Aplikovaná matematika 1
|
|
- Ondřej Tichý
- před 4 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Aplikovaná matematika 1 NMAF071 Tomá² Sala 1 MÚ UK, MFF UK ZS Tímto bych cht l pod kovat doc. RNDr. Mirkovi Rokytovi, CSc. a doc. Milanu Pokornému za poskytnutí podklad, které jsem pouze mírn upravil. Tomá² Sala 2 (MÚ UK, MFF UK) Aplikovaná matematika 1 ZS / 51
2 Návod k pouºití Co je p edná²ka cvi ení konzultace Kontakt: T.S., Matematický ústav UK Sokolovská 83 (metro "B", K iºíkova), 3. patro, MÚ salac@karlin.m.cuni.cz, Podmínky poºadavky pro ud lení zápo tu ze cvi ení stanoví cvi ící zápo et je nutnou podmínkou k p ipu²t ní ke zkou²ce, poºadavky ke zkouºce stanoví p edná²ející Tomá² Sala 3 (MÚ UK, MFF UK) Aplikovaná matematika 1 ZS / 51
3 Sylabus Sylabus = obsah (plán) p edná²ky 1 Úvod: zopakování elementárních pojm, zavedení reálných ísel, posloupnosti 2 Funkce jedné reálné prom nné 3 Derivace funkce jedné reálné prom nné 4 Neur itý integrál a primitivní funkce 5 Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi 6 Ur itý (Riemann v) integrál a jeho výpo et, aplikace - viz web p edná²ejícího salac Tomá² Sala 4 (MÚ UK, MFF UK) Aplikovaná matematika 1 ZS / 51
4 Literatura Literatura 1 J. Kopá ek: Matematika (nejen) pro fyziky I.,II.. Skripta MFF UK, Matfyzpress. 2 J. Kopá ek a kol.: P íklady z matematiky (nejen) pro fyziky I., II. Skripta MFF UK, Matfyzpress. 3 J. Kvasnica: Matematický aparát fyziky. Academia, Praha, I. ƒerný: Úvod do inteligentního kalkulu., Academia, Praha, B. P. D midovi : Sbírka úloh a cvi ení z matematické analýzy. Fragment, Praha, J. Be vá : Lineární algebra. Skripta MFF UK, Matfyzpress, web p edná²ejícího Tomá² Sala 5 (MÚ UK, MFF UK) Aplikovaná matematika 1 ZS / 51
5 Aplikovaná matematika 1, NMAF071 Úvod: opakování elementárních pojm, zavedení reálných ísel, posloupnosti Tomá² Sala MÚ UK, MFF UK ZS 2017/18 Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZSÚvod: 2017/18 opakování 5 / elemen 51
6 1.1.1 Úvod do logiky Výrokem nazveme jakékoliv tvrzení, o n mº má smysl íci, ºe platí (je pravdivé (T), má pravdivostní hodnotu 1) nebo ºe neplatí (je nepravdivé (F), má pravdivostní hodnotu 0). Intuitivn (bez p esné denice) budeme p ijímat pojmy mnoºina jako soubor objekt, "x je prvkem mnoºiny M" zapisujeme: x M a "x není prvkem mnoºiny M" zapisujeme: x / M. Ozna ení Budeme pouºívat následující zna ení: 1 N... mnoºina p irozených ísel. 2 Z... mnoºina celých ísel. 3 Q... mnoºina racionálních ísel. 4 R... mnoºina realných ísel. 5 C... mnoºina komplexních ísel. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZSÚvod: 2017/18 opakování 6 / elemen 51
7 1.1.1 Logické spojky (a) Negací A výroku A rozumíme výrok: Není pravda, ºe platí A. (b) Konjunkcí A B výrok A a B nazveme výrok: Platí A i B. (c) Disjunkcí A B výrok A a B nazveme výrok: Platí A nebo B. (d) Implikací A B nazýváme výrok: Jestliºe platí výrok A, potom platí výrok B. (e) Ekvivalencí A B nazýváme výrok: Výrok A platí tehdy a jen tehdy, kdyº platí výrok B. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZSÚvod: 2017/18 opakování 7 / elemen 51
8 1.1.1 Pravdivostní tabulky A B A A B A B A B A B Výroku A v implikaci A B se íká premisa nebo téº p edpoklad, výrok B se nazývá záv r. Pokud je výrok A B pravdivý, pak íkáme, ºe "A je posta ující podmínkou pro platnost B" a "B je nutnou podmínkou pro platnost A". Pokud je výrok A B pravdivý, pak íkáme, ze A je nutnou a posta ující podmínkou (platnosti výroku) B. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZSÚvod: 2017/18 opakování 8 / elemen 51
9 1.1.1 Tvrzení 1.1 a) A B B A (nep ímý d kaz) b) (A B) A B (d kaz sporem) c) A B (A B) (B A) d) (A B) ( A) ( B) e) (A B) ( A) ( B) f) (A B) (A B) (B A) Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZSÚvod: 2017/18 opakování 9 / elemen 51
10 1.1.1 Predikáty Výrokovou funkcí (predikátem) budeme nazývat výraz A(x 1, x 2,..., x m ), z n hoº po dosazení prvk x 1 M 1,..., x m M m z mnoºin M 1,..., M m vznikne výrok. P íklad Predikát S(x) : x N je sudé íslo". Tedy S(1) není pravdivý výrok a S(2) je pravdivý výrok. 2 A(x, y) = (x < y) je predikát "x je men²í neº y ". Pak A(1, 2) je pravda, zatímco A(3, 2) je nepravda. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 10 / elemen 51
11 1.1.1 Kvantikátory Nech A(x) je predikát. Výrok: "Pro v²echna x M platí A(x)" zapisujeme ve tvaru: x M : A(x). Symbol nazýváme obecným (velkým) kvantikátorem. Výrok: "Existuje x M, pro které platí A(x)" zapisujeme ve tvaru: x M : A(x). Symbol nazýváme existen ním (malým) kvantikátorem. Pro obrat "Existuje práv jeden... " pouºíváme symbol! Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 11 / elemen 51
12 1.1.1 Tvrzení 1.2 a) ( x M : A(x)) x M : A(x) b) ( x M : A(x)) x M : A(x) Cvi ení Negujte následující výroky a rozhodn te, zda jsou pravdivé: 1 x R, n N : x < n. 2 n N, x R : x < n. 3 x R, y R : x < y. 4 x R, y R : x y. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 12 / elemen 51
13 1.1.2 Mnoºiny ekneme, ºe mnoºina A je podmnoºinou mnoºiny B, jestliºe kaºdý prvek mnoºiny A je rovn º prvkem mnoºiny B. Tomuto vztahu íkáme inkluze a zna íme A B. Dv mnoºiny A, B jsou si rovny (A = B), jestliºe A B a sou asn B A. Mnoºinu, která neobsahuje ºádný prvek, nazýváme prázdnou mnoºinou a zna íme ji. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 13 / elemen 51
