Úlohy - predikátová logika (přepis)
|
|
- Ivana Slavíková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Úlohy - predikátová logika (přepis) Martin Všetička 7. ledna 2009, 17:12 Zásadní informace pro následné čtení příkladů Tvrzení: Pravidlo tautologie (PTT) Pravidlo o rozboru případů (PR) Pravidlo konjunkce (PK) Pravidlo tranzitivity implikace (PTI) Důkaz. Každá tautologie je dokazatelná v predikátové logice. T $ pa _ Bq Ñ C ô pt $ A Ñ Cq a pt $ B Ñ Cq T $ A a T $ B ô T $ A & B T $ A Ñ B a T $ B Ñ C ñ T $ A Ñ C 1. PTT plyne z toho, že predikátová logika 1. řádu v sobě přirozeně obsahuje výrokovou logiku (tj. každá formule je výrok nad prvovýroky, které představují atomické formule a formule začínající kvantifikátorem). 2. PR plyne z PTT a z faktu, že pa _ Bq Ñ C Ø ppa Ñ Bq & pb Ñ Cqq je tautologie. 3. PK plyne z toho, že A Ñ pb Ñ pa & Bqq je tautologie, z PTT a z definice symbolu $. 4. PTI plyne z toho, že pa Ñ Bq Ñ ppb Ñ Cq Ñ pa Ñ Cqq je tautologie. Další základní poučky, pravidla, věty a axiomy a jejich symbolické označení Poučka, pravidlo, axiom Symbol Formulace Pravidlo Modus Ponens MP Odvod B z A a A Ñ B Pravidlo Generalizace PG Odvod p@xqa z A Axiom Specifikace AxS p@xqa Ñ A x rts; A x rts Ñ pdxqa ( duální verze ) Axiom Přeskoku AxP p@xqpa Ñ Bq Ñ pa Ñ p@xqbq, není-li x volná v A. Pravidlo PZ@ T $ A Ñ B ñ T $ A Ñ p@xqb, není-li x volná v A. Pravidlo Zavedení D PZD T $ A Ñ B ñ T $ pdxqa Ñ B, není-li x volná v B. Věta o uzávěru VU T $ A ô T $ A 1, je-li A 1 uzávěr A. Věta o Instanci VI T $ A ñ T $ A 1, je-li A 1 instance A. Věta o Substituci VS a) $ p@x 1,..., x n qa Ñ A x1,...,x n rt 1,..., t n s b) $ A x1,...,x n rt 1,..., t n s Ñ pdx 1,..., x n qa Věta o Konstantách VK T $ A ô T 1 $ A x1,...,x n rc 1,..., c n s, je-li T 1 rozšíření o nové konstantní symboly c i, 1 i n. Věta o Dedukci VD Je-li A sentence, tak T, A $ B ô T $ A Ñ B. Důkaz sporem DS Je-li A sentence, tak T, A je sporná ô T $ A. Pravidlo Distribuce Q PDQ T $ A Ñ B ñ T $ pqxqa Ñ pqxqb. Věta o Ekvivalenci VE Necht formule A 1 vznikne z formule A nahrazením některých výskytů podformulí A 1, A 2,..., A n po řadě formulemi A 1 1, A 1 2,..., A 1 n, kde P t1,..., nu je $ A i Ø A 1 i. Potom: $ A Ø A1. Věta o Variantách VV $ A Ø A 1, je-li A 1 varianta A. 1
2 Další běžně užívaná symbolická označení: Q... označení pro kvantifikátor D) ñ... značí české implikuje. ô... značí české je ekvivalentní. Ñ... symbol pro implikaci ve formálním jazyce Ø... symbol pro ekvivalenci ve formálním jazyce Pro formule A, B symbol A B značí formule A je B ; obdobně o termech t, s můžeme prohlásit t s Je-li A formule resp. t je term, symbol Apxq resp. tpxq značí, že x je nějaká n-tice x 1,..., x n navzájem různých proměnných, mezi kterými jsou všechny volné proměnné A resp. všechny proměnné termu t. F.1.0 Substituce, instance F Vlastnosti substitucí a instancí 1. Dokažte: $ p@xqa Ø p@yqa x rys, pokud y není volná v A a je substituovatelná za x do A. Speciálně tedy platí: p@xqa Ø p@yqa x rys, nemá-li y výskyt v A. Označme A x rys jako A 1. Oba předpoklady o x, y v A zaručují, že volný výskyt y v A 1 je právě tam, kde je volný výskyt x v A. Tedy x je substituovatelné za y do A 1 a A 1 yrxs je A. (6) $p@yqa 1 Ñ A y rxs $p@yqa 1 Ñ A (přepis) $p@xqa Ñ A 1 $p@yqa 1 Ñ p@xqa (PZ@ na ) $p@xqa Ñ p@yqa 1 (PZ@ na ) $p@xqa Ø p@yqa x rys (PK na a ) Přípisek: Ukažme si ty substituce na příkladu, mějme formuli: A x 0 Ñ pdyqpy 0q Máme splněné oba předpoklady (y není volná v A a y je substituovatelná za x). A 1 je tedy tvaru: A 1 y 0 Ñ pdyqpy 0q Proměnná x je zřejmě substituovatelná za y, čímž dostaneme: A x 0 Ñ pdyqpy 0q 2. Dokažte: $ p@x 1,..., x n qa Ñ A x1,...,x n rt 1,..., t n s Pro každé i 1, 2,..., n platí (*) $ p@x i, x i 1,..., x n qa Ñ A 2
