1 1 Ide ly a faktorov okruhy Denice 1.1 Nech R =(R + :) je okruh, 6= I R nazveme ide lem, plat -li a b I =) a + b I a I r R =) ra ar I Ide l je zejm n

Transkript

1 i doc. Libor Pol k Algebra II. zpracoval Ale K enek 11. kv tna 1995 Obsah 1 Ide ly a faktorov okruhy 1 Roz en t les 3 Teorie svaz Dvoj denice : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 3. Morsmy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Nerovnosti : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Modul rn svazy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Booleovy svazy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 7 4 Univerz ln algebra Pojem -algebry, kongruence : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 4. Podalgebry : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Homomorsmy : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Sou iny : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : Termy a identity : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 16 5 Voln algebry 17

2 1 1 Ide ly a faktorov okruhy Denice 1.1 Nech R =(R + :) je okruh, 6= I R nazveme ide lem, plat -li a b I =) a + b I a I r R =) ra ar I Ide l je zejm na norm ln podgrupa (R +), nejmen a nejv t ide ly jsou tzv. nevlastn f0g a R. Pr nik libovoln ho nepr zdn ho syst mu ide l je op t ide l m eme hovo it o generov n. Um me utvo it faktorgrupu (R=I +) = fa + I j a Rg, s t n denujeme (a + I) +(b + I) = (a + b) +I. Podobn denujeme n soben (a + I)(b + I) = (ab) +I. Je nutn ov it korektnost nez vislost na volb reprezentanta. Lemma 1. R=I = (R=I + :) je okruh. Zobrazen : a 7! a + I je surjektivn homomorsmus R! R=I. Denice 1.3 R=I se naz v faktorov okruh okruhu R podle ide lu I. Zab vejme se d le strukturou R[x]=(f ), kder je t leso, f R[x] nekonstantn polynom. Denujeme R[x]=(f )=fg +(f ) j g R[x]g Klademe g +(f )=h +(f ), plat -li f j g ; h, tedy g h d vaj po d len polynomem f stejn zbytek. Ozna me n = deg f. Lzeps t R[x]=(f )=fg +(f ) j g R[x] deg g<ng kde u je ka d prvek zastoupen pr v jednou. Zobrazen a n;1 x n;1 + + a 1 x + a 0 + (f ) 7! (a 0 ::: a n;1 ) je z ejm bijekce R[x]=(f )! R n. Denujeme operace s t n a n soben (a 0 ::: a n;1 )+(b 0 ::: b n;1 )=(a 0 + b 0 ::: a n;1 + b n;1 ) (a 0 ::: a n;1 )(b 0 ::: b n;1 )=(c 0 ::: c n;1 ) kde c n;1 x n;1 + + c 1 x + c 0 je zbytek po d len polynomu (a n;1 x n;1 + + a 1 x + a 0 )(b n;1 x n;1 + + b 1 x + b 0 ) polynomem f. Zobrazen : a 7! a +(f ) je prost homomorsmus R! R[x]=(f ), budeme ztoto ovat R a (R). R lze potom pova ovat za podt leso okruhu R[x]=(f ). V ta 1.4 Polynom f m ko en x +(f ) v R[x]=(f ). D kaz: Polynom f R[x] ch peme jako polynom nad R[x]=(f ) skoecienty a 0 +(f ) ::: a n;1 +(f ). P m m dosazen m dost v me = f +(f )=0. V ta 1.5 R[x]=(f ) je t leso pr v tehdy, kdy f je ireducibiln. D kaz: Zprava doleva plyne z Bezoutovy rovnosti, zleva doprava vedeme nep mo, faktory f jsou d litel nuly.

