Transformace jistých křivek a ploch v kruhové inverzi

Transkript

1 STŘEDOŠKOLSKÁ ODBORNÁ ČINNOST Transformace jistých křivek a ploch v kruhové inverzi Emil Skříšovský ČESKÉ BUDĚJOVICE 2012

2 STŘEDOŠKOLSKÁ ODBORNÁ ČINNOST Obor SOČ: Matematika a statistika (1) Transformace jistých křivek a ploch v kruhové inverzi Transformation of certain curves and surfaces in the inversion transformation Autor: Škola: Konzultant: Emil Skříšovský Gymnázium Česká a olymp. nadějí, České Budějovice Mgr. Ivan Bartoš, PhD. České Budějovice, 2012

3 Prohlášení. Prohlašuji, že jsem svou práci vypracoval samostatně, použil jsem pouze podklady (literaturu, SW) uvedené v přiloženém seznamu a postup při zpracování a dalším nakládání s prací je v souladu se zákonem č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon) v platném znění. V Českých Budějovicích, 23. dubna 2012 Emil Skříšovský

4 Poděkování. Děkuji Ivanu Bartošovi, který mi nejen ukázal směr, kterým by se měla práce ubírat, ale i věnoval svůj volný čas a poskytl mi mnoho cenných rad v průběhu psaní práce.

5 Abstrakt Práce podává ucelené poznatky o kruhové inverzi a následně je zobecňuje do trojrozměrného eukleidovského prostoru. V první části práce je čtenář uveden do problematiky soustav souřadnic a jejich transformací. Náhled na inverzi je ryze analytický, ve vlastním jádru práce jsou pak poznatky o inverzi aplikovány, kdy transformací kuželoseček a kvadrik získáme algebraické křivky a plochy vyšších řádů. Čtenář získá pohled na křivky z hlediska jejich transformací. Klíčová slova: soustava souřadnic, transformace, kruhová inverze, inverze v prostoru, analytický přístup, inverze kuželoseček a kvadrik, algebraické křivky a plochy Abstract The main objective of this paper is to summarize knowledge of inversion transformation and generalize it into three-dimensional Euclidean space. In the first part of the paper the reader is introduced to the theme of coordinate systems and the needs of transforming them. In the main part of the paper (Chapter 3 and 4), the theme is shown of the application of inversion transformation by inverting conics and quadrics to obtain other algebraic curves and surfaces of higher degree. Our approach to inversion transformation is purely analytical. Keywords: coordinate systems, transformation, inversion transformation, inversion in 3D, analytical approach, inverting conic sections and quadrics, algebraic curves and surfaces

6 Obsah Úvod 7 1 Soustava souřadnic Kartézská soustava Transformace souřadnic Afinní transformace Matice transformace Kruhová inverze Rovnice transformace Obrazy geometrických útvarů v inverzi Obrazy kuželoseček Inverze v prostoru E K rovnicím kulové inverze Obrazy kruhových ploch Kvadriky, jejich transformace Stereografická projekce Inverze ve vyšší dimenzi Závěr 58

7 Přehled použitého značení a symbolů N R E N M N X X [x, y] XY SX u SX AV B, AV B I(S, k) obor přirozených čísel, množina přirozených čísel obor reálných čísel, množina reálných čísel prvek množiny univerzální kvantifikátor Eukleidův prostor rozměru N Möbiův prostor rozměru N vzor (v grafu černě) obraz bodu v daném zobrazení (v grafu červeně) souřadnice bodu vzdálenost bodů X a Y polopřímka SX vektor vektor s počátečním bodem S a koncovým X úhel, jeho velikost inverze se středem S a koeficientem k součet řady

8 Úvod Dnešní podoba matematiky se z převážné části zakládá na přímkách, kružnicích, křivkách a funkcích a přesném popisu jejich vlastností. Náhled matematiků na tyto objekty se v průběhu let výrazně měnil. Ve starověkém Řecku byla matematika z velké části orientovaná na geometrii studii tvarů a těles. Na rozvoj matematických operací výrazně působily praktické podněty. Eukleides vydává Základy, v nichž definuje své postuláty axiomatická výstavba geometrie, která určuje hlavní evropské geometrické myšlení po dalších 2000 let. Zlom nastává v 16. století, kdy otázky mechaniky a pohybu nutí matematiky nahlížet na geometrii z jiného pohledu. Nakonec René Descartes ukazuje metodu, pomocí níž popisuje analyticky dráhu pohybu bodu. Jeho analytická geometrie odpovídá na otázky fyziky, k jejichž řešení přispívá později také vznik matematické analýzy (kalkulu). Kruhovou inverzi poprvé představil Apollonius v třetím století př.n.l. V práci na ní budeme nahlížet z analytického pohledu a předvedeme její možné a méně známé aplikace v oblasti transformací křivek a ploch. Čtenáři se tak skrze transformace poodhalí zajímavé vztahy mezi jednotlivými křivkami a plochami. Poznamenejme, že oproti běžné literatuře, kde je inverze zmiňována jen ve spojitosti se zobrazováním kružnic, tak zde nám pojetí inverze jako ryze analytické transformace umožní zobecnit inverzi do trojrozměrného Eukleidovského prostoru.

