1 Jednotky a převody - nerelativistická kinematika Teoretický úvod... 26

Transkript

1 Obsah 1 Jednotky a převody - nerelativistická kinematika 1.1 Teoretický úvod Jednotky, veličiny, konstanty Typy srážek, LS,TS, převody mezi soustavami, srážkový diagram Převody mezi soustavami - opakování z TEF(necvičí se) Subatomová struktura, základní síly a částice 7.1 Teoretický úvod Vlastnosti vybraných částic Vlastnosti částic a interakcí Zkoumání subatomové struktury Teoretický úvod Účinný průřez geometrická interpretace Fázový prostor a polní interpretace účinného průřezu Účinný průřez Základy kvantového popisu - Klein-Gordonovo pole a Diracovo pole 13 5 Antičástice 14 6 Leptony, kvarky, hadrony 15 7 Yukawova teorie jaderných sil 16 8 Symetrie a zákony zachování Symetrie Zákony zachování Těžké kvarky a experimentální cesta k jejich objevu Slabá interakce 0 11 Sjednocení elektromagnetické a slabé interakce 1 1 Struktura nukleonu a partony 1.1 Rozptyl na bodovém centru-rutherfordův rozptyl Rozptyl na částici konečných rozměrů Pružný a nepružný rozptyl, Comptonův rozptyl Hluboce nepružný rozptyl Silná interakce 4 14 Statický kvarkový model 5 15 Relativistická kinematika Teoretický úvod Relativistické převody Kinematika vysokoenergetických srážek Převody mezi soustavami Kinematické proměnné ve vysokoenergetických srážkách Zdroje částic Synchrotronní záření 3 18 Objevy částic - témata pro presentace Podmínky na zápočet 33 1

2 1 Jednotky a převody - nerelativistická kinematika 1.1 Teoretický úvod Jednotky, veličiny, konstanty V subatomové(jaderné a sub-jaderné) fyzice se setkáváme s velmi malými rozměry - nm, pm, fm velmi krátkými časy - ns,ps, fs velmi malými energiemi - ev velmi malými hybnostmi - ev/c velmi malými hmotnostmi - ev/c 1nm=10 9 m, 1pm=10 1 m, 1fm=1F(ermi)=10 15 m 1ns=10 9 s, 1ps=10 1 s, 1fs=10 15 s 1eV= J 1eV/c=5, kg.m.s 1 1eV/c =1, kg velmi malými plochami - b,mb 1b(arn)=10 8 m,1mb(arn)=10 31 m Jednotky Velmi často se v teoriích popisujících strukturu částic používají tzv. přirozené jednotky. Tato soustava vznikne, pokud položíme velikost =c=1, a můžeme tedy absorbovat celou redukovanou Planckovu konstantu a rychlost světla do jednotek, např. E = ν[j.s.s 1 ] = 1.ν[.s 1 ] E = m c 4 +p c [kg.m.s 1 ] = m +p [kg.c ]. Díky tomu můžeme konvertovat zbylé jednotky na a dále platí čas 1GeV 1 =6, s délka 1GeV 1 = fm účinný průřez 1GeV =0.3894mb hmota 1MeV/c =1, kg intenzita elektrického pole 1V/m=1, GeV /(e c) magnetická indukce 1T=5, GeV /(e c ) 1s= fm 1m =5, ev 1 1s 1 = 6, ev 1m 1 =1, ev Použitím této soustavy jednotek má hmota, energie i hybnost stejný rozměr a z toho důvodu se pro ně často používá pouze jednotka [GeV]. Pro výpočty je pak třeba nejprve určit správné jednotky rozměrovou analýzou příslušných vztahů a pak do číselných hodnot dosadit i hodnoty rychlosti světla a Planckovy konstanty tak, abychom dostali správný výsledek. Konstanty Základní konstanty používané v subatomové fyzice: rychlost světla ve vakuu c, m.s 1 Planckova konstanta h 4, GeV.s redukovaná Planckova konstanta 6, GeV.s náboj elektronu e 1, C magnetický moment elektronu µ e 9, J/T magnetický moment mionu µ µ 4, J/T magnetický moment protonu µ p 1, J/T magnetický moment neutronu µ n -0, J/T permitivita vakua ε 0 8, F/m permeabilita vakua µ 0 4π10 7 Hm 1 konstanta jemné struktury α = e 1 4πε 0 c 137, Fermiho vazbová konstanta slabé interakce G F /( c) 3 1, GeV vazbová konstanta silné interakce α s (M z ) 0,1176 weak mixing angle sin θ W (M Z ) 0,31 Newtonova gravitační konstanta G N / c 6, GeV c 4

3 hmota elektronu m e 0,511MeV/c hmota protonu m p 0,9383GeV/c hmota neutronu m n 0,9396GeV/c Planckova hmota m P = c G N, kg Vztahy a převody Užitečné převody: Užitečné vztahy: c=197,37 MeV.fm fm =10mb 1eV=1, J 1eV/c=5, kg.m.s 1 1eV/c =1, kg α c e = 1 4πε 0 =8, Farad 1 m=14,4.10 8eVm C klasický poloměr elektronu r e = µ0e 4πm e =, m Comptonova vlnová délka pro elektron λ e C = h m = ec, m Comptonova vlnová délka pro proton λ p C = h m = pc 1, m Bohrův poloměr a 0 = h ε 0 πm ec = 5, m Bohrův magneton µ B = eh 4πm e = 9, J/T Jaderný magneton µ N = eh 4πm N = 5, J/T Thompsonův účinný průřez σ T = 8πr e 3 =0,005 b Anihilační účinný průřez R = 4πα 86,8b 3E = cms Ecms [GeV ] 1.1. Typy srážek, LS,TS, převody mezi soustavami, srážkový diagram Většina experimentů v částicové fyzice probíhá jako srážkový proces. Dají se rozdělit na dva typy m 1 T 1, p 1 m 1 T 1, p 1 θ θ m 1 m m 1 m T 1, p 1 T = p = 0 ϕ T 1, p 1 T, p 1 ϕ m T, p m T, p 1 experiment s pevným terčem experiment se vstřícnými svazky Soustavu částic před interakcí i po interakci je možno považovat za izolovanou. Oblast, v které působí mezi částicemi interakční síly, nazýváme interakční oblast. Mimo tuto oblast se částice pohybují volně (reálně je síla interakce zanedbatelná vůči interakční oblasti). Pokud je interakční oblast nekonečná, považujeme příchozí i odchozí částice za volné pouze asymptoticky. Interakci zapisujeme a+b c+d srážející se částice produkty interakce Značení: Před interakcí klidové hmoty m 1,m hybnosti p 1, p celková hybnost soustavy P = p 1 + p celková energie soustavy E = m 1 c +m c +T 1 +T = Mc +T 3

