Transformace jistých křivek a ploch v kruhové inverzi

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Transformace jistých křivek a ploch v kruhové inverzi"

Transkript

1 STŘEDOŠKOLSKÁ ODBORNÁ ČINNOST Transformace jistých křivek a ploch v kruhové inverzi Emil Skříšovský ČESKÉ BUDĚJOVICE 2012

2 STŘEDOŠKOLSKÁ ODBORNÁ ČINNOST Obor SOČ: Matematika a statistika (1) Transformace jistých křivek a ploch v kruhové inverzi Transformation of certain curves and surfaces in the inversion transformation Autor: Škola: Konzultant: Emil Skříšovský Gymnázium Česká a olymp. nadějí, České Budějovice Mgr. Ivan Bartoš, PhD. České Budějovice, 2012

3 Prohlášení. Prohlašuji, že jsem svou práci vypracoval samostatně, použil jsem pouze podklady (literaturu, SW) uvedené v přiloženém seznamu a postup při zpracování a dalším nakládání s prací je v souladu se zákonem č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon) v platném znění. V Českých Budějovicích, 23. dubna 2012 Emil Skříšovský

4 Poděkování. Děkuji Ivanu Bartošovi, který mi nejen ukázal směr, kterým by se měla práce ubírat, ale i věnoval svůj volný čas a poskytl mi mnoho cenných rad v průběhu psaní práce.

5 Abstrakt Práce podává ucelené poznatky o kruhové inverzi a následně je zobecňuje do trojrozměrného eukleidovského prostoru. V první části práce je čtenář uveden do problematiky soustav souřadnic a jejich transformací. Náhled na inverzi je ryze analytický, ve vlastním jádru práce jsou pak poznatky o inverzi aplikovány, kdy transformací kuželoseček a kvadrik získáme algebraické křivky a plochy vyšších řádů. Čtenář získá pohled na křivky z hlediska jejich transformací. Klíčová slova: soustava souřadnic, transformace, kruhová inverze, inverze v prostoru, analytický přístup, inverze kuželoseček a kvadrik, algebraické křivky a plochy Abstract The main objective of this paper is to summarize knowledge of inversion transformation and generalize it into three-dimensional Euclidean space. In the first part of the paper the reader is introduced to the theme of coordinate systems and the needs of transforming them. In the main part of the paper (Chapter 3 and 4), the theme is shown of the application of inversion transformation by inverting conics and quadrics to obtain other algebraic curves and surfaces of higher degree. Our approach to inversion transformation is purely analytical. Keywords: coordinate systems, transformation, inversion transformation, inversion in 3D, analytical approach, inverting conic sections and quadrics, algebraic curves and surfaces

6 Obsah Úvod 7 1 Soustava souřadnic Kartézská soustava Transformace souřadnic Afinní transformace Matice transformace Kruhová inverze Rovnice transformace Obrazy geometrických útvarů v inverzi Obrazy kuželoseček Inverze v prostoru E K rovnicím kulové inverze Obrazy kruhových ploch Kvadriky, jejich transformace Stereografická projekce Inverze ve vyšší dimenzi Závěr 58

7 Přehled použitého značení a symbolů N R E N M N X X [x, y] XY SX u SX AV B, AV B I(S, k) obor přirozených čísel, množina přirozených čísel obor reálných čísel, množina reálných čísel prvek množiny univerzální kvantifikátor Eukleidův prostor rozměru N Möbiův prostor rozměru N vzor (v grafu černě) obraz bodu v daném zobrazení (v grafu červeně) souřadnice bodu vzdálenost bodů X a Y polopřímka SX vektor vektor s počátečním bodem S a koncovým X úhel, jeho velikost inverze se středem S a koeficientem k součet řady

8 Úvod Dnešní podoba matematiky se z převážné části zakládá na přímkách, kružnicích, křivkách a funkcích a přesném popisu jejich vlastností. Náhled matematiků na tyto objekty se v průběhu let výrazně měnil. Ve starověkém Řecku byla matematika z velké části orientovaná na geometrii studii tvarů a těles. Na rozvoj matematických operací výrazně působily praktické podněty. Eukleides vydává Základy, v nichž definuje své postuláty axiomatická výstavba geometrie, která určuje hlavní evropské geometrické myšlení po dalších 2000 let. Zlom nastává v 16. století, kdy otázky mechaniky a pohybu nutí matematiky nahlížet na geometrii z jiného pohledu. Nakonec René Descartes ukazuje metodu, pomocí níž popisuje analyticky dráhu pohybu bodu. Jeho analytická geometrie odpovídá na otázky fyziky, k jejichž řešení přispívá později také vznik matematické analýzy (kalkulu). Kruhovou inverzi poprvé představil Apollonius v třetím století př.n.l. V práci na ní budeme nahlížet z analytického pohledu a předvedeme její možné a méně známé aplikace v oblasti transformací křivek a ploch. Čtenáři se tak skrze transformace poodhalí zajímavé vztahy mezi jednotlivými křivkami a plochami. Poznamenejme, že oproti běžné literatuře, kde je inverze zmiňována jen ve spojitosti se zobrazováním kružnic, tak zde nám pojetí inverze jako ryze analytické transformace umožní zobecnit inverzi do trojrozměrného Eukleidovského prostoru.

9 1 SOUSTAVA SOUŘADNIC 8 1 Soustava souřadnic Analytické nahlížení na geometrické objekty pomocí metody souřadnic umožnilo zavést geometrické objekty jako množiny bodů v rovině, jejichž souřadnice vyhovují dané rovnici. Takto můžeme převádět geometrické problémy na algebraické, jejichž řešení vede na soustavy rovnic a nerovnic (nejčastěji lineárních a kvadratických) a výsledek opět geometricky interpretovat. Abychom vůbec mohli problémy geometrie na analytické převést, musíme si zavést právě soustavu souřadnic. Definice 1.1: Prostorem budeme nazývat množinu všech uspořádaných n-tic čísel [x 1, x 2, x 3,..., x n ]. Číslo n, n N vyjadřuje rozměrnost daného prostoru. Právě jedné takové uspořádané n-tici čísel říkáme bod prostoru. Naše geometrické chápání budujeme v Eukleidovských prostorech, v kterých platí pět Eukleidových axiomů [1]. Můžeme tvrdit, že Eukleidovský prostor je kartézskou mocninou nad tělesem reálných čísel: R n a je prostorem, kde je definována metrika. Eukleidovský prostor E 2 nazveme rovinou a uvažujeme jej jako množinu všech uspořádaných dvojic čísel [x, y]. Prostor nazveme metrickým (s metrikou), můžeme-li v něm formálně definovat pojem vzdálenosti. Nejužívanější a nejpřirozenější metrikou definovanou na eukleidovském prostoru je běžná eukleidovská metrika. Tuto metriku definujeme jako délku úsečky mezi oběma body a vyjádříme tímto vztahem: 1 XY = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x n y n ) 2 1 Vzdálenost bodů X [x 1, x 2,..., x n ] a Y [y 1, y 2,..., y n ] podle Pythagorovy věty. Pojem metriky více rozebírá Jarník v [6].

