Více

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 6. 4 Klíčové kompetence.

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 6. 4 Klíčové kompetence. A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 6. 4 Klíčové kompetence Výstupy Učivo Průřezová témata Evaluace žáka Poznámky (Dílčí kompetence) 5 Kompetence

Více

11. Geometrická optika

11. Geometrická optika Trivium z optiky 83 Geometrická optika V této a v následující kapitole se budeme zabývat studiem světla v situacích, kdy je možno zanedbat jeho vlnový charakter V tomto ohledu se obě kapitoly podstatně

Více

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika

O FUNKCÍCH. Obsah. Petr Šedivý www.e-matematika.cz Šedivá matematika O FUNKCÍCH Obsah Nezbytně nutná kapitola, kterou musíte znát pro studium limit, derivací a integrálů. Základ, bez kterého se neobejdete. Nejprve se seznámíte se všemi typy funkcí, které budete potřebovat,

Více

Slovesa. MASARYKOVA ZÁKLADNÍ ŠKOLA A MATEŘSKÁ ŠKOLA VELKÁ BYSTŘICE projekt č. CZ.1.07/1.4.00/21.1920 Název projektu: Učení pro život

Slovesa. MASARYKOVA ZÁKLADNÍ ŠKOLA A MATEŘSKÁ ŠKOLA VELKÁ BYSTŘICE projekt č. CZ.1.07/1.4.00/21.1920 Název projektu: Učení pro život Slovesa MASARYKOVA ZÁKLADNÍ ŠKOLA A MATEŘSKÁ ŠKOLA VELKÁ BYSTŘICE projekt č. CZ.1.07/1.4.00/21.1920 Název projektu: Učení pro život Číslo DUMu: VY_32_INOVACE_25_01 Tématický celek: Gramatika, skladba,

Více

PEXESOVÁ LIGA. Projekt pro žáky I. stupně Základních škol, zaměřený na nácvik chování a řešení dopravních situací dětí na pozemních komunikacích.

PEXESOVÁ LIGA. Projekt pro žáky I. stupně Základních škol, zaměřený na nácvik chování a řešení dopravních situací dětí na pozemních komunikacích. PEXESOVÁ LIGA Projekt pro žáky I. stupně Základních škol, zaměřený na nácvik chování a řešení dopravních situací dětí na pozemních komunikacích. Děti se formou obrázkové hry PE-XE-SO seznámí s některými

Více

PORAĎ SI SE ŠKOLOU Lucie Michálková

PORAĎ SI SE ŠKOLOU Lucie Michálková PORAĎ SI SE ŠKOLOU Lucie Michálková Copyright 2015 Lucie Michálková Grafická úprava a sazba Lukáš Vik, 2015 1. vydání Lukáš Vik, 2015 ISBN epub formátu: 978-80-87749-89-0 (epub) ISBN mobi formátu: 978-80-87749-90-6

Více

Na úvod několik pravidel silničního provozu ze stránek http://www.visitbritain.com

Na úvod několik pravidel silničního provozu ze stránek http://www.visitbritain.com Základní rozdíly v silničním provozu mezi Anglií a Českou republikou Na úvod tohoto článku bych rád zapátral trochu v historii silniční dopravy. Ještě v dobách kdy lidé neměli ponětí o dopravním prostředku

Více

terénní praktikum : Pila Ptení jméno a příjmení : třída : datum :

terénní praktikum : Pila Ptení jméno a příjmení : třída : datum : Pracovní list vytvořil : Mgr. Lenka Krčová lektor terénních praktik : Mgr. Petr Žůrek terénní praktikum : Pila Ptení jméno a příjmení : třída : datum : Základní škola Prostějov, Dr. Horáka 24 1) Jistě

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Ukázka zpracována s využitím školního vzdělávacího programu Cesta pro všechny Základní škola praktická Rožnov pod Radhoštěm

Ukázka zpracována s využitím školního vzdělávacího programu Cesta pro všechny Základní škola praktická Rožnov pod Radhoštěm Příklady možné konkretizace minimální doporučené úrovně pro úpravy očekávaných výstupů v rámci podpůrných opatření pro využití v IVP předmětu Matematika Ukázka zpracována s využitím školního vzdělávacího

Více

Že tuto definici znáte, ale stále přesně nevíte, jak funkci chápat? Ukážeme si konkrétní příklad. 1 2 3 4 5 Definiční obor (množina A)

