Ze zadaných požadavkù navrhneme klasickou teorií pøenosovou funkci Ha (p) vzorového

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "9.1. 2. Ze zadaných požadavkù navrhneme klasickou teorií pøenosovou funkci Ha (p) vzorového"

Transkript

1 9.1 Základní vlastnosti IIR filtrù byly uvedeny v odst Je významné, že pøi jejich návrhu mùžeme vycházet z charakteristik vzorového analogového filtru požadovaných vlastností, jehož parametry transformujeme z analogové oblasti do digitální oblasti. Výhodnost takového postupu spoèívá v tom, že pro návrh analogových filtrù existuje øada velmi dobøe propracovaných postupù, jako napø. pro Butterworthovy, Èebyševovy, Cauerovy, Besselovy, eliptické ajiné analogové filtry. Postup návrhu IIR filtru mùžeme rozdìlit do ètyø krokù: 1. Formulace požadavkù na vzorový analogový filtr, obvykle na jeho frekvenèní charakteristiku nebo na impulzní odezvu. 2. Ze zadaných požadavkù navrhneme klasickou teorií pøenosovou funkci Ha (p) vzorového analogového filtru. 3. Pøenosovou funkci Ha (p) analogového filtru transformujeme podle použité metody návrhu zp-roviny do z-roviny na systémovou funkci H(z) digitálního filtru. Získaná funkce H(z) již specifikuje koeficienty ok a bk navrhovaného digitálního filtru. 4. Pro kontrolu mùžeme ze systémové funkce H(z) substitucí z = ejfjj stanovit odpovídající frekvenèní charakteristiku H(m) takto navrženého digitálruno filtru a porovnat ji s výchozími požadavky. Existuje nìkolik standardních metod návrhu IIR filtrù, které se liší zpùsobem transformace Ha(P) na H(z), pøi zachování stability filtru. V jednoduchých pøípadech lze rekurzivní filtr navrhnout intuitivnì na základì døíve uvedených poznatkù o vlivu pozice nul a pólù na frekvenèní charakteristiku -viz pøíklady v odst.6.4. Pøed uvedením standardních metod návrhu!ir filtrù si pøipomeneme základní vztahy pro pøenosovou funkci Ha (p) analogových filtrù: -112-

2 , 2. (9.1) nebo Ha(p)=!!.SJ!2=K (p-zt)(p-z2) (P-ZM) A(p) (p -Pt) (p -P2)"" (p -P) kde ak, bk jsou koeficienty pøíslušné diferenciální rovnice, Zl' Z2, PI, P2, P jsou póly pøenosové funkce Ha (p) V komplexní p-rovinì. Z M jsou nuly a Pro stabilitu analogového filtru je nutné, aby všechny póly Pk jeho pøenosové funkce Ha (p) ležely v levé polorovinì. Uvedeme ještì souvislost H(z) a Ha(P) ve spektrální oblasti. 1. Pro systémovou funkci H(z) platí: H(z) = Z[h(n)]. Pro z = ejiii jednotkové kružnici (r = 1 ) v komplexní z-rovinì bude: tj. pro body ležící na cožje frekvenèní charakteristika digitálního filtru. Pro pøenosovou funkci Ha(P) platí: Ha(P) = L[h(t)]. Pro P = io, tj. pro body ležící na imaginární ose io v p-rovinì bude: což je frekvenèní charakteristika analogového filtru, kde.q je úhlová frekvence v [rad/s] na rozdíl od {ij [rad]. Dále ještì frekvenèní charakteristika Ha (.Q) analogového filtru má aperiodický prùbìh (není periodická). Podle (9.3) a (9.4) se body z imaginární osy j.q v p-rovinì transformují (mapují) na jednotkovou kružnici (r = 1 ) v z-rovinì a obrácenì. Existuje tedy pøímá souvislost mezi frekvencemi v tìchto dvou rovinách (ovšem H(iii) je periodická, kdežto Ha(.Q) je aperiodická). 9.2 Metoda aproximace derivací diferencemi Již v odst. 5.5 byl uveden elementární pøíklad transformace analogového filtru (RC obvodu) na digitální strukturu s použitím aproximace derivace:

3 b) a) Derivaci na levé stranì si pøedstavíme jako výstup analogového systému s pøenosovou funkcí H~(P) podle obr. 9.1a). _~~r-~ ~~ ~L_~ ~ y(n)-y(n-1).--!j~~~~[~~-~=::::!:=.. Obr. 9.1 K aproximaci derivace diferencerni Pøenosová funkce H~(P) je dána pomìrem L-obrazu vstupu, tj. Ya(p), kl-obrazu výstupu, tj. pya(p), takže bude: H~(P) = p Tento analogový systém aproximujeme digitálním systémem se systémovou funkcí H'(z) podle obr. 9.1b). Systémová funkce H'(z) je dána pomìrem Z-obrazu vstupu, tj. Y(z), k Z- obrazu výstupu, tj.! T ~(z) -z-i Y(z)l takže bude: H'(z) = 1- z-i T Tato systémová funkce aproximuje pøenosovou funkci H~(p). Tedy z dané H~(P) pøejdeme na H'(z) substitucí p= I-z' T -1 Obecnì, bude-li zadána pøenosová funkce Ha (P) vzorového analogového filtru, která má tvar podle (9.1), potom systémová funkce H(z) odpovídajícího digitálního filtru bude: Z rovnice (9.9) dostaneme pro z: 1z=l-=-p"T (9.10) Tato rovnice vyjadøuje, jak se body p transformují z p-roviny do bodù z v z-rovinì (mapuje p- rovinu do z-roviny)