9 1 SOUSTAVA SOUŘADNIC 8 1 Soustava souřadnic Analytické nahlížení na geometrické objekty pomocí metody souřadnic umožnilo zavést geometrické objekty jako množiny bodů v rovině, jejichž souřadnice vyhovují dané rovnici. Takto můžeme převádět geometrické problémy na algebraické, jejichž řešení vede na soustavy rovnic a nerovnic (nejčastěji lineárních a kvadratických) a výsledek opět geometricky interpretovat. Abychom vůbec mohli problémy geometrie na analytické převést, musíme si zavést právě soustavu souřadnic. Definice 1.1: Prostorem budeme nazývat množinu všech uspořádaných n-tic čísel [x 1, x 2, x 3,..., x n ]. Číslo n, n N vyjadřuje rozměrnost daného prostoru. Právě jedné takové uspořádané n-tici čísel říkáme bod prostoru. Naše geometrické chápání budujeme v Eukleidovských prostorech, v kterých platí pět Eukleidových axiomů [1]. Můžeme tvrdit, že Eukleidovský prostor je kartézskou mocninou nad tělesem reálných čísel: R n a je prostorem, kde je definována metrika. Eukleidovský prostor E 2 nazveme rovinou a uvažujeme jej jako množinu všech uspořádaných dvojic čísel [x, y]. Prostor nazveme metrickým (s metrikou), můžeme-li v něm formálně definovat pojem vzdálenosti. Nejužívanější a nejpřirozenější metrikou definovanou na eukleidovském prostoru je běžná eukleidovská metrika. Tuto metriku definujeme jako délku úsečky mezi oběma body a vyjádříme tímto vztahem: 1 XY = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x n y n ) 2 1 Vzdálenost bodů X [x 1, x 2,..., x n ] a Y [y 1, y 2,..., y n ] podle Pythagorovy věty. Pojem metriky více rozebírá Jarník v [6].

10 1 SOUSTAVA SOUŘADNIC 9 Definice 1.2: Soustava souřadnic je soustava základních geometrických objektů, pomocí nichž a jejich vlastností se dá jednoznačně určit poloha všech bodů popisovaného prostoru v právě zvolené soustavě souřadnic. Polohu bodu v dané soustavě zapisujeme pomocí souřadnic (koordinát), dané n-tice čísel (násobků nebo dílů základní jednotky). Ta přímo odráží danou polohu vůči základním objektům soustavy. 1.1 Kartézská soustava V běžném počítání i v životě nejčastěji používáme Kartézskou soustavou souřadnic (KSS) soustavu, jejíž osy jsou na sebe kolmé, protínají se v jediném bodě počátku soustavy a na všech osách jsou jednotky stejné délky. Počátek soustavy souřadnic označíme O a přiřazujeme mu na všech osách hodnotu 0. Podle rozměrnosti prostoru v kterém pracujeme, zavádíme obr. 1 kartézská soustava v E 2 a E 3 (převzato z [18]) příslušný počet os. Tu část osy, jejíž souřadnice odpovídají hodnotám x > 0 (resp. x < 0) nazýváme kladná (resp. záporná) poloosa.

11 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 10 2 Transformace souřadnic KSS není jedinou soustavou, která se pro popis objektů v dnešní době používá. Mimo ní máme další odlišné soustavy souřadnic. Z hlediska matematiky je velmi důležité pochopit, jaké jsou mezi nimi vztahy, co mají společné a co rozdílné. Těmto vztahům říkáme transformační rovnice. Některé transformační rovnice je lehké odvodit, s transformacemi se setkáváme již od brzkých školních let (například, kdy dokreslujeme druhou polovinu obrazce podle osy souměrnosti). Definice 2.1: Transformace souřadnic je přechod od jednoho systému souřadnic k jinému k popsání daného prostoru. S pojmem transformace souřadnic 2 se překrývá pojem geometrické zobrazení. Geometrické zobrazení je předpis, který všem bodům daného prostoru jednoznačně přiřazuje právě jeden bod téhož prostoru. Je-li útvar určen souřadnicemi bodů, z nichž je tvořen, pak můžeme tvrdit, že transformace daného útvaru je změna souřadnic všech těchto bodů. 2.1 Afinní transformace Afinní transformace jsou základními druhy transformací. Mezi afinní transformace se řadí takové transformace, které zachovávají přímky přímkami. Afinní transformace mají široké využití modelují převážně množství jevů reálného světa. Jejich aplikace prolíná oblasti jako je počítačová grafika, výpočetní technika ale i kryptografie. V matematice patří k zobrazením, s kterými se dá relativně snadno manipulovat - snadno se vyjadřují pomocí 2 Pro účely této práce budeme pod pojmem transformace rozumět jednak transformace souřadnic, ale i geometrické zobrazení

