Transformace jistých křivek a ploch v kruhové inverzi

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Transformace jistých křivek a ploch v kruhové inverzi"

Transkript

1 STŘEDOŠKOLSKÁ ODBORNÁ ČINNOST Transformace jistých křivek a ploch v kruhové inverzi Emil Skříšovský ČESKÉ BUDĚJOVICE 2012

2 STŘEDOŠKOLSKÁ ODBORNÁ ČINNOST Obor SOČ: Matematika a statistika (1) Transformace jistých křivek a ploch v kruhové inverzi Transformation of certain curves and surfaces in the inversion transformation Autor: Škola: Konzultant: Emil Skříšovský Gymnázium Česká a olymp. nadějí, České Budějovice Mgr. Ivan Bartoš, PhD. České Budějovice, 2012

3 Prohlášení. Prohlašuji, že jsem svou práci vypracoval samostatně, použil jsem pouze podklady (literaturu, SW) uvedené v přiloženém seznamu a postup při zpracování a dalším nakládání s prací je v souladu se zákonem č. 121/2000 Sb., o právu autorském, o právech souvisejících s právem autorským a o změně některých zákonů (autorský zákon) v platném znění. V Českých Budějovicích, 23. dubna 2012 Emil Skříšovský

4 Poděkování. Děkuji Ivanu Bartošovi, který mi nejen ukázal směr, kterým by se měla práce ubírat, ale i věnoval svůj volný čas a poskytl mi mnoho cenných rad v průběhu psaní práce.

5 Abstrakt Práce podává ucelené poznatky o kruhové inverzi a následně je zobecňuje do trojrozměrného eukleidovského prostoru. V první části práce je čtenář uveden do problematiky soustav souřadnic a jejich transformací. Náhled na inverzi je ryze analytický, ve vlastním jádru práce jsou pak poznatky o inverzi aplikovány, kdy transformací kuželoseček a kvadrik získáme algebraické křivky a plochy vyšších řádů. Čtenář získá pohled na křivky z hlediska jejich transformací. Klíčová slova: soustava souřadnic, transformace, kruhová inverze, inverze v prostoru, analytický přístup, inverze kuželoseček a kvadrik, algebraické křivky a plochy Abstract The main objective of this paper is to summarize knowledge of inversion transformation and generalize it into three-dimensional Euclidean space. In the first part of the paper the reader is introduced to the theme of coordinate systems and the needs of transforming them. In the main part of the paper (Chapter 3 and 4), the theme is shown of the application of inversion transformation by inverting conics and quadrics to obtain other algebraic curves and surfaces of higher degree. Our approach to inversion transformation is purely analytical. Keywords: coordinate systems, transformation, inversion transformation, inversion in 3D, analytical approach, inverting conic sections and quadrics, algebraic curves and surfaces

6 Obsah Úvod 7 1 Soustava souřadnic Kartézská soustava Transformace souřadnic Afinní transformace Matice transformace Kruhová inverze Rovnice transformace Obrazy geometrických útvarů v inverzi Obrazy kuželoseček Inverze v prostoru E K rovnicím kulové inverze Obrazy kruhových ploch Kvadriky, jejich transformace Stereografická projekce Inverze ve vyšší dimenzi Závěr 58

7 Přehled použitého značení a symbolů N R E N M N X X [x, y] XY SX u SX AV B, AV B I(S, k) obor přirozených čísel, množina přirozených čísel obor reálných čísel, množina reálných čísel prvek množiny univerzální kvantifikátor Eukleidův prostor rozměru N Möbiův prostor rozměru N vzor (v grafu černě) obraz bodu v daném zobrazení (v grafu červeně) souřadnice bodu vzdálenost bodů X a Y polopřímka SX vektor vektor s počátečním bodem S a koncovým X úhel, jeho velikost inverze se středem S a koeficientem k součet řady

8 Úvod Dnešní podoba matematiky se z převážné části zakládá na přímkách, kružnicích, křivkách a funkcích a přesném popisu jejich vlastností. Náhled matematiků na tyto objekty se v průběhu let výrazně měnil. Ve starověkém Řecku byla matematika z velké části orientovaná na geometrii studii tvarů a těles. Na rozvoj matematických operací výrazně působily praktické podněty. Eukleides vydává Základy, v nichž definuje své postuláty axiomatická výstavba geometrie, která určuje hlavní evropské geometrické myšlení po dalších 2000 let. Zlom nastává v 16. století, kdy otázky mechaniky a pohybu nutí matematiky nahlížet na geometrii z jiného pohledu. Nakonec René Descartes ukazuje metodu, pomocí níž popisuje analyticky dráhu pohybu bodu. Jeho analytická geometrie odpovídá na otázky fyziky, k jejichž řešení přispívá později také vznik matematické analýzy (kalkulu). Kruhovou inverzi poprvé představil Apollonius v třetím století př.n.l. V práci na ní budeme nahlížet z analytického pohledu a předvedeme její možné a méně známé aplikace v oblasti transformací křivek a ploch. Čtenáři se tak skrze transformace poodhalí zajímavé vztahy mezi jednotlivými křivkami a plochami. Poznamenejme, že oproti běžné literatuře, kde je inverze zmiňována jen ve spojitosti se zobrazováním kružnic, tak zde nám pojetí inverze jako ryze analytické transformace umožní zobecnit inverzi do trojrozměrného Eukleidovského prostoru.

