Ze zadaných požadavkù navrhneme klasickou teorií pøenosovou funkci Ha (p) vzorového

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "9.1. 2. Ze zadaných požadavkù navrhneme klasickou teorií pøenosovou funkci Ha (p) vzorového"

Transkript

1 9.1 Základní vlastnosti IIR filtrù byly uvedeny v odst Je významné, že pøi jejich návrhu mùžeme vycházet z charakteristik vzorového analogového filtru požadovaných vlastností, jehož parametry transformujeme z analogové oblasti do digitální oblasti. Výhodnost takového postupu spoèívá v tom, že pro návrh analogových filtrù existuje øada velmi dobøe propracovaných postupù, jako napø. pro Butterworthovy, Èebyševovy, Cauerovy, Besselovy, eliptické ajiné analogové filtry. Postup návrhu IIR filtru mùžeme rozdìlit do ètyø krokù: 1. Formulace požadavkù na vzorový analogový filtr, obvykle na jeho frekvenèní charakteristiku nebo na impulzní odezvu. 2. Ze zadaných požadavkù navrhneme klasickou teorií pøenosovou funkci Ha (p) vzorového analogového filtru. 3. Pøenosovou funkci Ha (p) analogového filtru transformujeme podle použité metody návrhu zp-roviny do z-roviny na systémovou funkci H(z) digitálního filtru. Získaná funkce H(z) již specifikuje koeficienty ok a bk navrhovaného digitálního filtru. 4. Pro kontrolu mùžeme ze systémové funkce H(z) substitucí z = ejfjj stanovit odpovídající frekvenèní charakteristiku H(m) takto navrženého digitálruno filtru a porovnat ji s výchozími požadavky. Existuje nìkolik standardních metod návrhu IIR filtrù, které se liší zpùsobem transformace Ha(P) na H(z), pøi zachování stability filtru. V jednoduchých pøípadech lze rekurzivní filtr navrhnout intuitivnì na základì døíve uvedených poznatkù o vlivu pozice nul a pólù na frekvenèní charakteristiku -viz pøíklady v odst.6.4. Pøed uvedením standardních metod návrhu!ir filtrù si pøipomeneme základní vztahy pro pøenosovou funkci Ha (p) analogových filtrù: -112-

2 , 2. (9.1) nebo Ha(p)=!!.SJ!2=K (p-zt)(p-z2) (P-ZM) A(p) (p -Pt) (p -P2)"" (p -P) kde ak, bk jsou koeficienty pøíslušné diferenciální rovnice, Zl' Z2, PI, P2, P jsou póly pøenosové funkce Ha (p) V komplexní p-rovinì. Z M jsou nuly a Pro stabilitu analogového filtru je nutné, aby všechny póly Pk jeho pøenosové funkce Ha (p) ležely v levé polorovinì. Uvedeme ještì souvislost H(z) a Ha(P) ve spektrální oblasti. 1. Pro systémovou funkci H(z) platí: H(z) = Z[h(n)]. Pro z = ejiii jednotkové kružnici (r = 1 ) v komplexní z-rovinì bude: tj. pro body ležící na cožje frekvenèní charakteristika digitálního filtru. Pro pøenosovou funkci Ha(P) platí: Ha(P) = L[h(t)]. Pro P = io, tj. pro body ležící na imaginární ose io v p-rovinì bude: což je frekvenèní charakteristika analogového filtru, kde.q je úhlová frekvence v [rad/s] na rozdíl od {ij [rad]. Dále ještì frekvenèní charakteristika Ha (.Q) analogového filtru má aperiodický prùbìh (není periodická). Podle (9.3) a (9.4) se body z imaginární osy j.q v p-rovinì transformují (mapují) na jednotkovou kružnici (r = 1 ) v z-rovinì a obrácenì. Existuje tedy pøímá souvislost mezi frekvencemi v tìchto dvou rovinách (ovšem H(iii) je periodická, kdežto Ha(.Q) je aperiodická). 9.2 Metoda aproximace derivací diferencemi Již v odst. 5.5 byl uveden elementární pøíklad transformace analogového filtru (RC obvodu) na digitální strukturu s použitím aproximace derivace:

3 b) a) Derivaci na levé stranì si pøedstavíme jako výstup analogového systému s pøenosovou funkcí H~(P) podle obr. 9.1a). _~~r-~ ~~ ~L_~ ~ y(n)-y(n-1).--!j~~~~[~~-~=::::!:=.. Obr. 9.1 K aproximaci derivace diferencerni Pøenosová funkce H~(P) je dána pomìrem L-obrazu vstupu, tj. Ya(p), kl-obrazu výstupu, tj. pya(p), takže bude: H~(P) = p Tento analogový systém aproximujeme digitálním systémem se systémovou funkcí H'(z) podle obr. 9.1b). Systémová funkce H'(z) je dána pomìrem Z-obrazu vstupu, tj. Y(z), k Z- obrazu výstupu, tj.! T ~(z) -z-i Y(z)l takže bude: H'(z) = 1- z-i T Tato systémová funkce aproximuje pøenosovou funkci H~(p). Tedy z dané H~(P) pøejdeme na H'(z) substitucí p= I-z' T -1 Obecnì, bude-li zadána pøenosová funkce Ha (P) vzorového analogového filtru, která má tvar podle (9.1), potom systémová funkce H(z) odpovídajícího digitálního filtru bude: Z rovnice (9.9) dostaneme pro z: 1z=l-=-p"T (9.10) Tato rovnice vyjadøuje, jak se body p transformují z p-roviny do bodù z v z-rovinì (mapuje p- rovinu do z-roviny)

4 ~ --~ Zvolíme-li p = j.q, pak analýzou zjistíme, že imaginární osa j.q v p-rovinì se takto mapuje na kružnici o polomìru 0,5 se støedem v bodì z = 0,5 v z-rovinì a levá polorovina do plochy této kružnice -viz obr.9.2. j.qt joo p-rovina ~,--- Imzt jednotková kružnice ~, z-rovina '.' ~ o O' I, 1 Rez J.Q ~ -JOO ;/,/ Obr. 9.2 Mapování osy j.q zp-roviny do z-roviny pøi aproximaci derivací diferencemi Z uvedeného vyplývá: -bude-li vzorový analogový filtr stabilní, bude stabilní i takto navržený digitální filtr (transformace zachovává stabilitu) frekvenèní charakteristika takto navrženého digitálního filtru bude odlišná, nebo pro její zachování by bylo tøeba, aby se osa io transformovala na jednotkovou kružnici. Pouze v malé oblasti v okolí bodu z = 1 (tj. v oblasti nízkých frekvencí m«7t/2) se budou body na malé kružnici pøibližovat bodùm na jednotkové kružnici, takže v této oblasti frekvencí se bude také H(m) digitálního filtru pøibližovat Ha (O) analogového filtru. To by mohlo vyhovìt návrhu filtrù typu DP, nikoliv PP nebo HP. 9.3 Metoda impulznì invariantní transformace Tato metoda zachovává hodnoty impulzní odezvy h(t) analogového filtru. Impulzní odezva h(n) navrženého digitálního filtru totiž vychází z jejích vzorkù h(n): h(n) = h(t)1 t=nt n=o,1,2, (9.11 ) kde T je vzorkovací interval. Tyto hodnoty h(n) ovšem nemùžeme pokládat za koeficienty digitálního filtru, nebo h(t) má teoreticky neomezenou délku. Postup návrhu bude následující. Ze zadaných požadavkù na filtr navrhneme nìkterou známou metodou pøenosovou funkci Ha (p) vzorového analogového filtru ve tvaru: _11,-

5 (9.12) kde Zk jsou nuly a Pk jsou póly vzorového analogového filtru v p-rovinì. Za pøedpokladu, že tato Ha (p) neobsahuje násobné póly, vyjádøíme Ha (p) rozkladem v parciální zlomky, který bude ve tvaru: AJ Ha(P) =-:~ Az++... p-pz (9.13) kde Ak jsou reálné nebo komplexní konstanty (podle povahy pólu Pk). Tím jsme vlastnì analogový filtr vyjádøili ve tvaru paralelní kombinace elementárních filtrù s jednoduchými (reálnými nebo komplexními) póly Pk -viz obr.9.3. Obr. 9.3 Rozklad Ha (p) na paralelní kombinaci elementárních filtrù Tuto Ha (p) budeme nyní transformovat do digitální oblasti na systémovou funkci H (z). Hledaný vztah pro H(z) odvodíme následovnì. Impulzní odezva hk (f) jednoho elementárního analogového filtru na obr. 9.3 je dána inverzní LT: a hk(t) = L-1 = Ak epkt hk(t)=o pro «o pro t~o (9.14) Výsledná impulzní odezva uvedené paralelní kombinace bude dána sumací odezev jednotlivých elementárních filtrù: h(t) = Lhk(t) = LAk epkt k=l k=l (9.15) -116-