10 1 SOUSTAVA SOUŘADNIC 9 Definice 1.2: Soustava souřadnic je soustava základních geometrických objektů, pomocí nichž a jejich vlastností se dá jednoznačně určit poloha všech bodů popisovaného prostoru v právě zvolené soustavě souřadnic. Polohu bodu v dané soustavě zapisujeme pomocí souřadnic (koordinát), dané n-tice čísel (násobků nebo dílů základní jednotky). Ta přímo odráží danou polohu vůči základním objektům soustavy. 1.1 Kartézská soustava V běžném počítání i v životě nejčastěji používáme Kartézskou soustavou souřadnic (KSS) soustavu, jejíž osy jsou na sebe kolmé, protínají se v jediném bodě počátku soustavy a na všech osách jsou jednotky stejné délky. Počátek soustavy souřadnic označíme O a přiřazujeme mu na všech osách hodnotu 0. Podle rozměrnosti prostoru v kterém pracujeme, zavádíme obr. 1 kartézská soustava v E 2 a E 3 (převzato z [18]) příslušný počet os. Tu část osy, jejíž souřadnice odpovídají hodnotám x > 0 (resp. x < 0) nazýváme kladná (resp. záporná) poloosa.

11 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 10 2 Transformace souřadnic KSS není jedinou soustavou, která se pro popis objektů v dnešní době používá. Mimo ní máme další odlišné soustavy souřadnic. Z hlediska matematiky je velmi důležité pochopit, jaké jsou mezi nimi vztahy, co mají společné a co rozdílné. Těmto vztahům říkáme transformační rovnice. Některé transformační rovnice je lehké odvodit, s transformacemi se setkáváme již od brzkých školních let (například, kdy dokreslujeme druhou polovinu obrazce podle osy souměrnosti). Definice 2.1: Transformace souřadnic je přechod od jednoho systému souřadnic k jinému k popsání daného prostoru. S pojmem transformace souřadnic 2 se překrývá pojem geometrické zobrazení. Geometrické zobrazení je předpis, který všem bodům daného prostoru jednoznačně přiřazuje právě jeden bod téhož prostoru. Je-li útvar určen souřadnicemi bodů, z nichž je tvořen, pak můžeme tvrdit, že transformace daného útvaru je změna souřadnic všech těchto bodů. 2.1 Afinní transformace Afinní transformace jsou základními druhy transformací. Mezi afinní transformace se řadí takové transformace, které zachovávají přímky přímkami. Afinní transformace mají široké využití modelují převážně množství jevů reálného světa. Jejich aplikace prolíná oblasti jako je počítačová grafika, výpočetní technika ale i kryptografie. V matematice patří k zobrazením, s kterými se dá relativně snadno manipulovat - snadno se vyjadřují pomocí 2 Pro účely této práce budeme pod pojmem transformace rozumět jednak transformace souřadnic, ale i geometrické zobrazení

12 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 11 charakteristických transformačních matic. Užší skupinou afinních transformací jsou lineární transformace. Z hlediska transformací souřadnic, afinní transformací kartézské soustavy je vyjma zkosení vždy KSS Souměrnosti S prvními transformacemi, s kterými se člověk v životě setkává, aniž by o nich měl povědomí, jsou středová a osová souměrnost. Každý jistě kdysi dokresloval k obrazu jeho druhou polovinu nebo hledal osy souměrnosti tvarů a objektů. Rozeberme si tato geometrická zobrazení z matematického pohledu. Definice 2.2: Je-li dán bod S, pak středová souměrnost se středem S je shodné zobrazení, které všem bodům X roviny přiřazuje bod X, tak že bod S je středem úsečky XX. (obr. 2) obr. 2 obraz kružnice v středové souměrnosti Zaměřme se na rovnice transformace: je-li S [x s, y s ] středem úsečky XX,

13 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 12 pak musí platit: 3 S = X + X X = 2S X 2 x = 2x s x, y = 2y s y (2.1) Popsali jsme středovou souměrnost jako shodné zobrazení takové zobrazení, které zachovává délky úseček. Definice 2.3: Necht je dána přímka o, pak osová souměrnost podle osy o je zobrazení, které každému bodu roviny X přiřadí bod X tak, že střed úsečky XX leží na o a zároveň je XX na o kolmá (obr. 3) obr. 3 obraz kružnice v osové souměrnosti Z definice plyne, že množinou všech samodružných bodů je osa souměrnosti. K odvození rovnic transformace uvažujme jako osu souměrnosti přímku p: ax+ by + c = 0 a zobrazovaný bod X [x 1, y 1 ]. Průsečík přímky kolmé na osu o, procházející X označme P. Z definice vyplývá, že bod X získáme jako obraz bodu X ve středové souměrnosti podle P. 3 Symbolická rovnice pro střed úsečky: S = X+Y 2