9 1 SOUSTAVA SOUŘADNIC 8 1 Soustava souřadnic Analytické nahlížení na geometrické objekty pomocí metody souřadnic umožnilo zavést geometrické objekty jako množiny bodů v rovině, jejichž souřadnice vyhovují dané rovnici. Takto můžeme převádět geometrické problémy na algebraické, jejichž řešení vede na soustavy rovnic a nerovnic (nejčastěji lineárních a kvadratických) a výsledek opět geometricky interpretovat. Abychom vůbec mohli problémy geometrie na analytické převést, musíme si zavést právě soustavu souřadnic. Definice 1.1: Prostorem budeme nazývat množinu všech uspořádaných n-tic čísel [x 1, x 2, x 3,..., x n ]. Číslo n, n N vyjadřuje rozměrnost daného prostoru. Právě jedné takové uspořádané n-tici čísel říkáme bod prostoru. Naše geometrické chápání budujeme v Eukleidovských prostorech, v kterých platí pět Eukleidových axiomů [1]. Můžeme tvrdit, že Eukleidovský prostor je kartézskou mocninou nad tělesem reálných čísel: R n a je prostorem, kde je definována metrika. Eukleidovský prostor E 2 nazveme rovinou a uvažujeme jej jako množinu všech uspořádaných dvojic čísel [x, y]. Prostor nazveme metrickým (s metrikou), můžeme-li v něm formálně definovat pojem vzdálenosti. Nejužívanější a nejpřirozenější metrikou definovanou na eukleidovském prostoru je běžná eukleidovská metrika. Tuto metriku definujeme jako délku úsečky mezi oběma body a vyjádříme tímto vztahem: 1 XY = (x 1 y 1 ) 2 + (x 2 y 2 ) (x n y n ) 2 1 Vzdálenost bodů X [x 1, x 2,..., x n ] a Y [y 1, y 2,..., y n ] podle Pythagorovy věty. Pojem metriky více rozebírá Jarník v [6].

10 1 SOUSTAVA SOUŘADNIC 9 Definice 1.2: Soustava souřadnic je soustava základních geometrických objektů, pomocí nichž a jejich vlastností se dá jednoznačně určit poloha všech bodů popisovaného prostoru v právě zvolené soustavě souřadnic. Polohu bodu v dané soustavě zapisujeme pomocí souřadnic (koordinát), dané n-tice čísel (násobků nebo dílů základní jednotky). Ta přímo odráží danou polohu vůči základním objektům soustavy. 1.1 Kartézská soustava V běžném počítání i v životě nejčastěji používáme Kartézskou soustavou souřadnic (KSS) soustavu, jejíž osy jsou na sebe kolmé, protínají se v jediném bodě počátku soustavy a na všech osách jsou jednotky stejné délky. Počátek soustavy souřadnic označíme O a přiřazujeme mu na všech osách hodnotu 0. Podle rozměrnosti prostoru v kterém pracujeme, zavádíme obr. 1 kartézská soustava v E 2 a E 3 (převzato z [18]) příslušný počet os. Tu část osy, jejíž souřadnice odpovídají hodnotám x > 0 (resp. x < 0) nazýváme kladná (resp. záporná) poloosa.

11 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 10 2 Transformace souřadnic KSS není jedinou soustavou, která se pro popis objektů v dnešní době používá. Mimo ní máme další odlišné soustavy souřadnic. Z hlediska matematiky je velmi důležité pochopit, jaké jsou mezi nimi vztahy, co mají společné a co rozdílné. Těmto vztahům říkáme transformační rovnice. Některé transformační rovnice je lehké odvodit, s transformacemi se setkáváme již od brzkých školních let (například, kdy dokreslujeme druhou polovinu obrazce podle osy souměrnosti). Definice 2.1: Transformace souřadnic je přechod od jednoho systému souřadnic k jinému k popsání daného prostoru. S pojmem transformace souřadnic 2 se překrývá pojem geometrické zobrazení. Geometrické zobrazení je předpis, který všem bodům daného prostoru jednoznačně přiřazuje právě jeden bod téhož prostoru. Je-li útvar určen souřadnicemi bodů, z nichž je tvořen, pak můžeme tvrdit, že transformace daného útvaru je změna souřadnic všech těchto bodů. 2.1 Afinní transformace Afinní transformace jsou základními druhy transformací. Mezi afinní transformace se řadí takové transformace, které zachovávají přímky přímkami. Afinní transformace mají široké využití modelují převážně množství jevů reálného světa. Jejich aplikace prolíná oblasti jako je počítačová grafika, výpočetní technika ale i kryptografie. V matematice patří k zobrazením, s kterými se dá relativně snadno manipulovat - snadno se vyjadřují pomocí 2 Pro účely této práce budeme pod pojmem transformace rozumět jednak transformace souřadnic, ale i geometrické zobrazení

12 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 11 charakteristických transformačních matic. Užší skupinou afinních transformací jsou lineární transformace. Z hlediska transformací souřadnic, afinní transformací kartézské soustavy je vyjma zkosení vždy KSS Souměrnosti S prvními transformacemi, s kterými se člověk v životě setkává, aniž by o nich měl povědomí, jsou středová a osová souměrnost. Každý jistě kdysi dokresloval k obrazu jeho druhou polovinu nebo hledal osy souměrnosti tvarů a objektů. Rozeberme si tato geometrická zobrazení z matematického pohledu. Definice 2.2: Je-li dán bod S, pak středová souměrnost se středem S je shodné zobrazení, které všem bodům X roviny přiřazuje bod X, tak že bod S je středem úsečky XX. (obr. 2) obr. 2 obraz kružnice v středové souměrnosti Zaměřme se na rovnice transformace: je-li S [x s, y s ] středem úsečky XX,

13 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 12 pak musí platit: 3 S = X + X X = 2S X 2 x = 2x s x, y = 2y s y (2.1) Popsali jsme středovou souměrnost jako shodné zobrazení takové zobrazení, které zachovává délky úseček. Definice 2.3: Necht je dána přímka o, pak osová souměrnost podle osy o je zobrazení, které každému bodu roviny X přiřadí bod X tak, že střed úsečky XX leží na o a zároveň je XX na o kolmá (obr. 3) obr. 3 obraz kružnice v osové souměrnosti Z definice plyne, že množinou všech samodružných bodů je osa souměrnosti. K odvození rovnic transformace uvažujme jako osu souměrnosti přímku p: ax+ by + c = 0 a zobrazovaný bod X [x 1, y 1 ]. Průsečík přímky kolmé na osu o, procházející X označme P. Z definice vyplývá, že bod X získáme jako obraz bodu X ve středové souměrnosti podle P. 3 Symbolická rovnice pro střed úsečky: S = X+Y 2