6 1 Impulzní odezva odpovídajícího impulznì invariantního filtru pak bude dána podle (9.12) diskrétními hodnotami (vzorky) h(n): h(n) = LAk k=l epknt n~o (9.16) Její Z-transformací již získáme odpovídající systémovou funkci H(z) navrhovaného digitálního filtru: CX> H(z) = L h(n) z-n = L LAk epknt z-n= LAk L(z-l epkt )n n=o n=o k=l k=l n=o (9.17) S použitím vzorce pro sumaci souètu neomezené geometrické øady dostaneme: H(z) = LAk k=l 1- z-i epkt =LAk k=l z z -epkt (9.18) Podle (9.18) bude systémová funkce digitálního filtru obsahovat jednoduchých (reálných nebo komplexních) pólù k = 1,2, (9.19) kde Pk jsou jednoduché póly vzorového analogového filtru. Dále bude obsahovat nul v poèátku. Ze znalosti Ha(P) ve tvaru podle (9.13) tedy mùžeme ihned vyjádøit vztah pro H(z) podle (9.18). Obdobnì jako na obr. 9.3 pøedstavuje také sumace (9.18) paralelní kombinaci elementárních digitálních filtrù se systémovými funkcemi: k=1,2, Bude-li H k (z) v sumaci (9.18) obsahovat komplexní pól zk = exp(pkt), pak ovšem musí tato sumace obsahovat také Hk(z) s komplexnì sdruženým pólem. Obì takové èásti mùžeme slouèit do jedné dílèí systémové funkce, obsahující dva komplexnì sdružené póly. Realizace výsledné H(z) mùže odpovídat paralelnímu tvaru dílèích H k (z) podle (9.18). ebo mùžeme vztah (9.18) upravit na sériový tvar (souèet zlomkù pøevedeme na spoleèného jmenovatele). Pøíklad 9.1 Pøenosová funkce vzorového analogového filtru je dána ve tvaru: Ha(P) = 0,2 + p (0,2+p)

7 -j4t Zøejmì obsahuje nulu v bodì p = -0,2 a pár komplexnì sdružených pólù Pl,2 = -0,2 :t j 4. ejprve rozložíme Ha (p) na parciální zlomky: medanou H(z) získáme podle vztahu (9.18): 0,5 1 -z-i e-o,2t e Zøejmì obsahuje dva komplexnì sdružené póly ZI,2 = e-o,2t:tj4t.mùžeme tedy dva èleny H(z) upravit do jediného èlenu: v Podle vztahu (9.19) mùžeme vyjádøit souvislost mezi body v z-rovinì a body v p-rovinì: z = exp(pt). Zavedeme-li substituci z = r exp(jm) a p = O' + j,q" dostaneme: r = exp(at) a m =,Q,T. Z toho vyplývá, že pro O' < O bude O < r < 1, takže levá polorovina p-roviny se bude mapovat do plochy jednotkové kružnice v z-rovinì. Dále pro O' = O bude r = 1, takže imaginární osa j,q, se bude mapovat na jednotkovou kružnici. Tato metoda tedy zachovává stabilitu filtru a zaruèuje shodu impulzních odezev digitálního filtru a vzorového analogového filtru. A však souvislost mezi frekvenèními charakteristikami Ha(Q) a H(iiJ) nebude tak jednoznaèná. Spojité impulzní odezvì h(t) pøísluší pøenosová funkce Ha(.Q) = F[h(t)] -viz obr.9.4. o Ov Q Obr. 9.4 Impulzní odezva a frekvenèní charakteristik analogového filtru Potom vzorkované h(n) = h(nt) bude podle vzorkovacího teorému -viz odstavce 2.3 a 3.1 -pøíslušet periodické opakování Ha(Q) s periodou Qv = 2n/T (Ha(Q) je spektrum impulzní odezvy h(t)). Bude tedy analogicky ke vztahu (2.17) pro frekvenèní charakteristiku digitálního filtru platit: -llr-

