Skripta do matematiky k maturitě 1 30

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Skripta do matematiky k maturitě 1 30"

Transkript

1 Skripta do matematiky k maturitě 1 30 IgMen igmen.wz.cz 008

2 Obsah 1 Výroková logika Základní logické spojky Kvantifikované výroky...5 Množiny operace, intervaly Absolutní hodnota reálného čísla...7. Intervaly Algebraické výrazy práce s mnohočleny, algebraické vzorce Mnohočleny Algebraické rovnice Lomené výrazy Mocniny a odmocniny Mocniny Odmocniny Lineární funkce, lineární rovnice Lineární funkce Lineární rovnice Lineární rovnice s parametrem, s absolutní hodnotou Lineární rovnice s parametrem Lineární rovnice s absolutní hodnotou Soustava lineárních rovnic rovnice o neznámých Frobeniova věta Cramerova metoda rovnice o 3 neznámých Lineární nerovnice, soustava lineárních nerovnic o jedné neznámé Lineární nerovnice Soustava lineárních nerovnic o jedné neznámé Maticový počet, operace s maticemi, hodnost, determinant Typy matic Operace s maticemi Hodnost matice Determinanty Kvadratické funkce Kvadratická rovnice metody řešení Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou Kvadratické nerovnice Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou Iracionální rovnice Shodná zobrazení konstrukční úlohy Shodnost trojúhelníku Podobná zobrazení konstrukční úlohy Podobnost trojúhelníku Stejnolehlost Pythagorova a Eukleidovy věty konstrukční úlohy Eukleidova věta o výšce Eukleidova věta o odvěsně Pythagorova věta Obvody a obsahy rovinných obrazců Polohové a metrické vztahy základních geometrických útvarů v prostoru Stereometrie...60

3 19. Polohové vztahy Řezy Průsečnice rovin Metrické vztahy Povrchy a objemy těles Goniometrické funkce Orientovaný úhel Definice goniometrických funkcí Hodnoty goniometrických funkcí základních úhlů pomocí úhlu ostrého Určení goniometrických funkcí libovolného orientovaného úhlu Grafy goniometrických funkcí Vlastnosti goniometrických funkcí Harmonická funkce...77 Řešení pravoúhlého trojúhelníku Úpravy výrazů s goniometrickou funkcí užitím vzorců Goniometrické rovnice Řešení obecného trojúhelníku Sinova věta Kosinova věta Komplexní číslo pojem, algebraický tvar, operace Algebraický tvar komplexního čísla Geometrický model komplexních čísel Absolutní hodnota komplexního čísla Zobrazování komplexních čísel v Gaussově rovině Komplexní číslo goniometrický a exponenciální tvar, operace Goniometrický tvar komplexního čísla Exponenciální tvar komplexního čísla Moivreova věta, binomické rovnice Moivreova věta Binomické rovnice Lineární lomená funkce Lineární lomená funkce Nepřímá úměrnost Mocninné funkce...105

4 1 Výroková logika Výrok: Sdělení, o kterém má smysl říct, zda je či není pravdivé. Hypotéza: Výrok, u něhož jsme v daném okamžiku neurčili jednoznačně pravdivost. (Domněnka) pravdivý výrok 1 nepravdivý výrok Základní logické spojky negace (není pravda, že ) konjunkce ( a a současně a zároveň ) disjunkce ( nebo ) implikace (jestliže pak když pak je-li pak ) ekvivalence ( právě když právě tehdy ) A: Dnes prší. B: Venku je bláto. A Není pravda, že dnes prší. A Dnes neprší. B Není pravda, že je venku bláto. B Venku není bláto. A B Dnes prší a venku je bláto. A B Dnes prší nebo je venku bláto. A B Jestliže prší pak je venku bláto. A B Venku je bláto právě když prší. Jednoduchý výrok: Složený výrok: Výroková formule: Tautologie: Kontradikce: p ; q p; p q ; p q; p q ; p q; p q p q Vzniká kombinací více logických operací (případně výroků). Operace u nich mají nadřazenost v tomto pořadí:,,,, ; pokud není jejich nadřazenost změněna závorkou. Výroková formule, která je vždy pravdivá. Výroková formule, která je vždy nepravdivá. Tabulka pravdivostních hodnot a výrokových formulí základních složených výroků: p q p q p q p q p q p q / 106 IgMen

5 A B B A A B A B A B B A A B B A A B B A A B A B A B B A A B B A C A B C A B C A B C A B C C A B C Kvantifikované výroky obecný (univerzální) kvantifikátor existenční kvantifikátor / neexistenční kvantifikátor druhá mocnina každého reálného čísla je kladná x R : x 0 existuje přirozené číslo, které je kořenem rovnice: x 9=0 x N : x 9=0 x N : x=k x =l pro všechna přirozená čísla platí, že jestliže je dané číslo sudé, je jeho druhá mocnina sudá 5 / 106 IgMen

6 Množiny operace, intervaly Zápis množin: A, B, C množiny Množina je souhrn prvků, které chápeme jako celek. 1. výčet prvků: A={1; ; 3}. interval: B=< 3; 5) 3. charakteristická vlastnost: A={x N ; x 3} B={x N ; 3 x 5} C={x N ; x 1 4} Operace s množinami: doplněk A ' rovnost A= B podmnožina (inkluze) A B sjednocení A B průnik A B rozdíl A B ; B A 6 / 106 IgMen

7 Číselné množiny: N...přirozená čísla N ={1; ;3; K } N 0...nezáporná přirozená čísla N 0 ={0 ;1 ; ;3; K } Z...celá čísla Z ={K 3 ; ; 1 ; 0 ;1; ; 3 ; K } Q...racionální čísla Q={K ; 1,5; 1; 0,75; 0,3; 0;0,3;0,75;1 ;1,5 ;; K } R...reálná čísla R={ ; } C...komplexní čísla C={ 1} Platí: N N 0 Z Q R C.1 Absolutní hodnota reálného čísla Absolutní hodnotou reálného čísla rozumíme číslo a, které má tyto vlastnosti: a 0 a =a a 0 a = a 3 8 =3 8 0,5 =0,5 Absolutní hodnota každého reálného čísla je rovna vzdálenosti tohoto čísla od počátku číselné osy. 7 / 106 IgMen

