Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová"

Transkript

1 Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová

2 Obsah 1 Vzdálenosti Vzdálenostivrovině Vzdálenostdvoubodů Vzdálenostboduodpřímky Vzdálenostdvourovnoběžek Vzdálenostivprostoru Vzdálenostdvoubodů Vzdálenostboduodpřímky Vzdálenostboduodroviny Vzdálenostmimoběžek

3 1 Vzdálenosti Podívámesenato,jakjetosrůznýmivzdálenostmi.Ktomusenámbudehoditznátvšechny tři typy součinů vektorů, takže si je pro jistotu zopakujeme. U všech součinů budeme předpokládat,žemámetřísložkovévektorytvaru u=(u 1,u 2,u 3 ). Nejjednodušší na výpočet je skalární součin: u v= u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 = u v cos ϕ, (1) kde ϕ je úhel mezi vektory u, v. Výsledkem skalárního součinu, jak název napovídá, je jedno jediné číslo. Jsou-li vektory u, v vzájemně kolmé, jejich skalární součin je roven nule. Jinakjetomuuvektorovéhosoučinudvouvektorů u, v.výsledekjevektor w,kterýje kolmý k oběma vektorům u, v(vektory u, v, w tvoří pravotočivý systém) a jeho souřadnice jsou dány vztahem: w= u v=(u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 ), (2) přičemžvelikost w = u v sin ϕ.ksnazšímuzapamatovánívzorce(2)sloužíjakomnemotechnická pomůcka následující schema, příslušné součiny jsou naznačeny šipkami. u 1 u 2 u 3 u 1 u 2 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 Kombinací obou výše zmíněných součinů je smíšený součin( u v) w. Značí se[ u, v, w] asplňuje:[ u, v, w]=[ v, w, u]=[ w, u, v]= [ v, u, w].svyužitímvztahů(1),(2)dostaneme pro smíšený součin: [ u, v, w]=u 1 v 2 w 3 + u 2 v 3 w 1 + u 3 v 1 w 2 (u 3 v 2 w 1 + u 1 v 3 w 2 + u 2 v 1 w 3 ) (3) K zapamatování máme opět schema, v němž šipky naznačují, jak tvořit správné součiny. u 1 u 2 u 3 u 1 u 2 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 v 1 v 2 v 3 v 1 v 2 u 1 u 2 u 3 u 1 u 2 w 1 w 2 w 3 w 1 w 2 w 1 w 2 w 3 w 1 w Vzdálenosti v rovině Naučíme se určovat vzdálenost dvou bodů, vzdálenost bodu od přímky a vzdálenost dvou rovnoběžek Vzdálenost dvou bodů Vzdálenost dvou bodů, B značíme B a pro její určení si vystačíme s Pythagorovou větou. Z obrázku 1 je vidět, že vzdálenost bodů, B je délka přepony pravoúhlého trojúhelníka, jehožodvěsnymajívelikosti b 1 a 1, b 2 a 2,atedy: B = (b 1 a 1 ) 2 +(b 2 a 2 ) 2 (4) 3

4 y b 2 B a 2 b 1 a 1 b 2 a 2 a 1 b 1 x obr Vzdálenost bodu od přímky Úlohazní:vypočítejtevzdálenostbodu [x 0,y 0 ]odpřímky p,zadanéobecnourovnicí: ax+by+ c=0.přivýpočtubudemesledovatstejnýpostup,jakokdybychomúlohuřešili konstruktivně. To jest: nejprve vedeme bodem přímku q kolmou k přímce p. Nalezneme průsečík oboupřímeka změříme délkuúsečky. p obr.2 Výpočet bude o něco jednodušší, převedeme-li obecnou rovnici přímky p na parametrické rovnice. K tomu potřebujeme znát nějaký bod přímky p a její směrový vektor. Bod přímky jenapř. P[0, c/b],(x=0jsmesizvoliliay= c/bjsmedopočítalizrovnicepřímky). Směrovývektor pmusíbýtkolmýknormálovémuvektoru n=(a,b).tosplňujenapř.vektor p =( b, a). Potom parametrické rovnice přímky p jsou: q x= bt, y= c + at, t R. (5) b Podobněpřímka qprocházíbodem [x 0,y 0 ]amásměrovývektor q= n=(a,b),takžejejí parametrické rovnice jsou: x=x 0 + as, y= y 0 + bs, s R. (6) 4

