Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová"

Transkript

1 Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová

2 Obsah 1 Vzdálenosti Vzdálenostivrovině Vzdálenostdvoubodů Vzdálenostboduodpřímky Vzdálenostdvourovnoběžek Vzdálenostivprostoru Vzdálenostdvoubodů Vzdálenostboduodpřímky Vzdálenostboduodroviny Vzdálenostmimoběžek

3 1 Vzdálenosti Podívámesenato,jakjetosrůznýmivzdálenostmi.Ktomusenámbudehoditznátvšechny tři typy součinů vektorů, takže si je pro jistotu zopakujeme. U všech součinů budeme předpokládat,žemámetřísložkovévektorytvaru u=(u 1,u 2,u 3 ). Nejjednodušší na výpočet je skalární součin: u v= u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = u v cos ϕ, (1) kde ϕ je úhel mezi vektory u, v. Výsledkem skalárního součinu, jak název napovídá, je jedno jediné číslo. Jsou-li vektory u, v vzájemně kolmé, jejich skalární součin je roven nule. Jinakjetomuuvektorovéhosoučinudvouvektorů u, v.výsledekjevektor w,kterýje kolmý k oběma vektorům u, v(vektory u, v, w tvoří pravotočivý systém) a jeho souřadnice jsou dány vztahem: w= u v=(u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 ), (2) přičemžvelikost w = u v sin ϕ.ksnazšímuzapamatovánívzorce(2)sloužíjakomnemotechnická pomůcka následující schema, příslušné součiny jsou naznačeny šipkami. u 1 u 2 u 3 u 1 u 2 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 Kombinací obou výše zmíněných součinů je smíšený součin( u v) w. Značí se[ u, v, w] asplňuje:[ u, v, w]=[ v, w, u]=[ w, u, v]= [ v, u, w].svyužitímvztahů(1),(2)dostaneme pro smíšený součin: [ u, v, w]=u 1 v 2 w 3 + u 2 v 3 w 1 + u 3 v 1 w 2 (u 3 v 2 w 1 + u 1 v 3 w 2 + u 2 v 1 w 3 ) (3) K zapamatování máme opět schema, v němž šipky naznačují, jak tvořit správné součiny. u 1 u 2 u 3 u 1 u 2 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 u 1 u 2 u 3 u 1 u 2 w 1 w 2 w 3 w 1 w 2 w 1 w 2 w 3 w 1 w Vzdálenosti v rovině Naučíme se určovat vzdálenost dvou bodů, vzdálenost bodu od přímky a vzdálenost dvou rovnoběžek Vzdálenost dvou bodů Vzdálenost dvou bodů, B značíme B a pro její určení si vystačíme s Pythagorovou větou. Z obrázku 1 je vidět, že vzdálenost bodů, B je délka přepony pravoúhlého trojúhelníka, jehožodvěsnymajívelikosti b 1 a 1, b 2 a 2,atedy: B = (b 1 a 1 ) 2 +(b 2 a 2 ) 2 (4) 3

4 y b 2 B a 2 b 1 a 1 b 2 a 2 a 1 b 1 x obr Vzdálenost bodu od přímky Úlohazní:vypočítejtevzdálenostbodu [x 0,y 0 ]odpřímky p,zadanéobecnourovnicí: ax+by+ c=0.přivýpočtubudemesledovatstejnýpostup,jakokdybychomúlohuřešili konstruktivně. To jest: nejprve vedeme bodem přímku q kolmou k přímce p. Nalezneme průsečík oboupřímeka změříme délkuúsečky. p obr.2 Výpočet bude o něco jednodušší, převedeme-li obecnou rovnici přímky p na parametrické rovnice. K tomu potřebujeme znát nějaký bod přímky p a její směrový vektor. Bod přímky jenapř. P[0, c/b],(x=0jsmesizvoliliay= c/bjsmedopočítalizrovnicepřímky). Směrovývektor pmusíbýtkolmýknormálovémuvektoru n=(a,b).tosplňujenapř.vektor p =( b, a). Potom parametrické rovnice přímky p jsou: q x= bt, y= c + at, t R. (5) b Podobněpřímka qprocházíbodem [x 0,y 0 ]amásměrovývektor q= n=(a,b),takžejejí parametrické rovnice jsou: x=x 0 + as, y= y 0 + bs, s R. (6) 4