12 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 11 charakteristických transformačních matic. Užší skupinou afinních transformací jsou lineární transformace. Z hlediska transformací souřadnic, afinní transformací kartézské soustavy je vyjma zkosení vždy KSS Souměrnosti S prvními transformacemi, s kterými se člověk v životě setkává, aniž by o nich měl povědomí, jsou středová a osová souměrnost. Každý jistě kdysi dokresloval k obrazu jeho druhou polovinu nebo hledal osy souměrnosti tvarů a objektů. Rozeberme si tato geometrická zobrazení z matematického pohledu. Definice 2.2: Je-li dán bod S, pak středová souměrnost se středem S je shodné zobrazení, které všem bodům X roviny přiřazuje bod X, tak že bod S je středem úsečky XX. (obr. 2) obr. 2 obraz kružnice v středové souměrnosti Zaměřme se na rovnice transformace: je-li S [x s, y s ] středem úsečky XX,

13 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 12 pak musí platit: 3 S = X + X X = 2S X 2 x = 2x s x, y = 2y s y (2.1) Popsali jsme středovou souměrnost jako shodné zobrazení takové zobrazení, které zachovává délky úseček. Definice 2.3: Necht je dána přímka o, pak osová souměrnost podle osy o je zobrazení, které každému bodu roviny X přiřadí bod X tak, že střed úsečky XX leží na o a zároveň je XX na o kolmá (obr. 3) obr. 3 obraz kružnice v osové souměrnosti Z definice plyne, že množinou všech samodružných bodů je osa souměrnosti. K odvození rovnic transformace uvažujme jako osu souměrnosti přímku p: ax+ by + c = 0 a zobrazovaný bod X [x 1, y 1 ]. Průsečík přímky kolmé na osu o, procházející X označme P. Z definice vyplývá, že bod X získáme jako obraz bodu X ve středové souměrnosti podle P. 3 Symbolická rovnice pro střed úsečky: S = X+Y 2

14 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 13 Normálový vektor k přímce p je n (a, b). Z podmínky, aby X ležel na přímce n (kolmé k o), získáme její obecnou rovnici: bx ay [ +(ay 1 bx 1 ) = 0. P je pak dán jako průsečík n a o, má tedy souřadnice: P Pak pro X podle (2.1) platí: X = 2P X b2 x 1 +aby 1 +ac a 2 +b 2 x = (a2 b 2 ) x + 2a (by + c) a 2 + b 2, y = (b2 a 2 ) y + 2b (ax + c) a 2 + b 2 (2.2) Speciálně pro osovou souměrnost podle osy y dostaneme: x = x, y = y a pro souměrnost podle osy x rovnice (2.2) přejdou na tvar: x = x, y = y., a2 y 1 +abx 1 +bc a 2 +b 2 ] Posunutí Čtenář jistě ví, že jako vektor v geometrii označujeme orientovanou úsečku úsečku s počátečním a koncovým bodem. Na základě tohoto poznatku zavedeme posunutí roviny: 4 Definice 2.4: Posunutí je zobrazení dané vektorem AB, které všem bodům roviny X přiřazuje bod X, přičemž platí: AB = XX. (obr. 4) Odvodit si rovnice transformace by nemělo být těžké: Posunutí o vektor u = (a, b) zobrazí X na X podle definice 2.4: X = X + u, neboli: x = x + a, y = y + b (2.3) Vidíme, že posunutí nemá žádné samodružné body, pokud není vektor posunutí nulový. 4 Dva vektory považujeme za sobě rovny, pokud mají shodný směr, orientaci a velikost.

15 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 14 obr. 4 obraz kružnice v posunutí Rotace Rotace (otočení) je transformace, kdy každý bod roviny opisuje kružnici kolem daného středu. Definice 2.5: Je-li dán úhel o velikosti ϕ, rotací kolem středu S o daný úhel zobrazíme bod X na X, pro který platí: SX = SX XSX = ϕ Je-li ϕ > 0, otáčíme proti směru chodu hodinových ručiček v kladném smyslu otáčení, pro ϕ < 0, otáčíme po směru chodu hodinových ručiček v záporném smyslu. (obr. 5) Jak je ukázáno v [2], pro rotaci okolo počátku soustavy souřadnic o úhel ϕ platí: x = x cos ϕ y sin ϕ, y = x sin ϕ + y cos ϕ (2.4)

