Téma: Planetární elipsoidy

Transkript

1 Téma: Planetární elipsoidy Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc Uvažujme v prvním přiblížení planetu jako dokonalou kouli poloměru r, střední(průměrné) hustoty µ, rotující kolem své osy úhlovou rychlostí ω. Na hmotný bod hmotnosti m na povrchu planety, nacházející se v místě P(obr.1), působí gravitační síla planety G 0,mířící(zapředpokladurovnoměrnéhorozloženíhmotnosti)dogeometrickéhostředu koule. V inerciální soustavě souřadnic posouvající se po ekliptice kolem Slunce, působí na výše zmíněný bod(vzhledem k rovnoměrnosti rotace kolem osy) ještě dynamická (setrvačná)odstředivásíla Omířícíkolmokoserotaceplanety.Oběpopisovanésíly jsou na obr.1 znázorněny na poledníkovém řezu planety bodem P. Na bod P působící výslednásíla G= G 0 + Omásměrodkloněnýoveličinu ϕodsměrugravitačnísílydo středuplanety.sílu Gnazývámetíhovousilouajejísměrukazujenazemskémpovrchu použitá olovnice(podle které pak určujeme zenit, nadir, obzorníkovou hlavní rovinu a potažmo i obzorníkové souřadnice). Vyznačme ještě rovinu rovníku planety jakožto rovinu kolmou k ose rotace procházející středem planety(na poledníkovém řezu v obr.1 je znázorněna jako přímka výše popsaných vlastností). Odchylka ϕ spojnice bodu P se středem planety od roviny rovníku definuje tzv. planetocentrickou šířku. Tento úhel nelze fyzikální cestou nijak měřit. Úhel, který dokážeme měřit, je tzv. planetární šířka ϕ (obr.1),kteroudefinujemejakoodchylkusměrutíhovésílyodrovinyrovníku.pro Zemi se tento úhel nazývá zeměpisná šířka bodu P. V další části tématu popíšeme rozdíl ϕ=ϕ ϕvzávislostinaplanetocentrickéšířce ϕ. o N r p G o ϕ P G O ϕ ϕ, r ω, N Obrázek 1: BodPsezřejměpohybujepokružniciopoloměru r p = rcos ϕ(obr.1).provelikost odstředivé síly proto dostáváme vztah 1

2 O=mr p ω = mrω cos ϕ. (1) Pro velikost gravitační síly, působící na bod na povrchu homogenního kulového tělesa, dostáváme podle Newtonova gravitačního zákona výraz G 0 = κ mm r, () kde Mjehmotnostplanetyaκ= [m 3 kg 1 s ]jestuniverzálnígravitační konstanta. Protože planetu uvažujeme homogenní kulového tvaru, dostáváme pro její hmotnost vztah Dosazením(3) do() vznikne M= 4 3 πµr3. (3) G 0 = 4 πκµrm=kµrm, (4) 3 kde k= 4 3 πκ= jezavedenánovákonstanta.aplikujeme-linavektorový trojúhelník sil na obr.1 sínovou větu, dostaneme Aplikací kosínové věty na tentýž trojúhelník máme G= sin ϕ sin ϕ = O G. (5) G 0+ O G 0 Ocos ϕ. (6) Dosazením(6)do(5)aposlézedosazenímdovznikléhovýrazu(4)a(1),dostanemepo malé úpravě ω sinϕ sin ϕ= k µ + ω cos ϕ(ω kµ). (7) Přitétoúpravěbylovyužitogoniometrickéhovzorcesinϕ=sin ϕcos ϕ.zezískaného výsledného výrazu je patrno, že závislost změny planetární šířky na planetocentické šířce se mění pouze s hustotou planety a úhlovou rychlostí její rotace kolem osy. Pro zmíněnouúhlovourychlostrotacezřejměplatí ω= π,kde T jesiderickádobaoběhu T planety kolem osy(tedy délka hvězdného dne na planetě v sekundách). Poslední dvě veličiny pro jednotlivé planety ukazuje tabulka 1. Protože Merkur a Venuše mají úhlové Planeta T[dni,hodiny,minuty] T[s] ω[rad/s] Merkur 58d15h30m Venuše 43d00h14m Země 3h56m Mars 4h37m Jupiter 9h50m Saturn 10h14m Uran 4h00m Neptun 18h4m Tabulka 1:

3 rychlostisvýchrotacíccaodvařádynižšínežostatníplanety,jezvýrazu(7)zřejmé,že rozdíl šířek pro tyto dvě planety v celém rozsahu ϕ bude zanedbatelný. U ostatních planet jsou závislosti(7) znázorněny na obr.. Z obrázku je patrno, že pro všechny planety závislost vykazuje výrazné maximum nabývané pro planetocetrické šířky poněkud nižší než 45 stupňů. Nejvyšších hodnot dosahují rozdíly šířek pro řídké planety(nízká hustota µ) s rychlou rotací(vysoká úhlová rychlost ω). Poznamenejme ještě, že planetární šířka je o uvedený rozdíl šířek větší než příslušná šířka planetocentrická(obr.1). Na obr.3 je zmíněná závislost uvedena speciálně pro Zemi. V tabulce jsou, pro planety mající nezanedbatelné rozdíly šířek, znázorněny významné parametry, maximální rozdíl šířek(v obloukových minutách) a planetocentrická šířka, ve které se uvedené maximum nabývá (ve stupních). Planeta µ[kgm 3 ] T[s] ϕ max [ ] ϕ max [ o ] Země Mars Jupiter Saturn Uran Neptun Tabulka : Srovnani zmen planetarnich a planetocentrickych sirek vybranych planet Zeme Mars Jupiter Saturn Uran Neptun zmena sirky φ [minuty] planetocentricka sirka φ [ o ] Obrázek : 3