5 Souřadnice průsečíku nalezneme vyřešením soustavy rovnic(5),(6). Vyloučením x a y dostanemedvěrovniceproneznámé t, s.prvnírovnicivynásobíme a,druhou baoběrovnice sečteme: bt=x 0 + as c b + at=y 0+ bs / a / b Po sečtení dostáváme jedinou rovnici pro parametr s: c=ax 0 + by 0 +(a 2 + b 2 )s Souřadnice bodu tedy jsou: aztoho s= ax 0+ by 0 + c a 2 + b 2. [ x 0 a ax 0+ by 0 + c a 2 + b 2, y 0 b ax 0+ by 0 + c a 2 + b 2 Nynímámevšepotřebnéprourčenívzdálenosti d(,p)bodu odpřímky p: ( ( d(,p)= = x 0 x 0 a ax 0+ by 0 + c a 2 + b 2 )) 2 ( ( + y 0 ]. y 0 b ax 0+ by 0 + c a 2 + b 2 )) 2. Poslednívztahještěmaličkoupravímedojednoduššípodoby; x 0 a y 0 sevyruší,zbytekumocníme na druhou, zlomek vytkneme, součet kvadrátů pokrátíme, odmocníme a máme vcelku hezký a pro někoho i zapamatovatelný výsledek: d(,p)= ax 0+ by 0 + c a 2 + b 2, (7) kterýdáváhledanouvzdálenostbodu [x 0,y 0 ]odpřímky p: ax+by+ c=0. Příklad 1 Určetevzdálenostbodu [ 1,5]odpřímky pzadanéparametricky: x= 2+4t, y=1 3t. Řešení Z parametrických rovnic přímky p vyloučíme parametr t, abychom dostali obecnou rovnici přímky p.rovnicevynásobíme3a4 x= 2+4t / 3 y=1 3t / 4 asečteme: 3x+4y= 2, tj. 3x+4y+2=0. Dosazením do vzorce(7) dostáváme pro vzdálenost bodu [ 1, 5] od přímky p d(,p)= 3 ( 1) = Vzdálenost dvou rovnoběžek Výpočet vzdálenosti dvou rovnoběžek převedeme na předchozí případ, tj. na výpočet vzdálenosti bodu od přímky. Stačí určit jeden bod na jedné z rovnoběžek a vypočítat vzdálenost tohoto bodu od druhé rovnoběžky. Tím zároveň spočítáme vzdálenost rovnoběžek. Vše si ukážeme na konkrétním příkladu. 5

6 Příklad 2 Určete vzdálenost rovnoběžek p, q, jestliže přímky p, q jsou zadány následovně: a) p: x=1+3t, y=4 t, q: x+3y+6=0, b) p: x= 5+2t, y=5t, q: x=2 2t, y=1 5t, c) p: 2x+3y 1=0, q: 2x+3y+4=0. Řešení ad a) Tento způsob zadání přímek je pro výpočet jejich vzdálenosti nejpohodlnější. Jako bod dobřeposloužíbod[1,4]arolipřímky ppřevezmepřímka q,tj.hledámevzdálenostbodu [1,4]odpřímky q d(p,q)=d(,q)= = ad b) V tomto případě musíme pro jednu z přímek zjistit její obecnou rovnici. Vyloučením parametru t v parametrických rovnicích přímky p získáme její obecnou rovnici ve tvaru: 5x 2y+25=0azabod můžemevzítbod[2,1]ležícínapřímce q. d(p,q)=d(,p)= 5 2+( 2) ( 2) 2 = adc)zdejetřebaurčitnějakýbodnajednézpřímek.zvolímesibod [ 2,0]napřímce q a opět použijeme vzorec(7): d(p,q)=d(,p)= = Vzdálenosti v prostoru Budeme používat kartézskou soustavu souřadnic. Je tvořena třemi vzájemně kolmými souřadnicovými osami x, y, z, které se všechny protínají v jednom společném bodě počátku O. Dvojicemi os jsou dány souřadnicové roviny. Bod v prostoru je zadán třemisouřadnicemi[x, y, z ],kde x jevzdálenostbodu odsouřadnicovéroviny y z(na obrázku3jetodélkaúsečky 1 ),podobně y jevzdálenostbodu odsouřadnicovéroviny xza z jevzdálenostbodu odsouřadnicovéroviny xy. z z 1 2 O y y x 3 x obr.3 6