16 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 15 obr. 5 obraz kružnice v rotaci Dilatace Stejnolehlost jako transformace je speciálním případem skupiny afinních transformací zvaných dilatace. Dilatace upravuje délkové jednotky na osách: x = ax, y = by (2.5) Pro a = b jde právě o stejnolehlost s koeficientem κ = a. V ostatních případech jde o transformaci, která zobrazuje kružnici na elipsu a čtverec na obecný pravoúhelník Zkosení Za afinní transformaci můžeme považovat i zkosení kartézské soustavy souřadnic. Při této trasformaci měníme velikost úhlu mezi osou x a y (viz obr. 6). Tato transformace se řídí těmito rovnicemi 5 : x = x + y cos α, y = y sin α (2.6) 5 Úpravou pomocí goniometrických vztahů.

17 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 16 obr. 6 zkosení - zmenšení úhlu mezi osami 2.2 Matice transformace Počítání a práce s afinními transformacemi se dá velmi usnadnit použitím transformačních matic. Transformační matice jsou souhrné rovnice transformace vyjádřené maticovým zápisem. Pro afinní transformace se dá takovéto maticové vyjádření vytvořit. Jak se dá ukázat, výsledná matice zobrazení složeného je dána maticovým součinem odpovídajících matic a inverzní zobrazení k dané transformaci vyjadřuje inverzní matice. Definice 2.6: Všechny afinní transformace v rovině, které zobrazují bod X [x, y] na bod X [x, y ] můžeme udat ve tvaru: kde a 1 b 2 a 2 b 1 0. x = a 1 x + b 1 y + c 1 y = a 2 x + b 2 y + c 2, (2.7) Je-li dána afinní transformace rovnicemi (2.7), pak transformační matice

18 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 17 tohoto afinního zobrazení je ve tvaru 6 : x a 1 b 1 c 1 x y = a 2 b 2 c 2 y Rovnice předchozích transformací upravíme pomocí tohoto maticového zápisu: Středová souměrnost Středová souměrnost daná středem souměrnosti S [x s, y s ] (viz rovnice 2.1): x 1 0 2x s x y = 0 1 2y s y Osová souměrnost Osová souměrnost daná osou souměrnosti ax + by + c = 0 (podle rovnic 2.2): Posunutí x y = 1 a2 b 2 2ab a 2 +b 2 a 2 +b 2 2ab b2 a 2 a 2 +b 2 a 2 +b 2 2ac a 2 +b 2 2bc a 2 +b Posunutí dané vektorem u (a, b) (podle rovnic 2.3): x 1 0 a x y = 0 1 b y Rotace Rotace kolem počátku o úhel ϕ (podle rovnic 2.4): x cos ϕ sin ϕ 0 x y = sin ϕ cos ϕ 0 y Čtenář se o tom může přesvědčit roznásobením x y 1

19 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 18 Dilatace Změna měřítek osy x a osy y (z rovnic 2.5): x a 0 0 x y = 0 b 0 y Zkosení Zkosení soustavy souřadnic dané úhlem α (podle rovnic 2.6): x 1 cos α 0 x y = 0 sin α 0 y

20 3 KRUHOVÁ INVERZE 19 Farmář potřeboval ohradit co největší plochu pastviny co nejkratším plotem. Zavolal si na pomoc inženýra, fyzika a matematika. Inženýr postavil kruhovou ohradu a prohlásil, že to je nejúspornější způsob. Fyzik postavil dlouhou, přímou zed a prohlásil, že můžeme předpokládat, že je nekonečně dlouhá. Matematik postavil malinkou ohrádku kolem sebe se slovy: Já jsem venku a co je za plotem, je uvnitř ohrady.[17] 3 Kruhová inverze Jedním méně používaným, ale přesto velmi zajímavým případem rovinné transformace je kruhová inverze. Oproti ostatním zmíněným transformacím nepatří toto zobrazení mezi afinní. Pokud je kruhová inverze v knihách o geometrii zmíněna, je převážně využita pouze ke konstrukčním úlohám právě na jejím elegantním užití stojí řešení některých z Apolloniových úloh o kružnicích. Definice 3.1: Kruhová inverze je transformace jednoznačně určená středem inverze S a koeficientem inverze k (k > 0). Při ní se každý bod X roviny (mimo středu S) zobrazí na bod X tak, že X leží na polopřímce SX a zároveň platí: SX SX = k Středu inverze S přiřazujeme bod M nevlastní bod roviny Rozšíření roviny Pozornému čtenáři jistě neunikne, že obraz středu inverze S podle definice nemůžeme jednoduše sestrojit. Středu inverze musíme jako obraz přiřadit nově zavedený bod nevlastní bod roviny M, který vyhovuje definici (zároveň leží na všech přímkách jdoucích středem inverze). Takto rozšířenou rovinu