4 ~ --~ Zvolíme-li p = j.q, pak analýzou zjistíme, že imaginární osa j.q v p-rovinì se takto mapuje na kružnici o polomìru 0,5 se støedem v bodì z = 0,5 v z-rovinì a levá polorovina do plochy této kružnice -viz obr.9.2. j.qt joo p-rovina ~,--- Imzt jednotková kružnice ~, z-rovina '.' ~ o O' I, 1 Rez J.Q ~ -JOO ;/,/ Obr. 9.2 Mapování osy j.q zp-roviny do z-roviny pøi aproximaci derivací diferencemi Z uvedeného vyplývá: -bude-li vzorový analogový filtr stabilní, bude stabilní i takto navržený digitální filtr (transformace zachovává stabilitu) frekvenèní charakteristika takto navrženého digitálního filtru bude odlišná, nebo pro její zachování by bylo tøeba, aby se osa io transformovala na jednotkovou kružnici. Pouze v malé oblasti v okolí bodu z = 1 (tj. v oblasti nízkých frekvencí m«7t/2) se budou body na malé kružnici pøibližovat bodùm na jednotkové kružnici, takže v této oblasti frekvencí se bude také H(m) digitálního filtru pøibližovat Ha (O) analogového filtru. To by mohlo vyhovìt návrhu filtrù typu DP, nikoliv PP nebo HP. 9.3 Metoda impulznì invariantní transformace Tato metoda zachovává hodnoty impulzní odezvy h(t) analogového filtru. Impulzní odezva h(n) navrženého digitálního filtru totiž vychází z jejích vzorkù h(n): h(n) = h(t)1 t=nt n=o,1,2, (9.11 ) kde T je vzorkovací interval. Tyto hodnoty h(n) ovšem nemùžeme pokládat za koeficienty digitálního filtru, nebo h(t) má teoreticky neomezenou délku. Postup návrhu bude následující. Ze zadaných požadavkù na filtr navrhneme nìkterou známou metodou pøenosovou funkci Ha (p) vzorového analogového filtru ve tvaru: _11,-

5 (9.12) kde Zk jsou nuly a Pk jsou póly vzorového analogového filtru v p-rovinì. Za pøedpokladu, že tato Ha (p) neobsahuje násobné póly, vyjádøíme Ha (p) rozkladem v parciální zlomky, který bude ve tvaru: AJ Ha(P) =-:~ Az++... p-pz (9.13) kde Ak jsou reálné nebo komplexní konstanty (podle povahy pólu Pk). Tím jsme vlastnì analogový filtr vyjádøili ve tvaru paralelní kombinace elementárních filtrù s jednoduchými (reálnými nebo komplexními) póly Pk -viz obr.9.3. Obr. 9.3 Rozklad Ha (p) na paralelní kombinaci elementárních filtrù Tuto Ha (p) budeme nyní transformovat do digitální oblasti na systémovou funkci H (z). Hledaný vztah pro H(z) odvodíme následovnì. Impulzní odezva hk (f) jednoho elementárního analogového filtru na obr. 9.3 je dána inverzní LT: a hk(t) = L-1 = Ak epkt hk(t)=o pro «o pro t~o (9.14) Výsledná impulzní odezva uvedené paralelní kombinace bude dána sumací odezev jednotlivých elementárních filtrù: h(t) = Lhk(t) = LAk epkt k=l k=l (9.15) -116-