4 6 Zavislost zmeny planetarni a planetocentricke sirky Zeme na planetocentricke sirce 5 zmena sirky φ [minuty] planetocentricka sirka φ [ o ] Obrázek 3: Ukazuje se, že pro všechny planety je odstředivá síla vztažená na jednotku hmotnosti (čili dostředivé zrychlení při kruhovém pohybu bodu P) menší(někdy i podstatně) než gravitační síla vztažená na jednotku hmotnosti(čili povrchové gravitační zrychlení planety). Matematicky řečeno je absolutní hodnota druhého sčítance pod odmocninou ve jmenovateli výrazu(7) vždy menší než první sčítanec. Lze proto(při toleranci jisté nepřesnosti) onen druhý sčítanec vůči prvnímu zanedbat, čímž po jednoduché úpravě dostaneme přibližný(ale podstatně jednodušší) vztah pro rozdíl šířek ve tvaru sin ϕ= ω sinϕ kµ Derivací této rovnice podle ϕ obdržíme po malé úpravě = π kµtsinϕ. (8) d ϕ dϕ = 4π kµt cosϕ cos ϕ. (9) Nulová derivace(jakožto nutná podmínka extrému) je proto ekvivalentní vztahu cosϕ=0 ϕ=± π 4. Aniž bychom určovali druhou derivaci pro zjištění kvality extrému, jest z názoru zřejmé, žepro ϕ=45 o nabývázkoumanáfunkcemaxima.totomaximummáhodnotu(vzniklou dosazením ϕ= π 4 do(8)) ϕ max = ϕ ϕ=45 o=arcsin π kµt. (10) 4

5 Tento extrém rozdílu šířek závisí opět pouze na hustotě a době oběhu(potažmo úhlové rychlosti) planety při její rotaci kolem osy. Pro planety, pro něž má tento extrém významnější hodnotu, je tento uveden(v obloukových minutách) v tabulce 3(její druhý řádek). Zároveň je v této tabulce(třetí řádek) uveden i skutečný extrém přesného výrazu (7)(viz též tabulka ). Tento extrém nebyl určen exaktním použitím prostředků matematické analýzy(vzniklá rovnice by byla bez použití numerických metod neřešitelná transcendentní rovnice), nýbrž numerickým určením maximální hodnoty při vyčíslení (7)pro ϕzintervalu(0,90)[ o ]pokroku0.01[ o ].Ztabulkyjepatrno,žeskutečnýextrém jeoněcovětšíazároveňsilzeudělatpředstavuochyběpřibližnéhovýrazu(8). Planeta Země Mars Jupiter Saturn Uran Neptun ϕ maxaprox [ ] ϕ maxskut [ ] Tabulka 3: Jepatrno,žechybaextrémurostesjehovzrůstajícíhodnotou.ProZemiaMars jechybaccapromile,prourananeptunccaprocento.protytoplanetylzetedypro výpočet rozdílu šířek použít jednodušší výraz(8). Největší chybu vykazuje Saturn, a to okolo 8 procent. Pro ilustraci uvádíme na obrázku 4 pro Saturna srovnání průběhu změny šířky ϕ v závislosti na planetocentrické šířce ϕ podle přesného vztahu(7) a podle přibližného vztahu(8). 300 Srovnani presneho a priblizneho vyrazu pro zmenu sirky Saturna presne priblizne 50 zmena sirky φ [minuty] planetocentricka sirka φ [ o ] Obrázek 4: Poznámka: Planety při vzniku sluneční soustavy neměly pevný povrch a rotovaly kolem svých os. Tuhnutí povrchu probíhalo tak, aby výsledná tíhová síla měla nositelku normálovou k povrchu. Této vlastnosti vyhovuje(na pólech zploštělý) rotační elipsoid. 5

6 Toto těleso jest také druhým přiblížením tvaru planet. Libovolný poledníkový řez planetoujepakelipsaopoloosách a(hlavní)ab(vedlejší).normála nkelipsevpovrchovém boděp(obr.5)potomdefinujeplanetárníšířku ϕ,zatímcospojnicebodupsestředems elipsy definuje planetocentrickou šířku ϕ. Odchylka těchto dvou přímek vyjadřuje změnu šířek ϕ. Metodami analytické geometrie lze zjistit(podrobnosti vynecháme), že N n ϕ. S ϕ ϕ, t N, Obrázek 5: ( ) a tgϕ. tgϕ = (11) b Protožefunkcetangensjenaintervalu(0; π)rostoucí,plyneodtud,žerozdílšířek ϕ se zvětšuje se vzrůstající odlišností velikostí poloos elipsy. Tuto odlišnost kvantifikujeme bezrozměrnou veličinou z= a b =1 b a a, kterou nazýváme zploštěním elipsy. Zřejmě z 0; 1) a kružnice má nulové zploštění. Zploštění planety tedy roste se vzrůstajícím maximálním rozdílem šířek. Nejvíce zploštělé jsou tedy řídké, rychle rotující velké vnější planety. Prakticky bez zploštění(kulové) jsou vnitřní extrémně pomalu rotující planety. Uprostřed množiny pak leží Země a Mars s malým zploštěním. V tabulce 4 uvádíme pro ilustraci zploštění planet zaokrouhleno na jedinou platnou cifru. Planeta Merkur Venuše Země Mars Jupiter Saturn Uran Neptun Zploštění Tabulka 4: Poznámka: Často se zploštění planet vyjadřuje ve tvaru poměru. Z jiných předmětů jistě víte, že přesná hodnota zploštění Země je 1:97, což činí