Skripta do matematiky k maturitě 1 30

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Skripta do matematiky k maturitě 1 30"

Transkript

1 Skripta do matematiky k maturitě 1 30 IgMen igmen.wz.cz 008

2 Obsah 1 Výroková logika Základní logické spojky Kvantifikované výroky...5 Množiny operace, intervaly Absolutní hodnota reálného čísla...7. Intervaly Algebraické výrazy práce s mnohočleny, algebraické vzorce Mnohočleny Algebraické rovnice Lomené výrazy Mocniny a odmocniny Mocniny Odmocniny Lineární funkce, lineární rovnice Lineární funkce Lineární rovnice Lineární rovnice s parametrem, s absolutní hodnotou Lineární rovnice s parametrem Lineární rovnice s absolutní hodnotou Soustava lineárních rovnic rovnice o neznámých Frobeniova věta Cramerova metoda rovnice o 3 neznámých Lineární nerovnice, soustava lineárních nerovnic o jedné neznámé Lineární nerovnice Soustava lineárních nerovnic o jedné neznámé Maticový počet, operace s maticemi, hodnost, determinant Typy matic Operace s maticemi Hodnost matice Determinanty Kvadratické funkce Kvadratická rovnice metody řešení Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou Kvadratické nerovnice Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou Iracionální rovnice Shodná zobrazení konstrukční úlohy Shodnost trojúhelníku Podobná zobrazení konstrukční úlohy Podobnost trojúhelníku Stejnolehlost Pythagorova a Eukleidovy věty konstrukční úlohy Eukleidova věta o výšce Eukleidova věta o odvěsně Pythagorova věta Obvody a obsahy rovinných obrazců Polohové a metrické vztahy základních geometrických útvarů v prostoru Stereometrie...60

3 19. Polohové vztahy Řezy Průsečnice rovin Metrické vztahy Povrchy a objemy těles Goniometrické funkce Orientovaný úhel Definice goniometrických funkcí Hodnoty goniometrických funkcí základních úhlů pomocí úhlu ostrého Určení goniometrických funkcí libovolného orientovaného úhlu Grafy goniometrických funkcí Vlastnosti goniometrických funkcí Harmonická funkce...77 Řešení pravoúhlého trojúhelníku Úpravy výrazů s goniometrickou funkcí užitím vzorců Goniometrické rovnice Řešení obecného trojúhelníku Sinova věta Kosinova věta Komplexní číslo pojem, algebraický tvar, operace Algebraický tvar komplexního čísla Geometrický model komplexních čísel Absolutní hodnota komplexního čísla Zobrazování komplexních čísel v Gaussově rovině Komplexní číslo goniometrický a exponenciální tvar, operace Goniometrický tvar komplexního čísla Exponenciální tvar komplexního čísla Moivreova věta, binomické rovnice Moivreova věta Binomické rovnice Lineární lomená funkce Lineární lomená funkce Nepřímá úměrnost Mocninné funkce...105

4 1 Výroková logika Výrok: Sdělení, o kterém má smysl říct, zda je či není pravdivé. Hypotéza: Výrok, u něhož jsme v daném okamžiku neurčili jednoznačně pravdivost. (Domněnka) pravdivý výrok 1 nepravdivý výrok Základní logické spojky negace (není pravda, že ) konjunkce ( a a současně a zároveň ) disjunkce ( nebo ) implikace (jestliže pak když pak je-li pak ) ekvivalence ( právě když právě tehdy ) A: Dnes prší. B: Venku je bláto. A Není pravda, že dnes prší. A Dnes neprší. B Není pravda, že je venku bláto. B Venku není bláto. A B Dnes prší a venku je bláto. A B Dnes prší nebo je venku bláto. A B Jestliže prší pak je venku bláto. A B Venku je bláto právě když prší. Jednoduchý výrok: Složený výrok: Výroková formule: Tautologie: Kontradikce: p ; q p; p q ; p q; p q ; p q; p q p q Vzniká kombinací více logických operací (případně výroků). Operace u nich mají nadřazenost v tomto pořadí:,,,, ; pokud není jejich nadřazenost změněna závorkou. Výroková formule, která je vždy pravdivá. Výroková formule, která je vždy nepravdivá. Tabulka pravdivostních hodnot a výrokových formulí základních složených výroků: p q p q p q p q p q p q / 106 IgMen

5 A B B A A B A B A B B A A B B A A B B A A B A B A B B A A B B A C A B C A B C A B C A B C C A B C Kvantifikované výroky obecný (univerzální) kvantifikátor existenční kvantifikátor / neexistenční kvantifikátor druhá mocnina každého reálného čísla je kladná x R : x 0 existuje přirozené číslo, které je kořenem rovnice: x 9=0 x N : x 9=0 x N : x=k x =l pro všechna přirozená čísla platí, že jestliže je dané číslo sudé, je jeho druhá mocnina sudá 5 / 106 IgMen

6 Množiny operace, intervaly Zápis množin: A, B, C množiny Množina je souhrn prvků, které chápeme jako celek. 1. výčet prvků: A={1; ; 3}. interval: B=< 3; 5) 3. charakteristická vlastnost: A={x N ; x 3} B={x N ; 3 x 5} C={x N ; x 1 4} Operace s množinami: doplněk A ' rovnost A= B podmnožina (inkluze) A B sjednocení A B průnik A B rozdíl A B ; B A 6 / 106 IgMen

7 Číselné množiny: N...přirozená čísla N ={1; ;3; K } N 0...nezáporná přirozená čísla N 0 ={0 ;1 ; ;3; K } Z...celá čísla Z ={K 3 ; ; 1 ; 0 ;1; ; 3 ; K } Q...racionální čísla Q={K ; 1,5; 1; 0,75; 0,3; 0;0,3;0,75;1 ;1,5 ;; K } R...reálná čísla R={ ; } C...komplexní čísla C={ 1} Platí: N N 0 Z Q R C.1 Absolutní hodnota reálného čísla Absolutní hodnotou reálného čísla rozumíme číslo a, které má tyto vlastnosti: a 0 a =a a 0 a = a 3 8 =3 8 0,5 =0,5 Absolutní hodnota každého reálného čísla je rovna vzdálenosti tohoto čísla od počátku číselné osy. 7 / 106 IgMen

