Transformace jistých křivek a ploch v kruhové inverzi

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Transformace jistých křivek a ploch v kruhové inverzi"

Transkript

1 STŘEDOŠKOLSKÁ ODBORNÁ ČINNOST Transformace jistých křivek a ploch v kruhové inverzi Emil Skříšovský ČESKÉ BUDĚJOVICE 2012

2 STŘEDOŠKOLSKÁ ODBORNÁ ČINNOST Obor SOČ: Matematika a statistika (1) Transformace jistých křivek a ploch v kruhové inverzi Transformation of certain curves and surfaces in the inversion transformation Autor: Škola: Konzultant: Emil Skříšovský Gymnázium Česká a olymp. nadějí, České Budějovice Mgr. Ivan Bartoš, PhD. České Budějovice, 2012

3 Prohlášení. Prohlašuji, že jsem svou práci vypracoval samostatně, použil jsem pouze podklady (literaturu, SW) uvedené v přiloženém seznamu a postup při zpracování a dalším nakládání s prací je v souladu se zákonem č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon) v platném znění. V Českých Budějovicích, 23. dubna 2012 Emil Skříšovský

4 Poděkování. Děkuji Ivanu Bartošovi, který mi nejen ukázal směr, kterým by se měla práce ubírat, ale i věnoval svůj volný čas a poskytl mi mnoho cenných rad v průběhu psaní práce.

5 Abstrakt Práce podává ucelené poznatky o kruhové inverzi a následně je zobecňuje do trojrozměrného eukleidovského prostoru. V první části práce je čtenář uveden do problematiky soustav souřadnic a jejich transformací. Náhled na inverzi je ryze analytický, ve vlastním jádru práce jsou pak poznatky o inverzi aplikovány, kdy transformací kuželoseček a kvadrik získáme algebraické křivky a plochy vyšších řádů. Čtenář získá pohled na křivky z hlediska jejich transformací. Klíčová slova: soustava souřadnic, transformace, kruhová inverze, inverze v prostoru, analytický přístup, inverze kuželoseček a kvadrik, algebraické křivky a plochy Abstract The main objective of this paper is to summarize knowledge of inversion transformation and generalize it into three-dimensional Euclidean space. In the first part of the paper the reader is introduced to the theme of coordinate systems and the needs of transforming them. In the main part of the paper (Chapter 3 and 4), the theme is shown of the application of inversion transformation by inverting conics and quadrics to obtain other algebraic curves and surfaces of higher degree. Our approach to inversion transformation is purely analytical. Keywords: coordinate systems, transformation, inversion transformation, inversion in 3D, analytical approach, inverting conic sections and quadrics, algebraic curves and surfaces

6 Obsah Úvod 7 1 Soustava souřadnic Kartézská soustava Transformace souřadnic Afinní transformace Matice transformace Kruhová inverze Rovnice transformace Obrazy geometrických útvarů v inverzi Obrazy kuželoseček Inverze v prostoru E K rovnicím kulové inverze Obrazy kruhových ploch Kvadriky, jejich transformace Stereografická projekce Inverze ve vyšší dimenzi Závěr 58

7 Přehled použitého značení a symbolů N R E N M N X X [x, y] XY SX u SX AV B, AV B I(S, k) obor přirozených čísel, množina přirozených čísel obor reálných čísel, množina reálných čísel prvek množiny univerzální kvantifikátor Eukleidův prostor rozměru N Möbiův prostor rozměru N vzor (v grafu černě) obraz bodu v daném zobrazení (v grafu červeně) souřadnice bodu vzdálenost bodů X a Y polopřímka SX vektor vektor s počátečním bodem S a koncovým X úhel, jeho velikost inverze se středem S a koeficientem k součet řady

8 Úvod Dnešní podoba matematiky se z převážné části zakládá na přímkách, kružnicích, křivkách a funkcích a přesném popisu jejich vlastností. Náhled matematiků na tyto objekty se v průběhu let výrazně měnil. Ve starověkém Řecku byla matematika z velké části orientovaná na geometrii studii tvarů a těles. Na rozvoj matematických operací výrazně působily praktické podněty. Eukleides vydává Základy, v nichž definuje své postuláty axiomatická výstavba geometrie, která určuje hlavní evropské geometrické myšlení po dalších 2000 let. Zlom nastává v 16. století, kdy otázky mechaniky a pohybu nutí matematiky nahlížet na geometrii z jiného pohledu. Nakonec René Descartes ukazuje metodu, pomocí níž popisuje analyticky dráhu pohybu bodu. Jeho analytická geometrie odpovídá na otázky fyziky, k jejichž řešení přispívá později také vznik matematické analýzy (kalkulu). Kruhovou inverzi poprvé představil Apollonius v třetím století př.n.l. V práci na ní budeme nahlížet z analytického pohledu a předvedeme její možné a méně známé aplikace v oblasti transformací křivek a ploch. Čtenáři se tak skrze transformace poodhalí zajímavé vztahy mezi jednotlivými křivkami a plochami. Poznamenejme, že oproti běžné literatuře, kde je inverze zmiňována jen ve spojitosti se zobrazováním kružnic, tak zde nám pojetí inverze jako ryze analytické transformace umožní zobecnit inverzi do trojrozměrného Eukleidovského prostoru.

