Pracovní listy z matematiky

Transkript

1 Pracovní listy z matematiky 0

2 Sbírka pracovních listů z matematiky pro rozvoj klíčových kompetencí Helena Binterová, Roman Hašek, Pavel Pech, Vladimíra Petrášková 1. díl Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích 2015

3 Autorský kolektiv: doc. RNDr. Helena Binterová, Ph.D. Mgr. Roman Hašek, PhD. prof. RNDr. Pavel Pech, CSc. RNDr. Vladimíra Petrášková, Ph.D. Autoři pracovních listů: Mgr. Jana Kaňková Mgr. Yvona Zuntová Mgr. Lenka Činčurová Mgr. Tereza Suchopárová Mgr. Jiří Kopecký Mgr. Jana Doležalová Mgr. Marta Vrtišová Mgr. Helena Trsková Mgr. Radka Dvořáková ISBN:

4 Předmluva Předložená publikace Sbírka pracovních listů z matematiky pro rozvoj klíčových kompetencí vznikla v rámci grantového projektu KeyCoMath pod vedením autorského kolektivu členů řešitelského týmu. Sbírka je zaměřena na klíčové kompetence ve výuce matematiky. Příklady jsou tematicky vázány na následující okruhy z matematiky: Čísla a algebra, Finanční gramotnost, Geometrie v rovině a v prostoru, Matematická analýza, Teorie grafů. Zpracované pracovní listy zahrnují kromě plánovaného kurikula též vymezení cílů, očekávaných výstupů a způsob pěstování klíčových kompetencí. Také představují příklady dobré praxe v režimu integrované výuky z hlediska identifikace mezipředmětových vztahů. Listy jsou rozpracovány i směrem k metodickým či didaktickým komentářům a souvislostem. Sbírka pracovních listů z matematiky zahrnuje jednak práce učitelů ze základních škol jihočeského regionu a studentů doktorského studia Teorie vzdělávání v matematice 1. díl publikace, jednak práce studentů navazujícího magisterského učitelského studia matematiky na Pedagogické fakultě Jihočeské univerzity 2. díl publikace. Pracovní listy z matematiky mohou sloužit jako pomůcka učitelům matematiky na základních a středních školách. Své uplatnění jistě najdou i v přípravě učitelů matematiky na Pedagogické fakultě, zejména v hodinách didaktiky. V Českých Budějovicích Autorský kolektiv: H. Binterová, R. Hašek, P. Pech, V. Petrášková

5 Čísla a algebra Celá čísla... 6 Formáty a jejich využití v matematice ZŠ Magické čtverce Matematický scrabble Mocniny čísla Porovnávání zlomků Rozšiřování a krácení zlomků výroba pomůcky Rozšiřování a krácení zlomků Rychlost růstu sněhové vločky a její povrch Spotřeba automobilu Závislosti obvodu a obsahu čtverce a obdélníku na délce stran Ztracený dědeček Finanční gramotnost Daň z přidané hodnoty Finanční gramotnost Finanční matematika Měna Riskuj Slevy se studentskou kartou Stavební spoření Studentský rozpočet Umíš číst, co dostaneš do schránky?

6 Geometrie Asteroid Eros Cykloida Detail povrchu Slunce Krása a osová souměrnost Obsah plochy sněhové vločky Papírová nádoba na popcorn Souměrnost dopravních značek Trisekce úhlu aneb rozděl úhel na třetiny Znázornění sněhové vločky užitím symetrie Matematická analýza Lineární funkce Teorie grafů Hamiltonovské grafy

7 Celá čísla Jana Kaňková Cíl aktivity: opakování tématiky celých čísel formou hry Ročník: 7. 6

8 Celá čísla 7. ročník Předpokládané znalosti: základní znalosti a dovednosti v oboru celých čísel Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) samostatně řeší problémy, zvolí vhodný způsob řešení problematiky, sleduje vlastní pokrok při zdolávání problému, případně najde a opraví svou chybu Kompetence komunikativní formuluje a vyjadřuje své myšlenky a názory v logickém sledu, vyjadřuje se výstižně, souvisle, kultivovaně a matematicky správně Kompetence k učení operuje s termíny, znaky a symboly Prostředky a pomůcky: pracovní list Metodický a didaktický komentář: Žákům rozdáme pracovní list s tabulkou a příklady. Po správném vyřešení příkladu, žák najde výsledek v tabulce a dostane jedno písmenko do tajenky. Takto pokračuje dále, až nalezne požadované slovo. Příklady a tajenku lze libovolně obměnit. 7

9 Celá čísla 7. ročník PRACOVNÍ LIST A B C D E F G H I J K L M N O P R S T U V Y Z (-3) + 5 (-1) -7 = (-2) = (-2) = (-8) +5 = 5. 6 (-4) = 6. [(-4 + 5) - (3-7)]+ 2 = [(2+4-9) + (-1-2)] = [-(3-20) -(12 28)] = [ (-9)] = Tajenka:... 8

10 Celá čísla 7. ročník A B C D E F G H I J K L M N O P R S T U V Y Z - 1 2,6 0,5 1,9 1, , ,2-0,25-1, , ,6 0, ,98 0,2 3 2, ,35 0,6 1,7-3 -9,6 9 0,8 1,4 10 0,3 0,4 3 0,1 2,1 3, , ,52 0, , , ,4 3 0,3-9 -0, ,9 1,1 0, ,2 0, , , ,3 2 5 Tajenka:... 9

11 Celá čísla 7. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ A B C D E F G H I J K L M N O P R S T U V Y Z (-3) + 5 (-1) -7 = (-2) = (-2) = (-8) +5 = (-4) = 8 6. [(-4 + 5) - (3-7)]+ 2 = [(2+4-9) + (-1-2)] = [-(3-20) -(12 28)] = [ (-9)] = 19 Tajenka: OPAKUJEME 10

12 Celá čísla 7. ročník A B C D E F G H I J K L M N O P R S T U V Y Z - 1 2,6 0,5 1,9 1, , ,2-0,25-1, , ,6 0, ,98 0,2 3 2, ,35 0,6 1,7-3 -9,6 9 0,8 1,4 10 0,3 0,4 3 0,1 2,1 3, , ,52 0, , , ,4 3 0,3-9 -0, ,9 1,1 0, ,2 0, 8 2, , 2 1, , 52 0, ,3-5,4 2 5 Tajenka: AHOJ 11

13 Formáty a jejich využití v matematice ZŠ Mgr. Yvona Zuntová Cíl aktivity: propojení znalostí zlomků, poměru a práce s rovnicí s praktickou zkušeností s používanými formáty papírů Ročník: 6., 7., 9. 12

14 Formáty a jejich využití v matematice ZŠ 6., 7., 9. ročník Předpokládané znalosti: základní geometrické útvary, jejich vlastnosti Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) promyslí a realizuje způsob řešení problému, nachází podobné a shodné znaky, objevuje různé varianty řešení Kompetence pracovní používá účinně materiály a nástroje Prostředky a pomůcky: pracovní list, papíry formátů A0 - A5. Různé sešity, bloky, vizitky, kalendáře Metodický a didaktický komentář: Úvodní první úkol je určen pro všechny ročníky - měření stran papíru různých formátů řady A. Úkol pro 6. ročník je více praktický, souvisí s obsahem obdélníka a dělitelností. Úkol pro 7. ročník spojuje představu o zlomcích a poměru s formáty papíru. Úkol pro 9. ročník vede k odvození rozměrů formátů pomocí Pythagorovy věty a rovnice. Součástí úkolů je i řešení. 13

15 Formáty a jejich využití v matematice ZŠ 6. ročník PRACOVNÍ LIST 1. ÚKOL: Změřte délky stran předložených archů papíru v mm a výsledky zapište do tabulky. Formát Délka (mm) Šířka (mm) A0 A1 A2 A3 A4 A5 2. ÚKOL: Jak spolu jednotlivé rozměry souvisí? 3. ÚKOL: Připravte si papír formátu A0 a proveďte: 1. Překládáním delší strany papíru jej přeložte na polovinu. 2. Výsledný obdélník znovu na polovinu. 3. Pokračujte tak ještě 3x. 4. Rozložte zpět na původní obdélník. 5. Kolik obdélníků vzniklo mezi překlady? 6. Pokládejte na plochu postupně knihy, sešity a slovníčky na jazyky. Jsou některé obdélníky-formáty shodné? 14

16 Formáty a jejich využití v matematice ZŠ 6. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ 1. ÚKOL: Změřte délky stran předložených archů papíru v mm a výsledky zapište do tabulky. Formát Délka (mm) Šířka (mm) A A A A A A ÚKOL: Jak spolu jednotlivé rozměry souvisí? Šířka většího formátu se shoduje s délkou menšího formátu. 3. ÚKOL: Připravte si papír formátu A0 a proveďte: 1. Překládáním delší strany papíru jej přeložte na polovinu. 2. Výsledný obdélník znovu na polovinu. 3. Pokračujte tak ještě 3x. 4. Rozložte zpět na původní obdélník. 5. Kolik obdélníků vzniklo mezi překlady? 6. Pokládejte na plochu postupně knihy, sešity a slovníčky na jazyky. Jsou některé obdélníky-formáty shodné? Mezi překlady postupně vznikly 2,4,8,16,32 obdélníků. 15

17 Formáty a jejich využití v matematice ZŠ 7. ročník PRACOVNÍ LIST 1. ÚKOL: Změřte délky stran předložených archů papíru v mm a výsledky zapište do tabulky. Formát Délka (mm) Šířka (mm) A0 A1 A2 A3 A4 A5 2. ÚKOL: Jak spolu jednotlivé rozměry souvisí? 3. ÚKOL: Připravte si papír formátu A0 a proveďte: 1. Překládáním delší strany papíru jej přeložte na polovinu. 2. Výsledný obdélník znovu na polovinu. 3. Pokračujte tak ještě 3x. 4. Rozložte zpět na původní obdélník. 5. Kolik obdélníků vzniklo mezi překlady? 6. Jakou část původního celku představují postupně menší obdélníky, které tak vznikají? 16

18 Formáty a jejich využití v matematice ZŠ 7. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ 1. ÚKOL: Změřte délky stran předložených archů papíru v mm a výsledky zapište do tabulky. Formát Délka (mm) Šířka (mm) A A A A A A ÚKOL: Jak spolu jednotlivé rozměry souvisí? Šířka většího formátu se shoduje s délkou menšího formátu. 3. ÚKOL: Připravte si papír formátu A0 a proveďte: 1. Překládáním delší strany papíru jej přeložte na polovinu. 2. Výsledný obdélník znovu na polovinu. 3. Pokračujte tak ještě 3x. 4. Rozložte zpět na původní obdélník. 5. Kolik obdélníků vzniklo mezi překlady? 6. Jakou část původního celku představují postupně menší obdélníky, které tak vznikají? Obdélníky postupně představují polovinu, čtvrtinu, osminu, šestnáctinu a dvaatřicetinu původního celku A0. 17

19 Formáty a jejich využití v matematice ZŠ 9. ročník PRACOVNÍ LIST 1. ÚKOL: Přemýšlejte nad rozměry formátů A0, A1, A2, A3, A4, A5. Jakou souvislost stran objevujete? 2. ÚKOL: Odhadněte obsah plochy formátu A0. 3. ÚKOL: Vyslovte hypotézu o rozměrech stran a obsahu plochy formátu A0. Informace z Wikipedie: 1 Řada A je definována plochou papíru 1 m² a poměrem velikostí stran 1: 2 (tj. přibližně 1:1,414). Délky stran jsou zaokrouhleny na celé milimetry. Základním formátem je formát A0, který právě má plochu 1 m² (dle definice). Další formáty této řady (A1, A2, A3, ) vznikají postupným půlením delší strany 1 Zdroj: 18

20 Formáty a jejich využití v matematice ZŠ 9. ročník 4. ÚKOL: Výpočtem potvrďte délku a šířku formátu A0. Podmínky: 1. Obsah obdélníka formátu A0 je 1m Délka tohoto obdélníka je rovna úhlopříčce ve čtverci se stranou 1 m. Výpočet úhlopříčky: Výpočet šířky: 19

21 Formáty a jejich využití v matematice ZŠ 9. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ 1. ÚKOL: Přemýšlejte nad rozměry formátů A0, A1, A2, A3, A4, A5. Jakou souvislost stran objevujete? Šířka většího formátu se shoduje s délkou menšího formátu. 2. ÚKOL: Odhadněte obsah plochy formátu A0. 1m 2 3. ÚKOL: Vyslovte hypotézu o rozměrech stran a obsahu plochy formátu A0. Poměr velikostí stran je 1:2 (tj. přibližně 1:1,414). Informace z Wikipedie: 2 Řada A je definována plochou papíru 1 m² a poměrem velikostí stran 1: 2 (tj. přibližně 1:1,414). Délky stran jsou zaokrouhleny na celé milimetry. Základním formátem je formát A0, který právě má plochu 1 m² (dle definice). Další formáty této řady (A1, A2, A3, ) vznikají postupným půlením delší strany 4. ÚKOL: Výpočtem potvrďte délku a šířku formátu A0. Podmínky: 1. Obsah obdélníka formátu A0 je 1m Délka tohoto obdélníka je rovna úhlopříčce ve čtverci se stranou 1 m. Výpočet úhlopříčky: Výpočet šířky: a 2 + a 2 = u 2 S = 1 m 2 pak a.a. 2 = 1 2a 2 = u 2 a 2 2 = 1 2a = u a 2 = 2/2 2 m = u pro a = 1 m a 2 = 0,707 a = 0,841 Šířka je 841 mm, délka je 1189mm ,414 = 1189 mm délky 2 Zdroj: 20

22 Magické čtverce Lenka Činčurová Cíl aktivity: formou zajímavého příkladu procvičit základní početní operace, umět zvolit vhodnou strategii k získání chybějících čísel, u žáků podpořit samostatnost a schopnost logického myšlení Ročník: 6. 21

23 Magické čtverce 6. ročník Předpokládané znalosti: sčítání a odčítání celých čísel Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) pečlivě promýšlí různé možnosti vyplnění, magického čtverce, vytrvale hledá co nejvhodnější způsob rozložení čísel ve čtverci tak, aby získal čtverec magický, používá empirické postupy a ověřuje správnost svých nápadů Kompetence komunikativní formuluje a vyjadřuje své myšlenky a názory v logickém sledu, vyjadřuje se výstižně, souvisle, kultivovaně a matematicky správně Kompetence sociální a personální pracuje samostatně, vytváří si pozitivní představu o sobě samém, která podporuje jeho sebedůvěru a samostatný rozvoj. Řídí své chování tak, aby dosáhl pocitu uspokojení a sebeúcty Kompetence k učení procvičuje základní početní operace, poznává nové souvislosti a vytváří si tak komplexnější pohled na dané matematické učivo. Experimentuje s různými možnostmi doplnění čísel, kriticky posuzuje své myšlenky a hledá optimální řešení. Je schopen obhájit svou volbu a diskutovat o svých závěrech Prostředky a pomůcky: pracovní list Metodický a didaktický komentář: Formou zajímavých příkladů si žáci procvičí základní početní operace, seznámí se s jejich novými reprezentacemi a skutečnostmi. Cílem je seznámit se s pojmem magický čtverec, efektivně doplnit správná čísla do čtverců různých řádů a pokusit se najít další takové čtverce. 22

24 Magické čtverce 6. ročník PRACOVNÍ LIST Pozorně si prohlédněte každý z následujících čtverců. Všimnete si, co je na nich zvláštního? Najdete nějaké pravidelnosti? Pokuste se zjistit, jaké číslo patří doprostřed tohoto čtverce: Jaký je součet čísel v každém sloupci čtverce?... Jaký je součet čísel v každém řádku čtverce?... Najdete stejný součet ještě jinde? Kde?... 23

25 Magické čtverce 6. ročník Zkuste vytvořit další podobný čtverec. Tyto čtverce se nazývají magické čtverce. Platí, že součet čísel v každém řádku, sloupci i obou úhlopříčkách je stejný říkáme, že je roven magické konstantě. Rozlišujeme normální magické čtverce, které obsahují všechna po sobě jdoucí čísla od 1 až do čísla označujícího počet políček čtverce. Ostatní magické čtverce mohou obsahovat libovolná čísla. Doplňte čísla a rozhodněte, který z následujících čtverců je normální magický čtverec

26 Magické čtverce 6. ročník Do každého normálního magického čtverce doplňte chybějící čísla a určete hodnotu magické konstanty Magická konstanta:... Magická konstanta: Magická konstanta:... 25

27 Magické čtverce 6. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ Pozorně si prohlédněte každý z následujících čtverců. Všimnete si, co je na nich zvláštního? Najdete nějaké pravidelnosti? Součet čísel ve všech řádcích, sloupcích a na úhlopříčkách je stejný. Pokuste se zjistit, jaké číslo patří doprostřed tohoto čtverce: Jaký je součet čísel v každém sloupci čtverce? 21 Jaký je součet čísel v každém řádku čtverce? 21 Najdete stejný součet ještě jinde? Kde? Ano na úhlopříčkách 26

28 Magické čtverce 6. ročník Zkuste vytvořit další podobný čtverec Tyto čtverce se nazývají magické čtverce. Platí, že součet čísel v každém řádku, sloupci i obou úhlopříčkách je stejný říkáme, že je roven magické konstantě. Rozlišujeme normální magické čtverce, které obsahují všechna po sobě jdoucí čísla od 1 až do čísla označujícího počet políček čtverce. Ostatní magické čtverce mohou obsahovat libovolná čísla. Doplňte čísla a rozhodněte, který z následujících čtverců je normální magický čtverec Je normální Není normální 27

29 Magické čtverce 6. ročník Do každého normálního magického čtverce doplňte chybějící čísla a určete hodnotu magické konstanty Magická konstanta: 34 Magická konstanta: Magická konstanta: 65 28

30 Matematický scrabble Lenka Činčurová Cíl aktivity: formou hry procvičit základní početní operace, umět zvolit vhodnou strategii k získání co nejvyššího skóre, u žáků podpořit práci v týmu, schopnost rychlého úsudku, rozhodování a rozvíjet matematické vyjadřovací schopnosti Ročník:

31 Matematický scrabble ročník Předpokládané znalosti: základní početní operace s celými čísly sčítání, odčítání, násobení, dělení, druhá a třetí mocnina, odmocnina Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) pečlivě promýšlí různé možnosti tahu, vytrvale hledá co nejvýhodnější způsob položení kamenů tak, aby získal nejvyšší možné bodové ohodnocení, používá empirické postupy a ověřuje správnost svých nápadů Kompetence komunikativní formuluje a vyjadřuje své myšlenky a názory v logickém sledu, vyjadřuje se výstižně, souvisle, kultivovaně a matematicky správně a vhodně reaguje na názory ostatních Kompetence sociální a personální efektivně spolupracuje ve skupině, svou ohleduplností přispívá k příjemné atmosféře ve třídě a k upevňování dobrých vztahů mezi spolužáky, pozitivně ovlivňuje kvalitu společné práce, aktivně se zapojuje do debaty a okolního dění, oceňuje názory druhých Kompetence k učení operuje s obecně užívanými termíny, znaky a symboly, procvičuje základní početní operace, uvádí je do souvislostí a vytváří si tak komplexnější pohled na dané matematické učivo. Experimentuje s různými možnostmi položení kamenů, kriticky posuzuje své myšlenky a hledá optimální řešení. Je schopen obhájit svou volbu a diskutovat o svých závěrech Kompetence občanské respektuje rozhodnutí ostatních členů týmu, zodpovědně rozhoduje podle dané situace Prostředky a pomůcky: hrací deska, kameny, neprůhledný sáček Metodický a didaktický komentář: Formou hry si žáci procvičí a upevní základní početní operace, poznají je ze zcela jiného úhlu. Cílem je naučit se efektivně a rychle promýšlet nejrůznější výpočty, které je možné sestavit z kamenů, jež žák nebo skupina vlastní, a zároveň dosáhnout co nejvyššího bodového ohodnocení. 30