5 Souřadnice průsečíku nalezneme vyřešením soustavy rovnic(5),(6). Vyloučením x a y dostanemedvěrovniceproneznámé t, s.prvnírovnicivynásobíme a,druhou baoběrovnice sečteme: bt=x 0 + as c b + at=y 0+ bs / a / b Po sečtení dostáváme jedinou rovnici pro parametr s: c=ax 0 + by 0 +(a 2 + b 2 )s Souřadnice bodu tedy jsou: aztoho s= ax 0+ by 0 + c a 2 + b 2. [ x 0 a ax 0+ by 0 + c a 2 + b 2, y 0 b ax 0+ by 0 + c a 2 + b 2 Nynímámevšepotřebnéprourčenívzdálenosti d(,p)bodu odpřímky p: ( ( d(,p)= = x 0 x 0 a ax 0+ by 0 + c a 2 + b 2 )) 2 ( ( + y 0 ]. y 0 b ax 0+ by 0 + c a 2 + b 2 )) 2. Poslednívztahještěmaličkoupravímedojednoduššípodoby; x 0 a y 0 sevyruší,zbytekumocníme na druhou, zlomek vytkneme, součet kvadrátů pokrátíme, odmocníme a máme vcelku hezký a pro někoho i zapamatovatelný výsledek: d(,p)= ax 0+ by 0 + c a 2 + b 2, (7) kterýdáváhledanouvzdálenostbodu [x 0,y 0 ]odpřímky p: ax+by+ c=0. Příklad 1 Určetevzdálenostbodu [ 1,5]odpřímky pzadanéparametricky: x= 2+4t, y=1 3t. Řešení Z parametrických rovnic přímky p vyloučíme parametr t, abychom dostali obecnou rovnici přímky p.rovnicevynásobíme3a4 x= 2+4t / 3 y=1 3t / 4 asečteme: 3x+4y= 2, tj. 3x+4y+2=0. Dosazením do vzorce(7) dostáváme pro vzdálenost bodu [ 1, 5] od přímky p d(,p)= 3 ( 1) = Vzdálenost dvou rovnoběžek Výpočet vzdálenosti dvou rovnoběžek převedeme na předchozí případ, tj. na výpočet vzdálenosti bodu od přímky. Stačí určit jeden bod na jedné z rovnoběžek a vypočítat vzdálenost tohoto bodu od druhé rovnoběžky. Tím zároveň spočítáme vzdálenost rovnoběžek. Vše si ukážeme na konkrétním příkladu. 5

6 Příklad 2 Určete vzdálenost rovnoběžek p, q, jestliže přímky p, q jsou zadány následovně: a) p: x=1+3t, y=4 t, q: x+3y+6=0, b) p: x= 5+2t, y=5t, q: x=2 2t, y=1 5t, c) p: 2x+3y 1=0, q: 2x+3y+4=0. Řešení ad a) Tento způsob zadání přímek je pro výpočet jejich vzdálenosti nejpohodlnější. Jako bod dobřeposloužíbod[1,4]arolipřímky ppřevezmepřímka q,tj.hledámevzdálenostbodu [1,4]odpřímky q d(p,q)=d(,q)= = ad b) V tomto případě musíme pro jednu z přímek zjistit její obecnou rovnici. Vyloučením parametru t v parametrických rovnicích přímky p získáme její obecnou rovnici ve tvaru: 5x 2y+25=0azabod můžemevzítbod[2,1]ležícínapřímce q. d(p,q)=d(,p)= 5 2+( 2) ( 2) 2 = adc)zdejetřebaurčitnějakýbodnajednézpřímek.zvolímesibod [ 2,0]napřímce q a opět použijeme vzorec(7): d(p,q)=d(,p)= = Vzdálenosti v prostoru Budeme používat kartézskou soustavu souřadnic. Je tvořena třemi vzájemně kolmými souřadnicovými osami x, y, z, které se všechny protínají v jednom společném bodě počátku O. Dvojicemi os jsou dány souřadnicové roviny. Bod v prostoru je zadán třemisouřadnicemi[x, y, z ],kde x jevzdálenostbodu odsouřadnicovéroviny y z(na obrázku3jetodélkaúsečky 1 ),podobně y jevzdálenostbodu odsouřadnicovéroviny xza z jevzdálenostbodu odsouřadnicovéroviny xy. z z 1 2 O y y x 3 x obr.3 6