8 . Intervaly Množina reálných čísel, kterou můžeme znázornit na číselné ose úsečkou, nazýváme omezený interval. Ty množiny, které lze znázornit polopřímkou nebo přímkou nazýváme neomezené intervaly. Omezené intervaly se dělí na: 1. uzavřený. otevřený 3. polouzavřený Omezené intervaly: množina znázornění na ose zápis intervalu název intervalu x R ;a x b a ;b uzavřený interval a ;b x R ;a x b ( a ;b> polouzavřený interval a ;b x R ;a x b < a ;b) polouzavřený interval a ;b x R ;a x b a ;b otevřený interval a ;b x R ; x a a < a ; ) zleva uzavřený interval a ; x R ; x a a a ; zleva otevřený interval a ; x R ; x a a ( ; a > zprava uzavřený interval ;a x R ; x a a ;a zprava otevřený interval ;a A={x R ; x 3 5} B= 7 ;0 A B=( 7 ; > A B= ;0 < 8 ; ) A B=( ; 7 > <8; ) B A= ;0 8 / 106 IgMen

9 3 Algebraické výrazy práce s mnohočleny, algebraické vzorce Výraz obecně: množinový AI B YC číselný 1 ;; ; 3 výraz s proměnnou 5y 3 ; x lomený výraz 5 x ; a b a b Legenda: 1; ;3;5;...konstanty a ;b...proměnné A ; B ;C...množiny U lomených výrazů a výrazů s odmocninou je nutné udat podmínky pro proměnnou, aby měl výraz smysl. a 6 Např.: c 0 c 3.1 Mnohočleny Mnohočlen obecně: a m x m a m 1 x m 1 a m x m K a 1 x a 0 Např.: x 3x ;3x 5 64x ;5x x Sčítání a odčítání mnohočlenů: Sčítat a odčítat se mohou pouze mnohočleny se stejnou proměnnou a stejnou mocninou dané proměnné. x 3 3x 4x 1 x 4 3x 3 5x =x 4 x 3 8x 4x 3 x 5 6x 4 5x x 3 x 4 5x 3 x 4x 1 = x 5 6x 4 5x x 3 x 4 5x 3 x 4x 1= = x 5 7x 4 5x 3 7x 5x 4 a b c [ b 3c ]=a b c [ b 3c]=a b c b 3c=a b 4c 9 / 106 IgMen

10 Násobení mnohočlenů: 3 4 x 1 6 xy 5 3 4xy = 18x 3 y 4x y 3 40xy 3xy x 3y 4x xy =1x y 1xy 3x y 3 x y 3xy Dělení mnohočlenů jednočlenem: Čísla se dělí, exponenty odčítají. 18a 4 7a 3 9a 90a =a 3 3a a 10 9a podmínka: a 0 Dělení mnohočlenů mnohočlenem: 10 / 106 IgMen

11 3. Algebraické rovnice Součtové vzorce: A B =A AB B A B =A AB B A B C = A B C AB BC CA A B 3 = A 3 3A B 3AB B 3 A B 3 = A 3 3A B 3AB B 3 A B = A B A B A 3 B 3 = A B A AB B A 3 B 3 = A B A AB B x y =x 4xy 4y x 3y 3 =8x 3 36x y 54xy 7y 3 0,001 0,01 x 0,048 x 0,064 x 3 = 0,1 0,4 x 3 Vietovy vzorce: x px q= x x 1 x x x 1 x =q x 1 x = p x 8x 1= x x 6 x 1 x = 6=1 x 1 x = 6=8 x 1 =; x =6 11 / 106 IgMen

12 Rozklad výrazu v součin: 1. vytýkání. pomocí vzorců 3. rozkladem kvadratického trojčlenu pomocí Vietových vzorců 18a 45a 63a 3 =9a 5a 7a x 1 9 = x 1 3 x 1 3 m 6 m 4 m 3 m =m 4 m 1 m m 1 =m 4 m 1 m 1 m m 1 = =m m 1 [m m 1 ]=m m 1 m 3 m x 8x 1= x x 6 x 1 x =1=6 x 1 x =8=6 x 1 =; x =6 1 / 106 IgMen

13 4 Lomené výrazy Rozšiřování lomených výrazů: Lomený výraz se rozšiřuje tak, že se čitatel i jmenovatel násobí stejným výrazem. a r Rozšíření výrazu výrazem r: ;b 0; r 0 b r Rozšiř výraz x výrazem a x. b x a x b a x =ax x ab ax ;ax bx Krácení lomených výrazů: Lomený výraz se krátí tak, že se čitatel i jmenovatel vydělí stejným výrazem. a :r Krácení výrazu výrazem r: ;b 0 ;r 0 b :r a 5 b 3 a3 a 5= b b ;b 0 a b a 4ab b = a b a b a b = a b = a b a ab b a b a b ;a b 18a 30 1a 0a = 6 3a 5 4a 3a 5 = 6 4a = 3 a ;a 0 3x 3xy 3x x y = x y x y x y = 3x x y ; x y Základní tvar zlomku: Je to takový tvar zlomku, který nelze dále krátit. 13 / 106 IgMen

14 Sčítání a odčítání lomených výrazů: 1 3 = = = 7 6 = x y x y y y x x y y y 1 x y = 1 3x = x y 1 x y x ± y 3x y y x y x y = x y x y a 1 a a a a 4 a 1 a a = a 1 a a a a a a 1 a a = = a a 1 a a a a a a a 1 a a = a a a = a a a 4 a 3 4a a 1 a a a 4 = a a 4 = a a a a a a a = a a a 4 a a 4 = a 4 a ± a 0 Násobení lomených výrazů: Lomené výrazy se násobí tak, že se vynásobí čitatel s čitatelem a jmenovatel se jmenovatelem. x 1 x 1 y = x 1 x 1 y x 1 = x 1 y y 3 5x 5y 3x y x y 5 x y x y x y = = 5 y x y =5 x x y 3x y x y 3x y 3x y 14 / 106 IgMen

