Úloha 1: Vypočtěte hustotu uhlíku (diamant), křemíku, germania a α-sn (šedý cín) z mřížkové konstanty a hmotnosti jednoho atomu.

Transkript

1 Úloha : Vypočtěte hustotu uhlíku (diamant), křemíku, germania a α-sn (šedý cín) z mřížkové konstanty a hmotnosti jednoho atomu. Všechny zadané prvky mají krystalovou strukturu kub. diamantu. ( tj. plošně centrovanou kubickou mříž. Atomová hmotnostní konstanta: m u = * 0-27 kg = * 0-24 g Počet atomů v krys. buňce: Z = 8 Objem krys. buňky: V = a 3 (tj. mřížková konstanta na třetí, protože se jedná o krychli) Uhlík (C): Atomová hmotnost: A r = Mřížková konstanta: a = 3.57 Å = 3.57 * 0-8 cm Klidová hmotnost: m = A r * m u = * * 0-24 = * 0-23 g (ze vztahu pro rel. atom. hmotnost A r = m m u ) Křemík (Si): Atomová hmotnost: A r = Mřížková konstanta: a = 5.43 Å = 5.43 * 0-8 cm Klidová hmotnost: m = A r * m u = * * 0-24 = * 0-23 g Germanium (Ge): Atomová hmotnost: A r = Mřížková konstanta: a = 5.66 Å = 5.66 * 0-8 cm Klidová hmotnost: Šedý cín (α-sn): Atomová hmotnost: A r = 8.7 m = A r * m u = * * 0-24 = * 0-22 g Mřížková konstanta: a = 6.49 Å = 6.49 * 0-8 cm Klidová hmotnost: m = A r * m u = 8 * 8.7 * * 0-24 = * 0-22 g Hustota: Uhlík (C): Křemík (Si): Germanium (Ge): Šedý cín (α-sn): ρ = Z m V = Z m a ( ) 3 = g/cm ( ) 3 = g/cm ( ) 3 = g/cm ( ) 3 = g/cm 3

2 Úloha 2: Jaká je vzdálenost nejbližších sousedů v struktuře grafitové roviny (grafen)? Jaký je počet uhlíkových atomů na ploše velikosti μm 2 a jaká je její hmotnost? Mezi dvěma sousedy je minimální vzdálenost 0.42 nm s vazebným úhlem 20. Vrstvy grafenu jsou od sebe vzdáleny nm. Vzdálenost AB: a = 0.42 nm =.42 * 0 - nm Obsah plochy: S p = μm 2 = 0 6 nm 2 Obsah hexagonu: S h = a2 = (.42 0 ) 2 = * 0-2 nm 2 Počet hexagonů: h = S p 0 6 = S h = * 0 7 ploch Počet atomů: N = h 6 3 = = * 0 7 atomů (krát 6 jeden hexagon obsahuje 6 atomů, děleno 3 jeden atom sdílejí 3 hexagony) Atomová hmotnost C: A r = Atomová hmotnostní konstanta: m u = * 0-27 kg Klidová hmotnost atomu C: m k = A r * m u = * * 0-27 = * 0-26 kg Hmotnost μm 2 grafitu: m = N * m k = * 0 7 * * 0-26 = 7.64 * 0-9 kg