3 Toto tvrzení dokážeme pomocí indukce: (7) (8) (9) $ p@x i, x i 1,..., x n qa Ñ p@x i 1,..., x n qa $ p@x i 1,..., x n qa Ñ A (indukční předpoklad) $ p@x i, x i 1,..., x n qa Ñ A (PTI na a ) Dokazované tvrzení plyne z (*) pomocí věty o instancích: $(p@x 1,..., x n qa Ñ A) x1,...,x n rt 1,..., t n s (VI na (*)) $p@x 1,..., x n qa Ñ A x1,...,x n rt 1,..., t n s (viz vysvětlení níže) Přechod od k je možný proto, že premisa implikace v neobsahuje žádnou z proměnných x 1,..., x n volně - vycházíme tedy z definice substituovatelnosti termu do formule. Přípisek: Zadání je věta o substituci, jak je uvedeno v úvodní tabulce. 3. Dokažte: kde e 1 px 1 {t 1 res,..., x n {t n resq. M ( A x1,...,x n rt 1,..., t n sres ô M ( Are 1 s, Indukcí podle složitosti A. Pro A atomickou a spojky krok pro A tvaru p@xqb: a Ñ to je jasné. Indukční M ( A x1,...,x n rt 1,..., t n sres ô M ( B x1,...,x n rt 1,..., t n srepx{aqs pro každé a P M (definice splňování) ô M ( Brepx{aq 1 s pro každé a P M (indukční předpoklad) ô M ( Bre 1 px{aqs pro každé a P M (viz vysvětlení níže) ô M ( p@xqbre 1 s (definice splňování) ô M ( Are 1 s (přepis) Třetí ekvivalence plyne z e 1 px{aq epx{aq 1, což platí v důsledku toho, že x není v t i díky substituovatelnosti 1 t i za x i do A. Přípisek: Kompletní důkaz je možno najít ve skriptech Jana Pelce, str. 28, lemma 8.12 F Vlastnosti instancí - protipříklady 1. & p@xqa Ñ A t x, je-li A t x výsledek nahrazení každého volného výskytu x v A termem t. Podle věty o úplnosti predikátové logiky stačí: xm, P M y * p@xqa Ñ A t x, kde: A je pdyqp px, yq M ta, bu P M txa, by, xb, ayu volíme t y Přípisek: A t x není to samé, co substituovatelnost termu t za proměnnou x do formule A. 1 Protože A je tvaru p@xqb. 3
4 2. M ( A t xres ø M ( Are 1 s, kde e 1 epx{tresq a A t x je výsledek nahrazení každého volného výskytu x v A termem t. Protipříklad je následující: A bud pdyqp px, yq t bud y; tedy A t x je pdyqp py, yq M ta, bu P M txa, by, xb, ayu Mějme epxq a, epyq b a e 1 pxq b e 1 pyq. Pak xm, P M y ( Are 1 s, ale xm, P M y * A y xres. 3. T $ A x rts T $ A, kde T je jistá teorie v jazyce xm, P, cy - P je unární predikát, c konstanta. Protipříklad je následující: Bud T tp pcqu Bud M xm, P M, c M y ( T, kde P M tc M u Bud A P pxq Bud t c Pak M ( P pcq, ale M * P pxq F.1.1 Varianta F Definice: Říkáme, že formule A 1 je variantou formule A, jestliže A 1 vznikne z A postupným nahrazením podformulí tvaru pqxqb formulemi pqyqb x rys, kde y není volná proměnná ve formuli pqxqb. Bud te x, y, z, u různé proměnné, Q kvantifikátor. Odpovězte a uved te důvod, zda platí: B je varianta A. 1. A pqxqpx y _ pdzqpz y & z xqq, B pqzqpz y _ pdzqpz y & z zqq Ne. z není substitovatelné za x do A. Přípisek: Protože existuje podformule A ve tvaru pdzqc taková, že x má v C volný výskyt. 2. A pqxqpx y _ p@zqpz y & z xqq, B pqyqpy y _ p@zqpz y & z yqq Ne. y je volná v A. 3. A pqxqpx y _ pdzqpz y & z xqq, B pquqpu y _ pdzqpz y & z uqq Ano. u není volná v A a je substituovatelná za x do A. 4
5 F.1.2 Dokazatelné, vyvratitelné a nezávislé formule F Dokazatelnost jednoduchých formulí Bud te P, R různé unární predikátové symboly. Odpovězte, zda uvedená formule je: a uved te důvod. 1. P dokazatelná (D) / vyvratitelná (V) / nezávislá (NZ) NZ. x1, 0y ( P, x1, 1y ( P Přípisek: x1, 0y zde značí model jehož interpretace (realizace) je: 2. P Ñ R M 1 t0u... jednoprvková množina, že je jejím prvkem zrovna nula není příliš podstatné P M H NZ. x2, 0, 2y ( P Ñ R... Premisa (P) je vždy nesplněná. x2, 2, 0y ( pp Ñ Rq... Premisa (P) je vždy splněná, závěr (R) je však vždy nesplňen. Přípisek: x2, 0, 2y zde značí model jehož interpretace (realizace) je: M 2 t0, 1u P M H R M tt0u, t1uu 3. P Ñ pr Ñ P q D. Je to tautologie (instance axiomu A1). 4. pdxqp pxq NZ. x1, 0y ( pdxqp x1, 1y ( pdxqp 5. P pxq _ pdxq P pxq D. Formule je logicky ekvivalentní s p@xqp Ñ P, což je axiom substituce. Přípisek: P pxq _ pdxq P pxq ô P pxq Ñ pdxq P pxq (zkratky) Formule není nic jiného než instance duální verze axiomu specifikace (viz tabulka v první kapitole). 5
6 F Nezávislé formule v modelu 1. Bud A formule P Ñ p@xqp, kde P je unární relační symbol. V právě kterých modelech 2 xm, P M y, neplatí A ani A? Právě, když 0 P M M. Přípisek: Pokud bude splněno 0 P M M, pak pro danou realizaci jazyka (pojem model mi zde obsahově nesedí) budou vždy existovat ohodnocení e a e 1 taková, že xm, P M y ( Ares ale xm, P M y * Are 1 s. 2. Bud A formule x c, kde c je konstantní symbol. V právě kterých modelech xm, c M y, neplatí A ani A? Právě když M 1. Přípisek: Pokud bude M 1, pak bude existovat právě jedno ohodnocení e, pro které bude platit epxq c M, pro jedno ohodnocení bude tedy formule splněna pro zbývající ne, tedy formule je nezávislá. 3. Bud A formule P Ñ p@xqr, kde P, R jsou různé unární predikátové symboly. V právě kterých modelech M xm, P M, R M y, neplatí A ani A? Právě, když 0 P M M R M. Přípisek: Zřejmě platí: looomooon #1 loooomoooon loooomoooon #2 M * A ô P M 0 a R M M, M * A ô P M M nebo R M M. #3 loooomoooon #4 Aby byla formule A nezávislá, musíme spojit podmínky #1, #2 a #3 (viz 3 ). F.1.3 Protipříklady F K větě o dedukci a o důkazu sporem 1. T, A $ B T $ A Ñ B, kde T tpdxqp u je teorie v jazyce xp y s unárním predikátem P, A je P pxq a B vhodné. Bud B formule p@xqp pxq. Je dokazatelné T, A $ B: T, P pxq $ P pxq T, P pxq $ p@xqp pxq (PG) Platí však T & A Ñ B, nebot xm, P M y * P pxq Ñ p@xqp pxq, když 0 P M M. 2 Použil bych raději pojem interpretace jazyka, jelikož model je definován jako interpretace jazyka L, při které je formule pravdivá. 3 Podmínky #1, #2 a #4 se vylučují, pro jich nelze použít. 6
