Někdy je výhodné nerozlišovat mezi odrazem a lomem tím způsobem, že budeme pokládat odraz za lom s relativním indexem lomu n = 1.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Někdy je výhodné nerozlišovat mezi odrazem a lomem tím způsobem, že budeme pokládat odraz za lom s relativním indexem lomu n = 1."

Transkript

1 nauka o optickém zobrazování pracuje s pojmem světelného paprsku úzký svazek světla, který by vycházel z malého osvětleného otvoru v limitním případě, kdy by se jeho příčný rozměr blížil k nule a stejně tak i vlnová délka světla čili v geometrické optice nepřihlížíme ke konečné vlnové délce a předpokládáme přímočaré šíření světla stejně tak neuvažujeme koherentní skládání vln, takže v úvahách o intenzitě se užívá prosté superpozice ( nezávislost paprsků) toto zjednodušení vyhovuje pro rozsáhlou část geometrické optiky včetně teorie optických soustav. Jde-li však o zkoumání struktury optických obrazů a o otázky rozlišovací schopnosti, pozbývá pojem paprsku jako geometrické přímky svůj dobrý smysl a je nutno vyjít z vlnové teorie, konkrétně z teorie ohybu V optických soustavách se chod paprsků modiikuje lomem a odrazem: zákony odrazu a lomu pro izotropní prostředí a index lomu průhledného prostředí jsou téměř jedinými yzikálními pojmy v geometrické optice vše ostatní je geometrie Odraz a lom na rovinné ploše zákon odrazu α = α n α α zákon lomu sinα = nsinβ, n β n kde n = je relativní index lomu n Někdy je výhodné nerozlišovat mezi odrazem a lomem tím způsobem, že budeme pokládat odraz za lom s relativním indexem lomu n R =. Zobrazení rovinným zrcadlem je znázorněno na obr.. Čárkované body dostaneme prodloužením paprsků vstupujících do oka za rovinu zrcadla. Bod A je zdánlivým (virtuálním) obrazem bodu A. Body A, A jsou symetricky sdruženy podle roviny zrcadla. zrcadlové obrazy pravotočivý šroub se zobrazí jako levotočivý Zobrazování rovinným zrcadlem je jediné optické zobrazování, které nemá žádné vady!

2 Obr.. Zobrazení rovinným zrcadlem. Zobrazení lámavou plochou už není bodové, je nutno brát v úvahu disperzi indexu lomu (ta způsobuje tzv. barevnou (chromatickou) vadu) a jednak to, že poloha obrazu závisí na tom, pod jakým úhlem pozorujeme předmět v druhém prostředí (obr..). Obr.. Zobrazení lomem. Neexistuje společný průsečík více než dvou svazků, a proto ani neexistuje opravdový obraz předmětového bodu P. Pro získání alespoň zřetelného obrazu se musíme omezit na tzv. paraxiální paprsky svírající s optickou osou zobrazovací soustavy pouze malý úhel (pro lámavou plochu je optická osa obvykle kolmicí k rozhraní). Pro paraxiální paprsky lze zákon lomu psát ve tvaru nα n β π neboť sinα tgα α pro α V případě paraxiálních paprsků je rozmazání (distribuce průsečíků různých paprsků) malé. takže lze určit přibližnou polohu obrazového bodu jako průsečíku dvou paprsků, z nichž jeden je kolmý k rozhraní.

3 Obr. 3. Paraxiální a neparaxiální paprsky. Zdánlivá hloubka Obr. 4. Zdánlivá hloubka předmětu ve vodě. Protože x x tgα = a tg β = y y x x bude pro paraxilání paprsky platit n = n y y a proto obraz O předmětového bodu P pozorujeme ve zdánlivé hloubce n y y n Pro předmět ve vodě ( n =, 33 ) pozorovaný ze vzduchu ( n = ) tedy bude y y,75y, 33 čili předměty pod vodou se nám jeví blíže než ve skutečnosti jsou. bodové (stigmatické) zobrazení P( x, y, z) P ( x, y, z ) kde PP, je dvojice sdružených bodů ( P je bod v předmětovém a P v obrazovém prostoru) přiřazení bod předmětového prostoru bod obrazového prostoru 3

4 přímka v předmětovém prostoru přímka v obrazovém prostoru rovina v předmětovém prostoru rovina v obrazovém prostoru kolineace (kolineární zobrazení) hovoříme o sdružených (konjugovaných) bodech, přímkách a rovinách budeme se zabývat pouze osově symetrickými soustavami (tím např. vyloučíme válcové čočky), kde osa symetrie je xx, (splývají) potom budou souřadnice y a z respektive y a z ekvivalentní a můžeme se omezit pouze na řešení v rovinách ( xy ) a ( xy ) v případě složených soustav se omezíme pouze na centrované soustavy (tj. soustavy, jejichž osy symetrie splývají) Budeme používat tuto znaménkovou konvenci (vzdálenosti jsou orientované, nesou tedy i znaménko):. kladný směr os xx, je dán směrem paprsků vstupujících do soustavy (zleva doprava),. souřadné soustavy xyz,, a x, y, z mají shodnou točivost, orientované vzdálenosti měřené od optické osy ve směru k ní kolmém přísluší znaménko kladné (záporné), jeli koncový bod nad (pod) optickou osou, 3. úhly budeme odečítat od osy k paprsku, budeme brát pouze ostré úhly, kladný směr otočení bude proti směru pohybu hodinových ručiček, σ > σ < xx, 4. poloměr křivosti lámavé nebo odrazné plochy měříme vždy od vrcholu V ke středu S; r > je-li vypuklá strana obrácena k dopadajícím paprskům. r > r < V S S V xx, Deinujme příčné (laterální) zvětšení soustavy jako poměr y-ových souřadnic sdružených bodů v obrazovém a předmětovém prostoru Z = y y 4

5 a úhlové (angulární) zvětšení soustavy jako poměr tangent úhlů, které sdružené paprsky (obrazový a předmětový) svírají s optickou osou tgσ σ ξ = případně ξ = pro malé úhly tgσ σ Kardinální body zobrazovací soustavy ohniska (předmětové) jeho obrazem je úběžná bod obrazového prostoru (,,) (obrazové) je obrazem úběžného bodu předmětového prostoru (,,) ohniskové roviny ( ϕϕ, ) kolmé k optické ose, kterou protínají v ohniscích ohniska nejsou sdružena navzájem, obrazové ohnisko není obecně obrazem předmětového ohniska a vice versa. hlavní body H (předmětový) a H (obrazový) průsečíky hlavních rovin s osami x a x, hlavní roviny ( χχ, ) jsou navzájem sdružené roviny kolmé k ose, jež odpovídají dvojicím sdružených bodů, pro něž je příčné zvětšení Z = (úsečka délky y kolmá k optické ose v hlavní rovině χ předmětového prostoru se zobrazí v hlavní rovině χ jako stejně dlouhá úsečka směřující na touž stranu, tedy y = y uzlové body sdružené body UU, ležící na optické ose, pro které je úhlové zvětšení ξ =, paprsku jdoucímu v předmětovém prostoru bodem U a svírajícím s optickou osou úhel α přísluší v obrazovém prostoru sdružený paprsek jdoucí druhým uzlovým bodem U a svírající s optickou osou úhel σ = σ. Sdružené paprsky procházející uzlovými body jsou tedy navzájem rovnoběžné ohniskové vzdálenosti orientované vzdálenosti ohnisek od hlavních bodů měřené vždy od ohniska k hlavnímu bodu, tedy = H = H Obecné transormační vztahy (zobrazovací rovnice) pro kolineární zobrazení mají tvar x = kde = a x+ b y+ c z+ d i =,,,3 i i i i i ax + by + cz + d čili např. x = ax+ by+ cz+ d Omezíme-li se na roviny ( xy) a ( xy) 3 y = z = atd., potom obecné zobrazovací rovnice mají tvar 5