32 Matematický scrabble ročník PRAVIDLA HRY Žáci se rozdělí do několika družstev (například 1 družstvo = 1 řada). Každé družstvo si na začátku hry vytáhne z neprůhledného sáčku 7 kamenů (čísel) a položí si je tak, aby je ostatní družstva neviděla. Poté jeden zástupce družstva vylosuje jeden kámen a družstvo s nejvyšším vytaženým číslem začíná hru. Začínající hráč (respektive družstvo) sestaví ze svých kamenů rovnici a položí ji na hrací desku tak, aby jeden z kamenů zakrýval políčko START. Hráč okomentuje pokládanou rovnici (příklad) společně s operacemi, které provedl (např. 15 plus 2 rovná se 17 využil pět kamenů 1, 5, 2, 1, 7). Zároveň oboduje svůj pokus odpovídajícím počtem bodů takto: Číslice na každém kamenu odpovídá počtu bodů za jeho položení. Hrací deska zároveň obsahuje několik zvýhodněných políček. Pole 3xČ zdvojnásobí hodnotu položeného kamene, analogicky 2xČ zdvojnásobí hodnotu položeného kamene. Zakryje-li navíc jeden z kamenů pole 2xPř (respektive 3xPř), zdvojnásobí se (respektive ztrojnásobí) hodnota celé rovnice (příkladu). Zbývající družstva kontrolují správnost pokládané rovnice a počet připisovaných bodů. Po odsouhlasení si hráč dolosuje tolik kamenů, kolik použil. V předem stanoveném pořadí (např. ve směru chodu hodinových ručiček) pak pokračuje ve hře další hráč. Ten musí pro svou rovnici použít alespoň jeden z již ležících kamenů, přitom může skládat kameny ve vodorovném nebo svislém směru (v úhlopříčném ne). Pokud se vytvořená rovnice dotýká více kamenů, musí i zde tvořit smysluplný příklad. Dále se boduje tak, že za každou doplněnou rovnici nebo příklad dostane hráč odpovídající počet bodů. Počítají se mu tedy body nejen za kameny, které položil, ale i za ty již ležící, které do své rovnosti využil. Pokud přitom využil kamene ležícího na zvýhodněném poli a sám na něj kámen neumístil, žádné zvýhodnění pro něho již neplatí. Zvýhodněná pole si započítává pouze hráč, který na ně položil kámen. Vytvoří-li hráč několik příkladů zároveň, pak se kameny, které leží ve více nově vytvořených příkladech, započítávají opakovaně (pro každý příklad zvlášť). Využije-li hráč více zvýhodněných polí najednou, boduje se následovně: Získá-li hráč současně zvýhodnění kamenů i příkladu, započítá se nejprve zvýhodnění každého kamene a nakonec se znásobí celý příklad. Využije-li hráč dvou zvýhodnění celého příkladu, započítají se postupně obě zvýhodnění. Hráč, který v jednom tahu umístí všech sedm kamenů ze svého zásobníku, získá zvláštní prémii 50 bodů. Tato prémie se připočte až po započtení všech zvýhodnění. 31

33 Matematický scrabble ročník Na konci hry je skóre každého z hráčů zmenšeno o hodnotu kamenů, které nepoužil. Pokud některému z hráčů nezbyl v zásobníku žádný kámen, k jeho skóre se přičtou hodnoty všech kamenů, které zbyly ostatním hráčům. Pro kámen s hodnotou nula existují speciální pravidla. Nulou nesmí začínat zápis žádné nové početní operace. Samostatně se nesmí přičítat, odečítat, násobit ani dělit. Nula nesmí být ani výsledkem početní operace. Je-li nula součástí přikládané početní operace, nemusí jejím případným sousedstvím s některými z již ležících kamenů vzniknout nová početní operace. Z takového sousedství pak nevzniká ani bodový zisk. Pokud se některému hráči nepodaří ze svých kamenů sestavit žádnou rovnici, může svůj tah využít k výměně několika nebo všech svých kamenů. To lze provést pouze v případě, že v sáčku zbývá více než 7 kamenů. Další možností je vzdát se tahu, to může hráč učinit kdykoliv. Hra končí, jestliže některý hráč využil všechny své kameny a nemůže si již vylosovat žádné další. Nikdo další už nesmí táhnout a hráčům se upraví skóre podle kamenů, které jim zůstaly v ruce. Hra ovšem nekončí, pokud již nelze losovat nové kameny, ale všem hráčům ještě nějaké zbývají v ruce a hráči s nimi umí táhnout. Teprve když se všichni hráči ve dvou po sobě jdoucích kolech vzdají tahu, hra skončí. Příklady tahů a bodování: 1. tah 2. tah Druhá mocnina 2 = 4 12 : 4 = 3 6 bodů 10 bodů 32

34 Matematický scrabble ročník 3. tah 4. tah = 2 6 x 4 = 24 odmocnina ze 4 = 2 druhá mocnina 7 = bodů (2 rovnosti) mocnina 2 = 4 42 bodů (3 rovnosti) 5. tah 6. tah : 5 = 2 odmocnina ze 4 = = 7 odmocnina z 9 = 3 22 bodů (2 rovnosti) = 5 28 bodů 33

35 Matematický scrabble ročník HRACÍ DESKA 3xPř 2xČ 3xPř 2xČ 3xPř 2xPř 3xČ 3xČ 2xPř 2xPř 2xČ 2xČ 2xPř 2xČ 2xPř 2xČ 2xPř 2xČ 2xPř 2xPř 3xČ 3xČ 3xČ 3xČ 2xČ 2xČ 2xČ 2xČ 3xPř 2xČ START 2xČ 3xPř 2xČ 2xČ 2xČ 2xČ 3xČ 3xČ 3xČ 3xČ 2xPř 2xPř 2xČ 2xPř 2xČ 2xPř 2xČ 2xPř 2xČ 2xČ 2xPř 2xPř 3xČ 3xČ 2xPř 3xPř 2xČ 3xPř 2xČ 3xPř 34

36 Matematický scrabble ročník HRACÍ KAMENY

37 Mocniny čísla 2 Tereza Suchopárová Cíl aktivity: procvičení operace mocnina se zaměřením na mocnění čísla 2, efekt opakovaného mocnění Ročník: 8. 36

38 Mocniny čísla 2 8. ročník Předpokládané znalosti: operace mocnina Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) volí vhodné způsoby řešení a užívá při jejich řešení logické a matematické postupy, využívá získané vědomosti a dovednosti k objevování variant řešení Kompetence k učení aplikuje nabyté znalosti, vytváří si jednoduché algoritmy, používá logické myšlení Kompetence komunikativní formuluje a výstižně vyjadřuje své myšlenky, vhodným způsobem argumentuje a obhajuje svůj názor Kompetence pracovní vhodně organizuje vlastní práci na řešení problému na základě vlastních algoritmů Prostředky a pomůcky: pracovní list Metodický a didaktický komentář: Pracovní list seznámí žáky se sílou operace mocnění a ukáže, jak velká čísla můžeme opakovaným mocněním 2 dostat. Především ve cvičení 2, kde žáci objeví, že od hodnot 2 5 a 5 2 je vždy větší mocnina 2 než druhá mocnina. Také cvičení 3 rozvíjí představu o opakovaném mocnění a velikosti výsledných hodnot. Další cvičení se zaměřují na aplikaci mocnin čísla 2. 37

39 Mocniny čísla 2 8. ročník PRACOVNÍ LIST 1. ÚKOL: Doplň mocniny dvojky. 2 0 = 2 7 = 2 1 = 2 8 = 2 2 = 2 9 = 2 3 = 2 10 = 2 4 = 2 11 = 2 5 = 2 12 = 2 6 = 2 13 = Odkud tato čísla znáte? 2. ÚKOL: Porovnej čísla

40 Mocniny čísla 2 8. ročník Legenda o vynálezci šachů Legenda o vynálezci šachů vypráví o moudrém muži, který učil čínského císaře hru v šachy. Císaři se hra natolik zalíbila, že ji chtěl od vynálezce koupit. Císař mu slíbil zaplati, cokoliv si řekne. Vynálezce tedy nechal přinést rýži. Na první políčko položil jedno zrnko, na druhé dvě zrnka, na třetí osm zrníček. Za každé další políčko chtěl potom zaplatit dvojnásobek pole předchozího. Císař se velmi divil, proč je muž tak skromný. Velmi brzy ale poznal, jak moc se zmýlil. Když došli k 17 políčku, stůl, na kterém hráli šachy, již nebyl vidět. Při 26 políčku se začala Obrázek 1 - Alpha Centauri 3 zaplňovat celá místnost. U 42 políčka byl již celý palác zasypaný rýží. Pokud by takto pokračovali dál, rýže by pokryla celou Indii do výšky pět stop. Pokud bychom takové množství rýže uspořádali do řady, dosáhla by zrníčka až k hvězdě Alpha Centauri, která je od nás vzdálena více než 4 světelné roky, a zpátky k Zemi. Dvakrát! = = = 4 = Toto množství rýže odpovídá zhruba 6, kg, přičemž celosvětová roční produkce rýže je kg. Obrázek 2 Plnění šachovnice rýží 2 S uvedenými čísly se setkáváme také v informatice. Čísla se v počítačích převádějí do tvaru zapsaného pomocí mocnin dvojky. Pomocí mocnin dvojky se také vyjadřuje množství paměti nebo velikosti disků. Disk o velikosti 2 GB nemá tedy ve skutečnosti 2000MB, ale 2048 MB. 4 GB disk má kapacitu 4096 MB a podobně. 3. ÚKOL: Kolik MB se vejde na disky, kterým říkáme osmigigový a šesnáctigigový? Obrázek 3 Flash disky 3 3 Zdroj: 4 Zdroj: 5 Zdroj: 39

41 Mocniny čísla 2 8. ročník 4. ÚKOL: Zapiš čísla 9, 40, 150 a 267 jako součet čísel, která jsi vypočítal v prvním úkolu. 9 = 267 = 150 = 40 = Existuje číslo, které jako součet mocnin čísla 2 zapsat nepůjde? 40

42 Mocniny čísla 2 8. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ 1. ÚKOL: Doplň mocniny dvojky. 2 0 = = = = = = = = = = = = = = 8192 Odkud tato čísla znáte? Informatika, hra ÚKOL: Porovnej čísla. 2 3 < = > > > >

43 Mocniny čísla 2 8. ročník Legenda o vynálezci šachů Legenda o vynálezci šachů vypráví o moudrém muži, který učil čínského císaře hru v šachy. Císaři se hra natolik zalíbila, že ji chtěl od vynálezce koupit. Císař mu slíbil zaplati, cokoliv si řekne. Vynálezce tedy nechal přinést rýži. Na první políčko položil jedno zrnko, na druhé dvě zrnka, na třetí osm zrníček. Za každé další políčko chtěl potom zaplatit dvojnásobek pole předchozího. Císař se velmi divil, proč je muž tak skromný. Velmi brzy ale poznal, jak moc se zmýlil. Když došli k 17 políčku, stůl, na kterém hráli šachy, již nebyl vidět. Při 26 políčku se začala Obrázek 2 - Alpha Centauri 3 zaplňovat celá místnost. U 42 políčka byl již celý palác zasypaný rýží. Pokud by takto pokračovali dál, rýže by pokryla celou Indii do výšky pět stop. Pokud bychom takové množství rýže uspořádali do řady, dosáhla by zrníčka až k hvězdě Alpha Centauri, která je od nás vzdálena více než 4 světelné roky, a zpátky k Zemi. Dvakrát! = = = 7 = Toto množství rýže odpovídá zhruba 6, kg, přičemž celosvětová roční produkce rýže je kg. Obrázek 2 Plnění šachovnice rýží 2 S uvedenými čísly se setkáváme také v informatice. Čísla se v počítačích převádějí do tvaru zapsaného pomocí mocnin dvojky. Pomocí mocnin dvojky se také vyjadřuje množství paměti nebo velikosti disků. Disk o velikosti 2 GB nemá tedy ve skutečnosti 2000MB, ale 2048 MB. 4 GB disk má kapacitu 4096 MB a podobně. 3. ÚKOL: Kolik MB se vejde na disky, kterým říkáme osmigigový a šesnáctigigový? MB a MB. Obrázek 3 Flash disky 3 6 Zdroj: 7 Zdroj: 8 Zdroj: 42

44 Mocniny čísla 2 8. ročník 4. ÚKOL: Zapiš čísla 9, 40, 150 a 267 jako součet čísel, která jsi vypočítal v prvním úkolu. 9 = = = = Existuje číslo, které jako součet mocnin čísla 2 zapsat nepůjde? Neexistuje. 43

45 Porovnávání zlomků Jana Kaňková Cíl aktivity: sestavení názorné pomůcky, která žákům pomůže pro utvoření správné představy o velikosti zlomku a porovnávání zlomků Ročník: 7. 44

46 Porovnávání zlomků 7. ročník Předpokládané znalosti: základní znalosti zlomků Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) samostatně vyřeší problémy, vyvodí správný postup vedoucí k objasnění problematiky. Sleduje svůj postup v řešení, případně najde a opraví chybu Kompetence pracovní používá bezpečně materiály mu svěřené, dodržuje pravidla a plní povinnosti Kompetence k učení vybere nejefektivnější způsob řešení, plánuje a organizuje. Ovládá potřebnou terminologii Prostředky a pomůcky: tvrdé papíry (různě barevné), nůžky, rýsovací potřeby nýtovací kleště Metodický a didaktický komentář: Na základě učitelových pokynů si žáci sami vyrobí vlastní pomůcku. Pomůcka slouží k vytvoření představy o velikosti různých zlomků a jejich porovnání. Barevné papíry slouží pro odlišení velikosti zlomků (např. pro čtvrtiny zvolím modrou barvu papíru, pro šestiny žlutou apod.) Žáci z papíru vytvoří kruh maximálního možného průměru. Kruh dále rozdělí na šestiny, pětiny, desetiny atd. dle toho jakou barvu mají. Takto vzniklé výseče spojíme v jejich špičce nýtovacími kleštěmi. Vznikne nám otočný kruh, který nám ukáže jednotlivé části kruhu, ale složíme i celý. 45

47 Porovnávání zlomků 7. ročník PRACOVNÍ LIST Ukázka pro devítiny: Obrázek 3 - Kruh z tvrdé fólie rozstříhaný na devítiny Obrázek 4 Spojení jednotlivých výsečí nýtem Obrázek 5 - Výsledná pomůcka 46

48 Porovnávání zlomků 7. ročník Ukázky pro další zlomky: 47

49 Rozšiřování a krácení zlomků výroba pomůcky Jana Kaňková Cíl aktivity: úvod do učiva rozšiřování a krácení zlomků. Podněcovat žáky k tvořivému myšlení a řešení problému. Žáci si sami vyrobí pomůcku pro snadnější zvládnutí látky rozšiřování zlomků Ročník: 7. 48

50 Rozšiřování a krácení zlomků - výroba pomůcky 7. ročník Předpokládané znalosti: terminologie zlomků Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) samostatně řeší problémy, zvolí vhodný způsob řešení problematiky, sleduje vlastní pokrok při zdolávání problému, případně najde a opraví svou chybu Kompetence k učení operuje s termíny, znaky a symboly Prostředky a pomůcky: průhledné fólie, tvrdší papír, nůžky, kružítko, úhloměr, pravítko Metodický a didaktický komentář: Každému žákovi je rozdán tvrdší papír a tři průhledné fólie. Žák si vytvoří čtyři stejné kruhy, jeden z tvrdšího papíru, tři z průhledných fólií. To posléze poslouží jako výukový materiál. 49

51 Rozšiřování a krácení zlomků - výroba pomůcky 7. ročník PRACOVNÍ LIST 1. ÚKOL: Z tvrdšího papíru sestrojte kruh. Ze tří průhledných fólií taktéž. Kruhy sestroj tak, aby měli maximální možný poloměr. 2. ÚKOL: Kruh z tvrdšího papíru rozděl na 12 stejných částí, vyznač pouze tužkou - nic nestříhej! Jak budeš postupovat? Jaké rýsovací potřeby využiješ? Jak velký je úhel jedné výseče? Co znamená v matematice výseč? 3. ÚKOL: První kruh z průhledné fólie rozstřihni na třetiny, druhý na čtvrtiny, třetí rozděl stejně jako kruh z tvrdšího papíru tedy na 12 stejných částí, ale tentokrát jej rozstříhej. 50

52 Rozšiřování a krácení zlomků - výroba pomůcky 7. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ 2. ÚKOL: Obrázek 6 - Nákres rozdělení kruhu na 12 shodných částí včetně velikosti úhlu Obrázek 7 - Výseče na tvrdším papíru 51

53 Rozšiřování a krácení zlomků - výroba pomůcky 7. ročník 3. ÚKOL: Obrázek Nákres rozdělení kruhu na 3, 4 a 12 shodných částí Obrázek 9 - Kruh z fólie rozstříhaný na třetiny Obrázek 10 - Kruh z fólie rozstříhaný na čtvrtiny 52

54 Rozšiřování a krácení zlomků - výroba pomůcky 7. ročník Obrázek 11 - Kruh z fólie rozstříhaný na dvanáctiny 53

55 Rozšiřování a krácení zlomků Jana Kaňková Cíl aktivity: sestavení pracovního listu, který využívá pomůcku vyrobenou v předchozím pracovním listu Rozšiřování a krácení zlomků. Žáci si názornou formou osvojí problematiku krácení a rozšiřování zlomků. Cvičí svoji představivost a logické myšlení. Pomůcka slouží k lepšímu pochopení a zapamatování problematiky Ročník: 7. 54

56 Rozšiřování a krácení zlomků 7. ročník Předpokládané znalosti: terminologie zlomků Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) samostatně řeší problémy, zvolí vhodný způsob řešení problematiky, sleduje vlastní pokrok při zdolávání problému, případně najde a opraví svou chybu Kompetence k učení operuje s termíny, znaky a symboly. Ovládá terminologii Prostředky a pomůcky: vyrobená pomůcka z předchozího pracovního listu Metodický a didaktický komentář: Na základě učitelových pokynů a rad si žáci na pomůcce názorně ukáží danou problematiku. 55

57 Rozšiřování a krácení zlomků 7. ročník PRACOVNÍ LIST 1. ÚKOL: Odpovídej a zároveň znázorňuj pomocí přikládání výseči z průhledné fólie na tvrdší papír. a) Z kolika polovin je tvořen celý kruh? b) Z kolika čtvrtin je tvořen kruh? c) Když je kruh rozdělen na 12 stejných částí, jakou část představuje jedna výseč? Zapiš ve tvaru zlomku. d) Přilož na tvrdší papír průhlednou fólii představující polovinu. Kolik výsečí naznačených tužkou na tvrdším papíru překrývá? e) Přilož na tvrdší papír průhlednou fólii představující polovinu. Kolik výsečí průhledné fólie, představující čtvrtiny musíš přiložit, aby platila rovnost? Kolik výsečí průhledné fólie, představující dvanáctiny musíš přiložit, aby platila rovnost? f) Stejně jako v bodě e) rozpracuj i pro tři čtvrtiny kruhu a celý kruh. Je-li to možné, přikládej poloviny, čtvrtiny i dvanáctiny najednou. Vždy zapiš pomocí rovnosti zlomků. (např. 1 2 = 2 4 = 6 12 ) g) Jak je možné, že různé zlomky, představují stejnou část celku? 56

58 Rozšiřování a krácení zlomků 7. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ Pro názornost je pomůcka vytvořena z barevných papírů, nikoliv průhledných fólií. 1. ÚKOL: Odpovídej a zároveň znázorňuj pomocí přikládání výseči z průhledné fólie na tvrdší papír. a) Kruh je tvořen dvěma polovinami. b) Kruh je tvořen čtyřmi čtvrtinami. 1 c) 12 d) Bílá čtvrtka představuje polovinu, překrývá 12 výsečí. e) Na polovinu musím přiložit dvě čtvrtiny, a šest výsečí představující dvanáctiny, aby platila rovnost. (oranžová část, představuje dvě čtvrtiny). f) Úkol podobný bodu e) Pro třičtvrtiny kruhu nelze přiložit poloviny. Proč? Výsečí bych přiložila 9.( 3 4 = 9 12 ). 57

59 Rychlost růstu sněhové vločky a její povrch Jiří Kopecký Cíl aktivity: matematizace procesů reálného světa, vyjádření úměrnosti tabulkou, výpočet strany čtverce z obsahu, rozvoj systematičnosti Ročník: 7. 58

60 Rychlost růstu sněhové vločky a její povrch 7. ročník Předpokládané znalosti: úměrnost (prostá) Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) samostatně řeší problémy, zvolí vhodný způsob řešení problematiky, sleduje vlastní pokrok při zdolávání problému, případně najde a opraví svou chybu Kompetence k učení rozvíjí zkušenosti s matematickým modelováním (matematizací reálných situací), k vyhodnocování matematického modelu a hranic jeho použití. Využívá matematických poznatků a dovedností při odhadu a porovnávání velikostí a vzdáleností. Rozvíjí paměť prostřednictvím numerických výpočtů a osvojováním si nezbytných matematických vzorců a algoritmů Kompetence pracovní pracuje podle návodu Prostředky a pomůcky: pracovní list Metodický a didaktický komentář: Před použitím pracovního listu je vhodné nejprve uvést žáky do tématu dvěma pracovními listy Znázornění sněhové vločky užitím symetrie a Obsah plochy sněhové vločky. Povrchem nebo obsahem povrchu vločky můžeme myslet součet obou jejích stran. Pro zjednodušení však uvažujme pouze obsah útvaru v rovině, výsledky pro dokonale plochou vločku v prostoru by byli vždy dvojnásobkem. Poznámky: Úloha je vyňata, přeložena a upravena z volně použitelné knihy Space Math X 9, která vznikla v rámci projektu Space NASA Zdroj: 10 Zdroj: 59

61 Rychlost růstu sněhové vločky a její povrch 7. ročník PRACOVNÍ LIST Rychlost růstu sněhové vločky a její povrch Sněhová vločka je plochý útvar, jehož obsah se v průběhu času zdvojnásobuje tím, jak na jeho povrchu kondenzují malé kapičky. Při průměrné oblačnosti se obsah plochy zdvojnásobuje každé dvě hodiny. Bez ohledu na tvar, obsah mnohoúhelníku se s rostoucí velikostí zvětšuje o pevně dané množství. 1. ÚKOL: Předpokládejme, že se obsah plochy zdvojnásobí každé dvě hodiny. Ke kolika zdvojnásobení dojde během 8 hodin? 60

