Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý

Transkript

1 Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý Obsah 1. Reálná ísla 1 2. Posloupnosti 2 3. Hlub²í v ty o itách 4 1. Reálná ísla 1.1. Úmluva (T leso). Pod pojmem t leso budeme v tomto textu rozum t pouze komutativní t leso, tj. p edpokládáme, ºe ob operace jsou komutativní Denice (Uspo ádaná mnoºina). Nech M je mnoºina a je binární relace na M. ekneme, ºe (M, ) je uspo ádaná mnoºina, jestliºe je reexivní, slab antisymetrická (tj. x, y M : (x y y x) = x = y) a tranzitivní. ekneme, ºe uspo ádání je lineární jestliºe Zna íme x y kdyº y x, x < y kdyº x y x a x > y kdyº x y x. x, y M : x y y x P íklad. (N, ) je lineárn uspo ádaná mnoºina. Nech P(M) je mnoºina v²ech podmnoºin aspo dvouprvkové mnoºiny M. Potom uspo ádání inkluze je nelineární na P(M) Denice. Nech (M, ) je uspo ádaná mnoºina, A M a x M. ekneme, ºe x je horní závora A, kdyº y A: y x, dolní závora A, kdyº y A: y x, nejv t²í prvek A, kdyº x A je horní závora A, nejmen²í prvek A, kdyº x A je dolní závora A, supremum A, zna íme sup A, kdyº x je nejmen²í horní závora A (tj. nejmen²í prvek mnoºiny v²ech horních závor k A). inmum A, zna íme inf A, kdyº x je nejv t²í dolní závora A, maximální prvek A, kdyº y A: y x = y = x. minimální prvek A, kdyº y A: y x = y = x Denice. Nech (M, ) je uspo ádaná mnoºina a A M. ekneme, ºe A je shora omezená, jestliºe má horní závoru, zdola omezená, jestliºe má dolní závoru, shora omezená, jestliºe má horní i dolní závoru Poznámky. Supremum A m ºe a nemusí leºet v A. Nejv t²í prvek A nemusí existovat a je nejvý² jeden. Supremum A nemusí existovat a je nejvý² jedno. Maximální prvek A nemusí existovat a nemusí být jednozna ný. Nejv t²í prvek A je vºdy maximální. Na lineárn uspo ádané mnoºin není rozdíl mezi pojmy nejv t²ího a maximálního prvku Denice. Nech (M, ) je uspo ádaná mnoºina a A M. ekneme, ºe A je shora omezená, jestliºe má horní závoru, zdola omezená, jestliºe má dolní závoru, omezená, jestliºe má horní i dolní závoru, shora neomezená, jestliºe není shora omezená, zdola neomezená, jestliºe není zdola omezená. neomezená, jestliºe není omezená Poznámka. Zdálo by se, ºe není t eba denovat neomezenou mnoºinu, víme-li co je omezená mno- ºina. V matematické terminologii se v²ak n kdy vyskytují záludnosti velící k opatrnosti, viz poznámku