14 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 13 Normálový vektor k přímce p je n (a, b). Z podmínky, aby X ležel na přímce n (kolmé k o), získáme její obecnou rovnici: bx ay [ +(ay 1 bx 1 ) = 0. P je pak dán jako průsečík n a o, má tedy souřadnice: P Pak pro X podle (2.1) platí: X = 2P X b2 x 1 +aby 1 +ac a 2 +b 2 x = (a2 b 2 ) x + 2a (by + c) a 2 + b 2, y = (b2 a 2 ) y + 2b (ax + c) a 2 + b 2 (2.2) Speciálně pro osovou souměrnost podle osy y dostaneme: x = x, y = y a pro souměrnost podle osy x rovnice (2.2) přejdou na tvar: x = x, y = y., a2 y 1 +abx 1 +bc a 2 +b 2 ] Posunutí Čtenář jistě ví, že jako vektor v geometrii označujeme orientovanou úsečku úsečku s počátečním a koncovým bodem. Na základě tohoto poznatku zavedeme posunutí roviny: 4 Definice 2.4: Posunutí je zobrazení dané vektorem AB, které všem bodům roviny X přiřazuje bod X, přičemž platí: AB = XX. (obr. 4) Odvodit si rovnice transformace by nemělo být těžké: Posunutí o vektor u = (a, b) zobrazí X na X podle definice 2.4: X = X + u, neboli: x = x + a, y = y + b (2.3) Vidíme, že posunutí nemá žádné samodružné body, pokud není vektor posunutí nulový. 4 Dva vektory považujeme za sobě rovny, pokud mají shodný směr, orientaci a velikost.

15 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 14 obr. 4 obraz kružnice v posunutí Rotace Rotace (otočení) je transformace, kdy každý bod roviny opisuje kružnici kolem daného středu. Definice 2.5: Je-li dán úhel o velikosti ϕ, rotací kolem středu S o daný úhel zobrazíme bod X na X, pro který platí: SX = SX XSX = ϕ Je-li ϕ > 0, otáčíme proti směru chodu hodinových ručiček v kladném smyslu otáčení, pro ϕ < 0, otáčíme po směru chodu hodinových ručiček v záporném smyslu. (obr. 5) Jak je ukázáno v [2], pro rotaci okolo počátku soustavy souřadnic o úhel ϕ platí: x = x cos ϕ y sin ϕ, y = x sin ϕ + y cos ϕ (2.4)

16 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 15 obr. 5 obraz kružnice v rotaci Dilatace Stejnolehlost jako transformace je speciálním případem skupiny afinních transformací zvaných dilatace. Dilatace upravuje délkové jednotky na osách: x = ax, y = by (2.5) Pro a = b jde právě o stejnolehlost s koeficientem κ = a. V ostatních případech jde o transformaci, která zobrazuje kružnici na elipsu a čtverec na obecný pravoúhelník Zkosení Za afinní transformaci můžeme považovat i zkosení kartézské soustavy souřadnic. Při této trasformaci měníme velikost úhlu mezi osou x a y (viz obr. 6). Tato transformace se řídí těmito rovnicemi 5 : x = x + y cos α, y = y sin α (2.6) 5 Úpravou pomocí goniometrických vztahů.

17 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 16 obr. 6 zkosení - zmenšení úhlu mezi osami 2.2 Matice transformace Počítání a práce s afinními transformacemi se dá velmi usnadnit použitím transformačních matic. Transformační matice jsou souhrné rovnice transformace vyjádřené maticovým zápisem. Pro afinní transformace se dá takovéto maticové vyjádření vytvořit. Jak se dá ukázat, výsledná matice zobrazení složeného je dána maticovým součinem odpovídajících matic a inverzní zobrazení k dané transformaci vyjadřuje inverzní matice. Definice 2.6: Všechny afinní transformace v rovině, které zobrazují bod X [x, y] na bod X [x, y ] můžeme udat ve tvaru: kde a 1 b 2 a 2 b 1 0. x = a 1 x + b 1 y + c 1 y = a 2 x + b 2 y + c 2, (2.7) Je-li dána afinní transformace rovnicemi (2.7), pak transformační matice

18 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 17 tohoto afinního zobrazení je ve tvaru 6 : x a 1 b 1 c 1 x y = a 2 b 2 c 2 y Rovnice předchozích transformací upravíme pomocí tohoto maticového zápisu: Středová souměrnost Středová souměrnost daná středem souměrnosti S [x s, y s ] (viz rovnice 2.1): x 1 0 2x s x y = 0 1 2y s y Osová souměrnost Osová souměrnost daná osou souměrnosti ax + by + c = 0 (podle rovnic 2.2): Posunutí x y = 1 a2 b 2 2ab a 2 +b 2 a 2 +b 2 2ab b2 a 2 a 2 +b 2 a 2 +b 2 2ac a 2 +b 2 2bc a 2 +b Posunutí dané vektorem u (a, b) (podle rovnic 2.3): x 1 0 a x y = 0 1 b y Rotace Rotace kolem počátku o úhel ϕ (podle rovnic 2.4): x cos ϕ sin ϕ 0 x y = sin ϕ cos ϕ 0 y Čtenář se o tom může přesvědčit roznásobením x y 1

19 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 18 Dilatace Změna měřítek osy x a osy y (z rovnic 2.5): x a 0 0 x y = 0 b 0 y Zkosení Zkosení soustavy souřadnic dané úhlem α (podle rovnic 2.6): x 1 cos α 0 x y = 0 sin α 0 y

20 3 KRUHOVÁ INVERZE 19 Farmář potřeboval ohradit co největší plochu pastviny co nejkratším plotem. Zavolal si na pomoc inženýra, fyzika a matematika. Inženýr postavil kruhovou ohradu a prohlásil, že to je nejúspornější způsob. Fyzik postavil dlouhou, přímou zed a prohlásil, že můžeme předpokládat, že je nekonečně dlouhá. Matematik postavil malinkou ohrádku kolem sebe se slovy: Já jsem venku a co je za plotem, je uvnitř ohrady.[17] 3 Kruhová inverze Jedním méně používaným, ale přesto velmi zajímavým případem rovinné transformace je kruhová inverze. Oproti ostatním zmíněným transformacím nepatří toto zobrazení mezi afinní. Pokud je kruhová inverze v knihách o geometrii zmíněna, je převážně využita pouze ke konstrukčním úlohám právě na jejím elegantním užití stojí řešení některých z Apolloniových úloh o kružnicích. Definice 3.1: Kruhová inverze je transformace jednoznačně určená středem inverze S a koeficientem inverze k (k > 0). Při ní se každý bod X roviny (mimo středu S) zobrazí na bod X tak, že X leží na polopřímce SX a zároveň platí: SX SX = k Středu inverze S přiřazujeme bod M nevlastní bod roviny Rozšíření roviny Pozornému čtenáři jistě neunikne, že obraz středu inverze S podle definice nemůžeme jednoduše sestrojit. Středu inverze musíme jako obraz přiřadit nově zavedený bod nevlastní bod roviny M, který vyhovuje definici (zároveň leží na všech přímkách jdoucích středem inverze). Takto rozšířenou rovinu

