PLANIMETRIE, SHODNOST A PODOBNOST

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "PLANIMETRIE, SHODNOST A PODOBNOST"

Transkript

1 PLANIMETRIE, SHODNOST A PODOBNOST Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro nižší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky Prostějov 2009

2 2 Planimetrie Úvod Vytvořený výukový materiál pokrývá předmět matematika, která je vyučována v osnovách a tematických plánech na gymnáziích nižšího a vyššího stupně. Mohou ho však využít všechny střední a základní školy, kde je vyučován předmět matematika, a které mají dostatečné technické vybavení a zázemí. Cílová skupina: Podle chápání a schopností studentů je stanovena úroveň náročnosti vzdělávacího plánu a výukových materiálů. Zvláště výhodné jsou tyto materiály pro studenty s individuálním studijním plánem, kteří se nemohou pravidelně zúčastňovat výuky. Tito studenti mohou s pomocí našich výukových materiálů částečně kompenzovat svou neúčast ve vyučovaném předmětu matematika, formou e-learningového studia.

3 Planimetrie 3 Obsah Črtáme, rýsujeme, měříme... 7 Body, úsečky, přímky, polopřímky... 7 Body, úsečky, přímky, polopřímky Varianta A Body, úsečky, přímky, polopřímky Varianta B Body, úsečky, přímky, polopřímky Varianta C Obvody a obsahy, hmotnost Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti Varianta A Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti Varianta B Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti Varianta C Úhel Úhel a jeho velikost Úhel a jeho velikost Varianta A Úhel a jeho velikost Varianta B Úhel a jeho velikost Varianta C Osová souměrnost Osová souměrnost... 37

4 4 Planimetrie Varianta A Osová souměrnost Varianta B Osová souměrnost Varianta C Kruh, kružnice Kruh, kružnice Varianta A Kruh, kružnice Varianta B Kruh, kružnice Varianta c Trojúhelník Trojúhelník a jeho konstrukce Trojúhelník a jeho konstrukce Varianta A Trojúhelník a jeho konstrukce Varianta B Trojúhelník a jeho konstrukce Varianta C Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku Varianta A Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku Varianta B Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku Varianta C... 79

5 Planimetrie 5 Lichoběžník Lichoběžník Varianta A Lichoběžník Varianta B Lichoběžník Varianta C Shodná zobrazení Shodná zobrazení v rovině Shodná zobrazení v rovině Varianta A Shodná zobrazení v rovině Varianta B Shodná zobrazení v rovině Varianta C Shodnost a podobnost útvarů Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti Varianta A Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti Varianta B Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti Varianta C Množiny bodů dané vlastnosti Množiny bodů dané vlastnosti Varianta A Množiny bodů dané vlastnosti

6 6 Planimetrie Varianta B Množiny bodů dané vlastnosti Varianta C Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy Varianta A Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy Varianta B Množiny bodů dané vlastnosti, konstrukční úlohy Varianta C

7 Planimetrie 7 Črtáme, rýsujeme, měříme Body, úsečky, přímky, polopřímky Používané symboly v planimetrii

8 8 Planimetrie Vzájemná poloha přímek v rovině přímky p, q jsou rovnoběžné přímky a, b jsou různoběžné..

9 Planimetrie 9 přímky m, n jsou na sebe kolmé... znak kolmosti

10 10 Planimetrie Body, úsečky, přímky, polopřímky Varianta A Sestroj body A, B, C, D, E, z daných bodů sestroj: úsečku AD (AD ), polopřímku EB( EB), přímku AC ( AC ) Výsledek řešení: Varianta A Varianta B Varianta C

11 Planimetrie 11 Příklady k procvičení: 1) Doplň body: a). EG b) EG 2) Vypiš: a) dvojice rovnoběžných přímek, b) dvojice kolmých přímek c) dvojice různoběžných přímek

12 12 Planimetrie a) a-b; a-c, b-c b) o-a, o-b, o-c b) a-n, b-n, c-n, a-m, b-m, c-m 3) Vypište útvary a) c b) c a) DC, AB b) b, BC, AD 4) Sestrojte obdélník KLMN, kružnici k(s,r), čtverec ABCD, polopřímku KS, přímku AM-do jedné konstrukce.

13 Planimetrie 13 Body, úsečky, přímky, polopřímky Varianta B Narýsujte úsečku AB,, ď,. Výsledek řešení: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Narýsuj úsečku. Sestroj osu této úsečky. Na ose zvol 4 různé body,, které se stanou středy kružnic. Tyto kružnice sestroj tak, aby procházely bodem A. Co jste zjistili? Jaký bude nejmenší možný poloměr takto zvolených kružnic? 2) Sestroj přímky Sestroj dále bod, bod, bod Z:Z p,z q. Bodem Z veď kolmici k přímce p, nazvi ji a. Co lze říci o přímkách a, q? Urči vzdálenost rovnoběžek p, q ( určíme tak, že na jedné z rovnoběžek zvolíme bod-s, z něj uděláme kolmici na dané rovnoběžky. Kde mi tato kolmice protne druhou rovnoběžku, dostanu bod-t. Vzdálenost rovnoběžek je rovna ST.

14 14 Planimetrie 3) Sestroj 4 přímky, aby měly a) jeden, b) čtyři c) pět d) šest průsečíků Řešení: a) b) c) d) 4) Přímka p,, napiš všechny polopřímky určené body A,B,C. kolik jich bude?

15 Planimetrie 15 Body, úsečky, přímky, polopřímky Varianta C Máme kružnici Na této kružnici zvol tři různé body A, B, C. Body spoj do trojúhelníku ABC. Narýsuj osu úsečky AB, osu úsečky BC, osu úsečky AC. Co jsi zjistil? Osy všech úseček budou procházet středem kružnice, do níž jsme trojúhelník vepsali. Jestliže má totiž kružnice procházet krajními body např. úsečky AB, má od těchto bodů střed kružnice stejnou vzdálenost a tedy musí tento střed ležet na ose AB. Tak je to i s ostatními dvěma stranami, tedy průsečík os stran trojúhelníku je zároveň středem kružnice tomuto trojúhelníku opsané. Výsledek řešení:bylo zjištěno, že každá osa prochází středem S dané kružnice. Tedy S kružnice je průnikem os stran trojúhelníku. Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Máme trojúhelník ABC. Kolik různých přímek, polopřímek, lze proložit vrcholy tohoto trojúhelníku? 2) Sestroj čtverec ABCD,. Sestroj m:, Ozn pr se ky. Co jsi zjistil?

16 16 Planimetrie 3) M me kru nici N kru nici zvol od Do kru tk vezmi polom r cm ve vzd lenosti od cm proti sm ru hodinov ch ru i ek pomoc kru tk sestroj od d le potom stejn m postupem od odu od Vzniklé ody spoj podle ecedy Kolik jsi n kru nici dost l celkem od? Vznikl tv r se pokus pojmenov t 4) Jaké geometrické tvary můžeme dostat ze čtyř různých bodů A, B, C, D jejich nejkratším spojením v tomto pořadí?

17 Planimetrie 17 Obvody a obsahy, hmotnost Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti Jednotky délky: Milimetr, centimetr, decimetr, metr-vedlejší jednotky mají mezi sebou jedno desetinné místo, znáte již ze ZŠ. 1cm=10mm, 1dm=10cm=100mm, 1m=10dm=100cm=1000mm 1km=1000m Jednotky obsahu: Sousední jednotky mají mezi sebou dvě desetinná místa Jednotky hmotnosti: Platí tedy:

18 18 Planimetrie Pro obdélník a čtverec platí vzorce: Obdélník o stranách a, b: Obvod Čtverec o straně a: Obvod, Obsah, Obsah

19 Planimetrie 19 Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti Varianta A Obdélník má strany a=18 cm, b= 0,06m. Spočítej jeho obvod a obsah. a=18 cm, b= 0,06m=6cm nejdříve uvedeme rozměry ve stejných jednotkách, v našem případě cm. Výsledek řešení: S=108, Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Čtverec o straně a=20 cm. Urči jeho a v jednotkách uvedených v závorce. 2) převeď a) b) c) d)

20 20 Planimetrie 3) převeď na požadované jednotky a sečti: a) b) c) d) 4) Anička koupila 20 dkg salámu, 2 mouky po jednom kg, půl kg sádla, 3 másla po 250 g a 1,3 kg jablek. Kolik vážil její nákup?

21 Planimetrie 21 Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti Varianta B Čtvrtina bochníku sýra a 6-ti kilogramové závaží mají stejnou hmotnost jako celý bochník. Kolik váží bochník? Závaží vlastně nahrazuje ¾ bochníku. Tedy Bochník váží 8 kg. Výsledek řešení: Bochník váží 8 kg. Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) a) b) c) cm m dm d) c d 2) Obdélník o stranách a=12cm, b=? má obvod stejný jako čtverec o straně 135 mm. Urči b.

22 22 Planimetrie 3) Místo otazníku doplň správně jednotky: a)? b)? c)? d)? 4) Zahrada má obdélníkový tvar o stranách 20 m a 45 m. V ní je postaven dům čtvercového základu o straně 8m a garáž o ploše 32. Urči plochu zeleně.