4 Po interakci klidové hmoty m 1,m hybnosti p 1, p celková hybnost soustavy P = p 1 + p celková energie soustavy E = m 1 c +m c +T 1 +T = M c +T Zákony zachování celkové energie a celkové hybnosti izolované soustavy můžeme napsat ve tvaru Typy interakcí podle produktů E = E P = P Pružný rozptyl - při tomto typu interakce se nemění typy zúčastněných částic (c=a,d=b) ani jejich klidové hmotnosti (M = M ). Ze zákona zachování energie plyne T = T a tedy celková kinetická energie soustavy se zachovává. Nepružný rozptyl - při [ interakci se mění hmotnosti zúčastněných částic (M M ). Veličinu Q = (m1 +m )c (m 1 +m )c] = (M M )c nazýváme energií interakce. Ze zákona zachování energie plyne T = T +Q. Pokud Q 0, pak je interakce nepružná. Pokud Q = 0, pak je interakce pružná. Pro výpočty je možno použít relativistický popis případně nerelativistické přiblížení. Odhadem pro to, který z nich použít je podmínka Souřadné soustavy T > 0,01(v > 0,c) m 0 c T < 0,01(v < 0,c) m 0 c relativisticky nerelativisticky Laboratorní soustava(lab,ls) - Soustava pevně spojená s detektorem. Není vždy vhodné, jelikož vzorce jsou složité. V této soustavě se měří hlavně experimenty s pevnými terči. Viz obr první část. Těžišt ová soustava(cms,ts) Terčíková soustava Soustava svazku - těžiště soustavy je v klidu, zajímá nás jen relativní pohyb částic. Celková hybnost soustavy částic je rovna nule, což zjednoduší vzorce. Viz obr druhá část. - soustava, ve které je hybnost terče nulová. - soustava, ve které je hybnost svazku nulová. Colliding beam frame - soustava, ve které se svazky srážejí pod úhlem ϑ Kinetickou energii v LS lze rozdělit na část odpovídající translačnímu pohybu soustavy částic jako celku, tj. kinetickou energii těžiště a na část odpovídající relativnímu pohybu částic, tj. kinetickou energii v TS. Kinematické vztahy v TS se vyznačují maximální symetrií, proto je obvykle jednodušší pro výpočty. Jenže, většina experimentálních výsledků je měřená v LS, proto je třeba převádět mezi soustavami. Kinematika pružné srážky - převod mezi soustavami v LS v TS p 1 + p = p 1 + p T 1 +T = T 1 +T v T = m 1 v 1 +m v m 1 +m ZZH ZZE 4

5 p 1 + p = p 1 + p = 0 T 1 + T = T 1 + T v T = 0! ZZE ZZH z toho plyne p 1 = p = p 1 = p ṽ 1 = ṽ 1 ṽ = ṽ Za předpokladu, že je v LS terčová částice v klidu(p = 0;T = 0), potom T 1 = T 1 T = T v 1 = v 1 v T = v 1 m1 v1+m v v =0 m 1+m = m m 1+m v 1 p 1 = µ v 1 v = v v T = v m1 v1+m v m 1+m = m1 m 1+m v 1 p = µ v 1 T = T 1 + T = 1 m 1ṽ m ṽ = p 1 m 1 + p m = 1 µv 1 = m m 1+m T 1 p 1 = m 1 v 1 = m 1 v 1 +m 1 v T = p 1 +m 1 m1 v1+m v v =0 m 1+m = p 1 + m1 m 1+m p 1 µ = m1m m 1+m p = m v = m v m v T = p 1 +m m1 v1+m v v =0 m 1+m = p 1 + m m 1+m p 1 p 1 + p = p 1 p = 0 dle předpokladu Na základě těchto vztahů lze zkonstruovat srážkový diagram(viz [3]) Z něho se dá usoudit na možné velikosti a úhly vektorů hybnosti rozptýlených částic. Pokud m 1 < m Pokud m 1 = m Pokud m 1 > m θ 0,π ϕ 0, π θ 0, π ϕ 0, π Navíc lze ukázat, že θ 0,θ max ϕ 0, π sinθ max = m m 1 ϕ = π θ tgθ = sin θ m 1 m +cos θ 5

6 1. Převody mezi soustavami - opakování z TEF(necvičí se) 1. Částice o hmotnosti m 1 a kinetické energii T 1 se pružně rozptýlila na atomovém jádře o hmotnosti m, které bylo původně v klidu. Najděte v TS rychlosti a hybnosti částice i jádra a jejich celkovou kinetickou energii. [3]. Částice o hmotnosti m 1 a kinetické energii T 1 vykonala čelní pružnou srážku s částicí o hmotnosti m, která byla původně v klidu. Najděte kinetické energie částic po srážce. [3] 3. Odvod te závislosti θ = θ( θ) a ϕ = ϕ( θ), kde θ a θ je úhel rozptylu dopadající částice v LS a TS, ϕ je úhel odrazu terčíkové částice v LS. [3, ] 4. Nerelativistický proton se pružně rozptýlil na jádře 6 Li. Určete úhel rozptylu protonu a) v LS, je-li v TS θ = 45 b) v TS, je-li v LS θ = 90. [3] 6

7 Subatomová struktura, základní síly a částice.1 Teoretický úvod.1.1 Vlastnosti vybraných částic Leptony částice m[mev] t[s] Q[e] J P e 0, stabilní -1 1 µ 105,658369, τ 1776,99, ν e < stabilní 0 1 ν µ < 0,19 stabilní 0 1 ν τ < 18 stabilní 0 1 Kvarky částice m[mev] t[s] Q[e] J P 1+ Horní (u) 1, /3 1+ Dolní (d) /3 1+ Podivný (s) /3 1+ Půvabný (c) /3 1+ Krásný (b) /3 1+ Vrchní (t) ± /3 Nosiče interakcí(intermediální bosony) částice m[mev] t[s] J P 1 Foton (γ) 0 stabilní 1 Gluon (g) 0 - Z , W ± , Mezony částice m[mev] t[s] J P kvarkové složení π ± 139,57, π + = u d π = dū π 0 134,98 8, uū+d d+s s η 0 547,51 5, uū+d d+s s η 0 957,78 3, uū+d d+s s ρ ± 775,50 1, ρ + = u d ρ = dū ρ 0 775,50 1, uū+d d+s s ω 0 78,65 7, uū+d d+s s φ ,46 1, uū+d d+s s K ± 493,68 1, K + = u s K = sū K 0 497,65 0, resp. 5, d s K ± 891,66 1, K + = u s K = sū K 0 896,00 1, d s D ± 1869,30 1, D + = c d D = d c D ,50 0, cū B ± 579,00 1, B + = u b B = bū B 0 579,40 1, d b J/ψ ,9 7, c c Υ ,30 1, b b Baryony částice m[mev] t[s] J P kvarkové složení p ,7 stabilní uud n , ,7 udd , uuu , udd ± 13 5, = uud = ddd Λ ,68, uds Σ ,37 0, uus Σ 0 119,64 7, uds Σ 1197,45 1, dds Ξ 131,31 1, dss Ξ ,83, uss Ω 167,45 0, sss

8 . Vlastnosti částic a interakcí 1. Jaký je klasický poloměr elektronu? Porovnejte tento poloměr s Bohrovým poloměrem a Comptonovou vlnovou délkou elektronu. Objasněte, co tyto tři charakteristiky znamenají. [ Návod: Klasický poloměr je vzdálenost od bodového elementárního náboje o hmotnosti elektronu, kde se rovná Coulombova energie jeho klidové energii. ] []. Proton je složená částice a jeho velikost lze odhadnout redukovanou de Broglieho vlnovou délkou kvarku či gluonu o nejmenší energii. Podobná úvaha platí i pro atomové jádro, jehož rozměr lze odhadnout redukovanou de Broglieho vlnovou délkou nejméně energetického nukleonu, a i pro atom, jehož velikost je přibližně dána redukovanou de Broglieho vlnovou délkou nejméně energetického elektronu. Porovnejte typický rozměr protonu, atomového jádra a atomu. Energie kvarku v protonu je E q p q c 300MeV a kinetická energie nukleonu v atomovém jádře je T N 10MeV. Velikost rychlosti elektronu v atomu odhadněte pomocí rychlosti elektronu na první Bohrově orbitě v atomu vodíku. [] 3. Určete vlastní střední dobu života a) mionů, jestliže při kinetické energii T = 7m µ c je jejich střední doba života t lab = 17,6µs. b) pionů, které mají hybnost pc=18,5 MeV a do rozpadu urazí průměrně vzdálenost l=10m, m π c =140MeV. c) pionů pohybujících se rychlostí, které odpovídá relativistický faktor γ 100, kde γ = 1 β a v = βc je velikost rychlosti produkovaného pionu. Tento pion uletí dráhu l=300m než se rozpadne. [, 3] 4. Jaká je neurčitost v naměřené celkové energii E relativistické částice, je-li její energie měřena v časovém intervalu t? Dále předpokládejte, že pohyb částice s hmotou m je omezen do malého prostoru. Určete minimální velikost tohoto prostoru, aby tato částice mohla být relativistická(v/c = 0.5). Porovnejte výsledky pro elektron(m e c =0.511MeV), mion(m µ c =105MeV) a c kvark(m c c =1600MeV). [ Návod: Předpokládejte platnost Heisenbergovy relace neurčitosti ve tvaru x p. ] [, 11] 5. Odhadněte dosah elektromagnetické, slabé a silné interakce. Předpokládejte, že elektromagnetická interakce je způsobena výměnou nehmotného γ kvanta. Slabá interakce je zprostředkována výměnou tří intermediálních bosonů W ± a Z 0 o klidových energiích m W c. = 80GeV a mz c. = 91GeV. O silné interakci předpokládejte, že jde o efektivní interakci mezi nukleony způsobenou výměnnoupionů o klidovéenergiim π c. = 140MeV(Efektivní teorie je na mezinukleonových vzdálenostech velmi dobrou aproximací interakce mediované barevným oktetem gluonů). Určete poměr síly gravitačního přitahování k elektrickému odpuzování mezi dvěma stacionárními elektrony. Je třeba znát jejich vzdálenost? [, 10] 6. Určete velikost elektrického pole potřebného k vytržení elektronu z atomového obalu za čas srovnatelný s dobou oběhu elektronu kolem jádra. [4] 7. Napište kvarkové složení částic v následujících procesech π +p K 0 +Λ K +p π 0 +Σ 0 K +p K 0 +Ξ 0 p+p K + +Σ + +n Ξ +p Λ+Λ π +p K 0 + K 0 +n K +p K + +K 0 +Ω 8. Částice α použité v původním Rutherfordově experimentu měly kinetickou energii T α = 5,5MeV. Určete de Broglieho vlnovou délku α částice o této kinetické energii. Klidová energie α částice je m α c = 377,4MeV. Rozhodněte, zda je potřeba použít relativistický nebo nerelativistický přístup. [] [1] 8