21 3 KRUHOVÁ INVERZE 20 obr. 7 k definici inverze budeme nazývat Möbiovou rovinou. Kruhová inverze je tedy transformace, která zobrazuje jednoznačně všechny body roviny na Möbiovu rovinu Samodružné body Vyšetřeme nyní množinu všech samodružných bodů (X = X ). Pro ně můžeme psát: SX 2 = k, tedy SX = k. Množinou všech bodů, které mají od bodu konstantní vzdálenost je kružnice samodružnými body jsou body kružnice se středem S a poloměrem k. Podle této vlastnosti získala tato transformace své jméno kruhová. Pro zjednodušení dalších výpočtů položíme k = r 2. Jak snadno nahlédneme, platí: SX > r SX < r Všechny body roviny z vnější oblasti kružnice se zobrazí do její vnitřní oblasti SX < r SX > r Všechny body vnitřní oblasti kružnice se zobrazí do vnější oblasti SX = r SX = r Věta o samodružných bodech

22 3 KRUHOVÁ INVERZE Sestrojení obrazu Mějme dán střed inverze S, poloměr inverze k a bod X, který chceme zobrazovat. Úsečce o velikosti r, r = SX SX říkáme střední geometrická úměrná a sestrojíme jí pomocí Eukleidovy věty o odvěsně (obr. 8). Pak bereme SX jako přeponu (resp. část přepony pro SX < r) pravoúhlého trojúhelníka. Sestrojíme tečny ke kružnici inverze k, k(s, r) z bodu X a pata kolmice na SX procházející bodem dotyku tečny je obrazem bodu X v inverzi. Postup převrátíme, pokud SX < r. obr. 8 sestrojení obrazu v inverzi Definice 3.2: Pokud budeme zapisovat kruhovou inverzi, značení bude následující: I(S, k) : X X inverze podle středu S s koeficientem k. Je-li udána pouze kružnice inverze k tak následovně: I(k ) : X X

23 3 KRUHOVÁ INVERZE Rovnice transformace Čtenář jistě pochopil, že Descartova analytická geometrie se ukázala být velmi mocným, ale přesto relativně jednoduchým způsobem, jak řešit geometrické úlohy. Nejenže odpadá jakákoliv nutnost geometrické konstrukce, ale i složité a zdlouhavé hledání vztahů mezi objekty je nahrazeno řešením jednoduchých rovnic. Necht je dána inverze předpisem: I(S, k) : X [x, y] X [x, y ]. Uvažujme, že střed kružnice inverze má souřadnice S [s x, s y ]. Z kolinearity vektorů vyjádříme, že SX je násobkem vektoru SX: Zároveň z definice platí SX SX = k = r 2 : (x x s ) = a (x x s ) (3.1a) (y y s ) = a (y y s ), a R (3.1b) [(x x s ) 2 + (y y s ) 2] [(x x s ) 2 + (y y s ) 2] = k = r 2 [a2 (x x s ) 2 + a 2 (y y s ) 2] [(x x s ) 2 + (y y s ) 2] = r 2 a [ (x x s ) 2 + (y y s ) 2] = r 2 a = A dosazením do rovnic (3.1a) a (3.1b) získáme: r 2 (x x s ) 2 + (y y s ) 2 x = x s + r 2 (x x s ) (x x s ) 2 + (y y s ) 2, r 2 (y y s ) y = y s + (x x s ) 2 + (y y s ) 2 (3.2) Tedy bod X má souřadnice: ] X [x r 2 (x x s ) s + (x x s ) 2 + (y y s ) 2, y r 2 (y y s ) s + (x x s ) 2 + (y y s ) 2 (3.3)

24 3 KRUHOVÁ INVERZE 23 Věta 3.1 (Involutornost): Kruhová inverze je involutorní zobrazení tzn. že obraz bodu v inverzi se zobrazí v téže inverzi opět na původní vzor. Důkaz. Necht se X zobrazí na X. Pak platí SX = r2. V inverzi se SX stejným středem a koeficientem se X zobrazí na X. X leží na SX a tedy i na SX. Dále pro druhé zobrazení platí: SX = r2 SX = r2 r 2 SX = SX Důsledek: Kruhová inverze je involutorní zobrazení, podle (3.3) platí tedy (záměnou souřadnic vzoru a obrazu): [ X x s Polární vyjádření r 2 (x x s ) (x x s ) 2 + (y y s ) 2, y s + ] r 2 (y y s ) (x x s ) 2 + (y y s ) 2 (3.4) Mnohdy není křivka vyjádřena pomocí pravoúhlých souřadnic, ale je výhodnější jí zapsat v polárních souřadnicích. Bod v rovině je pomocí polárních souřadnic dán vzdáleností od počátku (ϱ) a úhlem vůči polární ose (t). Uvažujme tedy inverzi v přidružené polární soustavě souřadné podle počátku, kde I(S, k) : X X (obr. 9). Souřadnice bodů tedy zapišme ve tvaru: X [ϱ x, t x ], souřadnice X : X [ϱ x, t x]. Pak platí: ϱ x ϱ x = k = r 2 = ϱ x = r2 ϱ x t x = t x

25 3 KRUHOVÁ INVERZE 24 obr. 9 k polární soustavě 3.2 Obrazy geometrických útvarů v inverzi Aplikováním transformačních rovnic můžeme pozorovat, jak se mění jednotlivé křivky při zobrazení kruhovou inverzí. Budeme uvažovat střed inverze je v počátku KSS. Pak transformační rovnice (3.2) přechází na tvar: Obraz přímky x = r2 x x 2 + y 2, y = r2 y x 2 + y 2 (3.5) x = Obecná rovnice přímky je ve tvaru ax + by + c = 0. r2 x x 2 + y 2, y = r2 y x 2 + y 2 (3.6) Obrazem přímky v inverzi podle počátku soustavy souřadnic (rovnice 3.5) je zřejmě množina bodů vyhovující rovnici: ar 2 x x 2 + y 2 + br2 y x 2 + y 2 + c = 0 ar 2 x + br 2 y + c ( x 2 + y 2) = 0