Že tuto definici znáte, ale stále přesně nevíte, jak funkci chápat? Ukážeme si konkrétní příklad. 1 2 3 4 5 Definiční obor (množina A) Funkce úvod Co je funkce Funkce je předpis, který číslu z množiny A přiřazuje právě jedno číslo z množiny B. Množina A je definiční obor funkce a množina B je obor hodnot funkce. Že tuto definici znáte,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/4.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_2_INOVACE_CH29_1_06 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

KULOVÁ ZRCADLA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - Septima

KULOVÁ ZRCADLA. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - Septima KULOVÁ ZRCADLA Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Optika - Septima Zakřivená zrcadla Zrcadla, která nejsou rovinná Platí pro ně zákon odrazu, deformují obraz My se budeme zabývat speciálním typem zakřivených

Více

FOTOVOLTAICKÁ ELEKTRÁRNA V BŘEŽANECH

FOTOVOLTAICKÁ ELEKTRÁRNA V BŘEŽANECH Středoškolská technika 2009 Setkání a prezentace prací středoškolských studentů na ČVUT FOTOVOLTAICKÁ ELEKTRÁRNA V BŘEŽANECH Martin Vanický ISŠT Benešov Černolesklá 1997; 25601 Benešov Fotovoltaická elektrárna

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. procvičení a zapamatování počítání a měření úhlů

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. procvičení a zapamatování počítání a měření úhlů METODICKÝ LIST DA50 Název tématu: Autor: Předmět: Ročník: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti: Stručný obsah: Úhly II. - Počítání a měření úhlů Astaloš Dušan Matematika šestý frontální,

Více

Kód uchazeče ID:... Varianta: 14

Kód uchazeče ID:... Varianta: 14 Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Přijímací zkouška z matematiky 2013 Kód uchazeče ID:.................. Varianta: 14 1. V lednu byla zaměstnancům zvýšena mzda o 16 % prosincové mzdy. Následně

Více

5.1.2.1. Matematika. 5.1.2. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace

5.1.2.1. Matematika. 5.1.2. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace 5.1.2. Vzdělávací oblast Matematika a její aplikace 5.1.2.1. Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu na 1. stupni: Vychází ze vzdělávací oblasti Matematika a její aplikace, která je v základním

Více

Zápis čísla v desítkové soustavě. Číselná osa Písemné algoritmy početních operací. Vlastnosti početních operací s přirozenými čísly

Zápis čísla v desítkové soustavě. Číselná osa Písemné algoritmy početních operací. Vlastnosti početních operací s přirozenými čísly Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Obor vzdělávací oblasti: Matematika Ročník: 1. Výstupy kompetence Učivo Průřezová témata,přesahy Číslo a početní operace VDO Občanská společnost a škola Obor

Více

Gymnázium Přírodní škola Mapa výjezdů Přírodní školy

Gymnázium Přírodní škola Mapa výjezdů Přírodní školy Gymnázium Přírodní škola Mapa výjezdů Přírodní školy Autor: Šárka Vohralíková; Vedoucí práce: Mgr. Štěpán Macháček Velmi bych chtěla poděkovat svému vedoucímu práce a konzultantovi panu učiteli Štěpánovi

Více

Definice funkce tangens na jednotkové kružnici :

Definice funkce tangens na jednotkové kružnici : Registrační číslo projektu: CZ..07/../0.00 FUNKCE TANGENS Definice funkce tangens na jednotkové kružnici : Funkce tangens je daná ve tvaru : y tgx sin x. cos x Důvod je dobře vidět na předchozím obr. z

Více

ODBORNÝ VÝCVIK VE 3. TISÍCILETÍ

ODBORNÝ VÝCVIK VE 3. TISÍCILETÍ Projekt: ODBORNÝ VÝCVIK VE 3. TISÍCILETÍ Úloha: Nikobus software ruční režim Obor: Elektrikář silnoproud Ročník: 3. Zpracoval: Ing. Jaromír Budín, Ing. Jiří Šima Střední odborná škola Otrokovice, 2010

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Jak připravit žákům trenažer pro cvičení jednoduchých dovedností

Jak připravit žákům trenažer pro cvičení jednoduchých dovedností Jak připravit žákům trenažer pro cvičení jednoduchých dovedností Ukázka 17 Trenažery Aktivní nástroje Pole pro vkládání textu, tlačítko Modely určené k procvičování model prvý bez skriptování Modely, které

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

Digitalizace signálu (obraz, zvuk)

Digitalizace signálu (obraz, zvuk) Digitalizace signálu (obraz, zvuk) Základem pro digitalizaci obrazu je převod světla na elektrické veličiny. K převodu světla na elektrické veličiny slouží např. čip CCD. Zkratka CCD znamená Charged Coupled

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 26 úloh. Časový limit pro

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104

7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104 7..1 Vektory Předpoklady: 7104 Některé fyzikální veličiny (například rychlost, síla) mají dvě charakteristiky: velikost, směr. Jak je znázornit? Jedno číslo (jako například pro hmotnost m = 55kg ) nestačí.

