OBVODY STŘÍDAVÉHO PROUDU S LINEÁRNÍMI JEDNOBRANY A DVOJBRANY. Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o fyziku Přemysl Šedivý

Transkript

1 OBVODY STŘÍDAVÉHO POUDU S LINEÁNÍMI JEDNOBANY A DVOJBANY Studijní text pro řešitele FO a ostatní zájemce o yziku Přemysl Šedivý Obsah Jednoduchý obvod střídavého proudu Řešení obvodů střídavého proudu pomocí ázorového diagramu Užití komplexních veličin při řešení obvodů střídavého proudu symbolická metoda 8 3 Lineární jednobrany Impedance, admitance 0 4 Impedance v jednoduchém obvodu střídavého proudu 5 Spojování jednobranů 6 Frekvenční charakteristiky lineárních impedančních jednobranů 7 7 Jednoduché rezonanční jednobrany 8 Univerzální rekvenční charakteristiky rezonančních jednobranů Šířka pásma 8 9 Lineární dvojbrany Napěťový přenos 3 0 Náměty laboratorních prací 40 0 Měření indukčnosti a rezistance cívky metodou tří voltmetrů 40 0 Frekvenční charakteristiky indukčnosti a rezistance cívky 4 03 Určení rekvenčních charakteristik sériového jednobranu C a nezatíženéhodvojbranuc UrčenírekvenčníchcharakteristikWienovačlenu 45 Výsledky úloh 47

2 Jednoduchý obvod střídavého proudu Řešení obvodů střídavého proudu pomocí ázorového diagramu V tomto textu se budeme zabývat elektrickými obvody sestavenými z ideálních rezistorů, kondenzátorů a cívek připojenými k ideálním zdrojům harmonického střídavého napětí Takovéto zidealizované obvody mohou velmi dobře modelovat reálné obvody v nejrůznějších elektrotechnických zařízeních ezistory,kondenzátoryacívkyjsoulineárnísoučástkyamplituda I mstřídavého prouduprocházejícíhosoučástkoujepřímoúměrnáamplitudě U mstřídavéhonapětí Totéž platí o eektivních hodnotách proudu a napětí I= I m/, U= U m/, které budeme ve výpočtech používat častěji Voltampérová charakteristika rezistoru nezávisí na rekvenci proudu U kondenzátoru se s rostoucí rekvencí sklon charakteristiky zvětšuje a u cívky se naopak zmenšuje(obr -) I I I C U U U L I I I U U U 500 Hz 500 Hz Obr - Fázor(časový vektor)um harmonicky kmitajícího napětí určuje svou velikostí amplitudukmitů U m asvýmsměremjejich počátečníázi 0 (obr-)začne-lise včase t=0ázornapětíotáčetvkladnémsmysluúhlovourychlostí ω,budesvislá souřadnice ázoru rovna okamžité hodnotě napětí u=u msin(ωt+ 0) Stejným způsobem deinujeme ázor prouduim Fázorové diagramy jsou vhodné pro řešení jednodušších obvodů Zopakujme si nejprve, jak vypadají ázorové diagramy jednoduchých obvodů střídavého proudu s rezistorem, kondenzátorem a cívkou

3 u ωtum 0 t Obr - V obvodu s ideálním rezistorem je vztah mezi napětím a proudem vyjádřen Ohmovým zákonem u i = U I = Um = =konst I m Fázor napětí a ázor proudu mají stejný směr(obr -3) Veličinu nazýváme rezistance Neliší se od stejnosměrného odporu rezistoru ImUm i u t Obr -3 V obvodu s ideálním kondenzátorem je okamžitý náboj na deskách kondenzátoru přímo úměrný okamžitému napětí q= Cu a okamžitý proud určíme ze vztahu i= dq dt = Cdu dt Jestližeokamžitáhodnotanapětíje u=u msin(ωt+ 0),pak i=ωcu mcos(ωt+ 0)=I mcos(ωt+ 0) Im i u Um t Obr -4 3

4 Veličina U m = U I m I = ωc = XC je kapacitní reaktance(kapacitance) kondenzátoru V obvodu s kondenzátorem předbíhá proud před napětím o čtvrtinu periody, ázově o p/ Fázory obou veličin jsou navzájem kolmé(obr -4) V obvodu s ideální cívkou platí zákon elektromagnetické indukce ve tvaru Jestliže okamžitá hodnota proudu je pak Veličina u L= L di dt i=i msin(ωt+ 0), u=ωli mcos(ωt+ 0)=U mcos(ωt+ 0) U m I m = U I = ωl=xl je induktivní reaktance(induktance) cívky V obvodu s cívkou je proud opožděn za napětím o čtvrtinu periody, ázově o p/ Fázory obou veličin jsou navzájem kolmé (obr -5) Um u i Im t Obr -5 Fázové posunutí mezi napětím a proudem deinujeme vztahem = U I U cívky, kde napětí předbíhá před proudem, je kladné; u kondenzátoru je záporné V praktických situacích známe častěji eektivní hodnoty střídavých napětí a proudů než jejich amplitudy Proto i ve ázorových diagramech střídavých obvodů místo ázorů Um,Im používáme ázoryu,io velikostech rovných eektivním hodnotám U, I V sériově zapojeném obvodu je ázor proudu pro všechny součástky společný Obvykle jej umisťujeme do základní polohy na vodorovné ose a počáteční ázi proudu tedy volíme nulovou Fázor výsledného napětí je vektorovým součtem 4