3 . ROZ EN T LES Roz en t les Denice.1 Okruh R se naz v podt lesem t lesa T, je-li podokruhem a pro ka d 0 6= a R plat a ;1 R (inverzn prvek ch pan v T). Jinak k me, e T je roz en m R, p eme T=R. Denice. Nech T je roz en m R. Prvek a T se naz v algebraick prvek nad R, je-li ko enem nenulov ho polynomu nad R, vopa n m p pad transcedentn. V ta.3 Nech T je roz en m R, a T algebraick. Pak existuje jedin normovan ireducibiln polynom f R[x], ktar m a za ko en. D kaz: Existence. Nech f R[x] je nejmen ho stupn mezi normovan mi s ko enem a. Kdyby nebyl ireducibiln, dost v me spor s minimalitou stupn. Jednona nost. Nech g R[x], g(a) =0. D len m dost v me g = qf + r, degr<deg f. Zg(a) = f (a) = 0 a minimality stupn f plyne u r = 0. Uva me n jak jin f. Mus platit fjf podle p edchoz ho a z rove fjf. Odtud f = f, proto e oba jsou normovan. Pozn mka.4 Kone n t lesa 1. Pro prvo slo p a n N existuje t leso o p n prvc ch.. Libovoln kone n t leso m p n prvk. 3. Libovoln dv kone n t lesa o stejn m po tu prvk jsou isomorfn. Denice.5 Pro t leso R p eme zkr cen R[x 1 ::: x n ]=(((R[x 1 ])[x ]) ). Polynom f R[x 1 ::: x n ] se naz v symetrick, nem n -li se p i libovoln permutaci prom nn ch. Uva me tzv. element rn symetrick polynomy 1 = x x n = x 1 x + + x 1 x n + x x x n;1 x n. k =. X 1i 1 <<i k n n = x 1 :::x n x i1 :::x ik V ta.6 Ka d symetrick polynom lze vyj d it pr v jedn m zp sobem jako polynom v element rn ch symetrick ch polynomech.

4 3 3 Teorie svaz 3.1 Dvoj denice Denice 3.1 Nech A =(A ) je uspo dan mno ina. A se naz v sup-polosvaz (spojov, horn ), existuje-li sup A fa bg pro libovoln a b A. Analogisky denujeme inf-polosvaz (pr sekov, doln ). A je svaz, existuje-li sou asn sup A fa bg i inf A fa bg. Svaz je pln, existuje-li sup X i inf X pro libovolnou X A. V ta 3. Je-li A uspo dan a pro v echny X A existuje inf X. Pak A je pln. D kaz: Vezmeme a = inf Y = inffy A j y x 8x Xg. Je to horn z vora X a ka d jin je prvkem Y, a je tedy sup X. Denice 3.3 Bin rn operace na mno in A se naz v idempotentn, plat -li a a = a pro ka d a A. Denice 3.4 S = (S :) se naz v algebraicky denovan polosvaz, je-li operace asociativn, komutativn a idempotentn. L = (L ^ _) je algebraicky denovan svaz, jsou-li (L ^) a (L _) algebraicky denovan polosvazy a plat tzv. absorb n z kony Operace ^ _ se b n naz vaj pr sek a spojen. a ^ (a _ b) =a a _ (a ^ b) =a Ozna me korespondenci mezi dvoj denic polosvazu V ta 3.5 A =(A ) 7! A s =(A :) ab := supfa bg S s =(S ) S =(S :) a b, ab = b 1. Pro sup-polosvaz A je A s algebraicky denovan polosvaz.. Pro algebraicky denovan polosvaz S je S s sup-polosvaz a sup S sfa bg = ab pro v echna a b S. 3. Pro sup-polosvaz A plat (A s ) s = A. 4. Pro algebraicky denovan polosvaz S plat (S s ) s = S. V ta 3.6 Nech A =(A ) je svaz. Denujeme A i =(A ^) A s =(A _) a ^ b := inffa bg a _ b := supfa bg Takto denovan ^ _ jsou v z ny absorb n mi z kony. Naopak nech L = (L ^ _) je algebraicky denovan svaz. Denujeme uspo d n a i b () a ^ b = a a s b () a _ b = b Uspo d n i s jsou stejn, tedy (L ) je svaz.

