Ze zadaných požadavkù navrhneme klasickou teorií pøenosovou funkci Ha (p) vzorového

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "9.1. 2. Ze zadaných požadavkù navrhneme klasickou teorií pøenosovou funkci Ha (p) vzorového"

Transkript

1 9.1 Základní vlastnosti IIR filtrù byly uvedeny v odst Je významné, že pøi jejich návrhu mùžeme vycházet z charakteristik vzorového analogového filtru požadovaných vlastností, jehož parametry transformujeme z analogové oblasti do digitální oblasti. Výhodnost takového postupu spoèívá v tom, že pro návrh analogových filtrù existuje øada velmi dobøe propracovaných postupù, jako napø. pro Butterworthovy, Èebyševovy, Cauerovy, Besselovy, eliptické ajiné analogové filtry. Postup návrhu IIR filtru mùžeme rozdìlit do ètyø krokù: 1. Formulace požadavkù na vzorový analogový filtr, obvykle na jeho frekvenèní charakteristiku nebo na impulzní odezvu. 2. Ze zadaných požadavkù navrhneme klasickou teorií pøenosovou funkci Ha (p) vzorového analogového filtru. 3. Pøenosovou funkci Ha (p) analogového filtru transformujeme podle použité metody návrhu zp-roviny do z-roviny na systémovou funkci H(z) digitálního filtru. Získaná funkce H(z) již specifikuje koeficienty ok a bk navrhovaného digitálního filtru. 4. Pro kontrolu mùžeme ze systémové funkce H(z) substitucí z = ejfjj stanovit odpovídající frekvenèní charakteristiku H(m) takto navrženého digitálruno filtru a porovnat ji s výchozími požadavky. Existuje nìkolik standardních metod návrhu IIR filtrù, které se liší zpùsobem transformace Ha(P) na H(z), pøi zachování stability filtru. V jednoduchých pøípadech lze rekurzivní filtr navrhnout intuitivnì na základì døíve uvedených poznatkù o vlivu pozice nul a pólù na frekvenèní charakteristiku -viz pøíklady v odst.6.4. Pøed uvedením standardních metod návrhu!ir filtrù si pøipomeneme základní vztahy pro pøenosovou funkci Ha (p) analogových filtrù: -112-

2 , 2. (9.1) nebo Ha(p)=!!.SJ!2=K (p-zt)(p-z2) (P-ZM) A(p) (p -Pt) (p -P2)"" (p -P) kde ak, bk jsou koeficienty pøíslušné diferenciální rovnice, Zl' Z2, PI, P2, P jsou póly pøenosové funkce Ha (p) V komplexní p-rovinì. Z M jsou nuly a Pro stabilitu analogového filtru je nutné, aby všechny póly Pk jeho pøenosové funkce Ha (p) ležely v levé polorovinì. Uvedeme ještì souvislost H(z) a Ha(P) ve spektrální oblasti. 1. Pro systémovou funkci H(z) platí: H(z) = Z[h(n)]. Pro z = ejiii jednotkové kružnici (r = 1 ) v komplexní z-rovinì bude: tj. pro body ležící na cožje frekvenèní charakteristika digitálního filtru. Pro pøenosovou funkci Ha(P) platí: Ha(P) = L[h(t)]. Pro P = io, tj. pro body ležící na imaginární ose io v p-rovinì bude: což je frekvenèní charakteristika analogového filtru, kde.q je úhlová frekvence v [rad/s] na rozdíl od {ij [rad]. Dále ještì frekvenèní charakteristika Ha (.Q) analogového filtru má aperiodický prùbìh (není periodická). Podle (9.3) a (9.4) se body z imaginární osy j.q v p-rovinì transformují (mapují) na jednotkovou kružnici (r = 1 ) v z-rovinì a obrácenì. Existuje tedy pøímá souvislost mezi frekvencemi v tìchto dvou rovinách (ovšem H(iii) je periodická, kdežto Ha(.Q) je aperiodická). 9.2 Metoda aproximace derivací diferencemi Již v odst. 5.5 byl uveden elementární pøíklad transformace analogového filtru (RC obvodu) na digitální strukturu s použitím aproximace derivace:

3 b) a) Derivaci na levé stranì si pøedstavíme jako výstup analogového systému s pøenosovou funkcí H~(P) podle obr. 9.1a). _~~r-~ ~~ ~L_~ ~ y(n)-y(n-1).--!j~~~~[~~-~=::::!:=.. Obr. 9.1 K aproximaci derivace diferencerni Pøenosová funkce H~(P) je dána pomìrem L-obrazu vstupu, tj. Ya(p), kl-obrazu výstupu, tj. pya(p), takže bude: H~(P) = p Tento analogový systém aproximujeme digitálním systémem se systémovou funkcí H'(z) podle obr. 9.1b). Systémová funkce H'(z) je dána pomìrem Z-obrazu vstupu, tj. Y(z), k Z- obrazu výstupu, tj.! T ~(z) -z-i Y(z)l takže bude: H'(z) = 1- z-i T Tato systémová funkce aproximuje pøenosovou funkci H~(p). Tedy z dané H~(P) pøejdeme na H'(z) substitucí p= I-z' T -1 Obecnì, bude-li zadána pøenosová funkce Ha (P) vzorového analogového filtru, která má tvar podle (9.1), potom systémová funkce H(z) odpovídajícího digitálního filtru bude: Z rovnice (9.9) dostaneme pro z: 1z=l-=-p"T (9.10) Tato rovnice vyjadøuje, jak se body p transformují z p-roviny do bodù z v z-rovinì (mapuje p- rovinu do z-roviny)