3 Úloha 3: Z mřížkové konstanty C 60 (kubická plošně centrovaná mříž) spočítejte jeho hustotu a porovnejte s hustotou diamantu a grafitu. Jaký objem připadá na jeden atom v těchto třech formách C? Fulleren C 60 ma kubickou plošně centrovanou mřížku, takže se cm 2 dá složit z několika krystalových jednotek (krychliček) o hraně délky 'a' (tj. mřížková konstanta, viz níže). Krystal z jedné krychličky se skládá ze 4 částic C 60 (8 vrcholů + 6 středů stěn). Krystal z 8 krychliček (tj. 2*2*2) bude mít 63 částic, 3*3*3 bude mít => x*x*x krychlička bude mít (x + ) * x 2 * (x + ) částic Atomová hmotnostní konstanta: m u = * 0-27 kg = * 0-24 g Atomová hmotnost C: A r = Mřížková konstanta C 60 : a = 4.5 Å =.45 * 0-7 cm Klidová hmotnost atomu C: m = A r * m u = * * 0-24 = * 0-23 g Počet částic v krystalu o hraně x: Z = (x + ) * x 2 * (x + ) Hustota: ρ = Z m V = = (( x+)3 +3 x 2 (x+)) (60 m k ) V Pro objem V = cm 3 bude krystal mít hranu /a, hustota tedy bude: ρ = (( 3 a +) +3 ( 2 ( a ) a +)) (60 m k) = V 3 2 = (( ) +3 ( ) ( 7+)) ( ) = =.6895 g/cm 3 Hustota diamantu: ρ d = 3,55 g/cm 3 Hustota grafitu: ρ g = g/cm 3 ρ => C 60 má asi ρ =.6895 ρ d = 48% hustoty diamantu a 3.55 ρ =.6895 g = 74% hustoty grafitu, je tedy velice lehký. Objem atomu C 60 : Zpětně vyjádříme objem atom z předchozí rovnice o objemu cm 3 tak, že vydělíme objem cm 3 počtem molekul * 60 ( molekula obsahuje 60 atomů): V c60 = =.8048 * 0-23 cm 3 Objem atomu diamantu: Z příkladu víme, že diamant ma v krys. buňce 8 atomů, buňka má objem a 3, kde a = 3.57 * 0-8 cm (mřížková konstanta), zpětně vyjádříme objem atomu: a 3 ) 3 V d = 8 =( = * 0-24 cm 3 8 Objem atomu grafitu: Z příkladu 2 víme, že na μm 2 je * 0 7 atomů, vrstvy grafenu jsou od sebe vzdáleny nm = 3.35 * 0-4 μm, do μm se jich tedy vejde Počet atomů v μm 3 = 0-2 cm 3 je tedy = * Objem atomu poté bude: V g = = * 0-24 cm =

4 Úloha 4: Spočítejte objem na jednu molekulu plynu s tlakem bar, 0-2 a 0-9 bar při teplotách 0 a 00 C. Počet částic: N = Tlak : p = bar = 0 5 Pa Tlak 2: p 2 = 0-2 bar = 0-7 Pa Tlak 3: p 3 = 0-9 bar = 0-4 Pa Teplota : T = 0 C = K Teplota 2: T 2 = 00 C = K Boltzmannova konstanta: k =.3806 * 0-23 J/K Stavová rovnice idealního plynu: p*v = N*k*T => => Objem: V = N k T = ( T ) p p Objem: p = 0 5 Pa p 2 = 0-7 Pa p 3 = 0-4 Pa T = K 3.77 * 0-26 m * 0-4 m * 0-7 m 3 T 2 = K 5.57 * 0-26 m * 0-4 m * 0-7 m 3

5 Úloha 5: Spočtěte objem plynu za normálních podmínek, ve kterém nastávají relativní fluktuace hmoty velikosti 0, a 0,000. Norm ální podmínky: Teplota: T = K Tlak: p =.0325 * 0 5 P Boltzmannova konstanta: k =.3806 * 0-23 J/K Stavová rovnice idealního plynu: p*v = N*k*T => => Objem: V = N k T p = N Fluktuace (f) je nep římo úměrná druhé odmocnině počtu molekul: f = N => N = f 2 Při fluktuacích 0. bude N = 0. 2 = 00: = > V = = * 0-24 m 3 Při fluktuacích bude N = = 0 8 : => V = = * 0-8 m 3

6 Úloha 6: Jaká je vnitřní energie m 3 idéalního jednoatomového plynu při tlaku 0-0 a 000 bar? Objem: V = m 3 Tlak : p = 0-0 bar = 0-5 Pa Tlak 2: p 2 = 000 bar = 0 8 Pa Stavová rovnice idealního plynu: p*v = N*k*T => => Počet částic: N = Vnitřní energie ideálního plynu: U = Pro tlak : U =.5 * 0-5 J Pro tlak 2: U =.5 * 0 8 J p V k T 3 2 N k T = 3 2 p V k T k T = 3 2 p V = 3 2 p= 3 2 p