7 1.2.1 Vzdálenost dvou bodů Začnemeobrázkem.Úkolemjeurčitvzdálenostbodů [x, y, z ], B[x B, y B, z B ](místo značení a 1, a 2,... jenynípoužitooznačení x, y,...).izdesivystačímespythagorovou z B z B z P y y B y x x B B x obr. 4 větou,jenjimusímepoužítdvakrát.body, B jsoupravoúhléprůmětybodů, Bdo roviny xy. Jejich vzdálenost už umíme spočítat. Podle vzorce(4) je B = (x B x ) 2 +(y B y ) 2. (8) Útvar B Pjeobdélník,tedy P = B,trojúhelník PBjepravoúhlýaBjejeho přepona. Takže B 2 = P 2 + PB 2. Podosazeníza P = B zrovnice(8)aza PB = z B z anáslednémodmocnění získáme konečný vztah: B = (x B x ) 2 +(y B y ) 2 +(z B z ) 2. (9) Příklad 1 Určetevzdálenostbodů [5, 7,2], B[2,4, 6]. Řešení Dosadíme do rovnice(9): B = (2 5) 2 +(4+7) 2 +( 6 2) 2 = =

8 1.2.2 Vzdálenost bodu od přímky Přímka v prostoru bývá zadána buď obecně jako průsečnice dvou rovin, nebo parametricky. Při výpočtu vzdálenosti bodu od přímky budeme používat parametrické zadání přímky, proto si nejprve ukážeme, jak se obecné rovnice přímky převádějí na parametrické. Obecné rovnice přímky(coby průsečnice dvou rovin) jsou: p: a 1 x+b 1 y+ c 1 z+ d 1 =0 a 2 x+b 2 y+ c 2 z+ d 2 =0 (10) Pro parametrické rovnice potřebujeme směrový vektor a libovolný bod přímky. Směrový vektor ppřímkyjerovenvektorovémusoučinunormálovýchvektorů n 1 =(a 1,b 1,c 1 ), n 2 =(a 2,b 2,c 2 )příslušnýchrovin, p= n 1 n 2.Bod X 0 [x 0, y 0, z 0 ]přímkyzískámetak,že jednu jeho souřadnici zvolíme a zbylé vypočítáme z rovnic(10). můžeme psát parametrické rovnice přímky: X= X 0 + p t, t R, což rozepsáno dává x=x 0 + p x t y= y 0 + p y t z= z 0 + p z t t R. (11) Příklad 2 Nalezněte parametrické rovnice přímky p, jestliže její obecné rovnice jsou: 2x 3y+ z=0 4x+2y 3z=10 (12) Řešení Vypočítáme směrový vektor p: p=(2, 3,1) (4,2, 3)=(7,10,16) Prourčeníbodu X 0 přímkyzvolímenapř. y 0 =0ax 0, z 0 spočtemezrovnic(12).vyjde x 0 =1, z 0 = 2.Takžeparametrickérovnicedanépřímkyjsou: x=1+7t, y=10t, z= 2+16t, t R. Vzdálenost bodu od přímky v prostoru můžeme počítat různými způsoby. V následujícím příkladu si ukážeme čtyři z nich. První sleduje stejný postup, jako kdybychom úlohu řešili konstruktivně. Tj. bodem vedeme rovinu α kolmou k přímce p, nalezneme průsečík roviny s přímkou a vypočítáme délku úsečky. Druhý způsob využívá toho, že skalární součin dvou vzájemně kolmých vektorů je roven nule. Třetí způsob bere na pomoc derivace a čtvrtý způsob je aplikací vektorového součinu. 8