5 4 3. TEORIE SVAZ 3. Morsmy Denice 3.7 Nech A =(A ) B =(B ) jsou uspo dan mno iny. Zobrazen : A! B se na v isotonn, plat -li pro v echna a a 0 A a a 0 =) (a) (a 0 ). Isotonn zobrazen je vno en, pokud nav c plat (a) (a 0 ) =) a a 0. Kone n isomorsmus (uspo dan ch mno in) je surjektivn vno en. Denice 3.8 Nech A B jsou svazy, zobrazen : A! B se naz v _-homomorsmus (spojov ), pokud (a_ a 0 )=(a) _ (a 0 ). Analogicky denujeme ^-homomorsmus (pr sekov ). Zobrazen je homorsmus je-li sou asn _- i^-homomorsmus. Kone n isomorsmus (svaz ) je bijektivn homomorsmus. Lemma 3.9 Nech A B jsou svazy, : A! B zobrazen. Potom 1. je _-homomorsmus znamen, e je isotonn.. je isomorsmus uspo dan ch mno in pr v tehdy, kdy je isomorsmus svaz. V ta 3.10 Slab Pro libovolnou uspo danou mno inu A existuje pln svaz B =(B ) a vno en : A! B. D kaz: Denujme (a] :=fx A j x ag. Potom zobrazen : a 7! (a] je hledan vno en do svazu ( A ). Denice 3.11 Nech A =(A ) je uspo dan mno ina. Mno inu 6= J A naz v me ide l, plat -li 1. Jestli e a J x A x a, potom x J (analogie n soben ).. Pro v echna i I je a i J. Potom existuje supfa i j i Ig (analogie s t n ). V ta 3.1 Lep Pro libovolnou uspo danou mno inu A existuje pln svaz B = (B ) a vno en : A! B zachov vaj c v echna existuj c inma a suprema. D kaz: P edpokl dejme, e A m nejmen prvek (pokud ne, p id me takov ). Struktura J(A) = (J(A) ) je pln svaz v ech ide l v A. Zobrazen : a 7! (a] je hledan vno en A! J(A). Ide ly mohou reprezentovat re ln sla. P id me k racion ln m sl m nejmen prvek ;1, potom nevlastn ide ly jsou f;1g a Q [f;1g, vlastn jsou ffx Q [ f;1g j x ag ja Rg a ty odpov daj p esn re ln m sl m. V ta 3.13 O pevn m bodu Nech L = (L ) je pln svaz, : L! L isotonn zobrazen. Pak existuje a L takov, e (a) =a. D kaz: Uva ujme X = fx L j (x) xg a ozna me a =supx. Z vlastnost suprema a isotonie se uk e, e (a) je horn z vora X, tedy plat a (a). Odtud (a) ((a)), tedy (a) X a plat tak (a) a.

6 3.3 Nerovnosti Nerovnosti V ta 3.14 V libovoln m svazu L =(L ^ _) plat pro a b c L a ^ (b _ c) (a ^ b) _ (a ^ c) a _ (b ^ c) (a _ b) ^ (a _ c) a c =) a _ (b ^ c) (a _ b) ^ c distributivn nerovnosti modul rn nerovnost (a ^ b) _ (a ^ c) _ (b ^ c) (a _ b) ^ (a _ c) ^ (b _ c) medi ln nerovnost Denice 3.15 Svaz L =(L ^ _) se naz v modul rn, plat -li pro a b c La c =) a_(b^c) =(a_b)^c distributivn, plat -li a _ (b ^ c) =(a _ b) ^ (a _ c) Lemma 3.16 Ka d distributivn svaz je modul rn. 3.4 Modul rn svazy Lemma 3.17 Svaz je modul rn pr v tehdy, kdy plat a _ (b ^ (c _ a))=(a _ b) ^ (c _ a). V ta 3.18 Svaz L =(L ^ _) je modul rn pr v tehdy, kdy plat pro v echna a b c L a b a ^ c = b ^ c a _ c = b _ c =) a = b D kaz: Zleva doprava plyne z absorb n ch z kon a modul rn rovnosti, sta rozepsat a = a_(a^c). Obr cen vezmeme x y z L x z achceme pro n splnit modul rn rovnost. Do tvrzen v ty sta dosadit a = x _ (y ^ z), b =(x _ y) ^ z a c = y. Denice 3.19 Svaz L = (L ^L _ L ) naz v me podsvazem svazu K = (K ^K _ K ) je-li L K a pro ka d a b L plat a ^L b = a ^K b a _ L b = a _ K b Modul rn a distributivn svazy lze charakterizovat podle toho, jestli n kter ze svaz z obr zku 1 je jejich podsvazem. N 5 nen modul rn, M 5 modul rn je, ale nen distributivn. V ta 3.0 Svaz L =(L ^ _) je modul rn pr v tehdy, kdy neobsahuje podsvaz isomorfn s N 5. D kaz: Zleva doprva je tvrzen z ejm. Pokud L nen modul rn, mus podle p edchoz v ty existovat a b c L takov, e a < b a ^ c = b ^ c a _ c = b _ c. Tedy c mus b t s a b nesrovnateln, dost v me u N 5.