8 00 H(ilJ) = H(.Q.T) = Fv LHa k=-oo (.Q. + k.qv) (9.20) Pak ovšem budou platit také poznatky z odst. 3.1 o pøekrývání (aliasing) sousedních prùbìhù Ha (O + k.o.v) -viz obr.9.5. Výsledná frekvenèní charakteristika bude dána souètem pøekrývajících se èástí, takže bude odlišná od Ha (O). Tento negativní vliv mùžeme zmenšit volbou menší hodnoty T, tj. hustìjším vzorkováním odezvy h(t). - H(ro ):H(OT) Ha(O-Ov)/ Ha(O-20v) ~~~/"--~~,,,/a ( o ) JI'. \: ~ \: ~,/"Y, '/,,~, " " '-. I I ---I-r-- o 1t 21t 31t ro=.gt Q o 1/2.o.v Oy Ov.Q Obr. 9.5 Vzorky impulzní odezvy h(n) a odpovídající frekvenèní charakteristika H(iJJ) 9.4 Metoda bilineární transformace Odvození transformaèního vztahu mezi komplexními promìnnými p a z vychází z diferenciální rovnice analogového filtru, kde se derivace neaproximuje diferencí jako v odst. 9.2, ale derivace se integruje a integrál se aproximuje podle trojúhelníkového pravidla. Po úpravì pak získáme transformaèní vztah ve tvaru: 2 (I-Z-l ) 2 z-i P=r ~=t =r;+i (9.21) nazývaný bilineámí transformace, kde T je èinitel úmìrnosti. Bude-li zadána pøenosová funkce Ha(P) vzorového analogového filtru, pak systémovou funkci H(z) odpovídajícího digitálního filtru získáme substitucí: H(z) = Ha(P) 2 z-i p=-- T z+1 (9.22) Abychom poznali vlastnosti bilineární transformace, zavedeme v rov. (9.21) substituci z = r exp(jm) a p = a + j.q. Z výsledku zjistíme, že pro a < O bude r < O a pro a = O bude r = 1, takže levá polorovina z p-roviny se bude mapovat do plochy jednotkové kružnice -119-

9 v z-rovinì a body z imaginární osy j.o. v p-rovinì se budou mapovat do bodù z = exp(jm) na jednotkové kružnici v z-rovinì. Stabilní analogový filtr se tak bude transformovat na stabilní digitální filtr. Uvedenou substitucí z = exp(j m) a p = j.o. (O" = O) do rov. (9.21) získáme vztah mezi body na ose j.o. v p-rovinì a body z = exp(jm) na jednotkové kružnici v z-rovinì, tj. mezi frekvencemi.o. a m : Bude tedy platit: "A 21-z-1 p = J~~ =-=-= 21-exp(-jiiJ) "2 J-tgiiJ T 1+z-1 T l+exp(-jiij) T >.Q =rtg2.ar nebo iij = 2 arctg. (9.23) 2 kde je.q v [rad/s] a iij v [rad]. Závislost mezi frekvencemi.qt a iij podle rov. (9.23) je graficky znázornìna na obr Obr. 9.6 Závislost mezi frekvencemi analogového a digitálního filtru pøi bilineární transformaci V oblasti nižších hodnot iij je závislost témìø lineární, ale se stoupající hodnotou iij se stává silnì nelineární. Dále celý frekvenèní interval O ~.Q ~ 00 analogového filtru se u digitálního filtru komprimuje na koneèný interval odpovídající pùlkružnici jednotkové kružnice v z- rovinì, tj. na interval O ~ iij ~ 7t. Potlaèení vlivu této nelinearity vyžaduje trochu pozmìnìný postup návrhu proti pøedchozím metodám. ávrh vychází ze specifikace požadavkù na frekvenèní charakteristiku digitálního filtru. Specifikují se významné frekvence, napø. frekvence vymezující pøechodové oblasti frekvenèní charakteristiky digitálního filtru -viz pøíklad na obr.9.7 v dolní èásti, kde jsou specifikovány frekvence iij1, iij2 [rad]

10 Podle vztahu (9.23) se k tìmto frekvencím urèí odpovídající frekvence ni, n2 v analogové oblasti -viz graf vlevo nahoøe na obr.9. 7, kde je tato transformace znázornìna graficky s využitím závislosti mezi (jj a.o. podle obr.9.6. Podle hodnot takto získaných frekvencí.o. i se potom navrhne nìkterou známou metodou pøenosová funkce Ha (p) vzorového analogového filtru. Obr. 9.7 K souvislosti mezi frekvenèními charakteristikami H(iiJ) a H(.aT) a stanovení významných frekvencí u metody bilineámí transformace S použitím bilineární transformace podle rov. (9.22) již získáme systémovou funkci H(z) navrhovaného digitálního filtru, u kterého budou zaruèeny jako významné frekvence ml' m2. Tato metoda návrhu IIR filtrù nemá omezení jako pøedchozí metody, je použitelná pro filtry typu DP, PP, a HP, vyluèuje pøekrývání (aliasing) frekvenèních charakteristik a zachovává stabilitu filtru. Avšak impulzní odezva takto navrženého digitálního filtru neodpovídá výchozímu analogovému filtru