9 1 SOUSTAVA SOUŘADNIC 8 1 Soustava souřadnic Analytické nahlížení na geometrické objekty pomocí metody souřadnic umožnilo zavést geometrické objekty jako množiny bodů v rovině, jejichž souřadnice vyhovují dané rovnici. Takto můžeme převádět geometrické problémy na algebraické, jejichž řešení vede na soustavy rovnic a nerovnic (nejčastěji lineárních a kvadratických) a výsledek opět geometricky interpretovat. Abychom vůbec mohli problémy geometrie na analytické převést, musíme si zavést právě soustavu souřadnic. Definice 1.1: Prostorem budeme nazývat množinu všech uspořádaných n-tic čísel [x 1, x 2, x 3,..., x n ]. Číslo n, n N vyjadřuje rozměrnost daného prostoru. Právě jedné takové uspořádané n-tici čísel říkáme bod prostoru. Naše geometrické chápání budujeme v Eukleidovských prostorech, v kterých platí pět Eukleidových axiomů [1]. Můžeme tvrdit, že Eukleidovský prostor je kartézskou mocninou nad tělesem reálných čísel: R n a je prostorem, kde je definována metrika. Eukleidovský prostor E 2 nazveme rovinou a uvažujeme jej jako množinu všech uspořádaných dvojic čísel [x, y]. Prostor nazveme metrickým (s metrikou), můžeme-li v něm formálně definovat pojem vzdálenosti. Nejužívanější a nejpřirozenější metrikou definovanou na eukleidovském prostoru je běžná eukleidovská metrika. Tuto metriku definujeme jako délku úsečky mezi oběma body a vyjádříme tímto vztahem: 1 XY = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x n y n ) 2 1 Vzdálenost bodů X [x 1, x 2,..., x n ] a Y [y 1, y 2,..., y n ] podle Pythagorovy věty. Pojem metriky více rozebírá Jarník v [6].

10 1 SOUSTAVA SOUŘADNIC 9 Definice 1.2: Soustava souřadnic je soustava základních geometrických objektů, pomocí nichž a jejich vlastností se dá jednoznačně určit poloha všech bodů popisovaného prostoru v právě zvolené soustavě souřadnic. Polohu bodu v dané soustavě zapisujeme pomocí souřadnic (koordinát), dané n-tice čísel (násobků nebo dílů základní jednotky). Ta přímo odráží danou polohu vůči základním objektům soustavy. 1.1 Kartézská soustava V běžném počítání i v životě nejčastěji používáme Kartézskou soustavou souřadnic (KSS) soustavu, jejíž osy jsou na sebe kolmé, protínají se v jediném bodě počátku soustavy a na všech osách jsou jednotky stejné délky. Počátek soustavy souřadnic označíme O a přiřazujeme mu na všech osách hodnotu 0. Podle rozměrnosti prostoru v kterém pracujeme, zavádíme obr. 1 kartézská soustava v E 2 a E 3 (převzato z [18]) příslušný počet os. Tu část osy, jejíž souřadnice odpovídají hodnotám x > 0 (resp. x < 0) nazýváme kladná (resp. záporná) poloosa.

11 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 10 2 Transformace souřadnic KSS není jedinou soustavou, která se pro popis objektů v dnešní době používá. Mimo ní máme další odlišné soustavy souřadnic. Z hlediska matematiky je velmi důležité pochopit, jaké jsou mezi nimi vztahy, co mají společné a co rozdílné. Těmto vztahům říkáme transformační rovnice. Některé transformační rovnice je lehké odvodit, s transformacemi se setkáváme již od brzkých školních let (například, kdy dokreslujeme druhou polovinu obrazce podle osy souměrnosti). Definice 2.1: Transformace souřadnic je přechod od jednoho systému souřadnic k jinému k popsání daného prostoru. S pojmem transformace souřadnic 2 se překrývá pojem geometrické zobrazení. Geometrické zobrazení je předpis, který všem bodům daného prostoru jednoznačně přiřazuje právě jeden bod téhož prostoru. Je-li útvar určen souřadnicemi bodů, z nichž je tvořen, pak můžeme tvrdit, že transformace daného útvaru je změna souřadnic všech těchto bodů. 2.1 Afinní transformace Afinní transformace jsou základními druhy transformací. Mezi afinní transformace se řadí takové transformace, které zachovávají přímky přímkami. Afinní transformace mají široké využití modelují převážně množství jevů reálného světa. Jejich aplikace prolíná oblasti jako je počítačová grafika, výpočetní technika ale i kryptografie. V matematice patří k zobrazením, s kterými se dá relativně snadno manipulovat - snadno se vyjadřují pomocí 2 Pro účely této práce budeme pod pojmem transformace rozumět jednak transformace souřadnic, ale i geometrické zobrazení

12 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 11 charakteristických transformačních matic. Užší skupinou afinních transformací jsou lineární transformace. Z hlediska transformací souřadnic, afinní transformací kartézské soustavy je vyjma zkosení vždy KSS Souměrnosti S prvními transformacemi, s kterými se člověk v životě setkává, aniž by o nich měl povědomí, jsou středová a osová souměrnost. Každý jistě kdysi dokresloval k obrazu jeho druhou polovinu nebo hledal osy souměrnosti tvarů a objektů. Rozeberme si tato geometrická zobrazení z matematického pohledu. Definice 2.2: Je-li dán bod S, pak středová souměrnost se středem S je shodné zobrazení, které všem bodům X roviny přiřazuje bod X, tak že bod S je středem úsečky XX. (obr. 2) obr. 2 obraz kružnice v středové souměrnosti Zaměřme se na rovnice transformace: je-li S [x s, y s ] středem úsečky XX,

13 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 12 pak musí platit: 3 S = X + X X = 2S X 2 x = 2x s x, y = 2y s y (2.1) Popsali jsme středovou souměrnost jako shodné zobrazení takové zobrazení, které zachovává délky úseček. Definice 2.3: Necht je dána přímka o, pak osová souměrnost podle osy o je zobrazení, které každému bodu roviny X přiřadí bod X tak, že střed úsečky XX leží na o a zároveň je XX na o kolmá (obr. 3) obr. 3 obraz kružnice v osové souměrnosti Z definice plyne, že množinou všech samodružných bodů je osa souměrnosti. K odvození rovnic transformace uvažujme jako osu souměrnosti přímku p: ax+ by + c = 0 a zobrazovaný bod X [x 1, y 1 ]. Průsečík přímky kolmé na osu o, procházející X označme P. Z definice vyplývá, že bod X získáme jako obraz bodu X ve středové souměrnosti podle P. 3 Symbolická rovnice pro střed úsečky: S = X+Y 2