7 2. Přípisek: V dokumentu [1], 3.44 je uvedeno které jiné formule lze použít pro dokázání našeho tvrzení. Jsou to formule, jejichž důkaz závisí na použítí pravidla generalizace (což se dále např. využije pro použití pravidla T, A je sporná teorie T $ A, kde T tpdxqp u je teorie v jazyce xp y s unárním predikátem P a A je vhodné. Bud A rovno P. T, A je sporná, nebot dokazuje pdxqp & pdxqp : T, P $ P (předpoklad) T, P $ p@xq P (PG) T, P $ pdxqp (předpoklad) T, P $ pdxqp & p@xq P (Pravidlo konjunkce na a ) T, P $ pdxqp & pdxqp (Prenex (i) + VE) Díky tautologii pb & Bq Ñ C dostáváme T, A $ C. Na druhé straně T & A, nebot pdxqp & P, o čemž svědčí model x2, 1y * P. F.1.4 Tvrzení o kvantifikátorech F Vytýkání kvantifikátorů Necht Q značí kvantifikátor, Q 1 kvantifikátor duální ke Q. 1. p@xqpa Ñ Bq Ø pa Ñ p@xqbq, nemá-li x volný výskyt v A. Ñ Instance axiomu přeskoku. Ð Dokazujeme takto: $pa Ñ p@xqbq Ñ ppp@xqb Ñ Bq Ñ pa Ñ Bqq (tautologie PTI) $pp@xqb Ñ Bq Ñ ppa Ñ p@xqbq Ñ pa Ñ Bqq (věta o záměně předpokladů 3 ) $p@xqb Ñ Bq $pa Ñ p@xqbq Ñ pa Ñ Bq $pa Ñ p@xqbq Ñ p@xqpa Ñ Bq 2. pdxqpa Ñ Bq Ñ pa Ñ pdxqbq, nemá-li x volný výskyt v A. Ñ Dokazujeme: (, MP) (PZ@) $pa Ñ Bq Ñ ppb Ñ pdxqbq Ñ pa Ñ pdxqbqq (tautologie PTI) $pb Ñ pdxqbq Ñ ppa Ñ Bq Ñ pa Ñ pdxqbqq (věta o záměně předpokladů 3 ) $B Ñ pdxqb ( duální verze AxS) $pa Ñ Bq Ñ pa Ñ pdxqbq (, MP) $pdxqpa Ñ Bq Ñ pa Ñ pdxqbq (PZD) 3 viz skripta Jana Pelce, věta
8 3. pa Ñ pdxqbq Ñ pdxqpa Ñ Bq Ñ Dokazujeme: (6) (7) (8) $pa Ñ Bq Ñ pdxqppa Ñ Bq ( duální verze AxS) $ A Ñ pa Ñ Bq (V2) $ A Ñ pdxqpa Ñ Bq (, PTI) $B Ñ pa Ñ Bq (A1) $pdxqb Ñ pdxqpa Ñ Bq (DK 4 ) $p A _ pdxqbq Ñ pdxqpa Ñ Bq (, PR) $p A _ pdxqbq Ø pa Ñ pdxqbq (zkratky) $pa Ñ pdxqbq Ñ pdxqpa Ñ Bq (VE na (6) se (7)) 4. pqxqpa Ñ Bq Ø ppq 1 xqa Ñ Bq, nemá-li x volný výskyt v B. Návod: Užijte tvrzení o vytýkání kvantifikátorů z konsekventu implikace. $ pqxqpa Ñ Bq Ø pqxqp B Ñ Aq (V5) Ø p B Ñ pqxq Aq (Prenex (ii)) Ø p pqxq A Ñ Bq (V5 a V3,V4) Ø ppq 1 xqa Ñ Bq (vztah a D) 5. pqxqpa Bq Ø pa pqxqbq, nemá-li x volný výskyt v A, je _ nebo &. Návod: Užijte tvrzení o vytýkání kvantifikátorů z konsekventu implikace. (a) Q je _. Jsou dokazatelné ekvivalence: $ p@xqpa _ Bq Ø p@xqp A Ñ Bq (zkratky) Ø p A Ñ p@xqbq (Prenex (ii)) Ø pa _ p@xqbq (zkratky) C, demor- (b) Ostatní vztahy plynou z (a) užitím $ pdxqc Ø p@xq C, $ C Ø ganových pravidel a věty o ekvivalenci. F Vytýkání kvantifikátorů - protipříklady Necht Q značí kvantifikátor, Q 1 kvantifikátor duální ke Q. 1. & p@xqpa Ñ Bq Ñ pa Ñ p@xqbq. Bud M xm, P M, R M y, kde P, R jsou unární predikátové symboly. Bud a P P. 4 Distribuce Kvantifikátorů, Jan Pelc, lemma 9.9; důsledek PZD 8
9 Necht platí 0 P M R M M. Pak M ( p@xqpp Ñ Rq, M * pp Ñ p@xqrqras. Tedy M * p@xqpp Ñ Rq Ñ pp Ñ p@xqrq. 2. & pa Ñ p@xqbq Ñ p@xqpa Ñ Bq. Pak Bud M xm, P M, R M y, kde P, R jsou unární predikátové symboly. Bud a P MzP M. Necht platí 0 P M R M. M ( pp Ñ p@xqrqras... jelikož není splněna premisa M * p@xqpp Ñ Rq Tedy M * pp Ñ p@xqrq Ñ p@xqpp Ñ Rq. 3. & pdxqpa Ñ Bq Ñ pa Ñ pdxqbq. Pak Bud M xm, P M, R M y, kde P, R jsou unární predikátové symboly. Bud a P P M. Necht platí 0 P M ˆ M, R 0. M ( pdxqpp Ñ Rq... protože existuje a P MzP M M * pp Ñ pdxqrqras... protože je a P P M Tedy M * pdxqpp Ñ Rq Ñ pp Ñ pdxqrq. F Vlastnosti kvantifikátorů 1. Dokažte syntakticky, přičemž Q značí kvantifikátor: $ pqxqpa & Bq Ñ pqxqa & pqxqb Necht všechny volné proměnné formulí A, B kromě x jsou mezi x 1,..., x n, necht c 1,..., c n jsou nové konstantní symboly, A 1 je A x1,...,x n rc 1,..., c n s, B 1 je B x1,...,x n rc 1,..., c n s. (6) (7) (8) (9) $pa 1 & B 1 q Ñ A 1 (PK (tautologie)) $pa 1 & B 1 q Ñ B 1 (PK (tautologie)) $pqxqpa 1 & B 1 q Ñ pqxqa 1 (PDQ na ) $pqxqpa 1 & B 1 q Ñ pqxqb 1 (PDQ na ) pqxqpa 1 & B 1 q $pqxqa 1 ( VD) pqxqpa 1 & B 1 q $pqxqb 1 ( VD) pqxqpa 1 & B 1 q $pqxqa 1 & pqxqb 1 (PK na, (6)) $pqxqpa 1 & B 1 q Ñ pqxqa 1 & pqxqb 1 ((7) VD) $pqxqpa & Bq Ñ pqxqa & pqxqb ((8) VK) 2. Dokažte syntakticky, přičemž Q značí kvantifikátor: $ p@xqa & p@xqb Ñ p@xqpa & Bq 9