8 . Intervaly Množina reálných čísel, kterou můžeme znázornit na číselné ose úsečkou, nazýváme omezený interval. Ty množiny, které lze znázornit polopřímkou nebo přímkou nazýváme neomezené intervaly. Omezené intervaly se dělí na: 1. uzavřený. otevřený 3. polouzavřený Omezené intervaly: množina znázornění na ose zápis intervalu název intervalu x R ;a x b a ;b uzavřený interval a ;b x R ;a x b ( a ;b> polouzavřený interval a ;b x R ;a x b < a ;b) polouzavřený interval a ;b x R ;a x b a ;b otevřený interval a ;b x R ; x a a < a ; ) zleva uzavřený interval a ; x R ; x a a a ; zleva otevřený interval a ; x R ; x a a ( ; a > zprava uzavřený interval ;a x R ; x a a ;a zprava otevřený interval ;a A={x R ; x 3 5} B= 7 ;0 A B=( 7 ; > A B= ;0 < 8 ; ) A B=( ; 7 > <8; ) B A= ;0 8 / 106 IgMen

9 3 Algebraické výrazy práce s mnohočleny, algebraické vzorce Výraz obecně: množinový AI B YC číselný 1 ;; ; 3 výraz s proměnnou 5y 3 ; x lomený výraz 5 x ; a b a b Legenda: 1; ;3;5;...konstanty a ;b...proměnné A ; B ;C...množiny U lomených výrazů a výrazů s odmocninou je nutné udat podmínky pro proměnnou, aby měl výraz smysl. a 6 Např.: c 0 c 3.1 Mnohočleny Mnohočlen obecně: a m x m a m 1 x m 1 a m x m K a 1 x a 0 Např.: x 3x ;3x 5 64x ;5x x Sčítání a odčítání mnohočlenů: Sčítat a odčítat se mohou pouze mnohočleny se stejnou proměnnou a stejnou mocninou dané proměnné. x 3 3x 4x 1 x 4 3x 3 5x =x 4 x 3 8x 4x 3 x 5 6x 4 5x x 3 x 4 5x 3 x 4x 1 = x 5 6x 4 5x x 3 x 4 5x 3 x 4x 1= = x 5 7x 4 5x 3 7x 5x 4 a b c [ b 3c ]=a b c [ b 3c]=a b c b 3c=a b 4c 9 / 106 IgMen

10 Násobení mnohočlenů: 3 4 x 1 6 xy 5 3 4xy = 18x 3 y 4x y 3 40xy 3xy x 3y 4x xy =1x y 1xy 3x y 3 x y 3xy Dělení mnohočlenů jednočlenem: Čísla se dělí, exponenty odčítají. 18a 4 7a 3 9a 90a =a 3 3a a 10 9a podmínka: a 0 Dělení mnohočlenů mnohočlenem: 10 / 106 IgMen

11 3. Algebraické rovnice Součtové vzorce: A B =A AB B A B =A AB B A B C = A B C AB BC CA A B 3 = A 3 3A B 3AB B 3 A B 3 = A 3 3A B 3AB B 3 A B = A B A B A 3 B 3 = A B A AB B A 3 B 3 = A B A AB B x y =x 4xy 4y x 3y 3 =8x 3 36x y 54xy 7y 3 0,001 0,01 x 0,048 x 0,064 x 3 = 0,1 0,4 x 3 Vietovy vzorce: x px q= x x 1 x x x 1 x =q x 1 x = p x 8x 1= x x 6 x 1 x = 6=1 x 1 x = 6=8 x 1 =; x =6 11 / 106 IgMen

12 Rozklad výrazu v součin: 1. vytýkání. pomocí vzorců 3. rozkladem kvadratického trojčlenu pomocí Vietových vzorců 18a 45a 63a 3 =9a 5a 7a x 1 9 = x 1 3 x 1 3 m 6 m 4 m 3 m =m 4 m 1 m m 1 =m 4 m 1 m 1 m m 1 = =m m 1 [m m 1 ]=m m 1 m 3 m x 8x 1= x x 6 x 1 x =1=6 x 1 x =8=6 x 1 =; x =6 1 / 106 IgMen

13 4 Lomené výrazy Rozšiřování lomených výrazů: Lomený výraz se rozšiřuje tak, že se čitatel i jmenovatel násobí stejným výrazem. a r Rozšíření výrazu výrazem r: ;b 0; r 0 b r Rozšiř výraz x výrazem a x. b x a x b a x =ax x ab ax ;ax bx Krácení lomených výrazů: Lomený výraz se krátí tak, že se čitatel i jmenovatel vydělí stejným výrazem. a :r Krácení výrazu výrazem r: ;b 0 ;r 0 b :r a 5 b 3 a3 a 5= b b ;b 0 a b a 4ab b = a b a b a b = a b = a b a ab b a b a b ;a b 18a 30 1a 0a = 6 3a 5 4a 3a 5 = 6 4a = 3 a ;a 0 3x 3xy 3x x y = x y x y x y = 3x x y ; x y Základní tvar zlomku: Je to takový tvar zlomku, který nelze dále krátit. 13 / 106 IgMen

14 Sčítání a odčítání lomených výrazů: 1 3 = = = 7 6 = x y x y y y x x y y y 1 x y = 1 3x = x y 1 x y x ± y 3x y y x y x y = x y x y a 1 a a a a 4 a 1 a a = a 1 a a a a a a 1 a a = = a a 1 a a a a a a a 1 a a = a a a = a a a 4 a 3 4a a 1 a a a 4 = a a 4 = a a a a a a a = a a a 4 a a 4 = a 4 a ± a 0 Násobení lomených výrazů: Lomené výrazy se násobí tak, že se vynásobí čitatel s čitatelem a jmenovatel se jmenovatelem. x 1 x 1 y = x 1 x 1 y x 1 = x 1 y y 3 5x 5y 3x y x y 5 x y x y x y = = 5 y x y =5 x x y 3x y x y 3x y 3x y 14 / 106 IgMen

15 5 Mocniny a odmocniny 5.1 Mocniny a n =a cod a a a n krát a 0 =1 a n = 1 a n r a = r s a r s =a r s a b r =a r b r a b r= ar b r a r a s =a r s a r a s =ar s 5. Odmocniny n a n b= n a b n a=b b n =a n a n b = n a b m a= n m n a n a s = n a s n a= n p a p k n a k m = n a m 15 / 106 IgMen