14 1.1.2 Operace s mnoºinami 1 Rozdílem mnoºin A a B (zna íme A \ B) nazveme mnoºinu t ch prvk, které pat í do mnoºiny A a nepat í do mnoºiny B. Sjednocení mnoºin A a B (zna íme A B) je mnoºina t ch prvk, které pat í do A anebo do B. Pr nik mnoºin A a B (zna íme A B) je mnoºina t ch prvk, které pat í do A a sou asn do B. Mají-li dv mnoºiny prázdný pr nik, pak je nazýváme disjunktní. 2 Obecn ji: nech I je neprázdná mnoºina index a A α bu pro kaºdé α I mnoºina. Pak denujeme: sjednocení A α := {x : α I, x A α } (1) α I pr nik α I A α := {x : α I, x A α }. (2) 3 Kartézským sou inem mnoºin A 1,..., A n nazveme mnoºinu v²ech uspo ádaných n-tic A 1 A 2 A n = {[a 1, a 2,..., a n ]; a 1 A 1,..., a n A n }. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 14 / elemen 51
15 1.1.2 De Morganovy vzorce Tvrzení 1.3 (de Morganovy vzorce) Nech X je mnoºina, nech I je neprázdná mnoºina index a nech A α je pro kaºdé α I mnoºina. Pak platí X \ α I A α = α I(X \ A α ) (3) a X \ α I A α = α I(X \ A α ). (4) Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 15 / elemen 51
16 1.1.3 Zobrazení Denice 1.1 Nech X a Y jsou mnoºiny. Je-li kaºdému prvku x X p i azen práv jeden prvek y Y, ekneme, ºe je denováno zobrazení z X do Y. Pí²eme f : X Y a f (x) = y, p ípadn f : x y. Mnoºinu X nazýváme deni ním oborem zobrazení f a zna íme ji téº D f. Obrazem mnoºiny A X rozumíme mnoºinu f (A) := {f (x) : x A}. Mnoºinu f (X ) nazýváme oborem hodnot zobrazení f. (Zna íme téº R f nebo H f.) Vzorem mnoºiny B Y nazveme mnoºinu f 1 (B) := {x X : f (x) B}. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 16 / elemen 51
17 1.1.3 Cvi ení Bu A X, B Y. Rozhodn te, zda platí: 1 f 1 (f (A)) A. 2 A f 1 (f (A)). 3 B = f (f 1 (B)). Denice 1.2 Nech X, Y jsou mnoºiny, f : X Y bu zobrazení a nech A X. Zobrazení f nazveme prosté (injektivní) na A, jestliºe x 1, x 2 A : x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). (5) na (surjektivní), jestliºe R f = Y. bijekcí A na Y, jestliºe f je prosté na A a f (A) = Y. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 17 / elemen 51
18 1.1.3 Konstrukce nových zobrazeních Denice 1.3 Nech X, Y, Z jsou mnoºiny a f : X Y, g : Y Z bu te zobrazení a nech A X. 1 Zobrazení f A : A Y denované f A (x) = f (x), x A nazýváme zúºením zobrazení f na mnoºinu A. 2 Je-li f prosté na A, pak pro kaºdé y f (A) existuje práv jedno x A takové, ºe f (x) = y. Poloºme B := f (A). Pak zobrazení f 1 : B A, f 1 (y) = x nazýváme inverzním zobrazením k zobrazení f na A. 3 Symbolem g f ozna íme zobrazení X Z denované p edpisem (g f )(x) = g(f (x)), x X. Takto denované zobrazení se nazývá sloºeným zobrazením zobrazení f a g, p i emº f je vnit ní zobrazení a g je vn j²í zobrazení. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 18 / elemen 51
19 1.1.3 Ozna ení Identické zobrazení na X zna íme symbolem Id X. Tvrzení 1.4 Nech f : X Y a g : Y Z jsou prostá zobrazení na svých deni ních oborech. Potom f g je prosté zobrazení. Je-li f prosté zobrazení na svém deni ním oboru D f, potom f f 1 = Id Hf a f 1 f = Id Df. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 19 / elemen 51
20 1.1.3 Mohutnost mnoºin ekneme, ºe mnoºiny A, B mají stejnou mohutnost (pí²eme A B), jestliºe existuje bijekce A na B. Mnoºina A má mohutnost men²í nebo rovnou mohutnosti mnoºiny B (pí²eme A B), jestliºe existuje prosté zobrazení z A do B. Symbol A B zna í situaci, kdy A B a neplatí A B. Denition 1 ekneme, ºe mnoºina A je kone ná, jestliºe A = nebo existuje n N takové, ºe platí A {1,..., n}. spo etná, jestliºe platí A N. nespo etná, jestliºe A není ani kone ná ani spo etná. Mnoºiny kone né nebo spo etné nazýváme nejvý²e spo etné. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 20 / elemen 51
21 1.1.3 Mohutnost mnoºin Tvrzení 1.5 Mnoºiny Z a Q jsou spo etné. Tvrzení 1.6 Mnoºiny R a C jsou nespo etné. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 21 / elemen 51
22 1.2.1 Zavedení reálných ísel Vybudování íselných mnoºin: N = {1, 2,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1,... } { } p Q = q : p Z, q N R = {a i a i 1... a 0, a 1 a 2 : a j {0, 1,..., 9}; j = i, i 1,... } C = {x + iy : x, y R}. ekneme si, ºe mnoºina reálných ísel R tvo í úspo adané t leso, kde kaºdá shora omezená podmnoºina ma supremum a ºe R vznikne z Q p idáním suprem v²ech shora omezených podmnoºin. To pak umoºnuje zavést na R operace s ítání a násobení, které roz²i ují obvyklé operace +, na Q. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 22 / elemen 51
23 1.2.1 ƒáste né uspo ádání Denice 1.4 ƒáste ným (neostrým) uspo ádáním ( ) na mnoºin X rozumíme relaci, která pro kaºdé x, y, z X spl uje: 1 reexivitu: x x, 2 tranzitivnost: x y y z = x z, 3 (slabou) antisymetrii: x y y x = x = y. Je-li tato relace denována pro v²echna x, y X, mluvíme o (neostrém) úplném uspo ádání. Pod x < y rozumíme x y a x y. P íklad 1.2 (N, ), (Z, ), (Q, ), (R, ) jsou neostrá úplná uspo ádání. Je-li Y dvou prvková mnoºina, pak relace inkluze je áste né neostré uspo ádání na mnoºina v²ech podmnoºin Y, které není úplné. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 23 / elemen 51