9 Příklad 3 Určetevzdálenostbodu [3, 2,1]odpřímky p:x=1 2t, y=4+t, z=2+2t. Řešení 1. způsob Rovina αprocházejícíbodem akolmákpřímce pmánormálovývektor nrovnýsměrovému vektorupřímky p; n= p=( 2,1,2).Obecnárovnice roviny je tedy: 2(x 3)+y+2+2(z 1)=0,poúpravě: 2x+y+2z+6=0. Pro nalezení průsečíku roviny α s přímkou p dosadíme z parametrických rovnic přímky do obecné rovnice roviny: 2(1 2t)+(4+t)+2(2+2t)+6=0 a vypočítáme hodnotu parametru t: 9t+12=0, z toho: t= 4 3. α p obr.5 Zpětným dosazením t do parametrických rovnic přímky p získáme souřadnice bodu : ( x =1 2 4 ) = , y =4 4 ( 3 =8 3, z =2+2 4 ) = Hledanávzdálenost d(,p)jerovnadélceúsečky : 2. způsob d(,p)= = ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 =5. Nynívyjdemezeskutečnosti,ženapřímce pjejedinýbod(označímesijejopět ),který splňuje P,kde P, P p.matematickévyjádřenítétoskutečnostije,žeskalární součin P=0. Bod jedán [3, 2,1],bod jevyjádřenparametrickýmirovnicemipřímky p, [1 2t,4+t,2+2t] azabod Pmůžemevzítjakýkolibodpřímky p,např. bod [1,4,2] (odpovídá hodnotě parametru t = 0). p Pak =(2+2t, 6 t, 1 2t), P=(2t, t, 2t), P=2t(2+2t) t( 6 t) 2t( 1 2t)= P obr.6 = t(4+4t+6+t+2+4t)=t(12+9t). P=0 t(12+9t)=0. 9

10 Poslednírovnicemádvěřešení: t 1 =0,toodpovídá =P,cožjsmevyloučili,druhé řešení t 2 = 4 dávátutéžhodnotuparametru tjakovpředchozímpřípadě.dálbybyl 3 výpočet stejný a dostali bychom opět d(,p)= =5. 3. způsob Využijeme výpočtu minima funkce pomocí derivace. Vzdálenost bodu od přímky p je rovnadélcenejkratšízúseček X,kde Xjebodpřímky p.délkaúsečky Xje X = Nadefinujeme funkci (3 (1 2t)) 2 +( 2 (4+t)) 2 +(1 (2+2t)) 2 = = (2+2t) 2 +( 6 t) 2 +( 1 2t) 2 f(t)= X 2 =(2+2t) 2 +( 6 t) 2 +( 1 2t) 2. Funkce má lokální minimum pro hodnotu parametru t, kteráodpovídábodu přímky p,jenžjenejblížbodu. Je zřejmé, že funkce má pouze jediné lokální minimum, stačítedyzjistitstacionárníbodzpodmínky: f (t)=0. f (t)=2(2+2t)2+2( 6 t)( 1)+2( 1 2t)( 2)=24+18t X p obr.7 f (t)= t=0, tj. t= 4 3 ajsmetam,kdejsmebylijižpodvakráte.tedyitentokrátvychází d(,p)= =5. 4. způsob Z parametrických rovnic přímky p určíme libovolné dvabody M, Nležícínapřímce.Např.probod Mvolíme t=0,tj. M=[1,4,2],pro N t=1,takže N=[ 1,5,4]. Vzdálenostbodu odpřímky pjepotomrovnavýšce rovnoběžníku M N O(obsah rovnoběžníku je roven velikostivektorovéhosoučinu MN M ). d(,p)= = MN M MN Dosadímehodnoty MN=( 2,1,2), a dostaneme pro vzdálenost: M=(2, 6, 1) M O p N obr.8 d(,p)= (11,2,10) = 15 3 =5. 10