4 ~ --~ Zvolíme-li p = j.q, pak analýzou zjistíme, že imaginární osa j.q v p-rovinì se takto mapuje na kružnici o polomìru 0,5 se støedem v bodì z = 0,5 v z-rovinì a levá polorovina do plochy této kružnice -viz obr.9.2. j.qt joo p-rovina ~,--- Imzt jednotková kružnice ~, z-rovina '.' ~ o O' I, 1 Rez J.Q ~ -JOO ;/,/ Obr. 9.2 Mapování osy j.q zp-roviny do z-roviny pøi aproximaci derivací diferencemi Z uvedeného vyplývá: -bude-li vzorový analogový filtr stabilní, bude stabilní i takto navržený digitální filtr (transformace zachovává stabilitu) frekvenèní charakteristika takto navrženého digitálního filtru bude odlišná, nebo pro její zachování by bylo tøeba, aby se osa io transformovala na jednotkovou kružnici. Pouze v malé oblasti v okolí bodu z = 1 (tj. v oblasti nízkých frekvencí m«7t/2) se budou body na malé kružnici pøibližovat bodùm na jednotkové kružnici, takže v této oblasti frekvencí se bude také H(m) digitálního filtru pøibližovat Ha (O) analogového filtru. To by mohlo vyhovìt návrhu filtrù typu DP, nikoliv PP nebo HP. 9.3 Metoda impulznì invariantní transformace Tato metoda zachovává hodnoty impulzní odezvy h(t) analogového filtru. Impulzní odezva h(n) navrženého digitálního filtru totiž vychází z jejích vzorkù h(n): h(n) = h(t)1 t=nt n=o,1,2, (9.11 ) kde T je vzorkovací interval. Tyto hodnoty h(n) ovšem nemùžeme pokládat za koeficienty digitálního filtru, nebo h(t) má teoreticky neomezenou délku. Postup návrhu bude následující. Ze zadaných požadavkù na filtr navrhneme nìkterou známou metodou pøenosovou funkci Ha (p) vzorového analogového filtru ve tvaru: _11,-

5 (9.12) kde Zk jsou nuly a Pk jsou póly vzorového analogového filtru v p-rovinì. Za pøedpokladu, že tato Ha (p) neobsahuje násobné póly, vyjádøíme Ha (p) rozkladem v parciální zlomky, který bude ve tvaru: AJ Ha(P) =-:~ Az++... p-pz (9.13) kde Ak jsou reálné nebo komplexní konstanty (podle povahy pólu Pk). Tím jsme vlastnì analogový filtr vyjádøili ve tvaru paralelní kombinace elementárních filtrù s jednoduchými (reálnými nebo komplexními) póly Pk -viz obr.9.3. Obr. 9.3 Rozklad Ha (p) na paralelní kombinaci elementárních filtrù Tuto Ha (p) budeme nyní transformovat do digitální oblasti na systémovou funkci H (z). Hledaný vztah pro H(z) odvodíme následovnì. Impulzní odezva hk (f) jednoho elementárního analogového filtru na obr. 9.3 je dána inverzní LT: a hk(t) = L-1 = Ak epkt hk(t)=o pro «o pro t~o (9.14) Výsledná impulzní odezva uvedené paralelní kombinace bude dána sumací odezev jednotlivých elementárních filtrù: h(t) = Lhk(t) = LAk epkt k=l k=l (9.15) -116-

6 1 Impulzní odezva odpovídajícího impulznì invariantního filtru pak bude dána podle (9.12) diskrétními hodnotami (vzorky) h(n): h(n) = LAk k=l epknt n~o (9.16) Její Z-transformací již získáme odpovídající systémovou funkci H(z) navrhovaného digitálního filtru: CX> H(z) = L h(n) z-n = L LAk epknt z-n= LAk L(z-l epkt )n n=o n=o k=l k=l n=o (9.17) S použitím vzorce pro sumaci souètu neomezené geometrické øady dostaneme: H(z) = LAk k=l 1- z-i epkt =LAk k=l z z -epkt (9.18) Podle (9.18) bude systémová funkce digitálního filtru obsahovat jednoduchých (reálných nebo komplexních) pólù k = 1,2, (9.19) kde Pk jsou jednoduché póly vzorového analogového filtru. Dále bude obsahovat nul v poèátku. Ze znalosti Ha(P) ve tvaru podle (9.13) tedy mùžeme ihned vyjádøit vztah pro H(z) podle (9.18). Obdobnì jako na obr. 9.3 pøedstavuje také sumace (9.18) paralelní kombinaci elementárních digitálních filtrù se systémovými funkcemi: k=1,2, Bude-li H k (z) v sumaci (9.18) obsahovat komplexní pól zk = exp(pkt), pak ovšem musí tato sumace obsahovat také Hk(z) s komplexnì sdruženým pólem. Obì takové èásti mùžeme slouèit do jedné dílèí systémové funkce, obsahující dva komplexnì sdružené póly. Realizace výsledné H(z) mùže odpovídat paralelnímu tvaru dílèích H k (z) podle (9.18). ebo mùžeme vztah (9.18) upravit na sériový tvar (souèet zlomkù pøevedeme na spoleèného jmenovatele). Pøíklad 9.1 Pøenosová funkce vzorového analogového filtru je dána ve tvaru: Ha(P) = 0,2 + p (0,2+p)