14 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 13 Normálový vektor k přímce p je n (a, b). Z podmínky, aby X ležel na přímce n (kolmé k o), získáme její obecnou rovnici: bx ay [ +(ay 1 bx 1 ) = 0. P je pak dán jako průsečík n a o, má tedy souřadnice: P Pak pro X podle (2.1) platí: X = 2P X b2 x 1 +aby 1 +ac a 2 +b 2 x = (a2 b 2 ) x + 2a (by + c) a 2 + b 2, y = (b2 a 2 ) y + 2b (ax + c) a 2 + b 2 (2.2) Speciálně pro osovou souměrnost podle osy y dostaneme: x = x, y = y a pro souměrnost podle osy x rovnice (2.2) přejdou na tvar: x = x, y = y., a2 y 1 +abx 1 +bc a 2 +b 2 ] Posunutí Čtenář jistě ví, že jako vektor v geometrii označujeme orientovanou úsečku úsečku s počátečním a koncovým bodem. Na základě tohoto poznatku zavedeme posunutí roviny: 4 Definice 2.4: Posunutí je zobrazení dané vektorem AB, které všem bodům roviny X přiřazuje bod X, přičemž platí: AB = XX. (obr. 4) Odvodit si rovnice transformace by nemělo být těžké: Posunutí o vektor u = (a, b) zobrazí X na X podle definice 2.4: X = X + u, neboli: x = x + a, y = y + b (2.3) Vidíme, že posunutí nemá žádné samodružné body, pokud není vektor posunutí nulový. 4 Dva vektory považujeme za sobě rovny, pokud mají shodný směr, orientaci a velikost.

15 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 14 obr. 4 obraz kružnice v posunutí Rotace Rotace (otočení) je transformace, kdy každý bod roviny opisuje kružnici kolem daného středu. Definice 2.5: Je-li dán úhel o velikosti ϕ, rotací kolem středu S o daný úhel zobrazíme bod X na X, pro který platí: SX = SX XSX = ϕ Je-li ϕ > 0, otáčíme proti směru chodu hodinových ručiček v kladném smyslu otáčení, pro ϕ < 0, otáčíme po směru chodu hodinových ručiček v záporném smyslu. (obr. 5) Jak je ukázáno v [2], pro rotaci okolo počátku soustavy souřadnic o úhel ϕ platí: x = x cos ϕ y sin ϕ, y = x sin ϕ + y cos ϕ (2.4)

16 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 15 obr. 5 obraz kružnice v rotaci Dilatace Stejnolehlost jako transformace je speciálním případem skupiny afinních transformací zvaných dilatace. Dilatace upravuje délkové jednotky na osách: x = ax, y = by (2.5) Pro a = b jde právě o stejnolehlost s koeficientem κ = a. V ostatních případech jde o transformaci, která zobrazuje kružnici na elipsu a čtverec na obecný pravoúhelník Zkosení Za afinní transformaci můžeme považovat i zkosení kartézské soustavy souřadnic. Při této trasformaci měníme velikost úhlu mezi osou x a y (viz obr. 6). Tato transformace se řídí těmito rovnicemi 5 : x = x + y cos α, y = y sin α (2.6) 5 Úpravou pomocí goniometrických vztahů.

17 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 16 obr. 6 zkosení - zmenšení úhlu mezi osami 2.2 Matice transformace Počítání a práce s afinními transformacemi se dá velmi usnadnit použitím transformačních matic. Transformační matice jsou souhrné rovnice transformace vyjádřené maticovým zápisem. Pro afinní transformace se dá takovéto maticové vyjádření vytvořit. Jak se dá ukázat, výsledná matice zobrazení složeného je dána maticovým součinem odpovídajících matic a inverzní zobrazení k dané transformaci vyjadřuje inverzní matice. Definice 2.6: Všechny afinní transformace v rovině, které zobrazují bod X [x, y] na bod X [x, y ] můžeme udat ve tvaru: kde a 1 b 2 a 2 b 1 0. x = a 1 x + b 1 y + c 1 y = a 2 x + b 2 y + c 2, (2.7) Je-li dána afinní transformace rovnicemi (2.7), pak transformační matice

18 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 17 tohoto afinního zobrazení je ve tvaru 6 : x a 1 b 1 c 1 x y = a 2 b 2 c 2 y Rovnice předchozích transformací upravíme pomocí tohoto maticového zápisu: Středová souměrnost Středová souměrnost daná středem souměrnosti S [x s, y s ] (viz rovnice 2.1): x 1 0 2x s x y = 0 1 2y s y Osová souměrnost Osová souměrnost daná osou souměrnosti ax + by + c = 0 (podle rovnic 2.2): Posunutí x y = 1 a2 b 2 2ab a 2 +b 2 a 2 +b 2 2ab b2 a 2 a 2 +b 2 a 2 +b 2 2ac a 2 +b 2 2bc a 2 +b Posunutí dané vektorem u (a, b) (podle rovnic 2.3): x 1 0 a x y = 0 1 b y Rotace Rotace kolem počátku o úhel ϕ (podle rovnic 2.4): x cos ϕ sin ϕ 0 x y = sin ϕ cos ϕ 0 y Čtenář se o tom může přesvědčit roznásobením x y 1

19 2 TRANSFORMACE SOUŘADNIC 18 Dilatace Změna měřítek osy x a osy y (z rovnic 2.5): x a 0 0 x y = 0 b 0 y Zkosení Zkosení soustavy souřadnic dané úhlem α (podle rovnic 2.6): x 1 cos α 0 x y = 0 sin α 0 y

20 3 KRUHOVÁ INVERZE 19 Farmář potřeboval ohradit co největší plochu pastviny co nejkratším plotem. Zavolal si na pomoc inženýra, fyzika a matematika. Inženýr postavil kruhovou ohradu a prohlásil, že to je nejúspornější způsob. Fyzik postavil dlouhou, přímou zed a prohlásil, že můžeme předpokládat, že je nekonečně dlouhá. Matematik postavil malinkou ohrádku kolem sebe se slovy: Já jsem venku a co je za plotem, je uvnitř ohrady.[17] 3 Kruhová inverze Jedním méně používaným, ale přesto velmi zajímavým případem rovinné transformace je kruhová inverze. Oproti ostatním zmíněným transformacím nepatří toto zobrazení mezi afinní. Pokud je kruhová inverze v knihách o geometrii zmíněna, je převážně využita pouze ke konstrukčním úlohám právě na jejím elegantním užití stojí řešení některých z Apolloniových úloh o kružnicích. Definice 3.1: Kruhová inverze je transformace jednoznačně určená středem inverze S a koeficientem inverze k (k > 0). Při ní se každý bod X roviny (mimo středu S) zobrazí na bod X tak, že X leží na polopřímce SX a zároveň platí: SX SX = k Středu inverze S přiřazujeme bod M nevlastní bod roviny Rozšíření roviny Pozornému čtenáři jistě neunikne, že obraz středu inverze S podle definice nemůžeme jednoduše sestrojit. Středu inverze musíme jako obraz přiřadit nově zavedený bod nevlastní bod roviny M, který vyhovuje definici (zároveň leží na všech přímkách jdoucích středem inverze). Takto rozšířenou rovinu

