1. Mno iny. Pojem mno iny je z kladn m pojmem matematiky. Mno ina je ur ena sv mi

Transkript

1 1. Mno iny Pojem mno iny je z kladn m pojmem matematiky. Mno ina je ur ena sv mi prvky, t.j., mno inou rozum me souhrn prvk. Teorii mno in vybudoval n meck matematik G.Cantor v roce V e uveden vymezen pojmu mno iny nen p esnou denic. Vede tak k rozpor m nebo jsou "souhrny", kter za mno iny pova ovat nem eme. Pozd ji uvid me, e nem eme vytvo it "mno inu" v ech mno in. Nejjednodu p klad takov zak zan "mno iny" nalezl B.Russel v roce Je to souhrn M = fxnx =2 xg v ech mno in x, kter neobsahuj sebe jako prvek. Toti, pokud by M byla mno ina, m eme si polo it ot zku, zda M 2 M. Pokud ano, pak, podle denice M plat M =2 M. Pokud ne, pak, op t podle denice M, plat M 2 M. V obou p padech dost v me spor. e en probl mu denice pojmu mno iny pod v axiomatick teorie mno in. My budeme pracovat v tzv. naivn teorii mno in, t.j., na z klad v e uveden nep esn "denice". Budeme v ak opatrn v jej m pou v n : ne v echny souhrny budeme pova ovat za mno iny. Z rove si nazna me, jak vypad axiomatick teorie mno in. Z kladn (a vlastn jedinou) vlastnost mno in je, e maj prvky. P eme a 2 A, co znamen, e a je prvkem mno iny A. Mal a velk p smena pou v me pro n zornost; ve skute nosti v teorii mno in nen nic jin ho ne mno iny, t.j., i a je mno ina. Fakt, e mno ina je ur ena sv mi prvky je vyj d en n sleduj c m axiomem (kter je prvn m axiomem axiomatick teorie mno in): Axiom extensionality: Dv mno iny jsou stejn, pr v kdy maj stejn prvky. Pomoc predik tov logiky (v jazyce s jedin m bin rn m rela n m symbolem 2, co je jazyk axiomatick teorie mno in) se tento axiom zap e n sledovn : (8x; y)(x = y $ (8z)(z 2 x $ z 2 y)) Pro mno iny A; B p eme A B a k me, e mno ina A je podmno ina mno iny B, jestli e libovoln prvek mno iny A je prvkem mno iny B. Z ejm plat A A A B a B C ) A C A = B, A B a B A Jsou-li A; B mno iny, m eme z nich utvo it nov mno iny A [ B = fxnx 2 A nebo x 2 Bg A \ B = fxnx 2 A a x 2 Bg A B = fxnx 2 A a x =2 Bg kter postupn naz v me sjednocen, pr nik a rozd l mno in A a B. Existuje mno ina, kter se vyzna uje t m, e nem dn prvky. pr zdn a ozna uje se ;. Pro libovolnou mno inu A plat Naz v se ; A: Typeset by AMS-T E X 1

2 2 Mno iny A; B se naz vaj disjunktn, jestli e A \ B = ;. Plat n sleduj c pravidla, kter se postupn naz vaj komutativn, asociativn, idempotentn a distributivn z kony: A [ B = B [ A A \ B = B \ A A [ (B [ C) = (A [ B) [ C A \ (B \ C) = (A \ B) \ C A [ A = A A \ A = A A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C) A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C): Je-li A podmno inou mno iny M, pak rozd l M A se naz v dopln k (nebo tak komplement podmno iny A. Zna me jej A 0. Plat n sleduj c pravidla, kter se postupn naz vaj z kony jednotky, negace a de Morgana: A [ M = M A \ M = A A [ ; = A A \ ; = ; A [ A 0 = M A \ A 0 = ; M 0 = ; ; 0 = M A 00 = A (A \ B) 0 = A 0 [ B 0 (A [ B) 0 = A 0 \ B 0 : Obecn ji, plat A (B [ C) = (A B) \ (A C)

3 3 A (B \ C) = (A B) [ (A C): M me-li mno iny A; B, m eme utvo it novou mno inu fa; Bg, kter m za prvky pr v A a B. Tento zp sob tvorby mno in se naz v axiom dvojice. Jeho pomoc m eme z pr zdn mno iny ; vytvo it nov mno iny, nap. f;g, ff;gg, f;; f;gg, atd. T mto zp sobem m eme denovat p irozen sla: 0 = ;, 1 = f;g, 2 = f;; f;gg, 3 = f;; f;g; f;; f;ggg, atd. V dy n = f0; 1; ; n 1g. Tedy p irozen sla jsou mno iny. Rovn m eme utvo it mno inu v ech nez porn ch cel ch sel! = f0; 1; 2; ; n; g: Naz v me to axiom nekone na. Pro libovolnou mno inu A a libovolnou "mno inovou vlastnost" '(x) m eme utvo it novou mno inu fa 2 An'(a) plat g: P esn denice mno inov vlastnosti je, e se jedn o formuli predik tov logiky v jazyce s jedin m bin rn m rela n m symbolem 2. Tento zp sob tvorby mno in se naz v axiom vy len n. T mto zp sobem vznikly mno iny: A \ B = fa 2 Ana 2 Bg A B = fa 2 Ana =2 Bg: Pro libovolnou mno inu A tak tak m eme utvo it mno inu \ A = fana 2 A pro libovoln A 2 Ag: Psac p smo jsme op t pou ili pouze pro n zornost. Obvykl ozna en je pomoc index : m me mno inu I a mno iny A i pro libovoln i 2 I a vytv me mno inu \ A i = fana 2 A i pro libovoln i 2 Ig: Pro sjednocen mno in pot ebujeme nov zp sob tvorby mno in naz van axiom sjednocen. k, e pro libovolnou mno inu A m eme utvo it novou mno inu [ A = fan existuje A 2 A tak, e a 2 Ag: Zejm na Obvykl zna en je [ [ A [ B = fa; Bg: A i = fana 2 A i pro n jak i 2 Ig: Plat n sleduj c pravidla: A [ \ B i = \ A [ B i

4 4 A \ [ B i = [ ( ( \ A i ) 0 = A i ) 0 = [ \ [ A \ B i A 0 i A 0 i Uspo dan dvojice (a; b) se denuje jako mno ina (a; b) = ffag; fa; bgg: Tato denice je v duchu teorie mno in: v e je mno ina, tedy i uspo dan dvojice. Snadno se ov, e plat (a; b) = (c; d), a = c a b = d: Kart zsk sou in mno in A; B nyn denujeme jako A B = f(a; b)na 2 A; b 2 Bg: Plat (A [ B) C = (A C) [ (B C) C (A [ B) = (C A) [ (C B) (A \ B) C = (A C) \ (B C) C (A \ B) = (C A) \ (C B): Tato pravidla lze roz it i na nekone n sjednocen a pr niky: ( ( [ \ A i ) C = A i ) C = [ \ (A i C) (A i C) (a podobn z druh strany). V imn me si, e pro A 6= B plat A B 6= B A Podobn (A B) C 6= A (B C): Je-li A mno ina, m eme utvo it mno inu P(A) = fxnx Ag v ech podmno in mno iny A. Naz v me to axiom mno iny podmno in.