9 3 Zkoumání subatomové struktury 3.1 Teoretický úvod Účinný průřez geometrická interpretace Předpokládejme, že na částici b v klidu dopadá svazek částic a. Dochází k reakci a+b c+d. Experimentálně se měří počet částic jednoho typu, které projdou za dobu t plochou ds. Předpokládejme, že za 1s projde elementem ds počet dn částic typu c. Plošný element ds vymezuje prostorový úhel dω ds R, kde R je vzdálenost od terčíku. Počet produkovaných částic musí být dále úměrný hustotě toku částic N v dopadajícím svazku [N]=s 1 m a potom celkovému počtu ostřelovaných částic v daném objemu V, což lze vyjádřit pomocí hustoty částic v terči n a plochy terče S jako nv = nss, kde tloušt ka s se předpokládá dost malá tak, že všechny částice terčíku mají vůči svazku stejné podmínky(přiblížení tenkého terčíku). Dále je dn úměrný velikosti prostorového úhlu dω a pravděpodobnosti, že při srážce dojde právě k produkci částice c a ta přitom vyletí do daného úhlu - značíme σ(θ,ψ), kde θ je polární úhel rozptylu a ψ je azimutální úhel. Zvolíme-li osu z ve směru svazku, můžeme psát dn 1 dσ (θ,ψ) dω NSsn = σ(θ,ψ) =: dω dn(θ,ψ) = NSsnσ(θ,ψ)dΩ... diferenciální účinný průřez Součin NSsn udává kolik částic ze svazku dopadlo na plochu S za dobu t a kolik částic z terče to mělo šanci trefit. Pokud označíme N 1 /S = N a N = Ssn, dostaneme symetrickou formuli pro počet interakcí za vteřinu R int (interaction rate), která se dá použít i pro případ vstřícných svazků R int = dn(θ,ψ) dω = dn (θ,ψ) tdω = f N 1N σ(θ,ψ) = Lσ(θ,ψ) A Veličina L([L] = m s 1 ) se nazývá luminozita svazku a nezávisí na typu interakce ale jen na vlastnosti svazků v urychlovači. Někdy se zavádí tzv. integrovaná luminozita, což je celková luminozita za určitý časový úsek. jednotkou integrované luminozity je m a vezmeme-li nějaký účinný průřez, můžeme díky ní určit kolik částic za rok jsme schopni pozorovat v experimentu. Vztah mezi diferenciálními účinnými průřezy v LS a TS je dσ dω dσ d σ dω = d Ω dω d Ω d σ (θ,ψ)sinθdθdψ = ( θ, ψ)sin θd θd ψ dσ dω = d Ω ( ) )3 m1 + m 1+( 1 m m cos θ m 1+ 1 m cos θ Veličinu σ = dσ dω = σ(θ,ψ)dω nazveme integrální účinný průřez([σ] = m ) dω Veličinu σ tot = σ c nazveme totální účinný průřez pro danou srážku. c,způsoby produkce c Velmi často se též zavádí pojem distribuce w, což je normalizovaný účinný průřez tak, aby wdx = 1. Z toho plyne, že w = c dσ c dσ dx dx dx = 1 c = 1 σ w = 1 dσ σ dx, kde x může být prostorový úhel, energie, rapidita, příčná hybnost atd. Podle toho pak mluvíme o rozložení(distribuci) energie, rapidity, příčné hybnosti atd. d σ d Ω 3.1. Fázový prostor a polní interpretace účinného průřezu Fázový prostor Při procesu a+b n jsou koncové stavy svázány s počátečními přes zachování čtyřhybnosti 9

10 n p µ a +pµ b = p µ i... 4 rovnice i=1!to platí pro asymptotické stavy, mezitím můžou být narušeny! Prostor čtyřhybnostíkoncových stavů p µ i má rozměr4n. Jelikož pro pozorovatelnéčástice platí vazba E i = p i +m i i ˆn, můžemese omezit jen na prostorvektorůhybnosti koncovýchstavů p i a ten má rozměr3n. Tímdefinujeme tzv. momentum space. Protože platí výše zmíněné 4 rovnice, dostaneme omezení na momentum space, které vede na hyperplochu dimenze 3n-4 v momentum space. Tu nazveme fázový prostor(phase space). Obecně má takový proces tedy 3n-4 stupňů volnosti a potřebujeme tedy 3n-4 proměnných, abychom popsali daný systém(neuvažujeme spin). pro n= potřebujeme 3.-4= proměnné, typicky třeba invariantní hmotu M, rapiditu y Z toho plyne, že například pro proces platí Procesy můžeme obecně rozlišit na exkluzivní a inkluzivní d 3 σ dmdydp = d σ dmdy a 1.. a 1. m b n b X exkluzivní inkluzivní Exkluzivní procesy jsou ty, při kterých identifikujeme všechny produkty. Inkluzivní jsou ty, při kterých nás zajímá produkce jedné nebo několika konkrétních částic a ostatní neidentifikujeme, resp. ve výpočtu vysčítáme přes všechny možnosti toho, co se může produkovat při srážce kromě našich hledaných částic. Obrazně můžeme říct, že inkluzivní proces, při kterém nás zajímá m částic je sumou exkluzivních při kterých se produkuje n částic z nichž je m stejných jako v inkluzivním případě I(1...m) = lim n + i=m typ i n E(1...i) Typický exkluzivní proces je dvoučásticový rozpad, srážkové procesy se většinou analyzují jako inkluzivní. Vezměme exkluzivní procesy - rozpad p a 1...m a srážku p a + p b 1...n. Celkové počty proměnných pro různé procesy jsou 1 m n všechny proměnné - 3n-3 s,t,φ M,Q,η základní proměnné - 3n-4 s, t proměnné koncového stavu 3m-4 3n-4 t, φ základní proměnné koncového stavu 3m-7 3n-5 t Při výpočtu základních proměnných je spin zanedbán, jelikož je v klidové soustavě rozpadu konfigurace hybnosti nedůležitá(3 proměnné jsou triviální). Pro rozptyl definuje osa svazku směr v prostoru a je tam jen jedna triviální proměnná - φ rotace kolem svazku. Polní interpretace účinného průřezu Přesné odvození a popis je záležitostí teorie pole a není třeba ho probírat zde, proto se omezíme jen na pojmy a základní vlastnosti. Dynamika částicového procesu se omezuje na pravděpodobnost přechodu od počátečních stavů p a a p b k finálním stavům p i. Ta je dána maticovým elementem(za předpokladu, že p a a p b bereme pevné) Měřitelné veličiny jsou pak úměrné p 1 p...p n  p ap b =: A(p i ) invariantní amplituda 10