15 5 Mocniny a odmocniny 5.1 Mocniny a n =a cod a a a n krát a 0 =1 a n = 1 a n r a = r s a r s =a r s a b r =a r b r a b r= ar b r a r a s =a r s a r a s =ar s 5. Odmocniny n a n b= n a b n a=b b n =a n a n b = n a b m a= n m n a n a s = n a s n a= n p a p k n a k m = n a m 15 / 106 IgMen

16 1 = = = = = = 4 3 = = = 3 8 = = =7 3 a b 3 3 c d 1 c4 d 1 a 3 b = a b 3 c d 3 c8 d a 6 b 4 = b3 d 3 a c a6 c 8 b 4 d = d c 6 1 a4 b a 3 b 4 a b 3 = a3 a b 4 b 3 = a5 b 7 =a5 b 7 = a4 c 6 d b 14 n 1 35 n 3 4 3n n = 7 n n n n = = n 7 n 7 5 n 7 n n 3 3n 7 3n n 5 n 7 n = = 3n 3 3n 5 n 7 5n = 3n 3 3n 4 5 n 4 7 5n a a a 5= a 3 a a = a 3 15 a 3 10 a 3 5 = a a a 3 10 = a 4 5 a =a =a 10 =a = a [ a 3 b 1 3] 1 [ a 3 b 1 ] 1 3 = a3 b 1 6 a 3 b 1 6 = a b 3 a 6 b 6 = b 1 6 b 6 1 =b 6 b 3 6 =b 6 =b = b x y a 1 u v a 1 x y a u v a 1 x y a 1 u v = x y a x y u v a u v x y a x y u v a u v 1 x y a x y u v = = x y a x y x y a x y = x y a x y x y a x y x y a x y x y a x y a x y x y =x y 5 b 1 5 b = 1 5 b 5 b = 5 b b 1 16 / 106 IgMen

17 6 Lineární funkce, lineární rovnice 6.1 Lineární funkce y= f x...y je funkcí x Funkce f definovaná na množině M R je pravidlo, které každému prvku x z množiny M přiřadí právě jedno y. Lineární funkce funkce y=ax b (a směrnice, b úsek), kde a a b jsou reálná čísla, se nazývá lineární funkce. Grafem lineární funkce je přímka nebo její část (úsečka, polopřímka). Graf funkce grafem funkce y= f x rozumíme množinu všech bodů [ x; y ] v rovině. Vlastnosti funkce: definiční obor... obor hodnot... sudost... lichost... rostoucí... klesající... prostá... omezenost zdola a shora minimum a maximum D f...množina všech x H f...množina všech y je to množina všech y, ke kterým existuje aspoň jedno x z definičního oboru f x = f x...graf funkce je souměrný podle osy y f x = f x...graf funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic x 1 x f x 1 f x x 1 x f x 1 f x x 1 x f x 1 f x...jakýmkoli dvěma x nenáleží totéž y 17 / 106 IgMen

18 Zvláštní případy lineární funkce: a=0 ;b=0 y=0...grafem je osa x a=0 ;b 0 y=b...grafem je rovnoběžka s osou x konstantní funkce (b úsek na ose y) a 0 ;b=0 y=ax...grafem je přímka procházející počátkem přímá úměrnost (a směrnice přímky) směrnice y=3x ; D f = 1 ; H f = 5 ; 4 ani sudá, ani lichá rostoucí prostá ,5-1 -0, ,5 1 1,5, y= 0,5 x lichá klesající prostá 1 0,8 0,6 0,4 0, ,5-1 -0,5-0, 0 0,5 1 1,5-0,4-0,6-0, / 106 IgMen

19 6. Lineární rovnice Lineární rovnicí o jedné neznámé nazýváme rovnici ve tvaru ax=b, kde a a b jsou reálná čísla a x je neznámá. Ekvivalentní úpravy: přičtení nebo odečtení stejného výrazu k oběma stranám rovnice vynásobení nebo dělení obou stran stejným nenulovým výrazem Řešení lineárních rovnic: x=1 ; x= 1 rovnice má jediné řešení =; 0=0 rovnice má nekonečně mnoho řešení 3= 1 ; =4 rovnice nemá řešení 3x 1 5 = x = x 1 =1 6x =1 6x=1 6x=3 x= 3 6 x= 1 =0,5 4x 5 =x 1 x 4x 5=x 1 x 4x 5=x x 4x 5=4x 4x 4x=5 0=3 rovnice nemá řešení x 3 =8 1 x 5 x 4x 6=8 8x 5x 10 4x 6=18 13x 4x 13x= x=1 x= x 1 1 x x 1 = x x =60 5 x 1 1x x=60 5x 5 x 14=65 5x x 5x= x=79 x= x 1 3x x 3 6 =x 1 6 3x 1 3x 3x=6x 6 6x 3x 3x=6x 6 6x=6x 6 6x 6x= 6 0= 6 rovnice nemá řešení 19 / 106 IgMen

20 7 Lineární rovnice s parametrem, s absolutní hodnotou 7.1 Lineární rovnice s parametrem Rovnice s parametrem obsahuje kromě neznámých další proměnné, kterým se říká parametry. Je to zápis množiny všech rovnic, které lze získat dosazením všech hodnot, jichž mohou parametry nabývat. Řešení rovnic s parametry spočívá v určení jejich kořenů v závislosti na přípustných hodnotách parametrů. Při řešení lineární rovnice s parametrem se rovnice postupně upravuje v závislosti na hodnotách parametru. x... neznámá p... parametr p 3 x 1= px p p 3 x px= p 1 p p 1 p 1 x= p 1 p=0 0x=1 P 1 = p 0 p 1 p 1 x= p 1 p p= 1 0x=0 P =R p 1 p 1 x= 1 p p=1 0x=1 P 3 = p 1 1 x= p p 1 1 p p 1 } P 4 ={ 0 / 106 IgMen

