Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ VĚRA JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku:

Transkript

1 Předmět: Roční: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ VĚRA JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celu: NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST, MOCNINNÁ FUNKCE, INVERZNÍ FUNKCE NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST Nepřímá úměrnost je aždá funce daná rovnicí y ; R 0, R 0. Definiční obor: D f R 0 ;0 0; Obor hodnot: H f R 0 Grafem nepřímé úměrnosti je hyperbola. y / y y 0 Úloha: Sestrojte do jednoho souřadného systému grafy funcí f : y pro,,,,,. Využijte přitom následující tabuly a doplňte v ní údaje potřebné sestrojení grafů. y y y y y y

2 > 0 Řešení: Je-li jde o funci y V tabulce doplníme hodnoty y pro dané hodnoty (viz. řáde) a sestrojíme graf funce (viz obr.) Doplňte předpis funce a údaje ve výše uvedené tabulce a pa sestrojte grafy do téhož souřadného systému: Je-li jde o funci Je-li jde o funci y y

3 < 0 Řešení: Je-li jde o funci y V tabulce doplníme hodnoty y pro dané hodnoty (viz 5. řáde) a sestrojíme graf funce (viz obr.) Doplňte předpis funce a údaje ve výše uvedené tabulce a pa sestrojte grafy do téhož souřadného systému: Je-li jde o funci Je-li jde o funci y y Závěr: ;. ;. Osa a osa y jsou asymptoty hyperboly, tj. přímy, e terým se hyperbola neomezeně přibližuje, ale nidy se s nimi neprotne a ani se jich nedotne. Pro > 0 je funce lichá, lesá v intervalu 00; Pro < 0 je funce lichá, roste v intervalu 00;

4 Řešený přílad : Ozubené olo o průměru d mm vyoná n otáče za minutu a zasahuje do jiného ozubeného ola o průměru 00 mm, teré se otočí za minutu 8 rát. Najděte funci, terá udává závislost n na d. Řešení: Jde o nepřímou úměru. Čím větší je průměr ozubeného ola, tím vyoná olo méně otáče za jednu minutu.. průměr ozubeného ola. d mm. n otáče / min. průměr ozubeného ola. 00 mm. 8 otáče / min n 00 8 d / 8 00 n 8 d 600 n ; d 0; d Řešený přílad : Ozubené olo má 05 zubů a otočí se rát za minutu. a) Koli zubů má druhé olo souolí, otáčí-li se 6 rát za minutu? b) Kolirát se otočí třetí olo souolí zapadajícího do prvního ola, má-li 54 zubů? Řešení: Jde o nepřímou úměru. a) 05zubů. ot/min zubů. 6 ot/min 05 6 / zubů Druhé olo souolí má 85 zubů. b) 05zubů. ot/min 54zubů. ot/min / ot/min Třetí olo souolí se otočí 5 rát za minutu. 4

5 Řešený přílad : Určete interval, v němž je funční hodnota funce Řešení: 4 0, y menší než 0, _ _ 40 ; 7 ;0 5

6 6 PRACOVNÍ LIST A Přílad : Je dána funce. : y Určete. 4, 4,,,,,,,, Sestrojte příslušné uspořádané dvojice v artézsé soustavě souřadnic. Potom sestrojte graf funce.

7 Přílad : Sestrojte grafy následujících funcí. Návod: vyjděte z grafů funcí y a y a užijte vhodného posunutí. a) : y f b) g : y Přílad : Žáci druhého ročníu gymnázia se rozhodli v rámci zlepšování životního prostředí vysadit v oolí šoly 00 orasných eřů. Určete, oli eřů musí aždý z nich průměrně vysadit, zúčastní-li se brigády, 0 nebo všech 5 žáů? Potom určete funci vyjadřující závislost počtu eřů, teré musí vysadit průměrně jeden brigádní, na počtu žáů, teří se brigády zúčastní. 7

8 Přílad 4: Vzdálenost mezi městy A, B je 40 m. Určete funci, terá udává závislost doby jízdy automobilu z města A do města B na jeho průměrné rychlosti. Předpoládejte, že minimální rychlost jízdy je 0 m/h a maimální rychlost jízdy je 80 m/h. Sestrojte graf této funce. Z grafu pa určete přibližnou dobu jízdy pro průměrnou rychlost 40 m/h a 76 m/h. Přílad 5: V rovnici y určete ta, aby graf funce procházel bodem 5; 8 D. Přílad 6: Automobil jedoucí rychlostí 50 m/h ujede určitou dráhu za,5 hodiny. Vypočítejte: a) Za ja dlouho ujede automobil tuto dráhu rychlostí 70 m/h. b) Jaou rychlostí musí automobil jet, aby tuto vzdálenost projel za hodiny. Přílad 7: Supina stejně výonných dělníů vyoná určitou práci za 40 dní. Vyjádřete, ja bude záviset počet dní, dy je tato práce vyonána, na počtu dělníů y. 8