5 ázorů napětí na jednotlivých součástkách Na obr -6 je schéma a ázorový diagram sériového obvodu LC Fázor proudu, který je společný pro všechny součástky,volímevzákladnípoloze( 0=0) Zdiagramusnadnoodvodímevztahypro výpočet výsledného napětí a ázového posunutí mezi napětím a proudem: U= U=U+UL+UC, U +(UL UC) = I + ( I ωl ) UL UC ωc tg = = = U I U I L U L I UL U U C UUC U C ( ωl ), ωc ωl ωc Obr -6 V paralelně zapojeném obvodu je pro všechny součástky společný ázor napětí a obvykle jej umisťujeme do základní polohy na vodorovné ose Fázor výsledného proudu je vektorovým součtem ázorů proudů procházejících jednotlivými součástkami Na obr -7 je schéma a ázorový diagram paralelního obvodu LC Z něj odvodíme vztahy pro výpočet výsledného proudu a ázového posunutí mezinapětímaproudem: I= tg = I=I+IL+IC, I +(IC IL) = U + ( ωc ωl ), ( ) U IL IC ωl ωc ( ) = = I U ωl ωc Všimnětesi,žeázovéposunutíjekladné,když I L > I C 5

6 I I L I I C IC IIU U L C IL Obr -7 Příklad Kondenzátor o kapacitě 3 mf a cívka byly sériově připojeny k síťovému transormátoru ( = 50 Hz) Vlastnosti kondenzátoru se přibližují vlastnostem kondenzátoru ideálního Cívku si můžeme představit jako sériové spojení ideální cívky o indukčnosti L saideálníhorezistoruorezistanci svoltmetrembylavobvoduzměřenanapětí U=0,5V, U C=8,0V, U L=4,5V (obr-8) Narýsujteázorovýdiagramobvoduaurčeteveličiny L sa s Řešení Fázorový diagram obvodu je na obr -8 Fázor prouduivolíme v základní poloze tím je dána i poloha ázoruuc Zbývající ázory dostaneme doplněním obrazce na trojúhelník a na rovnoběžník Velikosti ázorů vynášíme v eektivních hodnotách velikostiázorůsetímzmenší krátzázorovéhodiagramuurčímeúhel,který svíráázornapětíulsázoremproudui: U = U C+ U L U CU Lcos ψ= U C+ U L U CU Lsin, Obvodem prochází proud sin = U C+ U L U U CU L I= UC X C = ωcu C Z ázorového diagramu samotné cívky(obr -9) odvodíme U = U Lcos, U L= U Lsin, s= U I, UL Ls= ωi Numericky: =54,3, I=0,8A, s=47ω, L s=0,h 6

7 I L s, s C U L U C U UC ψ UI UL I L s s U L U U UL I UL U Obr -8 Obr-9 Úlohy Žárovkusjmenovitýmihodnotaminapětíaproudu U jm=6,3v, I jm=0,0a chceme napájet ze síťového transormátoru, jehož sekundární vinutí má eektivní hodnotu napětí V Jak velkou kapacitu musí mít sériově připojený kondenzátor, aby byly dodrženy jmenovité hodnoty? Jak velké napětí na kondenzátoru naměříme? Jaké bude ázové posunutí mezi celkovým napětím a proudem? Kondenzátorokapacitě,0 mfarezistoroodporukωjsouparalelněpřipojeny któnovémugenerátoruorekvenci,0khzcelkovýproudvobvoduje4,0majaké proudy procházejí oběma součástkami? Jaké je svorkové napětí generátoru? Jaké je ázové posunutí mezi celkovým napětím a proudem? 7

8 Užití komplexních veličin při řešení obvodů střídavého proudu symbolická metoda Symbolickou metodu používáme při řešení složitějších obvodů Fázory napětí a proudu považujeme za komplexní veličiny zobrazené v Gaussově rovině Také vztahy mezi jednotlivými ázory v obvodu vyjadřujeme pomocí komplexních veličin S komplexními veličinami počítáme stejně jako s komplexními čísly v matematice Z praktických důvodů je však orma zápisu poněkud odlišná Komplexní veličiny budeme zapisovat v algebraickém, goniometrickém nebo exponenciálnímtvaru:a=ea+j ImA=A(cos +j sin )=Ae j, kde ea=a cos jereálnásložka, ImA= A sin je imaginární složka, j= jeimaginárníjednotka, A= A = e A+Im Ajeabsolutníhodnota, je argument VpsanémtextupoužijemeprokomplexníveličinuAsymbol Apodobnějakoujiných vektorů Komplexní veličina má kromě absolutní hodnoty a argumentu i yzikální jednotku Dvě komplexní veličinya,bjsou si rovny právě tehdy, když ea= eb, ImA= ImB Součet dvou B A+B komplexních veličina,btéhož druhu je deinován vztahem A+B=eA+eB+j(ImA+ImB), kterému odpovídá A A B vektorový součet v Gaussově rovině(obr -) Im Im A Im e Obr - Be A AB Be Obr-,Obr-3 8