23 Planimetrie 23 Obvody a obsahy obdélníku a čtverce, jednotky délky, obsahu, hmotnosti Varianta C Pozemek má tvar pravoúhlého trojúhelníku. Jedna jeho odvěsna je o 2 krát větší než ta druhá. Obě odvěsny dohromady měří 1200 m. Urči plochu pozemku. 1.odvěsna. x m 2.odvěsna 2x m dohromady m Návratem do zápisu: 1.odvěsna 400 m 2.odvěsna 800 m Plocha parcely je vlastně polovinou obdélníku, který tvoří dané odvěsny, tedy Parcela má plochu 16 ha. Výsledek řešení: Parcela má plochu 16 ha. Varianta A Varianta B Varianta C

24 24 Planimetrie Příklady k procvičení: 1) a) b) c) d) 2) Pro strany obdélníku platí, že jedna strana je třikrát delší než druhá a jeho obvod je 656 cm. Určete délky stran a obsah obdélníku ) V obdélníku je průsečík úhlopříček vzdálen od kratší strany o 6 cm dál než od delší strany. Obvod obdélníku je 84 cm. Určete obsah obdélníku. 4) Zahrada tvaru obdélníkového má delší stranu čtyřnásobkem délky kratší strany. Délka plotu kolem zahrady je 315 m. Určete výměru zahrady.

25 Planimetrie 25 Úhel Úhel a jeho velikost úhel obr.1 V α A B obr.2 ß V K L Máme-li dvě polopřímky se společným počátkem rozdělí rovinu na dvě části, které se nazývají úhly, ramena vrchol úhlu, tak ty nám

26 26 Planimetrie ody které n le ody které nen le AVB (vnitřní body úhlu AVB) N, A, V, B, M, R, P AVB (vnější body úhlu AVB) O, Q Klasifikace úhlů 1. Nekonvexní (obr. 2) spojnice jakýchkoliv dvou vnitřních bodů úhlu nemusí obsahovat vždy vnitřní body úhlu. 2. Konvexní - spojnice jakýchkoliv dvou vnitřních bodů obsahuje vždy vnitřní body úhlu. a) nulové b) duté (ostré, pravé, tupé) c) přímé d) plné Velikost úhlů Úhly měříme ve stupních, minutách, vteřinách 1 Máme-li 2 nebo více úhlů sečíst, sčítáme stupně se stupni, minuty s minutami, vteřiny s vteřinami. Jestliže se dostaneme u minut nebo vteřin do čísla jednotku. Např.: Při odčítání, pokud odčítáme víc minut než je v menšenci, musíme si poté odčítat. Např.: převedeme na vyšší převést na minuty a

27 Planimetrie 27 úhel nekonvexní: 8 úhel konvexní: nulový = 0, ostrý = 0, pravý, tupý, přímý =. Máme-li dány dvě různoběžky, potom dostáváme dvojice úhlů: ß γ δ Úhly vedlejší α-ß ;ß-γ, γ-δ, δ-α mají společní jedno rameno, druhá ramena jsou opačné polopřímky. Součet je roven 8. Úhly vrcholové α-γ,ß-δ mají společný vrchol a ramena jsou navzájem opačnými polopřímkami. Mají stejnou velikost, jsou tedy shodné. Jsou-li přímky a, b rovnoběžné a protíná je nějaká různoběžka p, potom existují dvojice úhlů: α γ ß a δ p b a b, p úhly souhlasné α-ß shodné, leží v jedné polorovině sw hraniční přímkou p na stejných stranách rovnoběžek úhly střídavé γ-δ shodné, leží v opačných polorovinách s hraniční přímkou p, je to vedlejší úhel k úhlu souhlasnému

28 28 Planimetrie Osa úhlu: V L P K o Dělí úhel na dva stejné úhly. Postup konstrukce osy úhlu (viz. obr).: 1. sestrojíme dostatečně velký oblouk úhlu (z důvodu přesnosti), průsečíky oblouku s rameny jsme nazvali K, L 2. Kružítko zabodneme do bodu K a narýsujeme oblouk 3. Kružítko zabodneme do bodu L a narýsujeme oblouk o stejném poloměru jako Dostali jsme oblouk 4. Průsečík oblouků, (v našem případě bod P) nám tvoří spolu s vrcholem úhlu osu úhlu o.

29 Planimetrie 29 Přenášení úhlů Máme-li nějaký úhel (třeba úhel KLM, nebo nějaký vnitřní úhel -ku) přenést, musíme postupovat následovně (viz.obr.): 1. Narýsujeme polopřímku, na niž chceme úhel přenést ( ) bude jedním ramenem úhlu 2. Úhel, který chceme přenést opatříme dostatečně velkým obloukem (pro přesnost rýsování) 3. Oblouk o stejném poloměru (r) narýsujeme na naši polopřímku, střed oblouku je počáteční bod polopřímky (V). 4. Do kružítka si vezmeme délku oblouku úhlu, který přenášíme (x) a tuto délku naneseme na oblouk na polopřímce (uděláme oblouk se středem B a poloměrem x). 5. Dostaneme bod (A), který po spojení s počátkem polopřímky dává druhé rameno hledaného úhlu. Přenesený úhel:. Dvojnásobek (trojnásobek ) úhlu naneseme na nový oblouk 2 ( ) délky oblouku původního úhlu. Máme-li graficky sestrojit polovinu úhlu - děláme osu úhlu, čtvrtinu úhlu- děláme osu polovičního úhlu délka oblouku tohoto úhlu je rovna jeho poloměru (tedy x r). K x L r M A x r V B

30 30 Planimetrie Úhel a jeho velikost Varianta A Sestrojte a změřte jeho vnitřní úhly α,ß,γ. Velikost úhlů měříme úhloměrem. Střed úhloměru dáme na vrchol A, úhloměr položíme na stranu AB. Na úhloměru najdeme stupnici, která začíná nulou (O )na rameni AB. Na této stupnici vyčteme velikost úhlu α. Čteme tam, kde druké rameno protíná stupnici. Obdobně úhel ß: střed úhloměru dáme na vrchol B, úhloměr položíme na polopřímku BA, která je ramenem zjišťovaného. Na úhloměru na tomto rameni najdeme stupnici, která začíná 0 a na této stupnici vyčteme tam, kde je druhé rameno tohoto úhlu, jeho velikost. Stejný postup opakujeme i s úhlem γ. Výsledek řešení: α= 56 ; ß= 36 γ= 88 Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Sestrojte. Přeneste jeho vnitřní úhly a změřte jak úhly původní, tak přenesené. 2) 6 23 = 328 = 18 4 = 6524 = 3) Narýsujte α=63, ß=204 4) Narýsujte, sestrojte jeho osu

31 Planimetrie 31 Úhel a jeho velikost Varianta B α=82 16, ß= Početně: a) α+ß b) α-ß c) α-2ß α+ß= = = po součtu bylo minut více jak 60, tedy se daly převést na a na zbylé. α-ß= = při odčítání bylo potřeba si půjčit 1 a převést ho na, abychom mohli minuty odečíst. α-2ß= = = opět jsme museli převést na, abychom mohli odčítat. Při dvojnásobku ß jsme zase převedli na a. Výsledek řešení:a) b) 2 c) 2 2 Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) A) b) ( 2-2 ) 2) ABC: a=13cm, b=8cm, c=9cm. Graficky sečti vnitřní úhly, tedy α+ß+γ. Výsledek změř. 3) é é é é 4) Obdélník ABCD: a=9cm, b= 6cm, S= průsečík úhlpříček. Změř velikost ASB a n pi k n mu hel vrcholov hel vedlej

32 32 Planimetrie Úhel a jeho velikost Varianta C a) = b) a) = c) = musíme si půjčit jak jeden stupe, abychom mohli stupně odčítat, tak také jednu minutu, aby bylo v menšenci více vteřin než v menšiteli a) Výsledek řešení:a) b) 2 Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) α ß p δ q γ ß=127 46, α=, γ=, δ= 2) Sestroj bez úhloměru α=22 30, ß=82 30, γ= é

33 Planimetrie 33 3) Do kružnice o poloměru 4,3cm narýsuj libovolně poloměr. Počínaje tímto poloměrem nanášej další poloměry proti směru hodinových ručiček po každých 36. Poloměry budou mít názvy SA, SB, SC, SD, Pokus se popsat útvar, který dostaneš po spojení bodů A, B, C, D, v tomto pořadí. 4) Graficky rozděl přímý úhel na 8 shodných úhlů.

34 34 Planimetrie Osová souměrnost Jestliže budeme chtít nakreslit obrázek tak, aby byl na obou stranách stejný, souměrný (motýla, broučka viz.obrázek ), přeložíme papír, namalujeme jenom půlku obrázku po překlad papíru a na druhou půlku obrázek otiskneme. Případně si namalujeme nebo narýsujeme opět jenom půlku obrázku po přehyb, papír přehneme a špendlíkem propíchneme důležité body, aby byly ve stejné vzdálenosti od přehybu a ty potom spojíme stejným způsobem jako na půlce první a máme i na druhé půlce obrázek stejný viz.domeček.

35 Planimetrie 35 Na obou obrázcích je přehyb papíru narýsován čerchovanou čarou, které říkáme osa obrázku, osa útvaru, osa souměrnosti. Těmto obrázkům, útvarům, říkáme útvary osově souměrné ( brouček je osově souměrný, domeček je osově souměrný, ). Útvary osově souměrné se dají rozdělit přímkou osou na dvě shodné části, které když překlopíme podle této osy, tak se překryjí. Některé útvary mají jednu některé i více os souměrnosti: písmeno V = 1 osa souměrnosti, obdélník = 2 osy souměrnosti, čtverec = 4 osy souměrnosti, pravidelný šestiúhelník = 6 os souměrností viz. následující obrázek, kruh = nekonečně mnoho os souměrností.. Ne vždy je možné papír přehýbat, ne vždy rýsujeme nebo malujeme na papír. K sestrojení osově souměrného obrázku, bodu, využíváme tzv. osové souměrnosti, kdy postupujeme následujícím způsobem. Chceme sestrojit bod osově souměrný podle osy o s bodem X, tedy bod Y: 1. Z bodu X sestrojíme kolmici na osu o 2. Průsečík této kolmice s osou = P 3. Kružítko zabodnu do bodu P, nastavím poloměr r= XP a přenesu tento poloměr (tuto vzdálenost od osy o) na polopřímku opačnou k PX. přehodím bod X přes osu na druhou stranu 4. Ve stejné vzdálenosti od osy o jako je bod X (vzor) dostávám bod Y (obraz).