7 -j4t Zøejmì obsahuje nulu v bodì p = -0,2 a pár komplexnì sdružených pólù Pl,2 = -0,2 :t j 4. ejprve rozložíme Ha (p) na parciální zlomky: medanou H(z) získáme podle vztahu (9.18): 0,5 1 -z-i e-o,2t e Zøejmì obsahuje dva komplexnì sdružené póly ZI,2 = e-o,2t:tj4t.mùžeme tedy dva èleny H(z) upravit do jediného èlenu: v Podle vztahu (9.19) mùžeme vyjádøit souvislost mezi body v z-rovinì a body v p-rovinì: z = exp(pt). Zavedeme-li substituci z = r exp(jm) a p = O' + j,q" dostaneme: r = exp(at) a m =,Q,T. Z toho vyplývá, že pro O' < O bude O < r < 1, takže levá polorovina p-roviny se bude mapovat do plochy jednotkové kružnice v z-rovinì. Dále pro O' = O bude r = 1, takže imaginární osa j,q, se bude mapovat na jednotkovou kružnici. Tato metoda tedy zachovává stabilitu filtru a zaruèuje shodu impulzních odezev digitálního filtru a vzorového analogového filtru. A však souvislost mezi frekvenèními charakteristikami Ha(Q) a H(iiJ) nebude tak jednoznaèná. Spojité impulzní odezvì h(t) pøísluší pøenosová funkce Ha(.Q) = F[h(t)] -viz obr.9.4. o Ov Q Obr. 9.4 Impulzní odezva a frekvenèní charakteristik analogového filtru Potom vzorkované h(n) = h(nt) bude podle vzorkovacího teorému -viz odstavce 2.3 a 3.1 -pøíslušet periodické opakování Ha(Q) s periodou Qv = 2n/T (Ha(Q) je spektrum impulzní odezvy h(t)). Bude tedy analogicky ke vztahu (2.17) pro frekvenèní charakteristiku digitálního filtru platit: -llr-

8 00 H(ilJ) = H(.Q.T) = Fv LHa k=-oo (.Q. + k.qv) (9.20) Pak ovšem budou platit také poznatky z odst. 3.1 o pøekrývání (aliasing) sousedních prùbìhù Ha (O + k.o.v) -viz obr.9.5. Výsledná frekvenèní charakteristika bude dána souètem pøekrývajících se èástí, takže bude odlišná od Ha (O). Tento negativní vliv mùžeme zmenšit volbou menší hodnoty T, tj. hustìjším vzorkováním odezvy h(t). - H(ro ):H(OT) Ha(O-Ov)/ Ha(O-20v) ~~~/"--~~,,,/a ( o ) JI'. \: ~ \: ~,/"Y, '/,,~, " " '-. I I ---I-r-- o 1t 21t 31t ro=.gt Q o 1/2.o.v Oy Ov.Q Obr. 9.5 Vzorky impulzní odezvy h(n) a odpovídající frekvenèní charakteristika H(iJJ) 9.4 Metoda bilineární transformace Odvození transformaèního vztahu mezi komplexními promìnnými p a z vychází z diferenciální rovnice analogového filtru, kde se derivace neaproximuje diferencí jako v odst. 9.2, ale derivace se integruje a integrál se aproximuje podle trojúhelníkového pravidla. Po úpravì pak získáme transformaèní vztah ve tvaru: 2 (I-Z-l ) 2 z-i P=r ~=t =r;+i (9.21) nazývaný bilineámí transformace, kde T je èinitel úmìrnosti. Bude-li zadána pøenosová funkce Ha(P) vzorového analogového filtru, pak systémovou funkci H(z) odpovídajícího digitálního filtru získáme substitucí: H(z) = Ha(P) 2 z-i p=-- T z+1 (9.22) Abychom poznali vlastnosti bilineární transformace, zavedeme v rov. (9.21) substituci z = r exp(jm) a p = a + j.q. Z výsledku zjistíme, že pro a < O bude r < O a pro a = O bude r = 1, takže levá polorovina z p-roviny se bude mapovat do plochy jednotkové kružnice -119-