9 Součin dvou komplexních veličina,bje deinován vztahem A B=eA eb ImA ImB+j(eA ImB+ImA eb) Absolutní hodnota součinu je rovna součinu absolutních hodnot obou činitelů a argument součinu je součtem argumentů(obr -) AB =AB, AB= A+ B Podíl dvou komplexních veličina,bupravujeme obvykle na tvar AB=A B B = (ea+j ImA)(eB j ImB) (eb) +(ImB), kdeb =eb j ImBjeveličinakomplexněsdruženákveličiněB Absolutní hodnota podílu je rovna podílu absolutních hodnot obou veličin a argument podílu je roven rozdílu obou argumentů(obr -3) AB = A, A/B= A B B Im j A A A Im Ae jψ e jψ ψ e e j A Ae jψ Obr -4 Obr -5 Vynásobíme-li komplexní veličinu komplexní jednotkou e jψ =cos ψ+jsin ψ, otočísejejíobrazvgaussověroviněoúhel ψabsolutníhodnotaveličinysepřitom nezměnívydělíme-likomplexníveličinukomplexníjednotkou e jψ (cožjetotéž, jakokdyžjivynásobímekomplexníjednotkou e jψ ), otočísejejíobrazvgaussově rovině o úhel ψ (obr -4) Otočení o p/ dosáhneme vynásobením komplexní veličiny komplexní jednotkou j = cos(p/) + j sin(p/) Podobně otočení o p/ dosáhneme vynásobením komplexní jednotkou j = cos(p/) j sin(p/) (obr -5) 9

10 Také otáčení ázoru napětí nebo Uproudu v závislosti na čase můžeme vyjádřit pomocí násobení komplexní jednotkou(obr -6) Poloha ázoru napětí v čase t je určena komplexníveličinouu e jωt = U m e j0 e jωt = U m e j(ωt+0) Im u Ue jωt ωt 0 e t Obr -6 3 Lineární jednobrany Impedance, admitance Jednobran je do obvodu připojen pomocí jediné dvojice svorek(obr 3-) Může být tvořen jedinou součástkou, nebo větším počtem součástek různě propojených Jednobrany sestavené z rezistorů, kondenzátorů a cívek mají při konstantní rekvenci střídavého proudu lineární voltampérovou charakteristiku celkový proud I je přímo úměrný celkovému napětí U Jednobran složený pouze z rezistorů(odporový jednobran)sevobvoduchovájakojedinýrezistorcelkovýproudjeveáziscelkovým napětím a voltampérová charakteristika nezávisí na rekvenci Jestliže se však v jednobranu vyskytují kondenzátory nebo cívky, dochází zpravidla mezi celkovým proudem a celkovým napětím k ázovému posunutí, jehož velikost závisí na rekvenci, a voltampérová charakteristika má pro různé rekvence různý sklon Použijeme-li pro popis obvodu s lineárním jednobranem symbolickou metodu, považujeme ázory napětí a prouduu,iza komplexní veličiny zobrazené v Gaussově rovině Poměr těchto veličin se nazývá impedance jednobranu: Z=UI Při stálé rekvenci střídavého proudu je impedance lineárního jednobranu konstantní a zcela vyjadřuje jeho vlastnosti Absolutní hodnotu a argument impedance určíme pomocí vztahů Z= U I = Um I m, Z= U I Řešení některých úloh se zjednoduší zavedením veličiny převrácené k impedanci, která 0

11 se nazývá admitance Y= Z=IU, Y = I m = =, Y= Z= I U Z IU U m I Vztah mezi ázemi ázorůu,ia argumenty veličinz,yznázorňuje Z obr 3- Im I U Z U Y U I I U e Obr 3- Obr 3-4 Impedance v jednoduchém obvodu střídavého proudu Základní poznatky o jednoduchých obvodech střídavého proudu, které jsme zopakovali v kap, můžeme vyjádřit také takto: V obvodu s rezistorem platí Z= U I =, U= I, Z=0, Z= (cos0+jsin0)=,y= V obvodu s kondenzátorem je ázor napětí opožděn o p/ za ázorem proudu Platí Z= U I = XC= ωc, Z= U I= p, Z= ωc [ cos ( p ) +jsin ( p )] = j ωc = jωc Y=j ωc Vobvoduscívkoupředbíháázornapětíop/předázoremprouduPlatí Z= ωl [ Z= U I = XL= ωl, Z= U I=p, cos ( p ) +jsin ( p )] =jωl, Y= jωl = j ωl