11 A(p i ) =: T(p i ) matice přechodu Pokud chceme měřitelnou veličinu, charakterizující celou srážku, musíme integrovat T(p i ) přes celý fázový prostor. Tím dostaneme celkový účinný průřez. Pokud chceme měřitelnou veličinu, která charakterizuje konkrétní kanál, resp. distribuci nějaké veličiny, musíme integrovat T(p i ) přes nějaký podprostor fázového prostoru. Tím dostaneme diferenciální účinný průřez. Obecně: σ σ( n) = I n F je flux faktor s,m a,m b F n n n I n = d 4 p i δ(p i m i)δ 4 p j p a p b θ(p 0 d 3 p i n i)t(p i ) = δ 4 p j p a p b T(p i ) E i i=1 j=1 Člen δ(p i m i ) odpovídá zachování čtyřimpulsu pro itou částici a skoková funkce θ(p0 i ) zajišt uje, že všechny energie budou nabývat pouze kladných hodnot. Pokud můžeme považovat částici za volnou, musí její hybnost splňovat E p = m. O takové částici řekneme, že je on-mass shell(na hmotové slupce). Tím pádem čtyřhybnost takové částice má jen 3 stupně volnosti a může být charakterizována třeba vektorem (x F, p T ). Pokud je částice jen konstituentem nějakého celku nebo existuje jen jako virtuální, pak nemusí splňovat žádnou rovnici, je off-mass shell(mimo hmotovou slupku) a její případná reálná existence(fyzikální projev) je omezena relacemi neurčitosti. Čtyřhybnost pak můžeme charakterizovat třeba čtyřvektorem (x F, p T,p ). Dále, diferenciál d 4 p = de i d 3 p i není vhodný, jelikož není Lorentz invariantní. Proto provádíme integraci přes p 0 i a tím dostaneme diferenciál ve tvaru d3 p i /E i, který Lorentz invariantní je. To je také důvod, proč se jako invariantní účinný průřez používá veličina Ed 3 σ/d 3 p a ne d 3 σ/d 3 p. dσ/dx dσ n dx = 1 n d 3 p i δ 4 F E i=1 i i=1 j=1 n p j p a p b T(p i )δ(x x(p i )) kde δ(x x(p i )) udává příslušné omezení fázového prostoru. Pro kontrolu můžeme ověřit, že dσn dx dx = 1 n d 3 p i δ 4 F E i=1 i = 1 n d 3 p i δ 4 F E i i=1 j=1 n p j p a p b T(p i )δ(x x(p i ))dx = j=1 n p j p a p b T(p i ) = σ x=x(pi) n x=x(pi) j=1 tedy integrál z diferenciálního účinného průřezu je roven integrálnímu účinnému průřezu za podmínky, že neznámá x nabývá hodnoty fixované naměřenými hybnostmi koncového stavu. 11

12 3. Účinný průřez 1. Ze svazku částic o hustotě toku N je clonkou vymezen úzký svazek o průřezu Q. Tento svazek dopadá na tenkou folii tloušt ky S. Částice rozptýlené pod úhlem θ jsou registrovány detektorem, který má účinnou plochu S a nachází se ve vzdálenosti R od místa dopadu částic na folii. Určete počet částic N zaregistrovaných detektorem za dobu t, je-li účinnost detektoru η% a diferenciální účinný průřez pro úhel θ je dσ dω. [3]. Bodové klasické částice se pružně rozptylují na nepohyblivé kuličce poloměru R s absolutně tvrdým povrchem. Vypočítejte diferenciální a integrální účinný průřez pro tento rozptyl. [, 3] 3. Účinný průřezpro interakci 5GeV K + mesonů s protony je přibližně17mb. Spočítejtestřednívolnou dráhu K + mesonů v kapalném vodíku o hustotě 71kgm 3. [1] 4. Homogennísvazekčásticohustotětokuj 0 dopadákolmonatenký terčíkotloušt ced. Aktivníplochaterčeje S.Hustota rozptylových center v terčíku je n. Jaká je četnost rozptýlených částic na jednotkový úhel v mezikruží vymezeném úhly z intervalu (θ,θ +dθ)? [] 5. Luminozita zařízení L, kde ve vstřícných svazcích jsou produkovány kýžené částice v interakci s účinným průřezem σ, je definována tak, že pro četnost produkovaných částic platí R = Lσ. Předpokládejme, že vstřícné svazky jsou tvořeny malými válcovými shluky částic o příčném průřezu S, které jsou stejnoměrně rozprostřeny v obou směrech podél kruhové urychlovací trubice. Shluky se v oblasti experimentu srážejí s frekvencí f B. Počty částic ve shlucích kroužících v pravotočivém a levotočivém smyslu jsou N R a N L. Najděte vztah pro luminozitu kruhového urychlovače. Jaká je luminozita zařízení s pevným terčem, je-li hustota toku nalétávajících částic na terč j a počet terčíkových jader je N? [] 6. V elektron-pozitronovém collideru cirkulují částice v krátkých cylindrických shlucích o poloměru 1mm(příčně ke směru letu). Počet částic ve shluku je a shluky se srážejí s frekvencí 1MHz. Účinný průřez pro produkci µ+ µ párů při energii 8GeV je 1, cm. Kolik µ + µ párů vzniká za 1s? [] 7. V experimentu se vstřícnými elektron-pozitronovými svazky je poloměr urychlovací trubice 10m. Každý svazek má intenzitu 10mA a průřez 0,1cm. Za předpokladu, že e + a e jsou koncentrovány v balících a srážejí se dvakrát při jedné otáčce, spočítejte luminozitu urychlovače. Kolik případů za hodinu se získá při této luminozitě při detekci reakce e + +e π + +π +π 0, jejíž účinný průřez je 1,5µb? [] 8. V CERNu byly svazky protonů a antiprotonů vstříknuty proti sobě do urychlovače SPS. V každém svazku bylo M=6 shluků částic a shluky byly stejnoměrně rozprostřeny podél urychlovací trubice o poloměru 1km. Počet částic v jednom shluku byl N p = N p = Poloměr příčného průřezu svazku částic byl r B = 100µm. Částice byly urychleny na energii Ẽp = Ẽ p = 70GeV a jejich shluky se čelně srazily. Určete luminozitu zařízenía četnost srážekp+ p, je-li účinný průřez interakce p+ p při zadané energii σ(p p) = 10nb. [] 1

13 4 Základy kvantového popisu - Klein-Gordonovo pole a Diracovo pole 1. Ukažte Lorentzovskou invarianci Klein-Gordonovy rovnice. [1]. Separujte úhlovou a radiální část vlnové funkce pro stacionární Klein-Gordonovu rovnici pro sféricky symetrický Coulombův potenciál. [1] 3. Odvod te rovnici kontinuity pro Klein-Gordonovu a Diracovu rovnici, identifikujte hustotu toku pravděpodobnosti j a hustotu pravděpodobnosti ρ. [?] 4. Pro kovariantní tvar Diracovy rovnice jsou důležité následující vztahy a/b/= b/a/+a.b (k/ m 0 )(k/ +m 0 ) = (k/ +m 0 )(k/ m 0 ) = 0 k = m 0 Dokažte tyto vztahy pomocí antikomutační relace {γ µ,γ ν } = g µν I [6] 13