9 v z-rovinì a body z imaginární osy j.o. v p-rovinì se budou mapovat do bodù z = exp(jm) na jednotkové kružnici v z-rovinì. Stabilní analogový filtr se tak bude transformovat na stabilní digitální filtr. Uvedenou substitucí z = exp(j m) a p = j.o. (O" = O) do rov. (9.21) získáme vztah mezi body na ose j.o. v p-rovinì a body z = exp(jm) na jednotkové kružnici v z-rovinì, tj. mezi frekvencemi.o. a m : Bude tedy platit: "A 21-z-1 p = J~~ =-=-= 21-exp(-jiiJ) "2 J-tgiiJ T 1+z-1 T l+exp(-jiij) T >.Q =rtg2.ar nebo iij = 2 arctg. (9.23) 2 kde je.q v [rad/s] a iij v [rad]. Závislost mezi frekvencemi.qt a iij podle rov. (9.23) je graficky znázornìna na obr Obr. 9.6 Závislost mezi frekvencemi analogového a digitálního filtru pøi bilineární transformaci V oblasti nižších hodnot iij je závislost témìø lineární, ale se stoupající hodnotou iij se stává silnì nelineární. Dále celý frekvenèní interval O ~.Q ~ 00 analogového filtru se u digitálního filtru komprimuje na koneèný interval odpovídající pùlkružnici jednotkové kružnice v z- rovinì, tj. na interval O ~ iij ~ 7t. Potlaèení vlivu této nelinearity vyžaduje trochu pozmìnìný postup návrhu proti pøedchozím metodám. ávrh vychází ze specifikace požadavkù na frekvenèní charakteristiku digitálního filtru. Specifikují se významné frekvence, napø. frekvence vymezující pøechodové oblasti frekvenèní charakteristiky digitálního filtru -viz pøíklad na obr.9.7 v dolní èásti, kde jsou specifikovány frekvence iij1, iij2 [rad]

10 Podle vztahu (9.23) se k tìmto frekvencím urèí odpovídající frekvence ni, n2 v analogové oblasti -viz graf vlevo nahoøe na obr.9. 7, kde je tato transformace znázornìna graficky s využitím závislosti mezi (jj a.o. podle obr.9.6. Podle hodnot takto získaných frekvencí.o. i se potom navrhne nìkterou známou metodou pøenosová funkce Ha (p) vzorového analogového filtru. Obr. 9.7 K souvislosti mezi frekvenèními charakteristikami H(iiJ) a H(.aT) a stanovení významných frekvencí u metody bilineámí transformace S použitím bilineární transformace podle rov. (9.22) již získáme systémovou funkci H(z) navrhovaného digitálního filtru, u kterého budou zaruèeny jako významné frekvence ml' m2. Tato metoda návrhu IIR filtrù nemá omezení jako pøedchozí metody, je použitelná pro filtry typu DP, PP, a HP, vyluèuje pøekrývání (aliasing) frekvenèních charakteristik a zachovává stabilitu filtru. Avšak impulzní odezva takto navrženého digitálního filtru neodpovídá výchozímu analogovému filtru

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

v trojúhelníku P QC sestrojíme vý¹ky na základnu a jedno rameno, patu vý¹ky na rameno oznaèíme R a patu na základnu S

v trojúhelníku P QC sestrojíme vý¹ky na základnu a jedno rameno, patu vý¹ky na rameno oznaèíme R a patu na základnu S Øe¹ení 5. série IV. roèníku kategorie JUNIOR RS-IV-5-1 Pro na¹e úvahy bude vhodné upravit si na¹í rovnici do tvaru 3 jx 1 4 j+2 = 5 + 4 sin 2x: Budeme uva¾ovat o funkci na pravé stranì na¹í rovnice, tj.

Více

Ideální frekvenční charakteristiky filtrů podle bodu 1. až 4. v netypických lineárních souřadnicích jsou znázorněny na následujícím obrázku. U 1.

Ideální frekvenční charakteristiky filtrů podle bodu 1. až 4. v netypických lineárních souřadnicích jsou znázorněny na následujícím obrázku. U 1. Aktivní filtry Filtr je obecně selektivní obvod, který propouští určité frekvenční pásmo, zatímco ostatní frekvenční pásma potlačuje. Filtry je možno realizovat sítí pasivních součástek, tj. rezistorů,

Více

Filtrace v prostorové oblasti

Filtrace v prostorové oblasti prostorová oblast (spatial domain) se vztahuje k obrazu samotnému - metody zpracování obrazu jsou zalo¾eny na pøímou manipulaci s pixely v obraze transformaèní oblast (transform domain) - metody zpracování

Více

Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy:

Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy: Návrh FIR filtrů Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy: volba frekvenční odezvy požadovaného filtru; nejčastěji volíme ideální charakteristiku normovanou k Nyquistově frekvenci, popř.