12 5 Spojování jednobranů Při sériovém spojení několika jednobranů(obr 5-) je ázor prouduispolečný pro všechny jednobrany a ázor celkového napětí je vektorovým součtem jednotlivých ázorů napětí: Celková impedance obvodu je Z=UI=U I+U U=U+U+ +UN I+ +UN I=Z+Z+ +ZN Fázor celkového napětí se rozloží na jednotlivé jednobrany v poměru U:U:U: :UN=Z:Z:Z: :ZN Podobný vztah je i mezi eektivními hodnotami napětí, amplitudami napětí a absolutními hodnotami impedancí U: U : U : : U N= Z : Z : Z : : Z N, U m: U m: U m: : U Nm= Z : Z : Z : : Z N I I Z U U I I I 3 Z Z Z 3 U Z U Z 3 U 3 Obr 5- ImZ Obr 5- Například v sériovém obvodu LC(obr -6) platí Z= +jωl j ωc, Z= U ( I = + ωl ), ωc ωl ωc tg = ez=

13 Při paralelním spojení několika jednobranů(obr 5-) je ázor napětí společný pro všechny jednobrany a ázor celkového proudu je vektorovým součtem jednotlivých ázorů proudů I=I+I+ +IN Celková admitance obvodu je Y=IU=IU+IU+ +INU=Y+Y+ +YN, Z= Z + Z + + ZN Pokud jsou paralelně spojeny jen dva jednobrany, platí Z=ZZ Z+Z Fázor celkového proudu se rozloží na jednotlivé jednobrany v poměru I:I:I: :IN=Y:Y:Y: :YN Podobný vztah je i mezi eektivními hodnotami proudu, amplitudami proudu a absolutními hodnotami admitancí I: I : I : : I N= Y : Y : Y : : Y N, I m: I m: I m: ImY : I Nm= Y : Y : Y : : Y N Například v paralelním obvodu LC(obr -7) platí Y=IU= +j ωc j ωl, Y = I ( U = + ωc ), ωl ( tg = ωc ey= ) ωl Příklad Skutečnou cívku, která má při dané rekvenci impedancizo absolutní hodnotě Z aargumentu = U I,můžemenahraditsériovýmspojením ideálnícívky oindukčnosti L saideálníhorezistoruorezistanci sneboparalelnímspojenímideální cívkyoindukčnosti L paideálníhorezistoruorezistanci p(obr5-3)určetevztahy meziveličinami Z,, L s, s, L p, p 3

14 L s Z p L p s Obr 5-3 Řešení Z rovnosti komplexních výrazů pro impedanci plyne Z= Zcos +jzsin = s+jωl s s= Zcos, Z rovnosti komplexních výrazů pro admitanci Z= plyne L s= Zsin ω cos jsin = = + s jωls = = Z(cos +jsin ) Z p j ωl p s+jωl s s+ ω L s p= s+ ω L s s = Z cos, Lp= Ls+ s ω L s = Z ωsin Pokud se vlastnosti cívky blíží k vlastnostem cívky ideální, tj p/, platí s ωl s, p ωl p, L s L p L, p ω L s Příklad 3 eproduktorová soustava se dvěma reproduktory je zapojena podle obr 5-4 Výškový reproduktor je ve větvi s kondenzátorem a hloubkový ve větvi s cívkou vysvětlete Obareproduktorysevobvoduchovajíjakorezistoryostejnérezistanci =5Ω Cívku a kondenzátor považujeme za ideální součástky Ukažte, že indukčnost L cívky a kapacitu C kondenzátoru lze zvolit tak, aby impedance soustavy byla při všech rekvencích reálná a konstantní Taková soustava má vlastnosti jediného rezistoru určete jeho rezistanci Dálepožadujeme,abypřidělicímkmitočtu d =khzmělyobareproduktorystejný příkon Určete indukčnost cívky a kapacitu kondenzátoru 4

15 L C Obr 5-4 Řešení Celková impedance soustavy je Z=Z Z = Z+Z ( + jωc ) (+jωl) +j ωl++ jωc + L ( C +j ωl ) ωc = ( +j ωl ) ωc Tento zlomek je reálný pro všechny rekvence, jestliže poměr reálných částí čitatele a jmenovatele je při všech rekvencích stejný jako podíl imaginárních částí: + L ( ωl ) C = ωc ωl ωc Vtakovémpřípadě Z= =konst Přidělicímkmitočtu d musíplatit I = I Ztohoplyne Z = Z, + XC = + XL, XC= XL, ω d= LC =4p d Kapacitu kondenzátoru a indukčnost cívky určíme ze vztahů: L C LC = C =4p d, L C LC= L = 4p d, C= p d, L= p d Podosazeníčíselnýchhodnotdostáváme C=3 mf, L=0,80mH Příklad 4 Dokonalejšího oddělení vysokých a hlubokých tónů dosáhneme pomocí reproduktorové soustavy druhého řádu zapojené podle obr 5-5 Kondenzátory a cívky v obou větvích jsou stejné, oba reproduktory mají rezistanci 5 Ω Také tato soustava může mít při všech rekvencích konstantní reálnou impedanci a při dělicím kmitočtu d =khzstejnýelektrickýpříkonoboureproduktorů Určete potřebné hodnoty kapacity C a indukčnosti L 5