62 Rychlost růstu sněhové vločky a její povrch 7. ročník 2. ÚKOL: Je-li obsah plochy sněhové vločky na začátku růstu 1 čtvereční milimetr, jaký bude její obsah po 8 hodinách? Vytvořte tabulku pro obsah a velikost sněhové vločky, abyste si myšlenky lépe uspořádali. 3. ÚKOL: Pokud šířka sněhové vločky na začátku růstu byla 1 mm a její obsah se zdvojnásobí každé 2 hodiny. Jaká bude šířka vločky na konci sněhové vichřice, která trvá 8 hodin? 61

63 Rychlost růstu sněhové vločky a její povrch 7. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ Rychlost růstu sněhové vločky a její povrch 1. ÚKOL: Předpokládejme, že se obsah plochy zdvojnásobí každé dvě hodiny. Ke kolika zdvojnásobení dojde během 8 hodin? 8 / 2 = 4 2. ÚKOL: Je-li obsah plochy sněhové vločky na začátku růstu 1 čtvereční milimetr, jaký bude její obsah po 8 hodinách? Vytvořte tabulku pro obsah a velikost sněhové vločky, abyste si myšlenky lépe uspořádali. Hodin Zdvojení Obsah Šířka 1 1,4 2 2,8 4 5,7 8 Obsah bude = 16 krát větší, tedy 16 mm2. 3. ÚKOL: Pokud šířka sněhové vločky na začátku růstu byla 1 mm a její obsah se zdvojnásobí každé 2 hodiny. Jaká bude šířka vločky na konci sněhové vichřice, která trvá 8 hodin? 8 hodin = 4 zdvojnásobení, obsah se zvětší 16 krát. Buďto si uvědomíme, že obsah = šířka šířka a 16 = 4 4, nebo stačí šířku vynásobit 4 a tedy 1 mm 4 = 4 mm. 62

64 Spotřeba automobilu Tereza Suchopárová Cíl aktivity: seznámení s faktory ovlivňujícími spotřebu Ročník:

65 Spotřeba automobilu ročník Předpokládané znalosti: práce s tabulkou, základní výpočty, porovnávání Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) využívá získané vědomosti a dovednosti k vyjádření funkčního vztahu popisujícího reálnou situaci, volí vhodné způsoby řešení a užívá při jejich řešení logické a matematické postupy, ověřuje správnost řešení problému Kompetence pracovní vhodně organizuje vlastní práci na řešení problému Kompetence sociální a personální účinně spolupracuje ve skupině při řešení daného úkolu, přispívá k diskusi v malé skupině i k debatě celé třídy, seznamuje se se světem financí - znalosti, dovednosti a hodnotové postoje z této oblasti přispívají k rozvoji finanční gramotnosti žáků Kompetence komunikativní formuluje a výstižně vyjadřuje své myšlenky, vhodným způsobem argumentuje a obhajuje své řešení Prostředky a pomůcky: pracovní list Metodický a didaktický komentář: Žáci jsou v tomto pracovním listě nuceni se zamyslet nad tím, jejich rodina využívá automobil, v jakém provozu jezdí, jak často, a jaké jsou ceny benzínu/nafty. V návaznosti na to mají rozhodnout, zda je pro jejich vlastní rodinu lepší pořídit si automobil s benzínovým nebo naftovým motorem. Jedná se o reálnou životní situaci. 64

66 Spotřeba automobilu ročník PRACOVNÍ LIST Spotřeba automobilu Tvoji rodiče si chtějí pořídit nový automobil. Jelikož chtějí podpořit domácí výrobu, vybírají z následujících modelů: Škoda Fabia Combi, Škoda Rapid, Škoda Octavia. Model, motor Octavia (benzín) Octavia (nafta) Fabia Combi (benzín) Fabia Combi (nafta) Rapid (benzín) Rapid (nafta) Spotřeba ve městě (l/100 km) Spotřeba mimo město (l/100 km) Kombinovaná spotřeba (l/100 km) 6,6 5,2 6,0 4,0 6,5 5,6 4,4 3,5 4,0 3,1 4,4 3,7 5,2 4,1 4,7 3,4 5,1 4,4 cena (Kč) ÚKOL: Srovnej jednotlivé modely od nejlevnějšího po nejdražší. 2. ÚKOL: Porovnej cenu benzínových a naftových modelů. 65

67 Spotřeba automobilu ročník 3. ÚKOL: Porovnej spotřebu benzínových a naftových modelů. 4. ÚKOL: Pozorně si prohlédni všechny tři údaje o spotřebě jednotlivých vozů. Jak je vypočítávána kombinovaná spotřeba? 5. ÚKOL: Skutečná spotřeba závisí na počtu ujetých kilometrů ve městě a počtu ujetých kilometrů mimo město. Odhadni, kolik km měsíčně ujede vaše rodina v autě ve městě a mimo město. 6. ÚKOL: Vyber si jeden ze tří modelů v tabulce a vypočítej, jaká by byla přibližně spotřeba vaší rodiny. 7. ÚKOL: Najdi si na internetu aktuální cenu benzínu a nafty u čerpací stanice ve tvém okolí a vypočítej, kolik Kč byste v tomto autě projeli. 66

68 Spotřeba automobilu ročník 8. ÚKOL: Porovnej spotřebu a cenu tebou vybraného vozu v benzínové a naftové variantě. Kolik km by tvoje rodina musela v autě najezdit, aby se vyplatilo pořídit si naftový model? 9. ÚKOL: Podle odhadu najetých km za měsíc ve cvičení 5 rozhodni, za jak dlouho by se vám investice do naftového motoru vrátila. 10. ÚKOL: Jaké auto bys rodičům ve výsledku doporučil? 67

69 Spotřeba automobilu ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ Spotřeba automobilu Model, motor Octavia (benzín) Octavia (nafta) Fabia Combi (benzín) Fabia Combi (nafta) Rapid (benzín) Rapid (nafta) Spotřeba ve městě (l/100 km) Spotřeba mimo město (l/100 km) Kombinovaná spotřeba (l/100 km) 6,6 5,2 6,0 4,0 6,5 5,6 4,4 3,5 4,0 3,1 4,4 3,7 5,2 4,1 4,7 3,4 5,1 4,4 cena (Kč) ÚKOL: Srovnej jednotlivé modely od nejlevnějšího po nejdražší. Fabia Combi (benzín), Rapid (benzín), Fabia Combi (nafta), Octavia (benzín), Rapid (nafta), Octavia (nafta). 2. ÚKOL: Porovnej cenu benzínových a naftových modelů. Naftový model je vždy dražší. 3. ÚKOL: Porovnej spotřebu benzínových a naftových modelů. Naftový motor má vždy menší spotřebu. 68

70 Spotřeba automobilu ročník 4. ÚKOL: Pozorně si prohlédni všechny tři údaje o spotřebě jednotlivých vozů. Jak je vypočítávána kombinovaná spotřeba? Jako průměr spotřeby ve městě a mimo něj automobil by musel jezdit půl na půl ÚKOL: Záleží na odhadu žáka. 69

71 Závislosti obvodu a obsahu čtverce a obdélníku na délce stran Tereza Suchopárová Cíl aktivity: pozorování a interpretace závislostí Ročník: 7. / 9. 70

72 Závislosti obvodu a obsahu čtverce a obdélníku na délce stran 7. / 9. ročník Předpokládané znalosti: základní funkce, práce s grafem, vzorce pro obvod a obsah čtverce a obdélníka Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) volí vhodné způsoby řešení a užívá při jejich řešení logické a matematické postupy Kompetence k učení realizuje vlastní nápady, aplikuje nabyté znalosti, pracuje s grafy a tabulkami Kompetence komunikativní formuluje a výstižně vyjadřuje své myšlenky, umí číst grafy a obrázkové materiály Kompetence pracovní vhodně organizuje vlastní práci na řešení problému Prostředky a pomůcky: pracovní list, soubor v programu GeoGebra, počítače Metodický a didaktický komentář: Předložený pracovní list může sloužit jako pomůcka při výkladu funkcí, či při jejich procvičování v 9. ročníku. Po menších úpravách lze pracovní list využít také při zavedení přímé a nepřímé úměrnosti v 7. třídě (zde je lepší kvadratickou funkci vynechat a zaměřit se jen na funkci lineární a lineárně lomenou, dále je potřeba zdůraznit poměry mezi prvky v tabulce). Úloha 3 je účelnější, pokud má každý žák možnost pracovat na vlastním počítači. 71

73 Závislosti obvodu a obsahu čtverce a obdélníku na délce stran 7. / 9. ročník PRACOVNÍ LIST Závislosti obvodu a obsahu čtverce a obdélníku na délce stran 1. ÚKOL: Vypočítej obvod a obsah jednotlivých čtverců podle délek stran a doplň údaje do tabulky. Poté zanes hodnoty do grafu a načrtni příslušné funkce, barevně je odliš. O jaké funkce se jedná?. a o S 2. ÚKOL: Pro jakou délku strany bude mít obsah i obvod čtverce stejnou hodnotu? Zakresli do grafu. 72

74 Závislosti obvodu a obsahu čtverce a obdélníku na délce stran 7. / 9. ročník Pracovní list v programu GeoGebra je přiložen jako samostatný soubor s názvem Suchoparova-Zavislosti.ggb 1. ÚKOL: V souboru připraveném v programu GeoGebra je narýsován obdélník jehož délky stran lze měnit posuvníkem. Pozoruj, jak se obdélník mění. Co platí pro jeho obsah? 2. ÚKOL: Pomocí posuvníku zobraz obdélníky o zadaných délkách strany a. Pro každý uvedený případ zapiš souřadnice bodu C a zakresli je do grafu. a=6 C=[ ] a=4 C=[ ] a=8 C=[ ] a=3 C=[ ] a=12 C=[ ] a=48 C=[ ] 73

75 Závislosti obvodu a obsahu čtverce a obdélníku na délce stran 7. / 9. ročník 3. ÚKOL: V programu GeoGebra zapni stopu bodu C a posuvníkem měň hodnoty. Jakou funkci vykresluje bod C?. Sestroj podobný graf a funkci opět pojmenuj. 74

76 Závislosti obvodu a obsahu čtverce a obdélníku na délce stran 7. / 9. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ Závislosti obvodu a obsahu čtverce a obdélníku na délce stran 1. ÚKOL: Vypočítej obvod a obsah jednotlivých čtverců podle délek stran a doplň údaje do tabulky. Poté zanes hodnoty do grafu a načrtni příslušné funkce, barevně je odliš. O jaké funkce se jedná?. a o S Lineární a kvadratická funkce. 75

77 Závislosti obvodu a obsahu čtverce a obdélníku na délce stran 7. / 9. ročník 2. ÚKOL: Pro jakou délku strany bude mít obsah i obvod čtverce stejnou hodnotu? Zakresli do grafu. a = 4 o = 4 a = 4 4 = 16 S = a 2 = 4 2 = 16 Pracovní list v programu GeoGebra je přiložen jako samostatný soubor s názvem Suchoparova-Zavislosti.ggb 1. ÚKOL: V souboru připraveném v programu GeoGebra je narýsován obdélník jehož délky stran lze měnit posuvníkem. Pozoruj, jak se obdélník mění. Co platí pro jeho obsah? Obsah je konstantní, nemění se. 2. ÚKOL: Pomocí posuvníku zobraz obdélníky o zadaných délkách strany a. Pro každý uvedený případ zapiš souřadnice bodu C a zakresli je do grafu. a=6 a=4 a=8 a=3 a=12 a=48 C=[6, 8] C=[4, 12] C=[8, 6] C=[3, 16] C=[12, 3] C=[48, 1] 76

78 Závislosti obvodu a obsahu čtverce a obdélníku na délce stran 7. / 9. ročník 3. ÚKOL: V programu GeoGebra zapni stopu bodu C a posuvníkem měň hodnoty. Jakou funkci vykresluje bod C?. Sestroj podobný graf a funkci opět pojmenuj. Lineární lomená funkce. 77

79 Ztracený dědeček Tereza Suchopárová Cíl aktivity: procvičování Ročník:

80 Ztracený dědeček ročník Předpokládané znalosti: Pythagorova věta, obsah kruhu Klíčové kompetence: Kompetence k učení (žák) aplikuje nabyté znalosti, vytváří si jednoduché algoritmy, používá logické myšlení Kompetence k řešení problému volí vhodné způsoby řešení a užívá při jejich řešení logické a matematické postupy, využívá získané vědomosti a dovednosti k objevování variant řešení. Kompetence komunikativní formuluje a výstižně vyjadřuje své myšlenky, vhodným způsobem argumentuje a obhajuje svůj názor. Kompetence pracovní vhodně organizuje vlastní práci na řešení problému na základě vlastních algoritmů. Prostředky a pomůcky: pracovní list, počítač pro každého žáka nebo do dvojice Metodický a didaktický komentář: Aby žáci zachránili dědečka, musí vyřešit jeho šifru. Výsledky jednotlivých úloh jsou klíčem k otevření jednotlivých souborů. Pokud žák zadá správný klíč, otevře se soubor, ve kterém je napsána indicie. Pomocí všech indicií poté žáci mohou odhalit, kde najdou pravého dědečka. Poznámky: Indicie jsou přiloženy jako samostatné soubory: indicie1.docx, indicie2.docx, indicie3.docx, indicie4.docx, 79

81 Ztracený dědeček ročník PRACOVNÍ LIST Vnoučata pana Lebedy milují hádanky. A on jim je zase rád vymýšlí. Tentokrát si pro ně připravil obzvláště složitý úkol. Když se vnoučata vrátila ze školy, našla na zemi zapečetěný dopis, ve kterém stálo: Navštívili nás mimozemšťané a 5 krát mne naklonovali. Jsem nyní v každé místnosti, ale jen jedno je mé pravé já. Chcete-li mne zachránit, vyřešte následující 4 úkoly. Výsledek každého příkladu vám umožní otevřít soubor s jednou indicií, které vám byly zanechány v počítači. Tyto indicie vám prozradí, ve které místnosti mě máte hledat. Na vyřešení záhady máte 45 minut od otevření tohoto dopisu. Pokud mne do té doby nenajdete, ufoni mne odnesou. Děda 80

82 Ztracený dědeček ročník 1. Počet stran čtverce vynásobte počtem stran trojúhelníku. Přičtěte délku strany čtverce, který je opsán kružnici o poloměru 12. Výsledek vydělte počtem stěn kvádru a vynásobte počtem hran krychle. Výsledné číslo vám umožní otevřít soubor s první indicií. 2. Určete obsah kruhu vymezeného kružnicí, kterou jsme opsali pravoúhlému trojúhelníku s délkami odvěsen 6 a 8 centimetrů. Obsah zaokrouhlete na celé cm 2 a otevřete druhou indicii. 3. Krychle o objemu 27 l je z jedné třetiny plná vody. Polovinu tekutiny přelijeme do krychle o objemu 9 l. Poté dvě třetiny z malé krychle přelijeme zpátky do původní nádoby. Kolik litrů vody musíme přelít z větší nádoby do menší, aby objemy vody byly ve stejném poměru 2:1? Třetí indicii získáte po zadání výsledku v cm Rozvoj čísla Pí je znám již na 5 bilionů desetinných míst. Poloměr planety Země je přibližně 6371 km. Kolikrát je možné zápis čísla Pí obtočit kolem Země? Uvažujte šířku jedné číslice 2mm a hodnotu Pí s přesností na 2 desetinná místa. Pro otevření poslední indicie zadejte počet celých otáček. 81

83 Ztracený dědeček ročník Plán bytu: 1. Indicie: 2. Indicie: 3. Indicie: 4. Indicie: V jaké části bytu je pravý dědeček? 82

84 Ztracený dědeček ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ 1. ÚKOL: Počet stran čtverce vynásobte počtem stran trojúhelníku. Přičtěte délku strany čtverce, který je opsán kružnici o poloměru 12. Výsledek vydělte počtem stěn kvádru a vynásobte počtem hran krychle. Výsledné číslo vám umožní otevřít soubor s první indicií. (34+24):612 = ÚKOL: Určete obsah kruhu vymezeného kružnicí, kterou jsme opsali pravoúhlému trojúhelníku s délkami odvěsen 6 a 8 centimetrů. Obsah zaokrouhlete na celé cm 2 a otevřete druhou indicii. d=10cm, S=3,1425=78 cm 2 3. ÚKOL: Krychle o objemu 27 l je z jedné třetiny plná vody. Polovinu tekutiny přelijeme do krychle o objemu 9 l. Poté dvě třetiny z malé krychle přelijeme zpátky do původní nádoby. Kolik litrů vody musíme přelít z větší nádoby do menší, aby objemy vody byly v poměru 2:1? Třetí indicii získáte po zadání výsledku v cm 3. 9:2-3 = 1.5 2:1 = 6:3 x = 1,5 l = 1500 cm 3 4. ÚKOL: Rozvoj čísla Pí je znám již na 5 bilionů desetinných míst. Poloměr planety Země je přibližně 6371 km. Kolikrát je možné zápis čísla Pí obtočit kolem Země? Uvažujte šířku jedné číslice 2mm a hodnotu Pí s přesností na 2 desetinná místa. Pro otevření poslední indicie zadejte počet celých otáček. o = π = 40009,88 km l = , = km x = l:o =

85 Daň z přidané hodnoty Jana Doležalová Cíl aktivity: uvědomění a pochopení podstaty DPH, rozdílnosti nejenom DPH v České republice, ale na daném příkladu srovnání s Chorvatskem, přepočet ceny dle platného kurzovního lístku. Naučit žáky číst pokladní doklady Ročník: 7. 84

86 Daň z přidané hodnoty ročník Předpokládané znalosti: základní znalosti a dovednosti z oblasti procent Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) promyslí a realizuje způsob řešení problému Kompetence komunikativní formuluje a vyjadřuje své myšlenky a názory v logickém sledu, vyjadřuje se výstižně, souvisle, kultivovaně a matematicky správně Kompetence sociální a personální pracuje samostatně, vytváří si pozitivní představu o sobě samém, která podporuje jeho sebedůvěru a samostatný rozvoj. Řídí své chování tak, aby dosáhl pocitu uspokojení a sebeúcty Prostředky a pomůcky: pracovní list, přístup na internet Metodický a didaktický komentář: Na srovnání dvou téměř stejných nákupů v obchodním řetězci Billa žáky provedeme celým platebním dokladem, který nám skýtá nejenom uvedené úlohy na pracovním listě, ale je zde možnost je rozšířit o celou řadu dalších: 1. Žáky můžeme motivovat fotografiemi dvou kontrolních nákupů. Jednotlivé položky jsou Chorvatsko - voda Jana, pečivo - 4 bulky, mléko, zubní pasta, jogurt clever (dle pořadí na pokladním dokladu). Česká republika zubní pasta, mléko, jogurt clever, 4 bulky, voda Toma. Se žáky identifikujeme jednotlivé informace na účtence. Je zde celá řada zajímavostí. Například: z chorvatské účtenky nelze poznat, že bylo nakoupeno ve Splitu, uvědomění si slovanského jazyka, reklamní slogan pod logem firmy, u české účtenky zaokrouhlení nákupu na celé koruny aj. 2. Nutno upozornit žáky, že přepočítáváme dnem, kdy byl nákup uskutečněn. Tuto úlohu můžeme dále rozvést. O kolik korun byl český nákup levnější? Co zapříčinilo zlevnění českého nákupu? Kolik by stál nákup v Čechách, pokud bychom měli chorvatské DPH. 3. Práce pouze s dokladem, rozdělení jednotlivých položek dle DPH. 4. Sazby DPH v České republice žáci znají. Chorvatsko si vyhledají na internetu. Zajímavá na pokladním dokladu je voda. V České republice je voda vodovodní v 15% a voda balená také v 15% sazbě. V Chorvatsku je voda vodovodní v 10% sazbě, kdežto voda balená v 25% sazbě. 85

87 Daň z přidané hodnoty ročník PRACOVNÍ LIST Obrázek 12 - Chorvatský nákup 86

88 Daň z přidané hodnoty ročník Obrázek 13 - Chorvatský nákup, pokladní doklad 87

89 Daň z přidané hodnoty ročník Obrázek 14 - Český nákup 88

90 Daň z přidané hodnoty ročník Obrázek 15 - Srovnání pokladních dokladů 89

91 Daň z přidané hodnoty ročník 1. ÚKOL: Na obrázku 4 najdi rozdílné a společné znaky, které se vyskytují na pokladních dokladech. Shodné znaky Rozdílné znaky 2. ÚKOL: Na internetových stránkách České národní banky vyhledej informace o cizí měně a vypočítej cenu zahraničního nákupu v českých korunách. 90

92 Daň z přidané hodnoty ročník 3. ÚKOL: Zaměř se na DPH v jednotlivých zemích podle platebních dokladů DPH Česká republika DPH Chorvatsko A B C 4. ÚKOL: Jaké sazby DPH se vyskytují v České republice a v Chorvatsku? DPH Česká republika DPH Chorvatsko 91

93 Daň z přidané hodnoty ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ 1. ÚKOL: Na obrázku 4 najdi rozdílné a společné znaky, které se vyskytují na pokladních dokladech. Shodné znaky Nákup ve stejném řetězci - Billa Rozdílné znaky Rozdílné země nákupu zboží Chorvatsko, Česká republika Stejné označení pro hodnoty DPH písmeny A, B, C Rozdílné DPH Nakoupeny stejné druhy zboží Rozdílná měna Přijato, vráceno Zaokrouhlení nákupu Poděkování Uvedení internetových stránek 2. ÚKOL: Na internetových stránkách České národní banky vyhledej informace o cizí měně a vypočítej cenu zahraničního nákupu v českých korunách. 26,62 3,667 = 97,61554 Kč 92