9 MOCNINNÁ FUNKCE n Mocninná funce je aždá funce daná rovnicí y a ; a 0 ; R ; n Z I. n y f R D ; n Z a) n sudé: y ; 4 y ; 6 y... y y = Vlastnosti funce: D f R H f 0 ; ) R lesající v intervalu ;0 rostoucí v intervalu sudá zdola omezená 0 ; 9

10 b) n liché: y ; y ; 5 y... y y = Vlastnosti funce: D f R H f ; R rostoucí v množině R (v celém svém definičním oboru) lichá není omezená 0

11 II. 0 y R 0 ; tj. n je neurčitý výraz!!! R 0 : 0 y jde o onstantní funci y y = 0 III. y ; n ; Z n Z y n n Z y n 0 D f R 0

12 a) n sudé: y ; y ; 4 y 6 y y Vlastnosti funce: D f R 0 H f 0 ; R ;0 0 ; rostoucí v intervalu lesající v intervalu sudá zdola omezená

13 b) n liché: y ; y ; y 5 y y Vlastnosti funce: D f R 0 H f R 0 ;0 0; lesající v celém definičním oboru, tj. v intervalu ; 0 0; lichá

14 PRACOVNÍ LIST B Přílad : Porovnejte podle veliosti následující mocniny. Využijte přitom znalostí o grafu mocninné funce: ) ) , ) 0, ) 4 0,7 0,7 4 5) 5 6 4

15 Přílad : Porovnejte podle veliosti následující mocniny. Využijte přitom znalostí o grafu mocninné funce: ) 05 0,5 ),, ) 4,8 4 4,9 4 4) 4,8 4 4,9 4 5) 5 6 5

16 Přílad : Načrtněte grafy funcí: a) y b) y 4 c) 5 y 6

17 Je-li f funce, pa symbolem teré platí: y; f ; y f. INVERZNÍ FUNKCE f budeme označovat množinu uspořádaných dvojic ; RR, y pro Řešený přílad : m. Určete množinu m. Je dána funce ;, ;, ;, ;4, ; Řešení: Zaměníme složy uspořádaných dvojic m ;, ;, ;, 4;, ; Závěr:. Množina m není funce, neboť číslu jsou přiřazena dvě různá čísla: a. Množina m je funce, ale není prostá, protože nesplňuje podmínu: f f Definice: Nechť f je funce. Množina Nechť f je funce prostá, pa f je funcí právě tehdy, dyž funce f je prostá. f je funce a nazývá se inverzní funcí funci f. Řešený přílad : K funci f : y 5 najděte množinu do téhož souřadnicového systému. Řešení: Funci můžeme zapsat jao množinu uspořádaných dvojic: f 0;5, ;8, ;,... Záměnou proměnných dostaneme inverzní množinu: f 5;0, 8;, ;,... f a rozhodněte, zda je to funce. Zobrazte grafy obou funcí Funce : y 5 funci f. f je prostá, protože je to funce rostoucí množina f bude inverzní funcí 7

18 a) Určíme inverzní funci funci f : y 5 :. Provedeme záměnu proměnných y : y 5. Vyjádříme y : y 5 5 y Dostaneme inverzní funci: f : y 5 b) Sestrojíme grafy obou funcí: - 0 f : y 5 f : 5 y - 0 y f f 8

19 PRACOVNÍ LIST C Přílad : Je dána funce f : y ; ;. Zobrazte tuto funci i funci systému. Určete definiční obor a obor hodnot obou funcí. f do téhož souřadnicového Přílad : f (; ). Je dána funce : y ; Určete definiční obor a obor hodnot dané funce i funce ní inverzní. Sestrojte grafy obou funcí do téhož souřadnicového systému. 9

20 Přílad : Sestrojte v téže artézsé soustavě graf funce : y ; f 0; a graf funce ní inverzní. Přílad 4: Rozhodněte, zda dané dvojice jsou dvojicemi inverzních funcí a) u : y 5; ( ; ) v : y 5 ; (;) b) u : y 4 v : y c) u : y ; 0; v : y ; ; 5 0

21 Přílad 5: Zareslete do téhož souřadnicového systému graf funce f : y ; 0 a funce f a určete definiční obor a obor hodnot obou funcí. Seznam použité literatury a internetových zdrojů Výuové materiály a něteré úlohy a cvičení jsou autorsy vytvořeny pro učební materiál. O. ODVÁRKO: Matematia pro gymnázia Funce. Prometheus, 005 J. PETÁKOVÁ: Matematia příprava maturitě a přijímacím zoušám na vysoé šoly. Prometheus, 998 P. BOUCNÍK, P. ČERMÁK, P. ČERVINKOVÁ: Odmaturuj z matematiy. Didatis 004 P. BOUCNÍK, J. HERMAN, P. KRUPKA, J. ŠIMŠA: Odmaturuj z matematiy. Didatis 004