5 5 Dosud jsme se sezn mili s n sleduj c mi axiomy teorie mno in: axiom extensionality, axiom pr zdn mno iny, axiom vy len n, axiom dvojice, axiom sjednocen, axiom mno iny podmno in a axiom nekone na. Prvn ud v, kdy jsou dv mno iny stejn, dal popisuj "povolen " zp soby tvorby mno in. K pln Zermelo- Fraenkelov teorii mno in (co je standartn axiomatika teorie mno in, ozna uje se ZF) n m chyb ji jen dva dosti technick axiomy: axiom regularity a axiom nahrazen. (Prvn z nich k, e v echny mno iny "vzniknou" z pr zdn mno iny.) Nap. kart zsk sou in A B vznikne vy len n m z mno iny P(P(A [ B)); toti uspo dan dvojice (a; b) jsou prvky t to mno iny. Ide ln teorie mno in by krom axiomu extensionality obsahovala pouze axiom kaj c, e pro libovolnou mno inovou vlastnost '(x) je fan'(a) plat g mno ina. Russel v paradox v ak ukazuje, e tato teorie je sporn. Axiomy Zermelo- Fraenkelovy teorie mno in uv d j povolen p pady v e uveden ho "ide ln ho" axiomu. 2. Zobrazen Denice. Zobrazen f : A! B mno iny A do mno iny B je p edpis p i azuj c ka d mu prvku mno iny A prvek mno iny B. Tato denice nen, z hlediska teorie mno in, p esn nebo obsahuje nedenovan pojem "p edpis". P esnou denici si uvedeme v p t kapitole. Zobrazen f : A! B se naz v prost (nebo tak injektivn ), jestli e plat f(a 1 ) = f(a 2 ) ) a 1 = a 2 : Naz v se zobrazen mno iny A na mno inu B (nebo tak surjektivn ), jestli e pro libovoln b 2 B existuje a 2 A tak, e f(a) = b. Zobrazen, kter je sou asn prost i na se naz v bijektivn (nebo tak bijekce). Mno iny A; B se naz vaj isomorfn, jestli e existuje bijekce A! B. Zna me A = B. Bu f : A! B bijektivn zobrazen. Polo me f 1 (b) = a pr v kdy f(a) = b: Pak f 1 : B! A je zobrazen, kter naz v me inverzn k f. Z ejm to je rovn bijektivn zobrazen a plat (f 1 ) 1 = f: P edpis id A (a) = a denuje zobrazen id A : A! A, kter se naz v identick (nebo rovn identita) na A. Je to z ejm bijekce a plat (id A ) 1 = id A :

6 6 Obecn ji, je-li A B, pak zobrazen inkluze i : A! B je denov no p edpisem i(a) = a pro a 2 A. Bu te f : A! B a g : B! C zobrazen. Pak p edpis (g f)(a) = g(f(a)) denuje zobrazen g f : A! C. Tento postup se naz v skl d n zobrazen a g f se naz v slo en zobrazen. Plat n sleduj c pravidla (h : C! D je dal zobrazen ): h (g f) = (h g) f f id A = f id B f = f f f 1 = id B f 1 f = id A : Jedn se o asociativn z kon, vlastnost jednotky a vlastnost inverzn ho zobrazen. V posledn m pravidle je samoz ejm f bijekce. Nav c, inverzn zobrazen je touto vlastnost ur eno jednozna n. To znamen, e f g = id B a g f = id A ) g = f 1 : Symbolem B A ozna me mno inu v ech zobrazen A! B. Pro libovolnou mno inu A existuje pr v jedno zobrazen ;! A. Naz v se pr zdn zobrazen a ozna uje se o A. Tedy A ; = fo A g je jednoprvkov mno ina. Z ejm (A A ; ) je monoid. Tento monoid nen obecn komutativn. Nap klad, ozna me-li symbolem k a : A! A konstantn zobrazen s hodnotou a, t.j. k a (x) = a pro v echna x 2 A, pak plat k a k b = k a a k b k a = k b : Bijektivn zobrazen mno iny A! A se naz v permutace mno iny A. Symbolem S(A) ozna me mno inu v ech permutac mno iny A. Pak (S(A); ) je grupa. Tato grupa op t nen obecn komutativn. Naz v se symetrick grupa. Zobrazen p 1 : A B! A p 2 : A B! B dan p edpisem se naz vaj projekce. p 1 (a; b) = a p 2 (a; b) = b V ta 2.1. Pro libovoln mno iny A; B; C plat n sleduj c pravidla: (1) (A B) C = A C B C (2) (A B ) C = A BC (3) A B[C = A B A C : V (3) mus mno iny B; C b t disjunktn. D kaz. (1) Bijekce F : (A B) C! A C B C je d na p edpisem F (f) = (p 1 f; p 2 f);

7 7 kde p 1 : A B! A a p 2 : A B! B jsou projekce. (2) Bijekce F : (A B ) C! A BC je d na p edpisem F (f)(b; c) = f(c)(b) kde f : C! A B. (3) Jsou-li B; C disjunktn, pak bijekce F : A B[C! A B A C je d na p edpisem F (f) = (f 1 ; f 2 ) kde f 1 je z en f : B [ C na B (t.j., f 1 (b) = f(b)) a f 2 je z en f na C. Kart zsk sou in m eme pomoc pojmu zobrazen popsat n sledovn : A B = ff : f1; 2g! A [ Bnf(1) 2 A; f(2) 2 Bg: To n s vede k n sleduj c denici kart zsk ho sou inu libovoln ho (i nekone n ho) syst mu mno in A i, i 2 I, kde I je mno ina: Projekce Y A i = ff : I! [ A i nf(i) 2 A i pro libovoln i 2 Ig: p i : Y A i! A i jsou denov ny p edpisem p i (f) = f(i). Pro libovolnou podmno inu B mno iny A denujeme charakteristickou funkci B : A! 2 t to podmno iny p edpisem (zde 2 = f0; 1g) B (a) = 1, a 2 B: Zobrazen F : P(A)! 2 A, F (B) = B je z ejm bijekce. Tedy P(A) = 2 A : Je-li f : A! B zobrazen, pak mno ina f(a) = ff(a)na 2 Ag se naz v obraz mno iny A v zobrazen f. Libovoln zobrazen f : A! B lze zapsat jako slo en zobrazen na a prost ho zobrazen f : A! f(a)! B: Denice. ekneme, e mno iny A; B maj stejnou mohutnost, jestli e A = B. Jedn se pouze o jin n zev pro skute nost, e mno iny A; B jsou isomorfn. Mno ina A se naz v kone n, pokud m stejnou mohutnost jako n kter z mno in n = f0; 1; : : : ; n 1g, kde n 2!.