16 1 = = = = = = 4 3 = = = 3 8 = = =7 3 a b 3 3 c d 1 c4 d 1 a 3 b = a b 3 c d 3 c8 d a 6 b 4 = b3 d 3 a c a6 c 8 b 4 d = d c 6 1 a4 b a 3 b 4 a b 3 = a3 a b 4 b 3 = a5 b 7 =a5 b 7 = a4 c 6 d b 14 n 1 35 n 3 4 3n n = 7 n n n n = = n 7 n 7 5 n 7 n n 3 3n 7 3n n 5 n 7 n = = 3n 3 3n 5 n 7 5n = 3n 3 3n 4 5 n 4 7 5n a a a 5= a 3 a a = a 3 15 a 3 10 a 3 5 = a a a 3 10 = a 4 5 a =a =a 10 =a = a [ a 3 b 1 3] 1 [ a 3 b 1 ] 1 3 = a3 b 1 6 a 3 b 1 6 = a b 3 a 6 b 6 = b 1 6 b 6 1 =b 6 b 3 6 =b 6 =b = b x y a 1 u v a 1 x y a u v a 1 x y a 1 u v = x y a x y u v a u v x y a x y u v a u v 1 x y a x y u v = = x y a x y x y a x y = x y a x y x y a x y x y a x y x y a x y a x y x y =x y 5 b 1 5 b = 1 5 b 5 b = 5 b b 1 16 / 106 IgMen

17 6 Lineární funkce, lineární rovnice 6.1 Lineární funkce y= f x...y je funkcí x Funkce f definovaná na množině M R je pravidlo, které každému prvku x z množiny M přiřadí právě jedno y. Lineární funkce funkce y=ax b (a směrnice, b úsek), kde a a b jsou reálná čísla, se nazývá lineární funkce. Grafem lineární funkce je přímka nebo její část (úsečka, polopřímka). Graf funkce grafem funkce y= f x rozumíme množinu všech bodů [ x; y ] v rovině. Vlastnosti funkce: definiční obor... obor hodnot... sudost... lichost... rostoucí... klesající... prostá... omezenost zdola a shora minimum a maximum D f...množina všech x H f...množina všech y je to množina všech y, ke kterým existuje aspoň jedno x z definičního oboru f x = f x...graf funkce je souměrný podle osy y f x = f x...graf funkce je souměrný podle počátku soustavy souřadnic x 1 x f x 1 f x x 1 x f x 1 f x x 1 x f x 1 f x...jakýmkoli dvěma x nenáleží totéž y 17 / 106 IgMen

18 Zvláštní případy lineární funkce: a=0 ;b=0 y=0...grafem je osa x a=0 ;b 0 y=b...grafem je rovnoběžka s osou x konstantní funkce (b úsek na ose y) a 0 ;b=0 y=ax...grafem je přímka procházející počátkem přímá úměrnost (a směrnice přímky) směrnice y=3x ; D f = 1 ; H f = 5 ; 4 ani sudá, ani lichá rostoucí prostá ,5-1 -0, ,5 1 1,5, y= 0,5 x lichá klesající prostá 1 0,8 0,6 0,4 0, ,5-1 -0,5-0, 0 0,5 1 1,5-0,4-0,6-0, / 106 IgMen

19 6. Lineární rovnice Lineární rovnicí o jedné neznámé nazýváme rovnici ve tvaru ax=b, kde a a b jsou reálná čísla a x je neznámá. Ekvivalentní úpravy: přičtení nebo odečtení stejného výrazu k oběma stranám rovnice vynásobení nebo dělení obou stran stejným nenulovým výrazem Řešení lineárních rovnic: x=1 ; x= 1 rovnice má jediné řešení =; 0=0 rovnice má nekonečně mnoho řešení 3= 1 ; =4 rovnice nemá řešení 3x 1 5 = x = x 1 =1 6x =1 6x=1 6x=3 x= 3 6 x= 1 =0,5 4x 5 =x 1 x 4x 5=x 1 x 4x 5=x x 4x 5=4x 4x 4x=5 0=3 rovnice nemá řešení x 3 =8 1 x 5 x 4x 6=8 8x 5x 10 4x 6=18 13x 4x 13x= x=1 x= x 1 1 x x 1 = x x =60 5 x 1 1x x=60 5x 5 x 14=65 5x x 5x= x=79 x= x 1 3x x 3 6 =x 1 6 3x 1 3x 3x=6x 6 6x 3x 3x=6x 6 6x=6x 6 6x 6x= 6 0= 6 rovnice nemá řešení 19 / 106 IgMen

20 7 Lineární rovnice s parametrem, s absolutní hodnotou 7.1 Lineární rovnice s parametrem Rovnice s parametrem obsahuje kromě neznámých další proměnné, kterým se říká parametry. Je to zápis množiny všech rovnic, které lze získat dosazením všech hodnot, jichž mohou parametry nabývat. Řešení rovnic s parametry spočívá v určení jejich kořenů v závislosti na přípustných hodnotách parametrů. Při řešení lineární rovnice s parametrem se rovnice postupně upravuje v závislosti na hodnotách parametru. x... neznámá p... parametr p 3 x 1= px p p 3 x px= p 1 p p 1 p 1 x= p 1 p=0 0x=1 P 1 = p 0 p 1 p 1 x= p 1 p p= 1 0x=0 P =R p 1 p 1 x= 1 p p=1 0x=1 P 3 = p 1 1 x= p p 1 1 p p 1 } P 4 ={ 0 / 106 IgMen

21 7. Lineární rovnice s absolutní hodnotou x 3 =6 nulový bod: x 3=0 x 0 = 3 ; 3 3; x 3 x 3 x 3 x 3=6 9=x P 1 ={ 9} x 3=6 x=3 P =3 P=P 1 P ={ 9;3} x 7 4x= x 5 nulové body: x 7=0 x 0 =7 x 5=0 x 0 = 5 ; 5 5 ;7 7 ; x 7 x 7 x 7 x 7 x 5 x 5 x 5 x 5 x 7 4x= x 5 3x 7= x 5 5x= x= 5 5} P 1 ={ P=P 1 P P 3 = { 1 ; 5 ; 3 } x 7 4x=x 5 3x 7=x 5 x= 1 P ={ 1} x 7 4x=x 5 5x 7=x 5 3x= x= 3 P 3 = { 3} 1 / 106 IgMen

22 8 Soustava lineárních rovnic 8.1 rovnice o neznámých Metody řešení: 1. sčítací. dosazovací 3. srovnávací (komparační) 4. grafická sčítací dosazovací srovnávací (komparační) 3x y=8 x 5y= 3 3 3x y=8 x 5y= 3 x=5y 3 3x y=8 x 5y= 3 3x y=8 3x 15y=9 17x=17 y=1 3 5y 3 y=8 15y 9 y=8 17y=17 y=1 y= 3x 8 5y=x 3 y= 3 x 4 x 5y= 3 x 5 1= 3 x= x 5y= 3 x 5 1= 3 x= y= 1 5 x 3 5 y= y 3 x 4= 1 5 x = 1 5 x 3 x grafická 3x y=8 x 5y= 3 y= 3x 8 5y=x 3 y= 3 x = x 15x = x 17 5 = x =x = x y= 1 5 x 3 5 x 5y= 3 5y= 3 5=5y 1= y / 106 IgMen

