Vícekriteriální rozhodování za jistoty

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Vícekriteriální rozhodování za jistoty"

Transkript

1 Kapitola 1 Vícekriteriální rozhodování za jistoty Při řešení rozhodovacích problémů se často setkáváme s případy, kdy optimální rozhodnutí musí vyhovovat více než jednomu kritériu. Zadaná kritéria mohou mít kvantitativní i kvalitativní charakter (při koupi automobilu je rozhodující jak jeho cena, tak i vzhled), mohou být maximalizační i minimalizační (požadujeme, aby zakoupený automobil dosahoval co největší rychlosti a byl co nejlacinější) a mohou být i navzájem konfliktní (nízká cena výrobku je zpravidla spojena s jeho horší kvalitou). Úlohy vícekriteriálního rozhodování můžeme klasifikovat podle způsobu zadání množiny variant, které pro optimální rozhodnutí připadají v úvahu (jde o tzv. přípustné varianty). Je-li tato množina určena konečným seznamem variant, hovoříme o vícekriteriálním hodnocení variant. Je-li množina přípustných variant zadána podmínkami, které musí být při výběru optimální varianty splněny, jde o úlohy vícekriteriálního programování (též vícekriteriální nebo vektorové optimalizace). V těchto úlohách varianty rozhodnutí představují n-tice nezáporných čísel, které vyhovují daným omezujícím podmínkám a kterých může být nekonečně mnoho. Kritéria pro výběr nejvýhodnější varianty jsou vyjádřena účelovými funkcemi a musí být tedy pouze kvantitativní. Jednoduchým příkladem vícekriteriálního hodnocení variant je následující úloha, na které budou ilustrovány všechny používané pojmy a metody. Příklad 1. Uchazeč o zaměstnání se rozhoduje mezi firmami A, B, C, přičemž tato pracoviště posuzuje podle výše měsíčního platu (tis.kč), doby strávené na cestě do zaměstnání (minuty), možnosti dalšího odborného růstu (hodnocení 1, 2, 3 pro malou, střední a velkou možnost) a začátku pracovní doby (hodiny:minuty). Potřebné údaje jsou uvedeny v tabulce 1.1 Základní pojmy K 1 K 2 K 3 K 4 firma A :00 firma B :30 firma C :00 Rozhodnutí - výběr jedné nebo více variant z množiny všech přípustných variant. V našem případu je to výběr firmy, u které se uchazeč nechá zaměstnat. Rozhodovatel subjekt, který má za úkol učinit rozhodnutí. Člověk, který vybírá vhodné zaměstnání. V úlohách vícekriteriální analýzy variant je dána konečná (diskrétní) množina m variant, které jsou hodnoceny podle n kritérií. Cílem je učinit rozhodnutí, která varianta je podle daných kritérií hodnocena nejlépe. Jedná se o tzv. optimální variantu. Varianty lze seřadit od nejlepší po nejhorší nebo je rozdělit na efektivní a neefektivní varianty. 1

2 KAPITOLA 1. VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA JISTOTY 2 Varianty (alternativy) konkrétní rozhodovací možnosti, které jsou realizovatelné. V následujícím textu je budeme značit A i (pro i = 1, 2,..., m ). Varianty jsou firmy A, B, C. Kritéria hlediska, ze kterých jsou varianty posuzovány. Dále je budeme značit K j (pro j = 1, 2,..., n ). Kritéria jsou výše měsíčního platu, doba cesty do zaměstnání, možnost dalšího odborného růstu, začátek pracovní směny. Kriteriální matice - je-li hodnocení variant podle kritérií kvantifikováno, údaje uspořádáváme do kriteriální matice Y = (y i,j ). Prvky této matice vyjadřují hodnocení i-té varianty podle j-tého kritéria. Řádky odpovídají variantám, sloupce kritériím. Klasifikace kritérií dle povahy maximalizační nejlepší hodnoty mají nejvyšší hodnoty (výše měsíčního platu, možnost odborného růstu, začátek pracovní doby) minimalizační nejlepší hodnoty mají nejmenší hodnoty (doba cesty do zaměstnání) Vhodné je před hodnocením převést všechna kritéria na jeden typ. Pokud chceme například převést minimalizační kritérium na maximalizační, vybereme ve sloupci příslušného kritéria největší číslo a od tohoto čísla odečítáme ostatní kriteriální hodnoty v daném sloupci. Výsledkem je potom vzdálenost skutečné hodnoty od hodnoty nejhorší, čím je tato vzdálenost větší, tím lépe, kritérium je tedy maximalizační. V našem příkladu je minimalizační K 2, pokud hodnoty budeme chtít převést na maximalizační, vybereme největší číslo ve druhém sloupci (60), pro všechny prvky v druhém sloupci vypočteme rozdíl mezi nejhorší hodnotou (60) a ostatními hodnotami a získáme čísla 0, 30, 15. Víme tedy například, že při volbě varianty B budeme dojíždět do práce o 15 minut kratší dobu než u varianty A. Většina programů pro vícekriteriální hodnocení variant vyžaduje pouze zadání typu kritéria a program provede standardizaci všech kritérií na výnosový typ sám. dle kvantifikovatelnosti kvantitativní objektivně měřitelné údaje (výše měsíčního platu, doba cesty do zaměstnání, začátek pracovní doby) kvalitativní nelze objektivně měřit, varianty jsou hodnoceny slovně, proto je nutné užít k převedení slovního hodnocení různé bodovací stupnice či relativní hodnocení variant (možnost dalšího odborného růstu) Preference kritéria důležitost kritéria v porovnání s ostatními kritérii. Vyjádření preference aspirační úroveň hodnota kritéria, které má být dosaženo (například uchazeč požaduje měsíční plat alespoň 25 tis. Kč, aby se nabídkou práce začal zabývat) pořadí kritérií (ordinální informace o kritériích) - posloupnost kritérií od nejdůležitějšího po nejméně důležité váhy kritérií kardinální informace o kritériích; váha je hodnota z intervalu a vyjadřuje relativní důležitost kritéria v porovnání s ostatními kompenzace kriteriálních hodnot jsou vyjádřeny mírou substituce mezi kriteriálními hodnotami (možno vyrovnat špatné kriteriální hodnoty podle jednoho kritéria lepšími hodnotami podle jiného kritéria)

3 KAPITOLA 1. VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA JISTOTY 3 Varianty se speciálními vlastnostmi Dominovaná varianta pokud jsou všechna kritéria maximalizační, varianta a i dominuje variantu a j pokud existuje alespoň jedno kritérium k l, že y il > y jl, přičemž pro ostatní kritéria platí (y i1, y i2,..., y in ) (y j1, y j2,..., y jn ). V našem případě taková varianta neexistuje, ale byla by to například taková, která by měla výši měsíčního platu 26 tisíc Kč, doba dojíždění by byla 60 minut, možnost odborného růstu by byla malá a začátek pracovní doby by byl v 7:30 Paretovská varianta, nedominovaná varianta varianta, která není dominovaná žádnou jinou variantou. Ideální varianta hypotetická či reálná varianta, která dosahuje ve všech kritériích nejlepší možné hodnoty. Taková varianta by dominovala všechny ostatní varianty. Ideální by bylo, kdyby měsíční plat byl 30 tis. Kč, doba dojíždění by byla 30 minut, u firmy by byla velká možnost odborného růstu a začátek pracovní doby by byl v 9:00. Taková skutečná firma (varianta) v seznamu možných variant není, proto je tato varianta pouze hypotetická. Kdyby taková skutečně existovala, uchazeč by si ji vybral a nemusel by hledat kompromisní řešení. Bazální varianta hypotetická či reálná varianta, jejíž ohodnocení je nejhorší podle všech kritérií. Taková varianta by byla dominovaná ostatními variantami. V našem případě by taková varianta zahrnovala výši měsíčního platu 22 tis. Kč, dojíždění by trvalo 60 minut, možnost odborného růstu by byla malá a pracovní doba by začínala v 7:30. Taková varianta mezi skutečnými variantami není, uchazeč by ji jinak mohl rovnou vyřadit, byla by dominovaná. Kompromisní varianta jediná nedominovaná varianta doporučená k řešení, vybraná podle různých pravidel - viz dále. Vlastnosti, které by měla mít kompromisní varianta: nedominovanost varianta nesmí být dominovaná jinou variantou invariance vzhledem k pořadí kritérií pořadí kritérií neovlivňuje výběr kompromisní varianty, invariance vzhledem k měřítku kriteriálních hodnot pokud ke všem prvkům přičteme stejné číslo (vynásobíme stejným číslem), množina vybraných variant nebo vybraná varianta se nesmí změnit, nezávislost na identických hodnotách téhož kritéria vyskytne-li se kritérium, jehož hodnoty jsou pro všechny varianty zhruba stejné, nesmí se změnit množina vybraných variant invariance vzhledem k přidaným dominovaným variantám přidáme-li do množiny variant dominovanou variantu, vybraná kompromisní varianta se nesmí změnit. determinovanost podle každého přístupu nejméně jedna varianta musí být vybrána jako kompromisní jednoznačnost zvolený postup dává jednoznačný výsledek, jednu variantu označí jako kompromisní 1.2 Metody stanovení vah kritérií Většina metod vícekriteriálního rozhodování vyžaduje odlišení jednotlivých kritérií z hlediska jejich významnosti. Jednou z možností je číselné vyjádření této významnosti pomocí tzv. vah (čím je kritérium významnější, tím je jeho váha větší). Váhu kritéria K j budeme značit v j, j = 1, 2,..., n, kde n je počet všech uvažovaných kritérií. Aby váhy kritérií, stanovené různými metodami, popř. různými experty, byly srovnatelné, vyjadřujeme je v normovaných hodnotách w j, které počítáme podle vztahu 1.2 w j = v j n, j = 1, 2,..., n (1.1) v k k=1