8 8 P klady 2.2. (1) Dv kone n mno iny maj stejnou mohutnost, pr v kdy maj stejn po et prvk. (2) Mno iny Z a 2Z maj stejnou mohutnost nebo zobrazen f : Z! 2Z, f(x) = 2x je bijekce. Tedy vlastn podmno ina nekone n mno iny m e m t stejn po et prvk jako cel mno ina. (3) Mno iny!, N a Zmaj stejnou mohutnost. Sta uva ovat bijekce f :!! N a g :!! Zdan p edpisy f(x) = x + 1 g(2n) = n g(2n + 1) = (n + 1): (4) Uk eme, e mno ina Q racion ln ch sel m stejnou mohutnost jako!. Podobn jak pro Z sta uk zat, e mno ina Q + kladn ch racion ln ch sel m stejnou mohutnost jako!. Nap eme tato sla jako vykr cen zlomky do dk. Do prvn ho dku d me v echny vykr cen zlomky s itatelem 1, do druh ho dku v echny vykr cen zlomky s itatelem 2, atd. Vznikne tvercov tabulka, kter m spo etn mnoho dk a spo etn mnoho sloupc. Vyp eme-li jej prvky po diagon l ch (t.j., 1; 1 ; 2; 1 ; : : : ), se ad me kladn racion ln sla do posloupnosti. 2 3 Tedy Q + m stejnou mohutnost jako!. 2.3 Cantorova v ta. Mno iny X a P(X) nikdy nemaj stejnou mohutnost. D kaz. Bu f : X! P(X) zobrazen. Polo me Y = fx 2 Xnx =2 f(x)g. P edpokl dejme, e existuje z 2 X tak, e f(z) = Y. Pak plat co je spor. z 2 Y, z =2 Y; Mno ina, kter m stejnou mohutnost jako! se naz v spo etn. Nekone n mno ina, kter nen spo etn se naz v nespo etn. V p edchoz m p kladu jsme vid li, e N, Za Q jsou spo etn mno iny. V ta 2.4. Podmno ina spo etn mno iny je bu kone n nebo spo etn. D kaz. Bu X nekone n podmno ina!. Uva me zobrazen f :!! X takov, e f(n) je nejmen prvek v X ff(0); : : : ; f(n 1)g. Pon vad f je z ejm bijektivn zobrazen, mno ina X je spo etn. V ta 2.5. Bu f :!! X zobrazen. Pak f(!) je kone n nebo spo etn mno ina. D kaz. Denujme zobrazen g : f(!)!! tak, e g(x) je nejmen prvek v f 1 (x). Pak g je prost, tak e tvrzen plyne z 2.4. V ta 2.6. Mno ina R je nespo etn. D kaz. Denujme zobrazen f : 2!! R desetinn m rozvojem f(h) = 0; h(0)h(1)h(2) : : : kde h :!! 2. Pon vad f je prost zobrazen, z 2.3. a 2.4. plyne, e mno ina R nen spo etn. Ot zka, zda libovoln nekone n podmno ina v R je bu spo etn nebo mohutnosti stejn jako R, je nerozhodnuteln.

9 9 3. Relace Denice. (Bin rn ) relaci R (mezi mno inami A; B) denujeme jako podmno inu R A B. Obecn, m eme denovat n- rn relaci jako podmno inu R A 1 A n pro n = 1; 2;. Nap klad un rn relace je podmno ina R A. Zobrazen f : A! B je odpov d jako relaci R f A B s vlastnost, e pro libovoln a 2 A existuje pr v jedno b 2 B tak, e (a; b) 2 R f. T m je pod na slibovan "mno inov " denice pojmu zobrazen. P slu n relace R f je vlastn graf zobrazen f. adu pojm o zobrazen ch, m eme zobecnit na relace (relace je vlastn ste n, v cehodnotov zobrazen ). Nap. deni n obor relace R A B je a obor hodnot je fa 2 An existuje b 2 B tak, e (a; b) 2 Rg fb 2 Bn existuje a 2 A tak, e (a; b) 2 Rg: Skl d n relac R A B a S B C se denuje p edpisem S R = f(a; c)n existuje b 2 B tak, e (a; b) 2 R; (b; c) 2 Sg Plat S R A C: D le (pro T C D) T (S R) = (T S) R id B R = R = R id A : Inverzn relace R 1 k relaci R A B se denuje jako R 1 = f(b; a)n(a; b) 2 Rg: Plat R 1 B A. Z ejm R f 1 = R 1 f : Denice. Pokud R A A, pak k me, e R je relace na mno in A. Relace R na mno in A se naz v : (1) reexivn, pokud id A R (t.j., pokud pro libovoln a 2 A plat (a; a) 2 R) (2) symetrick, pokud R 1 = R (t.j., pokud (a; b) 2 R implikuje (b; a) 2 R) (3) tranzitivn, pokud R R R (t.j., pokud (a; b) 2 R a (b; c) 2 R, pak (a; c) 2 R. Relace R na mno in A se naz v relace ekvivalence, pokud je sou asn reexivn, symetrick i tranzitivn. Bu f : A! B zobrazen. Pak relace J f = f(a 1 ; a 2 )nf(a 1 ) = f(a 2 )g je relace ekvivalence na mno in A. Naz v se j dro zobrazen f. Uk eme, e libovoln relace ekvivalence je j drem n jak ho zobrazen. Bu R relace ekvivalence na mno in A. Pro a 2 A polo me R a = fb 2 An(a; b) 2 Rg: R a se naz v t da relace ekvivalence R ur en prvkem a.