21 3 KRUHOVÁ INVERZE 20 obr. 7 k definici inverze budeme nazývat Möbiovou rovinou. Kruhová inverze je tedy transformace, která zobrazuje jednoznačně všechny body roviny na Möbiovu rovinu Samodružné body Vyšetřeme nyní množinu všech samodružných bodů (X = X ). Pro ně můžeme psát: SX 2 = k, tedy SX = k. Množinou všech bodů, které mají od bodu konstantní vzdálenost je kružnice samodružnými body jsou body kružnice se středem S a poloměrem k. Podle této vlastnosti získala tato transformace své jméno kruhová. Pro zjednodušení dalších výpočtů položíme k = r 2. Jak snadno nahlédneme, platí: SX > r SX < r Všechny body roviny z vnější oblasti kružnice se zobrazí do její vnitřní oblasti SX < r SX > r Všechny body vnitřní oblasti kružnice se zobrazí do vnější oblasti SX = r SX = r Věta o samodružných bodech

22 3 KRUHOVÁ INVERZE Sestrojení obrazu Mějme dán střed inverze S, poloměr inverze k a bod X, který chceme zobrazovat. Úsečce o velikosti r, r = SX SX říkáme střední geometrická úměrná a sestrojíme jí pomocí Eukleidovy věty o odvěsně (obr. 8). Pak bereme SX jako přeponu (resp. část přepony pro SX < r) pravoúhlého trojúhelníka. Sestrojíme tečny ke kružnici inverze k, k(s, r) z bodu X a pata kolmice na SX procházející bodem dotyku tečny je obrazem bodu X v inverzi. Postup převrátíme, pokud SX < r. obr. 8 sestrojení obrazu v inverzi Definice 3.2: Pokud budeme zapisovat kruhovou inverzi, značení bude následující: I(S, k) : X X inverze podle středu S s koeficientem k. Je-li udána pouze kružnice inverze k tak následovně: I(k ) : X X

23 3 KRUHOVÁ INVERZE Rovnice transformace Čtenář jistě pochopil, že Descartova analytická geometrie se ukázala být velmi mocným, ale přesto relativně jednoduchým způsobem, jak řešit geometrické úlohy. Nejenže odpadá jakákoliv nutnost geometrické konstrukce, ale i složité a zdlouhavé hledání vztahů mezi objekty je nahrazeno řešením jednoduchých rovnic. Necht je dána inverze předpisem: I(S, k) : X [x, y] X [x, y ]. Uvažujme, že střed kružnice inverze má souřadnice S [s x, s y ]. Z kolinearity vektorů vyjádříme, že SX je násobkem vektoru SX: Zároveň z definice platí SX SX = k = r 2 : (x x s ) = a (x x s ) (3.1a) (y y s ) = a (y y s ), a R (3.1b) [(x x s ) 2 + (y y s ) 2] [(x x s ) 2 + (y y s ) 2] = k = r 2 [a2 (x x s ) 2 + a 2 (y y s ) 2] [(x x s ) 2 + (y y s ) 2] = r 2 a [ (x x s ) 2 + (y y s ) 2] = r 2 a = A dosazením do rovnic (3.1a) a (3.1b) získáme: r 2 (x x s ) 2 + (y y s ) 2 x = x s + r 2 (x x s ) (x x s ) 2 + (y y s ) 2, r 2 (y y s ) y = y s + (x x s ) 2 + (y y s ) 2 (3.2) Tedy bod X má souřadnice: ] X [x r 2 (x x s ) s + (x x s ) 2 + (y y s ) 2, y r 2 (y y s ) s + (x x s ) 2 + (y y s ) 2 (3.3)

24 3 KRUHOVÁ INVERZE 23 Věta 3.1 (Involutornost): Kruhová inverze je involutorní zobrazení tzn. že obraz bodu v inverzi se zobrazí v téže inverzi opět na původní vzor. Důkaz. Necht se X zobrazí na X. Pak platí SX = r2. V inverzi se SX stejným středem a koeficientem se X zobrazí na X. X leží na SX a tedy i na SX. Dále pro druhé zobrazení platí: SX = r2 SX = r2 r 2 SX = SX Důsledek: Kruhová inverze je involutorní zobrazení, podle (3.3) platí tedy (záměnou souřadnic vzoru a obrazu): [ X x s Polární vyjádření r 2 (x x s ) (x x s ) 2 + (y y s ) 2, y s + ] r 2 (y y s ) (x x s ) 2 + (y y s ) 2 (3.4) Mnohdy není křivka vyjádřena pomocí pravoúhlých souřadnic, ale je výhodnější jí zapsat v polárních souřadnicích. Bod v rovině je pomocí polárních souřadnic dán vzdáleností od počátku (ϱ) a úhlem vůči polární ose (t). Uvažujme tedy inverzi v přidružené polární soustavě souřadné podle počátku, kde I(S, k) : X X (obr. 9). Souřadnice bodů tedy zapišme ve tvaru: X [ϱ x, t x ], souřadnice X : X [ϱ x, t x]. Pak platí: ϱ x ϱ x = k = r 2 = ϱ x = r2 ϱ x t x = t x

25 3 KRUHOVÁ INVERZE 24 obr. 9 k polární soustavě 3.2 Obrazy geometrických útvarů v inverzi Aplikováním transformačních rovnic můžeme pozorovat, jak se mění jednotlivé křivky při zobrazení kruhovou inverzí. Budeme uvažovat střed inverze je v počátku KSS. Pak transformační rovnice (3.2) přechází na tvar: Obraz přímky x = r2 x x 2 + y 2, y = r2 y x 2 + y 2 (3.5) x = Obecná rovnice přímky je ve tvaru ax + by + c = 0. r2 x x 2 + y 2, y = r2 y x 2 + y 2 (3.6) Obrazem přímky v inverzi podle počátku soustavy souřadnic (rovnice 3.5) je zřejmě množina bodů vyhovující rovnici: ar 2 x x 2 + y 2 + br2 y x 2 + y 2 + c = 0 ar 2 x + br 2 y + c ( x 2 + y 2) = 0