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností

Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností různých přístrojů a zařízení. (Mechanizace, Automatizace, Komplexní automatizace) Kybernetika je Věda, která zkoumá obecné

Více

Antonín Kamarýt Opakujeme si MATEMATIKU 3 doplnìné vydání Pøíprava k pøijímacím zkouškám na støední školy Pøíruèka má za úkol pomoci ètenáøùm pøipravit se k pøijímacím zkouškám na støední školu Pøíruèka

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně

Lineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály a systémy Vlastnosti systémů Systémy

Více

v trojúhelníku P QC sestrojíme vý¹ky na základnu a jedno rameno, patu vý¹ky na rameno oznaèíme R a patu na základnu S

v trojúhelníku P QC sestrojíme vý¹ky na základnu a jedno rameno, patu vý¹ky na rameno oznaèíme R a patu na základnu S Øe¹ení 5. série IV. roèníku kategorie JUNIOR RS-IV-5-1 Pro na¹e úvahy bude vhodné upravit si na¹í rovnici do tvaru 3 jx 1 4 j+2 = 5 + 4 sin 2x: Budeme uva¾ovat o funkci na pravé stranì na¹í rovnice, tj.

Více

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti

Lineární a adaptivní zpracování dat. 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti Lineární a adaptivní zpracování dat 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti Daniel Schwarz Osnova Opakování: systémy a jejich popis v časové oblasti Fourierovy řady Frekvenční charakteristika systémů

Více

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

PODROBNÝ OBSAH 1 PØENOSOVÉ VLASTNOSTI PASIVNÍCH LINEÁRNÍCH KOMPLEXNÍCH JEDNOBRANÙ A DVOJBRANÙ... 9 1.1 Úvod... 10 1.2 Èasové charakteristiky obvodu pøechodné dìje... 10 1.3 Pøechodné charakteristiky obvodù

Více

Matematika II Lineární diferenciální rovnice

Matematika II Lineární diferenciální rovnice Matematika II Lineární diferenciální rovnice RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Lineární diferenciální rovnice Denice

Více

Lineární a adpativní zpracování dat. 3. Lineární filtrace I: Z-transformace, stabilita

Lineární a adpativní zpracování dat. 3. Lineární filtrace I: Z-transformace, stabilita Lineární a adpativní zpracování dat 3. Lineární filtrace I: Z-transformace, stabilita Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály, systémy, jejich vlastnosti a popis v časové

Více

Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy:

Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy: Návrh FIR filtrů Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy: volba frekvenční odezvy požadovaného filtru; nejčastěji volíme ideální charakteristiku normovanou k Nyquistově frekvenci, popř.

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Filtrace v prostorové oblasti

Filtrace v prostorové oblasti prostorová oblast (spatial domain) se vztahuje k obrazu samotnému - metody zpracování obrazu jsou zalo¾eny na pøímou manipulaci s pixely v obraze transformaèní oblast (transform domain) - metody zpracování

Více

Vlastnosti IIR filtrů:

Vlastnosti IIR filtrů: IIR filtry Vlastnosti IIR filtrů: Výhody: jsou výrazně nižšího řádu než Fir filtry se stejnými vlastnostmi a z toho vyplývá že mají: Nevýhody: nižší výpočetní složitost v porovnání s Fir filtrem kratší

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Příloha č. 1. amplitudová charakteristika filtru fázová charakteristika filtru / frekvence / Hz. 1. Určení proudové hustoty

Příloha č. 1. amplitudová charakteristika filtru fázová charakteristika filtru / frekvence / Hz. 1. Určení proudové hustoty Příloha č. 1 Při hodnocení expozice nízkofrekvenčnímu elektromagnetickému poli (0 Hz 10 MHz) je určující veličinou modifikovaná proudová hustota J mod indukovaná v tělesné tkáni. Jak je uvedeno v nařízení

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Frekvenční charakteristiky

Frekvenční charakteristiky Frekvenční charakteristiky EO2 Přednáška Pavel Máša ÚVODEM Frekvenční charakteristiky popisují závislost poměru amplitudy výstupního ku vstupnímu napětí a jejich fázový posun v závislosti na frekvenci

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Ideální frekvenční charakteristiky filtrů podle bodu 1. až 4. v netypických lineárních souřadnicích jsou znázorněny na následujícím obrázku. U 1.