24 1.2.1 Supremum Denice 1.5 Nech je úplné uspo ádání na X a nech B je shora omezená podmnoºina X, tj. a X, x B: x a. Prvek s X nazýváme supremem B (zna íme s = sup B), jestliºe s je horní závora B, tj. x B: x s, a sou asn s je nejmen²í horní závora, tj. y X, y < s x B: y < x. Prvek, který je horní závoru mnoºiny B a sou asn pat í do B, nazýváme maximem mnoºiny B a zna íme jej max B. Cvi ení 1) Ukaºte, ºe maximum existuje nejvý²e jedno. 2) Ukaºte, ºe pokud maximum existuje, pak se rovná supremu. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 24 / elemen 51
25 1.2.1 Supremum v R a Q P íklad 1.3 (a) Interval (0, 1) nemá maximum. Maximum intervalu (0, 1 je 1. (b) 1 = sup(0, 1). (c) Mnoºina M := {x Q : x 2 < 2} je shora omezená podmnoºina Q. Jelikoº 2 Q, není obtíºné ukázat, ºe M nemá v Q supremum! (d) Mnoºina N := {x R : x 2 < 2} je shora omezená podmnoºina R. Je p ímo aré ov it, ºe 2 = sup N. (e) π = sup{3; 3, 1; 3, 14; 3, 141; 3, 1415;... } (f) Nech a R. Pak a = sup{r Q : r a}. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 25 / elemen 51
26 1.2.1 Inmum Denice 1.6 Nech je úplné uspo ádání na X. Nech B je zdola omezená podmnoºina X, tj. b X, x B: b x. Potom prvek i X nazýváme inmem B (zna íme i = inf B), jestliºe i je dolní závora B, tj. x B: i x, a sou asn i je nejv t²í dolní závora, tj. y X, i < y x B: x < y. Prvek, který je dolní závoru mnoºiny B a sou asn pat í do B, nazýváme minimem mnoºiny B a zna íme jej min B. Cvi ení 1) Ukaºte, ºe minimum existuje nejvý²e jedno. 2) Ukaºte, ºe pokud minimum existuje, pak se rovná inmu. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 26 / elemen 51
27 1.2.1 T leso Denice 1.7 T leso je p tice (T, +,, 0, 1), kde T je mnoºina, +, jsou binární operace na T a 0, 1 jsou r zné prvky T, která spl uje (A1) x, y, z T : x + (y + z) = (x + y) + z s ítání) (A2) x, y T : x + y = y + x (A3) x T : 0 + x = x (asociativita (komutativita s ítání) (0 je nulový prvek) (A4) x T z T : x + z = 0 (z je tzv. opa né íslo k íslu x, je ur eno jednozna n a zna íme ho x) Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 27 / elemen 51
28 1.2.1 T leso Denice 1.8 (P1) x, y, z T : x (y z) = (x y) z (asociativita násobení) (P2) x, y T : x y = y x (komutativita násobení) (P3) x T : 1 x = x (1 je jednotkový prvek) (P4) x T \ {0} y T : x y = 1 (y je tzv. inverzní íslo k x, je ur eno jednozna n a zna íme ho x 1 nebo 1 x ) (D1) x, y, z T : (x + y) z = x z + y z (distributivita). P íklad 1.4 Q s obvyklými operacemi je t leso. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 28 / elemen 51
29 1.2.1 Uspo ádané t leso Denice 1.9 Bu (T, +,, 0, 1) t leso a nech je neostré úplné uspo ádání na T. Pak ²estici (T, +,, 0, 1, ) nazýváme uspo ádané t leso, pokud (O1) x, y, z T : x y x + z y + z (O2) x, y T : (0 x 0 y) 0 x y Denice 1.10 (axiom suprema) ekneme, ºe uspo ádané t leso (T, +,, 0, 1, ) spl uje axiom suprema, pokud kaºdá shora omezená podmnoºina T má v T supremum. P íklad 1.5 Q s obvyklými operacemi je uspo ádané t leso. Z P íkladu 1.3(c) plyne, ºe Q nespl uje axiom suprema. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 29 / elemen 51
30 1.2.1 T leso reálných ísel V ta 1.1 Existuje (aº na isomorsmus) práv jedno uspo ádané t leso, které spl uje axiom suprema. Toto t leso budeme nazývat t lesem reálných ísel a zna it jej R. Poznámka Dá se ukázat, ºe kaºdé uspo ádané t leso obsahuje Q. Z p edchozí v ty plyne, ºe R vznikne z Q p idáním suprem v²ech shora omezených podmnoºin v Q. Tedy kaºdé reálné íslo je supremem n jaké shora omezené podmnoºiny Q. Reálná ísla, která nejsou racionální, budeme nazývat iracionální. P íklad = sup{x Q : x 2 < 2}. 2 Obecn : pro a R máme a = sup{q Q : q a}. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 30 / elemen 51
31 1.2.1 S ítání a násobení v R Poznámka Zavedení s ítání a násobení na R. Nech a, a R a poloºme M := {q Q : q a}, M := {q Q : q a }. Pak M, M, M + M := {m + m : m M, m M } a M.M := {m.m : m M, m M } jsou shora omezené podmnoºiny Q (rozmyslete si pro ). Pak denujeme a + a := sup(m + M ) a a.a := sup(m.m ). Je ale zapot ebí ov it, ºe tyto operace spl ují v²echny vý²e uvedené axiomy a ºe roz²i ují obvyklé operace na Q. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 31 / elemen 51
32 1.2.2 N která tvrzení o R Tvrzení 1.7 Nech M R je neprázdná zdola omezená mnoºina. Pak existuje inmum mnoºiny M. Tvrzení 1.8 a) Nech x R je libovolné. Potom n N: n > x. (Tj. mnoºina N je neomezená shora.) b) Nech y R a ε > 0. Potom n N: n ε > y. (Archiméd v princip.) Tvrzení 1.9 Nech a, b R. Nech ε > 0: a < b + ε. Potom a b. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 32 / elemen 51
33 1.2.2 Tvrzení 1.10 Nech x, y R, x < y. Potom r Q: x < r < y. P esn ji, mezi dv ma libovolnými r znými reálnými ísly existuje nekone n mnoho (tj. více neº libovolný kone ný po et) racionálních (a tedy i reálných) ísel. Tvrzení 1.11 Mezi kaºdými dv ma reálnými ísly existuje alespo jedno iracionální íslo. D sledek 1.1 Mezi kaºdými dv ma reálnými ísly existuje nekone n mnoho iracionálných ísel. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 33 / elemen 51