Více

Intervalové stromy. Představme si, že máme posloupnost celých čísel p 0, p 1,... p N 1, se kterou budeme. 1. Změna jednoho čísla v posloupnosti.

Intervalové stromy. Představme si, že máme posloupnost celých čísel p 0, p 1,... p N 1, se kterou budeme. 1. Změna jednoho čísla v posloupnosti. Intervalové stromy Představme si, že máme posloupnost celých čísel p 0, p 1,... p N 1, se kterou budeme průběžně provádět tyto dvě operace: 1. Změna jednoho čísla v posloupnosti. 2. Zjištění součtu čísel

Více

PORAĎ SI SE ŠKOLOU Lucie Michálková

PORAĎ SI SE ŠKOLOU Lucie Michálková PORAĎ SI SE ŠKOLOU Lucie Michálková Copyright 2015 Lucie Michálková Grafická úprava a sazba Lukáš Vik, 2015 1. vydání Lukáš Vik, 2015 ISBN epub formátu: 978-80-87749-89-0 (epub) ISBN mobi formátu: 978-80-87749-90-6

Více

7. ODE a SIMULINK. Nejprve velmi jednoduchý příklad s numerických řešením. Řešme rovnici

7. ODE a SIMULINK. Nejprve velmi jednoduchý příklad s numerických řešením. Řešme rovnici 7. ODE a SIMULINK Jednou z často používaných aplikací v Matlabu je modelování a simulace dynamických systémů. V zásadě můžeme postupovat buď klasicky inženýrsky (popíšeme systém diferenciálními rovnicemi

Více

Kód VM: 42_ INOVACE_1SMO41 Projekt: Zlepšení výuky na ZŠ Schulzovy sady registrační číslo: CZ.1.07./1.4.00/21.2581

Kód VM: 42_ INOVACE_1SMO41 Projekt: Zlepšení výuky na ZŠ Schulzovy sady registrační číslo: CZ.1.07./1.4.00/21.2581 Kód VM: 42_ INOVACE_1SMO41 Projekt: Zlepšení výuky na ZŠ Schulzovy sady registrační číslo: CZ.1.07./1.4.00/21.2581 Autor: Mgr. Marie Smolíková Datum: 1. 2. 2012 Ročník: 7. Vzdělávací oblast: Matematika

Více

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, 518 01 Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE - 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 6.

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, 518 01 Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE - 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 6. 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 6. ročník RVP ZV Obsah RVP ZV Kód RVP ZV Očekávané výstupy ŠVP Školní očekávané výstupy ŠVP Učivo ČÍSLO A PROMĚNNÁ M9101 provádí

Více

Tabulkové processory MS Excel (OpenOffice Calc)

Tabulkové processory MS Excel (OpenOffice Calc) Maturitní téma: Tabulkové processory MS Excel (OpenOffice Calc) Charakteristika tabulkového editoru Tabulkový editor (sprematuritníadsheet) se používá všude tam, kde je třeba zpracovávat data uspořádaná

Více

3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech

3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech 3. Středoškolská stereometrie v anaglyfech V předchozích dvou kapitolách jsme zjistili, jak se zobrazují tělesa ve středovém promítání a hlavně v lineární perspektivě, a jak pomocí těchto promítání vytvořit

Více

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení

Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti. 1. Binomické rozdělení Přednáška 5/1 Některé zákony rozdělení pravděpodobnosti 1. Binomické rozdělení Předpoklady: (a) pst výskytu jevu A v jediném pokuse P (A) = π, (b) je uskutečněno n pokusů, (c) pokusy jsou nezávislé, tj.