36 36 Planimetrie Zapisujeme O(o):X Y a čteme : v osové souměrnosti O s osou souměrnosti o sestrojíme bod X na bod Y. Samodružný bod je bod, který se zobrazí sám na sebe. V osové souměrnosti jsou to ty body, které leží na ose souměrnosti.

37 Planimetrie 37 Osová souměrnost Varianta A Sestroj libovolný rovnostranný trojúhelník a sestroj jeho osy souměrnosti. Urči jejich počet. Osa souměrnosti je přímka spojující vrchol se středem protější strany (jedná se zároveň o kolmici z vrcholu na protější stranu). Pouze rovnostranný trojúhelník je trojúhelník se třemi osami souměrnosti. Rovnoramenný trojúhelník má jednu osu souměrnosti a různostranný trojúhelník osu souměrnosti nemá. Výsledek řešení: Rovnostranný trojúhelník má 3 osy souměrnosti Varianta A Varianta B Varianta C 1) Vyber velké tiskací písmeno z abecedy, které je osově souměrné, narýsuj ho a zvýrazni jeho osu, případně osy. (Výsl.:Např.A, D, M, V= 1 osa, X, O=2osy) 2) Sestroj kružnici a urči její počet os souměrností, narýsuj některé 3) Sestroj libovolný obdélník, urči jeho počet os a dané osy sestroj 4) Sestroj čtverec o straně a= 4 cm, urči jeho počet os a dané osy sestroj

38 38 Planimetrie Osová souměrnost Varianta B Narýsuj jakýkoliv obrázek osově souměrný a zvýrazni červeně jeho osu o Postup: Nejdříve si sestrojíme osu souměrnosti. Každý bod obrázku hned sestrojíme v osové souměrnosti podle této zvolené osy. Kružnici sestrojím tak, že sestrojím osově souměrný střed kružnice, poloměry těchto kružnic jsou shodné, potom tedy už jen sestrojím daný obraz kružnice. I případné barvy musí osově odpovídat. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Body, které leží na ose, se zobrazí samy na sebe, ostatní body sestrojíme podle uváděného postupu v úvodu kapitoly.. Jednotlivé body spolu na jednotlivých stranách správně hned spojujeme. Na závěr vybarvíme.

39 Planimetrie 39 1) Sestroj kružnici, a přímku, která nemá s kružnicí žádný společný bod. Danou kružnici sestroj v osové souměrnosti s osou souměrnosti o na kružnici. 2) Sestroj kružnici, a přímku, která má s kružnicí 1 společný bod. Danou kružnici sestroj v osové souměrnosti s osou souměrnosti o na kružnici. 3) Sestroj kružnici, a přímku, která má s kružnicí 2 společné body. Danou kružnici sestroj v osové souměrnosti s osou souměrnosti o na kružnici. 4) Sestroj úsečku AB a její osu

40 40 Planimetrie Osová souměrnost Varianta C Sestroj úsečku AB a mimo ni různoběžně osu o. Danou úsečku sestroj v osové souměrnosti s osou o. Pojmenuj ji A B Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:

41 Planimetrie 41 1) Sestroj úsečku MN a přímku o, která je různoběžná s úsečkou a má s ní 1 společný bod. V osové souměrnosti s osou o sestroj obraz úsečky AB a nazvi ji A B.Kolik bude samodruhých bodů? 2) Na přímce o zvol body A,B. Tyto body jsou krajními body úsečky AB. Tuto úsečku zobraz v osové souměrnosti s osou souměrnosti o na úsečku A B. 3) Čtverec KLMN zobraz v osové souměrnosti s osou souměrnosti na K L M N. 4) Pokus se napsat slovo osově souměrné (OKO,DEKO-vodorovná osa, AVA, OTO-svislá osa )

42 42 Planimetrie Kruh, kružnice Kruh je množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu (středu kruhu) vzdálenost menší nebo rovnu číslu r (poloměru kruhu). 2r = d = průměr kruhu. Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od daného bodu (středu kružnice) vzdálenost rovnu číslu r (poloměru kružnice). 2r = d = průměr kružnice..

43 Planimetrie 43

44 44 Planimetrie Vzájemná poloha kružnic: SS. = úsečka spojující středy dvou kružnic = středná é

45 vnější dotyk Planimetrie 45

46 46 Planimetrie Vzájemná poloha kružnice a přímky a) b) c) é tětiva = úsečka, která spojuje dva body na kružnici. Nejdelší možnou tětivou je průměr kružnice, tedy tětiva procházející středem kružnice. Délka kružnice: Obvod kruhu je délka kružnice, která ohraničuje kruh Obsah kruhu:

47 Planimetrie 47 jejího průměru. Ludolfovo číslo. Je to konstanta, která vyjadřuje poměr délky kružnice k délce tedy přibližná hodnota 3,14 Kruhový oblouk Délka kruhového oblouku

48 48 Planimetrie Kruhová výseč: Obsah kruhové výseče: Kruhová úseč:

49 Planimetrie 49 Mezikruží: Obsah mezikruží: Výseč mezikruží:

50 50 Planimetrie Kruh, kružnice Varianta A Kruh K(S. r= 2,8 cm), určete obvod a obsah kruhu. Výsledek řešení: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Sestrojte kružnici k (S, r=3 cm), sestrojte dva průměry k této kružnice AB, CD. V krajních bodech průměrů sestrojte tečny k dané kružnici. Průsečíky tečen popište P,Q,R,S. Co vzniklo? tverec PQRS 2) Je dána přímka p a bod S vzdálený od přímky p 3 cm. Jaký průměr musí mít kružnice se středem v bodě S, aby daná p byla a) vnější přímkou, b) tečnou, c) sečnou kružnice? 3) Dán kruh K(S, r=3,4 cm). Jaký je obsah čtvrtkruhu? 4) Dvě kružnice mají průměr 25 cm a 35 cm. Jaký je rozdíl délek těchto kružnic?

51 Planimetrie 51 Kruh, kružnice Varianta B Jaká je plocha kruhové podložky (zelená barva) s poloměrem 8,4 cm, z níž byl vystřižen kruh s průměrem5,4 cm? Viz. obr. Plocha podložky spočítáme rozdílem ploch většího a menšího kruhu. Výsledek řešení: Varianta A Varianta B Varianta C

52 52 Planimetrie Příklady k procvičení: 1) Strana čtverce je 16 cm. Ze dvou rohů je vykrojen čtvrtkruh. Určete zbylou plochu. S= střed strany čtverce. 2) Obsah kruhu je 3560, jaký je jeho průměr. 3) Kolikrát se zvětší a)obvod b) obsah kruhu, zvětší-li se jeho poloměr 14 krát? 4) Spočítejte obvod a plochu červeného obrazce

53 Planimetrie 53

54 54 Planimetrie Kruh, kružnice Varianta c Vypočítejte délku tětivy, která je na kružnici o průměru 14 cm vzdálená od středu 4 cm. Jaký je obsah kruhové výseče, kterou vytíná? cos délka tětivy Vypočítejte délku tětivy, která je na kružnici o průměru 14 cm vzdálená od středu 4 cm. Jaká je výška oblouku, který vytíná? Výsledek řešení: Tětiva =,

55 Planimetrie 55 Varianta A Varianta B Varianta C 1)? 2) é é? 3) Jaký je obsah mezikruží kružnice opsané a vepsané pravidelnému šestiúhelníku o straně 10 cm. 4) Kruhový záhon o průměru 12 m se má rozdělit soustřednou kružnicí na kruh a mezikruží o stejném obsahu.. Jaký je poloměr této kružnice?

56 56 Planimetrie Trojúhelník Trojúhelník a jeho konstrukce Mějme tři různoběžné přímky, které mají tři průsečíky. Trojúhelník = rovinný útvar ohraničený třemi úsečkami, z těchto průsečíků vzniklých viz. obr.1 -. Obr.1.:.. vrcholy.. strany ( červeně vnitřní úhly) Vedlejší úhly k vnitřním úhlům = vnější úhly (modře) Vnější úhel trojúhelníku je roven součtu dvou vnitřních úhlů u zbývajících vrcholů. Součet vnitřních úhlů = 180 Trojúhelníková nerovnost součet dvou stran musí být větší než strana třetí.