4 KAPITOLA 1. VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA JISTOTY 4 Normované váhy představují nezáporná čísla, jejichž součet se rovná jedné. Rozdělení metod pro stanovení vah kritérií Metody na stanovení vah kritérií lze rozdělit podle informace, která je nutná ke stanovení vah. rozhodovatel nemůže určit preference V případě, že rozhodovatel není schopen rozlišit důležitost jednotlivých kritérií, všem kritériím je přiřazena stejná váha. Máme-li tedy například pět kritérií (n = 5), každému z nich je přiřazena váha 0,2 (w j = 1 n ). rozhodovatel má ordinální informaci o kritériích V takovém případě je rozhodovatel schopen určit pořadí důležitosti kritérií. Mezi metody vyžadující ordinální informaci o kritériích patří metoda pořadí a Fullerova metoda rozhodovatel má kardinální informace o kritériích rozhodovatel zná nejen pořadí, ale i rozestupy v pořadí preferencí mezi jednotlivými kritérii. Mezi metody založené na tomto principu patří bodovací metoda a Saatyho metoda Pro vlastní hodnocení variant stačí, aby si rozhodovatel vybral jednu metodu, tou spočítal váhy a s těmito váhami počítal dále. Metoda pořadí Rozhodovatel seřadí kritéria K 1, K 2,..., K n od nejvýznamnějšího k nejméně významnému a takto uspořádaným kritériím přiřadí váhy n, n 1,..., 2, 1. Pro normovanou váhu kritéria K j s vahou v j pak platí w j = v j n, j = 1, 2,..., n. (1.2) v k k=1 Řešený příklad 1. Spočítejte váhy kritérií z příkladu 1 metodou pořadí, pokud víte, že uchazeč preferuje kritéria v tomto pořadí: K 1, K 3, K 2, K 4 Řešení. Například kritérium K 1 je první v pořadí ze čtyř kritérií, proto přiřadíme tomuto kritérii 4 body. Celkový počet bodů přidělený všem kritériím je 10. Váha se pak vypočte jako podíl bodů přiřazených tomuto kritériu na celkovém počtu přiřazených bodů, tedy w 1 = 4/10 = 0, 4. Stejně tak přiřazujeme body podle pořadí dalším kritériím a váhy jsou pak následující: K 3 = 0, 3, K 2 = 0, 2 a K 4 = 0, 1. Fullerova metoda Při větším počtu kritérií je výhodné srovnávat navzájem vždy pouze dvě kritéria, o kterých snáze rozhodneme, které je důležitější. Jednu z možností pro vyhodnocení těchto srovnání poskytuje tzv. Fullerův trojúhelník. Za předpokladu, že jednotlivá kritéria jsou pevně očíslována pořadovými čísly 1, 2,, n, Fullerův trojúhelník je tvořen dvojřádky, v nichž každá dvojice kritérií se vyskytne právě jednou (viz schéma). U každé dvojice hodnotitel zakroužkuje nebo jinak vyznačí číslo toho kritéria, které považuje za důležitější, takže pro kritérium K j představuje počet zakroužkovaných čísel j počet jeho preferencí, který označíme f j. Protože při počtu kritérií n je počet párových srovnání roven kombinačnímu číslu, tj. pro normovanou váhu kritéria K j platí Schéma Fullerova trojúhelníku w j = f j n(n 1) 2, j = 1, 2,..., n (1.3)

5 KAPITOLA 1. VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA JISTOTY n n... n-2 n-2 n-1 n n-1 n Řešený příklad 2. Spočítejte váhy kritérií z příkladu 1 Fullerovou metodou, pokud víte, že uchazečovy preference jsou následující: K 1 K 3 K 2 K 4. Řešení. Zapíšeme každou dvojici kritérií do Fullerova trojúhelníku a tučně označíme to kritérium, které je ve dvojici preferováno Pro každé kritérium spočítáme kolikrát je označené jako preferované před jiným kritériem Kritérium Počet preferencí Váha K 1 3 1/2 K 2 1 1/6 K 3 2 1/3 K Celkem 6 1 Nevýhodou metody párového srovnávání je skutečnost, že nejméně důležité kritérium má nulovou váhu, i když nemusí jít o zcela bezvýznamné kritérium. Tento nedostatek lze odstranit tak, že četnost preferencí každého kritéria zvýšíme o 1 a jmenovatele zlomku ve vzorci (1.3) zvýšíme o n. Řešený příklad 3. Spočítejte váhy Fullerovou metodou tak, aby žádné z kritérií nemělo nulovou váhu. Preference jsou shodné se zadáním řešeného příkladu 2. Řešení. Vezmeme výsledky řešeného příkladu 2, navýšíme počet preferencí o jednotku, tím nám vzroste celkový počet porovnávání na 10 a váhy se pak počítají jako podíl počtu preferencí daného kritéria a celkového počtu porovnávání. Kritérium Počet preferencí Váha Navýšený počet preferencí Upravená váha K 1 3 1/2 4 0,4 K 2 1 1/6 2 0,2 K 3 2 1/3 3 0,3 K ,1 Celkem Existují modifikace metody párového srovnávání kritérií, které připouštějí stejnou důležitost nebo nesrovnatelnost některých kritérií, ale těmi se v tomto kurzu neudeme zabývat. Pokud tedy budeme

6 KAPITOLA 1. VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA JISTOTY 6 chtít použít Fullerovu metodu, musíme být schopni pomocí relace preference kritéria uspořádat. Bodovací metoda Na rozdíl od metody pořadí, která vychází pouze z porovnání významnosti jednotlivých kritérií, při bodovací metodě se důležitost kritérií ohodnotí počtem bodů (čím je kritérium důležitější, tím má větší počet bodů). Bodovací stupnice může mít větší či menší rozsah např. 1 až 5, 1 až 10 apod. Přidělený počet bodů se převádí na normovanou váhu dle vzorce (1.2). Zvláštním případem bodovací metody je alokace 100 bodů (zvaná též Metfesselova alokace), kdy mezi jednotlivá kritéria se v souladu s jejich důležitostí rozděluje 100 bodů. Normované váhy jsou potom stokrát menší než příslušný počet bodů. Řešený příklad 4. Předpokládejte, že vy sami jste uchazečem o zaměstnání z příkladu 1. Spočítejte váhy kritérií z příkladu 1 bodovací metodou. Řešení. Nejprve si musíme nejen srovnat kritéria podle pořadí preferencí, ale i určit sílu těchto preferencí. Jedno z možných bodových ohodnocení spolu s výslednými váhami pro takové bodové ohodnocení je v následující tabulce. Kritérium Počet bodů Váha K ,5 K ,2 K ,25 K 4 5 0,05 Celkem Metoda kvantitativního párového srovnávání (Saatyho metoda) Kromě výběru preferovaného kritéria se určuje pro každou dvojici kritérií také velikost této preference (SAATY,1990). K vyjádření velikosti preferencí SAATY doporučuje bodovou stupnici: Vyjádření preferencí číselné slovní 1 kritéria jsou stejně významná 3 první kritérium je slabě významnější než druhé 5 první kritérium je silně významnější než druhé 7 první kritérium je velmi silně významnější než druhé 9 první kritérium je absolutně významnější než druhé Pro citlivější vyjádření preferencí je možné použít i mezistupně (2, 4, 6, 8). Velikost preferencí i-tého kritéria proti j-tému můžeme uspořádat do Saatyho matice S, jejíž prvky s ij představují odhady podílů vah kritérií (kolikrát je jedno kritérium významnější než druhé): Matice S je čtvercová řádu r n a pro prvky matice S platí s ij v i v j, i, j = 1, 2,..., n (1.4) s ij = 1 s ji, i, j = 1, 2,..., n (1.5) tedy matice S je reciproční. Na diagonále matice S jsou vždy hodnoty jedna (každé kritérium je samo sobě rovnocenné). Dříve než se počítají váhy jednotlivých kritérií, je nutné ověřit, zda zadaná matice párových porovnávání je konzistentní. Uvažujme ideální matici V = (v ij ), pro jejíž prvky by platilo v hj = v hi v ij pro i, j, h = 1, 2,..., n. Taková matice by byla dokonale konzistentní.

7 KAPITOLA 1. VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA JISTOTY 7 Příklad 2. Mějme matici párových srovnávání pro tři kritéria: K 1 K 2 K 3 K 1 K 2 K / /6 1/3 1 Prvky této matice jsou plně konzistentní, neboť platí nebo-li 6 = 2 3. s 13 = s 12 s 23 Pokud je kritérií více, je téměř nemožné zadat odhady vah kritérií tak, aby matice byla dokonale konzistentní. V takovém případě se počítá míra konzistence. V rámci našeho kurzu nebudeme míru konzistence počítat, konzistenci budeme sledovat pouze ve výsledcích, které budou k dispozici díky užití softwaru. V případě zájmu o výpočet indexu konzistence doporučujeme literaturu... Při stanovování vah můžeme vycházet z podmínky, že matice S by se měla od matice V lišit co nejméně. Potom minimalizujeme součet odchylek stejnolehlých prvků obou matic: n n [ F = s ij v ] i ] 2 min (1.6) v j za podmínky r j=1 i=1 j=1 v j = 1 a v j 0 pro i, j = 1, 2,..., n. Další metoda, jak stanovit váhy je logaritmická metoda nejmenších čtverců. Řešíme n n F = [ln s ij (ln v i ln v j )] 2 min (1.7) za podmínky r j=1 i=1 j=1 v j = 1 a v j 0 pro i, j = 1, 2,..., n. Saaty navrhl početně jednoduchý způsob, jak spočítat váhy. Řešením je normalizovaný geometrický průměr řádků matice S: [ ] 1 n r s ij w i = i=1 j=1 [ n n j=1 s ij ] 1 n Pokud je matice S plně konzistentní, popřípadě dostatečně konzistentní, váhy kritérií vypočítané podle vztahu 1.8 odpovídají požadavkům na jejich preferenci. Pokud matice S není konzistentní, je nutné upravit odhady důležitosti jednotlivých kritérií v původní matici S a tím zlepšit jejich konzistenci. (1.8) Řešený příklad 5. Nejprve provedeme u našeho příkladu 1 porovnání důležitosti mezi všemi dvojicemi kritérií a tato porovnání uspořádáme do Saatyho matice párových srovnání. K 1 K 2 K 3 K 4 K 1 K 2 K 3 K /5 1 1/2 4 1/ /7 1/4 1/5 1