6 ax+ by+ d x = ax+ by+ d Z osové symetrie vyplývá, že záměna y b = b = Při záměně y y bude y y a tedy a = d = ax+ by+ d y = ax+ by+ d y neovlivní x a tedy Transormační vztahy se nám tedy zjednodušují na tvar ax + d by x = y = ax+ d ax+ d d dx a odtud x = ax a Ohniskové roviny ϕ : ax( ) ax + d ad ad y y = y = b b a x a d ϕ : ( ) + = konjugovaný bod leží v ax a = konjugovaný bod leží v protínají osu x ( x ) v bodech x( ) = d a a x = a ( ) Posuneme počátky souřadných soustav do ohnisek respektive, tj. přejdeme od soustav ( xy, ) a ( x, y ) k soustavám ( XY, ) a ( X, Y ), ve kterých X( ) X ( ) což odpovídá transormačním vztahům Potom ax + d = ax y = Y ax a = ax y = Y by b Y Y = y = = ax+ d a X ax d a + d ax a a aax ad ad x = = = = + ax + d + a ax+ d ax ax aa X ad + ad + = Tedy ax a ax da ad da ad b a odtud X = = a X a b a X = ; = 6

7 b Označme a = da ad = ab Potom zobrazovací rovnice pro kolineární zobrazení nabývají tzv. Newtonova tvaru XX = (a) Y = Y X (b) Y = Y X (c) kde X = Y = ; X = Y =, tj. počátky předmětové i obrazové souřadné soustavy leží v příslušných ohniscích. Potom = X( H) = X ( H ) ϕ χ χ ϕ P x s H U H U s x P xx, Obr. 5. Schematické znázornění zobrazovací soustavy. Typy optických soustav > < > < spojná katoptrická duté zrcadlo spojná dioptrická spojná čočka rozptylná katoptrická vypuklé zrcadlo rozptylná dioptrická rozptylná čočka Přejděme k souřadným soustavám s počátky v hlavních bodech. Transormační vztahy jsou x = s+ x = s + Dosazením do první Newtonovy zobrazovací rovnice 7

8 xx s+ s + = = ( )( ) dostáváme tzv. čočkovou rovnici + + = s s Ze zbývajících Newtonových rovnic získáme další transormační vztahy y = y = y x s + y = y = y x s + Pozn.: Důsledkem námi zvolené znaménkové konvence je, že u čoček jsou zásadně ohniskové vzdálenosti, opačných znamének a v čočkové rovnici je opačné znaménko u absolutního členu proti běžné čočkové rovnici uváděné v elementárních textech. () ϕ χ χ ϕ y y = y A σ H H σ xx, A x x s s Obr. 6. K odvození úhlového zvětšení. Zbývá určit polohu uzlových bodů. Z obr. 6 je zřejmé, že y y tgσ = a tg x σ = x Pro úhlové zvětšení tedy platí tgσ x x x ξ = = = = tgσ x x nebo (dosazením za x z Newtonovy rovnice) ξ = x 8

9 a pro uzlové body potom z deinice ( ξ = ) platí xu ( ) = a x ( U ) = Jestliže tedy známe polohu ohnisek, a ohniskové vzdálenosti,, je tím jednoznačně určena i poloha dalších kardinálních bodů soustavy H, H a UU,, s jejichž pomocí můžeme zkonstruovat obraz libovolného bodu P( x, y ). Pro geometrickou konstrukci obrazu mimoosového bodu P můžeme užít paprsky znázorněné na obr. 7.. Paprsku, který jde bodem P rovnoběžně s osou a protíná hlavní rovinu χ v bodě (, y ), odpovídá paprsek vycházející z bodu (, y) ohniskem. hlavní roviny χ a procházející. Paprsku, který vychází z bodu P do ohniska a protíná hlavní rovinu χ v bodě (, y ), odpovídá paprsek rovnoběžný s osou ve vzdálenosti y. 3. Paprsku 3, který vychází z bodu P a protíná osu v uzlovém bodě U, odpovídá paprsek 3 vycházející z uzlového bodu U a jdoucí rovnoběžně s původním paprskem. Všechny tři paprsky,,3 se protínají v bodě P, který je obrazem bodu P. Pro konstrukci obrazového bodu samozřejmě stačí dva z paprsků. ϕ χ χ ϕ P y 3 H U H U xx, 3 y P x( U) = ( ) x U = Obr. 7. Geometrická konstrukce obrazu mimoosového bodu. Centrované soustavy Obraz vytvořený jednou optickou soustavou může sloužit jako předmět pro další soustavu. Z vlastností kolineárního zobrazení přitom vyplývá, že soustavu složenou ze soustav 9

10 jednodušších lze nahradit jedinou výslednou soustavou, jež je rovněž kolineární. Zabývat se budeme pouze tzv. centrovanými soustavami, složenými ze soustav s totožnými osami. Pro jednoduchost uvažujme dvě soustavy dané polohami ohnisek,,, a ohniskovými vzdálenostmi,,, (obr. 8). ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ P y x x x x P y x x ( ) P y ( ) x x xx, Obr. 7. Dvě centrované zobrazovací soustavy.. soustava. soustava xx = xx = y y y y = y = x x y = x y y = x Postupujeme tak, že pomocí dvojí transormace popsané Newtonovými rovnicemi pro. a. soustavu najdeme ohniska výsledné soustavy jako body sdružené s osovými body x a x. Poté najdeme transormační rovnice obecného osového bodu a převedeme do tvaru Newtonových rovnic, čímž získáme ohniskové vzdálenosti, složené soustavy. Vzájemnou polohu dvou centrovaných soustav charakterizujeme tzv. optickým intervalem, který udává orientovanou vzdálenost měřenou od obrazového ohniska první soustavu k předmětovému ohnisku druhé soustavy. x ( ) = = = x ( ) (paprsek vstupující do. soustavy rovnoběžně s osou protíná osu v ohnisku a potom je zobrazen. soustavou do bodu, který z deinice musí být obrazovým ohniskem složené soustavy ).