57 Planimetrie 57 Trojúhelník: a) Různostranný b) Rovnoramenný má dvě stejné strany (ramena),třetí se nazývá základna c) Rovnostranný má všechny strany stejné, těžnice jsou zároveň výškami, těžiště je zároveň průsečíkem výšek a zároveň středem kružnice jak opsané, tak vepsané. Trojúhelník: a) ostroúhlý má všechny úhly ostré b) pravoúhlý má 1 úhel pravý, dva úhly ostré c) tupoúhlý má 1 úhel tupý, dva ostré

58 58 Planimetrie Střední příčky = úsečky, které spoují středy stran trojúhelníku (viz.obr.2) = je rovnoběžná se stranou, kterou neprochází a její velikost je rovna polovině této stany. Obr.2.: Těžnice = úsečka spojující vrchol se středem protější strany. Průsečík těžnic = těžiště značíme T (obr.3). Těžiště dělí těžnice na dvě části v poměru kdy 1 díl je u strany a 2 díly u jeho vrcholu Obr.3.: Výšky = kolmice spuštěné z vrcholu na protější stranu. Průsečík přímek, na nichž výšky leží značíme V Poloha V ostroúhlý = uvnitř (obr4.) - pravoúhlý = ve vrcholu pravého úhlu (obr.5) - tupoúhlý = vně (obr.6)

59 Planimetrie 59 - obr.4.: obr.5.:

60 60 Planimetrie obr.6.: Kružnice trojúhelníku opsaná Prochází všemi vrcholy. Její střed=o je průsečíkem os stran daného trojúhelníku (obr. 7). Její poloměr. K sestrojení středu kružnice opsané stačí pouze dvě osy. Poloha středu kružnice trojúhelníku opsané uvnitř =ostroúhlý, na nejdelší straně (přeponě) = pravoúhlý, vně = tupoúhlý

61 Planimetrie 61 Obr. 7.: Obr. 8.

62 62 Planimetrie Obr. 9. Kružnice vepsaná (obr.9). Dotýká se všech tří stran trojúhelníku. Její střed je průsečík os vnitřních úhlů. K sestrojení středu stačí sestrojit pouze dvě osy. Poloměr kružnice vepsané = nejkratší vzdálenost nalezeného středu ke straně trojúhelníku (uděláme ze středu kolmice na jednotlivé strany, průsečíky těchto kolmic se stranami nám dají body dotyku kružnice s Obr.10. :.

63 Planimetrie 63 Trojúhelník a jeho konstrukce Varianta A Sestroj kružnici o poloměru 3 cm a narýsuj tři různé trojúhelníky tyk, aby byla tato kružnice trojúhelníku opsaná. Sestroj kružnici o poloměru 3 cm a narýsuj tři různé trojúhelníky tyk, aby byla tato kružnice trojúhelníku opsaná. Vzhledem k tomu, že opsaná kružnice prochází všemi vrcholy trojúhelníku, vždy na kružnici zvolíme tři body, které nám po spojení dají trojúhelník. Výsledek řešení: Řešením jsou Varianta A Varianta B Varianta C

64 64 Planimetrie Příklady k procvičení: 1) Sestroj libovolný trojúhelník ABC. Narýsuj trojúhelník PQR takový, aby AB, AC, BC byly střední příčky. 2) Sestroj Sestroj a změř těžnice. t cm t cm t cm 3) Sestroj Sestroj a změř výšky 4) Sestroj Sestroj mu kružnici opsanou a změř poloměr.

65 Planimetrie 65 Trojúhelník a jeho konstrukce Varianta B Sestroj libovolnou kružnici o menším poloměru. Sestroj dva trojúhelníky takové, aby tato kružnice byla těmto trojúhelníkům vepsaná. Sestroj libovolnou kružnici o menším poloměru. Sestroj dva trojúhelníky takové, aby tato kružnice byla těmto trojúhelníkům vepsaná. Vepsaná kružnice má s trojúhelníkem body dotyku na stranách trojúhelníku, a to tak, že strana je zároveň kolmá k poloměru kružnice k tomuto bodu sestrojenému. Tedy na kružnici zvolíme 3 body (body dotyku) např. X, Y, Z, body spojíme se středem kružnice a uděláme v nich kolmici na vzniklý poloměr. Průsečíky těchto kolmic = vrcholy. Úlohu ještě jednou opakujeme pro další trojúhelník. Výsledek řešení: Varianta A Varianta B Varianta C

66 66 Planimetrie Příklady k procvičení: 1) Sestroj Tomuto trojúhelníku sestroj těžnice změř je a poté změř, T = těžiště, kontrolu měření ověř výpočtem z naměřených těžnic. 2) Sestroj rovnostranný trojúhelník, Změř výšky, těžnice, poloměr kružnice opsané r, poloměr kružnice vepsané. 3) Sestroj Změř největší úhel. O jaký jde? 4) Výška Přičemž. O jaký trojúhelník se jedná?

67 Planimetrie 67 Trojúhelník a jeho konstrukce Varianta C Rovnostrannému trojúhelníku vepiš kružnici. Co vše je možné napsat o bodech dotyku? Rovnostrannému trojúhelníku vepiš kružnici. Co vše je možné napsat o bodech dotyku? Vzhledem k tomu, že v rovnostranném trojúhelníku je osa strany zároveň osou úhlu, zároveň na ní leží i výška i těžnice, jsou body dotyku - patami výšek - středy stran a tedy jedním krajním bodem těžnic - středy stran a tedy krajními body středních příček - leží na osách strany, úhlu Výsledek řešení: - patami výšek - středy stran a tedy jedním krajním bodem těžnic - středy stran a tedy krajními body středních příček - leží na osách strany, úhlu Varianta A Varianta B Varianta C

68 68 Planimetrie Příklady k procvičení: 1) V P itom vnit n hel je dv kr t v t ne vnit n hel Kolik m? 2) Poloměr kružnice vepsané rovnostrannému je 4,9 cm. Jaká je výška a poloměr kružnice opsané tohoto? 3) Vnitřní úhly 4) Poloměr kružnice opsané rovnostrannému je 6,8 cm. Jak dlouhou mé těžnici?

69 Planimetrie 69 Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku Čtyřúhelník: A,B,C,D vrcholy a,b,c,d strany AC = e ; BD = f - úhlopříčky - vnitřní úhly A) obecný: B) deltoid: odvození na konci kapitoly C) lichoběžník viz. kapitola Lichoběžník D) rovnoběžník =čtyřúhelníky, které mají protější strany shodné a rovnoběžné. - součet velikostí vnitřních úhlů je 360, sousední úhly tvoří úhlopříčky se vzájemně půlí. - průsečík úhlopříček je středem souměrnosti rovnoběžníku Rovnoběžníky : 1.Čtverec = 4 strany shodné a na sebe kolmé - Vnitřní úhly jsou shodné=90 - Lze mu vepsat (r= i opsat kružnici, středy mají tyto kružnice v průsečíku úhlopříček. - Úhlopříčky jsou shodné, jsou na sebe kolmé, půlí vnitřní úhel

70 70 Planimetrie 2.Obdélník = vedlejší strany na sebe kolmé, různě dlouhé. Úhlopříčky jsou shodné, nejsou na sebe kolmé, nepůlí vnitřní úhel Lze opsat kružnici: r=

71 Planimetrie 71 3.Kosočtverec =strany shodné, nejsou na sebe kolmé. Úhlopříčky jsou na sebe kolmé, nejsou shodné, půlí vnitřní úhel Lze vepsat kružnici, její střed =průsečík úhlopříček,, v= výška kosočtverce

72 72 Planimetrie 4.Kosodélník =vedlejší strany různě dlouhé, nejsou na sebe kolmé Úhlopříčky různě dlouhé, nejsou na sebe kolmé, nepůlí vnitřní úhel Nelze vepsat ani opsat kružnici -

73 Planimetrie 73 Odvození obsahu kosodélníku pomocí obsahu obdélníku: Obsah kosodélníku ABCD převedeme na obsah obdélníku XYCD tak,že uřezaný trojúhelník AXD přesuneme za stranu BC a tím dostaneme z kosodélníku ABCD obdélník XYCD, jejichž obsahy jsou shodné, obsah obdélníku už známe: S v. Podobný by byl postup při odvozování obsahu pomocí strany b, tedy S v. Odvození obsahu trojúhelníku pomocí obsahu kosodélníku: Je vidět, že S v S v S c v

74 74 Planimetrie Na tomto obrázku jsou sestrojeny 4 trojúhelníky- jejich obsahy jsou stejné, protože mají společnou stranu AB a shodnou výšku na stranu AB ( ). Odvození obsahu čtverce pomocí délek úhlopříček (platí i pro odvození obsahu deltoidu, kosočtverce) ( )

75 Planimetrie 75 S e f Pro obsah kosočtverce pomocí úhlopříček platí stejné odvození, tedy stejný vzorec: S Máme-li počítat obsah obecného čtyřúhelníku nebo jiného obrazce, daný obrazec si rozdělíme na útvary (například dva trojúhelníky), jejichž obsahy umíme spočítat známými vzorci.

76 76 Planimetrie Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku Varianta A Určete obsah deltoidu s úhlopříčkami. Výsledek řešení: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) V kosodélníku je Urči ostatní vnitřní úhly. 2) V kosočtverci je velikost jednoho vnitřního úhlu rovna Urči druhý úhel a jaký úhel svírají úhlopříčky daného kosočtverce. é 3) V obdélníku je strana a třikrát větší než strana b. Obvod obdélníku je 60 cm. Urči jeho obsah. 4) Obdélník má obsah 140, strana a má délku 20 cm. Urči jeho obvod. 5) a)strana kosočtverce je 8 cm. Jeho výška je 5 cm. Urči jeho obvod a obsah. b) Strana kosodélníku. Jeho výška je. Urči jeho 6) Urči obsah obvod a obsah.