21 7. Lineární rovnice s absolutní hodnotou x 3 =6 nulový bod: x 3=0 x 0 = 3 ; 3 3; x 3 x 3 x 3 x 3=6 9=x P 1 ={ 9} x 3=6 x=3 P =3 P=P 1 P ={ 9;3} x 7 4x= x 5 nulové body: x 7=0 x 0 =7 x 5=0 x 0 = 5 ; 5 5 ;7 7 ; x 7 x 7 x 7 x 7 x 5 x 5 x 5 x 5 x 7 4x= x 5 3x 7= x 5 5x= x= 5 5} P 1 ={ P=P 1 P P 3 = { 1 ; 5 ; 3 } x 7 4x=x 5 3x 7=x 5 x= 1 P ={ 1} x 7 4x=x 5 5x 7=x 5 3x= x= 3 P 3 = { 3} 1 / 106 IgMen

22 8 Soustava lineárních rovnic 8.1 rovnice o neznámých Metody řešení: 1. sčítací. dosazovací 3. srovnávací (komparační) 4. grafická sčítací dosazovací srovnávací (komparační) 3x y=8 x 5y= 3 3 3x y=8 x 5y= 3 x=5y 3 3x y=8 x 5y= 3 3x y=8 3x 15y=9 17x=17 y=1 3 5y 3 y=8 15y 9 y=8 17y=17 y=1 y= 3x 8 5y=x 3 y= 3 x 4 x 5y= 3 x 5 1= 3 x= x 5y= 3 x 5 1= 3 x= y= 1 5 x 3 5 y= y 3 x 4= 1 5 x = 1 5 x 3 x grafická 3x y=8 x 5y= 3 y= 3x 8 5y=x 3 y= 3 x = x 15x = x 17 5 = x =x = x y= 1 5 x 3 5 x 5y= 3 5y= 3 5=5y 1= y / 106 IgMen

23 8. Frobeniova věta A... matice soustavy A... rozšířená matice soustavy x 1 3x 5x 3 4x 4 =3 x 1 4x 3 x 4 =1 3x 1 x x 3 = A=[ ] A=[ ] soustava lineárních rovnic (m rovnic o n neznámých) homogenní pravé strany všech rovnic soustavy jsou rovny 0 nehomogenní alespoň jedna rovnice soustavy nemá pravou stranu rovnu 0 x y 3z=0 x z=0 3x y z=0 x y z=1 3x y= 4x y z=0 soustava lineárních rovnic má řešení právě tehdy, jestliže hodnost matice rozšířené se rovná hodnosti matice soustavy h A =h A h A =h A =n soustava má jediné řešení (triviální) h A =h A n soustava má nekonečně mnoho řešení h A =h A =n soustava má jediné řešení (Cramerova metoda) h A =h A n soustava má nekonečně mnoho řešení 3 / 106 IgMen

24 x y z=5 3x y z=3 4x y z=10 A=[ ] A=[ ] 3 A=[ ] 1 A=[ ] h A = h A =3 h A h A nehomogenní soustava nemá řešení 4 x y 5z=0 3x 4y 7z=0 5x 6y 9z=0 A=[ ] A=[ ] A=[ ] A=[ ] h A = h A = h A =h A homogenní soustava má nekonečně mnoho řešení 3x 1 x x 3 =4 3x 1 x x 3 =1 x 1 x x 3 =3 h A =3 h A =3 h A =h A =n nehomogenní soustava má jedno řešení A=[ ] A=[ 1 1 3] A=[ ] A=[ ] 4 / 106 IgMen

25 8.3 Cramerova metoda Používá se pouze v případě n rovnic o n neznámých. A...matice soustavy D...determinant matice soustavy D=det A= A A =0...soustava nemá řešení A 0...soustava má právě jedno řešení x=[ x 1 ; x ; x 3 ; K x n ], kde: x i = D i D i {1 ; ;3 ; K n} { x 1 =D 1 D ; x =D D ; x 3 =D 3 D ; K x n =D n D } D i...determinant, který vznikne z determinantu soustavy nahrazením i-tého sloupce sloupcem pravých stran soustavy viz. 3 rovnice o 3 neznámých 5 / 106 IgMen

26 8.4 3 rovnice o 3 neznámých Metody řešení: 1. dosazovací. sčítací 3. Cramerova 4. Gaussova eliminační dosazovací x 3y z=5 z=x 3y 5 3x y z=5 4x y 3z=11 3x y x 3y 5 =5 4x y 3 x 3y 5 =11 3x y 4x 6y 10=5 4x y 6x 9y 15=11 7x 4y=15 10x 8y=6 14x 8y= 30 10x 8y=6 4x= 4 x=1 7x 4y= y=15 4y=8 y= sčítací x 3y z=5 3 3x y z=5 4x y 3z=11 7x 4y=15 10x 8y=6 14x 8y= 30 10x 8y=6 4x= 4 x=1 7x 4y= y=15 4y=8 y= x 3y z=5 z=x 3y 5 z= z=3 x 3y z=5 z=x 3y 5 z= z=3 6 / 106 IgMen

27 Cramerova metoda D=[ 3 1 ] 3 = = =[ ] D 1 5 = = =[ 5 1 ] D 3 5 = = =[ 3 5 D ] = = 48 x= D 1 D = =1 y= D D = 3 16 = z= D 3 D = =3 Gaussova eliminační metoda [ ] 3 [ ] [ ] x 3y z=5 13y 7z= 5 16z=48 z=3 x 3y 3=5 13y 7 3= 5 x 3y=8 13y= 6 y= x 3 =8 x= x=1 7 / 106 IgMen

28 9 Lineární nerovnice, soustava lineárních nerovnic o jedné neznámé 9.1 Lineární nerovnice Lineární nerovnice je každá nerovnice ve tvaru: ax b 0 ax b 0 ax b 0 ax b 0 Ekvivalentní úpravy: přičtení nebo odečtení stejného výrazu k oběma stranám nerovnice vynásobení nebo dělení obou stran stejným nenulovým výrazem (záporný výraz obrací znaménko nerovnosti) Řešení lineárních nerovnic interval. 4u 3 4u 9 3u u 3 5 4u u 4 4u 18 0u 40 45u 60 44u 58 45u 60 newlie 3 u P= ; 3 x 1 3x x 1 4 3x x 6 1x P R 5x 3x x x 3x 4 7 x 3 10x 4 3x 4 7x 1 7x 7x nemá řešení 8 / 106 IgMen