10 Necht všechny volné proměnné formulí A, B kromě x jsou mezi x 1,..., x n, necht c 1,..., c n jsou nové konstantní symboly, A 1 je A x1,...,x n rc 1,..., c n s, B 1 je B x1,...,x n rc 1,..., c n s. (6) p@xqa 1 & p@xqb 1 $A 1 (AxS + MP) p@xqa 1 & p@xqb 1 $B 1 (AxS + MP) p@xqa 1 & p@xqb 1 $A 1 & B 1 (PK na a ) p@xqa 1 & p@xqb 1 $p@xqpa 1 & B 1 q (PG) $p@xqa 1 & p@xqb 1 Ñ p@xqpa 1 & B 1 q (VD) $p@xqa & p@xqb Ñ p@xqpa & Bq (VK) 3. Dokažte syntakticky: $ p@xqpa & Bq Ø p@xqa & p@xqb, $ pdxqpa _ Bq Ø pdxqa _ pdxqb Návod: i) $ pqxqpa & Bq Ñ pqxqa & pqxqb, ii) $ p@xqa & p@xqb Ñ p@xqpa & Bq (a) První formule: $p@xqpa & Bq Ñ p@xqa & p@xqb (příklad 1., tj. hint i) ) $p@xqa & p@xqb Ñ p@xqpa & Bq (příklad 2., tj. hint ii) ) $p@xqpa & Bq Ø p@xqa & p@xqb (PK a ) (b) Druhá formule plyne z první užitím (Negace Implikace (NI)): T $ C Ñ C 1 ô T $ C 1 Ñ C (což plyne z PTT) a VE. (6) $ p@xqpa & Bq Ø pp@xqa & p@xqbq (NI) $ p@xqpa & Bq Ø p@xq p A _ Bq (demorgan) Ø pdxqp A _ Bq (zkratky) $ pp@xqa & p@xqbq Ø p@xqa _ p@xqb (demorgan) Ø pdxq A _ pdxq B (zkratky) $ pdxqp A _ Bq Ø pdxq A _ pdxq B Formule (6) plyne z toho, že jsme dokázali ekvivalentními úpravami obě strany formule (6) z již dokázaného tvrzení. Formuli (6) si navíc můžeme pozměnit 5, tak že podformule tvaru B zaměníme za B, čímž dostaneme žádáné. 4. Dokažte syntakticky: $ pdxqpa & Bq Ñ pdxqa & pdxqb, $ p@xqa _ p@xqb Ñ p@xqpa _ Bq Návod: i) $ pqxqpa & Bq Ñ pqxqa & pqxqb, ii) $ p@xqa & p@xqb Ñ p@xqpa & Bq (a) První formule: Přímo plyne z hintu i) (b) Druhá formule plyne z první užitím (Negace Implikace (NI)): T $ C Ñ C 1 ô T $ C 1 Ñ C (což plyne z PTT) a VE. 5. Dokažte syntakticky: $ p@xqp@yqa Ø p@yqp@xqa, $ pdxqpdyqa Ø pdyqpdxqa 5 Tím vlastně vytváříme instanci dané tautologie. 10
11 (a) První formule: Ñ Ñ A $p@xqp@yqa Ñ A (PTI na a ) $p@xqp@yqa Ñ p@xqa (PZ@) $p@xqp@yqa Ñ p@yqp@xqa (PZ@) Ze symetrie plyne druhá implikace. Pomocí PK pak plyne tvrzení. (b) Druhá formule plyne z první formule užitím NI a VE: $ p@xqp@yqa Ø p@yqp@xqa ô $ p@xqp@yqa Ø p@yqp@xqa (NI) ô $ pdxq p@yqa Ø pdyq p@xqa (Prenex (i)) ô $ pdxqpdyq A Ø pdyqpdxq A (Prenex (i)) ô $ pdxqpdyqa Ø pdyqpdxqa V kroku jsme provedli stejnou úvahu jako v příkladu Dokažte syntakticky, přičemž Q značí kvantifikátor: $ pdxqp@yqa Ñ p@yqpdxqa, $ pqxqa Ø A, není-li x volná v A. (a) První formule: $A Ñ pdxqa (VS) $p@yqa Ñ p@yqpdxqa (PD@) $pdxqp@yqa Ñ p@yqpdxqa (PZD) (b) Druhá formule. Q $p@xqa Ñ A $A Ñ p@xqa (PZ@) $p@xqa Ø A (PK na a ) Pro Q rovno D plyne tvrzení z dokázaného užitím NI a VE. 7. Dokažte: není-li x obsaženo v termu t. A x rts Ø p@xqpx t Ñ Aq, Ñ $p@xqpx t Ñ Aq Ñ pt t Ñ A x rtsq (AxS 6 ) $t t Ñ pp@xqpx t Ñ Aq Ñ A x rtsq (Záměna předpokladů) $t t (Axiom identity) $p@xqpx t Ñ Aq Ñ A x rts (MP) 6 Předpokládá se substituovatelnost t za x do A 11
12 Ð $t 1 s 1 Ñ t 2 s 2 Ñ Ñ t n s n Ñ part 1,..., t n s Ø Ars 1,..., s n sq (VR 7 ) $x t Ñ pa Ø A x rtsq (z ) $A x rts Ñ px t Ñ Aq (ZP) $A x rts Ñ p@xqpx t Ñ Aq (PZ@) V kroku jsme využili předpokladu, ze kterého plyne, že x není volná v A x rts. 8. Dokažte: není-li x obsaženo v termu t. A x rts Ø pdxqpx t & Aq, Ñ PT bude značit předpoklad tvrzení. $pt t & A x rtsq Ñ pdxqpx t & Aq (AxS a PT) $t t (Axiom identity) $A x rts Ñ pdxqpx t & Aq (z PT a ) Ð $t 1 s 1 Ñ t 2 s 2 Ñ Ñ t n s n Ñ part 1,..., t n s Ø Ars 1,..., s n sq (VR) $x t Ñ pa Ø A x rtsq (z ) $px t & Aq Ñ A x rts (z ) $pdxqpx t & Aq Ñ A x rts (PZD) V kroku jsme využili předpokladu, ze kterého plyne, že x není volná v A x rts. Příklady odjinud 1. Dokažte syntakticky v predikátové logice: pdxqpdyqpp pxq _ P pyqq (6) (7) (8) (9) $p@xqp pxq Ñ P pxq x rys p@xqp pxq $P pxq x rys (VD) $P pxq x rys Ñ pdxqp pxq (PS) $p@xqp pxq Ñ pdxqp pxq (, MP, VD) $pdxqp pxq Ñ pdyqp pxq x rys (VV) $p@xqp pxq Ñ pdyqp pyq ( VD + MP, VD) $pdxq(p pxq Ñ pdyqp pyq) (Prenex (iii)) $pdxqpdyq(p pxq Ñ P pyq) (Prenex (ii)) $pdxqpdyq( P pxq _ P pyq) (zkratky) Reference [1] DrSc. prof. RNDr. Petr (AIL023). Praha, Štěpánek. Skripta pro přednášku Výroková a predikátová logika 7 Věta o rovnosti 12
Výroková a predikátová logika - IX
Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2013/2014 1 / 15 Korektnost a úplnost Důsledky Vlastnosti teorií
VícePredik atov a logika - pˇredn aˇska () Predik atov a logika - pˇredn aˇska / 16
Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 () Predikátová logika - přednáška 3 6. 1. 2015 1 / 16 Věta (o dedukci) Bud L jazyk, T teorie pro L, ϕ L-sentence a ψ L-formule. Pak Věta (o kompaktnosti) T ϕ
VíceVýroková a predikátová logika - X
Výroková a predikátová logika - X Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - X ZS 2018/2019 1 / 16 Rozšiřování teorií Extenze o definice Rozšiřování
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 18 Příklad Necht L je jazyk obsahující
Víceteorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce
Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových
VíceVýroková a predikátová logika - IX
Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2015/2016 1 / 16 Tablo metoda v PL Důsledky úplnosti Vlastnosti
VíceŘešení: Ano. Řešení: Ne.
1 ÚLOHY Z PREDIKÁTOVÉ LOGIKY Instance, varianty. UF.1.1. Substituovatelnost. 1. Buď ϕ formule ( z)(x=z)&y < x a dále x, y, z různé proměnné, F unární funkční symbol, c konstantní symbol. Uveďte, zda je
VíceFormální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2013/2014 1 / 21 Sémantika PL Teorie Vlastnosti teorií Teorie
VíceHilbertovský axiomatický systém
Hilbertovský axiomatický systém Predikátová logika H 1 Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 24. října 2008 Specifikace H 1 Jazyk L H1 přejímáme jazyk predikátové logiky
VícePredikátová logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Predikátová logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz strana 2 Opakování z minulé přednášky Z čeho se skládá jazyk výrokové logiky? Jaká jsou schémata pro axiomy VL? Formulujte
VíceSystém přirozené dedukce výrokové logiky
Systém přirozené dedukce výrokové logiky Korektnost, úplnost a bezespornost Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava Poslední aktualizace: 6. října 2008 Věta o korektnosti Věta (O korektnosti Systému
VícePredikátová logika. Z minula: 1. jazyk logiky 1. řádu. 2. term a formule. 3. interpretace jazyka (relační struktura) 4. Tarského definice pravdy
1 Predikátová logika Z minula: 1. jazyk logiky 1. řádu 2. term a formule 3. interpretace jazyka (relační struktura) 4. Tarského definice pravdy 5. vázané a volné výskyty proměnných ve formuli 6. otevřené
VíceÚvod do výrokové a predikátové logiky
Úvod do výrokové a predikátové logiky Eva Ondráčková Na této přednášce se seznámíte se základy výrokové a predikátové logiky. Zjistíte, že podstatou logiky není vyplňování pravdivostních tabulek ani negování
VíceVýroková a predikátová logika - VI
Výroková a predikátová logika - VI Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VI ZS 2017/2018 1 / 24 Predikátová logika Úvod Predikátová logika Zabývá
VíceVýroková a predikátová logika - VIII
Výroková a predikátová logika - VIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VIII ZS 2017/2018 1 / 21 Tablo Tablo metoda v PL - rozdíly Formule
VíceVýroková a predikátová logika - VIII
Výroková a predikátová logika - VIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2016/2017 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VIII ZS 2016/2017 1 / 21 Tablo Tablo metoda v PL - rozdíly Formule
VíceZáklady logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
VíceVýroková a predikátová logika - IX
Výroková a predikátová logika - IX Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IX ZS 2018/2019 1 / 13 Dokončené tablo Chceme, aby dokončená bezesporná
VícePřevyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha
Převyprávění Gödelova důkazu nutné existence Boha Technické podrobnosti Důkaz: Konečná posloupnost výrokůkorektně utvořených formulí nějakého logického kalkulu), z nichž každý jelogickým) axiomem, postulátemteorie),
VíceLogické programy Deklarativní interpretace
Logické programy Deklarativní interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 7 1 Algebry. (Interpretace termů) Algebra J pro jazyk termů L obsahuje Neprázdnou
VíceZáklady matematické logiky
OBSAH 1 Základy matematické logiky Obsah 1 Úvod 2 1.1 Předmět matematiky.......................... 2 1.2 Nástin historie.............................. 2 1.3 Axiomatická výstavba matematických teorií.............