14 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 13 Normálový vektor k přímce p je n (a, b). Z podmínky, aby X ležel na přímce n (kolmé k o), získáme její obecnou rovnici: bx ay [ +(ay 1 bx 1 ) = 0. P je pak dán jako průsečík n a o, má tedy souřadnice: P Pak pro X podle (2.1) platí: X = 2P X b2 x 1 +aby 1 +ac a 2 +b 2 x = (a2 b 2 ) x + 2a (by + c) a 2 + b 2, y = (b2 a 2 ) y + 2b (ax + c) a 2 + b 2 (2.2) Speciálně pro osovou souměrnost podle osy y dostaneme: x = x, y = y a pro souměrnost podle osy x rovnice (2.2) přejdou na tvar: x = x, y = y., a2 y 1 +abx 1 +bc a 2 +b 2 ] Posunutí Čtenář jistě ví, že jako vektor v geometrii označujeme orientovanou úsečku úsečku s počátečním a koncovým bodem. Na základě tohoto poznatku zavedeme posunutí roviny: 4 Definice 2.4: Posunutí je zobrazení dané vektorem AB, které všem bodům roviny X přiřazuje bod X, přičemž platí: AB = XX. (obr. 4) Odvodit si rovnice transformace by nemělo být těžké: Posunutí o vektor u = (a, b) zobrazí X na X podle definice 2.4: X = X + u, neboli: x = x + a, y = y + b (2.3) Vidíme, že posunutí nemá žádné samodružné body, pokud není vektor posunutí nulový. 4 Dva vektory považujeme za sobě rovny, pokud mají shodný směr, orientaci a velikost.

15 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 14 obr. 4 obraz kružnice v posunutí Rotace Rotace (otočení) je transformace, kdy každý bod roviny opisuje kružnici kolem daného středu. Definice 2.5: Je-li dán úhel o velikosti ϕ, rotací kolem středu S o daný úhel zobrazíme bod X na X, pro který platí: SX = SX XSX = ϕ Je-li ϕ > 0, otáčíme proti směru chodu hodinových ručiček v kladném smyslu otáčení, pro ϕ < 0, otáčíme po směru chodu hodinových ručiček v záporném smyslu. (obr. 5) Jak je ukázáno v [2], pro rotaci okolo počátku soustavy souřadnic o úhel ϕ platí: x = x cos ϕ y sin ϕ, y = x sin ϕ + y cos ϕ (2.4)

16 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 15 obr. 5 obraz kružnice v rotaci Dilatace Stejnolehlost jako transformace je speciálním případem skupiny afinních transformací zvaných dilatace. Dilatace upravuje délkové jednotky na osách: x = ax, y = by (2.5) Pro a = b jde právě o stejnolehlost s koeficientem κ = a. V ostatních případech jde o transformaci, která zobrazuje kružnici na elipsu a čtverec na obecný pravoúhelník Zkosení Za afinní transformaci můžeme považovat i zkosení kartézské soustavy souřadnic. Při této trasformaci měníme velikost úhlu mezi osou x a y (viz obr. 6). Tato transformace se řídí těmito rovnicemi 5 : x = x + y cos α, y = y sin α (2.6) 5 Úpravou pomocí goniometrických vztahů.

17 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 16 obr. 6 zkosení - zmenšení úhlu mezi osami 2.2 Matice transformace Počítání a práce s afinními transformacemi se dá velmi usnadnit použitím transformačních matic. Transformační matice jsou souhrné rovnice transformace vyjádřené maticovým zápisem. Pro afinní transformace se dá takovéto maticové vyjádření vytvořit. Jak se dá ukázat, výsledná matice zobrazení složeného je dána maticovým součinem odpovídajících matic a inverzní zobrazení k dané transformaci vyjadřuje inverzní matice. Definice 2.6: Všechny afinní transformace v rovině, které zobrazují bod X [x, y] na bod X [x, y ] můžeme udat ve tvaru: kde a 1 b 2 a 2 b 1 0. x = a 1 x + b 1 y + c 1 y = a 2 x + b 2 y + c 2, (2.7) Je-li dána afinní transformace rovnicemi (2.7), pak transformační matice

18 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 17 tohoto afinního zobrazení je ve tvaru 6 : x a 1 b 1 c 1 x y = a 2 b 2 c 2 y Rovnice předchozích transformací upravíme pomocí tohoto maticového zápisu: Středová souměrnost Středová souměrnost daná středem souměrnosti S [x s, y s ] (viz rovnice 2.1): x 1 0 2x s x y = 0 1 2y s y Osová souměrnost Osová souměrnost daná osou souměrnosti ax + by + c = 0 (podle rovnic 2.2): Posunutí x y = 1 a2 b 2 2ab a 2 +b 2 a 2 +b 2 2ab b2 a 2 a 2 +b 2 a 2 +b 2 2ac a 2 +b 2 2bc a 2 +b Posunutí dané vektorem u (a, b) (podle rovnic 2.3): x 1 0 a x y = 0 1 b y Rotace Rotace kolem počátku o úhel ϕ (podle rovnic 2.4): x cos ϕ sin ϕ 0 x y = sin ϕ cos ϕ 0 y Čtenář se o tom může přesvědčit roznásobením x y 1

19 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 18 Dilatace Změna měřítek osy x a osy y (z rovnic 2.5): x a 0 0 x y = 0 b 0 y Zkosení Zkosení soustavy souřadnic dané úhlem α (podle rovnic 2.6): x 1 cos α 0 x y = 0 sin α 0 y