2 Denice (Uspo ádané t leso). Uspo ádané t leso je struktura (T, +,, 0, 1, ) spl ující (UT1) (T, +,, 0, 1) je t leso, (UT2) (T, ) je lineárn uspo ádaná mnoºina, (UT3) x, y, z T: x y = x + z y + z, (UT4) x, y T: x 0 y 0 = xy Denice (Úplné uspo ádané t leso). ekneme, ºe uspo ádané t leso T je úplné, jestliºe kaºdá neprázdná shora omezená mnoºina A T má v T supremum V ta. (a) V teorii mnoºin lze zkonstruovat model úplného uspo ádaného t lesa. (b) Kaºdé dva modely úplného uspo ádaného t lesa jsou izomorfní Poznámka. D kaz p edchozí v ty vynecháme. Je t ºký, zvlá²t d lá-li se poctiv. Viz téº poznámku Denice (Reálná ísla). Na základ p edchozí v ty 1.11 m ºeme denovat strukturu R = (R, +,, 0, 1, ) reálných ísel jako úplné uspo ádané t leso a povaºovat ji za jednozna n ur ený objekt. Struktury N (p irozená ísla), Z (celá ísla), Q (racionální ísla) lze jednozna ným zp sobem vno it do R a budeme je povaºovat za ásti R Denice. Roz²í íme pojem suprema a inma. Poloºme sup =, inf = +. Dále poloºme sup A = +, je-li A shora neomezená, a inf A =, je-li A zdola neomezená V ta (Archimédova vlastnost reálných ísel). Mnoºina N je není omezená shora. D kaz. Kdyby byla omezená shora, m la by supremum s R. Pro mnoºinu M = {n N: n 2} = {n + 1: n N} bychom dostali r znými snadnými úvahami s = sup M = s + 1, spor. 2. Posloupnosti 2.1. Denice (Posloupnost). Posloupnost se denuje jako zobrazení N do n jaké mnoºiny objekt, v tomto textu se budeme zabývat posloupnostmi reálných ísel. A koli posloupnost je zobrazení, místo obraz n íkáme n-tý len a místo f(n) zna íme nap. x n. Celou posloupnost pak zna íme nap. {x n } n= Denice. ekneme, ºe posloupnost {x n } n=1 je shora omezená, kdyº mnoºina {x n : n N} je shora omezená, zdola omezená, kdyº mnoºina {x n : n N} je zdola omezená, omezená, kdyº mnoºina {x n : n N} je omezená, rostoucí, kdyº i, j N: i < j = x i < x j, klesající, kdyº i, j N: i < j = x i > x j, nerostoucí, kdyº i, j N: i < j = x i x j, neklesající, kdyº i, j N: i < j = x i x j, konstantní, kdyº i, j N: i < j = x i = x j, monotonní, je-li nerostoucí nebo neklesající, cauchyovská, kdyº ε > 0 n 0 N i, j N: (i n 0 j n 0 ) = x i x j < ε Poznámky. V²im te si rozdílu mezi je nerostoucí a není rostoucí. Abychom zjistili, ºe {x n } n=1 je nerostoucí, sta í ov it podobn pro ostatní monotonie. n N: x n+1 x n, 2.4. Denice (Limita posloupnosti). ekneme, ºe íslo L R je itou posloupnosti {x n } n=1, jestliºe ε > 0 n 0 N n N: n n 0 = x n L < ε. Zna íme x n = L nebo x n L. Taková ita se také nazývá vlastní. ekneme, ºe posloupnost {x n } n=1 má itu +, jestliºe Zna íme x n = + nebo x n. γ R n 0 N n N: n n 0 = x n > γ.

3 3 ekneme, ºe posloupnost {x n } n=1 má itu, jestliºe γ R n 0 N n N: n n 0 = x n < γ. Zna íme x n = nebo x n. Limity +, se nazývají nevlastní. ekneme, ºe posloupnost {x n } n=1 je konvergentní, má -li vlastní itu. ekneme, ºe posloupnost {x n } n=1 je divergentní, pokud není konvergentní, tj. pokud má vlastní itu nebo nemá ºádnou itu V ta. (a) Nech {x n } n=1, {y n} n=1 jsou konvergentní posloupnosti reálných ísel. Potom (x n + y n ) = x n + y n, (b) Nech {x n } n=1 je posloupnost nenulových reálných ísel a 1/a. (c) Nech {x n } n=1 je posloupnost nenulových reálných ísel a (d) Nech {x n } n=1 je posloupnost kladných reálných ísel a (x ny n ) = ( x n)( y n). x n = a 0. Potom (1/x n) = x n = +. Potom (1/x n) = 0. x n = 0. Potom (1/x n) = Poznámka. Rozmyslete si i nastudujte, jak dopadne ita sou tu i sou inu, p ipustíme-li nevlastní ity. Bu x n = x, y n = y. N kdy lze itu sou tu i sou inu ur it z x a y, nap., je-li x R a y = +, pak (x n + y n ) = +. N kdy o it sou inu i sou tu nelze rozhodnout (ani o existenci, natoº o hodnot ). To je p ípad tzv. neur itých výraz, mezi n º pat í nap. +, + 0, a/0, + / V ta. Nech {x n } n=1, {y n} n=1 jsou posloupnosti reálných ísel mající itu. P edpokládejme, ºe n N: x n y n. Potom x n y n Poznámka. Platnost n N: x n < y n nezaru uje x n < y n. Uvaºujte nap. x n = 1/n, y n = 2/n V ta (o stráºnících). Nech {x n } n=1, {y n} n=1, {z n} n=1 jsou posloupnosti reálných ísel. P edpokládejme, ºe n N: x n z n y n. Jestliºe x n = y n = L, potom téº z n = L V ta (Bernoulliova nerovnost). Je-li x 1 a n N, pak (1 + x) n 1 + nx. D kaz. Snadné cvi ení na matematickou indukci P íklad. n =. (To není samoz ejmost, k d kazu se musí pouºít v ta 1.15.) P íklad. nk = pro k N. (Limita sou inu a matematická indukce) P íklad. n k = 0 pro k N P íklad. an = pro a > 1. (Poloºme x = a 1, Bernoulliova nerovnost dává a n = (1+x) n 1 + nx.) Cvi ení. Dod lejte diskusi: an =, a > 1, = 1, a = 1, = 0, 1 < a < 1, neexistuje, a P íklad. a n =, a > 1. n Najd me x > 0 tak, ºe 1 + x < a. Potom Bernoulliova nerovnost dává (1 + x) n nx, tedy a n ( a ) n (1 + x) n ( a ) n n = x. 1 + x n 1 + x