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 1. Lineární funkce 1.1 Základní pojmy Pojem lineární funkce Funkce je předpis, který každému číslu x z definičního oboru funkce přiřadí právě jedno číslo y Obecně je

Více

POPIS PROSTŘEDÍ PROGRAMU GIMP 2. Barvy 2. Okno obrázku 4 ZÁKLADNÍ ÚPRAVA FOTOGRAFIÍ V GRAFICKÉM EDITORU 6. Změna velikosti fotografie 6

POPIS PROSTŘEDÍ PROGRAMU GIMP 2. Barvy 2. Okno obrázku 4 ZÁKLADNÍ ÚPRAVA FOTOGRAFIÍ V GRAFICKÉM EDITORU 6. Změna velikosti fotografie 6 Obsah POPIS PROSTŘEDÍ PROGRAMU GIMP 2 Barvy 2 Okno obrázku 4 ZÁKLADNÍ ÚPRAVA FOTOGRAFIÍ V GRAFICKÉM EDITORU 6 Změna velikosti fotografie 6 Ořezání obrázku 7 TRANSFORMACE 9 Rotace 9 Překlopení 11 Perspektiva

Více

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH

ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH (Tento text je součástí výkladu k definičním oborům, tam najdete další příklady a pokud chcete část tohoto textu někde použít, můžete čerpat ze stažené kompletní verze definičních oborů ve formátu.doc.)

Více

Základní ovládání aplikace

Základní ovládání aplikace Základní ovládání aplikace Základem ovládání aplikace je jednoduchý toolbar (panel nástrojů) ve spodní části obrazovky, který umožňuje přepínání mezi jednotlivými obrazovkami aplikace. Jsou zde zobrazeny

Více

DUM 14 téma: Barevné korekce fotografie

DUM 14 téma: Barevné korekce fotografie DUM 14 téma: Barevné korekce fotografie ze sady: 2 tematický okruh sady: Bitmapová grafika ze šablony: 09 Počítačová grafika určeno pro: 2. ročník vzdělávací obor: vzdělávací oblast: číslo projektu: anotace:

Více

334/2000 Sb. VYHLÁŠKA. Ministerstva průmyslu a obchodu. ze dne 6. září 2000,

334/2000 Sb. VYHLÁŠKA. Ministerstva průmyslu a obchodu. ze dne 6. září 2000, Vyhl. č. 334/2000 Sb., stránka 1 z 9 334/2000 Sb. VYHLÁŠKA Ministerstva průmyslu a obchodu ze dne 6. září 2000, kterou se stanoví požadavky na vodoměry na studenou vodu označované značkou EHS Ministerstvo

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 2003 2004 PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 003 004 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO M 0030 Vyjádřete jedním desetinným číslem (4 ½ 4 ¼ ) (4 ½ + 4 ¼ ) Správné řešení: 0,5 Zjednodušte výraz : ( 4)

Více

ZLOMKY A DESETINNÁ ČÍSLA. Růžena Blažková

ZLOMKY A DESETINNÁ ČÍSLA. Růžena Blažková ZLOMKY A DESETINNÁ ČÍSLA Růžena Blažková Úvod Se zlomky a s desetinnými čísly se setkává každý člověk, jak v běžném životě, tak v pracovních či zájmových činnostech. Z matematického hlediska není rozdíl

Více

JMENUJI SE: To je otisk mé ruky: Baví mě: S čím si rád/a hraju: Namaluj/napiš na každý prst osobu, která ti pomáhá.

JMENUJI SE: To je otisk mé ruky: Baví mě: S čím si rád/a hraju: Namaluj/napiš na každý prst osobu, která ti pomáhá. To jsem JÁ 1I JMENUJI SE: Baví mě: To je otisk mé ruky: S čím si rád/a hraju: Namaluj/napiš na každý prst osobu, která ti pomáhá. 2I Jmenuji se......... a je mi... let. Žiju společně s: Bydlím v: Nejvíc

Více

Jízda v koloně: Úvodem. Uspořádání kolony

Jízda v koloně: Úvodem. Uspořádání kolony Jízda v koloně: Úvodem Jízda v ukázněné koloně je jediný bezpečný způsob pohybu houfu motorkářů, zejména chopperů a cruiserů. Pravidla jízdy v koloně by měly být pro každého stejně důležité jako umění

Více

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ I. ARITMETIKA 1. Zlomky a racionální čísla Jestliže rozdělíme něco (= celek) na několik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlomkem. Zlomek tři čtvrtiny = tři

Více

Název: Elektromagnetismus 3. část (Elektromagnetická indukce)

Název: Elektromagnetismus 3. část (Elektromagnetická indukce) Výukové materiály Název: Elektromagnetismus 3. část (Elektromagnetická indukce) Téma: Vznik indukovaného napětí, využití tohoto jevu v praxi Úroveň: 2. stupeň ZŠ, případně SŠ Tematický celek: Vidět a poznat