10 10 Lemma 3.1. Bu R relace ekvivalence na mno in A a a; b 2 A. Pak plat (1) a 2 R a (2) R a = R b, (a; b) 2 R (3) R a \ R b 6= ;, R a = R b. D kaz. (1) ihned plyne z reexivity R. (2) Nech R a = R b. Pon vad a 2 R a = R b, plat (b; a) 2 R, t.j., (dle symetrie) (a; b) 2 R. Naopak, nech (a; b) 2 R. Pro libovoln c 2 R b plat (b; c) 2 R, t.j. (a; c) 2 R (podle tranzitivity), tak e c 2 R a. Dok zali jsme, e R b R a. Opa n inkluze plyne ze symetrie R. (3) Nech R a \ R b 6= ;. Pak existuje c 2 R a \ R b, tak e plat (a; c); (b; c) 2 R, t.j., (a; c); (c; b) 2 R a tedy (a; b) 2 R. Podle (2) R a = R b. Mno ina AnR = fr a na 2 Ag se naz v faktorov mno ina relace ekvivalence R na mno in A. Zobrazen dan p edpisem p R : A! AnR p R (a) = R a se naz v projekce (p slu n k relaci ekvivalence R na A). V ta 3.2. Pro libovolnou relaci ekvivalence R na mno in A plat R = J pr : (T.j., relace ekvivalence je v dy j drem sv projekce.) D kaz. Plat p R (a) = p R (b), R a = R b, (a; b) 2 R: V ta 3.3. Bu f : A! B zobrazen. Pak AnJ f = f(a): D kaz. Denujme zobrazen g : AnJ f! f(a) vztahem (1) g((j f ) a ) = f(a): Pon vad g je bijekce. (J f ) a1 = (J f ) a2, (a 1 ; a 2 ) 2 J f, f(a 1 ) = f(a 2 ) Pozn mka 3.4. P edpis (1) z p edchoz ho d kazu denuje prost zobrazen g : AnJ f! B. Plat f = p Jf g, tak e libovoln zobrazen f lze rozlo it na slo en zobrazen na p Jf n sledovan ho prost m zobrazen m g. R zn zobrazen mohou m t stejn j dro. Nap., zobrazen f je prost, pr v kdy J f = id A.

11 11 Denice. Rozklad R mno iny A je mno ina R P(A) nepr zdn ch podmno in mno iny A spl uj c (1) S R = A (2) X 1 \ X 2 = ; pro libovoln X 1 ; X 2 2 R; X 1 6= X 2. Pro libovolnou relaci ekvivalence R na mno in A je AnR rozklad mno iny A. Uk eme, e rozklady p esn odpov daj relac m ekvivalence. V ta 3.4. Bu R rozklad mno iny A. Polo me R R = f(a; b)n existuje X 2 R tak, e a; b 2 Xg: Pak R R je relace ekvivalence na A a plat. R = AnR R D kaz. Uva ujme zobrazen r : A! R takov, e a 2 r(a): Z ejm R R = J r, tak e R R je relace ekvivalence. Vztah R = AnR R je z ejm. Pr v popsan korespondence mezi rozklady a relacemi ekvivalence na mno in A je vz jemn jednozna n : R = AnR R a R = R (AnR) : Vid li jsme, e nez porn cel sla lze sestrojit pomoc mno in, v etn (Peanovy) aritmetiky. Uka eme, e tot plat i pro cel a racion ln sla (v p t kapitole to provedeme i pro re ln sla). Konstrukce cel ch sel: Denujme na mno in!! relaci vztahem (a; b) (c; d), a + d = c + b: Jedn se o relaci ekvivalence; reexivita a symetrie jsou z ejm, tranzitivita se ov n sledovn : z (a; b) (c; d) (e; f) plyne a + d = c + b; c + f = e + d, t.j., postupn a + d + c + f = c + b + e + f, a + f = b + e a (a; b) (e; f). Polo me Z=!!n : T du ekvivalence ur enou prvkem (a; b) budeme zna it symbolem (a; b) (tato t da hraje roli rozd lu a b). D le polo me (a; b) + (c; d) = (a + c; b + d) (a; b) (c; d) = (ac + bd; ad + bc) P itom plat (a; b) = (b; a):

12 12 Je t eba ov it, e v e uveden denice nez vis na volb reprezentant. Uk eme to pro s t n (pro n soben to je analogick ). Znamen to dok zat, e (a; b) (a 0 ; b 0 ); (c; d) (c 0 d 0 ) ) (a + c; b + d) (a 0 + c 0 ; b 0 + d 0 ): Skute n, a + b 0 = a 0 + b; c + d 0 = c 0 + d implikuje a + c + b 0 + d 0 = a 0 + c 0 + b + d. P irozen mu slu n odpov d cel slo (n; 0). Zejm na 0 = (0; 0). Konstrukce racion ln ch sel: Denujme na mno in Z Z (zde Z ozna uje mno inu nenulov ch cel ch sel) relaci vztahem (a; b) (c; d), ad = cb: Podobn, jak v e se ov, e se jedn o relaci ekvivalence. Polo me Q = (Z Z )n : T du ekvivalence prvku (a; b) op t zna me symbolem (a; b) (tato t da nyn hraje roli zlomku a b ). Polo me (a; b) + (c; d) = (ad + bc; bd) (a; b) (c; d) = (ac; bd): Op t mus me ov it nez vislost na volb reprezentant. Cel mu slu a odpov d racion ln slo (a; 1). Zejm na 1 = (1; 1). Pro a; b 6= 0 plat (a; b) 1 = (b; a) 4. Uspo dan mno iny Relace R na mno in A se naz v antisymetrick, jestli e R \ R 1 id A t.j., pokud pro libovoln prvky a; b 2 A plat (a; b) 2 R; (b; a) 2 R ) a = b: Denice. Relace R na mno in A, kter je reexivn, antisymetrick a tranzitivn se naz v uspo d n. ekneme, e (A; ) je uspo dan mno ina, jestli e je relace uspo d n na A. Uspo dan mno ina (A; ) se naz v line rn uspo dan (nebo tak et zec), jestli e pro libovoln a; b 2 A plat bu a b nebo b a. V uspo dan mno in (A; ) symbolem a < b rozum me a b, a 6= b.