8 KAPITOLA 1. VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA JISTOTY 8 Řešení. Vzhledem k tomu, že matice je dostatečně konzistentní (zjistili jsme v softwaru Sanna), nemusíme upravovat sílu preferencí mezi kritérii a přistoupíme k výpočtu vah podle vztahu 1.8. geometrický průměr vážený geometrický průměr (w i ) K K K K suma Metoda postupného rozvrhu vah Při velkém počtu kritérií je vhodné seskupit kritéria do dílčích skupin podle příbuznosti jejich věcné náplně. Váhy jednotlivých kritérií pak určíme tak, že stanovíme normované váhy jednotlivých skupin kritérií (pomocí některé z dříve uvedených metod) stanovíme normované váhy každého kritéria v příslušné skupině vynásobením vah skupin kritérií a vah jednotlivých kritérií v rámci každé skupiny zjistíme výsledné normované váhy kritérií Uvedený postup je ilustrován na následujícím příkladu: Výrobní firma uvažující o vytvoření společného podniku hledá partnera, který by co nejlépe vyhovoval těmto kritériím: K 1... možnost kooperace v klíčových výrobních programech firmy K 2... kompatibilnost technologie K 3... technická úroveň partnera K 4... možnost dodávat zboží na trhy partnera K 5... možnost samostatně vystupovat na zahraničních trzích K 6... finanční výsledky hospodaření partnera v posledním roce K 7... velikost finančního vkladu partnera do společného podniku K 8... vzdálenost sídla partnera od sídla firmy K 9... image firmy partnera Uvedený soubor kritérií lze podle jejich obsahové příbuznosti rozdělit do čtyř skupin: kritéria výrobně-technologická (skupina S 1 s kritérii K 1, K 2, K 3 ) kritéria obchodní (skupina S 2 s kritérii K 4, K 5 ) kritéria finanční (skupina S 3 s kritérii K 6, K 7 ) ostatní (skupina S 4 s kritérii K 8, K 9 ) Za předpokladu, že byly stanoveny váhy těchto skupin kritérií a váhy jednotlivých kritérií v rámci uvažovaných skupin, výše popsaným postupem byly spočítány a do posledního řádku následující tabulky zapsány výsledné váhy jednotlivých kritérií. Skupina kritérií S 1 S 2 S 3 S 4 Váhy skupin kritérií 0,3 0,2 0,4 0,1 Kritéria K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K 7 K 8 K 9 Váhy kritérií 0,5 0,2 0,3 0,5 0,5 0,3 0,7 0,4 0,6 Výsledn váhy kritérií 0,15 0,06 0,09 0,1 0,1 0,12 0,28 0,04 0,06

9 KAPITOLA 1. VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA JISTOTY 9 Váhy kritérií patří k údajům subjektivního charakteru, závisejícím jednak na použití metody, jednak na hodnotiteli. Doporučuje se proto aplikovat více metod, zapojit více hodnotitelů a získané hodnoty průměrovat. Stejně jako lze kritéria rozdělit do skupin a každé skupině přidělit váhu, může hodnocení provádět více hodnotitelů, každému hodnotiteli je pak přidělena váha, kterou hodnotitel dělí mezi kritéria. 1.3 Metody stanovení pořadí variant Cílem metod vícekriteriálního hodnocení variant je stanovení pořadí výhodnosti jednotlivých variant z hlediska zvolených kritérií, přičemž varianta s nejlepším umístěním představuje nejlepší kompromisní variantu. Metody pro výběr kompromisní varianty mezi nedominovanými variantami se liší přístupem k pojmu kompromisní varianta, náročností a použitelností pro různé typy vícekriteriálních úloh. Výsledky získané různými metodami mají tedy subjektivní charakter a mohou se navzájem lišit. Metody je možné rozdělit podle toho, jaký typ informace vyžadují. Metody vyžadující aspirační úrovně kriteriálních hodnot Do této skupina metod patří například konjunktivní metoda, disjunktivní metoda a metoda PRIAM. Informace o důležitosti kritérií je vyjádřena aspirační úrovní kritérií. Porovnávají se kriteriální hodnoty všech variant s aspiračními úrovněmi všech kritérií. Obvykle se rozdělí skupina variant na dvě skupiny. Varianty, které mají horší kriteriální hodnoty, než je nastavená aspirační úroveň (neakceptovatelné, neefektivní) a varianty, které mají lepší nebo stejné kriteriální hodnoty, než je aspirační úroveň (akceptovatelné, efektivní). Při dostatečném zpřísnění aspiračních úrovní může v množině akceptovatelných variant zůstat varianta jediná, kterou označíme jako kompromisní. Metody vyžadující ordinální informace o variantách podle každého kritéria Jsou to například metoda pořadí, lexikografická metoda, permutační metoda, metoda ORESTE Metody vyžadující kardinální informace o variantách podle každého kritéria Tato skupina metod se dále rozděluje na dílčí podskupiny podle principu, na kterém jsou hodnocení založena. Existují tyto základní přístupy: maximalizace užitku (metoda váženého součtu, metoda bázické varianty, metoda AHP, metoda bodovací) minimalizace vzdálenosti od ideální varianty, popř. maximalizace vzdálenosti od bazální varianty (TOPSIS) preferenční relace (ELECTRE, PROMETHEE) metody založené na mezní míře substituce (metoda postupné substituce) Některé zmíněné metody budou vysvětleny dále, jiné popisují např. Fiala (1994) nebo Brožová (2003). Konjunktivní a disjunktivní metoda Při aplikaci těchto metod je nutné, aby byly známé aspirační úrovně všech kritérií a kardinální ohodnocení variant podle jednotlivých kritérií. Podle aspirační úrovně rozdělíme varianty na akceptovatelné a neakceptovatelné. V případě konjunktivní metody připustíme pouze varianty, které splňují všechny aspirační úrovně. Nejprve předpokládejme, že všechna kritéria jsou maximalizační. Ze všech možných variant - alternativ A i budou pak v množině akceptovatelných variant M ty varianty, které podle všech posuzovaných hledisek mají alespoň hodnotu předem stanovené aspirační úrovně z j nebo hodnotu větší. Matematicky můžeme zapsat

10 KAPITOLA 1. VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA JISTOTY 10 M = { A i y ij z j, j 1, 2,..., n}. (1.9) Nyní předpokládejme, že jsou všechna kritéria minimalizační. Ze všech možných variant - alternativ A i budou pak v množině akceptovatelných variant M ty varianty, které podle všech posuzovaných hledisek mají nejvýše hodnotu předem stanovené aspirační úrovně z j nebo hodnotu menší. Matematicky můžeme zapsat M = { A i y ij z j, j 1, 2,..., n}. (1.10) Běžně se v úlohách vyskytují jak maximalizační, tak minimalizační kritéria. Potom můžeme říci, že do množiny M (množiny akceptovatelných variant) patří pouze varianty, které podle všech kritérií dosahují předem stanovenou aspirační úroveň nebo jsou ještě lepší. V případě disjunktivní metody připustíme varianty, které splňují alespoň jeden požadavek. V případě maximalizačních kritérií platí, že ze všech možných variant - alternativ A i budou pak v množině akceptovatelných variant M ty varianty, které alespoň podle jednoho posuzovaného hlediska mají alespoň hodnotu předem stanovené aspirační úrovně z j nebo hodnotu větší. Matematicky můžeme zapsat M = { A i y ij z j, j 1, 2,..., n}, (1.11) V případě minimalizačních kritérií platí, že ze všech možných variant - alternativ A i budou pak v množině akceptovatelných variant M ty varianty, které alespoň podle jednoho posuzovaného hlediska mají alespoň hodnotu předem stanovené aspirační úrovně z j nebo hodnotu menší. Matematicky můžeme zapsat M = { A i y ij z j, j 1, 2,..., n}, (1.12) Pokud jsou požadavky vyjádřeny aspiračními úrovněmi příliš přísné, je množina akceptovatelných variant prázdná. V takovém případě je nutno zadat nové, mírnější aspirační úrovně. A naopak, budou-li požadavky mírné, množina variant bude příliš velká. Pak je nutné aspirační úrovně zpřísnit. Řešený příklad 6. Vezměme u našeho příkladu 1 tyto aspirační úrovně: z 1 = 25, z 2 = 45, z 3 = 2, z 4 = 8. Určete, které varianty jsou akceptovatelné a které nikoliv. Řešení. Pokud problém budeme řešit konjunktivní metodou, jediná varianta, která vyhovuje všem aspiračním úrovním, je varianta C. Pokud k řešení přistoupíme metodou disjunktivní, pak alespoň z jednoho hlediska vyhovují všechny varianty. Metoda PRIAM (Programme utilisatnt lintelligence Artificiele en Multicritere) Tato metoda je založena na postupném prohledávání množiny variant v s krocích, aby bylo nalezeno jediné nedominované řešení. Požadované informace jsou ohodnocení variant podle jednotlivých kritérií. Každá varianta A i je zobrazena vektorem kriteriálních hodnot y i Y (jeden z řádků kriteriální matice). Aspirační úroveň j-tého kritéria v s-tém kroku je označena zj s a změny aspirační úrovně j-tého v s-tém kroku zj s. Rozhodovatel navrhne první aspirační úroveň kritérií z (0) = (z (0) 1, z (0) 2,..., z (0) n ). (1.13) Zpravidla se aspirační úroveň v nultém kroku stanoví jako nejhorší hodnota podle každého kritéria. Tímto sítem projdou všechny varianty. Nebo-li pro všechny varianty (jejich kriteriální hodnoty) platí y i z (0). (1.14)