4 P íklad. a n =, a > 1, k N. nk Poloºme b = k a, potom a n ( b n ) k n k =. n P íklad. n! =, a > 0. an Najd me p irozené íslo m > a. Pro n > m máme n! a n m! ( m ) n. m m a P íklad. n n = 1. Zvolme ε > 0. Jelikoº (1 + ε) n =, n existuje n 0 tak, ºe pro v²echna n n 0 je (1 + ε) n > n, takºe pak 1 n n 1 + ε Cvi ení. Vy²et ujte ity n! n n, n a, (n!) 2 (2n)!, 3. Hlub²í v ty o itách 3.1. Denice. Je-li {x n } n=1 posloupnost reálných ísel, denujeme sup n N x n = sup{x n : n N}, inf n N x n = inf{x n : n N}, sup x n = inf n N sup k n x k, n n2 (n!) n, 2 2n (n n )!. inf x n = sup n N inf k n x k Samostudium. Nastudujte samostatn vlastnosti operátor sup a inf V ta (o it monotonní posloupnosti). Nech {x n } n=1 je neklesající shora omezená posloupnost reálných ísel. Potom existuje x n, je to sup n N x n. D kaz. Ozna me M = {x n : n N}, s = sup M. Zvolme ε > 0. Potom s je horní závorou mnoºiny M, tedy n N: x n s < s + ε. ƒíslo s ε není horní závorou mnoºiny M tedy existuje n 0 N tak, ºe x n0 > s ε. Z monotonie dostaneme n n 0 = x n x n0 > s ε. Pro taková n tedy máme x n s < ε, íslo s je itou posloupnosti {x n } n= V ta (BolzanoCauchy). Nech {x n } n=1 je cauchyovská posloupnost reálných ísel. Potom {x n} n=1 je konvergentní. D kaz. Poloºme y n = inf k n x k. Potom {y n } n=1 je neklesající. Najd me m 0 tak, ºe pro v²echna i, j m 0 je x i x j 1. Potom pro v²echna n m 0 je y n x n x m0 + 1, zatímco pro v²echna n m 0 je y n shora odhadnuté nejv t²ím z ísel {x 1,..., x m0 }. Tedy posloupnost {y n } n=1 je shora omezená a podle v ty 3.3 má itu x (podle denice 3.1, x = sup x n ). Dokáºeme, ºe x = x n. Zvolme ε > 0 a najd me z denice ity a denice cauchyovské posloupnosti spole né n 0 N tak, ºe n n 0 : y n x < ε/2, i, j n 0 : x i x j < ε/2. Nech n n 0. Potom y n < x + ε/2, tedy x + ε/2 není dolní závora k {x k : k n} a existuje k n tak, ºe x k x + ε/2. Sou asn y n je dolní závora k této mnoºin a tedy y n x n. Máme tedy x n x < ε. x ε < x ε/2 < y n x n x k + ε/2 x + ε/2 + ε/2 = x + ε,