23 8. Frobeniova věta A... matice soustavy A... rozšířená matice soustavy x 1 3x 5x 3 4x 4 =3 x 1 4x 3 x 4 =1 3x 1 x x 3 = A=[ ] A=[ ] soustava lineárních rovnic (m rovnic o n neznámých) homogenní pravé strany všech rovnic soustavy jsou rovny 0 nehomogenní alespoň jedna rovnice soustavy nemá pravou stranu rovnu 0 x y 3z=0 x z=0 3x y z=0 x y z=1 3x y= 4x y z=0 soustava lineárních rovnic má řešení právě tehdy, jestliže hodnost matice rozšířené se rovná hodnosti matice soustavy h A =h A h A =h A =n soustava má jediné řešení (triviální) h A =h A n soustava má nekonečně mnoho řešení h A =h A =n soustava má jediné řešení (Cramerova metoda) h A =h A n soustava má nekonečně mnoho řešení 3 / 106 IgMen

24 x y z=5 3x y z=3 4x y z=10 A=[ ] A=[ ] 3 A=[ ] 1 A=[ ] h A = h A =3 h A h A nehomogenní soustava nemá řešení 4 x y 5z=0 3x 4y 7z=0 5x 6y 9z=0 A=[ ] A=[ ] A=[ ] A=[ ] h A = h A = h A =h A homogenní soustava má nekonečně mnoho řešení 3x 1 x x 3 =4 3x 1 x x 3 =1 x 1 x x 3 =3 h A =3 h A =3 h A =h A =n nehomogenní soustava má jedno řešení A=[ ] A=[ 1 1 3] A=[ ] A=[ ] 4 / 106 IgMen

25 8.3 Cramerova metoda Používá se pouze v případě n rovnic o n neznámých. A...matice soustavy D...determinant matice soustavy D=det A= A A =0...soustava nemá řešení A 0...soustava má právě jedno řešení x=[ x 1 ; x ; x 3 ; K x n ], kde: x i = D i D i {1 ; ;3 ; K n} { x 1 =D 1 D ; x =D D ; x 3 =D 3 D ; K x n =D n D } D i...determinant, který vznikne z determinantu soustavy nahrazením i-tého sloupce sloupcem pravých stran soustavy viz. 3 rovnice o 3 neznámých 5 / 106 IgMen

26 8.4 3 rovnice o 3 neznámých Metody řešení: 1. dosazovací. sčítací 3. Cramerova 4. Gaussova eliminační dosazovací x 3y z=5 z=x 3y 5 3x y z=5 4x y 3z=11 3x y x 3y 5 =5 4x y 3 x 3y 5 =11 3x y 4x 6y 10=5 4x y 6x 9y 15=11 7x 4y=15 10x 8y=6 14x 8y= 30 10x 8y=6 4x= 4 x=1 7x 4y= y=15 4y=8 y= sčítací x 3y z=5 3 3x y z=5 4x y 3z=11 7x 4y=15 10x 8y=6 14x 8y= 30 10x 8y=6 4x= 4 x=1 7x 4y= y=15 4y=8 y= x 3y z=5 z=x 3y 5 z= z=3 x 3y z=5 z=x 3y 5 z= z=3 6 / 106 IgMen

27 Cramerova metoda D=[ 3 1 ] 3 = = =[ ] D 1 5 = = =[ 5 1 ] D 3 5 = = =[ 3 5 D ] = = 48 x= D 1 D = =1 y= D D = 3 16 = z= D 3 D = =3 Gaussova eliminační metoda [ ] 3 [ ] [ ] x 3y z=5 13y 7z= 5 16z=48 z=3 x 3y 3=5 13y 7 3= 5 x 3y=8 13y= 6 y= x 3 =8 x= x=1 7 / 106 IgMen

28 9 Lineární nerovnice, soustava lineárních nerovnic o jedné neznámé 9.1 Lineární nerovnice Lineární nerovnice je každá nerovnice ve tvaru: ax b 0 ax b 0 ax b 0 ax b 0 Ekvivalentní úpravy: přičtení nebo odečtení stejného výrazu k oběma stranám nerovnice vynásobení nebo dělení obou stran stejným nenulovým výrazem (záporný výraz obrací znaménko nerovnosti) Řešení lineárních nerovnic interval. 4u 3 4u 9 3u u 3 5 4u u 4 4u 18 0u 40 45u 60 44u 58 45u 60 newlie 3 u P= ; 3 x 1 3x x 1 4 3x x 6 1x P R 5x 3x x x 3x 4 7 x 3 10x 4 3x 4 7x 1 7x 7x nemá řešení 8 / 106 IgMen

29 Lineární nerovnice v součinovém tvaru: 3x 4 5x 0 x 7 x 3 0 3x 0 4 5x 0 3x 0 4 5x 0 x 7 0 x 3 0 x 7 0 x 3 0 3x 4 5x 3x 4 5x x 7 x 3 x 7 x 3 P 1 = x x 4 5 ; P=P 1 P = P = x x ; 3 ; ; x 7 x 3 P 1 = 3 ; P = x 7 x 3 ; 7 P=P 1 P = ; 7 3; x x 1 3 x x x 3 x 1 0 x 1 x 3x 3 0 x 1 5 x x x 0 x x x 1 P 1 = 5; 5 x 0 x x x 1 P = ;1 P=P 1 P = ;1 5; 9 / 106 IgMen

30 Lineární nerovnice s absolutní hodnotou: 5 x 7 nulový bod: 5 x=0 5=x 0 ;5 5 ; 5 x 5 x x 5 5 x 7 x P 1 = ;5 P=P 1 P = ;1 x 5 7 x 1 P = 5 ;1 x x 3 x 3 nulové bod: x =0 x 0 = x 3=0 x 0 =3 ; ; 3 3 ; x x x x x 3 3 x 3 x x 3 x x 3 3 x x x 3x 3 x P 1 = ; P=P 1 P P 3 = ; 4 ; x x 3 3 x x P = ; x x 3 x 3 6 x x 4 P 3 = 4 ; 30 / 106 IgMen