11 KAPITOLA 1. VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA JISTOTY 11 Obecně do dalšího kola projdou varianty, které splňují požadované aspirační úrovně. Počet variant splňující tyto aspirační úrovně udává číslo d. Vzhledem k hodnotě d rozhodovatel mění aspirační úroveň kritérií pro krok s + 1 z (s+1) = z (s) + z (s). (1.15) Podle hodnoty čísla d (počet variant, které splňují požadavky) nastávají tři případy: d > 1 - rozhodovatel mění aspirační úroveň tak, aby snížil počet akceptovatelných variant d = 1 - je nalezena kompromisní varianta d = 0 - neexistuje žádná přijatelná varianta, hledá se nejbližší varianta k zadaným aspiračním úrovním; v takovém případě se pro každou variantu vypočte odchylka od aspirační úrovně podle vztahu 1.16 n z (s) j y ij, (1.16) yj j=1 kde yj pro j = 1, 2,..., n jsou ideální kriteriální hodnoty. Tento vztah nelze použít v případě, že ideální kriteriální hodnota je nula. Jako přijatelnou variantu vybereme variantu s nejmenším podílem odchylky od aspiračních úrovní kritérií na ideální kriteriální hodnotě. Řešený příklad 7. Vyberte kompromisní variantu v příkladu 1 metodou PRIAM. Řešení. Výchozí aspirační úroveň u našeho příkladu je z (0) = (22; 60; 1; 7.5). Této aspirační úrovni vyhovují všechny varianty. Zpřísníme tedy aspirační úroveň nejprve u nejdůležitějšího kritéria o 3. Nebo-li δz (1) = (3; 0; 0; 0) a aspirační úrovně jsou pak z (1) = (25; 60; 1; 7.5). Tím je vyřazena varianta B, zbývají stále dvě varianty. Zpřísníme aspirační úroveň například u kritéria odborný růst o 1, tedy δz (2) = (0; 0; 1; 0). Aspirační úroveň bude po této úpravě z (2) = (25; 60; 2; 7.5). Stále zbývají dvě varianty, které stanovené aspirační úrovně splňují. Proto zpřísníme aspirační úroveň u druhého kritéria δz (3) = (0; 10; 0; 0). Po této úpravě je aspirační úroveň z (3) = (25; 50; 2; 7.5) a tomu vyhovuje už jen varianta C. Poznámka. Metoda PRIAM a metody konjunktivní a disjunktivní jsou doporučovány zejména k předvýběru variant, které se pak dále hodnotí jinými metodami. Dalo by se říci, že se těmtito metodami odstranily vyloženě špatné a nevyhovující varianty a ostatní se pak dále vyhodnocují. Metoda pořadí Metoda pořadí je založena na převedení kriteriální matice na matici pořadí. To znamená, že postupně se podle všech kritérií přiřadí variantám jejich pořadí. Pokud nejsou známé preference kritérií, pouze se sečtou pro každou variantu všechna pořadí. Nejlepší varianta má tento součet nejnižší. Pokud jsou známé preference kritérií (váhy), lze vypočítat vážené pořadí variant, opět nejlepší varianta má tento součet nejnižší. Pro náš příklad je matice pořadí bez vah následující: S váhami pak: K 1 K 2 K 3 K 4 Součet pořadí Pořadí A B C

12 KAPITOLA 1. VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA JISTOTY 12 K 1 K 2 K 3 K 4 Vážený součet pořadí Pořadí A B C váhy Metoda lexikografická Tato metoda vychází z předpokladu, že největší vliv na výběr kompromisní varianty má nejdůležitější kritérium. V případě, že existuje více variant se stejným hodnocením podle nejdůležitějšího kritéria, přichází v úvahu druhé nejdůležitější kritérium. Algoritmus se zastaví ve chvíli, kdy je vybraná jediná varianta, nebo když jsou vyčerpána všechna uvažovaná kritéria. Kompromisní varianty jsou potom všechny ty, které zůstaly stejně hodnoceny po zařazení posledního kritéria. Tato metoda by se dala přirovnat k vyhledávání ve slovníku. Příklad 3. V našem příkladu 1 si zvolíme jako nejdůležitější např. kritérium mzda. Z tohoto hlediska je nejlepší varianta A, proto bychom doporučili vybrat tuto variantu. V případě, že by mzda byla stejná u více variant, pak bychom přistoupili k druhému nejdůležitějšímu kritériu a podle něj bychom rozhodli o výběru vhodné varianty. Metoda bodovací Při této metodě rozhodovatel přiřadí každému prvku rozhodovací matice určitý počet bodů ze zvolené stupnice, a to tak, že lepší hodnotě kritéria přiřadí větší počet bodů. Maximálně (minimálně) možný počet bodů přiřazený nejlepší (nejhorší) hodnotě kritéria musí být pro všechna kritéria stejný, přičemž může jít o hypoteticky stanovená čísla, která se v žádné variantě nevyskytují. Výhodné je opatřit bodovou stupnici pro každé kritérium slovním popisem. Řešený příklad 8. Vyhodnoťte varianty z příkladu 1 bodovací metodou. Řešení. Bodovací stupnice, kterou jsme navrhli pro náš příklad je následující: Body K 1 K 2 K 3 K 4 1 méně než 25 tis. Kč nad 50 minut malá možnost do 8 hodin včetně 2 25; 28) (40; 50 střední možnost (8; tis. Kč a více 40 minut a méně velká možnost po 9. hodině Na základě bodovací stupnice jsme každé kriteriální hodnotě přiřadili příslušný počet bodů a potom jsme opět (po pronásobení vahami) sečetli pro každou variantu body. Nejlepší je varianta s nejvyšším součtem. K 1 K 2 K 3 K 4 Body Pořadí A B C Váhy Poznámka. Čím širší si zvolíme bodovací stupnici, tím přesnější můžeme získat výsledky. Metoda váženého součtu Při vícekriteriálním hodnocení variant můžeme každé hodnotě kritéria K j přiřadit její užitek, tedy můžeme vytvořit dílčí užitkovou funkci u j, která pro variantu A i nabývá hodnoty u j A i = u ij ; i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. (1.17)

13 KAPITOLA 1. VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA JISTOTY 13 Definičním oborem této funkce je interval mezi nejlepší a nejhorší hodnotou příslušného kritéria. Oborem funkčních hodnot je interval 0, 1. Tato metoda je vhodná především pro kvantitativní kritéria. Předpokládá lineární závislost užitku na hodnotách kritéria, přičemž nejhorší hodnotě j -tého kritéria (budeme značit d j ) přiřadíme hodnotu 0 a nejlepší hodnotě (budeme značit h j ) užitek 1. Pro dílčí užitek u ij hodnoty y ij platí u ij = y ij d j h j d j ; i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. (1.18) Pro jednotlivé varianty vypočteme agregovanou funkci užitku podle vztahu n u(a i ) = w j u ij (1.19) Varianty pak seřadíme podle hodnot u(a i ). Nejlepší varianta má tuto hodnotu největší. j=1 Řešený příklad 9. Vyhodnoťte metodou váženého součtu varianty z příkladu 1. Řešení. Nejprve tedy vybereme pro každé kritérium nejlepší (h j ) a nejhorší (d j ) hodnotu. Varianty K 1 K 2 K 3 K 4 A B C h j d j Nyní přepočteme kriteriální hodnoty podle vztahu (1.18), potom vypočteme agregovanou funkci užitku pro každou variantu podle vztahu (1.19) a varianty seřadíme podle této hodnoty od nejlepší po nejhorší. Použité váhy jsou váhy získané bodovací metodou. K 1 K 2 K 3 K 4 u(a i ) pořadí A B C váhy Metoda bázické varianty Za bazickou variantu je považována varianta, která dosahuje nejlepších či předem stanovených hodnot z hlediska všech kritérií. Vytvoření užitkové funkce s využitím bazické varianty spočívá v porovnávání hodnot důsledků jednotlivých variant s odpovídajícími hodnotami v bazické variantě. Označíme-li y (b) j hodnotu j-tého kritéria v bazické variantě, pro užitek kritéria výnosového typu při volbě i-té varianty platí u ij = y ij ; i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. (1.20) y (b) j a u kritéria nákladového typu je dílčí užitek dán vztahem u ij = y(b) j ; i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. (1.21) y ij Pro jednotlivé varianty opět spočítáme agregované funkce užitku a podle jejich hodnot varianty seřadíme.

14 KAPITOLA 1. VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA JISTOTY 14 Poznámka. Pozor na nulové kriteriální hodnoty u bázické varianty! V případě, že by bázická varianta měla nulovou hodnotu, tato metoda nelze použít. Řešený příklad 10. Vyhodnoťte varianty z příkladu?? metodou bázické varianty. Předpokládejte, že bázická varianta je varianta ideální, to znamená, že podle každého kritéria dosahuje nejlepšího možné výsledku. Řešení. Nejprve opět přepočteme podle vztahů (1.20) a (1.21) kriteriální matici, a stejně jako u metody WSA spočítáme hodnoty agregovaného užitku a varianty seřadíme podle těchto hodnot sestupně. K 1 K 2 K 3 K 4 u(a i ) pořadí A B C váhy AHP Metoda AHP (Analytic Hierarchy Process) byla navržena prof. Saatym v roce Při řešení rozhodovacích problémů je třeba brát v úvahu všechny prvky, které ovlivňují výsledek analýzy, vazby mezi nimi a intenzitu, s jakou na sebe vzájemně působí. Rozhodovací problém lze znázornit jako hierarchickou strukturu. Je to lineární struktura obsahující s-úrovní, přičemž každá z těchto úrovní zahrnuje několik prvků. Uspořádání jednotlivých úrovní je vždy od obecného ke konkrétnímu. Pro obecnou úlohu vícekriteriálního hodnocení variant může být hierarchie následující: 1. úroveň - cíl vyjednávání 2. úroveň - experti, kteří se na hodnocení podílí 3. úroveň - kritéria vyhodnocování 4. úroveň - posuzované varianty 1.1 Obrázek 1.1: Hierarchická struktura úlohy vícekriteriálního rozhodování Obdobným způsobem, jako mezi kritérii při určování vah kritérií Saatyho metodou, lze určit vztahy mezi všemi komponentami na každé úrovni hierarchie. Pokud máme čtyřúrovňovou hierarchii, tzn. jeden cíl, h expertů, n kritérií a m variant, bude na druhé úrovni hierarchie jedna matice párového srovnávání o rozměrech h h. Na třetí úrovni bude h matic o rozměrech n n a na čtvrté úrovni n matic o rozměrech m m. Pomocí propočtů (viz Saatyho metoda pro výpočet vah kritérií) v těchto maticích si varianty rozdělují hodnotu váhy příslušného kritéria (kritéria si pak rozdělují váhy příslušného experta). Hodnoty, které získáme se nazývají preferenční indexy variant z hlediska všech kritérií. Pokud tedy sečteme tyto preferenční indexy z hlediska všech kritérií, získáme hodnocení varianty z pohledu všech expertů a z hlediska všech kritérií.