94 Daň z přidané hodnoty ročník 3. ÚKOL: Zaměř se na DPH v jednotlivých zemích podle platebních dokladů DPH Česká republika DPH Chorvatsko A 5% - pečivo, mléko B C 15% - pečivo, mléko, jogurt, minerální voda 21% - zubní pasta 25% - minerální voda, zubní pasta, jogurt 4. ÚKOL: Jaké sazby DPH se vyskytují v České republice a v Chorvatsku? DPH Česká republika 0% Základní poštovní služby, rozhlasové a televizní poplatky, výchova a vzdělávání, vratné obaly, sociální pomoc 15% Potraviny, knihy, časopisy, ubytování, léky, voda 21% Základní sazba DPH Chorvatsko 5% Některé potraviny chléb, mléko, léky, knihy 10% Turistické služby, ubytovací služby, noviny, časopisy, voda, dětské potraviny, cukr 25% Základní sazba 93

95 Finanční gramotnost Marta Vrtišová Cíl aktivity: podněcovat žáky k tvořivému myšlení, logickému uvažování a k řešení problémů Ročník: 9. 94

96 Finanční gramotnost 9. ročník Předpokládané znalosti: základní znalosti a dovednosti z oblasti funkčních závislostí, řešení lineárních rovnic Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) využívá získané vědomosti a dovednosti k vyjádření funkčního vztahu popisujícího reálnou situaci, volí vhodné způsoby řešení a užívá při jejich řešení logické a matematické postupy, ověřuje správnost řešení problému Kompetence komunikativní formuluje a výstižně vyjadřuje své myšlenky, vhodným způsobem argumentuje a obhajuje své řešení Kompetence sociální a personální účinně spolupracuje ve skupině při řešení daného úkolu, přispívá k diskusi v malé skupině i k debatě celé třídy, seznamuje se se světem financí - znalosti, dovednosti a hodnotové postoje z této oblasti přispívají k rozvoji finanční gramotnosti žáků Kompetence pracovní vhodně organizuje vlastní práci na řešení problému Prostředky a pomůcky: pracovní listy, počítače pro žáky, interaktivní tabule s programem GeoGebra Metodický a didaktický komentář: Pracovní list obsahuje slovní úlohu s reálným kontextem z finanční oblasti. V úloze mají žáci nejen vypočítat, kolik zaplatí rodina za vypůjčení automobilu, ale dokázat zapsat rovnici závislosti celkové denní platby na počtu ujetých kilometrů a podle grafu vymyslet další možné reálné situace. Žáci mohou pracovat ve dvojicích i samostatně, při kontrole správnosti řešení a vyvození závěrů je vhodná společná práce řízená učitelem a řízená diskuse. Doplňkové aktivity - diskuze mezi žáky, vzájemná porovnávání řešení. Konkrétní poznámky - viz řešení jednotlivých úkolů u 1. a 2. pracovního listu. 95

97 Finanční gramotnost 9. ročník PRACOVNÍ LIST Zadání 1. V autopůjčovně krátkodobě pronajímají automobil Škoda Octavia za denní poplatek 600 korun plus 3 koruny za každý ujetý kilometr. Úkoly a) Vypočítej, kolik korun zaplatí Čermákovi za zapůjčení automobilu na 4 dny, pokud plánují urazit průměrně 300 km za den? b) Vyjádři rovnicí závislost celkové denní platby pro rodinu Čermákových na počtu ujetých kilometrů. c) Graf na obrázku vyjadřuje závislost celkové denní platby za pronájem automobilu na počtu ujetých kilometrů za den. Zjisti z grafu souřadnice bodů A, B, C, D a pokus se vymyslet reálné situace, které tyto body grafu mohou představovat. 96

98 Finanční gramotnost 9. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ Zadání 1. V autopůjčovně krátkodobě pronajímají automobil Škoda Octavia za denní poplatek 600 korun plus 3 koruny za každý ujetý kilometr. Úkoly a) Vypočítej, kolik korun zaplatí Čermákovi za zapůjčení automobilu na 4 dny, pokud plánují urazit průměrně 300 km za den? Čermákovi zaplatí 6000 Kč. Žáci mohou použít dva způsoby řešení. Rovnou počítat, kolik zaplatí Čermákovi za 4 dny; nebo počítat nejprve platbu za jeden den a poté násobit čtyřmi; 4.( ). Při použití druhého způsobu si žáci postupem svého výpočtu snáze uvědomí funkční závislost denní platby na počtu ujetých kilometrů a úkol b) jim nedělá potíže. b) Vyjádři rovnicí závislost celkové denní platby pro rodinu Čermákových na počtu ujetých kilometrů. y = 3x c) Graf na obrázku vyjadřuje závislost celkové denní platby za pronájem automobilu na počtu ujetých kilometrů za den. Zjisti z grafu souřadnice bodů A, B, C, D a pokus se vymyslet reálné situace, které tyto body grafu mohou představovat. Řešení: Obrázek 16 - Souřadnice bodů 97

99 Finanční gramotnost 9. ročník UKÁZKA MOŽNÝCH ŘEŠENÍ A: Pan Novák si zamluvil v autopůjčovně auto a přesto, že na plánovanou cestu nemohl odjet, musí zaplatit denní poplatek 600 Kč. B: Pan Novák si půjčil v autopůjčovně na 1 den auto, ujel s ním vzdálenost 200 km, celkem musí zaplatit 1200 Kč. C: Pan Novák si půjčil v autopůjčovně na 1 den auto, ujel s ním vzdálenost 400 km, celkem musí zaplatit 1800 Kč. D: Pan Novák si půjčil v autopůjčovně na 1 den auto, ujel s ním vzdálenost 600 km, celkem musí zaplatit 2400 Kč. Vyučující může graf (obr. 2) zobrazit na interaktivní tabuli, zkontrolovat se žáky správné řešení souřadnic bodů pomocí algebraického okna (obr. 1) a společně si vzájemně přečíst a zhodnotit svá řešení, vybrat nejzajímavější a nejoriginálnější Obrázek 2 Nákresna s algebraickým oknem - GeoGebra 98

100 Finanční matematika Marta Vrtišová Cíl aktivity: podněcovat žáky k tvořivému myšlení, logickému uvažování a k aplikaci matematických znalostí v oblasti finanční matematiky Ročník: 9. 99

101 Finanční matematika 9. ročník Předpokládané znalosti: základní znalosti a dovednosti v oboru přirozených a desetinných čísel, procenta, základy MS Excel nebo jiného vhodného programu Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) využívá získané vědomosti a dovednosti k volbě vhodného způsobu řešení, používá logické a matematické postupy, ověřuje správnost řešení rozvoj finanční gramotnosti Kompetence komunikativní formuluje a výstižně vyjadřuje své myšlenky, účinně se zapojuje do diskuse, vhodně reaguje na názory druhých, vhodným způsobem argumentuje a obhajuje svůj názor Kompetence sociální a personální účinně spolupracuje ve skupině při řešení daného úkolu, pozitivně ovlivňuje kvalitu společné práce, přispívá k diskusi v malé skupině i k debatě celé třídy, respektuje různá hlediska Kompetence pracovní vhodně organizuje vlastní práci na řešení problému, správným způsobem užívá ICT - vyhledá potřebné údaje, sestrojí grafy Prostředky a pomůcky: pracovní listy, počítače pro žáky, interaktivní tabule Metodický a didaktický komentář: Žáci dostanou pracovní list se zadanou problémovou úlohou z oblasti finanční matematiky a úkoly, které mají vyřešit. Ideálně má každý žák k dispozici svůj počítač (tablet), s jehož pomocí řeší některé úkoly (možná je práce i ve dvojicích nebo skupinách). 1. úkol mohou žáci řešit vlastním výpočtem nebo pomocí tabulky např. v MS Excel. Grafy (2. úkol) konstruují pomocí např. MS Excel již všichni. Co je to medián (3. úkol) si mohou zadat žáci do vyhledávače. Při kontrole správnosti řešení a vyvození závěrů je potřebná společná práce řízená učitelem a řízená diskuse. Je vhodné, aby vyučující zobrazil na interaktivní tabuli doplněnou tabulku Struktury mezd zaměstnanců i sestrojené grafy, zobrazující Podíly zaměstnanců v % a Průměrnou mzdu v Kč a společně se žáky si vysvětlili případné nejasnosti či chyby v odpovědích. Problematika mezd a jejich výše s ohledem na vzdělání je pro žáky 9. tříd aktuální téma a je zde proto na místě věnovat této úloze dostatečný čas a s žáky diskutovat i v širších souvislostech. Je vhodné, aby vyučující vysvětlil žákům, jak se počítá vážený průměr (např. váhy známek) v tabulce průměrná mzda celkem. Doplňkové aktivity - diskuze mezi žáky, skupinami žáků, vzájemná porovnávání odpovědí. 100

102 Finanční matematika 9. ročník PRACOVNÍ LIST Struktura mezd zaměstnanců v roce 2012 Podíly zaměstnanců v % Průměrná mzda v Kč Medián mezd v Kč VZDĚLÁNÍ ZAMĚSTNANCE Percentage of employees Average earnings (CZK) Median earnings (CZK) celkem muži ženy celkem muži ženy celkem muži ženy % Total Men Women Total Men Women Total Men Women Celkem 100,0 55,4 44, , základní a nedokončené 5,9 2,8 3, , střední bez maturity 35,4 12, střední s maturitou 35,5 16, vyšší odborné a bakalářské 3,5 1, vysokoškolské 16,1 9,1 166, neuvedeno 3,6 1,7 85, Zdroj: Český statistický úřad: A3 Podíly zaměstnanců, placený čas a hrubé měsíční mzdy podle věku a pohlaví. Úkoly 1. Doplň tabulku. 2. Sestav sloupcové diagramy: a) Podíly zaměstnanců v % - muži a ženy b) Průměrná mzda v Kč - celkem, muži a ženy 3. Vyhledej a pokus se zapsat, co je to medián. Jaká je jeho výhoda oproti průměru? 4. Porovnej a diskutuj o rozdílech v průměrných mzdách mužů a žen. 5. Uvažuj, proč je průměrná mzda vyšší než medián mezd? Porovnej rozdíly podle vzdělání. 101

103 Finanční matematika 9. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ 1. Doplň tabulku. Struktura mezd zaměstnanců v roce 2012 Podíly zaměstnanců v % Průměrná mzda v Kč Medián mezd v Kč VZDĚLÁNÍ ZAMĚSTNANCE Percentage of employees Average earnings (CZK) Median earnings (CZK) celkem muži ženy celkem muži ženy celkem muži ženy % Total Men Women Total Men Women Total Men Women Celkem 100,0 55,4 44, , základní a nedokončené 5,9 2,8 3, , střední bez maturity 35,4 23,3 12, , střední s maturitou 35,5 16,8 18, , vyšší odborné a bakalářské 3,5 1,5 2, , vysokoškolské 16,1 9,1 7, , neuvedeno 3,6 1,5 1, ,

104 Finanční matematika 9. ročník 2. Sestav sloupcové diagramy a) Podíly zaměstnanců v % - muži a ženy b) Průměrná mzda v Kč - celkem, muži a ženy 103

105 Finanční matematika 9. ročník 3. Vyhledej a pokus se zapsat, co je to medián. Jaká je jeho výhoda oproti průměru? Medián je hodnota, jež dělí řadu vzestupně seřazených číselných hodnot na dvě stejně početné poloviny. Pro nalezení mediánu daného souboru stačí číselné hodnoty seřadit podle velikosti. Je-li počet prvků souboru liché číslo, je medián to číslo, které se nalézá uprostřed. Pokud má soubor sudý počet prvků, za medián označujeme aritmetický průměr dvou prostředních čísel. Základní výhodou mediánu jako statistického ukazatele je fakt, že není ovlivněn extrémními hodnotami. 4. Porovnej a diskutuj o rozdílech v průměrných mzdách mužů a žen. Muži mají průměrné mzdy vyšší než ženy. Jejich rozdíl se s vyšším vzděláním zvětšuje. 5. Uvažuj, proč je průměrná mzda vyšší než medián mezd? Porovnej rozdíly podle vzdělání. Průměrné mzdy jsou vyšší než medián mezd, protože jsou v nich započteny i extrémní hodnoty. Rozdíl mezi průměrnou mzdou a mediánem je nejnižší u zaměstnanců se základním vzděláním Kč ( ), postupně se zvyšuje a nejvyšší je u vysokoškoláků Kč ( ), u mužů dokonce Kč ( ). 104

106 Měna Jana Kaňková Cíl aktivity: opakování různých typů měn. Propojení se zeměpisem žáci přiřadí k jednotlivým státům i vlajku. Ročník:

107 Měna 8. ročník Předpokládané znalosti: znalost měn jednotlivých států Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) při řešení problému uplatňuje vhodné metody, dříve získané informace a dovednosti. Využívá tvořivé myšlení s použitím intuice Kompetence sociální a personální přispívá k vytváření a udržování hodnotných mezilidských vztahů, dokáže spolupracovat, tak aby tým dosáhl žádaného cíle Kompetence k učení získané informace chápe a dokáže je propojit tak, aby úspěšně doplnil tabulku. Kriticky přistupuje ke zdrojům, informace tvořivě zpracovává a využívá při řešení problému Prostředky a pomůcky: pracovní list, MS Excel Metodický a didaktický komentář: Žáci budou rozděleni do skupin, společně spolupracují a vyplní tabulku 106

108 Měna 8. ročník PRACOVNÍ LIST 1. ÚKOL: Doplň tabulku. Ke každému státu přiřaď vlajku, měnu a zkratku měny. Využij internet, či literaturu. Stát Vlajka Měna Zkratka Česká republika koruna CZK Ukrajina STÁTY: Polsko, Chorvatsko, Francie, Dánsko, Maďarsko, Spojené království. VLAJKY: 1) 2) 3) 4) 5) 6) MĚNA: hřivna, libra šterlinků, zlotý, forint, kuna, euro, koruna. 107

109 Měna 8. ročník ZKRATKA: GBP, PLN, HUF, HRK, EUR, DKK, UAH 2. ÚKOL: Zjisti kurzy měn v porovnání s českou korunou 1 Hřivna = 1 Dánská koruna = 1 Forint = 1 Zlotý = 1 Kuna= 1 Euro = 1 Libra šterlinků = 108

110 Měna 8. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ 1. ÚKOL: Doplň tabulku. Ke každému státu přiřaď vlajku, měnu a zkratku měny. Využij internet, či literaturu. Stát Vlajka Měna Zkratka Česká republika koruna CZK Ukrajina hřivna UAH Dánsko koruna DKK Maďarsko forint HUF Polsko zlotý PLN Chorvatsko kuna HRK Francie euro EUR Spojené království libra šterlinků GBP 2. ÚKOL: Zjisti kurzy měn v porovnání s českou korunou 1Hřivna = 1, 48 Kč 1 Dánská koruna = 3,72 Kč 1 Forint = 0,09 Kč 1 Zlotý = 6,59 Kč 1 Kuna= 3,61 Kč 1 Euro = 27, 67 Kč 1 Libra šterlinků = 34, 97 Kč. 109

111 Riskuj Tereza Suchopárová Cíl aktivity: procvičování a opakování z finanční matematiky Ročník:

112 Riskuj 9. ročník Předpokládané znalosti: základy finanční gramotnosti Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) samostatně řeší problémy; volí vhodné způsoby řešení; užívá při řešení problémů logické, matematické a empirické postupy. Vyhledá informace vhodné k řešení problému, nachází jejich shodné, podobné a odlišné znaky, využívá získané vědomosti a dovednosti k objevování různých variant řešení, nenechá se odradit případným nezdarem a vytrvale hledá konečné řešení problému. Kriticky myslí, činí uvážlivá rozhodnutí, je schopen je obhájit, uvědomuje si zodpovědnost za svá rozhodnutí a výsledky svých činů zhodnotí. Vyhledá informace vhodné k řešení problému, nachází jejich shodné, podobné a odlišné znaky, využívá získané vědomosti a dovednosti k objevování různých variant řešení, nenechá se odradit případným nezdarem a vytrvale hledá konečné řešení problému Kompetence k učení operuje s obecně užívanými termíny, znaky a symboly, uvádí věci do souvislostí, propojuje do širších celků poznatky z různých vzdělávacích oblastí a na základě toho si vytváří komplexnější pohled na matematické, přírodní, společenské a kulturní jevy Kompetence komunikativní formuluje a vyjadřuje své myšlenky a názory v logickém sledu, vyjadřuje se výstižně, souvisle a kultivovaně v písemném i ústním projevu. Naslouchá promluvám druhých lidí, porozumí jim, vhodně na ně reaguje, účinně se zapojuje do diskuse, obhajuje svůj názor a vhodně argumentuje. Rozumí různým typům textů a záznamů, obrazových materiálů, běžně užívaných gest, zvuků a jiných informačních a komunikačních prostředků, přemýšlí o nich, reaguje na ně a tvořivě je využívá ke svému rozvoji a k aktivnímu zapojení se do společenského dění. Využívá získané komunikativní dovednosti k vytváření vztahů potřebných k plnohodnotnému soužití a kvalitní spolupráci s ostatními lidmi Kompetence personální a sociální účinně spolupracuje ve skupině, podílí se společně s pedagogy na vytváření pravidel práce v týmu, na základě poznání nebo přijetí nové role v pracovní činnosti pozitivně ovlivňuje kvalitu společné práce. Podílí se na utváření příjemné atmosféry v týmu, na základě ohleduplnosti a úcty při jednání s druhými lidmi přispívá k upevňování dobrých mezilidských vztahů, v případě potřeby poskytne pomoc nebo o ni požádá. Přispívá k diskusi v malé skupině i k debatě celé třídy, chápe potřebu efektivně spolupracovat s druhými při řešení daného úkolu, oceňuje zkušenosti druhých lidí, respektuje různá hlediska a čerpá poučení z toho, co si druzí lidé myslí, říkají a dělají. Vytváří si pozitivní představu o sobě samém, která podporuje jeho sebedůvěru a samostatný rozvoj; ovládá a řídí svoje jednání a chování tak, aby dosáhl pocitu sebeuspokojení a sebeúcty Kompetence občanské rozhoduje se zodpovědně podle dané situace, poskytne dle svých možností účinnou pomoc a chová se zodpovědně v krizových situacích i v situacích ohrožujících život a zdraví člověka Kompetence pracovní využívá znalosti a zkušenosti získané v jednotlivých vzdělávacích oblastech v zájmu vlastního rozvoje i své přípravy na budoucnost, činí podložená rozhodnutí o dalším vzdělávání a profesním zaměření. Orientuje se v základních 111

113 Riskuj 9. ročník aktivitách potřebných k uskutečnění podnikatelského záměru a k jeho realizaci, chápe podstatu, cíl a riziko podnikání, rozvíjí své podnikatelské myšlení Prostředky a pomůcky: interaktivní tabule Smartboard, připravený soubor Riskuj.smartnotebook Metodický a didaktický komentář: Hra je založena na televizním pořadu Riskuj. Ke každému tématu je připraveno 5 otázek s různou obtížností a tedy i různým bodovým ohodnocením, na něž musí účastníci správně odpovědět, aby dané body získali. Pokud odpoví špatně, body se jim naopak odečtou! Týmy se v odpovídání po jednom střídají. Pokud jeden tým odpověď nezná nebo odpoví špatně, odpovídají postupně další týmy, mají-li zájem. Časový limit na zodpovězení otázky je 30s. Hra je původně koncipována pro tři týmy, všechna zde navrhovaná pravidla lze ale upravit podle potřeb třídy. Vítězí tým s největším počtem bodů. 112

114 Riskuj 9. ročník PRACOVNÍ LIST Nakupování: 1000 Co znamená DPH? 2000 Jak dlouhá je standardně záruční lhůta? 3000 Kolik procent činí v současné době DPH v ČR? 4000 Jmenujte alespoň 3 náležitosti zjednodušeného daňového dokladu Do jaké výše ročního obratu není podnikatel či živnostník plátcem DPH? Banka: 1000 Co je to směnný kurz? 2000 Kde lze vybrat peníze z účtu? 3000 Co je to termínovaný vklad? 4000 Jaký je rozdíl mezi kreditní a debetní kartou? 5000 O kolik procent vzroste úročená částka za půl roku, pokud je úrok 10% p.a.? Půjčky: 1000 Jak se nazývá částka, kterou zaplatíme navíc při splácení půjčky? 2000 Jak se nazývá půjčka na pořízení bydlení? 3000 Jak se jmenuje finanční produkt, kdy je financovaný předmět po celou dobu majetkem financující společnosti a teprve na konci splácení přechází vlastnictví na zákazníka Jak se jmenuje dokument, který udává, jak často, v jaké výši a jak dlouho bude člověk splácet vypůjčenou částku? 5000 Co znamená zkratka RPSN? 113