11 Obdobně pro předmětové ohnisko složené soustavy x ( ) = = x ( ) Dále musí platit (viz obr. 8) v w = x H x a odtud Obdobně ( ) ( ) w = v, + v + x ( H ) = ( x ( ) ) = = = w + + w x( H) = ( x ( ) ) = = = v + Tedy shrnuto pro složenou centrovanou soustavu dostáváme x ( ) = x ( ) = (3) = = (4) Ze vztahů výše je zřejmé, že dvě spojné soustavy (, ) > > s kladným optickým intervalem dávají rozptylnou výslednou soustavu ( < ) a se záporným optickým intervalem výslednou soustavu spojnou. χ χ χ χ x ( ) v v w w ( ) x Obr. 8. Chod paprsků centrovanou kombinací dvou zobrazovacích soustav. Nyní když známe hlavní rysy geometrického popisu kolineárních zobrazovacích soustav, začneme se zabývat konkrétními zobrazovacími soustavami a otázkou, nakolik se reálné soustavy mohou přiblížit ideálnímu modelu. Kolineární zobrazení libovolně velkých

12 rovinných předmětů kolmých k optické ose libovolně širokými svazky paprsků nelze yzikálními prostředky přesně realizovat. Jediným zobrazovacím prvkem lze dosáhnout kolineárního zobrazení jen tehdy, omezíme-li se na body ležící tak blízko optické osy, že lze siny a tangenty úhlů, které paprsky svírají s osou, nahradit oblouky a vzdálenosti od osy délkami kruhových oblouků se středy ležícími na optické ose. Takové paprsky nazýváme paraxiální a prostor, v němž lze paprsky považovat za paraxiální se nazývá Gaussův nitkový prostor. Jedinou výjimkou je rovinné zrcadlo, u něhož je zobrazení kolineární i při libovolně širokých svazcích. Lom a odraz na kulové ploše Lámavá kulová plocha o poloměru r ohraničuje dvě prostředí o indexech lomu N a N (obr. 9). Jestliže se omezíme na paraxiální paprsky (Gaussův nitkový prostor), budou všechny úhly malé a nemusíme činit rozdíl mezi úhlem, jeho sinem či tangentou. B A N α N β h σ ω σ V S A xx, s < r > s > B Obr. 9. Zobrazení lomem na kulové ploše. Podle obr. 9 platí (s respektováním správného znaménka úhlu v souladu s konvencí) α = σ ω ω = σ β β = σ ω h σ s Zákon lomu pro malé úhly a odtud N = N r s r s h σ s h ω r h h N + α σ ω = = = s r = r s N β σ ω h h + s r r s

13 N N N N + = (5) s s r Tato rovnice neobsahuje h a ukazuje, že zobrazení osového bodu je za uvedených předpokladů bodové. Ze vztahu výše vyjádříme s s resp. s Nrs Nrs s = s = (6) N N s Nr N N s + Nr ( ) + ( ) Transormační rovnici pro mimoosový bod (souřadnice y) dostaneme myšleným pootočením celé konstrukce na obr. 9 kolem středu křivosti S o takový úhel, aby se bod A bočně posunul o vzdálenost y (stále v Gaussově prostoru). Z obr. 9 plyne y r s = y r s a dosazením za s dostaneme hledaný transormační vztah Nry y = N N s+ Nr ( ) Rovnice (6) a (7) splňují požadavky kolineární transormace, a tedy zobrazení kulovou lámavou plochou je (v paraxiálním prostoru!) kolineární. Nyní určíme polohu kardinálních bodů lámavé kulové plochy. obrazové ohnisko ( s ) Nrs Nr Nr nr s ( ) = = = = ( N N) s+ Nr r N N n ( N N) + N s (7) kde jsme označili n relativní index lomu Podobně pro předmětové ohnisko ( s ) N n =. N ( ) s Pro hlavní roviny platí Nr r = = N N n = = a tedy s( H) s ( H ) ( ) ( ) y r s H = = y r s H Hlavní roviny v případě kulové lámavé plochy splývají a procházejí vrcholem plochy V. Ohniskové vzdálenosti potom jsou Nr r H = s( H) s( ) = s( ) = = (8a) N N n 3

14 Nr nr H = s ( H ) s ( ) = s ( ) = = N N n uzlové body xu ( ) = x ( U ) ( ) ( ) ( ) (8b) = x= s+ x = s + r nr su ( ) = xu ( ) = ( + ) = = r n n s U = x U = + = r Uzlové body splývají se středem křivosti kulové lámavé plochy. To je pochopitelné, protože paprsky procházející středem křivosti se lomem neodchylují, sdružené paprsky leží v téže přímce. Vraťme se k rovnici (5) N N N N = s s r Nr Nr = N N s N N s ( ) ( ) a s užitím (5a) a (5b) dostáváme čočkovou rovnici () + = s s nebo transormací do soustav s počátky v ohniscích ( s = x ; s = x ) + = x x a po roznásobení dostaneme Newtonovu rovnici (a) xx = tedy opravdu se za daných předpokladů jedná o kolineární zobrazení. Příčné zvětšení (s užitím vztahů (), (8a) a (8b)) y s Ns Z = = = = y x s+ s Ns Tedy pokud n ( N N) r nr > > a r > bude = > a = < jedná se o spojnou n n > a <, naopak při r < půjde o rozptylnou soustavu soustavu dioptrickou ( ) dioptrickou ( a ) < <. Výsledky odvozené pro lámavou kulovou plochu lze použít i pro sérická zrcadla, jestliže do odvozených vztahů dosadíme N = N respektive n=. 4

15 světlo n > V H H S U U xx, > r > < Obr.. Lámavá plocha jako spojná soustava dioptrická. světlo n > S U U V H H xx, < r < > Obr.. Lámavá plocha jako rozptylná soustava dioptrická. Potom ze vztahů (8a) a (8b) dostáváme pro ohniskové vzdálenosti sérického zrcadla r = = (9) Ohniska tedy splývají a leží vždy na polovině vzdálenosti mezi vrcholem a středem křivosti, u dutého zrcadla ( r < ) před zrcadlem a u vypuklého zrcadla ( ) r > za zrcadlem. Stejně jako u lámavé plochy hlavní roviny splývají a procházejí vrcholem a uzlové body splývají se středem křivosti. Čočková rovnice () pro sérické zrcadlo nabývá tvaru + = s s r () světlo V H H S U U xx, < r > Obr.. Vypuklé (konvexní) sérické zrcadlo. 5