15 KAPITOLA 1. VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA JISTOTY 15 Pro ilustraci této metody použijeme váhy získané Saatyho metodou. Předpokládáme, že do hodnocení je zapojen pouze jeden expert, nebo-li jeden hodnotitel porovnává kritéria mezi sebou (tím získá váhy) a potom porovnává jednotlivé varianty mezi sebou podle jednotlivých kritérií. Všechna porovnání postupně pro plat, dojíždění, odborný růst a začátek pracovní doby jsou zaznamenána v následujících tabulkách: Kritéria K 1 K 2 K 3 K 4 Geometrický průměr Vážený geometrický průměr K K 2 1/5 1 1/ K 3 1/ K 4 1/7 1/4 1/ Plat A B C Geometrický průměr Vážený geometrický průměr A B 1/7 1 1/ C 1/ Dojíždění A B C Geometrický průměr Vážený geometrický průměr A 1 1/7 1/ B C 3 1/ Růst A B C Geometrický průměr Vážený geometrický průměr A 1 1/7 1/ B C 3 1/ Začátek A B C Geometrický průměr Vážený geometrický průměr A 1 1/7 1/ B C 3 1/ Kritéria jsou celkem čtyři a každé z nich má svou váhu. Tato váha musí být dále rozdělena mezi jednotlivé varianty. My známe váhy jednotlivých kritérií a známe také váhy variant podle těchto kritérií. Výsledné váhy každé varianty podle každého kritéria jsou v další tabulce. K 1 K 2 K 3 K 4 Součet hodnocení Pořadí A B C Váhy kritérií

16 KAPITOLA 1. VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA JISTOTY 16 Pro každou variantu sčítáme hodnocení podle kritéria vynásobené váhou tohoto kritéria. Součty dílčích hodnocení jsou seřazeny sestupně. Varianty jsou seřazeny A C B. TOPSIS(Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) Metoda TOPSIS je založena na výběru varianty, která je nejblíže k ideální variantě a nejdále od bazální varianty. Předpokládá se maximalizační charakter všech kritérií. Pokud nejsou všechna kritéria maximalizační, je nutné na maximalizační převést. Postup při metodě TOPSIS lze popsat v následujících krocích: převedení všech kritérií na maximalizační vytvoření normalizované kriteriální matice R = r ij podle vztahu r ij = y ij m ; i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. (1.22) yij 2 i=1 Sloupce v matici R představují vektory jednotkové délky. Dále se převede kriteriální matice R na normalizovanou kriteriální matici Z tak, že každý sloupec matice R vynásobíme vahou odpovídajícího kritéria podle vztahu z ij = w j r ij (1.23) pomocí prvků matice Z se vytvoří ideální varianta (h 1, h 2,..., h n ) a bazální varianta (d 1, d 2,..., d n ), kde h j = max i z ij ; j = 1, 2,..., n (1.24) d j = min i z ij ; j = 1, 2,..., n (1.25) Vzdálenost od ideální varianty se počítá podle vztahu n d + i = (z ij h j ) 2 ; i = 1, 2,..., m (1.26) j=1 Vzdálenost od bazální varianty se počítá podle vztahu n d i = (z ij h j ) 2 ; i = 1, 2,..., m (1.27) j=1 Relativní ukazatel vzdálenosti variant od bazální varianty se vypočte podle vztahu c i = d + i d i + d i ; i = 1, 2,..., m (1.28) Varianty jsou uspořádány podle nerostoucích hodnot c i Řešený příklad 11. Vyhodnoťe metodou TOPSIS varianty z příkladu 1. Řešení. Všechna kritéria převedeme na maximalizační typ: K 1 K 2 K 3 K 4 A B C

17 KAPITOLA 1. VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA JISTOTY 17 Vytvoříme normalizovanou kriteriální matici podle vztahu (1.22): K 1 K 2 K 3 K 4 A B C Kriteriální matici znormujeme váhami získanými bodovací metodou podle vztahu (1.23) a pak vybereme pro každé kritérium nejvyšší (ideální) a nejnižší (bazální) hodnotu: K 1 K 2 K 3 K 4 A B C h j d j Podle vztahu (1.26) vypočteme vzdálenost od ideální varianty, podle (1.27) vzdálenost od bazální varianty a podle (1.28) relativní vzdálenost od bazální varianty. Varianty se řadí sestupně podle relativní vzdálenosti od bazální varianty. d + i d i c i Pořadí A B C Metoda ELECTRE I Cílem této metody je rozdělit množinu variant na dvě indiferenční třídy, na efektivní a neefektivní varianty. Předpokladem pro využití této metody je znalost kriteriální matice, vektoru normalizovaných vah a stanovení dvou prahových hodnot, a to prahu preference a prahu dispreference. Ohodnocení varianty A i podle kritéria j označíme symbolem y ij ; i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. Pro každou dvojici variant A i, A h ; i, h = 1, 2,..., m pak určíme množinu C ih = { j y ij y hj ; j = 1, 2,..., n}; i, h = 1, 2,..., m (1.29) obsahující indexy kritérií, z jejichž hlediska je varianta A i ohodnocena alespoň tak dobře jako varianta A h a množinu D ih = { j y ij < y hj ; j = 1, 2,..., n}; i, h = 1, 2,..., m, (1.30) která obsahuje indexy zbývajících kritérií, ve kterých je varianta A i horší než varianta A h. Na základě množiny C ih a normalizovaného vektoru vah pro každou dvojici variant A i, A h určíme číslo c ih představující součet vah kritérií, z jejichž hlediska je varianta A i stejně tak dobrá nebo lepší než varianta A h. V případě, že C ih není prázdná množina, c ih = j C ih w j ; i, h = 1, 2,..., m, (1.31) pokud je C ih prázdná množina, pak c ih = 0. (1.32) Hodnota c ih představuje stupeň preference varianty A i před variantou A h. Platí, že c ih 0; 1.

18 KAPITOLA 1. VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA JISTOTY 18 Dále je nutné vypočítat pro každou dvojici A i, A h stupeň dispreference d ij. Pokud je D ih prázdná množina, pak d ih = 0, v opačném případě d ih = max(y ij y hj ) j D ih max (y ; i, h = 1, 2,..., m. (1.33) ij y hj ) h Rovněž d ih 0; 1. Pro určení celkové preference P mezi dvojicí variant musí rozhodovatel zadat práh preference c a práh dispreference d. Platí, že varianta A i je preferována před variantou A h tehdy, když platí c ih c d ih d. (1.34) Párové preference jsou pak zapsány v matici P = (p ih ), kde p ih = 1 pokud A i je preferována před A h, v opačném případě je p ih = 0. Varianty jsou rozděleny na efektivní a neefektivní. Za efektivní jsou považovány varianty, které jsou preferovány alespoň před jednou variantou a neexistuje k nim žádná preferující varianta. Výsledek závisí na stanovených hodnotách prahů preference a dispreference. Doporučuje se vycházet z průměrných hodnot v maticích preference a dispreference a potom je postupně buď zpřísňovat (v případě mnoha efektivních variant) a nebo zmírňovat (v případě žádné efektivní varianty). Poznámka. Ve výše popsaném postupu vyhodnocování variant metodou ELECTRE porovnáváme mezi sebou kriteriální hodnoty v různých měřítkách (peníze, vzdálenost, body, atd.), což není úplně vpořádku, protože měřítko má vliv na výsledky. Lepší by bylo nejprve kriteriální matici znormovat a teprve potom dělat párové srovnávání. Postup výpočtu s nenormovanou maticí jsme použili proto, že software, který používáme při výuce rovněž počítá s nenormovanou maticí. Nejprve je nutné pro každou dvojici zjistit množinu C (viz (1.29))a množinu D (viz (1.30)), například pro dvojici A, B je množina C A,B =K 1, K 3, K 4, množina D A,B =K 2. Varianta A je lepší podle kritérií 1, 3 a 4, horší je podle kritéria 2. Naopak budeme-li porovnávat B, A, pak C B,A =K 2, množina D B,A =K 1, K 3, K 4. Varianta B je lepší než A podle kritéria 2 a horší podle kritérií 1, 3, 4. Dále podle vztahů (1.31) a (1.33) sestavíme matici preferencí C a dispreferencí D. C = Matice je v našem příkladu typu 3 3, protože mezi sebou porovnáváme tři varianty. Výsledek porovnání zapisujeme v matici na pozici: první z dvojice porovnávaných hledáme v řádku, druhou z dvojice porovnávaných ve sloupci. Předpokládáme pořadí variant A, B, C. Proto například pro dvojici A, B píšeme výsledek porovnávání na pozici 1, 2 (1. řádek, 2. sloupec). Pro dvojici A, B je pak c A,B = = 0.8, pro dvojici B, A je c B,A = 0.2 D = Pro dvojici A, B je pak d A,B = 30 = 1, pro dvojici B, A je d 30 B,A = 8 = Nyní můžeme zadat práh preference (např. c = 0.4), práh dispreference (např. d = 0.6) a na základě vztahu (1.34) sestavit matici preferencí: P =