7 1.2.1 Vzdálenost dvou bodů Začnemeobrázkem.Úkolemjeurčitvzdálenostbodů [x, y, z ], B[x B, y B, z B ](místo značení a 1, a 2,... jenynípoužitooznačení x, y,...).izdesivystačímespythagorovou z B z B z P y y B y x x B B x obr. 4 větou,jenjimusímepoužítdvakrát.body, B jsoupravoúhléprůmětybodů, Bdo roviny xy. Jejich vzdálenost už umíme spočítat. Podle vzorce(4) je B = (x B x ) 2 +(y B y ) 2. (8) Útvar B Pjeobdélník,tedy P = B,trojúhelník PBjepravoúhlýaBjejeho přepona. Takže B 2 = P 2 + PB 2. Podosazeníza P = B zrovnice(8)aza PB = z B z anáslednémodmocnění získáme konečný vztah: B = (x B x ) 2 +(y B y ) 2 +(z B z ) 2. (9) Příklad 1 Určetevzdálenostbodů [5, 7,2], B[2,4, 6]. Řešení Dosadíme do rovnice(9): B = (2 5) 2 +(4+7) 2 +( 6 2) 2 = =

8 1.2.2 Vzdálenost bodu od přímky Přímka v prostoru bývá zadána buď obecně jako průsečnice dvou rovin, nebo parametricky. Při výpočtu vzdálenosti bodu od přímky budeme používat parametrické zadání přímky, proto si nejprve ukážeme, jak se obecné rovnice přímky převádějí na parametrické. Obecné rovnice přímky(coby průsečnice dvou rovin) jsou: p: a 1 x+b 1 y+ c 1 z+ d 1 =0 a 2 x+b 2 y+ c 2 z+ d 2 =0 (10) Pro parametrické rovnice potřebujeme směrový vektor a libovolný bod přímky. Směrový vektor ppřímkyjerovenvektorovémusoučinunormálovýchvektorů n 1 =(a 1,b 1,c 1 ), n 2 =(a 2,b 2,c 2 )příslušnýchrovin, p= n 1 n 2.Bod X 0 [x 0, y 0, z 0 ]přímkyzískámetak,že jednu jeho souřadnici zvolíme a zbylé vypočítáme z rovnic(10). můžeme psát parametrické rovnice přímky: X= X 0 + p t, t R, což rozepsáno dává x=x 0 + p x t y= y 0 + p y t z= z 0 + p z t t R. (11) Příklad 2 Nalezněte parametrické rovnice přímky p, jestliže její obecné rovnice jsou: 2x 3y+ z=0 4x+2y 3z=10 (12) Řešení Vypočítáme směrový vektor p: p=(2, 3,1) (4,2, 3)=(7,10,16) Prourčeníbodu X 0 přímkyzvolímenapř. y 0 =0ax 0, z 0 spočtemezrovnic(12).vyjde x 0 =1, z 0 = 2.Takžeparametrickérovnicedanépřímkyjsou: x=1+7t, y=10t, z= 2+16t, t R. Vzdálenost bodu od přímky v prostoru můžeme počítat různými způsoby. V následujícím příkladu si ukážeme čtyři z nich. První sleduje stejný postup, jako kdybychom úlohu řešili konstruktivně. Tj. bodem vedeme rovinu α kolmou k přímce p, nalezneme průsečík roviny s přímkou a vypočítáme délku úsečky. Druhý způsob využívá toho, že skalární součin dvou vzájemně kolmých vektorů je roven nule. Třetí způsob bere na pomoc derivace a čtvrtý způsob je aplikací vektorového součinu. 8

9 Příklad 3 Určetevzdálenostbodu [3, 2,1]odpřímky p:x=1 2t, y=4+t, z=2+2t. Řešení 1. způsob Rovina αprocházejícíbodem akolmákpřímce pmánormálovývektor nrovnýsměrovému vektorupřímky p; n= p=( 2,1,2).Obecnárovnice roviny je tedy: 2(x 3)+y+2+2(z 1)=0,poúpravě: 2x+y+2z+6=0. Pro nalezení průsečíku roviny α s přímkou p dosadíme z parametrických rovnic přímky do obecné rovnice roviny: 2(1 2t)+(4+t)+2(2+2t)+6=0 a vypočítáme hodnotu parametru t: 9t+12=0, z toho: t= 4 3. α p obr.5 Zpětným dosazením t do parametrických rovnic přímky p získáme souřadnice bodu : ( x =1 2 4 ) = , y =4 4 ( 3 =8 3, z =2+2 4 ) = Hledanávzdálenost d(,p)jerovnadélceúsečky : 2. způsob d(,p)= = ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 =5. Nynívyjdemezeskutečnosti,ženapřímce pjejedinýbod(označímesijejopět ),který splňuje P,kde P, P p.matematickévyjádřenítétoskutečnostije,žeskalární součin P=0. Bod jedán [3, 2,1],bod jevyjádřenparametrickýmirovnicemipřímky p, [1 2t,4+t,2+2t] azabod Pmůžemevzítjakýkolibodpřímky p,např. bod [1,4,2] (odpovídá hodnotě parametru t = 0). p Pak =(2+2t, 6 t, 1 2t), P=(2t, t, 2t), P=2t(2+2t) t( 6 t) 2t( 1 2t)= P obr.6 = t(4+4t+6+t+2+4t)=t(12+9t). P=0 t(12+9t)=0. 9