6 1 Impulzní odezva odpovídajícího impulznì invariantního filtru pak bude dána podle (9.12) diskrétními hodnotami (vzorky) h(n): h(n) = LAk k=l epknt n~o (9.16) Její Z-transformací již získáme odpovídající systémovou funkci H(z) navrhovaného digitálního filtru: CX> H(z) = L h(n) z-n = L LAk epknt z-n= LAk L(z-l epkt )n n=o n=o k=l k=l n=o (9.17) S použitím vzorce pro sumaci souètu neomezené geometrické øady dostaneme: H(z) = LAk k=l 1- z-i epkt =LAk k=l z z -epkt (9.18) Podle (9.18) bude systémová funkce digitálního filtru obsahovat jednoduchých (reálných nebo komplexních) pólù k = 1,2, (9.19) kde Pk jsou jednoduché póly vzorového analogového filtru. Dále bude obsahovat nul v poèátku. Ze znalosti Ha(P) ve tvaru podle (9.13) tedy mùžeme ihned vyjádøit vztah pro H(z) podle (9.18). Obdobnì jako na obr. 9.3 pøedstavuje také sumace (9.18) paralelní kombinaci elementárních digitálních filtrù se systémovými funkcemi: k=1,2, Bude-li H k (z) v sumaci (9.18) obsahovat komplexní pól zk = exp(pkt), pak ovšem musí tato sumace obsahovat také Hk(z) s komplexnì sdruženým pólem. Obì takové èásti mùžeme slouèit do jedné dílèí systémové funkce, obsahující dva komplexnì sdružené póly. Realizace výsledné H(z) mùže odpovídat paralelnímu tvaru dílèích H k (z) podle (9.18). ebo mùžeme vztah (9.18) upravit na sériový tvar (souèet zlomkù pøevedeme na spoleèného jmenovatele). Pøíklad 9.1 Pøenosová funkce vzorového analogového filtru je dána ve tvaru: Ha(P) = 0,2 + p (0,2+p)

7 -j4t Zøejmì obsahuje nulu v bodì p = -0,2 a pár komplexnì sdružených pólù Pl,2 = -0,2 :t j 4. ejprve rozložíme Ha (p) na parciální zlomky: medanou H(z) získáme podle vztahu (9.18): 0,5 1 -z-i e-o,2t e Zøejmì obsahuje dva komplexnì sdružené póly ZI,2 = e-o,2t:tj4t.mùžeme tedy dva èleny H(z) upravit do jediného èlenu: v Podle vztahu (9.19) mùžeme vyjádøit souvislost mezi body v z-rovinì a body v p-rovinì: z = exp(pt). Zavedeme-li substituci z = r exp(jm) a p = O' + j,q" dostaneme: r = exp(at) a m =,Q,T. Z toho vyplývá, že pro O' < O bude O < r < 1, takže levá polorovina p-roviny se bude mapovat do plochy jednotkové kružnice v z-rovinì. Dále pro O' = O bude r = 1, takže imaginární osa j,q, se bude mapovat na jednotkovou kružnici. Tato metoda tedy zachovává stabilitu filtru a zaruèuje shodu impulzních odezev digitálního filtru a vzorového analogového filtru. A však souvislost mezi frekvenèními charakteristikami Ha(Q) a H(iiJ) nebude tak jednoznaèná. Spojité impulzní odezvì h(t) pøísluší pøenosová funkce Ha(.Q) = F[h(t)] -viz obr.9.4. o Ov Q Obr. 9.4 Impulzní odezva a frekvenèní charakteristik analogového filtru Potom vzorkované h(n) = h(nt) bude podle vzorkovacího teorému -viz odstavce 2.3 a 3.1 -pøíslušet periodické opakování Ha(Q) s periodou Qv = 2n/T (Ha(Q) je spektrum impulzní odezvy h(t)). Bude tedy analogicky ke vztahu (2.17) pro frekvenèní charakteristiku digitálního filtru platit: -llr-

8 00 H(ilJ) = H(.Q.T) = Fv LHa k=-oo (.Q. + k.qv) (9.20) Pak ovšem budou platit také poznatky z odst. 3.1 o pøekrývání (aliasing) sousedních prùbìhù Ha (O + k.o.v) -viz obr.9.5. Výsledná frekvenèní charakteristika bude dána souètem pøekrývajících se èástí, takže bude odlišná od Ha (O). Tento negativní vliv mùžeme zmenšit volbou menší hodnoty T, tj. hustìjším vzorkováním odezvy h(t). - H(ro ):H(OT) Ha(O-Ov)/ Ha(O-20v) ~~~/"--~~,,,/a ( o ) JI'. \: ~ \: ~,/"Y, '/,,~, " " '-. I I ---I-r-- o 1t 21t 31t ro=.gt Q o 1/2.o.v Oy Ov.Q Obr. 9.5 Vzorky impulzní odezvy h(n) a odpovídající frekvenèní charakteristika H(iJJ) 9.4 Metoda bilineární transformace Odvození transformaèního vztahu mezi komplexními promìnnými p a z vychází z diferenciální rovnice analogového filtru, kde se derivace neaproximuje diferencí jako v odst. 9.2, ale derivace se integruje a integrál se aproximuje podle trojúhelníkového pravidla. Po úpravì pak získáme transformaèní vztah ve tvaru: 2 (I-Z-l ) 2 z-i P=r ~=t =r;+i (9.21) nazývaný bilineámí transformace, kde T je èinitel úmìrnosti. Bude-li zadána pøenosová funkce Ha(P) vzorového analogového filtru, pak systémovou funkci H(z) odpovídajícího digitálního filtru získáme substitucí: H(z) = Ha(P) 2 z-i p=-- T z+1 (9.22) Abychom poznali vlastnosti bilineární transformace, zavedeme v rov. (9.21) substituci z = r exp(jm) a p = a + j.q. Z výsledku zjistíme, že pro a < O bude r < O a pro a = O bude r = 1, takže levá polorovina z p-roviny se bude mapovat do plochy jednotkové kružnice -119-