19 KAPITOLA 1. VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA JISTOTY 19 Z matice můžeme vyčíst, že pouze varianta C je efektivní, je preferována alespoň před jednou variantou a neexistuje k nim žádná preferující varianta.v matici P je pouze u varianty C v řádku jenička a zároveň ve sloupci samé nuly. 1.4 Analýza citlivosti preferenčního pořadí variant Pořadí výhodnosti daných variant rozhodování, stanovené některou z metod vícekriteriálního hodnocení variant, závisí především na vahách jednotlivých kritérií a na použité metodě. Zkoumání citlivosti preferenčního pořadí variant na stanovení důležitosti jednotlivých kritérií spadá do oblasti experimentování na modelech, kdy vícekriteriální hodnocení variant provádíme při měnících se vahách kritérií. Jedině tehdy, kdy při těchto změnách se preferenční pořadí variant (nebo aspoň varianta s nejvyšším oceněním) nemění, není toto pořadí citlivé na nepřesnost stanovených vah a lze říci, že význam jednotlivých kritérií byl rozhodovatelem správně oceněn. Jestliže preferenční pořadí variant je značně citlivé na změny vah kritérií, je nutné jejich spolehlivost zvýšit. Závislost preferenčního pořadí variant na použité metodě jejich vícekriteriálního hodnocení je dána tím, že jednotlivé metody vycházejí z různých, zpravidla zjednodušujících předpokladů a že v důsledku různého přístupu k pojmu kompromisní varianta využívají různé výpočetní postupy. Doporučuje se proto při vícekriteriálním hodnocení variant uplatnit více metod a ověřit citlivost preferenčního pořadí variant vzhledem k použitým metodám. Jedině tu variantu, která zůstává stále na 1. místě při použití libovolné metody, lze považovat za nejvýhodnější. Vliv použit metody vícekriteriálního hodnocení variant na jejich preferenční pořadí lze dokumentovat na příkladu. V následující tabulce je uvedeno pořadí jednotlivých pracovišť z hlediska daných kritérií, stanovené různými metodami: Metoda Pořadí Bodovací WSA Bázická AHP TOPSIS A B C Z uvedené tabulky je patrná značná citlivost preferenčního pořadí variant na aplikované metodě. Nicméně varianta A je na prvním místě nejčastěji, na třetím místě je pouze při použití metody TOP- SIS, proto bychom ji označili jako kompromisní variantu. Jiná možnost využití výsledků získaných různými metodami spočívá v tom, že se na pořadí pracovišť můžeme dívat jako na prvky kriteriální matice a znovu můžeme použít některou z metod vícekriteriálního hodnocení variant. Příklad 4. Vezměme pořadí variant získaná různými metodami jako prvky kriteriální matice a vyhodnoťme je metodou pořadí. Nebudeme uvažovat váhy, takže pouze sečteme pořadí v řádcích. Nejlépe vyjde varianta A, u které je součet pořadí 9, potom je varianta C se součtem 10 a nejhůře dopadla varianta B se součtem 17. Před volbou varianty určené k realizaci je nutné vzít v úvahu také možný vliv rizika a nejistoty na výsledky vícekriteriálního hodnocení variant. Dosud jsme předpokládali, že důsledky variant vzhledem k jednotlivým kritériím, tj. prvky kriteriální matice, jsou jednoznačně určeny. Jestliže tyto důsledky mají náhodný charakter, buď opět pomocí analýzy citlivosti zkoumáme vliv možných změn prvků kriteriální matice na preferenční pořadí variant, nebo použijeme některou z metod vícekriteriálního hodnocení variant za rizika a nejistoty. Tyto metody popisuje např. Fotr PŘÍPADOVÁ STUDIE - výběr osobního automobilu Rodina stojí před rozhodnutím, jaké auto si má pořídit. Rozhoduje se podle sedmi kritérií: K 1 cena (tis.kč ), K 2 výkon (kw ), K 3 spotřeba (l), K 4 zavazadlový prostor (l), K 5 maximální rychlost

20 KAPITOLA 1. VÍCEKRITERIÁLNÍ ROZHODOVÁNÍ ZA JISTOTY 20 (km/hod), K 6 poruchovost (%) a K 7 vzhled. Kritérium vzhled je kvalitativní kritérium, je ohodnoceno slovně, a to velmi spokojen, spokojen spokojen s výhradami a nespokojen. Toto slovní hodnocení je převedeno na kvantitativní (body). Poruchovost automobilů je čerpána z údajů TÜV pro automobily staré dva až tři roky. Aspirační úrovně kritérií, která si rodina stanovila, splňují tyto automobily: Škoda Octavia, Toyota Avensis, Peugeot, Ford Focus a Renault Mégane. Hodnoty jednotlivých kritérií jsou uvedeny v následující tabulce. Typ auta K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K 7 Škoda Octavia Renault Mégane Peugeot Toyota Avensis Ford Focus STANOVENÍ VAH KRITÉRIÍ Nejprve je nutné stanovit si, jak jsou která kritéria preferovaná a jakou má které kritérium váhu. Preference si hlava rodiny stanovila takto: K 6 K 4 K 3 K 1 K 2 K 7 K 5. Na základě těchto preferencí lze spočítat váhy různými metodami. Metoda pořadí Metoda bodovací Kritérium K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K 7 Pořadí Body Váhy Kritérium K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K 7 Body Váhy Fullerova metoda I u této metody dodržujeme stejné preferenční uspořádání, jako u předchozích metod, to je K 6 K 4 K 3 K 1 K 2 K 7 K 5. Kritérium K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K 7 Váhy neupravené Váhy upravené Metoda bodovací - více hodnotitelů Vzhledem k tomu, že se jedná o rodinné auto, můžeme dát možnost všem členům rodiny vyjádřit svůj názor a převést ho na váhy. Rodina má čtyři členy, každý z nich má k dispozici například 100 bodů, které rozdělí podle svého uvážení mezi kritéria, viz následující tabulka: K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 K 6 K 7 Hodnotitel Hodnotitel Hodnotitel Hodnotitel

Vícekriteriální rozhodování za jistoty

Vícekriteriální rozhodování za jistoty 1 Část I Vícekriteriální rozhodování za jistoty Při řešení rozhodovacích problémů se často setkáváme s případy, kdy optimální rozhodnutí musí vyhovovat více než jednomu kritériu. Zadaná kritéria mohou

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

5 Informace o aspiračních úrovních kritérií

5 Informace o aspiračních úrovních kritérií 5 Informace o aspiračních úrovních kritérií Aspirační úroveň kritérií je minimální (maximální) hodnota, které musí varianta pro dané maximalizační (minimalizační) kritérium dosáhnout, aby byla akceptovatelná.

Více

Socio-ekonomická evaluace aglomerace z hlediska potřeb a aktivit investorů

Socio-ekonomická evaluace aglomerace z hlediska potřeb a aktivit investorů Klub regionalistů 11.11.2010 Projekt SGS SP/2010 Socio-ekonomická evaluace aglomerace z hlediska potřeb a aktivit investorů Jiří Adamovský Lucie Holešinská Katedra regionální a environmentální ekonomiky

Více

Vícekriteriální hodnocení variant VHV

Vícekriteriální hodnocení variant VHV Vícekriteriální hodnocení variant VHV V lineárním programování jsme se naučili hledat optimální řešení pro úlohy s jedním (maximalizačním nebo minimalizačním) kritériem za předpokladu, že podmínky i účelová

Více

Hodnocení vybraných zemí EU za podpory metod multikriteriálního hodnocení variant

Hodnocení vybraných zemí EU za podpory metod multikriteriálního hodnocení variant JIHOČESKÁ UNIVERZITA V ČESKÝCH BUDĚJOVICÍCH EKONOMICKÁ FAKULTA Katedra aplikované matematiky a informatiky Studijní program: N6208 Ekonomika a management Studijní obor: Účetnictví a finanční řízení podniku

Více

Výběr optimální varianty financování bydlení pro vybraného klienta

Výběr optimální varianty financování bydlení pro vybraného klienta Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta Katedra aplikované matematiky a informatiky Studijní program: 6208 N Ekonomika a management Studijní obor: Účetnictví a finanční řízení podniku

Více

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Realizace metody AHP v prostředí tabulkového kalkulátoru. Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní

BAKALÁŘSKÁ PRÁCE. Realizace metody AHP v prostředí tabulkového kalkulátoru. Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní Ústav systémového inženýrství a informatiky BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Realizace metody AHP v prostředí tabulkového kalkulátoru Autor: Jaroslav Shejbal Vedoucí práce:

Více

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno

Jiří Neubauer. Katedra ekonometrie FEM UO Brno Přednáška č. 11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno Jedná se o speciální případ dopravních úloh, řeší např. problematiku optimálního přiřazení strojů na pracoviště. Příklad Podnik má k dispozici 3 jeřáby,

Více

Využití matematických metod pro hodnocení spořicích účtů

Využití matematických metod pro hodnocení spořicích účtů Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta Katedra aplikované matematiky a informatiky Bakalářská práce Využití matematických metod pro hodnocení spořicích účtů Vypracovala: Jana Jonášová

Více

DIPLOMOVÁ PRÁCE. AHP - její silné a slabé stránky

DIPLOMOVÁ PRÁCE. AHP - její silné a slabé stránky UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE AHP - její silné a slabé stránky Vedoucí diplomové práce: Doc. RNDr. Jana Talašová,

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Konkurzní řízení ve společnosti SpenglerFox

Konkurzní řízení ve společnosti SpenglerFox Konkurzní řízení ve společnosti SpenglerFox Velká případová studie projektu ZIP ESF napomáhá rozvoji zaměstnanosti podporou zaměstnatelnosti, podnikatelského ducha, rovných příležitostí a investicemi do

Více

Hodnocení kvality logistických procesů

Hodnocení kvality logistických procesů Téma 5. Hodnocení kvality logistických procesů Kvalitu logistických procesů nelze vyjádřit absolutně (nelze ji měřit přímo), nýbrž relativně porovnáním Hodnoty těchto znaků někdo buď předem stanovil (norma,

Více

Aplikace metod vícekriteriálního rozhodování v lázeňském hotelu

Aplikace metod vícekriteriálního rozhodování v lázeňském hotelu Vysoká škola ekonomická v Praze Fakulta informatiky a statistiky Vyšší odborná škola informačních služeb v Praze Tatyana Shevtsova Aplikace metod vícekriteriálního rozhodování v lázeňském hotelu Bakalářská

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Analýza finančních produktů pro studenty v České republice a vybrané zemi Evropské unie

Analýza finančních produktů pro studenty v České republice a vybrané zemi Evropské unie Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta Katedra aplikované matematiky a informatiky Studijní program: N6208 Ekonomika a management Studijní obor: Řízení a ekonomika podniku Analýza

Více

11 Analýza hlavních komponet

11 Analýza hlavních komponet 11 Analýza hlavních komponet Tato úloha provádí transformaci měřených dat na menší počet tzv. fiktivních dat tak, aby většina informace obsažená v původních datech zůstala zachována. Jedná se tedy o úlohu

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

Metodologický přístup a popis prací na projektu

Metodologický přístup a popis prací na projektu Metodologický přístup a popis prací na projektu Použitá metodika Projekt vychází metodologicky z přístupu ke gender analýze strategických dokumentů zpracované v rámci diplomové práce Ludmily Rejmanové

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA EKONOMICKO - SPRÁVNÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA EKONOMICKO - SPRÁVNÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA EKONOMICKO - SPRÁVNÍ BAKALÁŘSKÁ PRÁCE 2008 Kateřina KOUBOVÁ Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko správní Vícekriteriální hodnocení variant za jistoty metody rozhodování