10 Poslednírovnicemádvěřešení: t 1 =0,toodpovídá =P,cožjsmevyloučili,druhé řešení t 2 = 4 dávátutéžhodnotuparametru tjakovpředchozímpřípadě.dálbybyl 3 výpočet stejný a dostali bychom opět d(,p)= =5. 3. způsob Využijeme výpočtu minima funkce pomocí derivace. Vzdálenost bodu od přímky p je rovnadélcenejkratšízúseček X,kde Xjebodpřímky p.délkaúsečky Xje X = Nadefinujeme funkci (3 (1 2t)) 2 +( 2 (4+t)) 2 +(1 (2+2t)) 2 = = (2+2t) 2 +( 6 t) 2 +( 1 2t) 2 f(t)= X 2 =(2+2t) 2 +( 6 t) 2 +( 1 2t) 2. Funkce má lokální minimum pro hodnotu parametru t, kteráodpovídábodu přímky p,jenžjenejblížbodu. Je zřejmé, že funkce má pouze jediné lokální minimum, stačítedyzjistitstacionárníbodzpodmínky: f (t)=0. f (t)=2(2+2t)2+2( 6 t)( 1)+2( 1 2t)( 2)=24+18t X p obr.7 f (t)= t=0, tj. t= 4 3 ajsmetam,kdejsmebylijižpodvakráte.tedyitentokrátvychází d(,p)= =5. 4. způsob Z parametrických rovnic přímky p určíme libovolné dvabody M, Nležícínapřímce.Např.probod Mvolíme t=0,tj. M=[1,4,2],pro N t=1,takže N=[ 1,5,4]. Vzdálenostbodu odpřímky pjepotomrovnavýšce rovnoběžníku M N O(obsah rovnoběžníku je roven velikostivektorovéhosoučinu MN M ). d(,p)= = MN M MN Dosadímehodnoty MN=( 2,1,2), a dostaneme pro vzdálenost: M=(2, 6, 1) M O p N obr.8 d(,p)= (11,2,10) = 15 3 =5. 10

11 1.2.3 Vzdálenost bodu od roviny Odvodímevztahprovzdálenostbodu [x 0,y 0,z 0 ]odroviny αdanéobecnourovnicí: ax+by+cz+d=0.hledanávzdálenostjerovnadélceúsečky,kde jeprůsečíkkolmice qkrovině αvedenébodem. α q obr.9 Přímka q má parametrické rovnice(směrový vektor přímky q je normálový vektor roviny α): q: x=x 0 + at, y= y 0 + bt, z= z 0 + ct, t R. (13) Dosazením parametrických rovnic přímky q do obecné rovnice roviny α dostaneme hodnotu parametru t pro bod : ztoho Délka úsečky je: = a(x 0 + at)+b(y 0 + bt)+c(z 0 + ct)+d=0, t= ax 0+ by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c 2 (14) (x 0 + at x 0 ) 2 +(y 0 + bt y 0 ) 2 +(z 0 + ct z 0 ) 2 = (at) 2 +(bt) 2 +(ct) 2 = = t a 2 + b 2 + c 2, za tdosadímezrovnice(14)azískámehledanývztahprovzdálenostbodu [x 0,y 0,z 0 ]od roviny α: ax+by+ cz+ d=0 d(,α)= ax 0+ by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c 2 (15) Při výpočtu vzdálenosti bodu od roviny můžeme rovněž využít smíšeného součinu vektorů; ukážeme si to v dalším příkladu. Příklad 4 Určetevzdálenostbodu [5,1, 2]odroviny α: X=[2,0,1]+t(1, 1,1)+s(4, 1,0), t,s R. 11