29 Lineární nerovnice v součinovém tvaru: 3x 4 5x 0 x 7 x 3 0 3x 0 4 5x 0 3x 0 4 5x 0 x 7 0 x 3 0 x 7 0 x 3 0 3x 4 5x 3x 4 5x x 7 x 3 x 7 x 3 P 1 = x x 4 5 ; P=P 1 P = P = x x ; 3 ; ; x 7 x 3 P 1 = 3 ; P = x 7 x 3 ; 7 P=P 1 P = ; 7 3; x x 1 3 x x x 3 x 1 0 x 1 x 3x 3 0 x 1 5 x x x 0 x x x 1 P 1 = 5; 5 x 0 x x x 1 P = ;1 P=P 1 P = ;1 5; 9 / 106 IgMen

30 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou: 5 x 7 nulový bod: 5 x=0 5=x 0 ;5 5 ; 5 x 5 x x 5 5 x 7 x P 1 = ;5 P=P 1 P = ;1 x 5 7 x 1 P = 5 ;1 x x 3 x 3 nulové bod: x =0 x 0 = x 3=0 x 0 =3 ; ; 3 3 ; x x x x x 3 3 x 3 x x 3 x x 3 3 x x x 3x 3 x P 1 = ; P=P 1 P P 3 = ; 4 ; x x 3 3 x x P = ; x x 3 x 3 6 x x 4 P 3 = 4 ; 30 / 106 IgMen

31 9. Soustava lineárních nerovnic o jedné neznámé 4 x 1 6 x 5 x 1 3x x 1 3 x 4x 4 6x 1 5x 5 16 x 5x x P 1 = ; x x 3x 6 x 3x 6 4 x x P = ; P=P 1 P = ; x x 1 x 1 7x 3 x 3 P 1 = 3; P = 4 5x 4 5 x ; 4 5 x 3 x 1 3x 1 4 x x 1 5x 3 7 x 4 x 3x x 4 3x 3 3x 1 x 7 3x 1 6 4x P 1 = 6 4 x 3 x ; 3 8 4x x 5x 3 6 x 5x 3 3 7x 3 7 x P = ; 3 7 7x 8 x 3x 5x 8 3x x 30 x 15 P 3 = 15; 15; 3 P=P 1 P P 3 = P=P 1 P = 31 / 106 IgMen

32 10 Maticový počet, operace s maticemi, hodnost, determinant 11 a 1 a 13 a 1n A m;n =[a a 1 a a 3 a n a m1 a m a m3 a mn] a mn... prvek matice Matice typu (m;n) je množina m n čísel uspořádaných do obdelníkového tvaru o m řádcích a n sloupcích. =[ ] A 3 ; matice typu (3;4) a 3 =5 a 34 =7 a 11 = Typy matic Nulová matice každý její prvek je roven nule 0 m; n =[ ] Čtvercová matice n-tého stupně má stejný počet řádků i sloupců 11 a 1 a 1n A n =[a a 1 a a n a n1 a n a nn] Diagonální matice čtvercová matice, která má, kromě diagonály ( a n ), všechny prvky nulové A n =[a 0 a a nn] Jednotková matice 0 0 diagonální matice, kde všechny prvky diagonály jsou rovny 1. A n =[1 1] / 106 IgMen

33 Transportovaná matice k matici A m;n - je matice A T typu (m;n) mění se řádky za sloupce a naopak. A=[ ] AT =[ ] 10. Operace s maticemi Rovnost matic: Matice A m;n =[a ij ], B m ; n =[b ij ] jsou si rovny, jestliže a ij =b ij. A= B A=[ ],B= [ ] Sčítání a odčítání matic: A=[ 3 1 ] [ 1 1 ] 1 5, B= C= A B=[ ] [ = C= A B=[ A± B=C a ij ±b ij =c ij 3 8 4] [ 0 = 3 1 1] ] [ ] [ 4 = = ] Násobení matic konstantou: Matice se násobí číslem k R tak, že se tímto číslem vynásobí každý člen matice. k=, A=[ ] k A=[ ] = [ ] 33 / 106 IgMen

34 Násobení matice maticí: Matici A m;n můžeme násobit pouze maticí B n; p, tj. matice B má tolik řádků, kolik má matice A sloupců. Součinem takových dvou matic A B je matice C m; p. A=[ ] [ ],B= 5 1 C= A B=[ c 11 c 1 c 13 c 1 c c c 11 = 3; 1; 4 ;; =3 4 1 =1 4=14 3] c 1 = 3; 1; 1;; 1 = =3 = 1 c 13 = 3; 1; 0;5; 4 = =0 5 8=3 c 1 = ;3; 4; ; = 4 3 =8 6 4=10 c = ;3; 1;; 1 = = 6 =10 c 3 = ;3; 0;5; 4 = =0 15 8= C=[ ] Násobení matic není obecně komutativní: A B B A 10.3 Hodnost matice Hodností matice A rozumíme maximální počet lineárně závislých řádků matice A: A m;n, h A m. Lineárně závislé řádky jeden řádek je násobkem druhého. Hodnost matice se nezmění, při: záměně pořadí řádků násobení řádku číslem různým od nuly přičtení nebo odečtení řádku k jinému řádku přidání nebo vynechání řádku, který je násobkem řádku jiného Regulární a singulární matice: Čtvercová matice A n se nazývá regulární, jestliže hodnost n-té matice je rovna m, jinak se nazývá singulární. Trojúhelníkový tvar matice: Říkáme, že matice má trojúhelníkový tvar, jestliže každý její nenulový řádek začíná větším počtem nul, než řádek předcházející. Má-li matice trojúhelníkový tvar, pak počet jejich nenulových řádků je roven hodnosti matice. 34 / 106 IgMen