9 v z-rovinì a body z imaginární osy j.o. v p-rovinì se budou mapovat do bodù z = exp(jm) na jednotkové kružnici v z-rovinì. Stabilní analogový filtr se tak bude transformovat na stabilní digitální filtr. Uvedenou substitucí z = exp(j m) a p = j.o. (O" = O) do rov. (9.21) získáme vztah mezi body na ose j.o. v p-rovinì a body z = exp(jm) na jednotkové kružnici v z-rovinì, tj. mezi frekvencemi.o. a m : Bude tedy platit: "A 21-z-1 p = J~~ =-=-= 21-exp(-jiiJ) "2 J-tgiiJ T 1+z-1 T l+exp(-jiij) T >.Q =rtg2.ar nebo iij = 2 arctg. (9.23) 2 kde je.q v [rad/s] a iij v [rad]. Závislost mezi frekvencemi.qt a iij podle rov. (9.23) je graficky znázornìna na obr Obr. 9.6 Závislost mezi frekvencemi analogového a digitálního filtru pøi bilineární transformaci V oblasti nižších hodnot iij je závislost témìø lineární, ale se stoupající hodnotou iij se stává silnì nelineární. Dále celý frekvenèní interval O ~.Q ~ 00 analogového filtru se u digitálního filtru komprimuje na koneèný interval odpovídající pùlkružnici jednotkové kružnice v z- rovinì, tj. na interval O ~ iij ~ 7t. Potlaèení vlivu této nelinearity vyžaduje trochu pozmìnìný postup návrhu proti pøedchozím metodám. ávrh vychází ze specifikace požadavkù na frekvenèní charakteristiku digitálního filtru. Specifikují se významné frekvence, napø. frekvence vymezující pøechodové oblasti frekvenèní charakteristiky digitálního filtru -viz pøíklad na obr.9.7 v dolní èásti, kde jsou specifikovány frekvence iij1, iij2 [rad]

10 Podle vztahu (9.23) se k tìmto frekvencím urèí odpovídající frekvence ni, n2 v analogové oblasti -viz graf vlevo nahoøe na obr.9. 7, kde je tato transformace znázornìna graficky s využitím závislosti mezi (jj a.o. podle obr.9.6. Podle hodnot takto získaných frekvencí.o. i se potom navrhne nìkterou známou metodou pøenosová funkce Ha (p) vzorového analogového filtru. Obr. 9.7 K souvislosti mezi frekvenèními charakteristikami H(iiJ) a H(.aT) a stanovení významných frekvencí u metody bilineámí transformace S použitím bilineární transformace podle rov. (9.22) již získáme systémovou funkci H(z) navrhovaného digitálního filtru, u kterého budou zaruèeny jako významné frekvence ml' m2. Tato metoda návrhu IIR filtrù nemá omezení jako pøedchozí metody, je použitelná pro filtry typu DP, PP, a HP, vyluèuje pøekrývání (aliasing) frekvenèních charakteristik a zachovává stabilitu filtru. Avšak impulzní odezva takto navrženého digitálního filtru neodpovídá výchozímu analogovému filtru

Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností

Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností různých přístrojů a zařízení. (Mechanizace, Automatizace, Komplexní automatizace) Kybernetika je Věda, která zkoumá obecné

Více

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

Antonín Kamarýt Opakujeme si MATEMATIKU 3 doplnìné vydání Pøíprava k pøijímacím zkouškám na støední školy Pøíruèka má za úkol pomoci ètenáøùm pøipravit se k pøijímacím zkouškám na støední školu Pøíruèka

Více

v trojúhelníku P QC sestrojíme vý¹ky na základnu a jedno rameno, patu vý¹ky na rameno oznaèíme R a patu na základnu S

v trojúhelníku P QC sestrojíme vý¹ky na základnu a jedno rameno, patu vý¹ky na rameno oznaèíme R a patu na základnu S Øe¹ení 5. série IV. roèníku kategorie JUNIOR RS-IV-5-1 Pro na¹e úvahy bude vhodné upravit si na¹í rovnici do tvaru 3 jx 1 4 j+2 = 5 + 4 sin 2x: Budeme uva¾ovat o funkci na pravé stranì na¹í rovnice, tj.

Více

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

PODROBNÝ OBSAH 1 PØENOSOVÉ VLASTNOSTI PASIVNÍCH LINEÁRNÍCH KOMPLEXNÍCH JEDNOBRANÙ A DVOJBRANÙ... 9 1.1 Úvod... 10 1.2 Èasové charakteristiky obvodu pøechodné dìje... 10 1.3 Pøechodné charakteristiky obvodù

Více

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro

Více

Filtrace v prostorové oblasti

Filtrace v prostorové oblasti prostorová oblast (spatial domain) se vztahuje k obrazu samotnému - metody zpracování obrazu jsou zalo¾eny na pøímou manipulaci s pixely v obraze transformaèní oblast (transform domain) - metody zpracování

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

1 Modelování systémů 2. řádu

1 Modelování systémů 2. řádu OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy:

Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy: Návrh FIR filtrů Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy: volba frekvenční odezvy požadovaného filtru; nejčastěji volíme ideální charakteristiku normovanou k Nyquistově frekvenci, popř.