12 Řešení 1. způsob Použijeme vzorec(15). K tomu potřebujeme převést parametrické rovnice roviny α na obecnou rovnici. Můžeme buď z parametrických rovnic vhodnými úpravami vyloučit parametry t, s, nebo ze zadaných vektorů u, v roviny(obr.10) vypočítat vektorovým součinem normálový vektor. w v v α K u α K u obr. 10 Vypočítáme normálový vektor: n=(1, 1,1) (4, 1,0)=(1,4,3). Z parametrických rovnic vyplývá, že rovina α obsahuje bod K[2, 0, 1], takže její obecná rovnice je: x 2+4(y 0)+3(z 1)=0 apoúpravě Teď již stačí dosadit do vztahu(15): x+4y+3z 5=0 d(,α)= ( 2) = způsob Víme, nebo bychom mohli vědět, že smíšený součin vektorů u, v, w, které nejsou komplanární (nelze je umístit do jedné roviny), je číselně roven objemu rovnoběžnostěnu, jehož hrany jsou umístěním těchto vektorů(obr. 10). Objem každého rovnoběžnostěnu je roven součinu velikosti podstavy a velikosti výšky. Velikost podstavy v našem případě je rovna velikosti vektorovéhosoučinu u vavýškaudáváhledanouvzdálenostbodu odroviny α.tj. d(,α)= [ u, v, w] u v Zavektorydosazujeme: u=(1, 1,1), v=(4, 1,0), w= K=(3,1, 3). [ u, v, w]= =3+0+4 ( )= 2. 12

13 Vektorovýsoučin u vmámeužspočítaný: u v= n=(1,4,3).potom d(,α)= = Poznámka: Bystrý čtenář si mohl všimnout, že ač použité postupy vypadají různě, prováděné početní operace jsou v obou případech v podstatě stejné, zvláště když smíšený součin bereme vetvaru[ u, v, w]=( u v) w Vzdálenost mimoběžek Vzdálenost mimoběžek je rovna délce jejich nejkratší příčky, tj. té příčky, která je k oběma mimoběžkám kolmá(obr. 11). Výpočet opět ukážeme na příkladu. Příklad 5 Určetevzdálenostmimoběžek a, b,kdepřímka ajedánabodem [2,1, 1]asměrovým vektorem a=(1,1,1),přímka bjedánabodem B[1,0,2]asměrovýmvektorem b=(0, 2,1). Řešení 1. způsob Budemehledatkrajníbody P a, bnejkratšípříčkymimoběžek a, b.zparametrických rovnicpřímky a: X=[2,1, 1]+ t(1,1,1)apřímky b: X=[1,0,2]+ s(0, 2,1)vyjádříme body P =[2,1, 1]+t p (1,1,1), =[1,0,2]+s q (0, 2,1)a vektor P P=(1,1, 3)+ t p (1,1,1) s q (0, 2,1),tj. P=(1+t p,1+t p +2s q, 3+t p s q ). Vektor Pmusíbýtkolmýkoběmamimoběžkám,takže skalární součiny a obr. 11 a P= b P=0. a P=1+tp +1+t p +2s q 3+t p s q =3t p + s q 1=0 b P= 2 2tp 4s q 3+t p s q = t p 5s q 5=0 Dostávámesoustavudvourovnicprodvěneznámé t p, s q : 3t p + s q 1=0 t p 5s q 5=0 t p= 5 7, s q= 8 7. Ze získaných hodnot parametrů vypočítáme souřadnice bodů P= [ [ 19 7,12 7 7], 2, = 1, 16 ] 7,6. 7 b 13

14 Hledaná vzdálenost je ( ) d(a,b)= P = 12 7, 4 7, 8 = způsob Opětvyužijemesmíšenéhosoučinu.Zvektorů a, b, Butvořímerovnoběžnostěn(obr.12). Vzdálenost přímek a, b je pak rovna vzdálenosti horní a dolní podstavy, tj. výšce rovnoběžnostěnu. Výška = objem obsahpodstavy.tedy d(a,b)= [ a, b, B] ( a b) = ( a b) B ( a. b) a a B obr. 12 Vnašempřípaděje: B=(1,1, 3), a=(1,1,1), b=(0, 2,1).Pak d(a,b)= ( a b) B (3, 1, 2) (1,1, 3) ( a = b) (3, 1, 2) b = b = 8 2 =