21 3 KRUHOVÁ INVERZE 20 obr. 7 k definici inverze budeme nazývat Möbiovou rovinou. Kruhová inverze je tedy transformace, která zobrazuje jednoznačně všechny body roviny na Möbiovu rovinu Samodružné body Vyšetřeme nyní množinu všech samodružných bodů (X = X ). Pro ně můžeme psát: SX 2 = k, tedy SX = k. Množinou všech bodů, které mají od bodu konstantní vzdálenost je kružnice samodružnými body jsou body kružnice se středem S a poloměrem k. Podle této vlastnosti získala tato transformace své jméno kruhová. Pro zjednodušení dalších výpočtů položíme k = r 2. Jak snadno nahlédneme, platí: SX > r SX < r Všechny body roviny z vnější oblasti kružnice se zobrazí do její vnitřní oblasti SX < r SX > r Všechny body vnitřní oblasti kružnice se zobrazí do vnější oblasti SX = r SX = r Věta o samodružných bodech

22 3 KRUHOVÁ INVERZE Sestrojení obrazu Mějme dán střed inverze S, poloměr inverze k a bod X, který chceme zobrazovat. Úsečce o velikosti r, r = SX SX říkáme střední geometrická úměrná a sestrojíme jí pomocí Eukleidovy věty o odvěsně (obr. 8). Pak bereme SX jako přeponu (resp. část přepony pro SX < r) pravoúhlého trojúhelníka. Sestrojíme tečny ke kružnici inverze k, k(s, r) z bodu X a pata kolmice na SX procházející bodem dotyku tečny je obrazem bodu X v inverzi. Postup převrátíme, pokud SX < r. obr. 8 sestrojení obrazu v inverzi Definice 3.2: Pokud budeme zapisovat kruhovou inverzi, značení bude následující: I(S, k) : X X inverze podle středu S s koeficientem k. Je-li udána pouze kružnice inverze k tak následovně: I(k ) : X X

23 3 KRUHOVÁ INVERZE Rovnice transformace Čtenář jistě pochopil, že Descartova analytická geometrie se ukázala být velmi mocným, ale přesto relativně jednoduchým způsobem, jak řešit geometrické úlohy. Nejenže odpadá jakákoliv nutnost geometrické konstrukce, ale i složité a zdlouhavé hledání vztahů mezi objekty je nahrazeno řešením jednoduchých rovnic. Necht je dána inverze předpisem: I(S, k) : X [x, y] X [x, y ]. Uvažujme, že střed kružnice inverze má souřadnice S [s x, s y ]. Z kolinearity vektorů vyjádříme, že SX je násobkem vektoru SX: Zároveň z definice platí SX SX = k = r 2 : (x x s ) = a (x x s ) (3.1a) (y y s ) = a (y y s ), a R (3.1b) [(x x s ) 2 + (y y s ) 2] [(x x s ) 2 + (y y s ) 2] = k = r 2 [a2 (x x s ) 2 + a 2 (y y s ) 2] [(x x s ) 2 + (y y s ) 2] = r 2 a [ (x x s ) 2 + (y y s ) 2] = r 2 a = A dosazením do rovnic (3.1a) a (3.1b) získáme: r 2 (x x s ) 2 + (y y s ) 2 x = x s + r 2 (x x s ) (x x s ) 2 + (y y s ) 2, r 2 (y y s ) y = y s + (x x s ) 2 + (y y s ) 2 (3.2) Tedy bod X má souřadnice: ] X [x r 2 (x x s ) s + (x x s ) 2 + (y y s ) 2, y r 2 (y y s ) s + (x x s ) 2 + (y y s ) 2 (3.3)

24 3 KRUHOVÁ INVERZE 23 Věta 3.1 (Involutornost): Kruhová inverze je involutorní zobrazení tzn. že obraz bodu v inverzi se zobrazí v téže inverzi opět na původní vzor. Důkaz. Necht se X zobrazí na X. Pak platí SX = r2. V inverzi se SX stejným středem a koeficientem se X zobrazí na X. X leží na SX a tedy i na SX. Dále pro druhé zobrazení platí: SX = r2 SX = r2 r 2 SX = SX Důsledek: Kruhová inverze je involutorní zobrazení, podle (3.3) platí tedy (záměnou souřadnic vzoru a obrazu): [ X x s Polární vyjádření r 2 (x x s ) (x x s ) 2 + (y y s ) 2, y s + ] r 2 (y y s ) (x x s ) 2 + (y y s ) 2 (3.4) Mnohdy není křivka vyjádřena pomocí pravoúhlých souřadnic, ale je výhodnější jí zapsat v polárních souřadnicích. Bod v rovině je pomocí polárních souřadnic dán vzdáleností od počátku (ϱ) a úhlem vůči polární ose (t). Uvažujme tedy inverzi v přidružené polární soustavě souřadné podle počátku, kde I(S, k) : X X (obr. 9). Souřadnice bodů tedy zapišme ve tvaru: X [ϱ x, t x ], souřadnice X : X [ϱ x, t x]. Pak platí: ϱ x ϱ x = k = r 2 = ϱ x = r2 ϱ x t x = t x