14 5 Antičástice 1. Může elektron-pozitronový pár anihilovat při vyslání 1 γ kvanta? Může volné γ kvantum vytvořit elektron-pozitronový pár? Jaká je prahová energie γ kvanta při produkci páru e + e v poli atomového jádra X o klidové energii m X c v klidu (m e c = 511keV )? Srovnejte prahové energie pro produkci páru e + e v poli protonu a deuteronu (m p c = 938,3MeV;m d c = 1875,6MeV ) []. Pozitron o energii E e anihiluje na volném elektronu v klidu. Při anihilaci vzniknou γ kvanta vyletující v přímce dané směrem letu pozitronu. Jaké jsou energie anihilačních γ kvant? [] 3. Pozitron a elektron, oba o energii E e anihilují na γ kvanta. Jak závisí energie vyletujících γ kvant na úhlu jejich rozletu a na úhlu srážky elektronu a pozitronu? Jaké jsou maximální a minimální energie vyletujících γ kvant? [] 4. Elektron-pozitronový pár anihiluje v klidu. Při anihilaci vzniknou tři γ kvanta. Jaká je maximální energie každého z produkovaných γ kvant? [] 14

15 6 Leptony, kvarky, hadrony 1. Částice a o klidové energii m a c interaguje s částicí b o klidové energii m b c, která je v klidu. Jsou produkovány částice o celkové klidové energii Mc > (m a +m b )c. Určete prahovou energii procesu. Diskutujte nerelativistickou limitu. []. Relativistické částice a a b o klidových energiích m a c a m b c interagují a produkují částice o celkové klidové energii Mc > (m a +m b )c. Jaká ja prahová kinetická energie tohoto procesu v těžišt ové soustavě srážejících se částic? Jaké jsou kinetické energie obou částic a a b v těžišt ové soustavě, probíhá-li interakce při prahové energii? Diskutujte případ, kdy částice a a b jsou stejné. [] 3. Zapište na kvarkové úrovni jak jsou v elektromagnetické interakci produkovány piony při srážce pozitronu a elektronu v procesu e + +e π + +π +π 0 a baryony v e + +e n+λ+k + +π +π 0. Vyhledejte dominantní kanály rozpadu π + a π 0 a jejich doby života a vysvětlete proč se liší. Nakreslete flow diagramy a napište postupné kroky produkce částic. [] 4. Vysvětlete rozdíly v dobách života při rozpadech mezonu ρ π + + π (τ 1, s) a K 0 π + + π (τ 8, s). Nakreslete flow diagramy na kvarkové úrovni. [] 15

16 7 Yukawova teorie jaderných sil 1. V roce 1935 Hideki Yukawa navrhl teorii silné interakce, kde silně interagující nukleony si vyměňují hmotné částice. Tato výměna má konečný dosah. Odhadněte klidovou energii těchto částic, je-li střední vzdálenost nukleonů v atomovém jádře R 1fm. []. Odhadněte střední dobu života + baryonu jako dobu, kterou potřebuje relativistický pion, aby urazil vzdálenost rovnou velikosti částice, je-li její poloměr r + 1fm. Vypočítejte střední dobu života + baryonu z relace neurčitosti a její změřené přirozené šířky rozpadu Γ + 10MeV [] 3. Ukažte, že Yukawův potenciál V(r) = g e r/r 4π r R = M x c je jediné sféricky symetrické řešení statické Klein-Gordonovy rovnice V(r) = M x c V(r), které vymizí při r. u(r) [Pozn.:Řešte Klein-Gordonovu rovnici pro potenciál typu V(r) =.] [7] 4. Meson π 0 se nemůže účastnit elektromagnetickýchinterakcí, jelikož nemá ani elektrický náboj ani magnetický moment. Přesto se pozoruje jeho rozpad na dva fotony. Představit si to lze tak, že dochází k virtuálnímu přechodu π 0 na pár nukleon-antinukleon po dobu danou relacemi neurčitosti. Složky tohoto páru mohou elektromagneticky interagovat za vzniku dvou fotonů a následně anihilují podle π 0 N + +N N + +N +γ +γ γ +γ Jak dlouho může takový pár existovat? [14] r 16

17 8 Symetrie a zákony zachování 8.1 Symetrie 1. Ukažte, že je-li operátor rotace Û(R) = e irĵ unitární, musí být její generátor Ĵ hermitovský. [13]. Operátor f popisující interakci dvou částic se spinem 1 může být napsán ve tvaru f = a+bσ 1 σ, kde a a b jsou konstanty a σ 1 a σ jsou Pauliho matice. Celkový moment hybnosti je J = j 1 +j = (σ 1+σ ). Ukažte, že f,j a J z spolu komutují a mohou tak být zároveň změřeny. [17] 3. Ukažte, že Û Â( r)û = Â( r + ρ), kde Û = e i ρ. p použitím relací Ûb( r) := b( r ρ) Û b( r) := b( r+ ρ) [13] 4. Ukažte, že reprezentace momentu hybnosti ve tvaru ˆL x = ŷˆp z ẑˆp y ˆL y ˆL z = ẑˆp x ˆxˆp z = ˆxˆp y ŷˆp x splňují komutační relace ve tvaru [ˆL x, ˆL y ] = i ˆL z. Ukažte, že operátor kvadrátu momentu hybnosti ˆL = ˆL x+ ˆL y+ ˆL z komutuje s libovolnou složkou operátoru ˆL. [?] 8. Zákony zachování 1. Dvě z následujících reakcí nemohou proběhnout za žádných okolností a jedna z reakcí nemůže proběhnout pomocí silných interakcí. Najděte je a vysvětlete proč. K +p K 0 +n π + +p K + +Σ + π +p K + +Σ 0 +π π +p K +Σ + K 0 +p K +p+π + p+p π + +π + +π +π +π + π + +p K 0 +Σ 0 +π + +K + + K 0 K +p Σ + +n+π π +p Σ + +Σ +K 0 + p+ Σ + +n π +p Σ +Σ 0 +p Notace je taková, že Σ + znamená antičástici k Σ. [1]. Doplňte dolní indexy, které rozliší leptonové generace a rozlište neutrina od antineutrin u následujících reakcí. Svoji volbu zdůvodňete. Použijte následující symboly - ν e, ν e,ν µ, ν µ,ν τ, ν τ π + π 0 +e + +ν µ + e + +ν +ν µ e +ν +ν K + π 0 +e + +ν K 0 π 0 +e +ν Σ n+µ +ν Σ + Λ 0 +e + +ν 17

18 D 0 K +π 0 +e + +ν ν +p n+e + ν Cl 37 18Ar +e ν +p µ +p+π + ν +n e +p 3 1 H 3 He+e +ν π + µ + +ν π e +ν τ π +π 0 +ν 3. Nakreslete flow diagramy pro následující rozpady;hadrony rozkreslete na kvarkovou úroveň. (Př. n p+e + ν e [1] u d d u u d W e νe τ e + ν e +ν τ K 0 π +e + +ν e D + K 0 +µ + +ν µ τ + π + + ν τ Λ p+e + ν e Ξ Λ+π K + π + +π +π + ν e +e ν e +e e +p n+ν e ν µ +p µ + ++ Kvarkové složení a intermediální částice dohledejte v literatuře. [1] 4. Částice X 0 (1193MeV) a Y (131MeV) mohou být produkovány v silných interakcích pomocí procesů K +p π 0 +X 0 K +p K + +Y Určete baryonové číslo, podivnost, půvab a krásu v obou případech a pomocí nich i kvarkový obsah. [7] 18