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

1 Analytická geometrie

1 Analytická geometrie 1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R Rovnice přímky Přímka p je určená dvěma různými body (A, B)(axiom) směrový vektor nenulový rovnoběžný (kolineární) s vektorem s = AB = B A pro libovolný bod X na přímce platí: X A = t s tj. Vektorová rovnice

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie

Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Lingebraické kapitolky - Analytická geometrie Jaroslav Horáček KAM MFF UK 2013 Co je to vektor? Šipička na tabuli? Ehm? Množina orientovaných úseček majících stejný směr. Prvek vektorového prostoru. V

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21 2 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 21 21 Vektory 21 Úlohy k samostatnému řešení 21 22 Přímka a rovina v prostoru 22 Úlohy k samostatnému řešení 22 23 Vzájemná poloha přímek a rovin 25 Úlohy k samostatnému

Více

Analytická geometrie (AG)

Analytická geometrie (AG) Analytická geometrie (AG) - zkoumá geometrické útvary pomocí algebraických a analytických metod Je založena na vektorech a soustavě souřadnic, rozděluje se na AG v rovině a v prostoru. Analytická geometrie

Více

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky

Rovnice přímky vypsané příklady. Parametrické vyjádření přímky Rovnice přímky vypsané příklady Zdroj: Vše kromě příkladu 3.4: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=parametrickevyjadre ni Příklady 3.5 a 3.7-1 a 3: http://kdm.karlin.mff.cuni.cz/diplomky/jan_koncel/rovina.php?kapitola=obecnarovnice

Více

11 Vzdálenost podprostorů

11 Vzdálenost podprostorů 11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 51. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 51 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V obchodě s kouzelnickými potřebami v Kocourkově

Více

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 5. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 5 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Zjednodušte výraz (2x 5) 2 (2x 5) (2x + 5) + 20x. 2 Určete nejmenší trojciferné

Více

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

CVIČNÝ TEST 1. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 CVIČNÝ TEST 1 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete výraz V, který je největším společným dělitelem výrazů V 1 V 3 :

Více

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ

VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ VZÁJEMNÁ POLOHA DVOU PŘÍMEK V ROVINĚ Dvě přímky v rovině mohou být: různoběžné - mají jediný společný bod, rovnoběžné různé - nemají společný bod, totožné - mají nekonečně mnoho společných bodů. ŘEŠENÉ

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

STEREOMETRIE. Odchylky přímek. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0114

STEREOMETRIE. Odchylky přímek. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0114 STEREOMETRIE Odchylky přímek Mgr. Jakub Němec VY_32_INOVACE_M3r0114 ODCHYLKA DVOU PŘÍMEK V PROSTORU Další typy příkladů, v nichž budeme počítat vzdálenost dvou objektů, by bylo velmi složité počítat bez

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika)

Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Eukleidovský prostor a KSS Eukleidovský prostor je bodový prostor, ve kterém je definována vzdálenost dvou bodů (metrika) Kartézská soustava souřadnic je dána počátkem O a uspořádanou trojicí bodů E x,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně

Analytická geometrie. c ÚM FSI VUT v Brně 19. září 2007 Příklad 1. Příklad 2. Příklad 3. Příklad 1. Určete obecnou rovnici roviny, která prochází body A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C = [3, 1, 0]. Příklad 1. A = [0, 1, 2], B = [ 1, 0, 3], C =

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207

( ) ( ) ( ) ( ) Skalární součin II. Předpoklady: 7207 78 Skalární součin II Předpoklady: 707 Pedagogická poznámka: Hodina má tři části, považuji tu prostřední za nejméně důležitou a proto v případě potřeby omezuji hlavně ji Na začátku hodiny je důležité nechat

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

55. ročník matematické olympiády

55. ročník matematické olympiády . ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

Řešení 5. série kategorie Student

Řešení 5. série kategorie Student Řešení 5 série kategorie Student Řešení S-I-5-1 Aby byl daný trojúhelník (ozn trojúhelník A) pravoúhlý, musí podle rozšířené Pythagorovy věty (pravidelné 9-úhelníky jsou podobné obrazce) platit, že obsah

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY 3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY V této kapitole se dozvíte: jak popsat bod v rovině a v prostoru; vzorec na výpočet vzdálenosti dvou bodů; základní tvary rovnice přímky