77 Planimetrie 77 Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku Varianta B Sestrojte kosočtverec ABCD, je-li a=5cm, e= 8cm. Nejdříve sestrojíme podle věty sss, potom využijeme rovnoběžnost protějších stran. 1.Rozbor: 2. Popis konstrukce: Výsledek řešení: ve zvolené polorovině 1 řešení

78 78 Planimetrie Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Sestroj kosočtverec ABCD, je-li délka úhlopříček e=7 cm, f= 4 cm. 2) Sestroj kosočtverec ABCD, je-li dáno é 3) Sestroj kosodélník ADCD, je-li dáno. é 4) Sestroj kosodélník KLMN, je-li dáno é

79 Planimetrie 79 Čtyřúhelníky, rovnoběžníky, obsah trojúhelníku Varianta C Sestroj kosodélník ABCD, je-li dáno 1.Rozbor: 2. Popis konstrukce é 3. Závěr: Ve zvolené polorovině 2 řešení, protože výška kosodélníku je menší než strana b, tedy kružnice k bude mít s rovnoběžkou p dva společné body. Výsledek řešení: Ve zvolené polorovině 2 řešení

80 80 Planimetrie Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Sestroj kosodélník ABCD, je-li dáno 2) Sestroj kosočtverec ABCD, je-li dáno 3) Sestroj kosodélník ABCD, je-li dáno 4) Sestroj kosodélník ABCD, je-li dáno é é é

81 Planimetrie 81 Lichoběžník Lichoběžník je čtyřúhelník, který má dvě strany rovnoběžné (základny) a dvě strany různoběžné (ramena). Vzdálenost mezi základnami je výškou lichoběžníku. A,B,C,D vrcholy a,b,c,d strany AB, CD základny BC, AD ramena e = AC, f = BD úhlopříčky v výška Pravoúhlý lichoběžník - má 1 rameno kolmé na základny.

82 82 Planimetrie Rovnoramenný lichoběžník má shodná ramena lze mu opsat kružnici, jejíž střed je průsečíkem os stran a poloměrem je vzdálenost tohoto středu od vrcholů. Tento lichoběžník má osu souměrnosti, která je zároveň osami základen. Tato osa dělí rovnoramenný lichoběžník na dva pravoúhlé shodné lichoběžníky. Platí (tedy úhel, který svírají ramena s jednotlivými základnami, jsou shodné. Obvod lichoběžníku: o c d Obsah lichoběžníku: S Na obrázku je ukázka 4 lichoběžníků se stejným obsahem. Mají shodnou základnu a, stejnou výšku v a stejně velkou základnu c

83 Planimetrie 83 Lichoběžník Varianta A Jaký je obsah lichoběžníku se základnami a=8cm, c=6cm a výškou v=11cm? S c v Výsledek řešení: Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Urči obvod rovnoramenného lichoběžníku se základnami 13 cm a 0,4 dm a ramenem dlouhým 8cm. 2) Urči obvod lichoběžníku, jehož strany mají rozměr a=20cm, b=11cm, c=4cm, d=8cm. 3) Spočítej obvod a obsah znázorněného pravoúhlého lichoběžníku: 4) Vypočítej obsah lichoběžníku, je-li

84 84 Planimetrie Lichoběžník Varianta B Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno 1. Rozbor: 2. Popis konstrukce: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 3. Závěr: Ve zvolené polorovině 1 řešení Výsledek řešení: Ve zvolené polorovině 1 řešení Varianta A Varianta B Varianta C

85 Planimetrie 85 Příklady k procvičení: 1) Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno, é 2) Sestroj rovnoramenný lichoběžník ABCD se základnami AB a CD:. é 3) Sestroj pravoúhlý lichoběžník, je-li dáno é 4) Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno é

86 86 Planimetrie Lichoběžník Varianta C Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno a=11cm, b=7cm, c=3cm, d=6cm. 1. Rozbor: Je-li zadán lichoběžník 4 stranami, rozdělíme ho rovnoběžkou s ramenem BC tak, aby vznikl rovnoběžník (XBCD) a trojúhelník (AXD). Tedy zvolíme na straně AB bod X ve vzdálenosti od bodu B rovné velikosti strany c. Nejdříve sestrojíme AXD podle sss a na rovnoběžných základnách dorýsujeme ve vzdálenosti délky c body B a C. (samozřejmě je možné posouvat rameno AD rovnoběžně do bodu C). 2.Popis konstrukce: 1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 3.Závěr: Ve zvolené polorovině má úloha 1 řešení. Pokud by nebyla splněna trojúhelníková nerovnost v AXD, úloha by neměla řešení.

87 Planimetrie 87 Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno, v=4cm. é 2) Sestroj rovnoramenný lichoběžník ABCD, je-li dáno é é é é 3) Sestroj lichoběžník ABCD, je-li dáno, 4) Sestroj rovnoramenný lichoběžník ABCD, je-li dáno, é

88 88 Planimetrie Shodná zobrazení Shodná zobrazení v rovině Útvary v rovině, které bychom mohli přemístit tak, že by se kryly, jsou shodné (např. úsečky stejných velikostí, kružnice stejného poloměru, čtverce se shodnou stranou, ). O shodnosti trojúhelníků lze rozhodnout podle těchto vět: 1. sss jestliže se dva trojúhelníky shodují ve všech třech stranách, jsou shodné. 2. sus Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, jsou shodné. 3. usu Jestliže se dva trojúhelníky shodují v jedné straně a ve dvou úhlech k této straně přilehlých, jsou shodné. 4. Ssu Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu, který leží proti větší z nich, jsou shodné. Shodná zobrazení (= zobrazení, které zachová shodnost útvarů) = osová souměrnost, středová souměrnost, posunutí, otočení. Samodružný bod = bod, který se zobrazí sám na sebe. Útvar, který zobrazujeme, se nazývá vzor, útvar, který vzniká je obraz. Přímá shodnost = vzor lze pouze posunutím, otočením překrýt s obrazem. přímá shodnost přímá shodnost

89 Planimetrie 89 Nepřímá shodnost = aby se obraz se vzorem překryl, musíme jej zrcadlově převrátit nepřímá shodnost

90 90 Planimetrie Osová souměrnost - O(o) Je dána osou souměrnosti nebo dvojicí odpovídajících si bodů (vzor-obraz). Samodružných bodů je nekonečně mnoho osa osové souměrnosti (body na ose se zobrazí samy na sebe) Nepřímá shodnost Obraz bodu X: : 5. Z bodu X sestrojíme kolmici na osu o 6. Průsečík této kolmice s osou = P 7. Kružítko zabodnu do bodu P, nastavím poloměr r= XP a přenesu tento poloměr (tuto vzdálenost od osy o) na polopřímku opačnou k PX. přehodím bod X přes osu na druhou stranu 8. Ve stejné vzdálenosti od osy o jako je bod X (vzor) dostávám bod Y (obraz).

91 Planimetrie 91 Některé útvary mají jednu nebo více os souměrnosti: úsečka = 1 osa souměrnosti, obdélník = 2 osy souměrnosti, čtverec = 4 osy souměrnosti, kruh = nekonečně mnoho os souměrnosti, takovým útvarům říkáme osově souměrné Jestliže máme v osové souměrnosti zobrazovat obrazce, zobrazujeme jejich jednotlivé vrcholy = body (výše uvedeným způsobem) a potom spojíme. Je dobré body okamžitě popisovat a zároveň dodržovat jejich pořadí při popisu. např. zápisem rozumíme : v osové souměrnosti O s osou souměrnosti p zobraz trojúhelník ABC na trojúhelník KLM, přičemž bod A se zobrazí na K, bod B na L, bod C na M.

92 92 Planimetrie v(a,p)=v(k,p), v(b,p)=v(l,p), v(c,p)=v(m,p) (body vzor-obraz mají stejnou vzdálenost od osy p).

93 Planimetrie 93 Středová souměrnost - S(S) Je dána středem souměrnosti nebo dvojicí odpovídajících si bodů (vzor-obraz). Má 1 samodružný bod = střed souměrnosti. Nepřímá shodnost Obraz bodu X: : 1. Bod X spojím se středem souměrnosti 2. Kružítko zabodnu do bodu S, nastavím poloměr r= XS a nanesu tento poloměr (tuto vzdálenost od středu souměrnosti) na polopřímku opačnou k polopřímce SX. přehodím bod X přes střed souměrnosti na druhou stranu 3. Ve stejné vzdálenosti od středu souměrnosti o jako je bod X (vzor) dostávám bod Y (obraz).

94 94 Planimetrie Útvary, které mají střed souměrnosti se nazývají středově souměrné útvary. Jsou jimi např. úsečka (S=střed úsečky), obdélník (S=průsečík úhlopříček), kružnice (S= střed kružnice) Př. BS,

95 Planimetrie 95 Posunutí - P( ) neboli translace - T( ) ( bod A je počátečním bodem orientované úsečky a bod B jejím bodem koncovým) Posunutí je tedy dáno orientovanou úsečkou, tedy úsečkou, která má směr a velikost nebo je dáno dvojicí odpovídajících si bodů (vzor-obraz). Nemá bod samodružný. Přímá shodnost.

96 96 Planimetrie Obraz bodu X: Rotace (otáčení) Je dáno středem otáčení (tedy bodem, kolem něhož se budou útvary otáčet), velikostí otáčení (tedy velikostí úhlu, o jaký objekt otočíme)a jeho orientací (+nebo -) nebo dvojicí odpovídajících si bodů (vzor-obraz) a středem otáčení. Rotace má 1 samodružný bod střed rotace Přímá shodnost.