13 13 P klady. (1) N;Z;Q;R jsou line rn uspo dan mno iny (vzhledem k uspo d n podle velikosti). (2) Pro libovolnou mno inu A je = uspo d n na A. Vznikl uspo dan mno ina se naz v proti et zec (samoz ejm se nejedn o line rn uspo d n, m -li A aspo dva prvky). (3) asto m eme uspo danou mno inu (A; ) zn zornit gracky. Prvky mno iny A nakresl me jako body a se kou spoj me sousedn prvky. T m rozum me prvky a; b 2 A takov, e a b, p i em neexistuje c 2 A takov, e a < c < b. P eme a b. Body a; b 2 A takov, e a b p itom kresl me tak, e a je n e ne b. Tyto obr zky se naz vaj Hasseovy diagramy. (4) Pro libovolnou mno inu X je (P(X); ) uspo dan mno ina, kter nen line rn uspo dan (pokud A m aspo dva prvky). V dal m budeme uspo danou mno inu v t inou stru n ozna ovat pouze symbolem A. Prvky a; b 2 A se naz vaj nesrovnateln, pokud neplat ani a < b ani b < a. Zna me je a k b. Nejmen prvek uspo dan mno iny A je prvek a takov, e pro libovoln x 2 A plat a x. Minim ln prvek a je denov n t m, e neexistuje prvek x 2 A tak, e x < a. Nejmen prvek je, pokud existuje, jedin a je z rove minim ln. Minim ln ch prvk m e b t v c a nemus b t nejmen (nap. v proti et zci). Analogicky denujeme nejv t prvek a maxim ln prvek. Je-li (A; ) uspo dan mno ina, pak (A; ) je rovn uspo dan mno ina; naz v se du ln uspo dan. Ozna ujeme-ji A op. Nejv t (maxim ln ) prvek uspo dan mno iny A je vlastn nejmen (minim ln ) prvek du ln uspo dan mno iny A op. Takov pojmy naz v me du ln. Podobn k libovoln mu tvrzen o uspo dan ch mno in ch existuje du ln tvrzen (a plat -li v choz tvrzen pro libovolnou uspo danou mno inu, pak du ln tvrzen plat rovn pro libovolnou uspo danou mno inu). Nap., uspo dan mno ina obsahuje nejv e jeden nejv t prvek. Relace, kter je reexivn a tranzitivn se naz v p euspo d n. P eduspo dan mno ina je dvojice (A; v), kde v je p eduspo d n na mno in A. P klady p eduspo dan ch mno in, kter nejsou uspo dan, jsou (1) (Z; j), kde j je relace d litelnosti. (2)(F orm P ; v), kde F orm P ozna uje mno inu v ech formul v rokov logiky jazyka P a A v B, j= A! B: V ta 4.1. Bu (A; v) p eduspo dan mno ina. Pro a; b 2 A klademe a b, a v b a z rove b v a: Pak je relace ekvivalence na A. Polo me-li pro a; b 2 An pak (An ; ) je uspo dan mno ina. a b, a v b; D kaz. Snadno se ov, e je relace ekvivalence na A. Denice relace na faktorov mno in je korektn (t.j., nez vis na volb reprezentant ) nebo a 1 a 2 ; b 1 b 2 ; a 1 v b 1, a 2 v b 2 :

14 14 Reexivita a tranzitivita relace okam it plyne z reexivity a tranzitivity v choz relace v. Zb v ov it, e je antisymetrick. Av ak a b; b a, a v b; b v a, a b, a = b: Aplikujeme-li V tu 4.1. na p eduspo danou mno inu (Z; j), plat a b, a = b nebo a = b: Tedy indukovan uspo dan mno ina je vlastn tot jako (Z + ; j). p eduspo dan mno iny (F orm P ; v) plat V p pad A B, ` A $ B. Denice. Bu te A; B uspo dan mno iny a f : A! B zobrazen. ekneme, e f je isotonn, pokud plat a 1 a 2 ) f(a 1 ) f(a 2 ): Jsou-li A; B uspo dan mno iny a f : A! B bijektivn zobrazen takov, e f i f 1 jsou isotonn, pak k me, e f je isomorsmus. Uspo dan mno iny A; B se v tom p pad naz vaj isomorfn a zna me A = B: Denice. Bu A uspo dan mno ina a X A. ekneme, e prvek a 2 A je horn z vora podmno iny X, jestli e plat x a pro libovoln x 2 X. ekneme, e a je supremum podmno iny X, jestli e je horn z vorou X a pro libovolnou horn z voru b mno iny X plat a b. Tedy supremum X je nejmen horn z vora X. Ozna ujeme ho supx. Du ln se denuje doln z vora podmno iny X a inmum podmno iny X (t.j., nejv t doln z vora X). Zna me jej infx. Uv domme si, e sup; je nejmen prvek uspo dan mno iny A (pokud existuje) a inf; je nejv t prvek A. V uspo dan mno in (P(A); ) plat supx = [ X infx = \ X : V ta 4.2. Bu A uspo dan mno ina, v n libovoln podmno ina m supremum. Pak libovoln podmno ina v A m inmum. D kaz. Nech X A. Bu X mno ina doln ch z vor X v A. Uk eme, e plat infx = supx : Z ejm plat, e infx, jestli e existuje, je supx. Je t eba uk zat, e supx je infx. K tomu sta uk zat, e supx 2 X. Av ak pro libovoln x 2 X a y 2 X plat y x, tak e supx x. Tedy supx 2 X.

15 15 Denice. Uspo dan mno ina, jej libovoln podmno ina m supremum i inmum se naz v pln svaz. Du ln v ta k V t 2. k, e pokud libovoln podmno ina uspo dan mno iny A m inmum, pak A je pln svaz. Dopl me, e uspo dan mno ina A se naz v svaz, pokud libovoln jej nepr zdn kone n podmno ina m supremum i inmum (co je tot jako po adavek, e libovoln dvouprvkov podmno ina m supremum a inmum). V ta 4.3. (Tarski) Bu A pln svaz a f : A! A isotonn zobrazen. Pak f m pevn bod, t.j., existuje a 2 A s vlastnost f(a) = a. D kaz. Polo me M = fxnx f(x)g: Pro libovoln prvek x 2 M plat f(x) 2 M. Skute n, z x 2 M plyne x f(x), tedy f(x) f(f(x)) a proto i f(x) 2 M. Polo me a = supm. Tedy pro libovoln x 2 M plat x f(x), tedy f(x) f(a), tak e x f(x) f(a). Tedy f(a) je horn z vora podmno iny M. Pon vad a je supremum M, m me a f(a). Tedy a 2 M a ji jsme ov ili, e to znamen f(a) 2 M. Tedy f(a) a, jeliko a je supremum M. Dok zali jsme, e plat f(a) = a. Tedy a je hledan pevn bod. Pevn bod sestrojen v p ede l m d kazu je z ejm nejv t m pevn m bodem zobrazen f. Du ln, inffxnf(x) xg je nejmen m pevn m bodem f. Uk eme, e za zes len ch p edpoklad lze pevn bod z skat "konstruktivn ". ekneme, e zobrazen f : A! B pln ch svaz zachov v suprema, jestli e pro libovolnou podmno inu X 2 A plat Takov zobrazen je v dy isotonn : f(supx) = supf(x): a b ) b = supfa; bg ) f(b) = supff(a); f(b)g ) f(a) f(b): Poznamenejme, e pro libovoln izotonn zobrazen f : A! B plat supf(x) f(supx): V ta 4.4. Bu A pln svaz a f : A! A zobrazen, kter zachov v suprema. Pak f m pevn bod. D kaz. Bu a 0 nejmen prvek v A, jen existuje nebo A je pln svaz. Pro libovoln n = 0; 1; 2; : : : polo me a n+1 = f(a n ). Pak pro a = supfa n nn = 1; 2; : : : g plat f(a) = f(supfa n nn 2!g) = supff(a n )nn 2!g = supfa n+1 nn 2!g = a: Tedy a je pevn bod f.