7 6 3. TEORIE SVAZ 1 1 a b c a b c 0 0 N 5 M 5 Obr zek 1: Zlobiv svazy Lemma 3.1 Svaz L = (L ^ _) je distributivn pr v tehdy, kdy pro ka d a b c L plat a ^ (b _ c) = (a ^ b) _ (a ^ c). V ta 3. Svaz L =(L ^ _) je distributivn pr v tehdy, kdy plat pro v echna a b c L a ^ c = b ^ c a _ c = b _ c =) a = b V ta 3.3 Svaz L =(L ^ _) je distributivn pr v tehdy, kdy neobsahuje podsvaz isomorfn s N 5 nebo M 5. Denice 3.4 Nech A = (A ) je uspo dan mno ina. Mno ina X A se naz v d di n, plat -li pro v echna x X a A a x =) a X Zna me HA mno inu v ech d di n ch podmno in mno iny A, podobn HA =(HA ). Denice 3.5 Nech L = (L ^ _) je svaz. Prvek a L se naz v spojov ireducibiln, plat -li pro v echna b c L a = b _ c =) a = b nebo a = c Ozna ujeme JL mno inu v ech spojov ireducibiln ch prvk svazu L s vyj mkou nejmen ho (pokud existuje) a J L =(JL ^ _). V ta 3.6 Nech L =(L ^ _) je kone n distributivn. Pak plat L = H(J L). D kaz: Hledan m isomorsmem je zobrazen : a 7! fx JL j x ag. Pom rn snadno se uk e, e je to bijekce azachov v operace ^ _.

8 3.5 Booleovy svazy 7 Denice 3.7 Okruhem mno in nad n jakou mno inou A je libovoln syst m jej ch podmno in uzav en na operace \ [. D sledek 3.8 Libovoln okruh mno in je isomorfn H(J (L ^ _)) pro vhodn kone n svaz (L ^ _). D kaz: Libovoln okruh mno in je distributivn svaz. 3.5 Booleovy svazy Denice 3.9 Svaz L = (L ^ _) se naz v omezen, pokud m nejmen a nejv t prvek. Standardn je zna me 0,1. D le nech a b L jsou prvky omezen ho svazu. k me, e b je komplement prvku a, plat -li a ^ b =0 a_ b =1. Prvek omezen ho svazu m e m t dn, jeden i v ce komplement (viz M 5 ). 1 je v dy komplement 0anaopak. Denice 3.30 Komplement rn svaz je omezen svaz, ve kter m m ka d prvek pr v jeden komplement. Boole v svaz je distributivn komplement rn svaz. V ta 3.31 Nech L =(L ^ _) je distributivn svaz. 1. Ka d a L m nejv e jeden komplement.. Nech a x b a x m komplement. Potom m x komplement i v intervalu [a b] = fy L j a y bg. D kaz: (1) plyne z vlastnost komplementu, absorb n ch z kon a distributivity. () nech y je komplement x ve svazu L. Ozna me z =(y _a)^b. Potom z je komplement x vintervalu [a b] uk eme x ^ z = a x _ z = b. Denice 3.3 Booleova algebra je estice B =(B ^ _ ),kde(b ^ _) je Boole v svaz a pro ka d a B plat Lemma 3.33 V libovoln Booleov algeb e plat a _ 0=a a _ a 0 =1 a ^ 1=1 a ^ a 0 =0 (a _ b) 0 = a 0 ^ b 0 (a ^ b) 0 = a 0 _ b 0

9 8 3. TEORIE SVAZ Denice 3.34 Pole mno in nad mno inou A je okruh mno in nad A uzav en na operaci rozd lu. V ta 3.35 Libovoln kone n Booleova algebra B je isomorfn ( A \ [ A { ) pro vhodnou kone nou A, p itom operaci komplementu denujeme X { = A n X. D kaz: Denujeme relaci pokr v n a ; b () 8a b c Aa c>b) a = c Prvky a ; 0 naz v me atomy. Snadno se uk e (v ta 3.31), e prvky JB jsou pr v atomy. Tedy J B je proti et zec, ka d jeho podmno ina je d di n. Sta vz t A = JB, potom A = H(J B) a tvrzen plyne z p edchoz ch v t. D sledek 3.36 Libovoln Booleova algebra je isomorfn vhodn mu poli mno in.