20 3 KRUHOVÁ INVERZE 19 Farmář potřeboval ohradit co největší plochu pastviny co nejkratším plotem. Zavolal si na pomoc inženýra, fyzika a matematika. Inženýr postavil kruhovou ohradu a prohlásil, že to je nejúspornější způsob. Fyzik postavil dlouhou, přímou zed a prohlásil, že můžeme předpokládat, že je nekonečně dlouhá. Matematik postavil malinkou ohrádku kolem sebe se slovy: Já jsem venku a co je za plotem, je uvnitř ohrady.[17] 3 Kruhová inverze Jedním méně používaným, ale přesto velmi zajímavým případem rovinné transformace je kruhová inverze. Oproti ostatním zmíněným transformacím nepatří toto zobrazení mezi afinní. Pokud je kruhová inverze v knihách o geometrii zmíněna, je převážně využita pouze ke konstrukčním úlohám právě na jejím elegantním užití stojí řešení některých z Apolloniových úloh o kružnicích. Definice 3.1: Kruhová inverze je transformace jednoznačně určená středem inverze S a koeficientem inverze k (k > 0). Při ní se každý bod X roviny (mimo středu S) zobrazí na bod X tak, že X leží na polopřímce SX a zároveň platí: SX SX = k Středu inverze S přiřazujeme bod M nevlastní bod roviny Rozšíření roviny Pozornému čtenáři jistě neunikne, že obraz středu inverze S podle definice nemůžeme jednoduše sestrojit. Středu inverze musíme jako obraz přiřadit nově zavedený bod nevlastní bod roviny M, který vyhovuje definici (zároveň leží na všech přímkách jdoucích středem inverze). Takto rozšířenou rovinu

21 3 KRUHOVÁ INVERZE 20 obr. 7 k definici inverze budeme nazývat Möbiovou rovinou. Kruhová inverze je tedy transformace, která zobrazuje jednoznačně všechny body roviny na Möbiovu rovinu Samodružné body Vyšetřeme nyní množinu všech samodružných bodů (X = X ). Pro ně můžeme psát: SX 2 = k, tedy SX = k. Množinou všech bodů, které mají od bodu konstantní vzdálenost je kružnice samodružnými body jsou body kružnice se středem S a poloměrem k. Podle této vlastnosti získala tato transformace své jméno kruhová. Pro zjednodušení dalších výpočtů položíme k = r 2. Jak snadno nahlédneme, platí: SX > r SX < r Všechny body roviny z vnější oblasti kružnice se zobrazí do její vnitřní oblasti SX < r SX > r Všechny body vnitřní oblasti kružnice se zobrazí do vnější oblasti SX = r SX = r Věta o samodružných bodech

22 3 KRUHOVÁ INVERZE Sestrojení obrazu Mějme dán střed inverze S, poloměr inverze k a bod X, který chceme zobrazovat. Úsečce o velikosti r, r = SX SX říkáme střední geometrická úměrná a sestrojíme jí pomocí Eukleidovy věty o odvěsně (obr. 8). Pak bereme SX jako přeponu (resp. část přepony pro SX < r) pravoúhlého trojúhelníka. Sestrojíme tečny ke kružnici inverze k, k(s, r) z bodu X a pata kolmice na SX procházející bodem dotyku tečny je obrazem bodu X v inverzi. Postup převrátíme, pokud SX < r. obr. 8 sestrojení obrazu v inverzi Definice 3.2: Pokud budeme zapisovat kruhovou inverzi, značení bude následující: I(S, k) : X X inverze podle středu S s koeficientem k. Je-li udána pouze kružnice inverze k tak následovně: I(k ) : X X

23 3 KRUHOVÁ INVERZE Rovnice transformace Čtenář jistě pochopil, že Descartova analytická geometrie se ukázala být velmi mocným, ale přesto relativně jednoduchým způsobem, jak řešit geometrické úlohy. Nejenže odpadá jakákoliv nutnost geometrické konstrukce, ale i složité a zdlouhavé hledání vztahů mezi objekty je nahrazeno řešením jednoduchých rovnic. Necht je dána inverze předpisem: I(S, k) : X [x, y] X [x, y ]. Uvažujme, že střed kružnice inverze má souřadnice S [s x, s y ]. Z kolinearity vektorů vyjádříme, že SX je násobkem vektoru SX: Zároveň z definice platí SX SX = k = r 2 : (x x s ) = a (x x s ) (3.1a) (y y s ) = a (y y s ), a R (3.1b) [(x x s ) 2 + (y y s ) 2] [(x x s ) 2 + (y y s ) 2] = k = r 2 [a2 (x x s ) 2 + a 2 (y y s ) 2] [(x x s ) 2 + (y y s ) 2] = r 2 a [ (x x s ) 2 + (y y s ) 2] = r 2 a = A dosazením do rovnic (3.1a) a (3.1b) získáme: r 2 (x x s ) 2 + (y y s ) 2 x = x s + r 2 (x x s ) (x x s ) 2 + (y y s ) 2, r 2 (y y s ) y = y s + (x x s ) 2 + (y y s ) 2 (3.2) Tedy bod X má souřadnice: ] X [x r 2 (x x s ) s + (x x s ) 2 + (y y s ) 2, y r 2 (y y s ) s + (x x s ) 2 + (y y s ) 2 (3.3)

24 3 KRUHOVÁ INVERZE 23 Věta 3.1 (Involutornost): Kruhová inverze je involutorní zobrazení tzn. že obraz bodu v inverzi se zobrazí v téže inverzi opět na původní vzor. Důkaz. Necht se X zobrazí na X. Pak platí SX = r2. V inverzi se SX stejným středem a koeficientem se X zobrazí na X. X leží na SX a tedy i na SX. Dále pro druhé zobrazení platí: SX = r2 SX = r2 r 2 SX = SX Důsledek: Kruhová inverze je involutorní zobrazení, podle (3.3) platí tedy (záměnou souřadnic vzoru a obrazu): [ X x s Polární vyjádření r 2 (x x s ) (x x s ) 2 + (y y s ) 2, y s + ] r 2 (y y s ) (x x s ) 2 + (y y s ) 2 (3.4) Mnohdy není křivka vyjádřena pomocí pravoúhlých souřadnic, ale je výhodnější jí zapsat v polárních souřadnicích. Bod v rovině je pomocí polárních souřadnic dán vzdáleností od počátku (ϱ) a úhlem vůči polární ose (t). Uvažujme tedy inverzi v přidružené polární soustavě souřadné podle počátku, kde I(S, k) : X X (obr. 9). Souřadnice bodů tedy zapišme ve tvaru: X [ϱ x, t x ], souřadnice X : X [ϱ x, t x]. Pak platí: ϱ x ϱ x = k = r 2 = ϱ x = r2 ϱ x t x = t x