25 3 KRUHOVÁ INVERZE 24 obr. 9 k polární soustavě 3.2 Obrazy geometrických útvarů v inverzi Aplikováním transformačních rovnic můžeme pozorovat, jak se mění jednotlivé křivky při zobrazení kruhovou inverzí. Budeme uvažovat střed inverze je v počátku KSS. Pak transformační rovnice (3.2) přechází na tvar: Obraz přímky x = r2 x x 2 + y 2, y = r2 y x 2 + y 2 (3.5) x = Obecná rovnice přímky je ve tvaru ax + by + c = 0. r2 x x 2 + y 2, y = r2 y x 2 + y 2 (3.6) Obrazem přímky v inverzi podle počátku soustavy souřadnic (rovnice 3.5) je zřejmě množina bodů vyhovující rovnici: ar 2 x x 2 + y 2 + br2 y x 2 + y 2 + c = 0 ar 2 x + br 2 y + c ( x 2 + y 2) = 0

26 3 KRUHOVÁ INVERZE 25 Rozlišme nyní speciální případ, kdy c = 0 (Přímka prochází středem inverze): ar 2 x + br 2 y = 0 ax + by = 0 Pro c 0 je obrazem kružnice. Snadno 7 se ukáže, že prochází počátkem obr. 10 obraz přímky, c = 0 soustavy souřadnic. Pokud přímka prochází středem inverze, jejím obrazem je shodná přímka přímka procházející středem je samodružná. obr. 11 obraz přímky, c 0 7 např. dosazením souřadnic bodu do rovnice

27 3 KRUHOVÁ INVERZE 26 Důsledek: Nevlastním bodem roviny procházejí všechny přímky Důkaz. Přímka se vždy zobrazí na rovnici, jíž vyhovuje střed inverze. Ve stejné inverzi se střed inverze jistě zobrazí na zobrazovanou přímku. A obrazem středu inverze je nevlastní bod roviny Obraz kružnice Uvažujme kružnici danou rovnicí (x a) 2 + (y b) 2 = c 2. V kruhové inverzi se zobrazí následovně: ( ) r 2 x 2 ( ) r 2 x 2 + y a y x 2 + y b = c 2 2 úpravou členů v závorkách, vynásobením (x 2 + y 2 ) 2 : ( r 2 x a ( x 2 + y 2)) 2 ( + r 2 y b ( x 2 + y 2)) 2 ( = c 2 x 2 + y 2) 2 r ( 4 x 2 + y 2) 2r ( 2 x 2 + y 2) (ax + by ) = ( c 2 a 2 b 2) ( x 2 + y 2) 2 r 4 2r 2 (ax + by ) = ( c 2 a 2 b 2) ( x 2 + y 2) Znovu speciální případ (kružnice prochází středem inverze, tj. c 2 = a 2 + b 2 ) oddělíme, pravá strana rovnice přejde v nulu: r 2 = 2 (ax + by ) V druhém případě, kdy c 2 a 2 +b 2 a kružnice neprochází středem, obrazem je opět kružnice. Kružnice procházející středem inverze, se zobrazí na přímku. 8 8 Jak ostatně vyplývá z věty 3.1 a z obrazu přímky, která neprochází středem.

28 3 KRUHOVÁ INVERZE 27 obr. 12 obraz obecné kružnice Kruhové křivky Přímky a kružnice budeme souhrně nazývat kruhové křivky. Ukázali jsme, že platí: Věta 3.2: Obrazem kruhové křivky je vždy kruhová křivka. Prochází-li kruhová křivka středem inverze, zobrazí se na přímku. Jde-li mimo střed inverze, zobrazuje se na kružnici. 3.3 Obrazy kuželoseček Kuželosečky jsou křivky, které je možno získat jako průnik rotační kuželové plochy s rovinou. Jejich obecnou rovnicí je vždy rovnice 2. řádu s proměnnými x a y. Mezi tyto křivky řadíme kružnici, elipsu, parabolu a hyperbolu. Obrazem obecné kuželosečky v kruhové inverzi je kvartika - tj. křivka