VíceVýroková a predikátová logika - IV
Výroková a predikátová logika - IV Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IV ZS 2018/2019 1 / 17 Tablo metoda Tablo Tablo - příklady F (((p q)
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2018/2019 1 / 15 Platnost (pravdivost) Platnost ve struktuře
VíceVýroková logika. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Výroková logika Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Co je to formalismus a co je jeho cílem? Formulujte Russelův paradox
VícePredikátová logika. prvního řádu
Predikátová logika prvního řádu 2 Predikát Predikát je n-ární relace - vyjadřuje vlastnosti objektů a vztahy mezi objekty - z jednoduchého výroku vznikne vypuštěním alespoň jednoho jména objektu (individua)
Víceplatné nejsou Sokrates je smrtelný. (r) 1/??
Predikátová logika plně přejímá výsledky výrokové logiky zabývá se navíc strukturou jednotlivých jednoduchých výroků na základě této analýzy lze odvodit platnost některých výroků, které ve výrokové logice
VíceVýroková logika dokazatelnost
Výroková logika dokazatelnost Ke zjištění, zda formule sémanticky plyne z dané teorie (množiny formulí), máme k dispozici tabulkovou metodu. Velikost tabulky však roste exponenciálně vzhledem k počtu výrokových
Více1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7
1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není
VíceUnární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek
Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška třetí Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceVýroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2017/2018 1 / 16 2-SAT 2-SAT Výrok je v k-cnf, je-li v CNF a
VíceVýroková a predikátová logika - III
Výroková a predikátová logika - III Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2014/2015 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - III ZS 2014/2015 1 / 21 Výroková logika Horn-SAT Horn-SAT Jednotková
VíceVýroková a predikátová logika - V
Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský
Vícepostaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy
Formální systémy (výrokové) logiky postaveny výhradně na syntaktické bázi: jazyk logiky neinterpretujeme, provádíme s ním pouze syntaktické manipulace důkazy cíl: získat formální teorii jako souhrn dokazatelných
VíceVýroková a predikátová logika - XII
Výroková a predikátová logika - XII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XII ZS 2018/2019 1 / 15 Rezoluční metoda v PL Rezoluční důkaz Obecné
VíceÚvod do matematiky. Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy
Úvod do matematiky Mgr. Radek Horenský, Ph.D. Důkazy Matematika a matematické chápání jako takové je založeno na logické výstavbě. Základními stavebními prvky jsou definice, věty a důkazy. Definice zavádějí
VíceLogika. 6. Axiomatický systém výrokové logiky
Logika 6. Axiomatický systém výrokové logiky RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
VíceLogika a logické programování
Logika a logické programování témata ke zkoušce Poslední aktualizace: 16. prosince 2009 Zkouška je písemná, skládá se obvykle ze sedmi otázek (může být více nebo méně, podle náročnosti otázek), z toho
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
VíceVýroková a predikátová logika - XI
Výroková a predikátová logika - XI Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2014/2015 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XI ZS 2014/2015 1 / 21 Další dokazovací systémy PL Hilbertovský kalkul
Více1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí
1. Predikátová logika jako prostedek reprezentace znalostí 1.1 Historie výrokové logiky Problém explicitních znalostí a údaj, kterých je obrovské množství, vedl ke vzniku výrokové logiky. lovk si obecn
VíceModely Herbrandovské interpretace
Modely Herbrandovské interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 8 1 Uvedli jsme termové interpretace a termové modely pro logické programy a také nejmenší
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2015/2016 1 / 18 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2013/2014 1 / 20 Základní syntax Jazyk Výroková logika je logikou
VíceObsah Předmluva Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky Uvedení do predikátové logiky...17
Obsah Předmluva...3 0. Rekapitulace základních pojmů logiky a výrokové logiky...11 0.1 Logika jako věda o vyplývání... 11 1. Uvedení do predikátové logiky...17 1.1 Základní terminologie... 17 1.2 Základní
Víceverze 29/9/09 textu o logice, aritmetice a M. Bizzarrimu.