35 A=[ ] h A =1 A=[ ] 3 A=[ ] 3 A=[ ] h A = Determinanty 11 a 1 a 1n Nechť je dána čtvercová matice A n =[a a 1 a a n a n1 a n a nn]. Determinantem řádu n matice A nazýváme číslo D a značíme D=det A= A, které definujeme takto: je-li n=1 pak D=a 11 je-li n= pak D=a 11 a a 1 a 1 je-li n=3 pak se D vypočítá Sarrusovým pravidlem je-li n=4 pak se D vypočítá pomocí rozvoje podle libovolného řádku či sloupce Determinanty 1. řádu: [ 5]= 5 Determinanty. řádu: [ 1 3 4] =1 4 3=4 6= [ 5 0 1] =5 1 0=5 0=5 a 1 [ a a] = a a 1 a=a a=a 35 / 106 IgMen

36 Determinanty 3. řádu: [a11 a1 a13 a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33]=a 11 a a 33 a 1 a 3 a 31 a 13 a 1 a 3 a 13 a a 31 a 1 a 1 a 33 a 11 a 3 a 3 =D [ 1 3 9] = = =0 7 8 Determinanty 4. řádu: hodnota determinantu se nezmění zaměněním řádků za sloupce jestliže v determinantu jeden řádek tvoří samé nuly, rovná se determinant nule jestliže se v determinantu zamění dva řádky, determinant změní znaménka jestliže má determinant dva řádky stejné, rovná se determinant nule je-li některý řádek determinantu násobkem řádku jiného, rovná se determinant nule násobí-li se některý řádek determinantu D reálným číslem různým od nuly, vznikne determinant D', pro který platí D '= D přičte-li se k některému řádku determinantu násobek jiného řádku, determinant se nezmění D=[ 0 1 ]= [ ] [ ] [ ] 0 [ ] = = = 9 9 9=18 18=0 36 / 106 IgMen

37 11 Kvadratické funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce ve tvaru y=ax bx c ;a,b, c R ;a 0. ax bx c...kvadratický trojčlen ax...kvadratický člen bx...lineární člen c...absolutní člen Graf kvadratické funkce...parabola. Vrchol paraboly... V =[ b b ;c a 4a ] Průsečíky paraboly s osou x... ax bx c=0 Vlastnosti funkce: y=x...základní parabola a 0...parabola otevřená nahoru a 0...parabola otevřená dolů c...průsečík paraboly s osou y y=x V =[ 0;0 ] x 1, = b± b 4ac a = 0± = 0± 0 =0 y= x V =[0 ;] x 1, = b± b 4ac a = 0± = 0± 8 = 37 / 106 IgMen

38 Rovnice tvaru y= x r p : Vlastnosti funkce: Posun vrcholu paraboly ve směru osy y: p 0...nahoru p 0...dolů Posun vrcholu paraboly ve směru osy x: r 0...doleva r 0...doprava y= x 6x 8 y= x 6x 8= x 6x 8 = = x 6x 9 9 8= = x 6x 9 9 8= = x 3 1 V =[ 3;1] 38 / 106 IgMen

39 1 Kvadratická rovnice metody řešení Kvadratická rovnice o jedné neznámé x se nazývá každá rovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na tvar: ax bx c=0 ;a 0 ;a,b,c R. ax bx c...kvadratický trojčlen ax...kvadratický člen bx...lineární člen c...absolutní člen Neúplné kvadratické rovnice: ryze kvadratická rovnice b=0 ax c=0 řešení ax c=0 ax = c x = c a x=± c a 4x 5=0 4x =5 x = 5 4 x=± 5 4 x=± 5 3 x=1 4 x x 3 x x =1 x 4 x x 3x 6 x x=x 4 x x 6=x x x 6 x =0 x 8=0 x =8 x=± 8 x=± kvadratická rovnice bez absolutního členu c=0 ax bx=0 řešení ax bx=0 x ax b =0 x 1 =0 ax b=0 ax = b x = b a 39 / 106 IgMen

40 4x 9x=0 x 4x 9 =0 x 1 =0 4x 9=0 4x =9 x = 9 4 3x 5 4x 3 = 4x 5 4x 3 3x 3 3x 3 3x 5 4x 3 3x 3 = 4x 5 4x 3 3x 3 4x 3 3x 3 3x 5 3x 3 = 4x 5 4x 3 9x 9x 15x 15=16x 1x 0x 15 9x 4x 15=16x 3x 15 9x 4x 15 16x 3x 15=0 7x 56x=0 1 7x 56x=0 x 7x 56 =0 x 1 =0 7x 56=0 7x =56 podmínky pro zlomky: 4x 3 0 3x 3 0 4x 3 x 3 3x 3 x 1 4 x = 56 7 x =8 Úplná kvadratická rovnice: a,b, c 0 ax bx c=0 Metody řešení: 1. ax bx c=0 x 1, = b± b 4ac = ± D a a D=b 4ac...diskriminant D 0... řešení (kořeny) D=0...1 řešení (dvojnásobný kořen) D 0... řešení (komplexně sdružená čísla) 40 / 106 IgMen

41 . x px q=0...normalizovaný tvar a=1 x 1 x =q x 1 x = p Rovnice nemá normalizovaný tvar: ax bx c=0 :a x b a x c a =0 x 1 x = c a x 1 x = b a 3. grafická metoda ax bx c=0 ax = bx c y=ax y= bx c x 3x 1=0 1. x 3x 1=0 x 1, = 3± = 3± = 3± 1 4 = 3± = 4 = 4 4 = = 4 4 = 1. x 3x 1=0 : x 3 x 1 =0 x 1 x = 1 = 1 = 1 1 x 1 x = 3 = 1 = 1 = / 106 IgMen

42 3. x 3x 1=0 x = 3x 1 y=x y = 3x 1 x 1 = 1 x = Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou x x 1 x 1=0 nulové body: x 0 =x 0 1=0 x 01, = ± = 1± = 1 1 = ± 4 4 = ±sqrt8 = ± sqrt = 1±sqrt = ; 1 1 ; 1 1 ; x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 vyhovující kořeny (podle intervalů) x x 1 x 1=0 x x =0 x 1, = 1± 1 8 x 1, = 1± 9 x 1, = 1±3 1 3 =1 x 1, = 1 3 = x x 1 x 1=0 x 3x=0 x x 3 =0 x 1 =0 x 3=0 3= x x x 1 x 1=0 x x =0 x 1, = 1± 1 8 x 1, = 1± 9 x 1, = 1±3 1 3 =1 x 1, = 1 3 = P 1 = P ={0} P 3 ={1} P=P 1 P P 3 ={0 ;1} 4 / 106 IgMen