29 3 KRUHOVÁ INVERZE 28 obr. 13 střed inverze leží na kružnici čtvrtého řádu. Obecnou rovnicí kuželosečky rozumějme rovnici tvaru 9 : Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Pak podle (3.5) tato rovnice přejde do tvaru: r ( 4 Ax 2 + Bx y + Cy 2) + r 2 (Dx + Ey ) ( x 2 + y 2) + F ( x 2 + y 2) 2 = Parabola Parabola je křivka kterou získáme řezem kuželové plochy neprocházející jejím vrcholem a rovnoběžným právě s jednou přímkou plochy. Je-li osa paraboly rovnoběžná s osou y, určuje graf kvadratické funkce. Planimetricky je definována podle své vlastnosti: Parabola je množina všech bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od přímky (řídící přímka) a bodu (ohnisko). 10 Rovnici paraboly si bez újmy na obecnosti přepíšeme do tvaru: 9 Více v [10] 10 Viz [13] y = ax 2 + b

30 3 KRUHOVÁ INVERZE 29 Transformací jí upravíme do tvaru: ( ) r 2 y r 2 x 2 + y = a x 2 + b 2 x 2 + y 2 r 2 y ( x 2 + y 2) = ar 4 x 2 + b ( x 2 + y 2) 2 Pokud prochází parabola středem inverze (b = 0), můžeme rovnici upravit do tvaru: y ( x 2 + y 2) = ar 2 x 2 Tato křivka se nazývá Dioklova kissoida a má vrchol v [0, 0] a její asymptota obr. 14 Dioklova kissoida je přímka daná rovnicí y = a. Dalším způsobem jak můžeme kissoidu získat, je zobrazováním paraboly v osové souměrnosti. Pohybujeme- li bodem B po parabole p (viz [12]), jejím obrazem v osové souměrnosti podle tečny v bodě B je p. Množina všech vrcholů parabol p tvoří kissoidu. Nakonec si ukážeme jednu z mnoha zajímavých vlastností kissoidy: Necht je dána kružnice vepsaná pásu (obr. 15), dotýkající se vrcholu B. Zvolme libovolný bod A na asymptotě. Pak spojnice AB se protíná s k v bodě F, s kissoidou v C. Platí: AC = BF, AF = BC.

31 3 KRUHOVÁ INVERZE 30 obr. 15 stejné délky Obraz paraboly, která neprochází středem inverze rozčleníme do skupin podle toho, zda je střed inverze ve vnější či vnitřní oblasti paraboly. obr. 16 lakrimoida Pokud je střed ve vnější oblasti, obrazem je křivka, jejíž graf má tvar kapky. Této křivce budeme říkat lakrimoida (lat. lacrima slza). Lakrimoida je [ obecná ] kvartika, souměrná podle osy y. Má dva průsečíky s osou y: [0, 0], 0, r2. Lakrimoida je omezená křivka, souřadnicová hodnota y mezního b

32 3 KRUHOVÁ INVERZE 31 bodu 11 je rovna: ( ab ab + 16 a2 b 2) r 2 4b (1 + 4 ab) Lakrimoida má jeden inflexní bod - jeho y-ová souřadnice je ( 12 ab ab + 12 a2 b 2) r 2 a (4 ab 3) (1 + 4 ab) Je-li střed inverze ve vnitřní oblasti paraboly, získáme křivku zvanou kardioida (obr. 17). Kotálíme-li kružnici k po obvodu kružnice l stejného poloměru, obr. 17 kardioida vzniklá inverzí paraboly pak pevně daný bod A na kružnici k opisuje právě tuto křivku.[12] Hyperbola, mocninné funkce Hyperbolu získáme jako řez dvojitého kužele rovinou rovnoběžnou s osou kužele. Planimetricky je hyperbola definována jako množina všech bodů, 11 Po vyjádření y z rovnice lakrimoidy a následného položení první derivace podle y nule. Pro body inflexe položíme rovnu nule druhou derivaci podle y. Vyjádřeno pomocí programu Maple.

33 3 KRUHOVÁ INVERZE 32 které mají od dvou bodů (ohnisek) konstantní rozdíl vzdáleností, menší než je vzdálenost ohnisek. Příkladem hyperboly je graf mocninné funkce y = k x. Budeme uvažovat pouze hyperbolu ve středové poloze: xy = k r 2 x x 2 + y r 2 y 2 x 2 + y = k 2 r 4 x y = k ( x 2 + y 2) 2 Hyperbola se v kruhové inverzi zobrazí na Bernoulliho lemnniskátu racionální křivku čtvrtého stupně. Bernoulliho lemniskáta je množina všech bodů, které mají od dvou daných bodů E, F (ohnisek) vzdálených od sebe 2a, konstatní součin vzdáleností, roven a 2. obr. 18 Bernoulliho lemniskáta Bernoulliho lemniskáta je speciálním případem Cassiniových oválů střed spojnice ohnisek leží právě na lemniskátě. Graf podobný hyperbole mají i mocninné křivky se zápornou mocninou. Přestože tyto křivky nespadají pod kuželosečky, tak je zde zmíním. Graf funkce y = 1 probíhá v 1. a 4. kvadrantu. Umocníme dvěmi, abychom x 2 získali křivku probíhající všemi kvadranty: x 4 y 2 = 1.