10 9 Struktura typ op. symboly svaz ( ) (^ _) grupa () () grupa s 1ainverz ( 0 1) ( 1 ;1 ) vekt. prost. nad R ( (1) rr ) (+ ( r ) rr ) 4 Univerz ln algebra 4.1 Pojem -algebry, kongruence Tabulka 1: Jazyky konkr tn ch struktur Denice 4.1 Syst m (n ) nez porn ch cel ch sel nazveme typem, mno inu ch peme jako mno inu index. S ka d m typem uva ujeme syst m opera n ch symbol (f ). Jazykem naz v me uspo- danou dvojici ; (n ) (f ) Algebra typu (-algebra) je potom uspo dan dvojice A = ; A (f A ) kde A je mno ina a pro ka d je f A n - rn operace na A, kde n- rn operace znamen zobrazen A n! A, v etn A 0 = f g d vaj c v b r prvku. Jazyky pro konkr tn algebraick struktury ukazuje tabulka 1. Operace r znamen n soben skal rem r R. Je-li t leso R nekone n, je nekone n i dan jazyk. Denice 4. Nech A =(A (f A ) ) je -algebra. Relace na mno in A se naz v kongruence -algebry A, plat -li pro ka d a 1 b 1 ::: a n b n A a 1 b 1 ::: a n b n =) f A (a 1 ::: a n ) f A (b 1 ::: b n ) Potom je mo n denovat faktorovou algebru algebry A podle kongruence ; A= := A= (f A= ) kde f A= ([a 1 ] ::: [a n ] ):= f A (a 1 ::: a n ) Korektnost takov denice je zaru ena po adavkem na kongruenci. V grup ch kongruence odpov daj norm ln m podgrup m, faktorizovat podle kongruence znamen tot, jako podle norm ln podgrupy. V okruz ch hraj stejnou roli ide ly. Zna me Con A mno inu v ech kongruenc algebry A a E(A) mno inu v ech ekvivalenc na mno in A. V ta 4.3 (Con A ) je pln podsvaz svazu (E(A) ).

11 10 4. UNIVERZ LN ALGEBRA D kaz: D A := f[a a] j a Ag je nejmen, T A A nejv t prvek (Con A ). Uva ujme libovoln syst m i Con A pro i I 6=. Z ejm ii Con A. D le plat sup Con A f i j i Ig supf i j i Ig S Ozna me pravou stranu. Sta uk zat, e je to kongruence. je tranzitivn obal ii i. Uva me libovoln a ozna me n := n. Vezm me libovoln a 1 ::: a n b 1 ::: b n A takov, e a 1 b 1 ::: a n b n. Chceme uk zat E(A) f A (a 1 ::: a n ) f A (b 1 ::: b n ) Z konstrukce plyne a 1 = c 1 1 i1 1 c 1 i1 c 1 3 i1 m 1 ;1 c 1 m1 = b 1 a = c 1 i 1 c i c 3 i m ;1 c m = b.. a n = c n 1 in 1 c n in c n 3 in m n;1 c m = b kde m 1 ::: m n N c A i I. Z prvn ho dku dost v me Z druh ho dku analogicky f A (a 1 ::: a n ) i1 1 f A (c 1 ::: a n ) =) f A (a 1 ::: a n ) f A (c 1 ::: a n ) =) f A (a 1 ::: a n ) f A (b 1 ::: a n ) f A (a 1 ::: a n ) f A (b 1 b ::: a n ) atd. Pozn mka 4.4 Uva ujme-li typ (1), dostaneme tzv. 1-un rn algebry A = (A f ), kde f : A! A. Ty leze pom rn p ehledn zn zornit diagramem (obr zek ). Pozn mka 4.5 V p pad svaz plat n sleduj c tvrzen : Nech L =(L ^ _) je svaz. Potom Con L pr v tehdy, kdy je to ekvivalence a pro v echna a b c L plat (a ^ c) (b ^ c) (1) (a _ c) (b _ c) () v c d e f x y a b u Obr zek : 1-un rn algebra

12 4. Podalgebry 11 D kaz: P mo z denice kongruence Con L pr v tehdy, kdy je to ekvivalence a pro v echna a b c d L plat (a ^ c) (b ^ d) ab cd =) (a _ c) (b _ d) Odsud dosazen m d := c plyne tvrzen. Naopak p edpokl dejme ab cd. Na z klad platnosti (1) a komutativity ^ je mo n ps t (a ^ c) (b ^ c) =(c ^ b) (d ^ b) =(b ^ d) D kaz pro _ se vede analogicky. Pozn mka 4.6 Podobn lze dok zat n sleduj c vlastnosti 4. Podalgebry ab =) (a ^ b) (a _ b) a b c a c =) ab Denice 4.7 Nech A = ; A (f A ) je -algebra. Algebru B = ; B (f B ) nazveme podalgebrou algebry A, jestli e B A a pro v echna b 1 ::: b n B plat f A (b 1 ::: b n )=f B (b 1 ::: b n ) P eme B A a f B = f A jb n (tj. f A na Bn dopadne stejn, jako f B, restrikce funkce) Lze ov em j t izdruh strany Denice 4.8 Mno ina B A se naz v nosi podalgebry algebry A, plat -li pro ka d b 1 ::: b n B P eme B A. f A (b 1 ::: b n ) B Je-li B A, potom z ejm B A. Naopak, je-li B A, potom ; B (f A jb n ) A V ta 4.9 Mno ina v ech podalgeber algebry A je vzhledem k pln svaz. D kaz je p mo ar. Pozn mka 4.10 Za neme-li uva ovat podalgebry, pln se projev form ln rozd l mezi nap. Booleovsk mi svazy a Booleovsk mi algebrami.