Více

Vlastnosti IIR filtrů:

Vlastnosti IIR filtrů: IIR filtry Vlastnosti IIR filtrů: Výhody: jsou výrazně nižšího řádu než Fir filtry se stejnými vlastnostmi a z toho vyplývá že mají: Nevýhody: nižší výpočetní složitost v porovnání s Fir filtrem kratší

Více

filtry FIR zpracování signálů FIR & IIR Tomáš Novák

filtry FIR zpracování signálů FIR & IIR Tomáš Novák filtry FIR 1) Maximální překývnutí amplitudové frekvenční charakteristiky dolní propusti FIR řádu 100 je podle obr. 1 na frekvenci f=50hz o velikosti 0,15 tedy 1,1dB; přechodové pásmo je v rozsahu frekvencí

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Ideální frekvenční charakteristiky filtrů podle bodu 1. až 4. v netypických lineárních souřadnicích jsou znázorněny na následujícím obrázku. U 1.

Ideální frekvenční charakteristiky filtrů podle bodu 1. až 4. v netypických lineárních souřadnicích jsou znázorněny na následujícím obrázku. U 1. Aktivní filtry Filtr je obecně selektivní obvod, který propouští určité frekvenční pásmo, zatímco ostatní frekvenční pásma potlačuje. Filtry je možno realizovat sítí pasivních součástek, tj. rezistorů,

Více

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd KKY/LS2. Plzeň, 2008 Pavel Jedlička

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd KKY/LS2. Plzeň, 2008 Pavel Jedlička Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd KKY/LS2 Semestrální práce Plzeň, 2008 Jan Krčmář Pavel Jedlička 1 Měřený model Je zadán systém (1), který budeme diskretizovat použitím funkce c2d

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Kapitola 1. Signály a systémy. 1.1 Klasifikace signálů

Kapitola 1. Signály a systémy. 1.1 Klasifikace signálů Kapitola 1 Signály a systémy 1.1 Klasifikace signálů Signál představuje fyzikální vyjádření informace, obvykle ve formě okamžitých hodnot určité fyzikální veličiny, která je funkcí jedné nebo více nezávisle

Více

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY

Lineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY Lineární a adaptivní zpracování dat 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Úvodní informace o předmětu Signály, časové řady klasifikace, příklady, vlastnosti Vzorkovací

Více

Omezení barevného prostoru

Omezení barevného prostoru Úpravy obrazu Omezení barevného prostoru Omezení počtu barev v obraze při zachování obrazového vjemu z obrazu Vytváření barevné palety v některých souborových formátech Různé filtry v grafických programech

Více

3/ %,1'(& 83'1 &( &3 )XQNFH. + ; ; ; ; / ; ; + ; EH]H]PuQ\

3/ %,1'(& 83'1 &( &3 )XQNFH. + ; ; ; ; / ; ; + ; EH]H]PuQ\ Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007

c ÚM FSI VUT v Brně 20. srpna 2007 20. srpna 2007 1. 3 arctg x 1+x 2 dx 2. (x 2 + 2x + 17)e x dx 3. 1 x 3 x dx Vypočtěte integrál: 3 arctg x 1 + x 2 dx Příklad 1. Řešení: Použijeme substituci: arctg x = t 3 arctg x dx = 1 dx = dt 1+x 2

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

ANALÝZA LIDSKÉHO HLASU

ANALÝZA LIDSKÉHO HLASU ANALÝZA LIDSKÉHO HLASU Pomůcky mikrofon MCA-BTA, LabQuest, program LoggerPro (nebo LoggerLite), tabulkový editor Excel, program Mathematica Postup Z každodenní zkušenosti víme, že každý lidský hlas je

Více

Komplexní číslo. Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem

Komplexní číslo. Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem Komplexní číslo Cíl kapitoly: seznámení s použitím komplexního čísla v pythonu Klíčové pojmy: Komplexní číslo, reálná část, imaginární část, algebraické počty s komplexním číslem Komplexní číslo Opakování

Více

Ele 1 elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu

Ele 1 elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: ELEKTROTECHNIKA PRVNÍ ZDENĚK KOVAL Název zpracovaného celku: 30. 9. 203 Ele elektromagnetická indukce, střídavý proud, základní veličiny, RLC v obvodu střídavého proudu

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010

e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Optimální výrobní program Radka Zahradníková e-mail: RadkaZahradnikova@seznam.cz 1. července 2010 Obsah 1 Lineární programování 2 Simplexová metoda 3 Grafická metoda 4 Optimální výrobní program Řešení