26 3 KRUHOVÁ INVERZE 25 Rozlišme nyní speciální případ, kdy c = 0 (Přímka prochází středem inverze): ar 2 x + br 2 y = 0 ax + by = 0 Pro c 0 je obrazem kružnice. Snadno 7 se ukáže, že prochází počátkem obr. 10 obraz přímky, c = 0 soustavy souřadnic. Pokud přímka prochází středem inverze, jejím obrazem je shodná přímka přímka procházející středem je samodružná. obr. 11 obraz přímky, c 0 7 např. dosazením souřadnic bodu do rovnice

27 3 KRUHOVÁ INVERZE 26 Důsledek: Nevlastním bodem roviny procházejí všechny přímky Důkaz. Přímka se vždy zobrazí na rovnici, jíž vyhovuje střed inverze. Ve stejné inverzi se střed inverze jistě zobrazí na zobrazovanou přímku. A obrazem středu inverze je nevlastní bod roviny Obraz kružnice Uvažujme kružnici danou rovnicí (x a) 2 + (y b) 2 = c 2. V kruhové inverzi se zobrazí následovně: ( ) r 2 x 2 ( ) r 2 x 2 + y a y x 2 + y b = c 2 2 úpravou členů v závorkách, vynásobením (x 2 + y 2 ) 2 : ( r 2 x a ( x 2 + y 2)) 2 ( + r 2 y b ( x 2 + y 2)) 2 ( = c 2 x 2 + y 2) 2 r ( 4 x 2 + y 2) 2r ( 2 x 2 + y 2) (ax + by ) = ( c 2 a 2 b 2) ( x 2 + y 2) 2 r 4 2r 2 (ax + by ) = ( c 2 a 2 b 2) ( x 2 + y 2) Znovu speciální případ (kružnice prochází středem inverze, tj. c 2 = a 2 + b 2 ) oddělíme, pravá strana rovnice přejde v nulu: r 2 = 2 (ax + by ) V druhém případě, kdy c 2 a 2 +b 2 a kružnice neprochází středem, obrazem je opět kružnice. Kružnice procházející středem inverze, se zobrazí na přímku. 8 8 Jak ostatně vyplývá z věty 3.1 a z obrazu přímky, která neprochází středem.

28 3 KRUHOVÁ INVERZE 27 obr. 12 obraz obecné kružnice Kruhové křivky Přímky a kružnice budeme souhrně nazývat kruhové křivky. Ukázali jsme, že platí: Věta 3.2: Obrazem kruhové křivky je vždy kruhová křivka. Prochází-li kruhová křivka středem inverze, zobrazí se na přímku. Jde-li mimo střed inverze, zobrazuje se na kružnici. 3.3 Obrazy kuželoseček Kuželosečky jsou křivky, které je možno získat jako průnik rotační kuželové plochy s rovinou. Jejich obecnou rovnicí je vždy rovnice 2. řádu s proměnnými x a y. Mezi tyto křivky řadíme kružnici, elipsu, parabolu a hyperbolu. Obrazem obecné kuželosečky v kruhové inverzi je kvartika - tj. křivka

29 3 KRUHOVÁ INVERZE 28 obr. 13 střed inverze leží na kružnici čtvrtého řádu. Obecnou rovnicí kuželosečky rozumějme rovnici tvaru 9 : Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Pak podle (3.5) tato rovnice přejde do tvaru: r ( 4 Ax 2 + Bx y + Cy 2) + r 2 (Dx + Ey ) ( x 2 + y 2) + F ( x 2 + y 2) 2 = Parabola Parabola je křivka kterou získáme řezem kuželové plochy neprocházející jejím vrcholem a rovnoběžným právě s jednou přímkou plochy. Je-li osa paraboly rovnoběžná s osou y, určuje graf kvadratické funkce. Planimetricky je definována podle své vlastnosti: Parabola je množina všech bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od přímky (řídící přímka) a bodu (ohnisko). 10 Rovnici paraboly si bez újmy na obecnosti přepíšeme do tvaru: 9 Více v [10] 10 Viz [13] y = ax 2 + b

30 3 KRUHOVÁ INVERZE 29 Transformací jí upravíme do tvaru: ( ) r 2 y r 2 x 2 + y = a x 2 + b 2 x 2 + y 2 r 2 y ( x 2 + y 2) = ar 4 x 2 + b ( x 2 + y 2) 2 Pokud prochází parabola středem inverze (b = 0), můžeme rovnici upravit do tvaru: y ( x 2 + y 2) = ar 2 x 2 Tato křivka se nazývá Dioklova kissoida a má vrchol v [0, 0] a její asymptota obr. 14 Dioklova kissoida je přímka daná rovnicí y = a. Dalším způsobem jak můžeme kissoidu získat, je zobrazováním paraboly v osové souměrnosti. Pohybujeme- li bodem B po parabole p (viz [12]), jejím obrazem v osové souměrnosti podle tečny v bodě B je p. Množina všech vrcholů parabol p tvoří kissoidu. Nakonec si ukážeme jednu z mnoha zajímavých vlastností kissoidy: Necht je dána kružnice vepsaná pásu (obr. 15), dotýkající se vrcholu B. Zvolme libovolný bod A na asymptotě. Pak spojnice AB se protíná s k v bodě F, s kissoidou v C. Platí: AC = BF, AF = BC.