Více

Po nastudování této kapitoly byste měli být schopni:

Po nastudování této kapitoly byste měli být schopni: 4 Tvorba prezentací Cíl kapitoly Po nastudování této kapitoly byste měli být schopni: vytvořit jednoduchou prezentaci v Microsoft PowerPoint 2010, vkládat nové snímky, měnit návrh, rozvržení a přechody

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt Šablona CZ.1.07/1.5.00/34.0415 Inovujeme, inovujeme III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT (DUM) DUM č. VY_32_INOVACE_CH29_3_10 ŠVP Podnikání RVP 64-41-L/51

Více

METODICKÉ LISTY. výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Sokolově

METODICKÉ LISTY. výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Sokolově METODICKÉ LISTY výstup projektu Vzdělávací středisko pro další vzdělávání pedagogických pracovníků v Sokolově reg. č. projektu: CZ.1.07/1.3.11/02.0005 Sada metodických listů: KABINET MATEMATIKY Název metodického

Více

1.1.7 Rovnoměrný pohyb I

1.1.7 Rovnoměrný pohyb I 1.1.7 Rovnoměrný pohyb I Předpoklady: 116 Kolem nás se nepohybují jenom šneci. Existuje mnoho různých druhů pohybu. Začneme od nejjednoduššího druhu pohybu rovnoměrného pohybu. Př. 1: Uveď příklady rovnoměrných

Více

1.2.1 Desetinná čísla I

1.2.1 Desetinná čísla I 1.2.1 Desetinná čísla I Předpoklady: S přirozenými čísly dokážeme hodně, ale vždy s nimi nevystačíme. Takto by například vypadalo olympijské finále v běhu na 1 m mužů, kdybychom uměli měřit pouze na celé

Více

PŘEDMĚT: Matematika Ročník: 1. Výstup z RVP Ročníkový výstup Doporučené učivo Průřezová témata

PŘEDMĚT: Matematika Ročník: 1. Výstup z RVP Ročníkový výstup Doporučené učivo Průřezová témata PŘEDMĚT: Matematika Ročník: 1. Výstup z RVP Ročníkový výstup Doporučené učivo Průřezová témata číslo a početní operace 1. používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném

Více

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3476 Název materiálu: VY_42_INOVACE_145 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací

Více

Komentář k pracovnímu listu

Komentář k pracovnímu listu Komentář k pracovnímu listu Název: Čísla a letopočty Cíle aneb K čemu by práce s tímto pracovním listem měla vést: Cílem PL je naučit se pracovat s velkými čísly a základními dějepisnými pojmy jako je

Více

Uživatelská příručka ClinkMe

Uživatelská příručka ClinkMe Uživatelská příručka ClinkMe OBSAH DIALER 1 ZÁKLADNÍ OVLÁDÁNÍ APLIKACE... 1 KONTAKTY... 2 POČET TELEFONNÍCH ČÍSEL KONTAKTU... 4 ZÁLOŽKY PRO FILTROVÁNÍ KONTAKTŮ... 5 PANEL PRO ZADÁVÁNÍ VYHLEDÁVACÍCH KRITÉRIÍ...

Více

Když už má vykopané cesty, může postavit domyr opět přesně podle obrázku. Domy se objeví najednou. Program opět čeká.

Když už má vykopané cesty, může postavit domyr opět přesně podle obrázku. Domy se objeví najednou. Program opět čeká. POVLTAVSKÉ SETKÁNÍ BALTÍKŮ - 10. ročník - 23. 24. 10. 2015 1. Budování města (20 bodů) a) Lidé se po válce schovali v podzemí. Nejprve si museli vykopat cesty. Baltík čaruje předměty číslo 2 146 rychlostí

Více

VZDĚLÁVACÍ OBLAST: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE VZDĚLÁVACÍ OBOR: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE PŘEDMĚT: MATEMATIKA 7

VZDĚLÁVACÍ OBLAST: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE VZDĚLÁVACÍ OBOR: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE PŘEDMĚT: MATEMATIKA 7 VZDĚLÁVACÍ OBLAST: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE VZDĚLÁVACÍ OBOR: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE PŘEDMĚT: MATEMATIKA 7 Opakování -desítková soustava - početní výkony - dělitelnost - úhel - osová souměrnost -