16 16 Pozn mka 4.5. Pr v sestrojen pevn bod je z ejm nejmen m pevn m bodem f. Ve V t 4.4. by sta ilo p edpokl dat, e f zachov v suprema et zc. V znam tohoto obecn j ho tvrzen je vid t z n sleduj c ho p kladu. P klad 4.6. Bu X mno ina a P(X X) mno ina v ech podmno in mno iny X X (t.j., relac na mno in X) uspo dan inkluz. Bu R 2 P(X X) relace na X a A podmno ina uspo dan mno iny P(X X) tvo en v emi relacemi obsahuj c mi R A = fs 2 P(X X)nR Sg: Denujme zobrazen f : A! A p edpisem f(s) = S [ S S: Snadno se ov, e f zachov v suprema et zc. Nejmen pevn bod zobrazen f (sestrojen v d kaze v ty 4.4) je nejmen tranzitivn relace na mno in X obsahuj c relaci R. Naz v se tranzitivn obal relace R. Poznamenejme, e f nezachov v v echna suprema. Bu A uspo dan mno ina, a; b 2 A. Budeme W ozna ovat a _ V b = supfa; bg a a ^ b = inffa; bg. asto tak budeme zna it X = supx a X = infx. P ipome me, e uspo dan mno ina A se naz v svaz, pokud pro libovoln prvky a; b 2 A existuj a _ b i a ^ b. Lemma 4.7. Bu A svaz, a; b; c 2 A. Pak plat. a _ (b ^ c) (a _ b) ^ (a _ c) D kaz. Nech a; b; c 2 A. Plat a (a _ b), a (a _ c), b ^ c b (a _ b) a b ^ c c (a _ c). Tedy plat a _ (b ^ c) (a _ b) a a _ (b ^ c) (a _ c). Odsud plyne tvrzen lemmatu. Rovnost v 4.5 obecn neplat. Svazy, v nich tato rovnost plat, se naz vaj distributivn. Podobn jak v 4.5 se uk e, e _ pro libovolnou mno inu I plat a ^ (a ^ b i ): b i _ Dokonce, pro libovoln mno iny I, J i, i 2 I plat (1) ^ a ij j2j i ^ f2f a if (i) S kde F je mno ina v ech zobrazen f : I! J i takov ch, e f(i) 2 J i pro libovoln i 2 I. D kaz je n sleduj c : pro libovoln f 2 F a libovoln i 2 I plat ^ _ a if (i) a if (i) a ij : j2j i

17 17 Tedy pro libovoln f 2 F plat ^ a if (i) ^ _ j2j i a ij : Odsud v ak ji plyne dokazovan nerovnost (1). Konstrukce re ln ch sel: V teorii mno in ji um me sestrojit racion ln sla. Nyn uk eme, jak lze sestrojit sla re ln. P edev m v ak mus me denovat uspo d n na mno in ch Za Q. V Zpolo me (a; b) (c; d), a + d c + b (odpov d to tomu, e a b c d). V Q (a; b) (c; d); b; d > 0, ad cb (odpov d to tomu, e ab 1 cd 1 ). ez v mno in Q racion ln ch sel denujeme jako dvojici (X; Y ) nepr zdn ch podmno in mno iny Q spl uj c (1) X \ Y = ; (2) X [ Y = Q (3) x 2 X; y 2 Y ) x < y: ezy v Q jsou jednoho z n sleduj c ch t typ : (a) mezera: X neobsahuje nejv t prvek a Y neobsahuje nejmen prvek (b) dedekindovsk ez 1.druhu: X obsahuje nejv t prvek a Y neobsahuje nejmen prvek (b) dedekindovsk ez 2.druhu: X neobsahuje nejv t prvek a Y obsahuje nejmen prvek. ( tvrt mo nost, e X obsahuje nejv t prvek a Y obsahuje nejmen prvek (takov ez by se naz val skok) nem e v Q nastat.) Nyn R denujeme jako mno inu v ech ez, kter jsou bu mezery nebo dedekindovsk ezy 1.druhu. (P itom mezery odpov daj iracion ln m sl m a dedekindovsk ezy 1.druhu sl m racion ln m.) Uspo d n a aritmetick operace denujeme pro re ln sla n sledovn : (X; Y ) (X 0 ; Y 0 ), X X 0 (X; Y ) + (X 0 ; Y 0 ) = ( ; Y + Y 0 ) (X; Y ) (X 0 ; Y 0 ) = ( ; Y Y 0 ): Zde X + Y = fx + ynx 2 X; y 2 Y g X Y = fx ynx 2 X; y 2 Y g: Plat sup(x i ; Y i ) = ([ Xi ; \ Y i )

18 18 5. Kombinatorika Bu S kone n mno ina. Variace denujeme jako uspo dan v b ry prvk mno iny S a kombinace jako neuspo dan v b ry. M -li mno ina S n prvk, mluv me o variac ch (kombinac ch) n prvk. M -li p slu n v b r k prvk, mluv me o variac ch (kombinac ch) k-t t dy. Variace i kombinace mohou b t jak bez opakov n, tak s opakov n m. Variace k-t t dy z n prvk jsou pr v zobrazen k-prvkov mno iny X do n-prvkov mno iny S. Z 4.1. (3) ihned plyne, e po et variac s opakov n m k-t t dy z n prvk je n k. Variace (t m se rozum bez opakov n ) k-t t dy z n prvk jsou pr v prost zobrazen X! S. V ta 5.1. Po et variac k-t t dy z n prvk je roven n! (n k)! (kde k n). D kaz. Indukc vzhledem ke k. Variace s 1 : : : s k 1 d v pr v n k + 1 variac s 1 : : : s k 1 s k. Tedy po et variac k-t t dy je n(n 1) : : : (n k + 1). Bijektivn zobrazen S! S jsou pr v permutace mno iny S. Z 5.1. ihned plyne, e po et permutac n-prvkov mno iny je n n. Kombinace k-t t dy z n prvk jsou pr v k-prvkov podmno iny mno iny o n prvc ch. V ta 5.2. Pro k n je po et kombinac k-t t dy z n prvk roven n! (n k)!k! D kaz. Ka d kombinace k-t t dy ur uje k! variac. Tvrzen tedy plyne z 5.1. sla n n! = k (n k)!k! se naz vaj kombina n. Maj n sleduj c vlastnosti; lze je odvodit p mo z denice nebo pomoc binomick ho rozvoje. n (1) k = n n k np (2) = 2 n (3) (4) k=0 n k np np k=0 k=1 ( 1) k n k = 0 ( 1) k n k k = 0 = n k + n n+1 (9) k k 1 (vztah (4) odvod me derivov n m binomick ho rozvoje (1+x) n podle x a dosazen m x = 1). V ta 5.3. Po et kombinac k-t t dy z n prvk s opakov n m je roven n + k 1 k D kaz. Bu s 1 : : : s k kombinace s opakov n m k-t t dy vybran z mno iny S o n prvc ch. Dopl me ji v emi prvky mno iny S. Tedy pro S = fa; b; c; d:eg a kombinaci