1 verze 29/9/09 Toto je prozatím definitivní verze provizorního textu o logice, aritmetice a množinách. věnováno Laskavým čtenářům a čtenářkám, kteří navštěvovali tyto přednášky. poděkování Za upozornění
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
Více1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení
1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení Než uvedeme konkrétní příklady, zopakujme si definici interpretace, ohodnocení a pravdivosti. Necht L je nějaký jazyk. Interpretaci U, jazyka L tvoří
VíceVýroková a predikátová logika - X
Výroková a predikátová logika - X Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - X ZS 2015/2016 1 / 22 Herbrandova věta Úvod Redukce nesplnitelnosti na
VíceZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE
ZÁKLADY LOGIKY A METODOLOGIE Metodický list č. 1 Téma: Předmět logiky a metodologie, základy logiky a formalizace. Toto téma lze rozdělit do tří základních tématických oblastí: 1) Předmět logiky a metodologie
VíceLOGIKA VÝROKOVÁ LOGIKA
LOGIKA Popisuje pravidla odvozování jedněch tvrzení z druhých. Je to myšlenková cesta ke správným závěrům. Vznikla jako součást filosofie. Zakladatelem byl Aristoteles. VÝROKOVÁ LOGIKA Obsahuje syntaktická,
VíceLogika. 5. Rezoluční princip. RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D.
Logika 5. Rezoluční princip RNDr. Luděk Cienciala, Ph. D. Tato inovace předmětu Úvod do logiky je spolufinancována Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR, projekt č. CZ. 1.07/2.2.00/28.0216,
VíceVýroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta
Výroková a predikátová logika Výpisky z cvičení Martina Piláta Jan Štětina 1. prosince 2009 Cviˇcení 29.9.2009 Pojem: Sekvence je konečná posloupnost, značíme ji predikátem seq(x). lh(x) je délka sekvence
Více1. Matematická logika
Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018 1. Matematická logika Základem každé vědy (tedy i matematiky i fyziky) je soubor jistých znalostí. To, co z těchto izolovaných poznatků
VíceZákladní pojmy matematické logiky
KAPITOLA 1 Základní pojmy matematické logiky Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. 1. Výroková logika Co je
VíceČástečná korektnost. Petr Štěpánek. S využitím materialu Krysztofa R. Apta
Částečná korektnost Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2007 Logické programování 14 1 Částečná korektnost je vlastností programu a znamená, že program vydává korektní výsledky pro dané
VíceSémantika predikátové logiky
Sémantika predikátové logiky pro analýzu sémantiky potřebujeme nejprve specifikaci jazyka (doména, konstanty, funkční a predikátové symboly) příklad: formální jazyk s jediným binárním predikátovým symbolem
Více4.2 Syntaxe predikátové logiky
36 [070507-1501 ] 4.2 Syntaxe predikátové logiky V tomto oddíle zavedeme syntaxi predikátové logiky, tj. uvedeme pravidla, podle nichž se tvoří syntakticky správné formule predikátové logiky. Význam a
VíceVýroková logika - opakování
- opakování ormální zavedení Výroková formule: Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. 1. Každá proměnná je výroková formule 2. Když α, β jsou formule, potom ( α), (α β), (α
Více2.5 Rezoluční metoda v predikátové logice
2.5. Rezoluční metoda v predikátové logice [101104-1520] 19 2.5 Rezoluční metoda v predikátové logice Rezoluční metoda v predikátové logice je obdobná stejnojmenné metodě ve výrokové logice. Ovšem vzhledem
VíceKlasická predikátová logika
Klasická predikátová logika Matematická logika, LS 2012/13, závěrečná přednáška Libor Běhounek www.cs.cas.cz/behounek/teaching/malog12 PřF OU, 6. 5. 2013 Symboly klasické predikátové logiky Poznámky Motivace
VíceVýroková logika syntaxe a sémantika
syntaxe a sémantika Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Handout 01: & sémantika VL 1/16 1 Proč formální jazyk? 1 Přirozené jazyky jsou složité a často nejednoznačné. 2 Komunikace s formálními nástroji musí být
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška šestá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
Více1 Úvod do matematické logiky
1 Úvod do matematické logiky Logikou v běžném slova smyslu rozumíme myšlenkovou cestu, která vede k určitým závěrům. Logika je také formální věda, která zkoumá způsob vyvozování závěrů. Za zakladatele
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 20 Predikátová logika Motivace Výroková
Více2.2 Sémantika predikátové logiky
14 [101105-1155] 2.2 Sémantika predikátové logiky Nyní se budeme zabývat sémantikou formulí, tj. jejich významem a pravdivostí. 2.2.1 Interpretace jazyka predikátové logiky. Interpretace predikátové logiky
VíceMísto pojmu výroková formule budeme používat zkráceně jen formule. Při jejich zápisu
VÝROKOVÁ LOGIKA Matematická logika se zabývá studiem výroků, jejich vytváření a jejich pravdivostí. Základním kamenem výrokové logiky jsou výroky. Co je výrok nedefinujejme, pouze si řekneme, co si pod
VíceRezoluční kalkulus pro výrokovou logiku
AD4M33AU Automatické uvažování Rezoluční kalkulus pro výrokovou logiku Petr Pudlák Výroková logika Výhody Jednoduchý jazyk. Rozhodnutelnost dokazatelnosti i nedokazatelnosti. Rychlejší algoritmy. Nevýhody
VíceVýroková a predikátová logika - XIII
Výroková a predikátová logika - XIII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2013/2014 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - XIII ZS 2013/2014 1 / 13 Úvod Algoritmická (ne)rozhodnutelnost Které
VíceOkruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky
Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky Predikátová logika 1.řádu formalizuje úsudky o vlastnostech předmětů a vztazích mezi předměty pevně dané předmětné oblasti (univerza). Nebudeme se zabývat
Více6. Logika a logické systémy. Základy logiky. Lucie Koloušková, Václav Matoušek / KIV. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS
Základy logiky Umělá inteligence a rozpoznávání, LS 2012 6-1 Logika je naukou, která se zabývá studiem lidského uvažování. Mezi základní úlohy logiky patří nalézání metod správného usuzování, tedy postupů,
VíceNegativní informace. Petr Štěpánek. S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze. Logické programování 15 1
Negativní informace Petr Štěpánek S použitím materiálu M.Gelfonda a V. Lifschitze 2009 Logické programování 15 1 Negace jako neúspěch Motivace: Tvrzení p (atomická formule) neplatí, jestliže nelze odvodit
VíceStefan Ratschan. Fakulta informačních technologíı. Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
Logika pro každodenní přežití Stefan Ratschan Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti
VíceÚvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz
Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice Judy má ráda banány Z hlediska VL
VíceKterá tvrzení jsou pravdivá nezávisle na tom, který den v týdnu byla vyslovena? Tvrzení trosečníka Dana.