5 Poznámky. V p edchozí v t platí i opa ná implikace, totiº kaºdá konvergentní posloupnost je cauchyovská, to je snadné. Pojem ity a cauchyovské posloupnosti lze uvaºovat na kaºdém uspo ádaném t lese. Konvergentní posloupnost je pak vºdy cauchyovská, ale v t lese Q existuje cauchyovská posloupnost, která není konvergentní. Totiº, to jsou práv posloupnosti, které v R mají iracionální itu. Víme, ºe nap. 2 je iracionální, jako dal²í p ípad posloupnosti racionálních ísel, která nemá racionální itu, m ºeme uvést {0.1, 0.101, , ,... } její ita nem ºe mít periodický rozvoj. Pomocí cauchyovských posloupností se dá vytvo it z Q model t lesa R. Bu A mnoºina v²ech cauchyovských posloupností racionálních ísel. Na A zavedeme relaci ekvivalence {x n } n=1 {y n } n=1 kdyº (y n x n ) = 0. Bu R = A /, tedy prvky R budou t ídy ekvivalence tvaru { } [{x n } n=1] = {y n } n=1 A : {y n } n=1 {x n } n=1. Na R zavedeme operace a uspo ádání: [{x n } n=1] + [{y n } n=1] := [{x n + y n } n=1], [{x n } n=1] [{y n } n=1] := [{x n y n } n=1], [{x n } n=1] [{y n } n=1] kdyº ( {z n } n=1 A : (({z n } n=1 {y n } n=1) ( n N: x n z n )). ). Pak je ov²em zapot ebí ov ovat axiomy úplného uspo ádaného t lesa, coº není jednoduché Denice (Podposloupnost). Nech {x n } n=1, {y n } n=1 jsou posloupnosti. ekneme, ºe {y n } n=1 je podposloupnost posloupnosti {x n } n=1 (n kdy se íká vybraná podposloupnost z posloupnosti {x n } n=1), jestliºe existuje rostoucí posloupnost {n k } k=1 p irozených ísel tak, ºe y k = x nk, k N V ta (BolzanoWeierstrass). Nech {x n } n=1 je omezená posloupnost reálných ísel. Potom {x n} n=1 má konvergentní podposloupnost. D kaz. Pouºijeme tzv. metodu p lení interval. Z omezenosti dostaneme existenci intervalu [a 1, b 1 ], obsahujícího v²echny leny posloupnosti. Indukcí zkonstruujeme posloupnost interval [a k, b k ] tak, ºe ozna íme c k = 1 2 (a k + b k ) st ed intervalu [a k, b k ] a [a k+1, b k+1 ] je vºdy jeden z interval [a k, c k ], [c k, b k ], a to takový, ºe v [a k+1, b k+1 ] leºí nekone n mnoho len posloupnosti {x n } n=1. Pro k = 1, 2,... najdeme indukcí n k N tak, ºe x nk [a k, b k ] a n k+1 > n k. Posloupnosti {a k } k=1, {b k} k=1 jsou konvergentní podle v ty 3.3 a jelikoº b k a k = 2 1 k (b 1 a 1 ) 0, je k b k = k a k. Jelikoº a k x nk b k, podle v ty o stráºnících 2.9 je x k = a k. k k 3.8. P íklad. Nech a > 0. Denujme posloupnost {x n } n=1 p edpisem x 0 = 1, x n+1 = 1 ( x n + a ), n = 0, 1, 2, x n ƒíslo x 0 do posloupnosti nepat í, ale budeme s ním po ítat. Bu x = n x n. Potom p ejdeme v it na obou stranách denující rovnosti a dostaneme x = 1 ( x + a ), 2 x po úprav x 2 = a, x = a. Tato ita se dokonce dá pouºít k d kazu existence druhé odmocniny. (Na²li jsme íslo x vyhovující rovnici x 2 = a, to není triviální.) Odvození v²ak není korektní, pokud ho neuvodíme d kazem existence a nenulovosti ity. Ten probíhá takto. Nejprve ukáºeme, ºe pro kaºdé n = 1, 2,... je x 2 n a. Vskutku, (1) x 2 n = 1 ( x n 1 + a ) 2 1 ( = a + x n 1 a ) 2 a. 4 x n 1 4 x n 1 Nyní m ºeme odhadovat pro n = 1, 2,... x n+1 = 1 2 ( x n + a x n ) 1 2 ( x n + x2 n x n ) = x n.

6 6 Tedy posloupnost {x n } je zdola omezená, nerostoucí a podle zrcadlové verze v ty 3.3 je konvergentní. Navíc nerovnost (1) ukazuje, ºe ita nem ºe být nula Cvi ení. Vy²et ujte ity x n, je-li (a) x 1 = 0, x n+1 = 2 + x n, (b) x 1 = 1, x n+1 = sin x n, víte-li, ºe pro v²echna x (0, 1] je 0 < sin x < x. (c) Nech a (0, 1). Dokaºte n a n = 0 bez pouºití Bernoulliovy nerovnosti.