Ideální frekvenční charakteristiky filtrů podle bodu 1. až 4. v netypických lineárních souřadnicích jsou znázorněny na následujícím obrázku. U 1. Aktivní filtry Filtr je obecně selektivní obvod, který propouští určité frekvenční pásmo, zatímco ostatní frekvenční pásma potlačuje. Filtry je možno realizovat sítí pasivních součástek, tj. rezistorů,

Více

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd KKY/LS2. Plzeň, 2008 Pavel Jedlička

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd KKY/LS2. Plzeň, 2008 Pavel Jedlička Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd KKY/LS2 Semestrální práce Plzeň, 2008 Jan Krčmář Pavel Jedlička 1 Měřený model Je zadán systém (1), který budeme diskretizovat použitím funkce c2d

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

filtry FIR zpracování signálů FIR & IIR Tomáš Novák

filtry FIR zpracování signálů FIR & IIR Tomáš Novák filtry FIR 1) Maximální překývnutí amplitudové frekvenční charakteristiky dolní propusti FIR řádu 100 je podle obr. 1 na frekvenci f=50hz o velikosti 0,15 tedy 1,1dB; přechodové pásmo je v rozsahu frekvencí

Více

Dodatky k FT: 1. (2D digitalizace) 2. Více o FT 3. Více k užití filtrů. 7. přednáška předmětu Zpracování obrazů

Dodatky k FT: 1. (2D digitalizace) 2. Více o FT 3. Více k užití filtrů. 7. přednáška předmětu Zpracování obrazů Dodatky k FT:. (D digitalizace. Více o FT 3. Více k užití filtrů 7. přednáška předmětu Zpracování obrazů Martina Mudrová 4 Pořízení digitálního obrazu Obvykle: Proces transformace spojité předlohy (reality

Více

Kapitola 7: Integrál. 1/17

Kapitola 7: Integrál. 1/17 Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY Lineární a adaptivní zpracování dat 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Úvodní informace o předmětu Signály, časové řady klasifikace, příklady, vlastnosti Vzorkovací

Více

Kniha je urèena všem zájemcùm o teorii elektrických obvodù Poslouží jako pøíruèka pro praxi, ale i jako uèebnice pro studenty støedních a vysokých ško

Kniha je urèena všem zájemcùm o teorii elektrických obvodù Poslouží jako pøíruèka pro praxi, ale i jako uèebnice pro studenty støedních a vysokých ško Jiøí Myslík Elektrické obvody (Pøíruèka pro praxi a uèebnice pro støední a vysoké školy) Kniha je urèena všem zájemcùm o teorii elektrických obvodù Poslouží jako pøíruèka pro praxi, ale i jako uèebnice

Více

Publikace prezentuje nìkteré poznatky z obsáhlé oblasti analogových soustav, které v poslední dobì prodìlávají rozvoj. Z toho dùvodu ani nemùže podat

Publikace prezentuje nìkteré poznatky z obsáhlé oblasti analogových soustav, které v poslední dobì prodìlávají rozvoj. Z toho dùvodu ani nemùže podat Bohumil BRTNÍK ANALOGOVÉ SOUSTAVY Praha 2013 Publikace prezentuje nìkteré poznatky z obsáhlé oblasti analogových soustav, které v poslední dobì prodìlávají rozvoj. Z toho dùvodu ani nemùže podat úplný

Více

CW01 - Teorie měření a regulace

CW01 - Teorie měření a regulace Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb CW01 - Teorie měření a regulace ZS 2010/2011 SPEC. 2.p 2010 - Ing. Václav Rada, CSc. Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace

Více

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b, Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je

Více

y 2 x 2 max F(X) x 1 y 1

y 2 x 2 max F(X) x 1 y 1 Øe¹ení soustavy nelineárních rovnic algoritmus "postup08" Petr Byczanski Ústav geoniky AV ÈR Studentská 1768 Ostrava {Poruba Algoritmus "postup08" je urèen pro øe¹ení soustavy nelineárních rovnic splòující

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Kapitola 1. Signály a systémy. 1.1 Klasifikace signálů

Kapitola 1. Signály a systémy. 1.1 Klasifikace signálů Kapitola 1 Signály a systémy 1.1 Klasifikace signálů Signál představuje fyzikální vyjádření informace, obvykle ve formě okamžitých hodnot určité fyzikální veličiny, která je funkcí jedné nebo více nezávisle