43 13 Kvadratické nerovnice Metody řešení 1. početně. graficky početně x x 15 0 x 1 x = 15=3 5 x 1 x ==3 5 x x 15= x 5 x 3 x 5 x 3 0 x 5 0 x 5 0 x 3 0 x 3 0 x 5 x 5 x 3 x 3 P 1 = 5; P = ; 3 P=P 1 P = ; 3 5; graficky x x 15 0 x 1, = ± 4 60 = ± 64 = ±8 = a 0...parabola otevřená nahoru 8 =5 8 = 3 P=P 1 P = ; 3 5; 43 / 106 IgMen

44 13.1 Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou x x 3 x 1 nulové body: x 0 x 0 3=0 x 01, = ± = ± 4 1 = ± 16 = ±4 = 4 =3 4 = 1 ; 1 1;3 3 ; x x 3 x x 3 x x 3 x x 3 x x 3 x 1 x x x x 3x 4 0 x 1, = 3± 9 16 = = 3± 5 = 3±5 = 3 5 = =4 3 5 = 1 x x 3 x 1 x x 3 x 1 0 x x 0 1 x x 0 x 1, = 1± 1 8 = = 1± 9 = 1±3 = 1 3 = = 1 3 = 1 x x 3 x 1 x x x x 3x 4 0 x 1, = 3± 9 16 = = 3± 5 = 3±5 = 3 5 = =4 3 5 = 1 vyhovující kořeny (podle intervalů) P=P 1 P P 3 = ;4 P 1 = ; 1 1; P 1 = P = 1;3 ; 1 ; P = ;3 P 3 = 3; 1 ;4 P 3 = 3;4 44 / 106 IgMen

45 14 Iracionální rovnice Postup řešení: podmínky řešení (zbavení se odmocniny) zkouška Rovnice s neznámou pod odmocninou. x 3 =3 x podmínky: x 3 0 x 6 0 x 6 x 3 řešení: x 3 =3 x x 3 = 3 x x 3 =9 6x x x 6=9 6x x 0=x 8x 15 x 1, = 8± = 8± oba výsledky vyhovují podmínce zkouška: x 3 =3 x x 3 =3 x 3 3 = =3 5 0=0 4= zkoušce vyhovuje pouze jeden výsledek P={3} = 8± 4 = 8± = 8 =5 8 =3 45 / 106 IgMen

46 x 5 x 1=8 podmínky: x 5 0 x 5 x 1 0 x 1 x 5 řešení: x 5 x 1=8 x 5 x 5 x 1 x 1=64 3x 4 x 5 x 1 =64 x 5 x 1 =60 3x 4 x 5 x 1 = x 9x 4 x x 5x 5 = x 9x 4 x 3x 5 = x 9x 8x 1x 0= x 9x 0=9x 8x 360x 1x =x 37x 360 x 1, = 37± =36 = =10 oba výsledky vyhovují podmínce zkouška: x 5 x 1= = = =8 7 19= zkoušce vyhovuje pouze jeden výsledek P={10} = 37± x 5 x 1= = =8 5 3=8 5 3=8 8=8 = 37± = 37±35 = 46 / 106 IgMen

47 4x 8x 5=x 1 řešení: 4x 8x 5=x 1 4x 8x 5=4x 4x 1 4x 4x 4x 1= 8x 5 4x 1= 8x 5 16x 8x 1=8x 5 16x 8x 8x 1 5=0 16x 4=0 16x =4 x = 4 16 x=± 4 16 x=± 4 x=± 1 zkouška: 4x 8x 5=x = = = =0 1 1=0 0=0 0=0 zkoušce vyhovuje pouze jeden výsledek P= { 1 } 4x 8x 5=x = = = = 1 3= = nemá řešení 47 / 106 IgMen

48 15 Shodná zobrazení konstrukční úlohy Shodné zobrazení (shodnost) je každé zobrazení v rovině, které má tu vlastnost, že pro libovolné body A, B této roviny a jejich obrazy A', B' platí, že AB = A' B '. Samodružný bod...bod, který se zobrazí sám do sebe A= A' Samodružný útvar...každý útvar, jehož obraz v daném zobrazení je týž útvar Klasifikace shodností: Identita Středová souměrnost Zobrazení, ve kterém se každý bod zobrazí sám na sebe. Zobrazení v rovině, v němž každý její bod X se pomocí daného bodu S (střed), ležícího v této rovině zobrazí na svůj obraz X takto: 1. X =S X =S = X '. X S X je koncový bod úsečky XX', kde bod S je jejím střědem 48 / 106 IgMen

49 Osová souměrnost Zobrazení v rovině, v němž každý její bod X je pomocí dané přímky o (osa) ležící v této rovině zobrazen na svůj obraz X takto: 1. X o X = X '. X o X ' je koncový bod úsečky XX, jejíž osou je přímka o Posunutí (translace) Je dána orientovaná úsečka AB. Posunutí je shodné zobrazení, které každému X přiřadí X takové, že orientované úsečky XX a AB mají stejnou délku i směr (jsou souhlasně orientovány). Otočení (rotace) Otočení je shodné zobrazení, které přiřazuje každému X S bodu bod X takový, že velikost XS = X ' S a orientovaný úhel XSX má velikost. 49 / 106 IgMen

50 15.1 Shodnost trojúhelníku ABC A' B ' C ' věta sss AB = A' B ' BC = B ' C ' AC = A' C ' věta sus AB = A' B ' AC = A ' C ' BAC B ' A' C ' věta usu AB = A' B ' BAC B ' A' C ' ABC A' B ' C ' věta Ssu AB = A' B ' BC = B' C ' BC AC BAC B ' A' C ' Dva trojúhelníky jsou shodné právě tehdy, když se shodují věta sss ve všech třech stranách věta sus ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném věta usu ve straně a v úhlech k ní přilehlých věta Ssu ve dvou stranách a v úhlu proti větší z nich Konstrukční úlohy: 1. rozbor. popis konstrukce 3. konstrukce 50 / 106 IgMen