16 světlo S U U V H H xx, > r < Obr. 3. Duté (konkávní) sérické zrcadlo. Příčné zvětšení sérického zrcadla y s Z = (neboť N = N ) y s Vlastnosti zobrazení dutým sérickým zrcadlem ( r, ) < >, vždy je s < : a) < s< < s < skutečný (reálný), převrácený, zmenšený b) s = s = skutečný, převrácený, stejně velký c) < s< < s < skutečný, převrácený, zvětšený d) s = s = e) s< s > s zdánlivý (neskutečný, virtuální), vzpřímený, zvětšený Vlastnosti zobrazení vypuklým sérickým zrcadlem ( r, ) > <, vždy je s < : ať je předmět kdekoli, obraz bude zdánlivý, vzpřímený, zmenšený, < s < Zvláštním případem kulového zrcadla je rovinné zrcadlo ( r = ). Je zřejmé, že také ohniskové vzdálenosti jsou nekonečné. Ze zobrazovací rovnice () plyne, že s = s, čili předmět a obraz leží souměrně na opačných stranách rovinného zrcadla. Obraz je vždy zdánlivý, vzpřímený a stejně velký jako předmět, neboť ze vztahu pro příčné zvětšení plyne y s Z = = y s Zobrazení rovinným zrcadlem je jediné optické zobrazení, které nrmá žádné vady. Čočky Čočkou budeme rozumět centrovanou složenou optickou soustavu tvořenou dvěma lámavými sérickými plochami (nebudeme se tedy zabývat asérickými čočkami), z nichž nejvýše jedna může mít rovinná ( r = ) omezujícími prostředí o indexu lomu N. Předpokládáme-li stejné 6

17 prostředí na obou stranách čočky (o indexu lomu N ), potom relativní index lomu na přední straně čočky bude n= N N a na zadní straně čočky n = N N = n, tedy pro ohniskové vzdálenosti platí Nr r = = N N n Nr nr = = N N n Nr nr = = N N n Nr r = = N N n = Nr = N N Nr N N N N N Nr = N N H H = = Nr = N N xx, = d Obr. 4. Tlustá čočka. Optický interval (viz obr. 4) je ( ) ( ) + ( ) nr nr n r r d n r r n = = ( d) = + + d = + d = n n n n Ohniskové vzdálenosti čočky potom budou nrr n = = + ( n ) n( r r) d( n ). Tedy = nrr n = = + ( n ) n( r r) d( n ) (ovšem pouze pokud je na obou stranách čočky stejné prostředí!). Potom ale xu ( ) = = a ( ) x U = = a tedy hlavní a uzlové body čočky splývají, H U, H U. Pro tenkou čočku ( d r, r ) = bude rr ( n )( r r) ( r) n r n, potom 7

18 nebo ( ) ( n ) d D= n + ( n ) r r nrr r r kde D je optická mohutnost čočky (= reciproká ohnisková vzdálenost) udávaná v dioptriích. S ohledem na vztah () nabývá čočková rovnice () tvar () ( n ) d + + ( n ) + = s s r r nrr () který se v případě tenké čočky zjednoduší na + + ( n ) = s s r r U tenké čočky vrcholy matematicko splývají ( d ), splývají i hlavní roviny a hlavní body. U čoček spojných máme >, < a u rozptylných <, >. U spojných čoček leží předmětové ohnisko před čočkou a obrazové za čočkou, u rozptylných je tomu naopak, obrazové ohnisko leží před a předmětové za čočkou. Diskutujme výraz () pro tenkou čočku: předpokládejme n > spojky > > r r > r r. r > buď a) r > r nebo b) r <. r < > r > r (3) rozptylky < < r r. r > < r < r. r < buď a) r < r nebo b) r > Příčné zvětšení tenké čočky y s Z = y s Vlastnosti zobrazení spojnou čočkou ( > ), vždy je s < : a) < s< < s < skutečný, převrácený, zmenšený b) s = s = skutečný, převrácený, stejně velký c) < s< < s < skutečný, převrácený, zvětšený d) s = s = 8

19 e) s< > s, s > s zdánlivý, vzpřímený, zvětšený Vlastnosti zobrazení rozptylnou čočkou ( < ), vždy je s < : ať je předmět kdekoli, obraz bude zdánlivý, vzpřímený, zmenšený, > s > s Centrovaná soustava dvou tenkých čoček ve vzdálenosti v (obr. 5) potom optický interval bude ( ) a výsledná optická mohutnost takové soustavy bude v D = = + = v = + v v Obr. 4. Dvě tenké čočky. Budou-li dvě čočky v těsném kontaktu ( v ), bude D= + = D + D tedy výsledná optická mohutnost bude prostým součtem optických mohutností. Vady (aberace) zobrazování sérická (otvorová) vada vzniká při zobrazení osového bodu širokým svazkem paprsků. U spojné čočky paprsky, které procházejí blízko osy, se protínají dále od čočky, než paprsky procházející okrajem čočky 9

20 Obr. 5. Sérická vada. astigmatismus a zklenutí obrazu vzniká při zobrazení mimoosového bodu. Světlo procházející čočkou podél vodorovné osy AB je okusováno do bodu S (sagitální ohnisko), zatímco světlo od stejného předmětu procházející čočkou podél svislé osy CD je okusováno do bodu T (tangenciální ohnisko). Obrazem bodu jsou tedy dvě úsečku (okály), ve kterých se protínají svazky paprsků ležících v rovině sagitální a tangenciální okály (obr. 5). Jejich vzdálenost měřená ve směru paprsků je tzv. astigmatický rozdíl. Obr. 6. Astigmatismus. koma vzniká při zobrazení mimoosového bodu širokým svazkem. Místo bodového obrazu vzniká klínovitě se rozbíhající světlá skvrna na širší straně oválně ohraničená. Pojmenování této vady souvisí s podobností tvaru skvrny s tvarem komety.

21 Obr. 7. Koma. zkreslení obrazu projevuje se tím, že přímky mimoběžné s osou se zobrazují jako křivky. Podle tvaru zakřivení mluvíme o soudkovitém a poduškovitém zkreslení. Souvisí to se závislostí příčného zvětšení na vzdálenosti od osy. Mají-li vnější části předmětu větší příčné zvětšené, vzniká zkreslení poduškovité, je-li naopak příčné zvětšení větší na kraji obrazu, vzniká zkreslení soudkovité. Obr. 8. Poduškovité zkreslení obrazu. barevná (chromatická) vada vyskytuje se pouze u rerakčních (lámavých) soustav, neboť vzniká v důsledku disperze. Protože se světlo různé barvy láme různě, obrazový bod vytvořený světlem jedné barvy nekoinciduje s odpovídajícím obrazovým bodem vytvořeným světlem jiné barvy. Tento rozdíl se projevuje nejvíce u barev, jež se nacházejí na okrajích spektra, tedy červené a ialové. ialové paprsky se lámou více než červené, a tak se svazek paprsků rovnoběžný s optickou osou láme do řady ohnisek, z nichž nejblíže spojné čočce leží

22 ohnisko rovněž ohnisko pro ialovou barvu a nejdále ohnisko č pro barvu červenou. U rozptylky leží blíže než ohnisko č, avšak ve směru dopadu světla je jejich pořadí opačné (u spojky leží za čočkou, u rozptylky před čočkou). Díky tomu je možné vhodnou kombinací spojky z korunového skla a rozptylky z disperznějšího materiálu (lintového skla) barevnou vadu alespoň částečně odstranit (achromatizace optické soustavy). Obr. 9. Chromatická vada. Pro mimoosový bod způsobuje rekvenční závislost ohniskové vzdálenosti rekvenční závislost příčného zvětšení (transverzální chromatická aberace).