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty

Data v počítači. Informační data. Logické hodnoty. Znakové hodnoty Data v počítači Informační data (elementární datové typy) Logické hodnoty Znaky Čísla v pevné řádové čárce (celá čísla) v pohyblivé (plovoucí) řád. čárce (reálná čísla) Povelová data (instrukce programu)

Více

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic

Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh pomocí lineárních rovnic Řešení slovních úloh představuje spojení tří, dnes bohužel nelehkých, úloh porozumění čtenému textu (pochopení zadání), jeho matematizaci (převedení na rovnici)

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické

MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB nákladově orientované modely poptávka pořizovací lhůta dodávky předstih objednávky deterministické stochastické MODELY ŘÍZENÍ ZÁSOB Význam zásob spočívá především v tom, že - vyrovnávají časový nebo prostorový nesoulad mezi výrobou a spotřebou - zajišťují plynulou výrobu nebo plynulé dodávky zboží i při nepředvídaných

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Univerzita Pardubice. Fakulta ekonomicko-správní Ústav podnikové ekonomiky a managementu

Univerzita Pardubice. Fakulta ekonomicko-správní Ústav podnikové ekonomiky a managementu Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní Ústav podnikové ekonomiky a managementu Výběr internetového připojení pro podnik Matouš Téra Bakalářská práce 2013 PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že jsem tuto

Více

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN

ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN ROZDĚLENÍ NÁHODNÝCH VELIČIN 1 Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A

Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Jméno autora: Mgr. Zdeněk Chalupský Datum vytvoření: 20. 8. 2012 Číslo DUM: VY_32_INOVACE_16_FY_A Ročník: I. Fyzika Vzdělávací oblast: Přírodovědné vzdělávání Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Mechanika

Více

Kartogramy. Přednáška z předmětu Tematická kartografie (KMA/TKA) Otakar Čerba Západočeská univerzita

Kartogramy. Přednáška z předmětu Tematická kartografie (KMA/TKA) Otakar Čerba Západočeská univerzita Kartogramy Přednáška z předmětu Tematická kartografie (KMA/TKA) Otakar Čerba Západočeská univerzita Datum vytvoření dokumentu: 20. 9. 2004 Datum poslední aktualizace: 17. 10. 2011 Definice Kartogram je

Více

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25

12. Determinanty. 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty 12. Determinanty p. 1/25 12. Determinanty p. 2/25 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant

Více

15. Goniometrické funkce

15. Goniometrické funkce @157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou

Více

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1

Řešení. Hledaná dimenze je (podle definice) rovna hodnosti matice. a 1 2. 1 + a 2 2 1 Příklad 1. Určete všechna řešení následující soustavy rovnic nad Z 2 : 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 Gaussovou eliminací převedeme zadanou soustavu na ekvivalentní soustavu v odstupňovaném

Více

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ

HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI. Josef Křepela, Jiří Michálek. OSSM při ČSJ HODNOCENÍ VÝKONNOSTI ATRIBUTIVNÍCH ZNAKŮ JAKOSTI Josef Křepela, Jiří Michálek OSSM při ČSJ Červen 009 Hodnocení způsobilosti atributivních znaků jakosti (počet neshodných jednotek) Nechť p je pravděpodobnost

Více

4.5 Stanovení hodnoticích kritérií a požadavky na jejich obsah

4.5 Stanovení hodnoticích kritérií a požadavky na jejich obsah nadhodnocením ukazatele výkonu). Současně se objektivností rozumí, že technické podmínky nebyly nastaveny diskriminačně, tedy tak, aby poskytovaly některému uchazeči konkurenční výhodu či mu bránily v

Více

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7

Příklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b. Řešení 1c ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 7 Příklad 1 a) Autobusy městské hromadné dopravy odjíždějí ze zastávky v pravidelných intervalech 5 minut. Cestující může přijít na zastávku v libovolném okamžiku. Určete střední hodnotu a směrodatnou odchylku

Více

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï

15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï 15. KubickÈ rovnice a rovnice vyööìho stupnï Čas od času je možné slyšet v pořadech o počasí jména jako Andrew, Mitch, El Ňiňo. otom následuje zpráva o katastrofálních vichřicích, uragánech a jiných mimořádných

Více

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly.

Výhody a nevýhody jednotlivých reprezentací jsou shrnuty na konci kapitoly. Kapitola Reprezentace grafu V kapitole?? jsme se dozvěděli, co to jsou grafy a k čemu jsou dobré. rzo budeme chtít napsat nějaký program, který s grafy pracuje. le jak si takový graf uložit do počítače?

Více

Management. Rozhodování. Ing. Vlastimil Vala, CSc. Ústav lesnické a dřevařské ekonomiky a politiky

Management. Rozhodování. Ing. Vlastimil Vala, CSc. Ústav lesnické a dřevařské ekonomiky a politiky Management Rozhodování Ing. Vlastimil Vala, CSc. Ústav lesnické a dřevařské ekonomiky a politiky Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU

Více

ZADÁVACÍ DOKUMENTACE

ZADÁVACÍ DOKUMENTACE ZADÁVACÍ DOKUMENTACE výběrového řízení - zakázka na služby: Výběr dodavatele jazykových kurzů pro společnost DAKO-CZ, a.s. Zadavatel Obchodní firma: DAKO CZ, a.s. sídlem: Budovatelů 323, Třemošnice, PSČ

Více

5.3 SHRNUTÍ LÁTKY NA POMĚRNÁ ČÍSLA, SOUVISLÝ PŘÍKLAD

5.3 SHRNUTÍ LÁTKY NA POMĚRNÁ ČÍSLA, SOUVISLÝ PŘÍKLAD Souvislý příklad na poměrná čísla Aleš Drobník strana 1 5.3 SHRNUTÍ LÁTKY NA POMĚRNÁ ČÍSLA, SOUVISLÝ PŘÍKLAD Poměrná čísla se hojně užívají v ekonomické praxi. Všechny druhy poměrných čísel si shrneme

Více

N i investiční náklady, U roční úspora ročních provozních nákladů

N i investiční náklady, U roční úspora ročních provozních nákladů Technicko-ekonomická optimalizace cílem je určení nejvýhodnějšího řešení pro zamýšlenou akci Vždy existují nejméně dvě varianty nerealizace projektu nulová varianta realizace projektu Konstrukce variant

Více

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného

Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba. Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného Zdroje chyb. Absolutní a relativní chyba. Absolutní chyba Absolutní chyba přibližného čísla a se nazývá absolutní hodnota rozdílu přesného čísla A a přibližného čísla a = A a. Je třeba rozlišovat dva případy:

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem

STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem STATISTICA Téma 1. Práce s datovým souborem 1) Otevření datového souboru Program Statistika.cz otevíráme z ikony Start, nabídka Programy, podnabídka Statistika Cz 6. Ze dvou nabídnutých možností vybereme

Více

Měření závislosti statistických dat

Měření závislosti statistických dat 5.1 Měření závislosti statistických dat Každý pořádný astronom je schopen vám předpovědět, kde se bude nacházet daná hvězda půl hodiny před půlnocí. Ne každý je však téhož schopen předpovědět v případě

Více

VHODNOST A DOSTUPNOST TECHNOLOGIE PŘEPRAVY SILNIČNÍCH NÁVĚSŮ V TERMINÁLU KP

VHODNOST A DOSTUPNOST TECHNOLOGIE PŘEPRAVY SILNIČNÍCH NÁVĚSŮ V TERMINÁLU KP VHODNOST A DOSTUPNOST TECHNOLOGIE PŘEPRAVY SILNIČNÍCH NÁVĚSŮ V TERMINÁLU KP SUITABILITY AND AVAILABILITY OF ROAD TRAILERS TRANSPORT TECHNOLOGIES IN THE INTERMODAL TERMINAL Jaromír Široký 1, Martin Závojko

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel

Přílohy. Příloha 1. Obr. P1.1 Zadání úlohy v MS Excel Přílohy Příloha 1 Řešení úlohy lineárního programování v MS Excel V této příloze si ukážeme, jak lze řešit úlohy lineárního programování pomocí tabulkového procesoru MS Excel 2007. Výpočet budeme demonstrovat

Více

Čistá současná hodnota a vnitřní výnosové procento

Čistá současná hodnota a vnitřní výnosové procento Čistá současná hodnota a vnitřní výnosové procento Co je to čistá současná hodnota? Čistá současná hodnota představuje rozdíl mezi diskontovanými peněžními příjmy z určité činnosti a výdaji na tuto činnost.

Více

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03

65-42-M/01 HOTELNICTVÍ A TURISMUS PLATNÉ OD 1.9.2012. Čj SVPHT09/03 Školní vzdělávací program: Hotelnictví a turismus Kód a název oboru vzdělávání: 65-42-M/01 Hotelnictví Délka a forma studia: čtyřleté denní studium Stupeň vzdělání: střední vzdělání s maturitní zkouškou

Více

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina

Reálná čísla. Sjednocením množiny racionálních a iracionálních čísel vzniká množina Reálná čísla Iracionální číslo je číslo vyjádřené ve tvaru nekonečného desetinného rozvoje, ve kterém se nevyskytuje žádná perioda. Při počítání je potřeba iracionální číslo vyjádřit zaokrouhlené na určitý

Více

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, předmět Marketing a management, okruh Rozhodování

Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, předmět Marketing a management, okruh Rozhodování Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, předmět Marketing a management, okruh Rozhodování Materiál vytvořil: Ing. Karel Průcha Období vytvoření VM: říjen 2013 Klíčová slova: GRID analýza

Více

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0).

Výroková logika II. Negace. Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Výroková logika II Negace Již víme, že negace je změna pravdivostní hodnoty výroku (0 1; 1 0). Na konkrétních příkladech si ukážeme, jak se dají výroky negovat. Obecně se výrok dá negovat tak, že před

Více

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Testování statistických hypotéz. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování statistických hypotéz Ing. Michal Dorda, Ph.D. Testování normality Př. : Při simulaci provozu na křižovatce byla získána data o mezerách mezi přijíždějícími vozidly v [s]. Otestujte na hladině

Více

Numerace. Numerace je nauka, jejímž cílem je osvojení pojmu přirozené číslo.