34 1.2.2 Trojúhelníkové nerovnosti Ozna ení Pro x R denujeme absolutní hodnotu { x, x 0 x = x, x < 0 Tvrzení 1.12 (Trojúhelníkové nerovnosti) Nech x, y, z R. Potom platí: a) x + y x + y b) x y x y c) x y x z + z y Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 34 / elemen 51
35 1.2.2 Dal²í nerovnosti Tvrzení 1.13 (CauchySchwartzova nerovnost) Nech a 1,..., a n, b 1,..., b n R. Potom n n n ( a k b k ) 2 ( a 2 )( k b 2 ). k k=1 Tvrzení 1.14 (AG nerovnost) k=1 k=1 Nech a 1,..., a n jsou nezáporná reálná ísla. Potom n a1 a 2 a n a a n. n Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 35 / elemen 51
36 1.2.3 Komplexní ísla Denice 1.11 Mnoºinu komplexních ísel C denujeme jako mnoºinu v²ech uspo ádaných dvojic (a, b), kde a, b R. Pí²eme a + ib := (a, b). Na C denujeme operace s ítání a násobení takto: (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d), (a + ib).(c + id) = (ac bd) + i(ad + bc). P tice (C, +,, 0, 1) tvo í t leso. V²imn te si, ºe i 2 = 1. N kdy se téº pí²e i = 1. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 36 / elemen 51
37 1.2.3 Nech x = a + ib C, a, b R. Prvek a nazýváme reálnou ástí x, prvek b nazýváme imaginární ástí x. Komplexn sdruºeným íslem k x = a + bi rozumíme íslo x = a bi. Absolutní hodnotu (velikost) komplexního ísla x denujeme x := x. x = a 2 + b 2. V²imn te si, ºe a + ib c + id (a + ib)(c id) (ac + bd) + i(bc ad) = =, (c + id)(c id) c 2 + d 2 (6) pokud c + di 0. Tedy vhodným roz²í ením lze zlomek komplexních ísel p evézt na zlomek s kladným jmenovatelem. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 37 / elemen 51
38 1.3.1 Posloupnosti a jejich limity Denice 1.12 Nech A je neprázdná mnoºina. Zobrazení p i azující kaºdému p irozenému íslu n prvek a n z mnoºiny A nazýváme posloupnost prvk mnoºiny A. Prvek a n nazveme n-tým lenem této posloupnosti. Zna íme {a n } n=1. Poznámka Nebude-li e eno jinak, pak posloupností budeme rozum t posloupnost reálných ísel. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 38 / elemen 51
39 1.3.1 Denice 1.13 ekneme, ºe posloupnost {a n } + n=1 je shora omezená, jestliºe mnoºina v²ech len této posloupnosti je shora omezená, zdola omezená, jestliºe z mnoºina v²ech len této posloupnosti je zdola omezená, omezená, jestliºe mnoºina v²ech len této posloupnosti je omezená (tj. je omezená shora i zdola). Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 39 / elemen 51
40 1.3.1 Denice 1.14 ekneme, ºe posloupnost {a n } + n=1 je neklesající, je-li a n a n+1 pro kaºdé n N, rostoucí, je-li a n < a n+1 pro kaºdé n N, nerostoucí, je-li a n a n+1 pro kaºdé n N, klesající, je-li a n > a n+1 pro kaºdé n N. Posloupnost {a n } + n=1 je monotónní, pokud spl uje n kterou z vý²e uvedených podmínek. Posloupnost {a n } + n=1 je ryze monotónní, pokud je rostoucí i klesající. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 40 / elemen 51
41 1.3.1 Vlastní Limita Denice 1.15 íkáme, ºe posloupnost {a n } + n=1 má vlastní limitu rovnou reálnému íslu A, jestliºe platí Pí²eme Example 2 ε R, ε > 0 n 0 N n N, n n 0 : a n A < ε. lim a n = A. n + 1 Nech a R. Limita konstantní posloupnosti a n = a pro kaºdé n N je a. 2 Nech r R a r i... r 0, r 1 r 2... bu desetinný rozvoj ísla r. Pro n N poloºme a n := r i... r 0, r 1... r n. Pak n Q : a n Q a r = lim a n. n + Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 41 / elemen 51
42 1.3.1 Nevlastní Limita Denice 1.16 íkáme, ºe posloupnost {a n } + n=1 má nevlastní limitu +, jestliºe L R n 0 N n N, n n 0 : a n L. ekneme, ºe posloupnost {a n } + n=1 má nevlastní limitu, jestliºe K R n 0 N n N, n n 0 : a n K. P íklad 1.7 lim n =, n + lim n =. n + Denice 1.17 íkáme, ºe posloupnost {a n } + n=1 je konvergentní, pokud má vlastní limitu. Posloupnost, která není konvergentní, nazýváme divergentní. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 42 / elemen 51
43 1.3.1 Komplexní posloupnosti Poznámka (Komplexní limita) Nech {a n } + n=1 je posloupnost komplexních ísel. Nech x n, resp. y n je reálná, resp. imaginární ást a n. Pak {x n } + n=1, {y n} + n=1 jsou reálné posloupnosti. Jsou-li tyto posloupnosti konvergentní s limitami x = lim x n, y = lim y n, pak denujeme lim a n := x + iy. n + n + n + Pro komplexní posloupnost nedenujeme (nemají smysl) pojmy jako "rostoucí", "klesající", apod., ale také pojem "shora resp. zdola omezená" posloupnost. ekneme, ºe komplexní posloupnost {a n } + n=1 je omezená, pokud existuje K > 0 taková, ºe a n K pro v²echna p irozená n. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 43 / elemen 51
44 1.3.1 Základní tvrzení o limitách V ta 1.2 (jednozna nost limity) Kaºdá posloupnost má nejvý²e jednu limitu. V ta 1.3 Kaºdá konvergentní posloupnost je omezená. V ta 1.4 (limita monotónní posloupnosti) Kaºdá monotónní posloupnost má (vlastní nebo nevlastní) limitu. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 44 / elemen 51
45 1.3.1 Vybraná podposloupnost Denice 1.18 Nech {a n } n=1 je posloupnost reálných ísel. Jestliºe {n k} k=1 je rostoucí posloupnost p irozených ísel, pak {a nk } k=1 se nazývá vybranou posloupností z {a n } n=1. Denice 1.19 Nech {a n } n=1 je posloupnost reálných ísel. Pak A R nazýváme hromadným bodem posloupnosti {a n } n=1, jestliºe existuje vybraná posloupnost {a nk } k=1 taková, ºe lim a n k = A. k Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 45 / elemen 51