115 Riskuj 9. ročník Peníze: 1000 Jak se nazývá oficiální měna v ČR? 2000 Jaká je největší hodnota bankovky v ČR? 3000 Jak se nazývá oficiální měna EU? 4000 Jak se nazývá obchod, kde lze koupit zahraniční měnu? 5000 Jmenujte alespoň tři ochranné prvky na českých bankovkách. Zaměstnání: 1000 Od kolika let je možné zaměstnat člověka na hlavní pracovní poměr? 2000 Jaký je rozdíl mezi čistou a hrubou mzdou? 3000 Jaká je minimální mzda v ČR? Tolerance 500 Kč Co je to sick day? 5000 Minimálně na kolik týdnů dovolené má zaměstnanec ze zákona nárok? 114

116 Riskuj 9. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ Nakupování: 1000 Co znamená DPH? Daň z přidané hodnoty 2000 Jak dlouhá je standardně záruční lhůta? 2 roky 3000 Kolik procent činí v současné době DPH v ČR? 15% a 21% 4000 Jmenujte alespoň 3 náležitosti zjednodušeného daňového dokladu. Obchodní firmu (resp. jméno a příjmení), sídlo nebo místo podnikání resp. bydliště plátce, který uskutečňuje zdanitelné plnění, daňové identifikační číslo plátce, který uskutečňuje zdanitelné plnění, pořadové číslo dokladu, rozsah a předmět zdanitelného plnění, datum vystavení dokladu, datum uskutečnění zdanitelného plnění, výše ceny celkem (včetně DPH), základní nebo snížená sazba daně, případně sdělení, že se jedná o zdanitelné plnění osvobozené od povinnosti uplatnit daň na výstupu podle 46 nebo 47 zákona o dani z přidané hodnoty Do jaké výše ročního obratu není podnikatel či živnostník plátcem DPH? Kč 115

117 Riskuj 9. ročník Banka: 1000 Co je to směnný kurz? Udává, kolik zaplatíme za jednu jednotku cizí měny Kde lze vybrat peníze z účtu? Na pobočce, v bankomatu Co je to termínovaný vklad? Uložení peněz do banky na pevně danou dobu s pevně daným úrokem. ( Půjčka bance ) 4000 Jaký je rozdíl mezi kreditní a debetní kartou? Debetní karta umožnuje využít peníze z vlastního účtu do výše zůstatku (případně kontokorent). Peníze čerpané pomocí kreditní karty jsou úročeny jako úvěr a pokud nejsou vráceny v bezúročné lhůtě, musí být zaplacen také úvěr O kolik procent vzroste úročená částka za půl roku, pokud je úrok 10% p.a.? 5% 116

118 Riskuj 9. ročník Půjčky: 1000 Jak se nazývá částka, kterou zaplatíme navíc při splácení půjčky? Úrok 2000 Jak se nazývá půjčka na pořízení bydlení? Hypotéka 3000 Jak se jmenuje finanční produkt, kdy je financovaný předmět po celou dobu majetkem financující společnosti a teprve na konci splácení přechází vlastnictví na zákazníka. Leasing 4000 Jak se jmenuje dokument, který udává, jak často, v jaké výši a jak dlouho bude člověk splácet vypůjčenou částku? Splátkový kalendář 5000 Co znamená zkratka RPSN? Roční procentní sazba nákladů. 117

119 Riskuj 9. ročník Peníze: 1000 Jak se nazývá oficiální měna v ČR? Koruna česká 2000 Jaká je největší hodnota bankovky v ČR? Jak se nazývá oficiální měna EU? EURO 4000 Jak se nazývá obchod, kde lze koupit zahraniční měnu? směnárna 5000 Jmenujte alespoň tři ochranné prvky na českých bankovkách. Vodoznak, Ochranný okénkový proužek, Ochranná vlákna, Soutisková značka, Skrytý obrazec, Opticky proměnlivá barva, Iridiscentní pruh, Mikrotext 118

120 Riskuj 9. ročník Zaměstnání: 1000 Od kolika let je možné zaměstnat člověka na hlavní pracovní poměr? 15 let 2000 Jaký je rozdíl mezi čistou a hrubou mzdou? Hrubá mzda uvádí výši před zdaněním, čistá po zdanění 3000 Jaká je minimální mzda v ČR? Tolerance 500 Kč Co je to sick day? Zdravotní volno namísto neschopenky, navíc k dovolené, lze vybrat bez zprávy od lékaře Minimálně na kolik týdnů dovolené má zaměstnanec ze zákona nárok? 4 týdny 119

121 Slevy se studentskou kartou Mgr. Yvona Zuntová Cíl aktivity: prohloubení znalostí o finančních produktech současnosti, opakování procent na praktické úloze Ročník:

122 Slevy se studentskou kartou ročník Předpokládané znalosti: základní znalosti a dovednosti z oblasti procent Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) promyslí a realizuje způsob řešení problému Kompetence občanské orientuje se v reálném světě finančních produktů Prostředky a pomůcky: propagační letáky slev s kartou ISIC, internet Anotace: Žáci řeší tři úlohy na procenta ve formě slev poskytovaných studentskou kartou ISIC. 121

123 Slevy se studentskou kartou ročník PRACOVNÍ LIST Slevy s kartou ISIC Průkazy ISIC, ITIC a IYTC jsou jediné celosvětově uznávané doklady prokazující status studenta, učitele a mládežníka. Průkazy vydává světová organizace ISIC Association pod záštitou UNESCO. ISIC (Pro studenty (denní forma) ZŠ, SŠ, VŠ, VOŠ) ITIC (Pro učitele MŠ, ZŠ, SŠ, VŠ, VOŠ, ZUŠ) IYTC (Pro mládež do 26 let) 1. ÚKOL: Doplňte chybějící údaje a určete nejvyšší procentní slevu, kterou umožňuje majiteli karta ISIC na následující akce: Akce Původní cena Kč Sleva % Sleva Kč Cena po slevě Kč Metalfest Festia Open Air Bounty Rock Cafe Open Air ÚKOL: Spočítejte výslednou procentní slevu na pobyt pro držitele karty ISIC v Hostelu ve Dvoře Králové nad Labem na jeden den s plnou penzí. Původní cena Kč Sleva % Sleva Kč Cena po slevě Kč Ubytování % Plná penze % Celkem ÚKOL: Na slevovém portálu akceptují průkaz ISIC a garantují slevu 10% i na výrobky, které již byly jednou zlevněny. Jaká bude cena tabletu Dell Venue, jestliže původní cena byla Kč? Původní cena... Cena po první slevě o 25%... Cena pro studenty- majitele ISIC

124 Slevy se studentskou kartou ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ Slevy s kartou ISIC Průkazy ISIC, ITIC a IYTC jsou jediné celosvětově uznávané doklady prokazující status studenta, učitele a mládežníka. Průkazy vydává světová organizace ISIC Association pod záštitou UNESCO. ISIC (Pro studenty (denní forma) ZŠ, SŠ, VŠ, VOŠ) ITIC (Pro učitele MŠ, ZŠ, SŠ, VŠ, VOŠ, ZUŠ) IYTC (Pro mládež do 26 let) 1. ÚKOL: Doplňte chybějící údaje a určete nejvyšší procentní slevu, kterou umožňuje majiteli karta ISIC na následující akce: Akce Původní cena Kč Sleva % Sleva Kč Cena po slevě Kč Metalfest 800 6,25 % Festia Open Air % Bounty Rock Cafe Open Air % Z uvedených akcí je nejvyšší % sleva 28 % na Festia Open air. 2. ÚKOL: Spočítejte výslednou slevu a konečnou cenu pro pobyt držitele karty ISIC v Hostelu ve Dvoře Králové nad Labem na jeden den s plnou penzí. Původní cena Kč Sleva % Sleva Kč Cena po slevě Kč Ubytování % Plná penze % 17,5 157,5 Celkem % 53,5 301,5 Výsledná sleva je 53,5 Kč (15%) a konečná cena bude 301,5 Kč. 3. ÚKOL: Na slevovém portálu akceptují průkaz ISIC a garantují slevu 10% i na výrobky, které již byly jednou zlevněny. Jaká bude cena tabletu Dell Venue, jestliže původní cena byla Kč?(základem je cena po slevě) Původní cena Kč Cena po první slevě o 25% ,75 = 2 992,50 Cena pro studenty- majitele ISIC ,5 0,90 = 2 693,25 123

125 Stavební spoření Lenka Činčurová Cíl aktivity: samostatně najít informace o produktech různých stavebních spořitelen, seznámit se blíže s pojmy inflace a úroková míra, orientovat se v nabízených produktech, umět porovnat jednotlivé spořitelny z hlediska zhodnocení vložených finančních prostředků Ročník:

126 Stavební spoření 9. ročník Předpokládané znalosti: základní početní operace, procenta, výpočet úroků, základy finanční matematiky Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) pečlivě studuje různé formy a druhy stavebního spoření, hledá nejvhodnější dobu úročení finančních prostředků (měsíční, pololetní, roční) a ověřuje správnost svých nápadů Kompetence komunikativní formuluje a vyjadřuje své myšlenky a názory v logickém sledu, vyjadřuje se výstižně, souvisle, kultivovaně a matematicky správně Kompetence sociální a personální pracuje samostatně, případně za pomoci spolužáků, ochotně spolupracuje, přijímá a respektuje názory ostatních a dokáže řídit své chování a jednání k vzájemné spokojenosti Kompetence k učení procvičuje základní početní operace, vyhledává nové informace a vytváří si tak komplexnější pohled na danou problematiku. Je schopen obhájit svou volbu a diskutovat o svých závěrech Prostředky a pomůcky: pracovní list, internetový vyhledávač, online spořicí kalkulačka Metodický a didaktický komentář: Formou samostatných úkolů si žáci vyhledají informace potřebné k analýze a porovnání nabízených produktů jednotlivých stavebních spořitelen. Cílem je blíže se seznámit s problematikou stavebního spoření, dokázat odhadnout konečnou výši naspořené částky v závislosti na délce spoření a pokusit se navrhnout optimální dobu spoření a úrokové období. 125

127 Stavební spoření 9. ročník PRACOVNÍ LIST Které instituce nabízejí stavební spoření? Znáte nějaké konkrétní? Vyhledejte, kolik takových institucí působí v České republice a zapište jejich názvy. Jaký je minimální a jaký optimální měsíční vklad? 126

128 Stavební spoření 9. ročník Zjistěte, jakou roční úrokovou míru nabízejí jednotlivé instituce: Instituce: Roční úroková míra [%]: Patří podle Vás tyto úrokové míry mezi nižší nebo vyšší? Co to je inflace? Vysvětlete nebo vyhledejte a popište, jak souvisí s Vašimi úspory. 127

129 Stavební spoření 9. ročník Vyberte si jednu z institucí a vyplňte následující tabulku. Název instituce: Roční úroková míra: Minimální měsíční vklad: Vypočítejte samostatně, kolik Kč si budete moci na konci spoření vybrat, jestliže budete spořit Kč měsíčně po dobu pěti let. Neuvažujte státní podporu. Nyní použijte spořící kalkulačku 11 a zapište výsledek. Okomentujte. Kolik Kč budete muset měsíčně spořit, abyste si za 10 let mohli vybrat Kč? 11 Např

130 Stavební spoření 9. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ Které instituce nabízejí stavební spoření? Stavební spořitelny Znáte nějaké konkrétní? Vyhledejte, kolik takových institucí působí v České republice a zapište jejich názvy. Českomoravská stavební spořitelna, a.s. Modrá pyramida stavební spořitelna, a.s. Raiffeisen stavební spořitelna a.s. Stavební spořitelna České spořitelny, a.s. Wüstenrot - stavební spořitelna a.s. Jaký je minimální a jaký optimální měsíční vklad? Minimálně 100 Kč, optimálně tak, aby bylo ročně, tzn Kč měsíčně. 129

131 Stavební spoření 9. ročník Zjistěte, jakou roční úrokovou míru nabízejí jednotlivé instituce: Instituce: Roční úroková míra [%]: Českomoravská stavební spořitelna, a.s. 1,5 % p.a. ( s bonusem cca 1,8 % p.a. po 6 letech pravidelného spoření) Modrá pyramida stavební spořitelna, a.s. Raiffeisen stavební spořitelna a.s. Stavební spořitelna České spořitelny, a.s. Wüstenrot - stavební spořitelna a.s. 1,0 % + 0,7 % p.a. dočasný bonus 1,5 % p.a. 1,0 % p.a. bez omezení 2,0 % p.a. bez omezení Patří podle Vás tyto úrokové míry mezi nižší nebo vyšší? Nižší. Co to je inflace? Vysvětlete nebo vyhledejte a popište, jak souvisí s Vašimi úspory. Inflace je obvykle chápána jako opakovaný růst většiny cen v dané ekonomice. Jde o oslabení reálné hodnoty (tj. kupní síly) dané měny vůči zboží a službám, které spotřebitel kupuje. 130

132 Stavební spoření 9. ročník Vyberte si jednu z institucí a vyplňte následující tabulku. Název instituce: Roční úroková míra: Minimální měsíční vklad: Vypočítejte samostatně, kolik Kč si budete moci na konci spoření vybrat, jestliže budete spořit Kč měsíčně po dobu pěti let. Neuvažujte státní podporu. Nyní použijte spořící kalkulačku 12 a zapište výsledek. Okomentujte. Kolik Kč budete muset měsíčně spořit, abyste si za 10 let mohli vybrat Kč? 12 Např

133 Studentský rozpočet Mgr. Helena Trsková Cíl aktivity: podněcovat žáky k řešení aktuálních problémů finanční matematiky za využití dosavadních znalostí Ročník:

134 Studentský rozpočet ročník Předpokládané znalosti: základní pojmy finanční matematiky, práce s grafy Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) pochopí dané pojmy, řeší úlohu různými způsoby Kompetence občanské respektuje názory ostatních Kompetence sociální a personální spolupracuje ve skupině Kompetence komunikativní formuluje myšlenky, postup a vysloví závěr Prostředky a pomůcky: pracovní list, kalkulačka, tabulkový procesor nebo milimetrový papír (na grafy), pravítko Metodický a didaktický komentář: Řešení úlohy Studentský rozpočet metodou analýzy a syntézy, doplněné výpočtem a grafem v Excelu Úloha může být zadávána jako individuální práce nebo skupinová. Lze ji zařadit v rámci témat: finanční matematika, funkce, nástroje programu Excel. 133

135 Studentský rozpočet ročník PRACOVNÍ LIST Studentský rozpočet Vysokoškolská studentka poskytla pro zpracování údajů svůj reálný měsíční rozpočet. Proveď analýzu její finanční situace (dle pokynů) a navrhni možná řešení. Srovnej předložený rozpočet se svým vlastním. Osobní měsíční rozpočet studentky údaje: Kapesné od rodičů 6 000,- Brigáda 1 200,- Ubytovací stipendium 590,- Nájem 3 000,- Jídlo 4 500,- Kino, výstava, koncerty 1 000,- MHD 280,- Vlak 480,- Ostatní (tabák, alkohol) 0,- 1. ÚKOL: Rozděl údaje na Příjmy a Výdaje. Vypočítej Zůstatek. Pro přehlednost zvol formu tabulky, či jednotlivých tabulek (nejlépe v tabulkovém procesoru). Například: Sloupce Položky, Příjmy, Výdaje, Zůstatek Řádky jednotlivé položky, poslední Celkem 134

136 Studentský rozpočet ročník 2. ÚKOL: Z údajů v tabulce vytvoř sloupcový graf (v Excelu označ tabulku, údaje Vložit Graf Sloupcový), případně zakresli závislosti veličin do grafu na milimetrovém papíru. 3. ÚKOL: Vyhodnoť zůstatek a proveď analýzu rozpočtu. 4. ÚKOL: Navrhni možná řešení situace. 5. ÚKOL: Srovnej předložený rozpočet se svým vlastním. Porovnej svoje útraty, úspory a zůstatky. 6. ÚKOL: Závěr vyber nejreálnější a nejefektivnější způsob řešení. Zdůvodni proč a seznam s tvým názorem spolužáky. 135

137 Studentský rozpočet ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ Studentský rozpočet Osobní měsíční rozpočet studentky údaje: Kapesné od rodičů 6 000,- Brigáda 1 200,- Ubytovací stipendium 590,- Nájem 3 000,- Jídlo 4 500,- Kino, výstava, koncerty 1 000,- MHD 280,- Vlak 480,- Ostatní (tabák, alkohol) 0,- 1. ÚKOL: Rozděl údaje na Příjmy a Výdaje. Vypočítej Zůstatek. Pro přehlednost zvol formu tabulky, či jednotlivých tabulek (nejlépe v tabulkovém procesoru). Příjmy: SKUTEČNÝ MĚSÍČNÍ PŘÍJEM Výdaje: Příjem od rodičů Dodatečný příjem Celkový měsíční příjem Kč Kč Kč BYDLENÍ Předpokládané náklady Skutečné náklady Rozdíl Pronájem Kč Kč 0 Kč Telefon 0 Kč 0 Kč 0 Kč Elektřina 0 Kč 0 Kč 0 Kč Plyn 0 Kč 0 Kč 0 Kč Voda a kanalizace 0 Kč 0 Kč 0 Kč Kabel 0 Kč 0 Kč 0 Kč Odvoz odpadu 0 Kč 0 Kč 0 Kč Údržba nebo opravy 0 Kč 0 Kč 0 Kč Zásoby 0 Kč 0 Kč 0 Kč Jiné 0 Kč 0 Kč 0 Kč Celkem Kč Kč 0 Kč 136

138 Studentský rozpočet ročník DOPRAVA Předpokládané náklady Skutečné náklady Rozdíl Splátka automobilu 0 Kč 0 Kč 0 Kč Jízdné v autobuse/taxíku 280 Kč 280 Kč 0 Kč Pojištění 0 Kč 0 Kč 0 Kč Licenční poplatky 0 Kč 0 Kč 0 Kč Pohonné hmoty 0 Kč 0 Kč 0 Kč Údržba 0 Kč 0 Kč 0 Kč Vlak 480 Kč 480 Kč 0 Kč Celkem 760 Kč 760 Kč 0 Kč JÍDLO Předpokládané náklady Skutečné náklady Rozdíl Potraviny Kč Kč 0 Kč Jídlo v restauraci 350 Kč 350 Kč 0 Kč Jiné 150 Kč 150 Kč 0 Kč Celkem Kč Kč 0 Kč KULTURA Předpokládané náklady Skutečné náklady Rozdíl Video/Disky DVD 0 Kč 0 Kč 0 Kč Disky CD 0 Kč 0 Kč 0 Kč Kino 150 Kč 150 Kč 0 Kč Koncerty 300 Kč 300 Kč 0 Kč Sportovní události 0 Kč 0 Kč 0 Kč Divadlo 350 Kč 350 Kč 0 Kč Výstavy 150 Kč 150 Kč 0 Kč Jiné kulturní události 50 Kč 50 Kč 0 Kč Jiné 0 Kč 0 Kč 0 Kč Celkem Kč Kč 0 Kč OSOBNÍ PÉČE Předpokládané náklady Skutečné náklady Rozdíl Léky 0 Kč 0 Kč 0 Kč Kadeřník/manikúra 0 Kč 0 Kč 0 Kč Oblečení 0 Kč 0 Kč 0 Kč Čistírna 0 Kč 0 Kč 0 Kč Fitness 0 Kč 0 Kč 0 Kč Organizační poplatky 0 Kč 0 Kč 0 Kč Jiné 0 Kč 0 Kč 0 Kč Celkem 0 Kč 0 Kč 0 Kč 137

139 Studentský rozpočet ročník PŮJČKY Předpokládané náklady Skutečné náklady Rozdíl Osobní 0 Kč 0 Kč 0 Kč Student 0 Kč 0 Kč 0 Kč Kreditní karta 0 Kč 0 Kč 0 Kč Kreditní karta 0 Kč 0 Kč 0 Kč Kreditní karta 0 Kč 0 Kč 0 Kč Jiné 0 Kč 0 Kč 0 Kč Celkem 0 Kč 0 Kč 0 Kč CELKOVÉ PŘEDPOKLÁDANÉ NÁKLADY CELKOVÉ SKUTEČNÉ NÁKLADY CELKOVÝ ROZDÍL Kč Kč 0 Kč Zůstatek PŘEDPOKLÁDANÝ ZŮSTATEK (Předpokládaný příjem mínus výdaje) SKUTEČNÝ ZŮSTATEK (Skutečný příjem mínus výdaje) ROZDÍL (Skutečné mínus předpokládané) Kč Kč 0 Kč 138

140 Studentský rozpočet ročník 2. ÚKOL: Z údajů v tabulce vytvoř sloupcový graf (v Excelu označ tabulku, údaje Vložit Graf Sloupcový), případně zakresli závislosti veličin do grafu na milimetrovém papíru. Příjmy Příjmy 0 Příjem od rodičů Dodatečný příjem Celkový měsíční příjem Výdaje Bydlení 3500,0 Kč 3000,0 Kč 2500,0 Kč 2000,0 Kč 1500,0 Kč 1000,0 Kč 500,0 Kč,0 Kč Předpokládané náklady Skutečné náklady Rozdíl 139

141 Studentský rozpočet ročník Doprava 600,0 Kč 500,0 Kč 400,0 Kč 300,0 Kč 200,0 Kč 100,0 Kč,0 Kč Předpokládané náklady Skutečné náklady Rozdíl Jídlo Rozdíl Skutečné náklady Předpokládané náklady,0 Kč 500,0 Kč 1000,01500,0 Kč 2000,0 Kč 2500,0 Kč 3000,0 Kč 3500,0 Kč 4000,0 Kč 4500,0 Kč Kč Jiné Jídlo v restauraci Potraviny 400,0 Kč 350,0 Kč 300,0 Kč 250,0 Kč 200,0 Kč 150,0 Kč Kultura 100,0 Kč 50,0 Kč,0 Kč Předpokládané náklady Skutečné náklady Rozdíl 140