13 1 4. UNIVERZ LN ALGEBRA 4.3 Homomorsmy Denice 4.11 Zobrazen : A! B se naz v homomorsmus -algebry A = (A (f A ) ) do algebry B = (B (f B ) ) plat -li pro ka d a 1 ::: a n A ; ; f A (a 1 ::: a n ) = f B (a1 ) ::: (a n ) Implicitn p edpokl d me, e ob algebry jsou t ho typu. Homomorsmus zna me : A! B. Izomorsmem rozum me bijektivn homomorsmus, o dvou algebr ch ekneme, e jsou izomorfn, pokud mezi nimi existuje izomorsmus. Pozn mka 4.1 Pro libovolnou kongruenci Con A zav d me ozna en nat pro zobrazen A! A= takov, e a 7! [a]. Jedn se o surjektivn homomorsmus A na A=. Pozn mka 4.13 Pokud B A, zna me standardn : b 7! b vno en algebry B do A. Je to prost homomorsmus. Lemma 4.14 Relace ker := f(a a 0 ) A A j (a) =(a 0 )g je kongruence na algeb e A. D kaz: Z denice ker je z ejm, e se jedn o ekvivalenci. Uva me libovoln a pi me n = n. Vezm me libovoln a 1 ::: a n b 1 ::: b n tak, e a 1 b 1 ::: a n b n. Potom (a 1 ) = (b 1 ) ::: (a n )=(b n ). Proto e je homomorsmus, lze ps t ; ; f A (A 1 ::: a n ) = f B (a1 ) ::: (a n ) = ; ; (b1 ) ::: (b n ) = f A (b 1 ::: b n ) f B V ta 4.15 O homomorfismu Nech : A! B je homomorsmus. Ozna me : A ker! (A) takov, e [a] ker 7! (a). Potom (A) B (je to nosi podalgebry), je izomorsmus A=ker na (A) a plat = nat ker, viz diagram. Nav c, pokud je surjektivn, B je izomorfn s A=ker. nat ker A? y A=ker ;;;! B x?? ;;;! (A) D kaz: Z p edchoz ho d kazu je z ejm, e m smysl uva ovat ker je to kongruence. Doka me d le: Mno ina (A) je nosi podalgebry. Vezm me libovoln b 1 ::: b n (A). Potom existuj jejich vzory a 1 ::: a n A. Plat f B (b 1 ::: b n )=f B ; (a1 ) ::: (a n ) = ; f A (a 1 ::: a n ) (A)

14 4.4 Sou iny 13 Zobrazen je bijekce. Z ejm je surjektivn a pro libovoln a b A plat (a) =(b) =) [a] ker = [b] ker. Zobrazen je homomorsmus. Ozna me := ker. Pro libovoln a 1 ::: a n A pi me f A= ; [a1 ] ::: [a n ] = ; f A (a 1 ::: a n ) = f B ; (a1 ) ::: (a n ) ; ([a1 ] ) ::: ([a n ] ) = f (A) Zobrazen je slo en nat ker. Pro ka d a A ( nat ker )(a) =( )([a] ker )=((a)) = (a) Denice 4.16 Algebra B je homomorfn obraz algebry A, existuje-li surjektivn homomorsmus A! B. D sledek 4.17 Libovoln homomorfn obraz (A) je izomorfn s faktoralgebrou A=ker. 4.4 Sou iny Denice 4.18 Q Nech A i = (A i (f A i ) ) je -algebra pro i I (i nespo etnou). Na mno in A := ii A i denujeme pro n - rn operaci f A ; takto ; f A (a 1 i ) ii ::: (a n i ) ii := f A i (a1 i ::: a n i ) ii Algebru A = Q ii A i =(A (f A ) ) nazveme sou inem syst mu algeber A i. Pozn mka 4.19 Zobrazen i : A! A i takov, e (a j ) ji 7! a i je surjektivn homomorsmus A na A i p irozen i-t projekce. D kaz pro obecnou mno inu I vy aduje axiom v b ru. Denice 4.0 Q Nech (A i ) ii je syst m -algeber. Algebra B ii A i se naz v podp m sou in syst mu (A i ) ii, je-li pro ka d i I projekce i jb ( i z en na B) surjektivn. Viz obr zek 3 p klad na svazech. V ta 4.1 Nech B je podp m m sou inem syst mu (A i ) ii, I 6=. Pak T ii ker( ijb) = A (diagon ln relace na A). D kaz: Nech ((a j ) ji (b j ) ji ) T ii ker( ijb). Pro ka d i I plat ((a j ) ji (b j ) ji ) ker( i jb). Tedy i ((a j ) ji )= i ((b j ) ji ), tj. a i = b i.