97 Planimetrie 97 Obraz bodu X: 1. Bod X (vzor) spojíme se středem rotace. Tím dostáváme rameno úhlu rotace. 2. Na rameno naneseme úhel rotace (+= proti směru hodinových ručiček, - =ve směru hodinových ručiček) 3. Na nové rameno naneseme obraz Y ve stejné vzdálenosti od středu rotace, jako je vzor X ( nejlépe kružítkem)

98 98 Planimetrie Shodná zobrazení v rovině Varianta A V osové souměrnosti, vzdálenost S od osy je a) větší než r b) rovna r c) menší než r, d) nulová. Kolik bude samodružných bodů? a) b) c) d) Stačil zobrazit v osové souměrnosti střed kružnice, protože jde o shodné zobrazení, tedy poloměr zůstává stejný. Výsledek řešení:samodružných bodů a) 0, b) 1, c) 2, d) nekonečně mnoho, kružnice se zobrazila sama na sebe = identita

99 Planimetrie 99 Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Narýsuj libovolnou úsečku AB.. Řeš.: 2) S P k S r l r P k

100 100 Planimetrie 3) Libovolný čtverec ABCD.. Popiš samodruhé body. 4).

101 Planimetrie 101 Shodná zobrazení v rovině Varianta B Sestroj libovolný trojúhelník ABC a uvnitř něho bod M. Výsledek řešení:

102 102 Planimetrie Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Sestroj rovnostranný.

103 Planimetrie 103 2) Sestroj libovolný pravidelný šestiúhelník a narýsuj jeho osy souměrnosti a středy souměrnosti. Kolik jich je? 3) Sestroj libovolný lichoběžník KLMN,

104 104 Planimetrie 4), kde ABCD je čtverec o straně 4 cm

105 Planimetrie 105 Shodná zobrazení v rovině Varianta C Rovnostranný Je nutné hned popisovat zobrazené body. Nejdříve se provede rotace a dostáváme jeho obraz, poté se tento obraz stává vzorem pro středovou souměrnost podle bodu T a dostáváme obraz:

106 106 Planimetrie Výsledek řešení Varianta A Varianta B Varianta C

107 Planimetrie 107 Příklady k procvičení: 1) Pravidelný sedmiúhelník ABCDEF. 2) Libovolný nekonvexní pětiúhelník KLMNO.

108 108 Planimetrie 3) Obdélník ABCD: 4) Libovolný pětiúhelník ABCDE:

109 Planimetrie 109 Shodnost a podobnost útvarů Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti O shodnosti trojúhelníků lze rozhodnout podle těchto vět: 5. sss jestliže se dva trojúhelníky shodují ve všech třech stranách, jsou shodné. 6. sus Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu jimi sevřeném, jsou shodné. 7. usu Jestliže se dva trojúhelníky shodují v jedné straně a ve dvou úhlech k této straně přilehlých, jsou shodné. 8. Ssu Jestliže se dva trojúhelníky shodují ve dvou stranách a úhlu, který leží proti větší z nich, jsou shodné. Podobnost Dva rovinné útvary jsou podobné, jestliže jsou si rovny poměry délek všech párů sobě odpovídajících si úseček. Tento poměr podobnosti = k. Jestliže (shodnost je zvláštní případ podobnosti) Podobnost trojúhelníků: sss: Dva jsou si podobné, jsou-li rovny poměry délek každých dvou odpovídajících si stran. podle věty sss. uu: Dva jsou si podobné, shodují-li se ve dvou vnitřních úhlech (stačí uvádět ve dvou, protože i třetí odpovídá shodnosti, je doplňkem do 180 ). podle věty uu. Sus: Dva jsou si podobné, shodují-li se v poměru délek dvou odpovídajících si stran a v úhlu těmito stranami sevřeným. podle věty sus. Dva rovnoramenné trojúhelníky jsou si podobné, shodují-li se v úhlu při hlavním vrcholu (sus). Užití podobnosti k úpravě geometrických útvarů v daném poměru (jejich zmenšování nebo zvětšování) nebo dělení úsečky v daném poměru:

110 110 Planimetrie Danou úsečku AB, AB =4,6 cm upravte v poměru 5:3. Sestrojíme pomocné rameno, na které naneseme stejně dlouhé dílky (obvykle 1cm). Poměrk, tedy jde o zvětšení. Úsečka zvětší svoji délku. My ale nebudeme řešit početně, to může pouze sloužit pro kontrolu, ale graficky danou úsečku AB upravíme (zvětšíme) na úsečku. Koncový bod úsečky(b) spojíme s koncem 3.dílu, z 5. dílu uděláme rovnoběžku. Kde tato rovnoběžka protne prodlouženou úsečku AB, tam dostaneme bod, Danou úsečku AB, rozdělte na dvě části,aby jejich délky byly v poměru 2:3.

111 Planimetrie 111 Máme úsečku rozdělit na dva díly v poměru 2:3. Rozdělíme pomocné rameno na 5 stejných dílků, aby se dobře zachoval poměr (2+3=5). První díl má být menší (musí být zachováno pořadí čísel), tedy 2, druhý delší, tedy 3. Popíšeme body na pomocném rameni odpovídajícími čísly odpovídajícími čísly. Celá úsečka AB je součtem jednotlivých členů poměru, Z 5ky sestrojíme úsečku do koncového bodu zadané úsečky. A potom rovnoběžkou z 2ky dostaneme bod (X), který zadanou úsečku dělí v daném poměru. Libovolný zmenšete v poměru 1:4. Zmenšíme v poměru jednu jeho stranu, v našem případě stranu KL, dostaneme bod L. Velikost úhlu se nemění, rovnoběžkou z bodu L se stranou LM dostaneme M. Hledaný trojúhelník je K L M

112 112 Planimetrie Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti Varianta A Libovolnou úsečku AB zmenši v poměru 1:5 Libovolnou úsečku AB zmenšit v poměru 1:5 znamená, že celá úsečka je 5 dílů stejně dlouhých libovolně navolených na pomocném rameni, nová má být pětinou, tedy jedním dílem. Pátý díl na pomocném rameni spojíme s koncovým bodem úsečky, 1-kou vedeme potom rovnoběžku s touto spojnicí. Dostaneme B. A B je výsledná hledaná úsečka. Výsledek řešení:

113 Planimetrie 113 Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Trojúhelníky jsou si podobné. k = poměr podobnosti. Doplňte na místo * : a) b) 2) a) Úsečku KL dlouhou 8cm upravte v poměru 3:4. Změřte výslednou úsečku b) Úsečku AB dlouhou 12 cm rozděl na dvě části v poměru 2:7. Změřte její delší díl. 3) Vyjmenujte aspoň tři rovinné útvary, které jsou podobné, aniž známe jejich rozměry. é 4) Úsečku AB upravte v poměru 3:1. Co jste zjistili o délce výsledné úsečky?

114 114 Planimetrie Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti Varianta B Stín tyče dlouhé 1,5 m měří 4m. Jak vysoký je strom, jestliže je jeho stín dlouhý 18 m? Jde o podobné trojúhelníky podle věty sus (délka stínu, pravý úhel mezi zemí a stromem nebo tyčí, výška stromu nebo tyče). Poměr podobnosti Výška stromu Strom je vysoký 6,75 m. é é Výsledek řešení: Strom je vysoký 6,75 m.

115 Planimetrie 115 Varianta A Varianta B Varianta C Příklady k procvičení: 1) Ttrojúhelník ABC: Upravte v poměru 5:3. Kolikrát se zvětší jeho obvod? 2) Pro délky úseček a, b platí : a:b = 3:5, a+b = 16 cm. Jaké jsou rozměry úseček? 3) Narýsujte obdélník ABCD, a=9cm, b= 4 cm. Sestrojte obdélník KLMN tak, aby poměr úhlopříček AC:KM byl 3:2. é 4) Silnice stoupá na každých 5 metrech o 80cm. Jaké bude převýšení po 254 m?

116 116 Planimetrie Shodnost a podobnost trojúhelníků, využití podobnosti Varianta C Libovolnou úsečku AB rozděl na tři úsečky tak, aby se z nich dal sestrojit pravoúhlý trojúhelník. V pravoúhlém trojúhelníku je jeden z možných poměrů stran 3:4:5 (Pythagorejský ). Tímto poměrem tedy rozdělíme naši úsečku. Koncový bod pomocného ramene, na němž jsou úsečky v poměru 3:4:5 spojíme s koncovým bodem úsečky. Potom už jen rovnoběžkami z bodů na pomocném rameni dostaneme body X a Y, které nám úsečku dělí v potřebném poměru. Výsledek řešení: Varianta A Varianta B Varianta C

117 Planimetrie 117 1) Ze dvou podobných trojúhelníků má první obvod 150 cm a druhý strany dlouhé 19 cm, 17 cm a 14 cm. Určete délky stran trojúhelníku prvního. 2) Dokažte, že obvody dvou podobných trojúhelníků mají týž poměr, jako délky stran těchto trojúhelníků ležící proti shodným úhlům. 3) Úsečku dlouhou 13,2 cm rozdělte na 7 shodných dílů é 4) Poměr podobnosti 1. a 2. Trojúhelníku je, poměr podobnosti 1. a 3. Trojúhelníku je Jaký je poměr podobnosti 1. a 2.?

118 118 Planimetrie Množiny bodů dané vlastnosti. Vzdálenost bodu od přímky měříme na kolmici z bodu (X) k dané přímce p (je to tedy nejkratší možná vzdálenost bodu od přímky ( ). Osa úsečky (o)= množina bodů roviny, které mají od krajních bodů úsečky (A, B) stejnou vzdálenost: Rovnoběžka p1, p1 = množina bodů roviny, která má od dané přímky p vzdálenost rovnu a. Pás = množina bodů roviny, která má od dané přímky p vzdálenost menší nebo rovnu a.