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

3/ %,1'(& 83'1 &( &3 )XQNFH. + ; ; ; ; / ; ; + ; EH]H]PuQ\

3/ %,1'(& 83'1 &( &3 )XQNFH. + ; ; ; ; / ; ; + ; EH]H]PuQ\ Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

P P P ) Mw Mj = = + ,P H,P H H,P H H. ww j ww j ww = + , P H j

P P P ) Mw Mj = = + ,P H,P H H,P H H. ww j ww j ww = + , P H j Vážení zákazníci dovolueme si Vás upozornit že na tuto ukázku knihy se vztahuí autorská práva tzv. copyright. To znamená že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupuícího aby ètenáø

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

Omezení barevného prostoru

Omezení barevného prostoru Úpravy obrazu Omezení barevného prostoru Omezení počtu barev v obraze při zachování obrazového vjemu z obrazu Vytváření barevné palety v některých souborových formátech Různé filtry v grafických programech

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2

Více

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům

3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) = Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

Signál v čase a jeho spektrum

Signál v čase a jeho spektrum Signál v čase a jeho spektrum Signály v časovém průběhu (tak jak je vidíme na osciloskopu) můžeme dělit na periodické a neperiodické. V obou případech je lze popsat spektrálně určit jaké kmitočty v sobě

Více

Ele 1 elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu

Ele 1 elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ELEKTROTECHNIKA PRVNÍ ZDENĚK KOVAL Název zpracovaného celku: 30. 9. 203 Ele elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu

Více

Komplexní číslo. Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem

Komplexní číslo. Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem Komplexní číslo Cíl kapitoly: seznámení s použitím komplexního čísla v pythonu Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem Komplexní číslo Opakování

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Západočeská univerzita. Lineární systémy 2

Západočeská univerzita. Lineární systémy 2 Západočeská univerzita FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD Lineární systémy Semestrální práce vypracoval: Jan Popelka, Jiří Pročka 1. květen 008 skupina: pondělí 7-8 hodina 1) a) Jelikož byly měřící přípravky nefunkční,

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

Základní pojmy o signálech

Základní pojmy o signálech Základní pojmy o signálech klasifikace signálů transformace časové osy energie a výkon periodické signály harmonický signál jednotkový skok a impuls Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Více

Impedanční děliče - příklady

Impedanční děliče - příklady Impedanční děliče - příklady Postup řešení: Vyznačení impedancí, tvořících dělič Z Z : podélná impedance, mezi svorkami a Z : příčná impedance, mezi svorkami a ' ' Z ' Obecné vyjádření impedancí nebo admitancí

Více

Návrh frekvenčního filtru

Návrh frekvenčního filtru Návrh frekvenčního filtru Vypracoval: Martin Dlouhý, Petr Salajka 25. 9 2010 1 1 Zadání 1. Navrhněte co nejjednodušší přenosovou funkci frekvenčního pásmového filtru Dolní propusti typu Bessel, která bude

Více

INFORMACE NRL č. 12/2002 Magnetická pole v okolí vodičů protékaných elektrickým proudem s frekvencí 50 Hz. I. Úvod

INFORMACE NRL č. 12/2002 Magnetická pole v okolí vodičů protékaných elektrickým proudem s frekvencí 50 Hz. I. Úvod INFORMACE NRL č. 12/2 Magnetická pole v okolí vodičů protékaných elektrickým proudem s frekvencí Hz I. Úvod V poslední době se stále častěji setkáváme s dotazy na vliv elektromagnetického pole v okolí

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

Kapacita, indukčnost; kapacitor-kondenzátor, induktor-cívka

Kapacita, indukčnost; kapacitor-kondenzátor, induktor-cívka Kapacita, indukčnost; kapacitor-kondenzátor, induktor-cívka Kondenzátor je schopen uchovat energii v podobě elektrického náboje Q. Kapacita C se udává ve Faradech [F]. Kapacita je úměrná ploše elektrod

Více

Číslicové zpracování signálů a Fourierova analýza.