Více

Kapitola 1. Signály a systémy. 1.1 Klasifikace signálů

Kapitola 1. Signály a systémy. 1.1 Klasifikace signálů Kapitola 1 Signály a systémy 1.1 Klasifikace signálů Signál představuje fyzikální vyjádření informace, obvykle ve formě okamžitých hodnot určité fyzikální veličiny, která je funkcí jedné nebo více nezávisle

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Základní pojmy o signálech

Základní pojmy o signálech Základní pojmy o signálech klasifikace signálů transformace časové osy energie a výkon periodické signály harmonický signál jednotkový skok a impuls Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Více

AUTOMATICKÉ ØÍZENÍ vvv Jaroslav Balátì AUTOMATICKÉ ØÍZENÍ Praha 2003 Jaroslav Balátì AUTOMATICKÉ ØÍZENÍ Lektoøi Prof Dr h c Ing Antonín Víteèek, CSc Doc Ing Petr Vysoký, CSc Bez pøedchozího písemného svolení

Více

ÈÁST VIII - M I K R O È Á S T I CE A JEJICH CHOVÁNÍ

ÈÁST VIII - M I K R O È Á S T I CE A JEJICH CHOVÁNÍ 1 ÈÁST VIII - M I K R O È Á S T I CE A JEJICH CHOVÁNÍ 32 Základní èástice 33 Dynamika mikroèástic 34 Atom - elektronový obal 35 Atomové jádro 36 Radioaktivita 37 Molekuly TABULKA: Základní èástice Druh

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Vlastnosti konvoluce. ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Vlastnosti konvoluce. ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz Systémy Vlastnosti lineárních systémů. Konvoluce diskrétní a spojitý čas. Vlastnosti konvoluce Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz 1 Systémy obecně: spojení komponentů, zařízení nebo

Více

č ú ř č ř č č ř ú Í ř č č ří č č č č č ž ř č Íř ř ř Š ř ř č ř č č ž č č Í ř ž ž Í ú ř ř ú ž ř č č ž ž č ž Š ž č č Č ř ř ú č č č č č Í č ž Ů č ř č úč ž ř č č č Í Í č ř ří č ř Í č ó ŘÍ č ž č ž č č ž ř ž

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

PESexcl. PODPORA PRO VÝMÌNU DAT S APLIKACÍ MICROSOFT EXCEL s využitím DDE serveru PESdde

PESexcl. PODPORA PRO VÝMÌNU DAT S APLIKACÍ MICROSOFT EXCEL s využitím DDE serveru PESdde PESexcl PODPORA PRO VÝMÌNU DAT S APLIKACÍ MICROSOFT EXCEL s využitím DDE serveru PESdde PESexcl Hotová pøedpøipravená makra VBA pro program Microsoft EXCEL umožòující výmìnu tabulek dat s automaty MICROPEL

Více

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006

Prbh funkce Jaroslav Reichl, 2006 rbh funkce Jaroslav Reichl, 6 Vyšetování prbhu funkce V tomto tetu je vzorov vyešeno nkolik úloh na vyšetení prbhu funkce. i ešení úlohy jsou využity základní vlastnosti diferenciálního potu.. ešený píklad

Více

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru

Získejte nové zákazníky a odměňte ty stávající slevovým voucherem! V čem jsme jiní? Výše slevy Flexibilní doba zobrazení Délka platnosti voucheru J s m e j e d i n ý s l e v o v ý s e r v e r B E Z P R O V I Z E s v o u c h e r y p r o u ž i v a t e l e Z D A R M A! Z í s k e j t e n o v é z á k a z n í kzy v! i d i t e l n t e s e n a i n t e r!

Více

Rozdílová dokumentace STEREO 16 dodatek

Rozdílová dokumentace STEREO 16 dodatek 1 Rozdílová dokumentace STEREO 16 dodatek Vážení uživatelé, vzhledem k tomu, že po vydání rozdílové dokumentace k verzi 16 programu STEREO došlo k zapracování dalších novinek a nìkolika dílèím zmìnám,

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

27. asové, kmitotové a kódové dlení (TDM, FDM, CDM). Funkce a poslání úzkopásmových a širokopásmových sítí.

27. asové, kmitotové a kódové dlení (TDM, FDM, CDM). Funkce a poslání úzkopásmových a širokopásmových sítí. Petr Martínek martip2@fel.cvut.cz, ICQ: 303-942-073 27. asové, kmitotové a kódové dlení (TDM, FDM, CDM). Funkce a poslání úzkopásmových a širokopásmových sítí. Multiplexování (sdružování) - jedná se o

Více

Omlouváme se všem ètenáøùm a autorùm knihy!

Omlouváme se všem ètenáøùm a autorùm knihy! Vážení ètenáøi, v textu publikace Projektový management podle IPMA (ISBN 978-80-247-2848-3) jsme po jejím vytištìní zjistili, že na stranì 80 je chyba v tabulce 1.04.6, na stranì 168 je chyba v obrázku

Více

Základní metody číslicového zpracování signálu a obrazu část II.