119 Planimetrie 119 Kružnice = množina bodů roviny, která má od daného bodu S vzdálenost rovnu r (obr.1). Kruh = množina bodů roviny, která má od daného bodu S vzdálenost menší nebo rovnu r (obr.2). Obr.1 Obr.2 Mezikruží = množina bodů roviny, která má od daného bodu S vzdálenost větší nebo rovnu r2 a zároveň vzdálenost menší nebo rovnu r1.

120 120 Planimetrie Osa úhlu, který má ramena na různoběžkách a, b a vrchol v jejich průsečíku V = množina bodů roviny, které mají od různoběžek a, b stejnou vzdálenost. Thaletova kružnice= množina všech vrcholů C pravoúhlých trojúhelníků sestrojených nad přeponou AB (kromě bodů A,B). Thaletova věta Jestliže leží vrchol C na kružnici k s průměrem AB, potom je trojúhelník ABC pravoúhlý s přeponou AB.

121 Planimetrie 121 Používané symboly v planimetrii

122 122 Planimetrie

123 Planimetrie 123 Množiny bodů dané vlastnosti Varianta A Sestrojte množinu bodů, které mají od bodu P vzdálenost rovnu 2,5 cm. na kružnici se středem P a poloměrem 2,5 cm. Body, které mají od bodu P vzdálenost 2,5 cm leží Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení: Příklady k procvičení: 1) Určete množinu bodů, které mají od přímky f vzdálenost 4 cm. 2) Najděte 5 bodů, které mají stejnou vzdálenost od krajních bodů úsečky AB, 3) Máme úhel KLM,, najděte 4 body, které mají od ramen úhlu stejnou vzdálenost. 4) Najděte 5 bodů, které mají od přímky p vzdálenost menší nebo rovnu 2,2 cm.

124 124 Planimetrie Množiny bodů dané vlastnosti Varianta B Sestrojte množiny bodů, které mají od bodu S vzdálenost větší neš 3 cm. Body, které mají od bodu S vzdálenost rovnu 3cm leží na, body, které mají od S vzdálenost větší nebo rovnu této vzdálenosti, leží na této kružnici nebo vně. Na obrázku je tato množina znázorněna zelenou barvou. Jedná se tedy o kružnici k a její vnější oblast. Varianta A Varianta B Varianta C Výsledek řešení:

125 Planimetrie 125 Příklady k procvičení: 1) Určete množinu bodů, které mají od bodu A vzdálenost menší než 5 cm. 2) Určete množinu bodů, které mají od krajního bodu A úsečky AB vzdálenost větší než od bodu B. 3) Určete množinu bodů, které mají od bodu M vzdálenost větší než 2cm a menší nebo rovnu 4 cm. 4) Určete množinu bodů, které mají od přímky q vzdálenost větší jak 1,7 cm.

126 126 Planimetrie Množiny bodů dané vlastnosti Varianta C Najděte všechny body, které mají od krajních bodů úsečky AB stejnou vzdálenost a zároveň tvoří s body A, B vrcholy pravoúhlého trojúhelníku s pravým úhlem u hledaného vrcholu. Hledané body musí ležet na ose úsečky AB, aby měly od bodů A, B stejnou vzdálenost. Aby hledaný bod byl vrcholem trojúhelníku s pravým vnitřním úhlem u tohoto vrcholu, musí ležet na Thaletově kružnici s přeponou AB. Průnikem těchto dvou množin získáme hledané body. Výsledek řešení: Úloha má dvě řešení, jedná se o body C1, C2: Varianta A Varianta B Varianta C k= Thaletova kružnice nad AB, o=osa AB

127 Planimetrie 127 Příklady k procvičení: 1) Najděte body C, které mají od úsečky AB, vzdálenost 3cm a tvoří s body A, B vrcholy pravoúhlého trojúhelníku s pravým úhlem u bodu C. Rozeberte počet řešení vzhledem k zadanému rozměru úsečky AB. 2) Najděte body, které mají od krajního bodu A úsečky AB, vzdálenost 3 cm a od středu této úsečky vzdálenost 4 cm. 3) Najděte body, které mají od krajního bodu A úsečky AB: vzdálenost 3cm a od této úsečky mají vzdálenost 4 cm. 4) Najděte body, které mají od různoběžek a,b stejnou vzdálenost rovnu 1 cm. é é

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách. Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách. Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ

Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ Přehled učiva matematiky 7. ročník ZŠ I. ARITMETIKA 1. Zlomky a racionální čísla Jestliže rozdělíme něco (= celek) na několik stejných dílů, nazývá se každá část celku zlomkem. Zlomek tři čtvrtiny = tři

Více

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz.

Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X se nazývá obraz. 7. Shodná zobrazení 6. ročník 7. Shodná zobrazení 7.1. Shodnost geometrických obrazců Zobrazení v rovině je předpis, který každému bodu X roviny připisuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY

O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY O P A K O V Á N Í A P R O H L O U B E N Í U I V A O J E D N O D U C H Ý C H K O N S T R U K C Í C H 1,5 HODINY Díve, než spolen pikroíme k uivu o množinách bod, pokusíme se zopakovat nkteré jednoduché

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha.

Geometrické těleso je prostorově omezený geometrický útvar. Jeho hranicí, povrchem, je uzavřená plocha. 18. Tělesa řezy, objemy a povrchy, (řez krychle, kvádru, jehlanu, objemy a povrchy mnohostěnů, rotačních těles a jejich částí včetně komolých těles, obvody a obsahy mnohoúhelníků, kruhu a jeho částí) Tělesa

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek) Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny

Více

Polibky kružnic: Intermezzo

Polibky kružnic: Intermezzo Polibky kružnic: Intermezzo PAVEL LEISCHNER Pedagogická fakulta JU, České Budějovice Věta 21 z Archimedovy Knihy o dotycích kruhů zmíněná v předchozím dílu seriálu byla inspirací k tomuto původně neplánovanému

Více

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie

Více

Zapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r.

Zapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r. 7. Kruh, kružnice, válec 7. ročník - 7. Kruh, kružnice, válec 7.1 Kruh, kružnice 7.1.1. Základní pojmy Kružnice je množina bodů mající od daného bodu stejnou vzdálenost. Daný bod označujeme jako střed

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Základní škola Moravský Beroun, okres Olomouc

Základní škola Moravský Beroun, okres Olomouc Charakteristika vyučovacího předmětu matematika Vyučovací předmět má časovou dotaci čtyři hodiny týdně v prvním ročníku, pět hodin týdně ve druhém až pátém ročníku, pět hodin týdně v šestém ročníku a čtyři

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Základní pojmy Body průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny A = B bod A je totožný (splývá) s bodem B A B různé body A, B Přímka je dána dvěma

Více

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Trojúhelník V. kružnice vepsaná a opsaná. konstrukce kružnice vepsaní a opsané trojúhelníku

Svobodná chebská škola, základní škola a gymnázium s.r.o. Trojúhelník V. kružnice vepsaná a opsaná. konstrukce kružnice vepsaní a opsané trojúhelníku METODICKÝ LIST DA39 Název tématu: Autor: Předmět: Ročník: Metody výuky: Formy výuky: Cíl výuky: Získané dovednosti: Stručný obsah: Trojúhelník V. kružnice vepsaná a opsaná Astaloš Dušan Matematika šestý

Více

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

Shodné zobrazení v rovině

Shodné zobrazení v rovině Gymnázium Cheb Shodné zobrazení v rovině seminární práce Cheb, 2007 Lojza Tran Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Shodné zobrazení v rovině vypracoval zcela sám za použití pramenů

Více

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku.

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku. Mnohoúhelníky Je dáno n různých bodů A 1, A 2,. A n, z nichž žádné tři neleží na přímce. Geometrický útvar tvořený lomenou čarou a částí roviny touto čarou ohraničenou nazýváme n-úhelníkem A 1 A 2. A n.

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.3476 Název materiálu: VY_42_INOVACE_181 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

Shodná zobrazení Zobrazení Z v rovin shodné zobrazení nep ímou shodnost shodnost p ímou

Shodná zobrazení Zobrazení Z v rovin shodné zobrazení nep ímou shodnost shodnost p ímou Shodná zobrazení Zobrazení Z v rovině je předpis, který každému bodu X roviny přiřazuje právě jeden bod X roviny. Bod X se nazývá vzor, bod X jeho obraz; zapisujeme Z: X X. Zobrazení v rovině je shodné

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

GEOMETRIE S DIDAKTIKOU II.

GEOMETRIE S DIDAKTIKOU II. GEOMETRIE S DIDAKTIKOU II. Vlastimil Chytrý, Jana Prchalová UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Mgr. Vlastimil Chytrý Ing. Jana Prchalová 2013 Univerzita J. E. Purkyně

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více

Přípravný kurz - Matematika

Přípravný kurz - Matematika Přípravný kurz - Matematika Téma: Konstrukční úlohy Klíčová slova: rozbor, náčrt, popis, diskuse počtu řešení, kružnice opsaná a vepsaná Autor: trojúhelníku Mlynářová 1 Kontrukční úlohy Výsledkem tzv.

Více

Vyučovací předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu

Vyučovací předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět: Matematika Školní vzdělávací program pro základní vzdělávání Základní školy a mateřské školy Dobrovice Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu

Více

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, 518 01 Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE - 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 6.