ZOBRAZOVÁNÍ ČOČKAMI. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Septima - Optika

ZOBRAZOVÁNÍ ČOČKAMI. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Septima - Optika ZOBRAZOVÁNÍ ČOČKAMI Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - Septima - Optika Čočky Zobrazování čočkami je založeno na lomu světla Obvykle budeme předpokládat, že čočka je vyrobena ze skla o indexu lomu n 2

Více

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje

Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Optické zobrazování Základní pojmy Zobrazení zrcadlem, Zobrazení čočkou Lidské oko, Optické přístroje Základní pojmy Optické zobrazování - pomocí paprskové (geometrické) optiky - využívá model světelného

Více

ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptylkách. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk

ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptylkách. PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk ČOČKY JAKO ZOBRAZOVACÍ SOUSTAVY aneb O spojkách a rozptlkách PaedDr. Jozef Beňuška jbenuska@nextra.sk Optická soustava - je soustava optických prostředí a jejich rozhraní, která mění směr chodu světelných

Více

ZOBRAZOVÁNÍ ROVINNÝM ZRCADLEM

ZOBRAZOVÁNÍ ROVINNÝM ZRCADLEM ZOBRAZOVÁNÍ ROVINNÝM ZRCADLEM Pozorně se podívejte na obrázky. Kterou rukou si nevěsta maluje rty? Na které straně cesty je automobil ve zpětném zrcátku? Zrcadla jsou vyleštěné, zpravidla kovové plochy

Více

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k

h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k h n i s k o v v z d á l e n o s t s p o j n ý c h č o č e k Ú k o l : P o t ř e b : Změřit ohniskové vzdálenosti spojných čoček různými metodami. Viz seznam v deskách u úloh na pracovním stole. Obecná

Více

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu

Otázky z optiky. Fyzika 4. ročník. Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu Otázky z optiky Základní vlastnosti, lom, odraz, index lomu ) o je světlo z fyzikálního hlediska? Jaké vlnové délky přísluší viditelnému záření? - elektromagnetické záření (viditelné záření) o vlnové délce

Více

Paprsková optika. Zobrazení zrcadly a čočkami. Rovinné zrcadlo. periskop 13.11.2014. zobrazování optickými soustavami.

Paprsková optika. Zobrazení zrcadly a čočkami. Rovinné zrcadlo. periskop 13.11.2014. zobrazování optickými soustavami. Paprsková optika Zobrazení zrcadl a čočkami zobrazování optickými soustavami tvořené zrcadl a čočkami obecné označení: objekt, který zobrazujeme, nazýváme předmět cílem je nalézt jeho obraz vzdálenost

Více

Optické zobrazení - postup, kterým získáváme optické obrazy bodů a předmětů

Optické zobrazení - postup, kterým získáváme optické obrazy bodů a předmětů Optické soustav a optická zobrazení Přímé vidění - paprsek od zobrazovaného předmětu dopadne přímo do oka Optická soustava - soustava optických prostředí a jejich rozhraní, která mění chod paprsků Optické

Více

M I K R O S K O P I E

M I K R O S K O P I E Inovace předmětu KBB/MIK SVĚTELNÁ A ELEKTRONOVÁ M I K R O S K O P I E Rozvoj a internacionalizace chemických a biologických studijních programů na Univerzitě Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0066

Více

25. Zobrazování optickými soustavami

25. Zobrazování optickými soustavami 25. Zobrazování optickými soustavami Zobrazování zrcadli a čočkami. Lidské oko. Optické přístroje. Při optickém zobrazování nemusíme uvažovat vlnové vlastnosti světla a stačí považovat světlo za svazek

Více

Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí

Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí Odraz světla na rozhraní dvou optických prostředí Může kulová nádoba naplněná vodou sloužit jako optická čočka? Exponát demonstruje zaostření světla procházejícího skrz vodní kulovou čočku. Pohyblivý světelný

Více

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.

Digitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K. Digitální učební materiál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0802 Název projektu Zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Číslo a název šablony klíčové aktivity III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím

Více

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2.

Kapitola 2. o a paprsek sil lze ztotožnit s osou x (obr.2.1). sil a velikost rovnou algebraickému součtu sil podle vztahu R = F i, (2. Kapitola 2 Přímková a rovinná soustava sil 2.1 Přímková soustava sil Soustava sil ležící ve společném paprsku se nazývá přímková soustava sil [2]. Působiště všech sil m i lze posunout do společného bodu

Více

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát

Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát. Fotografický aparát Michal Veselý, 00 Základní části fotografického aparátu tedy jsou: tělo přístroje objektiv Pochopení funkce běžných objektivů usnadní zjednodušená představa, že objektiv jako celek se chová stejně jako

Více

3.2.4 Huygensův princip, odraz vlnění

3.2.4 Huygensův princip, odraz vlnění ..4 Huygensův princip, odraz vlnění Předpoklady: 0 Izotropní prostředí: prostředí, které je ve všech bodech a směrech stejné vlnění se všech směrech šíří stejnou rychlostí ve všech směrech urazí za čas

Více

Optika pro studijní obory

Optika pro studijní obory Variace 1 Optika pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Světlo a jeho šíření Optika

Více

EU PENÍZE ŠKOLÁM NÁZEV PROJEKTU : MÁME RÁDI TECHNIKU REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU :CZ.1.07/1.4.00/21.0663

EU PENÍZE ŠKOLÁM NÁZEV PROJEKTU : MÁME RÁDI TECHNIKU REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU :CZ.1.07/1.4.00/21.0663 EU PENÍZE ŠKOLÁM NÁZEV PROJEKTU : MÁME RÁDI TECHNIKU REGISTRAČNÍ ČÍSLO PROJEKTU :CZ.1.07/1.4.00/21.0663 Speciální základní škola a Praktická škola Trmice Fűgnerova 22 400 04 1 Identifikátor materiálu:

Více

Krafková, Kotlán, Hiessová, Nováková, Nevímová

Krafková, Kotlán, Hiessová, Nováková, Nevímová Krafková, Kotlán, Hiessová, Nováková, Nevímová Optická čočka je optická soustava dvou centrovaných ploch, nejčastěji kulových, popř. jedné kulové a jedné rovinné plochy. Čočka je tvořena z průhledného

Více

VY_32_INOVACE_FY.12 OPTIKA II

VY_32_INOVACE_FY.12 OPTIKA II VY_32_INOVACE_FY.12 OPTIKA II Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Jiří Kalous Základní a mateřská škola Bělá nad Radbuzou, 2011 Optická čočka je optická soustava dvou centrovaných

Více

R8.1 Zobrazovací rovnice čočky

R8.1 Zobrazovací rovnice čočky Fyzika pro střední školy II 69 R8 Z O B R A Z E N Í Z R C A D L E M A Č O Č K O U R8.1 Zobrazovací rovnice čočky V kap. 8.2 je ke konstrukci chodu světelných paprsků při zobrazování tenkou čočkou použit