19 19 s opakov n m bbd dostaneme abbbcdde. Navz jem r zn prvky odd l me svislou arou. V na em p klad dostaneme ajbbbjcjddje. V obecn m p pad dostaneme n + k prvk rozd len ch n 1 arami. Pon vad po et mo n ch m st pro svisl n+k 1 ry je n + k 1, po et mo nost je n 1 = n+k 1 k. To je v ak pr v po et kombinac s opakov n m. M jme nyn n-prvkovou mno inu S a vlastnosti P 1 ; : : : ; P k. Bu n i po et prvk mno iny S s vlastnost P i a obecn ji n i1 :::i r po et prvk mno iny S s vlastnostmi P 1 ; : : : ; P r. Nech n(0) ozna uje po et prvk mno iny S, kter nemaj dnou z vlastnost P i. V ta 5.4. (princip inkluze a exkluze). n(0) = n X i n i + X i 1 <i 2 n i1 i 2 + ( 1) s X i 1 <<i s n i1 :::i s + ( 1) k n 1:::k D kaz. Prvek, kter nem dnou z uva ovan ch vlastnost se po t jednou ve s tanci n a v dal ch s tanc ch se neobjev. Prvek, kter P m pr v vlastnost P j se objev jednou ve s tanci n a jednou ve druh m s tanci n i, tak e jeho p sp vek i k prav stran je 0. Sta, kdy uk eme, e tot nastane pro pro libovoln prvek maj c pr v vlastnosti P j1 ; : : : ; P jr. Takov prvek p isp v jedni kou do ka d ho sou tu X r s i 1 <<i s n i1 :::i s pro s r a pro libovoln v b r i 1 < < i s z j 1 ; : : : ; j r. Takov ch v b r je pr v. Tedy celkov p sp vek na eho prvku k sou tu vpravo v principu inkluze a exkluze je 1 r + 1 r r r + ( 1) s + + ( 1) r = (1 1) r = 0 2 s r Jako aplikaci principu inkluze a exkluze si uvedeme n sleduj c tvrzen. V ta 5.5. Pro k m je po et v ech zobrazen m-prvkov mno iny na k-prvkovou mno inu roven kx k ( 1) i (k i) m i i=0 D kaz. Za v choz mno inu S vezmeme mno inu v ech zobrazen m-prvkov mno iny do k-prvkov mno iny a 1 ; : : : ; a k. Za vlastnost P i vezmeme, e prvek a i nepat do obrazu dan ho zobrazen f 2 S. Pak n(0) je rovno hledan mu po tu surjektivn ch zobrazen. D le n = k m a n i1 :::i s je rovno po tu zobrazen m-prvkov mno iny do mno iny fa i ni 6= i 1 ; : : : ; i s g, t.j., (k s) m. Tedy X k n i1 :::i s = (k s) m s i 1 <<i s Odsud plyne tvrzen v ty. Eulerova funkce ' p i azuje p irozen mu slu n po et v ech sel 0 < k n nesoud ln ch s n.

20 20 V ta 5.6. Plat '(n) = n Y p (1 1 p ) kde p prob h v echna prvo sla d l c n. D kaz. Polo me S = f1; : : : ; ng. P p bude znamenat, e p d l i. Pak n(0) = '(n) a z ejm n n p1 :::p s = p 1 : : : p s Tedy n(1 X i '(n) = n X i 1 p i + X i 1 <i 2 n p i + 1 p i1 p i2 X i 1 <i 2 n p i1 p i2 = : : : ) = n Y p 6. Z klady teorie graf (1 1 p ) Relace R na mno in A se naz v ireexivn, jestli e plat (a; a) =2 R pro libovoln prvek a 2 A. Denice. Graf (G; R) denujeme jako kone nou mno inu G spolu s ireexivn symetrickou relac R na G. Grafy v na em smyslu jsou pr v kone n neorientovan grafy bez smy ek. Jsou rovn grafy nekone n, orientovan (relace R nen nutn symetrick ) a grafy se smy kami (p ipou t se i relace, kter nejsou ireexivn ). N mi denovan graf je pr v mno ina G spolu s mno inou E dvouprvkov ch podmno in mno iny G: fa; bg 2 E, (a; b) 2 R: Prvky mno iny G se naz vaj vrcholy grafu a prvky mno iny E hrany grafu. Stupe s(a) vrcholu a grafu (G; R) denujeme jako po et vrchol b takov ch, e (a; b) 2 R. V ta 6.1. P a2g D kaz. Je z ejm. s(a) = jrj: D sledek 6.2. V libovoln m grafu je po et uzl lich ho stupn v dy sud. D kaz. Plyne z 6.1 nebo jrj = 2jEj je sud slo. Cesta v grafu se denuje jako posloupnost a 1 ; a 2 ; : : : ; a n navz jem r zn ch vrchol takov, e (a i ; a i+1 ) 2 R pro i = 1; : : : ; n 1. k me, e tato cesta spojuje vrcholy a 1 a a n. Pokud nep edpokl d me, e vrcholy a i, i = 1; : : : ; n 1 jsou navz jem r zn, k me, e m me denov n sled v grafu. Graf se naz v souvisl, jestli e libovoln dva navz jem r zn vrcholy lze v n m spojit cestou. Kru nice v grafu (G; R) je posloupnost a 1 ; a 2 ; : : : ; a n ; a n+1 = a 1 vrchol takov, e a 1 ; a 2 ; : : : ; a n jsou navz jem r zn, n > 2 a (a i ; a i+1 ) 2 R pro i = 1; : : : ; n. Strom je souvisl graf bez kru nic.