Trosečníci Adam, Barry, Code a Dan zapoměli po čase kalendář. Začali se dohadovat, který den v týdnu vlastně je. Každý z nich řekl svůj názor: A: Dnes je úterý nebo zítra je neděle B: Dnes není úterý nebo
VíceCvičení ke kursu Klasická logika II
Cvičení ke kursu Klasická logika II (12. května 2017) 1. Nechť P a Q jsou unární a R binární predikát. Dokažte, že následující formule jsou logicky platné, ale obrátíme-li (vnější) implikaci, ve všech
VíceCvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka
Celkové hodnocení BI-MLO (nevyplňujte!) Semestr Zkouška Cvičení Aktivita 1. část 2. část 3. část Ústní Celkem Známka BI-MLO Písemná zkouška 9. února 2016 Matematická logika FIT ČVUT v Praze Varianta B
VíceLogika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika II. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
Více1. Matematická logika
MATEMATICKÝ JAZYK Jazyk slouží člověku k vyjádření soudů a myšlenek. Jeho psaná forma má tvar vět. Každá vědní disciplína si vytváří svůj specifický jazyk v úzké návaznosti na jazyk živý. I matematika
VíceMatematická logika. Rostislav Horčík. horcik
Matematická logika Rostislav Horčík horcik@math.feld.cvut.cz horcik@cs.cas.cz www.cs.cas.cz/ horcik Rostislav Horčík (ČVUT FEL) Y01MLO Letní semestr 2007/2008 1 / 15 Sémantická věta o dedukci Věta Pro
VíceLogika Libor Barto. Výroková logika
Logika Libor Barto Výroková logika Definice.(Jazyk výrokové logiky) Ve výrokové logice používáme tyto symboly: (1) Výrokové proměnné: velká písmena, případně opatřená indexy. (2) Výrokovéspojky:,,&,,,....
VícePredikátová logika [Predicate logic]
Predikátová logika [Predicate logic] Přesněji predikátová logika prvého řádu. Formalizuje výroky o vlastnostech předmětů (entit) a vztazích mezi předměty, které patří do dané předmětné oblasti univerza.
VíceLogika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı BI-MLO, ZS 2011/12
Logika XI. RNDr. Kateřina Trlifajová PhD. Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze c Kateřina Trlifajová, 2010 BI-MLO, ZS 2011/12 Evropský sociální
VíceMatematická indukce, sumy a produkty, matematická logika
Matematická indukce, sumy a produkty, matematická logika 8.9. -.0.009 Matematická indukce Jde o následující vlastnost přirozených čísel: Předpokládejme:. Nějaké tvrzení platí pro.. Platí-li tvrzení pro
VícePredikátová logika dokončení
Predikátová logika dokončení Jiří Velebil: X01DML 1. října 2010: Predikátová logika dokončení 1/18 Syntaktická analýza Jako ve výrokové logice (syntaktické stromy). Každý list úspěšného stromu je obsazen
VíceAbstrakt Text je určen jako doplňkový k přednášce Matematická logika a Paradigmata programování 4.
Abstrakt Text je určen jako doplňkový k přednášce Matematická logika a Paradigmata programování 4. 1 Matematická logika - poznámky k přednáškám Radim Bělohlávek 29. května 2003 1 Co je (matematická) logika?
Více1 Predikátová logika. 1.1 Syntax. jaký mohou mít formule význam (sémantiku). 1. Logických symbolů: 2. Speciálních (mimologických) symbolů:
1 Predikátová logika 1.1 Syntax Podobně jako ve výrokové logice začneme nejprve se syntaxí predikátové logiky, která nám říká, co jsou správně utvořené formule predikátové logiky. V další části tohoto
VíceKlasická výroková logika - tabulková metoda
1 Klasická výroková logika - tabulková metoda Na úrovni výrokové logiky budeme interpretací rozumět každé přiřazení pravdivostních hodnot výrokovým parametrům. (V případě přiřazení pravdivostních hodnot
VíceOrganizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část
Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova
VíceDalší (neklasické) logiky. Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Predikátová logika 1/20
Predikátová logika Jiří Velebil: AD0B01LGR 2015 Predikátová logika 1/20 Jazyk predikátové logiky Má dvě sorty: 1 Termy: to jsou objekty, o jejichž vlastnostech chceme hovořit. Mohou být proměnné. 2 Formule:
VíceZáklady logiky Logika a logické systémy. Umělá inteligence a rozpoznávání, LS
Základy logiky 22. 4. 2015 Umělá inteligence a rozpoznávání, LS 2015 6-1 Logika je naukou, která se zabývá studiem lidského uvažování. Mezi základní úlohy logiky patří nalézání metod správného usuzování,
Více1. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY
. MATEMATICKÁ LOGIKA A MNOŽINY Průvodce studiem V následující kapitole si připomeneme některé význačné poznatky z matematické logiky a teorie množin, tvořící základ množinově logického aparátu. S celou
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška první Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu prof. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Co a k čemu je logika? 2 Výroky a logické spojky
VíceAplikace: Znalostní báze
Aplikace: Znalostní báze 1 Znalostní báze je systém, který dostává fakta o prostředí a dotazy o něm. Znalostní báze je agentem ve větším systému, který obsahuje prostředí (také agent), správce (agent),
VíceMatematická logika. Miroslav Kolařík
Matematická logika přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle textu R. Bělohlávka: Matematická logika poznámky k přednáškám, 2004. a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní matematika
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. zavedení pojmů relace, zobrazení (funkce); prostá zobrazení, zobrazení na, bijekce 2. rozklady, relace ekvivalence, kongruence, faktorizace 3. uspořádání a některé
VíceCvičení ke kursu Logika II, část III
Cvičení ke kursu Logika II, část III (30. listopadu 2008) Osnova přednášky přednáška je určena studentům, kteří absolvovali úvodní kursy logiky a teorie rekurzívních funkcí. Předpokládané znalosti: syntax
Víceprof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Základní pojmy prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
Více