15 14 4. UNIVERZ LN ALGEBRA A 1 a A A 1 A b c (a ) (c ) (c ) (b ) (c ) (c ) Obr zek 3: Podp m sou in V ta 4. Nech A =(A :::) je -algebra, ( i ) I I 6= syst m kongruenc takov, e T ii i = A. Pak A je izomorfn s podp m m sou inem syst mu (A= i ) ii. D kaz: Hledan m izomorsmem je : A! Q ii A= i a 7! ([a] i ) ii Jedn se z ejm o surjekci, dok eme d le v e pot ebn. Zobrazen je prost. Nech ([a] i ) ii =([b] i ) ii. Pro ka d i I plat [a] i =[b] i, tedy (a b) i, to znamen (a b) T ii i = A. Zobrazen je homomorsmus. Uva me tradi n n = n a 1 ::: a n A. Potom podle denic zobrazen, operace na sou inu a faktoralgeb e m eme ps t ([a 1 ] i ) ii ::: ([a n ] i ) ii f ii A= i ; (a1 ) ::: (a n ) = f ; [a1 ] i ::: [a n ] i = f A= i To u je, op t podle denice, ; f A (a 1 ::: a n ). Mno ina (A) je podp m sou in. M me uk zat, e zobrazen i j(a): Y ji ii A= j! A= i = f A (a 1 ::: a n ) i ii je surjektivn. Vezm me libovoln prvek A= i, tj. [a] i pro vhodn a A. To u je ale obrazem (a). Denice 4.3 Algebra A =(A (f A i ) ) se naz v podp mo rozlo iteln, existuje-li syst m kongruenc ( i) ii, I 6= takov, e \ i = A a z rove i 6= A pro ka d i I ii

16 4.4 Sou iny 15 Nap klad na obr zku 3 je podp m sou in t - a ty prvkov ho line rn ho svazu, t prvkov line rn svaz je podp m m sou inem dvou dvouprvkov ch. Oproti tomu M 5 je podp mo nerozlo iteln. V ta 4.4 (AC) Ka d netrivi ln 1 -algebra A je izomorfn podp m mu sou inu vhodn ho nepr zdn ho syst mu (A) ii podp mo nerozlo iteln ch -algeber. P itom ka d A i je faktoralgebrou A. Lemma 4.5 Zornovo Nec A =(A ) je takov uspo dan mno ina, e ka d et zec v A m horn z voru. Potom pro libovoln a A existuje maxim ln prvek a v A takov, e a a. Toto lemma je ekvivalentn axiomu v b ru. D kaz v ty je pon kud o kliv, ozna en jako nepovinn. Vyu v pr v Zornovo lemma. V ta 4.6 Libovoln netrivi ln podp mo nerozlo iteln svaz je izomorfn. D kaz: Svaz je z ejm podp mo nerozlo iteln. Jin dvouprvkov neexistuje. Uva me tedy jlj 3. Existuje a L, kter nen ani nejv t, ani nejmen. Pro x y L denujme relace xy zy () def x ^ a = y ^ a () def x _ a = y _ a Jsou to kongruence. Nech x y z L, x y. Chceme uk zat (x ^ z) (y ^ z) a (x _ z) (y _ z). V me, e x ^ a = y ^ a. Tvrzen x ^ z ^ a = y ^ z ^ a je z ejm z vlastnost svaz. Z distributivity plyne (x _ z) ^ a =(x ^ a) _ (z ^ a) =(y ^ a) _ (z ^ a) =(y _ z) ^ a Relace je denov na pomoc rovnosti, je tedy z ejm ekvivalenc. Du ln se dok e, e je kongruence. Z ejm plat \ = L, p itom 6= L, proto e existuj b<a<c, odkud ac, ab. Tedy L je podp mo rozlo iteln podle v ty 4., co je spor. D sledek 4.7 Z v ty 4.4 a p edchoz ho plyne, e ka d netrivi ln distributivn svaz je izomorfn K podp m mu sou inu syst mu Q ii V ta 4.8 (AC) Libovoln distributivn svaz je izomorfn okruhu mno in. D kaz: Hledan m izomorsmem je u : K! ; I \ [ (a i ) ii 7!fi I j a i =1g Zobrazen u je bijekce d ky tomu, e K je podp m sou in, operace ^ _ v K odpov daj z ejm \ [ v I. 1 alespo dvouprvkov