31 3 KRUHOVÁ INVERZE 30 obr. 15 stejné délky Obraz paraboly, která neprochází středem inverze rozčleníme do skupin podle toho, zda je střed inverze ve vnější či vnitřní oblasti paraboly. obr. 16 lakrimoida Pokud je střed ve vnější oblasti, obrazem je křivka, jejíž graf má tvar kapky. Této křivce budeme říkat lakrimoida (lat. lacrima slza). Lakrimoida je [ obecná ] kvartika, souměrná podle osy y. Má dva průsečíky s osou y: [0, 0], 0, r2. Lakrimoida je omezená křivka, souřadnicová hodnota y mezního b

32 3 KRUHOVÁ INVERZE 31 bodu 11 je rovna: ( ab ab + 16 a2 b 2) r 2 4b (1 + 4 ab) Lakrimoida má jeden inflexní bod - jeho y-ová souřadnice je ( 12 ab ab + 12 a2 b 2) r 2 a (4 ab 3) (1 + 4 ab) Je-li střed inverze ve vnitřní oblasti paraboly, získáme křivku zvanou kardioida (obr. 17). Kotálíme-li kružnici k po obvodu kružnice l stejného poloměru, obr. 17 kardioida vzniklá inverzí paraboly pak pevně daný bod A na kružnici k opisuje právě tuto křivku.[12] Hyperbola, mocninné funkce Hyperbolu získáme jako řez dvojitého kužele rovinou rovnoběžnou s osou kužele. Planimetricky je hyperbola definována jako množina všech bodů, 11 Po vyjádření y z rovnice lakrimoidy a následného položení první derivace podle y nule. Pro body inflexe položíme rovnu nule druhou derivaci podle y. Vyjádřeno pomocí programu Maple.

33 3 KRUHOVÁ INVERZE 32 které mají od dvou bodů (ohnisek) konstantní rozdíl vzdáleností, menší než je vzdálenost ohnisek. Příkladem hyperboly je graf mocninné funkce y = k x. Budeme uvažovat pouze hyperbolu ve středové poloze: xy = k r 2 x x 2 + y r 2 y 2 x 2 + y = k 2 r 4 x y = k ( x 2 + y 2) 2 Hyperbola se v kruhové inverzi zobrazí na Bernoulliho lemnniskátu racionální křivku čtvrtého stupně. Bernoulliho lemniskáta je množina všech bodů, které mají od dvou daných bodů E, F (ohnisek) vzdálených od sebe 2a, konstatní součin vzdáleností, roven a 2. obr. 18 Bernoulliho lemniskáta Bernoulliho lemniskáta je speciálním případem Cassiniových oválů střed spojnice ohnisek leží právě na lemniskátě. Graf podobný hyperbole mají i mocninné křivky se zápornou mocninou. Přestože tyto křivky nespadají pod kuželosečky, tak je zde zmíním. Graf funkce y = 1 probíhá v 1. a 4. kvadrantu. Umocníme dvěmi, abychom x 2 získali křivku probíhající všemi kvadranty: x 4 y 2 = 1.

34 3 KRUHOVÁ INVERZE 33 Její obraz v inverzi má tvar čtyřlístku (obr. 19). obr. 19 obraz mocninné funkce Elipsa Narozdíl od paraboly a hyperboly je elipsa uzavřená křivka. Elipsa vznikne řezem kužele rovinou, která není kolmá na jeho osu a neprochází jeho vrcholem. Elipsa je množinou všech bodů, jež mají od daných dvou bodů (ohnisek) konstantní součet vzdáleností. Střed spojnice ohnisek označujeme jako střed elipsy. Elipsa se středem S [a, b] s poloosami 12 e, f má rovnici ( ) 2 ( ) 2 x a y b + = 1 Aplikujeme-li transformaci: e f ) 2 ) 2 ( ( r 2 x r a 2 y b x 2 +y 2 x + 2 +y 2 = 1 e 2 f 2 12 Přímka procházející ohnisky protíná elipsu v bodech A, B. Vzdálenost SA = e označujeme jako hlavní poloosu. Kolmice ve středu elipsy na AB protíná elipsu v bodech C, D. Vzdálenost SC = f označujeme jako vedlejší poloosu

35 3 KRUHOVÁ INVERZE 34 Substituce: t = (x 2 + y 2 ), následně vynásobení (eft) 2 f ( 2 r 2 x at ) 2 ( + e 2 r 2 y bt ) 2 = (eft) 2 f ( 2 r 4 x 2 2r 2 x at + a 2 t 2) 2 ( + e 2 r 2 y 2r 2 y bt + b 2 t 2) 2 = (eft) 2 r ( 4 f 2 x 2 + e 2 y 2) 2r 2 t ( ax f 2 + by e 2) = t ( 2 e 2 f 2 f 2 a 2 e 2 b 2) Zanedbejme případ, kdy je hlavní poloosa elipsy rovnoběžná s osou y (a b). 1. Střed elipsy ve středu inverze Má-li elipsa střed v počátku soustavy souřadnic, platí a = b = 0. Rovnice pak přechází na tvar: r ( 4 f 2 x 2 + e 2 y 2) = ( x 2 + y 2) 2 (ef) 2 Speciálně pro ef = r 2 (elipsa má vnitřní dotyk s kružnicí) dostáváme rovnici Boothovy lemniskáty : ( f 2 x 2 + e 2 y 2) = ( x 2 + y 2) 2 obr. 20 Boothova lemniskáta Boothova lemniskáta (obr. 20) má dvojici tečen rovnoběžmých s osou y, každá se dotýká lemniskáty ve dvou bodech.

36 3 KRUHOVÁ INVERZE Střed inverze leží na elipse Pokud střed inverze leží na elipse, obrazem bude otevřená křivka. Podmínka, aby střed ležel na elipse je: (af) 2 + (be) 2 = (ef) 2. Rovnice transformované křivky přejde v: r ( 2 f 2 x 2 + e 2 y 2) = 2 ( x 2 + y 2) ( ax f 2 + by e 2) obr. 21 konchoida (a = 2, b = 0, e = 2, f = 1) Tato křivka se nazývá konchoida a je obecnou kubikou s izolovaným bodem O a pro a = 0 (resp. b = 0) je její asymptota je rovnoběžná s osou x (resp. y)

37 4 INVERZE V PROSTORU E Inverze v prostoru E 3 V matematické teorii i aplikacích se nepočítá jen s geometrickými útvary v rovině. Vedle toho musíme zkoumat zákonitosti a vlastnosti zobecnění těchto útvarů a dalších těles v prostoru. Ukažme si analogii kruhové inverze v dalším nám představitelném rozměru: v trojrozměrném prostoru, kde hovoříme o kulové inverzi. Definice 4.1: Analogií kruhové inverze v prostoru je transformace jednoznačně určená středem inverze S a koeficientem inverze k (k > 0). Při ní se každý bod X prostoru (mimo středu S) zobrazí na bod X, X SX a zároveň platí: SX SX = k Obrazem středu inverze S rozumějme bod M nevlastní bod prostoru. E 3 Ze stejných důvodů, jako v kapitole 3.0.1, musíme i Eukleidův prostor rozšířit o nevlastní Möbiův bod. Takto rozšířenému prostoru budeme analogicky říkat Möbiův prostor M 3. Nechá se snadno ukázat, že pokud provedeme restrikci sférické inverze na M 3 podle kulové plochy κ na Möbiovu rovinu M 2 procházející středem inverze, tak dostaneme kruhovou inverzi podle kružnice, která vznikne řezem dané roviny a sféry. Kulová inverze patří mezi konformní zobrazení.