Více

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3

Matematika I, část I Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 3.6. Vzájemná poloha lineárních útvarů v E 3 Výklad A. Vzájemná poloha dvou přímek Uvažujme v E 3 přímky p, q: p: X = A + ru q: X = B + sv a hledejme jejich společné body, tj. hledejme takové hodnoty parametrů

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Lupa a mikroskop příručka pro učitele

Lupa a mikroskop příručka pro učitele Obecné informace Lupa a mikroskop příručka pro učitele Pro vysvětlení chodu světelných paprsků lupou a mikroskopem je nutno navázat na znalosti o zrcadlech a čočkách. Hodinová dotace: 1 vyučovací hodina

Více

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině

FOTOGRAMMETRIE. Rekonstrukce svislého nezáměrně pořízeného snímku, známe-li obraz čtverce ve vodorovné rovině FOTOGRAMMETRIE Máme-li k dispozici jednu nebo několik fotografií daného objektu (objekt zobrazený v lineární perspektivě), pomocí fotogrammetrie můžeme zjistit jeho tvar, rozměr či polohu v prostoru. Známe-li

Více

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce

Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Funkce, funkční závislosti Lineární funkce Obsah: Definice funkce Grafické znázornění funkce Konstantní funkce Lineární funkce Vlastnosti lineárních funkcí Lineární funkce - příklady Zdroje Z Návrat na

Více

Jednoduchý elektrický obvod

Jednoduchý elektrický obvod 21 25. 05. 22 01. 06. 23 22. 06. 24 04. 06. 25 28. 02. 26 02. 03. 27 13. 03. 28 16. 03. VI. A Jednoduchý elektrický obvod Jednoduchý elektrický obvod Prezentace zaměřená na jednoduchý elektrický obvod

Více

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím

MONGEOVO PROMÍTÁNÍ. bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po dlouhou dobu bylo vojenským tajemstvím část 1. MONGEOVO PROMÍTÁNÍ kolmé promítání na dvě průmětny (půdorysna, nárysna), někdy se používá i třetí pomocná průmětna bokorysna bylo objeveno a rozvinuto francouzem Gaspardem Mongem (1746 1818) po

Více

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení

Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5. Technické Osvětlení Gymnázium Christiana Dopplera, Zborovská 45, Praha 5 ROČNÍKOVÁ PRÁCE Technické Osvětlení Vypracoval: Zbyšek Sedláček Třída: 8.M Školní rok: 2013/2014 Seminář: Deskriptivní geometrie Prohlašuji, že jsem

Více

MODUL 4. OPTIKA 4.1. ÚVODNÍ POJMY, SVĚTLO, ŠÍŘENÍ SVĚTLA, INDEX LOMU SHRNUTÍ

MODUL 4. OPTIKA 4.1. ÚVODNÍ POJMY, SVĚTLO, ŠÍŘENÍ SVĚTLA, INDEX LOMU SHRNUTÍ MODUL 4. OPTIKA 4.1. ÚVODNÍ POJMY, SVĚTLO, ŠÍŘENÍ SVĚTLA, INDEX LOMU SHRNUTÍ Světlo - ze zdroje světla se světlo šíří jako elektromagnetické vlnění příčné, které má ve vakuu vlnovou délku c λ = υ, a to

Více

VÝUKOVÝ SOFTWARE PRO ANALÝZU A VIZUALIZACI INTERFERENČNÍCH JEVŮ

VÝUKOVÝ SOFTWARE PRO ANALÝZU A VIZUALIZACI INTERFERENČNÍCH JEVŮ VÝUKOVÝ SOFTWARE PRO ANALÝZU A VIZUALIZACI INTERFERENČNÍCH JEVŮ P. Novák, J. Novák Katedra fyziky, Fakulta stavební, České vysoké učení technické v Praze Abstrakt V práci je popsán výukový software pro

Více

Fyzika aplikovaná v geodézii

Fyzika aplikovaná v geodézii Průmyslová střední škola Letohrad Vladimír Stránský Fyzika aplikovaná v geodézii 1 2014 Tento projekt je realizovaný v rámci OP VK a je financovaný ze Strukturálních fondů EU (ESF) a ze státního rozpočtu

Více

Značení krystalografických rovin a směrů

Značení krystalografických rovin a směrů Značení krystalografických rovin a směrů (studijní text k předmětu SLO/ZNM1) Připravila: Hana Šebestová 1 Potřeba označování krystalografických rovin a směrů vyplývá z anizotropie (směrové závislosti)

Více

Optické zobrazování - čočka

Optické zobrazování - čočka I N V E S T I C E D O R O Z V O J E V Z D Ě L Á V Á N Í TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Laboratorní práce č. 10 Optické zobrazování - čočka

Více

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ

5) Průnik rotačních ploch. A) Osy totožné (a kolmé k půdorysně) Bod R průniku ploch. 1) Pomocná plocha κ 5) Průnik rotačních ploch Bod R průniku ploch κ, κ : 1) Pomocná plocha κ ) Průniky : l κ κ, l κ κ 3) R l l Volba pomocné plochy pro průnik rotačních ploch závisí na poloze os ploch. Omezíme se pouze na

Více

7.2.12 Vektorový součin I

7.2.12 Vektorový součin I 7 Vektorový součin I Předpoklad: 708, 7 Při násobení dvou čísel získáváme opět číslo Skalární násobení vektorů je zcela odlišné, protože vnásobením dvou vektorů dostaneme číslo, ted něco jiného Je možné

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii

Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Sférická trigonometrie v matematické geografii a astronomii Mgr. Hana Lakomá, Ph.D., Mgr. Veronika Douchová 00 Tento učební materiál vznikl v rámci grantu FRVŠ F1 066. 1 Základní pojmy sférické trigonometrie

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Název: Odraz a lom světla

Název: Odraz a lom světla Název: Odraz a lom světla Autor: Mgr. Petr Majer Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět (mezipředmětové vztahy) : Fyzika (Matematika, Informatika) Tematický celek: Optika Ročník:

Více

5.3.1 Disperze světla, barvy

5.3.1 Disperze světla, barvy 5.3.1 Disperze světla, barvy Předpoklady: 5103 Svítíme paprskem bílého světla ze žárovky na skleněný hranol. Světlo se láme podle zákona lomu na zdi vznikne osvětlená stopa Stopa vznikla, ale není bílá,

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření.

Posluchači provedou odpovídající selekci a syntézu informací a uceleně je uvedou do teoretického základu vlastního měření. Úloh č. 9 je sestven n zákldě odkzu n dv prmeny. Kždý z nich přistupuje k stejnému úkolu částečně odlišnými způsoby. Níže jsou uvedeny ob zdroje v plném znění. V kždém z nich jsou pro posluchče cenné inormce

Více

Teorie sférické trigonometrie

Teorie sférické trigonometrie Teorie sférické trigonometrie Trigonometrie (z řeckého trigónon = trojúhelník a metrein= měřit) je oblast goniometrie zabývající se praktickým užitím goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících.