25 3 KRUHOVÁ INVERZE 24 obr. 9 k polární soustavě 3.2 Obrazy geometrických útvarů v inverzi Aplikováním transformačních rovnic můžeme pozorovat, jak se mění jednotlivé křivky při zobrazení kruhovou inverzí. Budeme uvažovat střed inverze je v počátku KSS. Pak transformační rovnice (3.2) přechází na tvar: Obraz přímky x = r2 x x 2 + y 2, y = r2 y x 2 + y 2 (3.5) x = Obecná rovnice přímky je ve tvaru ax + by + c = 0. r2 x x 2 + y 2, y = r2 y x 2 + y 2 (3.6) Obrazem přímky v inverzi podle počátku soustavy souřadnic (rovnice 3.5) je zřejmě množina bodů vyhovující rovnici: ar 2 x x 2 + y 2 + br2 y x 2 + y 2 + c = 0 ar 2 x + br 2 y + c ( x 2 + y 2) = 0

26 3 KRUHOVÁ INVERZE 25 Rozlišme nyní speciální případ, kdy c = 0 (Přímka prochází středem inverze): ar 2 x + br 2 y = 0 ax + by = 0 Pro c 0 je obrazem kružnice. Snadno 7 se ukáže, že prochází počátkem obr. 10 obraz přímky, c = 0 soustavy souřadnic. Pokud přímka prochází středem inverze, jejím obrazem je shodná přímka přímka procházející středem je samodružná. obr. 11 obraz přímky, c 0 7 např. dosazením souřadnic bodu do rovnice

27 3 KRUHOVÁ INVERZE 26 Důsledek: Nevlastním bodem roviny procházejí všechny přímky Důkaz. Přímka se vždy zobrazí na rovnici, jíž vyhovuje střed inverze. Ve stejné inverzi se střed inverze jistě zobrazí na zobrazovanou přímku. A obrazem středu inverze je nevlastní bod roviny Obraz kružnice Uvažujme kružnici danou rovnicí (x a) 2 + (y b) 2 = c 2. V kruhové inverzi se zobrazí následovně: ( ) r 2 x 2 ( ) r 2 x 2 + y a y x 2 + y b = c 2 2 úpravou členů v závorkách, vynásobením (x 2 + y 2 ) 2 : ( r 2 x a ( x 2 + y 2)) 2 ( + r 2 y b ( x 2 + y 2)) 2 ( = c 2 x 2 + y 2) 2 r ( 4 x 2 + y 2) 2r ( 2 x 2 + y 2) (ax + by ) = ( c 2 a 2 b 2) ( x 2 + y 2) 2 r 4 2r 2 (ax + by ) = ( c 2 a 2 b 2) ( x 2 + y 2) Znovu speciální případ (kružnice prochází středem inverze, tj. c 2 = a 2 + b 2 ) oddělíme, pravá strana rovnice přejde v nulu: r 2 = 2 (ax + by ) V druhém případě, kdy c 2 a 2 +b 2 a kružnice neprochází středem, obrazem je opět kružnice. Kružnice procházející středem inverze, se zobrazí na přímku. 8 8 Jak ostatně vyplývá z věty 3.1 a z obrazu přímky, která neprochází středem.

28 3 KRUHOVÁ INVERZE 27 obr. 12 obraz obecné kružnice Kruhové křivky Přímky a kružnice budeme souhrně nazývat kruhové křivky. Ukázali jsme, že platí: Věta 3.2: Obrazem kruhové křivky je vždy kruhová křivka. Prochází-li kruhová křivka středem inverze, zobrazí se na přímku. Jde-li mimo střed inverze, zobrazuje se na kružnici. 3.3 Obrazy kuželoseček Kuželosečky jsou křivky, které je možno získat jako průnik rotační kuželové plochy s rovinou. Jejich obecnou rovnicí je vždy rovnice 2. řádu s proměnnými x a y. Mezi tyto křivky řadíme kružnici, elipsu, parabolu a hyperbolu. Obrazem obecné kuželosečky v kruhové inverzi je kvartika - tj. křivka

29 3 KRUHOVÁ INVERZE 28 obr. 13 střed inverze leží na kružnici čtvrtého řádu. Obecnou rovnicí kuželosečky rozumějme rovnici tvaru 9 : Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Pak podle (3.5) tato rovnice přejde do tvaru: r ( 4 Ax 2 + Bx y + Cy 2) + r 2 (Dx + Ey ) ( x 2 + y 2) + F ( x 2 + y 2) 2 = Parabola Parabola je křivka kterou získáme řezem kuželové plochy neprocházející jejím vrcholem a rovnoběžným právě s jednou přímkou plochy. Je-li osa paraboly rovnoběžná s osou y, určuje graf kvadratické funkce. Planimetricky je definována podle své vlastnosti: Parabola je množina všech bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od přímky (řídící přímka) a bodu (ohnisko). 10 Rovnici paraboly si bez újmy na obecnosti přepíšeme do tvaru: 9 Více v [10] 10 Viz [13] y = ax 2 + b