16 L C C L Obr 5-5 Řešení Celková admitance soustavy je Y= Z + Z = jωc + j ωl + +jωl jωl+ jωc + jωc = = jωc ω LC ω CL+jωL + +jωc ω CL+jωL = ω LC+jωC ω CL+jωL Tento zlomek je reálný pro všechny rekvence, jestliže L C =, L=C PodosazeníaúpravědostanemeZ= Přidělicímkmitočtu d musíplatit I = I Ztohoplyne Y = Y, jω d C ω dlc = +jω d C, ω dlc=, LC =4p d Kapacitu kondenzátoru a indukčnost cívky určíme ze vztahů L C LC = C =4p d, L L LC= C = 4p d, C= p d, L= pd Podosazeníčíselnýchhodnotdostáváme C=3 mf, L=,mH 6

17 Úloha 3 eproduktorová soustava na obr 5-6 může také splňovat požadavky z příkladu 3 Jaká musí být kapacita kondenzátoru a indukčnost cívky? L C Obr Frekvenční charakteristiky lineárních impedančních jednobranů Z Z ImZ ez Z( ) Obr 6- Obr 6- Impedance lineárního jednobranu, ve kterém se vyskytují kondenzátory a cívky, závisí obvyklenarekvencistřídavéhoprouduz=z() Směnícíserekvencísemění absolutníhodnotaimpedance Z= Z() ijejíargument =() Tytozávislosti znázorňujeme graicky pomocí dvou samostatných graů, které nazýváme rekvenční charakteristika absolutní hodnoty impedance a rekvenční charakteristika áze(obr 6-) Můžeme také použít jediný gra v Gaussově rovině, který zobrazuje komplexní unkciz=z() a nazývá se komplexní rekvenční charakteristika 7

18 Je to křivka, kterou při změnách rekvence probíhá koncový bod vektoru impedance K jednotlivým bodům křivky připisujeme příslušné rekvence(obr 6-) Příklad 5 V intervalu(0 Hz; 000 Hz) určete rekvenční charakteristiky sériového jednobranu Ltvořenéhocívkouoindukčnosti L=0,0Harezistoremoodporu =00Ω Řešení Impedanci jednobranu, její absolutní hodnotu a argument určíme pomocí vztahů Z= +jωl, Z = + ω L, tg = ωl Frekvenční charakteristiky(obr 6-3, 6-4) sestrojíme na základě tabulky: Z Ω 600 ImZ Ω /Hz Z/Ω Hz Hz ez Ω Obr Hz Obr 6-3 8

19 Popsaným způsobem bychom pro různé jednobrany L dostali různé rekvenční charakteristiky Značného zjednodušení dosáhneme zavedením nových veličin: poměrnáimpedancejednobranu L z=z =+jωl, Platívztahy mezníúhlovárekvence ω m= L, meznírekvence m= pl a poměrná rekvence ω z=+j =+j, ω m m z= z = + m, =arctg, m m jejichž graickým vyjádřením jsou univerzální rekvenční charakteristiky sériových obvodů L(obr 6-5, 6-6) Abychom obsáhli velký obor poměrných rekvencí a velký obor poměrných impedancí, volíme na vodorovné ose logaritmickou stupnici a absolutní hodnotu vyjadřujeme v decibelech: ( ) z db 0 3 0, z db=0log z =0log 0 db/dek 0 m + m =0log Imz + m z 0 m ez Obr 6-6 0, 0 m Obr 6-5 9

20 Diskuse: a)přinízkýchrekvencích m můžemeindukčnísložkuobvoduzanedbatplatí z, z db 0, 0 b)přimeznírekvenci = m dostáváme z=, z db=3, =45 c)přivysokýchrekvencích m převládávlivindukčnostiplatí z, z db 0log m, 90 Podobným způsobem postupujeme i při určování rekvenčních charakteristik jiných jednobranů Příklad 6 Určete univerzální rekvenční charakteristiky paralelního jednobranu C Řešení Paralelní jednobran C má impedanci Z= j ωc + jωc = +jωc Zaveďme veličiny mezní úhlová rekvence a mezní rekvence: Poměrná impedance je Platí z= + ω m= C, m= pc z=z = +jωc = = ω +j ω m ( ), = arctg, m m +j m z db= 0log ( ) + m Diskuse: a)přinízkýchrekvencích m můžemekapacitnísložkuobvoduzanedbatplatí z, z db 0, 0 0

21 b)přimeznírekvenci = m dostáváme z=, z db= 3, = 45 c)přivysokýchrekvencích m převládávlivkapacityaplatí z 0, z db 0log m, 90 Frekvenční charakteristiky absolutní hodnoty relativní impedance a áze jsou na obr 6-7 Komplexní rekvenční charakteristika poměrné impedance je půlkružnice o poloměru0,5astředuvbodě 0,5+0j (obr6-8)ležícívečtvrtémkvadrantugaussovy roviny, neboť z= =cos, <0 +tg 3 0 z db 0, 0, -0 db/dek 0 0 m m Imz 0,5 z 0, 0,5 0,8 0,5 ez m Obr 6-7 Obr 6-8 Úlohy 4 V intervalu(0 Hz; 500 Hz) určete rekvenční charakteristiky paralelního jednobranu Ltvořenéhocívkouoindukčnosti L=0,0H arezistoremoodporu =00Ω 5 Určete univerzální rekvenční charakteristiky paralelního jednobranu L 6 Určete univerzální rekvenční charakteristiky sériového jednobranu C