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh:

Více

Kinetická teorie ideálního plynu

Kinetická teorie ideálního plynu Přednáška 10 Kinetická teorie ideálního plynu 10.1 Postuláty kinetické teorie Narozdíl od termodynamiky kinetická teorie odvozuje makroskopické vlastnosti látek (např. tlak, teplotu, vnitřní energii) na

Více

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa

Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa Pohyby tuhého tělesa Moment síly vzhledem k ose otáčení Skládání a rozkládání sil Dvojice sil, Těžiště, Rovnovážné polohy tělesa Mechanika tuhého tělesa těleso nebudeme nahrazovat

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Návrh optické soustavy - Obecný postup

Návrh optické soustavy - Obecný postup Inovace a zvýšení atraktivity studia optiky reg. c.: CZ.1.07/2.2.00/07.0289 Přednášky - Metody Návrhu Zobrazovacích Soustav SLO/MNZS Návrh optické soustavy - Obecný postup Miroslav Palatka Tento projekt

Více

Optické přístroje. Oko

Optické přístroje. Oko Optické přístroje Oko Oko je orgán živočichů reagující na světlo. Obratlovci a hlavonožci mají jednoduché oči, členovci, kteří mají menší rozměry a jednoduché oko by trpělo difrakčními jevy, mají složené

Více

Název: Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček různými metodami

Název: Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček různými metodami Název: Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček různými metodami Autor: Mgr. Lucia Klimková Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět (mezipředmětové vztahy) : Fyzika (Matematika)

Více

6.1 Základní pojmy optiky

6.1 Základní pojmy optiky 6.1 Základní pojmy optiky 6.1 Při jednom kosmickém experimentu bylo na povrchu Měsíce umístěno speciální zrcadlo, které odráželo světlo výkonného laseru vysílané ze Země. Světelný impulz se vrátil po odrazu

Více

TECHNICKÁ DOKUMENTACE

TECHNICKÁ DOKUMENTACE VŠB-TU Ostrava, Fakulta elektrotechniky a informatiky Katedra elektrických strojů a přístrojů KAT 453 TECHNICKÁ DOKUMENTACE (přednášky pro hodiny cvičení) Zobrazování Petr Šňupárek, Martin Marek 1 Co je

Více

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592

Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Téma 1: Elektrostatika I - Elektrický náboj Kapitola 22, str. 577 592 Shrnutí: Náboj a síla = Coulombova síla: - Síla jíž na sebe náboje Q působí je stejná - Pozn.: hledám-li velikost, tak jen dosadím,

Více

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE

ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE ALGEBRA LINEÁRNÍ, KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC A NEROVNIC Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21.

Více

Sbírka úloh z matematiky

Sbírka úloh z matematiky Střední průmyslová škola a Střední odborné učiliště, Trutnov, Školní 101 Sbírka úloh z matematiky v rámci projektu královéhradeckého kraje zavádění inovativních metod výuky pomocí ICT v předmětu matematika

Více

Tvorba technická dokumentace

Tvorba technická dokumentace Tvorba technická dokumentace Základy zobrazování na technických výkresech Zobrazování na technických výkresech se provádí dle normy ČSN 01 3121. Promítací metoda - je soubor pravidel, pro dvourozměrné

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Maturitní témata od 2013

Maturitní témata od 2013 1 Maturitní témata od 2013 1. Úvod do matematické logiky 2. Množiny a operace s nimi, číselné obory 3. Algebraické výrazy, výrazy s mocninami a odmocninami 4. Lineární rovnice a nerovnice a jejich soustavy

Více

naše vlajka: Řešení prvního úkolu kategorie 3 druhý stupeň: Trochu teorie a historie: Kamarádi ZŠ Chrast S chutí do toho a půl je hotovo,

naše vlajka: Řešení prvního úkolu kategorie 3 druhý stupeň: Trochu teorie a historie: Kamarádi ZŠ Chrast S chutí do toho a půl je hotovo, Řešení prvního úkolu kategorie 3 druhý stupeň: Kamarádi ZŠ Chrast S chutí do toho a půl je hotovo, rádi spolu tvoříme, na úkol se těšíme naše vlajka: Trochu teorie a historie: Dalekohled Dalekohled umožňuje

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Fyzikální kabinet GymKT Gymnázium J. Vrchlického, Klatovy

Fyzikální kabinet GymKT Gymnázium J. Vrchlického, Klatovy Fzikální kbinet GmKT Gmnázium J. Vrchlického, Kltov stženo z http:kbinet.zik.net Optické přístroje Subjektivní optické přístroje - vtvářejí zánlivý (neskutečný) obrz, který pozorujeme okem (subjektivně)

Více

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy

K OZA SE PASE NA POLOVINĚ ZAHRADY Zadání úlohy Koza se pase na polovině zahrady, Jaroslav eichl, 011 K OZA E PAE NA POLOVINĚ ZAHADY Zadání úlohy Zahrada kruhového tvaru má poloměr r = 10 m. Do zahrady umístíme kozu, kterou přivážeme provazem ke kolíku

Více

ZOBRAZOVÁNÍ V ŘEZECH A PRŮŘEZECH

ZOBRAZOVÁNÍ V ŘEZECH A PRŮŘEZECH ZOBRAZOVÁNÍ V ŘEZECH Základní pravidla Označení řezné roviny a obrazu řezu Šrafování ploch řezu Vyznačení úzkých ploch řezu Podélný a příčný řez Části a součásti, které se nešrafují v podélném řezu Poloviční

Více

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová

Vzdálenosti. Copyright c 2006 Helena Říhová Vzdálenosti Copyright c 2006 Helena Říhová Obsah 1 Vzdálenosti 3 1.1 Vzdálenostivrovině... 3 1.1.1 Vzdálenostdvoubodů..... 3 1.1.2 Vzdálenostboduodpřímky..... 4 1.1.3 Vzdálenostdvourovnoběžek.... 5 1.2

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

1 Linearní prostory nad komplexními čísly

1 Linearní prostory nad komplexními čísly 1 Linearní prostory nad komplexními čísly V této přednášce budeme hledat kořeny polynomů, které se dále budou moci vyskytovat jako složky vektorů nebo matic Vzhledem k tomu, že kořeny polynomu (i reálného)

Více

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10.