Více

30/2001 Sb. VYHLÁŠKA Ministerstva dopravy a spojů. ze dne 10. ledna 2001,

30/2001 Sb. VYHLÁŠKA Ministerstva dopravy a spojů. ze dne 10. ledna 2001, 30/2001 Sb. VYHLÁŠKA Ministerstva dopravy a spojů ze dne 10. ledna 2001, kterou se provádějí pravidla provozu na pozemních komunikacích a úprava a řízení provozu na pozemních komunikacích Změna: 153/2003

Více

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově

Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově Zavádění inovativních metod a výukových materiálů do přírodovědných předmětů na Gymnáziu v Krnově 05_2_Kinematika hmotného bodu Ing. Jakub Ulmann 2 Kinematika hmotného bodu Nejstarším odvětvím fyziky,

Více

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII 37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná

Více

Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.

Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení

Více

2.4.8 Další příklady s grafy funkcí s absolutní hodnotou

2.4.8 Další příklady s grafy funkcí s absolutní hodnotou ..8 Další příklady s grafy funkcí s absolutní hodnotou Předpoklady: 0-07 Pedagogická poznámka: Následující dva příklady je většinou nutné studentům dovysvětlit. Prohlížení vlastních poznámek jim většinou

Více

INFORMACE NRL č. 12/2002 Magnetická pole v okolí vodičů protékaných elektrickým proudem s frekvencí 50 Hz. I. Úvod

INFORMACE NRL č. 12/2002 Magnetická pole v okolí vodičů protékaných elektrickým proudem s frekvencí 50 Hz. I. Úvod INFORMACE NRL č. 12/2 Magnetická pole v okolí vodičů protékaných elektrickým proudem s frekvencí Hz I. Úvod V poslední době se stále častěji setkáváme s dotazy na vliv elektromagnetického pole v okolí

Více

5 tipů, jak vybrat dětské odrážedlo

5 tipů, jak vybrat dětské odrážedlo 5 tipů, jak vybrat dětské odrážedlo Projděte si 5 tipů, jak vybrat dětské odrážedlo, které vám pomůžou se zorientovat v široké nabídce produktů a ujasnit si, které parametry jsou pro výběr dětského odrážedla

Více

Matematika v 5. ročníku

Matematika v 5. ročníku Matematika v 5. ročníku září Čte a zapisuje přirozená čísla. učebnice strana 3 8 Počítá po milionech, statisících, desetitisících, tisících, stovkách a desítkách. chvilky strana 1 8 Čte, píše a zobrazuje

Více

Absolutní hodnota I. π = π. Předpoklady: = 0 S nezápornými čísly absolutní hodnota nic nedělá.

Absolutní hodnota I. π = π. Předpoklady: = 0 S nezápornými čísly absolutní hodnota nic nedělá. 1..10 Absolutní hodnota I Předpoklady: 01005 = 0 = 0 S nezápornými čísly absolutní hodnota nic nedělá. π = π = = Záporná čísla absolutní hodnota změní na kladná (vynásobí je 1). 5 5 = Absolutní hodnota

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Okno Editoru nabízí v panelu nástrojů

Okno Editoru nabízí v panelu nástrojů 110 Editor pracovní nástroje Naučte se používat základní nástroje Editoru pro efektivní úpravy obrázků. VYBRANÉ OVLÁDACÍ PRVKY 112 POLYGONOVÉ LASO A LASO 124 VLOŽIT OBRÁZEK DO OBRÁZKU 132 VÝBĚRY 114 REDUKCE

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I do předmětu Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Podmínky absolvování předmětu Zápočet Zkouška 1 účast na přednáškách alespoň v minimálním rozsahu,

Více

Sbírka zákonů ČR Předpis č. 294/2015 Sb.

Sbírka zákonů ČR Předpis č. 294/2015 Sb. Sbírka zákonů ČR Předpis č. 294/2015 Sb. Vyhláška, kterou se provádějí pravidla provozu na pozemních komunikacích Účinnost od 01.01.2016 Aktuální verze 294 VYHLÁŠKA ze dne 27. října 2015, kterou se provádějí

Více

Kolekce ArrayList. Deklarace proměnných. Import. Vytvoření prázdné kolekce. napsal Pajclín

Kolekce ArrayList. Deklarace proměnných. Import. Vytvoření prázdné kolekce. napsal Pajclín Kolekce ArrayList napsal Pajclín Tento článek jsem se rozhodl věnovat kolekci ArrayList, protože je to jedna z nejpoužívanějších. Tento článek není kompletním popisem třídy ArrayList, ale budu se snažit

Více