17 16 4. UNIVERZ LN ALGEBRA V ta 4.9 (AC) Libovoln Boole v svaz je izomorfn poli mno in. D kaz: Nech (a i ) ii je nejmen prvek B. P ipustme, e existuje i I tak, e a i = 1. Potom libovoln prvek v B m na i-t slo ce 1 nejedn se o podp m sou in, co je spor. Tedy (0) ii B, analogicky (1) ii B. 4.5 Termy a identity Denice 4.30 Nech =(n ) je typ, (f ) syst m opera n ch symbol a M libovoln mno ina. Jazykem L rozum me ; (f ). Induktivn denujeme mno inu FL (M) 1. M F L (M). Pro w 1 ::: w n F L (M) je f (w 1 ::: w n ) F L (M) 3. Do F L (M) pat pr v to, co vzniklo v kone n m po tu krok z 1. a. Prvky F L (M) naz v me slova nad M. Denujme d le Algebru f F L(M ) (w 1 ::: w n ):=f (w 1 ::: w n ) F L (M) = F L (M) ; f F L(M ) naz v me algebrou L-slov, resp absolutn volnou -algebrou. Uva me d le X = fx 1 x :::g mno inu tzv. prom nn ch. Prvky F L (X) naz v me termy jazyka L, prvky F L (fx 1 ::: x n g) n- rn mi termy. Uva me nap klad jazyk 1-un rn ch algeber s p lu n m fuk n m symbolem f. Potom n- rn termy budou jednak x 1 ::: x n podle 1. aobecn f m (x i ) pro m N a i f1 ::: ng podle. Denice 4.31 Nech A je mno ina. Denujme e A n i (a 1 ::: a n ) := a i pro libvoln n N, a 1 ::: a n A a i f1 ::: ng jako i-tou n- rn projekci na mno inu A. Denice 4.3 Nech f A Am g 1 ::: g m A An. Denujeme n- rn operaci, tzv. kompozici f (g 1 ::: g m ) A An takto (f (g 1 ::: g m )) (a 1 ::: a n ):=f ; g 1 (a 1 ::: a n ) ::: g m (a 1 ::: a n ) Denice 4.33 Nech A = ; A (f A ) je -algebra, p FL (N n ). Denujeme p A n A An polynom na A indukovan termem p jako p A n := ( e A n i f A q A n 1 ::: q A n n p = x i p = f (q 1 ::: q n )

18 17 Denice 4.34 Uspo danou dvojici term (p q) z F L (n) nazveme identitou (p eme p l q). ekneme, e algebra A spl uje identitu p l q (p eme A j= p l q), plat -li p A n = q A n. D kaz korektnosti se vede indukc, znamen uk zat, e pro m n plat p A m (a 1 ::: a m )=p A n (a 1 ::: a n ). Denice 4.35 Identitu tvaru f k (x i ) l f k+d (x j ) naz v me regul rn, pokud i = j. Denice 4.36 Nec je mno ina identit. T du v ech -algeber spl uj c ch v echny identity z ozna me Mod. Varieta -algeber k me t d tvaru Mod pro n jak. Nap klad nebo Mod f ki (x) l f k i+d i (x) j i I Mod f ki (x) l f ki (y) j i I kde k := minfk i j i Ig a d := GCDfd i j i Ig. = Mod f k (x) l f k+d (x) j i I = Mod f k (x) l f k (y) j i I 5 Voln algebry Tato kapitola je asi to nejzaj mav j, co v algeb e v bec bylo. Bohu el nest h m, ke st tn c m to pot eba nen, tak e to snad dopln m v ervnu.