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí

Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Důkazy vybraných geometrických konstrukcí Vypracovala: Ester Sgallová Třída: 8.M Školní rok: 015/016 Seminář : Deskriptivní geometrie

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod,

Definice Tečna paraboly je přímka, která má s parabolou jediný společný bod, 5.4 Parabola Parabola je křivka, která vznikne řezem rotační kuželové plochy rovinou, jestliže odchylka roviny řezu od osy kuželové plochy je stejná jako odchylka povrchových přímek plochy a rovina řezu

Více

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Systematizace a prohloubení učiva matematiky. Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky Systematizace a prohloubení učiva matematiky 4. ročník 2 hodiny Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného

prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného Elipsa Výklad efinice a ohniskové vlastnosti prostorová definice (viz obrázek vlevo nahoře): elipsa je průsečnou křivkou rovinného řezu na rotační kuželové ploše, jestliže řezná rovina není kolmá k ose

Více

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha.

Klíčová slova Mongeovo promítání, kuželosečka, rotační plocha. Abstrakt Tento text je určen všem zájemcům z řad široké veřejnosti, především jako studijní materiál pro studenty Konstruktivní a počítačové geometrie. Práce pojednává o rotačních kvadratických plochách,

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuk prostřednictvím ICT Číslo a název šablon klíčové aktivit III/2 Inovace a zkvalitnění výuk prostřednictvím

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení 1. Rozhodněte, zda kuželosečka k je regulární nebo singulární: a) k : x 2 0 + 2x 0x 1 x 0 x 2 + x 2 1 2x 1x 2 + x 2 2 = 0; b) k : x 2 0 + x2 1 + x2 2 + 2x 0x 1 = 0;

Více

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2]. Kružnice množina bodů, které mají od středu stejnou vzdálenost pojmy: bod na kružnici X [x, y]; poloměr kružnice r pro střed S[0; 0]: SX =r x 0 2 y 0 2 =r x 2 y 2 =r 2 pro střed S[m; n]: SX =r x m 2 y

Více

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY

3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY 3.6. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PARABOLY V této kapitole se dozvíte: jak je geometricky definována kuželosečka zvaná parabola; co je to ohnisko, řídící přímka, vrchol, osa, parametr paraboly; tvar vrcholové

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie Třída: 3. ročník a septima Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor, učebnice Stereometrie Volné rovnoběžné promítání Zobrazí

Více

19 Eukleidovský bodový prostor

19 Eukleidovský bodový prostor 19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Geometrické transformace v prostoru Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace stejný přístup jako ve 2D shodné transformace (shodnosti,

Více

M - Příprava na 12. zápočtový test

M - Příprava na 12. zápočtový test M - Příprava na 1. zápočtový test Určeno pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

Deg2-Kvadriky. Světlana Tomiczková

Deg2-Kvadriky. Světlana Tomiczková KMA FAV ZČU Plzeň 18. března 2016 Kvadriky Rotační kvadriky singulární (vzniknou rotací singulární kuželosečky) a) rotační válcová plocha x2 + y2 = 1 a 2 a 2 b) rotační kuželová plocha x2 + y2 z2 = 0 a

Více

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme

Necht L je lineární prostor nad R. Operaci : L L R nazýváme Skalární součin axiomatická definice odvození velikosti vektorů a úhlu mezi vektory geometrická interpretace ortogonalita vlastnosti ortonormálních bázi [1] Definice skalárního součinu Necht L je lineární

Více

7 Analytické vyjádření shodnosti

7 Analytické vyjádření shodnosti 7 Analytické vyjádření shodnosti 7.1 Analytická vyjádření shodných zobrazení v E 2 Osová souměrnost Osová souměrnost O(o) podle osy o s obecnou rovnicí o : ax + by + c =0: x = x 2a (ax + by + c) a 2 +

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Rovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA

Rovinné přetvoření. Posunutí (translace) TEORIE K M2A+ULA Rovinné přetvoření Rovinné přetvoření, neboli, jak se také často nazývá, geometrická transformace je vlastně lineární zobrazení v prostoru s nějakou soustavou souřadnic. Jde v něm o přepočet souřadnic

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku pro třídu 4ODK Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C)

VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) VZOROVÝ TEST PRO 3. ROČNÍK (3. A, 5. C) max. 3 body 1 Zjistěte, zda vektor u je lineární kombinací vektorů a, b, je-li u = ( 8; 4; 3), a = ( 1; 2; 3), b = (2; 0; 1). Pokud ano, zapište tuto lineární kombinaci.