22 7 Jednoduché rezonanční jednobrany Jednoduché rezonanční jednobrany vznikají sériovým nebo paralelním spojením cívky a kondenzátoru Tomu odpovídají schémata na obr 7-, kde skutečnou cívku nahrazujeme sériovým nebo paralelním spojením ideální cívky a rezistoru Kondenzátor můžeme při nižších rekvencích považovat za ideální L s L p p C L s C s s C a) b) c) Obr 7- Měníme-li rekvenci střídavého proudu v obvodu s rezonančním jednobranem, docházípřiurčitérekvenci rkvyrovnánívlivuinduktivníakapacitníreaktanceacelý jednobran se chová jako rezistor ázové posunutí mezi napětím a proudem je nulové Tento stav se nazývá rezonance V oblasti rezonance se vlastnosti rezonančního jednobranu výrazně mění už při malých změnách rekvence Příklad 7 Určete rekvenční charakteristiky sériového rezonančního jednobranu podle obr 7-a pro L s=0,50h, s=00ω, C=0,50 mf Řešení Pro sériový rezonanční jednobran platí vztahy odvozené v kap 5: Z= +jωl s j ωc, Z= + Diskuse: ( ωl s ), =arctg ωc a) Při sériové rezonanci platí Thomsonův vztah ω= ω r= LsC, = r= p L sc ωl s ωc ezonančníimpedancejereálnáamáminimálníabsolutníhodnotu Z r= snapájíme-li obvod z generátoru se stálým svorkovým napětím(generátor s malým vnitřním odporem) a měníme-li rekvenci napětí, prochází obvodem při rezonanci největší proudnakondenzátoruanacívcevznikajístejněvelkánapětí U Cr= U Lr,kterávšak

23 majíopačnouázi(obr-6)protoseneuplatňujívcelkovémnapětí U r,kteréjeproto stejněvelkéjakonapětínasamotnémrezistoru sobvykleplatí U r U Cr= U Lr Poměr Q= UCr U r = ULr U r = se nazývá činitel jakosti obvodu ω rc s = ωrls s b)přinízkýchrekvencích r převládákapacitnísložkaimpedanceaplatí Z jωc, Z ωc, 90 c)přivysokýchrekvencích r převládáindukčnísložkaimpedanceaplatí Z j ωl, Z ωl, 90 Z kω 3 ωc ωl Z Z r Z r r 0, 0,4 0,8,,4,6,8 B khz Obr 7- Prodanéhodnotyindukčnosti L s,rezistance sakapacity Cdostáváme: 3

24 r=636,6hz, Q=5,0 Při kreslení rekvenčních charakteristik(obr 7-) můžeme vycházet z tabulky: /Hz 636, Z/Ω ,8 43,5 66,5 77,9 84,0 85,9 /Hz Z/Ω ,7 55,7 67,7 78,3 83, 86,0 Příklad 8 Sériovoukombinaciideálnícívkyoindukčnosti L s=0,50 H arezistoruorezistanci s=00ω zpředcházejícíhopříkladumůžemepřirekvenciokolo637hznahradit paralelníkombinacíideálnícívkyoindukčnosti L parezistoruorezistanci p: L p= L s+ s ω r L s =0,60H, p= s+ ω r L s s =500Ω Určete rekvenční charakteristiky paralelního rezonančního jednobranu podle obr 7-bpro L p=0,60h, p=500ω, C=0,50 mf Řešení Vyjdeme ze vztahů odvozených v kap 5: Z= +j ωc j, Z= p ωl p Diskuse: =arctg [ p + p ( ωl p ωc )] ( ωc a) Také při paralelní rezonanci platí Thomsonův vztah ω= ω r=, = r= LpC p L pc ), ωl p ezonanční impedance je reálná a dosahuje maximální absolutní hodnoty Z r= p Napájíme-li obvod z generátoru se stálou amplitudou střídavého proudu(generátor s velkým vnitřním odporem), naměříme při rezonanci největší napětí Proudy ve větvi skondenzátorem I Cravevětviscívkou I Lrjsoustejněvelké,majívšakopačnou ázianavenekserušícelkovýrezonančníproud I rjestejnýjakoproudprocházející rezistorem pajeobvyklemnohemmenšínež I Cra I LrPoměr 4

25 Q= ICr I r = ILr I r = ω rc p= p ω rl p se nazývá činitel jakosti paralelního rezonančního jednobranu b)přinízkýchrekvencích r převládáindukčnísložkaimpedanceaplatí Z j ωl, Z ωl, 90 c)přivysokýchrekvencích r převládákapacitnísložkaimpedanceaplatí Z jωc, Z ωc, 90 Prodanéhodnotyindukčnosti L p,rezistance pakapacity Cdostáváme r=64,3hz, Q=5, Z kω 5 Z r 4 Z r 3 ωc Z ωl r 0 0 0, 0,4 0,8,,4,6,8 B khz Obr 7-3 Při kreslení rekvenčních charakteristik(obr 7-3) můžeme vycházet z tabulky: 5