21 21 V ta 6.3. Libovoln strom (G; R) maj c aspo dva vrcholy obsahuje aspo dva vrcholy stupn 1. D kaz. Bu a 1 ; : : : ; a n nejdel cesta v (G; R). opa n m p pad by cesta la prodlou it. Pak s(a 1 ) = s(a n ) = 1 nebo v V ta 6.4. Souvisl graf (G; R) je strom, pr v kdy jgj = jej + 1. D kaz. Bu (G; R) strom. Rovnost jgj = jej + 1 dok eme indukc. Pro jgj = 1 tvrzen plat. P edpokl dejme, e plat pro ka d graf o n vrcholech a uva ujme graf (G; R) o n + 1 vrcholech. Podle 6.3 G obsahuje vrchol v stupn 1. Pak graf (G 0 = G fvg; R 0 = R \ (G 0 G 0 )) je strom. Podle induk n ho p edpokladu plat jg 0 j = je 0 j + 1. Av ak jgj = jg 0 j + 1 a jej = je 0 j + 1, tak e tvrzen plat i pro graf (G; R). Opa nou implikaci rovn dok eme indukc. Tvrzen plat pro jgj = 1 a p edpokl dejme, e plat pro v echny grafy o n vrcholech. Bu (G; R) graf o n+1 vrcholech takov, e jgj = jej + 1. Pokud G obsahuje vrchol stupn 1, jeho odebr n m op t dostaneme graf (G 0 ; R 0 ) spl uj c rovnost jg 0 j = je 0 j + 1. Podle induk n ho p edpokladu je tento graf strom, tak e stromem je i v choz graf (G; R). Pokud G neobsahuje vrchol stupn 1, pak plat co nen mo n. 2jEj = jrj = X a2g s(a) 2jGj = 2jEj + 2; Kostra grafu (G; R) je strom (G; R 0 ) takov, e R 0 R. V ta 6.5. Libovoln souvisl graf obsahuje kostru. D kaz. Ud me algoritmus nalezen kostry v souvisl m grafu (G; E) (pro jeho zad n je v hodn j popsat graf pomoc vrchol a hran). Postupn vol me hrany e 1 ; : : : ; e n tak, e vznikl graf neobsahuje kru nici. Postup se zastav, pokud hranu e n+1 ji nelze p idat. Uk eme, e vznikl graf (G; E 1 ), E 1 = fe 1 ; : : : ; e n g je strom, t.j., je hledanou kostrou. Podle konstrukce, tento graf neobsahuje kru nici. Mus me uk zat, e je souvisl. P edpokl dejme, e tomu tak nen, t.j., existuj vrcholy a; b 2 G, kter nelze spojit cestou v (G; E 1 ). Existuje cesta a = a 1 ; : : : ; a k = b v (G; E). Bu i nejmen slo i = 1; : : : ; k takov, e a; a i lze spojit cestou v (G; E 1 ) (nebo i = 1) a a; a i+1 nelze spojit cestou v (G; E 1 ). Pak E 1 [ fa i ; a i+1 g neobsahuje kru nici, co nen mo n. Podgraf grafu (G; R) denujeme jako graf (G 0 ; R 0 ) takov, e G G 0 a R R 0. Pokud R 0 = R \ (G 0 G 0 ), pak podgraf (G 0 ; R 0 ) se naz v pln a zna me jej stru n G 0. Komponenta grafu (G; R) se denuje jako nejv t souvisl podgraf (G 0 ; R 0 ) grafu (G; R). Z ejm se mus jednat o pln podgraf. V ta 6.6. Dv r zn komponenty grafu (G; R) jsou disjunktn. D kaz. Tvrzen plyne ze skute nosti, pokud G 1 a G 2 jsou pln souvisl podgrafy grafu (G; R) a G 1 \ G 2 6= ;, pak podgraf G 1 [ G 2 je souvisl.

22 22 D sledek 6.7. Komponenty grafu (G; R) tvo rozklad mno iny vrchol G. D kaz. Plyne z 6.6. a skute nosti, e libovoln vrchol grafu pat do n jak komponenty. Vrchol v souvisl ho grafu (G; R) se naz v artikulace, pokud pln podgraf G fvg je nesouvisl. Hrana fu; vg souvisl ho grafu (G; R) se naz v most, pokud graf (G; E fu; vg) je nesouvisl. Graf se naz v eulerovsk pokud stupe libovoln ho jeho vrcholu je sud kladn slo. Sled a 1 ; : : : ; a n v grafu se naz v tah, pokud pro libovolnou hranu e grafu existuje nejv e jedna dvojice a i ; a i+1 takov, e fa i ; a i+1 g = e. Tah se naz v uzav en, pokud a 1 = a n. ekneme, e graf lze sestrojit jedn m tahem, pokud v n m existuje tah, v n m se libovoln hrana vyskytuje pr v jednou. V ta 6.8. Graf lze sestrojit jedn m tahem, pr v kdy je souvisl a eulerovsk. D kaz. Jestli e graf lze setrojit jedn m tahem, pak mus b t souvisl. Nav c nem e obsahovat vrchol lich ho stupn nebo tah do dan ho vrcholu vstupuje p esn tolikr t, kolikr t z n ho vystupuje. Tedy graf je eulerovsk. Naopak, bu (G; R) souvisl eulerovsk graf. Zvolme vrchol v 2 G. Pon vad graf je souvisl, existuje hrana fv; wg. Je-li tato hrana most, pak jej m odstran n m dostaneme nesouvisl graf (G; E fv; wg), jeho komponenta obsahuj c v obsahuje pr v jeden uzel lich ho stupn. To odporuje 6.2. Tedy fv; wg nen most, tak e vrcholy v a w jsou spojeny cestou v grafu (G; E fv; wg). Tedy vrchol v le na kru nici grafu (G; R). Sestrojen kru nice tvo uzav en tah za naj c a kon c ve vrcholu v. Bu T nejdel uzav en tah grafu (G; R) za naj c a kon c ve vrcholu v. Bu (G 0 ; E 0 ) podgraf grafu (G; R) slo en ze v ech hran grafu (G; R) nepat c ch do tahu T a v ech uzl, na nich le c ch. Z ejm (G 0 ; E 0 ) je eulerovsk graf. Pon vad graf (G; R) je souvisl, existuje vrchol u pat c do G 0 i do T. Pon vad jsme dok zali, e v eulerovsk m grafu le libovoln vrchol na kru nici, existuje kru nice grafu (G 0 ; E 0 ) obsahuj c vrchol u. P id n m t to kru nice k tahu T dost v me del tah, co nen mo n. Tedy G 0 = ;, m je d kaz ukon en. Graf se naz v rovinn, jestli e jej lze nakreslit v rovin tak, e hrany se neprot naj (pouze se dot kaj ve vrcholech).