19 9 Těžké kvarky a experimentální cesta k jejich objevu 1. Částice J/Ψ má rozpadovou šířku Γ J/Ψ 91keV a klidovou energii m J/Ψ c = 3096,9MeV. Určete střední dobu života částice J/Ψ, porovnejte ji s typickou dobou života částice rozpadající se díky silné interakci. Určete, proč se nemůže J/Ψ rozpadnout na mesony D. []. Částice J/Ψ byla interpretována jako vázaný stav půvabného kvarku a antikvarku. Na kvarkové úrovni byla byla velmi velká střední doba života J/Ψ částice vysvětlena tím, že se nemůže rozpadnout na hadron obsahující půvabný kvark. Odhadněte rychlost půvabného kvarku v J/Ψ, obecněji v charmoniu c c. Předpokládejte, že relativistické efekty spojené s půvabnými kvarky v J/Ψ jsou méně významné než například v pionu, který je také složen z kvark-antikvarkového páru. Poloměr J/Ψ částice je r J/Ψ 0,35fm. [] 3. Charmoniový potenciál držící půvabný kvark a antikvark pohromadě je V cc (r) = κ 1 r +κ r κ GeV.fm κ 1GeV.fm 1. První člen odpovídá Coulombovu členu při elektrickém působení nábojů a dominuje na malých vzdálenostech. Druhý člen převažuje na velkých vzdálenostech a popisuje uvěznění kvarků. Použijte charmoniový potenciál pro odhad silné vazbové konstanty α s na vzdálenosti 0.1fm. [] 4. Předpokládejte, že bottomium b b lze v prvním přiblíženípopsat jako vázaný stav krásnéhokvarku a antikvarku pomocí klasického modelu, který je analogický Bohrovu modelu atomu s potenciálem V bb (r) = κ 1 r +κ r κ 1 0GeV.fm κ 1GeV.fm 1. Určete velikost bottomia a rychlost půvabného kvarku v bottomiu. Srovnejte tyto hodnoty s odpovídajícími hodnotami pro charmonium. Jaký je vliv druhého lineárního členu v potenciálu? [] 19

20 10 Slabá interakce 1. Intermediální boson Z 0 je produkován ve Fermilabu ve vstřícných svazcích p + p při celkové energii s = 540GeV. Jaká frakce hybnosti je nesena kvarkem v protonu, je-li boson Z 0 produkován v klidu v kvark-antikvarkové srážce v těžišt ové soustavě p+ p? Klidová energie Z 0 bosonu je m Z c = 91,17GeV []. Ukažte pomocí flow diagramů, že slabý rozpad D 0 K + +π +π 0 +π 0 a podobně i slabý rozpad D + K 0 +π + jsou silně potlačeny v prvním řádu poruchové teorie slabé interakce(bez uzavřených smyček). Kvarkový obsah půvabných mesonů je D 0 = (ūc) a D + = ( dc). [] 3. Ukažte pomocí flow diagramů, že slabé rozpady D 0 K + +µ + ν µ a K 0 π + +e + ν e jsou zakázané v prvním řádu poruchové teorie slabé interakce(bez uzavřených smyček) s výměnou intermediálních bosonů. Kvarkový obsah půvabného mesonu je D 0 = (ūc). [] 4. Podle Fermiho zlatého pravidla je rozpadová konstanta (četnost interakcí na jednom terčíkovém centru) dána vztahem λ = π dn H de 0,kde NjepočetdostupnýchkoncovýchstavůaE 0 jecelkovádostupnáenergiepřiinterakci.odhadněte jak závisí účinný průřez interakce ν e +p e + +n na energii a hybnosti produkovaných pozitronů při nízkých energiích nalétávajícíhoelektronovéhoantineutrina,e ν m p c,kteréinteragujesprotonemvklidu.interakčnímaticovýelement je H = GF V, kde G F 10 7 GeV.fm 3 je Fermiho konstanta a V je objem interakční oblasti. Faktor v interakčním maticovém elementu zkoumaného procesu je zdůvodněn tím, že při relativistickém popisu je slabá interakce chápána jako interakce vektorových a axiálně vektorových proudů, tak zvaná V-A teorie. Jaký je účinný průřez této interakce pro E ν =,3MeV? Klidové energie jsou m p c = 938,7MeV, m n c = 939,57MeV, m e c = 0,511MeV a neutrino je nehmotné. [] 0

21 11 Sjednocení elektromagnetické a slabé interakce 1. Určetecelkovýúčinnýprůřezprodukcepárunabitých mionů vevstřícnýchsvazcíchanihilujícíchčástice ae + o celkové energii s = 10GeV. Nejnižší řád poruchové teorie QED předpovídá dσ µ+ µ d(cosϑ) = πα( c) s (1+cos ϑ) []. Odhadněte α W při energetické škále 1GeV z poměrů dob života. [11] 3. Z naměřených dat pro celkovou a parciální rozpadovou šířku Z bosonu ukažte, že není možné aby existovalo pouze 1 neutrino(při třech známých leptonech) a že jedinou možností je existence tří generací neutrin. Γ Z (total) =.534GeV Γ(Z 0 hadrons) = 1.797GeV Γ(Z 0 l + l ) = 0.084GeV Γ(Z 0 ν l ν l ) = 0.166GeV(teoretická hodnota) [16] 4. Jakým způsobem probíhá výměna nabitých intermediálních bosonů W ± v prvním řádu poruchové teorie ve slabých rozpadech τ e + ν e +ν τ, K 0 π +e + +ν e, Λ p+e + ν e a K + π + +π +π +? [] 1

22 1 Struktura nukleonu a partony 1.1 Rozptyl na bodovém centru-rutherfordův rozptyl ( ) 1. Odvod te Rutherfordovu formuli pro diferenciální účinný průřez ve tvaru dσ dω = Zze 1 16πǫ 0T a pro integrální účinný sin 4 θ ( ) cotg průřez ve tvaru σ(θ Θ) = π Zze Θ dσ 4 4πǫ 0T. Jak závisí diferenciální účinný průřez dω (θ) pro pružný rozptyl částic na jednom rozptylovém centru na úhlu rozptylu θ rozptylované částice v soustavě pevně spojené s rozptylujícím centrem, je-li znám vztah mezi impakt parametrem a úhlem rozptylu b = b(θ)? [1, ]. Spočítejte diferenciální účinný průřez dσ dω [fm sr 1 ] pro Rutherfordův rozptyl α částice(z=) pod úhlem 10 jako funkci (Z/T) a vyčíslete ho pro Z=79 a T=10MeV. Spočítejte integrální účinný průřez pro rozptyl T=10MeV α částice na jádře zlata (Z = 79,A = 197) do úhlu většího než 10, 0 a 30. Zanedbejte při výpočtu zpětný rozptyl. [1] 3. Ukažte, že Rutherfordova formule může být napsána pomocí kvadrátu přeneseného impulsu q = ( p p ) jako dσ dq = 4πZ z α ( c) q 4 v, kde α je konstanta jemné struktury a v je rychlost odražené částice. [1] 4. Svazek α částic o rychlosti v =.10 7 ms 1 dopadá kolmo na folii o tloušt ce 10 5 m ze zlata (Z = 79,A = 197,ρ = 1, kgm 3 ). Odhadněte jaká část α částic se rozptýlí dvakrát za sebou o úhel alespoň 10 při průchodu folií. [Návod: Použijte Poissonovo rozdělení] [1, ] 1. Rozptyl na částici konečných rozměrů 1. Svazek nerelativistických částic se rozptyluje pružně na pevném nabitém objektu. Rozložení hustoty náboje v objektu je ρ( r). Ukažte, že v takovém případě lze diferenciální účinný průřez zapsat ve tvaru ( ) dσ dσ dω (θ) = dω (θ) F(θ) = Z e f(θ) F(θ) f(θ) = z α c 1 R e 4T 0 sin θ, kde z a Z jsou protonová čísla rozptylované a terčové částice, ( dσ dω (θ)) je nerelativistický diferenciální účinný průřez R Rutherfordova rozptylu na pevné bodové částici, T 0 je kinetická energie nalétávající částice a F(θ) je tzv. formfaktor. Odvod te obecný výraz pro formfaktor [Návod: viz. [] příklad C40] []. Určete formfaktor pro pružný rozptyl částic na jádře o celkovém náboji Ze, které je popsáno sféricky symetrickou hustotou náboje ρ( r) = ρ(r) [] 3. Určete formfaktor pro pružný rozptyl částic na jádře o celkovém náboji Ze, které je popsáno sféricky symetrickou hustotou náboje ve tvaru ρ(r) = ρ N pro r < R a ρ(r) = 0 pro r > R, kde R je poloměr jádra. [] 4. Účinný průřez pružného rozptylu elektronů na atomovém jádře je popsán formulí ( ) dσ dσ dω (θ) = dω (θ) F(θ). R Rozdělení náboje v atomovém jádře vystihuje formfaktor F(θ) = F(q ), kde θ je úhel rozptylu elektronu, q = p 0 sin θ je velikost předané hybnosti a p 0 je velikost počáteční hybnosti nalétávajícího elektronu. Uvažujte sféricky symetrické rozdělení náboje v atomovém jádře ρ( r) = ρ(r). Určete formfaktor pro přiblížení malých úhlů rozptylu(malých přenesených impulsů). [Návod: Vezměte obecné vyjádření formfaktoru a rozviňte argument do Taylorovy řady. Omezte se na první dva řády rozvoje.] [] 1.3 Pružný a nepružný rozptyl, Comptonův rozptyl 1. Částice a o klidové energii m a c se pružně a čelně srazí s částicí b o klidové energii m b c, která je v klidu. Při jakém poměru klidových hmotností se projektilová částice pohybuje dozadu? Za jaké podmínky se úplně zastaví? []. V urychlovači HERA se čelně srážejí elektrony a protony o energiích T e = 30GeV a T p = 80GeV. Jaká je maximální energie elektronu, který se pružně rozptýlí na protonu? []

