Grafické zobrazení frekvenčních závislostí

Transkript

1

2 Grafické zobrazení frekvenčních závislostí Z minulých přednášek již víme, že impedance / admitance kapacitoru a induktoru jsou frekvenčně závislé Nyní se budeme zabývat tím, jak tato frekvenční závislost ovlivní velikost impedance, proudy a napětí v obvodu a především, jak tuto závislost na frekvenci znázornit graficky Jaký smysl má kreslit frekvenční charakteristiky obvodů? Chceme vybrat vhodné komponenty do nového domácího kina jakou frekvenční charakteristiku má AV receiver, reproduktory a další komponenty tedy jak hluboké a jak vysoké tóny je soustava schopna zahrát? Naším úkolem je postavit zesilovač k vychylovacím obvodům osciloskopu pokud má zesilovač přenést pilovitý signál bez nepřijatelného zkreslení, musí mít správnou frekvenční charakteristiku. Potřebujeme navrhnout filtr, který odstraní síťové rušení i tady vycházíme ze znalosti frekvenčních charakteristik. Může sběrnice pracovat na určité frekvenci? i to souvisí s její frekvenční charakteristikou Pro jaké signály můžeme použít určitý měřící přístroj (voltmetr, ampérmetr, wattmetr) a mnoho dalších důvodů

3 Uvažujme sériový RC obvod (integrační článek): u 1 (t) Impedance obvodu je: Zatímco reálná část impedance je v tomto případě konstantní, imaginární část se s frekvencí mění, a to od - k 0 Pro různé frekvence dostaneme různá komplexní čísla, které můžeme přirozeně nakreslit jako body v komplexní rovině: -500j -1000j -1500j -2000j -2500j Im ϕ 4000 Re 2000 Z Z ω R C u 2 (t) R = 1 kω, C = 1 µf, U 1m = 1V Frekvence f se bude měnit od 0 k V tomto konkrétním případě je impedance vyznačena jako červená úsečka v komplexní rovině (obecně křivka) Na této křivce musí být vynesena stupnice frekvence od 0 do Velikost impedance odečteme jako vzdálenost vybraného bodu křivky (pro určitou frekvenci) od počátku Fáze impedance je úhel mezi kladnou reálnou poloosou a spojnicí vybraného frekvenčního bodu s počátkem Toto grafické znázornění se nazývá hodograf, používá se zejména v řídící technice, neboť je možné z této křivky (pro přenos) zjistit, zda je obvod stabilní, obecně je ale čtení tohoto grafu poněkud obtížné Z toho důvodu se obvykle frekvenční charakteristiky kreslí dvojrozměrně zvlášť pro modul komplexního čísla tato charakteristika se pak nazývá modulová frekvenční charakteristika, a zvlášť pro fázi ta se pak nazývá fázová frekvenční charakteristika

4 Frekvenční osa je vždy logaritmická Modulová frekvenční charakteristika impedance Fázová frekvenční charakteristika impedance Modulová osa je logaritmická, u impedance je zobrazena její skutečný modul; osa fázového posunu je lineární Na rozdíl od hodografu jsou zřetelně vidět dvě oblasti frekvencí, s výrazným zlomem na kruhové frekvenci 1000 s -1 na nízkých frekvencích převažuje vliv impedance kapacitoru, na vysokých frekvencích je jeho impedance zanedbatelná vůči odporu rezistoru

5 Nejčastěji se ale frekvenční charakteristiky kreslí pro přenos obvodu: Přenos obvodu udává poměr mezi napětím na výstupu obvodu a na jeho vstupu popisuje tedy vlastnosti obvodu, jeho hodnota ale nezávisí ani na amplitudě, ani na fázovém posunu vstupního napětí Přenos může být definován pouze pro obrazy fázory, Fourierovu transformaci, Laplaceovu transformaci,, ale nikdy nemůžeme definovat přenos pro časovou oblast!!! V našem RC článku je výstupní napětí: Přenos obvodu je pak: Uvažujme ω << Pak ω 0.001<< 1 a Uvažujme ω >> Pak ω >> 1 a Jak se mění modul? Pokud kruhová frekvence vzroste desetkrát, modul přenosu desetkrát klesne; v logaritmických souřadnicích jsou ale desetinásobné hodnoty vždy stejně vzdálené výsledkem je lineárně klesající úsečka Hodnoty na svislé ose modulové charakteristiky jsou násobeny 20 a jednotkou jsou decibely [db]

6 Frekvenční charakteristika bude rozdělena na dva grafy jako modulová a fázová frekvenční charakteristika [db] [rad] ,5 1 1, w dekáda = desetinásobek frekvence Modulová charakteristika je vynášena jako Obě osy modulové charakteristiky jsou logaritmické Jednotkou je decibel [db] Fázová charakteristika je vynášena jako w Osa x fázové charakteristiky je logaritmická, osa y je lineární Jednotkou je radián [rad] Strmost -20dB/dekádu Strmost π/4 /dekádu Jak bylo ukázáno na minulém slidu, zlom charakteristiky je pro podmínku ωrc = 1, tedy při kmitočtu:

7 Tento obvod se nazývá integrační RC článek proč? Obrazem integrálu ve frekvenční oblasti je dělení jω Připomeňme pro kapacitor: u(t) = q(t) C = 1 Z t i( ) d! U = C 0 Přenos obvodu je ale pro lze ve jmenovateli zanedbat 1, takže Časový průběh napětí na výstupu je tedy integrálem vstupního napětí; obvod ale není ideální, protože toto tvrzení platí pouze pro (ideální integrační obvod by musel být realizován s operačním zesilovačem) Uvažujme sériový RC obvod (derivační článek): u 1 (t) Impedance obvodu je: C R u 2 (t) Impedance obvodu je tedy stejná, jako v případě integračního obvodu, stejný bude i protékající proud Frekvenční charakteristika přenosu, vzhledem k tomu, že musí platit 2. (napěťový) Kirchhoffův zákon, bude inverzní k frekvenční charakteristice integračního článku. I j! C R = 1 kω, C = 1 µf, U 1m = 1V Frekvence f se bude měnit od 0 k

8 Výstupní napětí a přenos obvodu budou: 20 log P Modulová frekvenční charakteristika derivačního RC článku arg(p) k 100k Fázová frekvenční charakteristika derivačního RC článku k 100k ω ω

9 Proč se tento obvod nazývá derivační RC obvod? Obrazem derivace ve frekvenční oblasti je násobení jω Připomeňme pro kapacitor: i(t) = C du(t) ) I = j! C U dt Přenos obvodu je ale pro lze ve jmenovateli zanedbat jωrc, takže Časový průběh napětí na výstupu je tedy derivací vstupního napětí; obvod ale není ideální, protože toto tvrzení platí pouze pro jak je zřejmé z frekvenční charakteristiky obvodu (ideální derivační obvod by musel být realizován s operačním zesilovačem) u 1 (t) L Integrační a derivační LR obvod R u 2 (t) u 1 (t) R = 1 kω, L = 1 H, U 1m = 1V, frekvence f se bude měnit od 0 k R L u 2 (t)

10 ,5 1 1,5 Modulová a fázová frekvenční charakteristika integračního a derivačního LR článku w w Pokud normujeme jmenovatel tak, abychom dostali výraz 1 + jω, bude: 20 log P arg(p) k ω 100k k ω 100k Dostali jsme tak výraz ekvivalentní RC článkům, vzhledem ke zvolené hodnotě odporu a indukčnosti je zlomová frekvence:

11 V předchozí části jsme prostudovali frekvenční charakteristiky obvodu s jedním reaktančním prvkem; z grafů bylo zřejmé, že takový obvod má v logaritmických souřadnicích modulovou frekvenční charakteristiku, kterou je možné dobře aproximovat dvěma úsečkami, které se setkají v tzv. zlomové frekvenci. Připomeňme si derivační článek: RC: RL: BODEHO ASYMPTOTICKÉ CHARAKTERISTIKY 20 log P ~3 db +20 db/dek -20 db/dek k 100k V čitateli je výraz : s rostoucí frekvencí jeho amplituda roste; pokud frekvence vzroste 10x, jeho amplituda vzroste rovněž 10x, neboli o 20 db v logaritmických souřadnicích: tomuto výrazu odpovídá tmavě modrá přímka, která protíná osu ve frekvenci ω 0 Ve jmenovateli je výraz : pro frekvence lze imaginární část zanedbat, výsledkem je vodorovná úsečka; pro frekvence lze naopak zanedbat reálnou část, výsledkem je rostoucí (pokud je výraz v čitateli), nebo klesající (ve jmenovateli) úsečka se sklonem 20 db / dekádu největší chyba, které se dopustíme: ω

12 Podobně můžeme nakreslit asymptoticky fázovou charakteristiku: V čitateli je výraz : s rostoucí frekvencí se jeho fáze nemění, je stále Ve jmenovateli je výraz : pro velmi malé frekvence se výraz blíží reálnému číslu, fázový posun je nula; pro vysoké frekvence se výraz blíží výrazu s fázovým posunem Tentokrát ale nestačí jeden zlomový kmitočet výsledkem by byla schodovitá charakteristika fázová charakteristika má 2 zlomy. Dá se dokázat, že nejmenší odchylku bude mít asymptotická charakteristika se zlomy v 0.1 ω 0 a 10 ω 0. Obě části charakteristiky čitatele a jmenovatele graficky sečteme