Více

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce

2. Numerické výpočty. 1. Numerická derivace funkce 2. Numerické výpočty Excel je poměrně pohodlný nástroj na provádění různých numerických výpočtů. V příkladu si ukážeme možnosti výpočtu a zobrazení diferenciálních charakteristik analytické funkce, přičemž

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Signál v čase a jeho spektrum

Signál v čase a jeho spektrum Signál v čase a jeho spektrum Signály v časovém průběhu (tak jak je vidíme na osciloskopu) můžeme dělit na periodické a neperiodické. V obou případech je lze popsat spektrálně určit jaké kmitočty v sobě

Více

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth

FOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Západočeská univerzita. Lineární systémy 2

Západočeská univerzita. Lineární systémy 2 Západočeská univerzita FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD Lineární systémy Semestrální práce vypracoval: Jan Popelka, Jiří Pročka 1. květen 008 skupina: pondělí 7-8 hodina 1) a) Jelikož byly měřící přípravky nefunkční,

Více

METODICKÝ NÁVOD MODULU

METODICKÝ NÁVOD MODULU Centrum celoživotního vzdělávání METODICKÝ NÁVOD MODULU Název Základy matematiky modulu: Zkratka: ZM Počet kreditů: 4 Semestr: Z/L Mentor: Petr Dolanský Tutor: Petr Dolanský I OBSAH BALÍČKU STUDIJNÍCH

Více

y 2 x 2 max F(X) x 1 y 1

y 2 x 2 max F(X) x 1 y 1 Øe¹ení soustavy nelineárních rovnic algoritmus "postup08" Petr Byczanski Ústav geoniky AV ÈR Studentská 1768 Ostrava {Poruba Algoritmus "postup08" je urèen pro øe¹ení soustavy nelineárních rovnic splòující

Více

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt

VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni. Abstrakt VYUŽITÍ MATLABU PRO VÝUKU NUMERICKÉ MATEMATIKY Josef Daněk Centrum aplikované matematiky, Západočeská univerzita v Plzni Abstrakt Současný trend snižování počtu kontaktních hodin ve výuce nutí vyučující

Více

Základní pojmy o signálech

Základní pojmy o signálech Základní pojmy o signálech klasifikace signálů transformace časové osy energie a výkon periodické signály harmonický signál jednotkový skok a impuls Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz

Více

INFORMACE NRL č. 12/2002 Magnetická pole v okolí vodičů protékaných elektrickým proudem s frekvencí 50 Hz. I. Úvod

INFORMACE NRL č. 12/2002 Magnetická pole v okolí vodičů protékaných elektrickým proudem s frekvencí 50 Hz. I. Úvod INFORMACE NRL č. 12/2 Magnetická pole v okolí vodičů protékaných elektrickým proudem s frekvencí Hz I. Úvod V poslední době se stále častěji setkáváme s dotazy na vliv elektromagnetického pole v okolí

Více

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY

POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY POŽADAVKY K SOUBORNÉ ZKOUŠCE Z MATEMATIKY Bakalářský studijní program B1101 (studijní obory - Aplikovaná matematika, Matematické metody v ekonomice, Aplikovaná matematika pro řešení krizových situací)

Více

APLIKACE ALGORITMŮ ČÍSLICOVÉHO ZPRACOVÁNÍ SIGNÁLŮ 1. DÍL

APLIKACE ALGORITMŮ ČÍSLICOVÉHO ZPRACOVÁNÍ SIGNÁLŮ 1. DÍL David Matoušek, Bohumil Brtník APLIKACE ALGORITMÙ ÈÍSLICOVÉHO ZPRACOVÁNÍ SIGNÁLÙ 1 Praha 2014 David Matoušek, Bohumil Brtník Aplikace algoritmù èíslicového zpracování signálù 1. díl Bez pøedchozího písemného

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

VY_32_INOVACE_E 15 03

VY_32_INOVACE_E 15 03 Název a adresa školy: Střední škola průmyslová a umělecká, Opava, příspěvková organizace, Praskova 399/8, Opava, 746 01 Název operačního programu: OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost, oblast podpory

Více

Návrh frekvenčního filtru

Návrh frekvenčního filtru Návrh frekvenčního filtru Vypracoval: Martin Dlouhý, Petr Salajka 25. 9 2010 1 1 Zadání 1. Navrhněte co nejjednodušší přenosovou funkci frekvenčního pásmového filtru Dolní propusti typu Bessel, která bude

Více

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ

DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ DIGITÁLNÍ ARCHIV VZDĚLÁVACÍCH MATERIÁLŮ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0963 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti

Více

3. Kmitočtové charakteristiky

3. Kmitočtové charakteristiky 3. Kmitočtové charakteristiky Po základním seznámení s programem ATP a jeho preprocesorem ATPDraw následuje využití jednotlivých prvků v jednoduchých obvodech. Jednotlivé příklady obvodů jsou uzpůsobeny

