Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede"

Květoslava Slavíková
před 8 lety
Počet zobrazení:

1 Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede 1 Výroková logika výroky:a,b pravdivost výroku: 0 nepravda, 1 pravda logické spojky: A negace A A B konjunkce A B disjunkce A B implikace A B ekvivalence A B A A B A B A B A B Tabulka 1: Tabulka pravdivostních hodnot A B (A B) A B A B A B (A B B A) 2 Jak na kvantifikátory Existují dva kvantifikátory: tzv. obecný kvantifikátor, pro každé x tzv. existenční kvantifikátor, existuje nějaké x ( 1 x existuje právě jedno x ) Např.: x R pro každé reálné číslo x Pozor na pořadí kvantifikátorů: Srovnejte výroky: ( x R)( y R)(x + y = 2) ( y R)( x R)(x + y = 2) Zapsat různě: Žádný kořen rovnice x 3 x + 3 = 0 není kladný. ( x R)(x 3 x + 3 = 0 x 0) ( x R)(x 3 x + 3 = 0)(x 0) ( x R)(x > 0)(x 3 x + 3 0) ( x R)(x 0 x 3 x + 3 0) 1

kvantifikátory Existují dva kvantifikátory: tzv. obecný kvantifikátor, pro každé x tzv. existenční kvantifikátor, existuje nějaké x ( 1 x existuje právě jedno x ) Např.

2 2.1 Definice omezenosti Definice: Řekneme, že množina A R je omezená shora, když ( K R)( x A)(x K) Takové K nazýváme horní závorou množiny A. Množinu všech horních závor značíme A. Definice: Nechť A R. Řekneme, že číslo a A je maximem množiny A, když platí ( x A)(x a) Definice: Řekneme, že množina A R je omezená zdola, když ( H R)( x A)(x H) Takové H nazýváme dolní závorou množiny A. Množinu všech dolních závor značíme A. Definice: Nechť A R. Řekneme, že číslo a A je minimem množiny A, když platí ( x A)(x a) Definice: Řekneme, že množina A je omezená, právě když je omezená shora i zdola. 2.2 Příklady na omezenost Napsat podmínku neomezenosti (shora či zdola) tj. negaci definice. Vyšetřit omezenost: A = {3 n n N} A = {x x 10 + x 7 33 = 0} 1 A = { n+1 n n N} A = { 3 n n n N} omezenost shora 3 Supremum a infimum množiny 3.1 Definice suprema a infima Vlastnosti suprema β množiny A 1. ( x A)(x β) tj. β je horní závora 2. ( β R, β < β)( x A)(β < x) tj. nic menšího už není horní závora Druhá vlastnost lze pro reálné β přepsat: ( ε > 0)( x A)(β ε < x) Vlastnosti infima α množiny A 1. ( x A)(x α) tj. α je dolní závora 2. ( α R, α > α)( x A)(α > x) tj. nic menšího už není dolní závora Druhá vlastnost lze pro reálné α přepsat: ( ε > 0)( x A)(α + ε > x) 3.2 Příklady k supremu a infimu Dokažte: inf{ n n N} = 1 n+1 2 n N} = 1 sup{ n n+1 2

Řekneme, že číslo a A je maximem množiny A, když platí ( x A)(x a) Definice: Řekneme, že množina A R je omezená zdola, když ( H R)( x A)(x H) Takové H nazýváme dolní závorou množiny A.

3 inf{n 2 + n + 1 n N} = 3 sup{n 2 + n + 1 n N} = + inf{ 2n2 +n+11 n 2 +5 n N} = 2 sup{ 2n2 +n+11 n N} = 7 n n 5 inf{ n N} = 7 9n 2 +27n n 5 sup{ n N} = 0 9n 2 +27n 20 inf{ 2n3 n 2 +1 n 3 n+1 n > 1, n N} = 2 sup{ 2n3 n 2 +1 n > 1, n N} = 13 n 3 n+1 9 n N} = 5 inf{ ( 1)n n 2 +1 n 2 4n+5 n N} = 5 inf{ n + 1 n n N} = 0 sup{ n + 1 n n N} = x R} = 1 sup{ ( 1)n n 2 +1 n 2 4n+5 inf{ x x +1 sup{ x x R} = 1 x +1 inf{x 3 x 2 x + 2 x < 0, 2 >} = 1 sup{x 3 x 2 x + 2 x < 0, 2 >} = 4 inf{ 1+( 1)n + ( 1)n+1 n N} = 0 2 n sup{ 1+( 1)n + ( 1)n+1 n N} = 1 2 n inf{ 4x6 3x 2 +x+5 x R} = 4 x 6 x Okolí bodů Definice: Nechť a R, ε R, ε > 0. Otevřený interval (a ε, a + ε) nazýváme ε-okolím bodu a v R a značíme H a (ε). Definice: Nechť a R, ε R, ε > 0. Otevřený interval (a, a + ε), resp. (a ε, a) nazýváme pravým, resp. levým ε-okolím bodu a v R a značíme H a+ (ε), resp. H a (ε). Definice: Nechť α R, α > 0. Otevřený interval (α, + ) nazýváme α-okolím bodu + v R a značíme H + (α). Otevřený interval (, α) nazýváme α-okolím bodu - v R a značíme H (α). Definice: Nechť a C, ε R, ε > 0. Otevřený kruh {z C z a < ε} nazýváme ε-okolím bodu a v C a značíme H a (ε). Definice: Nechť α R, α > 0. Množinu {z C z > α} nazýváme α-okolím bodu v C a značíme H (α). 5 Číselné posloupnosti 5.1 Zadefinování posloupnosti Definice: Jestliže x a y jsou prvky nějakých množin, zavedeme symbol (x, y) pro uspořádanou dvojici prvků. Tedy (x, y) = (t, z) právě když x = t a y = z. Definice: Nechť A, B jsou množiny. Symbolem A B označujeme množinu všech uspořádaných 3