30 3 KRUHOVÁ INVERZE 29 Transformací jí upravíme do tvaru: ( ) r 2 y r 2 x 2 + y = a x 2 + b 2 x 2 + y 2 r 2 y ( x 2 + y 2) = ar 4 x 2 + b ( x 2 + y 2) 2 Pokud prochází parabola středem inverze (b = 0), můžeme rovnici upravit do tvaru: y ( x 2 + y 2) = ar 2 x 2 Tato křivka se nazývá Dioklova kissoida a má vrchol v [0, 0] a její asymptota obr. 14 Dioklova kissoida je přímka daná rovnicí y = a. Dalším způsobem jak můžeme kissoidu získat, je zobrazováním paraboly v osové souměrnosti. Pohybujeme- li bodem B po parabole p (viz [12]), jejím obrazem v osové souměrnosti podle tečny v bodě B je p. Množina všech vrcholů parabol p tvoří kissoidu. Nakonec si ukážeme jednu z mnoha zajímavých vlastností kissoidy: Necht je dána kružnice vepsaná pásu (obr. 15), dotýkající se vrcholu B. Zvolme libovolný bod A na asymptotě. Pak spojnice AB se protíná s k v bodě F, s kissoidou v C. Platí: AC = BF, AF = BC.

31 3 KRUHOVÁ INVERZE 30 obr. 15 stejné délky Obraz paraboly, která neprochází středem inverze rozčleníme do skupin podle toho, zda je střed inverze ve vnější či vnitřní oblasti paraboly. obr. 16 lakrimoida Pokud je střed ve vnější oblasti, obrazem je křivka, jejíž graf má tvar kapky. Této křivce budeme říkat lakrimoida (lat. lacrima slza). Lakrimoida je [ obecná ] kvartika, souměrná podle osy y. Má dva průsečíky s osou y: [0, 0], 0, r2. Lakrimoida je omezená křivka, souřadnicová hodnota y mezního b

32 3 KRUHOVÁ INVERZE 31 bodu 11 je rovna: ( ab ab + 16 a2 b 2) r 2 4b (1 + 4 ab) Lakrimoida má jeden inflexní bod - jeho y-ová souřadnice je ( 12 ab ab + 12 a2 b 2) r 2 a (4 ab 3) (1 + 4 ab) Je-li střed inverze ve vnitřní oblasti paraboly, získáme křivku zvanou kardioida (obr. 17). Kotálíme-li kružnici k po obvodu kružnice l stejného poloměru, obr. 17 kardioida vzniklá inverzí paraboly pak pevně daný bod A na kružnici k opisuje právě tuto křivku.[12] Hyperbola, mocninné funkce Hyperbolu získáme jako řez dvojitého kužele rovinou rovnoběžnou s osou kužele. Planimetricky je hyperbola definována jako množina všech bodů, 11 Po vyjádření y z rovnice lakrimoidy a následného položení první derivace podle y nule. Pro body inflexe položíme rovnu nule druhou derivaci podle y. Vyjádřeno pomocí programu Maple.

33 3 KRUHOVÁ INVERZE 32 které mají od dvou bodů (ohnisek) konstantní rozdíl vzdáleností, menší než je vzdálenost ohnisek. Příkladem hyperboly je graf mocninné funkce y = k x. Budeme uvažovat pouze hyperbolu ve středové poloze: xy = k r 2 x x 2 + y r 2 y 2 x 2 + y = k 2 r 4 x y = k ( x 2 + y 2) 2 Hyperbola se v kruhové inverzi zobrazí na Bernoulliho lemnniskátu racionální křivku čtvrtého stupně. Bernoulliho lemniskáta je množina všech bodů, které mají od dvou daných bodů E, F (ohnisek) vzdálených od sebe 2a, konstatní součin vzdáleností, roven a 2. obr. 18 Bernoulliho lemniskáta Bernoulliho lemniskáta je speciálním případem Cassiniových oválů střed spojnice ohnisek leží právě na lemniskátě. Graf podobný hyperbole mají i mocninné křivky se zápornou mocninou. Přestože tyto křivky nespadají pod kuželosečky, tak je zde zmíním. Graf funkce y = 1 probíhá v 1. a 4. kvadrantu. Umocníme dvěmi, abychom x 2 získali křivku probíhající všemi kvadranty: x 4 y 2 = 1.

34 3 KRUHOVÁ INVERZE 33 Její obraz v inverzi má tvar čtyřlístku (obr. 19). obr. 19 obraz mocninné funkce Elipsa Narozdíl od paraboly a hyperboly je elipsa uzavřená křivka. Elipsa vznikne řezem kužele rovinou, která není kolmá na jeho osu a neprochází jeho vrcholem. Elipsa je množinou všech bodů, jež mají od daných dvou bodů (ohnisek) konstantní součet vzdáleností. Střed spojnice ohnisek označujeme jako střed elipsy. Elipsa se středem S [a, b] s poloosami 12 e, f má rovnici ( ) 2 ( ) 2 x a y b + = 1 Aplikujeme-li transformaci: e f ) 2 ) 2 ( ( r 2 x r a 2 y b x 2 +y 2 x + 2 +y 2 = 1 e 2 f 2 12 Přímka procházející ohnisky protíná elipsu v bodech A, B. Vzdálenost SA = e označujeme jako hlavní poloosu. Kolmice ve středu elipsy na AB protíná elipsu v bodech C, D. Vzdálenost SC = f označujeme jako vedlejší poloosu

35 3 KRUHOVÁ INVERZE 34 Substituce: t = (x 2 + y 2 ), následně vynásobení (eft) 2 f ( 2 r 2 x at ) 2 ( + e 2 r 2 y bt ) 2 = (eft) 2 f ( 2 r 4 x 2 2r 2 x at + a 2 t 2) 2 ( + e 2 r 2 y 2r 2 y bt + b 2 t 2) 2 = (eft) 2 r ( 4 f 2 x 2 + e 2 y 2) 2r 2 t ( ax f 2 + by e 2) = t ( 2 e 2 f 2 f 2 a 2 e 2 b 2) Zanedbejme případ, kdy je hlavní poloosa elipsy rovnoběžná s osou y (a b). 1. Střed elipsy ve středu inverze Má-li elipsa střed v počátku soustavy souřadnic, platí a = b = 0. Rovnice pak přechází na tvar: r ( 4 f 2 x 2 + e 2 y 2) = ( x 2 + y 2) 2 (ef) 2 Speciálně pro ef = r 2 (elipsa má vnitřní dotyk s kružnicí) dostáváme rovnici Boothovy lemniskáty : ( f 2 x 2 + e 2 y 2) = ( x 2 + y 2) 2 obr. 20 Boothova lemniskáta Boothova lemniskáta (obr. 20) má dvojici tečen rovnoběžmých s osou y, každá se dotýká lemniskáty ve dvou bodech.