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Analytická geometrie Obsah Mgr. Veronika Švandová a Mgr. Zdeněk Kříž, Ph. D. 1 Vektory - opakování 2 1.1 Teorie........................................... 2 1.1.1 Pojem vektor a jeho souřadnice, umístění

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

CVIČNÝ TEST 7. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 7. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 7 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete přirozené číslo n tak, aby platilo: 3 + 12 + 27 = n. 1 bod 2 Doplňte

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost: 753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů

Více

Analytická geometrie ( lekce)

Analytická geometrie ( lekce) Analytická geometrie (5. - 6. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 20. června 2011 Vektory Vektorový součin Vektorový

Více

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje.

1. Parametrické vyjádření přímky Přímku v prostoru můžeme vyjádřit jen parametricky, protože obecná rovnice přímky v prostoru neexistuje. 1/7 ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Základní pojmy: Parametrické vyjádření přímky, roviny Obecná rovnice roviny Vzájemná poloha přímek a rovin Odchylka přímek a rovin Vzdálenosti www.karlin.mff.cuni.cz/katedry/kdm/diplomky/jan_koncel/

Více

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 37. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 37 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Na staré hliněné desce je namalován čtverec

Více

Analytická geometrie v prostoru

Analytická geometrie v prostoru Analytická geometrie v prostoru Jméno autora: Ivana Dvořáková Období vytvoření: prosinec 2012 Ročník: 4. ročník střední odborné školy Tematická oblast: Matematické vzdělávání Předmět: Matematika 4. ročník

Více

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm

b) Po etní ešení Všechny síly soustavy tedy p eložíme do po átku a p ipojíme p íslušné dvojice sil Všechny síly soustavy nahradíme složkami ve sm b) Početní řešení Na rozdíl od grafického řešení určíme při početním řešení bod, kterým nositelka výslednice bude procházet. Mějme soustavu sil, která obsahuje n - sil a i - silových dvojic obr.36. Obr.36.

Více

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory

Dá se ukázat, že vzdálenost dvou bodů má tyto vlastnosti: 2.2 Vektor, souřadnice vektoru a algebraické operace s vektory Vektorový počet.1 Eklidovský prostor E 3 Eklidovský prostor E 3 je prostor spořádaných trojic (tj. bodů), v němž je definována vzdálenost dvo jeho bodů A, B (značíme ji AB ). Vzdálenost bodů A = [a 1,

Více

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I

4.3.4 Základní goniometrické vzorce I .. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 0 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 4 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe.

Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. 8 Afinita Afinita je stručný název pro afinní transformaci prostoru, tj.vzájemně jednoznačné afinní zobrazení bodového prostoru A n na sebe. Poznámka. Vzájemně jednoznačným zobrazením rozumíme zobrazení,

Více

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE

Více

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ:

Je-li dána hranolová nebo jehlanová plocha s podstavou v rovině σ a rovina řezu ρ: Kapitola 1 Elementární plochy 1.1 Základní pojmy Elementární plochou budeme rozumět hranolovou, jehlanovou, válcovou, kuželovou a kulovou plochu. Pokud tyto plochy omezíme, popř. přidáme podstavy, můžeme

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Mgr. Zora Hauptová ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY TEST VY_32_INOVACE_MA_3_20 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti

Více

Vektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky.

Vektory II. Předpoklady: Umíme už vektory sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složky. 5 Vektor II Předpoklad: 4 Umíme už vektor sčítat, teď zkusíme opačnou operací rozklad vektoru na složk Př : Na obrázku je nakreslena síla Nakresli do obrázku síl a tak, ab platilo = + Kolik má úloha řešení?

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

STEREOMETRIE. Odchylky přímky a roviny. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0117

STEREOMETRIE. Odchylky přímky a roviny. Mgr. Jakub Němec. VY_32_INOVACE_M3r0117 STEREOMETRIE Odchylky přímky a roviny Mgr. Jakub Němec VY_3_INOVACE_M3r0117 ODCHYLKA PŘÍMKY A ROVINY Poslední kapitolou, která se týká problematiky odchylek v prostoru, je odchylka přímky a roviny. V této

Více

Metrické vlastnosti v prostoru

Metrické vlastnosti v prostoru Metrické vlastnosti v prostoru Ž2 Metrické vlastnosti v prostoru Odchylka přímek p, q v prostoru V planimetrii jsme si definovali pojem odchylky dvou přímek p, q pro různoběžky a pro rovnoběžky. Ve stereometrii