46 1.3.2 Roz²í ená reálná osa Roz²í enou reálnou osu R denujeme jako R { } {+ } spolu s operacemi Uspo ádání: a R: < a < +, Absolutní hodnota: = + = + S ítání: a R: ± + a = a + (± ) = ±, ( ) + ( ) =, (+ ) + (+ ) = + Násobení a d lení: a R, a > 0: a (± ) = (± ) a = ±, a R, a < 0: a (± ) = (± ) a =, a a R : + = a = 0 NEDEFINUJEME: ± (± ) + ( ), 0 (± ), ±, cokoli 0 Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 46 / elemen 51
47 1.3.3 Dal²í tvrzení o limitách V ta 1.5 (limita vybrané podposloupnosti) Nech {a nk } k=1 je vybraná posloupnost z posloupnosti {a n} n=1. Jestliºe lim a n = A R, pak také lim a n n k = A. k V ta 1.6 (aritmetika limit) Nech (i) (ii) (iii) lim a n = A R a lim b n = B R. Potom platí: n + n + lim (a n ± b n ) = A ± B, pokud je pravá strana denována, n + lim (a n b n ) = A B, pokud je pravá strana denována, n + lim a n/b n = A/B, pokud je pravá strana denována. n + Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 47 / elemen 51
48 1.3.3 Dal²í tvrzení o limitách V ta 1.7 (limita typ "0.omezená") Nech lim a n = 0 a nech posloupnost {b n } je omezená. Potom n + lim a nb n = 0. n + V ta 1.8 Nech {a n } + n=1 je posloupnost. Pak lim a n = 0 tehdy a jen tehdy, kdyº n + lim a n = 0. n + V ta 1.9 (limita typ "0 + / + ") Nech lim a n = A R, A > 0, lim b n = 0 a existuje n 0 N, ºe pro n + n + a kaºdé n N, n n 0, platí b n > 0. Pak lim n n + b n =. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 48 / elemen 51
49 1.3.3 Dal²í tvrzení o limitách V ta 1.10 (limita a uspo ádání) Nech lim a n = A R a lim b n = B R. n + n + (i) Nech existuje n 0 N takové, ºe pro kaºdé p irozené n n 0 je a n b n. Potom A B. (ii) Nech A < B. Potom existuje n 0 N takové, ºe pro kaºdé p irozené n n 0 je a n < b n. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 49 / elemen 51
50 1.3.3 Dal²í tvrzení o limitách V ta 1.11 (o dvou stráºnících) Nech {a n } + n=1, {b n} + n=1, {c n} + n=1 jsou posloupnosti spl ující: (i) n 0 N n N, n n 0 : a n c n b n, (ii) existují Potom existuje Poznámka lim a n, n + lim b n, a navíc n + lim c n a platí n + lim c n = n + lim a n = n + lim a n. n + lim b n. n + Pokud lim a n =, není nutné uvaºovat ºádnou posloupnost {b n } a n + tvrzení v ty z stává v platnosti. Podobn je tomu v p ípad lim b n =, kdy "nepot ebujeme" posloupnost {a n } + n + n=1. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 50 / elemen 51
51 1.3.4 Hlub²í v ty o limitách V ta 1.12 (Bolzano-Weierstrassova v ta) Z kaºdé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentní podposloupnost. V ta 1.13 Posloupnost {a n } n=1 má vlastní limitu práv tehdy, kdyº spl uje Bolzano-Cauchyovu podmínku, tj. ε R, ε > 0 n 0 N n N, n n 0 m N, m n 0 : a n a m < ε. Aplikovaná matematika 1, NMAF071ZS 2017/18 Úvod: opakování 51 / elemen 51
Aplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační
VíceReálná ísla a posloupnosti Jan Malý
Reálná ísla a posloupnosti Jan Malý Obsah 1. Reálná ísla 1 2. Posloupnosti 2 3. Hlub²í v ty o itách 4 1. Reálná ísla 1.1. Úmluva (T leso). Pod pojmem t leso budeme v tomto textu rozum t pouze komutativní
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceAplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS
Aplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS 2012-13 Milan Pokorný MÚ MFF UK Sylabus = obsah (plán) přednášky 1. Úvod: něco málo o logice, teorii množin, číslech a zobrazeních; posloupnosti 2. Funkce jedné reálné
Více1. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) x cotg x 1. c) lim. g) lim e x 1. cos(x) =
I. L'HOSPITALOVO PRAVIDLO A TAYLOR V POLYNOM. Spo t te limity (m ºete pouºívat l'hospitalovo pravidlo) a) lim tg sin ( + ) / e e) lim a a i) lim a a, a > P ipome me si: 3 tg 4 2 tg b) lim 3 sin 4 2 sin
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
Více5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32
5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi Tomá² Sala MÚ UK, MFF UK ZS 2017/18 5. Aplikace diferenciálního a integrálního po tu v jedné dimenzi ZS 2017/18 1 / 32 5.1 Funkce spojité
VícePožadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15
Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita
Vícenazvu obecnou PDR pro neznámou funkci
Denice. Bu n N a Ω R d otev ená, d 2. Vztah tvaru F (x, u(x), Du(x),..., D (n 1) u(x), D (n) u(x)) = 0 x Ω (1) nazvu obecnou PDR pro neznámou funkci u : Ω R d R Zde je daná funkce. F : Ω R R d R dn 1 R
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceStátnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny
Kapitola 1 Státnice - Rekurzivní a rekurzivn spo etné mnoºiny 1.1 Rekurzivn spo etné mnoºiny Denice (Rekurzivní a rekurzivn spo etná mnoºina) Charakteristická funkce mnoºiny M ozna uje charakteristickou
VíceVečerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede
Večerní kurzy matematiky Letní studentská konference Tudy Cesta Nevede 1 Výroková logika výroky:a,b pravdivost výroku: 0 nepravda, 1 pravda logické spojky: A negace A A B konjunkce A B disjunkce A B implikace
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze na tabuli a nejsou zde obsaºeny.