36 3 KRUHOVÁ INVERZE Střed inverze leží na elipse Pokud střed inverze leží na elipse, obrazem bude otevřená křivka. Podmínka, aby střed ležel na elipse je: (af) 2 + (be) 2 = (ef) 2. Rovnice transformované křivky přejde v: r ( 2 f 2 x 2 + e 2 y 2) = 2 ( x 2 + y 2) ( ax f 2 + by e 2) obr. 21 konchoida (a = 2, b = 0, e = 2, f = 1) Tato křivka se nazývá konchoida a je obecnou kubikou s izolovaným bodem O a pro a = 0 (resp. b = 0) je její asymptota je rovnoběžná s osou x (resp. y)

37 4 INVERZE V PROSTORU E Inverze v prostoru E 3 V matematické teorii i aplikacích se nepočítá jen s geometrickými útvary v rovině. Vedle toho musíme zkoumat zákonitosti a vlastnosti zobecnění těchto útvarů a dalších těles v prostoru. Ukažme si analogii kruhové inverze v dalším nám představitelném rozměru: v trojrozměrném prostoru, kde hovoříme o kulové inverzi. Definice 4.1: Analogií kruhové inverze v prostoru je transformace jednoznačně určená středem inverze S a koeficientem inverze k (k > 0). Při ní se každý bod X prostoru (mimo středu S) zobrazí na bod X, X SX a zároveň platí: SX SX = k Obrazem středu inverze S rozumějme bod M nevlastní bod prostoru. E 3 Ze stejných důvodů, jako v kapitole 3.0.1, musíme i Eukleidův prostor rozšířit o nevlastní Möbiův bod. Takto rozšířenému prostoru budeme analogicky říkat Möbiův prostor M 3. Nechá se snadno ukázat, že pokud provedeme restrikci sférické inverze na M 3 podle kulové plochy κ na Möbiovu rovinu M 2 procházející středem inverze, tak dostaneme kruhovou inverzi podle kružnice, která vznikne řezem dané roviny a sféry. Kulová inverze patří mezi konformní zobrazení.

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie,

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace

Projekt IMPLEMENTACE ŠVP. pořadí početních operací, dělitelnost, společný dělitel a násobek, základní početní operace Střední škola umělecká a řemeslná Evropský sociální fond "Praha a EU: Investujeme do vaší budoucnosti" Projekt IMPLEMENTACE ŠVP Evaluace a aktualizace metodiky předmětu Matematika Výrazy Obory nástavbového

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA

TÉMA VÝSTUP UČIVO PRŮŘEZOVÁ TÉMATA Matematika ročník TÉMA G5 VÝSTUP 5.1 Teorie množin, provádí správně operace s množinami, výroková logika množiny vyžívá při řešení úloh; pracuje správně s výroky, užívá správně logické spojky a kvantifikátory;

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

FUNKCE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ FUNKCE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE DO ROZVOJE

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

WICHTERLOVO GYMNÁZIUM, OSTRAVA-PORUBA. Matematika MATURITNÍ OTÁZKY

WICHTERLOVO GYMNÁZIUM, OSTRAVA-PORUBA. Matematika MATURITNÍ OTÁZKY WICHTERLOVO GYMNÁZIUM, OSTRAVA-PORUBA Matematika MATURITNÍ OTÁZKY Ostrava 2008 Tomáš Vejpustek OBSAH 1 Obsah 1 Výrazy a jejich úpravy 8 1.1 Mocniny a odmocniny........................ 8 1.1.1 Umocňování

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Základní cvičení z matematiky,

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách.

ročník 6. 7. 8. 9. celkem počet hodin 4 4 4 5 17 Předmět matematika se vyučuje jako samostatný předmět. Výuka probíhá převážně v kmenových třídách. MATEMATIKA Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové vymezení Vzdělání v matematice je zaměřeno na: užití matematiky v reálných situacích osvojení pojmů, matematických postupů rozvoj abstraktního myšlení

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Analytická geometrie. Hyperbola VY_32_INOVACE_M0119. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy

PŘEDMĚT: MATEMATIKA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy PŘEDMĚT: MATEMATIKA ROČNÍK: PRVNÍ/KVINTA Školní výstupy Učivo Průřezová témata Poznámky, přesahy Žák určuje číselný obor daného čísla (N, Z, Q, R) a rozlišuje základní vlastnosti číselných oborů pracuje

Více

Matematika - 6. ročník

Matematika - 6. ročník Matematika - 6. ročník Učivo Výstupy Kompetence Průřezová témata Metody a formy Přirozená čísla - zápis čísla v desítkové soustavě - zaokrouhlování - zobrazení na číselné ose - početní operace v oboru

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace

Matematika a její aplikace. Matematika a její aplikace Oblast Předmět Období Časová dotace Místo realizace Charakteristika předmětu Průřezová témata Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace 1. 9. ročník 1. ročník 4 hodiny týdně 2. 5. ročník 5

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

Deskriptivní geometrie II.