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

I. STEJNOSMĚ RNÉ OBVODY

I. STEJNOSMĚ RNÉ OBVODY Řešené příklady s komentářem Ing. Vítězslav Stýskala, leden 000 Katedra obecné elektrotechniky FEI, VŠB-Technická univerzita Ostrava stýskala, 000 Určeno pro posluchače bakalářských studijních programů

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

AUTOMATICKÉ ØÍZENÍ vvv Jaroslav Balátì AUTOMATICKÉ ØÍZENÍ Praha 2003 Jaroslav Balátì AUTOMATICKÉ ØÍZENÍ Lektoøi Prof Dr h c Ing Antonín Víteèek, CSc Doc Ing Petr Vysoký, CSc Bez pøedchozího písemného svolení

Více

Jednoduché rezonanční obvody

Jednoduché rezonanční obvody Jednoduché rezonanční obvody Jednoduché rezonanční obvody vzniknou spojením činného odporu, cívky a kondenzátoru jedním ze způsobů uvedených na obr.. Činný odpor nemusí být bezpodmínečně připojen jako

Více

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

Pozorovatel, Stavová zpětná vazba

Pozorovatel, Stavová zpětná vazba Pozorovatel, Stavová zpětná vazba Teorie dynamických systémů Obsah Úvod 2 Příklady 2 3 Domácí úlohy 6 Reference 8 Úvod Pozorovatel stavu slouží k pozorování (odhadování) zejména neměřitelných stavů systému.

Více

ÈÁST VIII - M I K R O È Á S T I CE A JEJICH CHOVÁNÍ

ÈÁST VIII - M I K R O È Á S T I CE A JEJICH CHOVÁNÍ 1 ÈÁST VIII - M I K R O È Á S T I CE A JEJICH CHOVÁNÍ 32 Základní èástice 33 Dynamika mikroèástic 34 Atom - elektronový obal 35 Atomové jádro 36 Radioaktivita 37 Molekuly TABULKA: Základní èástice Druh

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Komplexní obálka pásmového signálu

Komplexní obálka pásmového signálu České vysoké učení technické v Praze, Fakulta elektrotechnická X37SGS Signály a systémy Komplexní obálka pásmového signálu Daniel Tureček 8.11.8 1 Úkol měření Nalezněte vzorky komplexní obálky pásmového

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

Elektronické praktikum EPR1

Elektronické praktikum EPR1 Elektronické praktikum EPR1 Úloha číslo 4 název Záporná zpětná vazba v zapojení s operačním zesilovačem MAA741 Vypracoval Pavel Pokorný PINF Datum měření 9. 12. 2008 vypracování protokolu 14. 12. 2008

Více

23 - Diskrétní systémy

23 - Diskrétní systémy 23 - Diskrétní systémy Michael Šebek Automatické řízení 215 3-5-15 Vzorkování dané metodou měření Automatické řízení - Kybernetika a robotika Systémy používající radar měření polohy cíle jednou za otáčku

Více

PRAKTIKUM II Elektřina a magnetismus

PRAKTIKUM II Elektřina a magnetismus Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM II Elektřina a magnetismus Úloha č.: XVIII Název: Přechodové jevy v RLC obvodu Pracoval: Pavel Brožek stud. skup. 12 dne 24.10.2008

Více

21 Diskrétní modely spojitých systémů

21 Diskrétní modely spojitých systémů 21 Dikrétní modely pojitýc ytémů Micael Šebek Automatické řízení 2015 29-4-15 Metoda emulace Automatické řízení - Kybernetika a robotika pojitý regulátor nazývá e také aproximace, dikrétní ekvivalent,

Více

M R 8 P % 8 P5 8 P& & %

M R 8 P % 8 P5 8 P& & % ážení zákazníci dovolujeme si ás upozornit že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva tzv. copyright. To znamená že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího (aby ètenáø

Více

10a. Měření rozptylového magnetického pole transformátoru s toroidním jádrem a jádrem EI

10a. Měření rozptylového magnetického pole transformátoru s toroidním jádrem a jádrem EI 0a. Měření rozptylového magnetického pole transformátoru s toroidním jádrem a jádrem EI Úvod: Klasický síťový transformátor transformátor s jádrem skládaným z plechů je stále běžně používanou součástí

Více

27. asové, kmitotové a kódové dlení (TDM, FDM, CDM). Funkce a poslání úzkopásmových a širokopásmových sítí.

27. asové, kmitotové a kódové dlení (TDM, FDM, CDM). Funkce a poslání úzkopásmových a širokopásmových sítí. Petr Martínek martip2@fel.cvut.cz, ICQ: 303-942-073 27. asové, kmitotové a kódové dlení (TDM, FDM, CDM). Funkce a poslání úzkopásmových a širokopásmových sítí. Multiplexování (sdružování) - jedná se o

Více

Quantization of acoustic low level signals. David Bursík, Miroslav Lukeš

Quantization of acoustic low level signals. David Bursík, Miroslav Lukeš KVANTOVÁNÍ ZVUKOVÝCH SIGNÁLŮ NÍZKÉ ÚROVNĚ Abstrakt Quantization of acoustic low level signals David Bursík, Miroslav Lukeš Při testování kvality A/D převodníků se používají nejrůznější testovací signály.