Více

REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE

REKONSTRUKCE ASTROLÁBU POMOCÍ STEREOGRAFICKÉ PROJEKCE REKONTRUKCE ATROLÁBU POMOCÍ TEREOGRAFICKÉ PROJEKCE Václav Jára 1 1 tereografická projekce a její vlastnosti tereografická projekce kulové plochy je středové promítání z bodu této kulové plochy do tečné

Více

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný

ICT podporuje moderní způsoby výuky CZ.1.07/1.5.00/ Matematika planimetrie. Mgr. Tomáš Novotný Název projektu ICT podporuje moderní způsoby výuky Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0717 Název školy Gymnázium, Turnov, Jana Palacha 804, přísp. organizace Číslo a název šablony klíčové aktivity IV/2 Inovace

Více

7.5.3 Hledání kružnic II

7.5.3 Hledání kružnic II 753 Hledání kružnic II Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Tato hodina patří mezi vůbec nejtěžší Není reálné předpokládat, že by většina studentů dokázala samostatně přijít na řešení, po čase na rozmyšlenou

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 Je dán rovinný obrazec, v obrázku vyznačený barevnou výplní, který představuje

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil

4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil 4. Statika základní pojmy a základy rovnováhy sil Síla je veličina vektorová. Je určena působištěm, směrem, smyslem a velikostí. Působiště síly je bod, ve kterém se přenáší účinek síly na těleso. Směr

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

9 Kolmost vektorových podprostorů

9 Kolmost vektorových podprostorů 9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.

Více

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII 37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná

Více

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

Mgr. Tomáš Kotler. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 Mgr. Tomáš Kotler I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 1 bod 1 Určete průsečík P[x, y] grafů funkcí f: y = x + 2 a g: y = x 1 2, které jsou definovány na množině reálných

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky

Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Příklady k analytické geometrii kružnice a vzájemná poloha kružnice a přímky Př. 1: Určete rovnice všech kružnic, které procházejí bodem A = * 6; 9+, mají střed na přímce p: x + 3y 18 = 0 a jejich poloměr

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY

ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY ZÁKLADNÍ ZOBRAZOVACÍ METODY Prostorové útvary zobrazujeme do roviny pomocí promítání, což je jisté zobrazení trojrozměrného prostoru (uvažujme rozšířený Eukleidovský prostor) do roviny, které je zadáno

Více

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky

Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie. PC a dataprojektor, učebnice. Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Matematika Planimetrie 2. část, Funkce, Goniometrie 2. ročník a sexta 4 hodiny týdně PC a dataprojektor, učebnice Planimetrie II. Konstrukční úlohy Charakterizuje

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI

KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI KRUHOVÁ ŠROUBOVICE A JEJÍ VLASTNOSTI Šroubový pohyb vzniká složením otáčení kolem osy o a posunutí ve směru osy o, přičemž oba pohyby jsou spojité a rovnoměrné. Jestliže při pohybu po ose "dolů" je otáčení

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část MONGEOVO PROMÍTÁNÍ - 2. část ZOBRAZENÍ KRUŽNICE Příklad: V rovině ρ zobrazte kružnici o středu S a poloměru r. kružnice ležící v obecné rovině se v obou průmětech zobrazuje jako elipsa poloměr kružnice

Více

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky.

Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Maturitní témata Matematika Školní rok 2016/17 Nezbytnou součástí ústní zkoušky je řešení matematických příkladů, které student obdrží při zadání otázky. Příprava ke zkoušce trvá 15 minut, ústní zkouška

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Analytická geometrie vyšetřuje geometrické objekty (body, přímky, kuželosečky apod.) analytickými metodami. Podle prostoru, ve kterém pracujeme, můžeme analytickou geometrii

Více

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová

Tematický plán Obor: Informační technologie. Vyučující: Ing. Joanna Paździorová Tematický plán Vyučující: Ing. Joanna Paździorová 1. r o č n í k 5 h o d i n t ý d n ě, c e l k e m 1 7 0 h o d i n Téma- Tematický celek Z á ř í 1. Opakování a prohloubení učiva základní školy 18 1.1.

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY

3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY 3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou

Více

Konstruktivní geometrie

Konstruktivní geometrie Mgr. Miroslava Tihlaříková, Ph.D. Konstruktivní geometrie & technické kreslení Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze:

DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA. Mgr. Ondřej Machů. --- Pracovní verze: DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE PRO STUDENTY GYMNÁZIA CH. DOPPLERA Mgr. Ondřej Machů --- Pracovní verze: 6. 10. 2014 --- Obsah Úvodní slovo... - 3-1 Základy promítacích metod... - 4-1.1 Rovnoběžné promítání...

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

Základní vlastnosti ploch

Základní vlastnosti ploch plocha zpravidla se definuje jako výsledek spojitého pohybu jisté tvořící křivky podél zadané trajektorie lze obohatit o možnost spojitých změn tvaru tvořící křivky x v průběhu pohybu podél trajektorie

Více

3.2 3DgrafyvMaple 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK

3.2 3DgrafyvMaple 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK > A2:=augment(submatrix(A,1..3,[1]),b,submatrix(A,1..3,[3])); Potom vypočítáme hodnotu x 2 : > x2:=det(a2)/det(a); Zadání matice. Matici M typu (2, 3) zadáme

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Geometrické transformace v rovině Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace shodné transformace (shodnosti, izometrie) převádějí objekt

Více

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE

KRUŽNICE, KRUH, KULOVÁ PLOCHA, KOULE Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol KRUŽNICE,

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností.

Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Řešení geometrické úlohy spočívá v nalezení geometrického útvaru (útvarů) daných vlastností. Metody řešení konstrukčních úloh: množinou bodů zobrazením výpočtem kombinací předchozích způsobů Konstrukční

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky.

AXONOMETRIE. Rozměry ve směru os (souřadnice bodů) jsou násobkem příslušné jednotky. AXONOMETRIE 1) Princip, základní pojmy Axonometrie je rovnoběžné promítání do průmětny různoběžné se souřadnicovými rovinami. Kvádr v axonometrii : {O,x,y,z} souřadnicový systém XYZ - axonometrická průmětna

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

Shodné zobrazení v rovině

Shodné zobrazení v rovině Gymnázium Cheb Shodné zobrazení v rovině seminární práce Cheb, 2007 Lojza Tran Prohlášení Prohlašuji, že jsem seminární práci na téma: Shodné zobrazení v rovině vypracoval zcela sám za použití pramenů

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem

Šroubovice... 5 Šroubové plochy Stanovte paprsek tak, aby procházel bodem A a po odrazu na rovině ρ procházel bodem Geometrie Mongeovo promítání................................ 1 Řezy těles a jejich průniky s přímkou v pravoúhlé axonometrii......... 3 Kuželosečky..................................... 4 Šroubovice......................................

Více

Parametrická rovnice přímky v rovině

Parametrická rovnice přímky v rovině Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA ALGEBRY A GEOMETRIE Diplomová práce Řezy rotačních těles v projekcích Vedoucí diplomové práce: Mgr. Marie Chodorová, Ph.D. Rok odevzdání:

Více