x +1 sup{ x x R} = 1 x +1 inf{x 3 x 2 x + 2 x < 0, 2 >} = 1 sup{x 3 x 2 x + 2 x < 0, 2 >} = 4 inf{ 1+( 1)n + ( 1)n+1 n N} = 0 2 n sup{ 1+( 1)n + ( 1)n+1 n N} = 1 2 n inf{ 4x6 3x 2 +x+5 x R} = 4 x 6 x

4 dvojic tvaru (x, y), kde x A, y B.Tedy A B = {(x, y) x A, y B} A B nazýváme kartézský součin množin A a B. Definice: Relace mezi množinami A a B je libovolná podmnožina R kartézského součinu A a B. Je-li B = A, pak mluvíme o relaci na A. Náleží-li dvojice (x, y) R, říkáme, že x, y jsou v relaci R a zapisujeme též xry. Definice: Zobrazení množiny A do množiny B 1 je relace f A B, splňující dodatečnou podmínku, že pro každý prvek x A existuje jediný prvek y B tak, že xfy. To, že f je zobrazení množiny A do B zapisujeme f : A B. Množina A se nazývá definiční obor, značíme D f ; množina B obor hodnot H f. Definice: Zobrazení množiny N do nějaké neprázdné množiny A nazýváme posloupnost. Speciálně: když A = R nebo C, mluvíme o číselné posloupnosti když A = C, mluvíme o komplexní posloupnosti když A = R, mluvíme o reálné posloupnosti Značíme (a n ) n N nebo (a n ) + n=1 nebo prostě (a n ) Obraz množiny M při zobrazení f : A B f(m) = {y B ( x M)(f(x) = y)} Vzor množiny M při zobrazení f : A B f 1 (M) = {x A ( y M)(y = f(x))} Vlastnosti posloupností: Pro komplexní omezenost. Pro reálnou omezenost shora, zdola, monotonie rostoucí, klesající, monotonní, ostře rostoucí, ostře klesající, ryze monotonní. 5.2 Limita číselné posloupnosti Definice: Řekneme, že reálná posloupnost (a n ) + n=1 má limitu a R, když ( H a R)( n 0 R)( n N, n > n 0 )(a n H a ). Řekneme, že komplexní posloupnost (a n ) + n=1 má limitu a C, když ( H a C)( n 0 R)( n N, n > n 0 )(a n H a ). Zapisujeme lim a n = a. Přepis definice pro reálnou posloupnost když a R: ( ε R, ε > 0)( n 0 R)( n N, n > n 0 )( a n a < ε). Přepis definice pro reálnou posloupnost když a = + ( α R, α > 0)( n 0 R)( n N, n > n 0 )(a n > α). 1 Speciálně: Zobrazení z číselné množiny do číselné množiny nazýváme funkce. 4

Definice: Zobrazení množiny A do množiny B 1 je relace f A B, splňující dodatečnou podmínku, že pro každý prvek x A existuje jediný prvek y B tak, že xfy.

5 5.3 Příklady k posloupnostem asi z Děmidoviče 6 Druhy důkazů sporem Věta: Každá číselná posloupnost má nejvýše jednu limitu. Nejdříve si uvědomme, že pro a, b R, a b existují disjunktní okolí těchto bodů. indukcí Dokažte binomickou větu Dokažte: (a + b) n = n k=0 ( ) n a k b n k k ( 1 ( n N)(n > 1) n n n n > 13 ) 24 přímý používá se k důkazu implikací nepřímý též k důkazu implikace, dokazujeme, že negace tvrzení implikuje negaci předpokladu 5

indukcí Dokažte binomickou větu Dokažte: (a + b) n = n k=0 ( ) n a k b n k k ( 1 ( n N)(n > 1) n + 1 + 1 n + 2 + 1 n +

Podobné dokumenty

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla

Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,