26 3 KRUHOVÁ INVERZE 25 Rozlišme nyní speciální případ, kdy c = 0 (Přímka prochází středem inverze): ar 2 x + br 2 y = 0 ax + by = 0 Pro c 0 je obrazem kružnice. Snadno 7 se ukáže, že prochází počátkem obr. 10 obraz přímky, c = 0 soustavy souřadnic. Pokud přímka prochází středem inverze, jejím obrazem je shodná přímka přímka procházející středem je samodružná. obr. 11 obraz přímky, c 0 7 např. dosazením souřadnic bodu do rovnice

27 3 KRUHOVÁ INVERZE 26 Důsledek: Nevlastním bodem roviny procházejí všechny přímky Důkaz. Přímka se vždy zobrazí na rovnici, jíž vyhovuje střed inverze. Ve stejné inverzi se střed inverze jistě zobrazí na zobrazovanou přímku. A obrazem středu inverze je nevlastní bod roviny Obraz kružnice Uvažujme kružnici danou rovnicí (x a) 2 + (y b) 2 = c 2. V kruhové inverzi se zobrazí následovně: ( ) r 2 x 2 ( ) r 2 x 2 + y a y x 2 + y b = c 2 2 úpravou členů v závorkách, vynásobením (x 2 + y 2 ) 2 : ( r 2 x a ( x 2 + y 2)) 2 ( + r 2 y b ( x 2 + y 2)) 2 ( = c 2 x 2 + y 2) 2 r ( 4 x 2 + y 2) 2r ( 2 x 2 + y 2) (ax + by ) = ( c 2 a 2 b 2) ( x 2 + y 2) 2 r 4 2r 2 (ax + by ) = ( c 2 a 2 b 2) ( x 2 + y 2) Znovu speciální případ (kružnice prochází středem inverze, tj. c 2 = a 2 + b 2 ) oddělíme, pravá strana rovnice přejde v nulu: r 2 = 2 (ax + by ) V druhém případě, kdy c 2 a 2 +b 2 a kružnice neprochází středem, obrazem je opět kružnice. Kružnice procházející středem inverze, se zobrazí na přímku. 8 8 Jak ostatně vyplývá z věty 3.1 a z obrazu přímky, která neprochází středem.

28 3 KRUHOVÁ INVERZE 27 obr. 12 obraz obecné kružnice Kruhové křivky Přímky a kružnice budeme souhrně nazývat kruhové křivky. Ukázali jsme, že platí: Věta 3.2: Obrazem kruhové křivky je vždy kruhová křivka. Prochází-li kruhová křivka středem inverze, zobrazí se na přímku. Jde-li mimo střed inverze, zobrazuje se na kružnici. 3.3 Obrazy kuželoseček Kuželosečky jsou křivky, které je možno získat jako průnik rotační kuželové plochy s rovinou. Jejich obecnou rovnicí je vždy rovnice 2. řádu s proměnnými x a y. Mezi tyto křivky řadíme kružnici, elipsu, parabolu a hyperbolu. Obrazem obecné kuželosečky v kruhové inverzi je kvartika - tj. křivka

29 3 KRUHOVÁ INVERZE 28 obr. 13 střed inverze leží na kružnici čtvrtého řádu. Obecnou rovnicí kuželosečky rozumějme rovnici tvaru 9 : Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 Pak podle (3.5) tato rovnice přejde do tvaru: r ( 4 Ax 2 + Bx y + Cy 2) + r 2 (Dx + Ey ) ( x 2 + y 2) + F ( x 2 + y 2) 2 = Parabola Parabola je křivka kterou získáme řezem kuželové plochy neprocházející jejím vrcholem a rovnoběžným právě s jednou přímkou plochy. Je-li osa paraboly rovnoběžná s osou y, určuje graf kvadratické funkce. Planimetricky je definována podle své vlastnosti: Parabola je množina všech bodů v rovině, které mají stejnou vzdálenost od přímky (řídící přímka) a bodu (ohnisko). 10 Rovnici paraboly si bez újmy na obecnosti přepíšeme do tvaru: 9 Více v [10] 10 Viz [13] y = ax 2 + b

30 3 KRUHOVÁ INVERZE 29 Transformací jí upravíme do tvaru: ( ) r 2 y r 2 x 2 + y = a x 2 + b 2 x 2 + y 2 r 2 y ( x 2 + y 2) = ar 4 x 2 + b ( x 2 + y 2) 2 Pokud prochází parabola středem inverze (b = 0), můžeme rovnici upravit do tvaru: y ( x 2 + y 2) = ar 2 x 2 Tato křivka se nazývá Dioklova kissoida a má vrchol v [0, 0] a její asymptota obr. 14 Dioklova kissoida je přímka daná rovnicí y = a. Dalším způsobem jak můžeme kissoidu získat, je zobrazováním paraboly v osové souměrnosti. Pohybujeme- li bodem B po parabole p (viz [12]), jejím obrazem v osové souměrnosti podle tečny v bodě B je p. Množina všech vrcholů parabol p tvoří kissoidu. Nakonec si ukážeme jednu z mnoha zajímavých vlastností kissoidy: Necht je dána kružnice vepsaná pásu (obr. 15), dotýkající se vrcholu B. Zvolme libovolný bod A na asymptotě. Pak spojnice AB se protíná s k v bodě F, s kissoidou v C. Platí: AC = BF, AF = BC.