Základní metody číslicového zpracování signálu a obrazu část II. A4M38AVS Aplikace vestavěných systémů Přednáška č. 8 Základní metody číslicového zpracování signálu a obrazu část II. Radek Sedláček, katedra měření, ČVUT FEL, 2015 Obsah přednášky Převzorkování decimace,

Více

Title: IX 6 11:27 (1 of 6)

Title: IX 6 11:27 (1 of 6) PŘEVODNÍKY ANALOGOVÝCH A ČÍSLICOVÝCH SIGNÁLŮ Převodníky umožňující transformaci číslicově vyjádřené informace na analogové napětí a naopak zaujímají v řídícím systému klíčové postavení. Značná část měřených

Více

K O N T A K T : Smart Technologies, s.r.o. ul.28. øíjna 70 301 00 Plzeò Èeská Republika

K O N T A K T : Smart Technologies, s.r.o. ul.28. øíjna 70 301 00 Plzeò Èeská Republika K O N T A K T : Smart Technologies, s.r.o. ul.28. øíjna 70 301 00 Plzeò Èeská Republika Tel: +420 378 019 601 e-mail: info@smart-tech.cz web: www.smart-tech.cz DESIGN Design Jednání s klientem a pochopení

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

Zámìr: Komplex pro bydlení a ubytování TRIANGLE, Praha 6, k.ú. Støešovice

Zámìr: Komplex pro bydlení a ubytování TRIANGLE, Praha 6, k.ú. Støešovice PID HLAVNí MÌSTO PRAHA MAGISTRÁT HLAVNíHO MÌSTA PRAHY ODBOR OCHRANY PROSTØEDí Váš dopis zn SZn. S-M HM P-O69712/2007 /OOPNI/EIA/329-2/Be Vyøizuje/linka Ing. Beranová/4443 Datum 12.6.2007 ZÁVÌR ZJIŠøOVACíHO

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Quantization of acoustic low level signals. David Bursík, Miroslav Lukeš

Quantization of acoustic low level signals. David Bursík, Miroslav Lukeš KVANTOVÁNÍ ZVUKOVÝCH SIGNÁLŮ NÍZKÉ ÚROVNĚ Abstrakt Quantization of acoustic low level signals David Bursík, Miroslav Lukeš Při testování kvality A/D převodníků se používají nejrůznější testovací signály.

Více

1. Základy teorie přenosu informací

1. Základy teorie přenosu informací 1. Základy teorie přenosu informací Úvodem citát o pojmu informace Informace je název pro obsah toho, co se vymění s vnějším světem, když se mu přizpůsobujeme a působíme na něj svým přizpůsobováním. N.

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

Body celkem. Øešitel BLOK 2. Vánoèní turnaj HALAS ligy v logice Praha 15. prosinec 2012

Body celkem. Øešitel BLOK 2. Vánoèní turnaj HALAS ligy v logice Praha 15. prosinec 2012 Øešitel Body celkem Vánoèní turnaj HALAS ligy v logice Praha. prosinec 0 BLK Køížky a koleèka Zrcadla Padouši a poctivci Tykadla Bludištì / Mrakodrapy Hvìzdy a mìsíce Lev a Jednorožec Nejbližší úseèka

Více

Číslicové řízení procesů

Číslicové řízení procesů Číslicové řízení procesů čební text VOŠ a SPŠ Ktná Hora Ing. Lděk Kohot Základní pojmy číslicového řízení Rozdělení řízení podle průběh signálů logické řízení binární signály (RUE, FALSE) analogové řízení

Více

GONIOMETRICKÉ FUNKCE

GONIOMETRICKÉ FUNKCE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol GONIOMETRICKÉ

Více

É ř Č é Ří Ó é íúř Ší í Ř Č Ě Š í í ý ý Ž ř í ý ř ů ž í í í š š Ž ý Ž í ř ň í é ý ý í ří í í í é ň í í ý ý í Ž ř š é ň ří š í é ý ú í é ů ý ú í í í ý í ý ú íč í Č ří í ý é í í ý í ří í í í ý í ŽČ é ý í

Více

3. Kmitočtové charakteristiky

3. Kmitočtové charakteristiky 3. Kmitočtové charakteristiky Po základním seznámení s programem ATP a jeho preprocesorem ATPDraw následuje využití jednotlivých prvků v jednoduchých obvodech. Jednotlivé příklady obvodů jsou uzpůsobeny

Více

Termistor. Teorie: Termistor je polovodičová součástka, jejíž odpor závisí na teplotě přibližně podle vzorce

Termistor. Teorie: Termistor je polovodičová součástka, jejíž odpor závisí na teplotě přibližně podle vzorce ermistor Pomůcky: Systém ISES, moduly: teploměr, ohmmetr, termistor, 2 spojovací vodiče, stojan s držáky, azbestová síťka, kádinka, voda, kahan, zápalky, soubor: termistor.imc. Úkoly: ) Proměřit závislost

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

č é č ě ší Ž ý ý ší ů í č á č í á ž á žň ř ě ší í ě ě ý ří é á í é ý í ší á á í ě á Ž ú ě ý ů á í č ý ž á á í ů Č š á é é é á ě á ř ý ž á í ž ě á í éč ž ě š ý é č í í ů ří é é ý ž á é í é í á á í é ě é

Více

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ

DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 1. ŘÁDU SBÍRKA ŘEŠENÝCH PŘÍKLADŮ DIPLOMOVÁ PRÁCE Diplomant: Vedoucí diplomové práce: Zdeněk ŽELEZNÝ RNDr. Libuše Samková,