142 Studentský rozpočet ročník Osobní péče Jiné Organizační poplatky Fitness Čistírna Oblečení Kadeřník/manikúra Léky 0% 20% 40% 60% 80% 100% Předpokládané náklady Skutečné náklady Rozdíl Půjčky 1,0 Kč,90 Kč,80 Kč,70 Kč,60 Kč,50 Kč,40 Kč,30 Kč,20 Kč,10 Kč,0 Kč Osobní Student Kreditní karta Kreditní karta Kreditní karta Jiné Předpokládané náklady Skutečné náklady 141

143 Studentský rozpočet ročník Náklady Celkové náklady - výdaje CELKOVÉ PŘEDPOKLÁDANÉ NÁKLADY Zůstatek Zůstatek SKUTEČNÝ ZŮSTATEK (Skutečný příjem mínus výdaje) ÚKOL: Vyhodnoť zůstatek a proveď analýzu rozpočtu. Z grafu i z výpočtu je patrno, že každý měsíc je zůstatek v záporných hodnotách. Výdaje převyšují příjmy o zhruba 1500,-. 142

144 Studentský rozpočet ročník 4. ÚKOL: Navrhni možná řešení situace. Studentská půjčka, prospěchové stipendium, propojení znalostí a dovedností s praxí, případně koníčků a výdělku, levněji získané ovoce a zelenina (vlastní zdroje). 6. ÚKOL: Závěr vyber nejreálnější a nejefektivnější způsob řešení. Zdůvodni proč a seznam s tvým názorem spolužáky. Nejlépe vychází propojení studentské půjčky a výhodné brigády na základě znalostí z oboru, případně zálib 143

145 Umíš číst, co dostaneš do schránky? Jana Doležalová Cíl aktivity: schopnost orientovat se v nabídkách půjček bankovního a nebankovního sektoru Ročník:

146 Umíš číst, co dostaneš do schránky? 9. ročník Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) využívá získané vědomosti a dovednosti k vyjádření funkčního vztahu popisujícího reálnou situaci, volí vhodné způsoby řešení a užívá při jejich řešení logické a matematické postupy, ověřuje správnost řešení problému Kompetence komunikativní formuluje a výstižně vyjadřuje své myšlenky, vhodným způsobem argumentuje a obhajuje své řešení Kompetence sociální a personální účinně spolupracuje ve skupině při řešení daného úkolu, přispívá k diskusi v malé skupině i k debatě celé třídy, seznamuje se se světem financí - znalosti, dovednosti a hodnotové postoje z této oblasti přispívají k rozvoji finanční gramotnosti žáků Kompetence pracovní vhodně organizuje vlastní práci na řešení problému Prostředky a pomůcky: pracovní list, kalkulačka, internet, popřípadě letáček s nabídkou Metodický a didaktický komentář: V současné době je nezbytné naučit žáky orientovat se ve světě financí půjček tak, aby nepodlehli na první pohled líbivým nabídkám jednotlivých společností. 1. úkol: Důležité naučit se číst text s porozuměním. Klást důraz na čtení nejmenšího textu. 3. úkol: Žáci již sice znají význam RPSN, ale vzhledem k tomu, že s ním neumí počítat, záměrně zde zavádím procento navýšení. 4. úkol: Zajímavý je okamžik půjčky Kč. Při diskusi se žáky je potřeba vysvětlit žákům, jak tato půjčka funguje. Vzhledem k tomu, že nám splátky vrací až po splacení, může s penězi společnost nakládat a ještě je zhodnotit. 5. úkol: Při nedodržení podmínek se nám výrazně změní podmínky této půjčky. 6. úkol: V nebankovním sektoru jsou pouze týdenní splátky. Aby vynikla nevýhodnost této půjčky, uvádíme zde bezhotovostní i hotovostní půjčku. Pro zajímavost si žáci uvedou RPSN a porovnají jeho hodnoty. 145

147 Umíš číst, co dostaneš do schránky? 9. ročník PRACOVNÍ LIST Umíš číst, co dostaneš do schránky? 146

148 Umíš číst, co dostaneš do schránky? 9. ročník 147

149 Umíš číst, co dostaneš do schránky? 9. ročník 1. ÚKOL: Prostuduj si letáček a vyhledej nejdůležitější informace, které ti sděluje. 2. ÚKOL: Přijde ti tato nabídka zajímavá? Svůj předpoklad se snaž dokázat. 3. ÚKOL: Vypočti, o kolik procent přeplatíme půjčku ve třech nabízených případech. Půjčka Zaplaceno Vráceno Procento navýšení Kč Kč Kč 148

150 Umíš číst, co dostaneš do schránky? 9. ročník 4. ÚKOL: Je některá z těchto půjček finančně zajímavá? Za jakých podmínek? 5. ÚKOL: Co se stane, pokud se podmínky změní? Prostuduj případ uvedeného příkladu zapůjčení Kč. Půjčka Zaplaceno Vráceno Procento navýšení Kč Kč 0 Kč 149

151 Umíš číst, co dostaneš do schránky? 9. ročník 6. ÚKOL: Rozdělte se na dvě skupiny. Jedna skupina vyhledá na internetu spotřebitelský úvěr na stejné částky jako v předchozí úloze, přičemž si půjčí u bankovního sektoru. Druhá skupina vyhledá dané informace u společnosti z nebankovního sektoru (například Provident nebo Ferratum). Bankovní sektor Půjčka Zaplaceno RPSN (%) Procento navýšení Kč Kč Kč Nebankovní sektor Půjčka Zaplaceno RPSN (%) Procento navýšení Kč Bezhotovostně Kč Hotovostně Libovolná částka 7. ÚKOL: Porovnejte svoje výsledky. 150

152 Umíš číst, co dostaneš do schránky? 9. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ 3. ÚKOL: Vypočti, o kolik procent přeplatíme půjčku ve třech nabízených případech. Půjčka Zaplaceno Vráceno Procento navýšení Kč Kč Kč 27% Kč Kč Kč 8% Kč Kč Kč 17,5% 4. ÚKOL: Je některá z těchto půjček finančně zajímavá? Za jakých podmínek? Při splácení této půjčky vrací Home Credit dle následujícího klíče 1 rok 1 splátka, 2 roky 2 splátky, 3 roky 3 splátky, 4 roky 5 splátek, 5 let 17 splátek, 6 let - 19 splátek, 7 let 21 splátek Tato půjčka se stává zajímavou při půjčení Kč na pět let. 5. ÚKOL: Co se stane, pokud se podmínky změní? Prostuduj případ uvedeného příkladu zapůjčení Kč. Půjčka Zaplaceno Vráceno Procento navýšení Kč Kč Kč 19,6% Kč Kč 0 Kč 59,5% 151

153 Umíš číst, co dostaneš do schránky? 9. ročník 6. ÚKOL: Rozdělte se na dvě skupiny. Jedna skupina vyhledá na internetu spotřebitelský úvěr na stejné částky jako v předchozí úloze, přičemž si půjčí u bankovního sektoru. Druhá skupina vyhledá dané informace u společnosti z nebankovního sektoru (například Provident nebo Ferratum). Bankovní sektor např. Česká spořitelna Půjčka Zaplaceno RPSN (%) Procento navýšení Kč Kč 22,86 46,56% Kč Kč 17 49,9% Kč Kč 15,7 58,8% ČSOB neuvádí u on-line kalkulačky ani při telefonické domluvě půjčky RPSN. Možné je zjistit až při podpisu smlouvy. U České spořitelny a u GE Money Bank je uvedeno při on-line výpočtech. Nebankovní sektor v tomto případě Provident 100 týdnů Půjčka Zaplaceno RPSN (%) Procento navýšení Kč Bezhotovostně Kč Hotovostně Libovolná částka Kč 53 47% Kč % 152

154 Asteroid Eros Jiří Kopecký Cíl aktivity: procvičení pojmu měřítko a jeho pochopení jako poměru, přiblížení aplikace matematických metod ve výzkumu, měření délky, porovnávání velikostí, výpočet, zaokrouhlování, algoritmizace Ročník: 5. /

155 Asteroid Eros 5. / 6. ročník Předpokládané znalosti: základní znalosti z oblasti poměrů Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) samostatně řeší problémy, zvolí vhodný způsob řešení problematiky, sleduje vlastní pokrok při zdolávání problému, případně najde a opraví svou chybu Kompetence k učení operuje s termíny, znaky a symboly Kompetence pracovní pracuje podle návodu Prostředky a pomůcky: pracovní list, pravítko, kalkulačka Poznámky: Úloha je vyňata, přeložena a upravena z knihy Image Scale Math 13, která vznikla v rámci projektu Space NASA Zdroj: 14 Zdroj: 154

156 Asteroid Eros 5. / 6. ročník PRACOVNÍ LIST Asteroid Eros Tento snímek NASA ze sondy NEAR povrchu asteroidu Eros byl pořízen 12. února 2001 z nadmořské výšky 120 m (Dr. Joseph Veverka / NEAR Imaging Team / Cornell University). Obrázek je 6 metrů široký. Měřítko obrazu se zjistí změřením vzdálenosti mezi dvěma body na obrázku pravítkem, jejichž vzdálenost ve skutečných jednotkách znáte. V tomto případě je nám řečeno, že šířka obrázku je 6,0 m. Krok 1: Změřte šířku obrázku pravítkem. Jaká je šířka obrázku v milimetrech? Krok 2: Využijte informace v popisu obrázku k určení skutečné šířky v cm. Krok 3: Vydělte svou odpověď na Krok 2 odpovědí na Krok 1a dostanete měřítko obrázku v centimetrech na milimetr, zaokrouhlete výsledek na dvě desetinná místa. Jakmile jednou znáte měřítko obrázku, můžete měřit v milimetrech cokoliv, co se na něm vyskytuje. Číslo pak vynásobte měřítkem z Kroku 3, abyste získali skutečnou velikost prvku v centimetrech na dvě desetinná místa. 155

157 Asteroid Eros 5. / 6. ročník 1. ÚKOL: Jaké jsou rozměry tohoto obrázku v metrech? ÚKOL: Jaká je šířka největšího prvku na obrázku? ÚKOL: Jaká je velikost nejmenšího objektu, který lze pozorovat? ÚKOL: Jak velký je kámen, na který ukazuje šipka?

158 Asteroid Eros 5. / 6. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ Asteroid Eros Tento snímek NASA ze sondy NEAR povrchu asteroidu Eros byl pořízen 12. února 2001 z nadmořské výšky 120 m (Dr. Joseph Veverka / NEAR Imaging Team / Cornell University). Obrázek je 6 metrů široký. Měřítko obrazu se zjistí změřením vzdálenosti mezi dvěma body na obrázku pravítkem, jejichž vzdálenost ve skutečných jednotkách znáte. V tomto případě je nám řečeno, že šířka obrázku je 6,0 m. Krok 1: Změřte šířku obrázku pravítkem. Jaká je šířka obrázku v milimetrech? 144mm Krok 2: Využijte informace v popisu obrázku k určení skutečné šířky v cm. 600cm Krok 3: Vydělte svou odpověď na Krok 2 odpovědí na Krok 1a dostanete měřítko obrázku v centimetrech na milimetr, zaokrouhlete výsledek na dvě desetinná místa. 4,17 cm/mm Jakmile jednou znáte měřítko obrázku, můžete měřit v milimetrech cokoliv, co se na něm vyskytuje. Číslo pak vynásobte měřítkem z Kroku 3, abyste získali skutečnou velikost prvku v centimetrech na dvě desetinná místa. 157

159 Asteroid Eros 5. / 6. ročník 1. ÚKOL: Jaké jsou rozměry tohoto obrázku v metrech? 6 3,4 m 2. ÚKOL: Jaká je šířka největšího prvku na obrázku? Šířka skály navrchu obrázku je asi 2,5 metru. 3. ÚKOL: Jaká je velikost nejmenšího objektu, který lze pozorovat? Nejmenší oblázky mají na obr. šířku asi 0,5 mm, tedy asi 2,1 cm ve skutečnosti. 4. ÚKOL: Jak velký je kámen, na který ukazuje šipka? 4 mm, neboli 16,68 cm. 158

160 Cykloida Lenka Činčurová Cíl aktivity: osvojit si základní poznatky o cykloidě, seznámit se především s klasickou, zkrácenou a prodlouženou cykloidou a s výskytem a využitím těchto křivek v praktickém životě Ročník:

161 Cykloida 9. ročník Předpokládané znalosti: kružnice, kruh Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) pečlivě promýšlí možnosti pohybu bodu ležícího na kružnici směrem vpřed, uvědomuje si různé polohy bodu vzhledem k zadanému kruhu, vytrvale hledá co nejpřesnější trajektorii bodu, používá empirické postupy a ověřuje správnost svých nápadů Kompetence komunikativní formuluje a vyjadřuje své myšlenky a názory v logickém sledu, vyjadřuje se výstižně, souvisle, kultivovaně a matematicky správně Kompetence sociální a personální pracuje samostatně, vytváří si pozitivní představu o sobě samém, která podporuje jeho sebedůvěru a samostatný rozvoj. Řídí své chování tak, aby dosáhl pocitu uspokojení a sebeúcty Kompetence k učení používá znalosti o kružnici, kruhu a dalších křivkách, poznává nové souvislosti a vytváří si tak komplexnější pohled na dané matematické učivo. Experimentuje s různými možnostmi zakreslení křivky, kriticky posuzuje své postupy a je schopen diskutovat o svých závěrech Prostředky a pomůcky: pracovní list, GeoGebra Metodický a didaktický komentář: Formou zajímavého motivačního příkladu se žáci seznámí s křivkou, jejíž využití v praxi je velmi rozsáhlé. Úkolem žáků je především dokázat popsat základní typy cykloidy, najít, kde se s ní v praxi můžeme setkat a umět stručně popsat její základní vlastnosti. 160

162 Cykloida 9. ročník PRACOVNÍ LIST Představte si, že jedete na kole po rovné cyklostezce směrem vpřed. Jakou dráhu podle Vás bude opisovat červený bod ležící na obvodu pneumatiky kola? Promyslete si tento problém a zkuste dráhu bodu odhadnout a zakreslit: 161

163 Cykloida 9. ročník Pracovní list v programu GeoGebra je přiložen jako samostatný soubor s názvem Cincurova_cykloida.ggb Otevřete si soubor Cincurova_cykloida.ggb a ověřte, jakou dráhu bude opisovat bod ležící na valící se kružnici. Posunujte posuvníkem s názvem Pohyb a sledujte, jakou dráhu bod obkreslí. Zakreslete: Této křivce se říká cykloida. Setkali jste se již někde s jejím tvarem? Kde? Cykloida má veliké praktické využití. Ze všech možných tvarů oblouku má právě cykloida nejvyšší nosnost, proto se její tvar používá ve stavitelství (například u mostů, tunelů a horských drah), ale s jejím tvarem se setkáme také u některých druhů převodovek a motorů. Najděte konkrétní příklady využití v praxi (obrázky, fotky). 162

164 Cykloida 9. ročník Vraťte se zpět k souboru Cincurova_cykloida.ggb a pomocí posuvníků experimentujte s různým umístěním bodu vzhledem k jeho vzdálenosti od středu kružnice. Můžete nastavit celkový počet otáček, poloměr kružnice a také vzdálenost pozorovaného bodu od středu kružnice. Jak se křivka změní, umístíme-li pozorovaný bod dovnitř kruhu? Jedná se o tzv. zkrácenou cykloidu. Jak bude naopak vypadat pro bod ležící vně kruhu? Jedná se o tzv. prodlouženou cykloidu. S prodlouženou cykloidou se můžeme setkat u kol vlaku, protože jejich okraj zasahuje až pod kolejnici, po níž kola jedou. A právě body ležící na přesahujícím okraji kola vykonávají pohyb po prodloužené cykloidě, pro niž je typická klička pod úrovní kolejnice. V tom okamžiku, kdy jsou body ve spodní části své dráhy, se dokonce malou chvíli pohybují proti směru pohybu vlaku! 163

165 Cykloida 9. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ Představte si, že jedete na kole po rovné cyklostezce směrem vpřed. Jakou dráhu podle Vás bude opisovat červený bod ležící na obvodu pneumatiky kola? Promyslete si tento problém a zkuste dráhu bodu odhadnout a zakreslit: 164

166 Cykloida 9. ročník Pracovní list v programu GeoGebra je přiložen jako samostatný soubor s názvem Cincurova_cykloida.ggb Otevřete si soubor Cincurova_cykloida.ggb a ověřte, jakou dráhu bude opisovat bod ležící na valící se kružnici. Posunujte posuvníkem s názvem Pohyb a sledujte, jakou dráhu bod obkreslí. Zakreslete: Této křivce se říká cykloida. Setkali jste se již někde s jejím tvarem? Kde? Cykloida má veliké praktické využití. Ze všech možných tvarů oblouku má právě cykloida nejvyšší nosnost, proto se její tvar používá ve stavitelství (například u mostů, tunelů a horských drah), ale s jejím tvarem se setkáme také u některých druhů převodovek a motorů. Najděte konkrétní příklady využití v praxi (obrázky, fotky). 165

167 Cykloida 9. ročník Obrázek 1 - Tunel Mrázovka 15 Obrázek 2 - Horská dráha (Kalifornie) 16 Obrázek 1 - Most Ponte Vecchio, Itálie Zdroj: 16 Zdroj: 17 Zdroj: 166

168 Cykloida 9. ročník Obrázek 4 - Muzeum Kimbell Art, Texas 18 Obrázek 5 - Most Toledo, Madrid Zdroj: 19 Zdroj: 167

169 Cykloida 9. ročník Vraťte se zpět k souboru Cincurova_cykloida.ggb a pomocí posuvníků experimentujte s různým umístěním bodu vzhledem k jeho vzdálenosti od středu kružnice. Můžete nastavit celkový počet otáček, poloměr kružnice a také vzdálenost pozorovaného bodu od středu kružnice. Jak se křivka změní, umístíme-li pozorovaný bod dovnitř kruhu? Jedná se o tzv. zkrácenou cykloidu. Jak bude naopak vypadat pro bod ležící vně kruhu? Jedná se o tzv. prodlouženou cykloidu. S prodlouženou cykloidou se můžeme setkat u kol vlaku, protože jejich okraj zasahuje až pod kolejnici, po níž kola jedou. A právě body ležící na přesahujícím okraji kola vykonávají pohyb po prodloužené cykloidě, pro niž je typická klička pod úrovní kolejnice. V tom okamžiku, kdy jsou body ve spodní části své dráhy, se dokonce malou chvíli pohybují proti směru pohybu vlaku! 168

170 Detail povrchu Slunce Jiří Kopecký Cíl aktivity: procvičení pojmu měřítko a jeho pochopení jako poměru, přiblížení aplikace matematických metod ve výzkumu, měření délky, porovnávání velikostí, výpočet, zaokrouhlování Ročník:

171 Detail povrchu Slunce 7. ročník Předpokládané znalosti: základní znalosti a dovednosti z oblasti poměrů Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) samostatně řeší problémy, zvolí vhodný způsob řešení problematiky, sleduje vlastní pokrok při zdolávání problému, případně najde a opraví svou chybu Kompetence k učení operuje s termíny, znaky a symboly Kompetence pracovní pracuje podle návodu Prostředky a pomůcky: pracovní list, pravítko, kalkulačka Metodický a didaktický komentář: Jako přípravu pro práci s měřítkem na obrázcích lze využít pracovní list Asteroid Eros či další úlohy z knihy Image Scale Math 20. Pokud jsou žáci zvyklí pracovat s GeoGebrou a máme přístup do učebny s počítačem pro každého žáka, můžeme je nechat úlohu řešit na PC. Poznámky: Úloha je vyňata, přeložena a upravena z knihy Image Scale Math 20, která vznikla v rámci projektu Space NASA Zdroj: 21 Zdroj: 170

172 Detail povrchu Slunce 7. ročník PRACOVNÍ LIST Detail povrchu Slunce Slunce je naše nejbližší hvězda. Ze Země můžeme vidět jeho povrch velmi podrobně. Níže uvedené snímky byly pořízeny Švédským teleskopem (SST) na ostrově La Palma astronomy Královské švédské akademie věd. Obrázek vpravo je pohled na sluneční skvrny 15. července Zvětšený pohled vlevo ukazuje do té doby neviděné detaily okraje největší skvrny a jeho okolí. Použijte milimetrové pravítko k určení měřítka fotografie a odpovězte na otázky, víte-li, že rozměry levého obrázku jsou km. Šipky ukazují na různé solární objekty uvedené v otázkách. Hranice granulace Světlá skvrna Tmavé vlákno Sluneční granule 171

173 Detail povrchu Slunce 7. ročník 1. ÚKOL: Jaké je měřítko obrázku v km/mm? 2. ÚKOL: Jaké nejmenší prvky dokážete na obrázku rozeznat? 3. ÚKOL: Jaká je průměrná velikost oblasti sluneční granule? 4. ÚKOL: Jak dlouhá a široká jsou tmavá vlákna? 5. ÚKOL: Jak velké jsou světlé skvrny? 6. ÚKOL: Nakreslete kružnici velikosti Země (6 378 km) doprostřed obrázku. Jak velké jsou měřené objekty ve srovnání se Zemí? 172