31 3 KRUHOVÁ INVERZE 30 obr. 15 stejné délky Obraz paraboly, která neprochází středem inverze rozčleníme do skupin podle toho, zda je střed inverze ve vnější či vnitřní oblasti paraboly. obr. 16 lakrimoida Pokud je střed ve vnější oblasti, obrazem je křivka, jejíž graf má tvar kapky. Této křivce budeme říkat lakrimoida (lat. lacrima slza). Lakrimoida je [ obecná ] kvartika, souměrná podle osy y. Má dva průsečíky s osou y: [0, 0], 0, r2. Lakrimoida je omezená křivka, souřadnicová hodnota y mezního b

32 3 KRUHOVÁ INVERZE 31 bodu 11 je rovna: ( ab ab + 16 a2 b 2) r 2 4b (1 + 4 ab) Lakrimoida má jeden inflexní bod - jeho y-ová souřadnice je ( 12 ab ab + 12 a2 b 2) r 2 a (4 ab 3) (1 + 4 ab) Je-li střed inverze ve vnitřní oblasti paraboly, získáme křivku zvanou kardioida (obr. 17). Kotálíme-li kružnici k po obvodu kružnice l stejného poloměru, obr. 17 kardioida vzniklá inverzí paraboly pak pevně daný bod A na kružnici k opisuje právě tuto křivku.[12] Hyperbola, mocninné funkce Hyperbolu získáme jako řez dvojitého kužele rovinou rovnoběžnou s osou kužele. Planimetricky je hyperbola definována jako množina všech bodů, 11 Po vyjádření y z rovnice lakrimoidy a následného položení první derivace podle y nule. Pro body inflexe položíme rovnu nule druhou derivaci podle y. Vyjádřeno pomocí programu Maple.

33 3 KRUHOVÁ INVERZE 32 které mají od dvou bodů (ohnisek) konstantní rozdíl vzdáleností, menší než je vzdálenost ohnisek. Příkladem hyperboly je graf mocninné funkce y = k x. Budeme uvažovat pouze hyperbolu ve středové poloze: xy = k r 2 x x 2 + y r 2 y 2 x 2 + y = k 2 r 4 x y = k ( x 2 + y 2) 2 Hyperbola se v kruhové inverzi zobrazí na Bernoulliho lemnniskátu racionální křivku čtvrtého stupně. Bernoulliho lemniskáta je množina všech bodů, které mají od dvou daných bodů E, F (ohnisek) vzdálených od sebe 2a, konstatní součin vzdáleností, roven a 2. obr. 18 Bernoulliho lemniskáta Bernoulliho lemniskáta je speciálním případem Cassiniových oválů střed spojnice ohnisek leží právě na lemniskátě. Graf podobný hyperbole mají i mocninné křivky se zápornou mocninou. Přestože tyto křivky nespadají pod kuželosečky, tak je zde zmíním. Graf funkce y = 1 probíhá v 1. a 4. kvadrantu. Umocníme dvěmi, abychom x 2 získali křivku probíhající všemi kvadranty: x 4 y 2 = 1.

34 3 KRUHOVÁ INVERZE 33 Její obraz v inverzi má tvar čtyřlístku (obr. 19). obr. 19 obraz mocninné funkce Elipsa Narozdíl od paraboly a hyperboly je elipsa uzavřená křivka. Elipsa vznikne řezem kužele rovinou, která není kolmá na jeho osu a neprochází jeho vrcholem. Elipsa je množinou všech bodů, jež mají od daných dvou bodů (ohnisek) konstantní součet vzdáleností. Střed spojnice ohnisek označujeme jako střed elipsy. Elipsa se středem S [a, b] s poloosami 12 e, f má rovnici ( ) 2 ( ) 2 x a y b + = 1 Aplikujeme-li transformaci: e f ) 2 ) 2 ( ( r 2 x r a 2 y b x 2 +y 2 x + 2 +y 2 = 1 e 2 f 2 12 Přímka procházející ohnisky protíná elipsu v bodech A, B. Vzdálenost SA = e označujeme jako hlavní poloosu. Kolmice ve středu elipsy na AB protíná elipsu v bodech C, D. Vzdálenost SC = f označujeme jako vedlejší poloosu

35 3 KRUHOVÁ INVERZE 34 Substituce: t = (x 2 + y 2 ), následně vynásobení (eft) 2 f ( 2 r 2 x at ) 2 ( + e 2 r 2 y bt ) 2 = (eft) 2 f ( 2 r 4 x 2 2r 2 x at + a 2 t 2) 2 ( + e 2 r 2 y 2r 2 y bt + b 2 t 2) 2 = (eft) 2 r ( 4 f 2 x 2 + e 2 y 2) 2r 2 t ( ax f 2 + by e 2) = t ( 2 e 2 f 2 f 2 a 2 e 2 b 2) Zanedbejme případ, kdy je hlavní poloosa elipsy rovnoběžná s osou y (a b). 1. Střed elipsy ve středu inverze Má-li elipsa střed v počátku soustavy souřadnic, platí a = b = 0. Rovnice pak přechází na tvar: r ( 4 f 2 x 2 + e 2 y 2) = ( x 2 + y 2) 2 (ef) 2 Speciálně pro ef = r 2 (elipsa má vnitřní dotyk s kružnicí) dostáváme rovnici Boothovy lemniskáty : ( f 2 x 2 + e 2 y 2) = ( x 2 + y 2) 2 obr. 20 Boothova lemniskáta Boothova lemniskáta (obr. 20) má dvojici tečen rovnoběžmých s osou y, každá se dotýká lemniskáty ve dvou bodech.

36 3 KRUHOVÁ INVERZE Střed inverze leží na elipse Pokud střed inverze leží na elipse, obrazem bude otevřená křivka. Podmínka, aby střed ležel na elipse je: (af) 2 + (be) 2 = (ef) 2. Rovnice transformované křivky přejde v: r ( 2 f 2 x 2 + e 2 y 2) = 2 ( x 2 + y 2) ( ax f 2 + by e 2) obr. 21 konchoida (a = 2, b = 0, e = 2, f = 1) Tato křivka se nazývá konchoida a je obecnou kubikou s izolovaným bodem O a pro a = 0 (resp. b = 0) je její asymptota je rovnoběžná s osou x (resp. y)

37 4 INVERZE V PROSTORU E Inverze v prostoru E 3 V matematické teorii i aplikacích se nepočítá jen s geometrickými útvary v rovině. Vedle toho musíme zkoumat zákonitosti a vlastnosti zobecnění těchto útvarů a dalších těles v prostoru. Ukažme si analogii kruhové inverze v dalším nám představitelném rozměru: v trojrozměrném prostoru, kde hovoříme o kulové inverzi. Definice 4.1: Analogií kruhové inverze v prostoru je transformace jednoznačně určená středem inverze S a koeficientem inverze k (k > 0). Při ní se každý bod X prostoru (mimo středu S) zobrazí na bod X, X SX a zároveň platí: SX SX = k Obrazem středu inverze S rozumějme bod M nevlastní bod prostoru. E 3 Ze stejných důvodů, jako v kapitole 3.0.1, musíme i Eukleidův prostor rozšířit o nevlastní Möbiův bod. Takto rozšířenému prostoru budeme analogicky říkat Möbiův prostor M 3. Nechá se snadno ukázat, že pokud provedeme restrikci sférické inverze na M 3 podle kulové plochy κ na Möbiovu rovinu M 2 procházející středem inverze, tak dostaneme kruhovou inverzi podle kružnice, která vznikne řezem dané roviny a sféry. Kulová inverze patří mezi konformní zobrazení.