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ - AUTOMATIZACE

PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ - AUTOMATIZACE STŘEDNÍ PRŮMYSLOVÁ ŠKOLA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH, DUKELSKÁ 13 PROTOKOL O LABORATORNÍM CVIČENÍ - AUTOMATIZACE Provedl: Tomáš PRŮCHA Datum: 23. 1. 2009 Číslo: Kontroloval: Datum: 4 Pořadové číslo žáka: 24

Více

Analogově-číslicové převodníky ( A/D )

Analogově-číslicové převodníky ( A/D ) Analogově-číslicové převodníky ( A/D ) Převodníky analogového signálu v číslicový (zkráceně převodník N/ Č nebo A/D jsou povětšině založeny buď na principu transformace napětí na jinou fyzikální veličinu

Více

Architektura počítačů. Zvukové karty

Architektura počítačů. Zvukové karty Architektura počítačů Zvukové karty Zvuková karta Zařízení které slouží k počítačovému zpracování zvuku. Vstupy a výstupy zvukové karty: Analogový výstup pro stereo signál (sluchátka, přední reproduktory)

Více

Senzor teploty. Katalogový list SMT 160-30

Senzor teploty. Katalogový list SMT 160-30 Senzor teploty Katalogový list SMT 160-30 Obsah 1. Úvod strana 2 2. Inteligentní senzor teploty strana 2 3. Vývody a pouzdro strana 4 4. Popis výrobku strana 4 5. Charakteristické údaje strana 5 6. Definice

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

Vytváøení sí ového diagramu z databáze: pøíklad

Vytváøení sí ového diagramu z databáze: pøíklad Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

í ý á ř ů ř ě í Ď ě ě ě á ě á ří ý ě í á ř ů ň á ó Š á ř ů ř ě í ě ě ě á ě á íí ý í á á ř ů ř ě í ě ě ě á ě á ří ý ě í Ó ří á ř ů ř ě í ě ě ě á ě á ří ý á ř ů ř ě í ř ý ří í á ř ů ř ě í ě ě ě á ě á ý ě

Více

É í í í í í í ů í Í ů í í í í í í í óíď í ží í ú í í í í Č É í ú í ů í í í í ň Í í í í í í ů í í ž í í Č ů í í íí ť í ž í ů ů í ž í í ú í í Č Í ží í í í í íř ů ů ů ů í í í í í Č í í ň Í í í í í ňť ž ň

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

Oldøich Kováø ELEKTRONIKA sbírka pøíkladù Oldøich Kováø ELEKTRONIKA - sbírka pøíkladù Recenzent èeského vydání: Ing Jiøí Hozman Recenzenti pùvodního slovenského vydání: Prof Ing Milan Kejzlar, CSc Doc

Více

3. Změřte závislost proudu a výkonu na velikosti kapacity zařazené do sériového RLC obvodu.

3. Změřte závislost proudu a výkonu na velikosti kapacity zařazené do sériového RLC obvodu. Pracovní úkoly. Změřte účiník: a) rezistoru, b) kondenzátoru C = 0 µf) c) cívky. Určete chybu měření. Diskutujte shodu výsledků s teoretickými hodnotami pro ideální prvky. Pro cívku vypočtěte indukčnost

Více

Proč funguje Clemův motor

Proč funguje Clemův motor - 1 - Proč funguje Clemův motor Princip - výpočet - konstrukce (c) Ing. Ladislav Kopecký, 2004 Tento článek si klade za cíl odhalit podstatu funkce Clemova motoru, provést základní výpočty a navrhnout

Více

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Analýza vlastností a chování DSD modulátoru v časové a frekvenční doméně

Analýza vlastností a chování DSD modulátoru v časové a frekvenční doméně Analýza vlastností a chování DSD modulátoru v časové a frekvenční doméně Dominik Peklo, Pavel Valoušek dominik@audiopraise.com, pavel@audiopraise.com 1 Úvod V internetových diskuzích na serveru www.f-sport.cz/hifi

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více

í ř š ř í é í ě é ěř é é í ě ě í ů š é ě í š é ú é í ň í é Č Č í é í é é í í ž éž í í í ří ř ř ě í ě ší ě ň ů í é ř ř íž í é ě é ě í ě ů ě é í é ě ěř í é ú í í ě í ří é í ě í í ř é éž é ď í í í í í š Ž

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

8 Střední hodnota a rozptyl

8 Střední hodnota a rozptyl Břetislav Fajmon, UMAT FEKT, VUT Brno Této přednášce odpovídá kapitola 10 ze skript [1]. Také je k dispozici sbírka úloh [2], kde si můžete procvičit příklady z kapitol 2, 3 a 4. K samostatnému procvičení

Více

Ultrazvuková defektoskopie. M. Kreidl, R. Šmíd, V. Matz, S. Štarman

Ultrazvuková defektoskopie. M. Kreidl, R. Šmíd, V. Matz, S. Štarman Ultrazvuková defektoskopie M. Kreidl, R. Šmíd, V. Matz, S. Štarman Praha 2011 ISBN 978-80-254-6606-3 2 OBSAH 1. Předmluva 7 2. Základní pojmy 9 2.1. Fyzikální základy ultrazvuku a akustické veličiny 9