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, 518 01 Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE - 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 6. 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 6. ročník RVP ZV Obsah RVP ZV Kód RVP ZV Očekávané výstupy ŠVP Školní očekávané výstupy ŠVP Učivo ČÍSLO A PROMĚNNÁ M9101 provádí

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí

MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí Úhel a jeho velikost: MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí 26A Převeď na stupně a minuty: 126 = 251 = 87 = 180 = 26B Převeď na stupně a minuty: 92 = 300 = 146 = 248 = 27A Převeď na minuty: 3 0 = 1 0 25 =

Více

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º) 6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,

Více

Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků

Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků Geodézie přednáška 9 Určování výměr Srážka mapového listu Výpočet objemů Dělení pozemků Ústav geoinformačních technologií Lesnická a dřevařská fakulta ugt.mendelu.cz tel.: 545134015 Určování výměr určování

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

Základy geometrie - planimetrie

Základy geometrie - planimetrie Základy geometrie - planimetrie Základní pojmy - bod (A, B, X, Y...), přímka ( p, q, a... ), rovina ( α, β, π... ) - nedefinují se Polopřímka: bod dělí přímku na dvě polopřímky opačně orientované značíme

Více

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň

MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu 2. stupeň Obsahové, časové a organizační vymezení Předmět Matematika se vyučuje jako samostatný předmět v 6. až 8. ročníku 4 hodiny týdně, v 9. ročníku 3

Více

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách.

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách. ŠROUBOVÉ PLOCHY 1. Základní úlohy na šroubových plochách. Šroubová plocha Φ vzniká šroubovým pohybem křivky k, která není trajektorií daného šroubového pohybu. Je-li pohyb levotočivý (pravotočivý je i

Více

GEOMETRIE. Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

GEOMETRIE. Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti GEOMETRIE pracovní sešit pro 6. ročník Projekt byl podpořen z Evropského sociálního fondu. Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Tato publikace byla vytvořena v souladu s RVP ZV v rámci projektu

Více

Doučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy

Doučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Doučování sekunda měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Desetinná čísla Krychle a kvádr Prvočísla a čísla složená Společný násobek a dělitel Prvočísla a čísla složená Trojúhelník

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechny dvojice prvočísel p, q, pro které existuje přirozené číslo a takové, že pq p + q = a + 1 a + 1. 1. Nechť p a q jsou prvočísla. Zjistěte, jaký

Více

PŘEDMĚT: Matematika Ročník: 1. Výstup z RVP Ročníkový výstup Doporučené učivo Průřezová témata

PŘEDMĚT: Matematika Ročník: 1. Výstup z RVP Ročníkový výstup Doporučené učivo Průřezová témata PŘEDMĚT: Matematika Ročník: 1. Výstup z RVP Ročníkový výstup Doporučené učivo Průřezová témata číslo a početní operace 1. používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Kružnice Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr

Více

3. Mocnina a odmocnina. Pythagorova věta

3. Mocnina a odmocnina. Pythagorova věta . Mocnina a odmocnina. Pythagorova věta 7. ročník -. Mocnina, odmocnina, Pythagorovavěta.. Mocnina... Vymezení pojmu Součin stejných činitelů můţeme napsat v podobě mocniny. Například : součin...... můţeme

Více

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie)

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Geometrie (původně zeměměřictví) nyní část matematiky, zabývající se studiem geometrických objektů Planimetrie rovinná geometrie Stereometrie prostorová geometrie

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SHODNÁ

Více

SBÍRKA ŘEŠENÝCH ÚLOH Z GEOMETRIE

SBÍRKA ŘEŠENÝCH ÚLOH Z GEOMETRIE Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Katedra matematiky SBÍRKA ŘEŠENÝCH ÚLOH Z GEOMETRIE BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vedoucí práce Mgr. Roman Hašek, Ph.D. Vypracovala Lucie Kuklová duben

Více

MATEMATIKA / 1. ROČNÍK. Strategie (metody a formy práce)

MATEMATIKA / 1. ROČNÍK. Strategie (metody a formy práce) MATEMATIKA / 1. ROČNÍK Učivo Čas Strategie (metody a formy práce) Pomůcky Numerace v oboru do 7 30 pokládání koleček rozlišování čísel znázorňování kreslení a představivost třídění - číselné obrázky -

Více

DIDAKTIKA MATEMATIKY

DIDAKTIKA MATEMATIKY DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body

Více

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností.

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Metody řešení konstrukčních úloh: množinou bodů zobrazením výpočtem kombinací předchozích způsobů Konstrukční

Více

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v

Více

VY_32_INOVACE_04_Shodnost trojúhelníků -věta sss_02. Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace

VY_32_INOVACE_04_Shodnost trojúhelníků -věta sss_02. Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace VY_32_INOVACE_04_Shodnost trojúhelníků -věta sss_02 Autor: Růžena Krupičková Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace Název projektu: Zkvalitnění ICT ve slušovské škole Číslo

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti) Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ

Více

5. Konstrukční planimetrické úlohy

5. Konstrukční planimetrické úlohy 5 Konstrukční planimetrické úlohy 5.1 Řešení konstrukčních úloh 5. Konstrukční planimetrické úlohy Konstrukční úlohou rozumíme úlohu, ve které je požadováno sestrojení jistého geometrického útvaru (alespoň

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

P ř e d m ě t : M A T E M A T I K A

P ř e d m ě t : M A T E M A T I K A 04-ŠVP-Matematika-P,S,T,K strana 1 (celkem 11) 1. 9. 2014 P ř e d m ě t : M A T E M A T I K A Charakteristika předmětu: Matematika vytváří postupným osvojováním matematických pojmů, útvarů, algoritmů a

Více

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 7. 4 Klíčové kompetence. Opakování 6.

A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 7. 4 Klíčové kompetence. Opakování 6. A B C D E F 1 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace 2 Vzdělávací obor: Matematika 3 Ročník: 7. 4 Klíčové kompetence Výstupy Učivo Průřezová témata Evaluace žáka Poznámky (Dílčí kompetence) 5 Kompetence

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

- zvládá orientaci na číselné ose

- zvládá orientaci na číselné ose Příklady možné konkretizace minimální doporučené úrovně pro úpravy očekávaných výstupů v rámci podpůrných opatření pro využití v IVP předmětu Matematika Ukázka zpracována s využitím školního vzdělávacího

Více

Přijímačky nanečisto - 2011

Přijímačky nanečisto - 2011 Přijímačky nanečisto - 2011 1. Vypočtěte: 0,5 2 + (-0,5) 2 (- 0,1) 3 = a) 0,001 b) 0,51 c) 0,499 d) 0,501 2. Vypočtěte: a) 0,4 b) - 0,08 c) 2 3 d) 2 3. Určete číslo s tímto rozvinutým zápisem v desítkové

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometire Gradovaný řetězec úloh Téma: obsahy a obvody mnohoúhelníků, grafy funkcí s absolutní

Více

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY Základní geometrické pojmy jsou bod, přímka a rovina. Geometrie je chápána jako část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Body určujeme jako průsečíky

Více

ROVINNÁ GEOMETRIE. Klasická úloha na obvodové a středové úhly v kružnici. ŘEŠENÍ:

ROVINNÁ GEOMETRIE. Klasická úloha na obvodové a středové úhly v kružnici. ŘEŠENÍ: ROVIÁ GEOETRIE.. Vypočítej veliosti všech vnitřních úhlů tětivového čtyřúhelníu a veliosti úhlů sevřených jeho úhlopříčami. Vrcholy čtyřúhelníu leží v bodech, teré na obvodu ciferníu hodin znázorňují údaje,,,.

Více

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem

od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem Kružnice Kružnice je množina všech bodů roviny, které mají od zadaného bodu, vzdálenost. Bod je střed, je poloměr kružnice. Délka spojnice dvou bodů kružnice, která prochází středem je průměr kružnice.

Více

Tematický plán pro školní rok 2015/2016 Předmět: Matematika Vyučující: Mgr. Jitka Vlčková Týdenní dotace hodin: 5 hodin Ročník: čtvrtý

Tematický plán pro školní rok 2015/2016 Předmět: Matematika Vyučující: Mgr. Jitka Vlčková Týdenní dotace hodin: 5 hodin Ročník: čtvrtý ČASOVÉ OBDOBÍ Září KONKRÉTNÍ VÝSTUPY KONKRÉTNÍ UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA porovnává přirozená čísla v oboru do zaokrouhluje čísla na desítky a stovky provádí zpaměti jednoduché početní operace řeší a tvoří

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem

Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem Úlohy MO z let 1994 2012 navržené dr. Jaroslavem Švrčkem 1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A T B), aby platilo P BCS =

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ

Více

Jak připravíme animovaný model a využijeme grafické zvýraznění

Jak připravíme animovaný model a využijeme grafické zvýraznění Jak připravíme animovaný model a využijeme grafické zvýraznění Ukázka 4.1 Geometrie Stopa objektu Osová souměrnost a stejnolehlost Sestrojíme modely, které budou demonstrovat vlastnosti shodných a podobných

Více

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013 ZÁKLADY PLANIMETRIE Planimetrie je část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Těmito útvary v rovině jsou: 1. body - značí se velkými písmeny latinské abecedy (A, B, C, D,

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika. Planimetrie. Trojúhelníky. Teorie a příklady.

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor. Matematika. Planimetrie. Trojúhelníky. Teorie a příklady. Číslo projektu Z.1.07/1.5.00/34.0743 Název školy Moravské gymnázium rno s.r.o. utor Tematická oblast Mgr. Marie hadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Planimetrie. Trojúhelníky. Teorie a příklady. Ročník

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ..07/.5.00/4.080 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/ Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více