26 /Hz 64, Z/kΩ 5,0 4,8 3,38,90,0 0,5 0,35 0,4 49,5 68,6 78,7 84,4 86, /Hz Z/kΩ 4,8 3,7,09,09 0,63 0,36,0 5,3 66,3 78,0 83,0 86,0 Příklad 9 Určete rekvenční charakteristiky paralelního rezonančního jednobranu s rezistorem vindukčnívětvipodleobr7-cpro L s=0,50h, s=00ω, C=0,50 mf Řešení Celková admitance jednobranu Y= s+jωl s +jωc= ω L sc+jωc s s+j ωl s je reálná, jestliže reálné a imaginární části čitatele a jmenovatele zlomku mají stejný poměr ω L sc s = Cs L s Úpravou dostaneme rezonanční úhlovou rekvenci ω r= L s sc L, s která je poněkud menší než při sériové rezonanci ezonanční admitance a impedance jsou Yr= Y r= Cs, Zr= Z r= Ls L s C s Průběh rekvenčních charakteristik(obr 7-4) vypočítáme užitím vztahů Z= s+ ω L s ( ω L ), =arctg ωls ωc s arctg sc + ω C s s ω L sc Prodanéhodnotyindukčnosti L s,rezistance sakapacity Cdostáváme Z r=5000ω, r=63,7hz Přikreslenícharakteristikmůžemevycházetztabulky: /Hz 63, Z/kΩ 5,00 4,99 3,68,0,06 0,5 0,35 0,8 53,8 75,6 85, 88,9 89,6 /Hz Z/kΩ 4,40,89,96,07 0,65 0,4 8,7 4,7 53,4 60,6 60, 53, 6

27 Absolutní hodnota impedance dosáhne maxima při vyšší rekvenci než je rekvence rezonanční, kdy platí ω max= Ls Cs+ L s+l sc s+4c s 3L sc Vnašempřípadě max=636,9hz, Z max=5,099kω Přinízkýchrekvencích r senejvíceuplatňujerezistance splatí Z s, 0 Z kω ωc Z ωl s r 0 0 0, 0,4 0,8,,4,6,8 30 khz Obr 7-4 Frekvenční charakteristiky paralelního jednobranu podle obr 7-b a paralelního jednobranusesériovýmrezistoremvindukčnívětvisepodstatnělišíjenpro 0, jinak je jejich průběh obdobný Musíme si ovšem uvědomit, že v obou případech pracujeme s určitou idealizací skutečného paralelního rezonančního jednobranu tvořeného reálnou cívkou a kondenzátorem Jeho rekvenční charakteristiky by ležely mezi teoretickými charakteristikami z obr 7-3 a 7-4 7

28 8 Univerzální rekvenční charakteristiky rezonančních jednobranů Šířka pásma Popis vlastností sériových rezonančních jednobranů podle obr 7-a a paralelních rezonančních jednobranů podle obr 7-b můžeme zjednodušit a sjednotit zavedením veličin Vztah mezi poměrnou rekvencí poměrnáimpedancez=zz r apoměrnérozladění F= ω ω r ωr ω = r r r apoměrnýmrozladěním F r = F + F 4 + jegraickyznázorněnnaobr8-promalározladění F platí r + F / r 7 6 F F + F F Obr 8-8

29 Při laboratorních pracích můžeme využít tabulku: F / r,68 0,68,44 0,44 3,303 0,303 4,36 0,36 F / r 5,93 0,93 6,6 0,6 7,40 0,40 Poměrná impedance sériového rezonančního jednobranu podle obr 7-a je ( z=z ωls =+j ) ( ) ω =+j Q ωr =+j QF, s s ωc s ω r ω neboť Vztahy L s s = Q ω r, C s = Qω r z= +(QF), =arctg(qf) vyjadřují absolutní hodnotu poměrné impedance a ázové posunutí mezi napětím a proudem jako unkce jediné proměnné QF Gray těchto unkcí(obr 8-) jsou univerzální rekvenční charakteristiky sériového rezonančního jednobranu Univerzální komplexní rekvenční charakteristika sériového rezonančního jednobranu v Gaussově rovině je přímka procházející bodem + 0j rovnoběžně s imaginární osou(obr 8-3) Imz z z 4 3 QF QF ez QF Obr Obr 8-9

30 Šířka pásma B sériového rezonačního obvodu je deinována jako velikost rekvenčního intervalu,vekterémplatí z Příkonjednobranu P = U cos /Z přistálém napětí U neklesne uvnitřpásma pod jednu polovinupříkonurezonančního P r = = U / s Vkrajníchbodechtohotointervaluplatí QF =, F,= ± Q Pokudje Q, můžemepsát + F r =+ ( Q, = r + ) (, apodobně = r ), Q Q Pro jednobran z př 7 dostáváme B= = r Q B= 637Hz 5 =7Hz Poměrná impedance paralelního rezonančního jednobranu podle obr 7-b je z=z = ( )= ( )= p +j pωc p ω +jq ωr ωl p ω r ω zčehožplyne = arctg(qf), z= Imz z z QF= 0,5 0,5 +jqf, = +(QF) +tg =cos QF QF=0 ez QF QF= Obr QF Obr