7 Úloha 7: Jaká je energie tepelného záření v objemu m 3 při teplotách -270, 0, 6000 C? Objem: V = m 3 Pi: π = 3.46 Boltzmannova konstanta: k =.3806 * 0-23 J/K Redukovaná Planckova konstanta: ħ =.0546 * 0-34 J*s Rychlost světla: c = m/s Energie (podle vzorce pro celkovou hustotu energie): π 2 k 4 U = 5 ħ 3 c 3 V T ( ) 4 = 5 ( ) T 4 = = * 0-6 * T 4 J Při teplotě: T = -270 C = 3.5 K => U = 7.564*0-6 * = * 0-4 J T 2 = 0 C = K => U = 7.564*0-6 * = * 0-6 J T 3 = 6000 C = K => U = 7.564*0-6 * =.74 J

8 Úloha 8: Jaký celkový výkon vyzařuje absolutně černé těleso (emisivita ) z plochy dm 2 při teplotě 37 C? Plocha: S = dm 2 = 0.0 m 2 Teplota: T = 37 C = 30,5 K Emisivita: ε = Stefan-Boltzmannova konstanta: σ = * 0 8 W m 2 K 4 Celkový výkon (podle Stefan-Boltzmannova zákona): P = ε * σ * S * T 4 = * * 0 8 * 0.0 * = W

9 Úloha 9: Jakou energii má dopadající a rozptýlený foton v Comptonově experimentu při λ i = 0. nm a úhlu rozptylu 90? Počáteční vlnová délka: λ i = 0. nm = 0-0 m Úhel rozptylu: θ = 90 Planckova konstanta: h = * 0-34 J*s Rychlost světla: c = m/s Comptonova vlnová délka (elektron): λ c = h m e c = * 0-2 m Comptonova rovnice: λ λ i = h m e c ( cosθ) => => Vlnová délka: λ = h m e c ( cosθ)+λ i= ( cos90 )+0 0 = = * 0-0 m Energie dopadajícího fotonu: E d = Energie rozptýleného fotonu: E d = h c λ = i 0 0 = * 0-5 J h c λ = * 0-5 J

10 Úloha 0: Jaká je de Broglieho vlnová délka elektronu a neutronu s rychlostmi 0 3 a 0 6 m/s? Planckova konstanta: h = * 0-34 J*s Rychlost světla: c = m/s m o v Relativistick á hybnost: p = v 2 ( c ) 2 De Broglieho vlnová délka: λ= h p = h = h m o v m o v v ( )= 2 c m o v v ) 2 v 2 ( c ) 2 Klidová hmotnost elektronu: m e = * 0-3 kg Klidová hmotnost neutronu: m n = * 0-27 kg Rychlost : v = 0 3 m/s Rychlost 2: v 2 = 0 6 m/s De Broglieho vlnová délka: m e = * 0-3 kg m n = * 0-27 kg v = 0 3 m/s * 0-7 m * 0-0 m v 2 = 0 6 m/s * 0-0 m * 0-3 m

11 Úloha : Jaká je neurčitost hybnosti a rychlosti elektronu v jednorozměrném pohybu s prostorovou lokalizací do oblasti velikosti nm? Klidová hmotnost elektronu: m e = * 0-3 kg Odchylka pozice: Δx = nm = 0-9 m Rychlost světla: c = m/s Redukovaná Planckova konstanta: ħ = * 0-34 J*s Relace odchylky pozice a hybnosti: Δ x Δo ħ 2 => Odchylka hybnosti: Δ p ħ 2 Δ x = = * 0-26 (kg*m)/s Neurčitost rychlosti: c 2 p ( p c) 2 +(m e c 2 ) = ( ) 2 +( ) 2 = = m/s