31 9. Soustava lineárních nerovnic o jedné neznámé 4 x 1 6 x 5 x 1 3x x 1 3 x 4x 4 6x 1 5x 5 16 x 5x x P 1 = ; x x 3x 6 x 3x 6 4 x x P = ; P=P 1 P = ; x x 1 x 1 7x 3 x 3 P 1 = 3; P = 4 5x 4 5 x ; 4 5 x 3 x 1 3x 1 4 x x 1 5x 3 7 x 4 x 3x x 4 3x 3 3x 1 x 7 3x 1 6 4x P 1 = 6 4 x 3 x ; 3 8 4x x 5x 3 6 x 5x 3 3 7x 3 7 x P = ; 3 7 7x 8 x 3x 5x 8 3x x 30 x 15 P 3 = 15; 15; 3 P=P 1 P P 3 = P=P 1 P = 31 / 106 IgMen

32 10 Maticový počet, operace s maticemi, hodnost, determinant 11 a 1 a 13 a 1n A m;n =[a a 1 a a 3 a n a m1 a m a m3 a mn] a mn... prvek matice Matice typu (m;n) je množina m n čísel uspořádaných do obdelníkového tvaru o m řádcích a n sloupcích. =[ ] A 3 ; matice typu (3;4) a 3 =5 a 34 =7 a 11 = Typy matic Nulová matice každý její prvek je roven nule 0 m; n =[ ] Čtvercová matice n-tého stupně má stejný počet řádků i sloupců 11 a 1 a 1n A n =[a a 1 a a n a n1 a n a nn] Diagonální matice čtvercová matice, která má, kromě diagonály ( a n ), všechny prvky nulové A n =[a 0 a a nn] Jednotková matice 0 0 diagonální matice, kde všechny prvky diagonály jsou rovny 1. A n =[1 1] / 106 IgMen

33 Transportovaná matice k matici A m;n - je matice A T typu (m;n) mění se řádky za sloupce a naopak. A=[ ] AT =[ ] 10. Operace s maticemi Rovnost matic: Matice A m;n =[a ij ], B m ; n =[b ij ] jsou si rovny, jestliže a ij =b ij. A= B A=[ ],B= [ ] Sčítání a odčítání matic: A=[ 3 1 ] [ 1 1 ] 1 5, B= C= A B=[ ] [ = C= A B=[ A± B=C a ij ±b ij =c ij 3 8 4] [ 0 = 3 1 1] ] [ ] [ 4 = = ] Násobení matic konstantou: Matice se násobí číslem k R tak, že se tímto číslem vynásobí každý člen matice. k=, A=[ ] k A=[ ] = [ ] 33 / 106 IgMen

34 Násobení matice maticí: Matici A m;n můžeme násobit pouze maticí B n; p, tj. matice B má tolik řádků, kolik má matice A sloupců. Součinem takových dvou matic A B je matice C m; p. A=[ ] [ ],B= 5 1 C= A B=[ c 11 c 1 c 13 c 1 c c c 11 = 3; 1; 4 ;; =3 4 1 =1 4=14 3] c 1 = 3; 1; 1;; 1 = =3 = 1 c 13 = 3; 1; 0;5; 4 = =0 5 8=3 c 1 = ;3; 4; ; = 4 3 =8 6 4=10 c = ;3; 1;; 1 = = 6 =10 c 3 = ;3; 0;5; 4 = =0 15 8= C=[ ] Násobení matic není obecně komutativní: A B B A 10.3 Hodnost matice Hodností matice A rozumíme maximální počet lineárně závislých řádků matice A: A m;n, h A m. Lineárně závislé řádky jeden řádek je násobkem druhého. Hodnost matice se nezmění, při: záměně pořadí řádků násobení řádku číslem různým od nuly přičtení nebo odečtení řádku k jinému řádku přidání nebo vynechání řádku, který je násobkem řádku jiného Regulární a singulární matice: Čtvercová matice A n se nazývá regulární, jestliže hodnost n-té matice je rovna m, jinak se nazývá singulární. Trojúhelníkový tvar matice: Říkáme, že matice má trojúhelníkový tvar, jestliže každý její nenulový řádek začíná větším počtem nul, než řádek předcházející. Má-li matice trojúhelníkový tvar, pak počet jejich nenulových řádků je roven hodnosti matice. 34 / 106 IgMen

35 A=[ ] h A =1 A=[ ] 3 A=[ ] 3 A=[ ] h A = Determinanty 11 a 1 a 1n Nechť je dána čtvercová matice A n =[a a 1 a a n a n1 a n a nn]. Determinantem řádu n matice A nazýváme číslo D a značíme D=det A= A, které definujeme takto: je-li n=1 pak D=a 11 je-li n= pak D=a 11 a a 1 a 1 je-li n=3 pak se D vypočítá Sarrusovým pravidlem je-li n=4 pak se D vypočítá pomocí rozvoje podle libovolného řádku či sloupce Determinanty 1. řádu: [ 5]= 5 Determinanty. řádu: [ 1 3 4] =1 4 3=4 6= [ 5 0 1] =5 1 0=5 0=5 a 1 [ a a] = a a 1 a=a a=a 35 / 106 IgMen

36 Determinanty 3. řádu: [a11 a1 a13 a 1 a a 3 a 31 a 3 a 33]=a 11 a a 33 a 1 a 3 a 31 a 13 a 1 a 3 a 13 a a 31 a 1 a 1 a 33 a 11 a 3 a 3 =D [ 1 3 9] = = =0 7 8 Determinanty 4. řádu: hodnota determinantu se nezmění zaměněním řádků za sloupce jestliže v determinantu jeden řádek tvoří samé nuly, rovná se determinant nule jestliže se v determinantu zamění dva řádky, determinant změní znaménka jestliže má determinant dva řádky stejné, rovná se determinant nule je-li některý řádek determinantu násobkem řádku jiného, rovná se determinant nule násobí-li se některý řádek determinantu D reálným číslem různým od nuly, vznikne determinant D', pro který platí D '= D přičte-li se k některému řádku determinantu násobek jiného řádku, determinant se nezmění D=[ 0 1 ]= [ ] [ ] [ ] 0 [ ] = = = 9 9 9=18 18=0 36 / 106 IgMen

37 11 Kvadratické funkce Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce ve tvaru y=ax bx c ;a,b, c R ;a 0. ax bx c...kvadratický trojčlen ax...kvadratický člen bx...lineární člen c...absolutní člen Graf kvadratické funkce...parabola. Vrchol paraboly... V =[ b b ;c a 4a ] Průsečíky paraboly s osou x... ax bx c=0 Vlastnosti funkce: y=x...základní parabola a 0...parabola otevřená nahoru a 0...parabola otevřená dolů c...průsečík paraboly s osou y y=x V =[ 0;0 ] x 1, = b± b 4ac a = 0± = 0± 0 =0 y= x V =[0 ;] x 1, = b± b 4ac a = 0± = 0± 8 = 37 / 106 IgMen