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky G y m n á z i u m J i h l a v a Výroky, množiny jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot důkazy

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

Základní vlastnosti křivek

Základní vlastnosti křivek křivka množina bodů v rovině nebo v prostoru lze chápat jako trajektorii pohybu v rovině či v prostoru nalezneme je také jako množiny bodů na ploše křivky jako řezy plochy rovinou, křivky jako průniky

Více

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou

ROTAČNÍ KVADRIKY. Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou ROTAČNÍ KVADRIKY Definice, základní vlastnosti, tečné roviny a řezy, průsečíky přímky s rotační kvadrikou Rotační kvadriky jsou rotační plochy, které vzniknou rotací kuželosečky kolem některé její osy.

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Geometrické transformace v prostoru Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace stejný přístup jako ve 2D shodné transformace (shodnosti,

Více

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA

MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA MATEMATIKA STUDIJNÍ POŽADAVKY PRO JEDNOTLIVÉ ROČNÍKY STUDIA Osmileté studium 1. ročník 1. Opakování a prohloubení učiva 1. 5. ročníku Číslo, číslice, množiny, přirozená čísla, desetinná čísla, číselné

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Maturitní témata z matematiky

Maturitní témata z matematiky Maturitní témata z matematiky 1. Lineární rovnice a nerovnice a) Rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou absolutní hodnota reálného čísla definice, geometrický význam, srovnání řešení rovnic s abs. hodnotou

Více

Maturitní témata profilová část

Maturitní témata profilová část Seznam témat Výroková logika, úsudky a operace s množinami Základní pojmy výrokové logiky, logické spojky a kvantifikátory, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), pravdivostní tabulky,

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky

Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky. Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Učební plán 4. letého studia předmětu matematiky Ročník I II III IV Dotace 3 3+1 2+1 2+2 Povinnost povinný povinný povinný povinný Učební plán 6. letého studia předmětu matematiky Ročník 1 2 3 4 5 6 Dotace

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY

ANALYTICKÁ GEOMETRIE ELIPSY Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ANALYTICKÁ

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY

POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY TU v LIBERCI FAKULTA MECHATRONIKY POŽADAVKY pro přijímací zkoušky z MATEMATIKY Tematické okruhy středoškolské látky: Číselné množiny N, Z, Q, R, C Body a intervaly na číselné ose Absolutní hodnota Úpravy

Více

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr

Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Geometrické transformace v rovině Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Shodné transformace 1 Shodné transformace shodné transformace (shodnosti, izometrie) převádějí objekt

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. volné rovnoběžné promítání průmětna Předmět: Matematika Náplň: Stereometrie, Analytická geometrie, Komplexní čísla Třída: 3. ročník Počet hodin: 4 hodiny týdně Pomůcky: PC a dataprojektor Volné rovnoběžné promítání Zobrazí ve volném rovnoběžném

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání:

Matematika. ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: Studijní obor: Aplikovaná chemie Učební osnova předmětu Matematika Zaměření: ochrana životního prostředí analytická chemie chemická technologie Forma vzdělávání: denní Celkový počet vyučovacích hodin za

Více

3.2 3DgrafyvMaple 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK

3.2 3DgrafyvMaple 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK > A2:=augment(submatrix(A,1..3,[1]),b,submatrix(A,1..3,[3])); Potom vypočítáme hodnotu x 2 : > x2:=det(a2)/det(a); Zadání matice. Matici M typu (2, 3) zadáme

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0

Geometrie pro FST 2. Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Geometrie pro FST 2 Pomocný učební text František Ježek, Světlana Tomiczková Plzeň, 28. srpna 2013, verze 6.0 Předmluva Tento pomocný text vznikl pro potřeby předmětu Geometrie pro FST 2, který vyučujeme

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011

MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 MATURITNÍ OTÁZKY Z MATEMATIKY PRO ŠKOLNÍ ROK 2010/2011 1. Výroková logika a teorie množin Výrok, pravdivostní hodnota výroku, negace výroku; složené výroky(konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence);

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět

Cvičení z matematiky jednoletý volitelný předmět Název předmětu: Zařazení v učebním plánu: Cvičení z matematiky O8A, C4A, jednoletý volitelný předmět Cíle předmětu Obsah předmětu je zaměřen na přípravu studentů gymnázia na společnou část maturitní zkoušky

Více

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují

Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

Afinní zobrazení, jeho regularita a (totální) singularita. Asociovaný homomorfismus. Analytické

Afinní zobrazení, jeho regularita a (totální) singularita. Asociovaný homomorfismus. Analytické Slezská univerzita v Opavě Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1 746 01 Opava Tel. 553 684 661 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Téma 3. Afinní zobrazení Opakování Dělicí poměr; Homomorfismus vektorových prostorů,

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body

Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 Ročníková práce Konstrukce kuželosečky zadané pěti body Jakub Borovanský 4. C 2011/2012 Zadavatel: Mgr. Ondřej Machů Přísahám, že jsem zadanou ročníkovou

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika.