VíceIntegrování jako opak derivování
Integrování jako opak derivování V tomto dokumentu budete seznámeni s derivováním b ºných funkcí a budete mít moºnost vyzkou²et mnoho zp sob derivace. Jedním z nich je proces derivování v opa ném po adí.
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceMatematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
VíceRovnice a nerovnice. Posloupnosti.
.. Veronika Sobotíková katedra matematiky, FEL ƒvut v Praze, http://math.feld.cvut.cz/ 30. srpna 2018.. 1/75 (v reálném oboru) Rovnicí resp. nerovnicí v reálném oboru rozumíme zápis L(x) P(x), kde zna
VíceSkalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu
Skalární sou in Jedním ze zp sob, jak m ºeme dva vektory kombinovat, je skalární sou in. Výsledkem skalárního sou inu dvou vektor, jak jiº název napovídá, je skalár. V tomto letáku se nau íte, jak vypo
VíceLimity funkcí v nevlastních bodech. Obsah
Limity funkcí v nevlastních bodech V tomto letáku si vysv tlíme, co znamená, kdyº funkce mí í do nekone na, mínus nekone na nebo se blíºí ke konkrétnímu reálnému íslu, zatímco x jde do nekone na nebo mínus
Více2. Ur íme sudost/lichost funkce a pr se íky s osami. 6. Na záv r na rtneme graf vy²et ované funkce. 8x. x 2 +4
Pr b h funkce V této jednotce si ukáºeme jak postupovat p i vy²et ování pr b hu funkce. P edpokládáme znalost po ítání derivací a limit, které jsou dob e popsány v p edchozích letácích tohoto bloku. P
VíceMatematická logika cvi ení 47
Matematická logika cvi ení 47 Libor B hounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 LS 2012/13, P F OU, 4.25. 3. 2013 Cvi ení 1. Posu te následující výroky z hlediska adekvátnosti dvojhodnotové sémantiky
Více1. Posloupnosti čísel
1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina
VíceModerní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018. 3. Reálná čísla
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 3. Reálná čísla RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny. K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel,
VíceBinární operace. Úvod. Pomocný text
Pomocný text Binární operace Úvod Milí e²itelé, binární operace je pom rn abstraktní téma, a tak bude ob as pot eba odprostit se od konkrétních p íklad a podívat se na v c s ur itým nadhledem. Nicmén e²ení
VíceMatematika 2 Úvod ZS09. KMA, PřF UP Olomouc. Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25
Matematika 2 Úvod Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 25 Studijní materiály web předmětu: aix-slx.upol.cz/ fiser St. Trávníček: Matematická analýza kag.upol.cz/travnicek/1-matan.
Více11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
VíceRelace. Základní pojmy.
Relace. Základní pojmy. I kdyº pojem funkce je v matematice jeden ze základních a nejd leºit j²ích, p esto se n které vztahy mezi objekty pomocí funkce popsat nedají. Jde o situace, kdybychom cht li p
VíceMATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR PŘEDNÁŠKA
MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR 2018 2019 PŘEDNÁŠKA LUBOŠ PICK 1. Logika, množiny a základní číselné obory 1.1. Logika. Logika je věda o formální správnosti myšlení. Formálně logická správnost spočívá
VíceOrganizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část
Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova
VícePr b h funkce I. Obsah. Maxima a minima funkce
Pr b h funkce I Maxima a minima funkce V této jednotce ukáºeme jak derivování m ºe být uºite né pro hledání minimálních a maximálních hodnot funkce. Po p e tení tohoto letáku nebo shlédnutí instruktáºního
VíceI. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet
I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x
VíceZákladní pojmy teorie mnoºin.
Základní pojmy teorie mnoºin. Mnoºina je základní stavební kámen moderní matematiky, i kdyº se v matematice tento pojem uºívá velmi dlouho. Uº anti tí e tí geomet i denovali kruºnici jako mnoºinu bod mající
VíceMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19
Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie
VíceKvantová logika podle Neumanna - problém nekone né dimenze
Kvantová logika podle Neumanna - problém nekone né dimenze Svatopluk Krýsl Matematický ústav Univerzity Karlovy Filozocké problémy informatiky 27. íjen 2015 1 Kvantová fyzika 2 Zachycující struktury -
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
Více1 Posloupnosti a řady.
1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
VíceDerivování sloºené funkce
Derivování sloºené funkce V tomto letáku si p edstavíme speciální pravidlo pro derivování sloºené funkce (te funkci obsahující dal²í funkci). Po p e tení tohoto tetu byste m li být schopni: vysv tlit pojem
VíceText m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe
Více0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 6. prosince 2016, 13:2015:20 ➊ (8 bod ) Vy²et ete stejnom rnou konvergenci ady na mnoºin R +. n=2 x n 1 1 4n 2 + x 2 ln 2 (n) ➋ (5 bod ) Detailn
VícePosloupnosti a jejich konvergence
a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace, integrály.