38 Rovnice tvaru y= x r p : Vlastnosti funkce: Posun vrcholu paraboly ve směru osy y: p 0...nahoru p 0...dolů Posun vrcholu paraboly ve směru osy x: r 0...doleva r 0...doprava y= x 6x 8 y= x 6x 8= x 6x 8 = = x 6x 9 9 8= = x 6x 9 9 8= = x 3 1 V =[ 3;1] 38 / 106 IgMen

39 1 Kvadratická rovnice metody řešení Kvadratická rovnice o jedné neznámé x se nazývá každá rovnice, kterou lze ekvivalentními úpravami převést na tvar: ax bx c=0 ;a 0 ;a,b,c R. ax bx c...kvadratický trojčlen ax...kvadratický člen bx...lineární člen c...absolutní člen Neúplné kvadratické rovnice: ryze kvadratická rovnice b=0 ax c=0 řešení ax c=0 ax = c x = c a x=± c a 4x 5=0 4x =5 x = 5 4 x=± 5 4 x=± 5 3 x=1 4 x x 3 x x =1 x 4 x x 3x 6 x x=x 4 x x 6=x x x 6 x =0 x 8=0 x =8 x=± 8 x=± kvadratická rovnice bez absolutního členu c=0 ax bx=0 řešení ax bx=0 x ax b =0 x 1 =0 ax b=0 ax = b x = b a 39 / 106 IgMen

40 4x 9x=0 x 4x 9 =0 x 1 =0 4x 9=0 4x =9 x = 9 4 3x 5 4x 3 = 4x 5 4x 3 3x 3 3x 3 3x 5 4x 3 3x 3 = 4x 5 4x 3 3x 3 4x 3 3x 3 3x 5 3x 3 = 4x 5 4x 3 9x 9x 15x 15=16x 1x 0x 15 9x 4x 15=16x 3x 15 9x 4x 15 16x 3x 15=0 7x 56x=0 1 7x 56x=0 x 7x 56 =0 x 1 =0 7x 56=0 7x =56 podmínky pro zlomky: 4x 3 0 3x 3 0 4x 3 x 3 3x 3 x 1 4 x = 56 7 x =8 Úplná kvadratická rovnice: a,b, c 0 ax bx c=0 Metody řešení: 1. ax bx c=0 x 1, = b± b 4ac = ± D a a D=b 4ac...diskriminant D 0... řešení (kořeny) D=0...1 řešení (dvojnásobný kořen) D 0... řešení (komplexně sdružená čísla) 40 / 106 IgMen

41 . x px q=0...normalizovaný tvar a=1 x 1 x =q x 1 x = p Rovnice nemá normalizovaný tvar: ax bx c=0 :a x b a x c a =0 x 1 x = c a x 1 x = b a 3. grafická metoda ax bx c=0 ax = bx c y=ax y= bx c x 3x 1=0 1. x 3x 1=0 x 1, = 3± = 3± = 3± 1 4 = 3± = 4 = 4 4 = = 4 4 = 1. x 3x 1=0 : x 3 x 1 =0 x 1 x = 1 = 1 = 1 1 x 1 x = 3 = 1 = 1 = / 106 IgMen

42 3. x 3x 1=0 x = 3x 1 y=x y = 3x 1 x 1 = 1 x = Kvadratická rovnice s absolutní hodnotou x x 1 x 1=0 nulové body: x 0 =x 0 1=0 x 01, = ± = 1± = 1 1 = ± 4 4 = ±sqrt8 = ± sqrt = 1±sqrt = ; 1 1 ; 1 1 ; x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 vyhovující kořeny (podle intervalů) x x 1 x 1=0 x x =0 x 1, = 1± 1 8 x 1, = 1± 9 x 1, = 1±3 1 3 =1 x 1, = 1 3 = x x 1 x 1=0 x 3x=0 x x 3 =0 x 1 =0 x 3=0 3= x x x 1 x 1=0 x x =0 x 1, = 1± 1 8 x 1, = 1± 9 x 1, = 1±3 1 3 =1 x 1, = 1 3 = P 1 = P ={0} P 3 ={1} P=P 1 P P 3 ={0 ;1} 4 / 106 IgMen

43 13 Kvadratické nerovnice Metody řešení 1. početně. graficky početně x x 15 0 x 1 x = 15=3 5 x 1 x ==3 5 x x 15= x 5 x 3 x 5 x 3 0 x 5 0 x 5 0 x 3 0 x 3 0 x 5 x 5 x 3 x 3 P 1 = 5; P = ; 3 P=P 1 P = ; 3 5; graficky x x 15 0 x 1, = ± 4 60 = ± 64 = ±8 = a 0...parabola otevřená nahoru 8 =5 8 = 3 P=P 1 P = ; 3 5; 43 / 106 IgMen

44 13.1 Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou x x 3 x 1 nulové body: x 0 x 0 3=0 x 01, = ± = ± 4 1 = ± 16 = ±4 = 4 =3 4 = 1 ; 1 1;3 3 ; x x 3 x x 3 x x 3 x x 3 x x 3 x 1 x x x x 3x 4 0 x 1, = 3± 9 16 = = 3± 5 = 3±5 = 3 5 = =4 3 5 = 1 x x 3 x 1 x x 3 x 1 0 x x 0 1 x x 0 x 1, = 1± 1 8 = = 1± 9 = 1±3 = 1 3 = = 1 3 = 1 x x 3 x 1 x x x x 3x 4 0 x 1, = 3± 9 16 = = 3± 5 = 3±5 = 3 5 = =4 3 5 = 1 vyhovující kořeny (podle intervalů) P=P 1 P P 3 = ;4 P 1 = ; 1 1; P 1 = P = 1;3 ; 1 ; P = ;3 P 3 = 3; 1 ;4 P 3 = 3;4 44 / 106 IgMen

45 14 Iracionální rovnice Postup řešení: podmínky řešení (zbavení se odmocniny) zkouška Rovnice s neznámou pod odmocninou. x 3 =3 x podmínky: x 3 0 x 6 0 x 6 x 3 řešení: x 3 =3 x x 3 = 3 x x 3 =9 6x x x 6=9 6x x 0=x 8x 15 x 1, = 8± = 8± oba výsledky vyhovují podmínce zkouška: x 3 =3 x x 3 =3 x 3 3 = =3 5 0=0 4= zkoušce vyhovuje pouze jeden výsledek P={3} = 8± 4 = 8± = 8 =5 8 =3 45 / 106 IgMen