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník a kvinta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Základní poznatky Číselné

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část

Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Základní poznatky, Rovnice a nerovnice, Planimetrie 1. část 1. ročník 4 hodiny týdně PC a dataprojektor Číselné obory Přirozená a celá čísla Racionální

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen

TEMATICKÝ PLÁN. září říjen TEMATICKÝ PLÁN Předmět: MATEMATIKA Literatura: Matematika doc. RNDr. Oldřich Odvárko, DrSc., doc. RNDr. Jiří Kadleček, CSc Matematicko fyzikální tabulky pro základní školy UČIVO - ARITMETIKA: 1. Rozšířené

Více

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely

Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika (MAT) Rovnice, soustavy rovnic, funkce, podobnost a funkce úhlů, jehlany a kužely Kvarta 4 hodiny týdně Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011

Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011 Vyučující: RNDr. Ivanka Dvořáčková Třída: 8.A Maturitní okruhy z matematiky ve školním roce 2010/2011 Otázka Okruh 1 1. Výroky a operace s nimi 2. Množiny a operace s nimi 2 3. Matematické věty a jejich

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí.

Přehled funkcí. Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo. přehled fcí. Přehled funkcí Martina Hetmerová Gymnázium Přípotoční 1337 Praha 10 Vlastnosti funkcí Funkce na množině D R je předpis, který každému číslu z množiny D přiřazuje právě jedno reálné číslo Zapisujeme: f:y=f(x)

Více

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º) 6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta 1. Mnohočleny 2. Rovnice rovné nule 3. Nerovnice různé od nuly 4. Lomený výraz 5. Krácení lomených výrazů 6. Rozšiřování lomených výrazů 7. Sčítání lomených výrazů 8. Odčítání lomených výrazů 9. Násobení

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

Předmět: MATEMATIKA Ročník: 6.

Předmět: MATEMATIKA Ročník: 6. Předmět: MATEMATIKA Ročník: 6. Výstupy z RVP Školní výstupy Učivo Mezipředm. vazby, PT Číslo a proměnná - užívá různé způsoby kvantitativního vyjádření vztahu celek - část (přirozeným číslem, poměrem,

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

0. ÚVOD - matematické symboly, značení,

0. ÚVOD - matematické symboly, značení, 0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní

Více

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů MATEMATIKA Gymnázium PORG Libeň PORG Libeň je reálné gymnázium se všeobecným zaměřením, matematika je tedy na PORGu pilotním předmětem vyučovaným celých osm let. I. Cíle výuky Naši studenti jsou připravováni

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 72/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Technické lyceum (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno:

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno: Autoevaluační karta Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875 Obor: obchodní akademie Zaměření: ekonomika, účetnictví, daně Školní rok: Předmět: matematika Třída: 1. A Jméno: TEMATICKÝ CELEK: Znalosti

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka.

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka. Úvod Jestliže bod A leží na přímce p a přímka p leží v rovině, pak i bod A leží v rovině. Jestliže v rovině leží dva různé body A, B, pak také přímka p, která těmito body prochází, leží v rovině. Dvěma

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

Matematika PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA 1-4 Operace s čísly a - provádí aritmetické operace v množině reálných čísel - používá různé zápisy reálného čísla - používá absolutní hodnotu, zapíše a znázorní interval, provádí

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N AČENÍ bod (A, B, C, ), přímka (a, b, p, q, AB, ), rovina (α, β, ρ,

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 7.

Základní škola Fr. Kupky, ul. Fr. Kupky 350, Dobruška 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 7. 5.2 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE 5.2.1 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Matematika 7. ročník RVP ZV Obsah RVP ZV Kód RVP ZV Očekávané výstupy ŠVP Školní očekávané výstupy ŠVP Učivo ČÍSLO A PROMĚNNÁ M9101 provádí

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Racionální čísla a procenta a základy finanční matematiky, Trojúhelníky a čtyřúhelníky, Výrazy I, Hranoly Třída: Sekunda Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Změna týdenní hodinové dotace v 1. ročníku v předmětu matematika. původní dotace 3 hodiny týdně, nově 4 hodiny týdně

Změna týdenní hodinové dotace v 1. ročníku v předmětu matematika. původní dotace 3 hodiny týdně, nově 4 hodiny týdně Dodatek č.. Školního vzdělávacího programu Obchodní akademie Lysá nad Labem, obor -1-M/0 Obchodní akademie, platného od 1. 9. 01 - platnost dodatku je od 1. 9. 015 Změna týdenní hodinové dotace v 1. ročníku

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

Učební osnovy pracovní

Učební osnovy pracovní 4+1 týdně, povinný ČaPO: Lomený výraz Žák: rozloží výraz na součin vytýkáním a pomocí vzorců stanoví podmínky, za kterých má lomený výraz smysl Lomený výraz Výrazy a jejich užití - výraz s proměnnou -

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Rovnice a nerovnice, kruhy a válce, úměrnost, geometrické konstrukce, výrazy 2 Třída: Tercie Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Funkce. Vlastnosti funkcí

Funkce. Vlastnosti funkcí FUNKCE Funkce zobrazení (na číselných množinách) předpis, který každému prvku z množiny M přiřazuje právě jeden prvek z množiny N zapisujeme ve tvaru y = f () značíme D( f ) Vlastnosti funkcí 1. Definiční

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 9-12 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu témat (horní

Více

CHARAKTERISTIKA. VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ VOLITELNÉ PŘEDMĚTY Seminář z matematiky Mgr. Dana Rauchová

CHARAKTERISTIKA. VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ VOLITELNÉ PŘEDMĚTY Seminář z matematiky Mgr. Dana Rauchová CHARAKTERISTIKA VZDĚLÁVACÍ OBLAST VYUČOVACÍ PŘEDMĚT ZODPOVÍDÁ VOLITELNÉ PŘEDMĚTY Seminář z matematiky Mgr. Dana Rauchová Vyučovací volitelný předmět Cvičení z matematiky je zařazen samostatně na druhém

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více