Vícep 2 q , tj. 2q 2 = p 2. Tedy p 2 je sudé číslo, což ale znamená, že
KAPITOLA 1: Reálná čísla [MA1-18:P1.1] 1.1. Číselné množiny Přirozená čísla... N = {1,, 3,...} nula... 0, N 0 = {0, 1,, 3,...} = N {0} Celá čísla... Z = {0, 1, 1,,, 3,...} Racionální čísla... { p } Q =
VíceVektor náhodných veli in - práce s více prom nnými
Vektor náhodných veli in - práce s více prom nnými 12. kv tna 2015 N kdy k popisu n jaké situace pot ebujeme více neº jednu náhodnou veli inu. Nap. v k, hmotnost, vý²ku. Mezi t mito veli inami mohou být
VíceZÁKLADNÍ MATEMATICKÉ POJMY
Kapitola 1 ZÁKLADNÍ MATEMATICKÉ POJMY 1.1 ƒíselné OBORY 1.1.1 Ozna ení íselných mnoºin Mnoºina v²ech p irozených ísel : N = {1, 2, 3,..., n, n + 1,...} Základní vlastnost: Kdyº k N, potom k + 1 N; Stru
VíceObsah. Pouºité zna ení 1
Obsah Pouºité zna ení 1 1 Úvod 3 1.1 Opera ní výzkum a jeho disciplíny.......................... 3 1.2 Úlohy matematického programování......................... 3 1.3 Standardní maximaliza ní úloha lineárního
VíceMATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy
MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. II. Základy matematické analýzy 1 Matematika I. I. Lineární algebra II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet 2 Matematika
VíceÚvod, základní pojmy, funkce
Úvod, základní pojmy, funkce Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 1. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 69 Obsah 1 Matematická logika 2 Množiny 3 Funkce,
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny N, N 0, Z, Q, I, R, C Definice: Kartézský součin M N množin M a N je množina všech uspořádaných dvojic, ve kterých je první složka prvkem množiny M a druhá
Více1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic. 2 Jednozna nost e²ení pro systém diferenciálních rovnic
1 Existence e²ení systému diferenciálních rovnic Denice. Funkci x : I R n, I otev ený interval, nazveme e²ením (DR), jestliºe 1. t I : (x(t), t) Ω 2. t I : x (t) vlastní 3. t I : x (t) = f(x(t), t) Lemma
Vícepokud A Rat(M), pak také A Rat(M).
Kone né automaty Pojem automat je historicky spojen s n jakou konstruktivní, algoritmickou procedurou rozhodující n jaký problém, i abstraktn ji e eno, rozhodující o tom, zda n jaký prvek pat í do dané
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
Více1 Základní pojmy. 1.1 Množiny
1 Základní pojmy V této kapitole si stručně připomeneme základní pojmy, bez jejichž znalostí bychom se v dalším studiu neobešli. Nejprve to budou poznatky z logiky a teorie množin. Dále se budeme věnovat
VícePosloupnosti a jejich konvergence POSLOUPNOSTI
Posloupnosti a jejich konvergence Pojem konvergence je velmi důležitý pro nediskrétní matematiku. Je nezbytný všude, kde je potřeba aproximovat nějaké hodnoty, řešit rovnice přibližně, používat derivace,
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita posloupnosti (I)
Matematická analýza pro informatiky I. 3. přednáška Limita posloupnosti (I) Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 25. února 2011 tomecek@inf.upol.cz
VíceOmezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina
Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená
VíceČíselné posloupnosti
Číselné posloupnosti Jiří Fišer KMA, PřF UP Olomouc ZS09 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MA2AA ZS09 1 / 43 Pojem posloupnosti Každé zobrazení N do R nazýváme číselná posloupnost. 1 a 1, 2 a 2, 3 a
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
VíceDoporučená literatura 1. Jako doplněk k přednáškám: V. Hájková, M. Johanis, O. John, O.F.K. Kalenda a M. Zelený: Matematika (kapitoly I IV)
Přednáška Matematika I v prvním semestru 2013-2014 Spojení na přednášejícího a konzultace Petr Holický, Matematicko fyzikální fakulta Katedra matematické analýzy Sokolovská 83, 2. patro e-mail: holicky@karlin.mff.cuni.cz
VíceP íklad 1 (Náhodná veli ina)
P íklad 1 (Náhodná veli ina) Uvaºujeme experiment: házení mincí. Výsledkem pokusu je rub nebo líc, ºe padne hrana neuvaºujeme. Pokud hovo íme o náhodné veli in, musíme p epsat výsledky pokusu do mnoºiny
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A st eda 19. listopadu 2015, 11:2013:20 ➊ (3 body) Pro diferenciální operátor ˆL je mnoºina W q denována p edpisem W q = { y(x) Dom( ˆL) : ˆL(y(x))
VíceMatematika I Posloupnosti
Matematika I Posloupnosti RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Posloupnost Def. Nekoneènou posloupností reálných èísel
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceZápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A
Zápo tová písemná práce. 1 z p edm tu 01MAB3 varianta A úterý 28. listopadu 2017, 9:2011:20 ➊ (8 bod ) Lze nebo nelze k rozhodnutí o stejnom rné konvergence ady ( 1) n+1 x ln(n) n 6 + n 2 x 4 na intervalu
VíceMatematická analýza. L. Pick a J. Spurný
Matematická analýza L. Pick a J. Spurný 25. května 200 Obsah Matematická analýza a 5 Výroky, důkazové techniky a množiny.................................... 5. Výroková a predikátová logika....................................
VíceVektory. Vektorové veli iny
Vektor je veli ina, která má jak velikost tak i sm r. Ob tyto vlastnosti musí být uvedeny, aby byl vektor stanoven úpln. V této ásti je návod, jak vektory zapsat, jak je s ítat a od ítat a jak je pouºívat
VíceI. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY
I. VRSTEVNICE FUNKCE, OTEV ENÉ A UZAV ENÉ MNOšINY 1. Ur ete a nakreslete deni ní obor a vrstevnice funkcí: a) f(, y) = + y b) f(, y) = y c) f(, y) = 2 + y 2 d) f(, y) = 2 y 2 e) f(, y) = y f) f(, y) =
VícePříklad 4.1 Zapište pomocí kvantifikátorů definice minima, maxima, infima a suprema podmnožiny R. Čemu se rovná sup a inf? 2n M = 3n + 1 n N.
4 4. týden 4.1 supremum a infimum množiny Příklad 4.1 Zapište pomocí kvantifikátorů definice minima, maxima, infima a suprema podmnožiny R. Čemu se rovná sup a inf? Příklad 4.2 Zkuste uhádnout sup M, inf
VíceDenice integrálu: Od Newtona k Bendové
Denice integrálu: Od Newtona k Bendové Jan MALÝ UK v Praze a UJEP v Ústí nad Labem OSMA, V B-TU Ostrava, 3. listopadu 2015 Jan MALÝ Od Newtona... 1 / 32 Toto není p edná²ka o historii matematiky. Jan MALÝ
VíceLimita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
VíceMatice a e²ení soustav lineárních rovnic
Úvod Tato sbírka úloh z lineární algebry je ur ena student m Fakulty elektrotechniky a informatiky V B - Technické univerzity Ostrava T mto student m je p edev²ím ur eno skriptum profesora Zde ka Dostála
VíceTeorie kategorií. Libor B hounek Verze ke dni 12. b ezna 2013.