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

May 31, Rovnice elipsy.notebook. Elipsa 2. rovnice elipsy. SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková

May 31, Rovnice elipsy.notebook. Elipsa 2. rovnice elipsy. SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková Elipsa 2 rovnice elipsy SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková 1 Název školy Autor Název šablony Číslo projektu Předmět SOŠ InterDACT s.r.o. Most Mgr. Petra Mikolášková III/2_Inovace a zkvalitnění výuky

Více

Pravoúhlá axonometrie

Pravoúhlá axonometrie Pravoúhlá axonometrie bod, přímka, rovina, bod v rovině, trojúhelník v rovině, průsečnice rovin, průsečík přímky s rovinou, čtverec v půdorysně, kružnice v půdorysně V Rhinu vypneme osy mřížky (tj. červenou

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

Úlohy domácího kola kategorie B

Úlohy domácího kola kategorie B 47. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie B 1. Magický čtverec je čtvercová tabulka přirozených čísel, v níž je součet všech čísel v každém řádku, v každém sloupci i na obou úhlopříčkách

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 2. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Václav Zemek. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 2 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Od součtu libovolného čísla x a čísla 256 odečtěte číslo x zmenšené o 256.

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

5. Statika poloha střediska sil

5. Statika poloha střediska sil 5. Statika poloha střediska sil 5.1 Rovnoběžné sily a jejich střed Uvažujeme soustavu vzájemně rovnoběžných sil v prostoru s pevnými působišti. Každá síla má působiště dané polohovým vektorem. Všechny

Více

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u.

Poznámka. V některých literaturách se pro označení vektoru také používá symbolu u. Vektory, operace s vektory Ž3 Orientovaná úsečka Mějme dvojici bodů, (na přímce, v rovině nebo prostoru), které spojíme a vznikne tak úsečka. Pokud budeme rozlišovat, zda je spojíme od k nebo od k, říkáme,

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

CVIČNÝ TEST 12. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21

CVIČNÝ TEST 12. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 CVIČNÝ TEST 12 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 19 IV. Záznamový list 21 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Písmena A, B, C a D vyjadřují každé jednu z číslic

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 3 Soustavy lineárních rovnic Lineární funkce, rovnice a nerovnice Soustavy lineárních rovnic motivace Využívají se napřklad při analytickém vyšetřování vzájemné polohy dvou přímek v rovině a prostoru. Při řešení některých slovních

Více

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku

Více

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I

4.3.3 Základní goniometrické vzorce I 4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě

Více

Geometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2

Geometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2 Geometrie v R n Začněme nejjednodušší úlohou: Vypočtěme vzdálenost dvou bodů v rovině. Použijeme příkaz distance z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje.

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37)

Analytická geometrie. přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin. Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Analytická geometrie přímka vzájemná poloha přímek rovina vzájemná poloha rovin Název: XI 3 21:42 (1 z 37) Název: XI 3 21:42 (2 z 37) Rovnice přímky a) parametrická A B A B C A X Název: XI 3 21:42 (3 z

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar

Matematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na

Více

V (c) = (30 2c)(50 2c)c = 1500c 160c 2 + 4c 3. V (c) = 24c 320.

V (c) = (30 2c)(50 2c)c = 1500c 160c 2 + 4c 3. V (c) = 24c 320. Domácí úkol č. 3 Řešení Pozn.: úhly, které se zdají být pravé, jsou ve všech obrázcích opravdu pravé. 1. Z kartonu je třeba vyříznout čtverce v rozích, viz obr. 1 a přehnout podle přerušovných čar. Krabice

Více

SEZNAM ANOTACÍ. CZ.1.07/1.5.00/ III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_MA4 Analytická geometrie

SEZNAM ANOTACÍ. CZ.1.07/1.5.00/ III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_MA4 Analytická geometrie SEZNAM ANOTACÍ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Označení sady DUM Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0527 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_MA4 Analytická

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07

PROGRAMU 2. Obvod D je dán součtem velikostí všech tří stran D=a+b+c= =23.07 VZOROVÉ ŘEŠENÍ A VYSVĚTLENÍ PROGRAMU. Ing. Marek Nikodým Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava 1 Výpočty v trojúhelníku Je dán trojúhelník ABC v prostoru A[, 3, 3], B[4, 5, ],

Více

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky. AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna

Více