34 3 KRUHOVÁ INVERZE 33 Její obraz v inverzi má tvar čtyřlístku (obr. 19). obr. 19 obraz mocninné funkce Elipsa Narozdíl od paraboly a hyperboly je elipsa uzavřená křivka. Elipsa vznikne řezem kužele rovinou, která není kolmá na jeho osu a neprochází jeho vrcholem. Elipsa je množinou všech bodů, jež mají od daných dvou bodů (ohnisek) konstantní součet vzdáleností. Střed spojnice ohnisek označujeme jako střed elipsy. Elipsa se středem S [a, b] s poloosami 12 e, f má rovnici ( ) 2 ( ) 2 x a y b + = 1 Aplikujeme-li transformaci: e f ) 2 ) 2 ( ( r 2 x r a 2 y b x 2 +y 2 x + 2 +y 2 = 1 e 2 f 2 12 Přímka procházející ohnisky protíná elipsu v bodech A, B. Vzdálenost SA = e označujeme jako hlavní poloosu. Kolmice ve středu elipsy na AB protíná elipsu v bodech C, D. Vzdálenost SC = f označujeme jako vedlejší poloosu

35 3 KRUHOVÁ INVERZE 34 Substituce: t = (x 2 + y 2 ), následně vynásobení (eft) 2 f ( 2 r 2 x at ) 2 ( + e 2 r 2 y bt ) 2 = (eft) 2 f ( 2 r 4 x 2 2r 2 x at + a 2 t 2) 2 ( + e 2 r 2 y 2r 2 y bt + b 2 t 2) 2 = (eft) 2 r ( 4 f 2 x 2 + e 2 y 2) 2r 2 t ( ax f 2 + by e 2) = t ( 2 e 2 f 2 f 2 a 2 e 2 b 2) Zanedbejme případ, kdy je hlavní poloosa elipsy rovnoběžná s osou y (a b). 1. Střed elipsy ve středu inverze Má-li elipsa střed v počátku soustavy souřadnic, platí a = b = 0. Rovnice pak přechází na tvar: r ( 4 f 2 x 2 + e 2 y 2) = ( x 2 + y 2) 2 (ef) 2 Speciálně pro ef = r 2 (elipsa má vnitřní dotyk s kružnicí) dostáváme rovnici Boothovy lemniskáty : ( f 2 x 2 + e 2 y 2) = ( x 2 + y 2) 2 obr. 20 Boothova lemniskáta Boothova lemniskáta (obr. 20) má dvojici tečen rovnoběžmých s osou y, každá se dotýká lemniskáty ve dvou bodech.

36 3 KRUHOVÁ INVERZE Střed inverze leží na elipse Pokud střed inverze leží na elipse, obrazem bude otevřená křivka. Podmínka, aby střed ležel na elipse je: (af) 2 + (be) 2 = (ef) 2. Rovnice transformované křivky přejde v: r ( 2 f 2 x 2 + e 2 y 2) = 2 ( x 2 + y 2) ( ax f 2 + by e 2) obr. 21 konchoida (a = 2, b = 0, e = 2, f = 1) Tato křivka se nazývá konchoida a je obecnou kubikou s izolovaným bodem O a pro a = 0 (resp. b = 0) je její asymptota je rovnoběžná s osou x (resp. y)

37 4 INVERZE V PROSTORU E Inverze v prostoru E 3 V matematické teorii i aplikacích se nepočítá jen s geometrickými útvary v rovině. Vedle toho musíme zkoumat zákonitosti a vlastnosti zobecnění těchto útvarů a dalších těles v prostoru. Ukažme si analogii kruhové inverze v dalším nám představitelném rozměru: v trojrozměrném prostoru, kde hovoříme o kulové inverzi. Definice 4.1: Analogií kruhové inverze v prostoru je transformace jednoznačně určená středem inverze S a koeficientem inverze k (k > 0). Při ní se každý bod X prostoru (mimo středu S) zobrazí na bod X, X SX a zároveň platí: SX SX = k Obrazem středu inverze S rozumějme bod M nevlastní bod prostoru. E 3 Ze stejných důvodů, jako v kapitole 3.0.1, musíme i Eukleidův prostor rozšířit o nevlastní Möbiův bod. Takto rozšířenému prostoru budeme analogicky říkat Möbiův prostor M 3. Nechá se snadno ukázat, že pokud provedeme restrikci sférické inverze na M 3 podle kulové plochy κ na Möbiovu rovinu M 2 procházející středem inverze, tak dostaneme kruhovou inverzi podle kružnice, která vznikne řezem dané roviny a sféry. Kulová inverze patří mezi konformní zobrazení.