174 Detail povrchu Slunce 7. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ Detail povrchu Slunce Slunce je naše nejbližší hvězda. Ze Země můžeme vidět jeho povrch velmi podrobně. Níže uvedené snímky byly pořízeny Švédským teleskopem (SST) na ostrově La Palma astronomy Královské švédské akademie věd. Obrázek vpravo je pohled na sluneční skvrny 15. července Zvětšený pohled vlevo ukazuje do té doby neviděné detaily okraje největší skvrny a jeho okolí. Použijte milimetrové pravítko k určení měřítka fotografie a odpovězte na otázky, víte-li, že rozměry levého obrázku jsou km. Šipky ukazují na různé solární objekty uvedené v otázkách. Hranice granulace Světlá skvrna Tmavé vlákno Sluneční granule 173

175 Detail povrchu Slunce 7. ročník 1. ÚKOL: Jaké je měřítko obrázku v km/mm? Obrázek měří asi mm, takže měřítko ji / 108 = 179 km/mm. 2. ÚKOL: Jaké nejmenší prvky dokážete na obrázku rozeznat? Žáci by měli nacházet prvky jako hranice granulace široké pouhé 0,5 mm, tedy 0,5 179 = 89,5 km. 3. ÚKOL: Jaká je průměrná velikost oblasti sluneční granule? Žáci by měli změřit několik granulí. Snadněji jdou vidět, když držíte obrázek na vzdálenost paže. Typická velikost je někde mezi 5 mm, takže dává přibližně 900 km. 4. ÚKOL: Jak dlouhá a široká jsou tmavá vlákna? Žáci by měli provést několik různých měření a vypočítat průměr. Typické velikosti jsou okolo 20 2 mm neboli km dlouhé a 360 km široké. 5. ÚKOL: Jak velké jsou světlé skvrny? Po provedení několika různých měření by měl vycházet průměr blízký 1 mm, tedy šířka skvrn okolo 180 km. 6. ÚKOL: Nakreslete kružnici velikosti Země (6 378 km) doprostřed obrázku. Jak velké jsou měřené objekty ve srovnání se Zemí? Kružnice by měla mít průměr 7,1 cm. Rozměr granule odpovídá zhruba vzdálenosti z Prahy do Paříže. Tmavá vlákna by se táhla přes celou Evropu. Světlá skvrna měří asi jako Česká republika. 174

176 Krása a osová souměrnost Tereza Suchopárová Cíl aktivity: seznámení s osovou souměrností, jejími vlastnostmi a využití Ročník:

177 Krása a osová souměrnost 6. ročník Předpokládané znalosti: základní představy o osové souměrnosti, zvládání práce s programem GeoGebra Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) ověřuje prakticky správnost řešení problémů a osvědčené postupy aplikuje při řešení obdobných nebo nových problémových situací, sleduje vlastní pokrok při zdolávání problémů. Kriticky myslí, činí uvážlivá rozhodnutí, je schopen je obhájit, uvědomuje si zodpovědnost za svá rozhodnutí a výsledky svých činů zhodnotí Kompetence k učení vybírá a využívá pro efektivní učení vhodné způsoby, metody a strategie, plánuje, organizuje a řídí vlastní učení, projevuje ochotu věnovat se dalšímu studiu a celoživotnímu učení. Vyhledává a třídí informace a na základě jejich pochopení, propojení a systematizace je efektivně využívá v procesu učení, tvůrčích činnostech a praktickém životě. Operuje s obecně užívanými termíny, znaky a symboly, uvádí věci do souvislostí, propojuje do širších celků poznatky z různých vzdělávacích oblastí a na základě toho si vytváří komplexnější pohled na matematické, přírodní, společenské a kulturní jevy. Samostatně pozoruje a experimentuje, získané výsledky porovnává, kriticky posuzuje a vyvozuje z nich závěry pro využití v budoucnosti Prostředky a pomůcky: pracovní list, tužka, pravítko, GeoGebra Metodický a didaktický komentář: Žáci se v pracovním listě seznámí s vlastnostmi a užitím osové souměrnosti. V druhé části je jejich úkolem převést vlastnosti na obrázku do počítačového modelu, což je úkol, který je v budoucím životě jistě čeká. 176

178 Krása a osová souměrnost 6. ročník PRACOVNÍ LIST Krása a osová souměrnost Možná si již slyšel, že lidské tělo není úplně souměrné. Každý z nás má jednu ruku či nohu o maličký kousek delší, každé ucho trošku jinak zakroucené a stejně tak každá polovina obličeje je trošku jiná. V programu GeoGebra si můžeš pomocí nástroje osová souměrnost vyzkoušet, jak by vypadal tvůj obličej, kdyby byl dokonale symetrický. Stačí, když v nějakém editoru (MS Word, Malování) rozpůlíš svou fotografii a poté ji v programu GeoGebra zobrazíš v osové souměrnosti. Obrázek 17 - Poměr zlatého řezu v obličeji 22 Líbí se ti více skutečný vzhled nebo některý ze symetrických výsledků? Platí podle tebe, že dokonalá symetrie je krásná? 22 Zdroj: 177

179 Krása a osová souměrnost 6. ročník Kaleidoskop Zařízení, které využívá krásu souměrnosti, je například krasohled dětská hračka, ve které soustava zrcadel a pár barevných kamínku vytváří nádherné obrazce. Někdy se mu říká tak kaleidoskop. Kaleidoskop je dlouhý válec, který má z jedné strany otevřenou dírku, kterou se do válce hledí. Ve válci jsou podélně vložena tři zrcadla. Prostor mezi nimi má tvar rovnostranného trojúhelníka. Na druhé straně se nachází malý prostor, ve kterém jsou umístěna barevná tělíska. Díky soustavě zrcadel dochází k pravidelnému vícenásobnému odrazu, což vytváří požadované optické jevy. Kaleidoskopem je možné otáčet, čímž se drobná barevná tělesa přeskupují. To se projevuje změnou tvarů pro pozorovatele. 23 Obrázek 18 - Soustava zrcadel uvnitř kaleidoskopu 24 Obrázek 19 - Hotový kaleidoskop Zdroj: 24 Zdroj: 25 Zdroj: 178

180 Krása a osová souměrnost 6. ročník Na obrázku je vyfocený odraz v kaleidoskopu. Červeně ohraničený je skutečný obraz korálků. Zelené čáry vyznačují hranice zrcadel. 1. ÚKOL: Vyznač v obrázku osy souměrnosti, přes které se původní obraz zobrazuje v zrcadlech. Obrázek 20 Odraz v kaleidoskopu ÚKOL: Na závěr se můžeš pokusit vytvořit model kaleidoskopu v programu GeoGebra. Stačí sestrojit soustavu os souměrnosti tak, jak sis je vyznačil v obrázku. V tomto souboru si pak můžeš také zobrazit svou fotografii, tak jak to dělají některé mobilní aplikace. 26 Zdroj: 179

181 Obsah plochy sněhové vločky Jiří Kopecký Cíl aktivity: analýza schématu, výpočet obsahu složeného obrazce, poměr obsahu obrazce vzhledem k jeho rozměrům Ročník:

182 Obsah plochy sněhové vločky 6. ročník Předpokládané znalosti: geometrie v rovině obsah čtverce, trojúhelníku, poměr Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) samostatně řeší problémy, zvolí vhodný způsob řešení problematiky, sleduje vlastní pokrok při zdolávání problému, případně najde a opraví svou chybu Kompetence k učení pracuje s termíny, znaky a symboly Kompetence pracovní pracuje podle návodu Prostředky a pomůcky: pracovní list Metodický a didaktický komentář: Žáci postupují samostatně podle pracovního listu. Před použitím pracovního listu je vhodné nejprve uvést žáky do tématu pracovním listem Znázornění sněhové vločky užitím symetrie. Poznámky: Úloha je vyňata, přeložena a upravena z volně použitelné knihy Space Math X 27, která vznikla v rámci projektu Space NASA Zdroj: 28 Zdroj: 181

183 Obsah plochy sněhové vločky 6. ročník PRACOVNÍ LIST Obsah plochy sněhové vločky Schéma nahoře znázorňuje základní půdorys jednoho z obvyklých typů sněhových vloček. Detailní vzor uvnitř mnohoúhelníků byl odstraněn, aby vynikly pravidelné plochy. Čísla nad úsečkami udávají jejich naměřenou velikost v milimetrech. 1. ÚKOL: Pomocí údajů v diagramu spočítejte celkový obsah plochy v mm2 zaokrouhlený na celé číslo. 182

184 Obsah plochy sněhové vločky 6. ročník 2. ÚKOL: Jak se změní celkový obsah plochy, když se všechny naměřené vzdálenosti zdvojnásobí? Výsledek uveďte v mm2 a zaokrouhlete na celé číslo. 183

185 Obsah plochy sněhové vločky 6. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ Obsah plochy sněhové vločky 1. ÚKOL: Pomocí údajů v diagramu spočítejte celkový obsah plochy v mm2 zaokrouhlený na celé číslo. Útvar se skládá z hlavního čtverce o délce strany 2 mm + 2 mm + 2 mm + 2 mm = 8 mm a obsahu (8 mm) 2 = 64 mm 2. A ze čtyř trojúhelníků, z nichž každý má obsah ½ (4 mm) (2,3 mm) = 4,6 mm 2. Celkový obsah tedy tvoří 64 mm (4,6 mm 2 ) = 82,4 mm 2, po zaokrouhlení 82 mm 2 2. ÚKOL: Jak se změní celkový obsah plochy, když se všechny naměřené vzdálenosti zdvojnásobí? Výsledek uveďte v mm2 a zaokrouhlete na celé číslo. Zdvojnásobení rozměrů znamená, že se obsah násobí činitelem 2 2 = 4. Takže nyní vychází 82,4 mm 2 4 = 329,6 mm 2, což dává po zaokrouhlení 330 mm 2. Strana čtverce je 2 8 mm = 16 mm, jeho obsah (16 mm) 2 = 256 mm 2. Každý ze čtyř trojúhelníků má obsah ½ (8 mm) (4,6 mm) = 18,4 mm 2. Celkový obsah tedy tvoří 256 mm (18,4 mm 2 ) = 329,6 mm 2, po zaokrouhlení 330 mm

186 Papírová nádoba na popcorn Jiří Kopecký Cíl aktivity: na základě práce se sítěmi těles budovat pojem povrch a objem tělesa Ročník:

187 Papírová nádoba na popcorn 8. ročník Předpokládané znalosti: obvod a obsah kruhu, objem válce, úprava lineárních rovnic, vyjádření neznáme ze vzorce Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) je schopen analyzovat vlastnosti válce, uvědomuje si závislost obvodu a objemu válce na jeho poloměru. Kompetence k učení rozvíjí zkušenosti s matematickým modelováním (matematizací reálných situací), k vyhodnocování matematického modelu a hranic jeho použití. Využívá matematických poznatků a dovedností při odhadu a porovnávání velikostí a vzdáleností. Rozvíjí paměť prostřednictvím numerických výpočtů a osvojováním si nezbytných matematických vzorců a algoritmů. Provádí rozbor problému a plán řešení, odhaduje výsledky, volí správný postup k vyřešení problému a vyhodnocuje správnost výsledku Kompetence komunikativní přesně a stručně se vyjadřuje užíváním matematického jazyka včetně symboliky Prostředky a pomůcky: pracovní list Metodický a didaktický komentář: Pokud může učitel využít plátno, stáhne si na něj před hodinou obě videa 29 (act one, act three), případně si připraví modely obou válců nebo jen papír A4. Rozmyslí si, jak podá informaci o rozměrech normovaného papíru. Zajistí kopii pracovních listů pro všechny žáky. Problém umožňuje několik variant přístupu k výuce, každý učitel si jej může překomponovat dle vlastních možností a stanovených cílů. Může také žákům zadat problém jako experiment na doma a pracovní list využít k ověření výsledku. Na začátku vyučování je žák seznámen s tématem a náplní vyučovací hodiny. Každý žák dostane kopii pracovního listu. Učitel pustí na plátno motivační video (20 sek). Video můžeme pustit vícekrát, abychom objasnili problém. Žáci mohou pokládat otázky. Na rozdané pracovní listy necháme žáky napsat jejich odhad. Upozorníme je, ať ho neříkají nahlas. Poté sečteme všechny hlasy ve třídě pro první a druhý válec, napíšeme je stranou na tabuli a necháme je tam až do vyřešení úkolu. 29 Zdroj: 186

188 Papírová nádoba na popcorn 8. ročník Necháme žáky udělat náčrt a diskutovat o řešení problému. Diskuzi řídíme směrem k rozměrům papíru A4 (210 x 297 mm) a vzorci pro objem válce. Žáci by měli sami přijít na způsob, jak vypočítat poloměr válce. Učitel pustí video s výsledkem experimentu 30. Pro rychlejší žáky jsou připraveny další úkoly. Ti pomalejší nemusí mít všechny odpovědi, mohou dopočítat druhý válec. Porovnáme původní odhady na tabuli se správným výsledkem. V závěru žáci odpovídají na otázky 4, 5 a 6. Učitel řídí související diskusi. 30 Zdroj: 187

189 Papírová nádoba na popcorn 8. ročník PRACOVNÍ LIST Ze dvou listů papíru formátu A4 vytvoříme dva válce. Jeden stočením papíru na výšku (vysoký, úzký) a druhý na šířku (širší, nižší). Přilehlé hrany papíru slepíme lepenkou, aby válce držely tvar. Když je postavíme na stůl, do kterého válce se vejde více popcornu? 1. ÚKOL: Napiš svůj odhad. 2. ÚKOL: Udělej náčrty obou válců. Řešení se dá ověřit výpočtem. Jaké informace potřebuješ vědět? Prodiskutuj se spolužáky, jaký postup zvolit. 188

190 Papírová nádoba na popcorn 8. ročník 3. ÚKOL: Výpočtem zjisti přesný objem obou válců, urči jejich poměr a napiš odpověď

191 Papírová nádoba na popcorn 8. ročník Zkus odpovědět na otázky: Vejde se do obdélníkového papíru vždy stejné množství popcornu nezávisle na tom, jak válec uděláme? Kolika způsoby dokážete navrhnout válec, aby obsáhl dvojnásobek popcornu? Které z nich vyžadují další papír? Lze při použití stejného množství papíru získat více prostoru? Jak byste dostali nejvíc popcornu do stejného množství papíru? Jaká jsou omezení? 190

192 Papírová nádoba na popcorn 8. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ 3. ÚKOL: Výpočtem zjisti přesný objem obou válců, urči jejich poměr a napiš odpověď vysoký, úzký nízký, široký o = 2 π r 210 = 2 π r r = π = 33, = 2 π r r = π = 47,27 V = h π r 2 V = 297 π 33,42 2 V = ,85 mm 3 V = 1, 042 l V = 210 π 47,27 2 V = ,06 mm 3 V = 1, 476 l V š V v = 1,42 Do širšího válce se vejde téměř o polovinu více popcornu. Poznámka: Tento materiál je vytvořen podle díla Dana Meyerse, zveřejněného pod licencí CC BY-NC na adrese 31 Zdroj: 191

193 Souměrnost dopravních značek Mgr. Radka Dvořáková Cíl aktivity: rozvoj geometrické představivosti, upevnění osové a středové souměrnosti, uvědomění si souvislosti matematiky a běžných věcí každodenního života Ročník: 6. a

194 Souměrnost dopravních značek 6. a 7. ročník Předpokládané znalosti: základní znalosti a dovednosti z oblasti osové a středové souměrnosti Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) promyslí a realizuje způsob řešení problému Kompetence komunikativní formuluje a výstižně vyjadřuje své myšlenky, vhodným způsobem argumentuje a obhajuje své řešení Kompetence sociální a personální účinně spolupracuje ve skupině při řešení daného úkolu, přispívá k diskusi Kompetence pracovní vhodně organizuje vlastní práci na řešení problému Prostředky a pomůcky: pracovní listy (pokud možno barevné kopie), tužky, pastelky Anotace: Pracovní listy se nakopírují, žáci vyznačují osy a středy souměrnosti do obrázků, výsledky zaznamenávají do připravené tabulky. Žáci mohou pracovat jednotlivě nebo ve dvojicích. 193

195 Souměrnost dopravních značek 6. a 7. ročník PRACOVNÍ LIST 1. ÚKOL: U jednotlivých dopravních značek vyznačte jejich osy souměrnosti (všechny) a středy souměrnosti. (pro lepší přehlednost osy dělejte jinou barvou než středy) a) obr. A/1 obr. A/2 obr. A/3 obr. A/4 obr. A/5 b) obr. B/ 1 obr. B/ 1 obr. B/3 obr. B/4 obr. B/5 obr. B/6 obr. B/7 obr. B/8 obr. B/9 obr. B/10 c) obr. C/1 obr. C/2 obr. C/3 obr. C/4 obr. C/5 194

196 Souměrnost dopravních značek 6. a 7. ročník d) obr. D/1 obr. D/2 obr. D/3 obr. D/4 obr. D/5 e) obr. E/1 obr. E/2 obr. E/3 obr. E/4 obr. E/5 2. ÚKOL: Pokuste se formulovat souvislost mezi počtem os souměrností a středovou souměrností. 195

197 Souměrnost dopravních značek 6. a 7. ročník 3. ÚKOL: Napište význam jednotlivých dopravních značek. Číslo obrázku Název značky Číslo obrázku Název značky A/1 C/1 A/2 C/2 A/3 C/3 A/4 C/4 A/5 C/5 B/1 D/1 B/2 D/2 B/3 D/3 B/4 D/4 B/5 D/5 B/6 E/1 B/7 E/2 B/8 E/3 B/9 E/4 B/10 E/5 196

198 Souměrnost dopravních značek 6. a 7. ročník 4. ÚKOL: Víte, o jaký druh dopravního značení se jedná? Přiřaďte správně typ dopravních značek k jednotlivým skupinám. skupina A skupina B skupina C skupina D skupina E informativní dopravní značky zákazové dopravní značky příkazové dopravní značky značky upravující přednost výstražné dopravní značky Pozorně si prohlédněte značky v jednotlivých skupinách a formulujte shodné znaky (tvar, barva). 197

199 Souměrnost dopravních značek 6. a 7. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ 2. ÚKOL:: 3. ÚKOL: Má-li značka počet os souměrnosti lichý, pak není středově souměrná. Má-li značka počet os souměrnosti sudý, pak je středově souměrná. Číslo obrázku Název značky Číslo obrázku Název značky A/1 Pozor, kruhový objezd C/1 Přikázaný směr jízdy přímo a vpravo A/2 Zúžená vozovka (z obou stran) C/2 Přikázaný směr objíždění vlevo A/3 Pozor děti C/3 Zimní výbava A/4 Jiné nebezpečí C/4 Nejnižší dovolená rychlost A/5 Práce na silnici C/5 Stezka pro cyklisty B/1 Zákaz vjezdu všech vozidel (v obou směrech) D/1 Jednosměrný provoz B/2 Zákaz vjezdu vozidel D/2 Přechod pro chodce B/3 Zákaz vjezdu všech motorových vozidel s výjimkou motocyklů bez D/3 Slepá ulice postranního vozíku B/4 Zákaz předjíždění pro nákladní automobily D/4 Zpomalovací práh B/5 Konec zákazu předjíždění pro Parkoviště s parkovacím D/5 nákladní automobily automatem B/6 Zákaz zastavení E/1 Stůj, dej přednost v jízdě B/7 Zákaz stání E/2 Hlavní pozemní komunikace B/8 Nejvyšší dovolená rychlost E/3 Dej přednost v jízdě Zákaz vjezdu vozidel, jejichž Křižovatka s vedlejší pozemní B/9 okamžitá hmotnost převyšuje E/4 komunikací vyznačenou mez B/10 Zákaz odbočování vlevo E/5 Přednost protijedoucích vozidel 4. ÚKOL: Jedná se o svislé dopravní značení. Výstražné dopravní značky Zákazové dopravní značky Příkazové dopravní značky Informativní dopravní značky Značky upravující přednost A (trojúhelníkový tvar, červený okraj) B (kruhový tvar, červený okraj, podklad) C (kruhový tvar, modrý podklad) D (hranaté, modrý podklad) E (různé) 198

200 Trisekce úhlu aneb rozděl úhel na třetiny Tereza Suchopárová Cíl aktivity: seznámit žáky s dokazováním jako součástí matematiky, řešení nestandardní úlohy Ročník:

201 Trisekce úhlu aneb rozděl úhel na třetiny 7. ročník Předpokládané znalosti: vlastnosti úhlů v trojúhelníku, dvojice úhlů Klíčové kompetence: Kompetence k učení (žák) realizuje vlastní nápady, přemýšlí samostatně, tvořivě, aplikuje nabyté znalosti v nestandardních úlohách Kompetence k řešení problému využívá získané vědomosti a dovednosti k objevování variant řešení, volí vhodné způsoby řešení a užívá při jejich řešení logické a matematické postupy, ověřuje správnost řešení problému Kompetence komunikativní formuluje a výstižně vyjadřuje své myšlenky, účinně se zapojuje do diskuse, vhodně reaguje na názory druhých, vhodným způsobem argumentuje a obhajuje svůj názor Kompetence pracovní vhodně organizuje vlastní práci na řešení problému Prostředky a pomůcky: pracovní list, psací a rýsovací potřeby, proužek papíru Metodický a didaktický komentář: V předložených pracovních listech je úkolem žáků dojít pomocí návodných otázek k důkazu předloženého tvrzení. Pro usnadnění jsou součástí úloh také obrázky, z nichž lze potřebné vlastnosti snadno vypozorovat. Závěrečný úkol ověří, zda jsou žáci schopni objevenou a dokázanou vlastnost využít pro řešení podobného problému. 200