2. spojitost (7. cvičení) 3. sudost/lichost, periodicita (3. cvičení) 4. první derivace, stacionární body, intervaly monotonie (10. MA. cvičení průběh funkce Lukáš Pospíšil,202 Průběh funkce Pod úkolem vyšetřete průběh funkce budeme rozumět nalezení všech kvalitativních vlastností zadané funkce - tedy bude potřeba zjistit o funkci

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

6. Geometrie břitu, řezné podmínky. Abychom mohli určit na nástroji jednoznačně jeho geometrii, zavádíme souřadnicový systém tvořený třemi rovinami:

6. Geometrie břitu, řezné podmínky. Abychom mohli určit na nástroji jednoznačně jeho geometrii, zavádíme souřadnicový systém tvořený třemi rovinami: 6. Geometrie břitu, řezné podmínky Abychom mohli určit na nástroji jednoznačně jeho geometrii, zavádíme souřadnicový systém tvořený třemi rovinami: Základní rovina Z je rovina rovnoběžná nebo totožná s

Více

DALEKOHLEDOVÉ SYSTÉMY

DALEKOHLEDOVÉ SYSTÉMY UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA OPTIKY DALEKOHLEDOVÉ SYSTÉMY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Vypracovala: Nina Mišingerová Obor 5345R008 Optometrie Studijní rok 2011/2012 Vedoucí práce:

Více

CZ 1.07/1.1.32/02.0006

CZ 1.07/1.1.32/02.0006 PO ŠKOLE DO ŠKOLY CZ 1.07/1.1.32/02.0006 Číslo projektu: CZ.1.07/1.1.32/02.0006 Název projektu: Po škole do školy Příjemce grantu: Gymnázium, Kladno Název výstupu: Prohlubující semináře Matematika (MI

Více

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a

(1) přičemž všechny veličiny uvažujeme absolutně. Její úpravou získáme vztah + =, (2) Přímé zvětšení Z je dáno vztahem Z = =, a a Úloh č. 3 Měření ohniskové vzdálenosti tenkých čoček 1) Pomůcky: optická lvice, předmět s průhledným milimetrovým měřítkem, milimetrové měřítko, stínítko, tenká spojk, tenká rozptylk, zdroj světl. ) Teorie:

Více

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru

Základní vlastnosti eukleidovského prostoru Kapitola 2 Základní vlastnosti eukleidovského prostoru 2.1 Eukleidovský prostor Eukleidovský prostor a jeho podprostory. Metrické vlastnosti, jako např. kolmost, odchylka, vzdálenost, obsah, objem apod.

Více

Pohyb tělesa (5. část)

Pohyb tělesa (5. část) Pohyb tělesa (5. část) A) Co už víme o pohybu tělesa?: Pohyb tělesa se definuje jako změna jeho polohy vzhledem k jinému tělesu. O pohybu tělesa má smysl hovořit jedině v souvislosti s polohou jiných těles.

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

1. Z přiložených objektivů vyberte dva, použijte je jako lupy a změřte jejich zvětšení a zorná pole přímou metodou.

1. Z přiložených objektivů vyberte dva, použijte je jako lupy a změřte jejich zvětšení a zorná pole přímou metodou. 1 Pracovní úkoly 1. Z přiložených objektivů vyberte dva, použijte je jako lupy a změřte jejich zvětšení a zorná pole přímou metodou. 2. Změřte zvětšení a zorná pole mikroskopu pro všechny možné kombinace

Více

pro gymnasia Optika Fysika mikrosvěta

pro gymnasia Optika Fysika mikrosvěta Fysikální měření pro gymnasia V. část Optika Fysika mikrosvěta Gymnasium F. X. Šaldy Honsoft Liberec 2009 ÚVODNÍ POZNÁMKA EDITORA Obsah. Pátá, poslední část publikace Fysikální měření pro gymnasia obsahuje

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor

Název školy. Moravské gymnázium Brno s.r.o. Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková. Autor Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0743 Název škol Moravské gmnázium Brno s.r.o. Autor Tematická oblast Mgr. Marie Chadimová Mgr. Věra Jeřábková Matematika. Funkce. Definice funkce, graf funkce. Tet a příklad.

Více

Návod k použití. DZS Optika. DZS Optika 1 DZS Optika 2. Autorizovaný dealer firmy Didaktik s.r.o.

Návod k použití. DZS Optika. DZS Optika 1 DZS Optika 2. Autorizovaný dealer firmy Didaktik s.r.o. Autorizovaný dealer firmy Didaktik s.r.o. Ing.Sehnal Hynek, DIPO výroba a prodej učebních pomůcek, vybavení škol Mojmírovo náměstí 14 61200 Brno Tel. : 541 240 677 Fax : 541 218 838 GSM : 603 511 783 e-mail

Více

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu.

Ohyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu. Ohyb přímých prutů nosníků Ohyb nastává, jestliže v řeu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řeu Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

~ II 1. Souprava pro pokusy z :I optiky opliky. Pavel Kflž, Křfž, František Špulák, Katedra fyziky, PF fu JU České Budějovice

~ II 1. Souprava pro pokusy z :I optiky opliky. Pavel Kflž, Křfž, František Špulák, Katedra fyziky, PF fu JU České Budějovice Veletrh nápadů učitelů fyziky Souprava pro pokusy z : optiky opliky Pavel Kflž, Křfž, František Špulák, Katedra fyziky, PF fu JU České Budějovice Seznam součástí číslo kusů název obr.č. 1 1 kyveta 1 2

Více

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy)

Euklidovský prostor. Euklides. Euklidovy postuláty (axiomy) Euklidovský prostor Euklidovy Základy (pohled do historie) dnešní definice kartézský souřadnicový systém vlastnosti rovin v E n speciální vlastnosti v E 3 (vektorový součin) a) eprostor, 16, b) P. Olšák,

Více

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM

ÚLOHY DIFERENCIÁLNÍHO A INTEGRÁLNÍHO POČTU S FYZIKÁLNÍM NÁMĚTEM Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol ÚLOHY

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

VY_52_INOVACE_2NOV69. Autor: Mgr. Jakub Novák. Datum: 3. 4. 2013 Ročník: 9.

VY_52_INOVACE_2NOV69. Autor: Mgr. Jakub Novák. Datum: 3. 4. 2013 Ročník: 9. VY_52_INOVACE_2NOV69 Autor: Mgr. Jakub Novák Datum: 3. 4. 2013 Ročník: 9. Vzdělávací oblast: Člověk a příroda Vzdělávací obor: Fyzika Tematický okruh: Elektromagnetické a světelné děje Téma: Optické čočky

Více

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem

Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Výpočet vzdálenosti Země Slunce pozorováním přechodu Venuše před Sluncem Podle mateiálu ESO přeložil Rostislav Halaš Úkol: Změřit vzdálenost Země Slunce (tzv. astronomickou jednotku AU) pozorováním přechodu

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

Určení počátku šikmého pole řetězovky

Určení počátku šikmého pole řetězovky 2. Šikmé pole Určení počátku šikmého pole řetězovky d h A ϕ y A y x A x a Obr. 2.1. Souřadnie počátku šikmého pole Jestliže heme určit řetězovku, která je zavěšená v bodeh A a a je daná parametrem, je

Více

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - -

100 1500 1200 1000 875 750 675 600 550 500 - - 775 650 550 500 450 400 350 325 - - Prostý kružnicový oblouk Prostý kružnicový oblouk se používá buď jako samostatné řešení změny směru osy nebo nám slouží jako součást směrové změny v kombinaci s přechodnicemi nebo složenými oblouky. Nejmenší

Více