11 1.2.3 Vzdálenost bodu od roviny Odvodímevztahprovzdálenostbodu [x 0,y 0,z 0 ]odroviny αdanéobecnourovnicí: ax+by+cz+d=0.hledanávzdálenostjerovnadélceúsečky,kde jeprůsečíkkolmice qkrovině αvedenébodem. α q obr.9 Přímka q má parametrické rovnice(směrový vektor přímky q je normálový vektor roviny α): q: x=x 0 + at, y= y 0 + bt, z= z 0 + ct, t R. (13) Dosazením parametrických rovnic přímky q do obecné rovnice roviny α dostaneme hodnotu parametru t pro bod : ztoho Délka úsečky je: = a(x 0 + at)+b(y 0 + bt)+c(z 0 + ct)+d=0, t= ax 0+ by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c 2 (14) (x 0 + at x 0 ) 2 +(y 0 + bt y 0 ) 2 +(z 0 + ct z 0 ) 2 = (at) 2 +(bt) 2 +(ct) 2 = = t a 2 + b 2 + c 2, za tdosadímezrovnice(14)azískámehledanývztahprovzdálenostbodu [x 0,y 0,z 0 ]od roviny α: ax+by+ cz+ d=0 d(,α)= ax 0+ by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c 2 (15) Při výpočtu vzdálenosti bodu od roviny můžeme rovněž využít smíšeného součinu vektorů; ukážeme si to v dalším příkladu. Příklad 4 Určetevzdálenostbodu [5,1, 2]odroviny α: X=[2,0,1]+t(1, 1,1)+s(4, 1,0), t,s R. 11

12 Řešení 1. způsob Použijeme vzorec(15). K tomu potřebujeme převést parametrické rovnice roviny α na obecnou rovnici. Můžeme buď z parametrických rovnic vhodnými úpravami vyloučit parametry t, s, nebo ze zadaných vektorů u, v roviny(obr.10) vypočítat vektorovým součinem normálový vektor. w v v α K u α K u obr. 10 Vypočítáme normálový vektor: n=(1, 1,1) (4, 1,0)=(1,4,3). Z parametrických rovnic vyplývá, že rovina α obsahuje bod K[2, 0, 1], takže její obecná rovnice je: x 2+4(y 0)+3(z 1)=0 apoúpravě Teď již stačí dosadit do vztahu(15): x+4y+3z 5=0 d(,α)= ( 2) = způsob Víme, nebo bychom mohli vědět, že smíšený součin vektorů u, v, w, které nejsou komplanární (nelze je umístit do jedné roviny), je číselně roven objemu rovnoběžnostěnu, jehož hrany jsou umístěním těchto vektorů(obr. 10). Objem každého rovnoběžnostěnu je roven součinu velikosti podstavy a velikosti výšky. Velikost podstavy v našem případě je rovna velikosti vektorovéhosoučinu u vavýškaudáváhledanouvzdálenostbodu odroviny α.tj. d(,α)= [ u, v, w] u v Zavektorydosazujeme: u=(1, 1,1), v=(4, 1,0), w= K=(3,1, 3). [ u, v, w]= =3+0+4 ( )= 2. 12

13 Vektorovýsoučin u vmámeužspočítaný: u v= n=(1,4,3).potom d(,α)= = Poznámka: Bystrý čtenář si mohl všimnout, že ač použité postupy vypadají různě, prováděné početní operace jsou v obou případech v podstatě stejné, zvláště když smíšený součin bereme vetvaru[ u, v, w]=( u v) w Vzdálenost mimoběžek Vzdálenost mimoběžek je rovna délce jejich nejkratší příčky, tj. té příčky, která je k oběma mimoběžkám kolmá(obr. 11). Výpočet opět ukážeme na příkladu. Příklad 5 Určetevzdálenostmimoběžek a, b,kdepřímka ajedánabodem [2,1, 1]asměrovým vektorem a=(1,1,1),přímka bjedánabodem B[1,0,2]asměrovýmvektorem b=(0, 2,1). Řešení 1. způsob Budemehledatkrajníbody P a, bnejkratšípříčkymimoběžek a, b.zparametrických rovnicpřímky a: X=[2,1, 1]+ t(1,1,1)apřímky b: X=[1,0,2]+ s(0, 2,1)vyjádříme body P =[2,1, 1]+t p (1,1,1), =[1,0,2]+s q (0, 2,1)a vektor P P=(1,1, 3)+ t p (1,1,1) s q (0, 2,1),tj. P=(1+t p,1+t p +2s q, 3+t p s q ). Vektor Pmusíbýtkolmýkoběmamimoběžkám,takže skalární součiny a obr. 11 a P= b P=0. a P=1+tp +1+t p +2s q 3+t p s q =3t p + s q 1=0 b P= 2 2tp 4s q 3+t p s q = t p 5s q 5=0 Dostávámesoustavudvourovnicprodvěneznámé t p, s q : 3t p + s q 1=0 t p 5s q 5=0 t p= 5 7, s q= 8 7. Ze získaných hodnot parametrů vypočítáme souřadnice bodů P= [ [ 19 7,12 7 7], 2, = 1, 16 ] 7,6. 7 b 13