202 Trisekce úhlu aneb rozděl úhel na třetiny 7. ročník PRACOVNÍ LIST Trisekce úhlu aneb rozděl úhel na třetiny 1. ÚKOL: Narýsuj libovolný úhel α a rozděl ho na dvě stejné části. 2. ÚKOL: Narýsuj libovolný úhel β a rozděl ho na tři stejné části. 201

203 Trisekce úhlu aneb rozděl úhel na třetiny 7. ročník Rozdělit libovolný úhel na tří stejné části jen za pomoci pravítka a kružítka nelze. Přesto lidé i dnes hledají různé jiné způsoby, jak trisekci provést. Archimédes například objevil metodu pro trisekci úhlu, ke které potřebuje kromě kružítka a pravítka jen proužek papíru. Jeho metoda je založena na principu následující úlohy. Tvrzení: Mějme libovolnou sečnu AB kružnice se středem v bodě O. Sečnu prodloužíme k bodu C tak, že BC je rovna poloměru kružnice. Sestrojíme polopřímku CO, která protne kružnici v bodech D a E. Z bodu E sestrojíme rovnoběžku EF, která protne kružnici v bodě F. Oblouk AE má trojnásobně větší délku než oblou BD. 1. ÚKOL: Pokud má být oblouk AE trojnásobkem BD a oba oblouky leží na stejné kružnici, co platí pro velikosti úhlů AOE a BOD? 2. ÚKOL: Vyznač v obrázku červeně všechny úsečky, jejichž délka je rovna poloměru kružnice. 202

204 Trisekce úhlu aneb rozděl úhel na třetiny 7. ročník 3. ÚKOL: Úhel BOD označ zeleně a pojmenuj α. Které další úhly mají stejnou velikost? Označ je také α. 4. ÚKOL: Vyjádři velikost úhlu EOF pomocí úhlu α EOF = ÚKOL: Body E, O, D leží na přímce a velikost EOF již známe. Jaká je velikost FOD? FOD = ÚKOL: Úhel AOE je shodný s BOF. Jaká je velikost AOE? AOE = ÚKOL: Zapiš znovu velikosti úhlů AOE a BOD. Co pro ně platí? Co vyplývá pro oblouky AE a BD? 203

205 Trisekce úhlu aneb rozděl úhel na třetiny 7. ročník 8. ÚKOL: Nyní se pokus sestrojit úhel třikrát menší než úhel α jen pomocí pravítka a proužku papíru, na který si naneseš poloměr kružnice k. 204

206 Trisekce úhlu aneb rozděl úhel na třetiny 7. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ Trisekce úhlu aneb rozděl úhel na třetiny 1. ÚKOL: Narýsuj libovolný úhel α a rozděl ho na dvě stejné části. 2. ÚKOL: Narýsuj libovolný úhel β a rozděl ho na tři stejné části. Řešitelné jen pro některé konkrétní velikosti, například 270,

207 Trisekce úhlu aneb rozděl úhel na třetiny 7. ročník Rozdělit libovolný úhel na tří stejné části jen za pomoci pravítka a kružítka nelze. Přesto lidé i dnes hledají různé jiné způsoby, jak trisekci provést. Archimédes například objevil metodu pro trisekci úhlu, ke které potřebuje kromě kružítka a pravítka jen proužek papíru. Jeho metoda je založena na principu následující úlohy. Tvrzení: Mějme libovolnou sečnu AB kružnice se středem v bodě O. Sečnu prodloužíme k bodu C tak, že BC je rovna poloměru kružnice. Sestrojíme polopřímku CO, která protne kružnici v bodech D a E. Z bodu E sestrojíme rovnoběžku EF, která protne kružnici v bodě F. Oblouk AE má trojnásobně větší délku než oblou BD. 1. ÚKOL: Pokud má být oblouk AE trojnásobkem BD a oba oblouky leží na stejné kružnici, co platí pro velikosti úhlů AOE a BOD? Úhel AOE je trojnásobkem úhlu BOD 2. ÚKOL: Vyznač v obrázku červeně všechny úsečky, jejichž délka je rovna poloměru kružnice. 3. ÚKOL: Úhel BOD označ zeleně a pojmenuj α. Které další úhly mají stejnou velikost? Označ je také α. 206

208 Trisekce úhlu aneb rozděl úhel na třetiny 7. ročník 4. ÚKOL: Vyjádři velikost úhlu EOF pomocí úhlu α EOF = α 5. ÚKOL: Body E, O, D leží na přímce a velikost EOF již známe. Jaká je velikost FOD? FOD = 2. α 6. ÚKOL: Úhel AOE je shodný s BOF. Jaká je velikost AOE? AOE = 3. α 7. ÚKOL: Zapiš znovu velikosti úhlů AOE a BOD. Co pro ně platí? Co vyplývá pro oblouky AE a BD? AOE = 3. BOD AE = 3. BD 207

209 Trisekce úhlu aneb rozděl úhel na třetiny 7. ročník 8. ÚKOL: Nyní se pokus sestrojit úhel třikrát menší než úhel α jen pomocí pravítka a proužku papíru, na který si naneseš poloměr kružnice k. 208

210 Znázornění sněhové vločky užitím symetrie Jiří Kopecký Cíl aktivity: vynesení bodů do souřadnicového systému, použití osové souměrnosti, objevení vztahů pro souřadnice bodů v souměrnosti podle os kvadrantů, modelování objektů reálného světa pomocí matematického aparátu Ročník:

211 Znázornění sněhové vločky užitím symetrie 6. ročník Předpokládané znalosti: geometrie v rovině osová souměrnost Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) samostatně řeší problémy, zvolí vhodný způsob řešení problematiky, sleduje vlastní pokrok při zdolávání problému, případně najde a opraví svou chybu Kompetence k učení pracuje s termíny, znaky a symboly Kompetence pracovní pracuje podle návodu Prostředky a pomůcky: pracovní list, zrcátko Metodický a didaktický komentář: Každý žák má jednu stránku s pracovním listem, podle kterého postupuju samostatně. Pokud máme možnost, můžou žáci pracovat v GeoGebře s využitím nástroje Osová souměrnost a zaměřit se více na hledání vztahu pro souřadnice bodů. Poznámky: Úloha je vyňata, přeložena a upravena z volně použitelné knihy Space Math X 32, která vznikla v rámci projektu Space NASA Zdroj: 33 Zdroj: 210

212 Znázornění sněhové vločky užitím symetrie 6. ročník PRACOVNÍ LIST Znázornění sněhové vločky užitím symetrie Sněhové vločky mají symetrický tvar. Často se dají znázornit jednoduchým vzorem, jehož kopírováním vznikne celý útvar, který vidíte. 1. ÚKOL: Vynesením následujících bodů do grafu vytvořte náčrt vločky v prvním kvadrantu: (10,0), (10,2), (6,2), (6,0), (4,2), (0,0), (4,3), (3,5), (5,4), (6,7), (3,9), (1,6), (3,5), (1,4), (0,0) 2. ÚKOL: Spojte body úsečkami v uvedeném pořadí. Vzniklé útvary můžete vybarvit. 211

213 Znázornění sněhové vločky užitím symetrie 6. ročník 3. ÚKOL: Překreslete obrázek zrcadlově do druhého kvadrantu. Pak dodělejte tvar i ve třetím a čtvrtém kvadrantu, aby vznikla celá vločka. Platí pro souřadnice nově vzniklých bodů nějaký vztah k těm původním? Zkuste ho zapsat. 212

214 Znázornění sněhové vločky užitím symetrie 6. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ 1. a 2. ÚKOL: 3. ÚKOL: Žáci mohou buď postupovat tak, jako by položili podél osy x a y zrcátko a tvar z prvního kvadrantu překreslit, nebo využít myšlenku symetrie: pro zobrazení ve druhém kvadrantu, vynést body z prvního kvadrantu s opačným znaménkem u x-ové souřadnice: (x, y) přejde na (-x, y). Pro třetí kvadrant použít přechod (x, y) na (-x, -y) a pro čtvrtý (x, y) přejde na (x, -y). Hotový obrázek: 213

215 Lineární funkce Jana Kaňková Cíl aktivity: uvedení do problematiky grafu lineární funkce. Zkoumání vlivu předpisu lineární funkce na graf funkce. Znázornění spádu přímky Ročník:

216 Lineární funkce 7. ročník Předpokládané znalosti: základní vědomosti a dovednosti z oblasti lineárních funkcí Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) při řešení problému uplatňuje vhodné metody a dříve získané informace a dovednosti. Využívá tvořivé myšlení s použitím intuice Kompetence komunikativní formuluje a vyjadřuje své myšlenky a názory v logickém sledu Kompetence sociální a personální pracuje samostatně, vytváří si pozitivní představu o sobě samém, která podporuje jeho sebedůvěru a samostatný rozvoj. Řídí své chování tak, aby dosáhl pocitu uspokojení a sebeúcty Kompetence k učení získané informace chápe a dokáže je propojit, tak aby úspěšně vysvětlil vliv předpisu lineární funkce na její graf. Kriticky přistupuje ke zdrojům, informace tvořivě zpracovává a využívá při řešení problému Prostředky a pomůcky: pracovní list, přiložený soubor vytvořený v programu GeoGebra Metodický a didaktický komentář: Formou experimentu se žáci pomocí vytvořeného souboru v programu GeoGebra seznámí s vlivem předpisu lineární funkce na její graf a zjištěné poznatky popíší. 215

217 Lineární funkce 7. ročník PRACOVNÍ LIST Pracovní list v programu GeoGebra je přiložen jako samostatný soubor s názvem Kankova - linearni funkce.ggb 1. ÚKOL: Pohybuj posuvníkem a, který řídí graf funkce v programu GeoGebra a sleduj, jak se mění předpis v závislosti na poloze grafu. Pokus se svoje zjištění formulovat ústně, popiš vlastními slovy změny grafy, pohybuješ-li posuvníkem. 2. ÚKOL: Jaký je parametr a je-li funkce v 1. a 3. kvadrantu? Jak se změní parametr a je-li funkce ve 2. a 3. Kvadrantu? 3. ÚKOL: Pohybuj posuvníkem b, který řídí graf funkce v programu GeoGebra a sleduj, jak se mění předpis v závislosti na poloze grafu? Jak se graf mění? Pohybuje se? 4. ÚKOL: Všimni si spádu přímky. Jakým posuvníkem musíš pohybovat, aby se měnil? Jak vysvětlíš, co je to spád přímky? 5. ÚKOL: Vyslov svoje hypotézy a konzultuj problematiku se spolužáky 216

218 Lineární funkce 7. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ Pracovní list v programu GeoGebra je přiložen jako samostatný soubor s názvem Kankova - linearni funkce.ggb 3. ÚKOL: Pohybuj posuvníkem a, který řídí graf funkce v programu GeoGebra a sleduj, jak se mění předpis v závislosti na poloze grafu. Pokus se svoje zjištění formulovat ústně, popiš vlastními slovy změny grafy, pohybuješ-li posuvníkem. 4. ÚKOL: Jaký je parametr a je-li funkce v 1. a 3. kvadrantu? Kladný. Jak se změní parametr a je-li funkce ve 2. a 3. Kvadrantu? Záporný. 5. ÚKOL: Pohybuj posuvníkem b, který řídí graf funkce v programu GeoGebra a sleduj, jak se mění předpis v závislosti na poloze grafu? Jak se graf mění? Pohybuje se? Změnou posuvníku b se graf pohybuje po ose y 6. ÚKOL: Všimni si spádu přímky. Jakým posuvníkem musíš pohybovat, aby se měnil? Jak vysvětlíš, co je to spád přímky? Spád je ovlivněn posuvníkem a 7. ÚKOL: Vyslov svoje hypotézy a konzultuj problematiku se spolužáky 217

219 Hamiltonovské grafy Lenka Činčurová Cíl aktivity: osvojit si základní poznatky a aplikace tzv. hamiltonovských grafů, seznámit se se třemi postačujícími podmínkami pro označení grafu za hamiltonovský. Dokázat určit stupně jednotlivých vrcholů grafu a najít strategii k nalezení všech možných cest včetně cest slepých Ročník:

220 Hamiltonovské grafy 7. ročník Předpokládané znalosti: základní početní operace, základy MS Excel Klíčové kompetence: Kompetence k řešení problému (žák) pečlivě promýšlí různé možnosti vedení trasy, vytrvale hledá co nejvhodnější cestu tak, aby každým uzlem prošel právě jednou, používá empirické postupy a ověřuje správnost svých nápadů Kompetence komunikativní formuluje a vyjadřuje své myšlenky a názory v logickém sledu, vyjadřuje se výstižně, souvisle, kultivovaně a matematicky správně Kompetence sociální a personální pracuje samostatně, vytváří si pozitivní představu o sobě samém, která podporuje jeho sebedůvěru a samostatný rozvoj. Řídí své chování tak, aby dosáhl pocitu uspokojení a sebeúcty Kompetence k učení procvičuje základní početní operace, poznává nové souvislosti a vytváří si tak komplexnější pohled na dané matematické učivo. Experimentuje s různými možnostmi hledání trasy, kriticky posuzuje své myšlenky a hledá optimální řešení. Je schopen obhájit svou volbu a diskutovat o svých závěrech Prostředky a pomůcky: pracovní list, MS Excel Metodický a didaktický komentář: Formou zajímavých motivačních příkladů se žáci seznámí s novými skutečnostmi z teorie grafů. Cílem je seznámit žáky s pojmem hamiltonovský graf a ukázat jim základní strategie jeho hledání. Úkolem žáků je především správně se zorientovat v zadaném schématu a dokázat určit stupně jednotlivých vrcholů grafu (určit počet cest, které z nich vychází). Dále se žáci seznámí se třemi postačujícími podmínkami k tomu, aby byl graf hamiltonovský, a pokusí se podle nich ověřit, zda je alespoň některá z nich pro zadaný graf splněna. 219

221 Hamiltonovské grafy 7. ročník PRACOVNÍ LIST Na obrázku 1 vidíte schéma rozmístění domů ve městě společně s možnými cestami a vzdálenostmi mezi nimi. A 3 2,1 2 2,5 1,5 D B 2 2 3,7 3 E 1,6 C 2,1 F 4 Obrázek 1: Schéma vzdáleností domů G Vaším úkolem je navrhnout trasu pro řidiče zásilkové společnosti, který potřebuje rozvést zboží zákazníkům. Musí navštívit každého zákazníka právě jednou, na žádné místo se nesmí vracet nebo jím projet vícekrát. Zkuste navrhnout libovolnou trasu s výjezdem i návratem do bodu A a spočítejte, kolik km by přitom řidič ujel. Pracovní list v programu MS Excel je přiložen jako samostatný soubor s názvem Cincurova_hamiltonovsky_graf.xlsx Nyní využijte pracovního listu připraveného v programu MS Excel a do vzorových políček doplňte další možné trasy (políčka si přidáte zkopírováním prázdné trasy dle potřeby). Pamatujte, že uzel, který už byl, se v cestě nesmí znovu vyskytnout. Kolik tras jste celkem našli? 220

222 Hamiltonovské grafy 7. ročník Některé cesty jsou slepé, neboť se nelze vrátit do výchozího uzlu. Kolik slepých tras jste celkem našli?... Pomocí příkazu SUMA vypočítejte délky jednotlivých tras (ne slepých) a najděte tu, která je nejkratší.... Graf, který lze projít takovou cestou, že každý jeho uzel je navštíven právě jednou (s výjimkou uzlu výchozího, který je zároveň uzlem cílovým), se nazývá hamiltonovský graf. K tomu, aby byl graf se třemi a více uzly (u 3) hamiltonovský, stačí splnění některé z následujících podmínek: Každý uzel má stupeň alespoň ½ u, tedy z každého uzlu vychází nejméně ½ u cest. (Diracova podmínka) Každá dvojice uzlů nespojených hranou má součet stupňů alespoň u. (Oreho podmínka) Pro každé přirozené číslo k < ½ u je počet uzlů, jejichž stupeň nepřevyšuje k, menší než k. (Pósova podmínka) Není snadné rozhodnout, zda je graf hamiltonovský, dosud totiž nebyla nalezena žádná nutná a postačující podmínka k tomu, aby graf byl hamiltonovský. Pokud graf nesplňuje žádnou z těchto tří podmínek, stále může být hamiltonovský. Zjistěte a správně zaškrtněte, které z podmínek jsou splněny pro náš graf: Diracova podmínka: ANO NE Oreho podmínka: ANO NE Pósova podmínka: ANO NE 221

223 Hamiltonovské grafy 7. ročník PRACOVNÍ LIST ŘEŠENÍ Na obrázku 1 vidíte schéma rozmístění domů ve městě společně s možnými cestami a vzdálenostmi mezi nimi. A 3 2,1 2 2,5 1,5 D B 2 2 3,7 3 E 1,6 C 2,1 F 4 Obrázek 1: Schéma vzdáleností domů G Vaším úkolem je navrhnout trasu pro řidiče zásilkové společnosti, který potřebuje rozvést zboží zákazníkům. Musí navštívit každého zákazníka právě jednou, na žádné místo se nesmí vracet nebo jím projet vícekrát. Zkuste navrhnout libovolnou trasu s výjezdem i návratem do bodu A a spočítejte, kolik km by přitom řidič ujel. Pracovní list v programu MS Excel je přiložen jako samostatný soubor s názvem Cincurova_hamiltonovsky_graf.xlsx Nyní využijte pracovního listu připraveného v programu MS Excel a do vzorových políček doplňte další možné trasy (políčka si přidáte zkopírováním prázdné trasy dle potřeby). Pamatujte, že uzel, který už byl, se v cestě nesmí znovu vyskytnout. Kolik tras jste celkem našli? V grafu existuje 8 hamiltonovských cest, polovina z nich je však tvořena pouze inverzí pořadí hran (protisměrem) viz obr

224 Hamiltonovské grafy 7. ročník Obrázek 2: Všechny možné cesty Zdroj: _Problem_obchodniho_cestujiciho.pdf 223

225 Hamiltonovské grafy 7. ročník Některé cesty jsou slepé, neboť se nelze vrátit do výchozího uzlu. Kolik slepých tras jste celkem našli? 15 Pomocí příkazu SUMA vypočítejte délky jednotlivých tras (ne slepých) a najděte tu, která je nejkratší. Nejkratší cesta A D B C E G F A nebo A F G E C B D A je délky 17,9 jednotek. Graf, který lze projít takovou cestou, že každý jeho uzel je navštíven právě jednou (s výjimkou uzlu výchozího, který je zároveň uzlem cílovým), se nazývá hamiltonovský graf. K tomu, aby byl graf se třemi a více uzly (u 3) hamiltonovský, stačí splnění některé z následujících podmínek: Každý uzel má stupeň alespoň ½ u, tedy z každého uzlu vychází nejméně ½ u cest. (Diracova podmínka) Každá dvojice uzlů nespojených hranou má součet stupňů alespoň u. (Oreho podmínka) Pro každé přirozené číslo k < ½ u je počet uzlů, jejichž stupeň nepřevyšuje k, menší než k. (Pósova podmínka) Není snadné rozhodnout, zda je graf hamiltonovský, dosud totiž nebyla nalezena žádná nutná a postačující podmínka k tomu, aby graf byl hamiltonovský. Pokud graf nesplňuje žádnou z těchto tří podmínek, stále může být hamiltonovský. 224

226 Hamiltonovské grafy 7. ročník Zjistěte a správně zaškrtněte, které z podmínek jsou splněny pro náš graf: Diracova podmínka: ANO NE Počet uzlů u=7, každý uzel musí mít stupeň alespoň 7/2, tedy 4. Uzly A, C, F a G mají nižší stupeň než 4. Oreho podmínka: ANO NE Každá nespojená dvojice musí mít součet stupňů alespoň u=7. Dvojice AC, AG, CF a CG mají součet stupňů nižší než 7. Další nespojené dvojice AE, BF, BG, CD a EF mají součet přesně 7, tedy by podmínce vyhovovaly. Pósova podmínka: ANO NE Pro každé přirozené číslo k<7/2, tedy k=1, k=2 a k=3, je počet uzlů, jejichž stupeň nepřevyšuje k, menší než k. Pro k=1: počet uzlů stupně 1 je 0, což je méně než k, splněno. Pro k=2: počet uzlů stupně 1 je 0, počet uzlů stupně 2 je 1 (C), 0+1=1, což je méně než k, splněno. Pro k=3: počet uzlů stupně 1 je 0, počet uzlů stupně 2 je 1 (C), počet uzlů stupně 3 je 3 (A, F, G), 0+1+3=4, což je více než k, nesplněno. 225

227 Počet stran: 225 Vydal: Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Autoři: Helena Binterová, Roman Hašek, Pavel Pech, Vladimíra Petrášková Editor: Přemysl Rosa