Teorie kategorií Studijní materiál pro kurs ALGV00051 na FF UK v LS 2012/13 Dal²í informace: www.cs.cas.cz/behounek/teaching/cat12 Libor B hounek behounek@cs.cas.cz Verze ke dni 12. b ezna 2013. Organiza
Více1. (18 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i 400 nezávislých hodech mincí. a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost
(8 bod ) Náhodná veli ina X je po et rub p i nezávislých hodech mincí a) Pomocí ƒeby²evovy nerovnosti odhadn te pravd podobnost P ( X EX < ) (9 bod ) b) Formulujte centrální limitní v tu a pomocí ní vypo
VíceDefinice. Na množině R je dána relace ( R R), operace sčítání +, operace násobení a množina R obsahuje prvky 0 a 1 tak, že platí
1. Úvod 1.1. Výroky a metody důkazů Výrok je tvrzení, o kterém má smysl říci, že je pravdivé či ne. Vytváření nových výroků: Logické spojky & a, Implikace, Ekvivalence, Negace. Obecný kvatifikátor a existenční
VíceMatematická analýza I Martin Klazar (Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné)
Matematická analýza I Martin Klazar (Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné) 0. Úvod a opakování (značení, operace s množinami apod.) 1. Reálná čísla a jejich vlastnosti Uspořádané těleso Komutativní
VíceLineární algebra pro fyziky. Zápisky z p edná²ek. Dalibor míd
Lineární algebra pro fyziky Zápisky z p edná²ek Dalibor míd ƒást 1 První semestr KAPITOLA 1 Soustavy lineárních rovnic Nejjednodu²²í lineární rovnicí je Popisuje p ímku v rovin Podobn 1 Úvod 2x y = 3
VícePo etní geometrie. Výpo et délky p epony: c 2 = a 2 + b 2 Výpo et délky odv sny: a 2 = c 2 b 2, b 2 = c 2 a 2
Po etní geometrie Pythagorova v ta Obsah tverce nad p eponou je roven sou tu obsah tverc nad ob ma odv snami. Výpo et délky p epony: c = a + b Výpo et délky odv sny: a = c b, b = c a P íklad 1: Vypo t
Více3. Polynomy Verze 338.
3. Polynomy Verze 338. V této kapitole se věnujeme vlastnostem polynomů. Definujeme základní pojmy, které se k nim váží, definujeme algebraické operace s polynomy. Diskutujeme dělitelnost polynomů, existenci
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceSeminá e. Ing. Michal Valenta PhD. Databázové systémy BI-DBS ZS 2010/11, sem. 1-13
Seminá e Ing. Michal Valenta PhD. Katedra softwarového inºenýrství Fakulta informa ních technologií ƒeské vysoké u ení technické v Praze c Michal Valenta, 2010 Databázové systémy BI-DBS ZS 2010/11, sem.
VíceCílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.
1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceVYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.
VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými
VíceText může být postupně upravován a doplňován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na stažení souboru. Veronika Sobotíková
Tento text není samostatným studijním materiálem. Jde jen o prezentaci promítanou na přednáškách, kde k ní přidávám slovní komentář. Některé důležité části látky píšu pouze na tabuli a nejsou zde obsaženy.
Víceprof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Základní pojmy prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceMATEMATIKA I. Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15. I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie
MATEMATIKA I Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Základy, lineární algebra a analytická geometrie 1. Základní pojmy (a) Základy teorie množin: množina a její prvky, podmnožina, průnik,
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 1. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 14. února 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceLimita posloupnosti a funkce
Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti
VícePravd podobnost a statistika - cvi ení. Simona Domesová místnost: RA310 (budova CPIT) web:
Pravd podobnost a statistika - cvi ení Simona Domesová simona.domesova@vsb.cz místnost: RA310 (budova CPIT) web: http://homel.vsb.cz/~dom0015 Cíle p edm tu vyhodnocování dat pomocí statistických metod
VícePřednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce
Přednáška 9, 28. listopadu 2014 Část 4: limita funkce v bodě a spojitost funkce Zápisem f : M R rozumíme, že je dána funkce definovaná na neprázdné množině M R reálných čísel, což je množina dvojic f =
Vícea = a 0.a 1 a 2 a 3...
Reálná čísla Definice 1 Nekonečným desetinným rozvojem čísla a nazýváme výraz a = a 0.a 1 a 2 a 3... kde a 0 je celé číslo a každé a i, i =1, 2,... je jedna z číslic 0,...,9. Pokud existuje m N takové,
VíceMATEMATICKÁ ANALÝZA 1, NMMA101, ZIMNÍ SEMESTR POPIS PŘEDMĚTU A INFORMACE K ZÁPOČTU A KE ZKOUŠCE
MATEMATICKÁ ANALÝZA 1, NMMA101, ZIMNÍ SEMESTR 2018 2019 POPIS PŘEDMĚTU A INFORMACE K ZÁPOČTU A KE ZKOUŠCE LUBOŠ PICK Popis předmětu Jde o první část čtyřsemestrálního základního kursu matematické analýzy.
VíceErgodické Markovské et zce
1. b ezen 2013 Denice 1.1 Markovský et zec nazveme ergodickým, jestliºe z libovolného stavu m ºeme p ejít do jakéhokoliv libovolného stavu (ne nutn v jednom kroku). Denice 1.2 Markovský et zec nazveme
Vícegoniometrickém tvaru z 1 = z 1 (cosα 1 +isinα 1 ), z 2 = z 2 (cosα 2 +isinα 2 ) Jejich součin = z 1 ( z 2 z 2 Jejich podíl: n-tá mocnina:
KMA/MAT1 Matematika 1 Přednáška č. 2 Jiří Fišer 26. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 26. září 2016 1 / 24 Součin, podíl a mocniny komplexních čísel v goniometrickém tvaru Dvě nenulová
VíceMatematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci
Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci petr.salac@tul.cz jiri.hozman@tul.cz 26.9.2016 Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická
VíceCo je to tensor... Vektorový prostor
Vektorový prostor Co je to tensor... Tato ást je tu jen pro p ipomenutí, pokud nevíte co je to vektorový prostor, tak tení tohoto textu ukon ete na konci této v ty, neb zbytek textu by pro Vás nebyl ni
Více