14 Hledaná vzdálenost je ( ) d(a,b)= P = 12 7, 4 7, 8 = způsob Opětvyužijemesmíšenéhosoučinu.Zvektorů a, b, Butvořímerovnoběžnostěn(obr.12). Vzdálenost přímek a, b je pak rovna vzdálenosti horní a dolní podstavy, tj. výšce rovnoběžnostěnu. Výška = objem obsahpodstavy.tedy d(a,b)= [ a, b, B] ( a b) = ( a b) B ( a. b) a a B obr. 12 Vnašempřípaděje: B=(1,1, 3), a=(1,1,1), b=(0, 2,1).Pak d(a,b)= ( a b) B (3, 1, 2) (1,1, 3) ( a = b) (3, 1, 2) b = b = 8 2 =

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2.

( ) 7.3.16 Další metrické úlohy II. Předpoklady: 7315. Př. 1: Najdi přímku rovnoběžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od bodu A[ 1;2 ] 2 2. 76 Další metriké úlohy II Předpoklady: 7 Př : Najdi přímku rovnoěžnou s osou I a III kvadrantu vzdálenou od odu A[ ; ] Osou I a III kvadrantu je přímka y = x přímky s ní rovnoěžné mají rovnii x y + = 0

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014 Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 21. dubna 2014 1 Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák zdůvodňuje a využívá

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah

Matematika - 6. ročník Vzdělávací obsah Matematika - 6. ročník Září Opakování učiva Obor přirozených čísel do 1000, početní operace v daném oboru Čte, píše, porovnává čísla v oboru do 1000, orientuje se na číselné ose Rozlišuje sudá a lichá

Více

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3

Povrchy, objemy. Krychle = = = + =2 = 2 = 2 = 2 = 2 =( 2) + = ( 2) + = 2+ =3 = 3 = 3 = 3 = 3 y, objemy nám vlastně říká, kolik tapety potřebujeme k polepení daného tělesa. Základní jednotkou jsou metry čtverečné (m 2 ). nám pak říká, kolik vody se do daného tělesa vejde. Základní jednotkou jsou

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Podle mateiálu ESO přeložil Rostislav Halaš Úkol: Změřit vzdálenost Země Slunce (tzv. astronomickou jednotku AU) pozorováním přechodu

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Základním úkolem při souřadnicovém určování polohy bodů je výpočet směrníků a délky strany mezi dvěma body, jejichž pravoúhlé souřadnice jsou známé.

Základním úkolem při souřadnicovém určování polohy bodů je výpočet směrníků a délky strany mezi dvěma body, jejichž pravoúhlé souřadnice jsou známé. 1 Určování poloh bodů pomocí souřadnic Souřadnicové výpočt eodetických úloh řešíme v pravoúhlém souřadnicovém sstému S-JTSK, ve kterém osa +X je orientována od severu na jih a osa +Y od východu na západ.

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE

Příloha č. 6 MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Žák cvičí prostorovou představivost Žák využívá při paměťovém i písemném počítání komutativnost i asociativní sčítání a násobení Žák provádí písemné početní operace v oboru Opakování učiva 3. ročníku Písemné

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 6. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace zaokrouhluje, provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor porovnává

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1.

Exponenciální rovnice. Metoda převedení na stejný základ. Cvičení 1. Příklad 1. Eponenciální rovnice Eponenciální rovnice jsou rovnice, ve kterých se neznámá vsktuje v eponentu. Řešíme je v závislosti na tpu rovnice několika základními metodami. A. Metoda převedení na stejný základ

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10.

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10. 5.10. Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Vzdělávací předmět: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Seminář z matematiky Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět Seminář z

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L.

POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Soustavy o jedné rovnici neboli rovnice. Algebraické rovnice: Polynom= 0. POLYNOMY 1 Jan Malý UK v Praze a UJEP v Ústí n. L. Rovnice 1. stupně: lineární, ax + b = 0, a 0. Řešení: x = b a. Rovnice 2. stupně:

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

5. Kvadratická funkce

5. Kvadratická funkce @063 5. Kvadratická funkce Kvadratickou funkci také znáte ze základní školy, i když jen v té nejjednodušší podobě. Definice: Kvadratická funkce je dána předpisem f: y = ax 2 + bx + c, kde a, b, c R, a

Více

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání

Zobrazení a řezy těles v Mongeově promítání UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Pedagogická fakulta Katedra matematiky Michaela Sukupová 3. ročník prezenční studium Obor: Matematika se zaměřením na vzdělávání a český jazyk se zaměřením na vzdělávání

Více

Obsahy. Trojúhelník = + + 2

Obsahy. Trojúhelník = + + 2 Obsahy Obsah nám říká, jak velkou plochu daný útvar zaujímá. Třeba jak velký máme byt nebo pozemek kolik metrů čtverečných (m 2 ), hektarů (ha), centimetrů čtverečných (cm 2 ), Základní jednotkou obsahu

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA

Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Obor vzdělání: 23 45 L/01 Platnost: 1.9.2010 Název ŠVP: Mechanik seřizovač Forma vzdělání: denní MATEMATIKA Ročník: 1 Počet hodin celkem: 3 hod/týden = 99 Rozpis výsledků vzdělávání a učiva Výsledky vzdělávání

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce)

LOKÁLNÍ EXTRÉMY. LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maximum a minimum funkce) Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA ČTVRTÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 5. srpna Název zpracovaného celku: LOKÁLNÍ EXTRÉMY LOKÁLNÍ EXTRÉMY (maimum a minimum funkce) Lokální etrémy jsou body, v nichž funkce

Více

Vlhký vzduch a jeho stav

Vlhký vzduch a jeho stav Vlhký vzduch a jeho stav Příklad 3 Teplota vlhkého vzduchu je t = 22 C a jeho měrná vlhkost je x = 13, 5 g kg 1 a entalpii sv Určete jeho relativní vlhkost Řešení Vyjdeme ze vztahu pro měrnou vlhkost nenasyceného

Více

Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce)

Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Užití rovnic a jejich soustav při řešení slovních úloh (11. - 12. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 15. září

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Matematika a její aplikace Matematika

Matematika a její aplikace Matematika Vzdělávací oblast : Vyučovací předmět : Období ročník : Počet hodin : 165 Matematika a její aplikace Matematika 2. období 5. ročník Učební texty : J. Justová: Alter-Matematika, Matematika 5.r.I.díl, 5.r.

Více

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY

METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

9 Prostorová grafika a modelování těles

9 Prostorová grafika a modelování těles 9 Prostorová grafika a modelování těles Studijní cíl Tento blok je věnován základům 3D grafiky. Jedná se především o vysvětlení principů vytváření modelů 3D objektů, jejich reprezentace v paměti počítače.

Více

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA

STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA STŘEDOŠKOLSKÁ MATEMATIKA MOCNINY, ODMOCNINY, ALGEBRAICKÉ VÝRAZY VŠB Technická univerzita Ostrava Ekonomická fakulta 006 Mocniny, odmocniny, algebraické výrazy http://moodle.vsb.cz/ 1 OBSAH 1 Informace

Více

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření

Fyzikální veličiny a jednotky, přímá a nepřímá metoda měření I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 2 Fyzikální veličiny a jednotky,

Více

Matematika Název Ročník Autor

Matematika Název Ročník Autor Desetinná čísla řádu desetin a setin 6. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Opakování učiva 6.ročníku 7. Dělitelnost přirozených čísel 7. Desetinná čísla porovnávání 7. Desetinná

Více

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò:

Matematika. Až zahájíš práci, nezapomeò: 9. TØÍDA PZ 2012 9. tøída I MA D Matematika Až zahájíš práci, nezapomeò: každá úloha má jen jedno správné øešení úlohy mùžeš øešit v libovolném poøadí test obsahuje 30 úloh na 60 minut sleduj bìhem øešení

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více