46 x 5 x 1=8 podmínky: x 5 0 x 5 x 1 0 x 1 x 5 řešení: x 5 x 1=8 x 5 x 5 x 1 x 1=64 3x 4 x 5 x 1 =64 x 5 x 1 =60 3x 4 x 5 x 1 = x 9x 4 x x 5x 5 = x 9x 4 x 3x 5 = x 9x 8x 1x 0= x 9x 0=9x 8x 360x 1x =x 37x 360 x 1, = 37± =36 = =10 oba výsledky vyhovují podmínce zkouška: x 5 x 1= = = =8 7 19= zkoušce vyhovuje pouze jeden výsledek P={10} = 37± x 5 x 1= = =8 5 3=8 5 3=8 8=8 = 37± = 37±35 = 46 / 106 IgMen

47 4x 8x 5=x 1 řešení: 4x 8x 5=x 1 4x 8x 5=4x 4x 1 4x 4x 4x 1= 8x 5 4x 1= 8x 5 16x 8x 1=8x 5 16x 8x 8x 1 5=0 16x 4=0 16x =4 x = 4 16 x=± 4 16 x=± 4 x=± 1 zkouška: 4x 8x 5=x = = = =0 1 1=0 0=0 0=0 zkoušce vyhovuje pouze jeden výsledek P= { 1 } 4x 8x 5=x = = = = 1 3= = nemá řešení 47 / 106 IgMen

48 15 Shodná zobrazení konstrukční úlohy Shodné zobrazení (shodnost) je každé zobrazení v rovině, které má tu vlastnost, že pro libovolné body A, B této roviny a jejich obrazy A', B' platí, že AB = A' B '. Samodružný bod...bod, který se zobrazí sám do sebe A= A' Samodružný útvar...každý útvar, jehož obraz v daném zobrazení je týž útvar Klasifikace shodností: Identita Středová souměrnost Zobrazení, ve kterém se každý bod zobrazí sám na sebe. Zobrazení v rovině, v němž každý její bod X se pomocí daného bodu S (střed), ležícího v této rovině zobrazí na svůj obraz X takto: 1. X =S X =S = X '. X S X je koncový bod úsečky XX', kde bod S je jejím střědem 48 / 106 IgMen

49 Osová souměrnost Zobrazení v rovině, v němž každý její bod X je pomocí dané přímky o (osa) ležící v této rovině zobrazen na svůj obraz X takto: 1. X o X = X '. X o X ' je koncový bod úsečky XX, jejíž osou je přímka o Posunutí (translace) Je dána orientovaná úsečka AB. Posunutí je shodné zobrazení, které každému X přiřadí X takové, že orientované úsečky XX a AB mají stejnou délku i směr (jsou souhlasně orientovány). Otočení (rotace) Otočení je shodné zobrazení, které přiřazuje každému X S bodu bod X takový, že velikost XS = X ' S a orientovaný úhel XSX má velikost. 49 / 106 IgMen

50 15.1 Shodnost trojúhelníku ABC A' B ' C ' věta sss AB = A' B ' BC = B ' C ' AC = A' C ' věta sus AB = A' B ' AC = A ' C ' BAC B ' A' C ' věta usu AB = A' B ' BAC B ' A' C ' ABC A' B ' C ' věta Ssu AB = A' B ' BC = B' C ' BC AC BAC B ' A' C ' Dva trojúhelníky jsou shodné právě tehdy, když se shodují věta sss ve všech třech stranách věta sus ve dvou stranách a v úhlu jimi sevřeném věta usu ve straně a v úhlech k ní přilehlých věta Ssu ve dvou stranách a v úhlu proti větší z nich Konstrukční úlohy: 1. rozbor. popis konstrukce 3. konstrukce 50 / 106 IgMen

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta

Číslo hodiny. Označení materiálu. 1. Mnohočleny. 25. Zlomky. 26. Opakování učiva 7. ročníku. 27. Druhá mocnina, odmocnina, Pythagorova věta 1. Mnohočleny 2. Rovnice rovné nule 3. Nerovnice různé od nuly 4. Lomený výraz 5. Krácení lomených výrazů 6. Rozšiřování lomených výrazů 7. Sčítání lomených výrazů 8. Odčítání lomených výrazů 9. Násobení

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů MATEMATIKA Gymnázium PORG Libeň PORG Libeň je reálné gymnázium se všeobecným zaměřením, matematika je tedy na PORGu pilotním předmětem vyučovaným celých osm let. I. Cíle výuky Naši studenti jsou připravováni

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno:

Autoevaluační karta. Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875. obchodní akademie. ekonomika, účetnictví, daně. Školní rok: Jméno: Autoevaluační karta Škola: Obchodní akademie Pelhřimov, Jirsíkova 875 Obor: obchodní akademie Zaměření: ekonomika, účetnictví, daně Školní rok: Předmět: matematika Třída: 1. A Jméno: TEMATICKÝ CELEK: Znalosti

Více

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É

1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A 1. 2 D Ě L I T E L N O S T 1. 3 P R V O Č Í S L O A Č Í S L O S L O Ž E N É 1. Č Í S E L N É O B O R Y 1. 1 P Ř I R O Z E N Á Č Í S L A Přirozená čísla (definice, značení, množinový zápis) Číslice (cifry 0 9) Číslo (rozvinutý resp. zkrácený zápis přirozeného čísla v desítkové

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Technické lyceum. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 72/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Technické lyceum (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

Cvičení z matematiky - volitelný předmět

Cvičení z matematiky - volitelný předmět Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Cvičení z matematiky - volitelný předmět 3. období 9. ročník Sbírky úloh, Testy k přijímacím zkouškám, Testy Scio, Kalibro aj. Očekávané výstupy předmětu

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematický kroužek pro nadané žáky ročník 9. Školní rok 2013/2014 Mgr. Lenka Mateová Kapitola Téma (Učivo) Znalosti a dovednosti (výstup)

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Matematika (MAT) Náplň: Rovnice a nerovnice, kruhy a válce, úměrnost, geometrické konstrukce, výrazy 2 Třída: Tercie Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: Učebna s PC a dataprojektorem (interaktivní

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Školní výstupy Učivo Průřezová témata Mezipředmětové vztahy

Školní výstupy Učivo Průřezová témata Mezipředmětové vztahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRIMA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Mezipředmětové vztahy Žák: rozlišuje pojmy násobek, dělitel definuje prvočíslo, číslo složené, sudé a liché číslo, čísla soudělná

Více

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,

Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu.

Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY. A. Charakteristika vyučovacího předmětu. Vyučovací předmět: CVIČENÍ Z MATEMATIKY A. Charakteristika vyučovacího předmětu. a) Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky je vzdělávací

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM

ŠKOLNÍ VZDĚLÁVACÍ PROGRAM Vyučovací předmět : Období ročník : Učební texty : Matematika 3. období 9. ročník J.Coufalová : Matematika pro 9.ročník ZŠ (Fortuna) Očekávané výstupy předmětu Na konci 3. období základního vzdělávání

Více

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika

UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE. Matematika a její aplikace Matematika UČEBNÍ OSNOVY ZŠ a MŠ CHRAŠTICE Vzdělávací oblast : : Cílové zaměření vzdělávací oblasti Učíme žáky využívat matematických poznatků a dovedností v praktických činnostech rozvíjet pamětˇ žáků prostřednictvím

Více

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRVNÍ/KVINTA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy Žák určuje číselný obor daného čísla (N, Z, Q, R) a rozlišuje základní vlastnosti číselných oborů pracuje

Více

Vzdělávací obor matematika

Vzdělávací obor matematika "Cesta k osobnosti" 6.ročník Hlavní okruhy Očekávané výstupy dle RVP ZV Metody práce (praktická cvičení) obor navázání na již zvládnuté ročník 1. ČÍSLO A Žák používá početní operace v oboru de- Dělitelnost

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Volitelné předměty Matematika a její aplikace

Volitelné předměty Matematika a její aplikace Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět: Volitelné předměty Matematika a její aplikace Cvičení z matematiky Charakteristika předmětu: Vzdělávací obsah: Základem vzdělávacího obsahu předmětu Cvičení z matematiky

Více

-Zobrazí čísla a nulu na číselné ose

-Zobrazí čísla a nulu na číselné ose Dodatek k ŠVP č. 38 Výstupy matematika 6. ročník doplnění standardů RVP 6. ročník ŠVP 6.ročník Učivo Matematika Doplnění podle standardů Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel

Více

Matematika I pracovní listy

Matematika I pracovní listy Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny

Více

Výstupy Učivo Průřezová témata

Výstupy Učivo Průřezová témata 5.2.4.2. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu VZDĚLÁVACÍ OBLAST: Matematika a její aplikace PŘEDMĚT: Matematika ROČNÍK: 6. Výstupy Učivo Průřezová témata - provádí početní operace s přirozenými čísly

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

3.4.1. Tabulace učebního plánu

3.4.1. Tabulace učebního plánu 3.4.1. Tabulace učebního plánu Vzdělávací obsah pro vyučovací předmět: MATEMATIKA Ročník: Kvinta, 1. ročník Tématická Číselné obory Druhy čísel (N, Z, Q, R, I) - prezentuje přehled číselných oborů Mocniny

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Rozšířená výuka matematiky Ročník: 7.

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Rozšířená výuka matematiky Ročník: 7. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Rozšířená výuka matematiky Ročník: 7. Žák: modeluje a zapisuje zlomkem část celku převádí zlomky na des. čísla a naopak porovnává zlomky

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA G5 VÝSTUP 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace. Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Mezipředmětové vztahy, průřezová témata, projekty, kurzy Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Ročník: 6. Žák: čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla provádí početní operace s přirozenými čísly zpaměti a písemně provádí

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

4. 2 VZDĚLÁVACÍ OBLAST MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Nižší stupeň víceletého gymnázia 4.2.1 Matematika

4. 2 VZDĚLÁVACÍ OBLAST MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Nižší stupeň víceletého gymnázia 4.2.1 Matematika 2 VZDĚLÁVACÍ OBLAST MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Nižší stupeň víceletého gymnázia 1 Matematika Hodinová dotace Matematika 4 4 4 4 Realizuje obsah vzdělávacího oboru Matematika a její aplikace RVP ZV. Matematika

Více

5.2.2 Matematika - 2. stupeň

5.2.2 Matematika - 2. stupeň 5.2.2 Matematika - 2. stupeň Charakteristika předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu: Vyučovací předmět Matematika na 2. stupni školy navazuje svým vzdělávacím obsahem na předmět Matematika

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 9. Matematika 104 Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA

UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA UČEBNÍ OSNOVY VYUČOVACÍHO PŘEDMĚTU MATEMATIKA 1. Obsahové vymezení předmětu Matematika prolíná celým základním vzděláváním a její výuka vede žáky především předmět Matematika zahrnuje vzdělávací Matematika

Více

Sbírka. úloh z matematiky. pro 3. ročník. tříletých učebních oborů

Sbírka. úloh z matematiky. pro 3. ročník. tříletých učebních oborů Sbírka úloh z matematiky pro 3. ročník tříletých učebních oborů Jméno: Třída: 1 Obsah Funkce 3 Lineární funkce 6 Kvadratické funkce 13 Nepřímá úměrnost 15 Rostoucí a klesající funkce 17 Orientovaný úhel

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 7. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel zaokrouhluje, provádí odhady

Více

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace Oblast Předmět Období Časová dotace Místo realizace Charakteristika předmětu Průřezová témata Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace 1. 9. ročník 1. ročník 4 hodiny týdně 2. 5. ročník 5

Více

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky

Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky. otázka. Řešení logaritmických rovnic Řešte rovnici s neznámou x R:. log(x 2 +) log(x+) = 2 2. log 2 2 x + 2 log 2 x = 0. log x + log x =.

Více

Osobnostní a sociální výchova osobnostní rozvoj řešení problémů a rozhodovací dovednosti uplatní se při řešení všech problémových úloh

Osobnostní a sociální výchova osobnostní rozvoj řešení problémů a rozhodovací dovednosti uplatní se při řešení všech problémových úloh Vzdělávací oblast - Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu: Vyučovací předmět Matematika je zařazen samostatně v 6. 9. ročníku v hodinové dotaci 4,4,4,5.

Více

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi

Lineární algebra. Matice, operace s maticemi Lineární algebra Matice, operace s maticemi Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Inovace magisterského studijního programu Fakulty ekonomiky a managementu Registrační číslo

Více

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení MATEMATIKA 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení Obsah vyučovacího předmětu Matematika je totožný s obsahem vyučovacího oboru Matematika a její aplikace.

Více

Učební osnovy oblasti

Učební osnovy oblasti školní vzdělávací program Školní vzdělávací program pro základní vzdělávání - pie Sluníčko oblasti 1 a její aplikace Charakteristika oblasti Charakteristika vzdělávací oblasti Vzdělávací oblast je založena

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1

Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1. Funkce pro UO 1 Poznámky pro žáky s poruchami učení z matematiky 2. ročník 2005/2006 str. 1 Funkce pro UO 1 Co je to matematická funkce? Mějme dvě množiny čísel. Množinu A a množinu B, které jsou neprázdné. Jestliže přiřadíme

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více