Číslicové zpracování signálů a Fourierova analýza. Číslicové zpracování signálů a Fourierova analýza www.kme.zcu.cz/kmet/exm 1 Obsah prezentace 1. Úvod a motivace 2. Data v časové a frekvenční oblasti 3. Fourierova analýza teoreticky 4. Fourierova analýza

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty

Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I. řádu s konstantními koeficienty Soustavy lineárních diferenciálních rovnic I řádu s konstantními koeficienty Definice a) Soustava tvaru x = ax + a y + az + f() t y = ax + a y + az + f () t z = a x + a y + a z + f () t se nazývá soustava

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2

2D transformací. červen Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací Metody vyrovnání... 2 Výpočet transformačních koeficinetů vybraných 2D transformací Jan Ježek červen 2008 Obsah Odvození transformačního klíče vybraných 2D transformací 2 Meto vyrovnání 2 2 Obecné vyjádření lineárních 2D transformací

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ

SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.1.14/01.001 SOUŘADNICE BODU, VZDÁLENOST BODŮ SOUŘADNICE BODU NA PŘÍMCE ČÍSELNÁ OSA na přímce je určena počátkem O a jednotkou měření. Libovolný bod A na číselné ose

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

ekologie Pavel Fibich rovnice rovnice Pavel Fibich Shrnutí Literatura

ekologie Pavel Fibich rovnice rovnice Pavel Fibich Shrnutí Literatura a diferenční - nalévárna pavel.fibich@prf.jcu.cz 27. září 2012 Obsah 1 2 3 4 5 6 7 Proč povídat o diferenciálních (δr) a diferenčních rovnicích ( R) v kurzu? δr a R jsou vhodné pro popisy vztahů a vývoje

Více

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ

12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ 56 12 DYNAMIKA SOUSTAVY HMOTNÝCH BODŮ Těžiště I. impulsová věta - věta o pohybu těžiště II. impulsová věta Zákony zachování v izolované soustavě hmotných bodů Náhrada pohybu skutečných objektů pohybem

Více

Matematika II Extrémy funkcí více promìnných

Matematika II Extrémy funkcí více promìnných Matematika II Extrémy funkcí více promìnných RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Parciální derivace vy¹¹ích øádù Def.

Více

Stavové modely a stavové řízení

Stavové modely a stavové řízení Stavové model a stavové řízení Tato publikace vznikla jako součást projektu CZ.04..03/3.2.5.2/0285 Inovace VŠ oborů strojního zaměření, který je spolufinancován evropským sociálním fondem a státním rozpočtem

Více

3.1 Útlum atmosférickými plyny Rezonance molekul nekondenzovaných plynù obsažených v atmosféøe zpùsobuje útlum šíøících se elektromagnetických vln. Ab

3.1 Útlum atmosférickými plyny Rezonance molekul nekondenzovaných plynù obsažených v atmosféøe zpùsobuje útlum šíøících se elektromagnetických vln. Ab Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

I. STEJNOSMĚ RNÉ OBVODY

I. STEJNOSMĚ RNÉ OBVODY Řešené příklady s komentářem Ing. Vítězslav Stýskala, leden 000 Katedra obecné elektrotechniky FEI, VŠB-Technická univerzita Ostrava stýskala, 000 Určeno pro posluchače bakalářských studijních programů

Více

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

ÈÁST VIII - M I K R O È Á S T I CE A JEJICH CHOVÁNÍ

ÈÁST VIII - M I K R O È Á S T I CE A JEJICH CHOVÁNÍ 1 ÈÁST VIII - M I K R O È Á S T I CE A JEJICH CHOVÁNÍ 32 Základní èástice 33 Dynamika mikroèástic 34 Atom - elektronový obal 35 Atomové jádro 36 Radioaktivita 37 Molekuly TABULKA: Základní èástice Druh

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Závislosti a funkční vztahy Gradovaný řetězec úloh Téma: geometrická posloupnost, geometrická

Více

Jednoduché rezonanční obvody

Jednoduché rezonanční obvody Jednoduché rezonanční obvody Jednoduché rezonanční obvody vzniknou spojením činného odporu, cívky a kondenzátoru jedním ze způsobů uvedených na obr.. Činný odpor nemusí být bezpodmínečně připojen jako

Více

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice

Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice Lineární funkce, rovnice a nerovnice 4 lineární nerovnice 4.1 ekvivalentní úpravy Při řešení lineárních nerovnic používáme ekvivalentní úpravy (tyto úpravy nijak neovlivní výsledek řešení). Jsou to především

Více

HARMONICKÝ USTÁLENÝ STAV - FÁZOR, IMPEDANCE

HARMONICKÝ USTÁLENÝ STAV - FÁZOR, IMPEDANCE HAMONICKÝ USTÁLENÝ STAV - FÁZO, IMPEDANCE Úvodem Fyzikální popis induktoru a kapacitoru vede na integrodiferenciální rovnice, jejichž řešení je značně obtížné, zvláště v případě soustav rovnic. Příklad

Více