31 Univerzální komplexní rekvenční charakteristika je kružnice v Gaussově rovině se středemvbodě 0,5+0j apoloměrem0,5(obr8-5) Šířka pásma B paralelního rezonančního jednobranu je deinována jako velikost rekvenčníhointervalu,vekterém z / Příkonjednobranu P = I Zcos při stálém proudu I neklesne uvnitř pásma pod jednu polovinu příkonu rezonančního P r= PI Vkrajníchbodechtohotointervaluplatí QF =Podobnějakousériovéhojednobranumůžemeodvodit B= r/q Projednobranzpř8dostaneme B= 64Hz 5, =Hz Úlohy 7 Sériový rezonanční jednobran z př 7 připojíme k tónovému generátoru, který má eektivníhodnotunapětínaprázdno U 0=0V avnitřníodpor 75Ω(Generátor se chová jako sériové spojení ideálního zdroje harmonického napětí a rezistoru) Na generátorunastavímerezonančnírekvenci rjakábudeeektivníhodnotaproudu procházejícího obvodem? Jaké bude svorkové napětí generátoru? Jaké napětí naměříme na samotném kondenzátoru? 8Któnovémugenerátoru,kterýmáeektivníhodnotunapětínaprázdno U 0=0V a vnitřní odpor,5 kω, připojíme paralelní rezonanční jednobran z př 8 a nastavíme jeho rezonanční rekvenci Jaký proud budeme odebírat z generátoru a jaké bude jeho svorkové napětí? Jaké proudy budou procházet kondenzátorem a cívkou? 9 Jak se změní rekvenční charakteristiky sériového rezonančního jednobranu z př 7, zmenšíme-li rezistanci cívky na 00 Ω? 0Jakéhodnoty L p, pbymuselamítcívka,abyskondenzátoremokapacitě500 pftvořilaparalelnírezonančníjednobransrezonančnírekvencí r =500kHz a činitelemjakosti Q=0? 3

32 9 Lineární dvojbrany Napěťový přenos V elektronických zařízeních se přenos harmonického napětí z jednoho obvodu, vstupního, do druhého obvodu, výstupního, často uskutečňuje pomocí vazebních členů vytvořených z lineárních součástek(rezistorů, kondenzátorů a cívek) připojených do obvodů pomocí dvou vstupních a dvou výstupních svorek Takový vazební člen se nazývá lineární dvojbran Soustava součástek tvořící dvojbran mívá jen tři vývody, znichžjedenjespolečnýproobaobvodyjednavstupnísvorkajepakpřímospojena s jednou svorkou výstupní Vstupní obvod obsahuje zdroj harmonického napětí a do výstupního obvodu je zařazen spotřebič zátěž(obr 9-) Pokud není výstupní obvod zapojen, jedná se o dvojbran na výstupu nezatížený(obr 9-) U U U U Obr 9- ImA Obr 9- Vlastnosti lineárního dvojbranu charakterizuje veličina napěťový přenos A=U, U kdeu,u jsou ázory vstupního a výstupního napětí Pro absolutní hodnotu napěťového přenosu a ázové posunutí mezi výstupním a vstupním napětím platí A= Um = U = e A+Im A, = =arctg U m U ea Při stálé rekvenci je napěťový přenos dvojbranu konstantní To znamená, že amplitudavýstupníhonapětí U mjepřímoúměrnáamplituděvstupníhonapětí U ma ázové posunutí obou napětí nezávisí na jejich amplitudě Měníme-li ale rekvenci napětí,měnísezpravidlainapěťovýpřenosdvojbranufunkce A=A(), =() můžeme graicky znázornit dvěma způsoby: a) pomocí dvou samostatných graů, které nazýváme rekvenční charakteristika absolutní hodnoty napěťového přenosu neboli útlumová charakteristika a rekvenční charakteristika ázového posunutí, b) pomocí jediného grau v Gaussově rovině, který se nazývá komplexní rekvenční charakteristika napěťového přenosu V prvním případě absolutní hodnotu napěťového přenosu často vyjadřujeme v decibelech a=0log A 3

33 Příklad 0 Určete rekvenční charakteristiky nezatíženého dvojbranu C(obr 9-3) Řešení Jedná se vlastně o sériové spojení rezistoru s kondenzátorem, kde se napětí rozdělí vpoměruimpedancí A=U U = j ωc + jωc = +jωc Zavedením mezní úhlové rekvence a mezní rekvence ω m= C, m= pc sjednotíme popis všech nezatížených dvojbranů C pomocí vztahů: A= + A= +j = ω ω m ( ), = arctg, m m +j m a= 0log ( ) + m Diskuse: a)přinízkýchrekvencích m jekapacitníreaktancekondenzátorumnohem větší než odpor rezistoru a na výstupu dvojbranu je téměř celé vstupní napětí Platí A, a 0, 0 b)přimeznírekvenci = m dostáváme A=, a= 3dB, = 45 c)přivysokýchrekvencích m vznikávelkýúbyteknapětínarezistoruaplatí A 0, a 0log m, 90 Univerzální rekvenční charakteristiky dvojbranu C jsou na obr 9-4 a 9-5 Komplexní rekvenční charakteristika je půlkružnice o poloměru 0,5 a středu v bodě 0,5+0j ležícívečtvrtémkvadrantugaussovyroviny 33