Numerace. Numerace je nauka, jejímž cílem je osvojení pojmu přirozené číslo. Numerace Numerace je nauka, jejímž cílem je osvojení pojmu přirozené číslo. Numerace má tyto dílčí úkoly: 1) Naučit žáky číst číslice a správně vyslovovat názvy čísel. 2) Naučit žáky zapisovat čísla v

Více

Laboratorní práce č. 1: Měření délky

Laboratorní práce č. 1: Měření délky Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3. ročník šestiletého a 1. ročník čtyřletého studia Laboratorní práce č. 1: Měření délky G Gymnázium Hranice Přírodní vědy moderně a interaktivně FYZIKA 3.

Více

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní Ústav matematiky. Metody rozhodování za rizika a jejich pouţití v ekonomické praxi.

Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní Ústav matematiky. Metody rozhodování za rizika a jejich pouţití v ekonomické praxi. Univerzita Pardubice Fakulta ekonomicko-správní Ústav matematiky Metody rozhodování za rizika a jejich pouţití v ekonomické praxi Tereza Přibylová Bakalářská práce 2012 PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, ţe jsem

Více

Základní provize v systému MLM ZetClub

Základní provize v systému MLM ZetClub Základní provize v systému MLM ZetClub Každý prodejce může pod sebou zaregistrovat dalšího prodejce, ten zas dalšího atd. Každý prodejce, tedy může být buď zaregistrován přímo pod firmou, nebo má nad sebou

Více

Evidence technických dat

Evidence technických dat 4 Evidence technických dat V té to ka pi to le: Evidence majetku Evidence zakázek Evidence technické dokumentace Kapitola 4 Evidence technických dat Povinnost evidovat různé druhy dat má každý podnikatelský

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

6. Lineární regresní modely

6. Lineární regresní modely 6. Lineární regresní modely 6.1 Jednoduchá regrese a validace 6.2 Testy hypotéz v lineární regresi 6.3 Kritika dat v regresním tripletu 6.4 Multikolinearita a polynomy 6.5 Kritika modelu v regresním tripletu

Více

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =

takţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) = ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané

Více

ZADÁVACÍ DOKUMENTACE Výběr dodavatele vzdělávacího modulu Soft skills a hard skills

ZADÁVACÍ DOKUMENTACE Výběr dodavatele vzdělávacího modulu Soft skills a hard skills příloha č. 3 ZADÁVACÍ DOKUMENTACE Výběr dodavatele vzdělávacího modulu Soft skills a hard skills článek 1 Základní údaje o zadavateli Zadavatel: EKOBAL, s.r.o. Adresa: Hráského 1906/3, Praha 4 IČ: 496

Více

Vyuţití kvantitativních metod pro hodnocení pojištění domácností a nemovitostí

Vyuţití kvantitativních metod pro hodnocení pojištění domácností a nemovitostí Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Ekonomická fakulta Katedra aplikované matematiky a informatiky Bakalářská práce Vyuţití kvantitativních metod pro hodnocení pojištění domácností a nemovitostí

Více

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech.

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech. 3 Grafické zpracování dat Grafické znázorňování je velmi účinný způsob, jak prezentovat statistické údaje. Grafy nejsou tak přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých

Více

Algoritmy I, složitost

Algoritmy I, složitost A0B36PRI - PROGRAMOVÁNÍ Algoritmy I, složitost České vysoké učení technické Fakulta elektrotechnická v 1.01 Rychlost... Jeden algoritmus (program, postup, metoda ) je rychlejší než druhý. Co ta věta znamená??

Více

Výkonový poměr. Obsah. Faktor kvality FV systému

Výkonový poměr. Obsah. Faktor kvality FV systému Výkonový poměr Faktor kvality FV systému Obsah Výkonový poměr (Performance Ratio) je jedna z nejdůležitějších veličin pro hodnocení účinnosti FV systému. Konkrétně výkonový poměr představuje poměr skutečného

Více

Matematika stavebního spoření

Matematika stavebního spoření Matematika stavebního spoření Výpočet salda ve stacionárním stavu a SKLV Petr Kielar Stavební spořitelny se od klasických bank odlišují tím, že úvěry ze stavebního spoření poskytují zásadně z primárních

Více

Statistika pro gymnázia

Statistika pro gymnázia Statistika pro gymnázia Pracovní verze učebního textu ZÁKLADNÍ POJMY Statistika zkoumá jevy (společenské, přírodní, technické) ve velkých statistických souborech. Prvky statistických souborů se nazývají

Více

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB

24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB 24.11.2009 Václav Jirchář, ZTGB Síťová analýza 50.let V souvislosti s potřebou urychlit vývoj a výrobu raket POLARIS v USA při závodech ve zbrojení za studené války se SSSR V roce 1958 se díky aplikaci

Více

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus

5 Minimální kostry, Hladový algoritmus 5 Minimální kostry, Hladový algoritmus Kromě teoretických hrátek mají kostry grafů (Oddíl 4.4) následující důležité praktické použití: Dříve jsme uvažovali spojení v grafech cestami jdoucími z jednoho

Více

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13

Příklad 1. Korelační pole. Řešení 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MV2 ČÁST 13 Příklad 1 Máme k dispozici výsledky prvního a druhého testu deseti sportovců. Na hladině významnosti 0,05 prověřte, zda jsou výsledky testů kladně korelované. 1.test : 7, 8, 10, 4, 14, 9, 6, 2, 13, 5 2.test

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

Lineární programování

Lineární programování 24.9.205 Lineární programování Radim Farana Podklady pro výuku pro akademický rok 203/204 Obsah Úloha lineárního programování. Formulace úlohy lineárního programování. Typické úlohy lineárního programování.

Více

5.2.4 POMĚRNÁ ČÍSLA SPLNĚNÍ PLÁNU

5.2.4 POMĚRNÁ ČÍSLA SPLNĚNÍ PLÁNU Druhy poměrných čísel Aleš Drobník strana 1 5.2.4 POMĚRNÁ ČÍSLA SPLNĚNÍ PLÁNU Poměrná čísla neboli poměrní ukazatelé : Získáme srovnáním (podílem) 2 veličin stejnorodých. Srovnávaná veličina (čitatel)

Více

Investičníčinnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic

Investičníčinnost. Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie. Podnikové pojetí investic Investičníčinnost Existují různá pojetí investiční činnosti: Z pohledu ekonomické teorie Podnikové pojetí investic Klasifikace investic v podniku 1) Hmotné (věcné, fyzické, kapitálové) investice 2) Nehmotné

Více

Kapitola 1. Teorie užitku. 1.1 Vyjádření preferencí

Kapitola 1. Teorie užitku. 1.1 Vyjádření preferencí Kapitola 1 Teorie užitku V této kapitole se budeme věnovat problémům rozhodování v situacích, kdy se rozhodujeme jen na základě jednoho kritéria. Obecně můžeme tyto problémy popsat následovně: rozhodovatel

Více

Indexy, analýza HDP, neaditivnost

Indexy, analýza HDP, neaditivnost Indexy, analýza HDP, neaditivnost 1.) ŘETĚZOVÉ A BAZICKÉ INDEXY 1999 2000 2001 2002 Objem vkladů (mld. Kč) 80,8 83,7 91,5 79,4 a) určete bazické indexy objemu vkladů (1999=100) Rok 1999=100 báze. Pro rok

Více

Reporting. Ukazatele je možno definovat nad libovolnou tabulkou Helios Orange, která je zapsána v nadstavbě firmy SAPERTA v souboru tabulek:

Reporting. Ukazatele je možno definovat nad libovolnou tabulkou Helios Orange, která je zapsána v nadstavbě firmy SAPERTA v souboru tabulek: Finanční analýza Pojem finanční analýza Finanční analýza umožňuje načítat data podle dimenzí a tyto součty dlouhodobě vyhodnocovat. Pojem finanční analýza není nejpřesnější, protože ukazatele mohou být

Více

Zisk, funkce zisku, EBIT, EAT, EBT, Bod zvratu

Zisk, funkce zisku, EBIT, EAT, EBT, Bod zvratu Zisk, funkce zisku, EBIT, EAT, EBT, Bod zvratu I. Úloha zisku v podnikání Zisk je cílem veškerého podnikání, ne však jediným. Podnikatelé sledují další monetární cíle: - zajištění platební pohotovosti

Více

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2 Statistika jako obor Statistika Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů hromadného charakteru. Tím se myslí to, že zkoumaný jev musí příslušet určité části velkého množství objektů (lidí,

Více

Zdokonalování gramotnosti v oblasti ICT. Kurz MS Excel kurz 3. Inovace a modernizace studijních oborů FSpS (IMPACT) CZ.1.07/2.2.00/28.

Zdokonalování gramotnosti v oblasti ICT. Kurz MS Excel kurz 3. Inovace a modernizace studijních oborů FSpS (IMPACT) CZ.1.07/2.2.00/28. Zdokonalování gramotnosti v oblasti ICT Kurz MS Excel kurz 3 1 Obsah Řazení dat... 3 Seřazení textu a čísel... 3 Další možné seřazení je možné podle barev, písma a ikon... 4 Filtry, rozšířené filtry...

Více

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška

Disjunktivní a konjunktivní lní tvar formule. 2.přednáška Disjunktivní a konjunktivní normáln lní tvar formule 2.přednáška Disjunktivní normáln lní forma Definice Řekneme, že formule ( A ) je v disjunktivním normálním tvaru (formě), zkráceně v DNF, jestliže je

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ. Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace. 8. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D.

ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ. Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace. 8. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D. ČASOVÁ HODNOTA PENĚZ Manažerská ekonomika obor Marketingová komunikace 8. přednáška Ing. Jarmila Ircingová, Ph.D. Časová hodnota peněz Každou peněžní operaci prováděnou v současnosti a zaměřenou do budoucnosti

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Přijímací řízení pro studium od školního roku 2014-2015

Přijímací řízení pro studium od školního roku 2014-2015 Přijímací řízení pro studium od školního roku 2014-2015 1 Základní informace Ke studiu v prvním ročníku osmiletého studia (obor 79-41-K/81) od školního roku 2014 2015 bude přijato nejvýše 56 žáků pátých

Více

Nástroje pro analýzu dat

Nástroje pro analýzu dat 7 Nástroje pro analýzu dat V té to ka pi to le: Ověřování vstupních dat Hledání řešení Řešitel Scénáře Citlivostní analýza Rychlá analýza Kapitola 7 Nástroje pro analýzu dat Součástí Excelu jsou nástroje

Více