Více

Vzorkování. Je-li posloupnost diracových impulzů s periodou T S : Pak časová posloupnost diskrétních vzorků bude:

Vzorkování. Je-li posloupnost diracových impulzů s periodou T S : Pak časová posloupnost diskrétních vzorků bude: Vzorkování Vzorkování je převodem spojitého signálu na diskrétní. Lze si ho představit jako násobení sledu diracových impulzů (impulzů jednotkové plochy a nulové délky) časovým průběhem vzorkovaného signálu.

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Rovnice. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Rovnice RNDr. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Grafické řešení soustav rovnic a nerovnic VY INOVACE_0 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Soustav lineárních rovnic Soustavou

Více

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta

Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta jméno: studijní obor: PřF BIMAT počet listů(včetně tohoto): 1 2 3 4 5 celkem Cvičná bakalářská zkouška, 1. varianta 1. Matematická analýza Najdětelokálníextrémyfunkce f(x,y)=e 4(x y) x2 y 2. 2. Lineární

Více

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

č ú ř č ř č č ř ú Í ř č č ří č č č č č ž ř č Íř ř ř Š ř ř č ř č č ž č č Í ř ž ž Í ú ř ř ú ž ř č č ž ž č ž Š ž č č Č ř ř ú č č č č č Í č ž Ů č ř č úč ž ř č č č Í Í č ř ří č ř Í č ó ŘÍ č ž č ž č č ž ř ž

Více

1. Zadání. 2. Teorie úlohy ID: 78 357. Jméno: Jan Švec. Předmět: Elektromagnetické vlny, antény a vedení. Číslo úlohy: 7. Měřeno dne: 30.3.

1. Zadání. 2. Teorie úlohy ID: 78 357. Jméno: Jan Švec. Předmět: Elektromagnetické vlny, antény a vedení. Číslo úlohy: 7. Měřeno dne: 30.3. Předmět: Elektromagnetické vlny, antény a vedení Úloha: Symetrizační obvody Jméno: Jan Švec Měřeno dne: 3.3.29 Odevzdáno dne: 6.3.29 ID: 78 357 Číslo úlohy: 7 Klasifikace: 1. Zadání 1. Změřte kmitočtovou

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně.

Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. @021 3. Řešení grafické přímka v kartézské soustavě souřadnic Nejprve si uděláme malé opakování z kurzu Množiny obecně. Rovnice ax + by + c = 0, kde aspoň jedno z čísel a,b je různé od nuly je v kartézské

Více

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1

Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 ODR1 1 Základní pojmy teorie ODR a speciální typy ODR1 A. Diferenciální rovnice a související pojmy Mnohé fyzikální a jiné zákony lze popsat pomocí rovnic, v nichž jako neznámá vystupuje funkce, přičemž

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Plochy zadané okrajovými křivkami

Plochy zadané okrajovými křivkami Plochy zadané okrajovými křivkami Lineární plát plocha je určena dvěma okrajovými křivkami, pokud by pro tyto křivky byly intervaly, v nichž leží hodnoty parametru, různé, provedeme lineární transformaci

Více

Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího

Více

ý ů ř š é í ř ň é ř ý ť Í á í ý ý š Í í č ýč ý Í ďí á ý í ý ý é í á ř í č č ýž Ř ŠŤ é í íří ě é é ř é é ří čá é í ř šť ž é í é ří ě ů čí ů í é ří ž ř šé í ř á é é é ř ží ř šť í é š ě á í ě ší ý ří č é

Více

PRAKTIKUM II. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úlohač.5 Název: Měření osciloskopem. Pracoval: Lukáš Ledvina

PRAKTIKUM II. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. úlohač.5 Název: Měření osciloskopem. Pracoval: Lukáš Ledvina Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM II. úlohač.5 Název: Měření osciloskopem Pracoval: Lukáš Ledvina stud.skup.14 dne:23.10.2009 Odevzdaldne: Možný počet bodů

Více

OZNÁMENÍ ZADÁVACÍHO ØÍZENÍ / VYHLÁŠENÍ VEØEJNÉ SOUTÌŽE O NÁVRH

OZNÁMENÍ ZADÁVACÍHO ØÍZENÍ / VYHLÁŠENÍ VEØEJNÉ SOUTÌŽE O NÁVRH OZNÁMENÍ ZADÁVACÍHO ØÍZENÍ / VYHLÁŠENÍ VEØEJNÉ SOUTÌŽE O NÁVRH Èíslo objednávky (Vaše èíslo jednací) Øádné Opravné 1 1.1 Pøedmìt veøejné zakázky 1.2 Zadávací øízení 1.3 1.5 1.6 2 2.1 2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3

Více

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce

Matematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více