13 Frekvenční charakteristika obvodu 2. řádu: Mějme úplný model transformátoru: u 1 (t) R 1 L 1 L 2 R 2 n = 9 Hodnoty obvodových prvků jsou: R 1 = 2 kω, L 1 = 1.9 mh, L 2 = 8.1 mh, R 2 = 8.1 kω (modelovaný transformátor měl odpor primáru 2 kω, sekundáru 100 Ω, indukčnost primáru 10 mh a sekundáru 0.1 mh a koeficient vazby 0.9) Nás zajímá frekvenční charakteristika tohoto obvodu, musíme proto vyjádřit přenos: Oproti elementárním RC / RL obvodům se v tomto přenosu objevily další dva prvky: Násobná konstanta Jmenovatel přenosu je polynom 2. řádu (kvadratická rovnice) Frekvenční charakteristiku je samozřejmě možné nakreslit přímo z uvedeného přenosu (Maple, Matlab, ) Jaká je ale zákonitost pro jednotlivé zlomové frekvence? u 2 (t)

14 Ve 30. létech minulého století navrhl Hendrik Wade Bode jednoduchou metodu kreslení amplitudových a fázových frekvenčních charakteristik Touto metodou je možné nakreslit velmi přesné charakteristiky bez grafiky počítače Frekvenční charakteristiky nám dávají informaci o časových konstantách obvodu (v přechodných dějích), činiteli jakosti rezonančního obvodu a pod. Přenos obvodu je obecně z k p k jsou kořeny polynomu v čitateli nuly jsou kořeny polynomu ve jmenovateli póly zde jsou ukryty časové konstanty obvodu Pozn.: obecně bychom přenos obvodu mohli zapsat pomocí Laplaceovy transformace: Proměnnou nebude frekvence ω, ale komplexní frekvence jω!!!

15 Podstatou Bodeho charakteristik jsou vlastnosti logaritmu, jmenovitě: Logaritmus součinu je součet logaritmů Logaritmus podílu je rozdíl logaritmů log1 = 0 Vzhledem ke třetí uvedené vlastnosti je potřeba normovat závorky v rozkladu kořenových činitelů: Potom, pokud Modulová charakteristika: Fázová charakteristika: Graficky úsečka se sklonem 20 db / dekádu

16 Tím se dostáváme zpět k našemu příkladu ve jmenovateli musíme najít kořeny kvadratické rovnice a jmenovatel zapsat jako součin kořenových činitelů: Nyní již známe zlomové kmitočty póly přenosu , resp , neznáme ale ještě amplitudu přenosu obě závorky ve jmenovateli musíme normovat: Amplituda je ukryta v čitateli tato přímka nám posune celou charakteristiku směrem dolů:

17 Výsledná fázová charakteristika se skládá ze tří částí čitatel jω posouvá fázi o, člen 1 + jω ve jmenovateli má opět dvě zlomové frekvence na 0.1 a 10-ti násobku zlomové frekvence amplitudové charakteristiky; vzhledem k tomu, že tento výraz je ve jmenovateli, je fázový posun záporný

18 Nyní budeme zkoumat frekvenční charakteristiku RLC obvodu L 1. R = 4 kω R C L = 1 H C = 1 µf R = 4 kω, 2 kω a 1 kω

19 2. R = 2 kω (j! ) 1;2 = 1000 p = 1000 S klesajícím odporem se oba dva kořeny kvadratické rovnice přibližují na frekvenční ose, až při určité kritické frekvenci spolu splynou amplitudová i fázová charakteristika připomínají frekvenční charakteristiku integračního článku, ale hodnoty jsou dvojnásobné 40 db/dekádu u amplitudové charakteristiky, -π u charakteristiky fázové U přechodných dějů budeme v tomto případě hovořit o mezi aperiodicity!!!!!

20 3. R = 1 kω (j! ) 1; 2 = 500 p = j Pokud odpor dále klesá, budou kořeny kvadratické rovnice komplexně sdružené Na amplitudové frekvenční charakteristice se to projeví rezonančním převýšením nad (pro kvadratickou rovnici ve jmenovateli), nebo (teoreticky) pod osou V tomto případě budeme hovořit o napěťové rezonanci RLC obvodu V časové oblasti se totéž projeví harmonicky tlumenou odezvou přechodného děje, jak brzy uvidíme

21 S využitím elementárních (Ohmův zákon, dělič napětí / proudu, metoda postupného zjednodušování, ekvivalence - transformace zdrojů napětí a proudu, ) nebo obecných (MUN / MSP) metod analýzy vyjádříme přenos obvodu Vypočítáme kořeny polynomů v čitateli a jmenovateli jω (případně p) Polynomy zapíšeme jako součin kořenových činitelů ve tvaru Ze všech závorek čitatele i jmenovatele vytkneme kořeny z k, resp. p k, takže dostaneme upravený přenos Pro konstantu K, stejně jako každou závorku v čitateli a jmenovateli nakreslíme příslušné asymptoty a graficky je sečteme