23 3. Kvantum γ o hybnosti p γ se rozptyluje na elektronu o hybnosti p e (Comptonův rozptyl). Určete závislost změny vlnové délky a energie γ kvanta na jeho úhlu rozptylu. Kvantum γ o energii E γ se rozptyluje na elektronu v klidu pod úhlem θ. Určete závislost kinetické energie a velikosti hybnosti vyletujícího kvanta γ a odraženého elektronu na úhlu rozptylu γ kvanta. [] 4. Může volný elektron absorbovat nebo vyzářit γ kvantum? [] 1.4 Hluboce nepružný rozptyl 1. Jakou energii musí mít elektrony, které jsou použity pro zkoumání struktury protonu v klidu? Jakou energii musí mít elektrony, aby bylo možné rozlišit oblast protonu o rozměru r < 0,1r p, kde r p je rozměr protonu? []. Při hluboce nepružném rozptylu elektronu na protonu e + p X + e, kde X je blíže neurčený stav, dochází při dostatečně vysokých energiích elektronu k přímé interakci elektronu s uvězněným kvarkem v terčíkovém protonu. Tento proces je možné v 1. přiblížení chápat jako elastický Rutherfordův rozptyl elektronu na protonovém kvarku. Zkoumejme popsaný proces v těžišt ové soustavě e q a předpokládejme, že protonový kvark nese v této soustavě část hybnosti protonu tak, že platí p q c = x p p c, kde x (0,1) je frakce hybnosti protonu nesená kvarkem, Ukažte, jak závisí frakce hybnosti x na počáteční a koncové energii elektronu v soustavě pevně spojené s protonem a na úhlu rozptylu v této soustavě. [] 3. Velmi relativistická částice o energii E a hybnosti pc E se sráží s protonem v klidu. Přitom energie částice je tak velká, že dochází k přímé interakci s protonovým kvarkem. Porovnejte celkovou energii v těžišt ové soustavě v případě, že kvark v protonu je v klidu a má klidovou energii m q c = xm p c, kde x (0,1) s případem, kdy protonový kvark je nehmotný, nese energii a hybnost E q = p q c = xm p c a směr jeho pohybu vzhledem ke směru pohybu nalétávající částice je náhodný s rovnoměrným rozdělením. [] 4. Při hluboce nepružném rozptylu elektronu na protonu lze napsat účinný průřez jako d [ ( ) ( ) ] σ θ θ de dω = 4E α Q.sin W 1 (Q,ν)+cos W (Q,ν) d Ukažte,žeplatí σ de dω = E d σ πm NE y dxdy avyjádřeteexplicitnítvar d σ E E dxdy zapředpokladu,žey = E ax = Q (P+q) P +Q = EE sin θ (E E )M N. Případné další vztahy a notaci dohledejte v [6, 5] [6] 3

24 13 Silná interakce 1. Jak závisí prahová energie protonu při produkci antiprotonu na klidové energii protonu m p c, jestliže je antiproton produkován v interakci p+p p+p+p+ p a antiproton má stejnou klidovou energii jako proton? []. Vezměmě proces p+p π + +d, kde urychlené protonydopadajína protonovýterčíkv klidu a jsou produkoványnabité piony a deuterony. Spočítejte prahovou kinetickou energii tohoto procesu T v laboratorní soustavě. Dále předpokládejte, že proces je izotropní v těžišt ové soustavě a tudíž, že pravděpodobnost produkce pionu do pevného prostorového úhlu dω = dφ d(cosθ )jekonstantní,nezávislánatomtoúhlu.vyjádřetepravděpodobnostprodukcevlaboratornísoustavě normalizovanou na jednotkový úhel pomocí úhlu výletu v laboratorní soustavě cosθ lab, rychlosti těžiště βc a rychlosti vylétávajících pionů v laboratorní soustavě βc a jejich hybnosti v těžišt ové soustavě. [4] 3. V experimentech s anihilací e + e byla pozorována úzká rezonance s šířkou menší než energetická neurčitost obou svazků při energii s = 9.5GeV pro oba kanály e + e µ + µ e + e hadrony. Integrovaný účinný průřez pro obě reakce je σ µµ (E)dE = 8, cm MeV σ h (E)dE = 3, cm MeV. Použijte Breit-Wignerův vztah pro šířku rezonance a určete rozpadové šířky Γ µµ a Γ h pro rozpad rezonance na miony a hadrony. [4] 4. Odhadněte jakou musí mít rezonance rozpadovou šířku aby se mohla rozpadat pomocí silné interakce. [16] 4

25 14 Statický kvarkový model 1. V jednoduchém kvarkovém modelu jsou nejlehčí hadrony považovány za vázané stavy kvarků u,d,s a příslušných antikvarků. Napište kvarkovou kompozici mezonů π +,π,π 0,K +,K a K 0 a baryonů n,p,λ dle tohoto modelu. Dále určete, které z následujících interakcí mohou probíhat prostřednictvím silných interakcí K +p K 0 +n K 0 +n Λ+π 0 K +p Λ+π 0 K 0 +p K + +n V aditivním kvarkovém modelu je celkový účinný průřez mezi vysokoenergetickými hadrony dán součtem interakčních účinných průřezů konstituentních kvarků. Vezměte v úvahu rozdílné účinné průřezy pro různé kvarkové páry(izotopická nezávislost silných interakcí) a fakt, že σ(qq) = σ(q q)(pomerančukův teorém) a dokažte vztah σ(λp) = σ(pp)+σ( K 0 p) σ(π + p). Při hybnosti svazku okolo 100GeV/c je celkový interakční účinný průřez pomalu se měnící funkcí hybnosti. Za předpokladu σ( K 0 p) = 0mb, σ(π + p) = 4mb a σ(pp) = 39mb odhadněte účinný průřez interakce p + Ξ. Použijte izotopickou nezávislost interakcí mezi kvarky a Pomerančukův teorém. [1, ] 3. Při zadané hybnosti nalétávajících částic platí σ π + n σ π p ale σ K + n mb a σ K p 55mb. Vysvětlete chování těchto interakčních účinných průřezů. Kvarkové složení částic je p=(uud), n=(udd), π + = (u d),π = (ūd),k + = (u s),k = (ūs). [] 4. Obecně může mít meson s celkovým momentem hybnosti J tyto hodnoty kvantových čísel - C = ( 1) J nebo C = ( 1) J+1 a P = ( 1) J nebo P = ( 1) J+1, což jsou celkem 4 možné kombinace operátorů nábojového sdružení a parity. Které z těchto kombinací jsou možné ve statickém kvarkovém modelu? Uved te zakázané hodnoty J PC explicitně pro J=0,1,,3. [7] [1] 5