Deskriptivní geometrie II. Střední průmyslová škola elektrotechnická a Vyšší odborná škola Pardubice, Karla IV. 13 Deskriptivní geometrie II. Ing. Rudolf Rožec Pardubice 2001 Skripta jsou určena pro předmět deskriptivní geometrie

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace

Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,

Více

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014

Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH. Martin Beránek 21. dubna 2014 Elementární matematika - výběr a vypracování úloh ze sbírky OČEKÁVANÉ VÝSTUPY V RVP ZV Z MATEMATIKY VE SVĚTLE TESTOVÝCH ÚLOH Martin Beránek 21. dubna 2014 1 Obsah 1 Předmluva 4 2 Žák zdůvodňuje a využívá

Více

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11

Střední škola F. D. Roosevelta pro tělesně postižené, Brno, Křižíkova 11 příspěvková organizace sídlo: 612 00 Brno, Křižíkova 11 Témata k ústní maturitní zkoušce z předmětu Účetnictví profilové části maturitní zkoušky Školní rok 2012/2013 třída: 4.T 1. Legislativní úprava účetnictví 2. Účetní dokumentace 3. Manažerské účetnictví

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu:

Předmět: Matematika. Charakteristika vyučovacího předmětu: Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Oblast a obor jsou realizovány v povinném předmětu Matematika a ve volitelných předmětech Deskriptivní geometrie

Více

Předmět Matematika zahrnuje vzdělávací obor Matematika a její aplikace.

Předmět Matematika zahrnuje vzdělávací obor Matematika a její aplikace. Matematika Charakteristika vyučovacího předmětu Předmět Matematika zahrnuje vzdělávací obor Matematika a její aplikace. Výuka matematiky přispívá k pochopení kvantitativních a prostorových vztahů reálného

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA I MODUL GA01 M01 VYBRANÉ ČÁSTI A APLIKACE VEKTOROVÉHO POČTU STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAM GEODÉZIE A KARTOGRAFIE S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

Více

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň

Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika, II. stupeň 1/Charakteristika vyučovacího předmětu a) obsahové vymezení Předmět je rozdělen na základě OVO v RVP ZV na čtyři

Více

1 Mnohočleny a algebraické rovnice

1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák:

Matematika prima. Vazby a přesahy v RVP Mezipředmětové vztahy Průřezová témata. Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) Žák: Matematika prima Očekávané výstupy z RVP Školní výstupy Učivo (U) využívá při paměťovém počítání komutativnost a asociativnost sčítání a násobení provádí písemné početní operace v oboru přirozených zaokrouhluje,

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10.

Vzdělávací předmět: Seminář z matematiky. Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení předmětu 5.10. 5.10. Vzdělávací oblast: Vzdělávací obor: Vzdělávací předmět: Matematika a její aplikace Matematika a její aplikace Seminář z matematiky Charakteristika vyučovacího předmětu Vyučovací předmět Seminář z

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

19 Hilbertovy prostory

19 Hilbertovy prostory M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 19: Hilbertovy prostory 34 19 Hilbertovy prostory 19.1 Úvod, základní pojmy Poznámka (připomenutí). Necht (X,(, )) je vektorový prostor se skalárním součinem

Více

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů

II. Nástroje a metody, kterými ověřujeme plnění cílů MATEMATIKA Gymnázium PORG Libeň PORG Libeň je reálné gymnázium se všeobecným zaměřením, matematika je tedy na PORGu pilotním předmětem vyučovaným celých osm let. I. Cíle výuky Naši studenti jsou připravováni

Více

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení

MATEMATIKA. 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu. Obsahové, časové a organizační vymezení MATEMATIKA 6. 9. ročník Charakteristika vyučovacího předmětu Obsahové, časové a organizační vymezení Obsah vyučovacího předmětu Matematika je totožný s obsahem vyučovacího oboru Matematika a její aplikace.

Více

Vlastní číslo, vektor

Vlastní číslo, vektor [1] Vlastní číslo, vektor motivace: směr přímky, kterou lin. transformace nezmění invariantní podprostory charakteristický polynom báze, vzhledem ke které je matice transformace nejjednodušší podobnost

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013 ZÁKLADY PLANIMETRIE Planimetrie je část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Těmito útvary v rovině jsou: 1. body - značí se velkými písmeny latinské abecedy (A, B, C, D,

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

SEZNAM ANOTACÍ. CZ.1.07/1.5.00/34.0527 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_MA3 Planimetrie

SEZNAM ANOTACÍ. CZ.1.07/1.5.00/34.0527 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_MA3 Planimetrie SEZNAM ANOTACÍ Číslo projektu Číslo a název šablony klíčové aktivity Označení sady DUM Tematická oblast CZ.1.07/1.5.00/34.0527 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT VY_32_INOVACE_MA3 Planimetrie

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Matematika a její aplikace - 1. ročník

Matematika a její aplikace - 1. ročník Matematika a její aplikace - 1. ročník počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla do 20 užívá a zapisuje vztah rovnosti a nerovnosti

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh

Učivo obsah. Druhá mocnina a odmocnina Druhá mocnina a odmocnina Třetí mocnina a odmocnina Kružnice a kruh Výstupy žáka ZŠ Chrudim, U Stadionu Je schopen vypočítat druhou mocninu a odmocninu nebo odhadnout přibližný výsledek Určí druhou mocninu a odmocninu pomocí tabulek a kalkulačky Umí řešit úlohy z praxe

Více

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu

Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Matematika 6. ročník Zpracovala: Mgr. Michaela Krůtová Číslo a početní operace zaokrouhluje, provádí odhady s danou přesností, účelně využívá kalkulátor porovnává

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl

M - 2. stupeň. Matematika a její aplikace Školní výstupy Žák by měl 6. ročník číst, zapisovat, porovnávat, zaokrouhlovat, rozkládat přirozená čísla do 10 000 provádět odhady výpočtů celá čísla - obor přirozených čísel do 10 000 numerace do 10 000 čtení, zápis, porovnávání,

Více