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

Pedagogická fakulta v Ústí nad Labem Fyzikální praktikum k elektronice 2 Číslo úlohy : 1

Pedagogická fakulta v Ústí nad Labem Fyzikální praktikum k elektronice 2 Číslo úlohy : 1 Pedagogická fakulta v Ústí nad Labem Fyzikální praktikum k elektronice Číslo úlohy : 1 Název úlohy : Vypracoval : ročník : 3 skupina : F-Zt Vnější podmínky měření : měřeno dne : 3.. 004 teplota : C tlak

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

š ř ý é č ú ý ř Ó ó ř í ř ě Ž á Í á ší á é ý ě á ň ě ý í ř ě á á í ŘÍ Í Á Ž É Ř É ŘÍŠ ěž á á ě ě ů š ž á í ž ž ě ř č é á ě í ř ž ý í ášé ú ý íž š é í š á ů é é ř é ří ř ž ý á ž ý á é í ý ě á é ž é éž ě

Více

ž á í ýž ž í č í ě é á š ě í š á ě ž é é č é č š é áž ě ů é í č č ý í Ř šňá š č ý ý é é ř á č ý ž ě ý ú ů ý ě í ř á áž íř é ř ě ě ř á í ž í ž č í é ý ží é á í á í í čá ý ž čá í í ží á í í ě ř ř ší ě ý

Více

ednáška a metody digitalizace telefonního signálu Ing. Bc. Ivan Pravda

ednáška a metody digitalizace telefonního signálu Ing. Bc. Ivan Pravda 2.předn ednáška Telefonní kanál a metody digitalizace telefonního signálu Ing. Bc. Ivan Pravda Telekomunikační signály a kanály - Při přenosu všech druhů telekomunikačních signálů je nutné řešit vztah

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

2.7.6 Rovnice vyšších řádů

2.7.6 Rovnice vyšších řádů 6 Rovnice vyšších řádů Předpoklady: 50, 05 Pedagogická poznámka: Pokud mám jenom trochu čas probírám látku této hodiny ve dvou vyučovacích hodinách V první probíráme separaci kořenů, v druhé pak snížení

Více

č íř é é á í í č ýú č í ž í Ž ř á í ž ž í í ř šíú í í Ž í ž í í é á á ší ší í í ý ů í Íí ůž ý ří ů á ř š č í íž á é Ííž ž á ů í í ř ší í říč é ž í ý é á Íá á š í í é á á ý ž í š Ž ží é á í ž á á á í í

Více

Otázka 22(42) Přístroje pro měření signálů, metody pro měření v časové a frekvenční doméně. Přístroje

Otázka 22(42) Přístroje pro měření signálů, metody pro měření v časové a frekvenční doméně. Přístroje Otázka 22(42) Přístroje pro měření signálů, metody pro měření v časové a frekvenční doméně Rozmanitost signálů v komunikační technice způsobuje, že rozdělení měřicích metod není jednoduché a jednoznačné.

Více

Standardní signál video 1Vpp

Standardní signál video 1Vpp Standardní signál video 1Vpp 2a 2b 3 1 1a 1b Na obrázku je zobrazen standardní videosignál z CCTV kamery. Norma PAL stanoví jeho jmenovitou úroveò na 1Vpp (úroveò bílé). CCTV kamery mají ovšem obvykle

Více

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics

Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Dyson s Coulomb gas on a circle and intermediate eigenvalue statistics Rainer Scharf, Félix M. Izrailev, 1990 rešerše: Pavla Cimrová, 28. 2. 2012 1 Náhodné matice Náhodné matice v současnosti nacházejí

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

í ž ý í í í ří ě čí íž ž ě čí Ž ý č ř čí ě é í é íž í ě ř í ě í ř ž ě é é ě í ď í ě ý ž é Ž ě í ě é ě í í í é é ů ě Ž Ž ě ě ř í ý ý ě ř í ů í ý í ů ý íč ě ý č Ž íž č ř ě ří Š í í íť í Ž ý í ř íť í ě í

Více

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch

MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch MATEMATIKA 1 pro obory Finance a řízení a Cestovní ruch Marie Hojdarová Jana Krejčová Martina Zámková RNDr. Marie Hojdarová, CSc., RNDr. Jana Krejčová, Ph.D., RNDr. Ing. Martina Zámková, Ph.D. ISBN: 978-80-87035-94-8

Více

MATEMATIKA. MATEMATIKA průřez.téma + MP vazby. vzdělávací oblast: vzdělávací obor: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE

MATEMATIKA. MATEMATIKA průřez.téma + MP vazby. vzdělávací oblast: vzdělávací obor: MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE A JEJÍ APLIKACE ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE + MP vazby 1. Obor přirozených čísel - používá čísla v oboru 0-20 k modelování reálných situací.- práce s manipulativy - počítá předměty v oboru 0-20, vytváří soubory

Více

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou

9.4. Rovnice se speciální pravou stranou Cíle V řadě případů lze poměrně pracný výpočet metodou variace konstant nahradit jednodušším postupem, kterému je věnována tato kapitola. Výklad Při pozorném studiu předchozího textu pozornějšího studenta

Více