26 15 Relativistická kinematika 15.1 Teoretický úvod Relativistické převody Lorentzova transformace x 0 x 1 x x 3 = x = Lx x µ = L µ νx ν γ γβ 0 0 γβ γ x 0 x 1 x x 3 x µ = ( x 0,x 1,x,x 3) kontravariantní vektor γ = 1 1 β β = v c = pc E x µ = (x 0,x 1,x,x 3 ) kovariantní vektor spojení přes metrický tenzor x µ = g µν x ν g µν = diag(1, 1, 1, 1) Rozdíl mezi kovariantním a kontravariantním vektorem je třeba rozlišovat v Minkowského prostoru. V euklidovském to není třeba, jelikož tam je g µν = δ ij. ct z = ct E = p zc E timelike lightlike E = p zc spacelike z p zc Užitečné vztahy: p = mγ v t lab = γτ Invarianty Při převodech mezi soustavami pomocí Lorentzovy transformace můžeme s výhodou použít faktu, že jsme schopni snadno identifikovat veličiny, které jsou vůči této transformaci invariantní a tudíž mají stejnou hodnotu ve všech soustavách. Speciálně pak každý skalární součin dvou čtyřvektorů je invariantní a tudíž každý objekt tohoto typu x = x µ x µ = g µν x ν x µ je stejný v těžišt ové i laboratorní soustavě. Pro x = (E, pc) platí E p c = konst. = m 0 c4 - definuje tzv. invariantní hmotu, souhrn ZZE,ZZH Pro x = (ct, x) platí (ct) x = konst. = s - tzv. časoprostorový interval(nemá analogickou zachovávající se veličinu v galileiho transformaci) Další výhodou konstrukce čtyřvektorů je fakt, že invariant platí i pro kombinaci čtyřvektorů E = E i P = p i M 0 = M 0i E P c = M0 c4 i i i 6

27 15.1. Kinematika vysokoenergetických srážek Lightcone proměnné V celé této kapitole předpokládáme přirozenou soustavu jednotek!!! Vezměme proces a + b c + X, kde X jsou nespecifikované částice. Částici c můžeme považovat za dceřinou částici bud od částice a nebo od částice b. Srážku budeme analyzovat v soustavě, kde svazek částic a nalétává ve směru osy z na terč tvořený částicemi b. Označme p a = (E a, p Ta,p za ) p b = (E b, p Tb,p zb ) čtyřimpuls nalétávající částice čtyřimpuls terčíkové částice Hledáme proměnné, které jsou složeny ze složek čtyřimpulsu částice(ten měříme) a mají nějakou speciální vlastnost při Lorentzově transformaci(to zjednoduší popis). Pro detekovanou dceřinou částici c definujeme c + = E c +p zc c = E c p zc forward lightcone momentum backward lightcone momentum Pro srážku tedy platí a + a,c + c,b + = b = E b. Pro vstřícnou srážku částic x a y by podle stejné definice platilo x + x,y y +. Důležité je, že lightcone proměnné se v různých soustavách od sebe liší jen konstantou E c +p zc = γ(1 β) } {{ } (E c +p zc ) poměr lightcone proměnných je Lorentzovský invariant x ± := E c ±p zc E b ±p zb konstanta nezávislá na částici c ale boostu mezi soustavami... forward(backward) lightcone proměnná částice c vzhledem k b 0 < x ± < 1 Stejně můžeme zavést i x ± vzhledem k částici a, jelikož ne vždy je možné říci, která částice je mateřskou částicí. Pokud zkoumáme experiment, který produkuje částice v jednom preferovaném směru, bereme obvykle jen jednu z lightcone proměnných a druhá se nepoužívá. Feynmanova proměnná x F := p z p max z Feynmanova proměnná byla historicky zavedena při studiu vysokoenergetické srážky hadronů pro popis elementární interakce na kvarkové úrovni. Feynmanova proměnná je obvykle definovaná v soustavě, ve které se částice pohybují s nekonečnou hybností (infinite momentum frame). Je to proto, protože v kvantové mechanice není operátor počtu částic invariantní vůči přechodu z jedné soustavy do druhé a tak počet částic, které pozorujeme při letu vysokoenergetické částice závisí na soustavě, v které proces studujeme. Limitní soustavou je pak soustava, v které se všechny částice pohybují s nekonečnou hybností a tudíž doba života kvantově vytvořených částic je nekonečně malá a tudíž je možno dobře definovat částicové obsazení soustavy. V této soustavě můžeme ukázat(pokud zanedbáme příčné stupně volnosti), že Dále platí M s 1 p z p max s z = lim M 0 (1 M s ) s = s x F = p z s 0 < x F < 1 resp. 1 < x F < 1 pokud vezmeme i záporná p z E + x F 1 Při velkých energiích je x F. = x+ ale při malých se dost liší. Bjorkenova proměnná - DIS,DY 7

28 x Bj = x := Q p.q = p.q ) ; Q = q je přenos hybnosti(momentum transfer) ( s kde p je čtyřhybnost nalétávající částice a q je čtyřhybnost intermediální částice, která zprostředkovává přenos hybnosti. Bjorkenova proměnná byla historicky zavedena při studiu vysokoenergetických rozptylů leptonu na hadronech. Nejčastěji se používá při hluboce nepružném rozptyl(dis) u a při popisu vysokoenergetických hadronových rozptylech. V težišt ové soustavě udává Bjorkenova proměnná podíl hybnosti hadronu, který je nesený kvarkem. Velice často se proto používá jako proměnnáprostrukturnífunkci hadronů,kteráudávápravděpodobnost,žepřisrážceodanévirtualitěq najdemevhadronu kvarks hybnostíxp h. Čímvětšíje Q přisrážce,tímvícesepřisrážceprojevujísamotnékvarkynamístohadronujakočástice. Tudíž veličina Q udává něco jako rozlišení pro danou srážku. Dále platí 0 < x Bj < 1 Speciálně pro interakce typu tzv. Drell-Yanova procesu se používají analogie Bjorkenových proměnných. Tento typ procesů spočívá v anihilaci kvarku a antikvarku z dvou hadronů za vyzáření intermediální částice, která se následně rozpadne na leptonový nebo kvarkový pár. Definují se zde dvě analogie Bjorkenovy proměnné x 1 a x, které v infinite momentum frame udávají poměr hybností kvarku resp. antikvarku vzhledem k hybnosti příslušných hadronů. Pro tyto proměnné lze pak ukázat následující vztahy Rapidita x 1 x = x F x 1 = x F +4M s +x F y = 1 ( ) E ln +pz = 1 E p z lnx + x y R x 1 x = M s v nerelativistické limitě y β (=longitudinální rychlost v jednotkách c) Rapidita není Lorentz invariantní, ale transformuje se jako ỹ = y f(β) = y y β, kde y β = 1 ln(1+β 1 β ). Rapidita je tedy relativistická verze longitudinální rychlosti částice. Dále platí E = m T coshy p z = m T sinhy y = 1 ( ) E ln +pz = 1 ( (E E p ln +pz ) ) z E p = 1 ( (E ln +pz ) ) s + z M 1 ln s M s y 1 y ln resp. s m 1 m e y1 y m 1 m Veličina m T je tzv. příčná hmota a je definovaná následujícím postupem m = E p = E p z p T E p z = m +p T =: m T Určíme-li rapiditu nalétávajících částic, tak oblast kolem jejich průměru se nazývá central rapidity region a v tomto regionu vzniká většina částic. Pseudorapidita Oproti rapiditě má výhodu v tom, že stačí 1 proměnná pro její definici - úhel výletu ( η = ln tg θ ) θ - úhel mezi hybností částice p a osou svazku η = 1 ( ) ln p +pz pro velké hybnosti η a y splývají p p z pro převod mezi (η, p T ) a (y, p T ) se hodí vztah 8