B) výchovné a vzdělávací strategie jsou totožné se strategiemi vyučovacího předmětu Matematika. 4.8.3. Cvičení z matematiky Předmět Cvičení z matematiky je vyučován v sextě a v septimě jako volitelný předmět. Vzdělávací obsah vyučovacího předmětu Cvičení z matematiky vychází ze vzdělávací oblasti

Více

Geodézie a pozemková evidence

Geodézie a pozemková evidence 2012, Brno Ing.Tomáš Mikita, Ph.D. Geodézie a pozemková evidence Přednáška č.2 - Kartografická zobrazení, souřadnicové soustavy Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky

KOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE

Více

Vzdělávací obor matematika

Vzdělávací obor matematika "Cesta k osobnosti" 6.ročník Hlavní okruhy Očekávané výstupy dle RVP ZV Metody práce (praktická cvičení) obor navázání na již zvládnuté ročník 1. ČÍSLO A Žák používá početní operace v oboru de- Dělitelnost

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06

Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 Základy matematiky kombinované studium 714 0365/06 1. Některé základní pojmy: číselné množiny, intervaly, operace s intervaly (sjednocení, průnik), kvantifikátory, absolutní hodnota čísla, vzorce: 2. Algebraické

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách.

ŠROUBOVÉ PLOCHY. 1. Základní úlohy na šroubových plochách. ŠROUBOVÉ PLOCHY 1. Základní úlohy na šroubových plochách. Šroubová plocha Φ vzniká šroubovým pohybem křivky k, která není trajektorií daného šroubového pohybu. Je-li pohyb levotočivý (pravotočivý je i

Více

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009)

Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu. Strojírenství. (platné znění k 1. 9. 2009) Střední průmyslová škola Jihlava tř. Legionářů 1572/3, Jihlava Dodatek č. 3 ke školnímu vzdělávacímu programu Strojírenství (platné znění k 1. 9. 09) Tento dodatek nabývá platnosti dne 1. 9. 13 (počínaje

Více

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová

Kuželosečky. Copyright c 2006 Helena Říhová Kuželosečk Copright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Kuželosečk 3 1.1 Kružnice... 3 1.1.1 Tečnakekružnici..... 3 1.2 lipsa.... 4 1.2.1 Rovniceelips...... 5 1.2.2 Tečnakelipse... 7 1.2.3 Konstrukceelips.....

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci.

GEOMETRICKÁ OPTIKA. Znáš pojmy A. 1. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Znáš pojmy A. Znázorni chod význačných paprsků pro spojku. Čočku popiš a uveď pro ni znaménkovou konvenci. Tenká spojka při zobrazování stačí k popisu zavést pouze ohniskovou vzdálenost a její střed. Znaménková

Více

Plochy stavebně-inženýrské praxe

Plochy stavebně-inženýrské praxe Plochy stavebně-inženýrské praxe 2. Rotační plochy In: František Kadeřávek (author): Plochy stavebně-inženýrské praxe. (Czech). Praha: Jednota československých matematiků a fysiků, 1950. pp. 8 31. Persistent

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

Polibky kružnic: Intermezzo

Polibky kružnic: Intermezzo Polibky kružnic: Intermezzo PAVEL LEISCHNER Pedagogická fakulta JU, České Budějovice Věta 21 z Archimedovy Knihy o dotycích kruhů zmíněná v předchozím dílu seriálu byla inspirací k tomuto původně neplánovanému

Více

Jak pracovat s absolutními hodnotami

Jak pracovat s absolutními hodnotami Jak pracovat s absolutními hodnotami Petr Matyáš 1 Co to je absolutní hodnota Absolutní hodnota čísla a, dále ji budeme označovat výrazem a, je jeho vzdálenost od nuly na ose x, tedy je to vždy číslo kladné.

Více

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost:

Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá. z ] leží na kulové ploše, právě když platí = r. Dosadíme vzorec pro vzdálenost: 753 Kulová plocha Předpoklady: 750 Pedagogická poznámka: Celý obsah se za hodinu stihnout nedá Kulová plocha = kružnice v prostoru Př : Vyslov definici kulové plochy Kulová plocha je množina všech bodů

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule,

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015

Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,

Více

5. Konstrukční planimetrické úlohy

5. Konstrukční planimetrické úlohy 5 Konstrukční planimetrické úlohy 5.1 Řešení konstrukčních úloh 5. Konstrukční planimetrické úlohy Konstrukční úlohou rozumíme úlohu, ve které je požadováno sestrojení jistého geometrického útvaru (alespoň

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

Deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie Deskriptivní geometrie Stavebnictví RNDr. Milan Vacka 2013 České Budějovice 1 Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0527

CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

Klasické třídy ploch

Klasické třídy ploch Klasické třídy ploch Geometrické vidění světa KMA/GVS ak. rok 2013/2014 letní semestr Klasické třídy ploch klasické plochy jsou často generovány kinematicky, a to pohybem tvořicí křivky takto např. vznikají

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem)

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA. pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro studijní obory SOŠ a SOU (8 10 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy dne 14. 6. 2000,

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy,

označme j = (0, 1) a nazvěme tuto dvojici imaginární jednotkou. Potom libovolnou (x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (0, 1)(y, 0) = x + jy, Komplexní čísla Množinu všech uspořádaných dvojic (x, y) reálných čísel x, y nazýváme množinou komplexních čísel C, jestliže pro každé dvě takové dvojice (x, y ), (x 2, y 2 ) je definována rovnost, sčítání

Více

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34

Matematika. Kamila Hasilová. Matematika 1/34 Matematika Kamila Hasilová Matematika 1/34 Obsah 1 Úvod 2 GEM 3 Lineární algebra 4 Vektory Matematika 2/34 Úvod Zkouška písemná, termíny budou včas vypsány na Intranetu UO obsah: teoretická a praktická

Více

11.1.1 Přehled středoškolské matematiky

11.1.1 Přehled středoškolské matematiky .. Přehled středoškolské matematiky Předpoklady: Pedagogická poznámka: Opakovací díl učebnice je zamýšlen jako shrnutí středoškolské matematiky a tedy buď příprava na státní maturitu vyšší úrovně, nebo

Více

Matematika kr sy. 5. kapitola. V hoda pr ce s grupami

Matematika kr sy. 5. kapitola. V hoda pr ce s grupami 5. kapitola Matematika kr sy V hoda pr ce s grupami Původním úkolem geometrie byl popis různých objektů a vztahů, pozorovaných v okolním světě. Zrakem vnímáme nejen struktury tvaru objektů, všímáme si

Více

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA

MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY. Učební osnova předmětu MATEMATIKA MINISTERSTVO ŠKOLSTVÍ, MLÁDEŽE A TĚLOVÝCHOVY Učební osnova předmětu MATEMATIKA pro střední odborné školy s humanitním zaměřením (6 8 hodin týdně celkem) Schválilo Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy

Více